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é mostrado na figura seguir. 
 
 
 
Nesta figura, pode-se observar duas curvas: a da esquerda quando se assume 
que a população tem uma média inferior a especificada, isto é a curva para a hipótese 
alternativa (Ha) com m < 1,5 metros; e a curva da direita para a situação em que a 
população apresenta média igual à especificada, ou seja, curva para a hipótese de 
H0: m = 1,5 
Ha: m < 1,5 
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nulidade (Ho) com média m = 1,5 metros. Quando o pesquisador toma a decisão de 
rejeitar a Ho, ele na verdade acaba por concluir que a população de onde foi retirada a 
amostra pertence aquela população com média m < 1,5 metros. Observem, valores 
nesta região podem levar a duas conclusões que a rigor ambas estariam “corretas”, 
mas a probabilidade de encontrar indivíduos com média inferior ou igual ao valor 
crítico, no caso 1,0 metro, é bem maior numa população com m < 1,5 metros do que 
numa população com média m = 1,5 metros. É esta diferença nas probabilidades que 
leva o pesquisador a rejeitar Ho ao invés de não rejeitá-la. 
 Conforme mencionado anteriormente, a área sob a curva da hipótese Ho que 
leva a sua rejeição se refere à probabilidade de se rejeitar Ho quando Ho é verdadeira. 
Isto foi definido anteriormente como erro alfa. Um raciocínio lógico que se tem é tentar 
fazer este erro ser o menor possível. No entanto, em todo teste de hipóteses existe 
também um outro erro, conhecido como erro tipo II ou erro beta ( )β , o qual aumenta o 
seu valor à medida que se diminui o erro alfa. Este erro se refere à probabilidade não-
rejeitar a hipótese Ho quando Ho é falsa (ver figura anterior). No exemplo que estamos 
trabalhando, este erro beta será tanto maior, quanto menor for o valor crítico. Se por 
exemplo, fizermos que o valor crítico para a média amostral seja igual a 0,9 m, então a 
nova proporção entre os erros alfa e beta seria conforme a figura a seguir. 
 
 
Capítulo 2 – Testes de hipóteses 
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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 
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Nós acabamos de ver a maneira empírica de realizar um teste de hipótese, a 
qual se baseia no fato do pesquisador estabelecer o valor crítico de rejeição da 
hipótese Ho com base em seu prévio conhecimento do problema. Este procedimento, 
embora seu forte apelo prático traga a desvantagem de não poder estabelecer a 
princípio qual seria a probabilidade de ser cometer o erro tipo I, ou seja, a que nível de 
significância que o teste de hipóteses será realizado. É de consenso que se publique, 
que nos trabalhos científicos, a que nível de significância um teste de hipóteses foi 
realizado. Desta forma, é possível comparar os resultados e conclusões de diferentes 
trabalhos de pesquisa, pois existe uma tendência que, para determinada área do 
conhecimento, o nível de significância esteja dentro de uma faixa de valores aceito 
pela maioria dos pesquisadores. A determinação do nível de significância quando se 
usa o método empírico é possível, embora computacionalmente não seja uma tarefa 
fácil, pois envolve a integração de funções complexas tais como exponenciais, gama, 
beta, dentre outros. Devido a todas estas razões, o método não-empírico é o mais 
usado. 
 
O quadro abaixo sintetiza as probabilidades de uma escolha decisiva: 
 Realidade 
Decisão Ho é verdadeira Ho é falsa 
Rejeitar Ho α β−1 
Aceitar Ho α−1 β 
 
 O procedimento para um teste de hipóteses usando o método não-empírico é 
similar ao método empírico. A diferença está basicamente que no método não-
empírico, o valor crítico é conhecido a partir do nível de significância estabelecido e o 
uso de tabelas estatísticas. Existe uma tabela estatística apropriada para cada tipo de 
teste de hipóteses. Estas tabelas fornecem valores críticos que delimitam regiões de 
rejeição e de não-rejeição de Ho. O valor obtido de uma ou mais amostras retirada 
da(s) população(ões) é então usado para calcular o valor de uma estatística que tem 
distribuição de probabilidades idêntica àquela usada para identificar o valor tabelado. A 
comparação dos valores calculado e tabelado permite ao pesquisador decidir entre 
rejeitar ou não-rejeitar Ho. 
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 Os próximos itens deste capítulo irão tratar sobre alguns testes de hipóteses 
que usam este método não-empírico. 
 
2.3 – Testes de hipóteses 
 
2.3.1 – Teste Z 
 
2.3.1.1 – Teste de hipóteses para uma média populacional 
Caso em que X é normalmente distribuído com variância populacional 
conhecida. Seja uma variável aleatória ( )2σµ,N~X . Pode-se demonstrar que a média 
amostral X também segue está distribuição normal com a mesma média µ porém a 
variância está dividida pelo tamanho da amostra 




 σ
µ
n
,N~X
2
. 
Usando-se a variável normal padronizada ou reduzida Z, temos 
2
x
oxZ
σ
µ−
= ou 
n
xZ o
σ
µ−
= , onde: 
x = média amostral; 
oµ = valor da hipótese Ho; 
σ= desvio padrão populacional; 
n = tamanho da amostra. 
 
Exemplo: 
a) A produtividade média por hectare do feijoeiro vermelho na Região de Viçosa/MG é 
de 1800 Kg e o desvio padrão de 100 Kg. Mediante avanços no programa de 
melhoramento genético desta cultura na UFV proclamou-se que a produtividade pode 
ser aumentada. Para testar esta declaração, ensaiou-se 50 lavouras em diferentes 
pequenas propriedades, tendo-se determinado a produtividade média nestas de 1850 
Kg. Pode-se confirmar a eficiência do melhoramento da cultura ao nível de 
significância de 0,05 (ou 5%). R: Zcal
 
 = 3,54 
Capítulo 2 – Testes de hipóteses 
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b) Considerando o mesmo problema anterior, testar: 
b.1) 
Kg:Ha
%Kg:Ho
1800
51800
≠µ
=α=µ
 
 
b.2) 
Kg:Ha
%Kg:Ho
1800
11800
≠µ
=α=µ
 
 
2.3.1.2 – Teste de hipóteses para duas médias populacionais 
 Caso em que XA e XB
 Sejam 
 são normalmente distribuídos com variância 
populacionais conhecidas. 
BA XeX as médias obtidas em duas amostras de tamanho nA e nB, 
retiradas de duas populações normais PA e PB
22
BA e σσ
, respectivamente, com variâncias 
 conhecidas é médias BA e µµ desconhecidas. Considerando-se as variáveis 
aleatórias BA XeX independentes, tende-se que: 
( ) 




 σ+σµ−µ
B
B
A
A
BABA nn;N~XeX
22
 
 Nosso problema é, ao nível de significância α , testar: 
321
0
BABABA
BABA
ou;ou;:Ha
:Hoou:Ho
µ≠µµ<µµ>µ
=µ−µµ=µ
 
 Utilizaremos então a estatística: 
( ) ( )
( )BA
BABA
XeXV
XeXZ µ−µ−= 
 Sob Ho segue-se que ( )BA XeX vai seguir uma distribuição normal com média 
zero e variância 




 σ+σ
B
B
A
A
nn
22
, ou então: ( ) 




 σ+σ
B
B
A
A
BA nn;N~XeX
22
0 , então: 
 
( )
B
B
A
A
BA
nn
XeXZ
22
0
σ+σ
−
= ou ( )
B
B
A
A
BA
nn
XeXZ
22 σ+σ
= 
 
Exemplo: 
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