Mackenzie EM 1 Série - Matemática - Livro do Professor - 2 Semestre

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VOLUME 175
EscOLhEr cOM sabEdOria | EnsinO MédiO
Organizador: Mackenzie
Obra coletiva concebida, 
desenvolvida e produzida 
pelo Mackenzie
livrO 2
• Ana Enésia Sampaio Machado
• Paulo Henrique Correia Araujo
 da Cruz
1a série
livrO dO
prOfessOr
identificação de séries 
e disciplinas nas capas 
de acordo com o sistema 
de cores para daltônicos
Book_M1_EM_LD_1a prova 1 14/08/15 17:24
Reimpressão: Junho de 2020
créditos
EquipE MackEnziE
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AO MACKENZIE.
pROiBiDa a REpRODuÇÃO paRciaL Ou TOTaL, 
incLuSiVE DE iLuSTRaÇÕES E FOTOS.
A equipe do Sistema Mackenzie de Ensino empenha-se para apresentar este 
material em conformidade com os mais altos padrões acadêmicos e editoriais. 
Em caso de dúvidas conceituais e questões relativas a tipografia e edição, a 
equipe encontra-se à disposição para a verificação e posterior correção do que 
for validado. Solicitamos que todos os apontamentos relativos a estes casos 
sejam enviados ao SME por e-mail (sme@mackenzie.br) ou por carta endereçada 
ao Sistema Mackenzie de Ensino - Dúvidas, Rua Itacolomi, 412, Higienópolis, São 
Paulo - SP - CEP 01239-020. O Sistema Mackenzie de Ensino não se responsabiliza 
pelo uso não autorizado desta publicação e se isenta de qualquer uso indevido 
do material didático, que desrespeite a legislação pertinente.
Elaboração dE originais
Ana Enésia Sampaio Machado 
Paulo Henrique Correia Araújo da Cruz 
dirEção Editorial
Débora Bueno Muniz Oliveira
CoordEnação Editorial 
Mônica Huertas Cerqueira 
CoordEnação pEdagógiCa
Viviane Nery Lacerda
Elaboração E CoordEnação 
do projEto Editorial
Arlene Goulart
Edição dE tExto E 
rEvisão pEdagógiCa
Denise Camargo Alves de Araújo
Elizabeth Pereira Velame
Paulo Henrique Correia Araújo da Cruz
oriEntação 
tEológiCo-filosófiCa
Filipe Costa Fontes
Mauro Fernando Meister
rEvisão 
tEológiCo-filosófiCa
Bruno de Lima Romano
Everton Levi Matos do Nascimento
Wellington Castanha de Oliveira
André Henrique Fernandes Scordamaglio
(Integrando conhecimentos)
prodUção Editorial
Adriano Aguina
pEsqUisa iConográfiCa
Adriano Aguina
rEvisão
Ângela Maria Cruz
Suzana Barreto Alves
Os textos das Escrituras Sagradas foram 
extraídos da Bíblia Sagrada, Nova Versão 
Internacional (NVI) [São Paulo: Sociedade 
Bíblica Internacional, 2000] e Almeida 
Revista e Atualizada (ARA) [São Paulo: 
Sociedade Bíblica do Brasil, 1993].
Rua da Consolação, 896 - Consolação
São Paulo/SP | CEP 01302-907
Site: sme.mackenzie.br
E-mail: sme@mackenzie.br
EquipE aLTaMiRa
DaDos InternacIonaIs De 
catalogação na PublIcação (cIP)
M149e Machado, Ana Enésia Sampaio.
Escolher com sabedoria : Ensino Médio : Matemática, 
1ª série : livro do professor : Livro 2 / Ana Enésia Sampaio 
Machado, Paulo Henrique Correia Araújo da Cruz ; 
organizador: Mackenzie. – São Paulo : Ed. Mackenzie, 
2015.
268 p. : il. ; 28 cm. – (Sistema Mackenzie de Ensino ; 
v. 175)
Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida
pelo Mackenzie.
ISBN 978-85-8293-284-1
1. Ensino médio. 2. Matemática. I. Cruz, Paulo
Henrique Correia Araújo da. II. Instituto Presbiteriano 
Mackenzie. III. Título. IV. Série.
CDD 372.7
ConCEpção E dirEção 
ExECUtiva dE projEto gráfiCo 
ConCEito / lingUagEm / sistEmas dE 
idEntifiCação dE sériEs E disCiplinas / 
aCEssibilidadE / ilUstraçõEs / Capas 
altaMIra editorial
Equipe
Alex Mazzini 
Alexandre Mazzini 
Diego Alves de Carvalho
Produção de capas e 
assistência de projeto gráfico 
EStúDIO PARCEIRO : ARNOLD
Equipe : Victor de Bone, Lucas Andrade
dirEção dE dEsign
diagramação / ilUstraçõEs / 
infográfiCos / Capas / finalização
altaMIra editorial
Equipe
Alex Mazzini
Alexandre Mazzini
Diego Alves de Carvalho
Jennifer Sá de Almeida
Murilo Emerick
Jéssica Venâncio
Fábio Martins
Felipe Grigoli
Finalização de capas
Jennifer Sá de Almeida
assistência de design, 
diagramação e ilustração
EStúDIO PARCEIRO : StuDIO ABACAtE
Equipe : Luiz Gustavo Bacan, Rodrigo 
Corradini, Erik França Oliveira
Mapas e cartografia
EStúDIO PARCEIRO : VESPúCIO
Equipe : Carlos Henrique
imprEssão
brasIlForM 
gráFIca / eDItora
Modelo_Créditos_Final_07_LD_Professor.indd 2 22/11/16 08:46
Poucas coisas nos dão uma sensação material de infinito quanto o 
número de páginas de textos escritos que existem para serem lidas. 
Junto com as páginas, vem igualmente a infinita sensação de que 
há informações, ideias e conhecimentos que seriam conhecidos e 
adquiridos se dispuséssemos de um tempo imensurável. Por fim, 
nosso bom senso, ou pelo menos nosso senso comum, nos diz 
que fazemos escolhas sábias quanto mais dispomos desses bens 
que levaríamos uma eternidade para adquirir.
As páginas que virão em seguida não carregam todos os conhe-
cimentos, nem todas as informações ou ideias. Elas podem ser mui-
tas, mas não são infinitas. E, ademais, foram cuidadosamente 
pensadas para que fossem possíveis de serem lidas e estudadas 
durante os anos desse período escolar: o Ensino Médio. São pági-
nas que procuram auxiliar o leitor na compreensão dos conteúdos 
específicos normalmente requeridos nos vestibulares das universi-
dades brasileiras, de forma significativa, atualizada e acadêmica.
Para auxiliá-lo nesse estudo, houve um trabalho, não só sobre o 
que está escrito, mas também voltado para a maneira como os tex-
tos estão dispostos e se apresentam no espaço da folha. O livro foi 
organizado de forma a contemplar o leitor que tem dificuldade de 
concentração, ou de decodificação de palavras, ou mesmo dificulda-
des de ficar muito tempo fazendo uma mesma atividade. 
Por fim, desfrute do que há nessas páginas; aproveite as infor-
mações, as ideias e o conhecimento compartilhado. Porém, esteja 
ciente do seguinte: o que nós lhe oferecemos de mais valioso, nas 
páginas a seguir, são os princípios que acreditamos serem essen-
ciais para adquirir sabedoria e entendimento para toda sua vida. 
São princípios que você pode adquirir dedicando o tempo que ti-
ver, e que lhe valerão pela eternidade.
Prefácio
“De onde vem, então, a sabedoria? Onde habita 
o entendimento? [...] ‘No temor do Senhor está a 
sabedoria, e evitar o mal é ter entendimento’ “. 
Jó 28.20 e 28b (NVI)
EquipE SME
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“E
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”
GALHOS 
professor | transmissor | mediador
CAULE 
força | estrutura | suporte 
RAIZ 
base | alicerce sólido | essência
FOLHAS 
aluno | assimilação | crescimento
Ele é como árvore plantada 
junto à corrente de águas, 
que, no devido tempo, dá o 
seu fruto, e cuja folhagem 
não murcha; e tudo quanto 
ele faz será bem-sucedido.
SALMOS 1.3
“PrincíPios E 
valorEs básicos da 
bíblia como lEntE”
VISÃO CRISTÃ DE MUNDO
APLICADA À EDUCAÇÃO
“relação com deus, com o próximo e com o mundo”
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s gerar sabedoria
FLORES / FRUTOS: 
aprendizagem significativa
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je
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pe
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ag
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g
ic
o
ideNtidade
rapidez
visual
digital
heterogeNia
diversidade
diNâmico
Estabelecer 
projetos 
de vida.
Prosseguir nos 
estudos e encarar os 
desafios de trabalho 
com o compromisso 
de servir a deus e a 
sociedade de maneira 
participativa 
e responsável.
ampliar o 
conhecimento 
a respeito das 
diferentes 
possibilidades.
Fazer escolhas 
com sabedoria.
discutir os valores 
morais e sociais com 
vista à construção da 
criticidade e formação 
intelectual.
compartilhar 
ideias e 
experiências.
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Bom equilíbrio entre ascendentes, descendentes e altura x
abcefgkjoxuascendente
descendente
X
texto: MYRIAD PROtítulos: NEUTRA
a fonte myriad apresenta alta 
legibilidade e grande variedade 
de pesos, ideal para trabalhar 
com hierarquias de texto.
suas propriedades estruturais 
ajudam a diminuir o desconforto 
do dislexo.
Fonte para títulos por obter uma 
força visual de impacto com sua forma 
moderna e dinâmica, principalmente 
quando usada em grande formato.
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S
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1a SÉRIE
linhas 
ortogonais
2 a SÉRIE
linhas diagonais
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RESPIRO E BRANCO
a forma de um objeto é 
tão importante quanto o 
espaço em torno dele. 
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grÁFico
projeto
Um livro é um espelho 
fl exível da mente e do corpo.
Seu tamanho e proporções gerais, 
a cor e a textura do papel, o som que 
produz quando as páginas são viradas, 
o cheiro do papel, da cola e da tinta, 
tudo se mistura ao tamanho, à forma 
e ao posicionamento dos tipos 
para revelar um pouco do 
mundo em que foi feito.
Robert Bringhurst em 
Elementos do estilo 
tipográfi co, 2005, 
p.159
com o objetivo de informar de maneira 
concisa e efi caz, o projeto gráfi co faz 
uso de uma linguagem dinâmica, lúdi-
ca, porém séria, para transmitir ao aluno 
o conteúdo de cada disciplina. 
interpreta-se cada matéria e tema, 
criando uma atmosfera gráfi ca fazendo 
uso de cor, formato, tipografi a, ícones 
e ilustrações. nada é por acaso. tudo 
busca refl etir o que está sendo dito.
veja nessa página alguns critérios 
utilizados para a construção dos livros 
de ensino médio do SME.
liNguagem
tipograFia
além de transmitir por meio das 
palavras o conteúdo abordado, a 
tipografi a usada deve expressar 
visualmente através de sua 
forma e cor o que está sendo 
dito, assim como a imagem.
CAPAS: atmosfera gráfi ca e identifi cação das séries através 
de tarjas que dividem o espaço e são impressas com cores neon.
Uso do sistema coloradd para daltônicos.
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iNtertÍtulo 1
inTerTÍTulo 2
INTERTÍTULO 3
SISTEMA DE 
DIVISÃO DO ESPAÇO capítulo2hierarQuia da iNFormaÇÃo
INFORMAÇÃO VISUAL
É utilizada uma linguagem 
sintética, que encontramos 
principalmente no meio digital. 
Ela consiste em formas planas e 
simples, com cores chapadas, 
que defendem a simplicidade 
e objetividade da informação.
a ilustração, além dessas 
características, acrescenta ao 
texto um melhor entendimento 
de acordo com o assunto e seu 
traço evolui a cada série.
UNIVERSO DIGITAL
representação dinâmica e 
lúdica das imagens, ícones e 
cores. linguagem “sintética”.
LEITURA VISUAL
SUPORTE E ERGONOMIA
a utilização de imagens adequa-se ao 
assunto/tema que será tratado e leva 
em conta os seguintes tópicos: imagens 
coloridas; layout das páginas; ampliadas e 
sangradas quando possível; abertas (fora 
de caixas); interação com os espaços em 
branco para ajudar na leitura (respiros) e 
composição com a tipografi a.
todos as obras são impressas em papel importado Norbrite 
66g/m2, que é mais leve e reduz o peso de cada livro em 
aproximadamente 30%, o que ajuda na locomoção e na 
saúde do aluno. as folhas, além de serem próprias para 
alta qualidade de impressão – o que também as tornam 
adequadas para a escrita do aluno – possuem uma leve 
tonalidade creme para que o refl exo da luz sobre o papel não 
seja tão intenso, proporcionando uma leitura mais confortável.
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1a SÉRIE
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iNtertÍtulo 1
inTerTÍTulo 2
INTERTÍTULO 3
capítulo22capítulo2capítulohierarQuia da 2hierarQuia da 2iNFormaÇÃo
Por meio de diferentes pesos dos textos (espessuras e tamanhos), aliados a um sistema de 
divisão de espaços (grid), a hierarquia de informação traz uma navegação/ordem de leitura 
efi caz e dinâmica. Podemos ver neste Grid exemplos de utilização neste projeto. 
ÍcoNes
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acessibilidade
dislexia e TdaH
TExTO COM SERIFA E jUSTIFICADOS
BAIxO CONTRASTE ENTRE FIGURA-FUNDO
A dislexia é uma combinação 
de habilidades e dificuldades 
que afetam o processo de 
aprendizagem exibindo uma 
vasta gama de dificuldades. 
TExTO “REDEMOINHO”
TExTO “DESBOTADO”
Prezado aluno,
Este livro foi desenvolvido com algumas características específicas 
que ajudam no estudo, principalmente, de pessoas com alguns 
quadros que podem dificultar a aprendizagem, tais como a dislexia 
e o transtorno de déficit de atenção e hiperatividade (tdaH).
destacamos, a seguir, algumas dessas características. o tipo 
de letra usado possui estrutura formal que ajuda a diminuir 
possíveis confusões visuais, com equilíbrio entre as linhas 
ascendentes e descendentes, boas aberturas e espaços internos 
maiores, facilitando sua discriminação. Foram usados contrastes 
mais fortes entre as partes impressas e o fundo, também buscando 
aumentar a discriminação da informação relevante e diminuir as 
confusões visuais (ver quadros ao lado). as linhas foram alinhadas 
à esquerda, aumentando os recursos para o aluno se localizar 
durante a leitura de um texto. adicionalmente, são explicitamente 
apontadas, ao longo dos capítulos, as informações que precisam 
ser recordadas por serem relevantes ao conteúdo atual (nos 
destaques intitulados “vale lembrar”). também são destacados, 
nos itens “integrando conhecimentos”, trechos em que são 
discutidas ideias que vão além da matéria específica, unindo duas 
ou mais áreas diferentes de conhecimento.
sugerimos que você aproveite esse material desenvolvido 
com cuidado e rigor! lembramos que você também pode adotar 
estratégias para facilitar sua aprendizagem. Primeiro, esteja 
consciente da sua forma de aprender. descubra como você 
entende melhor, se é lendo em voz alta, escrevendo, fazendo 
desenhos ou esquemas, resumindo o texto, dentre outras 
possibilidades. conheça seus pontos fortes e seus pontos fracos. 
Quando ler os capítulos, aproveite as várias dicas que o texto 
lhe oferece: analise o título, as imagens, as cores, as palavras em 
negrito e os quadros em destaque. Use seu livro: sublinhe o que 
achar relevante, faça resumos, desenhos, esquemas. Procure o 
significado das palavras que você não conhece. anote suas 
dúvidas e discuta-as com seus professores. 
Se você quiser mais 
informações sobre a dislexia 
e o transtorno de déficit de 
atenção e hiperatividade, 
sugerimos que visite os sites: 
www.dislexia.org.br/, 
www.andislexia.org.br/ e 
http://www.tdah.org.br/.
revise os conteúdos 
anteriores periodicamente. você 
também pode ler o capítulo em 
casa antes da aula, o que facilitará 
a apreensão do conteúdo e o 
esclarecimento das dúvidas 
com os professores. 
ABAIXO: possíveis 
distorções presentes na 
visão de um disléxico.
AcImA: características 
de formatação evitadas 
nesse projeto pois 
dificultam a leitura
QR CODE
Para o rápido acesso a 
links sugeridos por meio 
de dispositivos móveis. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama 
de dificuldades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de dificuldades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de dificuldades. 
A dislexia é uma combinação de 
habilidades e dificuldades que afetam 
o processo de aprendizagem exibindo 
uma vasta gama de dificuldades. 
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vvoe/Shutters
tock.com
o Que É?
Visão do 
daltônico
o daltonismo é uma limitação visual no 
indivíduo caracterizada pela incapacidade de 
identifi car/diferenciar todas ou algumas cores.
SISTEMA DE CÓDIGOS DE 
COR PARA DALTÔNICOS
Desenvolvido por Miguel Neiva
coloradd@gmail.com / info@coloradd.net
dalTonisMo
O Código ColorADD assenta num processo 
de associação lógica e de fácil memorização 
permitindo ao daltônico, através do 
conceito de adição das cores, relacionar os 
símbolos e facilmente identifi car todas as 
cores. O branco e o preto orientam para as 
tonalidades claras e escuras.
Cada implementação do Código é planejada para 
todos e não especifi camente para o universo dos 
daltônicos – incluir sem discriminar. O ColorADD é 
um código de fácil implementação com Inovação, 
Valor, Utilidade e Responsabilidade Social.
o daltonismo afeta aproximadamente 10% dos homens e 
0,5% das mulheres – cerca de 350 milhõesem todo o mundo. 
no entanto, apesar deste número impressionante, não 
existiam respostas socialmente efetivas visando a inclusão 
desta “grande minoria” da população mundial.
o Código ColorADD é um sistema de identifi cação de cores 
universal e transversal, cuja missão é facilitar a integração dos 
indivíduos daltônicos numa sociedade global na qual 90% da 
comunicação é efetuada através da cor. Portanto, o Código 
ColorADD tem como objetivo promover a compreensão da cor 
para todos, sempre que a cor for utilizada como fator de 
identifi cação, orientação ou escolha. 
o sistema ColorADD se encontra implementado em 
diversas áreas e em diversos países. Por exemplo, em hospitais, 
transportes, material escolar e didático, vestuário, tecnologias 
de informação, sinalização e orientação, entre outros. neste 
projeto desenvolvido pelo SME, o ColorADD é utilizado para 
auxiliar na identifi cação de séries e disciplinas nas capas dos 
livros de Ensino médio, estando em consonância com o 
projeto de acessibilidade proposto pelos materiais didáticos 
do mackenzie, o que ajuda a garantir um mundo 
mais acessível e igualitário para todos!
Miguel Neiva
CORES | SÍMBOLOS 
BRANCO | PRETO | CINZENTO
Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho Roxo Castanho
PrataDouradoBranco Preto Cinza Claro Cinza Esc.
TONS METALIZADOS
TONS CLAROS
TONS ESCUROS
CO
RE
S D
AS
 M
AT
ÉR
IA
S
Matemática
Português
Física
História
Geografi a
Sociologia
Química
Espanhol
Inglês
Biologia
Desenvolvido com base nas três cores primárias, 
sendo cada uma representada através de um 
símbolo gráfi co monocromático.
aZUl amarElo vErmElHo branco PrEto
Book_M1_EM_LD_1a prova 9 14/08/15 17:24
Diomedia / SuperStock RM
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 3 | CAPÍTULO 7 | 3
LHE / FO / RA AS / SI / NE / GA / DA A / SUA / PAS / TORA,
Leia, a seguir, um poema de um dos maiores 
autores da Literatura Portuguesa, Luís Vaz de 
Camões (1524-1580), reconhecido no mundo 
inteiro por sua habilidade de escrever textos 
que seguiam padrões. 
Capítulo7QUAL É O PRÓXIMO 
NÚMERO DA SEQUÊNCIA?
RAQUEL 
Sete anos de pastor Jacó servia 
Labão, pai de Raquel, serrana bela; 
mas não servia ao pai, servia a ela, 
e a ela só por prêmio pretendia. 
 
Os dias, na esperança de um só dia, 
passava, contentando-se com vê-la; 
porém o pai, usando de cautela, 
em lugar de Raquel lhe dava Lia. 
 
Vendo o triste pastor que com enganos 
lhe fora assi negada a sua pastora, 
como se a não tivera merecida; 
 
começa de servir outros sete anos, 
dizendo: – Mais servira, se não fora 
para tão longo amor tão curta a vida.
CAMÕES, Luís de. Sonetos: antologia comentada. 
São Paulo: Ática, 2009.
GLOSSÁRIO
Serrana – camponesa.
Cautela – cuidado, precaução.
Assi – assim.
Tivera merecida – tivesse merecido.
Servira – serviria.
Fora – fosse.
O encontro de 
Jacó e Raquel, de 
William Dyce 
(1806-1864). 
O poema Raquel refere-se à história relatada em Gênesis, 
capítulo 29, versículos 14 a 30, na qual Jacó, neto de Abraão, o 
patriarca do povo judeu, trabalhou para seu sogro durante sete 
anos para se casar com Raquel. No entanto, como esta era a se-
gunda filha, seu sogro lhe deu em casamento a filha mais velha, 
Lia. Jacó aceitou, então, trabalhar mais sete anos para ter o direi-
to de se casar também com Raquel. 
A forma do poema é um soneto, composto por quatro 
estrofes. As duas primeiras contêm quatro versos e as duas úl-
timas, apenas três. Coincidentemente ou não, o autor, Luís de 
Camões, usou quatorze versos para nos contar a história dos 
quatorze anos nos quais Jacó trabalhou para se desposar com 
a mulher que amava. 
Os versos são decassílabos, e a contagem das sílabas, em poe-
sia, se dá até a última sílaba tônica. Além disso, se o fim de 
uma palavra tem uma vogal átona e é seguida por outra pala-
vra que se inicia com vogal átona, as duas sílabas que contêm 
essas vogais são contadas como se fossem apenas uma, como 
no exemplo abaixo, em que cada sílaba poética está separada 
das demais por barra.
Ven / do o / tris / te / pas / tor / que / com / en / ganos
Lhe / fo / ra as / si / ne / ga / da a / sua / pas / tora,
Co / mo / se a / não / ti / ve / ra / me / re / cida;
GLOSSÁRIO
Sílabas ou vogais átonas são aquelas 
que não possuem acento de intensidade. 
O antônimo de átono é tônico.
VEM / DO O / TRIS / TE / PAS / TOR / QUE / COM / EN / GANOS
CO / MO / SE A / NÃO / TI / VE / RA / ME / RE / CIDA;
ES
TR
U
TU
RA
 D
A
 O
B
RA
Um livro tem 
uma forma de ser 
organizado. Conhecer essa 
organização lhe ajudará a 
utilizá-lo melhor. Apresentamos 
a seguir, comentários sobre 
cada uma das partes que você 
encontrará nas páginas do 
seu livro didático.
ABERTURA DE UNIDADE
Uma unidade, em nossos livros, reúne três capítulos. A Abertura de unidade, que trabalha sobre um 
pequeno texto, imagens, questões e trechos bíblicos, é uma apresentação dos assuntos contidos 
nesses capítulos. Ela se relaciona diretamente com outra seção, a Refletindo ideias e atitudes.
ABERTURA DE CAPÍTULO
A Abertura de capítulo trabalha sobre imagens (artes plásticas, cinema, 
literatura etc.) e um texto introdutório ao assunto principal que será desenvolvido.
REFLETINDO IDEIAS E ATITUDES
Seção que encerra três capítulos, ligando-se à Abertura de unidade. Seu objetivo é trazer reflexões 
sobre alguns dos conceitos e temas estudados na unidade, associando-os a situações do cotidiano, 
por meio de um texto, porções da Bíblia, questões e comentários relacionados à cosmovisão cristã. 
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RECONHECENDO 
PADRÕES
Grandes são as obras do Senhor; 
nelas meditam todos os que as 
apreciam. Os seus feitos manifestam 
majestade e esplendor, e a sua 
justiça dura para sempre. 
Salmo 111.2-3 (NVI)
Os seres humanos possuem uma necessidade intrínse-
ca de atribuir significado ao mundo que os cerca. Uma 
das maneiras pelas quais isso se dá é pela observação 
proposital da realidade, a fim de reconhecer padrões 
de organização. Quem já não brincou de olhar para o 
céu cheio de nuvens tentando reconhecer alguma or-
dem em meio ao aparente caos? Entretanto, além da 
atribuição de significado, somos motivados também 
pela busca daquilo que é belo.
Em sua busca pelo belo, o artista holandês Van 
Gogh pintou uma série de quadros cuja temática 
foram os girassóis. Estes seriam empregados na 
decoração de seu ateliê para receber seu amigo, 
também pintor, Gauguin. A genialidade de Van Gogh 
pode ser percebida na rapidez e beleza dos traços com 
que pintava, visto que estas flores, ao serem 
cortadas e colocadas no vaso, murchavam ao fim de 
algumas horas. Embora não saibamos ao certo a razão 
da atração de Van Gogh por estas flores, vamos obser-
var mais de perto um aspecto de sua beleza.
GOGH, Vincent van. 
Os girassóis. 1888. 
Óleo sobre tela. Neua 
Pinakothek, Alemanha.
Observe as imagens abaixo, do brócolis 
romanesco e da pinha. Baseado no que vimos 
até aqui, você consegue identificar algum 
padrão recorrente nas duas imagens?
Segundo Aristóteles, “para ser bela, uma 
criatura viva, como cada conjunto composto 
por partes, não deve apenas apresentar certa 
ordem em seu arranjo de peças, mas também 
deve ter certa magnitude. Se algo for demasia-
do grande para ser visto, ou pequeno demais 
para que sua estrutura possa ser claramente 
vista, ele não será belo. Deve ser de tal porte, 
com suas partes ordenadas de tal maneira, com 
unidade clara e estrutura evidente, para que as-
sim possamos chamá-lo de um belo conjunto.” 
Será que a Matemática pode nos ajudar a per-
ceber a beleza existente na criação?
Nessa unidade, trabalharemos com as sequências numéri-
cas. Estudaremos as progressões aritméticas e geométricas, 
suas classificações, propriedades principais e operações ma-
temáticas possíveis. Veremos comoesses conhecimentos nos 
ajudam a reconhecer padrões matemáticos existentes tanto 
na natureza como no mundo da matemática financeira.
Ao observarmos a parte central da flor de girassol, reconhecemos que há um 
padrão regular de distribuição das sementes que é agradável aos nossos olhos. 
Para visualizá-lo, basta partirmos do centro da flor e notar que as sementes estão 
distribuídas ao longo de duas espirais (setas) que se movem em direções opostas. 
O interessante é que, ao contarmos a quantidade de espirais em cada direção, 
notaremos que os números obtidos fazem parte 
de uma famosa sequência numérica estudada 
em Matemática. Você poderia imaginar que, 
no código genético de um girassol, encon-
traríamos uma sequência numérica 
responsável por conferir ordem e bele-
za a esta planta? E se disséssemos 
que este padrão pode ser encontra-
do em outros elementos da criação?
UNIDADE
Wi
tR/
Shu
tte
rsto
ck.
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Quem mediu as águas na concha da 
mão, ou com o palmo de� niu os limites 
dos céus? Quem jamais calculou o peso da 
terra, ou pesou os montes na balança e as 
colinas nos seus pratos? 
Isaías 40.12 (NVI)
No antigo Egito, por exemplo, essa 
necessidade � cou clara quando os agri-
mensores (medidores de terras) passaram 
a usar a corda de 12 nós e as formas geomé-
tricas triângulo retângulo e retângulo para 
medir os lotes às margens do rio Nilo, já que as 
delimitações desapareciam a cada cheia.
Na prática de mensurar o espaço, os agrimensores 
também utilizaram os polígonos e as medidas de dis-
tância, a � m de encontrar a área tanto de pequenas 
quanto de grandes construções, como: as moradias 
habitacionais; as pirâmides do Egito; as muralhas da 
China; a área da Terra; a distância entre a Terra, o Sol 
e a Lua; o prédio mais alto do mundo, conhecido como 
Burj Dubai; en� m, qualquer construção que necessi-
tasse de uma planta para ser edi� cada.
Na atualidade, o engenheiro agrimensor trabalha 
com a topogra� a e a geodésia, utilizando para realizar 
as medições instrumentos de alta precisão, como o GPS 
(Sistema de Posicionamento Global).
Vimos apenas um exemplo de como algumas formas 
geométricas estão presentes ao nosso redor. Com o uso 
de determinados conhecimentos matemáticos, é possí-
vel percebermos que há muitas outras aplicações para 
elas, além de termos condições de saber quantos cál-
culos e fórmulas matemáticas são necessários para 
encontrar áreas e distâncias. Pensando nisso, nesta uni-
dade estudaremos alguns conceitos que auxiliam na 
medição de espaços.
Desde a antiguidade, 
o homem tem buscado es-
tratégias para saber sua 
localização no espaço. Inicial-
mente, por exemplo, surgiram 
questionamentos como: Que es-
paço usar para morar? Que 
distância percorrer para chegar a 
um determinado local? Que terreno utilizar para plan-
tar? Com o passar do tempo, curiosidades como essas 
e a necessidade de estabelecer regras para convi-
vência social levou o homem a desenvolver 
instrumentos para mensurar tudo o que estava 
ao seu redor.
MENSURANDO 
AS FORMAS 
GEOMÉTRICAS4
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2 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
CAP
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TRIGONOMETRIA: 
A BASE É O 
TRIÂNGULO
10
Ao longo do Ensino Fundamental, você conheceu e 
manipulou diversas figuras geométricas que delimitam 
determinada região plana. Viu também que podemos 
calcular distâncias, áreas etc. com base no conhecimento 
das relações entre as medidas dessas figuras.
Um exemplo disso ocorre quando procuramos estabele-
cer medidas inacessíveis, como a distância entre as margens 
de rios ou penhascos, a altura de montanhas, ou distâncias as-
tronômicas por meio do triângulo e das relações entre as 
medidas de seus três lados, com seus três ângulos.
Por exemplo, com relação às me-
didas astronômicas, podemos citar 
a genialidade do astrônomo e mate-
mático grego Aristarco de Samos 
(310 a.C.– 230 a.C.). Embora muitos 
de seus escritos tenham se perdido, 
o conhecimento de Aristarco foi 
preservado porque Arquimedes 
o citou em seus trabalhos.
Na obra Arenarius, Arquimedes 
menciona que, para Aristarco, em-
bora a Terra estivesse no centro do 
Universo, os movimentos do Sol e 
dos planetas seriam descritos mais 
facilmente se fosse admitido que 
todos os planetas, incluindo a Terra, 
giravam em torno do Sol. Esse pen-
samento foi tão revolucionário que 
somente dois mil anos depois, com 
Copérnico, Kepler e Galileu, o mo-
delo heliocêntrico do Universo foi 
proposto novamente. Aliás, como re-
conhecimento de sua genialidade e 
da grande contribuição que fez à As-
tronomia, uma das crateras lunares 
foi batizada com seu nome.
Em relação às distâncias inacessí-
veis, Aristarco calculou a distância 
da Terra ao Sol, utilizando, de forma 
muito simples, o conhecimento de 
que dispunha sobre a relação entre 
os ângulos e os lados de um triângu-
lo retângulo, conforme foi registrado 
em sua única obra conhecida, intitu-
lada Sobre os tamanhos e as distâncias 
do Sol e da Lua.
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2 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 3 MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 3 | 3
O Senhor, contudo, disse a Samuel: “Não considere 
sua aparência nem sua altura, pois eu o rejeitei. 
O Senhor não vê como o homem: o homem vê a 
aparência, mas o Senhor vê o coração”. 
1 Samuel 16.7 (NVI)
Essa universalidade na identificação da beleza 
nas paisagens naturais não parece se repetir 
quando o assunto é a beleza humana. Na Tailân-
dia, por exemplo, as mulheres da tribo Padaung 
usam anéis de cobre no pescoço desde jovens. 
Nessa tribo, quanto mais alto o pescoço, mais be-
la a mulher é considerada. Entre tribos indígenas 
brasileiras, é comum notarmos a associação de 
beleza com o uso de alargadores nos lábios e ore-
lhas. Embora sejam exemplos extremos de como 
a beleza é percebida em diferentes culturas, am-
bos parecem apontar para a subjetividade da 
beleza. Ou seja, como você já deve ter ouvido, 
parece que a “beleza está nos olhos de quem vê”. 
REFLETINDO 
IDEIAS E 
ATITUDES
Uma característica comum entre seres racionais é 
a capacidade que têm de emitir juízos estéticos. 
A universalidade desse julgamento pode ser mais 
facilmente percebida quando nos deparamos 
com as diversas paisagens naturais espalhadas no 
globo. Quer seja um inuíte contemplando as ma-
tizes coloridas da aurora boreal no céu noturno, 
quer seja você contemplando o pôr de sol em 
uma praia do litoral brasileiro, todos parecem 
confirmar o que uma vez foi dito pelo antigo 
filósofo Basílio de Cesareia: “Por natureza os 
homens desejam o belo”.
Isso não significa dizer que não há objetivi-
dade alguma quando falamos sobre beleza. 
Ao olharmos para o passado, vemos que os 
primeiros a apontarem para um parâmetro 
objetivo de beleza foram os filósofos gregos 
seguidores de Pitágoras. Segundo a Escola 
Pitagórica, a essência de todas as coisas estava 
no número. Esses filósofos da natureza perce-
beram que a beleza de plantas, animais ou 
objetos quaisquer estava relacionada com uma 
proporção geométrica específica. Foi somente 
no período da renascença que um matemático 
italiano chegou à conclusão de que a chave 
para a beleza estava relacionada à proporção 
de 1:1,618, que foi denominada de razão áurea.
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Aurora boreal
Pôr de sol: Rio 
de Janeiro - RJ
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2 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | 3
REFLETINDO 
IDEIAS E 
ATITUDESUN
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Tenham cuidado com a maneira como vocês vivem; que não seja 
como insensatos, mas como sábios, aproveitando ao máximo cada 
oportunidade, porque os dias são maus.
Efésios 5:15-16 (NVI)
Uma das diversões mais fasci-
nantes atualmente são os 
jogos de videogames, cuja niti-
dez da imagem se deve aosnúmeros de polígonos usados 
para construir as figuras de 
pessoas, objetos e cenários 
que povoam os universos vir-
tuais dos games. Quanto mais 
polígonos presentes, maior a 
precisão da imagem e a sensa-
ção de realismo gerado por 
ela. A semelhança com a reali-
dade faz com que os jogos se 
tornem cada vez mais atrati-
vos, e os jogadores costumam 
dedicar horas do seu tempo a 
fim de vencer cada etapa. 
Mas, a utlização dos games para diversão ou 
competição é benéfica ou não? Vejamos algumas 
controvérsias na prática desses jogos do ponto 
de vista da utilização do tempo.
Segundo a psicóloga Ana Luiza Mano, do NPPI 
(Núcleo de Pesquisa da Psicologia em Informática - 
da PUC São Paulo), muitos são os benefícios na 
utilização desses jogos, inclusive para o desenvolvi-
mento intelectual dos jogadores. De acordo com a 
pesquisa realizada, comprova-se que, quanto mais 
tempo o jogador dedica ao treino ou jogo, mais 
coordenação motora ele adquiri o que melhora o 
raciocínio lógico, enquanto há outros games que 
são bons para o condicionamento físico do jogador, 
já que necessitam de movimentos físicos. Há tam-
bém games que necessitam de mais de um jogador, 
o que pode contribuir para o convívio, caso o joga-
dor jogue com algum membro da família ou com 
algum amigo. Uma pesquisa realizada no Centro 
Médico Beth Israel, de Nova York, descobriu que os 
médicos que jogavam cerca de três horas por dia 
tinham maior habilidade e atenção para realizar 
procedimentos cirúrgicos. 
Por outro lado, há muitas pesquisas realizadas 
por diversas universidades do mundo que com-
provam os malefícios causados por muitas horas 
dedicadas ao videogame: a desatenção por parte 
dos jogadores, resultado de muitas horas diante 
de imagens que exigem certa rapidez do jogador 
para acompanhá-las, fazendo com que qualquer 
outra atividade se torne desinteressante; a violên-
cia vivenciada nos jogos que causa irritabilidade 
no jogador tornando-o violento; problemas na 
leitura e escrita, pois é necessário dedicação e 
concentração para a leitura, causando desinteresse no aluno, isola-
mento social, pois muitos jogos são para uma pessoa, não havendo o 
compartilhamento com mais ninguém; e, por fim, o vício em crianças 
e adultos que dedicam muito tempo diante de um videogame, já que 
enquanto não chegam ao final, não conseguem parar de jogar.
Assim, no mundo dos videogames, a conclusão a que se chega so-
bre seu uso não é diferente das que envolvem tecnologia de maneira 
geral: o benefício e o malefício, que são ambos possíveis, dependerão 
do uso sábio e prudente que faz o usuário.
Pensando nisso, responda as perguntas abaixo:
1. Como podemos administrar o nosso tempo jogando videogames sem deixar de realizar todas as atividades 
necessárias do nosso dia a dia?
Resposta pessoal. 
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Em várias páginas, você encontrará ícones e termos como Conceito, Glossário e Localize 
que representam complementos ao tema e assuntos abordados, seja na forma de textos, 
de atividades, em sugestões de sites, � lmes e livros ou em chamadas à re� exão e memória. 
RECURSOS
INTEGRANDO CONHECIMENTOS
Tem como objetivo a integração do conteúdo com a cosmovisão 
cristã através da re� exão sobre uma referência bíblica.
PARA ACESSAR
Indicação de links, vídeos, � lmes, bibliogra� as, dicas culturais 
e literárias, dentre outras, para auxiliar na compreensão do 
tema abordado.
PARA REFLETIR
Iniciação ao processo de produção cientí� ca individual ou 
coletiva. Indicação de pesquisa para aprofundar o conteúdo 
com orientações pedagógicas.. 
PRODUÇÃO DE PESQUISA
Propostas de incentivo à busca de informações em outras fontes 
(algumas não escritas, como no caso de música ou de monumentos), para 
ampliação do conhecimento em determinado tema abordado no capítulo 
e iniciação ao processo de produção cientí� ca (individual ou coletiva).
VALE LEMBRAR
Resgate de conteúdos trabalhados anteriormente que 
servem no momento como pré-requisito para o novo saber.
VOCÊ SABIA?
Apresenta informações complementares e 
suplementares ao conteúdo abordado no capítulo.
CADERNO DE ATIVIDADES
Ícone que faz referência ao Caderno de Atividades, onde 
o aluno encontrará uma lista de exercícios, originais, do 
Enem e de vestibulares.
Conceito
Traz a sistematização de 
um conceito-chave que 
merece destaque em 
meio à explicação de 
determinado assunto.
Glossário
Um pequeno dicionário 
com termos técnicos 
presentes no texto.
Sugestões 
bibliográ� cas
Sequencia de livros, sites, 
� lmes e outras fontes de 
informação para sua 
pesquisa extra livro.
Código QR 
É um código de resposta 
(ou leitura) rápida (do 
inglês, Quick Response 
Code), indicado junto 
ao recurso Para acessar. 
A partir de um aplicativo 
de celular (que tenha 
câmera) ou tablet, o 
código QR pode identi� car 
rapidamente o site/blog. 
Na impossibilidade de 
usar o celular/tablet, você 
pode digitar o endereço 
virtual indicado.
MATEMÁTICA, TECNOLOGIA, 
SOCIEDADE E AMBIENTE
Relaciona a matemática com as Ciências Humanas e da 
Natureza, mostrando pontos de conexão entre elas, como 
também o contexto histórico e/ou sociocultural que levaram 
ao desenvolvimento de um assunto do capítulo em questão. 
Ou ainda, conecta o saber matemático, desenvolvido no 
capítulo, a uma tecnologia.
VAMOS PRATICAR
Exercícios e/ou atividades de indução para sistematizar/
analisar o conteúdo apresentado e indicação de outros 
exercícios no caderno de atividades.
PENSANDO MATEMÁTICA
Apresentação de desa� os matemáticos contemporâneos ou não, 
relacionados ao mundo da matemática, que necessariamente, 
não precisam ter aplicação prática atualmente.
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 Capítulo 7 QUAL É O PRÓXIMO NÚMERO DA SEQUÊNCIA?
19 Sequências
33 Progressões aritméticas35 Classificação de uma progressão aritmética (PA)38 Termo geral de uma progressão aritmética
47 Propriedades das progressões aritméticas
52 Soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética59 Referência bibliográfica59 Sugestões bibliográficas
Unidade 3 RECONHECENDO PADRÕES
14
 Capítulo 8 UMA VARIAÇÃO CONSTANTE
63 Progressões geométricas64 Classificação de uma progressão geométrica (PG)68 Termo geral de uma progressão geométrica
76 Propriedades das progressões geométricas
85 Produto dos primeiros termos 
 de uma progressão geométrica
88 Soma dos n primeiros termos 
 de uma progressão geométrica
93 Soma dos infinitos termos de uma 
 progressão geométrica convergente99 Referência bibliográfica99 Sugestões bibliográficas
 Capítulo 9 NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
102 Porcentagem
104 Desconto e acréscimo104 Desconto107 Acréscimo109 Acréscimos e descontos sucessivos113 Juros
116 Juros simples117 Juros compostos
121 Taxa
127 Regras de parcelamento133 Referências bibliográficas133 Sugestão bibliográfica134 RefleTinDo iDeiaS e aTiTuDeS
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SUmário
 Capítulo 10 TRIGONOMETRIA: A BASE É O TRIÂNGULO
142 Casos de semelhança de triângulos146 Relações métricas no triângulo retângulo153 Comparando lados com ângulos
155 Tangente, seno e cosseno169 Triângulos quaisquer170 Lei dos cossenos175 Lei dos senos
179 Referências bibliográfi cas179 Sugestões bibliográfi cas
 Capítulo 11 ENTRE TRIÂNGULOS E CÍRCULOS: POLÍGONOS 
184 Medindo polígonos184 Ângulos internos188 Área
195 Círculos e polígonos198 Polígonos circunscritos e inscritos207 Referências bibliográfi cas207 Sugestão bibliográfi ca208 RefleTinDo iDeiaS e aTiTuDeS
Unidade 4 MENSURANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS
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Reconhecendo 
padRões
Grandes são as obras do Senhor; 
nelas meditam todos os que as 
apreciam. Os seus feitos manifestam 
majestade e esplendor, ea sua 
justiça dura para sempre. 
Salmo 111.2-3 (NVI)
Os seres humanos possuem uma necessidade intrínse-
ca de atribuir significado ao mundo que os cerca. Uma 
das maneiras pelas quais isso se dá é pela observação 
proposital da realidade, a fim de reconhecer padrões 
de organização. Quem já não brincou de olhar para o 
céu cheio de nuvens tentando reconhecer alguma or-
dem em meio ao aparente caos? Entretanto, além da 
atribuição de significado, somos motivados também 
pela busca daquilo que é belo.
Em sua busca pelo belo, o artista holandês Van 
Gogh pintou uma série de quadros cuja temática 
foram os girassóis. Estes seriam empregados na 
decoração de seu ateliê para receber seu amigo, 
também pintor, Gauguin. A genialidade de Van Gogh 
pode ser percebida na rapidez e beleza dos traços com 
que pintava, visto que estas flores, ao serem 
cortadas e colocadas no vaso, murchavam ao fim de 
algumas horas. Embora não saibamos ao certo a razão 
da atração de Van Gogh por estas flores, vamos obser-
var mais de perto um aspecto de sua beleza.
GOGH, Vincent van. 
Os girassóis. 1888. 
Óleo sobre tela. Neue 
Pinakothek, Alemanha.
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Observe as imagens abaixo, do brócolis 
romanesco e da pinha. Baseado no que vimos 
até aqui, você consegue identificar algum 
padrão recorrente nas duas imagens?
Segundo Aristóteles, “para ser bela, uma 
criatura viva, como cada conjunto composto 
por partes, não deve apenas apresentar certa 
ordem em seu arranjo de peças, mas também 
deve ter certa magnitude. Se algo for demasia-
do grande para ser visto, ou pequeno demais 
para que sua estrutura possa ser claramente 
vista, ele não será belo. Deve ser de tal porte, 
com suas partes ordenadas de tal maneira, com 
unidade clara e estrutura evidente, para que as-
sim possamos chamá-lo de um belo conjunto.” 
Será que a Matemática pode nos ajudar a per-
ceber a beleza existente na criação?
Nessa unidade, trabalharemos com as sequências numéri-
cas. Estudaremos as progressões aritméticas e geométricas, 
suas classificações, propriedades principais e operações ma-
temáticas possíveis. Veremos como esses conhecimentos nos 
ajudam a reconhecer padrões matemáticos existentes tanto 
na natureza como no mundo da matemática financeira.
Ao observarmos a parte central da flor de girassol, reconhecemos que há um 
padrão regular de distribuição das sementes que é agradável aos nossos olhos. 
Para visualizá-lo, basta partirmos do centro da flor e notar que as sementes estão 
distribuídas ao longo de duas espirais (setas) que se movem em direções opostas. 
O interessante é que, ao contarmos a quantidade de espirais em cada direção, 
notaremos que os números obtidos fazem parte 
de uma famosa sequência numérica estudada 
em Matemática. Você poderia imaginar que, 
no código genético de um girassol, encon-
traríamos uma sequência numérica 
responsável por conferir ordem e bele-
za a esta planta? E se disséssemos 
que este padrão pode ser encontra-
do em outros elementos da criação?
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Diomedia / SuperStock RM
Lhe / fo / ra as / si / ne / ga / da a / sua / pas / tora,
Leia, a seguir, um soneto de um dos maiores 
autores da Literatura Portuguesa, Luís Vaz de 
Camões (1524-1580), reconhecido no mundo 
inteiro por sua habilidade de escrever textos 
que seguiam padrões. 
Capítulo7QuaL é o próximo 
número da seQuênCia?
Sete anoS de paStor Jacó Servia 
Sete anos de pastor Jacó servia 
Labão, pai de Raquel, serrana bela; 
mas não servia ao pai, servia a ela, 
e a ela só por prêmio pretendia. 
 
Os dias, na esperança de um só dia, 
passava, contentando-se com vê-la; 
porém o pai, usando de cautela, 
em lugar de Raquel lhe dava Lia. 
 
Vendo o triste pastor que com enga-
nos 
lhe fora assi negada a sua pastora, 
como se a não tivera merecida; 
 
começa de servir outros sete anos, 
dizendo: – Mais servira, se não fora 
para tão longo amor tão curta a vida.
CAMÕES, Luís de. Sonetos: antologia comentada. 
Texto em domínio público.
gLossário
Serrana – camponesa.
Cautela – cuidado, precaução.
Assi – assim.
Tivera merecida – tivesse merecido.
Servira – serviria.
Fora – fosse.
O encontro de 
Jacó e Raquel, de 
William Dyce 
(1806-1864). 
Vem / do o / tris / te / pas / tor / Que / Com / en / ganos
Co / mo / se a / não / ti / Ve / ra / me / re / Cida;
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matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 17
Lhe / fo / ra as / si / ne / ga / da a / sua / pas / tora,7
O poema Raquel refere-se à história relatada em Gênesis, 
capítulo 29, versículos 14 a 30, na qual Jacó, neto de Abraão, o 
patriarca do povo judeu, trabalhou para seu sogro durante sete 
anos para se casar com Raquel. No entanto, como esta era a se-
gunda filha, seu sogro lhe deu em casamento a filha mais velha, 
Lia. Jacó aceitou, então, trabalhar mais sete anos para ter o direi-
to de se casar também com Raquel. 
É um soneto, composto por quatro estrofes. As duas pri-
meiras contêm quatro versos e as duas últimas, apenas três. 
Coincidentemente ou não, o autor, Luís de Camões, usou qua-
torze versos para nos contar a história dos quatorze anos nos 
quais Jacó trabalhou para desposar com a mulher que amava. 
Os versos são decassílabos, e a contagem das sílabas, em poe-
sia, se dá até a última sílaba tônica. Além disso, se o fim de 
uma palavra tem uma vogal átona e é seguida por outra pala-
vra que se inicia com vogal átona, as duas sílabas que contêm 
essas vogais são contadas como se fossem apenas uma, como 
no exemplo abaixo, em que cada sílaba poética está separada 
das demais por barra.
Ven / do o / tris / te / pas / tor / que / com / en / ganos
Lhe / fo / ra as / si / ne / ga / da a / sua / pas / tora,
Co / mo / se a / não / ti / ve / ra / me / re / cida;
gLossário
Sílabas ou vogais átonas são aquelas 
que não possuem acento de intensidade. 
O antônimo de átono é tônico.
Vem / do o / tris / te / pas / tor / Que / Com / en / ganos
Co / mo / se a / não / ti / Ve / ra / me / re / Cida;
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18 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
Observe que, ao produzir o poema Raquel, Camões seguiu um 
padrão para alcançar o efeito esperado. Além disso, ele se preo-
cupou com o ritmo e, principalmente, com a coerência na sucessão 
dos fatos. 
Veja um exemplo: segundo a norma que rege um soneto tradi-
cional, quando um padrão de rimas é criado nos dois primeiros 
versos da primeira estrofe, ele precisa continuar, “invertido”, nos 
dois versos seguintes e se repetir igualmente na próxima estrofe. 
Assim, a rima entre “servia” e “bela” é repetida ao inverso com “ela” e 
“pretendia”. Na estrofe seguinte, o mesmo esquema de rimas é re-
petido em sequência (“dia” e “vê-la” com “cautela” e “Lia”). São 
exatamente as mesmas rimas em sequência! Veja que a sequência 
cria um padrão que precisa se repetir e, por isso, é possível prever 
quais rimas viriam – no caso do soneto – na estrofe seguinte. 
Talvez você esteja se perguntando: qual é a relação de tudo isso 
com a Matemática? Padrões têm tudo a ver com as formas da natu-
reza, das ciências naturais, entre outras coisas que se encontram na 
realidade criada. Eles possibilitam prever o funcionamento das coi-
sas e saber o que esperar delas. Na Matemática, há também 
diversos padrões, que não funcionam de modo tão diferente de 
padrões como o que vimos acima. O poeta, aliás, cria padrões em 
seu poema porque percebe que há padrões na natureza também e 
acredita que observar, reconhecer e seguir padrões são necessida-
des do ser humano, inclusive nas necessidades de apreciar o belo e 
o agradável.
Tudo isso nos faz aprender leis que regem nosso dia a dia. Em 
particular, quandoaprendemos as leis matemáticas, podemos tam-
bém relacioná-las com suas aplicações. Como disse o físico 
húngaro Eugene Paul Wigner (1902-1995): “A enorme aplicabilida-
de da Matemática nas Ciências Naturais é algo no limiar do 
mistério.”
Neste capítulo, a lei matemática que vamos estudar será como 
identificar padrões em sequências numéricas. Veja um exemplo: 
observando o conjunto dos números inteiros, podemos dizer, facil-
mente, qual é o próximo número:
{ ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... }
O próximo número inteiro negativo será –5 e o próximo número 
inteiro positivo será 6.
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matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 19
seQuênCias
Observe a sequência de imagens a seguir.
Agora responda: qual das alternativas abaixo corresponde à imagem de número 5? 
1. 2. 3. 4. 5. 
a. b. c. 
Observe que o quadradinho do centro nunca é colorido com o ver-
de e que, de uma figura para a que se sucede, caminhamos no sentido 
anti-horário, de modo que o retângulo formado pelos dois quadradi-
nhos destacados seja deslocado pulando um quadradinho. Então, 
nesse caso, a alternativa que indica a imagem correspondente da fi-
gura 5 é a alternativa b.
Nesse exemplo, o objetivo era saber qual figura viria na sequência. 
Outro modo de apresentar este exercício seria no formato de uma lista 
de números, com a finalidade de completá-la com o número seguinte. 
Em diversas situações cotidianas, podemos encontrar exemplos que 
nos dão ideia do que ocorrerá a seguir. Essas questões apresentam o 
conceito de sequência, ou daquilo que vem a seguir.
Talvez, no exemplo, você tenha sentido alguma dificuldade para 
determinar um padrão no colorido dos quadradinhos. Isso ocorre por-
que nem toda sucessão de fatos, desenhos ou números possui leis 
simples que nos permitam prever o próximo fato, desenho ou núme-
ro. Além disso, em sequências numéricas, pode haver mais de uma lei, 
ou fórmula que possibilite descrever a sucessão de números dados. 
Quando não há nenhuma lei por trás dos acontecimentos, dizemos 
que os acontecimentos são aleatórios. Um exemplo de experimento 
aleatório é o de jogar um dado de seis faces numeradas (cada uma 
com igual chance de ficar para cima quando o dado cair) e verificar 
qual é o número da face de cima. Se você realizar esse experimento 
diversas vezes seguidas, verá que não é possível dizer com certeza 
qual será a face voltada para cima na próxima jogada.
Agora, observe as sequências a seguir:
d. e. 
Book_M1_EM_LD_1a prova 19 14/08/15 17:25
1
2
3
4
5
.
.
.
a1
a2
a3
a4
a5
.
.
.
n na
20 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
a. Qual é o próximo número de cada uma delas?
b. Como você encontrou o próximo 
número de cada sequência?
Podemos observar, nessas sequên-
cias, que os números se sucedem 
obedecendo a determinado padrão.
Logo,
ConCeito
Sequência numérica 
é uma sucessão de 
números que obedecem 
a determinada ordem.
O domínio de uma função é seu 
“conjunto de partida”, ou seja, o 
conjunto onde costumeiramente 
encontramos os valores da 
variável . Assim, quando 
dizemos que uma função vai de 
 em , estamos dizendo que o 
conjunto é o seu domínio, e o 
conjunto é o seu contradomínio 
(o “conjunto de chegada”).
Consideremos agora uma função que, ao ser trata-
da como sequência, pode ser representada por meio 
de diagramas de fl echas, como na ilustração abaixo:
Resposta: 1ª) 5 2ª) 17 3ª) 162 4ª) –3 5ª) 34 
1ª) Repetindo o número 5.
2ª) Adicionando 3 ao último para 
obter o próximo número.
3ª) Multiplicando o último por 3 
para obter o próximo número.
4ª) Repetindo o –3.
5ª) Somando os dois números 
anteriores para obter o próximo.
Book_M1_EM_LD_1a prova 20 14/08/15 17:25
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 21
 • As imagens de são denominadas, 
respectivamente, por primeiro termo, segundo 
termo, terceiro termo, ..., enésimo termo;
 • Cada um destes termos é representado, 
respectivamente, por . Desse modo, a 
representação de uma sequência pode ser feita por seu 
conjunto imagem: ( ). Neste caso, a 
sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos 
números naturais diferentes de zero, , ou qualquer 
subconjunto com os primeiros elementos de :
 • Uma sequência é infi nita quando o domínio da função 
for , e é fi nita, de termos, quando seu domínio for 
o conjunto:
Em ambos os casos, podemos generalizar e repre-
sentar a sequência simplesmente pelo símbolo . 
Lembrando que nem toda sequência possui uma lei de 
formação. Isso ocorre porque o que caracteriza uma se-
quência é o fato de seus elementos terem uma ordem 
específi ca, de modo que, se forem distintos e alterarmos 
suas posições, a sequência também se altera. 
Um exemplo de tal tipo de sequência é o resultado 
de sorteios. Imagine que um professor atribua um nú-
mero a cada aluno. Cada vez que for sorteado o número 
de um aluno, ele deverá responder a uma questão oral. 
Considere que as primeiras questões são de um assunto 
que o aluno domina bem, mas a matéria das últimas 
questões não foi estudada por ele. Perceba que, embora 
a ordem dos números sorteados pelo professor forme 
uma sequência aleatória, essa ordem será decisiva para 
o acerto ou erro da questão que ele perguntar.
Um par ordenado é 
diferente do par ordenado , 
a não ser que . Os pares 
ordenados podem, então, ser 
vistos como sequências, cujo 
domínio é o conjunto e a 
imagem , .
Por outro lado, existem sequências que têm uma 
regra de formação. Chamadas de sequências regula-
res, elas possuem leis de formação que estabelecem 
cada termo em função de sua posição ou de termos 
anteriores. Como exemplo, observe a análise do exer-
cício a seguir.
Book_M1_EM_LD_1a prova 21 14/08/15 17:25
1a camada cinza
1a camada branca
2a camada cinza
2a camada branca
3a camada cinza
22 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
ExErcício rEsolvido
(Comvest/Vestibular Unicamp 2011) 
No centro de um mosaico formado 
apenas por pequenos ladrilhos, um 
artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em 
torno dos ladrilhos centrais, o artista 
colocou uma camada de ladrilhos 
brancos, seguida por uma camada de 
ladrilhos cinza, e assim sucessivamen-
te, alternando camadas de ladrilhos 
brancos e cinza, como ilustra a figura a 
seguir, que mostra apenas a parte 
central do mosaico. Observando a fi-
gura, podemos concluir que a 10ª 
camada de ladrilhos cinza contém:
a. 76 ladrilhos
b. 156 ladrilhos
c. 112 ladrilhos 
d. 148 ladrilhos
Resolução
Observe que cada quadrado formado por ladrilhos da mes-
ma cor tem lados com dois ladrilhos a mais que o quadrado 
imediatamente menor que ele. Logo, a medida, em ladri-
lhos, dos lados dos quadrados forma a sequência:
Como a décima camada de ladrilhos cinza é a décima 
nona camada de ladrilhos, a quantidade de ladrilhos por la-
do nessa camada será igual a
Para contar a quantidade de ladrilhos de cada 
um dos quadrados de mesma cor, basta:
I. Multiplicar por 4 a quantidade de ladrilhos que se encontram no lado do quadrado.
II. Do resultado anterior, subtrair 4 unidades, pois os quatro ladrilhos dos vértices dos 
quadrados ocupam dois lados simultaneamente e foram contados em dobro.
Sendo assim, se escrevermos o procedimento 
em linguagem matemática, vamos obter
 • Na primeira camada: • Na segunda camada:
2 19 = 38
M1_EM_U3_C7_LD_3a prova.indd 22 26/07/16 10:36
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 23
 • Na terceira camada: • Na quarta camada:
Ou seja, na décima camada de ladrilhos cinza, os 38 
ladrilhos que se encontram em cada lado produzem:
Que corresponde à alternativa d.
Embora não seja requisitado pelo exercício, podemos tentar encon-
trar uma expressão matemática que forneça a quantidade de ladrilhos 
de determinada camada em função da posição da camada. Para tanto, 
seguindo o raciocínio exposto acima, sabemos que, na enésima cama-
da, devemoster ladrilhos por lado do quadrado, pois
Continuando no raciocínio anterior, podemos 
verificar que, na camada , devemos ter
Isto é, a expressão que nos fornece o número de ladrilhos 
na enésima camada é a função , tal que
Definindo a sequência do exemplo em função da posição de seus termos, 
conforme queríamos.
Observando agora a sequência das quantidades de ladrilhos por camada 
, é fácil notar que cada camada tem 8 ladrilhos a mais 
que a camada anterior. Poderíamos, portanto, definir a sequência por meio de 
uma fórmula que nos fornecesse cada termo em função do termo anterior. As-
sim, essa sequência teria a seguinte definição:
Essa última forma de definir uma sequência é chamada de forma recursiva. 
Veja, a seguir, alguns exemplos de sequências, definidas tanto pela posição de 
seus termos como na forma recursiva (por meio de um ou mais termos que ante-
cedem um termo qualquer).
M1_EM_U3_C7_LD_3a prova.indd 23 26/07/16 10:36
24 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
I. Exemplos de sequências expressas em 
função da posição de seus termos:
a. . Descrita como
b. . Representada por
c. . Ou, ainda,
II. Exemplo de sequências expressas na forma recursiva:
a. Observe que:
Assim, a sequência pode ser descrita pela lei:
b. é tal que:
Logo, a sequência pode ser descrita como:
Book_M1_EM_LD_1a prova 24 14/08/15 17:25
Casal adulto
Casal recém-nascidoJaneiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
1
1
2
3
5
8
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 25
c. Em um lugar fechado, mas com espaço suficiente para muitos 
animais, é colocado um casal de coelhos recém-nascidos. Su-
ponha que, a cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada 
casal de coelhos gere um novo casal. Ao final de um ano, su-
pondo que nenhum coelho morra, quantos casais de coelhos 
estarão nesse lugar?
Para facilitar nossa resposta a essa questão, vamos supor que o 
casal inicial foi colocado no lugar no dia 1º de janeiro. Como eles le-
vam dois meses para se reproduzirem, no dia 1º de fevereiro, ainda 
haverá apenas um casal de coelhos no criadouro. No dia 1º de mar-
ço, porém, nasce um novo casal de coelhos e teremos um total de 
dois casais. Em 1º de abril, o casal que nasceu no criadouro ainda 
não se reproduziu, mas o antigo casal dá origem a um novo, perfa-
zendo um total de três casais. Em 1º de maio, os dois casais mais 
velhos já se reproduzem, então teremos um total de cinco casais, e 
assim sucessivamente, conforme o esquema abaixo, que represen-
ta os casais no primeiro dia de cada mês. 
Book_M1_EM_LD_1a prova 25 14/08/15 17:25
Dio
me
dia
 / 
Sc
ien
ce
 So
urc
e /
 Sc
ien
ce
 So
urc
e
Observe que, a partir do terceiro mês (março), o total de casais é igual à 
soma dos totais de casais dos dois meses anteriores. Em outras palavras, a 
sequência que representa a quantidade de coelhos em cada mês é
Utilizando a linguagem de sequências, obtemos:
De forma geral, um elemento é resultado da soma dos dois 
elementos imediatamente anteriores. Portanto, esta sequência 
se torna recursiva e pode ser expressa pela fórmula:
uma seQuênCia de “ouro”
O italiano Leonardo Fibonacci (1170-1250) foi 
um dos mais importantes matemáticos euro-
peus medievais. Sua principal obra foi Líber 
Abaci (Livro do Ábaco), de 1202. Nessa obra, ele 
introduz os algarismos indo-arábicos na Europa, 
e um dos exemplos utilizados em seu livro é jus-
tamente a sequência que tem os dois primeiros 
termos iguais a um, e o restante dos termos é 
obtido pela soma dos dois termos imediata-
mente anteriores. Mais tarde, quando outros 
matemáticos descobriram a sequência e suas 
aplicações, ela foi denominada Sequência de 
Fibonacci, em sua homenagem.
Book_M1_EM_LD_1a prova 26 14/08/15 17:25
M
M – m
m
Fil
ip 
Fu
xa
/S
hu
tte
rst
oc
k.c
om
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 27
Uma particularidade da Sequência de Fibonacci é a de que a razão 
entre dois de seus termos consecutivos aproxima-se do número conhe-
cido como número de ouro: , que já era utilizado 
como proporção entre medidas de obras arquitetônicas desde a Anti-
guidade, como nas pirâmides do Egito, e empregado largamente em 
pinturas, esculturas e construções durante o Renascimento. 
Se invertermos a razão entre os termos consecutivos, dividindo-se 
um dos números da sequência pelo seu sucessor na sequência, vamos 
obter outro valor possível para : .
Tais números são a solução de uma equação do segundo grau, que 
é obtida dividindo um segmento na chamada proporção áurea. Para 
fazer isso, basta dividir o segmento em duas partes, de modo que a ra-
zão de sua medida pela parte maior seja igual à razão entre a medida 
da parte maior pela da menor. 
Assim, se M é a medida da 
parte maior e m é a medida da 
parte menor, temos: 
Book_M1_EM_LD_1a prova 27 14/08/15 17:25
Diomedia / Universal Images Group / Universal History Archive
Multiplicando-se em cruz a equação anterior, obtemos:
Resolvendo-se a equação na incógnita , temos:
Como é positivo, temos que 
Assim, se , temos 
Se resolvermos a mesma equação na incógnita , teremos 
e, se , então .
Como exemplo de uso da propor-
ção áurea em pinturas renascentistas, 
temos o famoso quadro de Leonardo 
da Vinci (1452-1519), a Mona Lisa. 
As medidas dos lados do quadro es-
tão na proporção áurea, ou seja, a 
altura dividida pela largura resulta 
em . O quadro está subdividido em 
quatro retângulos pelos eixos vertical 
e horizontal (em vermelho) e estes, 
por sua vez, também estão na pro-
porção áurea. O eixo vertical passa 
pelo olho direito (da figura) e o eixo 
horizontal passa pela altura dos om-
bros da figura. O retângulo áureo (ou 
seja, que tem a proporção áurea) que 
tem como lados os dois eixos e a li-
nha branca horizontal inferior 
determina a altura da boca. O retân-
gulo áureo que tem como lados o 
eixo horizontal, a linha branca verti-
cal e a segunda linha branca 
horizontal determina a altura dos 
olhos e a extremidade do olho 
esquerdo (da figura). 
ce
nt
ro
eixo horizontal
ei
xo
 
 v
er
ti
ca
l
Book_M1_EM_LD_1a prova 28 14/08/15 17:25
W
PA
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GE
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PA
C /
 Ge
tty
 Im
ag
es
/A
FP
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 29
Figuras cujas medidas formam a proporção áurea causam uma sensação de agra-
do a quem as observa, por isso são belas. Na verdade, há muito mais razões áureas 
nesse quadro, pois o corpo humano está repleto de medidas que, divididas entre si, 
resultam no número de ouro. Como exemplo disso, temos a razão entre a altura do 
umbigo (de uma pessoa em pé) e a distância do topo da cabeça ao umbigo, ou a me-
dida de um dedo pela soma das medidas da segunda e da terceira falanges. Desse 
modo, sempre que uma pintura respeita a anatomia humana, vamos encontrar nela 
diversas razões e proporções áureas.
As proporções entre as medidas de dois arcos consecutivos da concha nautilus, 
que vimos como exemplo de spira mirabilis na Unidade 2, tem como resultado o nú-
mero de ouro.
Observe alguns resultados das razões entre termos consecutivos da sequência de 
Fibonacci :
Os resultados aproxi-
mam-se do número .
Agora, engana-se quem pensa que o uso desse número 
se restringiu a coisas do passado. De acordo com informações 
da própria fabricante de carros esportivos, os modelos DB9 e 
Rapide S, da Aston Martin, foram feitos com design baseado 
na proporção áurea.
Como determinar as medidas 
que satisfazem essa proporção?
Acesse os links a seguir para obter 
mais informações sobre os 
modelos DB9 e Rapide S da Aston 
Martin. Site em inglês.
<http://www.astonmartin.
com/cars/rapide-s/rapide-s-
design> Acesso em: maio 2015.
<http://www.astonmartin.
com/cars/the-new-db9/db9-
design> Acesso em: maio 2015.
Aston Martin 
Rapide S
Book_M1_EM_LD_1a prova 29 14/08/15 17:25
30 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
Observe os resultados das razõesentre termos 
consecutivos da sequência de Fibonacci:
Percebeu? Quanto maior forem os termos da 
sequência, mais próximo ficaremos do valor de 
. Logo, caso deseje confeccionar algo com a 
proporção áurea, utilize os termos consecutivos 
da sequência de Fibonacci em suas medidas.
 • As imagens a seguir apresentam 
uma parte do processo de criação 
de algumas marcas conhecidas. 
Observe que nas duas primeiras 
imagens são indicadas as 
medidas a e b e, na terceira 
imagem, a e b, a’ e b’. Calcule a 
razão entre elas, em seguida, 
verifique se as medidas das 
imagens seguem a proporção 
áurea. Para isso, utilize uma régua. 
a. 
b
b
b
36˚
b’ a’
a
a
a
As medidas seguem 
a proporção áurea.
Book_M1_EM_LD_1a prova 30 14/08/15 17:25
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 31
b. 
c. 
b
b
b
36˚
b’ a’
a
a
a
b
b
b
36˚
b’ a’
a
a
a
b
b
b
36˚
b’ a’
a
a
a
As medidas seguem 
a proporção áurea.
As medidas seguem 
a proporção áurea.
Book_M1_EM_LD_1a prova 31 14/08/15 17:25
32 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
1. Escreva cada uma das sequências abaixo e diga se cada termo está defi nido em função de sua posição ou em função dos termos anteriores (sequência recursiva).
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
2. (Comvest/Vestibular Unicamp 2012) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que 
se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferên-
cias que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a 
fi gura ao lado, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.
a. Determine a área da região 
destacada na fi gura.
 
b. Determine o comprimento da 
curva composta pelos primeiros 
20 arcos de circunferência.
 
Resolva as questões 234 e 254 do Caderno de Atividades.
 A. Cada termo é defi nido em função de sua posição.
B. Cada termo é defi nido recursivamente.
C. Cada termo é defi nido em função de sua posição.
D. Cada termo é defi nido em função de sua posição.
E. Cada termo é defi nido recursivamente.
Book_M1_EM_LD_1a prova 32 14/08/15 17:25
tan
ata
t/S
hu
tte
rsto
ck.
com
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 33
proGressÕes
aritmétiCas
Observe a situação-problema a seguir:
Manuela tinha poupado R$ 50,00 de 
sua mesada e decidiu, a cada mês, poupar 
mais R$ 30,00. Para ter um controle de 
quanto possuía mês a mês, ela fez o regis-
tro no seguinte quadro:
Mês 1 2 3 4 5 ...
R$ 50 80 110 140 170 ...
Embora o quadro pare no quinto mês, Manuela continuou 
com essa forma de poupar dinheiro. Diante disso, responda, 
quanto ela terá poupado até o:
 • Sexto mês? . 
 • Sétimo mês? . 
 • Décimo primeiro mês? . 
Você notou que, para obter cada termo 
dessa sequência, a partir do segundo, soma-
se R$ 30,00 ao termo anterior. As sequências 
com essa característica de sempre somar 
um valor fi xo para obter o próximo termo 
recebem o nome de Progressões Aritméti-
cas (que são referenciadas apenas pela 
abreviação PA). O valor fi xo que é acrescido 
chama-se razão da progressão, indicado pe-
la letra r. Chamando de o primeiro termo 
da PA e de a razão dela, nessa situação, te-
mos = 50 e = 30. 
Nas sequências a seguir, observe os valo-
res de e .
R$ 200,00
R$ 230,00
R$ 350,00
Book_M1_EM_LD_1a prova 33 14/08/15 17:25
34 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
Aliás, note que, em cada uma dessas progressões aritméticas, é 
possível estabelecer o valor da razão, calculando a diferença entre 
dois termos consecutivos quaisquer:
 • PA : • PA :
 • PA :
Generalizando, podemos 
dizer que a razão de uma PA é:
para todo . 
ConCeito
Uma progressão 
aritmética (PA) é uma 
sequência numérica em 
que a diferença entre 
quaisquer dois termos 
consecutivos é uma 
constante denominada 
razão (r) da progressão.
 • Determine a razão de cada uma das 
progressões aritméticas a seguir.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
F. 
Resolva a questão 
235 do Caderno 
de Atividades.
 r = 2 
r = -3 
r = 0
Book_M1_EM_LD_1a prova 34 14/08/15 17:25
10%
OFF
15%
OFF
20%
OFF
30%
OFF
35%
OFF
40%
OFF
25%
OFF
Ma
rku
s D
oll
ing
er/
Sh
utt
ers
toc
k.c
om
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 35
CLassifiCação de uma 
progressão aritmétiCa (pa)
Considerando o que já foi exposto sobre sequências e 
progressão aritmética, resolva as três situações a seguir.
1. Certa companhia tele-fônica cobra o valor de 
R$ 0,96881 por minuto 
de ligação, com os im-
postos incluídos, para 
ligações feitas entre 
telefones fixos na cida-
de de São Paulo, 
durante o horário nor-
mal (sem desconto). 
Escreva os cinco pri-
meiros termos da 
sequência que re-
presenta o valor a ser 
pago por ligações que 
duram minutos.
2. Uma loja de utensílios domésticos fez uma gran-de promoção de liquidação. Na compra de 
apenas um objeto, a loja concedia 10% de des-
conto no preço. Mas, para cada objeto a mais 
que fosse comprado, o desconto aumentava 5% 
no total das compras, até o limite de 40% de 
desconto. Considerando o valor de R$ 1.500,00, 
sem os descontos, escreva a sequência dos 
valores pagos por uma compra de objetos, até 
atingir o limite máximo de desconto.
Book_M1_EM_LD_1a prova 35 14/08/15 17:25
1
2
3
4
567
8
9
10
1112
36 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
Provavelmente, você já percebeu que as progressões arit-
méticas têm comportamentos diferentes umas das outras. 
Considerando que elas são funções ( ) e que uma 
das classificações possíveis de função é a sua monotonicidade 
(crescente, decrescente, constante), classifique as progressões 
aritméticas das três situações anteriores:
3. Fausto tem 7 anos e está aprendendo a medir o tempo com seu avô. Para isso, lhe foi dado um relógio que tinha 
um ponteiro grande, que marcava os minutos, e um ponteiro 
pequeno, que marcava as horas. Em seguida, ele foi instruído 
para fazer a seguinte contagem: no momento em que o pon-
teiro grande do relógio mudasse de posição, ele deveria 
começar a contar 1, 2, 3,..., e, quando ele se movesse de novo, 
deveria recomeçar a contagem, sempre registrando o último 
número contado. Escreva a sequência dos valores encon-
trados por Fausto em cada uma das contagens realizadas.
 • é crescente
 • é decrescente
 • é constante
Agora, calcule a razão de cada uma das progressões 
aritméticas desses exemplos e responda, em cada caso, 
se 
 • Situação 1: 
 • Situação 2: 
 • Situação 3: 
Em outras palavras, quando a razão 
de uma PA é positiva, cada termo é maior 
que o seu antecessor e a sequência cres-
ce. Quando a razão é negativa, cada 
termo é menor que seu antecessor e a 
sequência decresce. Por fim, se a razão 
de uma PA for nula, ela nem cresce nem 
decresce, é constante.
ConCeito
Uma PA pode ser classificada em: 
Crescente, se ;
Constante, se ;
Decrescente, se .
1
2
3
Book_M1_EM_LD_1a prova 36 14/08/15 17:25
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 37
 • Classifi que cada PA abaixo 
quanto à monotonicidade.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
F. 
G. 
H. 
I. Resolva a questão 
236 do Caderno 
de Atividades.
Crescente
Decrescente
Constante
Constante
Crescente
Crescente
Decrescente
Decrescente
Crescente
Book_M1_EM_LD_1a prova 37 14/08/15 17:25
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Stia
n Iv
ers
en/
Shu
tter
sto
ck.
com
38 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
termo geraL de uma 
progressão aritmétiCa
Você já brincou, quando criança, de fazer dese-
nhos com palitos de fósforo (ou de dente)? Se já 
fez isso, provavelmente alguns deles não pude-
ram ser terminados porque os palitos acabaram 
antes. Isso nos leva à seguinte pergunta: depen-
dendo da forma como distribuímos os palitos, é 
possível prever quantos palitos são 
necessários para cada etapa?
Pararesponder a essa questão, vamos 
pensar, antes, no problema a seguir:
exeRcício Resolvido
(Comvest/Vestibular Unicamp 2008) Considere a sucessão de 
fi guras apresentada a seguir. Observe que cada fi gura é 
formada por um conjunto de palitos de fósforo.
a. Suponha que essas fi guras representam os três primeiros termos de uma suces-
são de fi guras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que , 
 e indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as 
fi guras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a fi gura seja 
. Calcule e escreva a expressão geral de .
Observação: Esta questão possui o item 
b, que apresentaremos e resolveremos 
no final deste capítulo.
Resolução
Observe que o número de palitos 
de cada fi gura forma a PA
Book_M1_EM_LD_1a prova 38 14/08/15 17:26
Bu
tte
rfl 
y H
un
ter
/S
hu
tte
rst
oc
k.c
om
matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 39
Ou seja, uma progressão aritmética , com e razão . 
De modo que o valor de são os dois quadrados acrescentados na fi -
gura anterior, cada qual com quatro palitos.
Sendo assim, as três primeiras formações podem ser expressas por:
Continuando com esse raciocínio, temos:
O que é sufi ciente para dizer que
Como se pôde notar, para obter qualquer termo de ordem dessa 
sequência, basta somar ao primeiro termo vezes a razão . 
Assim, a fórmula que representa , em função de e de , é:
Com raciocínio semelhante e respondendo à pergunta inicial, se a 
fi gura que formamos com palitos segue um padrão, é possível estabe-
lecer o número de palitos de que vamos precisar em cada etapa. Ao 
generalizar o resultado obtido acima para qualquer PA , obtemos:
e assim por diante. Agora, reescrevendo 
o fator multiplicativo de , temos:
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40 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
Há algum padrão nessas expressões?
Sim, a posição do termo sempre é subtraída 
em uma unidade. Logo, se queremos o termo de 
ordem , teremos a expressão:
denominada termo geral de uma PA.
Diante disso, surge uma questão: o que fazer se o termo for desconhecido?
Ainda utilizando a PA do exemplo 
dado, observe que:
Siga o mesmo raciocínio e 
complete as expressões:
Perceba que o fator multiplicativo de é sempre a diferença entre a posi-
ção do termo do lado esquerdo da equação e a posição do termo do lado 
direito da equação. Isso ocorrerá em qualquer PA e podemos, então, obter a 
fórmula do termo geral:
que, necessariamente, não precisa estar em função do primeiro termo. Por 
exemplo, se uma PA é tal que e , o oitavo termo dessa 
progressão pode ser calculado de duas maneiras diferentes:
 • 1º modo
Determina-se a razão da PA:
 
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matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 41
Em posse da razão, identificamos o oitavo termo:
Ou ainda, usando o :
 • 2º modo
Utilizando a primeira 
forma do termo geral:
Fazendo-se , obtemos:
Substituindo em :
Assim:
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42 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
 • Escreva a expressão do termo geral de cada PA a seguir.
a. b. c. 
d. e. F. 
Resolva a questão 237 do Caderno de Atividades.
inTerPoLA Ção ariTméTica
Considere a seguinte situação: 
inTerPoLA Ção ariTméTica
Considere a seguinte situação: Km
39
Km
21
Determinada cidade é cortada 
por uma rodovia que demarca os 
limites territoriais do município 
nos quilômetros 21 e 39. Para au-
mentar a segurança da população, 
serão instalados 7 radares, um no 
km 21, outro no km 39 e os outros 
cinco, distribuídos igualitariamen-
te entre eles. Quais são os 
quilômetros que vão receber esse 
equipamento?
Você consegue imaginar como 
resolver este problema utilizando 
os conhecimentos de PA adquiri-
dos até aqui?
Vejamos a solução!
O problema pede, em outras 
palavras, que cinco termos aritmé-
ticos (igualmente espaçados) 
A. B. C. 
D. E. F. 
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matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 43
sejam inseridos entre dois termos já conhecidos. Este tipo de situação 
chama-se interpolação aritmética. Para resolvê-la, utiliza-se a PA, de 
modo que, entre esses dois números, haja cinco termos, ou seja, tere-
mos uma progressão de sete termos (os dois termos dados, mais os 
cinco que estão entre eles), e o primeiro e o último termos são, respecti-
vamente, os números fornecidos. 
Assim, utilizando a 
expressão do termo ge-
ral, temos a sequência:
que permite obter:
Logo, os termos da sequência são:
Sendo assim, os radares serão 
instalados nos quilômetros 21, 24, 
27, 30, 33, 36 e 39 da rodovia.
ConCeito
Para uma PA ser determinada, ou seja, para podermos 
escrever os termos dessa progressão, basta conhecer:
 • o primeiro termo e a razão:
 • ou dois termos distintos quaisquer (e suas posições) 
ou um termo (sua posição) e a razão:
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3 6 9 12 15 18 21 24
48
51
45 42 39 36 33 30 27
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
...
... ... ... ... ... ... ?
44 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
1. (PUC-SP 2006) Sobre as casas de um grande tabuleiro de xadrez devem ser colocados 
grãos de arroz, em quantidades que obede-
çam a uma lei de formação sequencial, 
conforme é mostrado na fi gura seguinte. 
a. 170 e 175
b. 175 e 180
c. 180 e 185
d. 185 e 190
e. 190 e 195
2. Determine o vigésimo termo de cada uma 
das seguintes progressões aritméticas:
a. 
b. 
c. 
3. Ada e Zélia são irmãs e, juntas, adquiriram um carro usado em 20 pres-tações mensais e crescentes, sendo a primeira no valor de R$ 500,00 e 
as demais no valor da prestação anterior acrescido de R$ 50,00.
a. Escreva as sequências que representam os 
pagamentos mensais, em reais, de cada uma 
das irmãs, sabendo que uma delas vai pagar 
as onze primeiras prestações e a outra vai pa-
gar as prestações restantes.
A quantidade de grãos de arroz que 
devem ser colocados na casa em que se 
encontra o ponto de interrogação é um 
número compreendido entre
A. 
B. 
C. 
(500, 550, 600, 650, 700, 750, 800, 850, 900, 
950, 1000) e (1050, 1100, 1150, 1200, 1250, 
1300, 1350, 1400, 1450).
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matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7 | 45
b. Agora, escreva as sequências que representam os pagamentos 
mensais, em reais, de cada uma das irmãs, considerando que 
uma delas vai pagar as prestações de ordem ímpar (primeira, 
terceira, quinta etc.) e a outra, as prestações de ordem par.
c. As sequências de pagamentos, nos dois casos, são progressões 
aritméticas? Se sim, qual é a razão de cada uma das progressões?
4. Uma progressão aritmética é tal que seu primeiro termo vale –13 e sua razão é 
igual a 7,5. Determine o décimo terceiro 
termo dessa progressão.
5. Dada a progressão aritmética , 
determine .
6. Insira oito meios aritméticos entre e .
(500, 600, 700, 800, 900, 1000, 1100, 1200, 1300, 
1400) e (550, 650, 750, 850, 950, 1050, 1150, 1250, 
1350, 1450).
Sim. No primeiro caso, a razão de ambas as progressões é R$ 50,00 e no segundo caso, 
R$ 100,00.
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sequÊNcia
que tem como 
razão
é chamada de
que pode ser
se
se
se
é uma função 
cujo domínio é o 
subconjunto dos
a diferença entre dois 
termos consecutivos
constante
crescente
46 | matemática | 1a série | Unidade 3 | capítUlo 7
7. Complete o diagrama a seguir.
Resolva as questões 238 
a 243 e 255 do Caderno 
de Atividades.
Ai dos que chamam ao mal bem e ao bem, mal, que fazem das trevas luz e da luz, 
trevas, do amargo, doce e do doce, amargo! [...] assim como a palha é consumida 
pelo fogo e o restolho é devorado pelas chamas, assim