números fracionários

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METODOLOGIA DO 
ENSINO DA 
MATEMÁTICA
Tiago Loyo Silveira
Números fracionários 
e decimais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Reconhecer o conceito dos números fracionários e a importância do 
seu uso em situações cotidianas.
  Descrever os números decimais e o seu uso no sistema monetário 
brasileiro.
  Resolver operações com números fracionados e decimais.
Introdução
O conceito de fração é extremamente antigo. Egípcios e babilônios já o 
utilizavam nos seus sistemas numéricos. Atualmente, as frações e suas 
formas decimais são usadas a todo momento: na receita de um bolo, 
quando se compra uma broca para a furadeira, ao manipular valores 
monetários, etc. Porém, o conceito da fração como uma divisão e a 
forma decimal a ela associada muitas vezes não são assimilados da 
forma correta. Assim, muitos adolescentes, nos anos finais do ensino 
fundamental e no ensino médio, carregam essa dificuldade para toda 
questão que envolva frações.
Neste capítulo, você vai ver o conceito de número fracionário e sua 
importância no cotidiano. Também vai ver como transformar uma fra-
ção na sua forma decimal e como essa forma se apresenta no sistema 
monetário. Por fim, vai verificar como as operações fundamentais são 
aplicadas tanto na forma fracionária como na forma decimal.
Números fracionados e a sua 
importância cotidiana
O número fracionado se origina da divisão de um inteiro. Fracionar é o mesmo 
que dividir, repartir. Para compreender os conceitos relacionados, considere 
o seguinte exemplo.
Doze ovos devem ser agrupados. Estão disponíveis ovos vermelhos e 
ovos brancos. Inicialmente, esses ovos serão agrupados em três colunas com 
a mesma quantidade de ovos. Uma delas conta apenas com ovos vermelhos e 
as outras com ovos brancos, como você pode ver na Figura 1.
Figura 1. Ovos agrupados em três colunas.
Fonte: Nattika/Shutterstock.com e Suradech 
Prapairat/Shutterstock.com.
Se você dividir o conjunto em três partes iguais, cada uma das partes será 
um terço. Dessa forma:
  um terço dos ovos é vermelho, o que é representado por ;
  dois terços dos ovos são brancos, o que é representado por ;
  o conjunto de todos os ovos corresponde a três terços, representados 
por . Como frações são divisões, então três terços correspondem 
a um inteiro. Nesse caso, a uma dúzia inteira.
Números fracionários e decimais2
Nas frações, você tem:
O número que aparece embaixo (denominador da fração) indica em quantas 
partes iguais o inteiro foi dividido. O número que aparece em cima (numerador 
da fração) indica quantas dessas partes foram tomadas.
Leitura das frações
Denominador signifi ca aquele que dá nome. Dessa forma, a leitura de uma 
fração segue algumas regras. Ela começa pelo numerador, seguido do nome 
ordinal do denominador. Observe o Quadro 1, a seguir.
Fração Nome
Um meio (ou meio)
Dois terços
Três quartos
Dois quintos
Cinco sextos
Três sétimos
Cinco oitavos
Quatro nonos
Quadro 1. Leitura de frações
(Continua)
3Números fracionários e decimais
As frações cujos denominadores são potências de 10 (10, 100, 1.000, 10.000, 
etc.) são frações decimais e recebem nomes diferenciados. Veja:
10 décimos
100 centésimos
1.000 milésimos
10.000 décimos de milésimos
Para denominadores maiores do que 10, o número é acrescido da pa-
lavra avos.
Frações relativas a quantidades
Quando você precisa determinar a fração de uma quantidade, deve consi-
derar que essa quantidade é dividida no número de partes representado pelo 
denominador. 
Fração Nome
Três décimos
Cinco onze avos
(...)
Sete vinte avos
(...)
Um centésimo
(...)
Quadro 1. Leitura de frações
(Continuação)
Números fracionários e decimais4
Carlos tem uma coleção de 27 figurinhas. Ele decidiu que dará de suas figurinhas 
ao seu irmão. Quantas figurinhas Carlos dará ao irmão?
Observe que as 27 figurinhas serão divididas em 3 partes, e 2 partes serão dadas 
ao irmão de Carlos.
27 ÷ 3 = 9
Portanto, o irmão de Carlos receberá 2 × 9 = 18 figurinhas.
Vitor, Júnior e Paula saem para comer pizza. Paula costuma comer o dobro de fatias 
que Júnior. Vitor e Júnior comem a mesma quantidade. Se a pizza for dividida em 
12 fatias, qual fração representará as fatias comidas por Paula e quantas fatias serão?
Observe que as 12 fatias serão divididas em 4 partes, já que 2 partes serão dadas a 
Paula, uma parte a Júnior e uma parte a Vitor. Dessa forma, você tem:
Vitor Junior Paula 
12 ÷ 4 = 3
Tomando duas partes das quatro, você tem: 2 × 3 = 6 fatias serão dadas a Paula.
Observe que 6 é a metade de 12, da mesma forma que, na fração , 2 é a metade 
de 4. A mesma fração poderia ser representada por . Veja:
Frações próprias, impróprias e números mistos
As frações que você viu até agora representam uma parte do todo, de forma 
que o numerador é sempre menor ou igual ao denominador. As frações em 
que o numerador é menor do que o denominador são chamadas de frações 
próprias. Veja estes exemplos:
5Números fracionários e decimais
As frações em que o numerador é maior do que o denominador são cha-
madas de frações impróprias. Veja estes exemplos:
Com os exemplos práticos que você viu até aqui, é difícil compreender o 
conceito de frações impróprias, não é? Afinal, como poderiam ser tomadas 
mais partes do que o todo?
Considere a seguinte situação: Maria comprou 3 barras de chocolate (branco, 
ao leite e meio amargo) e dividiu cada uma delas em 4 pedaços, como você 
pode ver na Figura 2, a seguir.
Figura 2. Três barras de chocolate divididas em quatro pedaços.
Fonte: Adaptada de Zonda/Shutterstock.com.
Maria iria dar a Júlia, sua amiga, um pedaço de cada uma das barras. 
Como Júlia sabia que Maria não gostava de chocolate meio amargo, ela 
pediu para que os seus três pedaços fossem todos da barra de chocolate 
meio amargo. Maria aceitou a proposta, de forma que a divisão ficou como 
na Figura 3.
Números fracionários e decimais6
Figura 3. Divisão dos chocolates entre Maria e Júlia.
Fonte: Adaptada de Zonda/Shutterstock.com.
Na representação com frações, cada barra foi dividida em 4 pedaços, 
de forma que o denominador é 4. Maria ficou com 9 dessas partes. Logo, a 
fração que representa os pedaços de Maria é , que é uma fração imprópria. 
As frações impróprias podem ser representadas por sua parte inteira e por 
sua parte fracionária, chamada de número misto.
Na situação anterior, você viu que Maria ficou com da barra de chocolate. 
A representação por meio de números mistos seria descrita por duas barras 
inteiras e um quarto de barra. Veja:
Para obter um número misto de uma fração imprópria, você deve dividir 
numerador por denominador e usar apenas a parte inteira da resposta. O resto 
será o denominador da parte fracionária.
Para obter uma fração imprópria de um número misto, você precisa multi-
plicar o denominador pela parte inteira e somar com o numerador para chegar 
7Números fracionários e decimais
ao numerador da fração imprópria. O denominador da fração imprópria será 
o mesmo do número misto. Veja:
Frações equivalentes
Como você viu anteriormente, e são iguais. Observe ainda que as repre-
sentações mostradas na Figura 4 são equivalentes.
Figura 4. Representações equivalentes.
Da esquerda para a direita, numerador e denominador são multiplicados por 2. Já da 
direita para a esquerda, numerador e denominador são divididos por 2. Multiplicar 
ou dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número 
não altera seu resultado e gera uma fração equivalente à primeira.
Como consequência de haver mais frações que representam uma mesma 
quantidade, sempre se busca a menor representação possível. A ideia é que 
numerador e denominador tornem-se primos entre si, ou seja, não possam ser 
divididos por um mesmo número. Esse processo se chama simplificação, e a 
fração mais simples obtida é chamada de fração irredutível.
Veja este exemplo:
Ou:
A fração irredutível de é .
Números fracionários e decimais8
Comparaçãode frações
Considere que João divide sua barra de chocolate em 2 pedaços e come 1 deles 
(Figura 5). Já Pedro divide uma barra idêntica em 5 pedaços e come 2 deles 
(Figura 6). Quem come mais chocolate? 
Figura 5. Barra de chocolate de João.
Fonte: Adaptada de Mikael Damkier/Shutterstock.com.
Figura 6. Barra de chocolate de Pedro.
Fonte: Adaptada de Mikael Damkier/Shutterstock.com.
Inicialmente, usando apenas os numeradores, João comeu apenas 1 pedaço. 
Já Pedro comeu 2. Aparentemente, Pedro comeu mais do que João. Porém, 
9Números fracionários e decimais
se as duas barras forem divididas de forma igual, o resultado será diferente. 
Observe a Figura 7.
Figura 7. Barra de chocolate dividida em 20 pedaços.
Fonte: Adaptada de Mikael Damkier/Shutterstock.com.
Observando a barra dividida em bloquinhos menores, você pode ver 
que João comeu 10 bloquinhos, e Pedro, somente 8. Isso significa que, para 
comparar frações, seus denominadores devem ser iguais. Como você viu, 
multiplicar ou dividir numerador e denominador por um mesmo número 
gera uma fração equivalente. Então, é possível encontrar frações com de-
nominadores iguais. Veja:
Uma vez que os denominadores estejam iguais, basta comparar os 
numeradores. Uma forma simples de você obter frações que podem ser 
comparadas é multiplicar cada fração pelo denominador da outra e vice-
-versa. Observe:
Como 5 > 4, logo .
Números fracionários e decimais10
Os números decimais e o sistema 
monetário brasileiro
As frações foram criadas para representar números não inteiros. Como você 
sabe, no sistema decimal, cada unidade de ordem é composta por 10 unidades 
da ordem imediatamente à direita.
No número 108, há uma unidade na ordem das centenas, mas você poderia consi-
derar que são 10 unidades na ordem das dezenas, pois 10 dezenas e 1 centena são 
equivalentes.
Se cada unidade de ordem tem 10 unidades da ordem à esquerda, isso 
também ocorre nos números de primeira ordem? A resposta é sim. Como 
você viu, uma fração de denominador 10 é lida como décimo. Você também 
sabe que frações são divisões. Portanto, é a representação de uma parte 
de 10. Porém, essa parte não é um número inteiro, ou seja, é menor do que 
uma unidade de primeira ordem.
Diz-se que uma unidade de primeira ordem é formada por 10 décimos. 
Portanto, para os números não inteiros, você deve seguir o mesmo padrão do 
sistema decimal. Cada ordem vale 10 vezes mais do que sua ordem imediata-
mente à direita. Porém, para separar a parte não inteira da parte inteira, você 
deve usar uma vírgula (,).
Como a vírgula tem a função de separar a parte inteira da não inteira, 
cada número tem somente uma vírgula. Contudo, os números inteiros não 
possuem parte não inteira. Portanto, o uso da vírgula, como ocorria até agora, 
é dispensável.
... Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimos de 
milésimos
...
11Números fracionários e decimais
A fração é representada como a décima parte de um inteiro, ou ainda, 
na forma decimal, como 0,1. Da mesma forma:
  um centésimo ;
  um milésimo ; e assim por diante.
Como você viu nos números mistos, sempre que a fração for imprópria, 
com o numerador maior do que o denominador, haverá partes inteiras e partes 
decimais. Veja estes exemplos:
(Lê-se: três vírgula setenta e cinco; ou três inteiros e setenta e cinco 
centésimos).
(Lê-se: dez vírgula cinco; ou dez inteiros e cinco décimos).
Diz-se que é a forma fracionária e que 10,5 é a forma decimal.
Para obter a forma decimal de uma fração, basta você se lembrar de que 
uma fração é uma divisão. Dessa maneira, fazendo a divisão do numerador 
pelo denominador, você vai obter o correspondente na forma decimal. Para 
isso, deve complementar o algoritmo da divisão. Veja:
Você não vai “fechar” a conta com resto 3, como faria na divisão de naturais. 
Para obter a forma decimal, quando o dividendo for menor do que o divisor, 
é necessário adicionar um zero. Assim que o primeiro zero for adicionado, 
você deve adicionar uma vírgula ao quociente. Observe:
Números fracionários e decimais12
A divisão poderá seguir, uma vez que o dividendo é novamente maior do 
que o divisor.
Agora, você pode adicionar um zero ao dividendo para que ele fique maior 
do que o divisor. Cada número só possui uma vírgula. Dessa forma, a adição 
desse zero não vai alterar o quociente.
Quando você obtém o resto zero, ou se entra em um ciclo de restos que se 
repetem, deve encerrar a divisão. No segundo caso, você deve adicionar reti-
cências (...) ao quociente para representar que o número é um decimal infinito.
Alguns decimais possuem uma repetição infinita de casas decimais após a vírgula. Essa 
repetição é chamada de período, e o decimal é chamado de dízima periódica. No 
link a seguir, você pode ver como funciona a transformação da forma decimal para a 
forma fracionária desses números.
https://goo.gl/sOi3C7
No caso de o denominador ser uma potência de 10, a leitura e a trans-
formação da forma fracionária em forma decimal serão mais simples. Veja:
 (três décimos; ou zero vírgula três);
 (vinte e nove centésimos; ou zero vírgula vinte e 
nove);
13Números fracionários e decimais
 (setenta e dois milésimos; ou zero vírgula zero 
setenta e dois);
 (quinhentos e sessenta e sete décimos de 
milésimo; ou zero vírgula zero quinhentos e sessenta e sete).
O número de casas à direita da vírgula é igual ao número de zeros da potência de 10 
que está no denominador da fração. 
Os números decimais têm importante uso no sistema monetário. No Brasil, 
a moeda oficial é o real (R$), que usa dois algarismos significativos após a 
vírgula, correspondentes à centésima parte do real, . A centésima parte 
do real é chamada de centavo.
Dessa forma, você tem:
 de real → R$ 0,20 ou R$ 0,2 (vinte centavos de real). 
A fração que gerou o decimal é a responsável pelo seu nome. O zero à 
direita do algarismo 2 não altera a sua forma de leitura. Observe:
 de real → R$ 0,01 (um centavo de real);
 de real → R$ 0,99 (noventa e nove centavos de real);
 de real → R$ 2,34 (dois reais e trinta e quatro centavos);
 de real → R$ 5,00 ou R$ 5 (cinco reais).
Números fracionários e decimais14
Transformação da forma decimal para a forma fracionada
Você viu que, para transformar uma fração na forma decimal, basta dividir 
numerador por denominador. Para a transformação inversa, da forma decimal 
para a forma fracionária, você deve seguir os seguintes passos:
1. construir uma fração em que o numerador será o número decimal sem 
a vírgula;
2. determinar que o denominador será o algarismo 1 acompanhado de 
tantos algarismos zero quanto for a quantidade de casas decimais após 
a vírgula do número original;
3. simplificar para obter a fração equivalente na forma irredutível.
O número 3,75 possui duas casas decimais após a vírgula → → fazendo a divisão 
do numerador e do denominador por 25, você obtém a fração irredutível → .
O número 0,0567 possui quatro casas decimais após a vírgula → → os dois 
zeros antes de 567 não são algarismos significativos. Além disso, 567 não pode ser 
simplificado com 10.000. Dessa forma, a fração já está na forma irredutível → .
Operações com números fracionados 
e decimais
Neste tópico, você vai ver as operações na forma fracionária e na forma 
decimal.
Operações na forma fracionária
Adição e subtração
Você viu que não é possível comparar frações de diferentes denominadores. 
Por motivos semelhantes, não é possível adicionar ou subtrair. Em frações de 
15Números fracionários e decimais
mesmo denominador, a adição e a subtração são efetuadas entre os numera-
dores, conservando o denominador. Veja estes exemplos:
Nas frações com denominadores diferentes, você deve igualar os deno-
minadores para buscar a fração que representará a adição ou a subtração. 
Existem diversas formas de você obter denominadores iguais. A seguir, você 
vai ver alguns casos.
Denominadores múltiplos
Você vai multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma das 
frações de forma a deixar os denominadoresiguais, ou seja, de forma a 
encontrar uma fração equivalente que tenha o mesmo denominador. Veja 
este exemplo:
Não seria possível dividir por 2, já que 3 não é divisível por 2. Então, é 
mais simples multiplicar numerador e denominador da fração por 2, o que 
resulta em .
Denominadores primos entre si
No caso de denominadores primos entre si, ou seja, sem fatores em comum, 
você pode multiplicar, em cada fração, numerador e denominador pelo deno-
minador da outra. Dessa forma, você vai obter frações equivalentes com os 
mesmos denominadores. Veja estes exemplos:
Números fracionários e decimais16
Existem outras técnicas para realizar operações entre frações. Na adição e na subtração, 
em vez de procurar a fração equivalente, que nem sempre é a menor, existe o método 
do mínimo múltiplo comum (MMC). Como o nome já diz, com essa técnica você vai 
encontrar o menor múltiplo comum entre os denominadores, o que simplificará as 
contas. No link a seguir, confira um vídeo com a explicação da técnica.
https://goo.gl/UrRBTY
17Números fracionários e decimais
Multiplicação
Na multiplicação de frações, você multiplica os numeradores e multiplica os 
denominadores. No caso do produto de um inteiro por uma fração, o inteiro 
multiplicará o numerador. Veja estes exemplos:
A fração pode ser simplificada para por meio da divisão por 2.
É possível efetuar simplificações antes do produto final, facilitando a 
obtenção da fração irredutível.
Divida 3 e 6 por 3. Dessa forma, você obtém:
A simplificação pode ser feita sempre que houver somente produto de 
fatores. Além disso, deve ser feita sempre entre numerador e denominador.
Divisão
Antes de estudar a divisão, você deve ter em mente o conceito de fração 
inversa. Uma fração é inversa de outra se o produto de ambas for igual a 1. 
Veja estes exemplos:
Logo, é a fração inversa de .
Logo, é a fração inversa de 2.
Números fracionários e decimais18
Dividir duas frações é o mesmo que efetuar o produto da primeira pela 
fração inversa da segunda. Essa operação não é comutativa. Portanto, você 
deve realizá-la nesta ordem:
A mesma operação pode ser representada por:
Operações na forma decimal
Adição e subtração
Para realizar adições e subtrações na forma decimal, você deve seguir uma 
regra simples: vírgula em cima de vírgula. Assim, todas as posições decimais 
correspondentes estarão sobrepostas para a realização da operação.
Benício tem R$ 4,86 e seu pai lhe deu o troco da padaria, no valor de R$ 7,65. Com 
quantos reais Benício ficou?
Benício ficou com R$ 12,51 (doze reais e cinquenta e um centavos).
19Números fracionários e decimais
Luise comprou alguns itens no mercado. Suas compras totalizaram R$ 17,37. Ela pagou 
com R$ 20. Qual deve ser o seu troco?
R$ 20 pode ser escrito com os centavos, ainda que sejam iguais a zero. Dessa forma, 
você tem:
Luise deve receber R$ 2,63 de troco.
Multiplicação
Nas multiplicações com decimais, você vai somar as casas decimais após a 
vírgula e usar o total no produto. Considere este exemplo:
3,45 ∙ 6,24 = ?
Nos fatores, ao todo são quatro casas decimais após as vírgulas. Dessa 
forma, deve haver quatro casas após a vírgula do produto. Veja:
21,5280 ou simplesmente 21,528 (já que o último zero não é 
um algarismo significativo)
Na multiplicação decimal, a ênfase aqui é no produto das potências 
de 10. Como você viu anteriormente, no sistema decimal, cada ordem é 
sempre 10 vezes maior do que a ordem à direita. Observe o que acontece 
com alguns produtos de potências de 10:
2 × 10 = 20
2 × 100 = 200
2 × 1.000 = 2.000
Números fracionários e decimais20
Como você viu, números inteiros também possuem vírgula. Porém, 
não há necessidade de expressá-la, já que após a vírgula não há algarismos 
significativos (diferentes de zero). Dessa forma, o que acontece nos produtos 
de potências de 10 é que a vírgula se desloca cada vez mais para a direita. 
O mesmo processo ocorre se o número tiver casas decimais diferentes de 
zero. Acompanhe:
5,672 × 10 = 56,72
5,672 × 100 = 567,2
5,672 × 1.000 = 5.672
Divisão
As divisões entre dois inteiros que não são exatas e resultam em números 
decimais já foram abordadas. Agora você vai ver como são feitas as divisões 
em que dividendo e/ou divisor são decimais.
Multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração por 
um mesmo número não altera o quociente. Dessa forma, nas divisões entre 
decimais, você vai transformar dividendo e divisor de forma conveniente 
para obter números sem algarismos significativos após a vírgula. Veja os 
exemplos a seguir.
2,4 ÷ 1,6 → multiplicando dividendo e divisor por 10 24 ÷ 16.
Agora, basta seguir o algoritmo descrito anteriormente:
15,12 ÷ 2,7 → multiplicando dividendo e divisor por 100 1.512 ÷ 270.
21Números fracionários e decimais
Nas divisões por potências de 10, o processo é semelhante ao dos produ-
tos de potências de 10, com a diferença de que a vírgula é deslocada para a 
esquerda. Veja:
2.000 ÷ 10 = 200
2.000 ÷ 100 = 20
2.000 ÷ 1.000 = 2
Ou ainda:
5.672 ÷ 10 = 567,2
5.672 ÷ 100 = 56,72
5.672 ÷ 1.000 = 5,672
Você ainda pode encontrar divisões que não terminam com resto zero, 
mesmo após o processo de adição da vírgula. Você já viu uma breve explanação 
sobre isso, que será detalhada agora.
Observe a divisão de 160 por 24:
Esse processo de quociente 6 e resto 16 continuará indefinidamente. Por-
tanto, você deve fazer uma referência a essa continuidade com as reticências (...).
Quocientes como esse, como você já viu, são chamados de dízimas 
periódicas.
Números fracionários e decimais22
ANDRINI, Á.; VASCONCELLOS, M. J. Praticando matemática 6. 3. ed. São Paulo: Editora 
do Brasil, 2012. (Coleção Praticando Matemática).
FRANÇA, M. V. D. Fração geratriz. [2016]. Disponível em: <https://educacao.uol.com.br/
matematica/fracao-geratriz.jhtm>. Acesso em: 09 out. 2018.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Materiais manipulativos para o ensino de frações e números 
decimais. Porto Alegre: Penso, 2016. v. 3.
23Números fracionários e decimais
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