relatorio exer1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS
BACHARELADO EM GEOFÍSICA
SABRINA OLIVEIRA SÁ
EXERCÍCIO PRÁTICO DA DISCIPLINA TEORIA DA INVERSÃO GEOFÍSICA
Exercício N° 01
SANTARÉM -PA
2023
SABRINA OLIVEIRA SÁ
EXERCÍCIO PRÁTICO DA DISCIPLINA TEORIA DA INVERSÃO GEOFÍSICA
Exercício N° 01
SANTARÉM -PA
2023
Introdução
Neste exercício serão exibidos estágios que integram um processo de inversão, proporciona ainda
uma visualização da instabilidade no espaço de observações e permite efetuar um desenho
de experimento para tomar soluções mais estáveis. Diante disso, almeja-se, a partir de um
perfil observado do campo magnético, estimar a componente do campo geomagnético.
Acredita-se que o campo geomagnético possa ser aproximado por um polinômio de grau
1. Esta simplificação será válida para áreas pequenas onde o campo geomagnético varia
linearmente. Como relação funcional temos: , onde é o campo magnético
observado em ; é uma aproximação do campo geomagnético; é o resíduo,
representado pelas distorções espaciais do campo geomagnético, em geral causadas por
distribuições irregulares de minerais ferromagnéticos na crosta. Encontrar a e b tal que
seja mínimo. Como há vários pontos de medida , é necessário minimizar uma
norma do vetor . Logo, no programa apresentado o vetor p é computado e o ajuste Ap,ϵ
que é a estimativa do campo geomagnético, é obtida e plotada.
Objetivos
O exercício disponibilizado na pasta ex1.m dividiu-se em duas partes, a primeira etapa se resume
em constatar que a estabilidade da solução, caracterizada pelo ângulo formado entre as retas
teórica e ajustada, depende das posições dos pontos onde as observações são efetuadas; e
como devem ser feitas as observações (ou seja, onde elas devem estar localizadas) para que a
solução seja a mais estável possível.
Na segunda etapa é necessário constatar teoricamente que a variância de a b e (anteriormente
deduzida) são iguais aos elementos da diagonal da matriz de covariância de p.
Metodologia
Para solucionar o problema matemático, deve-se encontrar a e b tal que seja
mínimo. Onde temos,
Cuja solução é:
A covariância de dado por:
Ou seja, a variância representa a diagonal da sua matriz;
Para que seja possível executar o programa e o vetor seja computado é necessário que entre com
os seguintes parâmetros:
● O número de observações N;
● O percentual de ruído nas observações (valor entre 0 e 1);
● A semente para o gerador de números pseudo-aleatórios;
● As abcissas xi dos pontos de observação.
Teste 1
● O número de observações = 5
● O percentual de ruídos nas observações [0,1] = 0
● A semente para o gerador de ruídos pseudo-aleatórios = 2
● As abscissas x1 dos pontos das observações= [1 2 3 4 5]
Figura 1: Sem ruído e com solução estável
,
É possível observar na figura 1 que a solução apresentada é estável, visto que as retas, teórica e
ajustada, coincidem- se, e assim apresentam um ângulo perto de zero. É notório que os pontos de
observação exibidos em x, apresentam-se afastados. A estabilidade apresentada na matriz inversa
é constatada pelos valores expostos, uma vez que eles estão próximos a zero.
Teste 2
● O número de observações = 5
● O percentual de ruídos nas observações [0,1] = 0.5
● A semente para o gerador de ruídos pseudo-aleatórios = 2
● As abscissas x1 dos pontos das observações= [1 2 3 4 5]
Figura 2. Solução estável com ruído.
,
A figura 2 mostra uma solução estável com ruído, destaca-se que os dados são os mesmos que
foram usados na figura 1, no entanto, nessa solução usou-se um valor de ruído de 0.5, com isso
nota-se que as retas caracterizam um ângulo maior, diferentemente da figura 1.
Teste 3
● O número de observações = 3
● O percentual de ruídos nas observações [0,1] = 0
● A semente para o gerador de ruídos pseudo-aleatórios = 15
● As abscissas x1 dos pontos das observações= [2 2.5 4]
Figura 3. Solução instável e sem ruído.
Apresenta-se na figura 3, um exemplo que aparentemente seria estável, pois as retas se ajustaram
assim como a figura 1, no entanto é uma solução dita como instável, visto que a as retas não
condizem com os pontos.
Teste 4
● O número de observações =3
● O percentual de ruídos nas observações [0,1] = 0.5
● A semente para o gerador de ruídos pseudo-aleatórios = 15
● As abscissas x1 dos pontos das observações= [2 2.5 4]
Figura 4. Solução instável e com ruído.
No último teste realizado, obteve uma solução instável como mostrado na figura 4. Neste teste
foram usados os mesmos dados da figura 3, porém foi inserido o ruído, é evidente que a diagonal
da matriz está bem próximo de zero, no entrando as retas estão com um ângulo muito acima de
zero, por esse motivo a solução se torna instável.
Conclusões
Diante de todos os testes realizados no decorrer do exercício, foi possível identificar as soluções
mais estáveis possíveis (figura 1 e figura 2), que estão relacionadas ao ângulo entre as retas
(verdadeira e estimada), visto que quanto menor o ângulo, maior será a estabilidade. Também foi
exibido as soluções instáveis do problema(figura 3), que estão associados a variação mais
elevada, diferentemente da solução estável que como já dito anteriormente ficou mais perto de
zero.