MANUALPROF_matematica_6_PNLD2020_17237_matematicacompreensaoepratica

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ÊNIO SILVEIRA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
Componente curricular:
MATEMÁTICA
6oano
Componente curricular:
MATEMÁTICA
Componente curricular:
MANUAL DO 
PROFESSOR
MANUAL DO PROFESSOR
5a edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
ÊNIO SILVEIRA
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. 
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. 
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
o
ano6
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática / Ênio 
Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. 
 Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16948 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Edição de infogra�a: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, 
Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, 
Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática : manual do 
professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018. 
 Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16950 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, 
Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Carla Aparecida Loge, Thais Toldo Antonagi
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Paula de Sá Belluomini
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Cárita Negromonte, Know-how Editorial Ltda.
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
http://www.moderna.com.br
III
Sumário
 Orientações gerais
• Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
• Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
• Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
• Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
• Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
• Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 6o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
• Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
• O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
• A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
• Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
• Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII
Orientações para o desenvolvimento das unidades
Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9
Capítulo 1 Números naturais e sistemas de numeração ...............................................................................................................10
Capítulo 2 Operações com números naturais ................................................................................................................................................36
Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais .........................................................................................................................................................70
Unidade II ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 87
Capítulo 4 Igualdades e desigualdades ................................................................................................................................................................ 88
Capítulo 5 Múltiplos e divisores ................................................................................................................................................................................... 106
Capítulo 6 Frações .............................................................................................................................................................................................................................128
Capítulo 7 Números decimais ...........................................................................................................................................................................................160
Unidade III ............................................................................................................................................................................................................................................................................184
Capítulo 8 Porcentagem ...........................................................................................................................................................................................................185
Capítulo 9 Figuras geométricas planas ............................................................................................................................................................. 199
Capítulo 10 Ampliação e redução de figuras ................................................................................................................................................ 228
Unidade IV ...........................................................................................................................................................................................................................................................................242
Capítulo 11 Grandezas e medidas ................................................................................................................................................................................. 243
Capítulo 12 Probabilidade e estatística ............................................................................................................................................................... 282
IV
Orientações gerais
APRESENTAÇÃO
Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do 
 Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são 
processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. 
Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto 
guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser 
feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta 
coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na 
organização e gestão de suas aulas.
Esta coleção foi reformulada para atender os requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 
abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções 
complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho 
diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre 
no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os 
 objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. 
Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em 
suas reflexões.
O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, 
elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos 
adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar 
como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer que o objetivo da aprendizagem 
escolar é a formação humana integral e que por esse motivo é necessário levar em consideração a vida 
pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve 
promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, 
sejam de ordem científica. 
Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área 
que estuda os processos de ensino e de aprendizagem e da Matemática; ou seja, partimos da compreen-
são de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola. 
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm 
como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para 
uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção 
visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate-
mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o 
aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar 
matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado 
para continuar seus estudos. 
1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, jul./dez.FE/Unicamp, 2006. 
2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.
V
OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO
Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es-
colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos 
conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas 
competências gerais e específicas e nas habilidades estabelecidospela Base Nacional Comum Curricular. 
Destacamos que, de acordo com a BNCC: 
É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, 
inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três 
etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), 
 articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e 
na formação de atitudes e valores.
Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular
 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, 
social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e 
colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para 
investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar 
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, 
e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
 4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), 
corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, 
matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias 
e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento 
mútuo.
 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma 
crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) 
para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver 
problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos 
e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho 
e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com 
liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar 
e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os 
direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito 
local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se 
na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica 
e capacidade para lidar com elas.
 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se 
respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e 
valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, 
culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência 
e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, 
inclusivos, sustentáveis e solidários.
VI
Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para 
cada área do conhecimento. As de Matemática são:
 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e 
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma 
ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir 
argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para 
compreender e atuar no mundo.
 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da 
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e 
aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na 
busca de soluções.
 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas 
práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo 
argumentos convincentes.
 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, 
para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, 
validando estratégias e resultados.
 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, 
não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas 
e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever 
algoritmos, como fluxogramas, e dados).
 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, 
com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer 
natureza.
 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no 
planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na 
busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não 
na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas 
e aprendendo com eles.
Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática 
para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, 
promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.
ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO
Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas 
de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento.
A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar 
a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser 
respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que 
os alunos reflitam sobre o que aprenderam.
A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do 
capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo 
apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos 
sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você 
achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer 
principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.
VII
Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas 
a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear 
um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto 
de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números 
naturais: os alunos já possuem algum conhecimento adquirido nos anos anteriores; retomá-los permiteao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno.
Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or-
ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, 
propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; 
em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, 
as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo 
mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares 
de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do 
 professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas 
para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na 
coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras 
habilidades e competências.
Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de 
enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex-
tualizar alguns assuntos.
Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como objetivo 
retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criati-
vidade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades de diversos 
níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para 
que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. A seção é dividida em 
três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e "Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a 
oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos 
conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apresentadas anteriormente no capítulo. Incentive-
-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho 
para a compreensão. O “Aplicando” traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula 
a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das 
competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC.
Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas 
para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer sobretudo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências 
específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para 
outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da 
seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo. 
O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender 
com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio 
construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe-
tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, 
encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, 
a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que 
será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.
VIIIVIII
Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:
• o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;
• a pesquisa individual ou coletiva;
• a elaboração, em grupo, do produto proposto;
• a apresentação e exposição do produto;
• a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.
As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o 
professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec-
tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências 
gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar 
conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção 
depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os 
capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.
Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor – Digital, que 
apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as 
habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse 
material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de 
aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, 
indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atua-
ção do professor, entre outras sugestões. Apresenta ainda um projeto integrador para ser desenvolvido 
em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de 
acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para 
acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece 
a compreensão do conteúdo.
 Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade 
de uso dos recursos do Material do Professor – Digital.
MATEMÁTICA ESCOLAR 
Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi-
mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para 
ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância 
da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma: 
Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais 
para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado 
de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de 
um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo 
imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da 
capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática 
como componente curricular. (p. 1)
A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: 
a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para 
descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul-
tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de 
transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição 
(nesse caso, a escola).
3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: 
<http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018.
4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M-A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.
http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058
IXIX
6o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Númerosnaturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02
2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12
3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18
II
4 Igualdades e desigualdades EF06MA14
5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06
6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15
7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11
III
8 Porcentagem EF06MA13
9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27
10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23
IV
11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29
12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34
Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas 
instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados 
nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o 
ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado. 
Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos 
da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o 
saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.
APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS
A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema-
tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, 
contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo 
nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos 
como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano. 
Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem 
o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos 
(seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos, quanto para iniciar 
a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade. 
O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: 
o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual 
do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos 
e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permita a construção de 
significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe-
tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. 
Para isso, sugere-se que cada unidade, composta por dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. 
No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta 
na coleção à realidade de suas turmas.
 Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, 
capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental.
X
8o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11
2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02
3 Sistemas de equações do 1o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08
II
4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18
5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16
6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22
III
7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14
8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21
9 Equações do 2o grau EF08MA06 e EF08MA09
IV
10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13
11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27
12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27 
7o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04
2 Múltiplos e divisores EF07MA01
3 Retas e ângulos EF07MA23
II
4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09
5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12
6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18
III
7 Porcentagem e juro simples EF07MA02
8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17 
9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21
IV
10 Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32
11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33
12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37
XI
9o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18
2 Matemática financeira EF09MA05
3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14
II
4 Fatoração e equações do 2o grau EF09MA09
5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08
6 Função quadrática EF09MA06
III
7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16
8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11
9 Polígonos regulares EF09MA15 
IV
10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19
11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22
12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23
QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 6o ANO
Na sequência, focamos o quadro do 6o ano estabelecendo relações entre alguns objetos de 
conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores ou posteriores, indicados após cada 
quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações 
específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, 
de leitura, de vídeo, de atividade extra etc.
Unidade I (1o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
1 Números naturais e siste-
mas de numeração
Números Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e 
de números racionais representados 
na forma decimal. (1)
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever 
números naturais e números racionais cuja 
representação decimal é finita, fazendo uso da 
reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de nume-
ração decimal, como o que prevaleceu no mundo 
ocidental, e destacar semelhanças e diferenças 
com outros sistemas, de modo a sistematizar 
suas principais características (base, valor 
posicional e função do zero), utilizando, inclu-
sive, a composição e decomposição de números 
naturais e números racionais em sua represen-
tação decimal.
XII
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
2 Operações com números 
naturais 
Números Operações (adição, subtração, multi-
plicação, divisão e potenciação) com 
números naturais. 
Divisão euclidiana. (2)
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos 
ou aproximados) com números naturais, por meio 
de estratégias variadas, com compreensão dos 
processos neles envolvidos com e sem uso de 
calculadora.
Aproximação de números para múlti-
plos de potências de 10. (3)
(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e 
aproximar números para múltiplos da potência de 
10 mais próxima.3 Figuras geométricas es-
paciais
Geometria Prismas e pirâmides: planificações 
e relações entre seus elementos 
(vértices, faces e arestas). (4)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações 
entre o número de vértices, faces e arestas de 
prismas e pirâmides, em função do seu polígono 
da base, para resolver problemas e desenvolver 
a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao 
número de vértices, às medidas de 
lados e ângulos e ao paralelismo e 
perpendicularismo dos lados. (5)
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar 
polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, 
e classificá-los em regulares e não regulares, 
tanto em suas representações no plano como 
em faces de poliedros.
(1) 
• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita e ordenação de números naturais (de até seis ordens) – 5o ano.
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.
• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(2)
• Problemas: adição e subtração de números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita – 5o ano.
• Problemas: multiplicação e divisão de números racionais cuja representação decimal é finita por números naturais – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(3) 
• Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais – 6o ano.
(4) 
• Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características – 5o ano.
(5) 
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos – 5o ano.
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.
Unidade II (2o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
4 Igualdades e desigual-
dades
Álgebra Propriedades da igualdade. (6) (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igual-
dade matemática não se altera ao adicionar, sub-
trair, multiplicar ou dividir os seus dois membros 
por um mesmo número e utilizar essa noção para 
determinar valores desconhecidos na resolução 
de problemas.
5 Múltiplos e divisores Números Fluxograma para determinar a pari-
dade de um número natural.
Múltiplos e divisores de um número 
natural.
Números primos e compostos. (7)
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem 
natural e representá-lo por fluxograma que 
indique a resolução de um problema simples (por 
exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em 
primos e compostos, estabelecer relações entre 
números, expressas pelos termos “é múltiplo 
de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por 
meio de investigações, critérios de divisibilidade 
por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
XIII
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
6 Frações Números Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, compara-
ção, adição e subtração; cálculo da 
fração de um número natural; adição 
e subtração de frações. (8)
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar 
frações associadas às ideias de partes de inteiros 
e resultado de divisão, identificando frações 
equivalentes.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam o cálculo da fração de uma quantidade 
e cujo resultado seja um número natural, com e 
sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam adição ou subtração com números 
racionais positivos na representação fracionária.
Álgebra Problemas que tratam da partição de 
um todo em duas partes desiguais, 
envolvendo razões entre as partes 
e entre uma das partes e o todo. (9)
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam a partilha de uma quantidade em duas 
partes desiguais, envolvendo relações aditivas e 
multiplicativas, bem como a razão entre as partes 
e entre uma das partes e o todo.
7 Números decimais Números Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e 
de números racionais representados 
na forma decimal. (10)
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever 
números naturais e números racionais cuja 
representação decimal é finita, fazendo uso da 
reta numérica.
Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, compara-
ção, adição e subtração; cálculo da 
fração de um número natural; adição 
e subtração de frações. (11)
(EF06MA08) Reconhecer que os números racio-
nais positivos podem ser expressos nas formas 
fracionária e decimal, estabelecer relações entre 
essas representações, passando de uma repre-
sentação para outra, e relacioná-los a pontos na 
reta numérica.
Operações (adição, subtração, multi-
plicação, divisão e potenciação) com 
números racionais. (12)
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas 
com números racionais positivos na represen-
tação decimal, envolvendo as quatro operações 
fundamentais e a potenciação, por meio de 
estratégias diversas, utilizando estimativas e 
arredondamentos para verificar a razoabilidade 
de respostas, com e sem uso de calculadora.
(6)
• Propriedades da igualdade e noção de equivalência – 5o ano.
• Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano.
(7)
• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita e ordenação de números naturais (de até seis ordens) – 5o ano.
• Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais. Divisão euclidiana – 6o ano.
• Múltiplos e divisores de um número natural – 7o ano.
(8)
• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.
• Comparação e ordenação de números racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de equivalência – 5o ano.
• Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador – 7o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(9)
• Grandezas diretamente proporcionais – 5o ano.
• Problemas envolvendo a partição de um todo em duas partes proporcionais – 5o ano.
• Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 7o ano.
(10)
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(11) 
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.
• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.
• Comparação e ordenação de números racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de equivalência – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
(12)
• Problemas: adição e subtração de números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita – 5o ano.
• Problemas: multiplicação e divisão de números racionais cuja representação decimal é finita por números naturais – 5o ano.
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
XIV
Unidade III (3o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimentoé favorecido
8 Porcentagem Números Cálculo de porcentagens por meio de 
estratégias diversas, sem fazer uso 
da “regra de três”. (13)
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam porcentagens, com base na ideia de 
proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de 
três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo 
mental e calculadora, em contextos de educação 
financeira, entre outros.
9 Figuras geométricas 
planas
Geometria Polígonos: classificações quanto ao 
número de vértices, às medidas de 
lados e ângulos e ao paralelismo e 
perpendicularismo dos lados. (14)
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar 
polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, 
e classificá-los em regulares e não regulares, 
tanto em suas representações no plano como em 
faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triân-
gulos e classificá-los em relação às medidas dos 
lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos 
quadriláteros, classificá-los em relação a lados e 
a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção 
de classes entre eles.
Construção de retas paralelas e per-
pendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares. (15)
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas 
e esquadros, ou softwares para representações 
de retas paralelas e perpendiculares e construção 
de quadriláteros, entre outros.
Grandezas e medidas Ângulos: noção, usos e medida. (16) (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo 
como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam 
a noção de ângulo em diferentes contextos e em 
situações reais, como ângulo de visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da aber-
tura de ângulos, por meio de transferidor e/ou 
 tecnologias digitais.
10 Ampliação e redução de 
figuras
Geometria Plano cartesiano: associação dos 
vértices de um polígono a pares 
ordenados. (17)
(EF06MA16) Associar pares ordenados de 
números a pontos do plano cartesiano do 
1o quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
Construção de figuras semelhantes: 
ampliação e redução de figuras pla-
nas em malhas quadriculadas. (18)
(EF06MA21) Construir figuras planas semel-
hantes em situações de ampliação e de redução, 
com o uso de malhas quadriculadas, plano carte-
siano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e per-
pendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares. (19)
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver 
situações passo a passo (como na construção de 
dobraduras ou na indicação de deslocamento de 
um objeto no plano segundo pontos de referência 
e distâncias fornecidas etc.).
(13) 
• Cálculo de porcentagens e representação fracionária – 5o ano.
• Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples – 7o ano.
(14), (15), (16) e (19)
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos – 5o ano.
• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal – 7o ano.
• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos – 7o ano.
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.
(17)
• Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1o quadrante) e representação de deslocamentos no plano cartesiano – 5o ano.
• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e 
à origem – 7o ano.
(18) 
• Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas: reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados correspondentes – 5o ano.
• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e 
à origem – 7o ano.
XV
Unidade IV (4o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
11 Grandezas e medidas Grandezas e medidas Problemas sobre medidas envolven-
do grandezas como comprimento, 
massa, tempo, temperatura, área, 
capacidade e volume. (20)
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam as grandezas comprimento, massa, 
tempo, temperatura, área (triângulos e retân-
gulos), capacidade e volume (sólidos formados 
por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, 
inseridos, sempre que possível, em contextos 
oriundos de situações reais e/ou relacionadas 
às outras áreas do conhecimento.
Plantas baixas e vistas aéreas. (21) (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar 
plantas baixas simples de residências e vistas 
aéreas.
Perímetro de um quadrado como 
grandeza proporcional à medida do 
lado. (22)
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que 
ocorrem no perímetro e na área de um quadrado 
ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as 
medidas de seus lados, para compreender que o 
perímetro é proporcional à medida do lado, o que 
não ocorre com a área.
12 Probabilidade e estatística Probabilidade e 
estatística
Cálculo de probabilidade como a 
razão entre o número de resultados 
favoráveis e o total de resultados 
possíveis em um espaço amostral 
equiprovável.
Cálculo de probabilidade por meio 
de muitas repetições de um experi-
mento (frequências de ocorrências 
e probabilidade frequentista). (23)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um 
evento aleatório, expressando-a por número 
racional (forma fracionária, decimal e percentual) 
e comparar esse número com a probabilidade 
obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas 
e gráficos (de colunas ou barras 
simples ou múltiplas) referentes 
a variáveis categóricas e variáveis 
numéricas. (24)
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos (título, 
eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes 
tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que 
envolvam dados de pesquisas sobre contextos 
ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo 
responsável, entre outros, apresentadas pela 
mídia em tabelas e em diferentes tipos de grá-
ficos e redigir textos escritos com o objetivo de 
sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e 
registro. 
Construção de diferentes tipos de 
gráficos para representá-los e inter-
pretação das informações. (25)
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pes-
quisa referente a práticas sociais escolhidas 
pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas 
para registro, representação e interpretação das 
informações, em tabelas, vários tipos de gráficos 
e texto.
Diferentes tipos de representação de 
informações: gráficos e fluxogramas. 
(26)
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxo-
gramas simples, identificando as relações 
entre os objetos representados (por exemplo, 
posição de cidades considerando as estradas 
que as unem, hierarquia dos funcionários de uma 
 empresa etc.).
(20) 
• Medidas de comprimento, área, massa, tempo, temperatura e capacidade: utilização de unidades convencionais e relações entre as unidades de medida mais usuais – 
5o ano.
• Noção de volume – 5o ano.
• Problemas envolvendo medições – 7o ano.
• Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais – 7o ano.
(21) e (22)
• Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações – 5o ano.
• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como tri-
ângulos e quadriláteros – 7o ano.
(23) 
• Espaço amostral: análise de chances de eventos aleatórios – 5o ano.
• Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis – 5o ano.
• Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências – 7o ano.
(24), (25) e (26)
• Leitura, coleta, classificação, interpretação, e representação de dados em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas agrupadas, gráficos pictóricose gráficos de 
linhas – 5o ano.
• Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações – 
7o ano.
• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados – 7o ano.
XVI
UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA 
No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temática Números, espera-se que o aluno 
perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento 
construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, 
a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 
A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois 
apresentar o sistema de numeração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se 
os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo 
principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreensão dos resultados obtidos 
na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo 
de ensino e de aprendizagem.
Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também 
nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual. 
Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos processos 
de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos conteúdos 
dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva 
 ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, mas não devem 
se constituir em abordagem principal. 
O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve 
ser retomado e aprofundado nos Anos Finais.
De acordo com a BNCC:
Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numé-
ricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a 
regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença 
algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alu-
nos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas 
de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvol-
vidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não 
como objetos de estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas 
relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e esta-
tística), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alu-
nos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras 
linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em 
fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.
A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para 
a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o 
trabalho com as funções: a introdução das letras como variável, como incógnita ou como símbolo pode ser 
trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos. 
A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também 
favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente 
favorecida pelo uso de ambiente computacional.
O papel da Geometria é fundamental na construção do conhecimento matemático pelo aluno. 
 O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos 
Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação desejável entre a Geometria plana e a Geometria 
XVII
espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de 
materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geomé-
tricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. 
As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos. 
Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da 
percepção espacial, dos deslocamentos no plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é 
um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração 
são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o 
excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, 
que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno.
O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de 
atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino 
Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas 
diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um 
cenário de construção da cidadania. 
A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas 
na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamente seus 
conhecimentos para análise estatística desses dados coletados. O objetivo será sempre responder a um 
questionamento por meio da análise desses dados. 
Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, 
o estudo da probabilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor 
tem a possibilidade de utilizar tanto materiais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, 
que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres 
(por exemplo, o GeoGebra). O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados 
de experimentos aleatórios. 
A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam fornece importantes elementos para 
decisões no campo pessoal, nutricional, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em proces-
sos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão 
da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no 
estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação.
Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em 
articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano 
do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, 
sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das 
medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais 
mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental 
para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os 
instrumentos de medida. 
Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta:
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão 
da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das 
 medidas e das relações entre elas ‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integração 
da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências(densidade, grandezas e 
escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, 
densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui 
ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas 
e a construção do pensamento algébrico.
XVIIIXVIII
O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA 
No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Matemá-
tica não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curriculares. 
Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos 
interdisciplinares na escola.
Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como 
Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade 
na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas 
vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos. 
O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos 
componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de 
fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado” 5. Essa formulação, embora tenha em vista 
especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza 
diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas 
interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores. 
Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da 
situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e 
Dufour 6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamente 
se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações 
 necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma 
situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras 
palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as dife-
rentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da 
desintegração do saber disciplinar.
Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de 
cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a 
escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a 
ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social.
Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen-
volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo 
Ribeiro Nogueira 7:
Uma atitude interdisciplinar
É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos 
de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a 
interdisciplinaridade; deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume 
uma atitude interdisciplinar.
"... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera 
ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao 
diálogo ‒ ao diálogo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ 
atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante 
a possibilidade de desvendar novos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, 
desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as 
pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor 
forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de 
encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82)
5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32.
6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.
7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: 
Érica, 2010.
XIXXIX
Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a 
hipótese de que o aprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem 
desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não 
garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores 
essenciais à construção do conhecimento. 
Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação 
mediadora do professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o 
acesso aos materiais de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., 
sempre preocupado mais com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do 
processo de aprendizagem.
Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade 
reside em disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das 
ações, que ora podem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns 
professores, comprometendo o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve 
possuir perfeito canal de comunicação. A regra decisória passa a ser o consenso, já que 
desta forma pode-se cobrar o comprometimento; há de se estabelecer divisões de tarefas 
e equidade nas informações tanto de ordem procedimental como de resultados.
Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe 
comprometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no 
máximo com o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo.
Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjunto, 
por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, 
mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. 
Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo 
das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de 
profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe 
a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente 
com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno.
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a 
Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do 
tempo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento 
permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar 
os horizontes da aprendizagem matemática. 
No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer 
elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características 
sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto 
 matemático em estudo se desenvolveu. 
A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, 
junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo aprofundado 
da história, mas,sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para complementação e 
aprofundamento dos conteúdos abordados. 
AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
A utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expansão 
das oportunidades de aquisição de conhecimento– por exemplo, a calculadora e os softwares para 
aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para resolução 
de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),5
A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática 
podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a 
articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, 
conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades 
matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64)
5 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: 
<http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018.
http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf
XX
A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e 
linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. 
Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época 
em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no 
Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o 
uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam. 
O PAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEM
O erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na 
aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos a 
desistirem da escola por se sentirem incapazes.
A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto 
na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual 
destacamos os trechos a seguir.
[...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que 
um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na 
sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão 
pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, 
embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa de 
matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos 
durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências 
sobre o cérebro revelam algo mais significativo.
O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das 
 pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. 
Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada 
de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o 
cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que 
essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segunda 
resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção 
consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e 
a atenção consciente é dada a ele.
Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que 
ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes 
c orrigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, 
o estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que come-
temos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam 
como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assunto 
agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não 
 estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado 
e, nesse momento, ele cresce.
[...]
O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com 
frequência se sentem péssimos quando cometem um erro matemático. Eles pensam que 
isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em 
uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados – ou pior – são punidos. 
Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões:
• o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de 
 frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender;
• a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos 
alunos para que juntos os compreendam e encontrem caminhos para o acerto;
• atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, em lugar das ati-
vidades que induzam ao acerto pela sua simplicidade.
Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, 
que muitas vezes veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas.
XXI
AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM
A avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do 
trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”.
Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo 
construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que a 
aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanhamento 
do processo de aprendizagem visado. 
Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem matemática. 
É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, processos, pla-
nejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avaliação da aprendizagem 
desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: o tempo didático e o tempo 
cronológico não correm da mesma forma, o que muitas vezes explica as dificuldades detectadas. 
Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das 
situações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, 
a cada aula, a cada momento. 
Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o 
melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma 
nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, 
de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que 
não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, 
trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especial-
mente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.
Cabe ao professor, a partir do conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados 
aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios 
utilizados devem ser explicitados aos alunos.
Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do 
aluno deve ser a mais completa: