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2011/II 
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b) Qual é o erro do tipo II? Quais são as conseqüências de se cometer esse erro? 
 
11 - Historicamente, em certa cidade, a variável aplicação em caderneta de poupança 
tem média de 420 unidades monetárias, com desvio padrão de 100 unidades 
monetárias. Foi feita uma suposição, que atualmente esta situação tenha se alterado. 
Para testar tal suposição, tomou-se uma amostra de 100 depositantes, que acusou 
uma média de 415 u.m. Usando α=5%, pode-se concluir que houve alteração? 
 
12 - A vida média de uma amostra aleatória de 100 lâmpadas de certa marca é 1615 
horas. Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão 
populacional conhecido e igual a 120 horas. Utilizando α =1%, desejamos testar se a 
duração média de todas as lâmpadas dessa marca é maior de 1600 horas. Qual é a 
conclusão? 
 
Capítulo 3 – Contrastes 
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34 
 
3.0 – CONTRASTES 
 
3.1– Introdução 
 
O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental, 
principalmente quando o experimento em análise é composto por mais do que dois 
tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesquisador estabelecer 
comparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse. 
Este capítulo visa dar fundamentos para estabelecer grupos de contrastes, 
obter a estimativa para cada contraste estabelecido, bem como estimar a variabilidade 
associada a cada um destes contrastes. Todos os conhecimentos adquiridos neste 
capítulo serão utilizados no capítulo sobre Comparações Múltiplas para a realização 
de testes de hipóteses para grupos de contrastes estabelecidos. 
 
3.2 – Definições 
 
3.2.1 – Contrastes 
Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos 
C = a1m1 + a2m2 + ... + aIm
 
I 
C será um contraste entre médias se satisfazer a seguinte condição: ∑
=
=
I
1i
i 0a 
 
3.2.2 – Estimador do Contraste 
Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais mi
Cˆ
, 
mas suas estimativas. Assim, em Estatística Experimental, não se trabalhar com 
contraste C mas com o seu estimador , que também é uma função linear de médias 
obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se que o estimador para o 
contraste de médias é dado por: 
II2211 mamamaC ˆˆˆˆ +++=  
 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
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Exercício 
3.1 Num experimento de consórcio na cultura do abacaxi, com 5 repetições, as médias 
de produção de frutos de abacaxi (em t/ha), foram as seguintes: 
Tratamentos imˆ 
1 – Abacaxi (0,90 x 0,30m) monocultivo 53,5 
2 – Abacaxi (0,80 x 0,30m) monocultivo 56,5 
3 – Abacaxi (0,80 x 0,30m) + amendoim 62,0 
4 – Abacaxi (0,90 x 0,30m) + feijão 60,4 
 
Pede-se obter as estimativas dos seguintes contrastes: 
C1 = m1 + m2 – m3 –m
C
4 
2 = m1 - m
C
2 
3 = m3 –m
 
4 
3.2.3 – Medidas de dispersão associadas a contrastes 
 Considere o estimador do contraste C, dado por: 
II2211 mamamaC ˆˆˆˆ +++=  
 
A variância do estimador do contraste é dada por: 
( ) ( )II2211 mamamaVCV ˆˆˆˆ +++=  
Admitindo independência entre as médias 
( ) ( ) ( ) ( )II2211 maVmaVmaVCV ˆˆˆˆ +++=  
( ) ( ) ( ) ( )I2I222121 mVamVamVaCV ˆˆˆˆ +++=  
Sabe-se que: ( )
I
2
i
i r
σmV =ˆ , assim 
( )
I
2
I2
I
2
2
22
2
1
2
12
1 r
σar
σar
σaCV +++= ˆ 
Admitindo-se homogeneidade de variância 2σ , mas sua estimativa a qual obtida 
por meio de dados experimentais. Esta estimativa é denominada como estimador 
comum ( 2cs ). Então o que normalmente se obtém é o valor do estimador da variância 
do estimador do contraste, a qual é obtida por: 
Capítulo 3 – Contrastes 
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36 
( ) ∑
=
=
I
1i i
2
i2
c r
asCV ˆˆ 
Exercício 
3.2 – Por meio dos dados e dos contrastes fornecidos abaixo, obter as estimativas dos 
contrastes e as estimativas das variâncias das estimativas dos contrastes. 
0,45s5r4r6rr
21,0m10,0m10,5m11,2m
2
c4321
4321
=====
==== ˆˆˆˆ
 
C1 = m1 + m2 – m3 – m
C
4 
2 = m1 – m
C
2 
3 = m3 – m
 
4 
3.2.4 – Contrastes Ortogonais 
 
 Em algumas situações desejamos testar um grupo de contrastes relacionados 
com o experimento em estudo. Alguns tipos de testes indicados para este objetivo 
necessitam que os contrastes que compõem o grupo a ser testado, sejam ortogonais 
entre si. 
 A ortogonalidade entre os contrastes indica independência linear na 
comparação estabelecida por um contraste com a comparação estabelecida pelos 
outros contrastes. 
 Sejam os estimadores dos contrastes de C1 e C2
II22112
II22111
mbmbmbC
mamamaC
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
+++=
+++=


 dados, respectivamente, por: 
 
 
 A covariância entre 21 CeC ˆˆ , supondo independência entre tratamentos, é obtida 
por 
( ) ( ) ( ) ( )III22211121 mVbamVbamVbaC,CCov ˆˆˆˆˆ +++=  
 
A variância da média amostral é dada por: ( )
i
2
i
i r
σmV =ˆ , para i = 1, 2, ..., I. 
Logo, 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
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( )
I
2
I
II
2
2
2
22
1
2
1
1121 r
σbar
σbar
σbaC,CCov +++= ˆˆ 
Admitindo que exista homogeneidade de variâncias entre os tratamentos, ou 
seja: 22I
2
2
2
1 σσσσ ====  , então. 
( ) ∑
=
=





+++=
I
1i i
ii22
I
II
2
22
1
11
21 r
ba
σσ
r
ba
r
ba
r
baC,CCov ˆˆ 
 
Sabe-se que, de duas variáveis aleatórias são independentes, a covariância 
entre elas é igual a zero. Assim, se 21 CeC ˆˆ são independentes, a covariância entre 
eles é igual a zero, isto é: 
( ) 0C,CCov 21 =ˆˆ 
 
Para que a covariância seja nula, é necessário, portanto que: 
0
r
baI
1i i
ii =∑
=
 
Esta é a condição de ortogonalidade entre dois contrastes para um experimento 
com número diferente de repetições para os tratamentos. Para um experimento com 
mesmo número de repetições, satisfazendo as mesmas pressuposições (médias 
independentes e homogeneidade de variâncias), a condição de ortogonalidade se 
resume a: 
0ba
I
1i
ii =∑
=
 
Para um experimento com I tratamentos, podem ser formados vários grupos de 
contrastes ortogonais, no entanto cada grupo deverá conter no máximo (I – 1) 
contrastes ortogonais, o que corresponde ao número de graus de liberdade para os 
tratamentos. 
Dentro de um grupo de contrastes ortogonais, todos os contrastes tomados dois 
a dois, serão também ortogonais. 
 
Exercícios 
3.3 – Verificar se os contrastes do Exercício 2.1 formam um grupo de contrastes 
ortogonais. 
Capítulo 3 – Contrastes 
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38 
3.4 – Verificar se os contrastes do Exercício

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