2-ajuste-de-curvas-regressao-linear

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Laboratório de Física I 
 
 Prática 2: Ajuste de Curvas – Método dos Mínimos 
Quadrados 
 
 
 
 Após a realização de medidas experimentais queremos estabelecer relações entre 
grandezas Físicas medidas. O procedimento mais adequado para isso é confeccionar 
gráficos, como foi feito na aula passada, para podermos visualizar melhor as 
dependências existentes e verificar se uma grandeza y varia com ax
n
, ou y = a e
nx
, etc... 
Por exemplo, na Figura ao lado vemos 
que y varia proporcionalmente com 
1/x
n
, entretanto a relação correta não é 
possível ser encontrada apenas 
visualizando o gráfico. Precisamos ou 
fazer um ajuste da função y = a x
-n
 + b 
aos pontos obtidos experimentalmente 
para encontrarmos os valores de a, b e 
n ou linearizar o gráfico para encontrar esses valores (como também foi feito na aula 
passada). Porém, os valores encontrados podem não ser os melhores, pois o ajuste foi 
realizado apenas “visualmente”. Dessa forma, a melhor solução pode ser encontrada 
através dos ajustes da curva linearizada à função adequada. Em casos complexos, em vez 
de linearizar a curva, lineariza-se a função (preparem-se para aprender a série de Taylor) e 
se usam os próprios pontos observados para o ajuste. Em qualquer caso, o método de 
mínimos quadrados é definido com o objetivo de estabelecer o melhor ajuste entre os 
pontos observados e a curva que fornece os valores mais prováveis para os coeficientes da 
função. 
 
 Uma dúvida comum é: se a equação a ser ajustada é uma reta, não bastaria medir 
dois pontos para se encontrar os coeficientes a e b? Não. Dois pontos iriam permitir 
encontrar valores exatos para a e b. Porém, é muito provável que esses valores sejam 
muito imprecisos, já que as medidas contém erros aleatórios. E o desvio padrão, como 
vimos na primeira aula, teria um intervalo de confiabilidade extremamente alto. Se 
realizamos várias medidas e fizermos o ajuste por mínimos-quadrados, teremos valores 
y
x
2 
 
mais precisos. Com isso, se for necessário realizar extrapolações para pontos longe da 
região utilizada em nossas medidas, teremos resultados mais confiáveis. 
 Por exemplo, na Figura abaixo, extrapolar a função para x = 15 dará um valor de y 
muito diferente em cada curva. 
 
 
Figura 1. Duas retas cujo critério para traçá-las foi apenas visual. 
 
 Assim, na maioria das situações nos defrontamos com sistemas onde o número de 
equações (m) que representam as observações (bm) é diferente do número (n) de 
parâmetros (pn). 
 Seja o sistema 
 a11 p1 + a12 p2+ . . . + a1n pn = b1 
 a21 p1 + a22 p2 + . . . + a2n pn = b2 
 .... ... ... [1] 
 am1 p1 + am2 p2 +. . . + amn pn = bm 
 
onde aij e bi são fornecidos. Se m<n, não existe solução para o sistema. Se m=n o sistema 
será resolvido exatamente, mas a solução não dá qualquer evidência da precisão, nem de 
bj e nem de pj derivadas delas. Se m>n a situação é sobredeterminada e não se pode, 
geralmente, satisfazer a todas as equações exatamente. Essa é, normalmente, a situação 
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experimental que enfrentamos e desejamos. Nesse caso, devemos definir a solução que 
melhor satisfaz o sistema em questão. 
 Um dos métodos utilizados para isso é o Método dos Mínimos 
Quadrados (Whittaker e Robinson, 1937) que define a melhor solução como aquela que 
minimiza a função ΕΕΕΕ dada pela soma do quadrado da diferença (dj) entre o valor 
observado e o calculado para a função, ou seja 
 dj = aj1 p1 + . . . + ajn pn - bj [2] 
e 
 d = 
2
j
m
1=j
∑Ε [3] 
quando todas as funções em [2] são lineares, independentes e de igual credibilidade. Pode 
ser, entretanto, que uma dessas equações tenham um desvio (dk) duas vezes maior, por 
exemplo, que o de outra (di); o valor correspondente de dk
2
 sendo 4 vezes maior que di
2
, 
de forma que é necessário dividir o valor de dk
2
 por 4 antes de adicioná-lo em ΕΕΕΕ, para se 
obter uma função mais apropriada. A função minimização (ΕΕΕΕ), portanto, deve ser 
 d w = Ε
2
jj
m
1j=
∑ [4] 
onde o peso wj é proporcional ao recíproco do quadrado do erro encontrado na jª equação 
(em termos estatísticos, o recíproco da variância da jª equação). E estará em um mínimo 
com relação a cada parâmetro pi quando 
 0 = 
p
i
∂
Ε∂
 [5] 
o que fornecerá uma equação, chamada normal, para cada parâmetro pi. 
 Entretanto, como já dissemos, esse método se aplica quando as funções são 
lineares, e normalmente em trabalhos de laboratório não é este o caso. Dessa forma, as 
equações que representam as observações devem ser linearizadas em série de Taylor e, 
nos cálculos, devemos considerar apenas os termos até a primeira ordem. Ou, nos casos 
mais simples, pode-se linearizar a função aplicando logaritmos, como na aula passada. 
 Para os casos mais simples, onde a função já é linear, o procedimento abaixo deve 
ser realizado. Nesses casos, o ajuste leva o nome de regressão linear e já está definido em 
4 
 
praticamente todos os programas gráficos ou planilhas como Excel, ou a planilha do 
software livre libre office, que é muito bom e é recomendado pela Unesp. 
 
Ajuste de Curvas 
 
 Se um número de medidas é realizado para a mesma quantidade física e 
essas medidas são sujeitas a erros aleatórios, então, a teoria do método dos mínimos-
quadrados enuncia que “o valor mais provável da quantidade medida (no caso, da 
função que descreve a Lei Física) é a que minimiza a soma dos quadrados dos erros 
( ”. 
Vamos supor que os vários pontos tenham coordenadas (x1,y1), (x2,y2),..., (xn,yn) e sabe-
se que x e y estão relacionados por uma equação linear, tal que: 
 
 y(x) = a + bx [6] 
 
Então, o problema torna-se encontrar os coeficientes a e b que definem a reta. Neste 
caso, geralmente a reta não irá passar por qualquer dos pontos, desde que eles estão 
sujeitos a erros aleatórios. 
Portanto, cada ponto tem um “erro” que é dado pelo desvio da linha reta dada pela 
equação [6], como se pode ver na Figura 2. 
 
 
Figura 2. Erros correspondentes cada ponto (segmentos pontilhados vermelhos). Para a 
segunda medida está indicado o (y2 - y2obs = ∆y). 
y = a + bx 
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Para o primeiro ponto (x1,y1) temos 
 
x = x1 => y1c = a + bx1, onde y1c é o valor calculado para o y1 na posição x1. 
 
Logo o erro para esse ponto é dado por: 
e1 = (a + bx1) – y1obs, 
onde y1obs é o valor observado para a primeira medida. 
 
do mesmo modo encontra-se o erro para os outros pontos: 
e2 = (a + bx2) – y2obs 
e3 = (a + bx3) – y3obs, 
....... ......... ........... 
en = (a + bxn) – yn obs, 
 
 Como o objetivo do método de mínimos-quadrados é minimizar a soma do 
quadrado dos erros, então fazemos: 
������
�
��	
 0 
Então: 
 
 ∑ ��������	 
 �
 � ��	 � �	�� �	�
 � ��� � ���� �⋯�	�
 � ��� � ����	=0 [7] 
 
e para encontrar os valores de a e b deriva-se a equação em relação a cada um dos 
coeficientes. Neste caso, fazemos as derivadas em relação a a e b, e iguala-se a zero. 
 
�∑ ��������	
�
 
 0				�					
� ∑ ��������	
�� 
 0 
Portanto: 
 
6 
 
�∑ ��������	
�
 
 2�
 � ��	 � �	� � 2�
 � ��� � ��� � ⋯� 2�
 � ��� � ��� 
 0 
de onde se tira: 
 
 �
 � �∑ ��� �	∑ �� 
 0� [8] 
e de 
�∑ ��������	
�� 
 0 
Tem-se: 
 
 
∑ ��� � �∑ ���� �	∑ ���� 
 0� [9] 
 
As equações [8] e [9] são as equações normais e podem ser escritas também como: 
 
 
 ∑ y�� 
 	na � b∑ x�� [10a] 
 ∑ x�y�� 
 	a∑ x�� � b∑ x��� [10b] 
 
Resolvendo para a e b temos: 
 
 
( )∑ ∑
∑ ∑ ∑∑
−
−
=
22
2 ...
xxn
yxxxy
a [11a] 
 
( )∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
−
=
22
..
xxn
yxyxn
b [11b] 
 
O coeficiente de determinação - R2 (Lê-se R quadrado) – descreve a qualidade do ajuste aos 
dados observados. Quanto mais próximo de 1, melhor. Mais próximo de zero indica que a regressão não 
se ajusta bem aos dados. 
 R� 
 	1 �	 !"## !$%$ [12] 
onde SSerr é a soma do quadrado dos erros e SQtot é a soma total dos quadrados. 
 SQ()( 
	∑ �y� � y*���[13] 
e 
 SQ+,, 
 	∑ �y� � y-��� [14] 
onde 
7 
 
 y* 
 	 	.∑ y�.��	 [15] 
e yc é o valor de y calculado pela equação encontrada. 
 
Experimento do dia: 
 
A tabela abaixo mostra a posição de um objeto em função do tempo. Neste caso, o 
objeto se desloca sem aceleração (movimento retilíneo uniforme). Então, sabemos que a 
posição é descrita por y(t) = yo + vot, que é a equação de uma reta. 
 
⇒ Encontre os valores de yo e vo traçando uma reta pelo método visual. 
⇒ Encontre os valores de yo e vo utilizando o método dos mínimos quadrados. 
 
eixo-x: tempo(s) eixo-y: posição (m) 
1,00 4,00 
2,00 5,00 
3,00 8,00 
4,00 13,0 
5,00 16,0 
6,00 17,0 
 
A Tabela abaixo irá ajudá-lo a preparar os dados para as equações: 
 
(x) (t/s) y (posição/m) x.y x2 yc (y - yc)
2 �� � �*�� 
1,00 4,00 
2,00 5,00 
3,00 8,00 
4,00 13,0 
5,00 16,0 
6,00 17,0 
Σx Σy Σx.y Σx2 Σ(y - yc)
2 ��� � �*�� 
�* 
 	 _________ 
 
Substitua os valores encontrados na Tabela acima nas equações [11] para encontrar a 
reta mais provável que representa essas medidas e o R
2
. 
 
y(x) = _____ + ______ x 
 
R
2
 = __________