caderno-de-resumos-selmat-2019

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XXXI SEMANA DA LICENCIATURA EM 
MATEMÁTICA 
Tema: SELMAT e o jubileu de ouro do curso: a 
Licenciatura em Matemática resiste! 
 
 
 
 
CADERNO DE RESUMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru 
Outubro de 2019 
 
 
 
 
 
CADERNO DE RESUMOS 
XXXI SEMANA DA LICENCIATURA EM 
MATEMÁTICA 
 
 Organizadores: 
Profa. Dra. Maria Ednéia Martins Salandim 
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola 
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro 
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi 
Prof. Associado Rubens de Figueiredo Camargo 
Profa. Dra. Marisa da Silva Dias 
 
 
 
 
 
 
 
 Realização: 
Conselho de Curso de Matemática - Licenciatura Unesp – Câmpus 
Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semana da Licenciatura em Matemática (31. : 2019 : Bauru) 
 Caderno de resumos [recurso eletrônico] / XXXI Semana de Licenciatura em 
Matemática, realizada em Bauru, em outubro de 2019 ; Organizadores: Maria Ednéia Martins-
Salandim ... [et al.]. - Bauru : Unesp/FC/Departamento de Matemática, 2019 
 70 p. 
 
 Disponível em: https://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/semana-da-
licenciatura/caderno-de-resumos/ 
 
 1.Aritmética. 2. Álgebra. 3. Geometria. 4. Matemática – Formação de professores. 5. 
Matemática – Estudo e ensino. I. Martins-Salandim, Maria Ednéia. II. Título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMISSÃO 
ORGANIZADORA 
Docentes 
Profa. Dra. Maria Ednéia Martins Salandim 
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola 
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro 
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi 
Prof. Associado Rubens de Figueiredo 
Camargo 
Profa. Dra. Marisa da Silva Dias 
Técnicos-Administrativos 
Christian Ferreira Oivane 
Daniel Buso de Lima 
Danilo Pires Maciel 
Ivone Reina Barbieri 
Discentes 
Micaeli Mendola Theodoro – Presidente da 
Comissão Discente 
Ana Laura Penna 
Diego Pereira Brasil 
Felipe Lacorte de Souza 
Gabriela Madalena 
João Pedro Rodrigues Nonato 
Leonardo Lima Moraes 
Letícia Leite Pavanello 
Luigi Henrique Gomes Braga 
Luiz Gabriel Pinto Araújo 
Mariana Teixeira 
Matheus Marcelino do Nascimento 
Matheus Ninuma Pereira 
Matheus Pereira de Melo 
Paulla Riehl Figueiredo 
Thiago Martins da Silva 
COMISSÃO CIENTÍFICA 
Profa. Dra. Maria Ednéia Martins Salandim 
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola 
Prof. Associado Antonio Roberto Balbo 
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro 
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi 
Prof. Associado Rubens de Figueiredo 
Camargo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
A importância da matemática na aula de física 
Niomar Bolano Jalhium; Rogério Falasca Alexandrino; Fernanda Cátia Bozelli ............................................ 6 
Análise das funções de Wannier de um cristal fotônico unidimensional 
Helena Borlina Tanaue; Alexys Bruno-Alfonso ........................................................................................... 10 
Cálculo de sequentes: um método dedutivo alternativo para o sistema trivalorado I1 
Elias Oliveira Vieira dos Santos; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini ............................................................. 13 
Cálculo fracionário e aplicações 
Micaeli Mendola Theodoro; Rubens de Figueiredo Camargo ....................................................................... 16 
Crenças de autoeficácia docente e atitudes em relação à matemática: um estudo sobre a 
afetividade em relação à geometria 
Carla Francieli Rodrigues Vicente; Nelson Antonio Pirola ........................................................................... 19 
Elementos para uma história do Curso de Matemática da Unesp Bauru: um olhar para 
os anos iniciais na Fundação Educacional de Bauru 
Mariana Cristina Boaretti Cavenaghi Johansen; Maria Ednéia Martins-Salandim ...................................... 22 
Esponja de Menger: um fractal em 3D? 
Patrícia Bertini da Silva; Tatiana Miguel Rodrigues de Souza .................................................................... 25 
Instrumentação aeronáutica - a matemática por trás 
Raul Galhego da Silva; Luis Antonio da Silva Vasconcelos .......................................................................... 28 
Investigação e elaboração de didáticas da matemática na perspectiva da diversidade 
envolvendo problemas ampliados 
Luis Fernando Affonso Fernandes da Cunha; Mara Sueli Simão Moraes; Emília de Mendonça Rosa Marques; 
Antonio Roberto Balbo .............................................................................................................................. 31 
Matemática, arte e tecnologia: interdisciplinaridade, complementariedade e cooperação 
Matheus Ninuma Pereira; Emília de Mendonça Rosa Marques ................................................................... 34 
Método evolução diferencial aplicado ao problema de despacho econômico com ponto 
de carregamento de válvula 
João Vitor Dias; Edméa Cássia Baptista ..................................................................................................... 36 
Método heurístico para o problema de corte de estoque unidimensional com sobras 
aproveitáveis 
Letícia Leite Pavanello; Adriana Cristina Cherri ......................................................................................... 39 
O porquê da modelagem fracionária e a influência da função de Mittag-Leffler 
Vitor Henrique Lopes Gusson; Rubens de Figueiredo Camargo..................................................................... 42 
O uso do operador lógico deôntico de proibição em um contexto prático para alunos do 
ensino médio e recém-egressos 
Alexandre Morelli Alves de Oliveira; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini ....................................................... 45 
 
 
 
 
Otimização multiobjetivo: técnicas de solução e aplicações 
João Rafael Parolim de Luca; Matheus Yuichi Yamashiro; Sônia Cristina Poltroniere ................................ 47 
Otimização por enxame de partículas aplicada em despacho econômico com funções de 
custo não convexas 
Amanda Nerger; Leonardo Nepomuceno .................................................................................................... 50 
Pibid Matemática: (re)fazendo o conceito de fração 
Fernanda Galhani de Souza; Fernanda Postigo Adami; Gabriel Garcia Bortotti; Isadora Cremer Mendonça; 
Leonardo Lima Moraes; Milena Rodrigues Maciel........................................................................................ 53 
Potencialidades do acervo pessoal do professor Ruy Madsen Barbosa para a pesquisa em 
educação matemática 
Tamiris Corrêa Luiz; Maria Ednéia Martins-Salandim ............................................................................... 55 
Resolução do cubo mágico através de estruturas algébricas 
Mylena Verona das Neves; Cristiane Alexandra Lázaro ............................................................................... 58 
Sistemas dinâmicos caóticos: uma introdução 
Thiago Martins da Silva; Tatiana Miguel Rodrigues de Souza .................................................................... 61 
Um estudo em educação matemática: a comunicação entre o professor de matemática, o 
professor interlocutor e o aluno surdo 
Gabriel Torralba; Ivete Maria Baraldi ........................................................................................................ 64 
Um estudo sobre o ensino de matemática para alunos com transtorno do espectro 
autista matriculados no ensino médio 
Jéssica Knaak da Costa; Ivete Maria Baraldi .............................................................................................. 67 
Um tableaux analítico para o sistema S5 
Gabriela Stéfany Cirilo; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini ......................................................................... 69 
 
A importância da Matemática na aula de Física 
Niomar Bolano Jalhium 
UNESP/Bauru, Educação para a Ciência 
nb.jalhium@unesp.br 
Rogério Falasca Alexandrino 
UNESP/Bauru,Educação para a Ciência 
rogerio.falasca@unesp.br 
Fernanda Cátia Bozelli 
UNES/Faculdade de Engenharia/ Departamento de Física e Química 
fernanda.bozelli@unesp.br 
. 
Introdução 
As utilizações das ferramentas matemáticas nas aulas de Física são de extrema 
importância para se trabalhar com essa Ciência, uma vez que auxilia na estruturação do 
pensamento. Mesmo tendo a Matemática como uma linguagem estruturante da Ciência, esta 
quando estruturada no raciocínio matemático escolar para a compreensão dos fenômenos 
físicos mostra-se como sendo um obstáculo epistemológico. Percebe-se uma enorme carência 
nos fundamentos matemáticos, de conhecimentos básicos, tais como, divisão, fração, regra de 
três, equações, funções, leitura e interpretação de gráfico, pelos alunos na transposição do 
fenômeno físico para a linguagem matemática. Segundo o Parâmetro Curricular Nacional do 
Ensino Médio (PCNEM), a maioria dos conteúdos da disciplina de Física, prevista para ser 
ensinada no Ensino Médio, necessita do desenvolvimento do raciocínio lógico para o seu 
entendimento, bem como na forma como se ensina e se utiliza da linguagem matemática. 
 
Cabe lembrar aqui o papel fundamental da Matemática na construção do 
conhecimento físico e as práticas comuns da escola em relação às dificuldades dos 
alunos. Observa-se que em muitos casos se diz que o fracasso na aprendizagem da 
Física é atribuído à falta de conhecimento em Matemática. Essa visão é parcial, pois 
há dificuldades inerentes à própria Física que acabam maquiadas, como os 
conhecimentos prévios dos alunos, que são difíceis de serem trabalhados pelo 
professor. Além disso, se o aluno não dispõe de determinado instrumento 
matemático para compreender a Física, ele deverá ser ensinado. Esse problema deve 
ser resolvido pela escola com a colaboração dos professores das diversas disciplinas 
e jamais ser considerado como exclusivo da tarefa específica do ensino de Física. 
Outro equívoco que reforça a falsa dissociação da Matemática na estruturação do 
conhecimento físico é a forma como se ensina. Na prática, é comum a resolução de 
problemas utilizando expressões matemáticas dos princípios físicos, sem 
argumentos que as relacionem aos fenômenos físicos e ao modelo utilizado. Isso se 
deve em parte ao fato já mencionado de que esses problemas são de tal modo 
idealizados que podem ser resolvidos com a mera aplicação de fórmulas, bastando 
ao aluno saber qual expressão usar e substituir os dados presentes no enunciado do 
problema. Essas práticas não asseguram a competência investigativa, visto que não 
promovem a reflexão e a construção do conhecimento. Ou seja, dessa forma ensina-
se mal e aprende-se pior. (BRASIL, 2006, p. 54) 
 
E, conforme Pietrocola (2002) há uma estrutura de pré-requisitos que faz com que os 
conteúdos presentes nas disciplinas se articulem, e caso não ocorra essa articulação a Física se 
torna um quebra-cabeça de difícil solução para os alunos. O autor ainda ressalta que, os 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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professores de Física gostariam que seus alunos chegassem ao Ensino Médio com os pré-
requisitos matemáticos completos. Mas admitir que o problema de aprendizado da Física se 
remete a falta de domínio da Matemática é uma visão um tanto quanto ingênua, como ressalta 
o próprio PCNEM (BRASIL, 2006). Pietrocola (2002), também destaca que esta questão, 
quando avaliada no contexto científico, há necessidade de aprofundar uma análise estrutural 
do conhecimento físico, para melhor avaliar a linguagem matemática no seu ensino. O fato de 
atribuir a Matemática como um instrumento da Física é incoerente com a tradição empírico-
realista e recebe a ideia espontânea que se tem da linguagem, e a linguagem está ligada com 
os códigos que apresentamos na comunicação, sendo que a linguagem matemática exprime 
como os produtos da Física são apresentados como, por exemplo, símbolos, gráficos, 
equações, ângulos. Ou seja, a matemática, enquanto linguagem empresta sua estruturação 
para compor os modelos físicos sobre o mundo (PIETROCOLA, 2002). Sendo assim, é por 
meio da linguagem matemática e de todas as suas regras que as teorias científicas podem 
representar uma leitura do mundo, ou seja, toda teoria científica é um conjunto de conceitos, 
cuja estruturação é acima de tudo Matemática. Contudo, como essa articulação entre a 
linguagem matemática e a Física podem se dar, de forma a promover uma aprendizagem 
significativa, em que o aluno perceba a relação entre tais conhecimentose de forma menos 
traumática e mais estruturante como a Ciência deve ser concebida. Nesse sentido, este 
trabalho procurou, por meio de uma atividade com alunos do segundo ano do Ensino Médio 
integrado ao Ensino Técnico em Informática, que apresentassem seminários sobre o tema 
Calorimetria, conteúdo visto na seriação, em que seria analisado como estes estavam 
avaliando, ou melhor, percebendo a presença da Matemática na estruturação da explicação do 
fenômeno físico envolvido na Calorimetria. 
Desenvolvimento da atividade de seminário sobre o conteúdo de Calorimetria: análise e 
discussão 
A atividade de ensino de Calorimentria por meio do uso de seminários foi 
desenvolvida com 40 alunos do segundo ano do Ensino Médio Integrado a Informática de 
uma Escola Técnica do Centro Paula Souza. Os alunos foram divididos em grupos de 4 
alunos formando um total de 10 grupos. Cada grupo teve que organizar um seminário 
utilizando slides, podendo fazer uso de vídeos, livros, etc. Cada grupo teve um tempo de 20 
minutos para a apresentação. Além do seminário, os alunos também entregaram um trabalho 
escrito sobre o tema. Cabe destacar que este conteúdo não havia sido trabalhado com os 
alunos, de forma que o uso de seminários foi pensando como forma de iniciar o ensino do 
conteúdo e, ao mesmo tempo, verificar as dificuldades de explicação e compreensão do 
conhecimento envolvido. Entre as dificuldades, avaliar como a Matemática se mostrava como 
obstáculo na leitura do fenômeno físico envolvido. A seguir são apresentados alguns slides 
que ilustram como os alunos trouxeram a Matemática em suas apresentações. 
 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Pode-se verificar pelo slide que o aluno apresenta a Matemática na Física como 
estando presente no que tradicionalmente chamamos de “fórmula”. Pode-se ver também que a 
Matemática aparece sob a forma de gráfico e tabelas que envolvem números com decimais, 
etc. Ao terem que explicar fazem apenas uma leitura das grandezas físicas como sendo leitura 
sob a forma como está representado. Ao serem abordados pela professora, que indaga o 
significado de cada variável, os alunos sentem dificuldades em reconhecer o significado de 
cada uma, omitindo o sinal da operação matemática envolvida, por exemplo, o sinal de 
multiplpicação. Falam como “É isso aí que está na fórmula”. A professora indaga sobre como 
os alunos fariam para saber uma determinada grandeza específica na fórmula, o que 
requereria do aluno a explicação do uso de conhecimentos de equações algébricas para a 
solução. Na leitura de gráficos os alunos partem de uma explicação que em primeiro 
momento é extremamente visual e não conceitual, ou seja, ao verem uma reta que está 
“subindo” relacionam com a temperatura estar aumentando. Mas não conseguem explicar o 
que ocorre com o gelo na medida em que a temperatura está aumentando. Ou seja, há uma 
dificuldade na estrutração das duas linguagens envolvidas. 
Algumas considerações 
Foi possível verificar que o desafio do professor vai além do domínio do 
conhecimento de sua área de atuação, e que mais do que ensinar o conteúdo específico é 
preciso muita paciência e ao mesmo tempo uma percepção cuidadosa dos obstáculos que 
estão diante da aprendizagem dos alunos. A estruturação dosconhecimentos em linguagens se 
torna também um obstáculo para o professor na medida em que este precisa estar lendo a 
Matemática da forma correta, pois ao ler “Q ma ce t”, o professor está omitindo a construção 
de sentidos e significados matemáticos reforçando memorizações. Como dizia Freire (1996) o 
professor também precisa repensar a sua prática. Nesse sentido, na atividade desenvolvida o 
professor precisou não somente acompanhar o processo de aprendizagem dos alunos em 
relação ao uso da Matemática na explicação da Física, mas também como estava mediando 
essa articulação. O que mais chamou a atenção dos alunos após a utilização dos conteúdos 
matemáticos, na Física, ao fazerem a análise dos gráficos e equações referente ao diagrama de 
estado da água, os alunos leram e interpretaram os gráficos e equações, ampliaram e 
compreenderam a contribuição da linguagem matemática para solucionar os conteúdos de 
física, permitindo um aprendizado de maneira correta. 
Agradecimento 
Ao Centro Paula Souza que, por meio da parceria com a Universidade Estadual Paulista – 
UNESP. 
 
Referências 
 
BRASIL. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Secretaria de Educação 
Básica. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 135 p. 
(Orientações curriculares para o ensino médio; volume 2) 
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: Saberes necessários à pratica educativa. São 
Paulo: Paz e Terra, 1996. 144 p. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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PIETROCOLA, Maurício. A Matemática como estruturante do conhecimento 
Físico. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, v. 19, n. 1, p.89-109, ago. 
2002. 
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Análise das funções de Wannier de um cristal fotônico unidimensional 
Helena Borlina Tanaue 
UNESP - Bauru 
helena.tanaue@unesp.br 
Alexys Bruno-Alfonso 
UNESP - Bauru 
alexys.bruno-alfonso@unesp.br 
Introdução 
As funções de Bloch e as funções de Wannier servem para descrever ondas que se propagam 
em meios com propriedades que dependem periodicamente da posição. Neste trabalho, 
consideramos a propagação de ondas eletromagnéticas num cristal fotônico unidimensional [1] 
cujo índice de refração varia periodicamente na direção do eixo 𝑧, com período 𝑎. As funções 
de Bloch, denotadas por ℎ𝑘(𝑧), dependem da posição 𝑧 e do vetor de onda 𝑘, sendo periódicas 
em 𝑘, com período 2𝜋/𝑎. As funções de Wannier, denotadas por 𝑤𝑛(𝑧), são os coeficientes de 
Fourier de ℎ𝑘(𝑧). Em aplicações, prefere-se funções de Wannier com decaimento exponencial. 
Esse decaimento foi verificado por Romano et al. [4], para um cristal com simetria de reflexão. 
Aqui investigamos um caso em que o cristal carece dessa simetria. 
Objetivo 
Calcular e analisar as funções de Wannier de um cristal fotônico, enfatizando o comportamento 
assintótico delas. 
Materiais e métodos 
Consideramos a propagação de ondas monocromáticas na direção do eixo 𝑧, sendo os vetores 
do campo elétrico e do campo magnético paralelos aos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. A 
coordenada 𝑦 do campo magnético é denotada pela função (complexa) de Bloch, ℎ𝑘(𝑧). Esta 
satisfaz ℎ𝑘(𝑧 + 𝑎) = exp(𝑖𝑘𝑎) ℎ𝑘(𝑧) e a equação diferencial 
−
𝑑
𝑑𝑧
 
1
𝜀(𝑧)
 
𝑑
𝑑𝑧
 ℎ𝑘(𝑧) = (
𝜔𝑘
𝑐
)
2
 ℎ𝑘(𝑧), (1) 
em que 𝜀(𝑧) é a permissividade dielétrica (raiz quadrada do índice de refração), 𝜔𝑘 é a 
frequência angular da onda e 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo. Há mais três condições: (i) 
ℎ𝑘+2𝜋/𝑎(𝑧) = ℎ𝑘(𝑧), (ii) ℎ𝑘
∗ (𝑧) = ℎ−𝑘(𝑧) e (iii) 
∫ |ℎ𝑘(𝑧)|
2 𝑑𝑧 = 1
𝑎
0
. (2) 
A frequência satisfaz uma equação da forma 𝑅(𝜔𝑘) = cos (𝑘𝑎). Esta tem infinitas soluções e 
cada uma define uma banda. As funções de Wannier são dadas por 
ℎ𝑘(𝑧) = ∑ 𝑤𝑛(𝑧) exp (𝑖𝑘𝑛𝑎)
𝑛∈𝑍
 (3) 
e satisfazem 𝑤𝑛(𝑧) = 𝑤0(𝑧 − 𝑛𝑎), sendo que 
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𝑤0(𝑧) =
𝑎
2𝜋
∫ ℎ𝑘(𝑧) 𝑑𝑘
𝜋/𝑎
−𝜋/𝑎
. (4) 
Apesar de todas as condições, ℎ𝑘(𝑧) fica determinada até um fator da forma exp (𝑖𝜙𝑘), em que 
𝜙𝑘 é real e satisfaz 𝜙𝑘+2𝜋/𝑎 = 𝜙𝑘 = −𝜙−𝑘. Otimizamos 𝜙𝑘 de modo que, para a distribuição 
de probabilidades definida por |𝑤𝑛(𝑧)|
2, a variância da variável 𝑧 seja mínima [2]. A integração 
em 𝑘 usa interpolações lineares em 1024 subintervalos. A integral em 𝑧 sobre cada intervalo 
com 𝜀(𝑧) constante é calculada mediante interpolações lineares em 32 subintervalos. 
Resultados e discussão 
Os cálculos numéricos são realizados, mediante o software Mathematica, para o cristal fotônico 
investigado Tang et al. [3]. O cristal carece de simetria de reflexão, como ilustra a Figura 1(a). 
A Figura 1(b) mostra os gráficos das primeiras cinco bandas de frequência. Estão destacadas as 
faixas de frequências proibidas (gaps). A Figura 1(c) mostra o gráfico de 𝑅(𝜔). Este permite 
calcular as bandas e explicar o decaimento das funções de Wannier. 
Figura 1: (a) Permissividade dielétrica do cristal fotônico. (b) Bandas de frequência e gaps do cristal 
fotônico. (c) Função 𝑹(𝝎) que determina as bandas de frequência. As setas estão nos extremos relativos. 
 
A Figura 2(a) mostra a função de Wannier da primeira banda. A função tende a zero quando 𝑧 
tende a ±∞. A Figura 2(b) mostra a mesma função em escala logarítmica. Os máximos locais 
decaem de forma aproximadamente linear, indicando que a função de Wannier decai na forma 
𝑤0(𝑧 ± 𝑛𝑎) ≈ 𝐴± exp (∓𝛼 𝑛), quando 𝑛 é suficientemente grande. 
Figura 2: Função de Wannier da primeira banda em (a) escala linear e (b) escala logarítmica. 
 
A Figura 3(a) mostra os valores de ln|𝑤0(𝑧 + 𝑛𝑎)| como função de 𝑛, com 𝑧 = 2𝑎/3 e 𝑛 
positivo. Aos onze pontos com 50 ≤ 𝑛 ≤ 60, foi ajustada uma reta pelo método de mínimos 
quadrados. O valor do coeficiente no decaimento exponencial é oposto do coeficiente angular 
dessa reta e obtivemos 𝛼 ≈ 0.398932. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Figura 3: (a) 𝐥𝐧|𝒘𝟎(𝒛 + 𝒏𝒂)|, com 𝒛 = 𝟐𝒂/𝟑, e reta que ajusta os 11 pontos à direita. (b) Valores de 
𝐥𝐧 |𝒘𝟎(𝒛 + 𝒏𝒂)/𝒘𝟎(𝒛 + (𝒏 + 𝟏)𝒂)| em função de 𝐥𝐧 (𝟏 + 𝟏/𝒏) e reta que ajusta os 10 pontos à esquerda. 
 
O valor obtido para 𝛼 está em bom acordo com a regra obtida mediante teoria das funções de 
variável complexa [2, 4, 5, 6]. Para a primeira banda, a regra é 𝛼 = arccosh(𝑅1), em que 𝑅1 é 
o comprimento da primeira seta desenhada na Figura 1(b). Como arccosh(𝑅1) ≈ 0.385168, 
o erro relativo do valor ajustado de 𝛼 é aproximadamente 3.5%. 
Para diminuir o erro, poderíamos ajustar a reta para valores de 𝑛 maiores que 60, aumentando 
o custo computacional. Numa descrição mais completa do comportamento assintótico [2, 6], 
teríamos 𝑤0(𝑧 + 𝑛𝑎) ≈ 𝐴 exp(−𝛼 𝑛) 𝑛
−3/4. Portanto, ln |𝑤0(𝑧 + 𝑛𝑎)/𝑤0(𝑧 + (𝑛 + 1)𝑎)| ≈
𝛼 + 0.75 ln (1 + 1/𝑛). Um novo ajuste, para 50 ≤ 𝑛 ≤ 59, fornece 𝛼 ≈ 0.385083, como 
ilustra a Figura 3(b). Desta vez o erro relativo é de aproximadamente −0.022%. 
Conclusões 
Calculamos uma função de Wannier da primeira banda de um cristal fotônico sem simetria de 
reflexão. Ela decai exponencialmente, como nos cristais simétricos [4]. A descrição mais 
completa do decaimento leva a um valor mais preciso do coeficiente da exponencial. 
Agradecimentos 
Bolsa de Iniciação Científica FAPESP (Processo 2018/11550-5). 
Referências 
[1] JOANNOPOULOS, J. D; JOHNSON, S. G.; WINN, J. N.; MEADE, R. D. Photonic 
crystals: molding the flow of light. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press,2008. 
[2] BRUNO-ALFONSO, A.; NACBAR, D. R. Wannier functions of isolated bands in one-
dimensional crystals. Physical Review B, v. 75, p. 115428, 2007. 
[3] TANG, R.-Y., WU, J.-W.; NAKAMI, B. Investigation of band-gap properties in one-
dimensional ternary photonic crystals with a single defect layer. Quantum Electronics, v. 46, 
p. 640, 2006. 
[4] ROMANO, M. C.; NACBAR, D. R.; BRUNO-ALFONSO, A. Wannier functions of a 
one-dimensional photonic crystal with inversion symmetry. Journal of Physics B, v. 43, p. 
215403, 2010. 
[5] KOHN, W. Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions. Physical 
Review, v.115, n. 4, p, 809, 1959. 
[6] HE, L.; VANDERBILT, D. Exponential decay properties of Wannier functions and 
related quantities. Physical Review Letters, v. 86, n. 23, p. 5341, 2001. 
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Cálculo de Sequentes: um método dedutivo alternativo para o sistema 
trivalorado I1 
Elias Oliveira Vieira dos Santos 
Unesp, Faculdade de Ciências, Matemática 
elias.ov.santos@unesp.br 
 Luiz Henrique da Cruz Silvestrini 
Unesp, Faculdade de Ciências, Matemática 
lh.silvestrini@unesp.br 
Introdução 
O cálculo I¹ foi introduzido em 1995 por Sette e Carnielli, sendo um sistema de caráter 
intuicionista, no mesmo sentido do sistema lógico desenvolvido por Arend Heyting (1898-
1980), o qual surgiu como a lógica subjacente a Matemática Intuicionista, ou construtivista, por 
exemplo, ¬ ¬A → A não é uma tautologia em I¹. Ademais, o cálculo I¹ é uma lógica trivalorada 
que, ao contrário da lógica clássica, não admite apenas dois valores de verdade, mas sim três, 
estes são T, F* e F. Os valores T e F denotam, respectivamente, verdade e falsidade, enquanto 
que F* pode ser interpretado como “falsidade por falta de evidência positiva”. O ambiente 
semântico dessa lógica, apresenta apenas um valor distinguido. Carnielli e Lima-Marques 
(1999) introduziram a semântica da lógica I¹, provando sua corretude e completude com o 
sistema axiomático, definindo a expressão matricial desta lógica do seguinte modo: 
I1 = ( {1, ½, 0}, →, ¬, {1} ) 
Santos e Silvestrini (2018) introduziram a lógica I¹ em sistema de tableaux, denotado por TI1. 
O qual foram apresentadas cláusulas de fechamento e regras de expansão de tal sistema e 
provado a equivalência lógica entre I¹ e TI1. 
O sistema de prova denominado cálculo de sequentes, ou sistema de Gentzen, foi criado em 
1935, por Gerhard Gentzen com a intenção de demonstrar o teorema da eliminação do corte (ou 
Hauptsatz), para que fosse possível provar a consistência da aritmética. Esse sistema, criado 
por Gentzen como uma extensão de seu sistema de prova de dedução natural, é considerado o 
sistema mais elegante e flexível para provas de escrita. 
Objetivos 
O objetivo de nossa pesquisa é desenvolver um método dedutivo alternativo ao axiomático e 
ao de tableaux para o sistema I¹, ou seja, introduziremos um sistema de cálculo de sequentes 
para tal lógica. Estabeleceremos, por meio de teoremas, que toda dedução obtida do sistema 
axiomático também será deduzida pelo sistema de cálculo de sequentes proposto. 
Material e Métodos 
Trata-se de um trabalho teórico, para o qual será desenvolvido um rigoroso e aprofundado 
estudo dos textos propostos nas Referências. A presente pesquisa visa estabelecer a lógica I¹, 
apresentada por Sette e Carnielli (1995), por meio do método dedutivo via cálculo de sequentes. 
Desse modo, será demonstrada a adequação (Corretude e Completude) entre os dois sistemas; 
além disso, busca-se reconhecer o método de cálculo de sequentes como um método alternativo 
ao axiomático e por tableaux. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Resultados e Discussão 
Define-se um sequente por Γ  Δ, em que Γ e Δ são conjuntos finitos de fórmulas. Chamamos 
Γ de antecedente e Δ de consequente. Entendemos um sequente Γ  Δ como 
(A1  ...  An) → (B1  ...  Bm). 
As provas no cálculo de sequentes são como árvores invertidas, em que a partir do axioma e 
através de regras especiais (estruturais ou operacionais), obtemos o sequente desejado. 
Apresentaremos aqui os axiomas, que são usados sempre ao início das deduções e regras 
estruturais: 
Figura 1: Axiomas e regras estruturais 
 
Fonte: Os próprios autores 
Analisando as regras e axiomas do sistema de Gentzen para o cálculo proposicional clássico, 
buscamos entender seu comportamento, para posteriormente criar nossas regras do cálculo de 
sequentes para a Lógica I1. Apresentamos um exemplo de prova, o princípio da explosão, 
 A → (A → B). 
Figura 2: Dedução do princípio de explosão em cálculo de sequentes 
 
 
Fonte: Os próprios autores 
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Conclusões 
Atualmente, o cálculo de sequentes é uma ferramenta importante no desenvolvimento e na 
apresentação de sistemas lógicos. Em vista disso, em nossa pesquisa pretendemos desenvolver 
a lógica trivalente e intuicionista I1 numa versão de cálculo de sequentes e provar a sua 
equivalência dedutiva com a lógica I1, introduzida originalmente em sistema axiomático. 
Agradecimentos e apoios 
Agradecemos ao CNPq e à PROPe – Unesp pelo fomento de nossa pesquisa. 
Referências 
CARNIELLI, W. A.; LIMA-MARQUES, M. Society semantics for multiple-valued logics. In 
W.A. Carnielli and I.M.L. D’Ottaviano, editors, Advances in Contemporary Logic and 
Computer Science, volume 235 of Contemporary Mathematics Series, pp. 33-52. American 
Mathematical Society, 1999. 
GENTZEN, G. The collected papers of Gerhard Gentzen. Editor M. E. Szabo. Amsterdam: 
North-Holland Publishing Company, 1969. 
SANTOS, E. O. V.; SILVESTRINI, L. H. C. Regras de expansao do sistema TI1 para uma 
logica intuicionista In: XXX Semana da Licenciatura em Matemática (SELMAT), 2018. 
SETTE, A. M.; CARNIELLI, W. A. Maximal Weakly-intuicionistic logics, Studia Logica 55, 
1995, pp. 181-203. 
SCHWICHTENBERG, H.; TROELSTRA, A. S. Basic proof theory. Cambridge: Cambridge 
University Press, 2000. 
SMULLYAN, R. M. First-order logic. New York: Springer-Verlag / Dover Publication, 
1968. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Cálculo fracionário e aplicações 
Micaeli Mendola Theodoro 
Unesp, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática. 
micaelitheodoro@gmail.com 
Rubens de Figueiredo Camargo 
Unesp, Faculdade de Ciências, Departamamento de Matemática. 
rubens.camargo@unesp.br 
Introdução 
Apesar do, assim chamado, Cálculo Fracionário (CF) ter alcançado maior notoriedade entre o 
século XX e XXI por conta da sua aplicabilidade e aperfeiçoamento de alguns modelos 
matemáticos, o nascimento do CF, curiosamente, tem data exata, 30 de setembro de 1695 em 
uma carta de Leibniz endereçada a l'Hôpital questionando como generalizaríamos o conceito 
de derivada inteira para uma ordem arbitrária, l'Hôpital respondeu com uma outra pergunta, 
no caso particular da derivada de ordem meio. “Em uma audaciosa e profética resposta, 
Leibniz apresenta o resultado e afirma: isto é, aparentemente, um paradoxo que um dia vai 
gerar várias consequências importantes.” 
A partir dessa troca de correpondências consideramos o início do CF, ou cálculo de ordem-
arbitrária. Acredita-se que Leibniz foi o primeiro estudioso a buscar definições de derivada de 
ordem não-inteira, trocando a ordem 𝑛, um número inteiro positivo por 𝑞 um número racional. 
Ao longo da história, grandes matemáticos deram suas contribuições para o desenvolvimento 
do Cálculo Fracionário e atualmente tem se mostrado uma grande ferramenta para resolver 
problemas relacionados à matemática aplicada [2]. 
No Cálculo Clássico quando estamos elaborando uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) 
ou umsistema de EDO sempre fazemos algumas considerações, por exemplo, no modelo 
clássico Lotka-Volterra (Predador-presa) nós assumimos que a presa possui alimentos em 
abundância e o predador possui como único alimento a presa, o que na realidade pode não 
acontecer desta forma. O Cálculo Fracionário vem como uma alternativa para refinar esses 
modelos. 
Modelagem Fracionária 
O primeiro modelo analisado foi a Equação de Malthus que é a base para a análise do 
crescimento populacional propõe que a população cresce proporcional a ela mesma: 
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡). 
Ao fazermos a generalização fracionária da Equação de Malthus alteramos a ordem da 
derivada que é 1 para 𝛼, onde 0 < 𝛼 ≤ 1, e fazendo a correção da unidade de medida de , temos: 
𝑑𝛼𝑃(𝑡)
𝑑𝑡𝛼
= 𝑘𝛼𝑃(𝑡). 
Utilizando a Metodologia das Transformadas Integrais, nós aplicamos a Transformada de 
Laplace e depois a Transformada de Laplace Inversa para encontrar a solução da equação. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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𝑃(𝑡) = 𝑃(0)𝐸𝛼((𝑘𝑡)
𝛼). 
 
Figura 1: Gráficos da Equação Fracionária de Malthus tomando 𝒌 = 𝟎. 𝟕 e 𝒌 = 𝟏. 𝟐, respectivamente. 
 
Agora analisando outro problema de modelagem o Movimento Harmônico Simples do 
Pêndulo, que consiste em um corpo (massa) suspenso, preso por uma corda. 
 
Figura 2: Representação gráfica de um pêndulo com as forças atuantes, retirada de [1]. 
Contabilizando as forças representadas na Figura 2 obtemos a seguinte Equação Diferencial 
Ordinária, considerando 𝜃 ≃ 0, isto é, 𝜃suficientemente pequeno e chamando de 𝑥 sua posição 
horizontal: 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑚𝑔
𝐿
𝑥 = 0. 
Transformando a Equação do MHS clássica na sua generalização fracionária, tomando 𝜔 = √
𝑔
𝐿
, 
temos: 
𝑑𝛼𝑥
𝑑𝑡𝛼
+ 𝜔2𝛼𝑥 = 0, 
onde 1 < 𝛼 ≤ 2. 
Resolvendo a Equação Clássica e Fracionária por meio da metodologia das transformadas 
integrais, mencionada acima, obtemos, respectivamente as seguintes soluções: 
𝑥(𝑡) = 𝑥(0)𝑐𝑜𝑠√
𝑔
𝐿
𝑡. 
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𝑥(𝑡) = 𝑥(0)𝐸𝛼 ((
𝑔
𝐿
𝑡)
𝛼
). 
Analisamos a nossa solução de acordo com dados reais obtidos em experimento no artigo [1] 
produzimos esses gráficos: 
 
Figura 3: Gráficos das soluções clássica e fracionária do pêndulo, tomando os parâmetros utilizados em 
[1]. 
 
 
Figura 4: Gráfico produzido por [1]. 
 
 
Podemos inferir que os gráficos da solução fracionária e de [1] tiveram comportamento 
parecido e nesse caso a modelagem fracionária superou a clássica, principalmente se 
analisarmos . 
 
Agradecimentos 
Agradecemos à FAPESP pelo apoio financeiro e institucional Processo:2018/13969-3 e ao 
grupo de pesquisa do CNPq, CF@FC – Cálculo Fracionário e Aplicações, por importantes e 
profícuas discussões. 
Referências 
[1] ARNOLD, F. J. et al. Estudo do amortecimento do pêndulo simples: uma proposta para 
aplicação em laboratório de ensino. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 33, n. 4, 4311. 
2011. 
[2] CAMARGO, R. F.; OLIVEIRA, E. C. Cálculo fracionário. São Paulo: Livraria da Física, 
2015. 
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Crenças de autoeficácia docente e atitudes em relação à Matemática: um 
estudo sobre a afetividade em relação à Geometria 
 
Carla Francieli Rodrigues Vicente 
Universidade Estadual Paulista “ Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Ciências,Licenciatura em Matemática 
carla.francieli29@outlook.com 
Nelson Antonio Pirola 
Universidade Estadual Paulista “ Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Ciências, departamento de Educação 
npirola@uol.com.br 
 
Resumo da pesquisa 
A pesquisa realiza um levantamento teórico dos assuntos a serem tratados, as atitudes em 
relação ao ensino de Matemática, além de assuntos como atitudes e a família, atitudes e o 
gênero, com maior ênfase no ensino de Geometria. As crenças de autoeficácia com a Teoria 
Sócio Cognitiva de Albert Bandura, realizando um breve relato de sua vida e o aprofundamento 
desta teoria, sua relação com o autoconceito, o parecer de outros autores sobre o assunto e 
alguns trabalhos realizados nessa área. Há ainda um estudo sobre a Geometria, na história e nos 
currículos no decorrer do tempo, além de seu ensino e a formação dos professores referente a 
essa disciplina. Análise dos dados coletados a partir de um questionário aplicado a 81 
professores, contendo as escalas de atitudes em relação ao ensino de Geometria e as crenças de 
autoeficácia docente em relação ao ensino de Geometria. Podendo concluir de maneira 
quantitativa os tipos de sentimentos que os professores apresentam, sobre suas formações 
iniciais, o ensino de Matemática e mais especificamente sobre o ensino de Geometria, em que 
mostram-se inseguros quando se trata incentivar sentimentos positivos em relação a Geometria 
nos alunos, e até mesmo a segurança em ensiar este conteúdo. 
Palavra-chave: autoeficácia, atitudes, geometria. 
 
Introdução 
O grupo de Pesquisa em Psicologia da Educação Matemática, GPPEM, do qual o orientador é 
líder realiza uma investigação maior da qual esta pesquisa faz parte e que conta com a parceria 
de pesquisadores da Universidade de Lyon, França. O GP realiza, desde março de 2018, um 
estudo sobre a afetividade relacionada às atitudes e crenças de autoeficácia apresentadas por 
professores que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. As atitudes em 
relação à Matemática têm sido investigadas por vários pesquisadores, sendo que Brito (1996)1, 
foi quem alavancou os estudos desse tema no Brasil. De acordo com essa pesquisadora, de 
modo geral, as atitudes são predisposições positivas ou negativas para a realização de uma 
atividade Matemática. A teoria das crenças de autoeficácia foi desenvolvida por Bandura 
(1997)2. Segundo esse autor, essas crenças dizem respeito ao julgamento que as pessoas fazem 
das próprias capacidades para realizar determinadas tarefas. 
 
 
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Objetivos 
Esta pesquisa tem como objetivo estudar a afetividade dos professores quanto o ensino de 
Matemática, mais especificamente sobre o ensino de Geometria, estudando assim as crenças de 
autoeficácia e as atitudes que professores dos anos inicais do ensino Fundamental apresentam, 
analisando também a formação inicial que receberam. 
 
Material e método 
O material utlizado, posterior a um levantamento teório sobre os conteúdos foi o banco de dados 
do Grupo de Pesquisa em Psicologia de Educação Matemática (GPPEM/UNESP) que teve a 
participação de 81 professores. Desta forma foram utlizados os questionários e as escalas de 
atitudes em relação à Geometria e escala de autoeficácia em relação ao ensino de Geometria. 
 
Resultados e discussão 
Quanto às atitudes em relação ao ensino de Geometria, aproximadamente 10,6% dos 
professores concordaram com as afirmações que tratavam de insegurança, inquietude, dentre 
outros sentimentos aversivos relacionados ao ensino de Geometria. Há também afirmações que 
expressavam sentimentos positivos, sendo que 69,93% dos professores disseram concordar com 
afirmações que remetiam à segurança em ensinar, à diversão, dentre outros sentimentos 
favoráveis em relação ao ensino de Geometria. Quanto às crenças de autoeficácia em relação 
ao ensino de Geometria, ao se tratar da segurança dos professores, 78,82% mostraram-se 
seguros sobre o uso de algumas práticas de ensino de Geometria em sala de aula, acreditando 
sentir-se capaz de desenvolver nos alunos sentimentos positivos para a aprendizagem de 
Geometria. Referente à formação inicial dos participantes, a análise dos dados mostrou que 
aproximadamente 69,3% dos professores demonstraram estar satisfeitos com aformação que 
recebeu. 
Os resultados evidenciados nesse estudo estão de acordo com aqueles obtidos por Brito (1996) 
e por outros trabalhos desenvolvidos no GPPEM/UNESP. O alfa de Cronbach encontrado para 
a validação da escala de autoeficácia foi de 0,921, sendo considerado excelente, o que mostra 
que o instrumento utilizado possui boa consistência interna. A insegurança em ensinar 
geometria também foi encontrada em trabalhos desenvolvidos pelo GPPEM, entretanto, esta 
pesquisa avança em relação às outras no sentido de se utilizar um referencial teórico e 
instrumentos mais consistente sobre as crenças de autoeficácia docente. 
 
Conclusões 
É possível observar que ao serem indagados sobre seus sentimentos e seguranças, 
aproximadamente 69,3% dos professores mostrou-se positivamente satisfeitos tanto com suas 
formações iniciais quanto com a segurança de desenvolver nos alunos os sentimentos positivos 
em relação ao ensino de Geometria. Entretanto, é necessário também notar que, mesmo em 
menor quantidade, há professores que não se sentem seguros em ensinar e desenvolver nos 
alunos os sentimentos positivos quanto à Geometria, além de estarem insatisfeitos com a 
formação acadêmica que receberam. Espera-se que os programas de formação continuada de 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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professores possam abordar não só os conteúdos de Geometria, mas também diferentes formas 
de se desenvolver atitudes positivas e boas crenças de autoeficácia em relação a essa parte da 
Matemática. 
 
Agradecimentos 
Ao professor doutor Nelson Antônio Pirola pela orientação nesta pesquisa. Ao CNPq pela 
bolsa concedida para a realização da pesquisa. 
 
Bibliografia 
1 BRITO, M. R. F. Um estudo sobre as atitudes em relação à Matemática em estudantes 
de 1º e 2º graus. Tese (Livre-Docência em Educação) - Faculdade de Educação, 
Universidade Estadual de Campinas, Campinas. 1996. 
2 BANDURA, A. Self-efficacy: the exercise of control. New York: W. H. Freeman, 1997. 
 
 
 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Elementos para uma história do Curso de Matemática da Unesp Bauru: um 
olhar para os anos iniciais na Fundação Educacional de Bauru 
Mariana Cristina Boaretti Cavenaghi Johansen 
Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática 
maboaretti@gmail.com 
Maria Ednéia Martins-Salandim 
Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Ciências, Departamento de Matemática 
maria.edneia@unesp.br 
 
Dois mil e dezenove é um marco na história da Licenciatura em Matemática do câmpus de 
Bauru da Unesp, que celebra o seu jubileu de ouro. Ao longo de seus 50 anos, o curso tem 
formado professores que ensinam/ensinaram Matemática na Educação Básica e Superior, bem 
como pesquisadores que atuam em áreas diversas, em especial em Matemática Pura, 
Matemática Aplicada e Educação Matemática. 
O objetivo desse artigo é apresentar elementos para uma História da Educação Matemática 
brasileira, decorrente da pesquisa de iniciação científica desenvolvida por Johansen (2019), 
cujo objetivo foi fazer um estudo documental dos anos iniciais do curso de Matemática da 
Unesp de Bauru, cuja origem se deu na Fundação Educacional de Bauru em 1969. 
Desde sua criação, este curso tem passado por mudanças, permanências e avanços que se 
refletem nas concepções pedagógicas e de pesquisa de seus egressos. Defendemos que 
entender essas mudanças significa ampliar as compreensões sobre como têm se dado a 
formação de professores de Matemática no país. É a isso que alguns pesquisadores do Grupo 
História Oral e Educação Matemática (GHOEM), do qual fazemos parte, têm direcionado 
seus esforços: mapear a formação e a atuação de professores que ensinam/ensinaram 
Matemática no Brasil, no que se constitui um projeto de amplo espectro (GARNICA, 2010). 
Em relação ao interior do estado de São Paulo, Martins-Salandim e Garnica (2014) 
tematizaram a expansão de cursos de Licenciatura em Matemática nos anos 1960 e revelam 
que as motivações para a criação de licenciaturas foram diversas. Em alguns casos, esses 
cursos surgiram como consequência de uma formação geral, cujos focos eram voltados ao 
atendimento de necessidades da indústria e do mercado de trabalho. Em outros, buscava-se a 
constituição de um corpo de matemáticos para atuarem nas instituições de formação superior 
ou a legalização da prática de indivíduos que já atuavam como professores no ensino básico. 
Quais, então, teriam sido as demandas para a criação, em 1969, do curso de Licenciatura em 
Matemática na Fundação Educacional de Bauru (FEB)? A Fundação Educacional de Bauru, 
criada em 1967 já oferecia o curso de Engenharia Mecânica e outros cursos de tecnologia 
cujas grades curriculares contemplavam disciplinas de Matemática. A Fundação Educacional 
de Bauru foi transformada em Universidade de Bauru em 1985, a qual foi encampada pela 
Unesp em 1988. 
Apostamos na pesquisa qualitativa e de viés historiográfico para buscar dados que, julgamos, 
fossem passíveis de clarear nossas incertezas e indagações. Inseridas nestas perspectivas, nos 
propusemos a estudar, em Iniciação Científica, a criação e a evolução deste curso em seus 
primeiros anos, a partir de fontes documentais, tendo em vista a inexistência de estudos dessa 
natureza. Para isso, contamos com o apoio de servidores das Seções Técnicas de Graduação 
(STG) da Faculdade de Engenharia de Bauru (FEB) e da Faculdade de Ciências (FC), tanto 
para a localização dos documentos de interesse, como para a obtenção de permissão para 
consulta e/ou empréstimo dos mesmos. Amparamo-nos em Bacellar (2005) para trabalharmos 
com nossas fontes, documentos de arquivos institucionais da FEB, da FC e do patrimônio da 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Unesp, sobretudo no que se refere aos cuidados durante o seu manuseio, tendo em vista a 
preservação de sua integridade e a higiene, a saúde e a proteção das pesquisadoras. Os dados 
obtidos foram sistematizados em tabelas, que futuramente constituirão um catálogo online. 
Em relação aos arquivos da FEB, optamos por estudar os programas das disciplinas, 
considerando o período compreendido entre 1967 e 1970, com o intuito de identificar as 
disciplinas de Matemática que eram oferecidas nos cursos de Engenharia e de tecnologia e, 
eventualmente, os professores que as ministravam. Com isso, objetivávamos encontrar 
elementos que nos ajudassem a responder ao questionamento: o curso de Licenciatura em 
Matemática foi criado por iniciativa de professores que já ministravam disciplinas de 
Matemática nos cursos de Engenharia ou de tecnologia existentes? Nossas informações, 
entretanto, ainda se mostram insuficientes para uma conclusão, uma vez que nem sempre é 
possível identificar os professores responsáveis pelas disciplinas e não há indicações de 
equivalências entre disciplinas. Quanto aos arquivos da FC, nos interessaram os programas 
das disciplinas dos cursos, tendo sido possível consultar e sistematizar os relativos aos cursos 
Matemática entre 1969 e 1976, de Ciências entre 1969 a 1975 e de Física entre 1969 e 1971. 
Buscávamos analisar aspectos como o regime (anual ou semestral), o período e o número de 
créditos em que as disciplinas eram oferecidas; a indicação ou não de bibliografia/texto base e 
pré-requisitos; e a indicação do departamento e do professor responsáveis pela disciplina. 
Esses dados nos permitiram identificar algumas mudanças, que consideramos significativas, 
pelas quais o curso passou, a saber: 
• Em 1969 o curso foi oferecido em regime anual, passando a ser semestral em 1970 e 
assim permanecendo até o último ano estudado (1976); 
• Em 1970, houve a inclusão das disciplinas “Estudo de Problemas Brasileiros I” e 
“Estudode Problemas Brasileiros II”, respectivamente no 1º e 2º ano, comuns a todos 
os cursos e legalmente exigidas em virtude do endurecimento da Ditadura Militar; 
• As disciplinas pedagógicas eram oferecidas nos 3º e 4º anos, sendo elas: Didática 
Geral (1971-1972) /Didática (1973-1976), Estrutura e Funcionamento do Ensino de 1º 
e 2º grau, História da Física, História da Matemática, Prática de Ensino da Física, 
Prática de Ensino da Matemática e Psicologia Educacional. 
• Durante o período estudado foram oferecidas disciplinas específicas nos quatro anos 
do curso, a citar: Cálculo, Cálculo Numérico, Álgebra, Álgebra das Matrizes, Álgebra 
Moderna, Álgebra Linear, Análise Superior, Fundamentos de Matemática, Topologia, 
Topologia Geral, Desenho Geométrico, Geometria, Geometria Descritiva, Geometria 
Superior, Física, Iniciação à Ciência da Computação, Linguagem da Computação, 
Sistema da Computação, Geometria Analítica, Geometria Analítica e Vetores, Lógica 
da Matemática, Laboratório de Física/Física Geral, Matemática Financeira, 
Probabilidade e Estatística e Mecânica Geral; 
• Até 1973, o curso teve duração de quatro anos. Em 1974 e 1975 foram oferecidas duas 
disciplinas adicionais: Equações Diferenciais e Teoria dos Grupos (1974) /Teoria de 
Galois (1975), que conferiam ao curso o caráter de Bacharelado; 
• Em 1975 houve a inclusão de disciplinas básicas do curso de Ciências, além de 
disciplinas de prática de ensino de Ciências e de Psicologia da Aprendizagem e da 
Adolescência, devido à mudança dos cursos de Licenciatura para cursos de Ciências 
com habilitações. 
No que se refere ao arquivo do patrimônio da FC, foi necessário “/.../ garimpar os documentos 
nas condições mais ou menos precárias em que se encontram” (BACELLAR, 2005, p. 45). 
Quando fazemos nossas as palavras de Bacellar, assumimos precárias as condições tanto de 
preservação como de identificação dos documentos no arquivo patrimonial da FC, o que 
particularmente dificultou nossa busca por fontes de dados. Em suma, consultamos pastas de 
alunos contendo documentos pessoais e livros de termo de colação de grau e de registro de 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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licenciados da Faculdade de Ciências da Fundação Educacional de Bauru. Os dados 
sistematizados dos dois livros de termo de colação de grau consultados indicam que o número 
de formandos em Licenciatura em Matemática foi: dois em 1972; onze em 1973; dezoito em 
1974; quarenta e dois em 1975; vinte e dois em 1976; vinte e oito em 1977 e seis em 1978. 
Além disso, foram concedidos títulos de Licenciado em Ciências com habilitação em 
Matemática, sendo um em 1977; um em 1978 e dois em 1979. 
Embora nossos resultados sejam potenciais para ampliar compreensões sobre a formação de 
professores de Matemática no Brasil e constituam fontes para pesquisas posteriores em 
Educação Matemática (de nossa autoria ou de terceiros), eles precisam ser aprofundados e 
confrontados com outros, oriundos inclusive de outras fontes. Devido às limitações impostas 
pelo tempo, não foi possível estudar todos os documentos do arquivo do patrimônio e nem 
aprofundar o estudo quanto aos programas das disciplinas dos cursos da FC. Os termos de 
colação de grau, por exemplo, são divergentes quanto à especificação do título de licenciados 
em um mesmo período (licenciados em Matemática e em Ciências com habilitação em 
Matemática em um mesmo ano, por exemplo) e ao ano de colação de grau (o registrado no 
termo e o de assinatura). Esses e outros fatores nos impulsionam para a continuidade desse 
projeto, em nível de mestrado, para que possamos responder às questões que nos provocaram 
incômodo e a outras que possam ainda surgir. 
Nossa pretensão nunca foi exaurir esse tema, pelo contrário, nosso intuito era mostrar as 
potencialidades que o estudo deste curso representa para a Educação Matemática, 
especificamente no que se refere à formação de professores de Matemática. Nossa pesquisa 
disparou uma sistematização de documentos, uma compreensão inicial sobre a estruturação 
desse curso, com destaque para a existência do bacharelado em Matemática durante os anos 
1974 e 1975 como complementação à Licenciatura, o que já implica em uma importante 
contribuição para a história das licenciaturas, modificando o conhecido modelo “3+1” – três 
anos de bacharelado seguidos de um ano de formação didático-pedagógica – para um modelo 
“4+1” – quatro anos de licenciatura mais um ano de bacharelado. 
AGRADECIMENTOS E APOIOS 
À Reitoria-Unesp, pelo apoio financeiro. 
 
REFERÊNCIAS 
BACELLAR, C. Uso e mau uso dos arquivos. In: BASSANEZI, C. P. (org.). Fontes 
históricas. São Paulo: Contexto, 2005. 
 
GARNICA, A. V. M. Presentificando ausências: a formação e a atuação dos professores de 
Matemática. In: CUNHA, A. M. de O. (org.). Convergências e tensões no campo da 
formação e do trabalho docente. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. p. 555 -569. 
 
JOHANSEN, M. C. B. C. Um estudo dos anos iniciais do curso de Matemática da 
Fundação Educacional/Unesp de Bauru: licenciatura plena, licenciatura com habilitação e 
bacharelado. Relatório de Iniciação Científica. Departamento de Matemática, Faculdade de 
Ciência, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Bauru, 2019. 
 
MARTINS-SALANDIM, M. E; GARNICA, A. V. M. Um movimento, suas clareiras e 
desvãos: a expansão das licenciaturas pelo interior paulista e as concepções sobre a formação 
de professores de matemática. In: GARNICA, A. V. M. (org.). Cartografias 
contemporâneas: mapeando a formação de professores de matemática no Brasil. Curitiba: 
Appris, 2014. p. 129-151. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Esponja de Menger: um fractal em 3D? 
Patrícia Bertini da Silva 
Unesp Bauru, Faculdade de Ciências, Departamento de Matemática 
patriciabertini2015@gmail.com 
Tatiana Miguel Rodrigues de Souza 
Unesp Bauru, Faculdade de Ciências, Departamento de Matemática 
tatiana.rodrigues@unesp.br 
 
 
Introdução 
A natureza em geral é constituída por formas nas quais predominam a irregularidade e o caos. 
Tentar simplificá-las usando figuras da geometria clássica seria inadequado. 
A Geometria Fractal, na qual se torna possível o surgimento de objetos com dimensão 
fracionária, oferece um método para analisar e descrever objetos e formas naturais, 
contrapondo-se as limitações da Geometria Euclidiana. 
Esses “objetos” foram denominados fractais por Benöit Mandelbrot, precursor dos estudos da 
Geometria Fractal. As figuras fractais são geradas a partir de processos iterativos e uma de suas 
principais características é a autossemelhança, isto é, cada uma de suas partes é semelhante à 
figura total. 
Objetivo 
O objetivo deste trabalho foi estudar a Geometria Fractal e suas diferenças com a Geometria 
Euclidiana. Neste trabalho, em particular, apresentaremos a Esponja de Menger, calcularemos 
sua dimensão fractal e mostraremos que esta é diferente da dimensão do cubo na Geometria 
Euclidiana. Além disso, calcularemos o volume deste fractal, mostrando que este é nulo e que, 
portanto, não serve para ocupar o espaço. 
Material e métodos 
Foram consultados os livros que constam na bibliografia. Também foi usado o software 
“Geogebra” com o qual foi possível construir computacionalmente o fractal apresentado. 
Resultados e discussão 
Inicialmente vamos construir a Esponja de Menger. Considere um cubo e divida cada uma de 
suas faces em 9 quadrados iguais. Desse modo, o cubo inicial passa a ficar subdividido em 27 
cubos menores. Remova o cubo do centro de cada uma das 6 faces e também o cubo central, 
sobrando assim 20 cubos. Dessa forma, obtém-se o primeiro nível da Esponja de Menger. O 
segundo nível é caracterizado pela repetição do processo em cada um dos 20 cubos restantes. 
O limite deste processo depois de um númeroinfinito de iterações forma a Esponja de Menger. 
 
 
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Figura 1: Níveis da Esponja de Menger 
 
 
 
 
 
Figuras retiradas do site https://matemelga.wordpress.com/2015/01/09/la-esponja-de-menger/ 
Na geometria euclidiana convencionou-se que um ponto tem dimensão zero, uma reta tem 
dimensão 1, um plano tem dimensão 2 e o espaço tem dimensão 3. 
A partir desses conceitos analisaremos a dimensão de objetos com autossemelhança, por 
exemplo, os fractais obtidos por recorrência. Denotando por N o número de partes que o objeto 
foi dividido e r o fator de redução, ou seja, o valor em que a figura total é multiplicada para se 
obter cada parte. Assim, a dimensão D de um objeto com autossemelhança satisfaz a seguinte 
relação: N = 1/rD. 
Em objetos da geometria euclidiana verifica-se essa relação. Suponhamos um segmento de reta 
e o dividimos em três partes iguais. Assim, cada parte será 1/3 do segmento inicial. Nesse caso 
temos N = 3 e r = 1/3. Utilizado a relação acima, temos: 3 = 1/(1/3)¹. 
Portanto, a dimensão de um segmento é 1, o que é válido na geometria euclidiana, isto é, esse 
objeto ocupa totalmente o espaço delimitado pela figura inicial. Já no caso de um fractal, ele 
pode ocupar partes ou ultrapassar esse espaço. 
A dimensão de um fractal seria o quanto de espaço esse fractal ocupa dentro de onde ele está 
inserido. 
Sabemos que N = 1/rD é equivalente à N = (1/r)D, então se aplicarmos logaritmo nos dois lados 
dessa igualdade temos: 
log(N) = log (1/r)D ⇒ log(N) = D.log(1/r) ⇒ D = log(N)/log(1/r). 
Para a Esponja de Menger, sabemos que a cada iteração as arestas são reduzidas à 1/3 da inicial. 
Além disso, em cada nível do fractal são obtidas 20 partes do anterior. Isto é, r = 1/3 e N = 20. 
Portanto, temos: 
D = log 20/log (1/(1/3)) = log 20/log 3 ≈ 2,73. 
Vamos agora analisar o volume da Esponja de Menger. Seja V o volume do cubo inicial. No 
primeiro nível do fractal, obtemos 20 cubos com volume V/27, isto é, V1 = V(20/27)¹. No 
segundo nível, obtemos 20² cubos com volume V/27², isto é, V2 = V(20/27)². Sendo assim, no 
nível n da Esponja de Menger, Vn = V(20/27)
n. Aplicando o limite quando n vai para o infinito, 
temos que Vn tende a zero, pois 20/27 < 1. Logo, este fractal possui volume nulo. 
Conclusões 
Portanto, a dimensão da Esponja de Menger é, aproximadamente, 2,73. Esse valor é um pouco 
menor que 3, o qual é a dimensão de um cubo, o que mostra que esse fractal não ocupa 
totalmente o espaço. Além disso, temos que o volume é nulo, logo não seria possível armazenar 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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nada, inclusive água. 
Agradecimentos e apoios 
Agradecemos ao Departamento de Matemática FC/UNESP. 
Referências 
ARITA, A. C. P.; SILVA, F. S. M.; GAMBERA, L. R. A geometria da esponja de Menger. 
C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 70-77, dez. 2013. 
BARBOSA, R. Descobrindo a geometria fractal. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. 
BARNSLEY, M. F. Fractals everywhere, New York: Academic Press Professional, 1993. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Instrumentação aeronáutica - a matemática por trás 
Raul Galhego da Silva 
UNESP, Faculdade de Ciencias, Licenciatura em Matemática 
raulgalhego@gmail.com 
Luis Antonio da Silva Vasconcelos 
UNESP, Faculdade de Ciências, Departamamento de Matemática 
toninho@fc.unesp.br 
Introdução 
A fase de desenvolvimento de um avião pode ser dividida em duas etapas: a etapa de projeto e 
a etapa de testes para certificação. Somente após a certificação o avião pode ser produzido 
para fins militares ou civis (BOTHE; CRABIE, 1994). A etapa de testes é feita com base em 
uma instrumentação embarcada nas aeronaves, de forma que os valores das medições durante 
o teste são gravados através de um sistema de aquisição de dados, responsável por converter o 
sinal de cada instrumento de medição para um sinal que possa ser lido pelo computador e 
realizar a gravação desses valores para análises posteriores. Um dos equipamentos utilizados 
para essas medições é o transdutor (STOLIKER, 2005), um dispositivo que recebe um sinal e 
o retransmite, independentemente de conversão de energia. Em uma definição mais restrita (e 
bastante utilizada), é um dispositivo que transforma um tipo de energia em outro, utilizando 
para isso um elemento sensor. Por exemplo, o sensor pode traduzir informação não elétrica 
(velocidade, posição, temperatura, pH) em informação elétrica (corrente, tensão, resistência). 
Um desses sensores é o termopar, um sensor de temperatura que abrange uma faixa de -260 
ºC a 1300 ºC. São muito utilizados devido ao seu baixo custo e facilidade de instalação. 
Consiste em um transdutor composto por dois metais fundidos nas pontas (Ex: Alumel e 
Cromel), que, quando submetido a uma variação de temperatura, gera uma diferença de 
potencial na extremidade desses dois fios proporcional a essa variação (GÓES, 2009; 
REBELO, 2010). A questão é que tais dispositivos geram dados, que, na prática, ainda são 
convertidos e, com isso, há uma pequena perda de precisão. Neste sentido, analisa-se a 
possibilidade de tratar este conjunto de dados com outra metodologia, isto é, aproximações 
numéricas. 
Objetivos 
Esse trabalho analisa o conjunto de dados referente as instrumentações na certificação de um 
avião e avalia se a utilização de aproximações numéricas poderia fornecer resultados 
próximos aos obtidos por meio das medições com equipamentos utilizados na prática, 
facilitando a coleta e análise dos mesmos. 
Materiais e Métodos 
Até o momento foram realizadas uma série de simulações utilizando o software Isis Proteus 
com o conjunto de dados referente as medições realizadas em circuitos eletrônicos e também 
o EXCEL para análise gráfica. 
Resultados e Discussão 
As análises preliminares demonstram que, utilizando aproximações polinomiais sobre o 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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conjunto de dados, é possível obter resultados semelhantes aos encontrados na literatura, sem 
uma perda significativa de precisão, demonstrando que os modelos atuais podem ser 
simplificados e que esta metodologia pode ser empregada. 
Figura 1: Gráfico de Temperatura x Tensão dos modelos de Termopar gerado no Excel 
 
Fonte: Próprio autor 
Figura 2: Gráfico de Temperatura x Tensão já existente 
 
Fonte: Engineering ToolBox, (2001) 
Conclusões 
Os resultados obtidos incialmente demonstram que tais medições podem ser simplificadas 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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com a utilização das fórmulas encontradas sem perder a eficiência. 
Agradecimentos e apoios 
Aos pais e amigos que me apoiaram durante o projeto; Aos Prof. Dr. Luis Antonio da Silva, 
Prof. Dr. Valter Locci, Prof. Dr. José Carlos Rodrigues, por apresentarem o PIC-ME e pelo 
incentivo, e ao CNPQ pelo financiamento da pesquisa. 
Referências 
BOTHE, H.; CRABIE, R. Basic Principles of Flight Test Instrumentation Engineering. 1 ed; 
1994. Vol. 1. 
GÓES, L. C. S.; SANTANA, I. R.; Efeitos dos Erros Não Modelados da Instrumentação de 
Ensaios em Voo na Estimação dos Parâmetros Aerodinâmicos de uma Aeronave; VIII 
Semetro. João Pessoa - PB, 2009. Disponível em: 
<http://limcserver.dee.ufcg.edu.br/semetro/www/pdf/52122_1.pdf>. Acesso em: 11 mar. 
2018. 
REBELO, D. R.; Automação, Integração de dados e Intrumentação de um Simulador de Voo. 
2010. 57 f. Monografia (Especialização) - Curso de Graduação em Engenharia de Controle e 
Automação, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2010. Disponível em: 
<http://www.coro.cpdee.ufmg.br/publications/diego_rebelo.pdf>.Acesso em: 12 mar. 2018. 
STOLIKER, F.N.; Flight Test Techniques. Introduction to Flight Test Engineering. 1. ed.; 
2005; 456 p. ; Vol 14. 
Engineering ToolBox, (2001). [online] Disponível em: https://www.engineeringtoolbox.com . 
Acesso em: 16 ago. 2019. 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Investigação e elaboração de didáticas da matemática na perspectiva da 
diversidade envolvendo problemas ampliados 
Luis Fernando Affonso Fernandes da Cunha 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – UNESP Bauru, Faculdade de Ciências, Pós-
graduação em Educação para Ciência, e-mail: luis_phipho@hotmail.com 
Mara Sueli Simão Moraes 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – UNESP Bauru, Faculdade de Ciências, 
Departamento de Matemática, e-mail: msmoraes@fc.unesp.br 
Emília de Mendonça Rosa Marques 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – UNESP Bauru, Faculdade de Ciências, 
Departamento de Matemática, e-mail: emilia@fc.unesp.br 
Antonio Roberto Balbo 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – UNESP Bauru, Faculdade de Ciências, 
Departamento de Matemática, e-mail: antonio.balbo@unesp.br 
 
Introdução: problematização e justificativas 
A Universidade Estadual Paulista (Unesp/FC), por meio do sistema da Universidade Aberta do 
Brasil (UAB), da Secretaria de Educação Básica (SEB) e do Ministério da Educação (MEC), 
realizou o Curso de Produção de Material Didático para Diversidade (PMDD) de formação 
continuada para professores e professoras da rede pública de ensino com intuito de formar 
concepções didático-pedagógicas e visões críticas de mundo, com intenção de alcançar uma 
sociedade justa e, portanto, com menos assimetrias sociais (MORAES; REBECHI JUNIOR, 
2015). Esse curso de formação continuada resultou na coleção Produção de Material Didático 
para a Diversidade, com conteúdos que estimulam debates reflexivos sobre temas 
contemporâneos da diversidade, reflexão sobre os materiais didáticos existentes, produção de 
recursos didáticos e elaborações de estratégias metodológicas utilizando diferentes linguagens 
para tratar os temas da diversidade: cidadania, direitos humanos, gênero e relações étnico-
raciais. 
Antes de implementar o curso, o MEC constatou que em nosso país existia (e ainda existe) uma 
grande escassez de material didático e formação de professores para o trabalho com os temas 
da diversidade. Assim, mesmo que previsto na Constituição Federal de 1988 a discriminação 
racial como crime, muitas vezes podemos observar nas escolas manifestações de racismo, 
discriminação racial e étnica, por parte dos professores, alunos ou da equipe escolar, algumas 
vezes de forma involuntária ou inconsciente, outras vezes de forma intencional. Basta refletir 
por um instante e logo recordamos de situações, brincadeiras, piadas ou “ditados” racistas, 
machistas etc que representam uma forma eufemística de propagação de pré-conceitos. 
Vencato (2014), que utiliza o termo diferenças no lugar de diversidade, expõe o quão é urgente 
trabalhar com essas temáticas na escola, já que: 
Essas exclusões aparecem com frequência nas piadas, risadas e violências físicas e/ou 
simbólicas e, aos poucos, empurram para fora do espaço da escola todas as pessoas que 
não se encaixam em certo padrão normativo ou, ao menos, não contemplam em suas 
performances na vida social a expressão pública desse padrão normativo [...] 
(VENCATO, 2014, p. 5) 
Tendo em vista essas preocupações, este trabalho apresenta um recorte da minha pesquisa de 
doutorado que baseia-se em um dado observado sobre os cursistas concluintes do PMDD. 
Foram ofertadas 180 vagas distribuídas em três polos de São Paulo (Bálsamo, Franca e Itapevi), 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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porém apenas 131 foram preenchidas, sendo que 82 professores concluíram o curso. Para a 
conclusão do curso PMDD, foi proposto aos professores cursistas que apresentassem um plano 
de aula para ser trabalhado em sala, com seus alunos, sendo seus resultados mostrados em um 
Seminário de Avaliação. Esse plano deveria envolver uma das linguagens estudadas no curso 
(Mídia-Educação, Cinema, Literatura, Jornalismo, Fotografia e Problemas Ampliados), bem 
como um dos temas da diversidade. Após a apresentação de todos os seminários constatou-se 
que nenhum trabalho usou os Problemas Ampliados como linguagem e estratégia de ensino da 
Matemática na perspectiva da diversidade. 
Na Matemática, a diversidade pode ser trabalhada por meio da resolução de Problemas 
Ampliados, os quais englobam questionamentos a respeito do tema estruturador, de modo a 
viabilizar o exercício da análise crítica deste por meio de situações vinculadas à realidade do 
aluno, contribuindo para a compreensão de diversos fenômenos político-sociais do meio em 
que está inserido. O tema estruturador dos Problemas Ampliados podem envolver questões da 
diversidade humana e questionamentos sociopolíticos, sendo que sua resolução não se finda na 
solução numérica encontrada, usando o instrumento didático-pedagógico para oportunizar 
reflexões em sala de aula. (o questionamento) para oportunizar reflexões e propostas de ação 
para a sala de aula (MORAES, 2013). 
Objetivo geral 
Nosso trabalho objetiva investigar, por meio de questionários, os motivos pelos quais os 
professores e as professoras não utilizaram em seu trabalho final do curso PMDD os Problemas 
Ampliados para ensinar e discutir os conteúdos da Matemática sob a ótica da Diversidade. A 
partir dos resultados dessa coleta de dados, pretende-se levantar experiências didáticas 
nacionais e internacionais com o intuito de identificar técnicas, métodos, recursos e materiais 
que são facilitadores para o trabalho envolvendo a Matemática e a Diversidade, para que se 
possa elaborar, por fim, uma proposta de atividades didáticas voltadas ao ensino da Matemática 
na perspectiva da Diversidade, utilizando os Problemas Ampliados. 
Material e métodos 
Utiliza-se como metodologia a investigação qualitativa, segundo Bogdan e Biklen (1994): 
Os dados recolhidos são designados por qualitativos, o que significa ricos em 
pormenores descritivos relativamente a pessoas, locais e conversas, e de complexo 
tratamento estatístico. As questões a investigar não se estabelecem mediante a 
operacionalização de variáveis, sendo, outrossim, formuladas com o objetivo de 
investigar os fenômenos em toda a sua complexidade e em contexto natural. 
(BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 16). 
Dentro da concepção qualitativa, que preocupa-se em analisar e “interpretar aspectos mais 
profundos, descrevendo a complexidade do comportamento humano. Fornece análise mais 
detalhada sobre as investigações, hábitos, atitudes, tendências de comportamento etc”. 
(MARCONI; LAKATOS, 2007, p. 269), essa pesquisa utiliza de procedimentos que se 
desenvolve em três níveis: exploratório, descritivo e explicativo. 
De forma geral, a investigação vai se delinear em dois momentos metodológicos distintos: o da 
pesquisa, ou coleta de dados; e a etapa de análise e interpretação destes dados coletados, 
formando assim o corpus da pesquisa. 
 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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Forma de análise dos resultados 
Para efetivar a análise dos resultados com a coleta de dados obtida mediante questionários, 
recorre-se à etapa descritiva e explicativa, de forma sistemática e organizada para garantir rigor 
científico: 
A análise de dados é o processo de busca e de organização sistemático de transcrições 
de entrevistas, de notas de campo e de outros materiais que foram sendo acumulados, 
com o objetivo de aumentar a sua própria compreensão desses mesmos materiais e de 
lhe permitir apresentar aos outros aquilo que encontrou. A análise envolve o trabalhocom os dados, a sua organização, divisão em unidade manipuláveis, síntese, procura de 
padrões, descoberta dos aspectos importantes e do que deve ser aprendido e a decisão 
sobre o que vai ser transmitido aos outros. (...) A análise de dados leva-o das páginas 
de descrições vagas até estes produtos finais. (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 205). 
Bardin (2010) nos fornece uma técnica de análise de conteúdo que acontece, basicamente, em 
de três fases: 1. pré-análise, 2. exploração do material e 3. tratamento dos resultados, inferência 
e interpretação. 
A fase de pré-análise visa à organização, compondo-se da análise flutuante, escolha das 
informações, documentos, considerando hipóteses e objetivos (BARDIN, 2010). A segunda 
fase remete à aplicação sistemática das decisões tomadas na etapa anterior, com operações que 
visam à enumeração, por exemplo, das informações do material coletado mediante regras 
previamente formuladas (BARDIN, 2010). Nesta pesquisa, a proposta é usar da análise 
categorial. Cada pergunta do questionário pertenceria a uma categoria de investigação da 
pesquisa. 
Finalmente, a última fase da análise tem como objetivo apresentar os dados de maneira a se 
tornarem significativos e válidos, para, a partir daí, poder realizar as inferências e interpretações 
conforme o desejado. 
Referências 
 
BARDIN, L. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, 2010. 
BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Características da investigação qualitativa. In: Investigação 
qualitativa em educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Porto, Porto Editora, 1994. 
MARCONI, M. de A.; LAKATOS, E. M. Metodologia científica. 5. ed. São Paulo: Atlas, 
2007. 
MORAES, M. S. S. Contribuições das pesquisas na perspectiva da pedagogia histórico-
crítica na educação matemática. 2013. 22 f. Tese (Livre-docência) – Faculdade de Ciências, 
UNESP, Bauru, 2013. 
MORAES, M. S. S.; REBECHI JUNIOR, A. (org). Produção didática sobre o tema 
diversidade. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2015. 
VENCATO, A. P. A diferença dos outros: discursos sobre diferenças no curso Gênero e 
Diversidade na Escola da UFSCar. Contemporânea, São Carlos, v. 4, n. 1, p.211-229, jan-
jul. 2014. 
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Matemática, Arte e Tecnologia: interdisciplinaridade, complementariedade 
e cooperação 
Matheus Ninuma Pereira 
Universidade Estadual de São Paulo "Júlio de Mesquita Filho", Faculdade de Ciências, Licenciatura em 
Matemática 
matheusninuma@gmail.com 
Emília de Mendonça Rosa Marques 
Universidade Estadual de São Paulo "Júlio de Mesquita Filho", Faculdade de Ciências, Departamento de 
Matemática 
emilia.marques@unesp.br 
Introdução 
O projeto busca modificar a percepção de estudantes e público em geral em relação a temas 
matemáticos, mostrando a presença da matemática no cotidiano. Através de exposições de 
quadros criados com computação gráfica a partir de funções complexas, articulamos o ensino 
interdisciplinar da matemática com a computação gráfica e a Arte. Os quadros são criados 
utilizando o software F(C): Funções Complexas, que foi desenvolvido em nosso grupo de 
pesquisa "Ensino de Ciências e Tecnologia Educacional". Durante as exposições promovemos 
conversas e palestras sobre as possibilidades do software e do processo de criação dos quadros 
(Método dos Domínios Coloridos). Ofertamos ainda oficinas em laboratórios de informática 
para os integrantes efetivos do projeto, para a produção de material gráfico. 
 
Objetivos 
O projeto visa: 1) a integração de saberes entre a equipe do projeto e a comunidade; 2) 
possibilitar vivências positivas na área de Matemática, apresentando o tema em novos 
contextos; 3) mudanças significativas na relação de estudantes do EM e público em geral com 
temas matemáticos; 4) o aumento da percepção dos cidadãos de que a Matemática está presente 
em sua vida cotidiana; 5) o compartilhamento com a sociedade de parte da produção científica 
do Grupo de Pesquisa "Ensino de Ciências e Tecnologia Educacional" da FC/Bauru; 6) 
Promover conversas sobre o tema matemático popularizando os números complexos e suas 
funções. 
 
Material e método 
O projeto prevê a exposição de quadros, de banners explicativos e disposição para a discussão 
sobre os objetivos do projeto com o público. Com um acervo de 50 quadros, são feitas seleções 
para os eventos e feiras, determinada a disposição dos quadros e os participantes do projeto 
Caderno de resumos da XXXI Semana da Licenciatura em Matemática - Unesp, Bauru/SP, 7 a 11/10/2019
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ficam a disposição do público para apresentar as obras e também mostrar o intuito do projeto. 
Em escolas também são ofertadas oficinas com o software. 
 
Resultados e discussão 
O projeto realizou diferentes exposições durante o ano, dessa forma é notório os resultados 
diante do público que se interessa pela Arte à uma primeira vista e se aprofunda no conteúdo 
matemático logo em seguida. As exposições foram realizadas em diferentes ambientes, como 
na Feira de Projetos de Extensão da Unesp/Bauru e no Arraiá Aéreo em Bauru. O projeto 
também foi apresentado no IMPA/Rio de Janeiro no 1º Encontro Brasileiro de Mulheres 
Matemáticas e no CNMAC - Congresso Brasileiro de Matemática Aplicada e Computacional. 
Além disso uma oficina para professores da rede de ensino básico. 
 
Conclusões 
O projeto tem sido exitoso, visto que seus objetivos estão sendo atingidos. Durante as 
exposições observamos muito interesse nos estudantes participantes, fazendo muitas perguntas 
e buscando compreender os números complexos e suas funções nesse novo contexto, associado 
à Arte e à Tecnologia. Porém como o projeto está presente também em eventos, muitas pessoas 
se surpreender com a Arte e se interessam mais ainda quando percebem que aquela obra é 
gerada a partir de uma função matemática. Dessa forma percebemos que os objetivos estão 
sendo alcançados com a desmistificação da Matemática e seus conteúdos. 
 
 
Agradecimentos e apoios 
À PROEX/Unesp pelo apoio financeiro 
Referências 
MARQUES, E. M. R.; SOUZA, A. R.; BREDA, A. M. D. Matemática e Arte: Incursões na 
interdisciplinaridade. Rematec-Revista de matemática e cultura, v. 7, p. 73-88, 2012. 
 
SILVA, E. L.; SOUZA, A. R.; MARQUES, E. M. R. Trabalhando números complexos 
com software para representações gráficas. 2008. Minicurso apresentado ao I Encontro 
Regional de Matemática Aplicada e Computacional, São Paulo, 2008. 
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Método Evolução Diferencial aplicado ao Problema de Despacho 
Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula 
João Vitor Dias 
UNESP, Faculdade de Engenharia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica 
joao.dias@unesp.br 
Edméa Cássia Baptista 
UNESP, Faculdade de Ciências, Departamamento de Matemática 
edmea.c.baptista@gmail.com 
Introdução 
O Problema de Despacho Econômico (PDE) é definido na área de sistemas de energia elétrica 
e tem por finalidade de se calcular a geração termoelétrica de energia ao menor custo possível, 
respeitando os limites físicos operacionais do sistema. Do ponto de vista matemático é possível 
formulá-lo como um problema não-linear e restrito não convexo, quando neste é considerado o 
ponto de carregamento de válvula, o qual é chamado de Problema de Despacho Econômico 
com Ponto de Carregamento de Válvula (PDE-PV). Neste trabalho, elegeu-se o método 
heurístico Evolução Diferencial (Storn & Price) para a resolução do PDE-PV. Um programa 
computacional foi desenvolvido e testes com o PDE associado aos sistemas elétricos do IEEE 
serão realizados. O problema foi implementado no software Matlab 2010b para a resolução do 
PDE-PV contendo 3, 13 e 19 geradores, com base nos dados descritos em Silva (2014). 
Descrição do problema 
O modelo de otimização para o PDE-PV pode ser descrito matematicamente