numeros naturais

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METODOLOGIA 
DO ENSINO DA 
MATEMÁTICA
 Tiago Loyo Silveira
Números naturais: 
operações e algoritmos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Reconhecer a constituição dos números naturais.
 Aplicar as quatro operações nas práticas cotidianas.
 Identificar diferentes formas de representar um algoritmo.
Introdução
Os números naturais, apesar de serem um conjunto “simples”, são funda-
mentais para a compreensão das operações matemáticas básicas. Foram 
as necessidades básicas de contagem que deram origem aos números 
naturais e às operações que os sucedem. Portanto, retomar o contexto 
histórico do surgimento dos números naturais e dominar as operações 
nesse conjunto são a base para o desenvolvimento do conhecimento 
matemático.
Neste capítulo, você vai ver como o surgimento dos números na-
turais está ligado às necessidades dos homens primitivos. Também vai 
ver como aplicar as quatro operações fundamentais em problemas do 
cotidiano. Por fim, vai conhecer diferentes algoritmos para a resolução 
das operações fundamentais.
Constituição dos números naturais
Cerca de 20 mil anos antes de Cristo, as civilizações primitivas começaram a 
ter necessidades rudimentares de contagem. Nesse período, contagens realiza-
das com meios simples, como pedras, riscos em ossos e nós em cordas, eram 
sufi cientes para se lidar com pequenas quantidades, que hoje são representadas 
pelos símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
É natural não contar algo que não se tem, não é? Por isso, os antigos sis-
temas de numeração, que utilizavam regras para a composição dos números 
de forma aditiva, não usavam o zero. Somente no século II d.C. é que surgem 
os primeiros inscritos babilônicos com uma lacuna vazia para representar o 
zero, já nos primórdios do sistema decimal. Segundo Boyer (1996), a mais 
antiga ocorrência indubitável de um zero na Índia se acha numa inscrição de 
876. Ainda de acordo com Boyer (1996), é possível que o algarismo utilizado 
para o zero tenha sido importado dos gregos de Alexandria. Porém, ainda há 
autores que não consideram o zero como um número natural.
O sistema decimal e a representação dos números naturais por meio dos 
algarismos indo-arábicos são, sem dúvidas, invenções incríveis. Tanto que 
ambas se espalharam e dominaram a cultura mundial, facilitando a representa-
ção e as operações numéricas. Os algarismos combinados no sistema decimal 
representam números que formam o conjunto dos números naturais. Veja:
Um importante subconjunto de está representado a seguir:
O sinal * significa que o zero foi excluído do conjunto.
No cotidiano, diversas situações envolvem representações com números natu-
rais e também giram em torna das necessidades básicas que deram origem a eles.
Suponha que João foi comprar algumas balas para o seu neto. Ele começa a contar as 
balas que está levando: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. No processo de contagem, João usa os 
números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc. Esses são os chamados números naturais. Atualmente, 
o zero é considerado natural pela maioria dos matemáticos.
O conjunto dos números naturais possui um menor elemento, independen-
temente de se considerar o zero ou não. Porém, ele não possui maior elemento. 
A sequência dos naturais é infinita à direita, de forma que você pode escrever 
o sucessor de todo número natural somando 1 a ele. Veja:
1 (+1) 2 (+1) 3 (+1) 4 (+1) 5 (+1) ...
Números naturais: operações e algoritmos2
O sucessor de um número natural é o número que vem imediatamente 
depois dele. Enquanto o sucessor é o número natural que vem imediatamente 
a seguir, o antecessor é o número natural que vem imediatamente antes, ou 
seja, com a subtração de 1. Números naturais consecutivos são agrupamentos 
formados por um menor natural e uma sequência de sucessores.
O sucessor de 5 é 6.
O sucessor de 19 é 20.
O sucessor de 5.800 é 5.801.
O antecessor de 20 é 19.
O antecessor de 1 é 0, mas 0 não tem antecessor natural.
O antecessor de 5.801 é 5.800 e assim sucessivamente.
Os números 10 e 11 são consecutivos.
Os números 33, 34 e 35 são consecutivos.
Os números 5.800, 5.801, 5.802 e 5.803 são consecutivos.
Além disso, os naturais podem ser agrupados de acordo com sua paridade. 
Os números pares são os múltiplos de 2. Eles podem ser escritos de forma 
genérica como 2n, sendo que n é um número natural. Veja:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
Por sua vez, os números naturais ímpares são representados genericamente 
por 2n + 1, sendo que n é um número natural:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...
Além da classificação entre pares e ímpares, os números naturais podem 
ser divididos em primos ou compostos. Um número natural é primo quando 
ele só tem dois divisores naturais: 1 e o próprio número. Os primeiros números 
primos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
3Números naturais: operações e algoritmos
Os números primos são infinitos, porém 2 é o único primo par. Se um 
número não é primo, então ele é composto, por se tratar do produto de primos.
6 = 2 ∙ 3
8 = 2 ∙ 2 ∙ 2
12 = 2 ∙ 2 ∙ 3
Reta natural
A reta dos números naturais, também conhecida como reta numérica, é um 
auxílio visual posicional dos números. Observe:
Determina-se o ponto para representar o zero. Seguindo para a direita e 
mantendo determinada distância, são marcados os sucessores naturais 1, 2, 
3, 4 e assim por diante.
Agora, veja como comparar os números naturais em:
> Maior que
< Menor que
 = Igual
Dados dois números naturais representados na reta numérica, o maior será 
o que estiver posicionado à direita do outro.
4 < 6 (lê-se: 4 é menor do que 6, pois 4 está à esquerda de 6).
7 > 2 (lê-se: 7 é maior do que 2, pois 7 está à direita de 2).
Números naturais: operações e algoritmos4
Veja ainda a representação de intervalos numéricos naturais.
Quais são os números naturais menores do que 8?
7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.
Quais são os números naturais maiores do que 8?
Existem infinitos números naturais maiores do que 8, de forma que 9, 10, 11, ... é uma 
representação desse intervalo natural.
Quantos números naturais há de 5 até 10?
5, 6, 7, 8, 9 e 10. Portanto, 6 números.
Para calcular quantidades com o uso dos conectivos “de” e “até”, você deve calcular 
a diferença do intervalo e acrescentar 1 ao resultado. Dessa forma: 10 – 5 + 1 = 6 
números no intervalo.
Quantos números naturais há entre 4 e 8?
Há três números naturais: 5, 6 e 7.
Para calcular quantidades com o uso do conectivo “entre”, você deve calcular a 
diferença do intervalo e subtrair 1 do resultado. Dessa forma: 8 – 4 – 1 = 3 números 
no intervalo.
As quatro operações nas práticas cotidianas
As quatro operações aritméticas fundamentais são: adição, subtração, multi-
plicação e divisão. A seguir, você vai ver cada uma delas.
Adição
Considere as seguintes situações.
1. Na escola X, havia 280 alunos. Foram matriculados outros 70. Com 
quantos alunos a escola ficou?
2. Na escola Y, existem duas turmas de 1º ano do ensino fundamental. 
Uma delas tem 32 alunos e a outra tem 33. Quantos alunos de 1º ano 
há na escola?
5Números naturais: operações e algoritmos
Observe que na primeira situação a ideia envolvida é de acréscimo. Já na 
segunda situação, a ideia é de junção. Em ambos os conceitos, acrescentar e 
juntar, há a operação de adição.
O algoritmo base da adição é representado da seguinte forma:
Nessa representação, os números devem ser escritos e posicionados para 
que as ordens de cada número estejam sobrepostas. Dessa forma, eles estarão 
alinhados da direita para a esquerda. A operação também se dará da direita 
para a esquerda.
A nomenclatura usual da adição é:
Sempre que a soma dos algarismos de uma mesma ordem igualar ou su-
perar 10 unidades da ordem, uma unidade deverá ser adicionada à ordem 
imediatamente à esquerda. Dessa forma:
Propriedades da adição
Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma. Dessa 
forma, na adição de dois números naturais a e b, você tem:
a + b =b + a
Propriedade associativa: o agrupamento associado de adições não interfere 
na soma. Dessa forma, na adição de três números naturais a, b e c, você tem:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
Números naturais: operações e algoritmos6
Existência do elemento neutro: o zero é o elemento neutro aditivo, de forma 
que não infl uencia uma operação de adição. Assim, considerando um número 
natural a, você tem:
a + 0 = 0 + a = a
Propriedade do fechamento: toda adição de naturais tem como soma outro 
número natural.
Subtração
Considere as seguintes situações.
1. Carlinhos tem R$ 500,00 na sua conta-poupança. Ele pediu aos seus 
pais se poderia utilizar R$ 150,00 para comprar um jogo novo para seu 
videogame. Quanto restará na sua poupança?
2. A empresa ALFA contratou 400 funcionários. Sabendo que ela deve 
fechar seu quadro de contratações com 680 funcionários, quantos ainda 
precisa contratar?
Observe que na primeira situação a ideia envolvida é uma retirada, ou seja, 
uma subtração. Já na segunda situação, a ideia envolvida é uma comparação, 
ou seja, deseja-se saber quanto falta para completar determinada quantidade. 
Subtrair, comparar e completar são ideias básicas da subtração.
O algoritmo base da subtração é representado da seguinte forma:
Os números devem ser escritos e posicionados de forma semelhante à 
utilizada na adição. Assim, eles ficam alinhados da direita para a esquerda. 
A operação segue a mesma ordem da adição, de modo que os números são 
subtraídos um a um, da direita para a esquerda.
A nomenclatura usual da adição é:
7Números naturais: operações e algoritmos
Quando um dos algarismos do minuendo for menor do que o do subtraendo, 
será necessário que uma unidade imediatamente à esquerda seja convertida em 
10 novas unidades da ordem que for insuficiente para subtrair. Essa operação 
é comumente conhecida como “pedir emprestado”. Se a ordem imediatamente 
à esquerda não tiver algarismo significativo, o “pedido” segue para a próxima 
ordem à esquerda. Veja este exemplo.
680 – 400: 280
Centenas simples Dezenas simples Unidades simples
–
6 8 0
4 0 0
6 – 4 = 2 8 – 0 = 8 0 – 0 = 0
Agora veja mais um exemplo e, em seguida, observe os quadros. 
901 – 425: 476
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
–
9 0 1
4 2 5
1 – 5 = ?
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
–
9 – 1 = 8 0 + 10 1
4 2 5
1 – 5 = ?
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
–
8 10 – 1 = 9 1 + 10
4 2 5
Números naturais: operações e algoritmos8
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
–
8 9 11
4 2 5
8 – 4 = 4 9 – 2 = 7 11 – 5 = 6
Propriedade fundamental da subtração
Em uma subtração, o minuendo é igual à soma do subtraendo ao resto. Dessa 
forma, você tem:
m – s = d ↔ m = s + d
Veja ainda as seguintes considerações quanto à subtração.
  A soma dos três termos de uma subtração (minuendo, subtraendo e 
diferença) é o dobro do minuendo. Veja:
m + s + d = 2m
  A subtração é a operação inversa da adição. Dessa forma, adicionar e 
subtrair um mesmo número é equivalente a não realizar nenhuma das 
operações. Veja:
a + b – b = a
  A subtração não se restringe aos números naturais. Isso significa que 
nem toda subtração é possível nesse conjunto. Veja:
6 – 2 é natural, pois 6 > 2;
12 – 12 é natural, pois 12 = 12;
2 – 6 não é natural, pois 2 < 6.
Você pode recorrer ao livro Materiais Manipulativos para o Ensino das Quatro Operações 
Básicas (SMOLE; DINIZ, 2016) para ver sugestões de como usar diversos materiais 
didáticos a fim de ensinar as operações fundamentais nos anos iniciais.
9Números naturais: operações e algoritmos
Multiplicação
Considere as seguintes situações.
1. Sr. Arthur tem 5 filhos e decidiu dar uma mesada de R$ 30,00 para 
cada um deles. Quanto Sr. Arthur gastará em mesada?
Dessa forma, a multiplicação surge como uma alternativa para simplificar 
adições de parcelas repetidas. Assim, você tem:
5 × 30 = 150
2. Em um jogo de baralho, existem 4 naipes (copas, ouro, espada e paus). 
Cada naipe possui 13 cartas (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama e 
rei). Quantas cartas diferentes há em um baralho completo?
Copas: ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama e rei
Ouro: ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama e rei
Espada: ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama e rei
Paus: ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama e rei
4 × 13 = 52
Observe que a primeira situação consiste na ideia de adicionar parcelas 
iguais. Na segunda situação, acontece uma combinação entre naipes e cartas. 
A ideia de adicionar parcelas iguais e a ideia de combinar são a síntese da 
multiplicação.
O algoritmo base da multiplicação é representado por:
De forma semelhante à que caracteriza a adição, os números são operados da 
direita para a esquerda. E, da mesma forma, ao acumular mais de 10 unidades 
em uma ordem, uma nova unidade deve ser acrescida na ordem imediatamente 
à esquerda, caso exista.
Números naturais: operações e algoritmos10
A nomenclatura usual da adição é:
Como consequência da multiplicação, se diz que o produto é um múltiplo 
dos fatores envolvidos.
a × b = p
Então, p é múltiplo de a e b.
Quando um produto tiver ambos os fatores com mais de dois algarismos, 
cada algarismo do fator irá gerar uma parcela. Ao final, as parcelas deverão 
ser somadas. Veja:
4 × 5 = 20 unidades simples. Logo, você deve representar com zero unidade 
simples e duas unidades de dezena, que devem ser adicionadas na ordem das 
dezenas.
Na sequência, você deve efetuar o produto 4 × 4 = 16 e só depois deve 
efetuar a adição com as duas unidades de dezena adicionais, de forma a obter 
16 + 2 = 18. Porém, não há mais ordens à esquerda das dezenas. 
Agora, você deve repetir o processo efetuando os produtos com o algarismo 2. 
Veja: 2 × 5 = 10, ou zero unidade simples e uma unidade de dezena. O resultado 
do produto deve ser deslocado uma ordem à esquerda, como consequência do fato 
de o algarismo 2 representar uma quantidade superior ao algarismo 4 no fator 24.
11Números naturais: operações e algoritmos
Veja: 2 × 4 + 1 = 9. Fique atento ao fato de ter de realizar o produto antes 
da soma. Por fim, basta somar as parcelas obtidas:
O processo será semelhante no caso de um dos fatores ter mais de dois 
algarismos, sempre adicionando uma parcela para cada algarismo e deslo-
cando uma ordem à esquerda. Uma sugestão é utilizar o fator com menos 
algarismos na parte abaixo do algoritmo, de forma a obter menos parcelas 
a serem somadas.
Propriedades da multiplicação
Propriedade comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. Dados 
dois números naturais quaisquer a e b, você tem:
a × b = b × a
Propriedade associativa: o agrupamento associado de multiplicações não 
interfere no produto. Dados três números naturais quaisquer a, b e c, você tem:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
Existência do elemento neutro: o número 1 é o elemento neutro multiplicativo, 
de forma que não interfere em uma operação de multiplicação. Assim, sendo 
um número natural a, você tem:
a × 1 = 1 × a = a
Propriedade do fechamento: toda multiplicação de naturais tem como produto 
outro número natural.
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: dados três 
números naturais quaisquer a, b e c, você tem:
a × (b + c) = a × b + a × c
Números naturais: operações e algoritmos12
Nesse caso, convém ressaltar que a operação de multiplicação tem prioridade 
em relação à adição. Portanto, deve ser operada primeiro.
Divisão
Considere as seguintes situações.
1. João vai repartir suas 21 bolinhas de gude com seus dois irmãos, de 
forma que todos fiquem com quantidades iguais. Com quantas bolinhas 
cada um ficará?
A melhor maneira de entender a divisão é por meio do agrupamento dos 
objetos em quantidades iguais.
Dessa forma: 21 ÷ 3 = 7.
2. Na hora de fazer sua mudança, dona Maria precisou guardar sua coleção 
de copos em caixas. Sabendo que dona Maria possui 18 copos e que em 
cada caixa cabem 6 copos, de quantas caixas ela precisa?
18 – 6 = 12: primeira caixa fechada
12 – 6 = 6: segunda caixa fechada
6 – 6 = 0:terceira caixa fechada
Portanto, dona Maria precisa de 3 caixas para guardar seus copos.
Na primeira situação, a divisão é entendida como repartição em partes 
iguais. Já na segunda situação, a divisão pode ser interpretada pela quantidade 
de subtrações iguais, consecutivas.
Observe que na primeira situação descrita as divisões ocorreram sem 
que nenhum irmão ficasse com quantidades diferentes de bolinhas, ou 
que sobrassem bolinhas. Na segunda situação, foram fechadas três caixas 
completas de copos. Esse tipo de divisão é chamada de divisão exata. Isso 
13Números naturais: operações e algoritmos
ocorre porque os valores a serem divididos são múltiplos do número pelo 
qual serão divididos. Observe:
21 ÷ 3 = 7, pois 7 × 3 = 21.
18 ÷ 6 = 3, pois 3 × 6 = 18.
O algoritmo base da divisão é:
A nomenclatura usual da divisão é:
De forma linear, você tem o seguinte:
D = q × d + r
No link a seguir, você pode acompanhar exemplos do algoritmo da divisão.
https://goo.gl/eq3BLU
Em uma divisão exata, o dividendo é divisível pelo divisor. Isso significa que 
o dividendo é múltiplo do divisor. Nesse caso, o resto sempre será igual a zero.
Existem ainda algumas considerações relevantes quanto à divisão:
  a divisão é a operação inversa da multiplicação (e vice-versa);
  o resultado da divisão de zero por qualquer divisor será sempre zero; 
  as divisões por zero são impossíveis. Observe:
D ÷ 0 = q ↔ q × 0 = D
Números naturais: operações e algoritmos14
Porém, todo produto em que um dos fatores é zero resulta em zero. Logo: D = 0.
Além das divisões exatas, que possuem resto zero, há as divisões não 
exatas, que possuem resto diferente de zero. Nesse caso, seu resultado pode 
ser representado em conjuntos numéricos naturais. Assim, o conjunto dos 
naturais não é fechado para a divisão.
A operação de divisão é a que mais resulta em erros. Isso se deve em parte às dificulda-
des que muitas pessoas têm com a multiplicação, já que são operações inversas. Além 
disso, isso se deve às diversas peculiaridades do algoritmo, principalmente quando 
o conjunto não for dos números naturais. No link a seguir, você pode aprender mais 
sobre as peculiaridades do algoritmo da divisão.
https://goo.gl/4Vhr2T
Expressões numéricas
As expressões numéricas são os agrupamentos de operações matemáticas. 
Certas operações devem ser realizadas com prioridade em detrimento de 
outras para se obter o valor da expressão. Veja este exemplo:
3 × 5 + 2
Uma expressão serve para representar matematicamente problemas e 
situações reais em que existam prioridades nas operações a serem realizadas.
Entre as operações fundamentais, considere que há dois grupos relativos 
à ordem de prioridade:
1. multiplicações e divisões;
2. adições e subtrações.
Se uma expressão possuir mais de uma operação com o mesmo grau de prioridade, 
você deve realizar os cálculos da esquerda para a direita.
15Números naturais: operações e algoritmos
Uma expressão numérica pode conter elementos que auxiliam nas relações 
de prioridade. Com relação a esses elementos, é fundamental que você se fa-
miliarize com o uso dos parênteses, ( ), dos colchetes, [ ], e das chaves { }. 
Entre esses elementos, também há uma ordem de prioridade:
1. resolver as operações entre parênteses;
2. resolver as operações entre colchetes;
3. resolver as operações entre chaves.
Veja este exemplo:
Como você pode notar, em alguns momentos existem sinais operatórios 
que antecedem os parênteses, os colchetes ou as chaves. Se os operadores 
forem × ou ÷, você pode aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. 
Na divisão, o mesmo pode ser feito, pois a divisão é a inversa da multiplica-
ção. Se o operador for +, ele conservará as operações internas. Você deve ter 
cuidado principalmente com as situações em que o operador que antecede os 
parênteses, os colchetes ou as chaves for de subtração. Nesse caso, você deve 
alterar os sinais de adição e subtração internos, ou ainda alterar o resultado 
operado no interior dos parênteses, dos colchetes ou das chaves.
Considere este exemplo:
Diferentes formas de representação 
de um algoritmo
Além dos algoritmos que você viu, existem outros modos de expressar e de 
operar as operações aqui descritas. A seguir, você vai ver algoritmos alter-
nativos para as operações fundamentais. Além deles, existem muitos outros.
Números naturais: operações e algoritmos16
Adição: método das somas parciais
Nesse método, ocorre a decomposição dos números envolvidos de forma a 
expressá-los por meio de uma soma em que as ordens são inteiras. Veja este 
exemplo:
284 = 200 + 80 + 4
Agora veja essa decomposição alinhada no algoritmo tradicional:
284 + 592
O reagrupamento pode ser feito: 700 + 170 + 6 = 876.
Esse processo é muito utilizado nos cálculos mentais.
Subtração: algoritmo de riscar, método de subtração da 
esquerda para a direita
A seguir, veja o processo passo a passo.
Ou seja, 500 − 200 = 300, que é representado pelo 
número 3, que ocupa a coluna das centenas.
Ou seja, 390 − 80 = 310, que é representado pelos 
números 3 e 1, que ocupam as colunas das centenas e 
dezenas, respectivamente.
Ou seja, 12 − 4 = 08, que é representado pelos números 
0 e 8, que ocupam as colunas das dezenas e unidades, 
respectivamente.
Finalmente, o resultado 308, que é representado pelos 
números 3, 0 e 8, que ocupam as colunas das centenas, 
dezenas e unidades, respectivamente.
17Números naturais: operações e algoritmos
Multiplicação: método dos camponeses russos
A multiplicação que você viu até aqui utiliza como símbolo operador ×. Porém, 
o ponto (∙) também pode ser a representação do operador de multiplicação.
Veja como os camponeses russos operavam a multiplicação. Observe:
36 ∙ 13
Agora considere os números colocados lado a lado:
36 13
A ideia é determinar a metade do primeiro e o dobro do segundo, escrevendo 
os resultados abaixo dos fatores correspondentes:
36 13
18 26
Procede-se do mesmo modo com os resultados obtidos:
36 13
18 26
9 52
Chegando a um número ímpar (9), que não tem divisão exata por 2, se 
reduz uma unidade e depois se segue com a divisão, de forma que:
36 13
18 26
9 52
4 104
2 208
1 416
Por fim, se somam os números da coluna da direita que possuem corres-
pondentes ímpares na coluna da esquerda. Veja:
416 + 52 = 468, que é o produto de 36 ∙ 13
Números naturais: operações e algoritmos18
Existem diversos métodos alternativos para a multiplicação: egípcio, grego, árabe, chinês, 
entre outros. Você pode aprender mais sobre esses métodos consultando o texto Revisi-
tando os Algoritmos para Operações Aritméticas Fundamentais, disponível no link a seguir.
https://goo.gl/R3yk9d 
Divisão: método egípcio
A divisão que você viu até aqui utiliza como símbolo operador ÷. Porém, os 
dois-pontos (:) também podem ser a representação do operador de divisão.
Segundo Moraes (2015), “[...] o Papiro de Rhind (conhecido também como 
Papiro de Ahmes) é uma das principais fontes históricas sobre as raízes da 
aritmética. Encontramos, registrado no papiro, o problema ‘dividir 19 por 8’”. 
Usando a aritmética atual para representar o método egípcio, você tem:
Se você somar as linhas com (*), vai obter a soma 19. Dessa forma, a 
solução do problema é obtida assim:
Esse não é um resultado natural. Portanto, veja agora um exemplo com 
resultado natural:
19Números naturais: operações e algoritmos
Se você somar as linhas com (*), vai obter a soma 28. Dessa forma, a 
solução do problema é obtida assim:
28 : 4 = 3 + 4 = 7
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
MORAES, E. C. L. Revisitando os algoritmos para operações aritméticas fundamentais. 2015. 
94 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Departamento de Matemática 
da Universidade de Brasília, Brasília, 2015. Disponível em: <http://repositorio.unb.br/
bitstream/10482/19789/1/2015_EmmanuelCristianoLopesdeMoraes.pdf>. Acesso 
em: 2 out. 2018.
SMOLE, K. S.; DINIZ,M. I. (Org.). Materiais manipulativos para o ensino das quatro operações 
básicas. Porto Alegre: Penso, 2016.
Leituras recomendadas
RIBEIRO, A. Divisão com vírgula. Escola Kids, 2018. Disponível em: <https://escolakids.
uol.com.br/divisao-com-virgula.htm>. Acesso em: 2 out. 2018.
SANTANA, G. S. Algoritmos utilizados para as quatro operações elementares. 2016. 66 f. 
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Universidade Federal de Goiás, Goiâ-
nia, 2016. Disponível em: <https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/6449/5/
Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Gracielly%20da%20Silva%20Santana%20-%20
2016.pdf>. Acesso em: 2 out. 2018.
SILVA, J. B. R. A Função do ábaco na formação continuada de professores dos anos iniciais. 
Curitiba: Appris, 2010.
SILVA, L. P. M. Algoritmo da divisão. Mundo Educação, 2018. Disponível em: <https://
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/algoritmo-divisao.htm>. Acesso em: 2 
out. 2018.
SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2013.
Números naturais: operações e algoritmos20
Conteúdo: