Análise de Componentes Principais (PCA)

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Tratamento de dados, análise exploratória 
e método não supervisionado de 
classificação (PCA).
Profa Dra Fabíola Manhas Verbi Pereira 
fabiola.verbi@unesp.br
1 FMVP
PCA
A Análise de Componentes Principais é 
uma técnica quimiométrica que reduz 
as dimensões originais de um 
determinado conjunto de dados 
numéricos. 
2 FMVP
Variável 1
Variável 2
Fundamentação da PCA
PC1
PC2 PC3
3 FMVP
Componentes Principais (PC)
 Os novos eixos (PC) são ortogonais 
entre si (completamente não 
correlacionados)
 São construídos em ordem 
decrescente da quantidade de 
variância que descrevem (primeiro 
fator descreve maior variância nos 
dados que o segundo...)
 Determinação da dimensionalidade 
intrínseca do conjunto de dados
4 FMVP
Componentes Principais (PC)
 PC: Número menor que as 
variáveis originais (Redução de 
variáveis)
 Direção que melhor explica os 
dados: 1a PC
 Base da PCA: Encontrar 
autovalores e autovetores de uma 
matriz de variância-covariância
5 FMVP
Posto de matriz, autovalores e 
autovetores
Posto de uma matriz
• Número de linhas ou colunas linearmente 
independentes.
Autovalores e Autovetores
• Cálculo de sub-sistemas muito menores para 
dados que apresentam muitas variáveis 
(dimensões)
A = x
Autovetor
Autovalor
6 FMVP
AF Fe AF Fe
297,7 7,3 0,6 -0,4
257,5 9,3 0,2 1,3
338,7 10,9 1,0 2,6
271,6 8,7 0,3 0,8
306,7 9,3 0,7 1,2
..
.
..
.
..
.
..
.
107,5 6,3 -1,4 -1,2
97,0 5,6 -1,5 -1,7
151,7 7,4 -0,9 -0,3
141,2 7,8 -1,0 0,0
139,9 8,7 -1,0 0,8
Média 241 8 0 0
SD 98 1 1 1
Variáveis Auto.
Variância e Covariância
Variância (s2): 
Espalhamento dos dados ao 
redor do seu valor médio 
para uma única variável
Covariância (Cov): 
Distribuição dos dados 
multivariados e suas 
relações
onde
1
2
2
−
=

n
xd
s )( xxxd i −=
1
)()(
−
−−
=

n
FexxAFxx
COV
ii
7 FMVP
Cálculos
Variância (s2)
AFxxi − Fexxi − ))(( FexxAFxx ii −−
8
AF Fe AF Fe
297,7 7,3 0,6 -0,4 0,6 -0,4 -0,2
257,5 9,3 0,2 1,3 0,2 1,3 0,2
338,7 10,9 1,0 2,6 1,0 2,6 2,6
271,6 8,7 0,3 0,8 0,3 0,8 0,2
306,7 9,3 0,7 1,2 0,7 1,2 0,8
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
107,5 6,3 -1,4 -1,2 -1,4 -1,2 1,6
97,0 5,6 -1,5 -1,7 -1,5 -1,7 2,5
151,7 7,4 -0,9 -0,3 -0,9 -0,3 0,3
141,2 7,8 -1,0 0,0 -1,0 0,0 -0,1
139,9 8,7 -1,0 0,8 -1,0 0,8 -0,8
Média 241 8 0 0 Soma 11,8
SD 98 1 1 1
1 1
Variáveis Auto.
FMVP
Matriz variância e covariância
COV = 
11,8
29
= 0,4
AF Fe
AF 1,0 0,4
Fe 0,4 1,0
COVAFFe
9 FMVP
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
S
2
 F
e
S
2
 AF
Matriz variância e covariância
Graficamente
Cov AFFe
Cov FeAF
10 FMVP
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
S
2
 F
e
S
2
 AF
Matriz variância e covariância
Projeção de uma 
elipse
11 FMVP
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
S
2
 F
e
S
2
 AF
Autovalores
PC1
PC2 Autovalor 
da PC1
Autovalor 
da PC2
12 FMVP
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
S
2
 F
e
S
2
 AF
Autovetores (seno e cosseno)
0,86
0,92
=45o
Sen  = 0,707 
Cos  = 0,707 
 = - 45o
Sen  = -0,707
Cos  = 0,707 
PC2
PC1
13 FMVP
Como calcular os autovalores
AF Fe
AF 1,0 0,4
Fe 0,4 1,0
COVAFFe
Para uma matriz quadrada temos:
det (COVAFFe – a.I)=0
Onde I é a matriz identidade e “a” são os autovalores.
Assim teremos:
0
0,14,0
4,00,1
det =





−
−
a
a O cálculo da determinante é a 
diferença do produto da 
diagonal principal com o 
produto da diagonal secundária
Diagonal secundária
Diagonal principal
14 FMVP
Como calcular os autovalores
Assim teremos uma equação de segundo grau:
6,02
4,11
084,022
=
=
=+−
a
a
aa
%6,29100
6,04,1
6,0
a2 a referente %
%4,70100
6,04,1
4,1
a1 a referente %
=
+
=
=
+
=
Variância explicada:
15 FMVP
PC1 = 0,70AFi + 0,70Fei
Matriz de Scores
PC2 = -0,70AFi + 0,70Fei
PC1 = Sen  AFi + Cos  Fei
PC2 = Sen  AFi + Cos  Fei
AF Fe PC1 PC2
0,58 -0,36 0,16 -0,67
0,18 1,26 1,02 0,77
1,00 2,56 2,52 1,10
0,32 0,78 0,77 0,32
0,68 1,26 1,37 0,42
... ... ... ...
-1,37 -1,17 -1,79 0,14
-1,47 -1,73 -2,26 -0,19
-0,91 -0,28 -0,84 0,45
-1,02 0,05 -0,69 0,76
-1,03 0,78 -0,18 1,28
Dados autoescalados Scores
16 FMVP
Matriz de Loadings (Pesos)
Matriz de Scores: 30 linhas 
(amostras) e 2 colunas (PC1 e 
PC2) 
Matriz de Loadings: 2 linhas 
(variáveis – AF e Fe) e 2 colunas 
(PC1 e PC2) 
PC1 PC2
AF 0,707 0,707
Fe -0,707 0,707
17 FMVP
Visualização dos dados - Scores
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
P
C
2
 (
2
9
%
)
PC1 (70%)
Milho
Trigo
18 FMVP
Visualização dos dados - Loadings
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-1 -0,5 0 0,5 1
P
C
2
 (
2
9
%
)
PC1 (70%)
AF
Fe
19 FMVP
Scores e Loadings
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
P
C
2
 (
2
9
%
)
PC1 (70%)
Milho
Trigo
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-1 -0,5 0 0,5 1
P
C
2
 (
2
9
%
)
PC1 (70%)
AF
Fe
20 FMVP
21
Dados originais
ID AF Fe
M1 298 7,3
M2 258 9,3
M3 339 10,9
M4 272 8,7
M5 307 9,3
M6 340 6,6
M7 289 8,4
M8 488 7,1
M9 306 7,7
M10 322 7,0
M11 285 8,3
M12 325 7,5
M13 313 9,1
M14 317 7,6
M15 398 8,3
T1 183 7,6
T2 176 7,1
T3 206 7,2
T4 75 4,4
T5 118 6,8
T6 207 8,8
T7 189 7,6
T8 223 8,0
T9 180 7,1
T10 174 8,7
T11 107 6,3
T12 97 5,6
T13 152 7,4
T14 141 7,8
T15 140 8,7
A
m
o
s
tr
a
s
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
M1
M2
M3
M4 M5
M6
M7
M8
M9
M10
M11
M12
M13
M14
M15
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7 T8
T9
T10
T11
T12
T13
T14
T15Scores
P
C
2
 (
3
4
%
)
PC1 (66%)
-0,80 -0,40 0,00 0,40 0,80
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
AF
Fe
Loadings
P
C
2
 (
3
4
%
)
PC1 (66%)
> AF
< AF
FMVP
22
Representação
X
N
K
t = scores
p = loadings
p1 p2
= t1 + t2 + ... E
ETPX +=
FMVP
23
Cálculo dos scores e loadings via
SVD
SVD = Singular Value Decomposition
Decomposição de valores singulares
X VTSU= xx
V = Loadings
UxS = Scores
FMVP
24
Exemplo numérico (SVD)
400 401 402 403 404 405
AmT1 0,139 0,139 0,140 0,141 0,142 0,144
AmT2 0,236 0,237 0,238 0,241 0,243 0,245
AmT3 0,352 0,354 0,357 0,360 0,364 0,367
AmT4 0,481 0,485 0,488 0,493 0,498 0,503
AmT5 0,603 0,608 0,613 0,619 0,625 0,630
Média 0,362 0,365 0,367 0,371 0,374 0,378
400 401 402 403 404 405
AmT1 -0,223 -0,225 -0,228 -0,230 -0,232 -0,234
AmT2 -0,126 -0,127 -0,129 -0,130 -0,131 -0,132
AmT3 -0,010 -0,010 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011
AmT4 0,119 0,120 0,121 0,123 0,124 0,125
AmT5 0,241 0,243 0,246 0,248 0,250 0,252
Média 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Matriz X (Espectros de 400 a 405 nm)
Matriz X centrada na média
FMVP
25
Matrizes U, S e V
-0,601 -0,203 -0,338 -0,532 -0,447
-0,340 0,059 0,792 0,234 -0,447
-0,028 -0,098 -0,479 0,749 -0,447
0,320 0,798 -0,109 -0,220 -0,447
0,648 -0,556 0,135 -0,230 -0,447
U
0,932 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
S
UxS = Scores
0,398 -0,470 0,685 -0,088 0,027 0,378
0,402 -0,165 0,106 0,565 0,045 -0,692
0,407 -0,512 -0,714 -0,014 -0,094 0,232
0,411 0,145 -0,018 -0,770 0,215 -0,414
0,414 0,457 0,046 0,029 -0,778 0,112
0,418 0,509 -0,088 0,281 0,581 0,376
V ou Loadings
FMVP
26
Scores (UxS)
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5
-0,560 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,317 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,026 0,000 0,000 0,000 0,000
0,299 0,000 0,000 0,000 0,000
0,604 0,000 0,000 0,000 0,000
Variância 0,217 0,000 0,000 0,000 0,000
Variância
Total
% Var 100 0,00 0,00 0,00 0,00
0,217
Scores (UxS)
A PC1 contêm 100% da informação original
As demais PC’s contêm ruídos
FMVP
27
Reconstruíndo a matriz X
-0,601 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,340 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,028 0,000 0,000 0,000 0,000
0,320 0,000 0,0000,000 0,000
0,648 0,000 0,000 0,000 0,000
U
0,932 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
S
0,398 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,402 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,407 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,411 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,414 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,418 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
V ou Loadings
FMVP
28
Reconstruíndo a matriz X
-0,223 -0,225 -0,228 -0,230 -0,232 -0,234
-0,126 -0,127 -0,129 -0,130 -0,131 -0,132
-0,010 -0,010 -0,011 -0,011 -0,011 -0,011
0,119 0,120 0,121 0,123 0,124 0,125
0,240 0,243 0,246 0,248 0,250 0,253
0,139 0,139 0,139 0,141 0,142 0,144
0,236 0,237 0,238 0,241 0,243 0,245
0,352 0,354 0,357 0,360 0,364 0,367
0,481 0,485 0,488 0,493 0,498 0,503
0,603 0,607 0,613 0,619 0,625 0,630
Matriz X centrada na média - Reconstruída
Matriz X - Reconstruída
FMVP
29
Reconstruíndo a matriz X
0,139 0,139 0,140 0,141 0,142 0,144
0,236 0,237 0,238 0,241 0,243 0,245
0,352 0,354 0,357 0,360 0,364 0,367
0,481 0,485 0,488 0,493 0,498 0,503
0,603 0,608 0,613 0,619 0,625 0,630
Matriz X - Original
0,139 0,139 0,139 0,141 0,142 0,144
0,236 0,237 0,238 0,241 0,243 0,245
0,352 0,354 0,357 0,360 0,364 0,367
0,481 0,485 0,488 0,493 0,498 0,503
0,603 0,607 0,613 0,619 0,625 0,630
Matriz X - Reconstruída
-0,000027 -0,000020 -0,000105 -0,000045 0,000006 0,000014
-0,000042 -0,000012 0,000074 0,000008 -0,000016 -0,000007
0,000011 -0,000038 -0,000072 0,000024 0,000005 -0,000012
0,000166 0,000080 0,000174 -0,000031 -0,000117 -0,000132
-0,000108 -0,000010 -0,000072 0,000045 0,000122 0,000137
Matriz de erros
FMVP
30
Escolha do número de 
componentes principais
Espectros (Vis) de Amarelo Tartrazina e Amarelo 
Crepúsculo (Corantes alimentícios)
350 400 450 500 550
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
Comprimento de onda (nm)
A
b
s
Matriz: 54 linhas e 
1001 variáveis 
(350 a 550 nm)
FMVP
31
Escolha do número de 
componentes principais
PC1 = 81,5%
PC2 = 18,4%
Demais PC < 0,1%
PC1 + PC2  100%
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7 PC8 PC9 PC10
0
30
60
90
V
a
ri
â
n
c
ia
 e
x
p
li
c
a
d
a
 (
%
)
PC
FMVP
32
Outlier Diagnostics
Região onde amostras anômalas são encontradas
FMVP
33
Distância de Mahalanobis (MD)
T
ikii ttSttMD )()(
1 −−= −
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
Distância de Mahalanobis
Onde, ti é o score da amostra i, é a 
média do vetor de scores e S é a 
matriz de covariância dos scores 
t
FMVP
34
Resíduos
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0
3
6
9
12
15
18
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
Resíduos
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
FMVP
35
Leverage (h)
Posição das observações das amostras, umas 
relativas às outras, no espaço dos K-componentes 
principais
Leverage baixa ➔ O objeto está perto do centro do 
conjunto de dados com respeito ao espaço K-
dimensional. Este objeto tem pouquíssima 
importância no modelo gerada pela PCA
Leverage alta (Perto de 1) ➔ O objeto está longe da 
média e isto pode ter tido uma grande influência no 
espaço K-dimensional.
1
1
 h
k
FMVP
Métodos supervisionados de classificação 
(SIMCA e kNN).
Profa Dra Fabíola Manhas Verbi Pereira 
fabiola.verbi@unesp.br
FMVP 1 FMVP
Métodos de classificação
Técnicas de 
reconhecimento
Identificar 
semelhanças e 
diferenças em 
tipos de amostras 
distintos 
• Amostras do mesmo tipo são semelhantes
• Existem diferenças entre diferentes tipos de 
amostras
• As semelhanças e diferenças são visualizadas 
nas medidas utilizadas na caracterização das 
amostras
FMVP 2 FMVP
FMVP 3 FMVP
Métodos de classificação
Técnicas 
supervisionadas
Deve-se saber quais amostras são 
semelhantes e quais são diferentes para 
encontrar os critérios de classificação
Os critérios de discriminação são 
supervisionados
FMVP 4 FMVP
Técnicas supervisionadas e não-
supervisionadas
-0.2 0.0 0.2
Factor1
-0.2
-0.1
0.0
0.1
F
a
c
to
r2
Anorm.BSuP 1
Anorm.BSuP 2
Anorm.BSuP 3
Anorm.BSuP 4
Anorm.BSuP 5
Anorm.BSuP 6
Anorm.BSuP 7
Anorm.BSuP 8
BraSua - PIA 1
BraSua - PIA 2
BraSua - PIA 3
BraSua - PIA 4BraSua - PIA 5
BraSua - PIA 6
BraSua - PIA 7
BraSua - PIA 8
BraSua - PIA 9
BraSua - PIA 10
BraSua - PIA 11
BraSua - PIA 12BraSua - PIA 13
BraSua - PIA 14
BraSua - PIA 15
PCA é uma técnica não
supervisionada
FMVP 5 FMVP
Técnicas de classificação
1 
Variáveis seguem uma distribuição 
normal (SIMCA)
Paramétricas
Não consideram informações sobre a 
distribuição da população. Os 
próprios dados definem sua estrutura 
(kNN)
Não paramétricas
FMVP 6 FMVP
Técnicas de classificação
2 
As amostra pertencem a uma classe 
somente (kNN)
Discriminantes
As amostras podem pertencer a 
várias classes, a uma classe 
específica ou a nenhuma classe 
(SIMCA)
Modelativas
FMVP 7 FMVP
Discriminante
Modelativa
Fronteiras podem se 
sobrepor
FMVP 8 FMVP
Técnicas de classificação
3 
Estima um grau de confiança da 
classificação (SIMCA)
Probabilísticas
Não estimam um grau de certeza de 
uma classificação (kNN)
Determinísticas
FMVP 9 FMVP
Etapas da classificação multivariada
1 - Modelagem 2 - Validação
Seleção das amostras para o 
conjunto de treinamento
As amostras devem ser 
representativas (escolha 
cuidadosa):
• Colete os dados 
experimentais X
• Construção do modelo
Verificação do modelo com 
amostras que não foram 
incluídas no treinamento
3 - Previsão
Aplicação do modelo em 
amostras desconhecidas
FMVP 10 FMVP
kNN
kth Nearest Neighbor
(k-ésimo Vizinho mais Próximo)
Calcula-se a distância entre uma 
amostra desconhecida e todas as 
amostras do conjunto de 
treinamento. A atribuição a uma 
classe é feita por votos usando a 
classe de amostras mais próximas 
como critério
FMVP 11 FMVP
kNN
• Calcula a distância entre todas as 
amostras do conjunto de treinamento no 
espaço N-dimensional
• Os k vizinhos mais próximos de cada 
amostra são escolhidos para votar. Cada 
um dá um voto para sua classe. A classe 
que recebe mais votos ganha a amostra
• No caso de empate, a classe com a 
menor distância acumulada fica com a 
amostra
FMVP 12 FMVP
kNN
• As classes para amostras teste são 
previstas da mesma maneira: a classe é 
prevista com base na distância da 
amostra teste às k amostras mais 
próximas do conjunto de treinamento
• Para selecionar o número ótimo de 
vizinhos é utilizada a validação cruzada 
deixando uma amostra de fora de cada 
vez
FMVP 13 FMVP
kNN
Computacionalmente muito simples
Vantagen
Não detecta outliers, mas aloca-os 
nas classes conhecidas
Desvantagem
FMVP 14 FMVP
kNN - exemplo
Espectros de massa 
(headspace) de 
amostras de café
Objetivo: construir 
modelos de 
classificação para 
verificar a qualidade 
do café
FMVP 15 FMVP
KNN – matriz de votos
FMVP 16 FMVP
KNN – erros
1 vizinho
FMVP 17 FMVP
SIMCA
Soft Independent Modeling of Class 
Analogy
Modela-se a localização e distribuição 
das classes, por meio do uso de 
Análise de Componentes Principais 
(PCA)
FMVP 18 FMVP
SIMCA
• Cada classe de um conjunto de 
treinamento é submetida a uma 
análise de componentes principais
• O número de componentes 
principais para cada classe é 
determinado e constrói-se uma 
hipercaixa envolvendo as amostras 
de cada classe, onde os limites das 
mesmas são definidos com um dado 
nível de confiança
FMVP 19 FMVP
SIMCA - exemplo
Modelagem Independente Flexível por Analogia de Classe
Classe 4
Classe 2
Classe 3
Classe 1
PC 1
PC 2
PC 3
?
FMVP 20 FMVP
SIMCA - exemplo
FMVP 21 FMVP
FMVP
SIMCA - exemplo
22 FMVP
FMVP 1
Profa Dra Fabíola Manhas Verbi Pereira
fabiola.verbi@unesp.br
Métodos de calibração multivariada (PLS)
FMVP
Introdução a calibração multivariada
Antes:
• Pouca instrumentação 
analítica
• Métodos baseados em 
via-úmida (reações 
químicas)
• Resultados univariados
Hoje:
• Desenvolvimento da 
microeletrônica e 
informática
• Instrumentação paraanálises
• Resultados multivariados
Transformação de medidas 
instrumentais em resultados que 
possam ser interpretados
Calibração
Previsão de uma informação 
quantitativa y, a partir de 
medidas X, por meio de alguma 
função de transferência
Previsão
FMVP 2 FMVP
Introdução a calibração multivariada
Aumento da precisão devido à utilização de um maior 
número de variáveis
Vantagens
Determinações simultâneas
Determinações mesmo sem resolução
Determinações mesmo na presença de 
interferentes!!!
FMVP 3 FMVP
Análise multivariada
Objetivo
Desenvolvimento de modelos
• Previsão de propriedades 
de interesse
Sim ou Não
Espécie1, Espécie 2, Espécie 3...
• Propriedade 
quantitativa
Concentração de elementos 
químicos, compostos orgânicos...
FMVP 4 FMVP
Avanço tecnológico
Instrumentação analítica
• UV/Vis
• Fluorescência molecular
• Fluorescência de raios-X
Convencional (XRF)
Reflexão total (TRXRF)
• Cromatografia
Líquida (LC)
Gasosa (GC)
Alta Eficiência (HPLC)
Chama (FAAS)
Forno de grafite (GFAAS)
Fonte contínua (CSAAS)
Spray térmico (TS-FF-AAS)
• Espectrometria de 
absorção atômica
Próximo (NIR)
Médio (MIR)
• Infravermelho
Emissão (ICPOES)
Massa (ICPMS)
• Plasma ótico acoplado indutivamente
FMVP 5 FMVP
Amostra
(líquida, 
sólida, 
gasosa)
Equipamento
350 400 450 500 550
0,000
0,300
0,600
0,900
1,200
A
b
s
o
rb
â
n
c
ia
Comprimento de onda (nm)
Y
X
Resposta
(matriz de dados):
• Cromatograma
• Espectro de UV/Vis
• Espectro no IR
• ...
Propriedades de interesse
• Concentração
• Umidade
• Teor de gordura
• ...
Função
Y = f(X)
FMVP 6 FMVP
Organização dos dados
350 400 450 500 550
0,000
0,300
0,600
0,900
1,200
A
b
s
o
rb
â
n
c
ia
Comprimento de onda (nm)
Espectros no UV/Vis de 
corantes de alimentos
Concentração dos corantes
Amarelo 
Tartrazina
Amarelo 
Crepúsculo
1,52 2,53
3,58 2,12
... ...
10,25 1,25
0,75 1,56
X
Matriz X Matriz Y
Variáveis Independentes Variáveis Dependentes
Y
FMVP 7 FMVP
Etapas da calibração multivariada
1 - Modelagem 2 - Validação
Seleção das amostras para o 
conjunto de calibração
As amostras devem ser 
representativas (escolha 
cuidadosa):
• Colete os dados 
experimentais X
• Determine 
experimentalmente a 
propriedade de interesse (Y) 
por algum método de 
referência
• Construção do modelo que 
correlacione X e Y
Verificação do modelo com 
amostras que não foram 
incluídas na calibração
3 - Previsão
Aplicação do modelo em 
amostras com valores 
desconhecidos
FMVP 8 FMVP
Calibração univariada
Método de mínimos quadrados
9 12 15 18
200
240
280
320
A
b
s
 x
 1
0
0
0
Gotas de DFC
yi
yi
^
ei
FMVP 9 FMVP
Cálculo de uma curva de calibração
[Cd] Absorbância
5 0,0216
10 0,0424
15 0,0678
20 0,0886
25 0,107
baxy +=



 
−
−
=
n
X
X
n
yX
yX
a
i
i
ii
ii
2
2
)(
Xbyb 1−=
YXXXb tt 1)( −=
ou
FMVP 10 FMVP
X =
251
201
151
101
51
Xt =
252015105
11111
XtX =
137575
755
(XtX)-1 =
004,006,0
06,01,1
−
−
YXXXb tt 1)( −=
XtY =
996,5
327,0
b =
00434,0
00038,0
a
b
00038,000434,0 += xy
FMVP 11 FMVP
0 5 10 15 20 25
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
A
b
s
o
rb
â
n
c
ia
[Cd]
00038,000434,0 += xy
FMVP 12 FMVP
Calibração univariada
Vantagem: Muito simples 
de interpretar e 
implementar
Desvantagem: Requer 
seletividade completa. No 
caso da presença de 
interferentes, suas 
contribuições devem ser 
constantes e podem ser 
removidas.
Exemplo: Construção de um modelo para 
previsão de uma propriedade
Sinal analítico 1 (matriz X) Propriedade (matrix Y)
2 297
3 304
4 301
5 300
6 307
7 304
7 299
9 311
10 308
11 312
12 307
13 304
14 313
16 312
18 314
20 320
FMVP 13 FMVP
Visualização dos dados
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
295
300
305
310
315
320
325
Matriz X
M
a
tr
iz
 Y
Segue a Lei de Beer
FMVP 14 FMVP
Visualização dos dados (matrizes)
201
181
161
141
131
121
111
101
91
71
71
61
51
41
31
21
Matriz X
320
314
312
313
304
307
312
308
311
299
304
307
300
301
304
297
Matriz Y
0b 1b
xy 0,1297 +=
317
315
313
311
310
309
308
307
306
304
304
303
302
301
300
299
Matriz Ŷ
3
1
1
2
6
2
4
1
5
5
0
4
2
0
4
2
−
−
−
−
−
−
−
Matriz de 
resíduos 
FMVP 15 FMVP
Visualização dos dados (Real x Previsto)
295 300 305 310 315 320 325
296
298
300
302
304
306
308
310
312
314
316
318
320
Y
 (
p
re
v
is
ta
s
)
Y (reais)
^
FMVP 16 FMVP
Visualização dos dados (Real x Resíduo)
295 300 305 310 315 320 325
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
R
e
s
íd
u
o
s
Y (reais)
FMVP 17 FMVP
Sinal analítico 2 (matriz X) Propriedade (matrix Y)
15 297
5 304
15 301
20 300
10 307
20 304
30 299
15 311
25 308
20 312
35 307
45 304
30 313
40 312
45 314
40 320
O analista não ficou satisfeito 
(efetuou novas medidas)
FMVP 18 FMVP
Visualização dos dados
0 10 20 30 40 50
295
300
305
310
315
320
325
Matriz X
M
a
tr
iz
 Y
FMVP 19 FMVP
Visualização dos dados (matrizes)
401
451
401
301
451
351
201
251
151
301
201
101
201
151
51
151
Matriz X
320
314
312
313
304
307
312
308
311
299
304
307
300
301
304
297
Matriz Y
0b 1b
xy 5,0294 +=
314
317
314
309
317
312
304
307
302
309
304
299
304
302
297
302
Matriz Ŷ
6
3
2
4
13
5
8
1
9
10
0
8
4
1
7
5
−
−
−
−
−
−
−
−
Matriz de 
resíduos 
FMVP 20 FMVP
Visualização dos dados (Real x Previsto)
295 300 305 310 315 320 325
296
298
300
302
304
306
308
310
312
314
316
318
320
Y
 (
p
re
v
is
ta
s
)
Y (reais)
FMVP 21 FMVP
Visualização dos dados (Real x Resíduo)
295 300 305 310 315 320 325
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
R
e
s
íd
u
o
s
Y (reais)
Resíduos altos quando os 
valores de Y são altos 
(heteroscedasticidade)
FMVP 22 FMVP
E agora?
Por que não utilizar Calibração Multivariada?
Em muitas aplicações, uma única 
medida não é suficiente para 
descrever um sistema ou prever 
uma propriedade (por exemplo, 
concentração de um metal) de 
interesse
FMVP 23 FMVP
Vamos trabalhar com os dois sinais analíticos 
(1 e 2)
Sinal analítico 1 (matriz X) Sinal analítico 2 (matriz X) Propriedade (matrix Y)
2 15 297
3 5 304
4 15 301
5 20 300
6 10 307
7 20 304
7 30 299
9 15 311
10 25 308
11 20 312
12 35 307
13 45 304
14 30 313
16 40 312
18 45 314
20 40 320
FMVP 24 FMVP
Visualização dos dados (matrizes)
Matriz X
320
314
312
313
304
307
312
308
311
299
304
307
300
301
304
297
Matriz Y
0b
1b
21 5,00,2300 xxy −+=
40201
45181
40161
30141
45131
35121
20111
25101
1591
3071
2071
1061
2051
1541
531
1521
2b
FMVP 25 FMVP
320
314
312
313
304
307
312
308
311
299
304
307
300
301
304
297
Matriz Ŷ
1,0
3,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
3,0
3,0
3,0
3,0
2,0
3,0
2,0
2,0
1,0
−
−
−
−
−
−
−
−
Matriz de resíduos 
Previsão e resíduos
320
314
312
313
304
307
312
308
311
299
304
307
300
301
304
297
Matriz Y
FMVP 26 FMVP
Visualização dos dados (Real x Previsto)
295 300 305 310 315 320 325
296
298
300
302
304
306
308
310
312
314
316
318
320
Y
 (
p
re
v
is
ta
s
)
Y (reais)
FMVP 27 FMVP
Visualização dos dados (Real x Resíduo)
295 300 305 310 315 320 325
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
R
e
s
íd
u
o
s
Y (reais)
FMVP 28 FMVP
Visualização dos dados (Real x Previsto)
295 300 305 310 315 320 325
294
296
298
300
302
304
306
308
310
312
314
316
318
320
322
Y
 (
p
re
v
is
ta
s
)
Y (reais)
Sinal 1
Sinal 2
Sinal 1 e 2
FMVP 29 FMVP
295 300 305 310 315 320 325
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
R
e
s
íd
u
o
s
Y (reais)
 Sinal1
 Sinal2
 Sinal 1 e 2
Visualização dos dados (Real x Resíduo)
FMVP 30 FMVP
PLS (Regressão por mínimos 
quadrados parciais)
• Desenvolvido no final dos anos 60 por H. Wold em 
Econometria
• Em química: S. Wold e H. Martens noinício dos anos 
80
• Boa alternativa para os métodos clássicos RLM e PCR 
Robusto: Os parâmetros do modelo não mudam muito 
quando novas amostras de calibração são adicionadas ao 
modelo
• Baseado nas propriedades do algoritmo Nipals 
FMVP 31 FMVP
PLS – como funciona!!!
Relações externas – decomposição da matriz X
X
N
K
t = scores
p = loadings
p1 p2
= t1 + t2 + ... E
ETPX T +=
FMVP 32 FMVP
PLS – como funciona!!!
Relações externas – decomposição da matriz Y
Y
N
K
u = scores
q = loadings
q1 q2
= u1 + u2 + ... E
EUQY T +=
FMVP 33 FMVP
PLS – como funciona!!!
Relação interna – Encontra-se uma relação linear entre 
os scores de X e Y.
TbU *=
Coeficientes de regressão
FMVP 34 FMVP
PLS – Validação cruzada (Cross validation)
É fundamentada na avaliação da magnitude dos erros de 
previsão comparando as concentrações das amostras do 
conjunto de calibração com as respectivas previsões 
quando as mesmas não participam na construção do 
modelo de regressão
Am1
Am2
Am3
Am4
Am5
Am6
Am7
Conjunto de 
calibração
Retira uma amostra
Constrói-se o modelo 
de calibração com as 
demais
Utiliza-se o modelo para 
prever a concentração da 
amostra que ficou de fora.
FMVP 35 FMVP
Parâmetros de avaliação do modelo
Soma dos quadrados dos resíduos de 
previsão (PRESS, Predicted residual 
error sum of squares):
2
)ˆ( − ii yy
Erro de previsão:
)ˆ( ii yy −
Valor 
real
Valor 
previsto
Raiz quadrada da soma dos 
quadrados dos resíduos de 
previsão (RMSEP, Root mean
squared error of prediction):
2
)ˆ(
n
yy ii −
Número de amostras do 
conjunto de calibração
FMVP 36 FMVP
Parâmetros de avaliação do modelo
O processo de validação cruzada é repetido para 1, 2, 3 
... componentes principais
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
P
re
s
s
Número de componentes principais
FMVP 37 FMVP
Leverage
Mede a influência de uma amostra no modelo de 
regressão. Pode ser interpretada geometricamente como 
a distância de uma amostra ao centróide do conjunto de 
dados.
)()()(
1 1 xxXXxx
n
h i
TT
iii −−+=
−
Onde:
:é o espectro da iésima amostra
:é o espectro médio
:é a matriz de variância-covariância
ix
x
)( XX T
FMVP 38 FMVP
Resíduo de student
Resíduo das propriedades (por exemplo, concentrações) 
que são calculadas. Para obter a influência de cada 
amostra em particular, usa-se o resíduo de Student:
)1)(1(
)ˆ(
Re
2
ii
ii
i
hn
yy
síduo
−−
−
=
iii
ii
hsiduo
yy
dentsíduodeStu
−
−
=
1Re
)ˆ(
Re
2
FMVP 39 FMVP
Precisão
Sensibilidade
m = número de réplicas feitas
n = número de amostras
෡ത𝑦𝑖 = média dos valores previstos de cada réplica ො𝑦𝑖
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
ො𝑦𝑖 − ෡ത𝑦𝑖
2
𝑛(𝑚 − 1)
𝑆Ê𝑁 =
1
𝑏
𝑏 = 𝑏1
2 + 𝑏2
2 +⋯+ 𝑏𝑛
2
FMVP 40 FMVP
Limites de detecção e quantificação
𝐿𝑂𝐷 =
3,3 𝑥 𝑆𝐷𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜
𝑆Ê𝑁
𝐿𝑂𝑄 =
10 𝑥 𝑆𝐷𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜
𝑆Ê𝑁
෍
𝑝=1
𝑝
𝑦𝑝 − ො𝑦𝑝 − 𝑏𝑖𝑎𝑠
2
p −1
Erro de previsão (SEP, standard error of prediction):
σ𝑖=1
𝐼 𝑦𝑖 − ො𝑦𝑖
2
I − 𝐴 − 1
Erro de previsão (SEC, standard error of calibration):
Bias = viés = 
1
𝐼
σ𝑖=1
𝐼 𝑦𝑖 − ො𝑦𝑖
FMVP 41 FMVP
Desvio padrão relativo
𝑅𝑆𝐷 =
𝑅𝑀𝑆𝐸𝑃
ത𝑦
𝑥 100
Sensibilidade analítica
𝑆𝐸𝑁𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 =
𝑆𝐸𝑁
𝑆𝐷𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜
FMVP 42 FMVP
1
Disciplina: Aplicações de Quimiometria
Profa Dra Fabíola Manhas Verbi Pereira 
fabiola.verbi@unesp.br
Tratamento de dados
FMVP
2
Álgebra matricial básica
Matriz (X): Tabela de dados com uma ou mais linhas e 
uma ou mais colunas (letras em negrito maiúsculas: X)
Cd Cu Pb Zn
1 1,93 6,95 11,2 34,5
2 2,16 6,52 11,6 32,1
3 2,02 7,23 10,9 34,2
4 1,37 13,7 1,90 83,5
5 1,46 3,91 2,68 73,5
6 1,43 7,66 2,32 77,5
7 1,01 10,8 4,81 54,9
8 1,12 13,6 7,29 52,0
9 1,08 11,6 5,92 52,5
10 0,100 11,2 31,3 36,0
11 0,200 10,9 21,4 36,9
12 2,40 12,8 36,9 41,9
Metais (mg/kg)
Solo
X
12:4
12 linhas e 
4 colunas
FMVP
3
Cd Cu Pb Zn
1 1,93 6,95 11,2 34,5
2 2,16 6,52 11,6 32,1
3 2,02 7,23 10,9 34,2
4 1,37 13,7 1,90 83,5
5 1,46 3,91 2,68 73,5
6 1,43 7,66 2,32 77,5
7 1,01 10,8 4,81 54,9
8 1,12 13,6 7,29 52,0
9 1,08 11,6 5,92 52,5
10 0,100 11,2 31,3 36,0
11 0,200 10,9 21,4 36,9
12 2,40 12,8 36,9 41,9
Solo
Metais (mg/kg)
Objetos: Amostras, compostos químicos 
Linhas da matriz
Variáveis: Características medidas das amostras 
(espectros, cromatogramas, propriedades físicas, 
concentração de espécies químicas...) 
Colunas da matriz
Linha 
Amostra
Coluna 
Variável
FMVP
4
Matriz Transposta (X’): Troca de linhas por colunas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Cd 1,93 2,16 2,02 1,37 1,46 1,43 1,01 1,12 1,08 0,100 0,200 2,40
Cu 6,95 6,52 7,23 13,7 3,91 7,66 10,8 13,6 11,6 11,2 10,9 12,8
Pb 11,2 11,6 10,9 1,90 2,68 2,32 4,81 7,29 5,92 31,3 21,4 36,9
Zn 34,5 32,1 34,2 83,5 73,5 77,5 54,9 52,0 52,5 36,0 36,9 41,9
Solos
Metais (mg/kg)
X’
4:12
4 linhas e 12 colunas
FMVP
5
Vetor (x): Matriz com somente uma linha ou coluna
1,461,372,022,161,93x =
1,46
1,37
2,02
2,16
1,93
x'=
1 2 3 4 5
Cd 1,93 2,16 2,02 1,37 1,46
Metais (mg/kg)
Solos
FMVP
6
Análise de dados multivariados
➔ Definição do problema
➔ Organização dos dados
➔ Validação dos dados
➔ Visualização dos dados originais
➔ Transformação/Pré-processamento 
dos dados
➔ Análise exploratória dos dados
FMVP
7
Análise de dados multivariados
➔ Construção de modelos
➔ Calibração/Classificação
➔ Validação dos modelos
➔ Previsões
FMVP
8
Fatores a serem considerados
Origem do problema:
➔ Como os dados foram gerados;
➔ Que técnicas analíticas foram utilizadas;
➔ O nível de exatidão relacionado a cada 
variável;
➔ Quando os dados foram coletados
➔ Já foi efetuada uma análise anterior;
➔ Existem informações anteriores que sejam 
pertinentes;
➔...
FMVP
9
Quais dados podem ser estudados?
Variáveis:
➔ Instrumento multicanal: espectros
➔ Instrumentação de separação: 
cromatogramas
➔ Determinações múltiplas de instrumentos 
específicos: testes físicos, químicos e 
biológicos.
➔ Resposta de análise sensorial
FMVP
10
K Mg Ca Zn Fe Mn
1 21531 2620 3709 18 78 127
2 20646 1818 4357 17 345 127
3 20298 2131 4243 19 280 98
4 14476 1291 3144 12 197 72
5 24311 3117 5599 24 161 70
6 22519 2712 7500 25 1000 70
7 6630,9 523,3 3125 9 60 72
8 29585 3856 6931 62 540 118
9 9317,7 773,7 1034 7 60 53
10 8431,8 869,9 3069 10 155 111
11 14848 3237 7348 23 175 330
12 9752,9 2776 9717 21 207 82
13 11193 2250 9692 14 239 101
14 19966 1872 3832 17 366 149
15 13053 2281 4767 22 293 1258
Metais (mg/kg)
Chás
Visualização dos dados
Concentração de alguns metais em chás (matriz: 15 x 6)
FMVP
11
Visualização dos dados
350 400 450 500 550
0,000
0,300
0,600
0,900
1,200
A
b
s
o
rb
â
n
c
ia
Comprimento de onda (nm)
Corantes alimentícios de amarelo tartrazina e amarelo 
crepúsculo (matriz: 54 x 1001)
FMVP
12
Correlação entre as variáveis
FMVP
13
Pré-tratamento dos dados
Remoção de fontes de variação indesejáveis: utiliza 
recursos matemáticos
Transformação
Aplicado às amostras 
(linhas da matriz X)
Pré-
processamento
Aplicado às variáveis 
(colunas da matriz X)
Transformação dos dados
Sinal Analítico = Sinal Verdadeiro + Ruído aleatório
FMVP
14
Transformação dos dados
Aplicação de técnicas matemáticas às amostras visando a 
remoção de variações aleatórias ou sistemáticas 
indesejáveis que podem informações relevantes.
Variações aleatórias 
(ruído experimental)
Tratadas por meio de 
técnicas de alisamento 
(smoothing)
Variações sistemáticas
Reduzidas ou eliminadas 
por meio de correções 
da linha de base
FMVP
15
Correções da linha de base
Espectro no 
infravermelho
Primeira derivada
400 1000 1600 2200 2800 3400 4000
0,560
0,600
0,640
0,680
A
b
s
o
rb
â
n
c
ia
Número de onda (cm)
400 1000 1600 2200 2800 3400 4000
-0,0008
-0,0004
0,0000
0,0004
0,0008
P
ri
m
e
ir
a
 d
e
ri
v
a
d
a
Número de onda (cm)
FMVP
16
Pré-processamento
Linhas
Colunas
Dias antes Ac. Fol. FeProt. Lip. Um. Cin. Carb.
do vencimento (mg/100g) (mg/100g) % % % % %
M1 papel 21 a 90 dias 298 7,3 6,86 1,07 10,78 0,32 80,96
M2 papel > 91 dias 258 9,3 6,34 1,06 11,36 0,37 80,86
M3 papel 21 a 90 dias 339 10,9 6,42 0,97 11,16 0,31 81,13
M4 papel 21 a 90 dias 272 8,7 6,43 0,83 9,72 0,27 82,74
M5 papel 21 a 90 dias 307 9,3 6,60 0,73 11,64 0,29 80,73
M6 papel > 91 dias 340 6,6 6,65 2,50 11,69 0,47 78,69
M7 papel 21 a 90 dias 289 8,4 6,70 2,58 11,95 0,68 78,08
M8 papel > 91 dias 488 7,1 6,77 3,08 11,95 0,75 77,45
M9 papel 21 a 90 dias 306 7,7 6,77 2,81 11,87 0,64 77,91
M10 papel > 91 dias 322 7,0 6,60 3,23 11,71 0,80 77,65
M11 papel < 20 dias 285 8,3 6,16 2,50 11,72 0,53 79,78
M12 papel < 20 dias 325 7,5 6,16 2,58 11,71 0,42 80,27
M13 papel > 91 dias 313 9,1 6,78 3,08 12,20 0,43 78,63
M14 papel 21 a 90 dias 317 7,6 6,95 2,81 11,81 0,41 79,25
M15 papel > 91 dias 398 8,3 6,69 3,23 12,16 0,35 82,16
T1 plastico < 20 dias 183 7,6 10,35 1,21 12,94 0,63 74,28
T2 Papel < 20 dias 176 7,1 9,92 1,17 12,99 0,61 75,31
T3 Papel < 20 dias 206 7,2 10,27 1,29 13,22 0,59 74,64
T4 Papel < 20 dias 75 4,4 10,27 1,49 12,58 0,62 75,04
T5 Papel < 20 dias 118 6,8 10,32 1,43 13,23 0,62 74,39
T6 Papel < 20 dias 207 8,8 10,86 1,21 11,05 0,59 76,29
T7 Papel < 20 dias 189 7,6 10,25 1,17 11,69 0,66 76,22
T8 Papel 21 a 90 dias 223 8,0 10,25 1,29 12,54 0,43 75,49
T9 Papel < 20 dias 180 7,1 10,44 1,18 12,46 0,59 75,33
T10 Papel < 20 dias 174 8,7 10,39 1,17 12,34 0,61 75,49
T11 Papel < 20 dias 107 6,3 11,38 1,49 12,72 0,55 73,86
T12 Papel < 20 dias 97 5,6 10,45 1,48 12,66 0,55 74,85
T13 Papel 21 a 90 dias 152 7,4 10,53 1,45 12,57 0,60 74,85
T14 Papel 21 a 90 dias 141 7,8 10,09 1,58 11,82 0,64 75,87
T15 Papel 21 a 90 dias 140 8,7 10,49 1,15 12,65 0,51 75,20
A
m
o
s
tr
a
s
Classes Variáveis
ID Emb.
FMVP
17
Visualização dos dados
M2 M4 M6 M8 M10 M12 M14 T1 T3 T5 T7 T9 T11 T13 T15
0
250
500
V
a
lo
re
s
Amostras
 AF
 Fe
 Prot.
 Lip.
 Um.
 Cin.
 Carb.
FMVP
18
Dados originais
AF Fe Prot. Lip. Um. Cin. Carb.
0
100
200
300
400
500
V
a
lo
re
s
 s
e
m
 p
ré
-p
ro
c
e
s
s
a
m
e
n
to
Variáveis
Média
Mediana
Média + SD
Média - SD
95% dos dados
> valor
< valor
95% dos dados
FMVP
19
Dados centrados na média
AF Fe Prot. Lip. Um. Cin. Carb.
-200
-100
0
100
200
300
V
a
lo
re
s
 c
e
n
tr
a
d
o
s
 n
a
 m
é
d
ia
Variáveis FMVP
20
Dados autoescalados
AF Fe Prot. Lip. Um. Cin. Carb.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
V
a
lo
re
s
 a
u
to
e
s
c
a
la
d
o
s
Variáveis FMVP
21
Tipos de pré-processamento
Centrado na média  aplicado em 
espectros

=
=
n
i
ijj x
n
x
1
1
jijcmij xxx −=)(
Média da variável j ( )
jx
Variável j centrada na média ( ))(cmijx
FMVP
22
Dados centrados na média
350 400 450 500 550
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
Amarelo Tartrazina
A
b
s
Comprimento de onda (nm)
350 400 450 500 550
-0,600
-0,300
0,000
0,300
0,600
V
a
lo
re
s
 c
e
n
tr
a
d
o
s
 n
a
 m
é
d
ia
Comprimento de onda (nm)
Espectros (Vis) de Amarelo Tartrazina (Corante alimentício)
Espectros originais Espectros centrado na média
FMVP
23
Autoescalamento  aplicado quando se quer 
dar a mesma importância a todas as variáveis 
(dados de concentração)
Tipos de pré-processamento

=
−
−
=
n
i
jijj xx
n
s
1
22 )(
1
1
Variância da variável j ( )
2
js
FMVP
24
Dados autoescalados
2
jj ss =
Desvio padrão da variável j ( )
j
jij
asij
s
xx
x
−
=)(
js
Variável j autoescalada ( ))(asijx
FMVP
25
Quimiometria
Conceitos, Métodos e 
Aplicações
Márcia Miguel Castro 
Ferreira
Cap. 02 – Preparação 
dos dados para análise
FMVP