TELA-jogo-das-amebas---o-experimento

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Jogo das amebas
Objetivos da unidade
Analisar conceitos de probabilidade a partir de um jogo;1. 
Identificar estratégias para ganhar um jogo que depende 2. 
de eventos aleatórios com probabilidade conhecida.
O experimento
análise de dados 
e probabilidade
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O experimento
Sinopse
Neste jogo, acompanharemos a evolução de uma família de amebas, 
representadas por grãos de feijão, até a quinta geração. Começando 
com uma única ameba na geração zero, cada ameba da família pode, 
com a mesma probabilidade, ou morrer ou se dividir em outras duas, 
dando origem a uma nova geração. O que é mais provável: que exista 
pelo menos uma ameba na 5ª geração ou que não exista nenhuma? 
Os alunos, organizados em times, tentarão responder a essa pergunta, 
realizando o jogo diversas vezes e analisando os resultados observados. 
No fechamento, conduzidos pelo professor, os alunos formalizarão 
o contexto do jogo, obtendo a resposta do experimento a partir de 
cálculos matemáticos.
Conteúdos
Probabilidade: Definições Básicas, Representação Gráfica, �
Independência, Probabilidade Condicional e Análise de Jogos.
Objetivos
Analisar conceitos de probabilidade a partir de um jogo;1. 
Identificar estratégias para ganhar um jogo que depende de eventos 2. 
aleatórios com probabilidade conhecida.
Duração
Uma aula dupla.
Jogo 
das amebas
Jogo das amebas O Experimento 2 / 9
Introdução
Quais condições de reprodução levam 
uma espécie ao seu desaparecimento? 
Ou a uma explosão demográfica? Intuiti­
vamente, espécies com maior número 
de descendentes por ninhada (bactérias, 
baratas e células doentes, por exemplo) 
têm maior chance de sobrevivência 
do que espécies com menor número 
de descendentes (pandas gigantes, 
por exemplo).
 Modelos probabilísticos podem ser 
utilizados para responder a essa pergunta. 
Um deles é o processo de ramificação: 
imagine uma árvore em que cada galho 
pode se ramificar em novos galhos com 
uma certa probabilidade ou não se ramificar 
e secar, com probabilidade complementar. 
A pergunta se traduz em quanto deve valer 
essa probabilidade para que a árvore tenha 
infinitos galhos?
 Em um caso extremo, se a probabilidade 
de novos galhos for 1, então com certeza 
a árvore será ilimitada (a espécie persistirá 
se essas condições se mantiverem). No outro 
extremo, se a probabilidade for zero, então 
a árvore certamente será limitada.
 Neste experimento, apresentamos o caso 
em que essa probabilidade é ½ e o número 
de novas ramificações por galho é igual a 2, 
utilizando o processo de ramificação para 
modelar uma família fictícia de amebas. 
Qual é a probabilidade de que a família 
exista até a 5ª geração?
Material necessário
Uma moeda comum; �
70 grãos de feijões � (para representar 
as amebas).
Materiais alternativos
Grãos de milhos de pipoca; �
Bolinhas de papel. �
fig. 1
Preparação
Divida a classe em grupos de 4 ou 5 alunos, 
que se organizarão em duas equipes, 
e entregue os materiais necessários.
 Professor, com a folha do aluno já 
distribuída, leia as regras do jogo para 
garantir a participação dos alunos no 
experimento.
 No cara-ou-coroa, a equipe ganhadora 
deve escolher ser o time A ou o time B, 
definidos nas regras do jogo.
Regras do jogo
Cada feijão representará uma ameba, que 1. 
pode se dividir em duas amebas ou morrer, 
dependendo do resultado do lançamento 
de uma moeda;
Se sair cara, a ameba morre; se sair coroa, 2. 
ela se divide em duas amebas; 
 As amebas podem ser classificadas em 
gerações. A geração zero, , é formada por 
uma única ameba inicial; a primeira geração, 
, é formada pelas duas amebas nascidas 
da divisão da primeira; a segunda geração, 
, é formada pelas amebas nascidas 
da geração 1, e assim por diante.
Cada lançamento decide !
sobre a divisão ou a morte 
de apenas uma ameba.
O time A ganha um ponto na rodada se na 3. 
geração 5, , não houver nenhuma ameba; 
já o time B ganha um ponto na rodada se 
houver pelo menos uma das 2⁵ = 32 amebas 
possíveis na quinta geração.
Em cada rodada, uma das equipes faz os 4. 
lançamentos da moeda, até a rodada acabar;
Ganha o jogo a equipe que marcar 10 pontos 5. 
primeiro.
 A questão do jogo é: qual dos dois times 
tem mais chances de vencer?
É importante frisar �
quantas amebas podem 
existir na 5ª geração, que 
é no máximo 32 amebas. 
Os próprios alunos podem 
calcular esse valor.
O tabuleiro
Jogar apenas com feijões não deixa claro 
em que geração se encontram as amebas. 
Sugerimos, então, o uso de um tabuleiro 
como o da figura 2 a seguir.
 Este tabuleiro representa uma árvore 
genealógica e, durante o jogo, as amebas 
são colocadas em suas devidas posições, 
de acordo com a geração a que pertencem. 
 Na página seguinte, um exemplo de como 
usar o tabuleiro.
 O tabuleiro pode ser impresso e entregue 
aos alunos ou desenhado na lousa para 
copiar no caderno.
fig. 2 Tabuleiro
G0
G1
G2
G3
G4
G5
fig. 3 Resultado da moeda: coroa → A ameba inicial se multiplica.
fig. 4 Resultado da moeda:coroa → A 1ª ameba da geração 1 se multiplica.
fig. 5 Resultado da moeda: cara → 2ª ameba 
da geração 1 morre.
fig. 6 Resultado da moeda: cara → A 1ª ameba 
da geração 2 morre.
fig. 7 Resultado da moeda: cara → A 2ª ameba 
da geração 2 morre. O time A ganha 1 ponto.
Aquisição de dados
Nesta primeira etapa, os alunos coletarão 
informação a partir da realização de partidas 
do jogo. Deixe que os alunos joguem 
por cerca de 20 minutos. Neste período 
esperamos que seja possível a realização 
de duas partidas pela maioria dos grupos. 
É importante, contudo, que os mais lentos 
realizem ao menos uma partida. Como 
notação, sugira aos alunos usarem “k”, 
para cara, e “c”, para coroa.
 Os alunos deverão anotar os resultados 
obtidos pelo grupo durante o jogo usando 
uma tabela como a do exemplo a seguir, 
onde está apresentado o resultado de uma 
partida com 11 rodadas (tabela 1). A equipe A 
ganhou o jogo por 10 a 1.
 A tabela deve ser construída no caderno 
dos alunos individualmente. Enfatizamos 
que a coleta deste dados é fundamental para 
a segunda parte do experimento. Além disso, 
frise aos alunos que deve ser construída 
uma tabela para cada partida. 
etapa
 Após cada partida, indicamos que sejam 
anotados os valores totais, o que facilitará 
o trabalho dos alunos e do professor nas 
próximas etapas. A tabela 2 é uma sugestão 
que deve também ser feita no caderno.
Sequência de lançamentos Total 
de caras
Total 
de coroas
Total 
de gerações
Time 
ganhador
k 1 0 0 A
k 1 0 0 A
k 1 0 0 A
ckk 2 1 1 A
ccckckkkk 5 4 3 A
k 1 0 0 A
ckk 2 1 1 A
ckk 2 1 1 A
cccckkckkckkc 6 7 5 B
k 1 0 0 A
k 1 0 0 A
tabela 1 Tabela para ser reproduzida no caderno.
Cara Coroa Total de gerações Time ganhador
0 1 2 3 4 5 A B
23 14 6 3 0 1 0 1 10 1
tabela 2 Tabela a ser reproduzida no caderno, com o resumo de cada partida.
Representação gráfi ca
Tendo em mãos os dados obtidos na etapa 
anterior, os alunos deverão sistematizar 
essas informações em gráfi cos de frequência. 
Para isso, proponha-lhes as seguintes 
construções:
Gráfi co 1: 1. Faça um gráfi co de frequência 
com os resultados dos lançamentos.
 Exemplo:
etapa
fig. 8 Resultado do lançamento.
Estes exemplos de gráfi cos �
representam as infor-
mações totais da sala 
mostradas na tabela 2.
Gráfi co 2: 2. Faça um gráfi co de frequência 
para o total de gerações por família. 
 Exemplo:
Gráfi co 3: 3. Faça um gráfi co de frequências com 
os resultados de cada rodada.
 Exemplo:
 Cada aluno deve fazer os gráfi cos em seu 
caderno a partir dos dados coletados durante 
as partidas jogadas.
0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
10
fig. 9 Total de gerações.
fig. 10 Resultado da rodada.
Discussão sobre os resultados obtidos
O Gráfico 1, � figura 8, mostra o total de caras 
e coroas obtidas no jogo. Assumindo que 
a moeda é balanceada e que os lançamentosnão favorecem nenhuma das faces, espe-
ramos que metade dos lançamentos seja 
cara. No entanto, flutuações em torno de 50% 
são plausíveis de ser observadas.
O Gráfico 2, � figura 9, permite analisar quão 
frequentemente observamos 5 gerações 
em uma família de amebas. Ele nos entrega 
o primeiro indício da baixa probabilidade da 
família sobreviver sob as condições do jogo.
O Gráfico 3, � figura 10, apresenta uma esti-
mativa das chances de cada time vencer, indi-
cando que as condições são mais favoráveis 
para o time A.
Aspectos Teóricos
Nesta parte do fechamento, os alunos 
podem determinar a probabilidade de não 
existir nenhuma ameba na 5ª geração.
 A solução apresentada aqui envolve 
o conceito de independência de eventos 
e uma análise sistemática das possibili-
dades existentes. Mostraremos as contas 
para as primeiras gerações e as gerações 
seguintes podem ser analisadas da mesma 
maneira.
1ª geração � – Na 1ª geração podemos ter 
ou 0 ou 2 amebas, dependendo do resultado 
do primeiro lançamento da moeda. Portanto, 
a probabilidade de que não exista nenhuma 
ameba em G1 é igual à probabilidade de 
obter cara no primeiro lançamento, que é 
.
2ª geração – Na 2ª geração, podemos ter 0, 
ou 2 ou 4 amebas, como no esquema abaixo:
 
 
 Para as gerações seguintes, a conta é mais 
árdua, mas segue o mesmo raciocínio:
 Isso mostra que o time A tem aproxima-
damente 77,5% de chance de ganhar o jogo.
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor 
de Projetos Educacionais 
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autora
Laura Letícia Ramos Rifo
Coordenação de redação
Fabrício de Paula Silva
Redação
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio 
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Projeto gráfico 
e ilustrações técnicas
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
 
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto