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Pensando em Progressão 
Geométrica 
Série Cultura 
Objetivos 
1. Desenvolver a proposta de 
interdisciplinaridade, relacionando 
conteúdos matemáticos a referências 
literárias; 
2. Elaborar uma situação que propicie o 
estudo de progressões geométricas. 
Pensando em 
Progressão 
Geométrica 
 
Série 
Cultura 
Conteúdos 
Progressão geométrica. 
Duração 
Aprox. 10 minutos. 
Objetivos 
1. Desenvolver a proposta de 
interdisciplinaridade, 
relacionando conteúdos 
matemáticos a referências 
literárias; 
2. Elaborar uma situação que 
propicie o estudo de 
progressões geométricas. 
Sinopse 
Alice reencontra seu mais novo 
amigo, o hippie Tejaire, que ela 
conheceu no áudio Pensando em 
Progressão Aritmética, e desta 
vez quer saber como a Alice 
daquela história voltou ao seu 
tamanho normal, após ter ficado 
pequeninha por ter bebido um 
líquido mágico. 
Material relacionado 
Áudios: Pensando em progressão 
aritmética. 
Experimentos: Quadrado mágico 
multiplicativo.
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 3/13 
Introdução 
Sobre a série 
A série Cultura foi concebida com o objetivo de proporcionar aos 
alunos a oportunidade de fazer paralelos significativos entre 
Literatura, Cultura Geral e Matemática. Além de poder observar 
resoluções de problemas de matemática, consideramos importante 
que o aluno se sinta estimulado a buscar as referências literárias e 
expandir seu conhecimento em diversas áreas. Por conta disso, 
sugerimos que seja feita uma indicação explícita das referências que 
aparecem no roteiro. 
Sobre o programa 
Este áudio apresenta ao aluno a ideia de progressão geométrica 
através de uma história livremente inspirada no livro Alice no País das 
Maravilhas, de Lewis Carroll. 
Na nossa ficção, que é a continuação da história contada no áudio 
Pensando em Progressão Aritmética, a jovem Alice reencontra seu 
amigo Tejaire e indaga como a Alice da canção voltou ao seu tamanho 
normal depois de ter bebido um líquido mágico e ficado pequeninha. 
Tejaire, espirituoso como sempre, explica-lhe que Alice encontrou, 
enquanto caminhava por uma floresta encantada daquele país, um 
bolo especial e uma lagarta falante que lhe disse que o bolo poderia 
fazê-la crescer ou diminuir de tamanho ainda mais, dependendo do 
lado que ela o mordesse. 
Contando apenas com sua sorte, Alice comeu um pedaço do bolo e 
dobrou de tamanho; depois, voltou a comê-lo daquele mesmo lado, 
dobrando novamente de tamanho. Foi então que ela percebeu que o 
bolo a fazia crescer em progressão geométrica, o que naturalmente 
levou-a se perguntar: 
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 4/13 
Quantos bocados de bolo ela ainda teria de comer para retornar ao 
seu tamanho original? 
 
Figura 1. A lagarta falante encontrada por Alice, por John Tenniel. 
 
Sobre as referências culturais 
Alice no País das Maravilhas é uma história escrita pelo romancista e 
matemático britânico Charles Lutwidge Dodgson, sob o pseudônimo 
de Lewis Carrol, em 1865. Três anos antes, Lewis Carrol contava, de 
improviso, às três filhas do reitor da universidade na qual trabalhava 
uma história sobre uma menina chamada Alice que ia parar em um 
mundo fantástico após cair numa toca de um coelho: foi a sua 
inspiração. Esta obra se tornou rapidamente um grande sucesso e 
contou com uma continuação em Alice através do Espelho e o que ela 
encontrou por lá, que foi publicada em 1871. 
 
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Pensando em progressão geométrica 5/13 
Em ambas as histórias, o autor preocupou-se em incluir referências a 
conceitos matemáticos e lógicos, tais como as ideias de limite de uma 
função, a representação de números em diferentes bases numéricas e 
a diferença semântica entre uma determinada frase e a frase contendo 
uma afirmação inversa a ela. 
O personagem principal de Alice no País das Maravilhas 
evidentemente é a própria Alice, uma menininha de 7 anos, bastante 
curiosa, e por vezes também petulante. Alguns dos marcantes 
personagens com quem ela faz amizade em meio as suas aventuras 
pelo País das Maravilhas são o Coelho Branco, o Gato Risonho e o 
Chapeleiro Maluco, todos eles um pouco, ou muito, loucos. 
 
Figura 2. Uma ilustração de Alice, por John Tenniel. 
Sobre o conteúdo 
Uma progressão geométrica é uma sequência de números 
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 6/13 
(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, ...) 
em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo 
anterior por uma constante q. Por esta razão, qualquer um de seus 
termos pode ser escrito na forma 
a
n
 = a
1
⋅qn-1, 
em que q é denominada razão da progressão geométrica. 
Por exemplo, a sequência das potências inteiras e positivas de 2, 
(2n)
n ∈ IN
 = (2, 4, 8, 16, 32, ...), 
é uma progressão geométrica de razão 2, já que 2n = 2⋅2n-1, qualquer 
que seja o número natural n. 
Muito frequentemente é interessante somar um número finito e 
consecutivo de termos de uma tal progressão, o que pode facilmente 
ser feito pela aplicação da fórmula 
S
m,n
 = a
m
 ⋅ (1-qn)/(1-q), 
que indica qual é o resultado da soma do m-ésimo ao (m+n-1)-ésimo 
termo da sequência, com n ∈ IN. Esta expressão é comumente 
substituída nos livros didáticos de matemática por uma versão mais 
simplificada, 
S
n
 = a
1
 ⋅ (1-qn)/(1-q), 
que apenas nos mostra como somar os n primeiros termos de uma 
progressão geométrica. No entanto, a fórmula geral não é difícil de ser 
deduzida notando-se que 
S
m,n
 = a
m
 + a
m
q + a
m
q2 + ... + a
m
qn-2 + a
m
qn-1 
e, também, que 
q⋅S
m,n
 = a
m
q + a
m
q2 + a
m
q3 + ... + a
m
qn-1 + a
m
qn, 
 
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Pensando em progressão geométrica 7/13 
de modo que, subtraindo ambas as expressões, chegamos a 
(1-q)⋅S
m,n
 = a
m
 - a
m
qn. 
Se supusermos ainda que |q| < 1 e somarmos um número infinito de 
termos desta progressão, concluiremos então que 
S
m,∞
 = a
m
/(1-q), 
uma vez que qn tenderá a zero nestas condições. 
Existe uma outra prova geométrica deste fato que é bastante 
interessante. Sem perda de generalidade, faça a
m
 = 1 e considere a 
seguinte figura, em que |AB| = |AD| = 1, |DE| = q, AC e BF são 
segmentos de reta paralelos entre si e todos os demais segmentos de 
reta, com exceção de BC, são perpendiculares ao segmento AC. Cada 
um desses últimos segmentos tem uma potência de r como medida, 
para toda potência inteira não negativa. 
 
Figura 3. Ilustração orientando a demonstração geométrica da 
expressão da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. 
Desta forma, os quadriláteros ABED, DEHG, GHJI e assim por diante, 
são todos semelhantes entre si, de modo que |AD| = q, |DG| = q2, |GI| = 
q3, etc. Portanto, 
|AC| = |AD| + |DG| + |GI| + ... = 1 + q + q2 + ..., 
que é justamente a quantidade que estamos interessados em 
determinar. Enfim, segue da semelhança entre os triângulos ABC e FEB 
que 
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 8/13 
|AC|/|AB| = |BF|/|FE|, 
ou seja, 
S
m,∞
 = |AC| = 1/(1-q). 
 
Sugestões de atividades 
Antes da execução 
Se possível, por conta de uma coerência didática, este áudio deve ser 
apresentado na sequência do programa Pensando em Progressão 
Aritmética. Procure explicar aos seus alunos o que é uma sequência de 
números em progressão geométrica antes de exibir este áudio a eles, 
mostrando diversos exemplos de tais sequências, tais como a 
sequência das potências inteiras de 2, 
(..., -1/8, -1/4, -1/2, 1, 2, 4, 8, ...), 
a sequência alternada das potências naturais de -3, 
(-3, 9, -27, 81, -243, ...), 
a sequência de termos constantes e iguais a 5, 
(5, 5, 5, 5, 5, 5, ...), 
e assim por diante, ressaltando qual é a razão e o primeiro termo em 
cada progressão. É bastante proveitoso deduzir as fórmulas da soma 
de termos consecutivos de uma progressão geométrica, visto que o 
raciocínio aí empregado é recorrente na própria aplicação das 
fórmulas e na interpretação dos exercícios nos quais elas se aplicam. 
Se houver tempo hábil, não deixe de demonstrar geometricamente aos 
seusestudantes a fórmula para a soma de um número infinito de 
termos de uma progressão geométrica. 
 
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Pensando em progressão geométrica 9/13 
Depois da execução 
Agora é o momento de resolver alguns bons exercícios de progressões 
geométricas com seus alunos. Temos algumas sugestões bastante 
abrangentes, que abordam desde a aplicação de fórmulas já discutidas 
até a demonstração de outras mais. 
Exercício 1. St. Ives é uma pequena cidade inglesa que aparece em 
uma rima infantil do século XVIII bastante divertida, em que um 
problema matemático pode ser encontrado: 
As I was going to St. Ives, 
I met a man with seven wives; 
Every wife had seven sacks, 
Every sack had seven cats, 
Every cat had seven kits. 
Kits, cats, sacks, and wives, 
How many were going to St. Ives? 
A caminho de St. Ives, 
Encontrei um homem com sete esposas; 
Cada esposa tinha sete sacos, 
Cada saco tinha sete gatos, 
Cada gato tinha sete gatinhos, 
Gatinhos, gatos, sacos e esposas, 
Quantos iam a caminho de St. Ives? 
 
Você consegue solucionar este problema? 
Solução: O homem encontrado pelo narrador da história possuía 7 
esposas e cada esposa tinha 7 sacos. Portanto, havia um total de 72 
sacos. Em cada saco estava 7 gatos e cada um deles cuidava de outros 
7 gatinhos. Assim, havia 73 gatos e 74 gatinhos ao todo. Logo, o 
número de gatinhos, gatos, sacos e esposas que iam a St. Ives era 
7 + 72 + 73 + 74, 
ou seja, 
S
1,4
 = 7 ⋅ (1-74)/(1-7) = 2800. 
Considerados o marido dessas mulheres e o narrador, 2802 iam então 
a St. Ives. 
 
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 10/13 
Exercício 2. No áudio Pensando em Progressão Aritmética, foi dito que 
a Alice diminuía 30cm a cada vez que bebia a poção mágica que ela 
encontrou. O áudio Pensando em Progressão Geométrica, 
paralelamente, contava que a Alice tinha sua altura dobrada a cada vez 
que ela comia um determinado bolo. Se a altura inicial de Alice era de 
1,60m e ela perdeu altura até atingir 10cm, quantos pedaços de bolo 
ela terá de comer para voltar a sua estatura original? 
Solução: A altura atual de Alice é 10cm. Precisamos, portanto, 
determinar um número natural n tal que 2n⋅10 = 160. Encontramos, 
facilmente, que n = 8. Logo, Alice precisa comer 8 pedaços de bolo 
para voltar a ter 1,60m. 
 
Exercício 3. Nas mesmas condições do exercício anterior, se Alice 
cresceu até 6,40m após ter comido dois pedaços de bolo, quantos 
goles da poção mágica ela precisaria tomar para voltar a sua altura de 
1,60m? 
Solução: Estamos trabalhando com a progressão aritmética 
(640cm, 610cm, 580cm, 550cm, ...) 
de primeiro termo 640cm e razão -30cm. Usando a expressão do 
termo geral de uma progressão aritmética, queremos encontrar n tal 
que 
160 = 640 + (n-1)⋅(-30), 
pois, assim, saberemos que Alice precisa beber n-1 goles da referida 
poção para voltar a ter 1,60m de altura. Precisamos descontar uma 
unidade de n para achar o número correto de goles a serem tomados 
pela Alice, porque, do contrário, após tomar o primeiro gole ela 
continuaria com 6,40m de altura, o que não deve ocorrer. Resolvendo 
a equação, encontramos que n = 17. 
 
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 11/13 
Exercício 4. Com a combinação dos efeitos da poção e do bolo 
descritos no primeiro exercício, é possível fazer com que a Alice atinja 
uma altura de 8,00m? 
Solução: Para que a Alice fique com 8,00m de altura, ela pode, por 
exemplo, tomar dois goles da poção, atingindo assim a altura de 
1,00m e depois comer três pedaços de bolo, dobrando sua altura três 
vezes seguidas. 
Agora, vamos sugerir alguns exercícios mais sofisticados sobre 
progressão geométrica mas sem relação direta com o contexto do 
áudio. 
Exercício 5. Qual é o limite da expressão 
, 
onde x é um número positivo, quando o número de radicais aumenta 
indefinidamente? 
Solução: Notando-se que 
 
pode-se escrever 
. 
Mas 
 
e, assim, curiosamente, 
 
ÁUDIO 
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. 
 
Exercício 6. Mostre que o produto dos n+1 primeiros termos de uma 
progressão geométrica de primeiro termo a
1
 = a e razão q positivos é 
a (n+1)-ésima potência da média geométrica dos termos a
1
 e a
n+1
, isto 
é, 
, 
dados a > 0 e q > 0. 
Solução: Denotando o referido produto por P , tem-se que 
P = a ⋅ aq ⋅ aq2 ... aqn-1 ⋅ aqn, 
ou então, 
P = an+1 ⋅ q1 + 2 + ... + n-1 + n, 
ou ainda, 
P = an+1 ⋅ qn(n+1)/2. 
Desta forma, 
P = (aqn/2) n+1, 
de onde segue que 
P2 = (a2qn)n+1=(a⋅aqn)n+1=(a
1
⋅a
n+1
)n+1, 
os seja, 
, 
 
ÁUDIO 
Pensando em progressão geométrica 13/13 
como queríamos demonstrar. 
 
Sugestões de leitura 
L. Carroll (2010). Alice no País das Maravilhas, Publifolha. 
L. Carroll (2010). Alice Através do Espelho, Editora Scipcione. 
G. Iezzi e S. Hazzan (2004). Fundamentos da Matemática Elementar: 
Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas, vol. 4, Atual Editora. 
 
Ficha técnica 
Autor Douglas Mendes 
Revisor Leonardo Barichello, Carolina Bonturi 
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva 
Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 
Universidade Estadual de Campinas 
Reitor Fernando Ferreira Costa 
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca 
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Diretor Jayme Vaz Jr. 
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira