Manual do Professor de Matemática

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ÊNIO SILVEIRA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
Componente curricular:
MATEMÁTICA
o9 ano
MANUAL DO 
PROFESSOR
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MANUAL DO PROFESSOR
5a edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
ÊNIO SILVEIRA
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. 
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. 
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
o
ano9
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática / Ênio 
Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. 
 Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16948 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, 
Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, 
Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima
Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática : manual do 
professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018. 
 Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16950 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Daniela Santo 
Ambrosio, Maria Cecília da Silva Veridiano, Maria José Guimarães de Souza, Marilu 
Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita, Márcia 
Roberta dos Santos Pires da Silva, Maria Aparecida Costa Bravo
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: Michael H/Stone/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Eliazar Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá Belluomini
Editoração eletrônica: MRS Editorial
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Cárita Negromonte, Leila dos Santos, ReCriar editorial
Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. 
Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
III
Sumário
 Orientações gerais
• Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
• Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
• Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
• Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
• Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
• Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 9o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
• Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
• O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII
• A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
• As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
• O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
• Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
Orientações para o desenvolvimento das unidades
Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9
Capítulo 1 Potenciação e radiciação com números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Capítulo 2 Matemática financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Capítulo 3 Segmentos proporcionais e semelhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
Unidade II ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 81
Capítulo 4 Fatoração e equações do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
Capítulo 5 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
Capítulo 6 Função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
Unidade III .............................................................................................................................................................................................................................................................................175
Capítulo 7 Relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
Capítulo 8 Circunferência, arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
Capítulo 9 Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237
Unidade IV ...........................................................................................................................................................................................................................................................................258
Capítulo 10 Vistas ortogonais e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
Capítulo 11 Construção de gráficos estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Capítulo 12 Probabilidade e estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297
IV
Orientações gerais
APRESENTAÇÃO
Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do 
 Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são 
processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. 
Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto 
guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, de que a escolha do livro didático deve 
ser feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com 
esta coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática 
na organização e gestão de suas aulas.Esta coleção foi reformulada para atender aos requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 
abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções 
complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho 
diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre 
no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os 
 objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. 
Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em 
suas reflexões.
O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, 
elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos 
adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar 
como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer de que o objetivo da aprendizagem 
escolar é a formação humana integral e que por esse motivo é necessário levar em consideração a vida 
pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve 
promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, 
sejam de ordem científica. 
Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área 
que estuda os processos de ensino e de aprendizagem e da Matemática; ou seja, partimos da compreen-
são de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola. 
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm 
como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para 
uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção 
visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate-
mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o 
aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar 
matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado 
para continuar seus estudos. 
1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, FE/Unicamp, jul./dez. 2006. 
2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.
V
OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO
Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es-
colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos 
conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas 
competências gerais e específicas e nas habilidades estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular. 
Destacamos que, de acordo com a BNCC: 
É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, 
inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três 
etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), 
 articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e 
na formação de atitudes e valores.
Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular
 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, 
social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e 
colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para 
investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar 
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, 
e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
 4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), 
corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, 
matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias 
e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento 
mútuo.
 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma 
crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) 
para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver 
problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos 
e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho 
e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com 
liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar 
e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os 
direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito 
local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se 
na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica 
e capacidade para lidar com elas.
 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se 
respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e 
valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, 
culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência 
e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, 
inclusivos, sustentáveis e solidários.
VI
Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para 
cada área do conhecimento. As de Matemática são:
 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e 
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma 
ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir 
argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender 
e atuar no mundo.
 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da 
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir 
e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança 
na busca de soluções.
 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas 
práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo 
argumentos convincentes.
 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas,inclusive tecnologias digitais
disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de 
conhecimento, validando estratégias e resultados.
 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações 
imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar 
suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens 
(gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras 
linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência 
social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, 
valorizando a  diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem 
preconceitos de qualquer natureza.
 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no 
planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e 
na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou 
não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos 
colegas e aprendendo com eles.
Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática 
para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, 
promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.
ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO
Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas 
de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento.
A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar 
a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser 
respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que 
os alunos reflitam sobre o que aprenderam.
A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do 
capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo 
apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos 
sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você 
achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer 
principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.
VII
Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas 
a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear 
um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto 
de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números 
naturais: os alunos já possuem algum conhecimento adquirido nos anos anteriores; retomá-los permite 
ao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno.
Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or-
ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, 
propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; 
em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, 
as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo 
mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares 
de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do 
 professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas 
para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na 
coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras 
habilidades e competências.
Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de 
enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex-
tualizar alguns assuntos.
Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como 
objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoa-
valiação e a criatividade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta 
de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, 
cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até 
aquele momento. A seção é dividida em três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e 
"Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. 
Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos, sugira que retomem a explicação e as 
atividades apresentadas anteriormente no capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em 
grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. O “Aplicando” 
traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula a criatividade e a elaboração 
de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 
e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC.
Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas 
para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer sobretudo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências 
específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para 
outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da 
seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo. 
O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender 
com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio 
construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe-
tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, 
encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, 
a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que 
será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.
VIIIVIII
Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:
• o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;
• a pesquisa individual ou coletiva;
• a elaboração, em grupo, do produto proposto;
• a apresentação e exposição do produto;
• a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.
As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o 
professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec-
tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências 
gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar 
conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção 
depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os 
capítulos forem estudados,deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.
Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor ‒ Digital, que 
apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as 
habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse 
material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de 
aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, 
indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atua-
ção do professor, entre outras sugestões. Apresenta ainda um projeto integrador para ser desenvolvido 
em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de 
acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas 
para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que 
favorece a compreensão do conteúdo.
 Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade 
de uso dos recursos do Material do Professor ‒ Digital.
MATEMÁTICA ESCOLAR 
Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi-
mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para 
ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância 
da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma: 
Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais 
para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado de 
conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de um cidadão 
apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo imprescindível 
o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da capacidade de 
argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática como componente 
curricular. (p. 1)
A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: 
a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para 
descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul-
tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de 
transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição 
(nesse caso, a escola).
3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: 
<http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018.
4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M. A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.
IXIX
6o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Números naturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02
2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12
3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18
II
4 Igualdades e desigualdades EF06MA14
5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06
6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15
7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11
III
8 Porcentagem EF06MA13
9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27
10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23
IV
11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29
12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34
Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas 
instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados 
nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o 
ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado. 
Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos 
da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o 
saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.
APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS
A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema-
tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, 
contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo 
nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos 
como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano. 
Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem 
o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos 
(seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos quanto para iniciar a 
aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade. 
O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: 
o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual 
do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos 
e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permita a construção de 
significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe-
tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. 
Para isso, sugere-se que cada unidade, composta por dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. 
No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta 
na coleção à realidade de suas turmas.
 Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, 
capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental.
X
8o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11
2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02
3 Sistemas de equações do 1o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08
II
4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18
5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16
6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22
III
7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14
8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21
9 Equações do 2o grau EF08MA06 e EF08MA09
IV
10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13
11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27
12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27 
7o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04
2 Múltiplos e divisores EF07MA01
3 Retas e ângulos EF07MA23
II
4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09
5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12
6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18
III
7 Porcentagem e juro simples EF07MA02
8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17 
9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21
IV
10Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32
11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33
12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37
XI
9o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18
2 Matemática financeira EF09MA05
3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14
II
4 Fatoração e equações do 2o grau EF09MA09
5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08
6 Função quadrática EF09MA06
III
7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16
8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11
9 Polígonos regulares EF09MA15 
IV
10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19
11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22
12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23
QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 9o ANO
Na sequência, focamos o quadro do 9o ano, estabelecendo relações entre alguns objetos de 
conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores, indicados após cada quadro de cada 
unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações específicas 
para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, de leitura, 
de vídeo, de atividade extra etc.
Unidade I (1o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
1 Potenciação e radiciação 
com números reais
Números Necessidade dos números reais para 
medir qualquer segmento de reta.
Números irracionais: reconhecimen-
to e localização de alguns na reta 
numérica. (1)
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada 
uma unidade de comprimento, existem 
segmentos de reta cujo comprimento não 
é expresso por número racional (como as 
medidas de diagonais de um polígono e alturas 
de um triângulo, quando se toma a medida de 
cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional 
como um número real cuja representação 
decimal é infinita e não periódica, e estimar a 
localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos 
e fracionários. (2)
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, 
inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e 
problemas. (3)
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas 
com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações.
XII
Unidade I (1o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
1 Potenciação e radiciação 
com números reais
Grandezas e medidas Unidades de medida para medir 
distâncias muito grandes e muito 
pequenas.
Unidades de medida utilizadas na 
informática. (4)
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades 
usadas para expressar medidas muito grandes 
ou muito pequenas, tais como distância entre 
planetas e sistemas solares, tamanho de vírus 
ou de células, capacidade de armazenamento 
de computadores, entre outros.
2 Matemática financeira Números Porcentagens: problemas que 
envolvem cálculo de percentuais 
sucessivos. (5)
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam porcentagens, com a ideia 
de aplicação de percentuais sucessivos 
e a determinação das taxas percentuais, 
preferencialmente com o uso de tecnologias 
digitais, no contexto da educação financeira.
3 Segmentos proporcionais 
e semelhança
Geometria Demonstrações de relações entre 
os ângulos formados por retas 
paralelas intersectadas por uma 
transversal. (6)
(EF09MA10) Demonstrar relações simples 
entre os ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma transversal.
Semelhança de triângulos. (7) (EF09MA12) Reconhecer as condições 
necessárias e suficientes para que dois 
triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo 
retângulo. Teorema de Pitágoras: 
verificações experimentais e 
demonstração.
Retas paralelas cortadas por 
transversais: teoremas de 
proporcionalidade e verificações 
experimentais. (8)
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas 
de aplicação do teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes.
(1)
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações — 7o ano.
• Dízimas periódicas: fração geratriz — 8o ano.
(2)
• Potenciação e radiciação — 8o ano.
(3)
• Notação científica — 8o ano.
(4)
• Problemas envolvendo medições — 7o ano.
• Notação científica — 8o ano.
(5)
• Porcentagens — 8o ano.
(6)
• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 7o ano.
(7)
• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos — 7o ano.
• Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros — 8o ano.
(8)
• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos — 7o ano.
• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 7o ano.
• Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 9o ano.
XIII
Unidade II (2o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
4 Fatoração e equações do 
2o grau
Álgebra Expressões algébricas: fatoração e 
produtos notáveis.
Resolução de equações 
polinomiais do 2o grau por meio de 
fatorações. (9)
(EF09MA09) Compreender os processos de 
fatoração de expressões algébricas, com 
base em suas relações com os produtos 
notáveis, para resolver e elaborar problemas 
que possam ser representados por equações 
polinomiais do 2o grau.
5 Função afim Álgebra Funções: representações numérica, 
algébrica e gráfica. (10)
(EF09MA06) Compreender as funções como 
relações de dependência unívoca entre duas 
variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica e utilizar esse conceito 
para analisar situações que envolvam relações 
funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies 
diferentes. (11)
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam 
a razão entre duas grandezas de espécies 
diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
Grandezas diretamente 
proporcionais e grandezas 
inversamente proporcionais. (12)
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam relações de proporcionalidade 
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, 
inclusive escalas, divisão em partes 
proporcionais e taxa de variação, em contextos 
socioculturais, ambientais e de outras áreas.
6 Função quadrática Álgebra Funções: representações numérica, 
algébrica e gráfica. (13)
(EF09MA06) Compreender as funções como 
relações de dependência unívoca entre duas 
variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica e utilizar esse conceito 
para analisar situações que envolvam relações 
funcionais entre duas variáveis.
(9)
• Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 5 b — 8o ano.
(10), (11) e (12)
• Valor numérico de expressões algébricas — 8o ano.
• Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano — 8o ano.
• Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais — 8o ano.
(13)
• Valor numérico de expressões algébricas — 8o ano.
• Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 5 b — 8o ano.
Unidade III (3o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
7 Relações métricas no 
triângulo retângulo
Geometria Relações métricas no triângulo 
retângulo.
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração.
Retas paralelas cortadas portransver-
sais: teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais. (14)
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do 
triângulo retângulo, entre elas o teorema de 
Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança 
de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas 
de aplicação do teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes.
Distância entre pontos no plano 
cartesiano. (15)
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de 
um segmento de reta e a distância entre dois 
pontos quaisquer, dadas as coordenadas 
desses pontos no plano cartesiano, sem o uso 
de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para 
calcular, por exemplo, medidas de perímetros e 
áreas de figuras planas construídas no plano.
XIV
Unidade III (3o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
8 Circunferência, arcos 
e ângulos
Geometria Relações entre arcos e ângulos na 
circunferência de um círculo. (16)
(EF09MA11) Resolver problemas por meio 
do estabelecimento de relações entre arcos, 
ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de 
softwares de geometria dinâmica.
9 Polígonos regulares Geometria Polígonos regulares. (17) (EF09MA15) Descrever, por escrito e por 
meio de um fluxograma, um algoritmo para 
a construção de um polígono regular cuja 
medida do lado é conhecida, utilizando régua e 
compasso, como também softwares.
(14)
• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos — 7o ano.
• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 7o ano.
• Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 9oano.
(15)
• Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados — 6o ano.
• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à 
origem — 7o ano.
(16)
• A circunferência como lugar geométrico — 7o ano.
• Área do círculo e comprimento de sua circunferência — 8o ano.
(17)
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero — 7o ano.
• Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares — 8o ano.
Unidade IV (4o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
10 Vistas ortogonais 
e volumes
Geometria Vistas ortogonais de figuras 
espaciais. (18)
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de 
figuras espaciais e aplicar esse conhecimento 
para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas Volume de prismas e cilindros. (19) (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam medidas de volumes de prismas 
e de cilindros retos, inclusive com uso de 
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
11 Construção de gráficos 
estatísticos
Análise de gráficos divulgados 
pela mídia: elementos que podem 
induzir a erros de leitura ou de 
interpretação. (20)
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos 
divulgados pela mídia, os elementos que 
podem induzir, às vezes propositadamente, 
erros de leitura, como escalas inapropriadas, 
legendas não explicitadas corretamente, 
omissão de informações importantes (fontes e 
datas), entre outros.
Leitura, interpretação e 
representação de dados de 
pesquisa expressos em tabelas de 
dupla entrada, gráficos de colunas 
simples e agrupadas, gráficos 
de barras e de setores e gráficos 
pictóricos. (21)
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico 
mais adequado (colunas, setores, linhas), 
com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, 
destacando aspectos como as medidas de 
tendência central.
XV
Unidade IV (4o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
12 Probabilidade e 
estatística
Análise de probabilidade de 
eventos aleatórios:
Eventos dependentes e 
independentes. (22)
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos 
aleatórios, eventos independentes e 
dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Planejamento e execução de 
pesquisa amostral e apresentação 
de relatório. (23)
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa 
amostral envolvendo tema da realidade 
social e comunicar os resultados por meio de 
relatório contendo avaliação de medidas de 
tendência central e da amplitude, tabelas e 
gráficos adequados, construídos com o apoio 
de planilhas eletrônicas.
(18) e (19)
• Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas) — 6o ano.
• Plantas baixas e vistas aéreas — 6o ano.
• Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais — 7o ano.
• Volume de cilindro reto. Medidas de capacidade — 8o ano.
(20) e (21)
• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas — 6o ano.
• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados — 7o ano.
• Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados — 8o ano.
(22)
• Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável. Cálculo de proba-
bilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) — 6o ano.
• Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências — 7o ano.
• Princípio multiplicativo da contagem. Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral — 8o ano.
(23)
• Coleta de dados, organização e registro. Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações — 6o ano.
• Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações 
— 7o ano.
• Pesquisas censitária ou amostral. Planejamento e execução de pesquisa amostral — 8o ano.
UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA 
No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temá-
tica Números, espera-se que o aluno perceba seus diferentes 
usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o 
conhecimento construído em anos anteriores. As operações e 
suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, a cada 
conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irra-
cionais e reais. 
A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos 
sistemas de numeração, para depois apresentar o sistema de nu-
meração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, 
apresentam-se os demais conteúdos, sistematicamente e sem que 
cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo principal é a 
atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreen-
são dos resultados obtidos na resolução de um problema, ou mesmo 
ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo 
de ensino e de aprendizagem.
Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não 
apenas ao longo dos capítulos, mas também nas orientações 
didáticas presentes na parte específica deste Manual. 
Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra 
privilegia o desenvolvimento dos processos de abstração e de 
generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que 
o ensino dos conteúdos dessa unidade temática não se limite à 
repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva 
 ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de 
fixação são importantes,mas não devem se constituir em abor-
dagem principal. 
O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos 
Iniciais do Ensino Fundamental deve ser retomado e aprofundado 
nos Anos Finais.
De acordo com a BNCC:
XVI
Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes 
significados das variáveis numéricas em uma expressão, 
estabelecer uma generalização de uma propriedade, in-
vestigar a regularidade de uma sequência numérica, in-
dicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica 
e estabelecer a variação entre duas grandezas. É neces-
sário, portanto, que os alunos estabeleçam conexões en-
tre variável e função e entre incógnita e equação. As téc-
nicas de resolução de equações e inequações, inclusive 
no plano cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma 
maneira de representar e resolver determinados tipos de 
problema, e não como objetos de estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem 
de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros 
campos da Matemática (Números, Geometria e Probabi-
lidade e estatística), podem contribuir para o desenvolvi-
mento do pensamento computacional dos alunos, tendo 
em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma 
situação dada em outras linguagens, como transformar 
situações-problema, apresentadas em língua materna, 
em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.
A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão 
dos procedimentos, por exemplo, para a operação entre monômios, 
entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, 
para o trabalho com as funções: a introdução das letras como variá-
vel, como incógnita ou como símbolo pode ser trabalhada a partir 
da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos.
A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares 
para o ensino da Matemática também favorece a construção de 
significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser 
extremamente favorecida pelo uso de ambiente computacional.
O papel da Geometria é fundamental na construção do co-
nhecimento matemático pelo aluno. O conhecimento nessa área é 
trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação dese-
jável entre a Geometria plana e a Geometria espacial. A utilização 
de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, 
por exemplo) e de materiais concretos facilita a compreensão por 
meio da visualização e da manipulação das figuras geométricas, 
permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas 
relacionadas e suas medidas. As construções com régua e compasso 
ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos.
Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações 
geométricas, do estudo das vistas e da percepção espacial, dos 
deslocamentos no plano e no sistema cartesiano. A resolução de 
problemas é um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros 
passos na argumentação e na demonstração são dados também 
nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase 
de escolaridade o excesso de formalização. Isso porque a construção 
do pensamento geométrico é um processo não linear, que está em 
constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno.
O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante 
propício ao desenvolvimento de atividades lúdicas e de atividades que 
trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino 
Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão 
de notícias, de dados fornecidos pelas diversas mídias, de dados 
referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, 
assim, um cenário de construção da cidadania. 
A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são 
uma etapa anunciada pelas pesquisas na área como fundamental 
para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamen-
te seus conhecimentos para análise estatística desses dados co-
letados. O objetivo será sempre responder a um questionamento 
por meio da análise desses dados. 
Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o 
aleatório do determinístico. Nesse sentido, o estudo da proba-
bilidade por meio de experimentações e simulações é bastante 
favorecido. O professor tem a possibilidade de utilizar tanto ma-
teriais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, 
que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios 
e simulações) como softwares livres (por exemplo, o GeoGebra). 
O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para 
resultados de experimentos aleatórios. 
A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam for-
nece importantes elementos para decisões no campo pessoal, nutricio-
nal, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em processos 
de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas 
outras. A percepção e a apreensão da variação dos dados coletados 
nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no 
estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação.
Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas 
e medidas podem ser abordados em articulação com as demais 
unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados 
ao cotidiano do aluno fornecem elementos para que o professor 
possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, sem desvincular 
a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas 
grandezas e das medidas que se associam, destacando a discussão 
sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais mudanças na 
análise dos resultados observados na resolução das atividades 
propostas, é fundamental para a aprendizagem conceitual da 
Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com 
os instrumentos de medida. 
Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta:
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e 
são fundamentais para a compreensão da realidade. 
Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao 
propor o estudo das medidas e das relações entre elas 
‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integra-
ção da Matemática a outras áreas de conhecimen-
to, como Ciências (densidade, grandezas e escalas 
do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia 
(coordenadas geográficas, densidade demográfica, 
escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática 
contribui ainda para a consolidação e ampliação da no-
ção de número, a aplicação de noções geométricas e a 
construção do pensamento algébrico.
XVII
O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA
No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Mate-
mática não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curri-
culares. Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de 
trabalhos interdisciplinares na escola.
Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como 
Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade 
na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas 
vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos. 
O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos 
componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de 
fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado”5. Essa formulação, embora tenha em 
vista especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de 
natureza diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação 
de propostas interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores. 
Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da 
situação apresentada não selimita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e 
Dufour6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamen-
te se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações 
 necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma 
situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras 
palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as di-
ferentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, 
da desintegração do saber disciplinar.
Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de 
cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a 
escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a 
ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social.
Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen-
volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo 
Ribeiro Nogueira7:
Uma atitude interdisciplinar
É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos de caráter 
interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a interdisciplinaridade; 
deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume uma atitude interdisciplinar.
"... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera ante os 
atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao diálogo ‒ ao diá-
logo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ atitude de humildade diante 
da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante a possibilidade de desvendar no-
vos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, desafio em redimensionar o velho ‒, 
atitude de envolvimento e comprometimento com as pessoas neles envolvidas, atitude, pois, 
de compromisso em construir sempre da melhor forma possível, atitude de responsabilidade, 
mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82)
Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a hipótese de 
que o aprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem desenvolvidas, e que 
apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não garantirá os estímulos, as ações, as 
vivências, a interação social e todos os demais fatores essenciais à construção do conhecimento. 
5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32.
6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.
7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: 
Érica, 2010.
XVIIIXVIII
Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação mediadora do 
professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o acesso aos materiais 
de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., sempre preocupado mais 
com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do processo de aprendizagem.
Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade reside em 
disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das ações, que ora po-
dem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns professores, comprometendo 
o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve possuir perfeito canal de comunicação. A 
regra decisória passa a ser o consenso, já que desta forma pode-se cobrar o comprometimento; 
há de se estabelecer divisões de tarefas e equidade nas informações tanto de ordem procedi-
mental como de resultados.
Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe com-
prometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no máximo com 
o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo.
Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjun-
to, por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, 
mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. 
Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo 
das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de 
profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe 
a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente 
com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno.
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a Ma-
temática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do tempo. 
Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento permitem 
ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar os horizontes 
da aprendizagem matemática. 
No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer 
elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características 
sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto 
 matemático em estudo se desenvolveu. 
A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Mate-
mática, junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo 
aprofundado da história, mas, sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para com-
plementação e aprofundamento dos conteúdos abordados. 
AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
A utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expan-
são das oportunidades de aquisição de conhecimento – por exemplo, a calculadora e os softwares para 
aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para a resolução 
de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),8
A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática 
podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a 
articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, 
conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades 
matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64)
8 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: 
<http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018.
XIXXIX
A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e 
linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. 
Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época 
em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no 
Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o 
uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam. 
OPAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEM
O erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na 
aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos 
a desistir por se sentir incapazes.
A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto 
na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual 
destacamos os trechos a seguir.
[...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que 
um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na 
sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão 
pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos er-
ros, embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa 
de matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos 
durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências 
sobre o cérebro revelam algo mais significativo.
O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das 
 pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. 
Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada 
de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o 
cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que 
essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segun-
da resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção 
consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e 
a atenção consciente é dada a ele.
Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que 
ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes c or-
rigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, o 
estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que come-
temos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam 
como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assun-
to agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não 
 estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado 
e, nesse momento, ele cresce.
[...]
O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com 
frequência se sentem péssimos quando cometem um erro matemático. Eles pensam que 
isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em 
uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados ‒ ou pior ‒ são punidos. 
Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões:
• o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de 
 frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender;
• a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos 
alunos para que juntos os compreendam e encontrem caminhos para o acerto;
• atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, em lugar das ati-
vidades que induzam ao acerto pela sua simplicidade.
Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, 
que muitas vezes veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas.
XX
AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM
A avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do 
trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”.
Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo 
construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que 
a aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanha-
mento do processo de aprendizagem visado. 
Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem 
 matemática. É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, 
processos, planejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avalia-
ção da aprendizagem desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: 
 o tempo didático e o tempo cronológico não correm da mesma forma, o que muitas vezes explica as 
dificuldades detectadas. 
Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das si-
tuações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, 
a cada aula, a cada momento. 
Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o 
melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma 
nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, 
de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que 
não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, 
trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especial-
mente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.
Cabe ao professor, a partir do conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados 
aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios 
utilizados devem ser explicitados aos alunos.
Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do 
aluno deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também devem ser considerados. 
Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem 
papel fundamental nesse processo. 
Para a elaboração do plano de avaliação, devem-se considerar os objetivos propostos em cada um 
dos níveis de escolaridade. Uma listagem desses objetivos permite sua operacionalização, e, a partir daí, 
escolhem-se os melhores instrumentos. 
Veja a seguir uma sugestão de listagem que considera não apenas os aspectos cognitivos específicos, 
mas também os atitudinais. Observe que a construção da autonomia é um objetivo perene, que acom-
panha toda a formação do aluno. 
Meu aluno é capaz de:
• “enfrentar” a resolução do problema;
• entender o contexto das atividades propostas;
• compreender o texto das atividades propostas;
• explicitar o problema com suas palavras;
• selecionar dados da questão de forma autônoma;
• resolver o problema;
• verificar se a solução é adequada;
• fazer uso adequado de calculadora e outros materiais de forma a buscar soluções para o que é 
 proposto de forma autônoma;
• trabalhar em grupo de forma colaborativa;
• trabalhar individualmente com autonomia;
• utilizar corretamente a linguagem matemática.
Para ajudar o professor no processo de avaliação contínua dos alunos, o Material do Professor ‒ Digital 
traz sequências didáticas relacionadas aos conteúdos bimestrais da coleção, com organização aula a aula, 
oferecendo uma ficha de autoavaliação para o aluno. Além disso, esse material traz avaliações bimestrais 
com gabarito comentado, grade de correção e ficha para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. 
XXI
FORMAÇÃO DO PROFESSOR — SUGESTÕES DE LEITURA E SITES
A. Sugestões de leitura
BARBEIRO, Eulália da Conceição. A aprendizagem das equações do 1o grau a uma incógnita: uma análise 
dos erros e das dificuldades de alunos de 7o ano de