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Experimento
Guia do professor
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Análise de dAdos 
e probAbilidAde
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Governo FederalSecretaria de 
Educação a Distância
De quantas maneiras posso passar meu cadarço?
Objetivo da unidade
Fazer uma abordagem diferenciada sobre um problema 
de combinatória.
Guia do professor
Sinopse
Neste experimento, será enunciado um problema de combinatória que trata 
do número de maneiras de passar o cadarço em um tênis, obedecendo a 
certas regras. Os alunos deverão, então, em uma primeira etapa, tentar fazer 
alguns esboços de passadas de cadarço que satis façam todas as regras, 
para ajudá-los a entender o problema de fato e, só então, deverão pensar 
em uma maneira de descobrir quantas possibilidades de passadas exis-
tem. Na segunda etapa, uma das regras será removida, fazendo aumentar 
o número de maneiras possíveis, e os alunos deverão tentar calculá-las 
também. No fechAmento, poderá ser promovida uma discussão sobre 
as generalizações dos problemas das etapas anteriores e, por fim, o que 
aconteceria com o número de possibilidades de passadas de cadarço caso 
qualquer outra regra fosse removida, confi gurando uma maneira diferen-
ciada para o trata mento de um problema de combinatória.
Conteúdos
Combinatória: Técnicas de Contagem.
Objetivos
Fazer uma abordagem diferenciada sobre um problema de combinatória.
Duração
Uma aula simples.
Material relacionado
Experimento: Como economizar cadarço; Combinação com o Táxi; �
Vídeo: Cara ou coroa; �
Software: Geometria do Táxi – Contagem; �
De quantas 
maneiras 
posso passar 
meu cadarço?
Este experimento trata das possibilidades de passar um cadarço. O principal 
objetivo da amarração de um cadarço é aproximar as duas abas do sapato, 
bota, vestido, tecido cortado em cirurgia ou acidente etc.
 A maioria de nós e dos alunos do Ensino Médio usam um ou dois tipos 
de tracejado do cadarço: um zigue-zague com cruzamentos e um estilo 
reto. Mas há várias outras formas de passar o cadarço, e este experimento 
usa este mote para tratar de permutação, contagem e principalmente da 
abstração e do método de imaginar outras maneiras de passar o cadarço.
Os adolescentes e jovens em geral gostam de variações nos seus modos 
de se apresentar, quer seja no comportamento, quer seja no vestuário, 
na forma de cabelo, nos adornos etc. Desta forma, ao colocar a pergunta 
sobre quantas maneiras eles podem passar o cadarço no tênis, sapato ou 
bota, é bem provável que fiquem estimulados a tentar variações dos modos 
clássicos de passar o cadarço.
Comentários iniciais
É provável que alguns alunos queiram variar seus próprios cadarços, o que 
pode tomar muito tempo. Sugira a eles que testem no máximo uma variação 
antes do experimento propriamente dito e desafie-os a utilizarem uma das 
variações estudadas depois de concluída a atividade.
 Consideramos que os furos nos sapatos ou botas vêm aos pares e que 
há uma quantidade de furos em uma aba e uma quantidade de furos 
na outra aba.
 As regras iniciais para a passagem do cadarço pelos pares de furos 
são as seguintes:
o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical; �
o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente �
se ele o faz por cima ou por baixo;
o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar �
diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos;
o cadarço deve alternar de um lado para o outro a cada passada. �
 Qual é o número total de possibilidades que se tem para passar o cadarço 
na bota, obedecendo às regras acima?
 Quantos furos tem o seu tênis?
A proposta nesta etapa é experimentar o caso de cinco pares de furos. 
Podemos representar este caso como na figura 1. Os furos de baixo já estão 
conectados e os furos de cima são as saídas por imposição das regras.
 Assim, temos três furos de cada lado para fazer as variações, que neste 
caso são permutações, e a imposição de simetria entre as duas abas implica 
que a escolha da sequência de furos em uma aba vincula a sequência 
de furos em outra aba. Desta forma, vamos encontrar o fatorial de três 
possibilidades.
As seis possibilidades para o caso de cinco pares de furos
A seguir apresentamos as seis possibilidades.
fig. 1 Representação da configuração inicial para 5 pares de furos
1 – 2 – 3 2 – 1 – 3
fig. 2
 Observe que fechamos o circuito por simplicidade. Para facilitar a 
comparação, indicamos as permutações de , considerando os furos 
disponíveis e contando os pares de furos. Assim, por exemplo, o caso 
 mostra a passagem do cadarço após os dois furos de baixo para 
o primeiro furo imediatamente acima, passa para o segundo furo do outro 
lado, volta para o lado para o terceiro furo e vai para o furo do amarramento. 
Por simetria, a outra parte do cadarço tem a sequência determinada da 
mesma forma.
1 – 3 – 2
3 – 2 – 1
3 – 1 – 2
2 – 3 – 1
fig. 3
 Resolução de um problema da obm
O problema da obm (Olimpíada Brasileira de Matemática) tem as seguintes 
regras:
o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical; �
o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente �
se ele o faz por cima ou por baixo;
o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar �
diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos.
Qual é o número total de possibilidades para se amarrar o cadarço de 
um tênis com 5 furos, obede cendo às regras acima?
 A solução deste problema é mais elaborada do que a do problema da 
Etapa 1, mas devemos enfatizar o procedimento sistemático da contagem 
das possibilidades, não tanto a solução, pois algumas possibilidades permi-
tidas pelas regras deixam um ou mais furos sem o papel de amarração, 
como nos casos abaixo.
fig. 4
 O problema
 Mesmo não sendo de utilidade prática, o problema é interessante, pois 
é acessível para os alunos de Ensino Médio e permite algumas abstrações 
interessantes.
 Vale observar que as maneiras exibidas a seguir devem ser consideradas 
iguais, isto é, devemos levar em conta apenas a ordem na qual o cadarço 
passa pelos furos, não o contorno do cadarço.
 O procedimento de contagem é similar ao feito na Etapa 1. Conside rando 
a confi guração inicial da figura 1 e partindo de um dos lados do furo infe-
rior, temos:
1. opções para o segundo furo;
2. opções para o terceiro furo;
duas opções para o quarto furo; e3. 
mais duas opções para chegar ao furo da amarração, no topo.4. 
 Para manter a simetria, o outro lado deve seguir os furos simétricos. 
Assim, neste caso, temos: .
 Podemos mostrar, por construção, que a generalização para o caso de 
 pares de furos é .
fig. 5
 A dica para demonstrar o resultado acima é fazer a contagem a partir 
do furo inferior e lembrar que o último furo deve ser o furo do topo:
. . . .
Proposta de fechamento
O fechamento consiste na confirmação das contagens feitas pelos alunos. 
Para as Etapas 1 e 2, os alunos devem tomar cuidado para respeitar 
a simetria.
A principal variação desta atividade é eliminar a regra da simetria. Por 
exemplo, as ilustrações abaixo não têm a simetria entre um lado e outro:
fig. 6
 Em outras palavras, vamos usar as seguintes regras:
As regras iniciais para a passagem do cadarço pelos pares de furos serão 
as seguintes:
o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente �
se ele o faz por cima ou por baixo;
o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar �
diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos;
o cadarço deve alternar de um lado para o outro a cada passada. �
 Com essas regras, partindo de um dos lados da parte inferior do cadarço, 
há furos para escolher. Em seguida, há furos, mas, como 
devemos mudar de lado, então há na realidade furos à disposição, 
e assim sucessivamente. Temos, então:
fig. 7
Olimpíada Brasileirade Matemática de 2001, nível 2 problema 6.
Stewart, Ian; Mania de Matemática – 2. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
Morgado, Augusto et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de 
Janeiro: sbm, 2008
Fieggen, Ian. Ian's Shoelace Site. Disponível em <http://www.fieggen.com/
shoelace/>. Acesso em: 29 de agosto de 2010.
Polster, Burkard. The Shoelace Book: A Mathematical Guide to the Best 
(And Worst) Ways to Lace Your Shoes, American Mathematical Society 
(June 3, 2006) .
Ficha técnica
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Vice-Reitor e Pró-Reitor 
de Pós-Graduação
Edgar Salvadori De Decca
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Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Governo FederalSecretaria de 
Educação a Distância
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Revisores
Matemática
Laura Letícia Ramos Rifo
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira