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Tudo o que você sempre quis 
saber 
Série Matemática na Escola 
Objetivos 
1. Relembrar algumas propriedades da 
adição, da multiplicação e da potenciação; 
2. Responder questões curiosas da 
Matemática. 
 
Tudo o que você 
sempre quis 
saber 
 
 
Série 
Matemática na Escola 
Conteúdos 
Propriedade Fundamental da 
Potência; potência de expoente 
zero; potências de expoente 
negativo; multiplicação de 
números negativos. 
Duração 
Aprox. 10 minutos. 
Objetivos 
Trabalhar em sala de aula 
questões que estimulam a 
curiosidade dos alunos. 
 
Sinopse 
Através de um desafio 
envolvendo as habilidades em 
skate do aluno Luciano e os 
conhecimentos em xadrez do 
professor Rubão, o vídeo busca 
de forma bem humorada 
responder questões da 
Matemática que frequentemente 
provocam dúvidas e estimulam a 
curiosidade nos alunos. 
Material relacionado 
Áudios: Menos que o nada –
negativo, Zero sim, mas com 
muito orgulho. 
 
 
VÍDEO 
Tudo que você sempre quis perguntar 3/8 
Introdução 
Sobre a série 
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do 
Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os 
programas desta série usualmente são informativos e podem ser 
introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou 
fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. 
Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte 
ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários 
trazem informações interdisciplinares. 
Sobre o programa 
Este vídeo aborda algumas questões curiosas da matemática, que 
envolvem adição, multiplicação e potenciação, tais como: 
• Por que 20 = 1? 
• Por que 3-5 = 1/(35)? 
• Por que “-” com “-” dá 
“+”? 
 
 
Neste guia respondemos a essas perguntas e justificamos por que as 
propriedades apresentadas valem em geral. 
Por que 20 = 1? 
O produto de fatores iguais pode ser representado na forma de 
potência, onde a base é o fator que se repete e o expoente determina 
 
VÍDEO 
Tudo que você sempre quis perguntar 4/8 
a quantidade de vezes que a base aparece. Por exemplo: x1 = x; x2 = 
x.x; x3 = x.x.x = x.x2, e assim sucessivamente. 
A Propriedade Fundamental da Potência diz que, dado um número real 
x, com x ≠ 0, e m e n dois números naturais, temos: 
xm.xn = xm+n 
Através desta propriedade é possível verificar, por exemplo, que 20 = 
1, como veremos a seguir. 
Para potência de expoente zero, é preciso definir x0 de forma que a 
Propriedade Fundamental da Potência seja satisfeita. 
Como xm.xn = xm+n, fazendo m = 0 chegamos em xn.x0 = xn+0, ou seja, 
xn.x0 = xn. Para que um número multiplicado por outro resulte nele 
mesmo, este outro número deve ser igual a 1. Dessa forma, x0 = 1. 
Isso significa que, satisfazendo as condições da Propriedade 
Fundamental da Potência, todo número real elevado a zero é igual a 1. 
Portanto, 20 = 1. 
Observação: perceba que a Propriedade Fundamental da Potência é 
válida quando a base é um número diferente de zero. Mas, o que 
aconteceria se x = 0? Observe que x0 = xk.x-k, isso equivale a x0 = 
(xk)/(xk). Essa divisão é igual a 1 se x ≠ 0 e 0/0 se x = 0. No entanto, 
0/0 é uma expressão indeterminada. Portanto, x deve ser diferente de 
zero. 
Professor, na versão atual do vídeo, aos 4 minutos, há um erro de 
digitação na segunda linha das equações mostradas. O correto é 
1.X
n
 =X
n 
Por que 3-5 = 1/(35)? 
Como foi visto anteriormente, xm.xn = xm+n. Utilizando potências 
negativas, obtemos: 
xm.x-n = xm+(-n) = xm+n 
 
VÍDEO 
Tudo que você sempre quis perguntar 5/8 
Para o caso particular questionado acima, começamos verificando que 
(35).(3-5) = 35-5 = 30 = 1. Visto que (35).(3-5) = 1, podemos dividir ambos 
os membros dessa igualdade por 35: ((35).(3-5))/(35) = 1/(35), ou seja, 3-5 
= 1/(35). 
Com esse mesmo raciocínio, verifica-se o caso geral (xn).(x-n) = xn-n = 1. 
Pela Propriedade Fundamental da Potência, x deve ser diferente de 
zero. Como (xn).(x-n) = 1, então, ((xn).(x-n))/(xn) = 1/(xn). Logo, x-n = 1/(xn). 
Outra maneira de entender potências de expoentes negativos é 
analisando o esquema abaixo: 
 
Observe que, ao aumentar os expoentes de um em um, as potências 
se multiplicam por 3. Já no esquema a seguir, ao diminuir os 
expoentes de um em um, as potências se dividem por 3. 
 
Repare, por exemplo, que 32 = 27/3, 31 = 9/3 e 30 = 3/3. Para manter a 
regularidade observada, é preciso ter 3-1 = 1/3, e 3-2 = (1/3)/3 = 
(1/3).(1/3) = 1/32. 
Por que “-” com “-” dá “+”? 
 
VÍDEO 
Tudo que você sempre quis perguntar 6/8 
É comum os alunos terem dúvidas em relação ao resultado da 
multiplicação entre dois números negativos. Para entender melhor por 
que essa multiplicação resulta em um número positivo, precisamos 
relembrar algumas propriedades da adição e da multiplicação: 
I) Comutativa: a + b = b + a e a.b = b.a; 
II) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c); 
III) Distributiva: a.(b + c) = a.b + a.c; 
IV) Elemento Neutro da Multiplicação: a.1 = a; 
V) Inverso Aditivo: x + (inverso aditivo de x) = 0; 
 Exemplo: seja x = 2; o inverso aditivo de 2 é -2, pois 2 + (-2) = 0. 
VI) Inverso Multiplicativo: x (inverso multiplicativo de x) = 1; 
Exemplo: seja x = 2; o inverso multiplicativo de 2 é 1/2, pois 2.(1/2) = 
1. 
Agora, consideremos x = -1. Sabemos que x.(0) = 0. Logo, (-1).(0) = 0 e 
isso é o mesmo que escrever (-1).(-1+1) = 0 (pois a soma de um 
número com o seu inverso aditivo dá zero). Aplicando a distributiva na 
equação anterior, obtemos ((-1).(-1)) + ((-1).(1)) = 0, o que equivale à 
seguinte igualdade: ((-1).(-1)) + (-1) = 0 (pela propriedade IV, o produto 
de um número por 1 é sempre o próprio número). Assim, para que um 
número somado com (-1) dê zero, esse número só pode ser igual a 1. 
Portanto, (-1).(-1) = 1. 
É importante observar que dados dois números reais a e b, temos: 
 (-a).(-b) = a.b 
Através de algumas propriedades, é possível mostrar que a igualdade 
acima é verdadeira. Pelo elemento simétrico da multiplicação, temos 
que (-a).(-b) = (-1).(a).(-1).(b); aplicando a propriedade comutativa e 
depois a propriedade associativa no segundo membro da igualdade 
 
VÍDEO 
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anterior, obtemos (-1).(a).(-1).(b) = (-1).(-1).(a).(b) = ((-1).(-1)).(a.b). 
Sabemos que ((-1).(-1)) = 1. Logo, (-a).(-b) = a.b. Isso significa que a 
multiplicação entre dois números negativos resulta em um número 
positivo. 
Curiosidade: embora os primeiros registros da aparição de números 
negativos tenham ocorrido há cerca de dois milênios, seu uso foi 
evitado pelos matemáticos até por volta do século XVII. 
 
Sugestões de atividades 
Antes da execução 
Revise propriedades básicas da aritmética, propriedades da adição 
(associativa, comutativa, inverso aditivo), da multiplicação (associativa 
comutativa, distributiva, elemento neutro, inverso multiplicativo) e da 
potenciação. Motive o aluno a refletir sobre as questões que serão 
abordadas no vídeo. 
Depois da execução 
Aplique exercícios que utilizam as propriedades mencionadas no 
programa. Trabalhe com situações problema, para que o aluno saiba 
onde tais propriedades se aplicam, como mostra o exemplo a seguir. 
Problema: 
“Uma mulher avarenta passeava um dia pela rua quando encontrou um 
jovem que conheceu há pouco tempo. O jovem propôs à mulher o 
seguinte negócio: iria lhe pagar R$ 1.000,00 a cada dia durante 15 
dias; em contrapartida, a mulher daria ao jovem R$ 1,00 no primeiro 
dia, R$ 2,00 no segundo dia, R$ 4,00 no terceiro dia e assim 
sucessivamente, dobrando o valor dia a dia, até completar os 15 dias. 
Quem sairia ganhando mais dinheiro caso a proposta fosse aceita pela 
mulher?” 
 
VÍDEO 
Tudo que você sempre quis perguntar 8/8 
Solução: 
Como a mulher receberia R$ 1.000,00 por dia, ao final dos 15 dias ela 
teria R$ 15.000,00. 
Para o jovem, o valor dobra dia a dia começando do valor de R$ 1,00. 
Então, no primeiro dia ele receberiaR$ 1,00 (ou o mesmo que 20); no 
segundo dia, R$ 2,00 (ou 21); no terceiro dia, R$ 4,00 (ou 22) e assim 
sucessivamente, até o décimo quinto dia (214). Logo, o resultado é 
dado pela soma 20 + 21 + 22 + 23 + … + 214 = 32.767. 
Portanto, o jovem receberia R$ 32.767,00 e a mulher receberia R$ 
15.000,00, ou seja, o jovem sairia ganhando mais dinheiro. 
 
Sugestões de Leitura 
G. Iezzi; O. Dolce; A. Machado. Matemática e Realidade. 2ª edição. 
Atual Editora, 2005. 
J.R. Giovanni; E. Parente. Aprendendo Matemática. Editora FTD, 1999. 
Revista do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de 
Matemática. 
 
Ficha técnica 
Autor Michelly Guerra Costa 
Revisor Cristiano Torezzan 
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva 
Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 
Universidade Estadual de Campinas 
Reitor Fernando Ferreira Costa 
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca 
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Diretor Jayme Vaz Jr. 
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira