Caderno-de-resumos-2017

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XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA 
EM MATEMÁTICA 
Tema: As faces da matemática: ensino, aplicações e 
cultura 
 
 
 
CADERNO DE RESUMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru 
Outubro de 2017 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
CADERNO DE RESUMOS 
 XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM 
MATEMÁTICA 
 
Organizadores: 
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola 
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro 
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi 
Profa. Dra. Nair Cristina Margarido Brondino 
Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni 
 
 
 
 
 
 
 
Realização: 
Conselho de Curso de Matemática - Licenciatura 
Unesp – Câmpus Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semana da Licenciatura em Matemática (29. : 2017 : Bauru) 
 Caderno de resumos [recurso eletrônico] / XXIX Semana de Licenciatura em 
Matemática, realizada em Bauru, em outubro de 2017 ; Organizadores: Adriana Cristina Cherri 
Nicola ... [et al.]. - Bauru : Unesp/FC/Departamento de Matemática, 2017 
 25 p. 
 
 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/semana-da-
licenciatura/anais/ 
 
 1.Aritmética. 2. Álgebra. 3. Geometria. 4. Matemática – Formação de professores. 5. 
Matemática – Estudo e ensino. I. Nicola, Adriana Cristina Cherri. II. Título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
COMISSÃO 
ORGANIZADORA 
Docentes 
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola 
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro 
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi 
Profa. Dra. Nair Cristina M. Brondino 
Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni 
Técnicos Administrativos 
Christian Ferreira Oivane 
Daniel Buso de Lima 
Danilo Pires Maciel 
Edinéia Ferigato Mattiazzo 
Ivone Reina Barbieri 
Discentes 
Ana Laura Penna 
Ana Raquel Faccioli 
Daniel Fernando Garcia 
Felipe Gonçalves Prado 
Gabriel Alexandre da Cruz 
Isabela Garcia Parras 
Leticia Leite Pavanello 
Lucas de Carvalho Gritscher Leite 
Lucas Henrique Oliveira de Castilho 
Otávio Benicio Mirandola 
COMISSÃO CIENTÍFICA 
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola 
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro 
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi 
Profa. Dra. Nair Cristina Margarido 
Brondino 
 
EDITORAÇÃO 
Christian Ferreira Oivane 
 
 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
Sumário 
A órbita da lua vista de um referencial fixo do sol 1 
Abordagens matemáticas para o problema de corte de estoque unidimensional 2 
Análise da resposta a degrau de um modelo de suspensão de automóvel simplificado
 3 
Análise do plano de fase de sistemas modelados por uma equação de Duffing com 
linearidade cúbica 4 
Aplicação da otimização linear nas aulas de matemática para o ensino médio 5 
Heurísticas relax and fix para resolução de problemas de programação inteira mista
 6 
Interação entre duas espécies - mutualismo 7 
Introdução à lógica para alunos recém-egressos do ensino médio 8 
Introdução aos sistemas dinâmicos com aplicação à biologia: modelos matemáticos 
aplicados ao HIV 9 
Livros antigos e manuscritos: tradução e análise de fontes relacionadas à matemática 
e ao ensino de matemática 10 
Modelo matemático para o planejamento da operação de múltiplas bombas 
hidráulicas em sistemas de abastecimento 11 
O ensino de matemática através de jogos e modelos geométricos 12 
O sistema de tableaux TLR apresentado como uma alternativa ao sistema axiomático 
RM3 13 
Os jogos pentaminó e “dominó das quatro cores” para o ensino de álgebra e geometria
 14 
Otimização matemática aplicada ao problema de planejamento da produção de lajes 
treliçadas 15 
Otimização por enxame de partículas 16 
Práticas para o ensino da geometria fractal na sala de aula 17 
Processo de corte unidimensional com aproveitamento de sobras 18 
Propriedades ergódicas em cadeias de Markov 19 
Restrições de complementaridade em problemas de otimização 20 
Sequências exatas e módulos de homologia 21 
Um mapeamento dos cursos que formavam professores de matemática no Brasil nas 
décadas de 1980 e 1990 através da Revista Documenta 22 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
Uma comparação do método do gradiente e do método de Newton para a solução de 
problemas de otimização irrestritos não lineares 23 
Uma ferramenta para o ensino de matemática: o jogo “cinco em linha” 24 
Uma introdução aos sistemas dinâmicos e à teoria qualitativa das equações 
diferenciais ordinárias 25 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Daniel Fernando Garcia; Tatiana Miguel Rodrigues de Souza
Resultados e discussão
Conclusões
Bibliografia
Unesp – Faculdade de Ciências – Depto. De Matemática
Muitas informações erradas são encontradas em referenciais teóricos no
que se diz respeito do movimento da Lua, erros muitas vezes
encontrados em inúmeros textos de referência que acabam sendo aceitos
por boa parte do senso comum.
Qual das duas imagens abaixo representa corretamente a curvatura da
órbita lunar vista de um referencial fixo no Sol?
Objetivos
Discutir a curvatura da órbita da Lua vista por um referencial fixo no
Sol e mostrar que algumas noções intuitivas que temos derivam de
analogias feitas com natureza semelhante estão erroneamente sendo
ensinadas e disseminadas em alguns textos de referência.
Introdução
Foi possível provar que através do cálculo das forças gravitacionais tanto da
que a Terra exerce sobre a Lua e da que o Sol exerce sobre a Lua e também
através da apresentação do modelo cinemático da órbita da Lua, de que a
concavidade da órbita lunar está sempre voltada para o Sol, contrariando o que
consta em alguns referenciais teóricos.
A ÓRBITA DA LUA VISTA DE UM REFERENCIAL FIXO DO SOL
Figura 1 Figura 2
A maioria das pessoas possui um senso intuitivo quando se trata da
forma geométrica dessa órbita, porém, a órbita lunar vista de um
referencial fixo do Sol apresenta um aspecto surpreendente. Uma
possível origem para o erro seria de que o satélite se influencia pela
força exercida pela Terra, e com isso seríamos impulsionados a escolher
a Figura 2 como sendo a correta ao descrever a curvatura da órbita da
Lua em relação um referencial fixo no Sol. Isso só seria verdade se
descartássemos a força que o Sol tem sobre a Lua.
Desse resultado obtemos informação de que quando a Lua está entre a
Terra e o Sol, a concavidade da sua trajetória ficará voltada para o Sol.
Modelo cinemático da órbita da Lua
No modelo, fazemos a aproximação de que as órbitas da Terra em torno
do Sol e da Lua em torno da Terra são circulares, já que elas possuem
excentricidades muito pequenas. Também vamos supor que todos os
movimentos estão em um mesmo plano, pois a órbita da Lua em torno
da Terra está inclinada de apenas 6º em relação a órbita da Terra em
torno do Sol. Os parâmetros do modelo são o raio e a frequência angular
das órbitas da Terra (R, Ω) e da Lua (r, ω) (BARONI, 2006).
(1)
BARONI, Douglas Brandão. A órbita da lua vista do sol. 2006. 32 f. Trabalho de Conclusão de Curso
(Graduação em Licenciatura em Física)- Instituto de Física, UFRJ. 2006.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica. 4. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. v. 1, 3.
reimpressão 2004.
1 
 
 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
ARENALES, M. N. et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011.
CARVALHO, J. M. V. Exact solutin of bin packing problem using column generation and branch-
and-bound. Annals of Operations Research, v. 86, p. 629–659, 1999.
CARVALHO, J. M. V. LP models for bin packing and cutting stock problems. European Journal of
Operational Research, v. 141,n. 2, p. 253-273, 2002.
GILMORE, P. C.; GOMORY, R. E. A linear programming approach to the cutting stock problem.
Operations Research, v. 9, n. 6, p. 849-859, 1961.
GILMORE, P. C.; GOMORY, R. E. A linear programming approach to the cutting stock problem –
part II. Operations Research, v. 11, n. 6, p. 863-888, 1963.
SILVA, S. C. P. Otimização do processo de corte integrado à produção de bobinas: modelo e
métodos de solução. 2006. 104 f. Tese (Doutorado em Ciências de Computação e Matemática
Computacional)– Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo,
São Carlos, 2006.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Vinicius Dias Vasconcelos; Sônia Cristina Poltroniere
Modelagem Matemática
Modelagens e métodos de solução
Bibliografia
Unesp/Faculdade de Ciências - Bauru
Introdução
ABORDAGENS MATEMÁTICAS PARA O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE UNIDIMENSIONAL 
Neste projeto, aborda-se o problema de corte de estoque
unidimensional e sua aplicação na indústria de papel (Silva, 2006).
Esse problema fundamenta-se no corte de unidades maiores (objetos)
em unidades menores (itens) de forma que uma demanda e um
critério de otimização sejam atendidos (Arenales et al., 2011).
A demanda tem como característica importante o grande número
de itens, porém, de poucos tipos, motivando a busca por um conjunto
de padrões de corte que, utilizados repetidas vezes, atenda-a e se
direcione de acordo com um critério.
Um padrão de corte unidimensional corresponde a uma maneira
de cortar um objeto, como exemplificado na Figura 1.
Figura 2: Grafo associado ao exemplo da Figura 1 e representação dos padrões de corte
Na Figura 1, são apresentados dois padrões de corte diferentes
para uma barra de comprimento � = 6. O primeiro padrão com três
itens de comprimento �� = 2; o segundo padrão com um item de
comprimento �� = 3, um item de comprimento �� = 2 e uma perda de 1
unidade.
Abordagem de Gilmore e Gomory (1961, 1963): Resolve-se o
problema usando o método simplex com geração de colunas. A cada
iteração do método, um novo padrão de corte é gerado resolvendo-se
um problema da mochila.
Abordagem de Carvalho (1999, 2002): o problema de corte é
formulado como um problema de fluxo mínimo em um grafo acíclico,
com restrições adicionais para satisfação da demanda. Cada padrão de
corte é representado por um caminho no grafo, conforme Figura 2.
Figura 1: Objeto, tipos de itens a serem cortados e padrões de corte
0 2 3 4 5 61
Aplica-se a abordagem de Carvalho (1999, 2002), que resolve o
problema usando a seguinte formulação:
Minimizar � (1)
��� �: � ��� − � ���
�,� ∈��,� ∈�
= �
−�, se � = 0 
0, se � = 1,2, … , � − 1 2
+�, se � = � 
� ��,���� ≥ ��, � = 1, 2, … , �
�,���� ∈�
 (3)
��� ≥ 0 e inteiro�, ∀ �, � ∈ � 4
sendo A o conjunto de todos os vértices e W o comprimento do objeto a
ser cortado.
Em (1) minimizamos o fluxo entre os vértices, o que corresponde a
minimizar o número de objetos cortados. Em (2) temos as restrições de
conservação de fluxo e em (3) as restrições de atendimento à demanda.
Por fim, em (4) temos o domínio das variáveis de decisão.
Propostas futuras
A abordagem de Carvalho (1999, 2002) será implementada com o
pacote de otimização AMPL/CPLEX e testes computacionais serão
realizados considerando diferentes instâncias e outras restrições como,
por exemplo, estoque limitado de objetos de diferentes tamanhos.
Comparações entre os resultados obtidos por esta abordagem e pela
abordagem de Gilmore e Gomory (1961, 1963) serão realizadas.
0 1 2 3 4 5 6
2 2 2
23
2 2 2
23
Dois possíveis padrões de corte:
� = �
�� = �
�� = �
�� = �
Na Figura 2, temos dois padrões de corte: o primeiro com três
itens de comprimento 2 e o segundo com um item de comprimento 3,
um item de comprimento 2 e uma perda de 1 unidade.
2 
 
 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Bethina da Rocha Camargo; Célia Aparecida dos Reis
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - Bauru
Objetivos
Efetuar a análise de um modelo simplificado da suspensão de um
automóvel, via a resposta a degrau unitário.
Introdução
sendo  o coeficiente de amortecimento, n a frequência natural e z = - k/b
o zero do sistema .
As raízes do denominador de G(s) em (1) dependem do discriminante
desta equação, podendo ter raízes reais ou complexas.
ANALISE DA RESPOSTA A DEGRAU DE UM MODELO DE SUSPENSÃO DE AUTOMÓVEL 
SIMPLIFICADO
O modelo de suspensão simplificado de um automóvel é estudo via a
análise da resposta transitória. A resposta a degrau é determinada
quando o coeficiente de amortecimento  do sistema satisfaz três casos
distintos: subamortecido (0 <  < 1), criticamente amortecido ( = 1) e caso
superamortecido ( > 1).Gráficos da resposta a degrau unitário são
apresentados. Estes são gerados via o software MATLAB.
Vibrações é um ramo da engenharia que lida com o movimento
repetitivo de sistemas mecânicos, desde peças de máquinas até grandes
estruturas. Exemplos típicos de vibrações são o movimento de uma
corda de guitarra, as vibrações da suspensão de um automóvel ou
motocicleta, o movimento de asas de avião e o balanço de um grande
edifício devido ao vento ou terremoto (Inman, 2001). Este trabalho trata
da análise da resposta a degrau de um modelo simplificado de um
sistema linear de suspensão de um automóvel ou motocicleta (Ogata,
2007). Essa resposta é determinada levando-se em conta variações do
coeficiente de amortecimento do sistema. Como sua função de
transferência apresenta um zero real, a análise da resposta no tempo
leva em conta as posições relativas de polos e zero deste.
Efetuou-se, neste trabalho, um estudo de um modelo simplificado da
suspensão de um automóvel ou motocicleta, via a análise temporal. A
resposta a degrau unitário foi determinada em função dos parâmetros
do sistema e de um zero real. Mostra-se que esta resposta apresenta
picos acentuados quando este zero está próximo a origem. Para
trabalhos futuros pretende-se determinar índices de desempenho deste
sistema em função das posições relativas deste zero em relação aos
polos.
Figura 2: Resposta a degrau unitário para z = -1/4 (vermelho) e z = 1(azul).
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Modern control systems. 7. ed. New York: Addison-Wesley, 1995.
INMAN, D. J. Engineering vibration. 2. ed. Virginia: Pearson Education International, 2001.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
Uma versão simplificada de uma suspensão de um automóvel ou
motocicleta é mostrada na Figura 1. (OGATA, 2007; DORF; BISHOP,
1995). Admite-se que o movimento xi = u no ponto P seja a entrada do
sistema e o movimento vertical xo = y da carroceria do carro seja a saída.
Figura 1: O modelo da suspensão simplificada (Ogata, 2007). 
Este sistema é composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e
um amortecedor de amortecimento b, que se deslocam na vertical. A
equação diferencial que descreve o movimento do sistema em função do
deslocamento y da massa e da extremidade do amortecedor e mola, u, e a
função de transferência deste sistema são respectivamente:
    ,0xxkxxbxm ioioo  
 
2
nn
2
2
n
s2s
zs
z)s(G




 (1)
Além disso, a resposta a uma entrada degrau deste sistema depende dos
valores assumidos por . Podem ocorrer se t  0:
1º caso: 0 <  < 1, o caso subamortecido. Então:
 








  ,tsen
1z
z
tcose1)t(y d2
n
d
tn 

 (2).1
2
nd  
2º caso:  =1, o caso superamortecido. Então:
 





   t
z
z
1e1)t(y n
ntn 
3º caso:  >1, o caso criticamente amortecido. Então:
   
ts
12
1
2
nts
12
2
2
n 21 e
ssz
zs
e
ssz
zs
1)t(y 







(3)
(4)
sendo  ,1s 2n1    .1s 2n2  A Figura 2 mostra a resposta a degrau unitário deste sistema para  = ½,
n = 1, z = -1/4 e z = 1. Nota-se a influência do zero na resposta do sistema
visto que quanto mais próximo este estiver da origem, maior é o primeiro
valor máximo da resposta a degrau.
3 
 
 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
PORCEL, Z. D.; REIS, C. A.; BALBO, A. R. A Análise do plano de fase de sistemas modelados por
uma equação de Duffing. In: ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL, 4., 2017, Bauru. Caderno de trabalhos completos e resumos. Bauru: Unesp,
Faculdade de Ciências, 2017. p. 10-17. Disponível em:
<http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/eventos2341/ermac/cadesnos-de-
trabalhos-completos-e-resumos/>. Acesso em: 19 out. 2017.
SHEPLEY, L. R. Differential equations, New York: John Wiley, 1984.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Gustavo Zanatta Bulhões; Célia Aparecida dos Reis
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - Bauru
O estudo de sistemas dinâmicos não lineares autônomos de segunda
ordem baseia-se na determinação de trajetórias no plano de fase. Em
geral a determinação analítica de soluções não é possível e assim,
mediante o estudo qualitativo do retrato de fase é possível a
identificação de características importantes de suas soluções sem
resolvê-las. Neste trabalho efetua-se um estudo da estabilidade
assintotica de um dos pontos críticos de uma equação de Duffing. Uma
simulação numérica via software matlab também é apresentada.
Objetivos
Introdução
ANÁLISE DO PLANO DE FASE DE SISTEMAS MODELADOS POR UMA EQUAÇÃO DE DUFFING COM 
LINEARIDADE CÚBICA
Analisar a estabilidade assintotica dos pontos críticos de uma equação
de Duffing de linearidade cúbica mediante técnica de Lyapunov bem
como construir seu plano de fase.
Mediante a técnica de Lyapunov o estudo de um dos pontos críticos de
uma equação de Duffing de linearidade cúbica foi efetuado, além da
classificação do mesmo e análise da estabilidade assintotica.
Simulações numéricas via software matlab são apresentadas.
Considere o oscilador de Duffing, com uma força externa e um termo
cúbico descrito no espaço de estados pela equação (PORCEL, 2017):
�
�� = � 
�� = −2�� − �� − ��� + ����Ω�
Se � ≠ 0, utilizando a equação de Cardano, prova-se que sendo � =
3 4���� + 27�������� �� + 9������(��), um dos pontos críticos
do Sistema (1) é �� =
�
�
��
�
�
−
�
�
�
�
�
� , 0 . Em � seja α = 0, Ω = 0 e γ ≠ 0,
então �� =
�
�
�
, 0 . Seja � = � −
�
�
�
e � = � a translação que
transformará o ponto crítico �� na origem do plano de variáveis de
estado � �, o sistema nas coordenadas (�, �) já escrito como uma série
de Taylor em torno de �� é escrito como:
�� = � 
�� = −2�� − 3��
�
�
�
�
− 3�� ���
�
− ��� + ⋯
A equação característica da matriz Jacobiana da contraparte linear do
Sistema (2) e seus autovalores são respectivamente:
�� + 2�� + 3�
�
�
�
�
= 0 e � = −� ±
∆
�
. (3)
Seja ∆ o discriminante da Eq. (3). Quando ∆= 0 , a equação
característica possui um autovalor real de multiplicidade dois. Além
disso: ∆= 0 ⇔ � = ± 3�
�
�
�
�
 .
(1)
(2)
Assim, �� é classificado como nó assintoticamente estável ⇔ � > 0 ou
nó instável ⇔ � < 0. Se ∆> 0, a Eq. (3) apresenta dois autovalores reais
e distintos. Além disso: ∆> 0 ⇔ −∞ < � < − 3�
�
�
�
�
 ∪ 3�
�
�
�
�
<
� < ∞ . Observa-se que �� e �� < 0 e �� é classificado como nó
assintoticamente estável. Se � < 0 , a Equação (3) apresenta dois
autovalores conjugados complexos. Além disso: ∆< 0 ⇔ − 3�
�
�
�
�
<
� < 3�
�
�
�
�
. Se − 3�
�
�
�
�
< � < 0 �� é espiral assintoticamente
instável e se 0 < � < 3�
�
�
�
�
�� é espiral assintoticamente estável.
Utilizando o software matlab e atribuindo � = 3, � = 0, �, = 5, � =
10 e Ω = 0 mostra-se que para � < 0 e 0 < � < 3�
�
�
�
�
�� é espiral
assintoticamente estável como é possível observar na Figura 1.
Efetuou-se um estudo do plano de fase de um oscilador de Duffing
com uma linearidade cúbica em torno de um de seus pontos críticos.
Determinou-se, em função dos parâmetros do sistema, condições
necessárias e suficientes para a estabilidade assintotica deste ponto.
Simulações numéricas foram apresentadas nestas condições de
estabilidade.
Figura 1: Plano de fase do sistema
4 
 
 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
ARENALES, M. N. et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. 524 p.
BAZARAA, M. S.; JARVIS, J. J.; SHERALI, H. D. Linear programming and network flows. 2nd ed.
Wiley: New York, 1990. 684 p.
BERTSIMAS, D.; TSITSIKLIS, J. N. Introducion to linear optimization. Belmont: Athena Scientific,
1997. 587 p.
LOPES, A. L. M. Otimização Linear: conceitos e aplicação nas aulas de Matemática para o Ensino
Médio. 2017. 93 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Faculdade de Ciências, Universidade
Estadual Paulista, Bauru, 2017.
MARINS, F. A. S. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: Cultura Acadêmica:
Universidade Estadual Paulista, Pró-Reitoria de Graduação, 2011. 176 p.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro:
Interciência, 1977. 196 p.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
André Luis Martins Lopes; Sônia Cristina Poltroniere
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - Faculdade de Ciências - Bauru
A modelagem matemática é uma ferramenta eficaz na tomada de
decisão, pois permite uma melhor visualização do problema. Mas, ao
se abordar um problema, antes de elaborar um modelo matemático
que o represente e utilizar um método para sua resolução, é
importante considerar:
A primeira coisa a fazer com um problema é compreendê-lo
bem: Quem entende mal, mal responde. Precisamos distinguir
claramente a meta que desejamos alcançar: Pense no fim antes
de começar. [...] Se o objetivo não estiver claro em nossa mente,
poderemos facilmente nos desviar do problema e abandoná-lo.
(POLYA, 1977, p. 140)
A área de Otimização Linear aborda, fundamentalmente, a
resolução de problemas cujos modelos matemáticos são
representados por expressões lineares.
Um Problema de Otimização Linear (POL) consiste em
maximizar ou minimizar uma função linear denominada função
objetivo, respeitando-se um conjunto de equações e/ou inequações
lineares, denominado restrições do problema.
Objetivos
Discutimos aqui a realização de atividades com alunos do
Ensino Médio, envolvendo a modelagem e resolução de problemas
usando a otimização linear.
Esta aplicação faz parte do trabalho de mestrado do PROFMAT
– “Otimização Linear: conceitos e aplicação nas aulas de Matemática
para o Ensino Médio”, cujo objetivo foi abordar a teoria básica de
Otimização Linear e o método Simplex.
É apresentado um material sobre este tema, para orientar e
embasar os professores que lecionam no Ensino Médio. São
propostas algumas situações-problemas para serem trabalhadas em
sala com os alunos utilizando a resolução gráfica e o método simplex.
A resolução gráfica de um problema de duas variáveis serviu de
base e apoio visual para a compreensão do método simplex.
Por ser um método complexo, o objetivo principal foi reforçar a
resolução de sistemas lineares, além de ir comparando a solução
obtida a cada passo do método com a resolução gráfica.
Finalmente, a utilização de um Solver serviu para discussão da
importância de uma ferramenta tecnológica na solução de problemas
de grande porte.
Análise dos relatos dos alunos após a aplicação da atividade:
 Grande parte dos alunos relatam dificuldades nos cálculos quando
submetidos ao método simplex.
 A utilização de um solver foi bem aceita pelos alunos e como
afirmaram, facilitouos cálculos, tornando-os simples.
 A utilização do método gráfico foi gratificante, pois o nível de
exigência é menor que o método simplex.
 Mostraram interesse na modelagem e solução de problemas
usando a Otimização Linear, o que é estimulante e mostra que os
alunos estão “abertos” a novas experiências, cabendo a nós
professores estimular isso em nossos alunos.
Introdução
Agradecimentos
Após a aplicação em sala, pudemos perceber um grande campo a
ser explorado: a resolução de problemas usando, por exemplo, a
Otimização Linear.
Como não é possível, muitas vezes, realizar no horário de aula, a
ideia é a elaboração de um Projeto de Extensão, visando o
desenvolvimento deste conteúdo em atividades extracurriculares,
contando com a participação de professores da rede pública,
docentes da Universidade e graduandos do curso de Licenciatura em
Matemática.
APLICAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO LINEAR NAS AULAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
Uma situação-problema foi proposta em uma sala do terceiro
ano do Ensino Médio de uma Escola Técnica de Bauru.
Foram realizadas as seguintes etapas para a resolução:
 Interpretação do problema e elaboração da modelo matemático;
 Resolução gráfica, no plano cartesiano (uso de régua e esquadros);
 Resolução usando o método Simplex;
 Resolução usando um Solver.
Resolução elaborada coletivamente, em quatro encontros de 50
minutos (cada) durante os meses de maio e junho de 2017.
À coordenação e professor da Escola Técnica; à CAPES pelo apoio financeiro.
5 
 
 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
ARENALES, M. N. et al. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2006.
POCHET, Y.; WOLSEY, L. A. Production planning by mixed integer programming. New York: 
Springer, 2006. 
TOLEDO, F. M. B. et al. Logística de distribuição de água em redes urbanas – racionalização 
energética. Pesquisa Operacional, v. 28, n. 1, p. 75-91, 2008.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Ana Raquel Faccioli; Edilaine Martins Soler
Considerações FinaisMaterial e método
Bibliografia
UNESP/Bauru
Programação inteira mista, ou otimização linear inteira mista, tem
como diferencial o subconjunto dos números inteiros pelo qual
algumas de suas variáveis fazem parte. Na vida real, os problemas de
otimização aparecem com frequência em diversas áreas: transportes,
aviação, telecomunicações, circuitos eletrônicos, medicina e engenharia.
A solução destes problemas auxiliam as decisões, tais como, decidir se
em um certo período um produto será produzido ou não, escolher a
melhor sequência de itens para ser processado em uma determinada
máquina, determinar a divisão de tarefas, entre outros.
Um método bastante utilizado para resolver problemas de
programação inteira e programação inteira mista é o branch-and-bound,
o qual tem como objetivo dividir o problema original em vários
subproblemas com variáveis contínuas e somente resolvê-los
separadamente até que se obtenha a melhor solução inteira, chamada
de solução ótima. Porém, dependendo da dimensão do problema e do
número de variáveis inteiras envolvidas, o tempo computacional de
resolução desses pelo método branch-and-bound é alto.
Assim, heurísticas relax-and-fix vem sendo utilizadas, mostrando
eficiência na resolução desses problemas, com o tempo computacional
de resolução menor.
Objetivos
- O objetivo deste trabalho é apresentar a heurística relax-and-fix para
resolução de problemas de programação inteira mista.
Introdução
Agradecimentos
HEURÍSTICAS RELAX AND FIX PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA 
MISTA
(P1)
Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, UNESP-Bauru
s.a:
A heurística relax-and-fix obtém bons resultados para problemas de
otimização com horizonte de planejamento com muitos períodos.
Futuramente aplicaremos esta heurística de solução ao problema de
planejamento do estoque de água em reservatórios proposto em Toledo
et al (2008).
Heurísticas do tipo relax-and-fix são usadas com frequência para
resolver problemas na área de planejamento da produção que são
modelados como problemas de programação inteira e programação
inteira mista.
Essa heurística consiste em relaxar algumas variáveis de decisão ao
mesmo tempo em que fixa outras variáveis de forma iterativa,
resolvendo os subproblemas inteiros mistos gerados até se obter a
melhor solução.
Vamos descrever esta heurística conforme Pochet e Wolsey (2006), para
o problema de programação linear com variáveis binárias (P1)
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
[*] AGUIAR, M. A. M. de. Métodos matemáticos para biologia. 2015. Disponível
em: <http://sites.ifi.unicamp.br/aguiar/files/2014/11/math-meth-bio.pdf>.
Acesso em: 14 out. 2018..
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Tiago de Carvalho; Pedro Victor Ruiz Fornetti
Material e método
Mutualismo entre
Insetos e plantas
Veremos neste trabalho a modelagem matemática entre duas espécies,
mais especificamente o caso de mutualismo, ou seja, o que acontecerá
quando tivermos a coexistência entre as espécies.
O caso de mutualismo é quando uma espécie se beneficia da outra e
vice-versa.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é analisar a taxa de crescimento das espécies
que estão interagindo entre si, e assim, modelar matematicamente para
conseguir prever como será a população em um determinado tempo
“n”.
Introdução
INTERAÇÃO ENTRE DUAS ESPÉCIES - MUTUALISMO
Resultados e discussão
Conclusões
Bibliografia
Onde X e Y são duas espécies interagindo e acontecendo o mutualismo.
Supondo que se encontram isoladas, as taxas de crescimento serão r e
r’, respectivamente. Quando entram em contato, ambas se beneficiam e
crescem a taxas maiores.
Considerando r = 1/2 e r’ = 3/2, teremos o caso onde o mutualismo é
obrigatório para X e facultativo para Y. Para facilitar os cálculos,
usaremos a = 5/6 e b = 12/5.
[*] Exemplo retirado do livro Métodos matemáticos para biologia.
Para se tornar mais dinâmico e simples, iremos resumir.
Transformando o sistema em uma matriz, temos que o traço e o
determinante irão definir as taxas de crescimento. Com as formulas
utilizadas no material[*], obtemos o seguinte sistema:
A taxa de crescimento principal para ambas equações é 5/2. Nota-se
que essa taxa, em ambos casos, aumentou.
No caso de X, de 1/2 a taxa foi para 5/2. No caso de Y, foi de 3/2 para
5/2.
Vemos então, que nesse caso, o mutualismo é benéfico para as duas
espécies. Existem casos em que uma população prejudica a outra,
também conhecido como predação. No estudo da predação, vemos que
uma população (predador) se beneficia e a outra é prejudicada (presa).
UNESP Câmpus de Bauru/FC
Após estudos, foi definida uma maneira de se calcular o resultado de
interações mutualistas. Veremos a seguir uma forma de encontrar o
valor da população no tempo “n”.
Utilizaremos um sistema de equações que determina a taxa de
crescimento entre duas espécies que estão em interação.
Após apresentado um caso onde já sabíamos que era mutualismo e que
era benéfico para ambas espécies em coexistência, vemos que este
estudo nos traz uma maior noção de como identificar a reação das
espécies ao entrarem em contato.
A modelagem matemática dessas situações é muito benéfica para nossa
rotina. Essas interações acontecem o tempo todo e não apenas em casos
de animais. A Previsão do tempo e a taxa de pessoas contaminadas por
uma doença são exemplos de eventos que são modelados.
Enfim, é um estudo muito importante e que tem grande importância no
nosso dia a dia, e que, através da matemática, conseguimos prever
situações e até evitá-las.
Agradecimentos
Ao Conselho Nacional de Pesquisa, pela concessão de uma bolsa ao
estudante Pedro Victor Ruiz Fornetti.
Ao Departamento de Matemática da Unesp de Bauru.
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
.
B 2 U 9
Resultados12% 24% 64%
19% 11% 70%
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
[1] CAI, L.; LI, X.; GHOSH,M.;GUO, B. Stability analysis of an HIV/AIDS epidemic model with treatment; Journal of Computational and Applied Mathematics 229, p. 313, 2009
[2]POLI, G. I.; YANG, H. M. Modelo matemático aplicado imunologia de HIV¹. Tema, v. 7, n. 2, p. 327-335, 2006.
[3] SILVA, L. B. da. Estudo dos pontos de equilíbrio em modelos determinísticos da dinâmica do HIV. 2005. 58 f. Monografia (Bacharel em Matemática Aplicada e Computacional com habilitação em Ciências
Biológicas) – Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo. 2005.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia
O HIV é um retrovírus, vírus com genoma de RNA [2], em seu
envoltório existem espículas constituídas de glicoproteínas e
lipídios, que servem para afixar o vírus nas células hospedeiras. Os
principais alvos do vírus HIV são as células T-CD4, que possuem
receptores para o vírus, estas são responsáveis pela ativação de
células B e das células T-CD8. Como esse vírus permanece latente
por muitos anos o sistema imunológico acaba por não detectá-lo. Os
estágios da doença muitas vezes são determinados por meio da
contagem das células T-CD4, em um indivíduo de saúde normal essa
contagem fica entre 800-1200/mm³, já em uma pessoa que tem essa
contagem em 200/mm³ ou menos é considerada com AIDS.[3]
O estudo sobre o sistema imunológico vêm sendo impulsionado nas
últimas décadas como um esforço em direção a tão almejada cura da
AIDS. Porém esses estudos auxiliaram no tratamento de muitas
outras doenças infecciosas. Os modelos matemáticos têm sido
utilizados com sucesso na descrição da transmissão micro/macro-
parasitas. A utilização desses modelos na área bio-médica tem a
finalidade de entender os mecanismos de propagação. Neste
trabalho, vamos mostrar o modelo proposto por Poli e Yang [1].
Objetivos
O objetivo principal desse trabalho é esboçar o avanço dos primeiros
estudos da aluna na iniciação científica , a partir do domínio e
compreensão de sistemas de equações diferenciais ordinárias,
matrizes Jacobianas e cálculo de autovalores vistas no início da
iniciação científica entender o modelo proposto por Poli e Yang [1].
Introdução
Agradecimentos
O estudo possibilitou a melhor compreensão da epidemia do
HIV/AIDS e no âmbito matemático como trabalhar com EDOs, além
de aprofundar os estudos visto em Álgebra Linear. Ademais
proporcionou um melhor domínio de ferramentas computacionais
para a resolução de alguns problemas complexos demais para serem
resolvidos manualmente.
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS COM APLICAÇÃO À BIOLOGIA:
MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS AO HIV
Os materiais utilizados foram principalmente ferramentas
computacionais, de representação gráfica ou de editoração eletrônica
como o Wolfram Alpha online e o Inkscape. Primeiramente a aluna
estuda os conteúdos previamente depois apresenta o seu
entendimento ao professor, que por sua vez auxilia no processo de
aprendizagem.
À FAPESP, pela concessão de uma bolsa de estudos à estudante do
curso de Licenciatura em Matemática Micaeli M. Theodoro,
possibilitando o estudo dos sistemas dinâmicos e consequentemente
enriquecendo sua formação.
Figura1: Entrada do vírus HIV na T-CD4
sem
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
As análises dos livros estudados no Projeto têm como guia teórico-metodológico principal a Hermenêutica de Profundidade (um referencial de
natureza sociológica elaborado inicialmente por John B. Thompson), e também se apoia na ideia de Paratextos Editoriais (do francês Gerard
Genette).
A organização do acervo segue parâmetros estabelecidos pelo próprio Grupo (em projetos de IC) mas dialoga com estratégias de biblioteconomia
e, particularmente, com manual específico produzido pelo Acervo Mário Covas, da cidade de São Paulo.
As traduções têm como suporte, obviamente, o conhecimento prévio e aprofundado das línguas francesa e inglesa, e se apoia nos referenciais
dados pelos estudos relativos à linguagem e à Filosofia (mais especificamente, em Umberto Eco e Walter Benjamin). Uma parceria com o curso de
tradução da UNESP de Rio Preto foi firmada para a versão para o português de dois livros de Lacroix e um texto – em francês – de Leon Tolstói
(este, um projeto em fase inicial de desenvolvimento: Tostói, o conhecido escritor russo, tem uma série de manuais (que incluem textos sobre
ensino de Ciências e Matemática ) produzidos para a escola construída em sua propriedade para os filhos de camponeses, a Yasnaya Polyana).
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Antonio Vicente Marafioti Garnica
Detalhamento
Micro-exposição
Metodologia
UNESP – Bauru/Rio Claro - Grupo de Pesquisa História Oral e Educação Matemática - GHOEM
O Grupo de Pesquisa História Oral e Educaçao Matemática
(GHOEM) é um grupo composto por pesquisadores de diferentes
instituições brasileiras e atualmente reúne 26 doutores e 57
estudantes (entre mestrandos, doutorandos e graduandos) espalhados
em diferentes estados (SP, MG, MA e PR) e grupos-parceiros,
formados a partir dele (nos estados do RN e MS, por exemplo). Seu
objetivo é estudar a cultura matemática “escolar”, e embora traga a
expressão “História Oral” em sua nomenclatura, outras metodologias
são mobilizadas nos estudos que ele acolhe. Esse é o caso do Projeto
Análise de Livros e Hermenêutica de Profundidade (AL-HP).
Mantendo um acervo com cerca de 2000 obras, todas originais (livros
didáticos, livros de referência, teses e periódicos), muitas delas raras,
o Projeto AL-HP tem como intenção conservar, disponibilizar e
analisar (e, em alguns casos, traduzir) os títulos desse acervo.
Esta comunicação trata, especificamente, de três estudos vinculados a
este projeto, e será complementada com uma micro-exposição de
algumas obras do Acervo.
Os estudos a serem apresentados são aqueles que tratam da tradução
e análise de dois livros e de um conjunto de cinco manuscritos. São
eles:
O livro Ensaios sobre o Ensino em Geral e o de Matemática em
particular, do autor francês S-F. Lacroix, de 1805, hoje disponível em
português na Coleção Clássicos, da Editora da UNESP;
o livro Euclides e seus rivais modernos, do inglês Lewis Carroll,
de 1879, hoje disponivel em português em edição da Editora Livraria
da Física;
a série de manuscritos do americano Charles S. Peirce,
elaborados ao final do século XIX, que reúne escritos do que se pode
chamar A Aritmética Elementar de C. S. Peirce, cuja tradução para o
português está em vias de publicação.
O livro de Lacroix trata do desenvolvimento da Matemática e do
ensino de Matemática na França à época da Revolução Francesa, e traz
detalhamentos sobre a obra de Lacroix – um conhecido autor de
manuais didáticos para a escola secundária do período
revolucionário) – voltada para o ensino. A produção francesa nesse
campo é a matriz dos nossos livros didáticos, que só começaram a ser
produzidos no Brasil a partir de 1808, com a vinda de D. João VI.
O texto de Lewis Carroll se destaca por ser ele um autor mais
conhecido por seu livro “Alice no país das Maravilhas”. Entretanto,
interessado em Matemática e com importantes trabalhos sobre
Geometria e Lógica, Carroll elabora este texto para defender a
permanência do livro de Euclides como material didático na
Inglaterra, num período em que importantes reformas curriculares
pretendiam alterar os autores e manuais utilizados no ensino.
Os manuscritos de Peirce, escritor conhecido por seus estudos em
Filosofia e Semiótica, mas autor de trabalhos sobre lógica e filho do
primeiro matemático americano de renome internacional (Benjamin
Peirce) nunca foram publicados, mas foram elaborados para
constituírem (um único ou uma série, não se sabe) livro(s) didático(s)
(e/ou de suporte didático-pedagógico) para o ensino de Aritmética na
escola elementar,a chamada “escola de primeiras letras”.
Apresentação
Pretendemos, nessa apresentação na SELMAT, divulgar o Projeto AL-
HP e, ao mesmo tempo, realizar uma micro-exposição de livros
antigos. Essa micro-exposição será composta por alguns livros de
Lacroix, dos séculos XVIII e XIX; e os livros de Belidor (de 1725) e de
Arnauld e Nicole (La Logique ou L´Art de Penser, de Port Royal, de
1668) – ambos raros –, além das traduções comentadas anteriormente.
LIVROS ANTIGOS E MANUSCRITOS: TRADUÇÃO E ANÁLISE DE FONTES RELACIONADAS À 
MATEMÁTICA E AO ENSINO DE MATEMÁTICA
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
TOLEDO, F. M. B. et al. Logística de distribuição de água em redes urbanas – racionalização
energética. Pesquisa Operacional, v. 28, n. 1, p. 75-91, 2008.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Descrição do problema
Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" - UNESP - Campus de Bauru 
Os sistemas de abastecimento de água possuem a função de levar
água em quantidade e qualidade adequadas à população. Porém isso
envolve o gasto de quantidades muito significativas de energia
elétrica, sendo relevante que as empresas de saneamento possam
diminuir seus gastos, sem prejuízo no abastecimento. Como o custo
de energia elétrica é diferenciado ao longo das horas do dia, sendo
bem mais alto no horário de ponta, faz-se necessário um
planejamento do liga/desliga das bombas hidráulicas (e do volume
de água nos reservatórios) para evitar que estas operem nos horários
em que a energia elétrica é mais cara.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é propor um modelo matemático para o
problema de planejamento da operação de bombas hidráulicas em
sistemas de abastecimento mais próximo da realidade dos sistemas
de abastecimento brasileiros.
Nas empresas de saneamento básico os custos com energia elétrica
são altíssimos devido ao consumo energético das bombas hidráulicas,
utilizadas para captação e transferência de água. Toledo et al. (2008)
propuseram um modelo matemático de otimização para o problema
de planejamento de estoque de água em reservatórios que considera
que apenas uma bomba faz a captação de água em cada ponto de
captação, e apenas uma bomba é utilizada para transporte de água
por trecho. No entanto, constatou-se nos sistemas de abastecimento
brasileiros, que o transporte de água entre os reservatórios é
realizado por um conjunto de até 4 bombas em cada trecho. O mesmo
acontece com a captação de água da Estação de Tratamento de Água.
Assim, o operador do sistema de abastecimento deve decidir quantas
bombas ligar em cada período para cada ponto de captação e cada
ponto de transferência.
A figura abaixo ilustra o problema considerando três reservatórios.
Introdução
Agradecimentos
MODELO MATEMÁTICO PARA O PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO DE MÚLTIPLAS BOMBAS 
HIDRÁULICAS EM SISTEMAS DE ABASTECIMENTO
Assim, objetivando obter um modelo matemático mais próximo da
realidade de um sistema de abastecimento brasileiro, baseado no
modelo de Toledo et al. (2008), propõe-se neste trabalho um modelo
matemático de otimização linear inteira mista para o problema de
planejamento da operação de bombas hidráulicas em sistemas de
abastecimento que considera uma ou mais bombas hidráulicas por
trecho de transporte de água ou captação.
A seguir apresenta-se o modelo matemático proposto:
Considerações finais
Serão realizados testes numéricos com o modelo matemático
utilizando dados referentes ao sistema de abastecimento da cidade de
São Carlos. Os testes serão realizados utilizando o pacote Cplex em
interface com o software GAMS e com o software OPL. O software
EPANET será utilizado para analisar a viabilidade de implantação das
soluções obtidas.
Bibliografia
Agradecemos à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP – processo
número 2017/09970-3) e a Faculdade de Ciências.
Isabela Garcia Parras; Edilaine Martins Soler
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia Consultada
Objetivos
Introdução
Agradecimentos
O ENSINO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DE JOGOS E MODELOS GEOMÉTRICOS 
Atualmente, com tanta tecnologia e diversas formas de entretenimento,
nos deparamos com a seguinte questão: como fazer para que os alunos
se interessem por matemática? Há muitas respostas para essa pergunta
e uma delas seria trabalhar com a matemática de maneira divertida e
prazerosa. Mas como? Utilizar jogos matemáticos que atendam a
maioria dos níveis de ensino parece ser uma ótima forma, pois atinge
tanto os alunos quanto a comunidade e os professores.
Segundo Selva & Camargo (2009), o jogo é um processo, no qual o
aluno necessita de conhecimentos prévios, interpretação de regras e
raciocínio, o que representa constantes desafios, pois a cada nova
jogada são abertos espaços para a elaboração de novas estratégias,
desencadeando situações problemas que, ao serem resolvidas,
permitem a evolução do pensamento abstrato para o conhecimento
efetivo, construído durante as atividades.
Jogos que envolvem Matemática são importantes não só para a
aprendizagem, mas também para quebrar alguns preconceitos
existentes, talvez culturais sobre a Matemática, que muitas vezes são
causados pelos próprios professores, família e colegas. Com estes,
podemos ensinar matemática e desenvolver o raciocínio lógico,
estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade
de resolver problemas.
Utilizamos vários jogos matemáticos nas escolas públicas de Bauru,
com o objetivo de oferecer ao aluno, a partir destes, a diversão e a
superação, possibilitando a construção de aprendizagens significativas.,
De forma lúdica, fazemos com que o aluno pense nos conceitos
aprendidos na sala de aula e questione a lógica usada para fazer o
pensamento, fazendo com que este estudante crie conexões entre as
várias áreas da matemática.
De início confeccionamos todo o material, onde foram feitas as peças
em E.V.A, cartolina e alguns dados. Dentre os jogos construídos estão
alguns que abordam as operações básicas e seus algoritmos, como
também outros de raciocínio lógico e estratégia. Além dos jogos foram
produzidos materiais para ensino de geometria, que envolvem os
conceitos de áreas, diagonais, congruência e semelhança de triângulos.
Após a construção dos jogos, foram discutidos os conceitos matemáticos
envolvidos em cada jogo e foram realizados treinamentos para
apresentação dos universitários (bolsistas/voluntários) nas escolas. O
passo seguinte foi a apresentação dos alunos bolsistas e voluntários nas
escolas públicas de Bauru. As ferramentas aprendidas nas oficinas
realizadas durante o projeto podem aprimorar suas aulas, tornando-as
mais agradáveis, incentivando o estudo da matemática com utilização de
métodos diferenciados, de baixo custo, além de possibilitar sua efetiva
interação com a comunidade.
Agradecemos à Proex e ao departamento de Matemática da
FC/Unesp.
A ação de jogar não está subordinada ao ato em si, ela vai além, pois
o aluno agora é capaz de pensar, levantar hipóteses, interpretar e criar
as próprias relações entre os conhecimentos. O desencadeamento após
um jogo ultrapassa a experiência e possibilita a aquisição para outros
contextos. Isto significa que as atitudes adquiridas no momento do
jogo tendem a ser propriedade do aluno e podem ser generalizadas
para outras situações, inclusive em sala de aula. Este projeto buscou
criar condições para que os alunos descobrissem ou redescobrissem
que é possível aprender e que atividades formais, como ir à escola,
podem ser prazerosas.
Percebemos com este projeto que o aluno ao jogar, passa a ter
competência e habilidade para ser o elemento ativo no seu processo de
aprendizagem. Conseguimos assim, usar o lúdico para complementar
a teoria aprendida em sala de aula e ser um instrumento para a
melhoria do ensino, obtendo uma interaçãoentre a universidade e a
comunidade, como também propiciando o contato de alunos do ensino
médio com os universitários.
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. 5. ed. São 
Paulo: CAEM /USP, 2004.
GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Editora Paulus, 
2004.
SELVA, K. R.; CAMARGO, M. O jogo matemático como recurso para a construção do 
conhecimento. In: ENCONTRO GAÚCHO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10., 2009, Ijuí, Anais... 
Ijuí: Unijuí, 2009. Disponível em: 
<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_4.pdf>.Acesso 
em: 10 ago. 2017.
Trabalhar com jogos é, em geral, muito divertido e estimulante, tanto
para os professores quanto para os alunos, ou seja, para a escola em
geral. No entanto, há de se tomar muito cuidado para que os jogos não
tragam consequências negativas ou confusão na sala de aula, já que o
objetivo não é o de vencer, mas sim compreender cada jogo e seu
conteúdo matemático. Até o momento tivemos respostas muito
positivas dos alunos, alguns chegaram a pedir que voltássemos com
mais frequência, e os professores até mesmo sugeriram que os jogos
fossem parte da metodologia da escola. É preciso ressaltar ainda que a
cooperação entre os alunos durante a realização dos jogos foi
importante, eles davam palpites e incentivavam os colegas para que a
partida fosse até o final.
Cristiane Alexandra Lázaro; Tatiana Miguel Rodrigues de Souza; Emily Bolinelli Arfeli; Giuliana Beatriz Abdala Cruz; Mylena Verona das Neves 
UNESP/Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática
 
12 
 
 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
ANDERSON, A. R.; BELNAP JR, N. D. Entailment: the logic of relevance and necessity. Princeton:
Princeton University Press, 1975.
BOATO, L. F. S.; SILVESTRINI, L. H. C. O sistema TLR e a semântica de matrizes da lógica RM3.
In: ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL, 4., 2017,
Bauru. Caderno de trabalhos completos e resumos. Bauru: Unesp, Faculdade de Ciências, 2017. p.
503-505. Disponível em:
<http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/eventos2341/ermac/cadesnos-de-
trabalhos-completos-e-resumos/>. Acesso em: 16/abril. 2017.
BRADY, R. T. Completeness proofs for the systems RM3 and BN4. Logique et Analyse, v. 25, n. 97,
p. 9-32, 1982.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Luis Felipe Salvador Boato; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini
Resultados e discussão
ConclusõesMaterial e método
Bibliografia
UNESP– Campus Bauru – Faculdade de ciências/FC
Anderson e Belnap (1975) deram início aos estudos que
culminaram no surgimento da escola das lógicas da relevância. Esta
se consolidou como uma das mais conhecidas escolas
paraconsistentes da literatura.
A proposta de Anderson e Belnap foi de sugerir uma lógica
baseada na ideia de que o antecedente de uma implicação lógica deve
ser relevante para o seu consequente. Segundo os autores,
deveríamos fazer construções de modo que haja uma relevância entre
as proposições envolvidas na implicação, a fim de se evitar a
validação lógica de sentenças como “Se a lua é feita de queijo
cheddar, então 2 é um número ímpar”. Um sistema lógico L pode ser
definido como um par (For, ⊢L) constituído por um conjunto For de
fórmulas munido de uma relação de consequência ⊢L. Uma teoria, ou
seja,   For tal que  se, e somente se,  ⊢ , é dita consistente se
ela não contém  e , para cada fórmula , caso contrário, a teoria  é
dita inconsistente.
Além disso, um sistema lógico é paraconsistente quando nos
permite distinguir entre teorias contraditórias , no sentido em que 
⊢L  e  ⊢L , para alguma fórmula , e teorias triviais , no sentido
em que  ⊢L , para toda fórmula . Da mesma forma, podemos dizer
que um sistema lógico é considerado paraconsistente se, e somente
se, ele é não-explosivo, i.e., um sistema no qual o princípio de
explosão (,  ⊢L ) não é válido.
Objetivos
O objetivo desta apresentação é mostrar o sistema TLR e como foi
feita a equivalência entre os sistemas TLR (sistema de tableaux) e
RM3 (sistema axiomático da lógica trivalente da conexão relevante), i.
e., Δ ⊩ φ ⇔ Δ ⊢ φ .
Aqui apresentaremos as regras do Sistema TLR. São elas:
Introdução
Agradecimentos
Mostramos, nessa apresentação, as regras para o sistema TLR
desenvolvido e que toda fórmula deduzida a partir do sistema
axiomático RM3 pode ser também deduzida a partir do sistema de
tableaux TLR.
O SISTEMA DE TABLEAUX TLR APRESENTADO COMO UMA ALTERNATIVA AO 
SISTEMA AXIOMÁTICO RM3
Trata-se de um trabalho teórico e a presente pesquisa possibilita
evidenciar o método dedutivo de tableaux como um método
alternativo ao axiomático. Assim, desenvolveremos um sistema TLR
de tableaux.
Esse trabalho pode ser representado pelo seguinte esquema:
Etapa 1. [ Δ ⊢ φ ⇒ Δ ⊩ φ ] Se uma fórmula φ pode ser deduzida
sintaticamente através do sistema axiomático RM3, então há um
tableaux fechado correspondente no sistema de tableaux TLR.
Etapa 2. [ Δ ⊩ φ ⇒ Δ ⊨ φ ] Se há um tableaux fechado para a dedução
da formula φ, então há uma dedução semântica correspondente, para
a fórmula φ, em RM3.
Etapa 3. [ Δ ⊨ φ ⇔ Δ ⊢ φ ] A correção e completude do sistema
axiomático RM3. Este resultado foi apresentado por Brady (1982).
Financiamento
1 ¬A
0 A
0 ¬A
1 A
½ ¬A
½ A
1 A ∧ B
1 A
1 B
1 A ∨ B
1 A 1 B
1 A ⟶ B
0 A 1 B
½ A ∧ B
1 A ½ A ½ A
½ B 1 B ½ B
0 A ∧ B
0 A 0 B
½ A ∨ B
0 A ½ A ½ A
½ B 0 B ½ B
0 A ∨ B
0 A
0 B
½ A ⟶ B
½ A
½ B
1 A ⟶ B
1 A 1 A ½ A
½ B 0 B 0 B
Após desenvolvermos as regras de TLR, mostramos a
equivalência dos sistemas TLR e RM3 por dois teoremas,
correspondentes às etapas 1 e 2, juntamente do resultado já existente
na literatura (etapa 3). Com isso, mostramos que tudo o que pode ser
demonstrado a partir do sistema axiomático da lógica RM3 possui
uma demonstração correspondente no sistema de tableaux TLR.
Agradecemos à FAPESP pelo fomento de nossa pesquisa (Bolsa
de iniciação científica. Processo FAPESP nº 2016/07446-2).
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Cristiane Alexandra Lázaro; Tatiana Miguel Rodrigues de Souza; Marcela Luan Robatom; Thiago Martins da Silva; Alexandre Morelli Alves de Oliveira. 
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia Consultada
UNESP/Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática
Objetivos
Introdução
OS JOGOS PENTAMINÓ E “DOMINÓ DAS QUATRO CORES” PARA O ENSINO DE ÁLGEBRA E 
GEOMETRIA
O ensino tradicional de matemática ainda é válido, mas não basta
apenas decorar fórmulas e tabelas. Hoje em dia é preciso fazer algumas
mudanças neste ensino, de forma que as aulas se tornem mais
interessantes. Mas, como despertar a motivação dos alunos pela
Matemática? Deixando esta disciplina mais lúdica, através de jogos que
envolvam conceitos abstratos e que consigam atender a maioria das
idades e níveis escolares. Dessa forma, é possível atingir não só os
alunos, como também os professores e toda a comunidade escolar. O
trabalho com jogos estimula habilidades que são necessárias para a
aprendizagem da Matemática, tais como organização, raciocínio e
concentração, as quais ficam implícitas durante as aulas, porém estão
sempre presentes enquanto se está jogando. Além das habilidades já
citadas acima, o uso dos jogos no ensino também faz com que os
alunos trabalhem em grupo, pensando juntos e cada um buscando
novas estratégias, afim de atingir o objetivo. Num primeiro contato
com os jogos, os alunos observam e fazem as primeiras tentativas sem
pensar muito em uma estratégia. Depois começam a surgir os
conceitos matemáticos através de novos raciocínios, e a partir disto,
elaborar conclusões acerca do desenvolvimento do jogo.
Aqui relataremos um pouco sobre os jogos Pentaminó e Dominó das
Quatro Cores.
O objetivo do jogo “Dominó das Quatro Cores” é construir um
quadradocom todas as peças, de modo que peças da mesma cor não se
toquem, nem mesmo pelo vértice. A proposta é que os jogadores
busquem a solução do problema cooperando entre si.
Já o Pentaminó é um quebra-cabeça geométrico, apresentado por S. W.
Golomb em um artigo publicado em 1954, onde além de introduzir a
nomenclatura, apresenta uma série de problemas envolvendo
recobrimento de tabuleiros de xadrez. Para Golomb, um poliminó é
uma figura plana obtida pela justaposição de quadrados de forma que
não fique “buracos” e dois quadrados justapostos têm sempre um lado
em comum. Logo, um pentaminó é um poliminó de 5 peças. O objetivo
é cobrir um tabuleiro no formato retangular com os pentaminós.
Iniciamos com a construção dos jogos em E.V.A. Logo após este
processo, foram discutidos os conceitos matemáticos envolvidos e
estudadas as estratégias para a sua aplicação em forma de oficina nas
escolas.. A aluna bolsista e os voluntários apresentaram o Pentaminó e
o Dominó das Quatro Cores, entre outros jogos, em forma de oficina
em várias escolas públicas de Bauru.
Este problema passou por vários estudiosos, porém não obteve um
resultado conclusivo.
O jogo é formado por 18 peças ao todo, com 6 peças retangulares
maiores (lado 3 cm e 9 cm) sendo duas amarelas, duas azuis e duas
verdes, 6 peças retangulares médias (lado 3 cm e 6 cm) sendo duas
azuis, duas vermelhas e duas verdes e 6 peças quadradas (lados de 3
cm) sendo três azuis, duas vermelhas e uma amarela. O objetivo do
jogo, é formar um quadrado utilizando todas as peças, de modo que
duas cores iguais não podem ser colocadas de maneira adjacente, nem
mesmo pelo vértice.
O Pentaminó também tem como objetivo cobrir um retângulo usando
os Pentaminós. Se considerarmos a área de cada quadrado que forma o
Pentaminó como sendo 1, teremos que cada Pentaminó terá 5 unidades
de área. Portanto, será possível determinar a área do retângulo a partir
das áreas dos Pentaminós.
As propostas destes jogos são mostrar para o aluno o conceito de área
de um quadrado e de um retângulo e fazer com que o aluno crie
raciocínios investigativos no qual ele possa questionar, entre outros:
“Tem solução?” ou “Só existe uma solução?”
Fazer uso de jogos em sala de aula é uma ótima
ferramenta para reforçar conteúdos e também
para estimular o raciocínio dos alunos. Porém, é
preciso ter cuidado/cautela para que os jogos
não tragam problemas ou desentendimentos
durante as atividades, uma vez que o importante
não é vencer, e sim compreender o conteúdo
matemático presente em cada jogo. Os jogos
Dominó das Quatro Cores e Pentaminó são
excelentes jogos educativos devido aos conceitos
de geometria e álgebra que neles estão presentes,
e que são colocados em prática enquanto se
monta o quadrado ou se cobre a área do
retângulo. Tivemos um ótimo retorno por parte
dos alunos, alguns até pediram para que
voltássemos mais vezes, até mesmo os
professores deram sugestões de incluir os jogos
na metodologia da escola.
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. 5. ed. São 
Paulo: CAEM /USP, 2004.
GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Editora Paulus, 
2004.
SELVA, K. R.; CAMARGO, M. O jogo matemático como recurso para a construção do 
conhecimento. In: ENCONTRO GAÚCHO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10., 2009, Ijuí, 
Anais... Ijuí: Unijuí, 2009. Disponível em: 
<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_4.pdf>.Acesso 
em: 10 ago. 2017.
SILVA, A. F.; FANTI, E. L. C. Informática e jogos no Ensino de Matemática. In: II BIENAL DA 
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA , 2, 2004, Salvador, Anais... Salvador: SBM, 2004. 
Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M6.pdf.>. Acesso em: 22 jul. 2017.
O dominó de Quatro Cores surgiu quando Francis Guthrie percebeu,
em 1852, que a maioria dos mapas eram pintados com quatro cores e
sem haver a mesma cor de forma adjacente.
Com isso, ele quis descobrir se quatro tipos de cores são suficientes
para pintar qualquer modelo de mapa.
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
BASTOS, P. S. S. Lajes de concreto. 2015. Notas de aula, Depto de Engenharia Civil,
Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", Bauru, 2015.
GILMORE, P. C.; GOMORY, R. E. A linear programming approach to the cutting-stock problem.
Operations Research, v. 9, n. 6, p. 848-859, 1961.
GILMORE, P. C.; GOMORY, R. E. A linear programming approach to the cutting-stock problem -
part II.Operations Research, v.11, n. 6, p. 863-888, 1963.
VASSOLER, A. H. D.; POLTRONIERE, S. C.; ARAUJO, S. A. Modelagem matemática para o
problema de produção de vigotas na indústria de lajes treliçadas. C.Q.D. – Revista Eletrônica
Paulista de Matemática, Bauru, v. 7, p. 68-77, dez. 2016. Edição ERMAC.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Ângelo Henrique Dinhane Vassoler; Sônia Cristina Poltroniere; Silvio Alexandre de Araújo
Modelagem matemática
Metodologia de solução e resultados
A indústria de lajes treliçadas
Bibliografia
Universidade Estadual “Júlio de Mesquita Filho”/Faculdade de Ciências
Atualmente, a abordagem matemática e computacional de
problemas que surgem no planejamento e programação da produção
em indústrias tem sido estimulada, com o objetivo de otimizar seus
processos. Neste sentido, métodos de otimização matemática se
tornam cada vez mais eficazes na busca de uma melhor utilização dos
recursos de produção em uma indústria, não somente pelo fator
econômico, mas também pela crescente preocupação com o meio
ambiente. Um planejamento eficiente do processo de produção, ou
de parte dele, pode contribuir significativamente para o
desenvolvimento sustentável.
Este trabalho aborda o problema de corte de estoque
unidimensional multiperíodo e sua aplicação na produção de lajes
treliçadas. O problema de corte é central no planejamento e
programação da produção em indústrias, em que o estágio de corte de
objetos maiores em itens menores é relevante.
Objetivos
Inicialmente, o objetivo foi estudar os problemas de
dimensionamento de lotes e de corte de estoque, dois importantes
problemas de otimização matemática, de natureza combinatória e de
difícil solução.
A partir desse estudo, foi proposto um modelo matemático para
representar o processo produtivo das vigotas, diferente do modelo
proposto em Vassoler et al. (2016), que integra o problema de corte
de estoque e o problema de dimensionamento de lotes. O modelo
considera o planejamento da produção ao longo de um horizonte
finito, dividido em períodos.
O objetivo é otimizar o corte das armações treliçadas e o
preenchimento das fôrmas para a produção das vigotas e o
atendimento da demanda, buscando minimizar a perda de material,
estoques indesejados e custos de preparação para produção.
Introdução
Agradecimentos
A principal componente de uma laje treliçada é a vigota, que é
formada por uma base de concreto e por uma armação treliçada
conforme mostra a Figura 1.
OTIMIZAÇÃO MATEMÁTICA APLICADA AO PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO DE 
LAJES TRELIÇADAS
O modelo matemático proposto é de elevada complexidade,
pertencente ao conjunto de problemas NP-completos. Isso se dá
principalmente devido ao grande número de variáveis aliado à
restrição de integralidade das mesmas. Neste trabalho, as restrições
de integralidade das variáveis do problema foram relaxadas, ou seja,
consideradas reais, ficando com um problema mestre relaxado para
ser resolvido. Para isso, foi utilizado o Método Simplex com a
técnica de geração de colunas, abordagem proposta por Gilmore e
Gomory (1961, 1963) para lidar com a geração dos padrões de corte.
O modelo foi implementado usando o software AMPL/CPLEX
12.6 e classes de exemplos foram testadas para análise e validação,
obtendo-se resultados promissores.
Minimizar
sujeito à:
A produção de vigotas, de comprimentos variados, se dá em
fôrmas que são preenchidas por concreto utilizando-se separadores,
podendo ser interpretado como um problema de
corte/empacotamento.As armações treliçadas, por sua vez, devem
ser cortadas, também em comprimentos variados, para compor a
vigota. Além disso, as fôrmas passam por um processo de
preparação (setup).
Figura 1. Vigota treliçada (Fonte: Bastos, 2015).
À FAPESP, Processo 2015/08739-0, pelo financiamento desta
pesquisa, conforme.
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Clayton Eugenio Santos de Paula; Tatiana Miguel Rodrigues de Souza
Resultados e Discussões
Conclusão
Metodologia
Bibliografia Consultada
Unesp Bauru / Faculdade de Ciências
Objetivo
Introdução
PRÁTICAS PARA O ENSINO DA GEOMETRIA FRACTAL NA SALA DE AULA
A Geometria Fractal é o ramo da matemática que estuda as
propriedades e comportamentos dos fractais. Essa nova geometria
surgiu da necessidade de se explicar objetos com formas geométricas
complexas do qual a Geometria Euclidiana não era capaz de explicar. O
termo Fractal, foi denominado pelo matemático francês Benoit
Mandelbrot, um dos precursores nos estudos desses objetos, baseando-
se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo frangere significa quebrar,
criar fragmentos.
O trabalho tem como objetivo levar o estudo da Geometria Fractal
para alunos do Ensino Médio, pois em meio a tanta desmotivação no
ensino e aprendizagem da matemática, a utilização dos fractais pode
tornar a matemática mais instigante e mais real dentro da sala de aula,
despertando o interesse, a curiosidade e criatividade dos alunos
devido ao forte apelo estético.
A aula foi dividida em três partes:
 1ª parte - introdução sobre fractal passando pelo contexto histórico
e estudo das dimensões utilizando Logaritmo;
 2ª parte – trabalhando com os processos iterativos dos fractais
Conjunto de Cantor e Triângulo de Sierpinski e a ligação do mesmo
com a Progressão Geométrica;
 3ª parte - construção do fractal Triângulo de Sierpinski
tridimensional, utilizando papel A4 colorido, tesoura, régua, lápis e
borracha.
Após terem um contato com esses objetos e de descobrirem suas
aplicações no cotidiano e a relação com diversos conteúdos
matemáticos, os alunos se mostraram mais interessados e motivados
com relação à matemática. Pois o estudo dos fractais faz-se interessante
como uma forma mais precisa de representação do nosso mundo,
permitindo trabalhar a matemática de uma maneira mais instigante,
inventiva e assim despertar a curiosidade e estimular a criatividade
dos alunos.
Figura 1. Conjunto de Cantor (Fonte: GOOGLE Imagens)
Figura 2. Triângulo de Sierpinski (Fonte: GOOGLE Imagens)
Figura 3. Construção do Cartão Tridimensional Triângulo de Sierpinski 
(Fonte: Própria)
A aula sobre fractais foi aplicada na E.E. João Maringoni, uma escola
pública de Bauru (SP) para duas turmas do 3º ano do Ensino Médio.
Antes da aplicação da aula;
 Já no segundo questionário (após o termino da aula) os alunos
foram questionados se com base no que foi visto sobre fractais, se
eles gostariam que a Geometria Fractal fosse ensinada nas escolas.
E por unanimidade, todos responderam positivamente.
ALVES, C. M. F. S. J. Fractais: conceitos básicos, representações gráficas e aplicações ao ensino
não universitário. 2007. 324 f. Dissertação (Mestrado em Matemática para o Ensino) – Faculdade de
Ciências, Universidade de Lisboa, 2007.
BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica,
2002.
FILLIPIN, G. G. Estudo da geometria fractal e aplicações em sala de aula. 2009. 51 f. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação) – Centro Universitário Franciscano, Santa Maria, 2009.
Agradecimentos
Agradecemos ao Departamento de Matemática – Unesp Bauru
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Bruno Belluzzo; Adriana Cristina Cherri
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método Bibliografia
Universidade Estadual Paulista - Faculdade de Ciências - Bauru
Os problemas de corte consistem em cortar um conjunto de objetos
disponíveis em estoque para a produção de um conjunto de itens em
quantidades e tamanhos especificados, de modo a atender uma
determinada demanda de itens e otimizando uma função objetivo.
Uma consequência do processo de corte são as sobras que
inevitavelmente ocorrem. Essas sobras, se planejadas com antecedência,
retornam ao estoque e podem ser utilizadas para atender demandas
futuras. Tal problema é fundamental em diversos processos industriais
e conhecido na literatura como problema de corte de estoque com
sobras aproveitáveis (PCESA).
Objetivos
Introdução
Agradecimentos
Figura 1: Exemplo de corte unidimensional com sobras 
aproveitáveis
Um dos objetivos do projeto era modificar o modelo matemático
de Cui e Yang (2010) para resolver PCESA de modo a limitar
individualmente cada nova sobra gerada, além de evitar que sobras
fossem geradas a partir de sobras do estoque. O próximo objetivo
consiste em implementar o método de geração de colunas (Gilmore e
Gomory, 1963) para resolver o modelo modificado. Em seguida será
utilizado um procedimento heurístico para obtenção de soluções
inteiras para o PCESA.
No modelo (1)-(6) já modificado, a função objetivo (1) minimiza o
custo total dos objetos a serem cortados. A restrição (2) assegura o
atendimento da demanda cortando os objetos padronizados e as sobras.
A restrição (3) permite que sobras sejam geradas em quantidades
limitadas cortando apenas objetos padronizados. As restrições (4) e (5)
referem-se, respectivamente, ao estoque de objetos padronizado e
sobras. A restrição (6) garante a integralidade e não negatividade das
variáveis. Para resolver esse problema, a condição de integralidade (6)
do modelo será relaxada e a técnica de geração de colunas de Gilmore e
Gomory (1963) será implementada.
O modelo proposto está em fase de implementação. Entretanto,
com o modelo proposto, a diversidade de objetos em estoque a serem
cortados no futuro aumentará. Sabe-se que quanto maior a diversidade
de objetos, maior é a combinação entre os itens reduzindo as perdas.
Com o fim da pesquisa, espera-se que o modelo matemático
modificado possa satisfazer a função objetivo do problema com
maestria, ou seja, gerar uma solução ótima com perdas mínimas e uma
quantidade restrita de sobras em estoque.
CUI, Y.; YANG, Y. A. Heuristic for the one-dimensional cutting stock problem with usable
leftovers. European Journal of Operational Research, v. 204, n. 2, p. 245-250, 2010.
GILMORE, P. C.; GOMORY, R. E. A linear programming approach to the cutting stock problem –
Part II. Operations Research, v. 11, n. 6, p. 863-888, 1963.
À FAPESP (Proc. nº 2016/239442) pela credibilidade e apoio financeiro.
midxx ijk
RK
Kk
N
j
ijkjk
K
k
N
j
ijk
kk
,...,1,
1 1
.
1 1
.   

  

nmiux mijk
K
k
N
j
ijk
k
,...,1,
1 1
.  
 

Kkex k
N
j
jk
k
,...,1,
1


RKKkex k
N
j
jk
k


,...,1,
1
KkNjx kjk ,...,1 ,...,1 inteiroe0 
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Um procedimento heurístico que também considera o
aproveitamento de sobras será desenvolvido e implementado para
obtenção de soluções inteiras.
  
  


  

K
k
N
j
n
mi
jkijkmijk
RK
Kk
N
j
jkjk
K
k
N
j
jk
kkk
xwxcxc
1 1 11 11 1
zMin 
Sujeito a:
PROCESSO DE CORTE UNIDIMENSIONAL COM APROVEITAMENTO DE SOBRAS
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
ALLEN, L. J. S. An introduction to stochastic processes with applications to biology. Upper Saddle
River: Pearson Education Inc., 2003.
BRZEZNIAK, Z.; ZASTAWNIAK, T. Basic stochastic processes: a course through exercises. London:
Springer, 1999. (Springer undergraduate mathematics series).
KEMENY, J. G.; SNELL, J. L. Finite Markov chains. New York: Springer-Verlag,1960.
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Amanda Silvieri Leite de Oliveira; Fabiano Borges da Silva
Resultados e discussão
Conclusões
Material e método
Bibliografia
Unesp/Faculdade de Ciências - Câmpus Bauru
O projeto está sendo desenvolvido em campo teórico com seminários semanais.
Objetivos
Introdução
Agradecimentos
PROPRIEDADES ERGÓDICAS EM CADEIAS DE MARKOV
Estudar Cadeias de Markov do ponto de vista matricial e de grafos, juntamente com o
resultado de convergência para matrizes de transição regulares e suas aplicações. Além
disso, comparar os resultados obtidos através do Teorema Ergódico e do Teorema de
Perron Fronbenius.
Em 1907, o matemático russo Andrei Andreyevich Markov começou o estudo de um
importante tipo de processo, no qual apenas o resultado de uma dada experiência atual
pode afetar o resultado da experiência seguinte, ou seja, as experiências anteriores não
influenciam as experiências futuras. Tal propriedade é conhecida como "perda de memória“
ou Propriedade de Markov, e é o que caracteriza uma Cadeia de Markov (também
conhecida como Processo Markoviano).
Dado um espaço de probabilidade e considerando um conjunto de estados finito
E={ei,…,er } temos que um processo estocástico que é denominado Cadeia de Markov se a
probabilidade condicional satisfazer:
P(Xn+1 = xn+1 | X0 = x0 ,…, Xn = xn ) = P(Xn+1 = xn+1 |Xn = xn )
para todo e para toda sequência x0 , x1 ,…, xn+1 de elementos pertencentes ao espaço
de estados E. A seguir temos um exemplo de matriz de transição de uma cadeia e sua
representação por dígrafo.
Notemos que o Teorema de Perron-Fronbenius é aplicado em casos de cadeias finitas,
irredutíveis, aperiódicas e positiva recorrente, enquanto que o Teorema Ergódico é
aplicado para cadeias infinitas. Com isso, o primeiro teorema mencionado é um caso
particular do segundo. Além disso, o Teorema Ergódico é de fácil aplicação para cadeias
com 2 estados, com 3 ou mais a aplicação fica mais complicada, visto que temos várias
possibilidades de caminhos.
Definição 1: Um estado é fortemente ergódico se é aperiódico e positivo recorrente. E uma
cadeia ergódica é quando ela possui as propriedades de ser irredutível, aperiódica e positiva
recorrente.
Teorema 1: Seja uma cadeia de Markov em tempo discreto positiva recorrente,
irredutível e aperiódica (Fortemente Ergódica) com matriz de transição P = (pij). Então,
existe uma única distribuição de probabilidade estacionária positiva isto é,
Segue-se que uma matriz de transição de uma cadeia de Markov fortemente ergódica
satisfaz
Definição 2: Para um estado i recorrente, definimos a média de recorrência por:
Onde , denota a probabili-
dade de primeiro retorno para o estado i em n passos.
Teorema 2 (Teorema do Limite Básico para cadeias de Markov aperiódicas): Seja uma Cadeia de
Markov de Tempo Discreto classi
ficada como irredutível, recorrente e aperiódica, com uma matriz de transição associada P
= (pij). Então:
O tempo médio de recorrência de uma cadeia positiva recorrente, irredutível e aperiódica
pode ser calculado a partir da distribuição de probabilidade estacionária,
Teorema 3 (Teorema de Perron-Frobenius): Se T é uma matriz estocástica regular r x r então:
i) Tn aproxima de uma matriz M, no sentido de que cada entrada da matriz Tn
aproxima-se da entrada correspondente em M;
ii) Todas as colunas de M são iguais, sendo dadas por um vetor coluna w.
iii) Para qualquer vetor de probabilidade inicial o vetor de probabilidade Tn (v)
aproxima-se de w;
iv) O vetor w é o único que satisfaz T(w)=w
Exemplo 1: Conferindo os registros de doações recebidas, uma certa entidade
filantrópica observa que 40% dos seus associados que contribuem ao fundo da entidade
em um certo ano, também contribuem no ano seguinte e que 70% dos que não
contribuem em um certo ano, contribuem no ano seguinte. Considere a matriz abaixo,
onde o primeiro estado corresponde a um associado que contribui em um ano qualquer
e o segundo estado corresponde a um associado que não contribui naquele ano.
Isto quer dizer que a longo prazo N, um associado que contribui ao fundo da entidade em
um certo ano, leva em média 1,85 unidades de tempo para retornar a contribuir e, um
associado que não contribui ao fundo, leva 2,17 unidades de tempo para parar de
contribuir.
Agora, calcularemos usando o Teorema 3:
Calcularemos inicialmente usando o método descrito na Definição 2:
 
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 XXIX Semana da Licenciatura em Matemática - 2017 
XXIX SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
As faces da matemática: ensino, aplicações e cultura
Marina Valença Alencar; Edilaine Martins Soler
Resultados
Restrições de Complementaridade
Bibliografia
Faculdade de Engenharia de Bauru - Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho"
Problemas de otimização com restrições de complementaridade são
considerados de difícil resolução pois a maioria dos métodos
desenvolvidos para Programação Não Linear não podem ser aplicados
diretamente a essas restrições. Portanto o desenvolvimento de métodos
de solução eficientes para tais problemas torna-se necessário .
Devido a sua relação com o conceito de equilíbrio, esses problemas
possuem grande aplicabilidade em problemas de equilíbrio econômico,
equilíbrio de engenharia, ecologia, na teoria dos jogos, além das
aplicações em programação Não Linear.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é apresentar e exemplificar um método de
solução para problemas de otimização com restrições de
complementaridade.
Introdução
Agradecimentos
RESTRIÇÕES DE COMPLEMENTARIDADE EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
CNPQ (Processo nº 428740/2017-2), FEB, FC
 
 
 
4 2
1 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
1
2 1
1
2
2 2
2
2
2
min ( 2) ( 2 )
. . 3
0
0, 4
(1 )
1, 5
40,1
(1 )
2
0,1
1, 5 0
2 0
, c 0
a b
a
b
a b
x x x y y
s a x x
x x
x x c c
M y c
x y M
y
M y c
x y M
y
x
x
c
    
 
 
   
 
 

 
 

 
 

Considere o problema proposto por LAGES (2013):
   
 
 
4 2
1 1 2
1 2
2
1 2
2
2 1 2
m in 2 2
. . 3
3
0
1, 5 2 0, 4
x x x
s a x x
x x
x x x
  
 
 
    
Utilizando restrições lineares e variáveis binárias, este problema de
otimização Não Linear com restrições de complementaridade pode ser
representado por:
Os resultados obtidos foram satisfatórios. Futuramente serão
realizados testes numéricos com o método proposto na resolução do
problema de Fluxo de Potência Ótimo com restrições de
complementaridade, um importante problema na área da Engenharia
Elétrica.
Restrições de complementaridade com limites inferiores e superiores
são representadas por:
 x x x c x  
Assim:
 
 
 
 
se então deve-se ter 0
se então deve-se ter 0 1
se então deve-se ter 0
x x c x
x x x c x
x x c x
 
  
 
Representando (1) usando Programação Não Linear tem-se:
 
 
   
0
0
2
0
0
, 0
a b
a
b
a b
c x c c
x x c
x x c
x x
x x
c c
 
 
 
 
 

As restrições (2) dificultam a resolução dos problemas de otimização
por métodos clássicos de otimização contínua. Assim, propõe-se neste
trabalho reformular as restrições (1) utilizando programação inteira
mista. Esta reformulação é exemplificada a seguir.
LAGES, G. G. O fluxo de potência ótimo reativo com variáveis de controle discretas e
restrições de atuação de dispositivos de controle de tensão. 2013. 234 f. Tese (Doutorado
em Ciências) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Escola de Engenharia
de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2013.
RODRIGUES, H. S. F. Problema de otimização com restrições de complementaridade: uma
aplicação ao mercado de energia eléctrica. 2005. 81 f. Tese (Mestrado em Matemática
Computacional) – Escola de Ciências, Universidade do Minho, Minho/Portugal, 2005.
Considerações Finais
em que M é um número grande.
Para resolução do problema (4) utilizou-se o solver gratuito Bonmin,
em interface com o software GAMS. A solução obtida para as variáveis
foram