MANUALPROF_matematica_6_PNLD2020_17237_matematicacompreensaoepratica

Prévia do material em texto

ÊNIO SILVEIRA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
Componente curricular:
MATEMÁTICA
6oano
Componente curricular:
MATEMÁTICA
Componente curricular:
MANUAL DO 
PROFESSOR
MANUAL DO PROFESSOR
5a edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
ÊNIO SILVEIRA
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. 
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. 
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
o
ano6
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática / Ênio 
Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. 
 Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16948 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Edição de infogra�a: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, 
Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, 
Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática : manual do 
professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018. 
 Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16950 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, 
Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Carla Aparecida Loge, Thais Toldo Antonagi
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Paula de Sá Belluomini
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Cárita Negromonte, Know-how Editorial Ltda.
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
http://www.moderna.com.br
III
Sumário
 Orientações gerais
• Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
• Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
• Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
• Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
• Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
• Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 6o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
• Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
• O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
• A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
• Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
• Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII
Orientações para o desenvolvimento das unidades
Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9
Capítulo 1 Números naturais e sistemas de numeração ...............................................................................................................10
Capítulo 2 Operações com números naturais ................................................................................................................................................36
Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais .........................................................................................................................................................70
Unidade II ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 87
Capítulo 4 Igualdades e desigualdades ................................................................................................................................................................ 88
Capítulo 5 Múltiplos e divisores ................................................................................................................................................................................... 106
Capítulo 6 Frações .............................................................................................................................................................................................................................128
Capítulo 7 Números decimais ...........................................................................................................................................................................................160
Unidade III ............................................................................................................................................................................................................................................................................184
Capítulo 8 Porcentagem ...........................................................................................................................................................................................................185
Capítulo 9 Figuras geométricas planas ............................................................................................................................................................. 199
Capítulo 10 Ampliação e redução de figuras ................................................................................................................................................ 228
Unidade IV ...........................................................................................................................................................................................................................................................................242
Capítulo 11 Grandezas e medidas ................................................................................................................................................................................. 243
Capítulo 12 Probabilidade e estatística ............................................................................................................................................................... 282
IV
Orientações gerais
APRESENTAÇÃO
Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do 
 Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são 
processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. 
Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto 
guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser 
feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta 
coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na 
organização e gestão de suas aulas.
Esta coleção foi reformulada para atender os requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 
abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções 
complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho 
diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre 
no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os 
 objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. 
Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em 
suas reflexões.
O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, 
elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos 
adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar 
como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer que o objetivo da aprendizagem 
escolar é a formação humana integral e que por esse motivo é necessário levar em consideração a vida 
pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve 
promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, 
sejam de ordem científica. 
Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área 
que estuda os processos de ensino e de aprendizagem e da Matemática; ou seja, partimos da compreen-
são de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola. 
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm 
como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para 
uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção 
visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate-
mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o 
aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar 
matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado 
para continuar seus estudos. 
1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, jul./dez.FE/Unicamp, 2006. 
2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.
V
OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO
Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es-
colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos 
conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas 
competências gerais e específicas e nas habilidades estabelecidospela Base Nacional Comum Curricular. 
Destacamos que, de acordo com a BNCC: 
É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, 
inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três 
etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), 
 articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e 
na formação de atitudes e valores.
Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular
 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, 
social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e 
colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para 
investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar 
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, 
e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
 4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), 
corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, 
matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias 
e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento 
mútuo.
 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma 
crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) 
para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver 
problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos 
e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho 
e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com 
liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar 
e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os 
direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito 
local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se 
na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica 
e capacidade para lidar com elas.
 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se 
respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e 
valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, 
culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência 
e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, 
inclusivos, sustentáveis e solidários.
VI
Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para 
cada área do conhecimento. As de Matemática são:
 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e 
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma 
ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir 
argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para 
compreender e atuar no mundo.
 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da 
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e 
aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na 
busca de soluções.
 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas 
práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo 
argumentos convincentes.
 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, 
para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, 
validando estratégias e resultados.
 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, 
não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas 
e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever 
algoritmos, como fluxogramas, e dados).
 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, 
com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer 
natureza.
 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no 
planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na 
busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não 
na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas 
e aprendendo com eles.
Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática 
para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, 
promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.
ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO
Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas 
de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento.
A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar 
a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser 
respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que 
os alunos reflitam sobre o que aprenderam.
A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do 
capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo 
apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos 
sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você 
achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer 
principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.
VII
Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas 
a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear 
um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto 
de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números 
naturais: os alunos já possuem algum conhecimento adquirido nos anos anteriores; retomá-los permiteao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno.
Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or-
ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, 
propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; 
em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, 
as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo 
mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares 
de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do 
 professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas 
para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na 
coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras 
habilidades e competências.
Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de 
enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex-
tualizar alguns assuntos.
Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como objetivo 
retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criati-
vidade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades de diversos 
níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para 
que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. A seção é dividida em 
três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e "Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a 
oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos 
conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apresentadas anteriormente no capítulo. Incentive-
-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho 
para a compreensão. O “Aplicando” traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula 
a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das 
competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC.
Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas 
para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer sobretudo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências 
específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para 
outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da 
seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo. 
O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender 
com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio 
construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe-
tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, 
encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, 
a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que 
será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.
VIIIVIII
Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:
• o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;
• a pesquisa individual ou coletiva;
• a elaboração, em grupo, do produto proposto;
• a apresentação e exposição do produto;
• a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.
As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o 
professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec-
tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências 
gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar 
conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção 
depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os 
capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.
Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor – Digital, que 
apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as 
habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse 
material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de 
aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, 
indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atua-
ção do professor, entre outras sugestões. Apresenta ainda um projeto integrador para ser desenvolvido 
em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de 
acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para 
acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece 
a compreensão do conteúdo.
 Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade 
de uso dos recursos do Material do Professor – Digital.
MATEMÁTICA ESCOLAR 
Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi-
mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para 
ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância 
da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma: 
Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais 
para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado 
de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de 
um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo 
imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da 
capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática 
como componente curricular. (p. 1)
A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: 
a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para 
descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul-
tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de 
transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição 
(nesse caso, a escola).
3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: 
<http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018.
4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M-A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.
http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058
IXIX
6o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Númerosnaturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02
2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12
3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18
II
4 Igualdades e desigualdades EF06MA14
5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06
6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15
7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11
III
8 Porcentagem EF06MA13
9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27
10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23
IV
11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29
12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34
Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas 
instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados 
nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o 
ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado. 
Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos 
da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o 
saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.
APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS
A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema-
tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, 
contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo 
nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos 
como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano. 
Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem 
o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos 
(seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos, quanto para iniciar 
a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade. 
O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: 
o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual 
do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos 
e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permita a construção de 
significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe-
tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. 
Para isso, sugere-se que cada unidade, composta por dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. 
No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta 
na coleção à realidade de suas turmas.
 Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, 
capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental.
X
8o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11
2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02
3 Sistemas de equações do 1o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08
II
4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18
5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16
6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22
III
7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14
8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21
9 Equações do 2o grau EF08MA06 e EF08MA09
IV
10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13
11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27
12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27 
7o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04
2 Múltiplos e divisores EF07MA01
3 Retas e ângulos EF07MA23
II
4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09
5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12
6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18
III
7 Porcentagem e juro simples EF07MA02
8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17 
9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21
IV
10 Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32
11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33
12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37
XI
9o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18
2 Matemática financeira EF09MA05
3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14
II
4 Fatoração e equações do 2o grau EF09MA09
5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08
6 Função quadrática EF09MA06
III
7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16
8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11
9 Polígonos regulares EF09MA15 
IV
10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19
11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22
12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23
QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 6o ANO
Na sequência, focamos o quadro do 6o ano estabelecendo relações entre alguns objetos de 
conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores ou posteriores, indicados após cada 
quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações 
específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, 
de leitura, de vídeo, de atividade extra etc.
Unidade I (1o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
1 Números naturais e siste-
mas de numeração
Números Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e 
de números racionais representados 
na forma decimal. (1)
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever 
números naturais e números racionais cuja 
representação decimal é finita, fazendo uso da 
reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de nume-
ração decimal, como o que prevaleceu no mundo 
ocidental, e destacar semelhanças e diferenças 
com outros sistemas, de modo a sistematizar 
suas principais características (base, valor 
posicional e função do zero), utilizando, inclu-
sive, a composição e decomposição de números 
naturais e números racionais em sua represen-
tação decimal.
XII
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
2 Operações com números 
naturais 
Números Operações (adição, subtração, multi-
plicação, divisão e potenciação) com 
números naturais. 
Divisão euclidiana. (2)
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos 
ou aproximados) com números naturais, por meio 
de estratégias variadas, com compreensão dos 
processos neles envolvidos com e sem uso de 
calculadora.
Aproximação de números para múlti-
plos de potências de 10. (3)
(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e 
aproximar números para múltiplos da potência de 
10 mais próxima.3 Figuras geométricas es-
paciais
Geometria Prismas e pirâmides: planificações 
e relações entre seus elementos 
(vértices, faces e arestas). (4)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações 
entre o número de vértices, faces e arestas de 
prismas e pirâmides, em função do seu polígono 
da base, para resolver problemas e desenvolver 
a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao 
número de vértices, às medidas de 
lados e ângulos e ao paralelismo e 
perpendicularismo dos lados. (5)
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar 
polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, 
e classificá-los em regulares e não regulares, 
tanto em suas representações no plano como 
em faces de poliedros.
(1) 
• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita e ordenação de números naturais (de até seis ordens) – 5o ano.
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.
• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(2)
• Problemas: adição e subtração de números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita – 5o ano.
• Problemas: multiplicação e divisão de números racionais cuja representação decimal é finita por números naturais – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(3) 
• Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais – 6o ano.
(4) 
• Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características – 5o ano.
(5) 
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos – 5o ano.
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.
Unidade II (2o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
4 Igualdades e desigual-
dades
Álgebra Propriedades da igualdade. (6) (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igual-
dade matemática não se altera ao adicionar, sub-
trair, multiplicar ou dividir os seus dois membros 
por um mesmo número e utilizar essa noção para 
determinar valores desconhecidos na resolução 
de problemas.
5 Múltiplos e divisores Números Fluxograma para determinar a pari-
dade de um número natural.
Múltiplos e divisores de um número 
natural.
Números primos e compostos. (7)
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem 
natural e representá-lo por fluxograma que 
indique a resolução de um problema simples (por 
exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em 
primos e compostos, estabelecer relações entre 
números, expressas pelos termos “é múltiplo 
de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por 
meio de investigações, critérios de divisibilidade 
por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
XIII
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
6 Frações Números Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, compara-
ção, adição e subtração; cálculo da 
fração de um número natural; adição 
e subtração de frações. (8)
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar 
frações associadas às ideias de partes de inteiros 
e resultado de divisão, identificando frações 
equivalentes.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam o cálculo da fração de uma quantidade 
e cujo resultado seja um número natural, com e 
sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam adição ou subtração com números 
racionais positivos na representação fracionária.
Álgebra Problemas que tratam da partição de 
um todo em duas partes desiguais, 
envolvendo razões entre as partes 
e entre uma das partes e o todo. (9)
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam a partilha de uma quantidade em duas 
partes desiguais, envolvendo relações aditivas e 
multiplicativas, bem como a razão entre as partes 
e entre uma das partes e o todo.
7 Números decimais Números Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e 
de números racionais representados 
na forma decimal. (10)
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever 
números naturais e números racionais cuja 
representação decimal é finita, fazendo uso da 
reta numérica.
Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, compara-
ção, adição e subtração; cálculo da 
fração de um número natural; adição 
e subtração de frações. (11)
(EF06MA08) Reconhecer que os números racio-
nais positivos podem ser expressos nas formas 
fracionária e decimal, estabelecer relações entre 
essas representações, passando de uma repre-
sentação para outra, e relacioná-los a pontos na 
reta numérica.
Operações (adição, subtração, multi-
plicação, divisão e potenciação) com 
números racionais. (12)
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas 
com números racionais positivos na represen-
tação decimal, envolvendo as quatro operações 
fundamentais e a potenciação, por meio de 
estratégias diversas, utilizando estimativas e 
arredondamentos para verificar a razoabilidade 
de respostas, com e sem uso de calculadora.
(6)
• Propriedades da igualdade e noção de equivalência – 5o ano.
• Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano.
(7)
• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita e ordenação de números naturais (de até seis ordens) – 5o ano.
• Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais. Divisão euclidiana – 6o ano.
• Múltiplos e divisores de um número natural – 7o ano.
(8)
• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.
• Comparação e ordenação de números racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de equivalência – 5o ano.
• Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador – 7o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(9)
• Grandezas diretamente proporcionais – 5o ano.
• Problemas envolvendo a partição de um todo em duas partes proporcionais – 5o ano.
• Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 7o ano.
(10)
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(11) 
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.
• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.
• Comparação e ordenação de números racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de equivalência – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(12)
• Problemas: adição e subtração de números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita – 5o ano.
• Problemas: multiplicação e divisão de números racionais cuja representação decimal é finita por números naturais – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
XIV
Unidade III (3o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimentoé favorecido
8 Porcentagem Números Cálculo de porcentagens por meio de 
estratégias diversas, sem fazer uso 
da “regra de três”. (13)
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam porcentagens, com base na ideia de 
proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de 
três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo 
mental e calculadora, em contextos de educação 
financeira, entre outros.
9 Figuras geométricas 
planas
Geometria Polígonos: classificações quanto ao 
número de vértices, às medidas de 
lados e ângulos e ao paralelismo e 
perpendicularismo dos lados. (14)
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar 
polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, 
e classificá-los em regulares e não regulares, 
tanto em suas representações no plano como em 
faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triân-
gulos e classificá-los em relação às medidas dos 
lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos 
quadriláteros, classificá-los em relação a lados e 
a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção 
de classes entre eles.
Construção de retas paralelas e per-
pendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares. (15)
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas 
e esquadros, ou softwares para representações 
de retas paralelas e perpendiculares e construção 
de quadriláteros, entre outros.
Grandezas e medidas Ângulos: noção, usos e medida. (16) (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo 
como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam 
a noção de ângulo em diferentes contextos e em 
situações reais, como ângulo de visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da aber-
tura de ângulos, por meio de transferidor e/ou 
 tecnologias digitais.
10 Ampliação e redução de 
figuras
Geometria Plano cartesiano: associação dos 
vértices de um polígono a pares 
ordenados. (17)
(EF06MA16) Associar pares ordenados de 
números a pontos do plano cartesiano do 
1o quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
Construção de figuras semelhantes: 
ampliação e redução de figuras pla-
nas em malhas quadriculadas. (18)
(EF06MA21) Construir figuras planas semel-
hantes em situações de ampliação e de redução, 
com o uso de malhas quadriculadas, plano carte-
siano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e per-
pendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares. (19)
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver 
situações passo a passo (como na construção de 
dobraduras ou na indicação de deslocamento de 
um objeto no plano segundo pontos de referência 
e distâncias fornecidas etc.).
(13) 
• Cálculo de porcentagens e representação fracionária – 5o ano.
• Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples – 7o ano.
(14), (15), (16) e (19)
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos – 5o ano.
• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal – 7o ano.
• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos – 7o ano.
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.
(17)
• Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1o quadrante) e representação de deslocamentos no plano cartesiano – 5o ano.
• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e 
à origem – 7o ano.
(18) 
• Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas: reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados correspondentes – 5o ano.
• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e 
à origem – 7o ano.
XV
Unidade IV (4o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
11 Grandezas e medidas Grandezas e medidas Problemas sobre medidas envolven-
do grandezas como comprimento, 
massa, tempo, temperatura, área, 
capacidade e volume. (20)
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam as grandezas comprimento, massa, 
tempo, temperatura, área (triângulos e retân-
gulos), capacidade e volume (sólidos formados 
por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, 
inseridos, sempre que possível, em contextos 
oriundos de situações reais e/ou relacionadas 
às outras áreas do conhecimento.
Plantas baixas e vistas aéreas. (21) (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar 
plantas baixas simples de residências e vistas 
aéreas.
Perímetro de um quadrado como 
grandeza proporcional à medida do 
lado. (22)
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que 
ocorrem no perímetro e na área de um quadrado 
ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as 
medidas de seus lados, para compreender que o 
perímetro é proporcional à medida do lado, o que 
não ocorre com a área.
12 Probabilidade e estatística Probabilidade e 
estatística
Cálculo de probabilidade como a 
razão entre o número de resultados 
favoráveis e o total de resultados 
possíveis em um espaço amostral 
equiprovável.
Cálculo de probabilidade por meio 
de muitas repetições de um experi-
mento (frequências de ocorrências 
e probabilidade frequentista). (23)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um 
evento aleatório, expressando-a por número 
racional (forma fracionária, decimal e percentual) 
e comparar esse número com a probabilidade 
obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas 
e gráficos (de colunas ou barras 
simples ou múltiplas) referentes 
a variáveis categóricas e variáveis 
numéricas. (24)
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos (título, 
eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes 
tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que 
envolvam dados de pesquisas sobre contextos 
ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo 
responsável, entre outros, apresentadas pela 
mídia em tabelas e em diferentes tipos de grá-
ficos e redigir textos escritos com o objetivo de 
sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e 
registro. 
Construção de diferentes tipos de 
gráficos para representá-los e inter-
pretação das informações. (25)
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pes-
quisa referente a práticas sociais escolhidas 
pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas 
para registro, representação e interpretação das 
informações, em tabelas, vários tipos de gráficos 
e texto.
Diferentes tipos de representação de 
informações: gráficos e fluxogramas. 
(26)
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxo-
gramas simples, identificando as relações 
entre os objetos representados (por exemplo, 
posição de cidades considerando as estradas 
que as unem, hierarquia dos funcionários de uma 
 empresa etc.).
(20) 
• Medidas de comprimento, área, massa, tempo, temperatura e capacidade: utilização de unidades convencionais e relações entre as unidades de medida mais usuais – 
5o ano.
• Noção de volume – 5o ano.
• Problemas envolvendo medições – 7o ano.
• Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais – 7o ano.
(21) e (22)
• Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações – 5o ano.
• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como tri-
ângulos e quadriláteros – 7o ano.
(23) 
• Espaço amostral: análise de chances de eventos aleatórios – 5o ano.
• Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis – 5o ano.
• Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências – 7o ano.
(24), (25) e (26)
• Leitura, coleta, classificação, interpretação, e representação de dados em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas agrupadas, gráficos pictóricose gráficos de 
linhas – 5o ano.
• Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações – 
7o ano.
• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados – 7o ano.
XVI
UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA 
No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temática Números, espera-se que o aluno 
perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento 
construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, 
a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 
A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois 
apresentar o sistema de numeração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se 
os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo 
principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreensão dos resultados obtidos 
na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo 
de ensino e de aprendizagem.
Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também 
nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual. 
Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos processos 
de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos conteúdos 
dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva 
 ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, mas não devem 
se constituir em abordagem principal. 
O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve 
ser retomado e aprofundado nos Anos Finais.
De acordo com a BNCC:
Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numé-
ricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a 
regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença 
algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alu-
nos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas 
de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvol-
vidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não 
como objetos de estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas 
relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e esta-
tística), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alu-
nos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras 
linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em 
fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.
A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para 
a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o 
trabalho com as funções: a introdução das letras como variável, como incógnita ou como símbolo pode ser 
trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos. 
A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também 
favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente 
favorecida pelo uso de ambiente computacional.
O papel da Geometria é fundamental na construção do conhecimento matemático pelo aluno. 
 O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos 
Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação desejável entre a Geometria plana e a Geometria 
XVII
espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de 
materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geomé-
tricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. 
As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos. 
Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da 
percepção espacial, dos deslocamentos no plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é 
um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração 
são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o 
excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, 
que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno.
O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de 
atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino 
Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas 
diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um 
cenário de construção da cidadania. 
A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas 
na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamente seus 
conhecimentos para análise estatística desses dados coletados. O objetivo será sempre responder a um 
questionamento por meio da análise desses dados. 
Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, 
o estudo da probabilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor 
tem a possibilidade de utilizar tanto materiais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, 
que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres 
(por exemplo, o GeoGebra). O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados 
de experimentos aleatórios. 
A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam fornece importantes elementos para 
decisões no campo pessoal, nutricional, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em proces-
sos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão 
da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no 
estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação.
Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em 
articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano 
do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, 
sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das 
medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais 
mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental 
para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os 
instrumentos de medida. 
Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta:
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão 
da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das 
 medidas e das relações entre elas ‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integração 
da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências(densidade, grandezas e 
escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, 
densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui 
ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas 
e a construção do pensamento algébrico.
XVIIIXVIII
O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA 
No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Matemá-
tica não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curriculares. 
Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos 
interdisciplinares na escola.
Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como 
Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade 
na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas 
vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos. 
O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos 
componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de 
fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado” 5. Essa formulação, embora tenha em vista 
especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza 
diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas 
interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores. 
Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da 
situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e 
Dufour 6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamente 
se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações 
 necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma 
situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras 
palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as dife-
rentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da 
desintegração do saber disciplinar.
Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de 
cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a 
escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a 
ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social.
Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen-
volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo 
Ribeiro Nogueira 7:
Uma atitude interdisciplinar
É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos 
de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a 
interdisciplinaridade; deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume 
uma atitude interdisciplinar.
"... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera 
ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao 
diálogo ‒ ao diálogo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ 
atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante 
a possibilidade de desvendar novos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, 
desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as 
pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor 
forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de 
encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82)
5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32.
6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.
7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: 
Érica, 2010.
XIXXIX
Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a 
hipótese de que o aprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem 
desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não 
garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores 
essenciais à construção do conhecimento. 
Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação 
mediadora do professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o 
acesso aos materiais de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., 
sempre preocupado mais com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do 
processo de aprendizagem.
Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade 
reside em disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das 
ações, que ora podem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns 
professores, comprometendo o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve 
possuir perfeito canal de comunicação. A regra decisória passa a ser o consenso, já que 
desta forma pode-se cobrar o comprometimento; há de se estabelecer divisões de tarefas 
e equidade nas informações tanto de ordem procedimental como de resultados.
Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe 
comprometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no 
máximo com o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo.
Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjunto, 
por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, 
mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. 
Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo 
das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de 
profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe 
a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente 
com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno.
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a 
Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do 
tempo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento 
permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar 
os horizontes da aprendizagem matemática. 
No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer 
elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características 
sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto 
 matemático em estudo se desenvolveu. 
A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, 
junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo aprofundado 
da história, mas,sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para complementação e 
aprofundamento dos conteúdos abordados. 
AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
A utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expansão 
das oportunidades de aquisição de conhecimento– por exemplo, a calculadora e os softwares para 
aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para resolução 
de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),5
A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática 
podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a 
articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, 
conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades 
matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64)
5 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: 
<http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018.
http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf
XX
A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e 
linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. 
Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época 
em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no 
Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o 
uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam. 
O PAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEM
O erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na 
aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos a 
desistirem da escola por se sentirem incapazes.
A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto 
na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual 
destacamos os trechos a seguir.
[...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que 
um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na 
sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão 
pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, 
embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa de 
matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos 
durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências 
sobre o cérebro revelam algo mais significativo.
O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das 
 pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. 
Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada 
de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o 
cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que 
essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segunda 
resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção 
consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e 
a atenção consciente é dada a ele.
Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que 
ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes 
c orrigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, 
o estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que come-
temos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam 
como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assunto 
agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não 
 estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado 
e, nesse momento, ele cresce.
[...]
O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com 
frequência se sentem péssimos quando cometem um erro matemático. Eles pensam que 
isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em 
uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados – ou pior – são punidos. 
Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões:
• o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de 
 frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender;
• a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos 
alunos para que juntos os compreendam e encontrem caminhos para o acerto;
• atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, em lugar das ati-
vidades que induzam ao acerto pela sua simplicidade.
Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, 
que muitas vezes veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas.
XXI
AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM
A avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do 
trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”.
Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo 
construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que a 
aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanhamento 
do processo de aprendizagem visado. 
Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem matemática. 
É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, processos, pla-
nejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avaliação da aprendizagem 
desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: o tempo didático e o tempo 
cronológico não correm da mesma forma, o que muitas vezes explica as dificuldades detectadas. 
Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das 
situações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, 
a cada aula, a cada momento. 
Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o 
melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma 
nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, 
de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que 
não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, 
trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especial-
mente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.
Cabe ao professor, a partir do conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados 
aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios 
utilizados devem ser explicitados aos alunos.
Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do 
aluno deve ser a mais completa:aspectos comportamentais, atitudinais, também devem ser considerados. 
Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem 
papel fundamental nesse processo. 
Para a elaboração do plano de avaliação, devem-se considerar os objetivos propostos em cada um 
dos níveis de escolaridade. Uma listagem desses objetivos permite sua operacionalização, e, a partir daí, 
escolhem-se os melhores instrumentos. 
Veja a seguir uma sugestão de listagem que considera não apenas os aspectos cognitivos específicos, 
mas também os atitudinais. Observe que a construção da autonomia é um objetivo perene, que acom-
panha toda a formação do aluno. 
Meu aluno é capaz de:
• “enfrentar” a resolução do problema;
• entender o contexto das atividades propostas;
• compreender o texto das atividades propostas;
• explicitar o problema com suas palavras;
• selecionar dados da questão de forma autônoma;
• resolver o problema;
• verificar se a solução é adequada;
• fazer uso adequado de calculadora e outros materiais de forma a buscar soluções para o que é 
 proposto de forma autônoma;
• trabalhar em grupo de forma colaborativa;
• trabalhar individualmente com autonomia;
• utilizar corretamente a linguagem matemática.
Para ajudar o professor no processo de avaliação contínua dos alunos, o Material do Professor ‒ Digital 
traz sequências didáticas relacionadas aos conteúdos bimestrais da coleção, com organização aula a aula, 
oferecendo uma ficha de autoavaliação para o aluno. Além disso, esse material traz avaliações bimestrais 
com gabarito comentado, grade de correção e ficha para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. 
XXII
FORMAÇÃO DO PROFESSOR — SUGESTÕES DE LEITURA E SITES
A. Sugestões de leitura
BARBEIRO, Eulália da Conceição. A aprendizagem das equações do 1o grau a uma incógnita: uma análise 
dos erros e das dificuldades de alunos de 7o ano de escolaridade. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/
bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
BERNAL, Márcia Maria. Estudo do objeto proporção: elementos de sua organização matemática como 
objeto a ensinar e como objeto ensinado. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/
handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1>. Acesso em: 16 ago. 2018.
BOALER, Jo. Mentalidades matemáticas . Porto Alegre: Penso, 2018.
BORRALHO, A.; BARBOSA, Elsa. Pensamento algébrico e exploração de padrões. Disponível em: <http://www.
apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
_______. CABRITA, I.; PALHARES, P.; VALE, I. Os padrões no ensino e aprendizagem da Álgebra. 
Disponível em: <https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.
pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
BRANCO, Neusa Cristina Vicente. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento 
algébrico. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular ‒ versão final. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: <http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
CAMPOS, Tania M. M.; SOUZA, Vera Helena G. de. Resolução de desigualdades com uma incógnita: 
uma análise de erros. Disponível em: <http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/
Union_014_007.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
COLLARES, Bruno Marques; LIMA, Diego Fontoura. Por que inverter o sinal da desigualdade em uma ine-
quação? Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/
RE38.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Pensamento aritmético e pensamento algébrico no Ensino 
Fundamental. Disponível em: <http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_
Claudia.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
HUMMES, Viviane Beatriz; NOTARE, Marcia Rodrigues. Aprendizagem significativa de equações 
do 1o grau: um estudo de caso com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental. Disponível em: 
<http://www.eventos.ulbra.br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
LIMA, Duílio Tavares de. Fichas temáticas: resolvendo equações do 1o grau. Disponível em: <http://www1.
pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f
19a92caf50a35dc8b2fb0d4>. Acesso em: 16 ago. 2018.
LOPES, Celi Aparecida Espasadin. A Probabilidade e a Estatística no currículo de Matemática do 
Ensino Fundamental Brasileiro. Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/ce_lopes/
prob_est.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
______; MEIRELLES, Elaine. O desenvolvimento da Probabilidade e da Estatística. Disponível em: <https://
www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018
MAGALHÃES, Adil Ferreira. Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações. Disponível em: 
<https://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2013/Adil%20Ferreira.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
MARTINI, Grasiela. Estratégias de trabalho para a aprendizagem de operações com números inteiros. 
Disponível em: <https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29143/000775907.pdf?sequence=1>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1
http://www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf
http://www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf
https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf
https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf
http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf
http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf
http://www.eventos.ulbra.br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350
http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4
http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4
http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4
https://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/ce_lopes/prob_est.pdf
https://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/ce_lopes/prob_est.pdf
https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf
https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf
https://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2013/Adil%20Ferreira.pdf
https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29143/000775907.pdf?sequence=1
XXIII
MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Desenvolvendo o raciocínio matemático: generalização 
e justificação no estudo das inequações. Disponível em: <http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/
gepem.2014.021>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
MEGID, M. A. Construindo Matemática na sala de aula: uma experiência com os números inteiros. In: FIORENTINI, 
D. & MIORIM, M. A. (Org.) Por trás da porta, que Matemática acontece? Campinas: Unicamp; Cempem, 2001.
MENEGAT, Maristela Ferrari. Uma nova forma de ensinar razão e proporcionalidade. Disponível em: <https://
lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1>. Acessoem: 16 ago. 2018.
MIYASAKI, Dirce Mayumi. Modelagem matemática e educação ambiental: possibilidades para o Ensino 
Fundamental. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/359-4.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018.
NOGUEIRA Júnior, Dárcio Costa. Ensino de razão e proporção na perspectiva curricular da rede. Disponível 
em: <http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/CC/T8_CC1664.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
ROCHA Neto, Francisco Tavares da Rocha. Dificuldades na aprendizagem operatória de números inteiros no 
Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_
ftrneto.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
SCHMITIZ, Ilda; SCHNEIDER, Deborah Sandra Leal Guimarães. A leitura de mundo através da estocástica: um 
olhar crítico da realidade, através da mídia e das tecnologias. Disponível em: <http://www.gestaoescolar.
diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
SILVA, Ana Claudia da. Dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas envolvendo equações do 
1o grau. Disponível em: <http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12008/AnaClaudiadaSilvaPetronilo.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
SILVA, Maria José Ferreira da. As concepções de números fracionários. Disponível em: <http://www.mat.
ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
B. Sites ‒ Acessos em: 16 ago. 2018.
• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM): <http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/>.
• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM): <https://www.sbm.org.br/>.
• Portal do Professor – MEC: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html>.
• Centro de Referência em Educação Mário Covas: <http://www.crmariocovas.sp.gov.br/>.
C. Laboratórios de Educação Matemática ‒ Acessos em: 16 ago. 2018.
• LEDUM – Laboratório de Educação Matemática (UFC): <http://www.ledum.ufc.br/>.
• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (Unesp – Rio Claro): <https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/
gfp/lem/>.
• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (USP): <https://www.ime.usp.br/lem/>.
• Laboratório de Matemática (Faculdade de Educação – USP): <http://www2.fe.usp.br/~labmat/>.
• LEMAT – Laboratório de Educação Matemática (UFG): <http://lemat.mat.ufg.br/>.
• Laboratório virtual de Matemática (Unijuí – RS): <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/>.
Além desses links, diversas revistas sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática estão disponí-
veis para acesso livre, on-line. Por exemplo, o Portal do Professor (MEC) permite acessar artigos, livros, 
periódicos, entre outros recursos. Basta buscar por publicações relativas à Matemática, e o professor obterá 
como resultado diversos links para ajudá-lo com materiais, leituras etc. 
O site da SBEM dará acesso à Educação Matemática em Revista (disponível em: <http://www.
sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr>; acesso em: 16 ago. 2018), contendo artigos destinados ao 
professor que ensina Matemática nos diversos níveis de escolaridade. Também dará acesso ao anúncio 
dos eventos organizados. 
Já o site da SBM dará acesso ao link para a Revista do Professor de Matemática (disponível em: <http://
www.rpm.org.br/>; acesso em: 16 ago. 2018), para a revista Professor de Matemática OnLine (disponível 
em: <https://pmo.sbm.org.br/>; acesso em: 16 ago. 2018) e outras publicações. 
http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.021
http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.021
https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1
https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/359-4.pdf
http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/CC/T8_CC1664.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf
http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf
http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12008/AnaClaudiadaSilvaPetronilo.pdf
http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf
http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf
http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/
https://www.sbm.org.br/
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html
http://www.crmariocovas.sp.gov.br/
http://www.ledum.ufc.br/
https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/
https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/
https://www.ime.usp.br/lem/
http://www2.fe.usp.br/~labmat/
http://lemat.mat.ufg.br/
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/
http://www.sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr
http://www.sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr
http://www.rpm.org.br/
http://www.rpm.org.br/
https://pmo.sbm.org.br/
XXIV
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
1
ÊNIO SILVEIRA
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. 
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. 
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
5a edição
São Paulo, 2018
o
ano6
2
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática / Ênio 
Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. 
 Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16948 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, 
Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Paula de Sá Belluomini
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, 
Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, 
Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
http://www.moderna.com.br
3
Caro aluno,
Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem sentido 
maior quando encontram aplicação no dia a dia. 
A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas, sim, como 
solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuososou 
inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando 
obstáculos cotidianos ou científicos.
Com as situações apresentadas neste livro, você adquirirá 
conhecimentos que ajudarão no desenvolvimento da sua formação 
escolar, pessoal e profissional. Em cada página estudada, tarefa resolvida 
ou atividade solucionada, você perceberá que a Matemática é uma 
ferramenta poderosa que pode ajudá-lo a resolver muitos problemas.
O autor
Aos meus pais,
Isaías, Maria Amélia (in memoriam)
Apresentação
3
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
4
Estrutura das unidades
Ícones utilizados na obra
Dupla CalculadoraCálculo mentalGrupo Tecnologia
38 39
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Observe o total de pontos conquistados pelos cinco pilotos de Fórmula 1 mais bem 
colocados no Mundial de Construtores de 2017. 
Posição Piloto Pontos
1a Lewis Hamilton 363
2a Sebastian Vettel 317
3a Valtteri Bottas 305
4a Kimi Räikkönen 205
5a Daniel Ricciardo 200
Dados obtidos em: <https://www.formula1.com/en/results.html/2017/drivers.html>. 
Acesso em: 27 jul. 2018. 
Qual foi o total de pontos alcançado pelos pilotos que conquistaram as três primeiras posições?
Para obter essa resposta, devemos juntar, unir ou reunir quantidades, ou seja, efetuar a 
operação denominada adição.
Veja como obter esse total:
Nessa adição, os números 363, 317 e 305 são as parcelas, e 985 é a soma (ou total).
Outra ideia da adição é a de acrescentar uma quantidade a outra. A situação a seguir 
exemplifica essa ideia.
Em um campeonato esportivo entre escolas, a escola Aprender estava com 50 pontos. 
Duas alunas dessa escola conquistaram, então, o 1o e o 3o lugares em uma corrida de 100 metros, 
ganhando, respectivamente, 25 e 11 pontos. 
Qual passou a ser o total de pontos dessa 
escola após essas conquistas?
Primeiro, podemos efetuar esta adição:
25 1 11 5 36
Em seguida, acrescentamos 36 a 50, 
efetuando a adição 50 1 36.
50 1 36 5 86
Concluímos, portanto, que a escola 
Aprender passou a ter 86 pontos.
parcela 
parcela
parcela
soma ou total
363
317
1 305
985
C
R
É
D
IT
O
 D
A
S
 F
O
TO
S
: R
E
IN
O
 U
N
ID
O
 E
 A
LE
M
A
N
H
A
: B
R
IL
LI
A
N
TI
S
T 
S
TU
D
IO
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; F
IN
LÂ
N
D
IA
: N
AY
P
O
N
G
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
A
U
S
TR
Á
LI
A
: M
A
X
IM
U
M
V
E
C
TO
R
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Adição com números naturais1
Duas alunas dessa escola conquistaram, então, o 1 lugares em uma corrida de 100 metros, 
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
EtapaEtapa
Nome 1
a 2a 3a
Júlio 3 650 5 995 7 036
Marcelo 3 543 2 786 9 999
Antônio 4 119 3 830 8 678
Estado Área (km2)
Paraná 199 308
Santa Catarina 95 738
Rio Grande do Sul 281 738
Dados obtidos em: <https://cidades.ibge.
gov.br/brasil/pr/panorama>; <https://
cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama>; 
<https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/
panorama>. Acessos em: 20 ago. 2018.
Cidade População
São Paulo 12 106 920
Rio de Janeiro 6 520 266
Brasília 3 039 444
Salvador 2 953 986
Fortaleza 2 627 482
Belo Horizonte 2 523 794
Dados obtidos no Diário Oficial da União, 
Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017, 
p. 60, 62, 70 e 76.
 1 Considere os números abaixo. 
 2 Observe o quadro de pontos de uma 
gincana e responda às questões.
 4 Observe o quadro com as seis cidades 
mais populosas do Brasil.
 5 Quando Laerte nasceu, o pai dele tinha 
 6 Determine a soma de todos os números 
 7 Ana vai usar a calculadora para de-
terminar a soma de três números 
consecutivos, sabendo que o menor 
deles é 549. Quando foi realizar os 
cálculos, Ana percebeu que as teclas 
0 e 9 da sua calculadora estavam com 
defeito. Como Ana poderá realizar essa 
adição? Qual será o seu resultado? 
 8 Forme dupla com um colega para res-
ponder à questão: quais são os quatro 
1 576 8 916 7 435
2 050 794
Agora, determine os totais obtidos com:
a)
b) a adição dos dois menores números;
c) a adição do menor número com o
maior número.
a)
b) Algum dos candidatos conquistou mais
de 17 mil pontos nessa gincana?
c) Quem obteve mais pontos nessa gin-
cana?
Calcule a população das cidades:
a) do Sudeste listadas no quadro;
b) do Nordeste listadas no quadro.
a adição dos dois maiores números;
Quantos pontos Júlio obteve nas três
etapas?
 3 Com base nos valores aproximados 
 do quadro abaixo, calcule a área 
 total, em quilômetro quadrado (km2), 
 da Região Sul do Brasil.
28 anos. Atualmente, Laerte tem 18 anos. 
Determine a soma das idades de Laerte 
e de seu pai hoje.
de três algarismos diferentes que podem 
ser formados com os algarismos 3, 4 e 5.
números ímpares cuja soma é 29?
UNIDADE I
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 1 Números naturais e sistemas de numeração
Capítulo 2 Operações com números naturais
Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais
É hora de começar
1 Você sabe como as civilizações antigas representavam uma 
quantidade? Quais eram os símbolos que elas utilizavam? 
2 Em que situações do dia a dia você utiliza os números? E para 
que você os utiliza?
3 Quais operações matemáticas você já estudou?
4 Quais objetos ao seu redor lembram sólidos geométricos?
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Trocando ideias
IN
IG
O
C
IA
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
PA
TR
IC
IA
 D
O
S
 S
A
N
TO
S
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
A
_L
E
S
IK
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
A
_L
E
S
IK
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
LU
C
IA
N
O
 Q
U
E
IR
O
Z
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
LU
C
IA
N
O
 Q
U
E
IR
O
Z
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
LU
C
IA
N
O
 Q
U
E
IR
O
Z
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
244
Qual é a Qual é a capacidadecapacidade dessa piscina dessa piscina 
olímpica?
Qual foi a menor Qual foi a menor temperatura registrada registrada 
na cidade de Bom Jardim da Serra em Santa 
Catarina?
Qual é o Qual é o comprimentocomprimento da ponte da ponte 
Juscelino Kubitscheck de Brasília? Em quanto tempo
o ciclista poderá completar o percurso?
No dia a dia, medidas são usadas em muitas situações. Há diversos tipos de medida: 
de massa, de capacidade, de tempo, de temperatura, de comprimento, de superfície, de 
espaço ocupado por algo etc. Observe alguns exemplos de perguntas relacionadas 
a medidas.
Para medir uma grandeza, é necessário compará-la com outra grandeza da mesma 
espécie, tomada como unidade de medida.
Que grandeza e que unidade de medida estão relacionadas a cada situação acima?
Neste capítulo, vamos estudar as grandezas e as medidas que fazem parte de diversas 
situações do nosso cotidiano.
Um pouco de história
Internacional de Unidades
Grandeza comprimento1
É hora de observar e refletir
O holandês Pieter Cornelis Mondrian (1872-1944), mais 
conhecido como Piet Mondrian, foi um artista plástico 
que se baseava em muitas ideias da Geometria para criar 
suas obras. Mondrian pintava tanto paisagens quanto 
formas geométricas abstratas e foi um dos fundadores 
do movimento artístico conhecido como abstracionismo 
geométrico. Observe a pintura de Mondrian reproduzida 
ao lado.
Piet Mondrian, Composição com grande 
plano vermelho, amarelo, preto, cinza e 
azul, 1921, 59,5 cm azul, 1921, 59,5 cm azul # 59,5 cm.
Exposição Mondrian noCentro Cultural 
Banco do Brasil (CCBB), Brasília, DF. 2016.
É possível encontrar representações de figuras geométricas na obra desse artista? Cite algumas que 
você identificou na obra acima.
H
E
LI
O
 M
O
N
T
F
E
R
R
E
/E
S
P.
 C
B
/D
.A
 P
R
E
S
S
M
U
S
E
U
 M
U
N
IC
IP
A
L 
D
E
 H
A
IA
, H
O
LA
N
D
A
199
CAPÍTULO
Figuras geométricas 
planas9
Abertura de capítulo
Propõe a observação 
e a reflexão de uma 
situação relacionada ao 
conteúdo do capítulo.
Cada volume está dividido em quatro unidades, que são formadas por dois ou mais capítulos, 
organizadas de acordo com esta estrutura:
Apresentação 
do conteúdo
O conteúdo é 
apresentado com 
linguagem clara 
e direta.
Abertura de unidade
Apresenta o título dos 
capítulos que integram a 
unidade e propõe questões 
sobre os assuntos que 
serão estudados. 
Atividades
Com diferentes níveis de 
dificuldade, algumas atividades 
estimulam a discussão, a reflexão 
e a resolução em grupo, o 
trabalho com cálculo mental e 
promovem o uso da calculadora 
e de outras tecnologias como 
planilha eletrônica e softwares
de construção de gráficos e de 
geometria dinâmica.
Trocando ideias
Incentiva o diálogo 
sobre assuntos do 
capítulo. 
4
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
5
84
DESAFIO
DESAFIO
Resolva com um colega a atividade a seguir.
(Obmep) As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados 
esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces 
que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra a planificação de uma pirâmide; 
quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na 
figura é 1 1 3 1 4 5 8.
a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide acima?
b) A figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente
ao ponto indicado?
c) A figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do
vértice correspondente ao ponto A?
d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior?
5 15 15 1
3
4
6 26 26 2
5
4
6
7
A B
8
1
3
2
Elaborando
Observe os poliedros a seguir e faça o que se pede.
• No caderno, elabore três questões que podem ser
respondidas observando os poliedros.
• Troque de caderno com um colega e responda àsTroque de caderno com um colega e responda àsT
questões elaboradas por ele.
• Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele,
dizendo o que ele respondeu corretamente e em que
ele se equivocou.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
2
1
3 43 43 43 43 4
Resolvendo em equipe
30
20
10
0
Qui. Sex. Sáb. Dom. Seg. Ter. Qua.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
294
(Enem) A figura ao lado apresenta dois 
gráficos com informações sobre as recla-
mações diárias recebidas e resolvidas pelo 
Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) 
de uma empresa, em uma dada semana. 
O gráfico de linha tracejada informa o 
número de reclamações recebidas no dia, o 
de linha contínua é o número de reclamações 
resolvidas no dia. As reclamações podem 
ser resolvidas no mesmo dia ou demorar 
mais de um dia para serem resolvidas. 
O gerente de atendimento deseja identificar 
os dias da semana em que o nível de efi- 
ciência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações 
resolvidas excede o número de reclamações recebidas.
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa 
e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na
a) segunda e na terça-feira.
b) terça e na quarta-feira.
c) terça e na quinta-feira.terça e na quinta-feira.
d) quinta-feira, no sábado e no domingo.
e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
• Junte-se a três colegas. 
• Cada integrante do grupo deverá apresentar seu plano de resolução aos demais. 
• Após a discussão sobre as estratégias, elaborem uma resolução única. Para isso,
escolham um dos planos apresentados e organizem um processo de resolução. 
ObservaçãoObservação
Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
• Na quinta-feira, o número de reclamações recebidas foi maior ou menor que o número 
de reclamações resolvidas? Explique. 
• Observando o gráfico, o que podemos concluir a respeito do sábado e do domingo? 
• Elabore um plano de resolução explicitando suas estratégias. 
• Identifique as informações representadas nos eixos horizontal e vertical do gráfico.
• O gráfico apresenta duas linhas distintas: uma tracejada e outra contínua. O que essas 
linhas representam? 
In
te
rp
re
ta
çã
o 
e 
id
en
tif
ic
aç
ão
 
do
s d
ad
os
Pl
an
o 
de
 
re
so
lu
çã
o
Re
so
lu
çã
o
LU
IZ
 R
U
B
IO
Faça as atividades no caderno.
15
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Lendo e aprendendo
Conhecimento indígena
Em pleno século XXI, muitos brasileiros ainda não conhecem a riqueza e a diversidade Em pleno século XXI, muitos brasileiros ainda não conhecem a riqueza e a diversidade 
das culturas indígenas, acreditando que todos os grupos indígenas falam a mesma língua, das culturas indígenas, acreditando que todos os grupos indígenas falam a mesma língua, 
têm os mesmos costumes e que sua cultura é primitiva, que é uma maneira de dizer que é têm os mesmos costumes e que sua cultura é primitiva, que é uma maneira de dizer que é 
inferior à nossa cultura. Esse é um erro muito comum.
Os povos indígenas do Brasil somavam, segundo o Censo IBGE 2010, 896.917 pessoas. Os povos indígenas do Brasil somavam, segundo o Censo IBGE 2010, 896.917 pessoas. 
Desse total, 324.834 viviam em cidades e 572.083 em áreas rurais. Atualmente, existem Desse total, 324.834 viviam em cidades e 572.083 em áreas rurais. Atualmente, existem 
no território brasileiro 254 povos, que falam mais de 150 línguas diferentes. As línguas e as no território brasileiro 254 povos, que falam mais de 150 línguas diferentes. As línguas e as 
culturas indígenas ainda são pouco estudadas, mas algumas pesquisas mostram como é a culturas indígenas ainda são pouco estudadas, mas algumas pesquisas mostram como é a 
organização do pensamento matemático em algumas dessas culturas.
Os grupos Aruak do Alto Xingu, por exemplo, têm uma forma bem diferente de contar. Os grupos Aruak do Alto Xingu, por exemplo, têm uma forma bem diferente de contar. 
Eles não usam símbolos numéricos, e os cálculos são feitos pela correspondência 1 a 1, ou Eles não usam símbolos numéricos, e os cálculos são feitos pela correspondência 1 a 1, ou 
seja, uma pessoa do grupo não pensa, por exemplo: “Vou cortar quatro estacas de madeira seja, uma pessoa do grupo não pensa, por exemplo: “Vou cortar quatro estacas de madeira 
para fazer uma casa”; ela pensa: “Vou cortar uma estaca para cada canto da casa”. Com esse para fazer uma casa”; ela pensa: “Vou cortar uma estaca para cada canto da casa”. Com esse 
tipo de raciocínio, não é preciso usar símbolos numéricos; por isso esse sistema funciona e tipo de raciocínio, não é preciso usar símbolos numéricos; por isso esse sistema funciona e 
é adequado para as necessidades dos povos que o utilizam.
Como você pode ver, cada povo cria e utiliza o que é mais adequado à sua realidade, então Como você pode ver, cada povo cria e utiliza o que é mais adequado à sua realidade, então 
não existe cultura superior ou melhor que outra. Existem culturas diferentes, e conhecê-las não existe cultura superior ou melhor que outra. Existem culturas diferentes, e conhecê-las 
nos ajuda a ampliar nossa compreensão sobre o mundo.
Fontes: <https://pib.socioambiental.org/pt/Línguas>, Fontes: <https://pib.socioambiental.org/pt/Línguas>,<http://www.educacao.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=15916> e 
<https://oprofessorweb.wordpress.com/2014/05/05/a-ciencia-indigena/>. 
Acessos em: 25 jul. 2018.
Para criar cestos 
e pás para virar 
beiju, como os 
da foto, entre 
outros objetos, 
é preciso utilizar 
um pensamento 
matemático 
cuja base está 
nas tradições 
indígenas e na 
transmissão 
oral dos 
conhecimentos.
IS
M
A
R
 IN
G
B
E
R
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
Para criar cestos 
e pás para virar 
beiju, como os 
da foto, entre 
outros objetos, 
é preciso utilizar 
um pensamento 
matemático 
cuja base está 
nas tradições 
indígenas e na 
transmissão 
oral dos 
conhecimentos.
R
U
B
E
N
S
 C
H
A
V
E
S
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
R
U
B
E
N
S
 C
H
A
V
E
S
/O
TH
E
R
 IM
A
G
E
S
 As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados 
esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces 
que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra a planificação de uma pirâmide; 
quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na 
 figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente
 figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do
Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior?
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
82
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 1 Entre os sólidos geométricos estudados neste capítulo, quais foram os dois tipos destacados?
 4 Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos? Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos?
 6 Com a planificação de um octaedro regular obtemos: Com a planificação de um octaedro regular obtemos:
a) 4 triângulos idênticos.
b) 8 triângulos idênticos.
c) 6 triângulos idênticos.
d) 20 triângulos idênticos.
 2 Cite uma aplicação industrial dos poliedros. Cite uma aplicação industrial dos poliedros. 
 3 Que objetos de seu cotidiano lembram corpos redondos? Que objetos de seu cotidiano lembram corpos redondos? 
5 As embalagens de vários produtos podem ser desmontadas e decompostas em figuras planas. 
Qual é o conceito visto neste capítulo que está associado a essa situação?
1 Qual das figuras a seguir não representa 
b) d)
um poliedro?"alternativa d
a)" c)
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
 2 (Saresp) A figura abaixo representa uma 
a) 6
b) 7
c) 10
d) 12
pirâmide de base hexagonal. O número 
de vértices dessa pirâmide é:
a) um cilindro.
b) uma pirâmide de base pentagonal.
c) um prisma de base pentagonal.
d) um paralelepípedo.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
 4 (Saresp) A forma geométrica espacial que 
pode ser associada à planificação abaixo é:""
 3 Qual é o sólido geométrico cuja superfície 
corresponde à planificação?
 As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados 
esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces 
que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra a planificação de uma pirâmide; 
quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na 
 figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente
 figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do
Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior?
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
203
Um pouco de história
O início da Geometria
A palavra Geometria vem do grego, geo, que significa 
“terra”, e metria, “medida”. 
Alguns estudiosos atribuem a origem da Geometria aos 
egípcios, por causa da técnica que eles desenvolveram 
para remarcar as terras às margens do rio Nilo, após as 
enchentes que ocorriam anualmente. Dessa forma, a 
Geometria teria nascido da necessidade prática de de-
marcação de terras feita pelos “esticadores de corda”. 
Outros acreditam que a Geometria teria surgido como 
uma forma de lazer praticada por sacerdotes e filósofos. 
De qualquer maneira, há vários registros que datam de, 
aproximadamente, 3 000 a.C. que mostram figuras geo-
métricas e cálculos relacionados a elas. Sabe-se que as 
civilizações antigas, como a egípcia, a babilônica, a assíria, 
a hindu e a chinesa, acumularam diversos conhecimentos 
nessa área. 
Muitos desses conhecimentos foram organizados, por 
volta de 300 a.C., por Euclides de Alexandria, matemá-
tico grego, em uma obra conhecida como Os elementos. 
A obra é composta de treze livros, dos quais nove deles 
tratam de Geometria.
Representação de Euclides.
E G I T O
CairoCairo
 MAR MEDITERRÂNE
O
Rio Nilo
X
A
V
I
X
A
V
I
r
A O B
α
A O O B
 Semirreta
Observe a reta r contida no plano r contida no plano r a e os pontos A, O e B pertencentes a ela. B pertencentes a ela. B
O ponto O determina duas semirretas em r. Veja:r. Veja:r
O ponto O é chamado de origem das semirretas. A semirreta de origem em O que passa O que passa O
pelo ponto A e a semirreta de origem em O que passa pelo ponto O que passa pelo ponto O B podem ser representadas, B podem ser representadas, B
 respectivamente, por OA OBOA OBeOA OB.
Semirreta e segmento de reta2
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
250 km
Mapa do território atual do Egito. 
Elaborado com base em: Graça 
Maria Lemos Ferreira. Atlas 
geográfico: espaço mundial. São 
Paulo: Moderna, 2013. p. 81.
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
VOCÊ JÁ PENSOU EM COMO OS MURAIS SÃO FEITOS?
A arte do grafite, diretamente conectada ao movimento hip-hop, tornou-se popular na década 
de 1970 nos bairros de Nova Iorque como um tipo de manifestação, por meio de desenhos e 
mensagens, para expressar e refletir sobre a realidade dos menos favorecidos. Ao mesmo 
tempo, artistas brasileiros desenvolveram suas próprias técnicas, alguns com um toque de 
brasilidade, e se tornaram conhecidos mundialmente. Hoje em dia, os grafites estão cada 
vez mais presentes nos espaços públicos: tornando a arte acessível à população, propiciando 
a reflexão e a crítica a problemas sociais e contribuindo para a revitalização urbana, como o 
mural Etnias do artista brasileiro Eduardo Kobra. 
1. Reúna-se em grupo com os colegas, analisem o mural da foto e respondam às questões.
a) Quais povos foram representadas no mural?
b) Em entrevista, Kobra disse que o mural procura passar a mensagem de paz e união dos povos.
Vocês acham que, de fato, a obra transmite essa mensagem? Justifiquem. 
c) Como vocês acham que foi feita essa obra de arte? Que materiais e técnicas foram usados?
2. Leiam o texto sobre a quantidade de tinta e o tempo de elaboração do mural.
“Na confecção da obra, foram usadas 3 mil latas de spray, 700 litros de tinta colorida e 
1800 litros de tinta branca para o fundo. Para que ficasse pronta antes da Rio-2016, Eduardo Kobra
e sua equipe encararam uma maratona de 12 horas de trabalhos diários durante dois meses. E essa
não foi a única parte complicada: ele estima ter levado três meses para chegar ao resultado final do
desenho, fruto de uma pesquisa profunda sobre povos nativos ao redor do globo.”
Disponível em: <http://www.eduardokobra.com/etnias/>. Acesso em: 16 ago. 2018.
a)
b)
Objetivos: Pesquisar sobre a arte do grafite e a técnica de ampliação de desenhos para a realização de 
obras de arte, que serão expostas na sala de aula e na escola.
Etapa 1: Análise do mural Etnias.
Qual foi o total de tinta, em litro, usado no mural? Que porcentagem representa a quantidade 
de tinta colorida? E de tinta branca?
Quantosmeses foram necessários para finalizar o mural, considerando todas as etapas? 
Que porcentagem representa o tempo gasto apenas para chegar ao resultado final do desenho,
antes de iniciar o trabalho na parede?
H
A
R
O
LD
O
 C
A
S
TR
O
/V
IA
JO
LO
G
IA
Etapa 2: Pesquisa sobre a arte do grafite e o 
uso da técnica de ampliação de desenhos.
3. Pesquisem em jornais, revistas e na internet:
• o significado da expressão “grafite”;
• técnicas usadas por grafiteiros; 
• mulheres grafiteiras e suas obras.
4. Para a realização de suas obras, Kobra, assim
como muitos artistas, desenha primeiro no
papel. Em seguida, usa uma malha quadri-
culada com referências de localização,
como no jogo “batalha-naval”, numerando as
linhas e as colunas. Assim, depois de preparar
e quadricular o muro, com quadrados
maiores, usando as mesmas referências
do papel, é necessário reproduzir no
muro o que foi feito no papel.
a) Em uma malha quadriculada,
numerem as linhas e as colunas e
desenhem figuras geométricas
planas (retângulos, triângulos,
pentágonos etc.).
b) Em uma cartolina, tracem uma ma-
lha quadriculada, com quadrados
maiores, e reproduzam as figuras
geométricas feitas anteriormente,
respeitando as referências de locali-
zação de cada quadrado.
Etapa 3: Elaboração de obras de arte com a técnica de ampliação.
5. Escolham um tema ou uma mensagem que julguem importante e que possa ser representado(a) com 
um desenho: meio ambiente, diversidade cultural, cidadania etc.
6. Façam em uma malha quadriculada um desenho que expresse a mensagem escolhida pelo grupo.
7. Reproduzam o desenho em uma cartolina, mas em tamanho maior, usando a técnica estudada.
8. Agora, façam um desenho em um malha quadriculada e peçam a outro grupo que faça a
ampliação do desenho em uma cartolina.
Etapa 4: Exposição e análise das obras de arte.
9. Disponibilizem as obras criadas pelo grupo para que os outros analisem e opinem sobre o signi-
ficado e a mensagem representada em cada obra.
10. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.
11. Se possível, escolham uma ou mais obras para serem reproduzidas em paredes da escola.
Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.
12. Algumas questões que devem ser discutidas:
a) As obras de arte atenderam aos objetivos propostos?
b) Vocês acreditam que a arte pode levar à reflexão de problemas sociais?
13. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.
C
H
R
IS
TO
P
H
E
 S
IM
O
N
/A
FP
É hora de extrapolar Faça as atividades no caderno.
240 241
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Em 2016, Eduardo Kobra e sua equipe realizaram o maior grafite do planeta, o mural Etnias, com 3 mil metros Etnias, com 3 mil metros Etnias
quadrados, na zona portuária da cidade do Rio de Janeiro. O mural traz os representantes de cinco povos, um de 
cada continente: os Mursi (África), os Kayin (Ásia), os Tapajós (Américas), os Supi (Europa) e os Huli (Oceania).
quadrados, na zona portuária da cidade do Rio de Janeiro. O mural traz os representantes de cinco povos, um de 
cada continente: os Mursi (África), os Kayin (Ásia), os Tapajós (Américas), os Supi (Europa) e os Huli (Oceania).
quadrados, na zona portuária da cidade do Rio de Janeiro. O mural traz os representantes de cinco povos, um de 
Técnica utilizada por 
Eduardo Kobra para 
a confecção de suas 
obras de arte.
Lendo e 
aprendendo
Seção que 
complementa 
e enriquece 
o conteúdo
principal.
É hora de extrapolar
Atividade em grupo proposta 
como fechamento da 
unidade. Explora a pesquisa, 
a comunicação e a elaboração 
de um produto final, que será 
compartilhado com a turma 
ou com a comunidade escolar.
Um pouco de história
Texto que aborda a 
história da Matemática 
para contextualizar 
alguns assuntos.
Resolvendo 
em equipe
Atividade em grupo 
que explora a análise 
e o desenvolvimento 
de estratégias para 
a resolução de 
problemas.
5
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Atividades diversificadas que abordam o conteúdo apresentado no 
capítulo. A seção é composta dos itens:
• Revisitando: promove a revisão de conteúdos.
• Aplicando: traz desafios, questões de concursos e exames.
• Elaborando: estimula a criatividade e a elaboração de questões.
Sistema 
Sistema Internacional 
de Unidades
6
Sumário
6
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
UNIDADE
I Capítulo 1 – Números naturais e 
sistemas de numeração 10
1. Sistemas de numeração .................................. 12
Sistema de numeração egípcio ............................ 12
Sistema de numeração romano ........................... 13
2. Sistema de numeração decimal ...................... 17
Leitura e escrita de um número 
no sistema decimal ............................................... 24
3. Os números naturais ........................................ 27
Números pares e números ímpares .................... 28
Número e numeral ............................................... 29
4. Comparação de números naturais .................. 30
A reta numérica e os números naturais ............... 31
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......... 33
Capítulo 2 – Operações com 
números naturais 36
1. Adição com números naturais ......................... 38
Algumas propriedades da adição .......................... 40
2. Subtração com números naturais .................... 41
Relação fundamental da subtração ....................... 43
Expressões numéricas com adições 
e subtrações .......................................................... 45
3. Multiplicação com números naturais .............. 47
Algumas propriedades da multiplicação .............. 52
4. Divisão com números naturais ......................... 54
Divisão exata ......................................................... 54
Expressões numéricas com as quatro operações ...... 56
Divisão não exata .................................................. 58
Relação fundamental da divisão ........................... 58
5. Potenciação com números naturais ................ 60
Leitura de potências .............................................. 61
Potências de base 10 ............................................ 62
Expressões numéricas com potenciações .............. 64
6. Arredondamentos e estimativas ..................... 65
Resolvendo em equipe ............................................. 67
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......... 68
Capítulo 3 – Figuras geométricas 
espaciais 70
1. Sólidos geométricos ......................................... 72
2. Poliedros ........................................................... 73
Prismas e pirâmides ............................................. 75
3. Corpos redondos .............................................. 76
4. Planificação da superfície de sólidos 
geométricos ......................................................... 78
Resolvendo em equipe ............................................. 81
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......... 82
É hora de extrapolar ................................................ 85
Capítulo 4 – Igualdades e 
desigualdades 88
1. Sentenças matemáticas ................................... 90
2. Igualdades ........................................................ 91
Adição e subtração de números naturais .............. 91
Multiplicação e divisão por números naturais ....... 94
Resolvendo problemas com igualdades ................ 96
3. Desigualdades .................................................. 99
Adição e subtração de números naturais............100
Multiplicação e divisão por números naturais .....102
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 104
Capítulo 5 – Múltiplos e divisores 106
1. Múltiplos de um número natural .................. 108
2. Divisores de um número natural .................. 111
3. Critérios de divisibilidade ............................. 115
Divisibilidade por 2 .............................................115
Divisibilidade por 3 .............................................115
Divisibilidade por 4 .............................................116
Divisibilidade por 5 .............................................117
Divisibilidade por 6 .............................................118
Divisibilidade por 8 .............................................118
Divisibilidade por 9 .............................................119
Divisibilidade por 10 ...........................................119
Divisibilidade por 100 .........................................119
Divisibilidade por 1000 .......................................119
UNIDADE
II
7
7
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
4. Números primos e números compostos ....... 121
Verificando se um número é primo ...................122
Decomposição em fatores primos .......................124
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 126
Capítulo 6 – Frações 128
1. A ideia de número fracionário ...................... 130
Leitura de frações ................................................133
2. Número misto ................................................ 134
3. Frações equivalentes ..................................... 136
Propriedade das frações equivalentes ..............136
Simplificação de frações ......................................138
4. Comparação de frações ................................. 140
5. Fração de uma quantidade ............................ 142
6. Adição e subtração de frações ...................... 144
Frações com denominadores iguais ...................144
Frações com denominadores diferentes ............145
7. Multiplicação de frações ................................ 147
Multiplicação de um número natural 
por uma fração ...................................................147
Multiplicação de duas frações ...........................148
 8. Divisão de frações .......................................... 150
Divisão de um número natural por uma fração ....150
Divisão de uma fração por um número natural ....150
Divisão de uma fração por outra fração ................151
9. Potenciação de frações .................................. 153
Expressões numéricas ........................................154
Resolvendo em equipe ....................................... 155
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 156
Capítulo 7 – Números decimais 160
1. Décimos, centésimos e milésimos ................ 162
Décimos ..............................................................162
Centésimos .........................................................163
Milésimos ...........................................................163
Números decimais na reta numérica ..................164
2. Leitura dos números decimais ...................... 164
3. Comparação de números decimais ............... 166
4. Adição e subtração com números 
decimais ......................................................... 168
5. Multiplicação com números decimais........... 169
6. Divisão com números decimais .................... 172
Divisão por um número natural 
diferente de zero ................................................172
Divisão por um número decimal .......................174
7. Decimais exatos e dízimas periódicas .......... 176
8. Expressões numéricas com números 
decimais ......................................................... 178
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 180
É hora de extrapolar ......................................... 182
UNIDADE
III Capítulo 8 – Porcentagem 185
1. Porcentagem .................................................. 187
Porcentagem de um valor ..................................187
Porcentagem de figuras .....................................188
Porcentagem escrita na forma decimal .............191
2. Problemas envolvendo porcentagem .......... 192
Determinação de uma porcentagem .................192
Determinação do total com base 
em uma taxa percentual ....................................193
Resolvendo em equipe ...................................... 195
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 196
Capítulo 9 – Figuras geométricas 
planas 199
1. Representação de ponto, reta e plano ......... 201
2. Semirreta e segmento de reta ...................... 203
Semirreta ............................................................203
Segmento de reta ..............................................204
3. Ângulos ........................................................... 207
Medida de um ângulo ........................................208
Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ......209
Construção de um ângulo com o transferidor ....210
4. Retas paralelas e retas perpendiculares ...... 212
Construção geométrica de retas paralelas 
com régua e esquadro .......................................213
8
8
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
UNIDADE
IV Capítulo 11 – Grandezas e medidas 243
1. Grandeza comprimento ................................ 245
Unidades de medida de comprimento ...............245 
Perímetro .............................................................250
2. Grandeza tempo ........................................... 251
Unidades de medida de tempo ...........................251
3. Grandeza superfície ...................................... 254
Unidades de medida de superfície ou 
unidades de área ................................................254
Área de um retângulo ........................................258
Área de um triângulo retângulo .........................262
4. Grandeza volume .............................................263
Unidade de medida de espaço ou 
unidade de volume ...........................................263 
Volume de um paralelepípedo reto-retângulo ...267
5. Grandeza capacidade ......................................269
Unidades de medida de capacidade ..................269
6 Grandeza massa ............................................ 272
Unidades de medida de massa ..........................272
7. Grandeza temperatura .................................. 276
Resolvendo em equipe ...................................... 277
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 278
Capítulo 12 – Probabilidade e 
estatística 282
1. Probabilidade ................................................ 284
Cálculo do número de possibilidades .................284
Cálculo de probabilidade ....................................285
2. Estatística ....................................................... 288
O processo estatístico .........................................288
Gráficos estatísticos ............................................290
Resolvendo em equipe ......................................... 294 
Trabalhando os conhecimentos adquiridos .......295
É hora de extrapolar ............................................ 298
Respostas .................................................................301
Bibliografia .............................................................312
Construção geométrica de retas perpendiculares 
com régua e esquadro ...................................... 213
5. Polígonos ........................................................ 214
Polígonos convexos e polígonos 
não convexos ......................................................217
Elementos de um polígono ................................217Classificação dos polígonos ................................218
6. Triângulos ....................................................... 220
7. Quadriláteros .................................................. 222
Paralelogramos ...................................................222
Trapézios .............................................................223
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 225
Capítulo 10 – Ampliação e redução 
de figuras 228
1. Representação de um polígono no plano 
cartesiano .........................................................230
Plano cartesiano .................................................230
Par ordenado ......................................................230
Representação de um polígono .........................231
2. Figuras semelhantes ..................................... 232
Ampliação e redução de figuras planas 
na malha quadriculada ........................................232
Ampliação e redução de figuras planas 
no plano cartesiano .............................................233
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 235
É hora de extrapolar ............................................ 240
9
UNIDADE I
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 1 Números naturais e sistemas de numeração
Capítulo 2 Operações com números naturais
Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais
É hora de começar
1 Você sabe como as civilizações antigas representavam uma 
quantidade? Quais eram os símbolos que elas utilizavam? 
2 Em que situações do dia a dia você utiliza os números? E para 
que você os utiliza?
3 Quais operações matemáticas você já estudou?
4 Quais objetos ao seu redor lembram sólidos geométricos?
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
• Nesta unidade, os alunos 
estudarão o conteúdo das 
unidades temáticas Números 
(capítulos 1 e 2) e Geometria 
(capítulo 3). Em Números, 
apresentaremos os sistemas 
de numeração e serão estu-
dados e retomados as carac-
terísticas do sistema decimal, 
os números naturais e as 
operações. Em Geometria, 
relembraremos e aprofun-
daremos o estudo sobre os 
sólidos geométricos.
• O objetivo dessas questões 
é instigar a curiosidade dos 
alunos para os assuntos que 
serão estudados nos capítulos 
que integram esta unidade. 
As questões não precisam ser 
respondidas neste momento, 
mas sugerimos retomá-las 
no final do estudo da unida-
de para que os alunos refli-
tam sobre o que aprenderam.
Veja plano de desenvolvi-
mento e projeto integrador 
no Material do Professor – 
Digital.
10
Algumas peças de diferentes tipos de jogos: 
damas, xadrez, dominó, cartas etc.
CAPÍTULO
1
10
E
LE
N
A
 S
C
H
W
E
IT
Z
E
R
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
É hora de observar e refletir
Você já percebeu como os números estão presentes no cotidiano? Eles podem ser 
encontrados em várias situações: nas notas e nas moedas de real, no letreiro dos ônibus, 
na numeração dos calçados, nos jogos, entre outras. 
 Você já participou de algum jogo que tivesse números?
 Em que outras situações podemos observar os números?
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Números naturais e sistemas 
de numeração
Objetivos
• Classificar os números de 
acordo com a função em de-
terminada situação.
• Identificar e representar nú-
meros no sistema de numera-
ção egípcio, no sistema de nu-
meração romano e no sistema 
de numeração decimal. 
• Comparar, ordenar, ler e es-
crever números naturais.
• Localizar os números natu-
rais na reta numérica.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planejado 
para favorecer o desenvolvi-
mento das seguintes habili-
dades da BNCC: EF06MA01 e 
EF06MA02.
• Neste capítulo, abordare-
mos apenas os números na-
turais. Os números racionais 
serão abordados nos capítu-
los 6 e 7, complementando a 
habilidade EF06MA01.
É hora de observar
e refletir
• Converse com os alunos so-
bre a importância dos núme-
ros em nossa vida. Aproveite 
a imagem de abertura, que 
explora alguns jogos, possi-
velmente conhecidos pelos 
alunos, para contextualizar 
diferentes situações que en-
volvam os números e algumas 
de suas utilidades.
• A situação apresentada per-
mite realizar um diagnóstico 
do que foi apreendido nos 
anos anteriores e reforçar os 
conteúdos que não tenham 
ficado claros, a fim de mo-
ti var os alunos com proble-
mas mais desafiadores. É 
viável iniciar a discussão 
perguntando aos alunos 
quais jogos ou situações 
em um evento, como o 
Carnaval, eles conhecem 
e, depois, pedir a eles que 
registrem as respostas. Em 
seguida, questione-os em 
quais desses jogos (ou even-
tos) encontramos números. 
As respostas podem envolver, 
por exemplo, o placar de um 
jogo ou mesmo a ordem em 
que os competidores são or-
ganizados.
EF06MA01: Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo 
uso da reta numérica.
EF06MA02: Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças 
e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), 
utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
11
Trocando ideias
Nas várias situações do dia a dia em que os números estão presentes, eles podem indicar 
contagem, ordem, código ou medida.
Veja, nos exemplos abaixo, a classificação dos números de acordo com o que indicam.
11
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
A
FR
IC
A
 S
TU
D
IO
/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
 Pense em outras situações nas quais os números são utilizados e verifique se eles 
se enquadram em uma dessas classificações. Troque ideias sobre o assunto com 
os colegas de turma e o professor. 
Neste capítulo, vamos estudar as aplicações e as formas de escrita e leitura dos núme-
ros naturais. Além disso, vamos conhecer alguns dos sistemas de numeração utilizados 
por diferentes povos e aprender a usar o sistema de numeração decimal.
 Contagem
Um jogo de xadrez é composto de 
32
peças.
 Ordem
A equipe brasileira obteve o
2o
lugar no quadro de medalhas da Copa do Mundo 
de Ginástica Artística de 2017.
 Código
O veículo de número
59
venceu a competição.
 Medida
A massa da Terra é de aproximadamente
5 980 000 000 000 000 000 000 000
quilogramas.
A
L 
B
E
LL
O
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
M
A
R
C
E
L 
C
LE
M
E
N
S
/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
FE
R
E
N
C
 
S
Z
E
LE
P
C
S
E
N
Y
I/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Resposta pessoal.
Se achar necessário, diga aos alunos que as imagens nesta 
página não foram apresentadas em escala de tamanho.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Trocando ideias
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre os assun-
tos do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Suge-
rimos explorá-la oralmente; 
se você achar necessário, so-
licite a eles que respondam 
às questões por escrito no 
caderno. A seção busca fa-
vorecer o desenvolvimento 
das competências gerais 9 e 
10 da BNCC.
• Dando continuidade ao tra- 
balho de diagnóstico dos co-
nhecimentos prévios dos alu-
nos, a atividade proposta 
pode ser realizada em grupo, 
o que propicia a discussão e 
a sistematização das funções 
dosnúmeros de acordo com 
a classificação apresentada: 
contagem, ordem, código 
ou medida.
• Peça aos alunos que classifi-
quem os números que foram 
citados na discussão proposta 
como ampliação da abertura 
(números encontrados nos 
jogos e em outras situações). 
Supondo que, além dos jogos, 
a situação citada seja o Carna-
val, veja alguns exemplos: 
 � Contagem: quantidade de 
palitos, de pinos/peças, de 
vidas, de jogadores, de fo-
liões em um bloco de rua, 
de pessoas em cada ala da 
escola de samba.
 � Ordem: ordem de jogada 
dos jogadores, ordem em 
que as escolas vão desfilar, 
pódio do resultado dos des-
files das escolas de samba.
 � Código: cadastro em jo-
gos on-line, senhas.
 � Medida: comprimento da 
avenida em que as escolas 
de samba desfilam.
12
12
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
A ideia de contar objetos e de utilizar uma forma de registrar essa contagem é muito antiga. 
É possível que tenha surgido na pré-história, há milhares de anos, mas não se tem certeza.
O estudo de locais onde antigas civilizações viveram levou à descoberta de objetos que prova-
velmente eram utilizados para marcar quantidades. O que se sabe é que os marcadores surgiram 
muito antes da escrita, pois o mais antigo objeto encontrado até hoje é um osso com entalhes 
cuja idade foi estimada entre 25 mil e 30 mil anos, e a escrita foi criada muito depois disso.
Nós, seres humanos, somos seres tecnológicos, pois sempre utilizamos alguma técnica para 
alterar a natureza e nos beneficiar. Assim, as práticas de coleta de frutos e raízes, a criação de 
animais e o cultivo de plantas comestíveis, iniciadas na Pré-história, podem ter dado origem 
à necessidade de controle e de registro de quantidades, por meio, por exemplo, da corres-
pondência 1 a 1: um animal – uma pedrinha. Com o tempo, esses registros foram sendo alterados 
e, posteriormente, deram origem a sistemas de contagem mais precisos e à utilização de símbolos.
Ao conjunto de símbolos e regras usados para representar números dá-se o nome de sistema 
de numeração. Diversas civilizações da Antiguidade, como a egípcia e a romana, criaram um 
sistema de numeração próprio.
Sistemas de numeração1
Para representar os números, os egípcios usavam o 
processo aditivo. Desse modo, o valor do número for-
mado correspondia à soma dos valores de cada símbolo 
representado. 
 Sistema de numeração egípcio
A civilização egípcia teve início por volta de 3200 a.C., 
no nordeste da África, às margens do rio Nilo. Os egípcios 
registravam quantidades utilizando sete símbolos. 
Veja abaixo quais são esses símbolos e o valor corres-
pondente a cada um.
E G I T O
Cairo
 MAR MEDITERRÂNE
O
Rio Nilo
Mapa do território atual do Egito. 
Elaborado a partir de: IBGE. 
Atlas geográfico escolar. 
Rio de Janeiro: IBGE, 2016. p. 45.
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
220 km
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
EGITO ATUAL
1 1 00010 100
1 325 (1 000 1 300 1 20 1 5)5 32 (30 1 2) 123 (100 1 20 1 3)
Exemplos
100 000 1 000 00010 000
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Sugestão de vídeo 
• Episódio 1 2 Tema: Origem dos Números 2 Série: A Matemática na História
Descrição: A equipe do Jornal Numeral mostra formas diferentes de contar e registrar quantidades e, também, a 
origem dos algarismos indo-arábicos utilizados hoje.
Disponível em: <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_
matematica_a.html>. Acesso em: 28 jul. 2018.
 
• Esse tópico inicia o desen-
volvimento da habilidade 
EF06MA02, ao introduzir o 
conceito de sistema de nu-
meração e as características 
dos sistemas de numeração 
egípcio e romano.
• Se achar oportuno, apre-
sente aos alunos o vídeo in-
dicado no fim desta página, 
que traz fatos históricos que 
levaram a humanidade à cria-
ção dos números. 
Como o vídeo aborda vários 
aspectos da origem dos nú-
meros, ele é longo (15 minu-
tos). Por isso, apresentá-lo em 
partes será mais interessante 
e dará a oportunidade aos 
alunos de compreender me-
lhor o tema. 
• Na introdução de “Sistemas 
de numeração”, apresente a 
parte do vídeo sugerido, que 
aborda a criação dos núme-
ros e os primeiros registros 
numéricos. Se achar conve-
niente, explique o método 
de registro dos números feito 
pelos incas. 
 
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Videoaula: Sistemas de 
numeração
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_a.html
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_a.html
13
13
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
EUROPA – IMPÉRIO ROMANO – 
SÉCULOS I E II
V&
V/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
No sistema de numeração egípcio:
 não havia símbolo que representasse a ausência de quantidade (o número zero);
 cada símbolo podia ser repetido até nove vezes;
 os valores correspondentes a cada símbolo eram sempre adicionados, não importando a 
ordem em que os símbolos estavam escritos.
909
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: 
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
U
TT
E
R
S
TO
C
K
KAREN ROACH/SHUTTERSTOCK
Detalhe da fachada de um museu localizado 
em Berlim, Alemanha, 2008.
Símbolos romanos podem ser 
observados no relógio (à esquerda) e 
em livros, como no leitor digital (acima).
 Sistema de numeração romano
O Império Romano foi um dos mais poderosos e exten-
sos da Antiguidade. Do Estado Romano, chegaram até nós 
conhecimentos de arquitetura, de arte, de leis, com o 
Direito romano, o latim, uma língua que foi usada durante 
séculos e que deu origem ao português e a outras línguas, 
e até mesmo um sistema de numeração, que ainda hoje 
é usado.
Veja alguns exemplos de uso do sistema de numeração 
romano: 
 no mostrador de relógios; 
 na indicação de capítulos e volumes de livros; 
 na designação de séculos;
 em nomes de papas e de reis e rainhas. 
IM
A
G
E
B
R
O
K
E
R
/A
LA
M
Y
/G
LO
W
 IM
A
G
E
S
Elaborado a partir de: Cláudio Vicentino. 
Atlas histórico: geral e Brasil. São Paulo: 
Scipione, 2011. p. 47.
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
345 3 428
ou
13
ou
19
40° N
MAR ADRIÁTICO
10° L
MAR
JÔNICO
MAR
TIRRENO
M A R M E D I T E R R Â N E O
Sicília
Córsega
Sardenha
ITÁLIA
Roma
FRANÇA
SAN
MARINO
BÓSNIA- 
-HERZEGÓVINA
CROÁCIA
HUNGRIA
ÁUSTRIA 
ALEMANHA
ESLOVÊNIA 
LIECHTENSTEIN
SUÍÇA
MALTA
MÔNACO 
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
200 km
Sugestão de atividade extra
• Após a apresentação das 
características do sistema de 
numeração egípcio, peça aos 
alunos que representem os 
números 12 e 21 nesse sistema.
• Pergunte a eles qual é a 
principal diferença entre 
a representação do registro 
no sistema egípcio e a que 
usamos hoje em dia. Ques-
tione também o que essa 
diferença poderia acarretar 
no dia a dia de quem usa-
va o sistema de numeração 
egípcio. 
Espera-se que os alunos per-
cebam que, pelo fato de o sis-
tema de numeração egípcio 
ser aditivo, os símbolos eram 
adicionados independente-
mente da ordem em que 
eram apresentados. Entre-
tanto, no sistema que usa-
mos hoje, isso não ocorre, 
pois respeitamos o valor 
posicional dos algarismos; 
logo, 12 não será confundido 
com 21, já que representam 
números diferentes.
 
Sugestão de leitura
• Anne Rooney. A história da 
Matemática: desde a criação 
das pirâmides até a explora-
ção do infinito. São Paulo: 
M.Books, 2012.
Nesse livro, são apresentadas 
as grandes proezas da hu-
manidade desde a época 
dos povos que viviam em 
cavernas até os dias de hoje. 
Permeiam a narrativa figuras 
importantes que con tribuíram 
com grandes des cobertas do 
universo da Matemática, como 
Pitágoras, Galileu, Pascal, 
Newton, entre outros. 
•No vídeo sugerido para complementar o estudo dos sistemas de numeração (veja indicação na página 12), o 
sistema romano também é abordado.
 
14
14
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
No sistema de numeração romano, há sete símbolos, que correspondem a letras maiús culas 
do alfabeto latino. Observe.
Nesse sistema de numeração:
 não existe símbolo que represente a ausência de quantidade (o número zero);
 os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos seguidamente até três vezes, e seus valores são 
adicionados;
 I 5 1 X 5 10 C 5 100 M 5 1 000
 II 5 2 XX 5 20 CC 5 200 MM 5 2 000
 III 5 3 XXX 5 30 CCC 5 300 MMM 5 3 000
 um símbolo colocado à esquerda de outro de maior valor indica que o menor valor deve ser 
subtraído do maior;
 IV 5 5 2 1 5 4 XL 5 50 2 10 5 40 CD 5 500 2 100 5 400
 IX 5 10 2 1 5 9 XC 5 100 2 10 5 90 CM 5 1 000 2 100 5 900
 Só podemos escrever:
• I antes de V e X;
• X antes de L e C;
• C antes de D e M.
 um símbolo colocado à direita de outro de valor igual ou maior indica a soma de seus valores;
 VII 5 5 1 2 5 7
 XXVIII 5 20 1 5 1 3 5 28
 CLXXVI 5 100 1 50 1 20 1 5 1 15 176
 MMLXV 5 2 000 1 50 1 10 1 5 5 2 065
 MMMDCCL 5 3 000 1 500 1 200 1 50 5 3 750
 um traço horizontal colocado sobre um número indica que o seu valor deve ser multiplicado 
por mil. 
 V 5 5 # 1 000 5 5 000
 LX 5 60 # 1 000 5 60 000
Com as mudanças econômicas, políticas e sociais que ocorreram ao longo da história, 
o sistema de numeração romano foi substituído pelo sistema de numeração decimal, que 
usamos hoje.
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1 000
• Durante a apresentação das 
regras do sistema de numera-
ção romano, verifique se os 
alunos apresentam alguma 
dificuldade. Peça que identi-
fiquem as características co-
muns e as diferenças entre os 
sistemas de numeração roma-
no e egípcio. 
 �Características comuns: não 
apresentam símbolo que 
represente a ausência de 
unidade (o zero). 
 �Diferenças: no sistema 
egípcio, os símbolos pode-
riam ser repetidos até nove 
vezes e a ordem da escrita 
não importava quando 
eram adicionados; já no 
sistema romano, os sím-
bolos fundamentais eram 
repetidos seguidamente 
até três vezes e a ordem 
importava na representa-
ção dos números. 
• Após a abordagem dos sis-
temas de numeração egípcio 
e romano, além de incen-
tivar os alunos a comparar 
esses sistemas, pode-se pedir 
que criem um sistema novo 
e compartilhem com os co-
legas. Eles devem perceber 
que a simples escrita ou a re-
presentação de um número 
não consiste em um sistema 
de numeração. É importante 
discutir padrões nessas re-
presentações, sem, contudo, 
abordar aspectos formais 
não adequados ao nível de 
escolaridade.
 
Veja sequência didática 1 do 
1o bimestre no Material do 
Professor – Digital.
15
15
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Lendo e aprendendo
Conhecimento indígena
Em pleno século XXI, muitos brasileiros ainda não conhecem a riqueza e a diversidade 
das culturas indígenas, acreditando que todos os grupos indígenas falam a mesma língua, 
têm os mesmos costumes e que sua cultura é primitiva, que é uma maneira de dizer que é 
inferior à nossa cultura. Esse é um erro muito comum.
Os povos indígenas do Brasil somavam, segundo o Censo IBGE 2010, 896.917 pessoas. 
Desse total, 324.834 viviam em cidades e 572.083 em áreas rurais. Atualmente, existem 
no território brasileiro 254 povos, que falam mais de 150 línguas diferentes. As línguas e as 
culturas indígenas ainda são pouco estudadas, mas algumas pesquisas mostram como é a 
organização do pensamento matemático em algumas dessas culturas.
Os grupos Aruak do Alto Xingu, por exemplo, têm uma forma bem diferente de contar. 
Eles não usam símbolos numéricos, e os cálculos são feitos pela correspondência 1 a 1, ou 
seja, uma pessoa do grupo não pensa, por exemplo: “Vou cortar quatro estacas de madeira 
para fazer uma casa”; ela pensa: “Vou cortar uma estaca para cada canto da casa”. Com esse 
tipo de raciocínio, não é preciso usar símbolos numéricos; por isso esse sistema funciona e 
é adequado para as necessidades dos povos que o utilizam.
Como você pode ver, cada povo cria e utiliza o que é mais adequado à sua realidade, então 
não existe cultura superior ou melhor que outra. Existem culturas diferentes, e conhecê-las 
nos ajuda a ampliar nossa compreensão sobre o mundo.
Fontes: <https://pib.socioambiental.org/pt/Línguas>, 
<http://www.educacao.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=15916> e 
<https://oprofessorweb.wordpress.com/2014/05/05/a-ciencia-indigena/>. 
Acessos em: 25 jul. 2018.
Para criar cestos 
e pás para virar 
beiju, como os 
da foto, entre 
outros objetos, 
é preciso utilizar 
um pensamento 
matemático 
cuja base está 
nas tradições 
indígenas e na 
transmissão 
oral dos 
conhecimentos.
R
U
B
E
N
S
 C
H
A
V
E
S
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
IS
M
A
R
 IN
G
B
E
R
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
Para criar cestos 
e pás para virar 
beiju, como os 
da foto, entre 
outros objetos, 
é preciso utilizar 
um pensamento 
matemático 
cuja base está 
nas tradições 
indígenas e na 
transmissão 
oral dos 
conhecimentos.
R
U
B
E
N
S
 C
H
A
V
E
S
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
R
U
B
E
N
S
 C
H
A
V
E
S
/O
TH
E
R
 IM
A
G
E
S
Se achar necessário, diga aos alunos que as imagens nesta 
página não foram apresentadas em escala de tamanho.
Sugestão de atividade extra
• Visando ao desenvolvimen-
to das competências gerais 1 
e 3 e da competência especí-
fica 1 e estimulando o apren-
dizado, o reconhecimento e 
a valorização de outras cultu-
ras e pontos de vista diversos, 
além de incentivar o trabalho 
em equipe com foco na or-
ganização do planejamento 
e na tomada de decisões, 
explore o texto do “Lendo e 
aprendendo”, promovendo, 
com o auxílio dos professo-
res de Geografia, História e 
Língua Portuguesa, uma ati-
vidade de pesquisa sobre as 
características, a riqueza e a 
diversidade das culturas in-
dígenas brasileiras. Pode-se 
organizar a turma em grupos 
e destinar a cada um deles 
um tema específico, como: 
Quem são? (apresentando as 
diferentes etnias); O que são 
as Terras indígenas? Como a 
Matemática está presente na 
cultura indígena? etc.
Sugestão de sites para a 
pesquisa
• Além dos apresentados 
como fonte do texto, a pes-
quisa de informações poderá 
ser feita nos seguintes sites 
(acessos em: 28 jul. 2018):
 � Fundação Nacional do Ín-
dio (Funai). Disponível em: 
<http://www.funai.gov.br/>. 
Site do órgão indigenista 
 oficial do Estado brasileiro, 
vinculado ao Ministério da 
Justiça. 
 � IBGE Educa 2 Jovens. Dispo-
nível em: <https://educa.ibge.
gov.br/jovens/conheca-o-brasil/
populacao/20506-indigenas.
html> e <https://educa.ibge.
gov.br/jovens/conheca-o-
brasil/territorio/18312-terras-
indigenas.html>. Dados es-
tatísticos sobre a população 
indígena brasileira e sobre a 
porção do Território Nacional, 
que é habitada por um ou 
mais povos indígenas. 
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural 
e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, 
 democrática e inclusiva.
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de 
 diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
https://pib.socioambiental.org/pt/L�nguas
http://www.educacao.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=15916https://oprofessorweb.wordpress.com/2014/05/05/a-ciencia-indigena/
http://www.funai.gov.br/
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20506-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20506-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20506-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20506-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html
https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html
16
16
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
a) 1
b) 170
c) 1o
d) 27
S
C
O
TT
 B
A
R
B
O
U
R
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
codificar
medir
ordenar
contar
Resposta pessoal.
I, V, X, L, C, D e M
I, X, C e M
Não, pois XL vale 40 e LX, 60.
Seu valor é 
multiplicado por 1 000.
1532: MDXXXII; 1699: MDCXCIX; 
1765: MDCCLXV
 1 Os números têm quatro importantes funções:
• contar;
• ordenar;
• medir;
• codificar.
Leia o texto abaixo.
 3 Escreva com símbolos egípcios:
a) o ano em que você nasceu;
b) o número de alunos da sua turma;
c) o ano atual.
 2 Escreva três situações do dia a dia em que 
você utiliza números.
 4 Responda às questões.
a) Quais eram os símbolos usados pelos 
romanos para escrever os números? 
b) Quais são os símbolos que podem ser 
repetidos seguidamente no sistema de 
numeração romano? 
c) O número XL tem o mesmo valor que LX?
d) O que acontece com o valor do número 
VII quando colocamos um traço hori-
zontal sobre ele? 
 5 Leia o texto abaixo.
O forte mais antigo do Brasil foi erguido 
em Bertioga, no litoral sul do estado de 
São Paulo, em 1532. Destruído em uma 
guerra com os tupinambás, o forte foi recons-
truído e reaberto em 1699. A partir de 1765, 
passou a ser chamado de Forte de São João. 
Atualmente, é protegido pelo Instituto do 
Patrimônio Histórico e Artístico Nacional 
(Iphan).
• Escreva os números que aparecem no 
texto usando o sistema de numeração 
romano.
 6 Represente os números 130 e 310 no siste-
ma egípcio e no sistema romano e, depois, 
responda: quais são as características 
comuns e as diferenças entre os sistemas 
de numeração egípcio e romano?
Grand Slam
Nome usado para indicar 
os quatro eventos mais 
importantes de tênis do ano: 
o Australian Open (Austrália), 
o Torneio de Roland -Garros 
(França), o Torneio de 
Wimbledon (Ingla terra) 
e o US Open (EUA).
R
U
B
E
N
S
 C
H
A
V
E
S
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
Forte de São João, Bertioga, SP, 2016.
Caroline 
Wozniacki, 
vencedora 
do Aberto 
da Austrália, 
2018.
• Agora, classifique os números selecio-
nados nos itens a seguir, de acordo com 
suas funções no texto.
Em uma partida que durou 170 minutos, 
a dinamarquesa Caroline Wozniacki, de 
27 anos, venceu a romena Simona Halep 
e conquistou o Aberto da Austrália, o 1o troféu 
de Grand Slam de sua carreira. Com essa 
vitória, a tenista tornou-se a número 1 
do mundo.
Respostas 
pessoais.
130
CXXX
310
CCCX
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: 
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
• As atividades referentes 
aos tópicos apresentados até 
aqui podem ser propostas 
em articulação com desafios 
que demandem observação 
de regularidades, identifi-
cação de padrões e explicita-
ção de ideias tanto oralmen-
te como na forma escrita. A 
utilização de desafios facilita 
a com preensão do conceito 
de sistema de numeração.
• Na atividade 2, os alunos 
poderão responder: identi-
ficação do número de uma 
casa, numeração dos calça-
dos, data, quantidade de 
pontos marcados em uma 
partida de futebol, colocação 
do time no campeonato etc. 
• Na atividade 3, para ajudar 
na compreensão das caracte-
rísticas de cada sistema visto, 
peça aos alunos que também 
escrevam os números com 
os símbolos romanos. Isso os 
ajudará a identificar as carac-
terísticas comuns e as diferen-
ças entre os sistemas egípcio 
e romano. 
• No item c da atividade 4, 
verifique se todos os alunos 
chegam à conclusão de que 
no sistema de numeração 
romano a ordem em que os 
símbolos são representados 
altera o valor do número.
• Na atividade 6, espera-se 
que os alunos deem como 
características comuns: não 
apresentam símbolo que re-
presenta a ausência de quan-
tidade e são sistemas aditivos; 
e como diferenças: no sistema 
egípcio, os símbolos podiam 
ser repetidos até 9 vezes e 
não importava a ordem em 
que eram escritos; já no sis-
tema romano, apenas alguns 
símbolos são repetidos segui-
damente (até 3 vezes) e a or-
dem dos símbolos importa na 
representação dos números. 
 
17
17
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Se achar necessário, diga aos alunos que as imagens nesta página não foram apresentadas em escala de tamanho.
Sistema de numeração decimal2
O sistema de numeração mais utilizado 
atualmente é o indo-arábico. As regras 
desse sistema foram inventadas pelos 
hindus, mas foram os árabes que, ao invadir 
a Europa, levaram-no para lá no século XIII; 
daí o nome “indo-arábico”.
Nesse sistema são utilizados dez sím-
bolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, denomi-
nados algarismos. A palavra algarismo 
tem origem no nome do matemático árabe 
Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi. Ele foi 
responsável pela introdução desse sistema 
de numeração na Europa e pelos estudos 
iniciais de Álgebra. Como esse sistema é 
decimal, também o chamamos de sistema 
de numeração decimal.
Esse sistema é posicional. Com seus 10 
símbolos é possível representar qualquer 
número de forma simples, o que não ocorre 
com o sistema egípcio, em que, por exem-
plo, para representar o valor 100 000 000, 
seria preciso repetir 100  vezes o símbolo 
 , que vale 1 000 000.
O sistema de numeração decimal obedece às seguintes regras e orientações:
 Existe um símbolo que representa a ausência de quantidade: o zero (0).
 A contagem de grupos com menos de 10 elementos é feita por meio da associação do 
número de elementos de determinado grupo a um algarismo indo-arábico. Observe:
ORIGEM E DIFUSÃO DO SISTEMA 
DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
Elaborado a partir de: Graça Maria Lemos Ferreira. 
Atlas geográfico: espaço mundial. 
São Paulo: Moderna, 2016. p. 12-13.
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
1.430 km
M C D U
M C D U
representação de 
3 unidades no ábaco
3 patinetes
representação de 
9 unidades no ábaco
LI
LK
IN
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
9 amoras
VA
LE
N
TI
N
A
 R
A
Z
U
M
O
VA
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
• Com esse tópico, damos con-
tinuidade ao desenvolvimen-
to da habilidade EF06MA02, 
apresentando as principais ca-
racterísticas sobre o sistema de 
numeração decimal.
• Se achar oportuno, apresen-
te o trecho do vídeo indicado 
como sugestão na página 12, 
que traz um breve relato so-
bre a origem dos algarismos 
indo-arábicos. 
• Oriente os alunos a cons-
truir um ábaco. Comente com 
eles que o instrumento pode-
rá ser usado para facilitar a 
visualização de situações e a 
melhorar a compreensão da 
aritmética. Assim, eles po-
derão realizar as atividades 
propostas nesse tópico por 
meio da manipulação desse 
material.
Sugestão de atividade extra
• Material: uma caixa de 
ovos (cortar e deixar apenas 
uma fileira da base da caixa, 
com seis gomos) para a base, 
seis palitos de churrasco, ar-
golas ou tampas de garrafaPET com um furo no centro 
da base para passar pelos 
palitos.
• Deve-se marcar na caixa de 
ovos as posições nas quais os 
palitos serão fixados, corres-
pondendo a cada determina-
da posição (unidade, dezena 
etc.). Em seguida, posicio-
nam-se os palitos (verifique 
se há necessidade de utilizar 
cola para fixá-los). Se optar 
pela utilização das tampas 
de garrafa PET, todas devem 
ter o mesmo tamanho e pre-
ferencialmente a mesma cor, 
a fim de facilitar a compreen-
são dos alunos. As tampas 
precisam ser perfuradas, o 
que pode dificultar a cons-
trução do ábaco.
18
18
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
1ª
 or
de
m
2ª
 or
de
m
1ª
 or
de
m
0
1 dezena
0 unidade
1
M C D U M C D U
 Observe que 10 unidades de 1a ordem correspondem a 1 unidade de 2a ordem. Ou seja, 
1 dezena corresponde a 10 unidades.
FE
D
O
R
O
V
 O
LE
K
S
IY
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
10 escovas 
de dente
 É possível representar um grupo de 10 elementos assim:
6
2 dezenas
6 unidades
2
M C D U
3
6 dezenas
3 unidades
6
M C D U
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
 A contagem de grupos com mais de 10 e menos de 100 elementos é feita pela associação do 
número de elementos de determinado grupo a um número de dois algarismos, por meio da 
notação posicional. Veja:
2 # 10 1 6 5 26 6 # 10 1 3 5 63
 É importante destacar o valor posicional do algarismo 6 nos dois números estudados:
O valor posicional do 
algarismo 6 é 60.
63
O valor posicional do 
algarismo 6 é 6.
26
1
a or
de
m
9 # 10
9 1 1
M C D U
 Observe que 10 unidades de 2a ordem correspondem a 1 unidade de 3a ordem, ou seja, 
1 centena corresponde a 10 dezenas.
 Como 100 5 9 # 10 1 9 1 1, é possível representar um grupo com 100 elementos assim:
9 # 10 1 9 1 1 5 100
2
a or
de
m
10 # 10
M C D U
 or
de
m
01 0
1
a or
de
m
2
a or
de
m
3
a or
de
m
1 centena
0 dezena
0 unidade
U M C D U
• As peças (tampas ou argo-
las) utilizadas no ábaco cons-
truído (sugestão de atividade 
extra da página 17) podem 
ajudar na resolução de pro-
blemas envolvendo mudança 
de base.
• O sistema de numeração 
decimal possibilita a discus-
são sobre o valor posicional. 
Retome com os alunos o con-
ceito das representações dos 
números 12 e 21 no sistema 
egípcio e peça que registrem 
esses números no sistema 
romano, comparando esse 
registro com o sistema que 
usamos hoje: o sistema de 
numeração indo-arábico. Os 
alunos poderão representar 
esses números no ábaco, ve-
rificando o valor posicional 
de cada um dos algarismos 
(1 e 2).
 
19
19
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
523
3 centenas
2 dezenas
5 unidades
M C D U
246
6 centenas
4 dezenas
2 unidades
M C D U
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
3 # 100 1 2 # 10 1 5 5 325 6 # 100 1 4 # 10 1 2 5 642
 A contagem de grupos que apresentam de 100 a 1 000 elementos é feita pela associação 
do número de elementos de determinado grupo a um número de três algarismos, por meio 
da notação posicional. Veja:
Um pouco de história
SANTI S/SHUTTERSTOCK
O ábaco
O ábaco é um dos mais antigos instrumentos de cálculo. 
É utilizado em contagens e operações matemáticas. 
Não sabemos com certeza quando e onde ele surgiu, 
mas sabemos que os antigos romanos o utilizavam, 
pois há registros históricos do século I d.C. que 
mostram um funcionário com uma tábua de 
cálculos semelhante a um ábaco.
Também utilizado na China e no Japão, o ábaco faci-
litava os cálculos de comerciantes e vendedores. Muitas vezes, 
o vendedor não sabia ler ou escrever, mas era muito hábil ao fazer cálculos, 
com várias operações, usando o ábaco.
Em 1945, no Japão, houve uma competição com o objetivo de provar que as modernas 
calculadoras elétricas americanas eram superiores aos tradicionais ábacos. Os competidores 
eram um japonês que usava um ábaco em seus cálculos e um soldado americano que utilizava 
uma calculadora elétrica. Depois de disputar cinco partidas, com cálculos cada vez mais 
complicados, chegou-se ao resultado final: o japonês do ábaco venceu o soldado americano 
da calculadora por 4 a 1.
Ao longo da história, diferentes tipos de ábaco foram inventados. Em um dos modelos 
mais simples, a correspondência é feita com contas móveis dispostas em fileiras paralelas, 
que representam as unidades, as dezenas, as centenas etc. O ábaco facilita tanto o registro 
dos objetos quanto a leitura das contagens.
Fontes: Georges Ifrah. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1996; 
Carl Boyer; Uta C. Merzbach. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural 
e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, 
 democrática e inclusiva.
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de 
 diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Um pouco de história
• Esta seção visa promover 
o desenvolvimento das com-
petências gerais 1 e 3 e da 
competência específica 1 da 
BNCC. 
20
20
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 O sistema de numeração decimal é posicional já que o mesmo algarismo representa 
quantidades diferentes, de acordo com a posição que ocupa no número.
 Na contagem de grupos com 1 000 ou mais elementos, devemos escrever os algarismos 
agrupados em classes, considerando que cada classe é formada por 3 ordens, definidas da 
direita para a esquerda. Observe:
 À esquerda da classe dos bilhões, são representadas a dos trilhões, a dos quatrilhões, a dos 
quintilhões, a dos sextilhões e assim por diante.
12a
ordem: 
centenas
de bilhão
11a
ordem: 
dezenas
de bilhão
10a
ordem: 
unidades
de bilhão
9a
ordem: 
centenas
de milhão
8a
ordem: 
dezenas
de milhão
7a
ordem: 
unidades
de milhão
6a
ordem: 
centenas
de milhar
5a
ordem: 
dezenas
de milhar
4a
ordem: 
unidades
de milhar
3a
ordem: 
centenas
2a
ordem: 
dezenas
1a
ordem: 
unidades
4a classe: bilhões 3a classe: milhões 2a classe: milhares 1a classe: unidades simples
Quadro de ordens
4a 3a 2a 1a
5 4 7 8
Quadro de ordens
5a 4a 3a 2a 1a
6 3 0 4 2
Quadro de ordens
6a 5a 4a 3a 2a 1a
7 2 3 1 3 2
• 5 478 É formado por cinco unidades de milhar, quatro centenas, sete dezenas e oito unidades.
 5 478 5 5 000 1 400 1 70 1 8
 ou
 5 478 5 5 # 1 000 1 4 # 100 1 7 # 10 1 8
• 63 042 É formado por seis dezenas de milhar, três unidades de milhar, quatro dezenas e duas unidades.
 63 042 5 60 000 1 3 000 1 40 1 2
 ou 
 63 042 5 6 # 10 000 1 3 # 1 000 1 4 # 10 1 2
• 723 132 É formado por sete centenas de milhar, duas dezenas de milhar, 
três unidades de milhar, uma centena, três dezenas e duas unidades.
 723 132 5 700 000 1 20 000 1 3 000 1 100 1 30 1 2
 ou 
 723 132 5 7 # 100 000 1 2 # 10 000 1 3 # 1 000 1 1 # 100 1 3 # 10 1 2
Exemplos
Observe o valor posicional de cada algarismo.
Observe o valor posicional de cada algarismo.
 Observe o valor 
posicional de cada 
algarismo.
• Peça aos alunos que representem os números no ábaco: 5 478, 63 042 e 723 132. Isso poderá ajudá-los a 
observar melhor o valor posicional de cada algarismo, facilitando a compreensãodo conceito de classes e 
a decomposição dos números. Caso considere necessário, peça aos alunos que representem outros números e, 
então, indiquem o valor posicional de cada algarismo e decomponham esses números. 
 
• Nesse momento, verifique 
se os alunos compreenderam 
as principais características 
do sistema decimal:
 � a base do sistema é 10, 
pois a contagem é feita em 
agrupamentos de 10 em 10 
(o ábaco poderá ajudar nes-
sa compreensão); 
 � é preciso respeitar o valor 
posicional dos algarismos, 
pois um mesmo algarismo, 
dependendo da notação 
posicional em que se encon-
tra (unidade, dezena, cente-
na etc.), terá um valor dife-
rente (12 é diferente de 21);
 � existe um símbolo que 
representa a ausência de 
quantidade: o zero (0). 
É importante discutir as ca-
racterísticas, sem, contudo, 
abordar aspectos formais 
não adequados ao nível de 
escolaridade.
• Pergunte aos alunos se 
nos sistemas vistos até aqui 
(egípcio e romano) existia 
um símbolo que representa-
va a ausência de quantidade. 
Espera-se que eles digam que 
nesses sistemas não existe tal 
símbolo.
21
Observação
21
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Quadro de ordens
4a 3a 2a 1a
0 2 3 5
Quadro de ordens
4a 3a 2a 1a
2 3 5 0
Lendo e aprendendo
Base de um sistema de numeração
No sistema de numeração decimal, a contagem é feita agrupando os objetos de 10 em 10. 
Porém, existem situações em que utilizamos agrupamentos diferentes de 10 para contar. 
Por exemplo:
Em uma contagem, o número de elementos do agrupamento é chamado de base. 
Assim, na contagem de bananas, ovos e laranjas, é comum usarmos a base 12; já na 
contagem do tempo, utilizamos a base 60. Os computadores digitais operam no sistema 
binário (base 2), isto é, todas as informações são armazenadas ou processadas no compu-
tador com a utilização de apenas dois algarismos: 0 e 1.
Bananas, ovos, laranjas etc. costumam 
ser agrupados de 12 em 12 (em dúzias).
A contagem do tempo, desde os antigos babilônios, 
é feita de 60 em 60 (60 segundos correspondem a 
1 minuto, e 60 minutos correspondem a 1 hora).
R
U
S
LA
N
 IV
A
N
TS
O
V
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
 em dúzias em grupos de 60
MTKANG
/SH
U
TTE
R
S
TO
C
K
Veja os números 235 e 2 350 representados no quadro de ordens. 
Nesse caso, o valor que indica a maior ordem é o 2, que representa duas centenas.
Caso o zero esteja no quadro de ordens e não exista outro valor (diferente de zero) à sua 
esquerda, ele deve ser desconsiderado. Então, não consideramos o zero à esquerda do 2 para 
determinar a ordem desse número.
Nesse caso, o valor que indica maior ordem é o 2, que representa duas unidades de milhar, 
ou seja, consideramos o zero, pois há outros valores à sua esquerda: 5, 3 e 2.
Lendo e aprendendo 
• Para ajudar os alunos com 
relação ao conceito de base 
numérica, sugerimos que 
apresente o intervalo do ví-
deo indicado a seguir rela-
cionado a esse tema. 
Sugestão de atividade extra
• O vídeo sugerido ainda 
apresenta a base numérica de 
outros sistemas de numera-
ção, como o maia e o babilô-
nico, os quais não serão abor-
dados nesta obra. Se achar 
oportuno o enriquecimento 
do estudo sobre sistemas de 
numeração, proponha uma 
pesquisa sobre os sistemas 
maia e babilônico, pedindo 
que ressaltem as característi-
cas de cada um, como a quan-
tidade de símbolos usados, se 
o sistema é posicional ou se é 
aditivo.
 
Sugestão de vídeo 
• Episódio 2 2 Tema: Números naturais e base numérica 2 Série: A Matemática na História.
• Descrição: A equipe do Jornal Numeral exibe uma matéria sobre os números naturais, mostrando quais são e 
como são utilizados no dia a dia. Os repórteres também apresentam o conceito de base numérica e discutem 
o significado matemático de expressões como um meio, um quarto e um oitavo.
Disponível em: <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_
matematica_b.html>. Acesso em: 29 jul. 2018.
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_b.html
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_b.html
22
22
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no cadernoATIVIDADES Faça as atividades no caderno.
M C D U
M C D UM C D U
M C D U
a) c)
d)b)GU
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
base 100
base 60; resposta pessoal
268, 286, 628, 682, 
826 e 862
753
8 560
10 070
2 600 098
36
7 009284
a) Quantas ordens tem esse número? 
b) Qual é o algarismo da quarta ordem? 
c) Qual é o algarismo que representa a 
ordem das centenas? 
d) Qual é o algarismo que representa a 
maior ordem? 
e) Quantas classes tem esse número? 
9 678
duas décadas e dois anos
cinco décadas
seis décadas e nove anos
duas semanas e um dia
oito semanas
31 semanas
578
7 895
25 438
508 503
quatro
9
6
duas
9
 2 Escreva o número formado por:
a) sete centenas mais cinco dezenas mais 
três unidades; 
b) oito unidades de milhar mais cinco 
centenas mais seis dezenas; 
c) uma dezena de milhar mais sete 
de zenas; 
d) duas unidades de milhão mais seis cen-
tenas de milhar mais nove dezenas 
mais oito unidades.
 3 Usando os algarismos 2, 6 e 8, sem 
repeti-los, escreva seis diferentes números 
de três algarismos. 
 4 Que base utilizamos para contar folhas de 
papel em pacotes de 100 unidades?
 5 Na contagem do tempo (minutos e se-
gundos), qual é a base utilizada? Explique, 
com suas palavras, como funciona a 
contagem do tempo com essa base.
 6 As décadas são contadas em agrupamentos 
de 10 anos. Assim, 36 anos correspondem 
a três décadas e seis anos.
 Escreva no caderno, de forma semelhante, 
o correspondente a:
a) 22 anos;
b) 50 anos;
c) 69 anos.
 10 Em uma calculadora, digite as teclas 3, 5, 
3 e 8, nessa ordem.
a) Que número aparece no visor?
b) Com que valor posicional ficou o alga-
rismo 3 após você teclar 8?
c) Se você teclar 2 após teclar 8, qual será 
o novo valor posicional do algarismo 3?
 9 Observe o número abaixo e responda às 
questões.
 7 As semanas são contadas em agrupamen-
tos de sete dias. Assim, 20 dias corres-
pondem a duas semanas e seis dias. 
Escreva no caderno, de modo semelhante, 
o correspondente a:
a) 15 dias;
b) 56 dias;
c) 217 dias.
 8 Determine o número formado por:
a) (5 # 100) 1 (7 # 10) 1 8
b) (7 # 1 000) 1 (8 # 100) 1 (9 # 10) 1 5
c) (2 # 10 000) 1 (5 # 1 000) 1 
1 (4 # 100) 1 (3 # 10) 1 8 
d) (5 # 100 000) 1 (8 # 1 000) 1 
1 (5 # 100) 1 3
 1 Escreva, utilizando algarismos, os números 
representados nos ábacos.
 11 Em um campeonato de 
lançamento de dardos, 
Pedro lançou 15 dardos, 
atingindo o disco con-
forme mostra a figura 
ao lado.
 Quantos pontos Pedro 
obteve?
o novo valor posicional do algarismo 3?
peonato de 
lançamento de dardos, 
Pedro lançou 15 dardos, 
atingindo o disco con-
forme mostra a figura 
Quantos pontos Pedro 
3 518
3 538
3 000 e 30
30 000 e 300
366 pontos
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Como propusemos anterior-
mente, o ábaco poderá ser 
utilizado na resolução das ativi-
dades, principalmente nas ati-
vidades 2, 6, 8 e 11, que abor-
dam o sistema de numeração 
decimal. 
• As atividades 4, 5 e 7 abor-
dam bases diferentes da base 
10 (base decimal) 2 base 100, 
base 60 e base 7, respectiva-
mente. Para resolver a ativida-
de 7, os alunos poderão utili-
zar o ábaco como norteador, 
porém terão que se orientar 
conforme a nova base: base 7, 
já que 1 semana equivale a 
7 dias.
• Na atividade 6, observe se 
os alunos compreendem que 
a base utilizada para décadas 
e anos é a base 10, já que 
1 década equivale a 10 anos. 
Assim, poderão utilizar o 
ábaco para auxiliá-los, porém 
a haste da unidade passa a 
representar a haste dos anos 
e a haste que representa asdezenas passa a representar 
as décadas.
 
23
23
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
176 limões
Um pouco de história
FR
E
N
C
H
 S
C
H
O
O
L 
(1
7T
H
 C
E
N
TU
R
Y
/A
R
C
H
IV
E
S
 C
H
A
R
M
E
T/
B
R
ID
G
E
M
A
N
 IM
A
G
E
S
/K
E
Y
S
TO
N
E
 B
R
A
S
IL
 –
 C
O
N
S
E
R
VA
TO
IR
E
 
N
AT
IO
N
A
L 
D
E
S
 A
R
TS
 E
T 
M
E
TI
E
R
S
, P
A
R
IS
La pascaline (1642).
A calculadora
A calculadora é um instrumento utilizado para realizar operações aritméticas. A primeira 
calculadora manual que se conhece, chamada de la pascaline, foi inventada por Blaise Pascal 
(1623-1662) em 1642. Essa calculadora está exposta no Conservatório de Artes e Medidas 
de Paris.
ou
�
�
�
�
OFF
ACCE
ON
MRC
•
M–
M+
�
%
Liga
Apaga valores do visor
Desliga
Lê a memória
Adiciona
Representa a vírgula
Subtrai
Multiplica
Divide
Calcula a raiz quadrada
Calcula a porcentagem
Indica o resultado
Indica memória mais
Indica memória menos
S
E
R
G
IG
N
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
 12 Carla contou os limões 
que havia levado à feira 
para vender. Para cada 
grupo de 10 limões, ela 
fez um traço, conforme 
mostra a ilustração. 
Terminada a contagem, 
sobraram seis limões 
em cima da mesa.
Quantos limões ela levou para a feira?
 13 Retome as representações dos números 
130 e 310 nos sistemas de numeração 
egípcio e romano, da atividade 6 da 
página 16, e faça o que se pede.
a) Represente esses números no ábaco e 
verifique o valor posicional de cada 
um dos algarismos (0, 1 e 3). 
b) Compare os sistemas vistos até aqui: 
egípcio, romano e indo-arábico. 
Como sugestão, apresente para os alunos diferentes modelos de calculadora.
Blaise Pascal nasceu em Clermont-Ferrand, na França, e foi filósofo e matemático. 
Pascal inventou sua calculadora para agilizar os cálculos que eram feitos com o ábaco, mas 
sua invenção, apesar de eficiente, só podia ser utilizada em adições e subtrações.
Posterior mente, em 1694, o matemático alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) criou 
um mecanismo que permitia fazer multiplicações por meio de adições repetidas. Em 1822, 
Charles Babbage (1791-1871) construiu uma pequena máquina de somar e, em 1833, criou 
uma máquina de subtração, precursora do computador digital.
Na maioria das calculadoras modernas, encontramos estas teclas:
• Antes de iniciar a correção 
da resolução da atividade 12, 
peça aos alunos que levan-
tem situações em que não 
utilizamos os algarismos para 
representar números. Espera-
-se que eles citem os núme-
ros romanos e/ou marcações 
como pontinhos e risquinhos 
(como a usada na ilustração 
da atividade). 
Amplie a atividade propon-
do a seguinte situação: Carla, 
além das marcações indica-
das, usou outras, conforme 
ilustração a seguir. Então, 
questione os alunos: “Com 
qual delas é mais fácil fazer a 
contagem?”.
Espera-se que os alunos per-
cebam que contar de cinco 
em cinco é algo que nos pa-
rece mais natural – prova-
velmente por termos cinco 
dedos nas mãos. Esse pode 
ser um dos motivos que leva-
ram a humanidade a manter 
como preferência a base 10, 
ainda que utilizemos outras 
bases em alguns casos.
• Na atividade 13, verifique 
se os alunos compreenderam 
as principais características 
do sistema decimal: que a 
base do sistema é 10, é um 
sistema posicional e possui 
símbolo para representar 
a ausência de quantidade 
(zero). A atividade favorece 
o desenvolvimento da habi-
lidade EF06MA02, solicitando 
aos alunos que destaquem 
semelhanças e diferenças do 
sistema de numeração deci-
mal com os demais sistemas 
vistos no capítulo.
 
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
T
E
L
24
24
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Saber ler e escrever números pode ser muito útil em situações do cotidiano, como reconhecer 
e distinguir valores.
Para ler um número:
1o) separamos o número em classes;
2o) lemos, da esquerda para a direita, o número formado em cada classe, seguido do nome 
da classe.
De modo inverso, se conhecemos a leitura de um número, podemos escrevê-lo usando 
 algarismos. Observe:
• setenta e três mil, seiscentos e oitenta e dois
Milhares Unidades simples
7 3 6 8 2 73 682
Bilhões Milhões Milhares Unidades simples
2 0 1 3 0 0 0 5 0 6 2 013 000 506
• dois bilhões, treze milhões, quinhentos e seis
 Leitura e escrita de um número no sistema decimal
Observação
Quando todas as ordens de uma classe são formadas por zero, não lemos essa classe.
Veja um exemplo:
8 000 321
trezentos e vinte e um
oito milhões
Lemos: oito milhões, trezentos e vinte e um.
duzentos e setenta
trinta e quatro mil
seis milhões
dezessete
trezentos e dezesseis mil
dezenove milhões
um bilhão
• 1 019 316 017
 Lemos: seis milhões, trinta e quatro mil, duzentos e setenta.
 Lemos: um bilhão, dezenove milhões, trezentos e dezesseis mil e dezessete.
Exemplos
• 6 034 270
• O conteúdo desenvolvido 
neste tópico favorece o de-
senvolvimento da habilidade 
EF06MA01, apresentando a 
leitura e a escrita de números, 
e da habilidade EF06MA02, 
com a composição e a decom-
posição de números. Peça aos 
alunos que digam em que 
situações do cotidiano encon-
tramos o registro escrito de 
números. Se possível, solicite 
que levem exemplos. Eles po-
dem citar o preenchimento 
de recibos, o emprego em 
notícias veiculadas nos meios 
de comunicação etc. Nesse 
último caso, podem citar os 
números de forma abreviada; 
por exemplo, 9 bi, que corres-
ponde a 9 bilhões, conforme 
será visto na página 25.
 
25
25
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Um número pode ser representado de várias maneiras.
 Vamos considerar, por exemplo, o número 8 515 767, que corresponde, aproximadamente, 
à medida da superfície do Brasil em quilômetro quadrado. 
 Podemos representá-lo:
• com algarismos: 8 515 767;
• com palavras: oito milhões, quinhentos e quinze mil, setecentos e sessenta e sete;
• com algarismos e palavras: 8 milhões, 515 mil e 767;
• por meio da decomposição: 8 000 000 1 500 000 1 10 000 1 5 000 1 700 1 60 1 7 ou
 8 # 1 000 000 1 5 # 100 000 1 1 # 10 000 1 5 # 1 000 1 7 # 100 1 6 # 10 1 7.
Observações
Mídia
Conjunto dos meios 
de comunicação de 
massa.
1 Para facilitar a leitura de números naturais grandes, a mídia costuma 
apresentá-los de forma abreviada, usando uma vírgula. 
 Veja:
 Segundo a ONU, em 2017 havia no mundo 1,7 bilhão de pessoas 
vivendo em moradias inadequadas.
 1,7 bilhão correspondem a um bilhão e setecentos milhões ou 1 700 000 000.
2 Em alguns textos, a palavra milhão é substituída por mi, e a palavra bilhão, por bi. 
Observe:
 A população brasileira deve chegar a 233 mi de pessoas em 2050, segundo 
 projeções da ONU.
 233 mi correspondem a duzentos e trinta e três milhões ou 233 000 000.
 De acordo com estimativas da ONU, na Terra haverá 9,8 bi de 
pessoas em 2050.
 9,8 bi correspondem a nove bilhões e oitocentos milhões ou 9 800 000 000.
Estimativa
Cálculo para obter 
um resultado apro-
ximado. 
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
1 330 km
Mapa elaborado a partir de: Graça Maria Lemos Ferreira. Atlas geográfico: 
espaço mundial. São Paulo: Moderna, 2013. p. 119.
M
A
PA
: A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
IL
U
S
TR
A
Ç
Ã
O
: E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Se achar conveniente, mos-
tre outras formas de represen-
tação dos números. Durante 
o processo de decomposição, 
esclareça as possíveis dúvidas 
que surgirem. Entender o pro-
cesso de decomposição de um 
número facilitará a compreen-
são das operações com núme-
ros, auxiliando no desenvolvi-
mento de estratégias para o 
cálculo mental.
 
2626
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
O Brasil ganhou medalha de ouro no futebol masculino 
ao vencer a Alemanha no estádio do Maracanã, no Rio de 
Janeiro, em 20 de agosto de 2016.
S
IM
O
N
 B
R
U
TY
/S
P
O
R
TS
 IL
LU
S
TR
AT
E
D
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
12 106
912 300
1 010 013
90 016 008
2 012 100 000
dois bi
1. a) trezentos e quarenta e cinco
 b) mil, seiscentos e setenta e 
nove
 c) oito mil, novecentos e 
cinquenta
 d) oitocentos e quinze mil e 
duzentos
 e) dezoito milhões, quinhentos 
e quarenta mil e trinta e cinco
 f ) noventa e cinco milhões, 
treze mil e seiscentos
sete milhões, seiscentos 
e cinquenta e quatro mil, trezentos e vinte e um
026-f-nova-MCP6-C01-G20
<Foto da seleção brasileira 
masculina de futebol levantan-
do a taça de campeã no Rio de 
Janeiro em 2016.>
 2 Escreva os números a seguir usando alga-
rismos indo-arábicos.
a) Doze mil, cento e seis.
b) Novecentos e doze mil e trezentos.
c) Um milhão, dez mil e treze.
d) Noventa milhões, dezesseis mil e oito.
e) Dois bilhões, doze milhões e cem mil.
 1 Escreva como se leem os números abaixo.
a) 345
b) 1 679 
c) 8 950 
d) 815 200
e) 18 540 035
f) 95 013 600
 4 Luciana efetuou, em um caixa eletrônico, 
o pagamento das contas de água, energia, 
telefone, aluguel e condomínio. O valor 
da conta de água era igual a quarenta e 
cinco reais. Veja o valor das demais contas 
e escreva por extenso essas quantias.
Energia elétrica ...................... R$ 86,00
Telefone .................................. R$ 127,00
Aluguel .................................... R$ 415,00
Condomínio ............................ R$ 169,00
 5 O tiranossauro rex viveu há 145 000 000 
de anos, e o tricératops, há 67 000 000 de 
anos. Escreva esses números por extenso.
 6 Escreva os números destacados nas frases 
abaixo usando mi para milhões e bi para 
bilhões.
a) A abertura dos Jogos Olímpicos do Rio 
de Janeiro, em 2016, foi vista por mais 
de 2 000 000 000 de pessoas. 
b) A partida final do futebol masculino, 
entre Brasil e Alemanha, nas Olimpíadas 
do Rio de Janeiro em 2016, foi assistida 
por mais de 25 000 000 de pessoas.
 7 Forme dupla com um colega e leiam 
atentamente o texto abaixo.
Em uma cidade, foram reciclados durante 
um ano os seguintes materiais: papel 
(110 248 080 kg), vidro (45 230 196 kg) e 
plástico (7 500 420 kg).
Agora, respondam:
a) De que material foram reciclados aproxi-
madamente 45 milhões de quilogramas?
b) De que material foram reciclados aproxi-
madamente 100 milhões de quilogramas?
• Escrevam um pequeno texto sobre a 
importância da reciclagem de resíduos. 
 3 Lucas digitou as teclas 7, 6, 5, 4, 3, 2 e 1, 
nessa ordem, em sua calculadora. Escreva 
como se lê o número que Lucas obteve no 
visor da calculadora. 
5. 145 000 000: cento e quarenta e cinco milhões
 67 000 000: sessenta e sete milhões
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
4. Energia elétrica: oitenta e seis reais
 Telefone: cento e vinte e sete reais
 Aluguel: quatrocentos e quinze reais
 Condomínio: cento e sessenta e nove reais
vinte e cinco mi
Resposta pessoal.
7. a) vidro
 b) papel
• Para resolver os itens da ati-
vidade 7, os alunos poderão 
representar os números de 
outra forma:
 � papel: 110 milhões, 248 mil 
e 80; 
 � vidro: 45 milhões, 230 mil 
e 196;
 � plástico: 7 milhões, 500 mil 
e 420.
Com isso, foram recicladas 
a pro ximadamente 45 milhões 
de quilogramas de vidro 
(item a) e aproximadamente 
100 milhões de quilogramas 
de papel (item b).
Essa atividade abre espaço 
para que se converse com 
os alunos sobre formas de 
gerar menos lixo e recicla-
gem, favorecendo o desen-
volvimen to da competência 
geral 7, podendo levá-los à 
conclusão de como essa redu-
ção associada à reciclagem de 
lixo diminui o impacto causa-
do ao meio ambiente.
 
Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, 
pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo 
responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do 
planeta.
27
27
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Os números são usados em diferentes situações. Observe como eles aparecem na notícia 
abaixo, que trata da inclusão de pessoas com deficiência através da arte.
Os números 15 e 29, destacados no texto, são exemplos de números naturais. 
Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos a sequência dos números 
naturais.
Os números naturais dessa sequência formam um conjunto numérico, denominado conjunto 
dos números naturais, que pode ser assim representado: 
v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...}
Observando a sequência dos números naturais, verificamos que:
 Todo número natural tem um sucessor, também natural e único, e é obtido pelo acréscimo 
de uma unidade a ele.
 Como todo número natural tem um sucessor, a sequência dos números naturais é infinita.
N
IL
S
O
N
 C
A
R
D
O
S
O
Os números naturais3
• O sucessor de 0 é 1, pois: 0 1 1 5 1
• O sucessor de 99 é 100, pois: 99 1 1 5 100
Exemplos
C
A
R
LO
S
 A
N
G
E
L/
B
A
R
C
R
O
FT
 M
E
D
IA
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
Jovens artistas ministram oficina de pintura com os pés e a boca em São Paulo
Jovens pintores ministraram nessa quarta-feira (15) uma oficina de pintura com os pés e a boca 
no Memorial da Inclusão, na zona oeste da capital paulista. [...]
Uma das telas [...] estava exposta no mesmo salão onde era realizada a oficina, em uma mostra 
de 29 obras retratando monumentos e locais icônicos da cidade de São Paulo. [...]
Daniel Mello. Jovens artistas ministram oficina de pintura com os pés e a boca em São Paulo. 
Agência Brasil, 16 fev. 2017. Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2017-02/
jovens-artistas-ministram-oficina-de-pintura-com-os-pes-e-boca-em-sao-paulo>. Acesso em: 25 jul. 2018.
• Os próximos tópicos 
(“Os números naturais” e 
“Comparação de números 
naturais”) desenvolvem a 
habilidade EF06MA01 exclu-
sivamente para os números 
naturais, abordando carac-
terísticas do conjunto e com-
paração de números. 
• Se achar oportuno, peça aos 
alunos que realizem as suges-
tões de atividades indicadas 
a seguir antes de iniciar o es-
tudo. Avalie o conhecimento 
prévio deles com relação às 
ideias de antecessor e suces-
sor de um número natural. 
 
Sugestão de atividades extras 
• Como as atividades sugeridas são on-line, programe-se antecipadamente para aplicá-las. Elas estão disponíveis 
nos seguintes endereços (acessos em: 29 jul. 2018): 
 � <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg1.html>.
 � <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg2.html>.
 � <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg3.html>.
http://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2017-02/jovens-artistas-ministram-oficina-de-pintura-com-os-pes-e-boca-em-sao-paulo
http://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2017-02/jovens-artistas-ministram-oficina-de-pintura-com-os-pes-e-boca-em-sao-paulo
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg1.html
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg2.html
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg3.html
28
28
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 O número natural zero não é sucessor de nenhum outro número natural.
 Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. Para obter o antecessor de 
um número natural, subtraímos dele uma unidade.
 Números pares e números ímpares
A professora Carla escreveu no quadro a sequênciados números naturais pares e a dos núme-
ros naturais ímpares. 
 Sequência dos números naturais pares:
 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
 Sequência dos números naturais ímpares:
 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... 
Ao observar as sequências escritas pela professora, os alunos notaram que:
• os números pares são números naturais que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8;
• os números ímpares são números naturais que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9. 
• O antecessor de 10 é 9, pois: 10 2 1 5 9
• O antecessor de 50 é 49, pois: 50 2 1 5 49
Exemplos
Observações
1 As palavras sucessivo e consecutivo têm o mesmo significado que “sucessor”. Assim:
• o sucessivo de 89 é 90;
• o consecutivo de 1 175 é 1 176.
• o sucessivo de 1 é 2, e o de 2 é 3.
• os números 35, 36 e 37 são consecutivos.
2 As palavras precedente e antecedente têm o mesmo significado que “antecessor”. Assim:
• o precedente de 32 é 31;
• o antecedente de 101 é 100.
Lendo e aprendendo
Código de barras
O código de barras é uma representação gráfica de dados 
numéricos ou alfanuméricos. A  decodificação, ou seja, a lei-
tura dos dados, é realizada por um tipo de scanner, o leitor de 
código de barras. Os dados capturados nessa leitura óptica 
são convertidos em letras ou números, como você deve ter 
 observado quando acompanha um adulto nas compras. 
O  código de barras evoluiu muito e ganhou uma segunda 
dimensão. 
O código de barras bidimensional, conhecido como código  QR (sigla do nome em inglês Quick 
Response — “Resposta rápida”), pode ser facilmente escaneado com celulares equipados com câmera.
Código QR.
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Código de barras padrão 
composto de 13 dígitos.
• Antes de iniciar o conteúdo 
sobre números pares e núme-
ros ímpares, avalie os conhe-
cimentos prévios dos alunos, 
perguntando: 
 � Em que situação vocês já 
utilizaram números pares 
e números ímpares?
 � Como vocês sabem que 
o número é par ou ímpar?
 � Quais são os números pa-
res que vocês conhecem? 
Liste os números no quadro 
de giz e peça aos alunos 
que digam as características 
comuns. 
 � Quais são os números ím-
pares que vocês conhecem? 
Liste os números no quadro 
de giz e peça aos alunos que 
digam as características co-
muns.
 
29
29
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Número e numeral
Número é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e 
medimos. Numeral é toda representação escrita, falada ou digitada de um número. Para repre-
sentar um número, podemos utilizar diferentes numerais. 
O número de rodas do jipe-robô Curiosity, 
por exemplo, pode ser representado de várias 
maneiras.
 Por meio de palavras denominadas numerais:
• seis (numeral da língua portuguesa);
• six (numeral da língua inglesa).
 Por meio de símbolos também chamados 
de numerais:
• 6 (numeral indo-arábico);
• VI (numeral romano).
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
zero
1
sim
601 e 599
1 002 e 1 000
8 021 e 8 019
50 001 e 
49 999
14, 15 e 16
98, 99 e 100
697, 698 e 699
1 119, 1 120 e 
1 121
997
10 002
81; 98
999, 1 001 e 1 003
29
sentar um número, podemos utilizar diferentes numerais. 
 de rodas do jipe-robô Curiosity, 
por exemplo, pode ser representado de várias 
 denominadas numerais:
al da língua portuguesa);
 também chamados 
JP
L-
C
A
LT
E
C
H
/N
A
S
A
O jipe-robô Curiosity pousou na superfície de 
Marte em agosto de 2012, após uma viagem de 
567 milhões de quilômetros e quase nove meses.
Senha
Cadeia de caracteres que 
autoriza o acesso a um con-
junto de operações em um 
sistema de computadores ou 
em equipamentos computa-
dorizados, como caixas eletrô-
nicos de bancos.
Cuidado!
Não confunda número, numeral e algarismo. Ob serve os 
exemplos:
• O numeral 4 567 representa uma quantidade (número) e 
é escrito com os algarismos 4, 5, 6 e 7.
• Minha senha bancária é formada por quatro algarismos, e não 
por quatro números.
 1 Responda às questões.
a) Qual é o menor número natural? 
b) Qual é o sucessor do zero? 
c) Todo número natural tem sucessor? 
 2 Escreva o sucessor e o antecessor dos nú-
meros naturais a seguir.
a) 600 c) 8 020
b) 1 001 d) 50 000
 3 Escreva três números naturais consecuti-
vos sabendo que o maior deles é:
a) 16. c) 699.
b) 100. d) 1 121.
 4 Responda às questões.
a) Qual é o antecessor do maior número 
natural par de três algarismos? 
b) Qual é o sucessor do menor número 
natural ímpar de cinco algarismos?
c) Qual é o sucessor ímpar de 79? E o pre-
cedente par de 100?
 5 Observe a sequência abaixo:
 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...
Agora, responda: qual é o próximo número 
dessa sequência?
 6 Escreva três números naturais ímpares 
consecutivos, entre os quais o me nor 
é 999.
• Acompanhe os alunos durante a resolução da atividade 5, verificando se todos compreendem o padrão da sequência:
 
• É importante que os alunos 
percebam a diferença entre 
número, numeral e algaris-
mo. Podem-se utilizar os di-
ferentes sistemas de nume-
ração estudados para auxiliar 
na distinção entre as ideias 
de número e numeral. 
• As atividades propostas nes-
te tópico reforçam as ideias 
de antecessor e de sucessor, 
e algumas articulam essas no-
ções com a de paridade.
• Ao comentar o problema 
proposto no item a da ati-
vidade 4, é possível solicitar 
aos alunos que representem 
o número 997 nos sistemas 
romano, egípcio e indo-ará-
bico, reforçando a ideia de 
numeral e distinguindo-a de 
algarismo e de número.
1, 2, 7, 16,4, 11, 22, 29
1 1 1 4 1 3 11 1 5 22 1 7
2 1 2 7 1 4 16 1 6
30
30
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Os jogos olímpicos são realizados com o objetivo de incentivar a integração entre os povos 
por meio de diferentes modalidades esportivas. Os primeiros jogos olímpicos modernos 
 ocorreram em 1896, em Atenas, na Grécia. Em 2016, os jogos foram realizados na cidade do 
Rio de Janeiro (RJ).
Cerimônia de abertura dos 
Jogos Olímpicos do Rio de 
Janeiro, em 2016. 
Logotipo oficial dos Jogos 
Olímpicos do Rio de Janeiro, 
em 2016. 
* Apesar de o Reino Unido 
ter conquistado menos 
medalhas que a China, 
ela ficou em segundo 
lugar porque o primeiro 
critério utilizado para 
classificação ou desempate 
é o número de medalhas 
de ouro conquistadas por 
determinado país.
Medalhas conquistadas no Rio de Janeiro
País Ouro Prata Bronze Total
Estados Unidos 46 37 38 121
Reino Unido 27 23 17 67*
China 26 18 26 70
Rússia 19 18 19 56
Alemanha 17 10 15 42
Dados obtidos em: <https://www.olympic.org/olympic-results>. Acesso em: 26 jul. 2018. 
R
V
IS
O
FT
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Com base nos dados da tabela, podemos afirmar que:
 O número de medalhas de bronze conquistadas pela China é maior que o número de 
 medalhas de bronze conquistadas pela Rússia. Escrevemos: 26 . 19.
 O número de medalhas de prata conquistadas pela Alemanha é menor que o número 
de  medalhas de ouro que esse país conquistou. Escrevemos: 10 , 17.
 O número de medalhas de prata conquistadas pelos Estados Unidos é diferente do 
número de medalhas de prata conquistadas pela China. Escrevemos: 37 % 18.
 O número de medalhas de ouro conquistadas pela Alemanha é igual ao número de 
 medalhas de bronze conquistadas pelo Reino Unido. Escrevemos: 17 5 17.
A tabela abaixo apresenta os cinco países que mais conquistaram medalhas nos Jogos 
Olímpicos do Rio de Janeiro.
S
H
A
H
JE
H
A
N
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Comparação de números naturais4
• O tópico desta página re-
toma a comparação entre 
números naturais, possivel-
mente abordada em anos 
anteriores. 
 
https://www.olympic.org/olympic-results
31
31
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no cadernoATIVIDADES Faça as atividadesno caderno.
 A reta numérica e os números naturais
O A B C D ...
0 21 4 …3 5 6
E F
O A B C D...
O
Podemos representar a sequência dos números naturais em uma linha chamada reta 
 numérica. Observe:
 Traçamos uma reta e marcamos o ponto O (origem).
 À direita de O, marcamos pontos consecutivos com a mesma distância entre eles, 
determinando os pontos A, B, C, D, …
 Aos pontos O, A, B, C, D, …, fazemos corresponder os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, ..., 
respectivamente.
Assim, estabelecemos uma correspondência entre os números naturais e os pontos 
marcados na reta. 
Com o auxílio da reta numérica, podemos fazer a comparação de números naturais. 
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
Paula458, 485, 548, 584, 845 e 854; maior: 854; menor: 458
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10, 11, 12, 13, ...
13, 14, 15, 16
12, 13, 14, 15, 16, 17
16, 17, 18, 19, 20, 21
• Como 5 está representado à direita de 2 na reta numérica, então 5 é maior que 2, 
ou seja: 5 . 2
• Como 1 está representado à esquerda de 6 na reta numérica, então 1 é menor que 6, 
ou seja: 1 , 6
Exemplos
 3 Marina, Paula e Carla são jogadoras de vôlei. 
Carla é mais alta que Marina, e Paula 
é mais baixa que Marina. Qual delas é a 
mais baixa?
 2 Escreva a sequência de números indicada 
em cada caso.
a) Números naturais menores que 8. 
b) Números naturais maiores ou iguais 
a 10.
c) Números naturais entre 12 e 17. 
d) Números naturais de 12 a 17. 
e) Números naturais maiores que 15 e 
menores que 22.
 1 Escreva seis números diferentes utilizan-
do os algarismos 4, 5 e 8 sem repeti-los. 
Qual é o maior deles? E o menor?
Paula458, 485, 548, 584, 845 e 854; maior: 854; menor: 458 mais baixa?
creva a sequência de números indicada 
eros naturais maiores ou iguais 
eros naturais maiores que 15 e 
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Na atividade 2, explore com 
os alunos a interpretação 
de cada caso para formar a 
sequência de números:
 � no item a, o número 8 
não faz parte da sequên-
cia, mas apenas os núme-
ros naturais menores que 
8, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7;
 � no item b, o número 10 
fará parte da sequência, 
por conta da expressão 
“ou iguais a 10”. Então: 
10, 11, 12, 13, ...;
 � no item c, a expressão “en-
tre” significa “a meio de” 
ou “intervalo numa série”; 
então, para essa sequên cia 
devemos considerar os nú-
meros que são maiores que 
12 e menores que 17, ou 
seja: 13, 14, 15, 16;
 � no item d, temos que con-
siderar os números maiores 
ou iguais a 12 (“de 12”) e os 
números menores ou iguais 
a 17 (“a 17”), ou seja: 12, 
13, 14, 15, 16, 17.
• Na atividade 3, observe 
como os alunos resolvem o 
problema. Os dados são:
 � Carla é mais alta que Ma-
rina; 
 � Paula é mais baixa que 
Marina.
Então, como Paula é mais 
baixa que Marina, que, por 
sua vez, é mais baixa que 
Carla, temos que Paula é 
mais baixa que Carla. Se com-
pararmos as alturas, temos:
altura 
de Paula
altura 
de Marina
altura 
de Carla , ,
Logo, Paula é a mais baixa e 
Carla é a mais alta.
 
• A correspondência dos números com os pontos na reta numérica complementa o estudo de comparação entre 
números, possibilitando a articulação do assunto com o que foi abordado nos tópicos anteriores, como a locali-
zação do antecessor e do sucessor de um número natural na reta numérica. Pode-se perguntar aos alunos, por 
exemplo, quantos números existem entre dois números pares sucessivos e entre dois números naturais sucessivos.
 
32
32
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
0 6
O R TS
O
0 1
A B C D E
CBA
cba 6
0
1
P Q R
 Agora, responda: qual é o número natural 
que corresponde ao ponto:
a) R ? b) S ? c) T ?
Quais das sentenças a seguir são 
verdadeiras?
a) a . 6 
b) b . 6 
c) 6 , c 
d) c . b
e) c , a
f) b . a
 No caderno, escreva que ponto representa:
a) o número 9;
b) o número 12;
c) o número 4;
d) o número 15.
Em seguida, indique os pontos P, Q e R 
na reta de acordo com as informações a 
seguir.
 I. P e R são pares.
 II. P , 3.
III. Q . 4 e R . 4.
 IV. R , 7 e Q , 6.
a)
A B C D E
28 31 34 37 40
b)
F G H I J
14 20 26 32 38
2 4 5
1.
0 3 5 7
D
C
A
E
26
17
46 e 87, respectivamente
30 horas extras
391 algarismos
1 392 algarismos
144 páginas
4. Observe que é 
evidenciada uma 
parte da reta, sendo 
a ela associados 
números naturais, 
não necessariamente 
iniciando pelo zero.
Podemos marcar pontos na reta considerando 
marcações de 2 em 2, de 3 em 3, ..., 
respeitando a distância entre eles.
 4 Observe a reta numérica em que a, b e c 
representam números naturais correspon-
dentes aos pontos A, B e C.
 5 De acordo com as retas numéricas, escreva, 
no caderno, os números naturais corres-
pondentes às letras C, D, F e I.
 6 Reproduza a reta numérica abaixo em seu 
caderno.
 1 Desenhe, no caderno, uma reta numérica 
e registre os números 0, 3, 5 e 7.
 2 Observe a reta numérica.
 3 Dada a reta numérica, faça o que se pede.
 9 Quantos algarismos escrevemos para re-
presentar todos os números de 35 até 186?
 10 Quantos algarismos são necessários para 
numerar as 500 páginas de uma apostila?
 11 Fazendo uma pesquisa na internet sobre 
aquecimento global, Luís encontrou uma 
reportagem completa sobre o assunto, 
com mais de 200 páginas.
Depois de ler a pesquisa, ele imprimiu 
da página 35 até a 178. Quantas páginas 
 foram impressas? 
 7 Responda às questões.
a) Quantos números naturais existem de 
25 até 50?
b) Quantos números naturais existem 
 entre 30 e 48?
c) Para numerar de 5 até 50, quantos 
núme ros e quantos algarismos escre-
vemos?
 8 Paulo vai trabalhar em um novo projeto 
em sua empresa. Para se dedicar a esse 
novo trabalho, ele passou a fazer duas 
horas extras por dia.
Sabendo que Paulo não trabalha aos fins de 
semana e que o projeto durou 3 semanas, 
quantas horas extras Paulo trabalhou nesse 
projeto? 
Alternativas b, c, d, f.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
• Para a atividade 4, espera-
-se que os alunos entendam 
que não precisam determi-
nar os valores de a, b e c, mas 
basta fazer a comparação 
utilizando a reta numérica. 
É interessante estimulá-los a 
corrigir as sentenças falsas. 
Com isso, temos:
 � a sentença do item a (a . 6) 
é falsa, pois o ponto A, que 
representa a, está à esquerda 
do ponto que representa o 6 
na reta; portanto, a , 6;
 � a sentença do item e (c , a) 
é falsa, pois C está à direi-
ta de A na reta numérica, 
portanto, a , c ou c . a.
• Para resolver a atividade 7, 
os alunos poderão utilizar a 
reta numérica como auxílio 
ou se organizar para analisar 
intervalos menores. Veja o 
quadro a seguir com a aná-
lise de intervalos menores 
para a resolução do item c.
Assim, de acordo com o qua-
dro, para numerar de 5 até 
50, são necessários 46 núme-
ros (6 1 10 1 10 1 10 1 10) e 
87 algarismos (5 1 2 1 20 1 
1 20 1 20 1 20).
Essa estratégia poderá ser 
utilizada na resolução das 
atividades 9, 10 e 11.
 
• Quadro referente à resolução do item c da atividade 7:
Quantidade de números Quantidade de algarismos
5 até 10 6 números 5 números com 1 algarismo: 5 # 1 5 5 e 1 número com 2 algarismos: 1 # 2 5 2 
11 até 20 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 20
21 até 30 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 20
31 até 40 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 20
41 até 50 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 20
33
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
 Conceito
 A) Sucessor de um número natural
 B) Antecessor de um número natural 
di ferente de zero
 C) Números pares
 D) Números ímpares
 Definição
 I) É obtido pela subtração de uma unidade 
desse número.
 II) Terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.
 III) É obtido pelo acréscimo de uma uni-
dade a esse número.
 IV) Terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9.
contagem, ordem, código e medida
Resposta pessoal.Espera-se que os alunos 
identifiquem o sistema numérico decimal e os 
sistemas egípcio e romano, trabalhados no capítulo.
Base 10. Respostas pessoais.
Resposta pessoal.
A – III; B – I; C – II; D – IV
 1 Este capítulo aborda os números naturais. Quais são as quatro funções (usos) desses números? 
 2 Com qual(is) das quatro funções listadas na questão anterior você mais utiliza os números 
 naturais no dia a dia?
 4 Qual é a base do sistema numérico decimal? Você conhece outras bases? Se sim, quais? 
 5 Relacione cada conceito à sua definição:
 3 Que sistemas de numeração você conhece?
R$ 894,00
1 3 5 7 9 11
33
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 1 Escreva no caderno:
a) o antecessor e o sucessor de 519;
b) o antecessor e o sucessor do maior nú-
mero natural de três algarismos;
c) o sucessor do sucessor de 1 000;
d) todos os números de quatro algarismos 
diferentes que podem ser formados com 
os algarismos 0, 4, 7 e 9.
2. Os números formados são: 1 234, 1 243, 1 324, 1 342, 1 423, 1 432, 2 134, 2 143, 2 314, 2 341, 2 413, 2 431, 3 124, 
3 142, 3 214, 3 241, 3 412, 3 421, 4 123, 4 132, 4 213, 4 231, 4 312, 4 321
 2 Considere o número natural 1 234. Efetuando 
todas as trocas possíveis de seus alga-
rismos, pode-se formar certa quantidade 
de nú meros naturais de quatro algarismos, 
como 2 341 e 1 342. No caderno, escreva 
todos esses números em ordem crescente 
e, em seguida, responda às questões.
a) Qual é o primeiro número? 
b) Qual é o último número? 
c) Qual é o total de números? 
 3 Desenhe uma reta numé rica e indique nela 
os seis primeiros números ímpares.
 4 Um artista foi contratado para numerar as 
185 páginas de uma filatelia, recebendo 
R$ 2,00 por algarismo desenhado. Quanto 
ele deverá receber pelo trabalho?
Filatelia 
Coleção de selos postais, do grego fila (amigos) 
e telos (selo).
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
antecessor: 518, sucessor: 520
antecessor: 998, sucessor: 1 000
1. d) 4 079, 4 097, 4 709, 4 790, 4 907, 4 970, 7 049, 7 094, 7 409, 7 490, 7 904, 
7 940, 9 047, 9 074, 9 407, 9 470, 9 704, 9 740. Espera-se que os alunos 
percebam que os números não devem iniciar com o zero. 
1 002
1 234
4 321
24
• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo retomar 
os conceitos e procedimen-
tos vistos no capítulo, in-
centivando a revisão, a au-
toavaliação e a criatividade 
por meio da resolução e ela-
boração de problemas. Essa 
seção é composta de ativida-
des de diversos níveis de difi-
culdade, incluindo desafios, 
questões de exames e con-
cursos, cuidadosamente es-
colhidas, para que os alunos 
as resolvam com base nos 
conhecimentos adquiridos 
até o momento.
Revisitando
• Essa seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar 
os conhecimentos consolida-
dos. Se eles tiverem alguma 
dúvida em relação aos con-
teúdos avaliados na seção, 
sugira que retomem as pági-
nas do capítulo. Incentive-os 
a buscar a troca de conheci-
mento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a 
encontrar um bom caminho 
para a compreensão.
 
34
34
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 5 Junte-se a um colega e determinem quantas 
vezes usamos o algarismo 2 para escrever 
todos os números de:
a) 1 a 50;
b) 1 a 100.
340 000
 10 Escreva, no caderno, o número que satisfaz 
as condições abaixo.
• Está situado entre 300 000 e 400 000.
• Seus quatro últimos algarismos são zeros. 
• A soma dos seus algarismos é 7.
DESAFIO
Para numerar as páginas de uma apostila, 
foram usados 816 algarismos. Determine o 
número de páginas dessa apostila. 308 páginas
15
20
10 503
7 000 071
 6 No caderno, escreva o número formado por:
a) uma dezena de milhar mais cinco 
centenas mais três unidades; 
b) sete unidades de milhão mais sete 
 dezenas mais uma unidade. 
DESAFIO
Leia atentamente a questão e determine a única 
alternativa correta.
O algarismo das unidades de um número 
de dois algarismos é m, e o algarismo das 
dezenas é n. Colocando um algarismo p à direita 
desse número, obtém-se um novo número, 
que é:
a) 100n 1 100m 1 p
b) n 1 m 1 p
c) 10n 1 m 1 p
d) 1 000n 1 100m 1 p
e) 100n 1 10m 1 p
alternativa e
 7 Escreva, no caderno, como se lê o número 
que aparece abaixo.
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
 8 Leia o texto a seguir.
O monte Everest, localizado na cordilheira 
do Himalaia, no Nepal, é a montanha mais 
alta do mundo, com 8 848 metros em relação 
ao nível do mar. 
O pico da Neblina, localizado na serra 
do Imeri, no Amazonas, é o ponto mais 
alto do Brasil, com 3 014 metros acima do 
nível do mar.
 11 Escreva como se leem os números destaca-
dos a seguir.
a) A Região Sudeste do Brasil tem 
924 511 quilômetros quadrados de área. 
b) O Homo sapiens viveu há 160 000 anos. 
c) Em 2017, a população total do 
Brasil era de, aproximadamente, 
208 129 000 habitantes.
d) Um ano-luz corresponde a 
9 460 800 000 000 quilômetros.
nove trilhões, quatrocentos e sessenta bilhões 
e oitocentos milhões
novecentos e vinte e quatro mil, quinhentos e onze
cento e sessenta mil
duzentos e oito milhões, cento e vinte e nove mil
• Agora, responda às questões.
a) No número 8 848, qual é o valor posicional:
• do algarismo da 3a ordem? 
• do algarismo da 4a ordem? 
b) No número 3 014, qual é o valor posi cional: 
• do algarismo da 1a ordem? 
• do algarismo da 3a ordem?
800 
8 000
4
0
 12 Apresentamos a seguir o número de 
 habitantes dos seis estados mais populosos 
do Brasil, em 2017, de acordo com esti ma-
tivas do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE).
outubro
sábado
 9 Responda às questões abaixo.
a) Qual é o 10o mês do ano? 
b) Qual é o 7o dia da semana? 
São Paulo .................................. 45 094 866
Minas Gerais ............................ 21 119 536
Rio de Janeiro ........................... 16 718 956
Bahia ......................................... 15 344 447
Rio Grande do Sul .................... 11 322 895
Paraná ....................................... 11 320 892
Fonte: Dados obtidos no Diário Oficial da União, 
Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017, p. 58.
seiscentos e dezessete milhões, sessenta 
e cinco mil, trezentos e vinte
• Na resolução da atividade 5, 
os alunos devem descobrir 
quantas vezes o algarismo 2 
aparece nas sequências de 
1 a 50 e de 1 a 100. Para isso, 
vamos analisar intervalos me-
nores:
 � de 1 a 19: 2 vezes (2 e 12);
 � de 20 a 29: 11 vezes (20, 
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 
e 29);
 � de 30 a 50: 2 vezes (32 e 
42);
 � de 50 a 100: 5 vezes (52, 
62, 72, 82 e 92).
Portanto, de 1 a 50, o alga-
rismo 2 se repete 15 vezes 
(2 1 11 1 2) e, de 1 a 100, 20 
vezes (2 1 11 1 2 1 5). 
• Para resolver o Desafio 
após a atividade 10, podemos 
utilizar o quadro de ordens:
 � 1o número formado:
C D U
n m
Usando a forma decompos-
ta, podemos escrever o nú-
mero da seguinte maneira: 
10 n 1 m;
 � 2o número formado: co-
locar o algarismo p à direi-
ta do 1o número formado 
(algarismo da unidade). 
Com isso, m passa a ser o 
algarismo das dezenas, e n, 
o algarismo das centenas. 
Assim:
C D U
n m p
Usando a forma decompos-
ta, podemos escrever o nú-
mero da seguinte maneira: 
100 n 1 10 m 1 p (alter-
nativa e)
 
35
Lembre-se:
Não escreva no livro!
Elaborando
35
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
DESAFIO
(Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é cons-
tituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. 
Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:
a) 2 614 b) 3 624 c) 2 715 d) 3 725 e) 4 162
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
milhar centena dezena unidade
a) Quais são os três estados mais populosos do Brasil?
b) Qual é o estado mais populoso do Nordeste?
c) Em qual dos números apresentados na estimativa o al garismo 6 tem valor posicional 
6 000 000? 
d) Escreva em um quadro de ordens o número que representa a população do Paraná. 
e) O estado em que você mora tem mais ou menos que 5 milhões de habitantes? 
 13 Escreva, com algarismos indo-arábicos, o número dezessete bilhões, cinco milhões e noventa. 
 14 Com os algarismos 1, 3, 4, 6 e 2 e sem repetir nenhum deles, escreva:
a) o maior número possível; 
b) o menor número possível; 
c) o maior número que tenha o algarismo 1 na ordem das centenas; 
d) um número maior que 43 200 que tenha 6 como algarismo das unidades.
 1 Diga a um colega um valor maior que 500 e menor que 2 000 e peça a ele que escreva esse 
número no sistema de numeração romano. Em seguida, verifique se ele acertou.
 2 Junte-se a um colega e peça a ele que trace uma reta numérica no caderno. Em seguida, solicite 
a ele que indique na reta três números escolhidos por você. Depois, verifique se ele indicou os 
números nos locais apropriados.
Resposta pessoal.
8a 7a 6a 5a 4a 3a 2a 1a
1 1 3 2 0 8 9 2
12. d)
São Paulo, Minas Gerais e Rio de Janeiro
Bahia
16 718 956
17 005 000 090
alternativa a
Resposta pessoal.
Caso haja necessidade, oriente os alunos no traçado e na distância entre os pontos na reta numérica.
Resposta pessoal.
64 321
12 346
64 132
43 216
• Para resolver o Desafio, os 
alunos deverão ficar aten-
tos, pois, para determinar os 
algarismos que compõem o 
número da leitura do “reló-
gio de luz”, é preciso saber o 
sentido em que devemos ler 
o relógio e identificar o último 
algarismo ultrapassado pelo 
ponteiro. Diante disso, temos:
 � algarismo da classe do mi-
lhar: o ponteiro gira no sen-
tido anti-horário; então, o 
último algarismo ultrapas-
sado pelo ponteiro é o 2;
 � algarismo da classe da 
centena: o ponteiro gira no 
sentido horário; então, o 
último algarismo ultrapas-
sado pelo ponteiro é o 6;
 � algarismo da classe da 
dezena: o ponteiro gira no 
sentido anti-horário; então, 
o último algarismo ultrapas-
sado pelo ponteiro é o 1;
 � algarismo da classe da 
unidade: o ponteiro gira no 
sentido horário; então, o 
último algarismo ultrapas-
sado pelo ponteiro é o 4.
Então, o número obtido na lei-
tura é 2 614 (alternativa a).
Elaborando 
• Essa seção incentiva a cria-
tividade e a elaboração de 
questões pelos alunos, favo-
recendo o desenvolvimento 
das competências gerais 2, 4 
e 10 e da competência espe-
cífica 5 da BNCC.
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar 
e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
36
CAPÍTULO
36
É hora de observar e refletir
O catamarã giganteTûranor PlanetSolar foi a primeira embarcação a completar uma volta ao mundo Tûranor PlanetSolar foi a primeira embarcação a completar uma volta ao mundo Tûranor PlanetSolar
usando apenas energia solar. O veículo partiu do porto de Mônaco em setembro de 2010 e retornou a esse 
local em maio de 2012. A viagem durou 585 dias. 
O barco foi construído com materiais leves e resis tentes, como fibra de carbono e resina plástica. Com 
31  metros de comprimento e 15 metros de largura, o Tûranor é coberto por 537 metros quadrados de Tûranor é coberto por 537 metros quadrados de Tûranor
painéis solares fotovoltaicos. Sua massa é de aproximadamente 85 toneladas, sendo 21 toneladas de 
fibra de carbono, 23 toneladas de resina plástica e 41 toneladas de outros materiais. 
Agora, responda às questões em seu caderno.
Qual é a massa total, em tonelada, dos materiais que compõem 
a embarcação?
Quantas semanas durou a viagem do Tûranor ao redor do mundo? 
VA
LE
R
IE
 G
A
C
H
E
/A
F
P
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
Painéis solares fotovoltaicos 
Dispositivos utilizados para con-
verter a energia da luz do Sol em 
energia elétrica. 
2 Operações com números naturais
Tûranor PlanetSolar é o maior navio Tûranor PlanetSolar é o maior navio Tûranor PlanetSolar
movido a energia solar do mundo, 2014.
85 toneladas
83 semanas e 4 dias
Objetivos 
• Compreender a importân-
cia das operações com nú-
meros naturais na resolução 
de problemas.
• Conhecer e entender as 
ideias da adição (juntar, unir 
e acrescentar), da subtração 
(comparar e completar), da 
multiplicação (adição de par-
celas iguais, disposição retan-
gular, número de possibilida-
des, proporção), da divisão 
(repartir em partes iguais e 
medida) e da potenciação. 
• Aplicar as propriedades 
das operações como recurso 
para facilitar a resolução de 
problemas. 
• Resolver problemas com 
expressões numéricas que 
envolvam adição, subtração, 
multiplicação, divisão e po-
tenciação.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planejado 
para favorecer o desenvolvi-
mento das seguintes habili-
dades da BNCC: EF06MA03 e 
EF06MA12.
• Neste capítulo, são abor-
dadas as operações de adi-
ção, subtração, multiplica-
ção e divisão com números 
naturais – operações que já 
foram trabalhadas nos Anos 
Iniciais do Ensino Funda-
mental. É importante fazer 
o levantamento do conhe-
cimento prévio dos alunos 
sobre esse tema para plane-
jar o tipo de abordagem, o 
tempo, as atividades e a ava-
liação, de forma que eles se 
sintam desafiados em cada 
etapa da aprendizagem.
 
É hora de observar e refletir
• O contexto apresentado na abertura sobre uma embarcação movida a energia solar permite discutir a 
 utilização das operações, bem como os aspectos para o desenvolvimento da criticidade. Dessa forma, tende-se 
a favorecer o desenvolvimento da competência geral 6. Pode-se conduzir a discussão propondo questões como: 
“Quais são as vantagens e as desvantagens de se utilizar um meio de transporte movido a energia solar?”; 
“Que outros usos pode ter a energia solar?”; “Que outros tipos de energia não poluem o meio ambiente?”. 
37
Trocando ideias
Lembre-se:
Não escreva no livro!
37
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Produto Valor em real
Trem 55
Bola de basquete 40
Carro de controle remoto 100
Moto de controle remoto 60
Quebra-cabeça 65
Jogo de tabuleiro 45
Jogo de montar 30
1.
 IM
A
G
E
D
B
.C
O
M
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 2
. M
A
LA
C
H
Y
66
6/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 3
. A
N
D
R
E
Y
 V
O
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
1
2
3
No nosso dia a dia, há situações que podem ser resolvidas utilizando as operações de 
adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
Leia o problema abaixo.
 Pedro foi a uma lojade brinquedos e comprou para sua filha um jogo de tabuleiro, um 
carrinho de controle remoto e um quebra-cabeça. 
Veja no quadro abaixo o preço de alguns dos brinquedos que havia na loja. Em segui-
da, res ponda às questões.
a) Qual foi o valor total da compra? Que operação você utilizou para obter a resposta? 
b) Se Pedro realizou o pagamento em três parcelas iguais, qual foi o valor de cada 
 prestação? Que operação você utilizou para obter a resposta?
c) Pedro usou uma nota de 100 reais para pagar a primeira parcela. Quanto ele re-
cebeu de troco? Que operação você utilizou para obter a resposta?
d) Antes da compra, Pedro havia definido um limite para seus gastos de até 80 reais por 
parcela. Considerando esse limite, que brinquedo ele poderia ter adicionado à compra?
e) Se o limite de cada parcela fosse de 90 reais, qual dos brinquedos Pedro poderia 
comprar a mais? Explique.
f) Por que é importante fazer uma pesquisa de preços antes de comprar algum produto? 
g) Por que, às vezes, parcelamos algumas compras? 
Neste capítulo, vamos ampliar nossos conhecimentos sobre operações com números 
naturais.
210 reais; adição
70 reais; divisão
30 reais; subtração
jogo de montar
Qualquer um, pois ele poderia comprar um brinquedo 
de até 60 reais.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Trocando ideias 
• Esta seção foi criada para 
incentivar o diálogo entre os 
alunos sobre os assuntos que 
serão tratados no capítulo 
(adição, subtração e divisão), 
mobilizando seus conheci-
mentos. Sugerimos explorá-
-la oralmente; se você julgar 
necessário, solicite que res-
pondam às questões por es-
crito no caderno.
• É introduzido o trabalho 
com algumas das operações 
com números naturais. A 
atividade proposta pode 
ser complementada de for-
ma que os alunos percebam 
melhor as ideias exploradas 
pela explicitação da estraté-
gia de resolução construída.
• Ao comentar a questão do 
item d, solicite aos alunos 
que expliquem como chega-
ram à resposta e pensem em 
outra estratégia para deter-
minar o brinquedo que po-
deria ser comprado. Esse tipo 
de questionamento permite 
que explicitem os procedi-
mentos e escolham em razão 
do significado atribuído às 
operações envolvidas. O mes-
mo vale para o item e.
• Os itens f e g trabalham com 
a noção de educação financei-
ra. Proponha um debate com 
a turma sobre os temas levan-
tados nas questões: pesquisa 
de preço e parcelamento de 
compra. Incentive a comuni-
cação e o desenvolvimento do 
pensamento crítico, criando 
oportunidade para o desen-
volvimento do tema educação 
para o consumo. 
 
EF06MA03: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números na-
turais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
EF06MA12: Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que 
lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu 
projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
38
38
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Observe o total de pontos conquistados pelos cinco pilotos de Fórmula 1 mais bem 
colocados no Mundial de Construtores de 2017. 
Posição Piloto Pontos
1a Lewis Hamilton 363
2a Sebastian Vettel 317
3a Valtteri Bottas 305
4a Kimi Räikkönen 205
5a Daniel Ricciardo 200
Dados obtidos em: <https://www.formula1.com/en/results.html/2017/drivers.html>. 
Acesso em: 27 jul. 2018. 
Qual foi o total de pontos alcançado pelos pilotos que conquistaram as três primeiras posições?
Para obter essa resposta, devemos juntar, unir ou reunir quantidades, ou seja, efetuar a 
operação denominada adição.
Veja como obter esse total:
Nessa adição, os números 363, 317 e 305 são as parcelas, e 985 é a soma (ou total).
Outra ideia da adição é a de acrescentar uma quantidade a outra. A situação a seguir 
exemplifica essa ideia.
Em um campeonato esportivo entre escolas, a escola Aprender estava com 50 pontos. 
Duas alunas dessa escola conquistaram, então, o 1o e o 3o lugares em uma corrida de 100 metros, 
ganhando, respectivamente, 25 e 11 pontos. 
Qual passou a ser o total de pontos dessa 
escola após essas conquistas?
Primeiro, podemos efetuar esta adição:
25 1 11 5 36
Em seguida, acrescentamos 36 a 50, 
efetuando a adição 50 1 36.
50 1 36 5 86
Concluímos, portanto, que a escola 
Aprender passou a ter 86 pontos.
parcela 
parcela
parcela
soma ou total
363
317
1 305
985
C
R
É
D
IT
O
 D
A
S
 F
O
TO
S
: R
E
IN
O
 U
N
ID
O
 E
 A
LE
M
A
N
H
A
: B
R
IL
LI
A
N
TI
S
T 
S
TU
D
IO
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; F
IN
LÂ
N
D
IA
: N
AY
P
O
N
G
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
A
U
S
TR
Á
LI
A
: M
A
X
IM
U
M
V
E
C
TO
R
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Adição com números naturais1
Duas alunas dessa escola conquistaram, então, o 1 lugares em uma corrida de 100 metros, 
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Este capítulo é organiza-
do em tópicos, destinados 
a um tema específico. As 
atividades propostas em 
cada tópico contemplam os 
conteúdos ali desenvolvidos. 
Cumprem, assim, os objeti-
vos referentes à familiariza-
ção, permitindo aos alunos 
identificar a operação ou a 
propriedade a ser empre-
gada na resolução em razão 
dos significados atribuídos 
às operações com núme-
ros naturais. Dessa forma, é 
importante que esses signi-
ficados sejam discutidos no 
momento de correção e de 
sistematização.
• Explore outras maneiras 
de realizar os cálculos nas si-
tuações apresentadas (pon-
tos alcançados pelos pilotos 
de Fórmula 1 e o total de 
pontos em um campeonato). 
Pergunte aos alunos como 
fariam para resolver esses 
problemas usando o cálculo 
mental. De acordo com as 
respostas dadas, apresente 
a possibilidade de realizar o 
cálculo por meio da decom-
posição dos números (par-
celas da adição). Isso poderá 
proporcionar aos alunos a 
compreensão do algoritmo 
usual e o desenvolvimento 
de uma estratégia para o 
cálculo mental. Veja a seguir 
a resolução para obter o 
total de pontos da situação 
que explora o campeonato 
esportivo entre escolas usan-
do a decomposição:
25 5 20 1 5
11 5 10 1 1
1
30 1 6 5 36
 
https://www.formula1.com/en/results.html/2017/drivers.html
39
39
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Etapa
Nome 1
a 2a 3a
Júlio 3 650 5 995 7 036
Marcelo 3 543 2 786 9 999
Antônio 4 119 3 830 8 678
Estado Área (km2)
Paraná 199 308
Santa Catarina 95 738
Rio Grande do Sul 281 738
Dados obtidos em: <https://cidades.ibge.
gov.br/brasil/pr/panorama>; <https://
cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama>; 
<https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/
panorama>. Acessos em: 20 ago. 2018.
Cidade População
São Paulo 12 106 920
Rio de Janeiro 6 520 266
Brasília 3 039 444
Salvador 2 953 986
Fortaleza 2 627 482
Belo Horizonte 2 523 794
Dados obtidos no Diário Oficial da União, 
Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017, 
p. 60, 62, 70 e 76.
 1 Considere os números abaixo. 
 2 Observe o quadro de pontos de uma 
gincana e responda às questões.
 3 Com base nos valores aproximados do 
quadro abaixo, calcule a área total, em 
quilômetro quadrado (km2), da Região 
Sul do Brasil.
 4 Observe o quadro com as seis cidades 
mais populosas do Brasil.
 5 Quando Laerte nasceu, o pai dele tinha 
28 anos. Atualmente, Laerte tem 18 anos. 
Determine a soma das idades de Laerte e 
de seu pai hoje.
 6 Determine a soma de todos os números 
de três algarismos diferentes que podem 
ser formados com os algarismos 3, 4 e 5.
 7 Ana vai usar a calculadora parade-
terminar a soma de três números 
 consecutivos, sabendo que o menor 
deles é 549. Quando foi realizar os 
cálculos, Ana percebeu que as teclas 
0 e 9 da sua calculadora estavam com 
defeito. Como Ana poderá realizar essa 
adição? Qual será o seu resultado? 
 8 Forme dupla com um colega para res-
ponder à questão: quais são os quatro 
números ímpares cuja soma é 29?
1 576 8 916 7 435
2 050 794
 Agora, determine os totais obtidos com:
a) a adição dos dois maiores números;
b) a adição dos dois menores números;
c) a adição do menor número com o 
maior número.
a) Quantos pontos Júlio obteve nas três 
etapas?
b) Algum dos candidatos conquistou mais 
de 17 mil pontos nessa gincana?
c) Quem obteve mais pontos nessa gin-
cana?
Calcule a população das cidades:
a) do Su deste listadas no quadro;
b) do Nor deste listadas no quadro.
16 351
2 370
9 710
16 681
não
Júlio
576 784 quilômetros quadrados
21 150 980
5 581 468
64 anos
2 664
É impossível, uma vez que o resultado da 
adição de quatro números ímpares sempre 
será um número par.
7. O resultado da adição é 1 650. Ana poderá 
realizar os seguintes cálculos usando a 
calculadora: (548 1 1) 1 (551 2 1) 1 551
• A atividade 1 propõe aos 
alunos que, antes de realizar 
as operações, façam as com-
parações dos números dados.
• As atividades 3 e 4 possibi-
litam uma conexão com Geo-
grafia. Em parceria com o pro-
fessor dessa disciplina, peça 
aos alunos que pesquisem a 
população dos demais esta-
dos brasileiros e façam uma 
tabela com a área aproxima-
da (usando apenas números 
naturais) de cada estado. Os 
alunos deverão analisar as in-
formações obtidas por região 
(Norte, Nordeste, Centro-Oes-
te, Sudeste e Sul), comparan-
do a área da região com a 
população, além de relacio-
nar os padrões climáticos, as 
formações vegetais, os tipos 
de solo e a interação humana. 
Por exemplo, o Norte apre-
senta uma população menor 
que a do Sudeste, ainda que 
a área seja maior, por abri-
gar grande parte da Floresta 
Amazônica.
• Na atividade 6, os alunos 
podem ser incentivados a 
explicitar todas as seis possi-
bilidades: 345, 354, 435, 453, 
543, 534.
 
https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/panorama
https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/panorama
https://cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama
https://cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama
https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/panorama
https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/panorama
40
Lembre-se:
Não escreva no livro!
40
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Algumas propriedades da adição
Observe algumas propriedades da adição.
• Que resultados você obteve?
• O que você percebeu?
 Escolha outros dois números naturais e, em seu caderno, escreva uma adição cujas 
parcelas são somente esses números. Depois, escreva outra adição trocando a ordem 
das parcelas. Finalmente, calcule o resultado das duas adições. O que você observou? 
 Escolha três outros números naturais. Adicione, em seu caderno, a soma dos dois 
primeiros números com o terceiro. Em seguida, adicione o primeiro número com a soma dos 
dois últimos. O que você observou?
• Que resultados você obteve?
• O que você percebeu?
 Adicione mentalmente: 12 1 28 28 1 12
 Adicione mentalmente: 58 1 0 0 1 45
(8 1 12) 1 10 5 20 1 10 5 30 8 1 (12 1 10) 5 8 1 22 5 30
Propriedade associativa
 Vamos efetuar 8 1 12 1 10 associando as parcelas de dois modos.
Propriedade comutativa
Elemento neutro
Resposta pessoal.
Em uma adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de 
diferentes modos sem alterar a soma.
O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse 
outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma. 
Por isso, ele é chamado de elemento neutro da adição.
Observação
Nas três situações anteriores, realizamos adições em que as parcelas são números naturais. 
Note que as somas também são números naturais.
40; 40
Espera-se que os alunos percebam que o resultado 
foi o mesmo apesar da troca de ordem das parcelas.
Oriente os alunos a efetuar primeiro as operações entre parênteses.
Espera-se que os alunos percebam que, embora tenham alterado 
a forma de associar as parcelas, a soma permaneceu a mesma.
Espera-se que os alunos percebam que, ao adicionar 
o zero a um número, a soma é o próprio número.
58; 45
• Ressalte a importância do 
cálculo mental, por exemplo, 
nas atividades práticas do 
dia a dia, e discuta algumas 
técnicas que facilitem essa 
operação. O uso dos algorit-
mos da adição (o usual e o 
da decomposição) e das pro-
priedades da adição permite 
uma reorganização das par-
celas, ajudando a realizar o 
cálculo com maior facilidade.
• Comente com os alunos 
que a verificação de alguns 
exemplos não é suficiente 
para provar as proprieda-
des. Explique a eles que para 
cada uma dessas proprieda-
des há uma demonstração.
Sugestão de leitura
• Princípio da indução mate-
mática: fundamentação teó-
rica e aplicações, de Hudson 
de Souza Félix.
Para o seu conhecimento, in-
dicamos esse texto que con-
tém as demonstrações das 
propriedades da adição.
Disponível em: <http://www.
repositorio.ufc.br/bitstream/
r iufc /11675/1/2015_dis_
hsfelix.pdf>. Acesso em: 6 
ago. 2018.
 
Sugestão de atividade extra
• A atividade interativa Magnetos da Adição poderá ser realizada pelos alunos organizados em duas equipes 
(A e B). Um dos integrantes da equipe A deverá indicar apenas os algarismos das parcelas da adição, para que 
os colegas da equipe B montem a adição corretamente. Lembre que aqueles que forem indicar os algarismos 
não deverão fazê-lo aleatoriamente, mas realizar a adição antes para que o grupo adversário consiga realizar 
a operação.
Disponível em: <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_adic.html>. Acesso em: 6 ago. 2018.
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11675/1/2015_dis_hsfelix.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11675/1/2015_dis_hsfelix.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11675/1/2015_dis_hsfelix.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11675/1/2015_dis_hsfelix.pdf
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_adic.html
41
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Mansão Margarida
Costa Pinto
154 m
Salvador (BA)
Ipês
158 m
São Paulo (SP)
Edifício Itália
165 m
São Paulo (SP)
Rio Sul Center
163 m
Rio de Janeiro (RJ)
Mirante do Vale
170 m
São Paulo (SP)
41
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Utilizando as propriedades da adição, 
cada um de vocês deverá sugerir um 
modo de obter o total dessa compra. 
Depois, determinem um modo comum de 
resolução que considerem ser o mais sim-
ples e apresentem-no aos demais colegas 
da classe.
Casa R$ 11,00
Avião R$ 18,00
Carro R$ 16,00
Navio R$ 24,00
Soldado R$ 7,00
Trem R$ 19,00
Observe no esquema abaixo a representação da altura, em metro (m), de cinco dos prédios 
mais altos do Brasil.
Dados obtidos em: <http://www.terra.com.br/economia/infograficos/
predios-mais-altos-do-brasil/>. Acesso em: 27 jul. 2018. ILU
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
Subtração com números naturais2
 1 Calcule.
a) 16 1 35 1 14 1 15
b) (16 1 14) 1 (35 1 15)
• Você achou mais fácil determinar a soma 
do item a ou a do item b? Explique.
 5 Reúna-se com um colega para resolver o 
problema abaixo.
Breno foi a uma loja de brinquedos e 
comprou seis miniaturas. Vejam a lista 
dessas miniaturas e o preço de cada uma.
 4 Por que o zero é o elemento neutro da 
 adição?
 2 Utilizando as propriedades comutativa e 
associativa, resolva as adições da maneira 
que julgar mais simples.
a) 26 1 30 1 4 1 20
b) 33 1 12 1 7 1 0 1 8
 3 Sabendo que 577 1 323 5 900, escreva o 
valor de 323 1 577 sem efetuar a adição. 
Justifiquesua resposta.
80
Espera-se que os alunos percebam que a expressão 
do item b torna a resolução mais simples.
900, pois como as parcelas não foram alteradas, 
usamos a propriedade comutativa.
O valor total da compra é de R$ 95,00. 
A explicação sobre o modo de resolução é pessoal. 
80
80
60
Resposta pessoal.
2. Se achar oportuno, peça para os alunos explicarem como determinaram 
a soma e o motivo que os levou a considerar a forma mais simples.
• Explore com os alunos a 
realização do cálculo mental 
e do cálculo aproximado na 
subtração. Por exemplo, uti-
lizando a situação apresen-
tada, pergunte aos alunos: 
“Qual diferença é maior: en-
tre as alturas dos prédios Rio 
Sul Center e Mirante do Vale 
ou entre as alturas do Man-
são Margarida e Mirante do 
Vale?”. Para responder a essa 
pergunta, os alunos deverão 
comparar as duas operações 
170 2 163 e 170 2 154; se 
fizermos um cálculo apro-
ximado, para a ordem das 
dezenas, vamos obter, res-
pectivamente, 10 e 20 como 
resultado estimado das ope-
rações. Como 20 . 10, então 
170  2  154  .  170  2  163 e, 
portanto, a diferença entre 
as alturas Mirante do Vale e 
Mansão Margarida é maior.
Sugestão de leitura
• Aperfeiçoamento de técnicas de cálculo mental para resolução de adições e subtrações com números natu-
rais, de Silene Rodolfo Cajuela e coautores.
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=49974>. Acesso em: 25 maio 2018.
http://www.terra.com.br/economia/infograficos/predios-mais-altos-do-brasil/
http://www.terra.com.br/economia/infograficos/predios-mais-altos-do-brasil/
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=49974
42
Lembre-se:
Não escreva no livro!
42
2 5
Mirante do Vale
(170 m)
170
Edifício Itália
(165 m)
165
A diferença de altura entre o 
Mirante do Vale e o Edifício 
Itália é de 5 metros.
5
 Qual é a diferença na altura dos dois maiores prédios representados no esquema?
Para resolver esse problema, vamos usar a ideia de comparar uma medida com outra.
Assim: 
A subtração também está relacionada à ideia de completar e de tirar unidades. 
Analise as situações abaixo e classifique-as, em seu caderno, substituindo o pelo nome 
da ideia envolvida (comparar, completar ou tirar). Em seguida, resolva-as.
Chamamos a operação realizada de subtração. Veja abaixo o nome de seus termos.
minuendo170
resto ou diferença5
subtraendo2 165
Situação Ideia envolvida
 I. Luís tem 52 figurinhas. Quantas figurinhas faltam para ele completar uma centena?
II. Ana tinha 5 blusas e doou 3 delas. Com quantas blusas ela ficou?
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
 1 Calcule, quando possível, o resultado das 
subtrações. Nem sempre é possível efe-
tuar uma subtração entre dois números 
naturais.
a) 189 2 86 d) 1 050 2 867
b) 856 2 799 e) 2 160 2 3 000
c) 654 2 830 f) 5 555 2 5 555
• Quando é possível efetuar uma subtra-
ção entre dois números naturais?
 2 Responda, no caderno, às questões. 
a) Qual é a diferença entre dois números 
iguais?
b) Qual é a diferença entre dois números 
pares e consecutivos?
c) Podemos afirmar que a propriedade 
comutativa é válida para a subtração?
A propriedade comutativa não é válida para a 
subtração. Os alunos poderão dar exemplos, 
como: 15 2 10 5 5, mas 10 2 15 % 5 e não tem 
solução nos naturais. 
 3 Pedro nasceu em julho de 1993. Que idade 
ele terá em agosto de 2025?
 5 Quantos anos você completará no ano 
2030?
 6 Luís utilizou R$ 700,00 para pagar um 
telefone celular. Calcule o preço desse 
aparelho, sabendo que Luís recebeu 
R$ 25,00 de troco.
 4 Efetue as subtrações.
a) 67 056 2 9 453
b) 136 917 2 85 862
c) 235 000 2 196 417
d) 76 432 2 65 321
 7 Calcule mentalmente o resultado das 
subtrações.
a) 189 2 29 c) 974 2 101
b) 768 2 59 d) 2 358 2 202
 I. 48 figurinhas; completar
II. 2 blusas; tirar
zero
2
32 anos
103
57
183
1. c) Não tem solução nos naturais.
e) Não tem solução nos naturais.
0
57 603
51 055
38 583
11 111
Resposta pessoal.
Peça a alguns alunos que compartilhem a 
estratégia usada para efetuar mentalmente os 
cálculos desta atividade.
R$ 675,00
Uma subtração em v só pode ser efetuada quando o 
minuendo é maior ou igual ao subtraendo.
160
709
873
2 156
• Assim como feito na adi-
ção, a utilização do algorit-
mo da decomposição ajuda-
rá os alunos a compreender 
o algoritmo usual. Veja:
170 5 100 1 70 1 0
165 5 100 1 60 1 5
2
0 1 0 1 5 5 5
• Nos exemplos das figuri-
nhas de Luís (I) e das blu-
sas de Ana (II), destaque as 
ideias de completar e tirar, 
enfatizando que o resultado 
pode ser obtido por meio da 
subtração dos dois números. 
60 10
• O item c da atividade 2 dará continuidade à discussão feita na atividade 1, já que, na subtração de números 
naturais, o minuendo deve ser maior que o subtraendo; logo, a propriedade comutativa não é válida. 
• Na atividade 7, peça a alguns alunos que compartilhem a estratégia usada para efetuar mentalmente os 
cálculos. Se achar conveniente, diga para que exponham no quadro de giz os procedimentos utilizados, expli-
cando o passo a passo do raciocínio.
 
• Na atividade 1, verifique 
se os alunos percebem que 
a subtração de dois números 
naturais só será válida quan-
do o minuendo for maior 
que o subtraendo. Caso essa 
verificação não aconteça, dê 
exemplos contextualizados 
para a turma, como: 
 � Ana é florista e tem um 
estoque de 160 rosas. Rita 
é organizadora de even-
tos e comprou 200 rosas 
de Ana. Quantos rosas so-
braram para Ana?
Os alunos deverão perceber 
que Rita comprou mais ro-
sas do que Ana possuía no 
estoque; portanto essa com-
pra não poderia ter aconte-
cido e, com isso, não temos 
como realizar a operação 
160 2 200 para determinar 
quantas rosas sobraram no 
estoque de Ana. Para um 
aprofundamento da dinâ-
mica, solicite aos alunos que 
modifiquem o problema, para 
que consigamos resolvê-lo. 
Veja uma possibilidade: 
 � Ana é florista e tem um 
estoque de 160 rosas. Rita é 
organizadora de eventos e 
precisa comprar 200 ro sas. 
Quantas rosas Ana precisa 
completar no seu estoque 
para atender ao pedido 
de Rita? Resposta: 40 rosas 
(200 2 160).
43
43
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Cidade População
Salvador 2 953 986
Fortaleza 2 627 482
Recife 1 633 697
Dados obtidos no Diário Oficial da União, Seção 1, 
no 167, de 30 de agosto de 2017, p. 60 e 68. 167, de 30 de agosto de 2017, p. 60 e 68.
3 A76
2 C BA1
1 C9B
2 5
minuendo
100
diferença
17
subtraendo
83
2 5R$$ 100,00
valor pago troco recebido
R$$ 17,00
preço do tênis
R$$ 83,00
por meio de uma subtração:
Relação fundamental da subtração
Observe a cena.
 8 Salvador (BA), Fortaleza (CE) e Recife (PE) 
são as três cidades mais populosas do 
Nordeste. Efetue os cálculos e verifique o 
quanto a população total dessas cidades 
supera 7 milhões de habitantes.
 9 Criptografia é a arte de escrever utili-
zando caracteres secretos ou palavras 
de uma escrita que não é compreendida 
por todos. Decifre o criptograma abaixo 
e registre o valor de cada letra, sabendo 
que cada uma delas indica um algarismo, 
que letras iguais representam algarismos 
iguais e que letras diferentes representam 
algarismos diferentes.
Podemos conferir o troco de duas maneiras:
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
Se o tênis custa R$Se o tênis custa R$ 83,00 
e você está pagando com e você está pagando com 
uma cédula de R$uma cédula de R$ 100,00, 
preciso lhe dar R$preciso lhe dar R$ 17,00 
de troco, certo?
3 876
2 581
1 295
A 5 8, B 5 5 e C 5 2
215 165 habitantes
• Na atividade 9, pode-se or-
ganizar os alunos em grupos 
e solicitar a cada um que crie 
um criptograma a ser de-
cifrado por outra equipe. 
Essa atividade, que envolve 
criptografia, oferece uma 
oportunidade de explorara 
observação de padrões e re-
gularidades.
Para continuar esse traba-
lho, pode ser proposta a ati-
vidade a seguir.
 � Nas quatro primeiras li-
nhas abaixo são apresen-
tadas quatro palavras es-
critas de forma usual. Nas 
linhas seguintes, as duas 
primeiras palavras estão 
escritas de maneira cripto-
grafada. Obtenha a forma 
criptografada da terceira e 
da quarta palavra.
AMOR
ESCOLA
FUNDAMENTAL
UNIFICADO
DPRU
HVFROD
?
?
Resposta: A terceira pa-
lavra criptografada é 
IXQGDPHQWDO, e a quar-
ta é XQLILFDGR.
• Comente com os alunos 
que a relação fundamental 
da subtração é um impor-
tante instrumento para a 
conferência do resultado de 
problemas que envolvem 
adição ou subtração.
 
Sugestão de atividade extra
• A atividade interativa Magnetos da Subtração poderá ser realizada pela turma organizada em duas equipes 
(A e B). Um dos integrantes da equipe A deverá indicar apenas os algarismos do minuendo e subtraendo, para que 
os colegas da equipe B montem a subtração. Lembre que aqueles que forem indicar os algarismos não deverão 
fazê-lo aleatoriamente, mas realizar a subtração antes para que o grupo adversário consiga realizar a operação.
Disponível em: <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_sub.html>. Acesso em: 6 ago. 2018.
A
N
D
ER
SO
N
 D
E 
A
N
D
RA
D
E 
PI
M
EN
TE
L
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_sub.html
44
44
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
1 5
subtraendo
83
minuendo
100
diferença
17
1 5
troco recebido
R$ 17,00
valor pago
R$ 100,00
preço do tênis
R$ 83,00
 por meio de uma adição:
Para verificar se uma subtração está correta, podemos fazer uma adição, pois a adição do 
subtraendo com o resto (ou diferença) deve ser sempre igual ao minuendo.
Assim, podemos escrever a relação fundamental da subtração da seguinte maneira:
Por isso, dizemos que a adição e a subtração são operações inversas.
Se o minuendo menos o subtraendo é igual ao resto, então o subtraendo mais o resto é 
igual ao minuendo.
 Se 370 2 120 5 250, então: 120 1 250 5 370
Exemplo
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
5 3 9
2 1 7 4
3 4 5 5
a) 9 3 5
2 6 7 8
2 7 0 7
b)
 1 O piloto norte-americano Josef Newgarden 
conquistou o Campeonato de Fórmula 
Indy em 2017 com 642 pontos, 44 a mais 
que o piloto brasileiro Hélio Castroneves, 
que concluiu a temporada em 4o lugar. 
Qual foi o total de pontos obtidos pelo 
brasileiro na Fórmula Indy em 2017?
 2 Resolva os problemas.
a) Em uma subtração, o subtraendo é 
4 738 e o resto é 149. Determine o mi-
nuendo.
b) Em uma subtração, o minuendo é 1 001 e 
o resto é 956. Determine o subtraendo.
 3 Se, em uma subtração, aumentarmos o 
minuendo em 20 unidades e diminuirmos 
o subtraendo em 15 unidades, em quanto 
aumentará a diferença?
 4 Descubra, em cada item, o valor dos alga-
rismos representados por e .
 5 Copie os itens a seguir no caderno, substi-
tuindo cada pelo número adequado.
a) 1 860 2 5 357 b) 2 3 545 5 1 283
 6 A soma de três números é 8 470. O primeiro 
é 4 319 e o segundo é 1 843. Determine o 
terceiro número.
 7 Forme dupla com um colega e escrevam 
dois exemplos que ilustrem a afirmação: 
“A soma dos termos de uma subtração é 
sempre igual ao dobro do minuendo”. 
R
O
B
E
R
T 
R
E
IN
E
R
S
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
Josef Newgarden durante o grande Prêmio de 
Fórmula Indy em Sonoma, na Califórnia, Estados 
Unidos, em 2017.
45
35 unidades
598 pontos
a) 2; 8
b) 4; 2
4 887
1 503 4 828
2 308
Resposta pessoal.
• Auxilie os alunos na resolu-
ção da atividade 3, sugerin-
do uma subtração cujo sub-
traendo seja maior ou igual 
a 15, por exemplo: 30 2 20 5 
5 10. Seguindo as orienta-
ções do enunciado, temos: 
(30 1 20) 2 (20 2 15) 5 50 2 
2 5 5 45. 
Comparando as diferenças: 
45 2 10 5 35
Chegamos à conclusão de 
que a diferença aumentará 
em 35 unidades. Peça a al-
guns alunos que comparti-
lhem as estratégias empre-
gadas para a resolução, a 
fim de que a turma conheça 
outros exemplos. 
• Para a atividade 7, as res-
postas possíveis são todas as 
subtrações em que o minuen-
do é igual ao subtraendo.
• Peça aos alunos que con-
firam os cálculos realizados 
nas resoluções das ativida-
des. Registrando essa con-
ferência, eles colocarão em 
prática o fato de que a adi-
ção e a subtração são opera-
ções inversas.
 
45
45
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Em uma expressão numérica composta por adições e subtrações, as operações devem ser 
efetuadas na ordem em que aparecem, calculando, assim, o valor da expressão.
Em uma expressão em que aparecem parênteses, devemos efetuar inicialmente as operações 
que estão dentro deles.
Expressões numéricas com adições e subtrações
24 1 32 2 8 1 12 5
5 56 2 8 1 12 5
5 48 1 12 5 60
Júlia ganhou de seu pai um álbum de figurinhas. Para Júlia ganhou de seu pai um álbum de figurinhas. Para 
começar o álbum, sua mãe lhe deu 24 figurinhas. No dia começar o álbum, sua mãe lhe deu 24 figurinhas. No dia 
seguinte, Júlia foi à banca de jornal e comprou 32 figurinhas, seguinte, Júlia foi à banca de jornal e comprou 32 figurinhas, 
porém 8 delas eram repetidas; por isso, ela deu essas figuporém 8 delas eram repetidas; por isso, ela deu essas figu-
rinhas para sua irmã. Seu pai, vendo sua atitude, comprou rinhas para sua irmã. Seu pai, vendo sua atitude, comprou 
mais 12 figurinhas. Com quantas figurinhas Júlia ficou?mais 12 figurinhas. Com quantas figurinhas Júlia ficou?
Para responder a essa questão, podemos calcular o valor da Para responder a essa questão, podemos calcular o valor da 
seguinte expressão numérica: 
Logo, Júlia ficou com 60 figurinhas.
Exemplo
• 12 2 4 1 (5 2 2 1 4) 5
5 12 2 4 1 (3 1 4) 5
5 12 2 4 1 7 5
5 8 1 7 5
5 15
• 8 1 20 2 (7 1 10 2 8) 1 (12 2 9) 5
5 8 1 20 2 (17 2 8) 1 3 5
5 8 1 20 2 9 1 3 5
5 28 2 9 1 3 5
5 19 1 3 5 22
Exemplos
Cuidado!
Em uma expressão numérica na qual uma das operações é a subtração, a mudança dos parênEm uma expressão numérica na qual uma das operações é a subtração, a mudança dos parên-
teses pode levar a resultados diferentes. Veja:teses pode levar a resultados diferentes. Veja:
• 10 2 (7 1 2) 5
5 10 2 9 5 1
• (10 2 7) 1 2 5
5 3 1 2 5 5
• 15 2 (6 (6 2 3) 3) 5
5 15 2 3 5 12
• (15 2 6) 2 3 5
5 9 2 3 3 5 66
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Comente com os alunos so-
bre o cuidado que devemos 
ter nas expressões em que 
os parênteses são aplicados. 
Os parênteses indicam a prio-
ridade da operação durante 
a resolução; é importante 
que os alunos entendam que 
a mudança de posição dos 
parênteses ou mesmo resol-
ver a expressão ignorando a 
existência deles modificam o 
resultado da expressão.
 
46
46
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Lendo e aprendendo
Para efetuar cálculos com a calculadora, podemos usar as funções de memória.Para efetuar cálculos com a calculadora, podemos usar as funções de memória.
 Digite as sequências abaixo e confirme o resultado no visor. Digite as sequências abaixo e confirme o resultado no visor. Digite as sequências abaixo e confirme o resultado no visor.
Confira a função das teclas que você usou:
M+ Armazena na memória um número digitado ou adiciona o número digitado ao Armazena na memória um número digitado ou adiciona o número digitado ao 
número armazenado na memória.
M– Subtrai um número daquele armazenado na memória.
MR Mostra no visor o conteúdo da memória.
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
cálculo efetuado em cada exemplo acima.
M+ MRM– MRM–M+ 24500
M– MRM+ MRM+M+1 2 500
 1 Calcule o valor de cada expressão nu -
mérica.
a) (18 2 15 1 3) 1 2
b) 30 1 (50 2 12) 2 15
c) 13 2 8 1 7 2 4 2 2
d) (60 2 12) 2 (10 1 20) 2 14
e) (100 2 35 1 15) 1 (200 1 135 2 98)
f) 200 2 (40 1 50) 2 90 2 10
 2 Copie as expressões numéricas no caderno, 
colocando parênteses quando necessário, 
para determinar o resultado indicado.
a) 8 2 3 1 4 2 5 2 1 5 5
b) 15 2 8 1 7 1 8 5 8
c) 9 2 8 1 7 2 6 1 3 5 5
d) 35 1 15 2 20 1 18 5 12
e) 19 2 8 1 5 2 4 2 3 5 5
f) 200 2 120 1 80 1 70 2 20 1 50 5 0
 3 Sérgio pensou em um número. Em se guida, 
adicionou-lhe 10. Depois, subtraiu 13 do 
resultado anterior, obtendo 12. Em que 
número Sérgio pensou?
 4 Leia as frases abaixo e escreva uma expres-
são numérica que corresponda a cada uma 
delas. Em seguida, calcule seu valor.
a) Subtraia da soma de 180 com 45 a dife-
rença entre 210 e 107.
b) Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
 5 Em uma sapataria, havia 950 pares 
de sapatos. Nos dois primeiros meses do 
ano, foram vendidos 380 e 420 pares de 
sa patos, respectivamente. Depois, foram 
enviados à sapataria mais 330 pares para 
venda. Quantos pares de sapatos há 
agora nessa sapataria?agora nessa sapataria?
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
2. a) 8 2 3 1 4 2 (5 2 1) 5 5
 b) b) 15 15 2 (8 (8 11 7) 7) 11 8 8 5 8 8
 d) 35 1 15 2 (20 1 18) 5 12
 e) 19 2 (8 1 5) 2 (4 2 3) 5 5
 f ) 200 2 (120 1 80) 1 70 2 (20 1 50) 5 0
(10 
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
(10 
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
1 20 
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
 20 
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
1 5) 
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
 5) 
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
2 35
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
 35
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao 
(40 2 20 2 5) 1 15
15
4
317
10
(180 
rença entre 210 e 107.
(180 
rença entre 210 e 107.
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
(180 
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
1
rença entre 210 e 107.
1
rença entre 210 e 107.
 45) 
rença entre 210 e 107.
 45) 
rença entre 210 e 107.
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
 45) 
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
2 (210 
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
 (210 
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
2 107) 
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
 107) 
Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.
5 122
(315 2 285) 1 72 5 102
480480
8
53
6
Lendo e aprendendo 
• A seção traz uma breve 
orientação para que os alu-
nos utilizem a função me-
mória de uma calculadora. 
No planejamento da ativida-
de, certifique-se de que haja 
calculadoras como material 
didático: os alunos podem 
levar a própria calculadora 
ou a escola pode fornecê-las 
para utilização na sala de 
aula. Não havendo calcula-
doras para todos os alunos, 
reúna-os em grupos. Vale 
lembrar que os celulares 
podem ser uma opção no 
uso da calculadora. Assim, 
pode-se conversar com os 
pais e com a escola para que 
o uso do celular seja plane-
jado e possa ser liberado 
nas aulas com esse intuito.
• Como aprofundamento, peça 
aos alunos que discutam e 
 resolvam a sugestão de ativi-
dade extra indicada.
• Verifique se os alunos 
constroem corretamente a 
expressão que representa a 
situação da atividade 3, utili-
zando as operações inversas 
realizadas por Sérgio, já que 
precisam determinar o nú-
mero pensado a partir do re-
sultado final das operações. 
12 1 13 2 10 5 15
operação 
inversa de:
“subtraiu 
13”
operação 
inversa de:
“adicionou 
10”
número 
pensado
número 
obtido
Sugestão de atividade extra
• Peça aos alunos que confiram os seguintes cálculos usando uma calculadora: 
a) 2 589 1 369 5 2 958 b) 15 1 200 1 163 5 378 c) (200 2 15) 1 (25 2 10) 5 200
Mas existe uma regra: não pode usar as teclas 1 e M1 . Respostas: a) 2 958 2 369 5 2 589 ou 2 958 2 2 589 5 
5 369; b) Uma possibilidade é fazer: 378 2 163 2 200 5 15; c) Uma possibilidade é encontrar os valores das 
expressões entre parênteses primeiro: 200 2 15 5 185 e 25 2 10 5 15 e, depois, verificar: 200 2 15 5 185 G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
47
47
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Observe as situações a seguir.
Situação 1 Situação 1 
Pedro é professor de dança de salão e está preparando uma apresentação de gafieira. 
Todos  os alunos vão participar, formando 8 casais. Quantos alunos vão participar dessa 
apresentação?
O total de alunos pode ser determinado por uma adição de parcelas iguais:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 16
Logo, 16 alunos vão participar dessa apresentação.
Para simplificar o registro dessa operação, fazemos:
8 # 2 5 16 Lemos: "oito vezes dois é igual a dezesseis".
Chamamos essa operação de multiplicação. Os números 8 e 2 são os fatores, e 16, o produto. 
fator
produtoproduto
fator
8
# 2
16
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Multiplicação com números naturais3
• 12 1 12 1 12 1 12 5 4 # 12 5 48
4 parcelas
7 parcelas
• 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 7 # 3 5 21
3 parcelas
• 20 1 20 1 20 5 3 # 20 5 60
Exemplos
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Neste tópico, apresenta-
remos situações relaciona-
das à multiplicação, com o 
 desenvolvimento das ideias 
da multiplicação como: 
adição de parcelas iguais, 
disposição retangular, com-
binatória (determinar as 
possibilidades) e proporcio-
nalidade. A cada ideia apre-
sentada, peça aos alunos 
que citem outros exemplos 
de sua aplicação. 
 
48
48
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Situação 2Situação 2
Sandra coleciona figurinhas de animais da fauna brasileira ameaçados de extinção.
Observe como são as páginas do álbum de Sandra. 
Quantas figurinhas cabem em cada página?
Para chegar à resposta, não há necessidade de contar individualmente os espaços onde as 
figurinhas são coladas, pois em cada fileira há a mesma quantidade. Esse tipo de organização 
é conhecido como disposição retangular. 
Nesse caso, há 4 fileiras e cabem 3 figurinhas em cada uma.
Então, para determinar o total de figurinhas, fazemos 4 8 3 ou 3 8 4, obtendo 12.
Logo, cabem 12 figurinhas em cada página do álbum. 
Para obter o total de potes de gelatina que há na 
bandeja, podemos fazer:
3 8 5 5 15
ou 
5 8 3 5 15
Logo, há 15 potes de gelatina na bandeja.
Exemplo
Observações
1 Para indicar uma multiplicação, podemos utilizar um ponto (Para indicar uma multiplicação, podemos utilizar um ponto (8) ou o sinal de vezes (#). Assim:
• 8 # 2 5 8 8 2 5 16
• 4 # 12 5 4 8 12 5 48
2 Veja os nomes especiais utilizados para indicar algumas multiplicações.Veja os nomes especiais utilizados para indicar algumas multiplicações.
• O dobro de 5 é o mesmo que 2 8 5.
• O triplo de 8 é o mesmo que 3 8 8.
• O quádruplo de 10 é o mesmo que 4 8 10.
• O quíntuplo de 12 é o mesmo que 5 8 12.
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
Se achar oportuno, comente com os alunos que, nesta obra, Se achar oportuno, comente com os alunos que, nesta obra, 
optou-se por utilizar o ponto para indicar uma multiplicação.optou-se por utilizar o ponto para indicar uma multiplicação.
• Ao abordar a situação 2, 
comente com os alunos que 
a disposição retangular é 
uma forma organizada de 
ordenar os elementos, e isso 
nos ajuda em situações em 
que não é possível realizar a 
contagem um a um. Peça aos 
alunos que determinem a 
multiplicação que representa 
a quantidade de quadradi-
nhos da figura abaixo.
 
Resposta: 10 3 10
 
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
49
49
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
roib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Situação 3
Para fazer aulas de tênis, Carlos tem 2 calções 
e 5 camisetas.
De quantas maneiras diferentes Carlos pode 
se vestir para praticar tênis?
Para encontrar a resposta, é necessário 
determinar todas as possibilidades que existem. 
Observe o esquema abaixo, que representa 
a situação.
Como há 2 calções e, para cada um, há 5 camisetas, o total de possibilidades é dado por: 
2 8 5 5 10
Podemos pensar, ainda, em 5 camisetas e, para cada uma, 2 calções, ou seja, 5 8 2 5 10.
Logo, Carlos pode se vestir de 10 maneiras diferentes.
Em uma lanchonete, são oferecidos 4 sabores de suco (laranja, cajá, morango e uva) e 3 tipos 
de sanduíche (natural, queijo e misto).
Se Ana escolher um suco e um sanduíche dessa lanchonete, de quantas maneiras diferentes 
poderá lanchar?
Exemplo
Portanto, Ana poderá escolher entre 12 combinações de suco e sanduíche.
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: G
E
O
R
G
E
 T
U
T
U
M
I
4 8 3 5 12 ou 3 8 4 5 12
• A situação 3 trabalha a ideia 
de combinatória (determinar 
a quantidade de possibilida-
des). Comente com os alunos 
que os esquemas auxiliam na 
resolução desse tipo de situa-
ção, pois ajudam a ilustrar 
as possibilidades existentes. 
Além disso, para uma única si-
tuação podemos construir es-
quemas diferentes. Veja outro 
modo de construir o esquema 
da situação apresentada no 
exemplo:
Natural
Laranja
Natural 
e laranja
Cajá
Natural 
e cajá
Morango
Natural e 
morango
Uva
Natural 
e uva
Queijo
Laranja
Queijo 
e laranja
Cajá
Queijo 
e cajá
Morango
Queijo e 
morango
Uva
Queijo 
e uva
Misto
Laranja
Misto 
e laranja
Cajá
Misto 
e cajá
Morango
Misto e 
morango
Uva
Misto 
e uva
 
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
50
Com R$$ 28,00, compro 3 miniaturas de carro. Quanto vou pagar 
por 15 dessas miniaturas?
Logo, vou pagar R$$ 140,00 por 15 miniaturas.
R
IC
H
A
R
D
 H
E
Y
E
S
/
R
IC
H
A
R
D
 H
E
Y
E
S
/
A
LA
M
Y
/G
LO
W
 
IM
A
G
E
S
D
A
V
ID
 H
U
N
TL
E
Y
 
D
A
V
ID
 H
U
N
TL
E
Y
 
D
A
V
ID
 H
U
N
TL
E
Y
 
D
A
V
ID
 H
U
N
TL
E
Y
 
C
R
E
AT
IV
E
/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
C
H
R
IS
TO
P
H
E
R
 
C
H
R
IS
TO
P
H
E
R
 
B
R
A
D
S
H
A
W
/A
LA
M
Y
/
B
R
A
D
S
H
A
W
/A
LA
M
Y
/
G
LO
W
 IM
A
G
E
S
G
LO
W
 IM
A
G
E
S
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: G
E
O
R
G
E
 T
U
T
U
M
I
50
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
©
 IC
P
IX
_H
K
/A
LA
M
Y
/
©
 IC
P
IX
_H
K
/A
LA
M
Y
/
LA
TI
N
S
TO
C
K
Situação 4Situação 4
Cada garrafão, como o da figura, contém 20 litros de água. 
Quantos litros de água teriam 3 garrafões iguais a esse? 
E 4 garrafões?
Podemos resolver essa situação com base na ideia de 
proporção direta, relacionando a quantidade total de água 
com a quantidade de água que há em um garrafão. Observe.
1 garrafão
4 garrafões
20 litros
80 litros
# 4 # 4
1 garrafão
3 garrafões
20 litros
60 litros
# 3 # 3
R$$ 28,00
R$$ 140,00
3 miniaturas
15 miniaturas
# 5 # 5
Logo, 3 garrafões contêm 60 litros de água, e 4 garrafões, 80 litros.
Exemplo
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
 1 Represente cada uma das adições por 
uma multiplicação.
a) 8 1 8 1 8 1 8
b) 1 1 1 1 1
c) 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9
d) a 1 a 1 a 1 a
e) 0 1 0 1 0 1 0 1 0
 2 Em uma loja de materiais esportivos, há 
36 caixas com 12 bolas em cada uma. 
Podemos calcular o total de bolas nessa 
loja fazendo apenas uma operação.
a) Que operação é essa?
b) Qual é o resultado dessa operação?
4 8 8
3 8 1
6 8 9
4 8 a
5 8 0 432
multiplicação
• Na resolução da atividade 2, 
observe como os alunos rea-
lizam a multiplicação; eles 
podem utilizar os algoritmos 
(usual e de decomposição). 
Veja:
 �Algoritmo usual:
3 6
# 1 2
7 2 P 2 3 36
1 3 6 0 P 10 3 36
4 3 2
 �Algoritmo de decomposição:
30 1 6 5 36
# 10 1 2 5 12
1 2 P 2 3 6
6 0 P 2 3 30
6 0 P 10 3 6
1 3 0 0 P 10 3 30
4 3 2
 
51
51
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
a) Qual é o total de vagas do setor?
b) Quantos automóveis estão estacionados?
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
 3 Efetue.
a) 35 8 16 c) 850 8 101 e) 367 8 51
b) 179 8 45 d) 89 8 242 f) 1 003 8 55
 4 Observe o Setor A do estacionamento de 
uma indústria automobilística. 
 5 Calcule mentalmente cada multiplicação 
e registre os resultados no caderno.
a) 17 8 10 e) 9 8 8 8 0
b) 85 8 100 f) 59 8 1 000
c) 19 8 0 g) 1 043 8 10
d) 174 8 1 000 h) 75 8 10 000
• O que podemos observar nas multipli-
cações realizadas?
 6 Calcule mentalmente o resultado de cada 
multiplicação. Em seguida, registre os 
resultados.
a) Dobro de duas centenas.
b) Triplo de meio milhar.
c) Quádruplo de uma dúzia. 
d) Quíntuplo de 17. 
 7 Calcule. 
546 1 546 1 546 1 546 1 546 1 546 1
1 546 1 546 1 546 
 8 Segundo cálculos de uma empresa de 
distribuição de água, uma torneira gote-
jando representa 46 litros de água des-
perdiçada por dia. Quantos litros de água 
são desperdiçados em 90 dias?
 9 Observe o esquema de uma pista utilizada 
para provas de atletismo com barreiras. 
Determine, em metro, a extensão dessa Determine, em metro, a extensão dessa 
pista considerando que as medidas são 
dadas em metro.
 10 Um automóvel percorre, em média, Um automóvel percorre, em média, 
8 quilômetros com 1 litro de combustível 
e vem equipado com um tanque com 
capacidade de 40  litros. Supondo que o 
tanque de combustível esteja cheio, qual 
é a distância máxima que esse veículo 
pode percorrer sem reabastecer?
 11 Efetue as multiplicações no caderno, obser-
vando o que elas apresentam de curioso.
a) 37 8 15 c) 37 8 21
b) 37 8 18 d) 37 8 24
• Agora, um desafio para você: determine o 
produto 37 8 2700 sem efetuar o cálculo.
555 777
666 888
99 900
 12 Um motor bombeia 3 700 litros de água 
por minuto para uma cisterna. Quantos 
litros de água esse motor bombeará em 
30 minutos? 111 000 litros
 14 Bruno foi a uma loja de roupas e sapatos 
e comprou os seguintes itens:
• uma bermuda branca, uma azul e uma 
vermelha;
• uma camiseta amarela, uma lilás, uma 
verde e uma cinza;
• um par de tênis branco e um preto.
De quantas maneiras diferentes ele pode 
combinar as roupas com os tênis?
 15 Em uma fábrica de eletrodomésticos, são 
produzidas 220 lavadoras por dia. Em 
25 dias, quantas lavadoras são fabricadas?
 13 De quantas maneiras diferentes é possível 
pintar as três faixas de uma figura como 
a mostrada abaixo, usando, sem repetir, 
as cores vermelha, verde e azul? Desenhe 
todas as possibilidades no caderno.
6 maneiras diferentes
Lembre-se:
Não escreva no livro!
45 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
170
8 500
0
174 000
0
59 000
10 430
750 000
84 vagas
Qual é o total de vagas do setor?
84 vagas
Qual é o total de vagas do setor?
Quantos automóveis estão estacionados?
84 vagas
Quantos automóveis estão estacionados?
80 automóveis
400
1 500
48
85
4 914
4 140 litros
395 metros
320 quilômetros
Ele pode combinar as peças de 24 maneiras diferentes.
5 500 lavadoras
a) 560
b) 8 055
c) 85 850
d) 21 538
e) 18 717
f ) 55 165
• O cálculo mental pode ser 
incentivado em diversas ati-
vidades, além das destaca-
das com o ícone. Estimule os 
alunos a buscar o modo pró-
prio de elaborar os proces-
sos para chegar ao resultado 
mentalmente.
• Na atividade 5, pode-se 
orientar os alunos para que 
façam o cálculo utilizando o 
algoritmo de decomposição 
como referência. Espera-se 
que eles observem que, para 
multiplicar um número por 
10, 100, 1 000, ..., basta acres-
centar à direita desse número 
um, dois, três, ... zeros. Obser-
vamos também que, se um 
dos fatores da multiplicação 
for zero, o produto também 
será zero(o zero é o elemen-
to neutro da multiplicação).
• Na atividade 6, peça a al-
guns alunos que comparti-
lhem a estratégia de reso-
lução que utilizaram para 
determinar o resultado das 
multiplicações. Por exemplo, 
eles poderão apresentar como 
estratégia de resolução para 
o item d o seguinte raciocí-
nio: determinar o quíntuplo 
de 17 é o mesmo que fazer 
5 3 17. Como 17 é 10 1 7, en-
tão faço 5 3 10, que é igual 
a 50. Agora, faço 5 3 7, que 
é igual a 35. Adicionando 50 
e 35, obtenho 85, que é o 
quíntuplo de 17. 
• Para a atividade 11, peça 
aos alunos que observem os 
itens e percebam que o fator 
37 está em todos eles e que o 
outro fator vai aumentando 
de três em três: 15, 18, 21 e 
24; então 27 seria o próximo. 
Acompanhando a sequên-
cia de números iguais como 
produto, teremos 999 acres-
cido de dois zeros do fator 
2 700; portanto:
37 3 2 700 5 99 900
 
52
Lembre-se:
Não escreva no livro!
52
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Algumas propriedades da multiplicação
Vamos conhecer algumas propriedades da multiplicação.
Propriedade comutativa
Propriedade associativa
Elemento neutro
• Que resultados você obteve?
• O que você percebeu?
 Escolha outros dois números naturais e, em seu caderno, multiplique um pelo outro. 
Em seguida, multiplique os mesmos números trocando a ordem dos fatores. O que 
você observou?
• Que resultados você obteve?
• O que você percebeu?
 Escreva, em seu caderno, três outros números naturais e multiplique o produto dos dois 
primeiros pelo terceiro. Em seguida, multiplique o primeiro número pelo produto dos 
dois últimos. O que você observou?
• Que resultados você obteve?
• O que você percebeu?
7 8 8
1 8 25
(6 8 2) 8 3 6 8 (2 8 3)
8 8 7
34 8 1
 Calcule mentalmente: 
 Calcule mentalmente: 
 Calcule mentalmente: 
Em uma multiplicação de números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.
Em uma multiplicação com mais de dois números naturais, podemos associar os fatores 
de modos diferentes sem alterar o produto. 
O número 1, quando multiplicado por outro número natural qualquer, resulta sempre 
nesse outro número. Ou seja, o 1 como fator da multiplicação não altera o valor do 
produto. Por isso, ele é chamado elemento neutro da multiplicação.
 Escreva em seu caderno alguns números naturais. Em seguida, multiplique cada um desses 
números por 1. O que você observou? Resposta pessoal.
56; 56 
36; 36 
25; 34 
Espera-se que os alunos percebam que, ao alterar a 
ordem dos fatores, o produto permaneceu o mesmo.
Espera-se que os alunos percebam que, apesar de terem associado 
os fatores de formas diferentes, o produto permaneceu o mesmo.
Espera-se que os alunos percebam que, ao multiplicar 
um número por 1, o produto é o mesmo número.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
(6 8 2) 8 3 5 12 8 3 5 36 6 8 (2 8 3) 5 6 8 6 5 36
• Comente com os alunos 
que a verificação de alguns 
exemplos não é suficiente 
para provar as proprieda-
des. Explique a eles que para 
cada uma dessas proprieda-
des há uma demonstração.
• Para o seu conhecimento, 
a sugestão de leitura da 
pá gi na 40 também traz as 
 demonstrações dessas pro-
priedades da multiplicação.
 
53
53
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
8
13
6
5
O número de quadradinhos vermelhos pode ser obtido por meio da multiplicação de 6 por 8, 
e o número de quadradinhos azuis, por meio da multiplicação de 6 por 5.
Como o número total de quadradinhos do painel é igual ao número de quadradinhos 
vermelhos mais o número de quadradinhos azuis, temos: 
6 8 13 5 6 8 (8 1 5) 5 6 8 8 1 6 8 5
Podemos observar que a multiplicação foi distribuída pelas parcelas de um dos fatores; 
depois, foram adicionados os resultados. Nesse caso, foi aplicada a propriedade distributiva 
da multiplicação em relação à adição. 
Propriedade distributivaPropriedade distributiva
O painel abaixo é composto de quadradinhos vermelhos e azuis. 
Essa propriedade também pode ser aplicada à subtração.
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
• 4 8 (6 1 8) 5 4 8 6 1 4 8 8 5 24 1 32 5 56
• 10 8 (7 1 3) 5 10 8 7 1 10 8 3 5 70 1 30 5 100
Exemplos
• 8 8 (5 2 3) 5 8 8 5 2 8 8 3 5 40 2 24 5 16
• 15 8 (7 2 4) 5 15 8 7 2 15 8 4 5 105 2 60 5 45
Exemplos
Para multiplicar um número natural por uma adição (ou subtração) com dois ou mais 
termos, podemos multiplicar esse número por cada um dos termos da adição (ou da 
subtração) e adicionar (ou subtrair) os resultados obtidos.
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• Questione os alunos e 
veja se eles percebem que 
já aplicaram a propriedade 
distributiva para resolver 
algumas multiplicações, por 
exemplo na estratégia uti-
lizada como cálculo mental 
para a resolução da ativida-
de 5 da página 51. 
 
Sugestões de atividade extra
• Peça aos alunos que se organizem em duplas e realizem as atividades interativas Seis em linha e Flores para as na-
moradas. A ideia é que eles possam praticar o cálculo mental e sejam estimulados a desenvolver o raciocínio lógico.
Disponíveis em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19597/seis_em_linha_
multiplicacao.pdf?sequence51%3E> e <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19484/
num_op_16.html?sequence56>. Acessos em: 29 jul. 2018.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19597/seis_em_linha_multiplicacao.pdf?sequence51%3E
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19597/seis_em_linha_multiplicacao.pdf?sequence51%3E
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19484/num_op_16.html?sequence56
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19484/num_op_16.html?sequence56
54
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
54
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
5
9 4
Divisão exata
Observe as situações a seguir.
Situação 1Situação 1
Reinaldo distribuiu, em quantidades iguais, 45 bombons em cinco Reinaldo distribuiu, em quantidades iguais, 45 bombons em cinco 
embalagens. Quantos bombons ele colocou em cada embalagem?embalagens. Quantos bombons ele colocou em cada embalagem?
Para determinar a quantidade de bombons que Reinaldo colocou Para determinar a quantidade de bombons que Reinaldo colocou 
em cada embalagem, devemos dividir 45 por 5.
4 5 5
0 9
dividendo divisor
quocienteresto
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Divisão com números naturais4
 5 Em cada item, aplique a propriedade dis-
tributiva da multiplicação.
a) 5 8 (8 1 2) d) (8 2 3) 8 4
b) 9 8 (8 2 3) e) 10 8 (20 1 30)
c) (2 1 8) 8 15 f) 12 8 (15 2 6)
 6 Determine o número de quadradinhos 
da figura. 
 1 Sabendo que a e b são números naturais 
e a 8 b 5 60, responda.
a) Qual é o valor de b 8 a?
b) Qual é o valor de 1 8 a 8 b?
c) Qual é o valor de a 8 (b 8 5)?
• Quais são as propriedades utilizadas 
para justificar as respostas de cada item?
 2 Luís considerou mais fácil efetuar as 
multiplicações 2 8 37 8 50 e 30 8 17 da 
seguinte maneira: 2 8 50 8 37 e 30 8 (10 1 7). 
Você concorda com Luís? Justifique.
 4 Sabendo que a é um número natural, 
observe a igualdade 307 8 a 5 307 e res-
ponda às questões.
a) Qual é o valor de a? 
b) Qual é a propriedade da multiplicação 
que se aplica a essa situação?
 3 Calcule mentalmente.
a) 1 8 2 8 3 8 4 8 5
b) 100 8 375 8 2
c) 50 8 26 8 2
d) 25 8 37 8 4
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
45 9 5 5 9 Lemos: “quarenta e cinco dividido por cinco é igual a nove”.
Logo, Reinaldo colocou 9 bombons em cada embalagem.
Chamamos essa operação de divisão. 
Nesse caso, usamos a divisão para repartir uma quantidade uma quantidade 
em partes iguais.
Quando o resto da divisão é zero, dizemos que a divisão é exataexata.
60
60
300
3 700
2 600
120
75 000
elemento neutro
5. a)5.a) 5 5 8 8 8 11 5 5 8 2 2
 b) 9 8 8 2 9 8 3
 c) 2 8 15 1 8 8 15
d)d) 8 8 8 4 4 2 3 3 8 4 4
e) 10 8 20 1 10 8 30
f ) 12 8 15 2 12 8 6
5 8 9 1 5 8 4 5 65
Comutativa, elemento neutro e associativa, 
para justificar as respostas de cada item?
Comutativa, elemento neutro e associativa, 
para justificar as respostas de cada item?
respectivamente. 
Luís considerou mais fácil efetuar as 
respectivamente. 
Luís considerou mais fácil efetuar as 
1
• As atividades propostas 
têm como objetivo pôr em 
prática as propriedades da 
multiplicação. A compreen-
são dessas propriedades aju-
dará na realização do cálculo 
mental e na resolução das 
expressões numéricas. 
 
• Inicia-se o trabalho com a 
divisão com números natu-
rais, abordando as seguintes 
ideias: repartir em partes 
iguais e medida.
• A tendência é que os alunos 
apresentem uma dificuldade 
maior para efetuar divisões, 
em comparação com as de-
mais operações vistas até o 
momento. Por isso, peça que 
efetuem divisões que abor-
dem situações diversas, esco-
lhendo como forma de reso-
lução aquela estratégia que 
melhor se adaptar.
• Explique aos alunos que, para indicar uma divisão, podemos utilizar ÷ ou 4. Nesta obra, adotaremos 4 como 
padrão.
55
55
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Situação 2Situação 2
Um feirante tem 480 laranjas para vender e vai colocá-las em sacos com 12 unidades 
(uma  dúzia) cada um. Quantos sacos serão utilizados pelo feirante para armazenar todas 
as laranjas?
Queremos saber quantos grupos de 12 po-
dem ser formados com 480 laranjas. Para isso, dem ser formados com 480 laranjas. Para isso, 
efe tuamos a divisão 480 9 12.
4 8 0 124 8 0 12
2 4 8 40
0 0
Logo, serão utilizados 40 sacos. 
Nesse caso, usamos a divisão para descobrir Nesse caso, usamos a divisão para descobrir 
quantas vezes uma quantidade cabe em outra. em outra.
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
Dividindo mentalmente
A professora de Ana Clara e Maurício pediu a eles que dividissem 1 024 por 4 o mais rápido que 
conseguissem. Ambos fizeram um cálculo mental e deram o resultado quase ao mesmo tempo: 
256. Então, a professora pediu a eles que explicassem como haviam pensado para chegar ao 
resultado.
Resposta de Ana Clara: Primeiro, dividi 1 024 por 2, que resultou em 512, e, em seguida, 
dividi 512 por 2 novamente, resultando em 256. Como 2 vezes 2 é igual a 4, achei que 
fazendo assim ia dar certo.
1 024 9 2 5 512
512 9 2 5 256
Resposta de Maurício: Fiz a decomposição de 1 024 da seguinte maneira 1 000 1 20 1 4. 
Então, primeiro, dividi 1 000 por 4, que resultou em 250; depois, dividi 20 por 4, resul-
tando em 5; por fim, dividi 4 por 4, tendo como resposta 1. Então, somei 250 1 5 1 1, 
que resultou em 256.
1 024 5 1 000 1 20 1 4
1 000 9 4 5 250
20 9 4 5 5
4 9 4 5 1
250 1 5 1 1 5 256
Depois de ouvir as duas resoluções, a professora comentou que tanto Ana Clara quanto 
Maurício haviam calculado de maneira correta, mas, em comparação com a forma utilizada 
por Maurício, a resolução de Ana Clara era mais simples e prática, porque apresentava menos 
etapas de cálculo.
• Questione os alunos so-
bre as estratégias de cálculo 
utilizadas por Ana Clara e 
Maurício na situação apre-
sentada no tópico “Dividindo 
mentalmente”, perguntando 
com qual das estratégias eles 
se identificaram mais e tire 
eventuais dúvidas quanto 
aos cálculos realizados. 
Depois, peça que resolvam 
a divisão que ilustra a situa-
ção 2 de uma maneira dife-
rente da proposta no livro.
 
Sugestão de atividade extra
• O recurso Aritmética 2.02 trabalha com as operações de multiplicação e de divisão e estimula o cálculo mental.
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id530951>. Acesso em: 29 jul. 2018.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id530951
56
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
56
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 1 Resolva os problemas.
a) Os 576 quadros de uma exposição foram 
embalados em caixas com 9 quadros 
cada uma. Quantas caixas foram ne-
cessárias para embalar os quadros?
b) Artur dividiu, igualmente, os 216 pei-
xes do seu tanque em 12 aquários. 
Quantos peixes Artur colocou em cada 
um desses aquários?
c) Tia Lúcia repartiu R$$ 480,00 igual-
mente entre os seus 8 netos. Quantos 
reais ela deu a cada um?
 5 Um colégio foi construído em uma área de 
6 000 metros quadrados. Dividindo essa 
área em três partes iguais, uma delas 
ficou livre e, em cada uma das outras duas 
partes, foram construídas 25 salas de aula. 
Qual é a área de cada sala de aula?
 6 Um caminhão transporta 24432 garra-
fas de suco em caixas que contêm duas 
dúzias de garrafas cada uma. Quantas 
caixas há nesse caminhão?
 7 Reúna-se com um colega e resolvam o 
seguinte problema. 
A luz emitida pelo Sol viaja no vácuo a 
300 000 quilômetros por segundo. Saben-
do que o Sol está a aproximadamente 
150 000 000 de quilômetros da Terra, cal-
culem a quantidade de segundos que a 
luz do Sol demora para chegar à Terra.
 2 Efetue a divisão de 120 por 5 e responda.
a) Qual é o quociente dessa divisão?
b) Qual é o resto dessa divisão?
 3 Efetue no caderno.
a) 156 9 12
b) 320 9 64
c) 900 9 25
d) 10 032 9 8
 4 Calcule mentalmente e escreva o resultado.
a) 50 9 10
b) 500 9 10 
c) 500 9 100
d) 50 9 5
No cálculo de uma expressão numérica, as operações indicadas devem ser efetuadas na 
seguinte ordem:
1o) multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
2o) adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
• 30 9 2 8 3 5
5 15 8 3 5 45
• 15 9 5 2 1 1 4 8 3 5
5 3 2 1 1 12 5
5 2 1 12 5
5 14
• 5 2 1 1 4 5
5 4 1 4 5 8
Exemplos
Expressões numéricas com as quatro operações
64 caixas
cessárias para embalar os quadros?
64 caixas
cessárias para embalar os quadros?
Artur dividiu, igualmente, os 216 pei
64 caixas
Artur dividiu, igualmente, os 216 pei
18 peixes
60 reais
24
zero
10
50
5
5
13
5
36
1 254
1 018 caixas
500 segundos500 segundos
luz do Sol demora para chegar à Terra.
500 segundos
luz do Sol demora para chegar à Terra.
80 metros quadrados
• As atividades deste tópico 
visam explorar diversas di-
visões e, consequentemen-
te, situações variadas para 
estender o enredo de estra-
tégias de cálculo do aluno. 
No momento da resolução 
das atividades, explore mais 
de uma estratégia e peça 
aos alunos que apresentem 
aquela que eles utilizaram 
nas resoluções. 
• A atividade 4 pode ser 
complementada com a se-
guinte pergunta: “O que po-
demos observar nas divisões 
realizadas?”. Espera-se que 
os alunos observem que, 
para dividir um número por 
10, 100, ..., basta eliminar à 
direita desse número um, 
dois, ... zeros. 
• A seguir apresentamos a 
resolução da atividade 5:
6 000 4 3 5 2 000 P cada parte 
terá 2 000 metros quadrados
2 000 4 25 5 80 P área de uma 
sala
A área de cada sala de aula 
será de 80 metros quadrados.
• Para resolver a atividade 7, 
podemos organizar as in-
formações do problema no 
seguinte esquema:
300 000 quilômetros 1 segundo
150 000 000 quilômetros ? segundos
Temos aqui um caso de pro-
porção direta, relacionando 
a distância, em quilômetro, 
com o tempo, em segundo. 
Então, para determinar 
quanto tempo, em segundo, 
a luz demora para percorrer 
150 000 000 quilômetros, pre-
cisamos multiplicar 1 segun-
do pelo mesmo fator que 
multiplicamos 300 000 qui - 
lômetros e determinamos 
150 000 000 quilômetros. Para 
encontrar esse fator, de-
vemos realizar a seguinte 
divisão: 150 000 000 4 300 000 5 
5 500
Portanto, 500 segundos 
(1 segundo 3 500) é o tem-
po que a luz do Sol demora 
para chegar à Terra. Aqui, 
os alunos poderão observar 
que a multiplicação e a divi-
são exata são operações in-
versas, assim como a adição 
e a subtração. 
 
• Peça aos alunos que observem as regraspara a resolução das expressões no que diz respeito à ordem das ope-
rações ou ao uso dos sinais de associação. Para que compreendam a influência das regras, resolva novamente 
no quadro de giz os exemplos apresentados no livro, porém sem respeitar as regras 2 os resultados serão 
diferentes ou a resolução da expressão não será possível no conjunto dos números naturais, fazendo com que, 
nessa fase, os alunos não consigam resolvê-la. 
57
57
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Há expressões em que aparecem sinais de associação. Nesse caso, devemos resolver as 
 operações nesta ordem:
1o) as que estiverem entre parênteses ( );
2o) as que estiverem entre colchetes [ ];
3o) as que estiverem entre chaves { }.
• (24 2 12) 9 2 8 3 5
 5 12 9 2 8 3 5 
 5 6 8 3 5 18
• 100 1 60 9 (9 2 5 1 2) 8 2 5
 5 100 1 60 9 (4 1 2) 8 2 5
 5 100 1 60 9 6 8 2 5
 5 100 1 10 8 2 5
 5 100 1 20 5 120
• 30 2 {20 2 4 8 [30 2 (8 1 4) 8 2] 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 4 8 [30 2 12 8 2] 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 4 8 [30 2 24] 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 4 8 6 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 24 9 2} 5
 5 30 2 {20 2 12} 5
 5 30 2 8 5
 5 22
Exemplos
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
 1 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 5 1 6 8 4
b) (5 1 6) 8 4
c) 10 1 8 8 4 2 15
d) 200 2 3 8 60 1 8
e) (18 2 15 9 5 1 3) 8 4
f) [(21 9 7) 8 (3 9 1) 1 6] 2 [(7 8 6) 9 (5 2 2)]
g) {[13 2 (3 8 2 1 1)] 1 3 1 (5 8 2 2 4 9 2)}
 2 Copie as expressões substituindo os pelos sinais aritméticos (1, 2, 8, 9), de 
modo que se obtenha o valor indicado em azul ao lado de cada uma.
a) 6 [(6 6) 6] p 6
b) [(6 6) 6] 6 p 7 
c) (6 6) (6 6) p 37
d) [(6 6) 6] 6 p 78
e) (6 6 6) 6 p 210
29
44
27
28
72
17
1
(6 8 6 8 6) 2 6 5 210
6 1 [(6 2 6) 8 6] 5 6
[(6 8 6) 1 6] 9 6 5 7
(6 8 6) 1 (6 9 6) 5 37 ou (6 9 6) 1 (6 8 6) 5 37
[(6 1 6) 8 6] 1 6 5 78
58
58
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Observações
3 8 7
3 5
dividendo divisor
 quocienteresto 
Considere a seguinte divisão: 3 8 7
?
Observe que não existe nenhum número natural que, ao ser multiplicado por 7, dê como 
resultado 38. O número natural que, ao ser multiplicado por 7, origina o produto mais próximo 
e menor que 38 é 5. Veja:
5 8 7 5 35
35 , 38
38 2 35 5 3
Assim, 38 9 7 é uma divisão com quociente igual a 5 e resto igual a 3. Observe:
Quando o resto da divisão é diferente de zero, dizemos que a divisão é não exata.
 Relação fundamental da divisão
Na divisão de 38 por 7, observamos que: 38 5 5 8 7 1 3
Chamamos essa igualdade de relação fundamental da divisão, em que:
dividendo 5 quociente 8 divisor 1 resto
1 O resto de uma divisão entre dois números naturais é sempre menor que o divisor. Veja:
2 A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Observe os exemplos:
• 4 8 5 5 20 • 7 8 6 5 42
 20 9 5 5 4 42 9 6 5 7
3 A divisão de zero por qualquer número natural diferente de zero é sempre zero.
 0 9 3 5 0 0 9 25 5 0 0 9 1 587 5 0
4 O quociente de 6 9 0 deveria ser o número que, multiplicado por zero, resultasse em 6. Não há 
número que multiplicado por zero resulte em 6; logo, é impossível efetuar 6 9 0.
 Esse raciocínio é válido para qualquer outra divisão por zero. Podemos dizer que é impossível 
dividir por zero, ou seja, o zero nunca pode ser divisor.
 Divisão não exata
2 5 3
1 8
1 , 3
5 2 8
4 6
4 , 8
2 7 3 5
2 7 0
27 , 35
• Ressalte aos alunos que o 
resto de uma divisão deve 
ser sempre menor que o divi-
sor e que não é possível rea- 
lizar a divisão por zero. 
• Caso os alunos queiram usar 
a calculadora como instrumen-
to de conferência dos resulta-
dos das divisões não exatas, co-
mente que a calculadora não 
registra o resto. Para a confe-
rência, os alunos devem recor-
rer à relação fundamental da 
divisão.
 
Veja sequência didática 2 
do 1o bimestre no Material 
do Professor – Digital.
59
59
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
5 4 8
6
7
2 9
7 8
3 5
a)
b)
c)
8 2
0 4
8 2
0 4
8 2
0 4
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 1 Determine o quociente e o resto de cada 
uma das divi sões abaixo. 
a) 37 9 15
b) 108 9 32
c) 2 332 9 41
d) 5 600 9 95
e) 17890 9 100
f) 1 847 9 28
 4 Na divisão de 60000 por 1 800, quais são 
o quociente e o resto?
 5 Em um colégio, há 540 alunos, que serão 
divididos em grupos de 37 para participar 
de um desfile.
a) Quantos grupos completos serão for-
mados? 
b) Quantos alunos seriam necessários pa-
ra completar mais um grupo?
 2 Copie as divisões no caderno, substituindo 
cada pelo número que falta.
 6 Responda às questões.
a) Qual é o quociente da divisão de zero 
por 10?
b) Qual é o quociente da divisão de 10 
por zero? 
 3 Junte-se a um colega e resolvam o se-
guinte problema.
Luísa quer dividir 528 por 132 utilizando a 
calculadora, mas há um problema: das te-
clas das operações, só funciona a da sub-
tração. Como Luísa deverá fazer o cálculo 
para obter o resultado da divisão?
4 8 9
5
7
4 7
13
6 8
d)
e)
f)
 9 Junte-se a um colega e resolvam o seguinte 
problema.
A carga máxima permitida em um elevador 
é 500 quilogramas. Qual é o número mí-
nimo de viagens necessárias para que 
uma pessoa com 75  quilogramas possa 
transportar 45  caixas de 30 quilogramas 
cada uma?cada uma?
 7 Utilizando uma calculadora, efetue a divi-
são de 8 por 0. Qual é o resultado obtido 
no visor da máquina?
 8 O que acontece com o quociente, nas di-
visões abaixo, quando multiplicamos o 
dividendo e o divisor pelo mesmo núme-
ro natural diferente de zero? Justifique sua 
resposta.
1 6 4
0 4
multiplicamos dividendo e 
divisor por 2
multiplicamos dividendo e 
divisor por 3
multiplicamos dividendo e 
divisor por 4
2 4 6
0 4
3 2 8
0 4
quociente: 2; resto: 7
3
53
110
6
65
15
15 alunos
4 viagens
quociente: 3; resto: 12
quociente: 56; resto: 36
quociente: 58; resto: 90
quociente: 178; resto: 90
quociente: 65; resto: 27
33 e 600
14 grupos
zero
não existe
• Na atividade 3, os alunos 
deverão analisar quantas ve-
zes o 132 cabe em 528. Para 
isso, deverão utilizar apenas 
a subtração. Assim:
528 2 132 5 396 P 1 vez
396 2 132 5 264 P 2 vezes
264 2 132 5 132 P 3 vezes
132 2 132 5 0 P 4 vezes, com 
resto zero. 
Logo, o número 132 cabe exa-
tamente 4 vezes no número 
528, ou seja, 528 4 132 5 4. 
Aprofunde a atividade per-
guntando: “E se Luisa tives-
se que dividir 529 por 132?“. 
Espera-se que os alunos per-
cebam que 132 cabe 4 vezes 
no número 529, porém nes-
se caso teremos resto 1. 
• Na atividade 7, os alunos 
deverão utilizar a calcula-
dora para verificar que é im-
possível dividir por zero. Ao 
inserir a operação 8 4 0 na 
calculadora, deverá apare-
cer uma mensagem de erro, 
pois não é possível dividir 8 
por 0. As mensagens podem 
variar de acordo com a cal-
culadora utilizada. 
• Ao multiplicar o dividendo 
e o divisor pelo mesmo fator 
(número natural diferente de 
zero), na atividade 8, espera-
-se que os alunos concluam 
que o quociente permanece 
o mesmo. Para ilustrar esse 
procedimento, use o Mate-
rial Dourado. Peça a eles que 
deem outros exemplos para 
esse fato.
 
• Na atividade 9, os alunos deverão perceber que em uma única viagem o elevador não suportaria, já que a 
massa de todas as caixas é 1 350 quilogramas (45 3 30 5 1 350). Como o limite para o elevador é de 500 quilo-
gramas e a pessoa de 75 quilogramas estará em todas as viagens, então o limite é de 425 quilogramas (500 2 
2 75 5 425)para as caixas por viagem. Em cada viagem, poderão ser transportadas, no máximo, 14 caixas, 
pois 425 4 30 dá 14 e resto 5 (divisão não exata). Para transportar 45 caixas por viagem, a pessoa terá que 
fazer no mínimo 4 viagens, pois 45 4 14 dá 3 e resto 3; ou seja, uma possibilidade será3 viagens com 14 caixas 
(carga máxima do elevador) e uma viagem com 3 caixas.
60
60
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Potenciação com números naturais5
44 5 256
expoente
base
potência
Para responder a essa pergunta, devemos efetuar uma multiplicação de fatores iguais:
4 8 4 8 4 8 4 5 256
total de
parafusos
tempo gasto para retirar 
cada parafuso
Logo, o mecânico gastou 256 segundos para retirar todos os parafusos.
Ao efetuar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, fazemos uma operação 
 denominada potenciação.
Acompanhe a situação a seguir.
Podemos representar a multiplicação 4 8 4 8 4 8 4 assim: 44 (lemos: “quatro elevado à quarta 
potência” ou “quatro à quarta”). Observe:
De modo geral, na potenciação com números naturais, a base é o fator que se repete na 
 multiplicação, o expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete e a potência é o 
resultado da operação.
Então, na situação acima, temos:
número de fatores
fator que se repete
4 8 4 8 4 8 4 5 44
Lúcia é dona de uma oficina de carros. Em um dia, havia 4 carros na oficina. Sabendo Lúcia é dona de uma oficina de carros. Em um dia, havia 4 carros na oficina. Sabendo 
que cada carro tem 4 rodas, que cada roda tem 4 parafusos e que um dos mecânicos usa 
uma parafusadeira automática que permite tirar um parafuso em 4 segundos, calcule 
quanto tempo esse mecânico gastou para retirar todos os parafusos de todos os carros.
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
• A potenciação finaliza o 
estudo deste capítulo sobre 
as operações com números 
naturais, completando o de-
senvolvimento da habilida-
de EF06MA03. 
• Se achar necessário, a situa - 
ção a seguir poderá auxiliar 
os alunos na percepção dos 
padrões que caracteriza a 
potenciação como adição de 
parcelas iguais.
 � Marta está participando 
de um programa de corri-
da que durará 7 dias. No 
1o dia, Marta correu 100 me-
tros; no 2o dia, 200 metros, 
no 3o dia, 400 metros; no 
4o dia, 800 metros; no 5o dia, 
1 600 metros; no 6o dia, 
3 200 metros; e finalmente, 
no 7o dia, 6 400 metros. 
Responda:
a) Quantas vezes a distância 
que Marta correrá no 7o dia 
é superior à distância que ela 
correrá no 6o dia? Qual das 
distâncias é metade da outra?
b) Qual é a diferença entre 
a distância percorrida no 2o 
dia e a percorrida no 1o dia? 
E entre as distâncias do 6o e 
do 7o dia?
c) Existe algum padrão nessa 
comparação entre a distân-
cia percorrida correspon-
dente aos dias sucessivos? 
Se sim, qual?
O esquema a seguir facilitará 
as percepções dos padrões:
Dia
1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
Diferença
100
200
400
800
1 600
3 200
100
200
400
800
1 600
3 200
6 400
Distância percorrida
(em metro)
# 2
# 2
# 2
# 2
# 2
# 2
 � A comparação sugerida 
“quantas vezes...” admi-
te um padrão: a cada dia 
Marta deve percorrer uma 
distância igual do dobro 
do dia anterior.
 � A comparação pelas di-
ferenças também fornece 
um padrão interessante: o 
resultado é sempre igual 
ao subtraendo.
Para completar essa fase exploratória, solicite aos alunos que expressem a distância percorrida por Marta utilizan-
do a multiplicação. Veja:
1o dia: 100; 2o dia: 200 5 100 3 2; 3o dia: 400 5 200 3 2 5 100 3 2 3 2; 4o dia: 800 5 400 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2; 
5o dia: 1 600 5 800 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2 3 2; 6o dia: 3 200 5 1 600 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2; 7o dia: 6 400 5 
5 3 200 3 2 5 100 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
 
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
61
1
1
2
2
3
3
61
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Leitura de potências
Observe como lemos algumas potências.
• 32: três elevado à segunda potência • 67: seis elevado à sétima potência
• 23: dois elevado à terceira potência • 49: quatro elevado à nona potência
As potências com expoentes 2 e 3 podem ser lidas de outra maneira. Veja alguns exemplos a 
seguir.
Potências com expoente 2
• 12: um elevado ao quadrado ou o quadrado de um
• 22: dois elevado ao quadrado ou o quadrado de dois
• 32: três elevado ao quadrado ou o quadrado de três
Representação geométrica
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
Observação
Um número natural é considerado um quadrado perfeito quando é o produto de dois números 
naturais iguais. Veja:
• 1 8 1 5 1 • 2 8 2 5 4 • 3 8 3 5 9 • 4 8 4 5 16 • 5 8 5 5 25
Os números 1, 4, 9, 16 e 25 são exemplos de quadrados perfeitos.
• 34 5 3 8 3 8 3 8 3 5 81 • 25 5 2 8 2 8 2 8 2 8 2 5 32
• 104 5 10 8 10 8 10 8 10 5 10 000 • 152 5 15 8 15 5 225
• 03 5 0 8 0 8 0 5 0 • 16 5 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 5 1
• 51 5 5 • 311 5 31 • 600 5 1 • 7590 5 1
Exemplos
Exemplos
Quando o expoente é igual a 1, a potência é igual à base. E, quando o expoente é igual a zero, 
com a base diferente de zero, a potência é igual a 1.
• Com o intuito de auxiliar 
no trabalho de potências 
com expoente 2, peça aos 
alunos que representem 
geometricamente 42 e 52. 
Observando o padrão exis-
tente, espera-se que eles 
construam dois quadrados, 
sendo um com 4 quadradi-
nhos por 4 quadradinhos e 
o outro 5 por 5. Aprofunde 
o estudo e pergunte a eles 
como representar geometri-
camente 1 0002. Eles deverão 
responder que será um qua-
drado com 1 000 quadradi-
nhos por 1 000 quadradinhos.
62
1
1
1
2
2
2
3
3
3
62
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Potências com expoente 3Potências com expoente 3
• 13: um elevado ao cubo ou o cubo de um
• 23: dois elevado ao cubo ou o cubo de dois
• 33: três elevado ao cubo ou o cubo de três
Representação geométrica
 Potências de base 10
Observe as seguintes potências de base 10:
• 101 5 10 • 103 5 10 8 10 8 10 5 1 000 • 105 5 10 8 10 8 10 8 10 8 10 5 100 000
Nesses exemplos, percebe-se que as potências de base 10, com expoentes naturais, 
são iguais a um número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as 
unidades do expoente.
Decomposição de um número usando potências de base 10Decomposição de um número usando potências de base 10
Considere os números 54, 857 e 56 948. Decompondo-os e aplicando potências de 10, 
 podemos escrever:
• 54 5 50 1 4 5 5 8 101 1 4 8 100
• 857 5 800 1 50 1 7 5 8 8 100 1 5 8 10 1 7 5 8 8 102 1 5 8 101 1 7 8 100
• 56 948 5 50 000 1 6 000 1 900 1 40 1 8 5 5 8 104 1 6 8 103 1 9 8 102 1 4 8 101 1 8 8 100
Lendo e aprendendo
É comum, principalmente em Física, escrever números com muitos algarismos usando É comum, principalmente em Física, escrever números com muitos algarismos usando 
potência de base 10.
A velocidade da luz é igual a trezentos milhões de metros por segundo.A velocidade da luz é igual a trezentos milhões de metros por segundo.
300 000 000 de metros por segundo 5
5 3 8 100 000 000 metros por segundo 5
5 3 8 108 metros por segundo
Exemplo
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
• Com o auxílio do Material 
Dourado, peça aos alunos 
que representem geometrica-
mente 43 e 53, usando, por 
exemplo, os cubinhos. Obser-
vando o padrão exis tente, 
espera-se que eles cons-
truam dois cubos, sendo um 
4 cubinhos # 4 cubinhos # 
# 4 cubinhos e o outro, 5 # 
# 5 # 5.
Ainda com o Material Dou-
rado, peça aos alunos que 
representem geometri-
camente 103. Eles pode-
rão montar um cubo com 
10 cubinhos # 10 cubinhos 
# 10 cubinhos ou, sim-
plesmente, perceber que o 
cubão do Material Dourado 
representa 103, que é igual 
a 1 000. Aprofunde o estu-
do e pergunte aos alunos 
como representar geome-
tricamente 102. Eles deve-
rão responder que será um 
quadrado com dimensões 
10 por 10 ou indicar a placa 
do Material Dourado que re-
presenta uma centena (100 5 
5 102).
Lendo e aprendendo
• Para ajudar na compreensão desta seção, dê outros exemplos de números muito “grandes”que são usual-
mente representados usando a potência de base 10.
 � Distância da Terra ao Sol: 149 600 000 quilômetros ou 1 496 3 104 quilômetros;
 � Distância da Terra à Lua: 384 400 quilômetros ou 3 844 3 102 quilômetros.
63
63
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Que números deveriam ser colocados nos 
quadrinhos?
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 
20 = 
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
35 = 243
34 = 81
33 = 27
32 = 9
31 = 
30 = 
4 3
4 3
4 3
4 3
4 3
LU
IZ
 R
U
B
IO
 3 Calcule:
a) o quadrado de 13;
b) o cubo de 7;
c) três elevado à sexta potência.
 2 Como se leem as potências abaixo?
a) 93 
b) 72
c) 104
d) 135
 4 Calcule o valor de 25 2 52.
 5 Escreva no caderno os números a seguir 
usando potências de base 10.
a) 600000
b) 4 500 000
c) 8 000 000 000
d) 8 700
 1 Calcule o valor das potências.
a) 35 g) 112
b) 43 h) 150
c) 142 i) 17 1
d) 25 j) 05
e) 103 k) 501
f) 16 l) 202
243
 6 O professor Daniel escreveu no quadro 
duas sequências com potências dos nú-
meros 2 e 3. Veja:meros 2 e 3. Veja:
 7 Expresse, em 
potência de 
base 10, o 
número de 
cubinhos que 
formam o 
cubo maior 
da figura.
800
52 000
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 8 Determine em cada caso a potência de 
maior valor.
a) 1001 ou 1100
b) 800 ou 080
 10 Decomponha os números usando potên-
cias de 10.
a) 938 c) 7 952
b) 4 078 d) 60000
 9 Calcule mentalmente as potências.
a) 105
b) 102
c) 8 8 102
d) 52 8 103
100 000
100
 11 Determine o valor de 54 e 56, sabendo que 
55 é igual a 3 125. Em cada um dos casos, 
faça apenas uma conta.
 12 Em uma caixa como a da figura abai-
xo, Pedro distribuiu bolinhas de gude. 
Na primeira casa, ele colocou uma bo -
linha e, em cada uma das casas seguintes, 
o dobro do número de bolinhas da anterior.
Quantas bolinhas Pedro colocou na oitava 
casa?casa?
dez elevado à quarta potência
treze elevado à quinta potência
7
8 8 109
87 8 102
729
121
64 1
17
0
50
400
10 8 10 8 10 5 1 000 5 103
21 5 2 e 20 5 1
31 5 3 e 30 5 1
nove elevado ao cubo
sete elevado ao quadrado
6 8 105
45 8 105
169
343
196
32
1 000
1
d) 6 8 104
3 125 9 5 5 625 5 54; 
3 125 8 5 5 15 625 5 5 56
2277 bolinhas bolinhas 5 128 bolinhas 128 bolinhas
1001
800
10. a) 9 8 102 1 3 8 10 1 8
b) 4 8 103 1 7 8 10 1 8
c) 7 8 103 1 9 8 102 1 5 8 10 10 1 2
• Na atividade 6, comente 
com os alunos que, na se-
quência das potências de 2, 
cada potência apresentada 
em uma linha (a partir da 
segunda) corresponde à me-
tade da potência da linha 
anterior. Continuando essa 
sequência de divisões por 2, 
obtém-se: 21 5 2 e 20 5 1. Já 
na sequência das potências 
de 3, cada potência apresen-
tada em uma linha (a partir 
da segunda) corresponde à 
terça parte da potência da 
linha anterior. Continuando 
essa sequência de divisões 
por 3, obtém-se: 31 5 3 e 
30 5 1.
Essa atividade ajuda na sis-
tematização de conclusões 
com relação ao expoente 1 
e 0, ou seja, ao trocar a base 
da potência por um núme-
ro diferente de 2 ou de 3, 
podemos chegar à mesma 
conclusão: que um número 
elevado a zero é 1 e que um 
número elevado a 1 é igual 
a ele mesmo. Isso ajudará na 
resolução da atividade 8.
 
64
64
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
O algarismo 
que ficar será aquele 
em que vocês 
pensaram.
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
Sque ficar será aquele 
 1 Calcule o valor das expressões.
a) 20 2 (14 8 6 1 23)
b) (24 2 3 8 4) 9 2 1 52 9 5
c) 102 9 52 1 50 8 22 2 23
d) {62 1 2 8 [23 1 2 8 (32 8 13)] 2 25} 8 50
e) 55 2 (3 8 2 1 1)2 1 (42 1 32) 9 52 2 16
 3 Reúna-se com um colega, resolvam o 
problema abaixo e justifiquem a resposta.
Pensem em um algarismo diferente de zero. 
Multipliquem-no por 3 e acrescentem 1 ao 
resultado. Multipliquem o novo resultado 
por 3 e somem o produto com o algarismo 
em que vocês pensaram. O resultado ter-
minará em 3. Eliminem o 3.
 2 Calcule o valor de A 1 B sabendo que: B sabendo que: B
 A 5 (3 8 2 2 1)2 e 
 B 5 (22 1 1) 8 (5 1 23)
• 83 2 9 9 3 5
5 512 2 9 9 3 5
5 512 2 3 5
5 509
• 22 8 24 9 (23)2 5
5 4 8 16 9 (8)2 5
5 64 9 64 5
5 1
• 32 8 3 10 290 295 1 13 11 13 11 1 _3 1_3 1 i91 191 1 C' 15
5 9 8 {5 1 [3 1 5]} 5
5 9 8 {5 1 8} 5
5 9 8 13 5
5 117
Exemplos
Expressões numéricas com potenciações
Agora, vamos estudar expressões numéricas envolvendo as operações com os números 
naturais que vimos até aqui. As operações devem ser efetuadas nesta ordem:
1o) potenciações;
2o) multiplicações e divisões (na ordem em que aparecem);
3o) adições e subtrações (na ordem em que aparecem).
Vale lembrar que, em expressões com sinais de associação, estes devem ser eliminados na 
seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves.
• 53 1 (8 2 3) 8 2 5
5 125 1 5 8 2 5
5 125 1 10 5
5 135
6
7
0
56
6
90
• Se achar necessário, repi-
ta a ação de resolver uma 
das expressões apresentadas 
como exemplos, ignorando 
as regras da ordem em que 
as operações devem efetua-
das e dos sinais de associação, 
para que os alunos compreen - 
dam a importância de seguir 
as regras. 
• Verifique como os alunos 
resolvem a atividade 2: se 
preferem simplificar cada 
uma das expressões A e B 
primeiro e depois somar os 
resultados ou se preferem re-
solver uma única expressão. 
Ambos os procedimentos es-
tão corretos e determinam o 
mesmo valor para A 1 B.
• Para a resolução da ativi-
dade 3, os alunos poderão 
fazer alguns testes, resol-
vendo as etapas indicadas 
a partir de um algarismo 
maior que zero (1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9). Supondo que o al-
garismo inicial seja x, então 
devemos:
 � multiplicar o algarismo 
por 3: 3x
 � acrescentar 1 ao resulta-
do: 3x 1 1
 � multiplicar o novo resul-
tado por 3: 3(3x 1 1)
 � somar o produto com o 
algarismo inicial: 
3(3x 1 1) 1 x 5 10x 1 3
Obtemos um número na 
ordem das dezenas, cuja 
unidade é representada 
pelo algarismo 3 e a de-
zena, pelo x. Por exemplo, 
se o algarismo escolhido 
inicialmente for o 7, nesse 
momento teremos o nú-
mero 73.
 � eliminar o algarismo 3: x
Ao eliminar o algarismo 3 
do número obtido (10x 1 3), 
o algarismo que resta é o 
x, número pensado inicial-
mente. 
 
65
65
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Em muitas situações, não é necessário saber o valor exato de uma operação. Acompanhe o 
exemplo a seguir. 
Paulo foi ao supermercado com 200 reais. Antes de passar no caixa, ele verificou se teria 
dinheiro suficiente para pagar a compra. Veja o que ele fez.
Arredondamentos e estimativas6
Ao fazer os cálculos, Paulo utilizou o arredondamento dos preços dos produtos para fazer 
a estimativa do valor total gasto na compra.
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 40 1 30 1 20 1 10 5 150
12 1 7 1 13 1 11 1 6 1 37 1 31 1 22 1 13 5 152
arroz papel 
higiênico
cálculo do 
valor total:
cálculo do 
valor total 
estimado:
margarina peixe desodorante
sabão em pó iogurte carne frango
Para arredondar um número para determinada ordem decimal, temos que:
 observar o algarismo à direita da ordem escolhida:
• se o algarismo for menor que 5, manteremos a mesma ordem (arredondando o número 
“para baixo”);
• se o algarismo for maior ou igual a 5, aumentaremos 1 na ordem escolhida (arredondando 
o número “para cima”).
 substituir por zeros os algarismos à direita do algarismo da ordem escolhida.
Vamos lá... 10 do pacote 
de arroz mais 10 do sabão em pó 
mais 10 do papel higiênico mais 
10 do iogurte mais 10 da 
margarina dá 50. 
50 mais 40 da carne dá 90.
Mais 30 do peixe dá 120.
Mais 20 do frango dá 140.
Mais 10 do desodorante 
fica 150. 
Como 150 é menor que 
200, então vai dar paracomprar tudo! Será que estou 
esquecendo de algo? Vou 
conferir a lista... 
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
• Este tópico visa o desen-
volvimento da habilidade 
EF06MA12. A situação traz 
um exemplo do dia a dia do 
uso do cálculo por arredon-
dando, obtendo, assim, uma 
estimativa. 
• Converse com os alunos e 
solicite que apontem outros 
exemplos de situações do dia 
a dia em que utilizamos as es-
timativas. 
 
Sugestão de leitura para o aluno
• O mistério dos números perdidos, de Michael Thompson, tradução de Adazir Almeida Carvalho. São Paulo: 
Melhoramentos, 2010.
Com aventura, o leitor será desafiado a resolver problemas numéricos para avançar a cada etapa, superando 
obstáculos e se envolvendo cada vez mais com a história.
66
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a refle-
xão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas 
e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
66
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
• O número 178 arredondado para a ordem 
das dezenas mais próxima:
• O número 29 428 742 arredondado para a 
ordem de centena de milhar mais próxima:
ordem das 
dezenas
Como 8 . 5, então 
acrescentamos 1 
à ordem das dezenas.
178 180
ordem da centena 
de milhar
29 428 742 29 400 000
Exemplos
ATIVIDADES
Como 2 , 5, então mantemos 
a mesma ordem.
 1 Faça os arredondamentos conforme indi-
cado em cada item.
a) 369, para a centena mais próxima. 
b) 357896, para a dezena de milhar mais 
próxima.
c) 111, para a centena mais próxima.
d) 111, para a dezena mais próxima.
 2 Calcule o valor aproximado da expressão.
323 9 111 1 32
 3 Responda às questões no caderno. 
a) Cite exemplos de situações em que utili-
zamos arredondamentos e estimativas.
b) Elabore um problema e resolva-o usan-
do estimativa. Peça a um colega que 
resolva o problema elaborado por 
você usando também estimativa. 
Agora, compare as resoluções.
 4 Maria precisa comprar uma geladeira 
e um fogão com um orçamento de 
R$$ 1 850,00. Ela pesquisou os preços dos 
produtos em duas lojas. Observe os preços, 
faça os cálculos mentalmente e, depois, 
responda às questões.
a) Se Maria tivesse que comprar os eletro-
domésticos na mesma loja, em qual 
loja ela conseguiria realizar a compra? 
b) Se Maria comprasse os eletrodomés-
ticos em lojas diferentes, qual seria 
a melhor combinação e o valor total 
estimado da compra?
 5 Paula pesquisou alguns dados sobre a 
projeção da população brasileira. Observe 
a tabela.
Projeção da população brasileira por sexo 
(2020 e 2030)
Ano
Sexo População 
projetadaMasculino Feminino
2020 104 546 709 107 530 666 212 077 375
2030 109 628 293 113 498 624 223 126 917
Dados obtidos em: <https://ww2.ibge.gov.br/home/
estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/
default_tab.shtm>. Acessos em: 27 set. 2018.
Diante dos números apresentados, Paula 
escreveu o seguinte texto:
Em 2020, a projeção da população brasi-
leira é de aproximadamente habitantes, habitantes, 
dos quais cerca de habitantes serão do 
sexo masculino e , do sexo feminino. 
Em 2030, a projeção feita pelo IBGE diz que 
a população terá um aumento de aproxima-
damente habitantes com relação a 2020. habitantes com relação a 2020.
a) Copie o texto no caderno e substitua os .
b) Compare o texto que você escreveu 
com o de um colega. Vocês chegaram 
aos mesmos arredondamentos e esti-
mativa? Justifique. 
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Faça as atividades no caderno.
Loja ALoja A Loja BLoja B
370
360 000
100
110
300 9 100 1 30 5 33
Respostas pessoais.
Responda às questões no caderno. 
Respostas pessoais.
Responda às questões no caderno. 
Cite exemplos de situações em que utili
Respostas pessoais.
Cite exemplos de situações em que utili
Na loja A.
loja ela conseguiria realizar a compra? 
Na loja A.
loja ela conseguiria realizar a compra? 
Se Maria comprasse os eletrodomés
Na loja A.
Se Maria comprasse os eletrodomés
geladeira da loja A 
(R$ 1 254) e fogão da loja B (R$ 399); R$ 1 600 (1 200 + 400)200 + 400)
Resposta pessoal.5. a) 5. a) Resposta possível: Em 2020, a projeção da população Resposta possível: Em 2020, a projeção da população 
brasileira é de aproximadamente 210 brasileira é de aproximadamente 210 brasileira é de aproximadamente 210 000 000 000 000 habitantes, dos quais cerca de 100 000 habitantes, dos quais cerca de 100 000 habitantes, dos quais cerca de 100 000 000 000 habitantes serão do sexo 000 habitantes serão do sexo 
masculino e 110 000 000, do sexo feminino. 
Em 2030, a projeção feita pelo IBGE diz que a população brasileira terá um aumento de aproximadamente 
10 000 000 habitantes com relação a 2020.
• Na atividade 2, peça aos 
alunos que calculem o valor 
exato da expressão, compa-
rando-o com o valor aproxi-
mado encontrado. 
• Atividades que visam a 
interação dos alunos com 
seus pares, trabalhando no 
desenvolvimento e na elabo-
ração de problemas, como a 
atividade 3, que busca pela 
solução desses problemas, 
fará com que os alunos res-
peitem o modo de pensar 
dos colegas, além de apren-
der em conjunto. Esse tipo 
de atividade favorece o de-
senvolvimento das compe-
tências gerais 9 e 10, além da 
competência específica 8 de 
Matemática. 
 
https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/default_tab.shtm
https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/default_tab.shtm
https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/2013/default_tab.shtm
67
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos con-
vincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desen-
volvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
• O professor vai escolher um dos grupos para apresentar o planodesenvolvido e a 
solução obtida. Durante a exposição, os outros grupos devem observar suas resolu-
ções e verificar se os resultados obtidos estão de acordo com o que foi apresentado. 
• Forme um grupo com três colegas. 
• Cada integrante do grupo deverá apresentar para os demais seu plano de resolução. 
• O grupo deve discutir as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolher um dos 
planos para a execução do processo de resolução. 
ObservaçãoObservação
Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
• Calcule a quantidade de velinhas compradas para as dez primeiras comemorações de 
aniversário e para as comemorações de 50 a 59 anos. 
• A quantidade de velinhas de aniversário compradas em cada década foi a mesma? 
• Considerando as informações coletadas, elabore um esquema que represente um pos-
sível processo de resolução do problema. 
• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que julgar relevantes para a 
resolução do problema. 
• Responda: 
 I. Após comprar as velinhas 0 e 4, quais foram as próximas três velinhas que vovô 
Eduardo precisou comprar? 
II. Até completar 50 anos, ele precisou comprar mais velinhas de número 4? 
• O grupo deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram 
satisfeitas.
In
te
rp
re
ta
çã
o 
e 
id
en
tif
ic
aç
ão
 d
os
 d
ad
os
Pl
an
o 
de
 re
so
lu
çã
o
Re
so
lu
çã
o
Ve
rif
ic
aç
ão
Ap
re
se
nt
aç
ão
Resolvendo em equipe
67
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
(Obmep) Vovô Eduardo comemorou todos os seus 
aniversários a partir dos 40 anos colocando, no bolo, 
velinhas em forma de algarismos de 0 a 9 para indicar 
sua idade. Primeiro, ele comprou as velinhas de núme-
ros 0 e 4. Ele sempre guardou as velinhas para usar nos 
próximos aniversários, comprando uma nova somente 
quando não era possível indicar sua idade com as 
guardadas. Hoje vovô Eduardo tem 85 anos. Quantas 
velinhas ele comprou até hoje?
a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 16
Resposta pessoal.
as velinhas de números 1, 2 e 3
Sim, ele precisou comprar mais uma para formar a idade de 44 anos.
Entre 40 e 49 anos foram necessárias 
Calcule a quantidade de velinhas compradas para as dez primeiras comemorações de 
Entre 40 e 49 anos foram necessárias 
Calcule a quantidade de velinhas compradas para as dez primeiras comemorações de 
11 velinhas e, entre 50 e 59 anos, apenas 1.11 velinhas e, entre 50 e 59 anos, apenas 1.
A quantidade de velinhas de aniversário compradas em cada década foi a mesma? 
11 velinhas e, entre 50 e 59 anos, apenas 1.
A quantidade de velinhas de aniversário compradas em cada década foi a mesma? 
Uma das estratégias que podem ser utilizadas pelos alunos é a escrita dos números 40 a 85 e a 
contagem das velas de aniversário já usadas e das que serão compradas até o 85contagem das velas de aniversário já usadas e das que serão compradas até o 85contagem das velas de aniversário já usadas e das que serão compradas até o 85oo aniversário. aniversário. aniversário.
Valide a resolução apresentada ou questione o grupo e os demais alunos da classe sobre o erro 
cometido e como solucioná-lo. Faça apenas a mediação das discussões, contribuindo para que 
os alunos resolvam o problema, e incentive-os a analisar diferentes estratégias de resolução.
não
Será necessário comprar 14 velas de aniversário (alternativa d), pois, dos 40 aos 
49 anos, serão utilizadas 11 velas; dos 50 aos 59 anos, 1 vela (para formar 55 anos); 
dos 60 aos 69 anos, 1 vela (para formar 66 anos); dos 70 aos 79 anos, dos 60 aos 69 anos, 1 vela (para formar 66 anos); dos 70 aos 79 anos, dos 60 aos 69 anos, 1 vela (para formar 66 anos); dos 70 aos 79 anos, 
1 vela (para formar 77 anos); e, dos 80 aos 85 anos, nenhuma.
Faça as atividades no caderno.
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Resolvendo em equipe
• A seção destaca as etapas 
selecionadas para encami-
nhar a resolução de proble-
mas. Elas devem ser anali-
sadas e discutidas com os 
alunos. Além de favorecer o 
desenvolvimento das com-
petências gerais 2, 4, 9 e 10 e 
das competências específicas 
de Matemática 2, 3, 5 e 8, a 
seção permite a transferên-
cia de estratégias de resolu-
ção para outros contextos e 
situações, servindo de base 
para a resolução das ativi-
dades do item “Aplicando” 
da seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
deste ou de outros capítulos, 
por exemplo.
• As especificações para as 
14 velas de aniversário são:
 � dos 40 aos 49 anos, serão 
utilizadas 11 velas: 0, 1, 2, 
3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 
 � dos 50 aos 59 anos, 
1 vela: 5 (para formar 55)
 � dos 60 aos 69 anos, 
1 vela: 6 (para formar 66); 
 � dos 70 aos 79 anos, 
1 vela: 7 (para formar 77); e
 � dos 80 aos 85 anos, 
nenhuma vela precisará ser 
comprada.
68
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Revisitando
Aplicando
68
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 1 Quais foram as operações com números 
naturais estudadas neste capítulo?
 2 A A propriedade comutativa é válida para a 
adição, mas não para a subtração. Explique 
por que isso ocorre e justifique sua resposta 
com um exemplo.
 4 Em uma divisão não exata, qual é a relação 
entre o resto da divisão e o divisor?
 3 En Entre as situações a seguir, identifique as 
que correspondem a problemas que envol-
vem proporção.
a) Em uma sorveteria, estão disponíveis 
6 sabores de sorvete e 2 sabores de 
calda (chocolate e caramelo). Dessa 
maneira, é possível escolher 12 possibi-
lidades diferentes, sendo um sabor de 
sorvete e uma calda.
b) Um ingresso de cinema custa R$$ 24,00. 
Então, 3 ingressos custarão R$$ 72,00.
 5 E Explique o significado dos termos base e ex-
poente usados na potenciação de números 
naturais.
 6 N Na expressão numérica abaixo, que opera-
ção deve ser efetuada primeiro?
 7 4 1 2
2
7 4:7 4 _ i13_ i13 5_ i51 2_ i1 2131 213_ i131 21397 497 4 C
 1 Alexandre e Ísis fizeram uma viagem. A pas-
sagem aérea de ida e de volta de cada um 
deles custou R$$ 560,00. A diária completa 
em apartamento duplo saiu por R$$ 280,00. 
Ao todo, eles gastaram R$$  3080,00 com 
passagens e hospedagem. Quantos dias o 
casal ficou hospedado?
 2 De Determine três números consecutivos cuja 
soma seja 192.
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
44 5 5 5 53
 3 Um caminhão pode transportar no máximo 
15000 quilogramas. Em uma viagem, ele 
transportou 96 caixas de 80 quilogramas e 
35 caixas de 104 quilogramas. Quantos qui-
logramas de carga ainda podem ser trans-
portados por esse caminhão, nessa viagem?
 4 Em uma calculadora, tecle: Em uma calculadora, tecle:
Agora, responda:
a) Que número você obteve?
 5 Adicionando 80 ao triplo de um número, 
obtemos 137. Qual é esse número?
3 125
 6 Em uma rua, há 42 postes de iluminação, e 
a distância entre dois postes consecutivos 
quaisquer é sempre 45  metros. Sabendo 
que o primeiro poste e o último ficam a 
10 metros das extremidades da rua, deter-
mine, em metro, a medida do comprimento 
dessa rua.
 7 S Supondo que João seja capaz de assentar 
576 tijolos em 8 horas e que Pedro consiga 
assentar 468 tijolos em 6 horas, quantos 
tijolos esses dois pedreiros podem assentar 
juntos em 4 horas?
c) Para fazer uma receita de bolo, são usa-
dos 4 ovos. Para fazer meia receita, são 
necessários 2 ovos.
d) Uma cantina italiana oferece 3 tipos 
de massa e 3 tipos de molho (ao sugo, 
bolonhesa e branco). Assim, é possível 
montar 9 pratos diferentes, compostos de 
um tipo de massa e um tipo de molho.
b) O que ocorre cada vez que você digita a 
tecla 5 ?
c) Repita o mesmo procedimento utilizando 
o número 5. Que número você obteve?
3 125
o número 5. Que número você obteve?
3 125
7 dias
63, 64, 65
adição, 
subtração, multiplicação, divisão e potenciação
naturais estudadas neste capítulo?
subtração,multiplicação, divisão e potenciação
naturais estudadas neste capítulo?
e expoente indica quantas vezes o fator se repete.
Base é o fator que se repete na multiplicação, Base é o fator que se repete na multiplicação, 
Espera-se que os alunos percebam que 10 
com um exemplo.
Espera-se que os alunos percebam que 10 
com um exemplo.
2 7 é 
diferente de 7 
Espera-se que os alunos percebam que 10 
diferente de 7 
Espera-se que os alunos percebam que 10 
2 10.
Espera-se que os alunos percebam que 10 
 10.
Espera-se que os alunos percebam que 10 
Resposta pessoal. 
situações b e c
Como a divisão não é exata, o resto é diferente 
de zero e menor que o divisor.
 E
de zero e menor que o divisor.
 Explique o significado dos termos 
de zero e menor que o divisor.
xplique o significado dos termos 
subtração
O resultado que estava no 
visor é quadruplicado.
epita o mesmo procedimento utilizando 
visor é quadruplicado.
epita o mesmo procedimento utilizando 
3 680 quilogramas
1 024
19
1 865 metros
600 tijolos
• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo reto-
mar os conceitos e procedi-
mentos vistos no capítulo, 
incentivando a revisão, a 
autoavaliação e a criativida-
de por meio da resolução e 
elaboração de problemas. É 
composta de atividades de 
diversos níveis de dificulda-
de, incluindo desafios, cuida-
dosamente escolhidas, para 
que os alunos as resolvam 
com base nos conhecimentos 
adquiridos até o momento. 
Revisitando 
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar 
os conhecimentos consolida-
dos. Se eles tiverem alguma 
dúvida em relação aos con-
teúdos avaliados na seção, 
sugira que retomem as pági-
nas do capítulo. Incentive-os 
a buscar a troca de conheci-
mento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a 
encontrar um bom caminho 
para a compreensão.
• Na atividade 2, os alunos 
precisam justificar que a 
propriedade comutativa não 
é válida para a subtração. 
Na subtração de dois núme-
ros naturais (a 2 b), temos 
que o minuendo é maior ou 
igual ao subtraendo (a > b). 
Portanto, a propriedade co-
mutativa não é válida, pois 
a 2 b % b 2 a, e, quando a . b, 
não conseguimos calcular 
b 2 a no conjunto dos nú-
meros naturais. 
 
Aplicando
• Na atividade 6, oriente os alunos a desenhar um esquema. Isso poderá ajudá-los a entender o problema:
Portanto, a rua tem 1 865 metros de comprimento.
10 1 41 3 45 1 10 5 1 865
10 1045
poste 1 poste 3 poste 39 poste 41poste 2 poste 4 poste 40 poste 42
4545 4545 ... 45
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 
A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
69
Lembre-se:
Não escreva no livro!
Elaborando
1
4
9
16
69
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 9 Um negociante adquiriu 375 litros de certo 
produto por R$ 4 450,00. Considerando que 
ele pagou R$ 9,00 por litro transportado e 
que deseja ter um lucro de R$ 1 925,00, por 
quanto ele deve vender um litro do produto?
 8 Em uma divisão, o divisor é 325 e o resto 
é 210. Qual é o maior valor que podemos 
adicionar ao dividendo sem alterar o 
quociente?
 11 Calcule a diferença entre o dobro do cubo 
de 8 e o triplo do quadrado de 17.
 10 (Enem) Jogar baralho é uma atividade 
que estimula o raciocínio. Um jogo tradi-
cional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. 
Inicialmente, são formadas sete colunas 
com as cartas. A primeira coluna tem uma 
carta, a segunda tem duas cartas, a terceira 
tem três cartas, a quarta tem quatro cartas e 
assim sucessivamente até a sétima coluna, 
a qual tem sete cartas, e o que sobra forma 
o monte, que são as cartas não utilizadas 
nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é:
a) 21
b) 24
c) 26
d) 28
e) 31
alternativa b
 12 Para pagar à vista a compra de seu novo 
automóvel, Henrique calculou que teria de 
economizar uma quantia durante 7 meses: 
• R$ 4,00 no primeiro mês;
• R$ 16,00 no segundo mês;
• R$ 64,00 no terceiro mês; e assim por diante.
Determine o valor aproximado que Henrique 
conseguiu econo mizar.
157
R$ 21 844,00 ou, aproximadamente, R$ 22 000,00
 13 Um número quadrado perfeito pode ser re-
presentado geometricamente por um qua-
drado formado por quadradinhos menores. 
Veja:
Responda.
a) Considerando a sequência 1, 4, 9 e 16, 
quais são os dois números quadrados 
perfeitos seguintes?
b) Quais são os números quadrados perfeitos 
situados entre 150 e 250?
LU
IZ
 R
U
B
IO
No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido com a sequência de operações:
2 8 20 2 13
Depois, troque de caderno com um colega e resolva o problema criado por ele.
O colega resolveu corretamente o seu problema? Qual é a solução do problema?
 14 Se 210 5 1 024, qual é o valor de 29? E de 211?
512; 2 048
 15 Uma cisterna tem um vazamento que provo-
ca uma perda inicial de 4 litros de água em 
20 minutos. O vazamento foi aumentando 
da seguinte maneira: a cada 20 minutos, a 
quantidade de água que vazava era o dobro 
da quantidade anterior. Após uma hora e 
vinte minutos do início do vazamento, qual 
foi a quantidade total de água perdida?
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
DESAFIO
Observe o esquema abaixo e calcule, efetu an- 
do apenas uma multiplicação, a soma de todos 
os números naturais de 1 a 100.
1 2 3 4 ... 50 51 ... 97 98 99 100
50 1 51 5 101
4 1 97 5 101
3 1 98 5 101
2 1 99 5 101
1 1 100 5 101 50 8 101 5 5 050
114
R$ 26,00 25 e 36
169, 196, 225
60 litros
Elaborando 
• A seção incentiva a ela-
boração de questões pelos 
alunos, favorecendo o de-
senvolvimento das compe-
tências gerais 2, 4 e 10 e da 
competência específica de 
Matemática, 5.
• Veja alguns problemas pos-
síveis que os alunos poderão 
apresentar: “Lara comprou 
dois pacotes com 20 figuri-
nhas cada um, mas perdeu 
13 delas. Quantas figurinhas 
restaram?” Resposta: 27 figu-
rinhas; “Carlos tem o dobro 
da idade de sua irmã menos a 
idade de seu filho. Se a irmã 
de Carlos tem 20 anos e seu 
filho 13, quantos anos Carlos 
tem?” Resposta: 27 anos.
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
70
70
É hora de observar e refletir
Hoje sabemos que o Sistema Solar é formado por oito planetas (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, 
Saturno, Urano e Netuno) e todos estão em órbita ao redor do Sol. Mas nem sempre foi assim. Johannes Kepler 
(1571-1630), matemático e astrônomo alemão, propôs, em sua primeira obra publicada (1597), outro modelo 
para o Sistema Solar.
Na época, os planetas conhecidos eram seis: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler procurou 
associar as distâncias entre os planetas aos poliedros com 4, 6, 8, 12 e 20 faces iguais, respectivamente, 
conhecidos hoje como poliedros de Platão. 
 Na imagem da abertura, foram representados alguns sólidos geométricos. Você conhece objetosque podem Na imagem da abertura, foram representados alguns sólidos geométricos. Você conhece objetos que podem 
ser representados por sólidos geométricos? Se sim, indique alguns. 
 Escreva com suas palavras o que são sólidos geométricos, poliedros e poliedros regulares. Escreva com suas palavras o que são sólidos geométricos, poliedros e poliedros regulares. 
 Kepler associou os planetas aos poliedros com 4, 6, 8, 12 e 20 faces iguais. Quais são os nomes dados a esses Kepler associou os planetas aos poliedros com 4, 6, 8, 12 e 20 faces iguais. Quais são os nomes dados a esses 
poliedros? 
F
O
T
O
: D
E
T
LE
V
 V
A
N
 R
A
V
E
N
S
W
A
A
Y
/S
C
IE
N
C
E
 P
H
O
T
O
 L
IB
R
A
R
Y
/L
AT
IN
S
T
O
C
K
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: J
U
B
R
A
N
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: J
U
B
R
A
N
CAPÍTULO
FIGURAS GEOMÉTRICAS 
ESPACIAIS3
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: J
U
B
R
A
N
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: J
U
B
R
A
N
Representação artística do modelo de Kepler 
para o Sistema Solar e poliedros de Platão.
Resposta pessoal.
Cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Objetivos 
• Reconhecer figuras geomé-
tricas espaciais na natureza, 
objetos e construções.
• Identificar e estudar um 
sólido geométrico (poliedros 
e corpos redondos) e seus 
elementos.
• Comparar sólidos por meio 
do reconhecimento de seus 
elementos.
• Associar a imagem de um 
sólido à planificação de sua 
superfície, quando possível.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planeja-
do para favorecer o desen-
volvimento da habilidade 
EF06MA17 e parte da habi-
lidade EF06MA18, que será 
complementada no capítulo 9.
Para iniciar este capítulo, é im-
portante identificar os conhe-
cimentos prévios dos alunos 
sobre o tema. Durante todo 
o aprendizado, a utilização de 
material concreto é bastante 
útil para que os alunos avan-
cem no processo de abstração. 
É hora de observar e refletir 
• A abertura do capítulo traz 
um modelo elaborado por 
Kepler que mostra sua ten-
tativa de utilizar formas geo-
métricas para representar as 
distâncias entre as órbitas, fa-
vorecendo o desenvolvimen-
to da competência geral 1 e 
da competência específica 1. 
Comente com os alunos 
que, nesse modelo, as esfe-
ras continham as órbitas dos 
planetas. Cada poliedro foi 
utilizado para separar uma 
esfera. O cubo, por exemplo, 
foi usado para separar as es-
feras de Saturno e Júpiter. 
Anos depois, ao aprofundar 
seus estudos, Kepler concluiu 
que as órbitas eram elípticas 
e não esféricas e, por isso, 
substituiu esse modelo por 
outro mais adequado. 
Na primeira pergunta, al-
guns exemplos são: uma 
bola (representada por uma 
esfera), um dado (represen-
tado por um cubo) e uma 
caixa (representa da por um 
paralelepípedo). Na segun-
da, espera-se que os alunos 
respondam que os sólidos 
geométricos são figuras geo-
métricas maciças (não ocas) e 
que apresentam três dimen-
sões (comprimento, largura e 
altura). Poliedros são sólidos 
geométricos que apresentam 
apenas partes planas; já os 
poliedros regulares apresen-
tam todas as partes iguais. 
EF06MA17: Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do 
seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
EF06MA18: Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não 
regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
71
71
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Trocando ideias
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Cubo, escultura interativa de Tony 
Rosenthal, Nova York, EUA, 2008.
Palácio
 da Paz
 e da R
econcil
iação, 
Astana
, Cazaq
uistão, 
2016.
Quarto do hotel Free Spirit Spheres, 
Vancouver, Canadá, 2005.
N
Y
K
O
N
C
H
U
K
 O
LE
K
S
II/
S
H
U
TT
ER
S
TO
C
K
N
Y
K
O
N
C
H
U
K
 O
LE
K
S
II/
S
H
U
TT
ER
S
TO
C
K
TO
M
 C
H
U
D
LE
IG
H
/F
R
EE
 S
P
IR
IT
 S
P
H
ER
ES
 IN
C
.
No nosso dia a dia, podemos observar elementos da natureza, objetos e construções de 
diferentes formas. A Terra, por exemplo, lembra uma esfera; uma árvore conífera, como o 
próprio nome sugere, lembra um cone; as colunas de alguns edifícios lembram cilindros.
Terra. Interior da Grande Mesquita de 
Córdoba, Espanha, 2017.
Árvore conífera.
B
A
R
N
A
B
Y
 C
H
A
M
B
E
R
S
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
S
TA
C
Y
 W
A
LS
H
 R
O
S
E
N
S
TO
C
K
/A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
 Que formas vocês observam nas construções das imagens abaixo? Que formas vocês observam nas construções das imagens abaixo?
Para responder a questões como essa, vamos estudar, neste capítulo, algumas figuras   
que apresentam formas como as que aparecem nas imagens acima, cha madas de 
figuras geométricas espaciais.
pirâmide
esfera
prisma
004-f-nova-MCP6-C03-G20
<foto nova da mesquita de 
Córdoba>
R
O
N
 B
IE
D
E
N
B
A
C
H
/E
Y
E
E
M
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
JB
A
R
T/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Se achar importante, diga aos alunos que as imagens nesta página não foram apresentadas em escala de tamanho.
Trocando ideias 
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre assun-
tos do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Sugeri-
mos explorá-la oralmente; se 
você achar necessário, solici-
te que respondam às ques-
tões por escrito no caderno.
• A partir de algumas formas 
identificadas nas imagens, 
como a esfera, o cilindro e a 
pirâmide, inicie uma discus-
são sobre as formas geomé-
tricas espaciais encontradas 
no cotidiano, em objetos, 
construções etc. 
Convém chamar a atenção 
dos alunos para que obser-
vem no dia a dia objetos, na-
turais ou construídos, cujas 
formas lembrem figuras geo-
métricas espaciais, como uma 
bola de futebol, um edifício, 
um tronco de árvore, uma 
melancia, uma caixa ou uma 
lata de leite. 
• A seção poderá ser explo-
rada com o auxílio de outras 
disciplinas, como História e 
Arte, mostrando e valori-
zando a diversidade cultural 
e como as figuras geométri-
cas espaciais estão presentes 
nas construções e em ou-
tros campos, favorecendo o 
desenvolvimento das com-
petência gerais 1 e 3 e da 
competência específica 1.
 
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Vídeo: Geometria em 
documentos históricos
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, demo-
crática e inclusiva.
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de dife-
rentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
72
72
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Sólidos geométricos1
Poliedros Corpos redondos
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a su-
perfície dos corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana. 
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Tridimensional
Apresenta três dimensões: comprimento, largura e altura.
Superfície
Imagine a superfíciede um sólido geométrico como se fosse uma casca muito fina que o envolvesse.
Embalagens que lembram sólidos geométricos.
As indústrias utilizam diferentes tipos de embalagem para acondicionar os mais diversos 
produtos, como alimentos, bebidas, produtos químicos, entre outros.
A fim de criar embalagens adequadas, são feitos estudos prévios sobre o melhor formato 
dessas embalagens, para que seja possível armazenar a quantidade necessária de produto. 
As formas dessas embalagens lembram sólidos geométricos — assunto que vamos estudar 
neste capítulo.
4
1
2
3
Em Geometria, sólido é uma figura 
geométrica tridimensional e maciça, ou 
seja, não oca.
Já a superfície é toda a parte visível de 
um sólido geométrico.
Entre os diversos tipos de sólidos vamos 
estudar os chamados poliedros e alguns 
tipos especiais dos chamados corpos 
redondos.
1
 P
IC
S
FI
V
E
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
 P
IC
S
FI
V
E
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
2
 P
A
V
E
LI
S
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
 P
A
V
E
LI
S
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
3
 D
E
2M
A
R
C
O
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
; 
4
 U
R
B
A
N
B
U
Z
Z
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
• Pode-se pedir aos alunos 
que levem à escola objetos, 
como embalagem de creme 
dental e outras caixas, bolas, 
latas de leite, entre outros, 
pois a observação e o manu-
seio desses objetos serão de 
grande valia para o aprendi-
zado deles. Por meio da ma-
nipulação desses objetos, os 
alunos poderão perceber, 
por exemplo, as diferen-
ças entre os corpos redon-
dos e os poliedros. É possível 
também utilizar sabão em 
pedra para “esculpir” obje-
tos diversos e, assim, iniciar 
a abordagem deste tema. 
Pode-se pedir aos alunos 
que criem tanto modelos de 
poliedros como modelos de 
corpos redondos. 
Aproveite as embalagens e 
os objetos para explicar o 
significado dos termos tridi-
mensional e superfície.
• Levante os conhecimentos 
prévios dos alunos quanto 
aos tipos de figuras geomé-
tricas espaciais apresenta-
das, tentando formar um 
grupo de objetos que se 
assemelhem a poliedros e 
outro grupo que se asseme-
lhem a corpos redondos.
• Neste capítulo, serão estu-
dados os prismas, as pirâmi-
des, os cones e os cilindros 
retos. Se julgar conveniente, 
amplie esse estudo para o 
caso de esses sólidos serem 
oblíquos.
 
73
73
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Na caixa, Nicole percebe os vértices 
(pontas), as arestas (quinas) e as 
faces (onde está passando os dedos).
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
vértice
face
aresta
Vamos conhecer melhor as partes que formam um poliedro.
Em qualquer poliedro, podemos encontrar vértices, arestas e faces. Veja:
Cada região que forma a superfície de um poliedro é chamada face. O segmento comum a 
duas faces é chamado de aresta, e os pontos de encontro das arestas são chamados vértices.
6 faces
12 arestas 8 vértices ILUS
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Poliedros2
O poliedro ao lado recebe o nome de bloco retangular ou 
paralelepípedo reto-retângulo. Ele apresenta:
• A habilidade EF06MA17 
começa a ser trabalhada 
neste tópico, com a apre-
sentação dos elementos de 
um poliedro, e continua ao 
longo de todo o capítulo. 
Aproveite as embalagens 
trazidas pelos alunos para 
trabalhar os elementos de 
um poliedro (vértices, ares-
tas e faces).
 
74
74
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
Em cada sólido representado no quadro acima, o número de vértices somado com o 
número de faces é igual ao número de arestas somado com 2. Essa relação foi observada 
por um matemático suíço do século XVIII chamado Leonhard Euler e, em homenagem a ele, 
é conhecida como relação de Euler. 
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Observe, no quadro a seguir, a quantidade de faces, de vértices e de arestas de alguns poliedros. 
É possível verificar alguma relação entre essas quantidades?
6 faces 8 vértices 12 arestas
5 faces 5 vértices 8 arestas
8 faces 12 vértices 18 arestas
5 faces 6 vértices 9 arestas
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
8 arestas
18 arestas
9 arestas
6 1 8 5 14
e
12 1 2 5 14
Confira a relação 
para os demais sólidos 
do quadro.
6 1 8 5 12 1 2
número de faces número de 
arestas
número de vértices
• A relação de Euler rela-
ciona o número de vértices, 
faces e arestas de prismas e 
pirâmides, contemplando a 
habilidade EF06MA17.
• Comente sobre a história e 
as inúmeras contribuições do 
matemático Leonhard Euler 
no avanço dessa ciência, de 
forma a contemplar a com-
petência específica 1.
• Avalie a conveniência de 
ampliar esse estudo mos-
trando poliedros convexos 
e não convexos, ressaltando 
que a relação de Euler é vá-
lida para todos os poliedros 
convexos, porém, os polie-
dros não convexos nem sem-
pre obedecem à relação de 
Euler.
Sugestão de leitura
• Textos com informações 
sobre a vida de Leonhard 
Euler.
Disponíveis em: <http://www.
fem.unicamp.br/~em313/
paginas/person/euler.htm> 
e <http://ecalculo.if.usp.br/
historia/euler.htm>. Acessos 
em: 26 ago. 2018.
Sugestão de atividade extra
• Reproduza com a turma 
o experimento do portal 
M3 Matemática Multimídia 
(Cortar cubos), que indica 
cortes em cubos para veri-
ficação da relação de Euler. 
Como complemento, se pos-
sível, construa um ou mais 
poliedros em que não se ve-
rifica a relação de Euler para 
que os alunos manuseiem e 
verifiquem que a relação de 
Euler não é válida para o po-
liedro em questão.
Disponível em: <http://m3.ime.
unicamp.br/recursos/1369>. 
Acesso em: 26 ago. 2018. 
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de 
 diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm
http://ecalculo.if.usp.br/historia/euler.htm
http://ecalculo.if.usp.br/historia/euler.htm
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1369
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1369
75
75
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Prismas e pirâmides Prismas e pirâmides
Prismas
Os sólidos ao lado são denominados prismas. 
As faces hachuradas em cada prisma são chama-
das bases, e as demais, faces laterais. Em cada 
prisma, as bases são idênticas.
prisma de base 
quadrangular
prisma de base 
triangular
pirâmide de base 
triangular ou 
tetraedro
pirâmide de base 
hexagonal
Pirâmides
Os sólidos ao lado são denominados pirâmides. 
A face hachurada em cada pirâmide é chamada 
base, e as demais, faces laterais.
Nas pirâmides, todas as faces laterais têm for-
ma triangular. Já a base pode ter forma triangular, 
quadrangular, pentagonal etc. 
Um pouco de história
Poliedros de Platão
Poliedros regulares são aqueles cujas faces são for-
madas por figuras idênticas. Nos poliedros regulares, 
todas as arestas têm a mesma medida e cada vértice é 
extremidade da mesma quantidade de arestas. Existem 
apenas cinco poliedros regulares (conhecidos desde o 
século VI a.C.). Observe-os ao lado.
Os poliedros regulares são casos particulares dos 
chamados poliedros de Platão (ou sólidos platônicos), 
em homenagem ao filósofo grego Platão (427-347 a.C.).
Os gregos associavam elementos da natureza aos 
 poliedros regulares. Veja o quadro abaixo.
tetraedroregular 
(4 faces iguais)
hexaedro regular ou 
cubo (6 faces iguais)
octaedro regular 
(8 faces iguais)
dodecaedro regular 
(12 faces iguais)
icosaedro regular
(20 faces iguais)
Ilustração do filósofo 
grego Platão.
Poliedro regular Elemento da naturezaPoliedro regular Elemento da natureza
Tetraedro Fogo
Hexaedro Terra
Octaedro Ar
Dodecaedro Universo
Icosaedro Água
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Ilustração do filósofo 
grego Platão.
X
A
V
I
• Neste tópico serão aborda-
dos os prismas e as pirâmides, 
tipos de poliedros convexos. 
É interessante retomar os 
exemplos apresentados no 
“Trocando ideias” e investi-
gar se os alunos conhecem 
outras construções (prédios 
ou monumentos) que dão a 
ideia desses poliedros.
• Se possível, leve modelos 
de prismas e pirâmides para 
que os alunos manuseiem e 
observem suas característi-
cas. Mostre, no modelo, que 
no prisma as bases são iguais 
e que nas pirâmides as fa-
ces são todas triangulares. 
Comente que os prismas e as 
pirâmides podem ter bases 
triangulares, quadrangulares, 
pentagonais etc.
Caso julgue conveniente, 
existem softwares livres para 
construção e análise dessas 
figuras geométricas. Tanto 
para a utilização do mate-
rial concreto como para a de 
 softwares, é necessário pla-
nejar antecipadamente as 
atividades a serem desenvol-
vidas em aula, os materiais 
necessários e as estratégias. 
Nesse caso, é interessante 
organizar os alunos em gru-
pos ou duplas. 
Um pouco de história 
• Os poliedros regulares são 
introduzidos a partir dos po-
liedros de Platão. Iniciamos 
assim, de forma cautelosa, 
o trabalho com a habilidade 
EF06MA18, quando explora-
mos as faces dos poliedros 
regulares. 
• Como sugestão de ativida-
de extra, solicite aos alunos 
que se organizem em gru-
pos e pesquisem sobre Platão, 
apresentando algumas con-
tribuições dele à Matemática.
 
Sugestão de software
• No site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul há indicações de diversos softwares. O software Poly 
é um exemplo. Livre e de fácil manipulação, mesmo não apresentando versão em português. Nesse software 
existem vários poliedros já construídos que podem ser girados, permitindo a sua observação por todos os la-
dos; além de os alunos poderem escolher a opção “poliedros de Platão” e explorá-los. 
Disponível em: <http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php>. Acesso em: 1o ago. 2018. 
 
Veja sequência didática 3 do 
1o bimestre no Material do 
Professor – Digital.
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php
76
76
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
cilindro
cilindro
cone
cone esfera
esfera
base
superfície
curva
base
vértice
superfície
curva
base
superfície
curva
Corpos redondos são sólidos geométricos cuja superfície apresenta alguma parte arredondada. 
Observe os exemplos a seguir.
Veja alguns elementos do cilindro, do cone e da esfera.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
Corpos redondos3
Lendo e aprendendo
O cubo gigante do Zabeel Park
O cubo é um caso particular de bloco 
retangular, em que as medidas de todas 
as arestas são iguais.
O artista David Harber projetou e 
construiu três grandes esculturas no 
Zabeel Park, em Dubai, Emirados Árabes 
Unidos. Uma dessas esculturas é um 
cubo gigante composto de 384 painéis 
distribuídos igualmente em suas faces 
de cobre e aço inoxidável.
D
A
V
ID
 H
A
R
B
E
R
 L
TD
.
O cubo, de David Harber. 
Zabeel Park, Dubai, Emirados 
Árabes Unidos, 2007.
• É possível dar continuida-
de ao trabalho interdisci-
plinar com Arte utilizando 
as formas arredondadas. O 
artista David Harber pos-
sui diversas obras que dão 
a ideia de corpos redondos. 
Uma possibilidade é fazer 
uma seleção dessas obras e 
apresentar aos alunos. (Site 
oficial de David Harber dis-
ponível em: <https://www.
davidharber.co.uk/>. Acesso 
em: 26 ago. 2018.)
 
Lendo e aprendendo 
• Esta seção apresenta o 
Cubo, obra de David Harber. 
Diversos outros artistas utili-
zam figuras geométricas pla-
nas e espaciais em suas obras. 
Na seção “Trocando ideias”, 
mostramos também o Cubo, 
de Tony Rosenthal. 
Sugestão de trabalho inter-
disciplinar
• Proponha uma pesquisa de 
outros artistas que utilizam 
formas geométricas espaciais 
em suas obras em parceria 
com o professor de Arte. Ou-
tra possibilidade é trabalhar 
com materiais reciclados, fa-
zendo releituras das obras 
pesquisadas. O trabalho com 
essas manifestações artísti-
cas propicia a abordagem da 
competência geral 3.
 
• É interessante levar, para 
os alunos manusearem e ob-
servarem, modelos de cone, 
cilindro e esfera e mostrar, 
nos objetos, os elementos 
desses sólidos geométricos. 
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
https://www.davidharber.co.uk/
https://www.davidharber.co.uk/
77
77
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
ATIVIDADES
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I Esse cubo é formado por vários parale-
lepípedos reto-retângulos. Quantos sólidos 
desse tipo foram utilizados para compor 
essa escultura? 16 3 16 5 256
b) Para cada poliedro do quadro, verifique 
se a relação de Euler é válida.
a) Na figura, há:
• quantas faces?
• quantas arestas? 
• quantos vértices?
b) Qual é a figura que representa a base 
desse prisma?
5 faces
9 arestas
6 vértices
triângulo
a) b)
b) e)
c) f)
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
M
A
LE
W
IT
C
H
/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
C
O
M
S
TO
C
K
/
S
TO
C
K
B
Y
TE
/ 
G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
K
TS
D
E
S
IG
N
/S
C
IE
N
C
E
 
P
H
O
TO
 L
IB
R
A
R
Y
/ 
G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
G
IT
A
N
10
0/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
JA
N
U
S
Z
 
P
IE
N
K
O
W
S
K
I/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
a) d) 
a) um prisma e um cilindro;
b) uma pirâmide e um cone.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
LU
IZ
 R
U
B
IO
 1 Qual é o nome do sólido geométrico que 
você associaria a cada uma destas imagens?
 5 O Observe a figura abaixo, que representa um 
prisma, e responda às questões.
 6 Reúna-se com um colega para resolver 
esta atividade.
a) Copiem o quadro abaixo no caderno e 
completem-no.
 7 Observe a escul- Observe a escul-
tura ao lado e, 
depois, responda 
à questão.
 2 Escreva no caderno uma característica 
comum e uma diferença entre:
 3 De Determine o número de faces, de arestas 
e de vértices de cada figura a seguir.
 4 Ima Imagine que Paula vá fricgine que Paula vá fric-
cionar uma palma da mão cionar uma palma da mão 
na outra, fazendo girar o na outra, fazendo girar o 
pirulito. O movimento 
do pirulito remete à 
imagem de um sólido 
geométrico. Qual é 
esse sólido? esfera
b)
P
E
R
TU
S
IN
A
S
/a) 
5 faces, 
8 arestas, 
5 vértices
6 faces, 
12 arestas, 
8 vértices
esfera
prismaprisma
prismaprismacone
pirâmidepirâmidecilindro
Faça as atividades no caderno.
2. a) Exemplo de resposta: ambos são sólidos geométricos e possuem duas bases iguais; o 
prisma é um poliedro e o cilindro é um corpo redondo.
 b) b) Exemplo de resposta: ambos são sólidos geométricos e possuem uma única base; a 
pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.
Poliedro 
regular
Número 
de 
vértices
Número 
de 
faces
Número 
de 
arestas
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
44
88
66
2020
44
66
88
1212
20201212
66
1212
1212
3030
3030
6. b) A relação de Euler é válida para todos os poliedros do quadro, pois, em cada caso, a quantidade de faces 
somada à quantidade de vértices resulta na quantidade de arestasmais 2.
C
O
U
R
TE
S
Y
 O
F 
TH
E
 A
R
TI
S
T 
A
N
D
 M
A
R
G
A
R
E
T 
TH
AT
C
H
E
R
 P
R
O
JE
C
TS
, N
E
W
 Y
O
R
K
Carlitos, de Carlitos, de Carlitos
Carlos Estrada 
Vega, 2008.
• As atividades têm por in-
tenção colaborar para o de-
senvolvimento da habilidade 
EF06MA17. 
• As atividades 1, 2, 3 e 5 ex-
ploram o reconhecimento e 
a identificação dos elemen-
tos de figuras geométricas 
espaciais, assim como suas 
características. A atividade 1, 
por exemplo, permite discu-
tir com os alunos a diferen-
ça entre o objeto e a figura 
geométrica que o represen-
ta, ressaltando as caracterís-
ticas e as propriedades dessa 
figura. Já para a atividade 2, 
pode-se organizar os alu-
nos em grupos e solicitar-
-lhes que façam uma síntese 
de características comuns e 
diferenças entre os sólidos. 
Depois, pedir aos integran-
tes de cada grupo que apre-
sentem a síntese aos demais 
colegas.
• A atividade 4, ao propor 
que o aluno gire uma su-
perfície circular obtendo 
uma esfera, trabalha com o 
conceito de sólido de revo-
lução. Há duas possibilida-
des de ampliar a atividade: 
pedir aos alunos que imagi-
nem qual sólido geométri-
co seria obtido se o pirulito 
tivesse a forma retangular 
e triangular ou perguntar 
qual figura geométrica pla-
na precisaria ser girada para 
obter um cilindro e um cone.
 
 
78
78
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Mateus e suas irmãs compraram um panetone para o lanche da tarde. Eles perceberam que a 
embalagem do panetone tem a forma de um sólido geométrico.
Depois que todos comeram o panetone, Mateus cortou a embalagem cuidadosamente pelas 
arestas e obteve sua planificação. Veja como ela ficou.
A seguir, observe a planificação da superfície de alguns sólidos geométricos.
Prisma de base triangular
Cilindro Cone
Pirâmide de base pentagonal
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
LU
IZ
 R
U
B
IO
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Planificação da superfície 
de sólidos geométricos
4
planificação da embalagem do panetone
• O trabalho com planifica-
ção da superfície dos sólidos 
geométricos cumpre parte 
da habilidade EF06MA18, a 
qual será complementada no 
capítulo 9.
• Proponha aos alunos que 
levem embalagens e, tal 
como a situação proposta 
no livro com a caixa de pa-
netone, solicite que, com o 
auxílio de uma tesoura com 
pontas arredondadas, re-
cortem as embalagens cui-
dadosamente pelas arestas, 
produzindo uma planificação. 
O manuseio dessa planifica-
ção, assim como a possibi-
lidade de sua montagem e 
desmontagem, auxiliará no 
desenvolvimento da percep-
ção espacial. 
• Peça aos alunos que obser-
vem a figura e relacionem 
cada face da planificação da 
caixa de panetone, desta pá-
gina, com as faces da caixa 
montada.
 
79
79
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Cubo
 Dodecaedro
 Octaedro
 Icosaedro
Poliedros regulares
 Tetraedro
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Observação 
A planificação da superfície de uma esfera é impossível, ainda que existam algumas represen-
tações gráficas aproximadas, como mostra o mapa abaixo. Observe:
Globo 
terrestre.Representação do globo 
terrestre em 
superfície 
plana.
Elaborado com base no “Planisfério político” do Atlas geográfico 
escolar. 7. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2016.
ERGONOMAL/SHUTTER
STO
C
K
DIVISÃO DOS CONTINENTES
60o
30o
30o
60o
0o
150o120o90o60o30o30o60o90o120o150o 0o
EQUADOR
CÍRCULO POLAR ÁRTICO
CÍRCULO POLAR ANTÁRTICO
TRÓPICO DE CÂNCER
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO
ANTÁRTIDA
OCEANIA
ÁSIA
ÁFRICA
EUROPA
A
M
É
R
I
C
A
OCEANO GLACIAL ÁRTICO
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
ÍNDICO
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
4.130 km
Sugestão de atividade extra
• Proponha aos alunos que 
se organizem em grupos e, 
em uma folha de papel (car-
tolina ou papel-cartão), re-
produzam os modelos das 
planificações dos seguin-
tes sólidos: prisma de base 
triangular, pirâmide de base 
pentagonal, cilindro, cone 
e dos poliedros de Platão 
(tetraedro, cubo, octaedro, 
dodecaedro e icosaedro). 
Recortem-nos e montem as 
figuras geométricas espa-
ciais, utilizando tesoura com 
pontas arredondadas e fita 
adesiva. Depois, peça aos 
alunos que:
 � Discutam as características 
comuns e as diferenças en-
tre o prisma e o cilindro e 
entre a pirâmide e o cone. 
 � Verifiquem em quais po - 
liedros cada vértice é ex tre-
midade da mesma quan - 
tidade de arestas, identifi-
cando os poliedros regulares 
e não regulares e ressaltan-
do que as condições, faces 
idênticas e mesma quan-
tidade de arestas em cada 
vértice garantem que o po - 
liedro seja regular. 
• Para que os alunos per-
cebam que, de fato, não é 
possível planificar uma es-
fera, solicite a eles que, em 
grupos, tentem embrulhar 
uma esfera, cobrindo toda 
a superfície e utilizando o 
mínimo de papel. Utilize 
qualquer objeto de forma 
esférica. Ao final da ativida-
de, proponha uma discussão 
com as seguintes questões: 
 � Foi fácil embrulhar a esfera? 
 � Vocês conseguiram co-
brir toda a superfície da 
esfera? 
 � Seria mais fácil embru-
lhar um bloco retangular? 
 � É possível cortar o pa-
pel do tamanho exato da 
esfera? 
80
80
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
ATIVIDADES Faça as atividades no caderno.
a)
b)
c)
d)
Identifique esse cubo.
• Agora, desenhe a planificação da super-
fície de um cubo diferente das que você 
identificou nas figuras acima.
a) d)
b) e)
c) f)
Reúna-se com um colega, copiem as figu-
ras a seguir em uma malha quadri culada 
e identifiquem as faces opostas em cada 
uma das planificações.
a)
b)
c)
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
alternativa c
Exemplo de 
resposta:
B
A
A
B CC
A
B
B
A
C
C
B
A
A
B
C
C
Não, pois os poliedros regulares têm todas as 
faces iguais e, na pirâmide citada, a base é 
pentagonal (5 lados) e as faces são triangulares.
alternativas a, c, d B
A
A
B CC
B
A
B
C
C
A
B
A
B
C
C
A
 2 Caio montou um cubo por meio da plani-
ficação da sua superfície.
 3 Observe as figuras e identifique as que são 
planificações da superfície de um cubo.
 4 Na figura 1 abaixo, temos a planificação 
de um cubo. Dobrando a planificação de 
maneira adequada (figura 2), obtemos 
uma caixa cúbica (figura 3).
Observe que a face de cima e a face em 
contato com o plano são opostas e estão 
indicadas com a mesma letra.
 5 Uma pirâmide pentagonal regular (cuja ba-
se tem cinco lados) é um poliedro regular? 
Justifique sua resposta.
 1 Desenhe a planificação da superfície de 
uma embalagem com a forma de bloco 
 retangular. Há só uma planificação possível 
de se desenhar? Em seguida, na planifi-
cação, pinte com a mesma cor duas faces 
opostas do bloco, isto é, que não tenham 
aresta comum.
�gura 1 
A
B
B
A CC
A
B
B
A CC
�gura 2 
�gura 1 
B
A C �gura 3 
• Para a atividade 4, pro-
videncie cópias da malha 
quadriculada que consta na 
página XXIV deste Manual. 
Durante a resolução desta 
atividade, os alunos podem 
ser convidados a construir 
um dado, marcando cada 
uma de suas faces conforme 
a orientação do enunciado. 
No entanto, é aconselhável 
que eles não planifiquem o 
dado, pois pode interferir 
no processo de abstração.
 
• Em complemento à ativi-
dade 1, proponha aos alunos 
que façam várias planifica-
ções e que comparem as suas 
com as produzidas pelos co-
legas. Apresente outras pla-
nificações que não tenham 
sido trabalhadas. Peça a eles 
que montem as planificações 
para verificar se, de fato, elas 
formam blocos retangulares. 
Abaixo, dois exemplos de pla-
nificaçõesde blocos retangu-
lares com exemplos de faces 
opostas pintadas.
 
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, 
sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar in-
formações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência geral 2: Exercitar a 
curiosidade intelectual e recorrer 
à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a refle-
xão, a análise crítica, a imaginação 
e a criatividade, para investigar 
causas, elaborar e testar hipóteses, 
formular e resolver problemas e 
criar soluções (inclusive tecnológi-
cas) com base nos conhecimentos 
das diferentes áreas.
81
81
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
24 cm
x
90 cm
LU
IZ
 R
U
B
IO
• A Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) disponibiliza em seu site uma cartilha com site uma cartilha com site
orientações aos passageiros sobre suas bagagens:
<http://www.anac.gov.br/publicacoes/anac_panfleto_bagagem.pdf/view>; acesso em: 
11 jun. 2018.
Acessem o site e elaborem algumas ilustrações sobre três informações relevantes site e elaborem algumas ilustrações sobre três informações relevantes site
presentes na cartilha. Essas ilustrações poderão ser divulgadas para a comunidade escolar.
• Reúna-se com um colega. Avaliem o plano de resolução de cada um e representem 
uma das resoluções. 
• Juntem-se à outra dupla e discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos 
escolhidos pelas duas duplas. Com base na análise das estratégias, executem o pro-
cesso de resolução. 
ObservaçãoObservação
Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
• Calcule a dimensão indicada de forma indireta na figura. 
• Considerando as informações fornecidas pelo texto e pela figura do enunciado, elabore 
um esquema que represente um possível processo de resolução do problema. 
• Leia o enunciado da questão e procure relacioná-lo à figura dada.
• Responda: 
 I. Quantas dimensões foram indicadas diretamente na figura? 
II. Com base nas informações da figura, é possível encontrar todas as medidas 
necessárias? 
apenas uma: 24 cm
Não; é possível encontrar apenas mais uma dimensão, 
que é indicada de forma indireta pelos 90 cm.
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
In
te
rp
re
ta
çã
o 
e 
Id
en
tif
ic
aç
ão
 
do
s d
ad
os
Pl
an
o 
de
 
 re
so
lu
çã
o
Re
so
lu
çã
o
Ve
rif
ic
aç
ão
Ap
re
se
nt
aç
ão
Resolvendo em equipe
(Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional 
de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar 
em voo doméstico poderá transportar bagagem de 
mão, contudo a soma das dimensões da bagagem 
(altura 1 comprimento 1 largura) não pode ser superior 
a 115 cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a 
forma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x, em centímetros, para que x, em centímetros, para que x
a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela 
Anac é:
a) 25 b) 33 c) 42 d) 45 e) 49
Indicando por a a medida da largura a medida da largura 
da caixa, temos: 90 5 24 1 24 1 a, 
ou seja, a 5 42 cm.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.Resposta pessoal.um esquema que represente um possível processo de resolução do problema. Resposta pessoal.um esquema que represente um possível processo de resolução do problema. 
Nessa cartilha, além de informações referentes à bagagem de mão, há outras relacionadas, por exemplo, ao transporte 
de líquidos, à quantidade de massa (em quilograma) das bagagens e aos objetos cujo transporte é permitido. 
Faça as atividades no caderno.
Resolvendo em equipe 
• A seção destaca as etapas 
na resolução de problemas. 
Elas devem ser analisadas 
e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer o desen-
volvimento das competên-
cias gerais 2, 4, 9 e 10 e das 
competências específicas 2, 
3, 5, 6 e 8, a seção permite a 
transferência de estratégias 
de resolução para outros 
contextos e situações.
• Sugestão da resolução: 
De acordo com o enuncia-
do, a soma das dimensões 
não pode ser superior a 
115 cm, ou seja, a soma deve 
ser, no máximo, igual a 115. 
Como já foram definidas 
duas dimensões, uma de for-
ma direta (24 cm) e outra 
de forma indireta (42 cm), 
o valor máximo da terceira 
dimensão será obtido pela 
expressão: 115 2 (24 1 42) 5 
5 115 2 66 5 49. 
 
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos 
convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 6: En-
fren tar situações-problema em 
múltiplos contextos, incluindo-
-se situações imaginadas, não 
diretamente relacionadas com 
o aspecto prático-utilitário, ex-
pressar suas respostas e sintetizar 
conclusões, utilizando diferentes 
registros e linguagens (gráficos, 
tabelas, esquemas, além de texto 
escrito na língua materna e outras 
linguagens para descrever algorit-
mos, como fluxogramas, e dados).
Competência específica 8: Inte-
ragir com seus pares de forma 
cooperativa, trabalhando coleti-
vamente no planejamento e de-
senvolvimento de pesquisas para 
responder a questionamentos e na 
busca de soluções para problemas, 
de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão 
de uma determinada questão, res-
peitando o modo de pensar dos 
colegas e aprendendo com eles.
http://www.anac.gov.br/publicacoes/anac_panfleto_bagagem.pdf/view
82
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
82
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 1 Entre os sólidos geométricos estudados neste capítulo, quais foram os dois tipos destacados?
 4 Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos? Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos?
 6 Com a planificação de um octaedro regular obtemos: Com a planificação de um octaedro regular obtemos:
a) 4 triângulos idênticos.
b) 8 triângulos idênticos.
c) 6 triângulos idênticos.
d) 20 triângulos idênticos.
 2 Cite uma aplicação industrial dos poliedros. Cite uma aplicação industrial dos poliedros. 
 3 Que objetos de seu cotidiano lembram corpos redondos? Que objetos de seu cotidiano lembram corpos redondos? 
 5 A As embalagens de vários produtos podem ser desmontadas e decompostas em figurasplanas. 
Qual é o conceito visto neste capítulo que está associado a essa situação?
poliedros e corpos redondos
alternativa b
Exemplos de resposta: construção civil, peças de 
máquinas, mobiliário etc.
planificação da superfície de sólidos geométricos
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a superfície dos 
 Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos?
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a superfície dos 
 Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos?
corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
 A
corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
 As embalagens de vários produtos podem ser desmontadas e decompostas em figuras planas. 
corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
s embalagens de vários produtos podem ser desmontadas e decompostas em figuras planas. 
de basquete, de vôlei etc.), lápis, vasos para plantas e casquinha de sorvete.
Exemplos de resposta: bolas (de futebol, 
 1 Qua Qual das figuras a seguir não representa 
um poliedro?
b) d)
a) c)
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
 2 (Saresp) A figura abaixo representa uma 
pirâmide de base hexagonal. O número de 
vértices dessa pirâmide é:
a) 6
b) 7 
c) 10 
d) 12
alternativa b
alternativa d
 4 (Saresp) A forma geométrica espacial que 
pode ser associada à planificação abaixo é:
a) um cilindro.
b) uma pirâmide de base pentagonal.
c) um prisma de base pentagonal.
d) um paralelepípedo.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
alternativa c
 3 Qua Qual é o sólido geométrico cuja superfície 
corresponde à planificação?cone
 
• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo retomar 
os conceitos e pro cedimentos 
vistos no capítulo, estimu-
lando a revisão, autoavalia-
ção e criatividade por meio 
da resolução e elaboração de 
problemas. É composta de a ti- 
 vidades de diversos níveis de 
dificuldade, incluindo desa-
fios, questões de exames e 
concursos, cuidadosamente 
escolhidas, para que os alu-
nos as resolvam com base nos 
conhecimentos adquiridos até 
o momento.
Revisitando 
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar os 
conhecimentos consolidados. 
Se eles tiverem alguma dúvi-
da em relação aos conteúdos 
avaliados na seção, sugira 
que retomem as páginas do 
capítulo. Incentive-os a bus-
car a troca de conhecimen-
to em grupo e, caso a dúvida 
persista, ajude-os a encon-
trar um bom caminho para a 
compreensão. 
Aplicando 
• Durante o capítulo, procu-
rou-se utilizar objetos que 
lembrassem formas geo-
métricas para auxiliar na 
percepção espacial. Para a 
realização das atividades 
propostas, espera-se que 
os alunos tenham adquiri-
do a abstração necessária 
para resolvê-las, cumprindo 
o objetivo de alcançar per-
cepção espacial. Caso ainda 
tenham dúvidas, recorra aos 
modelos utilizados durante 
o estudo do capítulo. 
 
83
Lembre-se:
Não escreva no livro!
83
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 6 (Saresp) O quarto de Felipe estava uma 
bagunça e sua mãe mandou que ele o 
 arrumasse. O menino adora Matemática e 
resolveu guardar seus brinquedos de uma 
forma diferente. Ele pegou duas caixas de 
papelão e escreveu: caixa A — figuras planas 
e caixa B — figuras espaciais. Ajude Felipe 
a colocar os brinquedos que lembram 
 figuras planas na caixa A e os brinquedos 
que lembram figuras espaciais na caixa B. 
Marque a alternativa em que os brinquedos 
estão nas caixas certas.
a) caixa A: bola, foto; caixa B: dado, figurinha
b) caixa A: dado, foto; caixa B: figurinha, bola
c) caixa A: figurinha, foto; caixa B: dado, bola
d) caixa A: figurinha, bola; caixa B: dado, foto
 5 (Enem) Maria quis inovar em sua loja de 
embalagens e decidiu vender caixas com 
diferentes formatos. Nas imagens apresen-
tadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que 
Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e 
pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e 
pi râ mide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
alternativa a
alternativa c
 8 Resolva com um colega a atividade a seguir.
 (Obmep) Num dado comum, a soma dos 
pontos de duas faces opostas é sempre  7. 
É possível construir um dado comum dobran-
do e colando uma das peças de papelão a 
seguir. Que peça é essa?
 7 (Saresp) Observe a caixa representada abaixo.
Uma planificação dessa caixa é:
a) c)
b) d)
d)
a)
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IOe)
b)
c)
alternativa c
alternativa c
Para a resolução da ativida-
de 5, incentive os alunos a 
nomearem as figuras geo-
métricas planas presentes 
nas planificações apresenta-
das (círculo, retângulo, pen-
tágono e triângulo).
84
Lembre-se:
Não escreva no livro!
84
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
DESAFIO
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
DESAFIO
Resolva com um colega a atividade a seguir.
(Obmep) As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados 
esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces 
que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra a planificação de uma pirâmide; 
quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na 
figura é 1 1 3 1 4 5 8.
a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide acima? 
b) A figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente 
ao ponto indicado?
c) A figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do 
vértice correspondente ao ponto A?
d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior? 12
9
11
22
5 1
3
4
6 2
5
4
6
7
A B
8
1
3
2
Elaborando
Observe os poliedros a seguir e faça o que se pede.
• No caderno, elabore três questões que podem ser 
respondidas observando os poliedros.
• Troque de caderno com um colega e responda às 
questões elaboradas por ele.
• Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele, 
dizendo o que ele respondeu corretamente e em que 
ele se equivocou.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
2
1
3 4
1 4
3
2
Caso os alunos apresentem 
dificuldades na compreensão 
do enunciado, reproduza a 
imagem da pirâmide com 
as marcações e perceba se 
eles conseguem localizar 
as faces e o vértice após a 
pirâmide ser montada.
• O Desafio requer uma vi-
são espacial bem apurada, 
pois necessita que os alunos 
façam correspondência en-
tre a planificação e o sólido 
correspondente em diversas 
posições. Se for necessário, 
mostre a posição dos núme-
ros nas faces do cubo e do 
octaedro também.
Elaborando 
• A seção incentiva a cria-
tividade e a elaboração 
de questões por parte dos 
alunos, favorecendo o de-
senvolvimento das compe-
tências gerais 2, 4 e 10.
• Questões possíveis que po-
derão ser elaboradas com 
suas respectivas respostas: 
 � Qual poliedro tem o 
maior número de ares-
tas? Resposta: O prisma de 
base hexagonal.
 � Qual poliedro é uma pi-
râmide? Resposta: O polie-
dro do meio.
 � Quais poliedros têm o 
mesmo número de faces? 
Resposta: O poliedro do 
meio e o da direita. 
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a 
reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas)com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sono-
ra e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informa-
ções, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
85
É hora de extrapolar Faça as atividades no caderno.
VOCÊ JÁ VIU QR CODE EM EMBALAGENS DE PRODUTOS?
Além de serem usados no lugar dos códigos de barras em produtos, os QR codes 
podem ter outras finalidades nas diversas situações em que aparecem: em folhetos 
de museus e de outras instituições, para fornecer dados; nas passagens aéreas, a fim 
de liberar o acesso dos passageiros; em ingressos de shows e de cinema, para liberar a 
entrada, entre outras situações. Atualmente, os QR codes são bastante usados como 
estratégia de marketing em embalagens de diversos produtos, trazendo informações 
extras, promoções e até jogos.
Objetivos: Pesquisar sobre o QR code e suas aplicações, construir a embalagem de um 
produto e utilizar essa tecnologia para oferecer mais informações sobre o produto.
Etapa 1: Pesquisa sobre o QR code e suas aplicações.
1. Reúna-se em grupo com os colegas, leiam a tirinha e, depois, respondam às questões.
• Qual foi o número pensado e descoberto?
Por Willian Silva
Por Willian Silva
a) Qual é o título da tirinha?
b) Há quantos personagens na tirinha?
c) Sobre que tipo de código eles estão falando?
d) O código que aparece no primeiro quadro da tirinha representa qual frase?
2. Pesquisem o que é QR code, como ele surgiu e quais são as suas principais aplicações.
3. Existem vários aplicativos para celular e sites que oferecem programas de leitura 
e criação de QR codes que podem ser baixados gratuitamente. Utilizando algum 
deles, descubram o que está escrito na tirinha a seguir.
85
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
©
 H
U
M
O
R
 C
O
M
 C
IÊ
N
C
IA
©
 H
U
M
O
R
 C
O
M
 C
IÊ
N
C
IA
Resposta rápida.
dois
QR code
“Isso não é um labirinto, seu maluco! É um QR code.”
Quadro 1: “Eu 
vou adivinhar o 
número que você 
está pensando”; 
“3”; “Essa eu 
quero ver.”
Quadro 2: “Você 
pensou no 3.”; 
“Que demais! 
Você é mágico?” 
Quadro 3: “Não, 
eu usei um 
aplicativo para 
ler QR code.”; 
“Você acabou de 
perder um fã.”
3
É hora de extrapolar
• A seção propõe o fecha-
mento da unidade com um 
trabalho colaborativo que 
explora a pesquisa, a comu-
nicação e a elaboração de 
um produto final, com a em-
balagem e o QR code, que 
será compartilhado com a 
turma ou com a comunida-
de escolar.
• Com a finalidade de organi-
zar o trabalho, a seção é dividi-
da em etapas que promovem:
 � Entendimento do con-
texto e dos objetivos do 
trabalho a ser realizado. 
 � Pesquisa individual ou 
coletiva.
 � Elaboração, em grupo, 
do produto proposto.
 � Apresentação e exposi-
ção do produto.
 � Reflexão e síntese do 
trabalho.
As etapas de pesquisa e de 
elaboração do produto po-
dem ser realizadas extraclas-
se. Verifique o perfil dos alu-
nos e oriente-os com relação 
ao prazo, aos materiais e a 
outros aspectos necessários à 
realização do trabalho. 
• A seção também favorece 
o desenvolvimento das com-
petências gerais 2, 4, 5, 7, 8, 9 
e 10 (consulte a página V des-
te Manual) e das competên-
cias específicas 2, 3, 4, 5, 6 
e 8 (consulte a página VI), pro-
curando mobilizar conteú - 
dos estudados nos capítu-
los que integram a unidade. 
Portando, é recomendável 
trabalhar a seção depois de 
estudar os capítulos, mas, se 
preferir trabalhar as etapas 
da seção à medida que os 
capítulos forem estudados, 
atente para os conhecimen-
tos prévios necessários.
 
• Para a etapa 1, auxilie os alunos na busca por aplicativos que façam leitura e criação de QR codes. Há uns 
que só fazem leitura, outros que só geram o código e outros ainda com as duas funcionalidades. Oriente os 
alunos a pesquisar sobre as opções existentes, testar alguns e escolher o aplicativo que acharem conveniente.
Alguns aplicativos leitores de QR code não apresentam todos os acentos gráficos corretamente.
 
86
4. Criem dois QR codes: um que represente o enunciado de um problema, que pode ser 
resolvido com a operação de divisão, e outro que contenha a solução do problema.
5. Troquem os QR codes criados no item anterior com outro grupo e resolvam o 
problema proposto.
Etapa 2: Escolha do produto e da embalagem.
6. Retomem o estudo das planificações da superfície dos sólidos e confeccionem uma 
embalagem que lembre algum sólido geométrico.
7. Algumas questões importantes que devem ser debatidas pelo grupo:
a) Para que serve o produto?
b) Qual é o público-alvo (faixa etária, grupo social etc.) que pode se interessar pelo 
produto?
c) Que formato de embalagem vai acondicionar o produto com segurança e 
eficiência?
d) Que informações sobre o produto (nome, quantidade etc.) devem aparecer na 
embalagem?
e) Que tipo de informação (promoção, charada, jogo etc.) pode estar representado 
por um QR code na embalagem e pode despertar ou aumentar o interesse do 
público-alvo?
8. Depois de selecionar o produto e confeccionar a embalagem, criem um QR code 
que represente a informação escolhida para aumentar o interesse do público-alvo. 
Não esqueçam de inserir o QR code na embalagem do produto. 
Etapa 3: Apresentação e análise da embalagem.
9. Disponibilizem a embalagem criada pelo grupo para que os outros conheçam 
o produto escolhido, leiam as principais informações e descubram o que está 
representado pelo QR code.
10. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas. 
Etapa 4: Síntese do trabalho realizado.
11. Questões que devem ser discutidas:
a) A embalagem confeccionada pelo grupo atingiu os objetivos propostos?
b) Os colegas conseguiram identificar o produto e suas principais informações?
c) A mensagem representada pelo QR code foi decifrada?
d) Vocês modificariam algo no processo, na embalagem e na mensagem em 
QR code?
12. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo 
na etapa 2 e que considere o resultado da etapa 3, levando em 
conta as reações e as sugestões dos colegas.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Respostas pessoais.
Respostas pessoais.
86
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
• No item 4 da etapa 1, veja 
uma sugestão de questão:
 � De quantas caixas, com 
capacidade para arma-
zenar uma dúzia, Lucas 
precisa para guardar sua 
coleção de HQs, que hoje 
conta com 60 revistas? 
Resposta: 5 caixas.
• Na etapa 2, se achar con-
veniente, argumente que a 
escolha da embalagem tam-
bém pode ser direcionada 
em relação ao custo do ma-
terial utilizado. Assim, mui-
tas vezes é preciso fazer uma 
análise criteriosa na escolha.
• Na etapa 3, após a apre-
sentação e análise das em-
balagens, proponha uma 
discussão geral sobre a ade-
quabilidade da embalagem 
escolhida por cada grupo. 
Para essa discussão, pode ser 
levado em consideração o 
formato, a apresentação, o 
material, o custo etc. 
• Para consolidar o estudo 
da unidade, releia e refaça 
coletivamente as atividades 
“Revisitando” e as questões 
da abertura de unidade.
Veja proposta de avaliação 
de aprendizagem no Mate-
rial do Professor – Digital.
87
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
UNIDADE II
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 4