Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
9 % Já 39? .? g ª i ª . $ U . n h l l n r l . [J u n : f i Mª,? ffââ wmª && mªs" 1tll.J-3dunrard & Teoria dos. números,“ para professores domain) fumam-mta] [rerum eletrônica] ! E d S. Wall ; adução: Roberto Cataldo Casta ; revisão têaúca: Katia SmbcuSmde; —Da.dus eletrõlúm — Porhnàlegrec- Ah.-[GH, 2014. Editado em livm impresa ana)“. ISBN 9338053536 1. Mamma-Teammm.lmwtáli£a— EnsinoúmdamenhLLTímln. CDU 5113733 m m m m m a m - M W M EDWARD S. WALL City College de Nova York teoria dos números para professores do ensino fundamental. Tradução: Roberta Cataldo Costa Revisão técnica desta ediçãº: Katia Stocco Smnle mamª .e Mestre em Educaç㺠(Ensinº dº Gªmªs “ mmm) pela Universidade de São Paulo (USP) Coºrdenadora do Grupo Mahum. Versao impressa“ desta obra: 2014 .AMGH Editora Ltda. 2014. Obra-originalmenm publicada sob o Iftuln Number Theoryjbr Elementary School Tm, Ist Edifím ISBN DD733TBQTX j' m a m a Original edition copy-light © 2010, The McGraw—PE]] Cbmpmúes,1uc., New Yºrk. New York 10020 All rightsreServed. Ppa-tum language tramlah'on copyright' © 2014, AMGH Editºra Ltda.-, a Gmpn A Edmaçâo S.A. company. All rights reserved. Gerenteedilam-ial : Isaiah Bispo de Em Caliban-axam nest: ediçãn': Edíhdra: Livia ÁHgnyer Pmifng Capa: MãrdaMnnticeHí Imagemda capa: © 8 t a fR—D—M—A, Falling amnha-s Preparação cie-originais: Gabriela Wma'mmk Huck umª final: Çrisifne HW Seam Reservados nados os direita de' publicação, an língua penuguaa, à AMGH EDITORA LTDA., uma parceria entre GRUPDAEDUÇAÇÁD SLA. “e M&RAW—HEL EDUCATION Av. Jerônimo de Omelas, GTD — Santana Warm - Porto Alegre - R5 . Fone: (5113037000 Fax: (51) sai?-7070 Éproibida a duplicação ou reprodução deste volume, na badu cru em parte, sob quaisquer formas ou por-quaisquer meios (eleh'ônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuiçfâam Web e outros),. sem pemússãn apressa da Editora. Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10.735— Pavilhão 5— em Espace Cél'tter Vila Anastácio— 05095-035— São Paulo— SP Fone: (11) 3665-1100 Fax: (1113561333 SAC 0800 703—3444 — wwmgrupnaâomhr musse NO BRASIL rºma IN BRAZIL Para Malcolm Dada Wall, como prometi Prefácio ste livro foi escrito para plea-acha uma lacuna que parece ade-tir no currículo tra- dicional de matanáíica & educação matanâiica, para estudantes de licenciatura,. voltados ao ensino fundamental. Especificamente, vejo um hiato entre as disciplinas de matemática com foco na compreensão e prática dos estudantes de licenciatura & respeito da matemática presente no aurícula fundamental, bem como no aprofun- damento de sua compreensão e prática a respeito dasfanms de ensino da matemática na exala básica. No momento, tudo o que «é"-aprendido parece ser leíberado de forma ineficaz durante todo o currículo de licenciamta. Os estudantes recebem formação matemática isolada das realidades de aprendizagem que as crianças têm da matemá- tica, bem como uma formação em aprendizagem de matemática por crianças que-& isolada das realidades da estrutura da matemática que está sendo aprendida. Esse hiato pode ser superado levando-se a sério a ideia de integrar conhecimen- to do conteúdo e conhecimento sobre o ensino da matemática. Por exemplo, talvez seja possível mesclar, nas experiências curriculares de licaaciatura, um conhecimentº substancial de mahemâiica & dos aspectos da aprendizagem de mahemáiica das crian- ças que são relacionados ao desenvolvimento. Este livro pode ser visto como um passo nessa direção. De certa forma, foi construído com base no modelo de alguns dos livros sobre teoria dos númerºs para graduação da década de 1940, por exem- plo, :: de Oystem Ore (1984), no sentido de que o tema é semelhante e há referências históricas razoavelmente bem desenvolvidas. A diferença básica é que, neste livro, as 3332525 para se trabalhar um determinado tópico estâo vinculadas concretamente — muitas vezes por meio de pequenas narrativas — ao trabalho e ao pensamento mate- mático que as crianças estão desenvolvendo nas salas de aula. Assim, a obra aborda,. diretamente, grande parte da matemáiica dos anos iniciais, e o faz de uma maneira que proporciona motivações relevantes e pragmálicas para Examinar mais pmftmda- mentea matanãtica deases anos, ao mesmo tempo em que dá ao leitor algumas dicas sobre sua estrutura mais profunda. Este não é um livro para ser amplamente lido. Ele foi criado para ser irab'aª Ihado. Ideias matemáiicas não são 355t para serem repetidos mperficialmcnte; Em vez disso, é preciso se envolver com elas & explorá-las, pois são feitas para se- mem atendidas em ação. Muitas vezes, o fazer matemático se torna um pouco como atravessar correndo um belo parque só“ porque é um atalho para :: nom destino. Ao contrário da criança que anda lentamente, nós raramente nos demoramos & examinar uma flor especial ou caminhar impulsivamente por um desvio tortuoso. Economiza- mos tempo, mas a nossa experiência é amputar—acida. VIII Fretado Assim — e aqui parafraseio Deborah Loavenberg Ball (1992) - escrevi este livro, em parte, para abrir os olhos dos pmSSDI'ES & estudantes de licenciatura para as im- pressionantes capacidades matanáticas das crianças a quem miriam - crianças que, na maioria das vezes, assimilam, em apenas alguns anos, a matmática que homens e mulheres inteligentes levaram séculoa para entender. Tendo em mente & exuberância que muitas vezes as crianças trazem para a matemática (SILVER; S'I'RUI'CI-IENS; ZA- WDIEWSKI, 1997), também escrevi este livro para da: a esses mesmíssimos professo- res mais prazer em seu próprio fazer maten'LáHco. Talvez ate livro venha a estar entre aqueles que irão “[...] abrir a matemática a estudantes de licenciatura e professores da forma que merecem & da qual precisam” (BALL, 1992, p. 30). Talvez, à medida que eu for tentando, em minhas próprias aulas de metodologia de matmnática, "abrir portas à aprendizagem de matemática pelos estudantes” (BALL, 1992, p. 30), este livro leve meus alunos além dessas minhas tentativas - um pra-zer que está na própria essiênda do processo educativo. AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer; entre outros, at.-Deborah Ioewenberg Ball, que tomou este li- vro provável. & a Alfred 5. Primaz"; que o tqmouposahrel Edward Ei. Wall City College de Nova York. REFERENCIAS BAU... D- I.. The permutatím prºject: mathematics as reuniu! Farhamingzand reading. In: M - -NEN15ER, S.; FEATl-[ERSTÚNE H. (Ed.). Eprr'nglmhíng: rainmlting En ”Introductory Baume. NEW York: Teachers College, 1991 DRE, CI. Number Meng and its history. New York: McGraw-HilL 1943. Sil-VER, E. A.; STRUTCHENS, M. E.; ZAWOIEWSKI, ]. S. NAE? Ending: regarding racefethnidty and gen- der: afãective issues, “WEISS perfomance, and ínstnmtinnal canttxl. IruKENNEYÇ P. A.; SILVER. E. A. (Ed]. Ramp-um Hu Sidi! mmm: amami-rent oflhe trariam! mmm! cp'aiumll'oml Fragma". Rºam. Natimal Cmmçjl of Teachers of Mad-semanª, 1991 p. 33-59. Sumário Introdução 11 Números no mm'tdo cotidiana _ 11 Dsnúmemsna saladeaula 12 Teoria dos números 14 Capitan 1 Explicações e argumentos matemáticos 17 Raciocínio e pro—Ja a pariir de uma perspedíva Mstórica 18 Raciocírúo & prova a partir de uma perspecliva. do desmwolvimentõ' ”19? Variedades de prova 19 Capítulo 2 Contagem e registro de. números 27 Os números e a contagem & para de uma perspectiva histórica "27 Os números e a contagem 3 pariu“: de umaperspectiva do deaenvohfimàltp 29- A arte de contar 30 Sistemas numéricas posicicmais 35 Grandes m'uneros 38 Capítulo 3 Adições 41 A adição a partir dº uma perspectiva Histórica 41 A adição a para: de uma perspectiva do desenvolvimtn 44 Algoritmos de adição de números mteiroa 46 Séries aritméticas & núma'as figura—dos 51 Problemas mdeteruúnados 55 Capim» 4 Diferenças 51 A subtração & partir de uma perspectiva histórica &] A subtração a partir de uma petspecliva do desmvolvimentn 64“Algoritmos de subiração de números inteirºs 67 Números negativos 71 Capitulo 5 mamas 79 A mdtiplicação a partir de uma perspectiva histórica ?9- A multiplicação a putir deuma perspectiva do desenvolvam 83 Algoritmos de multiplicação de números inteiros 85 Números primos e faburação &? 10 Sumário Bapíhúu & Divisibilidade & restos 94 A divisão a partir de uma perspectiva histórica 94 A divisão a partir de uma perspectiva do desenvolvimento: 98“- Algoritmos de divisão de números mteíltjs 100 Aúbnéiicado relógio & modular 102 Regras de divisibilidade 106 Aprova dos nove 10? _ _ . Problemas Mda-terminadas, mais uma vez 199 Capíhnu ? Frações 112 As frações & partir de uma perspectiva histórica 112 As frações a pam] de uma perspectiva dó desmohrimaim 114- Alitmética de frações 115 Razões & pmporcionalidade 125 Capítulo 8 Decimais 130 ( 3 d apartir deuma perspectivalústórica 131] Os decimais a partir de uma pmpecúva ,do desmvolvimmto “131 Aritméiíca decimal 1-33 Decimais infinitos 135 Bapílulu !! Números mais 140 Os números reais a part": de uma pmp'eetiva histórica 142 Os números reais a parm- de uma perspectiva do desenvolvimm 145. Aritmética com os números reais 146 Teorema de Pitágoras 149 Frações coauas 152 Capítulo 11: Númerºs transamos 156 O inãiníto a partir de uma perspectiva histórica 156 . D infinito a partir de uma perspectiva do desmvolvímmbo 157 Variedades do iaito 159 Aritmética com números infinito»: 164 Apêndice Ferramentaspam'a compreensão 169 Índice 175 Introdução :arte cla-ariimélica, ao que parece, faz par-te de nossa herança genéh'ca. Os bebês, a 6“ mês, demonsh'am uma capacidade de reconhecer um pequeno númem de objetos - dois ou três — e de "[...] combiná-los em adições & subtrações almentares.” [DEHAENE 199% p. 62). Essas dispºsições (como ao levantar três dedos para indicar o terceiro aniversário) se mantêm durante a primeira infância, os anos iniciais. Mas, hifelizmente, & por razões que ainda não são totalmente compreendidas, mtereªase 'e curiosidade 5ão muitas vezes substimídos por frustração :! tédio noa anos mais avan- çados do maine fundanenial. Ao mesmo tempo, a relação cotidiana de uma criança com a aritmética é condu- zida, como tem sido ao longo da história registrada, pelo cmnéncio. Está no dinheiro, na compra de alimentos, em como se pesa um quilo e em como se mede um mtf- metro. Essas influências podem ser ainda mais podemsas do que as vivmciadas “ª escola. Consideremos. & seguinte história.1 Pedro é aluno do segundo ano e é bastante proficiente em escrita, contagem e adição. () aniversário de sua mãe está chegando eeIe quer comprar um presente que custe 2.5 cent-aª vos. Eia vai gtmrdando & mad-a &, no grande dia, entra na loja, dirige-se ao proprietário.. :apontn ,o objeha em quesEo & mioca-Cuidadosªmmte mas moedas — duas de ] aventura e uma de 5 — sobre _o balcão; Odone dalojaoll-u paraodinhe'uoedíz: “Mai-hem ?eenlavuslsao custaZS Gautama”. Neste mommtn, Pedro se depara com o valor posiciona]. Seu desempa'lho obe- diente & hábil em matemática de atº ano é cotado'eom as necessidades da mata- m'átiCa do comércio. Pedm, sugiro, não & atípico. uúmmns no mumu commo Já se disse que a escola existe, em grande parte, com a finalidade de sociabilízaras crianças: e, com um olho na vida adulta, formar habilidades cruciais, como leitura, anita e aritrnéh'ca. Embora se saiba que a falha de habilidade em arihnéiica impõe obstáculos ao exercício de muitas profissões, não está claro qual é a relação enim o domizúo da arihnéiica escolar e o sucesso adulto no comando. A edamadora matem᪠12 Edward S. Wall tica Marilyn Burns escreve sobre uma conversa com uma amiga, Bárbara, que “é uma bem-sucedida decoradora de inteúores: “Nunca fui boa em matemática", ela me disse uma vez. "Sºu muito grata porter um traba— lho-que n㺠depende de matemática". ' Olhei para ela com espanto. Para fazer seu trabalho. ela temde medir as din-lensões-de quartos em &mção de pisos e papai de parede,. mic-uia: meu-agem para cortinas & estaiadª.- calmlar o custo das mercadorias e preparar orçamentos para clientes, incluindo 85 pm- oentagens por seus serviços. já vi Bárbara avaliar o tamanho de saias, seus olhos correndo de um lado para o outro quando ela calculava mentalmente a área do chão, o pé direito, a colocação de janelas e portas, sugerir & quaniidade, (: tamanho e a proporção dos móveis, preparar uma estimativa de orçamento que é surpremdentemente próxima do custo mai. Wmciel isso de perto quando mmodelamos nossa casa. Ela não sabia nada de matemáti- ca? Do que ela estava falando? Perguntei a ela. "Ah. isso?”, ela disse, “Isso é fácil. São-aquelas páginas dos problúnas dê matemática no livro que eu nunca conseguia fazer." (BURNS, 1998). Amatemáíica de Bárbara e Pedro é a matemáiíaza do mundo cotidiano, por isso, muitas vezes, é aprendida por meio de algum nível de tentaiiva & erro. 1550 é típico deSsa matemática como era típico da maioria do fazer matemático até meados do sé- culo XIII — com a notável exceção, no Ocidente, de um bme período de história grega (HDYRUP, 1994]. O que acho hiteressante emtudo isso é que a experiência matanáli— ca coiidíana de Pedro, em certo sentido, traz compneensãn à sua experiência mola]: E a experiência matemática coiídiana de Bárbara, embora pareça ter pouca nelação com as páginas das qmis ela SE lembra em seu livro de matemática, traz compreensão à profissão escollúda. Tanto Bárbara quanto Pedro parecem estar em um ponto em que adquiriram, às suas próprias maneiras, uma compreensão mais profunda do uso da matemáiica. Eles têm, ou estão desenvolvendo, fluência com cálculo. os uúmenos NA SALA DE AULA Não quero dar a impressão de que a matemática da .sala de aula não tem nada a ver com a matemática da comércio; é dam que ela tan muito em comum com a mata- mática da miidiano, mas n㺠está claro como a matemática da sala de aula se trans- fere para além das fronteiras da escola (LANE, 1985). Este hiato sugere a alguns que as professores devem fazer um esforço considerável na hat-ativa de contextualizar a matemática, tentando tomá-la realista e, portanto, relevante. Isso, contudo, pode ser uma annadilha. O cºntexto miar, em si, é um pouco artificial, e talvez propor,.- dune necessariamente poucas experiências realistas de úda, em temas relativos. As aianças não atão necesariamente senda equipadas de forma dina-ta, por Sua expe- riência escolar, para se envolverem em decoração de hteriores, agricultura, venda de damas-, produção de roupas sob medida, ou para & cuiocação de um pixel em uma tela de cmnputadar. Em vez disso, estão sendo bastante preparadas para 355111115: posições de responsabilidade em uma saciedade altamente temnlógica. Espera-se que estejam sendo instruídas a serem cuidadosas & criativamente críticas. A forma precisa como isso se dá ainda não se conhece, mas vamos começar por considerar a ségujnte história. Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 13 Seriaumdiamaisoumenos típicoem umasala deaulamaisoumenostlpicamomos Salum mais ou manos típicas. Mas não. foi. Meus emita—semearam com uma série-de perguntas simples que me deixaram sem respºsta. "Professora Smith, de onde vêm oa números? Quem invenhnu :: mem?" ”Eles vêm do passado", balbuciei, mal esmndendo & minha ignorância. "A senhora pode nos dizer como os rºmanos fizeram a conta deles?", perguntoumm ”Vizinho hentando fazer mulúplicação com números re:-manca faz diªs, e não chego a lugar nenhum com isso." "Não dá para fazer contas com 85925 números", interrompe outro aluno. ”Omeupámedimequeoammamsfaáammtasmmmmmmm ábaco." (]FRAH, 2000). D que se faz em um caso como esse? Uma resposta que leve em conta respeitosamente ase tipo de perguntas dos ' aluna precisa refleiir uma matemática escolar que vai além da aprendizagem pro.- cedimental mecârúcaº e inclua uma hua quantidade de comprem-[são cºnceitual A forma comº o professor deveenquadrar tudo" 1550, na era pós-moderna de hoje, pra- vocou um debate acirrado nos últimos tempos. Nº entanto duas coisas se destacam Em primeiro lugar, a maioria das criançasª pequenas vem às nossas Salas de aula com um imenso talento matemático. Esse talentº, como demonstram na almas da Estória, baseia-ae tanto em conversas matemáticas com pais 2 pares quanto em suas próprias experiências de matemática. Não obstante, nós, os professores, muitas vezes parecemos prestar pouca atenção .ao queascrianças estão pensando. Se-uma crim'ça insiste Em'q'ue 200 — 12) 190 :argummtando que 0 menos (] é O, que você não pode tirar 9 de El, então deixa o ª, e-que 1 menos 1 é 1, então há de fato a necessidade de inhewir. Mas pode ser que “a abordagem "que deva mudar seja a do próprio pmféssor! Ouvir com respeito, ouvir, mesmo que você tenha comichão para falar, incentiva a receplividade & a discussão produtiva. Não surpreende que a escuta que acmtece como uma armadilha possa gerar desconfiança :! antipatia. Em segundo lugar, a capacidade de ouvir com respeito & matemática do aluno do ensixm fundamental pança deriva: do conhecimanto e da apreciação que a pessoa tem acata dessa matemática. A professora Smith parece ignorar :) desénvolvimentc histórico da matemática. Em vez de aproveitar & nporhmidade que as pergunlas de seus alunos oferecem para discutir zero, sistema de posições. ou eu algoritmo con- Vencional de multiplicação, ela não consegue fazer muito mais do que suspirar. Infe- lizmente, esse conhecimento e essa apreciação também são raras em matemáticas e professores do emma fundamental. Talvez seja porque, para os adultos, o que antes “era novo e desafiador parece agora óbvio ou até mesmo tedimo. Ao ensinar aritmé- tica raramente falamos da história do trabalho com númems ou da emoção de uma comprem-ão profxmda da matemática &mdammbal. 14 Edward $. Wall TEORIA nos NÚMEROS Com tudo isso eu mente, este livro é; basicammte, uma exploração da matemàíita- da sala de aula no ensino fundamental. NESSE sentido, & dh'igido, em essência, para examinar os fundamentos dessa matemática, para que você, professor,. possa reava- liar sua compreensão e a de seus alunos dessa matemática. Tentei mesclar & matemá- tica de sala de aula e a matemática do colidiano em um todo informativo e, depois, reexaminar os princípiºs que lhe dão vida. Algumas vezes, isso me levou a detalhar a estrutura de um determinado algoritmo no contexto do que ele implica na do im- pressionante desenvolvmnto matemáiico das crianças. Outras vezes, levou-me & examinar o desmvolvimaato desses algoritmos & seus paralelos no atual currículo escolar de matemática. Seja qual for a abordagem que eu asauma, concluo que a matemática que abordei foi mamar enquadrada por uma teoria dos númaos que anteceda Pitágoras — uma teoria dos números. em que a própria teoria dos números e a matemática do comércio sejam ludicamate mtegradas ao que tem sido chamado de matemáãica recreativa. Oystem Om (1948), entre outros, parece atestar essas conexões em sua dismss-ãode “Problemas intermediários”, como ele se refere-ao curioso cálculo Casas 7 Gatos 49 Camundongos 343 Espigas de Iriga 2.461 Medida Hekat ”16.807 Total 19 607 que aparece na papiro de Rhmd (cerca de 1550 a (L),. e a um prbblema na Libzràbâci de leonardo Pisano (AD 1202"):5 Setevelhasna estrada para Roma. cadauma temselae mulas, cadamtúa mmgaseiqemqs, cada sam contémsete pães, cºm cada pão há sete facas e cada faca está em sete bainhas. Quantos objetos há, entre mulheres. mulas, 53005, pães, facas e bainhas? Dickson (1952, 13.3), & ease respeito, ressalta que :: bateram na teoria dos númems é- “[...] compartilhado, em um eXtreme, por quase todos os matemáticos conhecidºs e, em outro extremo, por húmeros amadores atraídos por nenhuma outra parte da matemática.” A matemáiica recreativa, embora não necessariamente retrata a vida ou o real, continua a fornecer contextos envolventes para explorar a matemática Por mais de. um. século,. houve o Ladies Díaryf cujo subtítulo declara: "Contado nºvos avanços nas ARTES e nas mangas e muitos casos MERESSANTES: voltado ao USO E A DIVERSÃO Dº Bem saxo”. Havia os enigmas matemãlícos de Sam Lºyd,7 publicados no Brooklyn Daily Eagle (1890-1911) e na Warmn's Home Companion (1904-1911). Havia'a column de Mal-En Gardner na Scientyíc American, "Jogqs Mtanãticas" que foi de 1956 a 1986. E hoje existem alguns dos migmas manas que vão ao ar na Car “Hill: da National Public Kadimª Recentemente, visitei a minha mãe & parcelamos que os dois algarismos que mmpõém a minha idade, quando inverlidoa, muitavam na idade dela. Por exemplo. se ela tem ?3, tenh037.Nósm5perg|mtamos quantas vezesissoaconteoeuaolongoáosªms,masms dislraímns'mm outros assuntosenãochegamosa uma resposta. Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 15 Quando cheguei em casa, vi que 05 algarismos de nossas idades foram reversíveis seis VEZES até agora. Também vi que, se tivermos sorte isso tria acºntecia novamenhe daqui & algumsanúse, se tivemos muita sorte aconteceria mais uma vez depois disso. Emantras palavras, teria acontecido oito vaza ao todo. Então. & pergtmta é: que idade tenho agora?- 0 fato de que essa matemática não faz parte“ da nossa experiência cotidiana é irrele- vante. O mata-lático Richard Guy teria dito: º ”Na verdade, a maior parte da mata- mática sempre foi recreaiiva" .Apenas uma núnúsmúa fração de toda a matemática é realmente aplicada ou usada." Esse lipo de oúmtaçãn Significa que, dependendo do leitor; possa ter tocado em perspedivas matemáticas anteriormente inexploradas para sugerir as profundezas e delícias naquilo que pode parecer matematicammte mundano. Tentei manter & mani- pulação de símbolos ao mínimo — oApêndice pode ajudar na hterpretaçâo daqueles que não aparecem - mas-os símbolos são uma parte essencial dua-fam matemático, já que, em nome da eficiência, ele evoluiu para se tomar muito visual. NOTAS 1.. Esm história'éda ditªda de 1950. 1 Suspeito que havia-algum uniªm-dido 36h10 os“ Mªcunaíma! 8 WWW, Ser MPM-Blu bem-lm prmedimmtajs geralmente iru-Jul alguma mmPreemãn maceihml do porquê! da quise atá fazandu. 3.- Embora possa haver exceções mºtiveís, elªs são muito pºlias. _ 4. Para uma discussão sobre isso,-ver MA, L. Kunming md hacking cleaning mafhmlícs. Mahwah: Ell- haum, 1999 5. Uma vers-ão mais recente desse prot-Bem:: envolveu signihmdn da palavra Encontrar Ela mm:??? mm: “WmmvaindnpàmSt Ives. mnheíumhonmncomseteespoaas't etermímmm: ”lnmz estavam indo para St. hein?". 6. Publicado pela primeira vez em ITD-1. SheIIy Costa faz uma análise intrigante desleímmsem The Ladies Diary: gender múmatícs, and dw] society in early-eightemth—cmmry England. Edmar and Cívil Sade- ty,Osi1-ls, BdE-tries,“ 1? 1149-173 2002. ?. Wer por ampla, GARDN'ER, M. (Ed JL Muhammad“ puzzhs afSam lpyd. New York: Dom, 1959. H.. ligeímnunte adaptado d: um enigma mumu dnarqlúvo dé Car Talk .tF/iwww. mªm). 9 “qa http: ”www mam-g REFERENCIAS BURNS, M. Math: facing an American phobia. Sausalito: Math Solum-1998, DEHAENE, S. "DE number sense. New York: Oxford University, 1997. DECKSÚN, L. E History qHH: ”mary qfnmnbfrs divisibility and prinmllty. New York: Dªsa. 19%. PEDYRUP, ]. Mmsum, number, und might. Albany: S'UNY, 1994. IFRAH, (3. The universal history qambers. New York: Wiley, amo. [AVE ]. (bgnílipu in practice. New York: Cambridge lhúveraity, 1988; ORB, O. Numb“ theo and its history New York: NkGraw—Híl]. 1943. C A P Í T U L O Explicações e argumentos matemátlcos 1 Este capítulo trata da arte das explicações e dos. argummtos matemáticos. Primei- ramente, analisará essa arte em bermas de sua história e seu desenvolvimmto &, depois vamos dar uma amada mais de perto em algumas da formas mais comum de explicações. e argumentos matemáticos que caracterizam a noção moderna de pro- va. Meu objeiivo não é ensinar a prova em si — embora peça, aqui e em capítulºspos- teriores, que você benta fazer uma prova — e proporcionam introdução modesta-às habilidades de desenvolvimento e leitura de provas. Para preparar o terreno, pºr assimdizer, comecemos com & hiatúria curta de uma sala de aula da educação infantil. A professora Anakin-Page vem usando blema de montar para ajudar seus alunos a ampliar e desenvolver seu sentido de espaço. Nes- ta história, ºuvimos como a professora pergumta aos aluno:; o que aprenderam hoje (ANDREWS, 1999). José levanta a mão freneticamente, exclamando: "Consigo provar que um triân- gulo é igual a um mmdmdo". A professora pede a ele para contar mais à tun-ma 'Sºbre sua descoberta. José vai para o canto onde estão os blocos e retorna Com dois meios blocos quadrada, dois meios blocos triangulares & um bloco retangular. Q I L I ; "Olha só", ele diz com orgulho. “Se estes dois [Mªntª 05 1115359995 (Imª? tiradas] são os mesmos que exite [levanta o bloco retangular]. J ". €] e estes dºis [ªgora levanta os meios blocos triangularesl são 05 mesmas que este [levanta o blu-co retangular de novo], este quadradatem de ser o mesmo que este triângulofllevanta o meia bloco qua- drada e o meia bloco triangular)!" I M , 1ª Edward S. Wall Embora a maneira de 10515 falar — sua aHrmação de que “as formas eram “iguais-" —-não seja maiematicamente correta (por exemplo, as fama não são conga—umªs), fico intrigado com a sua explicação e seu uso do termo prom. E se, por exemplo, ele. tivesse dito: “A ánaa deste quadrado é igual à área deste h'iângulo porque cada um deles é metade da área do mesmo retângulo maior”, e continuasse com sua demons- tração? Em que saludo isso pode ser considerado uma-prova ou, pelo mmm, uma. demºnstração convincente? RACIOCÍNIO E PROVA A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA A história das explicações e dos argumentos matemáiicos é complicada pelo fato de que aquilo que hoje aceitamos como paradigmático da prova matemática é uma me- todologia que surgiu por volta de 300 a. C., em grande parte graças aos esforços de Euclides de Alexandria. No entanto, como indica a Figlua 1.1, as civilizações da Índia e da (CJ-lina prºduziram muito, em termos de explicaçõea e argumentos matemáticos, daquilo que Euclides, muito possivelmente, mais tarde cºdificam em seu Os elementos. Um exanplo & seu anunciado e suas soluções para o que veio a ser conhecido como Ibarama de Pitágoras (mn um h-iângulu retângulo qualquer, a soma das áreas dos qua- drados construídos nos catetos é igual à área do quadrado constmídn na hipotenusa]. A luz de Os efemmtos, de Euclides, os argumentos e explicações anteriores de- vem ser consideradas demonstrações r:amHran-mtas.1 Isso porque, como obsewa José (1994), há uma diferença assumiria] exame: a prova indiana (upnpnffis) e a prova gmga (madeixa). O obieliva de um estudioao indiano em convencer o aluno inteligente da validade, de forma que umademonstração visual era uma forma aceitável de argu- menta. A apadeixis grega, par aum: lado, ainda que muitas vezes incluísse uma de- monstração geométrica, era construída a part] de axiomas selecionados e se baseava- na lógica pmposicional. Ambos, argumenta josé, empregavam a dedução lógica. FIGURA 1 .1 Dmvohdmto-matanátlco duram a-ldada das Trevas. Fam: Adamdo daJGSEPH (1991. p; 10). Teoria dos Números para Frofaesores do Ensino Fundamental 19 RACIOCÍNIO E PROVA A PAR'HH DE UMA PERSPECTIVA DO DESENVOLVIMENTO Como já indiquei a noção de prova ocorre muito cedo no desmvolvimento de uma pessoa. José nosso aluno da educação infantil certamente apresentou uma demons- tração convincente— que depende da forma dos blocos, da forma dos quadrados e dia forma do retângulo produzido. A abordagem expeúmmtal de José à prova é um tanto típica do que se vê na cun-indo do ensino &mdamental. Consiga provar (11195 é à soluç㺠Pªrª 3 + ? = 8 experimentando números de la ID,. De certa forma, nos primeiros anºs, não Plá-néces- sidade de empregar mais do que um processo de tentativa e erro com reflexão. Mais ou menos na 3º ano, cushnna' acontecer uma mudança na eficácia patebida do método de tentativa e erro. As habilidades de contagem de crianças se desal- volven'l até o ponto onde elas começam & pemeber que “os númems avançam para sempre". Enmmiados como: Um número par mais um númem ímpar é igual a um númeto'ímpar embora demonstráveis Para números de tamanho moderado, não o são quando “se um de" númª'os verdadeiramente grandes. Muitas vezes se pede que as crianças acreditem na estrumra de um sistema que já não podem contar nos dedos. VARIEDADES DE PROVA Discutimi, de forma breve, quatro variedades de prova: a prova por exaustão,- & prova por posmlados, & prova por indução & a prova por contradição. Essas variedades difem em sua estrutura, mas têm pelo menos três coisas em comum. Exigem que você — a pessoa que faz a prova — tenha obs-avaria algum tipo de padrão Sistemáiico (por amnplo, josé observou que dois triânguloa & dois quadrados formam um de- hernúnado mtângulo). Elas demandam que você faça algum lipo de enunciado sobre o padrão que vê. (Nos anos do ensino hmdamenta], isso cosmma ser chamado de cºnjectura, mas afirmações mais fortes incluem proposições, preceitos ou rms.) E “exigem que você defenda essa afirmação de forma lógica. Prova por exaustão Aqui está um problema (BALL, 19923-que-padª ser aptàmtadá-em uma sala de aula do 3“ ano (de forma reduzida em uma sala de?“ ano, e ama-[tada no 4“ ano e depois dela): Tenho moedas de1.5e1£] outtavosmbalsompegotràdelas. Qumssemmasdlfemnhes quantias que eu poderia ter? 2.0 Edward s. Wall P R O B L E M A 1 . 1 Escreva este praama em uma folha de papel. Feche este livro e experimente. em principio. sua própria soluç㺠sistemática. Se você for tentado a pular este passo (cm ignorar qualquer um dos problemas deste livro). lembre-se de que a matemática é algo que você #92, não é algo sobre o qual você simplesmen- te reflete. Nisso. é um pouco como a natação. Não é uma boa ideia pular na água pmãunda sem primeiro praticar as braçadª entire as quais já leu tanto. Uma solução possível (com alguma ajuda do professor para montar as iabelas) pode assumir a forma mostrada na Figura 1.2. Como você pode ver, há dez soluçõa para este problema. Mas isso é tudo? Na verdade, você pode provar que só existem dez? Quando fiz esta pergunta, os alunos muitas vezes responderam que tentaram várias combinações, mas que, depois de um tempo, começaram a se repeti; Outros dizem que eles e seus colegas têm o mesmo número de soluções, de modo que essas devem ser todas as possíveis. Esse iipo de resposta pode ser um pouco convincmte, mas não é uma prova. Preciso de algum lipo de apresmtação padronizada que fomª- çaa base para um argmnmto convincente. Que tal a Figura 1.3? Em referência a esta segunda solução, observa que as alternativas São: nenhuma moeda de 10 centavos, uma moeda de 10 cantavos, duas ou três“ moedas de 10. centa- vos. Assim, tenho quatro casos, 1. Nenhuma moeda de 10 centavos. Bom, umha, no máximo, três moedas de 1 catava. Então, começando com essas hà moedas, troco, passo a passo, cada moeda dé 1 centavo por uma de 5, e obtenha exatamente quatro combinações. 2. Uma moeda de 10 centavos. Termo no mázdmo duas moedas de 1 catava. Então, começarão com essas duas moedas de 1 centavo,. troco, passo a passo, cada uma por uma moeda de 5 centavos. Úbbexúm exatamente três combinações. 3. Duas moedas de 10 centavos. Tenho no máximo uma moeda de ] centavo. Então, começando com 2553 moeda, truco, pasan & passo, cada centavo por 5 cmtaws. Obtenha exatamente duas combinações. 4. Ihªs ”medas de 10 centavos. É apenas uma combinação. 1 centavo 5 centavos. 10 centavos Total 1 1 1 16c - _3. — 1'5'c '! — 2 216- _2 1 — ?a 2 - 1 120 - - 3 350: 1 2 - Hc — 2. 1 EDC" - 1 2 & 3 - — ªc FIGURA 1.2 maneira solução para três moedas; Falae: Ei!-autºr. Teoria dos Números par-'a: Professores da Ensino Fwdamantal 21 =];cªntava 5 centavos 10 centavos“ Tobi 3 - - Se 2 1 - 7:2- 1 2 - 11.3"; _ 3 - 15c- 2 - 1 12; I' 1 ªl 166: - 2 1 200 1 — ;2 21:13 - 1 2 251€ - -— 3 Sºc FIGURA 13 Segunda sºlução para trás mae.-das. Fama: 0 anº:. Assim sendo — e isto é uma típica prºva por exaustão — há exatamente dez soluções para o problema“. Observe que, graças ao padrão, há um sentido em que a minha segimda solução é esteiicamente mais agradável do que a primeira. Além disso, observe que não pre- ciso especificar combinações, porque a solução para o problema pode ser obtida da seguinte forma: Comece com o menor valor - apenas moedas de 1 centavo — e, em seguida, àqueles 3 centavos. 1. Adicione 4 cmt'avos um total de três vezes (? cmtavos, 11 catava, 15 camaras). 2. Adicione 9 centavos para um total de 12 cmtavos, e nestes 12 cmtavos, adicione 4 centavos, um total de duas Vezes (16 centavos e 20 centavos). 3. Adicione 18 centavos (9 + 9) para um total de 21 centavos, e a estes 21 cantatas, adicione 4 cmtavos de um total de uma vez (25 cmtavus]. 4. Adicione 2? centavos (9 + 9 + 9) para um total de 30 cmtavos. Assim, o número total de soluções & 4 + 3 + 2 + 1 = 10. P R O B L E M A L E &. Na minha solução. expiique de onde vêm os 4 centavos e as 9 centavºs. b. Prova que, para quatro moedas. as soluções aão: 4, B, 12. 16. 20, 13, 17, 21, 25, 22; 26.30.31.3554Dcentavoae,édaru.onúmdasoluçóaaáexatamhe5+4+3 + 2 + 1 = 1 ã Provas por postulados Esse lipo de prova — a prova por apndeixís — tende a' ser muito mais eficiente do que a prova por exaustão, porque coatuma pará: de axiomas, deãrúções, e algum padrão observado. Se, por exemplo, quisesse ampliar o problema das moedas para números cada vez maiores de moedas, tuna pmva por exaustão Se tornaria realmente exausti- va. Embora o problema da moeda ae pleste- & apadeixis, apresentarei duas provas por postulados de que Um númeroparmaigumnúmemparéigualaumnúmempar. 2.2 Edward s. wªn A primeira, observei emsalas dual-a de 3" ano; a segunda é mais típica em cursos de álgebra para húclmtes. Ao apresentar uma prova por posmlados, preciso avançar logicamente a partir de alguns fatos conhecidns- -geralmente definições e! ou aadomas- para algum fato novo. No 3“[ ano, a definição mais comum de número par é a contagem de um grupo de objetos no qual cada um tem um parreira. Por exemplo, QQ Lªilª! l_1|=l lÉJLÉI lálLlâl ª . = 1+1 10- - (1+1] + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) Uma prova por posmlados de Cãº-ano & mais-ou mos-assim Um númem & par se, e apenas se, for um grupo de pares. A soma de dois núme- ros para é o mesmo que a combinação dos dois 31111305 de pares. Mas, então, você tem um grupo de pares que, por defhúçãa, representa um númerº par. Aqui está uma prova por poshllados simbólica. Mais uma vez, precisa de uma defi- nição de número pur. Um aluno de álgebra irúciante pode dizer que um número é par se, eapenas se, estiverna forma 2 - n, onde " émnnúmem mineiro. Aprova émaisou: menºs assim: Você tem dºis núnmms pares, 2 — r; e 2 - m,. md'e m cºn São números Bite-iras. A .soma deles zé 2—n+2-m=-2-(m+n) No entanto, como m + n é um númro inteiro,! eu tenha, por “deíil'liçãbª que 2 ª (m + njéumnthmaropar. P R O B L E M A 1 . 3 Prova que um número par mais um número impar é iguala um número ímpar. Dica: Você tem uma definição de número par; você precisa da uma delinição para número ímpar. Provas por indução A linha divisória anne indução matemática e prova por postulados não é'muito clara,. porque a primeira requer raciocínio apadíttico (raciºcínio com base na prova grega, upadeíxís). No entanto, as provas por indução assumem uma forma especial, e são espacialmente eficazes quando desejamos eatabelecet um andado que seja verda- deiro para todos 05 números mteiros. Portanto, vale a pena destacar essas provas em - uma seção própria. A ideia é a seguinte: 1. Demonstra que o primeiro enunciado Pº de uma sequência infinita de amanda"- dos é verdadeiro (a propósito, não é necessário começar com O). 2. A seguir, provo (efetivamente, uma prova por postulados] que, se o enunciado arbitrária P,, na sequência infinita de munciadas :! verdadeiro, como são todós os enunciados anteriores a esse enunciado arbitrário,a apróxima in:-".truçãoP ,, +, também o é“. Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 23 Se Eu puder fazer dessa forma, considerando-se que a minha Escolha do enmmciado P,, foi arbitrária, isso deve aplicar-se a todos os mumiados. Pense a respeito. Diga- mos que haja um primeiro enunciado Pm, na minha sequência que era falso. Nesse caso, o enunciado Pm 'é verdadeiro. No atento, dado o passo 2 acima,.issn leva a uma mnhadição. Examinemos uma prova por indução para-esclarecer um pouco a situação. Cn- meço com a seguinte situação: Tenho um monte de blocos que são vermelhos ou azuis e, usando someme essas cores, quero construir todas as tom.-s posSíveis de altura 4. Quantas torres. exis- tem? P H D B L E M A 1 . 4 Escreva este problema em um pedaço de papel. Feche este livro e tente a sua própria solução sistemática. Se eu listar as torres — em essa-teia, nmaprova' por exaustão - amanha,-simbolicamm- be,.(v indica um bloco vermelho e Aindica um bloconzul) o seguinte: V V V V V V V V A A A A A A A A V V V V A A A A V V V V A A A A V V A A V V A A V V A A V V A A V A V A V A V A V A V A V A V A & que indica que adstem 16 possibilidades. Se tezstasse o problema com temas de altura 5 descobriria 32 possibilidades. Isso implica que :) númem- de torres de altura N seja 2". Esta é uma conjectura razoávet, mas pnedso prová- -la. Uma prova por indução pode ser mais ou menos assim: Passo 1: Para torres com altura de 1 bloco, tenho apenas o bloco vermelha ou o bloco azul. Isso significa duas possibilidada ao todo, e 2 — — 2. Assim, minha fórmula funciona para terras de altura ]. lªma 2: Preciso mostrar se 2 ' é o número de torres que têm altura 11 de modo que 2" + 1 seja o número de torres de altura 11 + 1. Portmto, imagino que tenho uma sala cheia de todas as: torres (2ª torres) de altura n. Para tornar a altura das torres n + 1, possu acrescentar um vermelho ou um azul ao topo de cada uma dessas torres. Digamos que eu acres— cente um vermelho ao topo de todas as. torres. Agora, tenho 2" fones de altura » + 1, com um vermelho no topo. Da mesma forma, se eu acrescentar um azul, terei 2” torres de altura n + 1, com um azul no topo. juntas., essas são todas as minhas torres pºssíveis que têm altura de n + 1 blocos: azul vermelho “2" + 2 ? = 2 - 2 " 24 Edward S. Wall P R O B L E M A 1 . 5 Apresenta uma prova por indução de quar se você puder usar apenas blocos vemeihos. azuis e verdes. 0 número de torres possíveis com altura de N blocos será 3". Provas por contradição Uma prova por contradição estabelece a verdade de umenuncijado aca-pressupor que. é“ falso e, com base nessa premissa, deduzir uma contradição. Considere-a seguiria I .. | 5 'a: Susie vem até & escrivaninha. ”Professor Bass”, ela diz, "tenho uma canja-culta. Estivemos falando de números primos. Sabe como é, aquela números que só são divisíveis por si mesmos e 1. Com:: o 19! Fiz um experimentos. Não acho que qualquer número enh'e 1 e 11 seja a diferença de dois números primos." 0 profa- sm' Bass pensa um momento e diz: "E 3 maos 2?". Susie frame a testa: ”Pensei que o senhor tinha dito que não “Entramos que fazer um, mas, de qualquer forma, eu disse ªentre ] e 11'. Então, acho que é este [e aponta o 11". O professor sorri e. pergunta: "Isso é out-a conjectura?". Susie sorri e responde: “Ainda não. Preciso experimentar mais". O professor diz: "OK. E que tal 5 menos 3?”. Susie [ªrma a testa e diz: "Eu me esqueci do 2 porque ele é muito estranho. Um primo par-! Mas tenho certeza sobre o resto [ela não parece ter certeza]. Ah, não! Acabo de me dar conta de que 23 menos 13 é 10! Acho que não é uma boa corxjectura'f. () professor sorri. “Talvez devêssemosclamar o resto da uma para ajudar-. OK, que tal algo- como... [E ele escreve e diz]: A questão de Sinais Quais númems entre 1 “e 11 não São a diferença de dois número?. primos? Prove Então, elemrri e diz: "Você quer incluir esse-negócio do 12". Susie ri, “Sim! ". E, então, o professor Baªs'acresomta A conjectura de Susie A única “situação “em que 1 é a dífenença entre dois números primos & quando esses números primos são 2 e 3 (2 menos 1 não conta). Prºve sua resposta. P R O B L E M A 1 . 6 Eacreua a questão de Susie & sua conjectura em um pedaço de papel. Feche este IMD & tente suas próprias soluções sistemáticas. A maioria das crianças (e muitos adultos) que“ tentafg'sponder & questão de Susie observa-que 5'-3=2 ?-3=4 IF-lléó 13-5=s '17-?=1u 5-2=3 7--z=5 11-z=9 mas não consegue encontrar dois números. primos cuia difamça seja 7. Isso parece indicar que 7 é, de fato, o único número em:".- 1 e 11 que não é a diferença de dais números primos. No entanto, há muitos números primos e, é claro, não podemos Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 25 aperimwtar todos. Para solucionar a ªblªçãº, deixe-me apresmtar uma prova por contradição: Começupressupmuia o cuntrâriwquehá, de fato, doiSpÉprmsx "ey “cuja diferen- _ça é?. lato é; ' :c—y = ? :Wequeiªmwgªeque x = y + 7 Agora,?“éímpare tenhodois-casoszª Caso 1: Se 3; é ímpar, x deve ser par e" primo. Isso só 'é possível se 1 ”for 2. no eu- tanto, é claro que x é maior ,do que 7. Então, y não pode ser ímpar. Cªso 2: Então, 3; deve ser par. Isto é, 3 tem de ser 2. [ago, x deve ser 9. No ati-an- te, embora seja-. ímpar, 9 não é prima Assim, tenho uma contadição e, portanto, ? não é a diferença de dois números P m . ;A conjecmra de Susie pode ser mol—vida de forma semelhante: Suponha que a cmnjectura de Susie-“seia falsa. Háum par denúmeros primata 3; diferentes de 2 e 3, de modo que .x—y = .1 Observeqmismhnplicaqpe :: = 3; +] Tenhodoiscasos: Caso ]: Seyépar.i$t0'ê,5eyfbr2.xé'3. Mas. parti duprincípiodequenãúéesse ocaso. Caso 2: Então, y tem “que Ser mpar. No entanto, considerandº-ave que um núme- ro ímpar mais umnúmero imparê panx tem de serpar. Isto &, Item de ser 2. Isso implica que 3; seja 1. Isso, contudo, foi negado no anunciado da conjectura de Susie. Patata, tatha uma maldição, easainça conjectura de Susie deve ser uerdadela lmsnançDEs IL Tenho maia-das de l 5 e 10 centavos no bolso Pego três moedas do bolso e dobro ovalor de uma moeda. (a) Quantas quantias difemntes eu poderia ter? (b) Apné- sente uma prova por exaustão convincente de que você tem todas elas. 2. Você tem dois números inteiros re y, diª: modo que 2 <: x e 2 < 3. Pressupta que, para quaisquer três números mteims &, b (& diferente de zero], 2, Seu «f.;,logoa - b—cb-z Apresente uma-pm:; de pashúadas mnvimeniaede que.-4 <: :: y. 2.6 Edward s. wªn .3. A9 consum- trens com n-iãnguloa equilátems com lados umtános, como segue, mêobsetVaqueepaímetroPdonfempareceserdádopot P = T + 2 onde T é o número de hiângulns. ve, usando indução, que se trata realmente disso» 4. vequenº > aml 3, 4 5.. .[Dica: UseumaprovaporinduçãoJ 5. ve "que não existe um número kite-im maior. [Dia: Use uma pmva por contra“- dicção.] NOTAS 1. Isso não significa minimizar sua importância mahnnática. O traballm numérico-teórico de Diuíànta de Alexamh-ia pode ser Visto, em parte, calma uma tentativa de Bishaumtizar & salmão para uma série de antigos problemas de texto. 2. Uma questão matemática importante a legítima &: “Como eu sei que m + n é, de iam, um númm in- teiro?" Como indiquei na introdução que poderia fazer, parti desáe pressuposto com & Enalidàde de aprésentaçãn. No minuto, você podequzrer examina mix pmhmdámmbé. 3.- (Insane que, neste mnumntogestuu al:-resultando provas por postulªdos. REFERENCIAS ANDREWS, JL G. Solving gem-muit: pmblmis by using unit blocks. Mªg" Chim-m mew-, v. 6, p. SIS-323, 1999. Ball, D. L.. "1112 pennutaúmts pmject mªmmaticsas a-ountext for learning and handling. In: FEINMAN— -NEMSER, S.; FEATHERSTONE, H. (Ed.). Exploring tracking: reinvmting an inlmdudary mmm: New . York Tadim College, 1991 . IDEEPH, G. G. Different ways of knowing; contrast-íng styles of argtmnenl in Indian and Greek mall-lena“ Iradiliuns. ln: ERNESl', P. (Ed.). Mathemª, dumhn nndphil'mplzymn interlulional perspetiva [nn- dnn: The Filmar, 1994. p ISS-EL IDSEPH, G. G. Th.- mes! ofthe palmada nan-Europa:: mutsnfmlrrmtlw. New York: St Manhã,-1991. C A P Í T U L O Contagem e registro de números 2 arte de contar e registrar núnmms é uma das mais antigas habilidades matemáti- cas de que temoa evidà'lcias; Na verdade, há algumas eviáências de que ela ante- cedeu a linguagem escrita. Nate capítulo, vou examinar brevemente algum aspectos histéúcoa e de desanvolvímmto dessa arte e, antes de tratar dos sistemas posicionaís & da IeptESEntªçãD de grandes números, vou moetrar como algumas das ideias por trás ideais—a arte podem ser representadas com as notações de conjunto e função. OS NÚMEROS E A CÇNTAGEM A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA HISTOHIBA O uso de marcas ou riscos para simbolizar nós:-heros foi prev-Webmun- um dos pri— meiros síãtmnas de representação numérica (veja a Figura 2.1). ' FIGURA 2.1 Uma talha de contagem. Fonte: 0 uma:. Gs numerais romanos I, ]I, e ]II podem ser um meio muito literalde magistral: es- ses riscos, e parece provável que alguns dos outros símbolos (por ampla,, 'X) tenham sido mesmu-lidos para facilitar a leitura dos riscos quando eles se tornaram numerosas. Ou seja cada X ou ranhura cruzada representa um grupo da IU riscos Vamos dar uma olhada em como alguns desses sustemas de registro &mdonavam no início. Um dos primeiros foi o-sis'iaema de mgish'oegípcio (cercada SADO a. C.) mostrado m Figura" 2.2. 1 ;2 5 ln 100 1000 101100 I I I III n 9 ' . .. 2 f FIGURA 2.2 Os primatas numerais egípcios. Famª: 0 mm.. Thayná Barreto 28 Edward s. Wall Neste sisàema, 1867, por exemplo, seria escrito com ? 9 ? ('I n Il '? ? ? ("'I 0 III ? ? n ["I II Tenhos tambémosistemafàmano,que podeterestadoemuáojáemãmía.c [veja a Figura-2.3). 1 2 5 10 so me 500 man I II V K L C D M FIGURA 2.3 Numarals mmanoa. . Fºrma: O autºr. ”Neste sistema, 186? seriaescriíao como MDCCCIXVII Os sib-bolos tomos L e D, compondmdo a 50 e 500, mspeciivamente, simpli- ficam & esa'ità de números. O princípio da subtração nos algarismos romanos (por exemplo, IX = 9 e IV = 4) pode ter uma função semelhante. Os numerais éticos gregos, que podem ter sido usadoa já em 700 a. C., são em- pregados de forma um pouco semelhante à das mínimas manas (veja a Figura 2:43, 1 5 10 IGD 1003 10.090 1 F A H x M FIGURA 2.4. Numaràis gregos éticos. Fafla-: Gamer. Neste sistéma, 1867 pode ser escrito numa X F H H H A A A A â à F I I Observe que o nunmral composto ]“ agora representa 5 - 100. Os sistemas-de registra egípcio, romano e grego ático São Sªmus deagmpnmento simples que usam a repetição de símbolos para indicar multiplicação, isto é, XXX “cor- mponde a 31]. O tradicional sistema de numeração sino-japonês (veja a Figura 2.5] é um sistema de agrupamento multiplicaúvo verdadeiro. Esses sistemas multiplica“- vas já estavam em uso em 140,0, 3. C. 1 2 3 4 5 6 ? B 9. 10 100 mun. lama — : E E E E . É - - b J L J L + E ? É T FIGURA 2.5 Numaraíssina—laponases. Farm: O autºr. Neste sistema, a escrita 'é verticªl" ."“ , em “vez de homm- . '_ _ “tal. Amu,“, 1,867 sena" Estrito da seguinte-mª: à+ ªM êà l Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 29 Há um terceiro método de registro de números chamado sistem numeral cifrada. No caso de um sistema decádico ou sistema decimal, os aún-[eros de 1 a 9 são escritºs com símbolos especiais e, da mesma forma, as dezenas até 90 e as centenas até 900. Nesse sistema, todos os números podem ser representadas como uma cmnbinaçâo de símbolos de modo muito compacto. Os numeraisgregos alfªbéticºs (Cªmª de. ªm ª— C.) são desse tipo. (veja a Figura 2.6) (DRE, 1948, p. 13). 1—9 ( 1 3 7 8 8 9 2 1 1 6 10-90 . u u h p v ' g o ' n ' ? luo-900 p a ' r u ç b . x t | 1 m % FIGURA 2.5 Numeràlàalfabéucus mas. Farma: O autor. As unidades mais elevadas foram oblidas ammáo-se marcas especiais de- pois da “símbolo da unidade Efex-iof. Por exemplo, ,u- = 1030 dºmódo que“-186?-p0de ser mªto comp“ ANEL P R O B L E M A 2 . 1 Escreva 759 (a) usando números alfabéticos gregos: (I:) númems romanos. Quais são as van- tagens & desvantagens de cada sistema? Os númerºs que usamos atualmente são conhecidos como os algarismos hindu- arábicos porque as evidências históricas apontam para a Índia como sua antiga-n.3 Os árabes, no mtanto, foram hmdamentais para sua &ammissão à Europa. Uma forma desses números hindus — os números Gobar (ou pó) — foi inmduzida pelos árabes na Espanha, já em 1000 a C. A maneira como esses números eram escritos é muito semelhante à maneira como escrevemos os nossos números hoje [veja-a Figura 2.7) (DRE, “1948, p. 20). l ? ; r ª f f ó ' y ' g g i a FIGURA 2.7 Numaral's arábic'oaôoban Fama: O autor. OS NÚMEROS E A CONTAGEM A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA DO DESENVULVIMENTU Há evidências subatanciais de que a cºntagem é um esforço humana natural e de que as crianças, em seus primeiros meses, conseguem díscnminar, por exemplo, um objeto e dois objetos. Em homo dos 2 ou 3 anos de idade, a criança começa a ser capaz de comparar grupos maiores de objetos-. No entanto, é mais ou 11121105 entre 4 e 5 anos que acontece algo de extraordinário. As crianças começam a demonstrar um sentido 30 Edward S. Wall mais constante de mdb-ualidade, isto é cantam de' forma sequencial e começam & exi- bir uma compreensão da cardinalidade, ou seja, começam a entmder que o número de objetos que contaram pode ser representado pelo último número falado na ordem da sequência de contagem supondo-se que a sequência de objetos seja abordada em uma ordem fixa e comece com 1. Mesmo que isso seia algo que nós, como contadores experientes, nnútas vezes consideramos natural, asas capacidades emergm'lhes são indicaiiv-as de uma habi— lidªde intuitiva, com um pouco de matemática bastante profunda. Vamos dar uma amada (HERSCH et al., 2004): Pediu, de 5 anos, está bancando com alguns carros quando chega a Sra. Iannat. Ela temuma lata na mão e, ao sua—sentar ao lado dele no chão pergmta: ”Você sabe:: que tenha na lata?". Pr.-dm balança a cabeça e a Sra. ]annat diz: "Balas”. Ela tira a tampa da lata e inclina o recipiente para Pedro, dizmdu: "Quantas você acha que tal?". Pedro olha dentrº da lata e, tocando cuidadosamente cada uma das balas anuladas em papel (não é mm tarefa fácil), ele conta “uma, duas, três, quatro, cinco, seis.” A Sra. ]annat sorri e derrama as balas; no chão, perto dos carma. Uma bala cai atrás de“ um cano. Ela diz: "Você tem cabeza? Pedro pega a bala que caiu atrás do carrinho- e a coloca com as outras, e conta de novo. Aseguir, alinha as balas em uma coluna — 'asduasbalasazuis estãonotopo-e,e11quantoconta,elemarcacadaumacomum número, ",uma duas, três,. quatm, cinco, seis., sete”. ”Quantas. ", pal-gama a Sra. Jan- nat. Pedro começa novamente a contar: ”uma, duas, três". Ele hesita, e diz: “sete”; A ARTE DE CONTAR Do ponto de vista matemálicu, podemos dizer que Pedrº enlaaidé que se quiser Dón- tar qualquer grupo ou conjunto de objetos, pod? aplicar um, e apenas um nome de. número a cada objeto. Óbvio, claro. Vejamos mais & Ennio. Buniunlus Antes mesmo de Pedm começar a contar, ele deve her alguma ideia do que constitui um objeto de contagem e o que consiihli um grupo ou conjtmto de objetos a ser conta- dos. Neste mpb, cada objeto é mpmsmtado por uma bala e o conj1mta de objetºs é representado por aquelas balas específicas que estavam na lata. Isto é, , é-um- objeto ou um.—elemento ”Hi!! & um cºm de gb,-m mªn,-m. Como Pedro parece saber de tudo 15504130 podemos nos“ surpm'ender se ele-“,também. danse-gum contar os dois coniunhpa HH HH"! casio esas canja-ums [casam colocadosiumos em um prato ou na mesa. Teoria dos Números para Professores da Ensino Fwdamental 31 Agºra me pemútam complicar um pouco as coisas. Digamos que em.-lesse # An: _dré, um aluno da 2“ am.. duas listas ºu cúnjtmtos de nomes: Marinos na sala de aula Crianças de 7 anos na saia de aula Derrick Samantha Steve Steve John Ieliz'sa Tiffany Lai Ling 'e Ihe pedisse para contar quantas crianças há no total, ou seja, contar a união (indica- da por U) dos dois cm'rjunlm ou listas. É de se supor que ele cmtasse Derrick, Steve (observando que Steve está em ambas as listas),lal1n, Samantha, Ielisa, Tiffany e Lai Ling. Por outro lado, suponhamos que lhe pedisse para contar todos os" mbps" que têm sete anos, ou seja, contar a mtersecção (denotada por na das duas listas. E dese supor que ele contas::e apenas Steve. Poderia representar matematicamente as respostas a estas duas perguntªs escrevendo [Barrick, Steve. John; U iSamantha, Steve, ]elisa, Tiffany, Lai Ling] = (Mick, She-ve, John, Samantha, ]elisa, Tiffany, Lai Ling? ' film-ich, Steve, Iol-m] n lSamanàª. SMÇ, Ielisa, 'Eifany, Lai Ling] = iSteve] Tàmbém posso (e essa representação pode ser usada nos primeiros anos do ensino fundamental? usar um diagrama de Venn e representar de forma compacta tanto “& túnião quanto a ihtemeaçãa: P R O E L E M A 2 . 2 De TD pessoas, 34 praticam corrida: 25, boliche; 21 esqui; ?. corrida & boliche; 11. corrida & esqui; 6. esqui & boliche; e & praticam todas as três atividades. &. Construa & && nomes a um diagrama de Venn adequado. b. Quantos não praxicam qualquer das atividades? :. Quantos praticam boliche. mas não esqui? * N.de-R1'::Amptmtªçªº de mmposàmnãniaz parte.:lmmàtúdmdmamimciaisde «Makªi—mm Brasil. 32 Edward S. Wall As notações para operações entre conjuntºs podem ser ampliadas umpmmq Poderia pedir que André contasse o número de crianças que são-mmm, mas não têm 7 anos. Escrevo isso da seguinte forma: [DL-nick? Steve, Iohnl — iSamantha, Steve; His-a,.“I-"lffany, Lai Ling] É evidente, a partir do diagrama de Venn, que a resposta seria apenas Derrick 'e John. P R O B L E M A 2 . 3 Seja o conjunto T = (1. 2. a. 4) e :) conjuntos = (—1.3.4).Calcule: .a. T n s b, Tiq'. c. T - S Funções O próximo desafio mha-atado por Padmé mau:-ar corretamente cada uma das balas com um um ampliado? Qu “seja, Nesse caso, dizemos que existe uma função f que asaocia o conjunto dos números naturais S = [I, 2, B;, 4, 5,“ 6, 71 ao cºnjunto de balas C = [bala i, bala ii bala iii, bala iv, bala v, bala vi, bala vi] de modo que, para um elemmto :: de S,,ftx) : :: balas. Irúcialmmte, nn enhmto, como nos lembramos? Pedro, de alguma fuma, contou. menos. Isto é, não conseguiu mamar uma das balas. Por exemplo, ele poderia ter- marcado as. balas da seguinte forma; Teoria doa Números par-ªai Professores da Ensino Fwdamantal 33 Nenhum desses sistemas de marcação é uma função de S. o domínio, a C, a contradº- mínio, porque aprimeim sistema onª-ita um número naun-al e o segundo atribui um me número natural a duas balas diferentea Observe que, em vez de contar a menos, ele podem berma-read:» uma bala duas vezes. Por exemplo; I'M—iram 34 Edward S. Wall Nesse caso, teria contado a mais. Embora esse sistema de marcação seja unia fúnção, não é o que se chama de função ”um a um". Ou seja. não existe um ártico número natural atribuído a cada uma. das balas. O intervalo def (isto é o conjunto de. valpmsmaisdenéR— - lbalai balaii, balaiii balaiv balav,balavi balaviii,eeasa a faixa R é um subconjunto adequado de (“= (bala 1, bala li bala 1ii,balaiv bala v, bala Vi, bala viil. P R O B L E M A 2 . 4 Saias = (1, 2.134.516 C = (1.2.4. 6.8,1113 defina-se & relaçâo Fa3sociando os elementos de 3 aos elementos da C por Fm=a & F é uma Nação com domínio S e.mMradominio G'? Por que? I). Seia P = s - (E).F é uma Mução com daninio P & contradomhio G'? Por que? '- c. Salao = C - (11). Então, F é umaiunção com domínio!“ & amtadorrúnio .º; F ém funçào um a um? Por que? A notação de função é uma boa maneira de espedficar regras aritméticas. Por. exemplo, digamos que se queira Escrever uma função, F, que tem domínio e intervalo igual aos números nahlrais & que dá a soma de qualquer sequência desses números começando mm1.Conjecturo queuma funçãoque vai fazer-isso seia Número de parcelas 1 H D = 1 ?. F(2 )=1+2=3 3 F(3)=1+2+3='6 r í H m = 1 + z + u . + n = M n + n 2 Como você sabe que estou caio? Alguns cálmlos devem cnnvemê-lo de que esta ftmçãa parece dar certo, mas isac: não basta. Você precisa provar ou rehxtar a minha mnjechlra. Vºu fazer uma por indução (talvez seja interessante rever a prova por" mduçãono Capítulo 1). Agora (passo 1) FCI) = —-—m ; " = 1 Tªg? Assim, aminha função «iá-certo para-l'. Parªcatu, voupmssupor (pasmo 2) que. Fin ] _ _ nhº + 1) pax-ai 5 n 5 N emrelaçãa'a algumN arbitrário e depoispmvar que PW+U- w + n w + m 2 Teoria doa Números par-ªai Professores da Ensino Fwdamantal 35 Fim-+ 1“): i + 2“ + ----+ N+-(N +11. = P(N) + (N + 1) No entanto, sei-que ' FW : (N)-[P; + 1-1- bão “N + 1.) = W + ('N + 1) : NW; 1") +.2'ÍN'24'ÍJN O uso da propdedade distributiva me dá w + n w + a sw+n= 2 como se queria demonstrar. P R O B L E M A 2 . 5 mal é a soma dos números inteiros de 1 a 102 (isto é. 1 + 2 + + 102)? Combinatória Naturalmmte, noções de continuing & funções dão origem a mais questões nutemâticas; Por exemplo, posso perguntar de“ quantas maneiras Pedro poderia contar as sem balas. Uma meira seria ele ccmtar iiúciando na bala i e continuar & pross'eguir atãºa bala vii: i,.ii, m, ivr v, vi, vii [A] eu poderia começar-na bala-ii, coniinuar & bala vii-e contar a bala—i por último: ii, iii, iv, v, vi, viii, i (B] A sequência B é chamada'de permutação da sequência A. Assim, posso reformular minha pergunta inicial e questionar quantas permutações existem dos sete símbolos que representam asas sete balasfª Para economizar espaço, experimentamºs os três símbolos i, i, iii. Passo começar com qualquer um desses três símbolos, 'e depois de usar um Símbolo, nãúqaào val- mangá,-lo. Assim, as permutações possíveis são Contagem 1 Contagem 2 (2013n 3 i 11 m zi ii uii iii i ii i iii iii -i__i i. 36 Edward S. Wall Isto é, possa escolher atm três possibilidades para a contagem 1, e depois de iá- iàer estan-lido qual objeto marcar com essa primeira contagem henlw de acºlher entre as duas outras possibilidadea para a. contagem 2. Quando a primeira e a segunda contagens 5ão lixas, só há uma possibilidade para a contagem 3. Portanto, o número de permutações possíveis com Inês objehos é 3 - - 2 - I = 6 uzo-número de permutações possíveis com sete objetos-.é“- 7*6*5'-'4-3—2-- 1 = 5.040 Ou seja, Pedro poderia contar as sete balas de 5.040 maneiras. P R O B L E M A 2 . 6 Tenho quatro camisas, dois pares de caiças e dois pares d e sapatos. Quantos conjuntas de vestuário eu poderia criar? (Um conjunto é cmp-esto por um par da sapata, um par de calças e uma camisa.] SISTEMAS MumÉmcus PGSIBIONAIS O número zero é crucial para o sistema numérico que usamos atu-almmte. A disporá- bilidade de zero é algo que consideramos natural hoje, mas sua introdução foi uma grande realização matemática. 0 zero nos permite usar uma eficiente notação posi- ciona] para escrever números. Por exemplo, em vez de representar mil novecmtos e sesSenta e cinco como MCMLXV, amvemos 1965. Como funciona? Cada algarismo de um número possui um valor que é dado, na verdade, pelo valor do algarismo tmllt'tplicado pelo valor de sua posição na nú- mero. Assim, por exemplo, o algarismo mais à esquerda em 1965 é um 1, e "está na quarta posição, or isso, seu valor é 1 - mª, ou mil. De maneira semelhante, o 9 tem. ovalor de? - 1 (isto é,?ÚD),oõtemovalor6 - 10'(istoé,60)e05temn valurã - “10ll (isto é, 5). Tudo isso implica que o zero não seja simplesmmte um marcador de posição quando for usado como algarismo em um número (por exemplo,. 405) para indicar que há zero daquele valor de posição (por exemplo, em notação científica, 405 = 4 - 102 + n - 1431 + 5 - 10").Chamam05 esse sistema de sistema dela.-ase mou decimal, porque ele consiste nos dez algarismos D, 1, 2, 3 4, 5, 6, 7, B e 9 e nos valium de posição que são potências de 10 (isto é, mª, m*, 102 1 , ...). O sistema de numeração decimal é o sistema posicional que normalmente usa- mos para fazer contas, mas existem vários outros sistemas numéricos posicionais que têm aplicação prática. Os computadores utilizam um sistema de numeração de base 2 (ou binário] em grande medida, e os programadores usam sistemas numéricos de base 8 e de base 16 de vez em quandº. Existem também vestígios de base 5 (moedas de 1, 5 e 10 centavos) e sistemas de numeração e base 60 (& aritmética de relógio) em- nsa prático. Como funcionam? A resposta simples é que eles“ hmcionam exatammte da mesma forma que o nosso sistema de base ll]. Panútam—me dar uma resposta um pouco mais proflmda para um sistema de base 6. Naasos algarismos serão 0, 1, 2, 3, 4, 5 (sseis, no total), e o valor das posições, da direita para a esquerda, será de é",.óª, aº, a , Assim, o número 123,& (aqui, as Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 37 mibr-mto indica que este é um número escrito na base 6), usando a natação científica mnh-«15210 temovalordel- -26 + 2 6 + 3 - Gº cul 3 6 + 2 - E+3' , .umembaselú 51. Podemos verificar tudo“ 1550 com relação a números menores, digamos, 12& (que um cálculo semelhante mostra ser 8) por meio da contagem Base '6 Base 10 0 n 1 1 2 2 3 3 4 ..e! ;5 5 10 6 11 ? 12 B Observe & saquê-mia para 106 quando somamºs ] e 5 embasa & (muito sémemante- .a quando somamoa 1 e 9 em base 1D). P R O B L E M A 2 . 7 ' Em base 6, como você escreve a soma numérica de 3 e 4? A base 2, por exemplo, é parlicularmmte simples: porque temos apaas os alga- times 0 e 1 e cada posição tem um valor determinado pela potência correspondmte dez. Pmexemplo 10101 teria,nabase10 ovalordel 2 + 0- 2ª + 1- zª+ 0-1 + 1011 16 + 4, ou, em base 10 o valor de 20. Para ilustrar, verifiquemos para ver que Inºcente. 7 na base 10 11413122 Bisa 10 0 1 IC 11 me 161 110 111 Como foi indicadúgpode-se nomatter da base & à base 10. Pç: example:-Juma?- “ ' I - G ª t i l h º ) “ l - º G ' 124,=1--5º+2—6ª+4-6ª :$?» .Como é qqe se converte de, digamos, base 6 para base 8? Para entmder corno fazer.-' 1550 precisamos voltar à sala de aula do 1" ana. Nossa problema é muito pare- cido com o de uma aluna de 1“ ano que quer repmsentar em base 10 o número de gravetos em uma pilha. Nossa aluna imaginária— vamos chamá- la de Taya— pode proceder da seguinte forma: 38 Edward S. Wall Há 112 gravetos na pilha ' Taya conta os gravetos com cuidado & os-junta-em grupos de dez. Nesse mo- mento, ela tem 11 grupos de 10 e Egravetos-soltos, de modo que esa-we 2 na posição das unidades. - Agora, ela agrupa os grupos de 10 em grupos de 10. Ela tem um grupo de wºe um grupo de lll-sobrando, erltão, ela coloca ] na posição das dezmaa - E, uma vez "que não pode fazer grupos de 1.000, ela Colºca 1 na pásiçâo das cantenna Deixe-me mostar-Ihe como comeria 535 para base 2 usando o métºdo. de Thy; Em natação científica debase lí)? 335= 3 —óª + 3 então, tenho 21 gravetúsna minha pilha. Agora,. 21 = m - 2 + 1 Assim, tenho lagmposde2eum gravem solto. Agrupando esseslngmposdeí'em gruposdezmenhocincogmposdez-º: ' 1 0 = 5 - 2 + Q enmhumgmpodél Isobrando. Agrupadúéssesdmºgruposdez Zemgmpes dez benhodois-gr-uposedoisgmposdez 2 - 2: 5 = 2 - 2 + 1 eumgmpodez isabrando,eazgru2pandoessesdoisgrupesde2 2 Zemgrupo'SZ *2 _2 2 .tehhoumpàcotedeZZ 22ena1humgntpode2 2 2sobtando: 2 = 1 - 2 + g Dandª, com W i m umgmpo..de 2 * 2 - 2 - 2 Estante—':335 = 101011 Converta 33& para base 8. GRANDES NÚMEROS Da contagem, surgem pergmtasnaturais sobre as granda númem Quão grande é' um bilhão? Qual é o maior número que se pode escrever? Qual & e.maior número que se pode conhecer? Os númerºs continuam para sempre? Usando zero e pontas, .as crianças aprendem a escrever um bilhão: 1.000m000 e, eummmmentoposterior aprendem queissopodesereacfimdefarmamaiscom- pacta anotação científica,,como I D . Teoria dos Números para Professores da Ensino Fmdamental 39 No mta-nto, em um sentido mammático, mesma 3n como 10' ““ªº" ººº é bastante pequeno. Alguma natação que devemosaleohãaaer nas pemú'teirmaislmge. Defim .= a“ Paraxemplo, ,A = 2?- = 4. ª = !: comhAaose-uredor. Pint exemplo, ' f- - Agora,. seja = :: com :: E ao seu redor. Moser defirúu um mega como e, não contente para deixar os grandes em paz, deu calamidade ao padrão acima com hexágonos, heptágonos e assim por dian- te. Isto é definiu por Ifefczuzarrência,a um n-gnnn contada a número ti como aí. com [n- IJ-gonos ao seu redor. Um mexer é definido como 2 nº interior de um megágonn Qual o tamanho de um mega? Bem =.2'55com256 ausente—dor Déixe-me tentar convenoé-lo tie-quª iBSD "é limitº granda, Pªrª ªlém dª imagina- . ção. Vou começar pequene- = ll] com iuAao seu redor = mmmomn com 9 ao seu redor = mm.“.mnªªººªmººº com SAao seu redor = mªmºu“ .com SAW seu redor Já :: convénci? Aliásf estimava: que o um dE-átªmos nª! mªmª Sªiª m Pºvºª menor do que 10“. 40 Edward S. Wall INVESTIGAÇÚES 1 2. 3ª. . Resumaahstómdealganmosmmamsjesdeseummamgaabéopm (a) Use um diagrama de Vm para demonstrar que para quaisquer dois conjun- to's A e B A U B = ( A - B ) U ( A D B ) U [ B — A ] (b) dois conjunta: C e D serão consideradas iguais se cada elemmta de C for um “elemento de D e se cada dan—ento de D for um elemento de C. Use esta definição de igualdade para provar (S.en'a bom pensar sobre o diagrama de Venn) que AUB= (A—B)U(AnB)U(B—A) Se tenho 112 gravetos, então está clama, como foi mostrado acima por Taya, que isso pode ser escrito como 1121". No entanto, poderia ter cantado por uns ou ccm- tado pulando, a cada dois. Sendo asaim, como sei que essa apresentação é única? Possa realmente registar esaa pilha de gravetos na notação habitual de base 10, de duas maneiras diferentes? ve que não, ou seja, demonshªe que a represa“!- tação de qualquer número de base 10 é única. [Dica: Uma maneira razoável de fazer isso é uma prova por contradição. Isto «E, pressupunha que 112 = abc, onde. a, b, .: são os algarismos usuais de base de 10, e mostre que você tem uma conha- djção, seu não for um 1, b não for 1 ou c não for 2.] (a) Esmva uma linha de 85 e acrescente sinais. de adiçãº, de modo que a soma resultante seia 1.000. Quais" são a diferentes soluçõa? (BALL; BASS, 2003) [Dica: Há mais de dez.] (b) Apresente uma prova por exauãtãó convincente de que você“ tem todos eles. A distância da Terra ao Sol é de aproadmadamente 150 X ID6 km. Digamos que você anda até-lá ;: uma velocidadede 5 quilômetros por hora..=Qc;-anms minutos duraria sua viagem? Quantos anos? NOTAS 1. 2. pm “P ªrª Cons-Idem, purexwlpb a uiíhmçãoda primeira. segunda Maceira pessoas. Minha apresentaçâo aqui deriva, em grande parte. de GRE D Nun-nba- rhmrynnd its hsm Nm York-; McGraw-Hill,, 19—18 p. 10-30 _ ºusa-damnsístgmaposidonalmmzeropamteromrridnnalndíajáemómic. Para uma discussão detalhada desses prindptDS- -estátím, um a um e cardímlidade— —ver SDPHIAN. É.“ Tharigl'ns cj nmiwnmllml kmdcdge' rn dliM'mr NEW York: [ame Edt-aum, 2037. . Parece pcs-sível que tudo isso parta das hmmivas anteriores das crianças de comparar as ([Em-entes glªu- p'qadL-objetos.Nata-casu,:zmvezdeamciarauukugruPDdenbjemsmm'immci-aaoquepm ser um subconjunto finito dos. números naturais. Essa ação mtanãlíca Eai dmonúnada mtamatizar.Ah1tmduçãn de súnbulosvísa a repmmtar ast-alªs parafinsnmtmuálicmEqsessímbulunãumaismmtêmamna embalagemuuugnsmdaque-mpmsenm Cbsmeque,-seexpandisseS-3,,mbase5,vooêtaà33= —3- (10311-3 (10,10. mwovaíardemdapolígummgmuexhanm cumulada: mmmtieumnúmemapmpúadnde polígonos interno de:: - 1 lindas., REFERENCIAS BALL D. L.- BASS H mmmmmmmmmmmp MARFINWG- sam- TER, D (Ed ]. A research mmpmíon to pnncipks :md danáardspr schon] mmm. Restam MBM 3103. HERSCH 5. B. E! aLFostm'ng duldnn s mdlmlímldmdopnmt: grades PrgK'B Purtsmnud'l: Hªmm m- DRE, O. Number [Fury and its mw. New York: McGraw-im], 1948. Adições 3 Este capítulo“ trata daariae de fazeradições, Ou seja, de amanha: soluções para-os problemas do tipo 5 + 4 = x Examharemos ilúcialmente essa arte an tamos de sua história & desavulvin'tetm; e depois, dªm uma ullmda na. algoritmo mvmcimial de adiçãº, de uso geral 153 ª 426 Isso será seguido por uma olhada em métodos para somar detemlinadas. séries de números bueiros —por exemplo, os números &hpares: 1 + 3 + 5 + 7 + _ . . e por um vislumbre em métodos para detemúnar Sismªma-rate mluções inteirªs" para certas adições lineares - por exemplo, problemas de texto de 3ª arm, do tipo:“ Os lápis custam 15 centavos e as borrachas Il] centavos. Se você precissa gastar exatamente 2 tais, quais são as diferentes combinações de lápis e borrachas que você pode comprar? l ADIÇÃO A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA A “forma como a adição era conceihmda nos tempos antigos permanece indefinida, pois, até épocas mais recentes, mam mantidos poucos registros esm'itos descreva- do (: parmesão. Muito do que sabemos sobre as primeiras práticas de adição vem de especulações para o uso dos grin—[aires disposihvos de cálculo e da análise de contas financeiras históricas. A tabu gta de rações mostrada na Figura 3 1 repmsentação de uma tabuleta de argila da Babilonian Yale Collactiqcrrn,1 «& um exemplo Epico. A linha dupla que separa a fileira de cima do resto da tabuleta indica que existem duas contas diferentes. Na conta logº a seguir há sete desembolsos de diferentes quantidades de 1 2" ou 3 Cunhas de grãos para um total, nessa conta, de 11 ambas. A linha mais baixa dá a soma dessas cantas: um círculo e 5 ambas.2 Cerca de 2500 anos mais tarde, Heródoto apresenta, em seus escritos, uma des- criç㺠das diferenças entre os Cálculos grego & egípdo usando a tábua de contagem 42 Edward S. Wall FIGURA 3.1 uma tabuleta de' rações babilônia. . Fam: Q autºr. ou ábaco de cont.-ªdam soltas (SANFORD, 1994]. D disposiiivo era uma superfície plana marcada com uma série de linhas paralelas que eram designadas, por exemplo,. em ordem crescente de 1, 10, 100 e 1000. Os contadores eram pequenas pedras ou discos do tamanho de uma moeda de 1 centavo. A Figura 3.2 é uma representação esquemáiica da aparência do dispositivo no tempo dos romanos. Embora pouco se saiba Sobre o seu funcionamento real, a maneira em que um ábam mediano é'usado fornece algunas pistas razoáveis. Vamos supor que a tábua mash—ada na Figura 3.2 represente mem. Cada pedrinha na metade infeúor da tábua de contagem terá, quando deslocada para cima, o valor de 1 vez & urúdade designada & cada pedra-lha na metade superior da placa terá, quando deslocada para cima, o valor de 5 vezes a unidade designada. lol lol lol lol lol lºl, lol m m m u c g l G O O D C D G O O D O Q O Q -D O FIGUHABJ Mábuade contagem romana. Hmm: C).-aum. Assim posso representar o valor CLIII (isto é 153), como mostrado na“ Figura 3. 3. Sean quiser adicionar CCL)!- I(islaú &, 273), faço o seguinte: Teoria doa Números para, Professores da Ensino Fwdamantal 43 , , º D D O O O 0 W (EP.! lº? .ª". £ 2“. J. o ' 'a' o o o o o o a a n o o o o o o o a o o o o n o a o o FIGURA-3.3 GUII. Forma: 0 autor. - Adicimm 3, empurrando & pedúnha “5 na calma "I" Detonando duas das pedri- nhas ] à posição zera. Neste momento, teu-lho :) resultado intermediária de 156. - Adiciona 7D, retornando a. pedrinha 50 — na coluna “X” - à sua posição zero e depois adicionando mais 20.Retornando a pedra-lha 50 à sua posição zero, re- aulta em um transporte na coluna "C". Adicionando mais 20, empurra-se dois dos seixos ID. O transporte para a coluna "C" resulta em um dos 100 seixos sendo empurrado para cima, com :: realm—ado intermediária de 226. - Por fim. adiciono 200, elevando dua das pedrinhas 100 na coluna "C" el-berúm um resultado final de 4215 (isto é, CDXXVI); veja Figura 3.4. . :: _ o p u u a o .E _--- q o o o o a a o o o o o n o, o a o n o o o p o o o o a 0 FIGURA 3,4 Com. Fonte: O autor. P R O B L E M A 3 . 1 Faça um rápido esboço de uma tábua d e contagem. designando aigumas linhas paralelas como 1, 10. 100, 1000. Usando um objeto que possa deslizar como seus contadores. tente fazeres seguintes cálculos: (a) 22 + 47; (b] 36 + 15; (c) 196 + 54; (d) algo ousado. Observe que os númerºs romanos parecem particularmente adequados à tábua de contagem, porque, por exemplo, 7 é apmas 5 + 2 [ou seja, VII) e 9 é 10 — 1 [isto é, IX)“, Embora a tábua de contagem e (: ábaco posterior tenham permanecido como um importante dispositivo de cálculo até o século XVI, os precursores do algoriimo mn- vencional de adição começaram a aparecer em várias aritméiicas no século XV. Um deles, The Cru)? aombrynge (uma mterpretação de Carmen deAIga'rísmo, de Aleman- der de Villa Dei) - diz o seguinte (STEELE 1992); Aqui cºmeça o ofício da adição Neste ofício, voóê deiresabét quatro casas. Primeiramente dévesaberoqueéadíçãó Emsegmdadevesaberquantashnhnsdeflguasvooê devê “ Edward S. Wall har. Depois, deve saber quantos casos difermtea acontecem maite ofício. E então, qual é O“ malhado deshe ofído. Quanto à primeira, você deve saber que &” ªdiçãó & um somatório de àbism'tmeras em um único:-número. Quanto à segunda,. devé'saher que terá duas linhas de figuras, uma sol:. a outra,. como pode ver-aqui: 123 234 Quantº & tamara, deve saber que adsbem quatro mósdifemtes Quanbd'à quªrta; dºve sabe: que o resultado deste ofício & dizer qual é o número inteiro-que multada sºmadas:— ses números diferentes. Os quatro casos de que Alexander de Villa amava são 1. Nenhuma soma parcial (ou seja 1 + 2,2 + 3 ou 3 + 4 na passagem azia-la) é maior do que 9. ' 2, Pelomenosumasomapamialémaiordoquea _ 3. Pelo menos uma soma parcial é 10 ou um múltiplo de 10“. 4. Existe um zero na linha superiur. P R O B L E M A 3 . 2 Ilustre cada um dos quatro casos com um exemplo aditivo. Nos tempos ahmis, esses casos foram consolidados - a des-igmção de transportes é produto de épocas mais modemas - naquele mecanismo matemática reHnadó &! eficiente a que chamamos algoritmo canva'ncional de adição. Isto é, 1 153 + _ . 426 A ADIÇÃO A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA DO DESENVOLVIMENTO Passar da contagem à adição é uma eapécie de-progmasâu'natuml. As aianças múitâs vezes passam da contagem de um conjunto de blema à contagem de dois conjuntos de- blocns formando fisicamente a união dos. conjuntoa e, começando em um primeiro bloco no. coniunta combinado, contando ",um dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove", 1 2 3 4 5 6 l 2 3 I 2 3 4 5 6 ? 8 '? A medida que“ ficam mais à vontade com noções de cardinalidade (islaó é,.ao percebe- m que o ânimo número contado dmtmde um conjunto é o número total de objetos Teoria dos Números para Professores da Ensino Fwdamental 45 naquela conjunto), as crianças começam a cantar camª'. Para isso,; aliança precisa antes ter em mente & cardinalidade do primam conjunto de objetos,- e depois, come— çando com algum primeiro elemento no segundo conjunto, seguir contando apartir da cardímlidade do primeiro conjunto "seis, sete, oito, nove anos". 1 2 3 4 5 6 l 2 3 660609 66. l 2 3 4 5 & '?“ B 9 Nas escolas cios Estados Unidos, as crianças estão consolidando essas experiências e as registrando na mmõúa no final da 1º ano e na 2ª. Gerahnmbe, os fatos da adição com som até 5, por exemplo, 1 + 4 = 5 e 2 + 2 = 4, são apreendidos antes, seguidos dos fatos com som até 10 e, depois, 20. Especula-se que as crianças norte-americanas possam, talvez por causa das palavras ixregulares usadas para cantar, estar em desvan- tagem em relação a seus pms asiáticos" (FUSON, 2003, 13. T4). Nessas partes do mundo (normalmente, no 1“ ano), as crianças são ensinadas & fazer dez ao adicionar: G + S s e l m n a l + ( 5 + 5 ) Curiosamente essa estratégia também pode ser empregar]; quando se usa o ábabq. Alguns adútos' japoneses, aliás, dizem que somam 6 + 3 pensandó ou visualizando (5+1)+3 P R O B L E M A 3 . 3 Se a ordem é irrelevante, quantos fatos de adição diferentes uma criança precisaria memorizar para (a) fazer 5; ib) fazer 6; (e) fazer 10? Os fatos da adição jmto com noções como comumlividade 2 + 5 = 5 2 'e' assada“ 'tividade a + 5 + 3 = 2 + 6 + a são fxmd-amentais na arte de fazer adições. Nos Estados Unidos, geralmente no finaldo 2“ ano e m sª,.as crianças coméçam praiicando & soma de linhas múltiplas e de colunas múltiplas. Como ilustração, mn- sidere a seguinte história (NATIONAL CDUNCIL DF IEACHERS OF MATT-IEMA- TKâZMQpS$WL Os alunos de zº ano do professor Daley vêm trabalhando com adição. () pfn- hssur apresentou o seguinte problema à huma: Temas 153 alunos em nossa escola. Hai 273 alunos na escala quajm nafiml da nm. Quantos alunos-há Em ambas ás 5500115“? e lhes pediu para ilustrar & registrar suas estratégias. ª' N. deRsIConMJ-mmªquiãigniâca que indum uma qumtídademoutra. m m m m m mn'cnniunm de obiems a punir dniúltimb'nzúnwm faladonacuntagan nim-dama“ do primeiro conjunta 46 Edward S. Wall I I I I I I I I I I I I I I EI | | | | | | | | | | | | | | E J E 1 | | 1 1 1 1 | | | | | | | | D E ] |_L1_1_1_1_-JL.J__L_L_I_I_.I [ZI IZEEEEIII [EDIE] EEEEIIEI FIGURA 3.5 A solução da Handy. Farm: D m . 05 alunos dele dão uma variedade de respostas que ilustram uma sériede visões Por ExeÍIIplD (veja-. a Figura 3.5), Randy ilustra o problema com blocos de base 10, usando centenas achatadas, dezenas longas, unidades cúbicas. Ele ilus- tra números e combina blocos, mas não tem certeza de como regis-nªar as resulta- dos. Ele faz“ um desenho dos blocºs de base 10 e chama as partes de "3 dutos”, "'-12 longos", "6 cúbicos”. Inicialmente, Ana sem as centmas, registrando 300 como resultado ínter- mediário; & seguir, sem as dezenas, mantendo a resposta na cabeça, adiciona as mudadas e, por fim, os resultados parciais (300 + 12 damas + 6), & emve 426 como msposta. Outros alunos utilizam o algoritmo convencional (juntando os nú- meros a ser somados e depois adicionando as unidades, adicionando as dezenas e as ral-nomeando como cmtenas e dezenas, e finalmante adicionando as centenas] com precisão, mas alguns escrevem 3126 como mposta. Becky encontra a respasP ta usando cálmlo mmtal e nada escreve, exceto sua resposta. Quando lhe pedmn para explicar, ela diz: "Bom, duas cmtmas e uma center-la são três cantenna e 5 dezenas e 5 dezenas são 10 dezenas; ou mais uma mima, de modo que isaodá quam: centenas. Há ainda duas dezenas restantes, & 3 e 3 é 6, por issº é 42,6? ALGORITMOS DE nmção DE NÚMEROS INTEIRDS Um professor que observasse os alunos do segundo ano poderia ter várias perguntas: a abordagem de Ana ou Becky à adição smpre funciona? Até onde cases algoribnas aparentemente alternativas são eficiemes quando comparados com o algoritmo con- vencional de adição tradicional? Por que algumas crianças calculam 3126 em vezde 426? Para entender melhor estas e outras questões, precisamos examinar um pondo mais o algm—ibm) convencional de adição. Começará com a notação comum conven- cional de base 10 e, em -seguida, a fim dedestacar a estrutura “da matemática para você, vou refletir a-respeito desses resultados em Guima bases. Base 10 Vamos voltar para-o problem que Emmanteúommlae'na tábua de 401113a (“e .as. almas do professor Daley fizeram crm-aula): Teoria doa Números par-ªai Professores da Ensino Fwdamantal 47 153- ª se fizesse ata adição
Compartilhar