ele1095-5-analiseespec

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Análise Espectral 1
Processamento Digital de Sinais
Notas de Aula
Análise Espectral Usando a DFT
Ricardo Tokio Higuti
Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp
Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”,
A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.
Análise Espectral 2
Análise Espectral Usando a DFT
Uma das principais aplicações da DFT é a análise do conteúdo de freq. de
sinais (análise espectral)
Aplicações:
• Análise e śıntese de sinais de voz
• Estudo de harmônicos em redes
• Medição de desvio de frequência (Doppler)
Para o uso da DFT na análise de sinais de tempo cont́ınuo, deve-se
considerar:
• Amostragem (qual freq. de amostragem usar?)
• DFT: para sinais de duração finita - truncamento do sinal (quantos
pontos usar?)
• Como relacionar as freq. analógicas (Hz) com as amostras (X[k])
Análise Espectral 3
Análise Espectral
Filtro
anti-aliasing Conversor
C/D
janelamento
DFT
N pontos
x
janela
pontosL
sc(t) xc(t) x[n] v[n]
w[n]
V [k]
Haa(jΩ)
fs =
1
T
• Filtro anti-aliasing: elimina/atenua componentes de freq. acima de
Ωs/2 (ou fs/2), para evitar sobreposição do espectro;
• Conversor C/D: é um conversor A/D, que amostra o sinal xc(t)
a uma taxa de fs amostras por segundo, e no qual devem ser con-
sideradas suas caracteŕısticas não-ideais (amostragem com retenção,
número finito de bits);
• Truncamento ou janelamento: v[n] = x[n] · w[n], em que w[n] é
uma função que limita a duração do sinal x[n], chamada de janela.
Ela determina o comprimento do sinal a ser analisado (L), e pode
fazer alguma modificação no formato do sinal original, no tempo e em
frequência.
• DFT: Calcula a DFT do sinal v[n], utilizando N ≥ L pontos para o
cálculo:
V [k] =
N−1∑
n=0
v[n]e−j
2π
N
kn, k = 0, 1, ..., N − 1
Análise Espectral 4
Análise Espectral
0 1 2 3 4 5 6 7
Sc(jΩ)
Ω0 Ω1
Haa(jΩ)
Xc(jΩ)
X(ejω)
W (ejω)
V (ejω), Ṽ [k]
V [k]
ω
ω
ω
Ω
Ω
Ω
∆ω = 2π
N
N − 1
Ωs
2
=
π
T
Ωs
2
=
π
T
π
π
π
k
2π
2π
2π
−π
−π
−π
−2π
−2π
−2π
Ω
Ω
Ω
Análise Espectral 5
Relação Entre as Transformadas
Os vários parâmetros usados na análise espectral determinam a relação
entre as freq. analógicas e as amostras da DFT. São eles:
• Freq. amostragem: fs = 1/T
• Número de pontos usado no cálculo da DFT: N
Relembrando alguns pontos importantes:
• Quando um sinal xc(t) é amostrado, obtendo-se o sinal x[n], tem-se
que a DTFT de x[n], X(ejω), está relacionada com o espectro do sinal
de tempo cont́ınuo amostrado, Xs(jΩ), pela relação de freqüências:
ω = ΩT = 2πf/fs
• Em um sinal de tempo discreto de duração finita v[n], sua DFT, V [k],
e sua DTFT, V (ejω), estão relacionadas por:
V [k] = V (ejω)|ω= 2π
N
k, k = 0..N − 1
ou seja, a DFT é composta por N amostras da DTFT, equiespaçadas
de ∆ω = 2π/N , entre ω = 0 e 2π.
Dáı, pode-se relacionar a amostra k da DFT com a freq. f , em Hertz:
∆ω = 2π/N = ∆ΩT = 2π∆f/fs
e portanto,
∆f =
fs
N
é o espaçamento equivalente entre as amostras do espectro do sinal de
tempo cont́ınuo, que é amostrado nas freqüências
fk =
fs
N
k
Análise Espectral 6
Problemas e Limitações
Devido às operações realizadas sobre o sinal de tempo cont́ınuo, os dados
resultantes do cálculo da DFT podem não representar exatamente o espec-
tro original. Esses efeitos devem ser levados em conta, para que não haja
interpretações errôneas sobre o conteúdo de freq. do sinal sendo analisado.
Deve-se considerar:
• Aliasing (freq. amostragem)
• Efeito do janelamento (formato e comprimento da janela)
– Vazamento espectral (Spectral Leakage)
• Número de pontos da DFT
– Amostragem espectral
Análise Espectral 7
Amostragem do sinal
O sinal deve ser amostrado a uma taxa maior que duas vezes sua máxima
frequência. Por exemplo, para uma senóide com frequência f0 amostrada
a uma taxa fs:
0 5 10 15
-1
0
1
sequência
-2 -1 0 1 2
0
5
10
0 5 10 15
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
0
5
10
0 5 10 15
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
0
10
20
n ω/π
fs = 5f0
fs =
5
2
f0
fs = 2f0
espectro de magnitude
0 5 10 15
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
0
5
10
0 5 10 15
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
0
5
10
0 5 10 15
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
0
10
20
n ω/π
fs =
2
3
f0
fs =
5
4
f0
fs = f0
Análise Espectral 8
Efeito do Janelamento
O sinal x[n] sofre um truncamento, que é representado matematicamente
por uma multiplicação por uma função w[n], chamada de janela:
v[n] = x[n] · w[n]
DTFT
←→ V (ejω) =
1
2π
∫ π
−π
X(ejθ)W (ej(ω−θ))dθ
O efeito na frequência é uma convolução periódica do espectro original
com o espectro da janela. Há, portanto, mudanças no espectro original, e
este efeito é chamado de vazamento espectral (spectral leakage), e de-
pende do tipo de truncamento utilizado (formato e comprimento da janela
w[n]). Analisando o caso de uma senóide:
x[n] = A cos(ω0n+ θ0) =
A
2
ej(ω0n+θ0) +
A
2
e−j(ω0n+θ0)
O espectro de x[n] é:
X(ejω) = Aπejθ0δ(ω − ω0) + Aπe
−jθ0δ(ω + ω0), |ω| < π
O sinal truncado fica com o espectro:
V (ejω) =
A
2
ejθ0W (ej(ω−ω0)) +
A
2
e−jθ0W (ej(ω+ω0))
Utilizando A = 1, ω0 = π/4 rad, θ0 = 0 e uma janela retangular com
comprimento L igual a 32 amostras, fica-se com as seguintes sequências e
espectros de magnitude.
Análise Espectral 9
Vazamento Espectral
-1
-1
-0.5
-0.5
0
0
0.5
0.5
1
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-1 -0.5 0 0.5 1
0
5
10
15
20
25
30
35
-10 0 10 20 30 40
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 0 10 20 30 40
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-10 0 10 20 30 40
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sequências
π
n
n
n
ω/π
ω/π
ω/π
x[n]↔ X(ejω)
w[n]↔W (ejω)
v[n]↔ V (ejω)
Espectros de magnitude (DTFT)
• Observando o espectro de V (ejω), e comparando-o com o do sinal
original X(ejω), percebe-se que apareceram outras frequências devido
ao truncamento, quando deveria ser observada apenas a frequência
ω0 = π/4 rad.
• Se o sinal tiver frequências próximas entre si, o efeito do vazamento
espectral pode dificultar a identificação das mesmas.
Análise Espectral 10
Vazamento Espectral: x[n] = A1 cos(ω1n) + A2 cos(ω2n)
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
m
ag
n
it
u
d
e
|V
(e
j
ω
)|
ω/π
A1
A2
= 16
8
x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.75πn)
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
m
ag
n
it
u
d
e
|V
(e
j
ω
)|
ω/π
A1
A2
= 16
8.7
x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.35πn)
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
m
ag
n
it
u
d
e
|V
(e
j
ω
)|
ω/π
A1
A2
= 15
?
x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.29πn)
Análise Espectral 11
Janelas
Existem diversas janelas, com diferentes caracteŕısticas de formato no domı́nio
do tempo, que acabam por influenciar no seu espectro. Os parâmetros
principais são relacionados, no espectro da janela, a:
• Largura do lóbulo principal
• Nı́vel de lóbulo lateral
lóbulo
principal
lóbulos
laterais
nível de
lóbulo
lateral
largura do
lóbulo principal
formato
comprimento
0
w[n]
L− 1
n
DTFT
L
|W (ejω)|
ω−π π
Análise Espectral 12
Janelas (comprimento L = 16)
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Janelas com L=16
retangular
Hamming
Hanning
Blackman
n
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
d
B
Retangular
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
Hamming
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
d
B
Hanning
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
Blackman
ω/πω/π
−→ Ao se modificar o formato da janela, tanto a largura do lóbulo
principal como o ńıvel dos lóbulos laterais são modificados.
Análise Espectral 13
Janela de Kaiser
Famı́lia de janelas parametrizada por um fator de forma β.
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
β = 0
β = 3
β = 6
Janelas de Kaiser com L = 16
-1 -0.5 0 0.5 1
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
d
B
ω/π
β = 0
β = 3
β = 6
Espectros de janelas de Kaiser com L = 16
Análise Espectral 14
Janela de Kaiser
Mudando-se o comprimentoda janela e mantendo-se o fator de forma β.
-1 -0.5 0 0.5 1
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
d
B
ω/π
L = 8
L = 16
L = 32
Espectros de janelas de Kaiser com β = 6
−→ Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o seu for-
mato, altera-se a largura dos lóbulos (principal e laterais) e o decai-
mento dos lóbulos laterais em função da frequência, mas o ńıvel do
primeiro lóbulo lateral permanece o mesmo.
Análise Espectral 15
Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela
Seja o sinal: x[n] = cos(0.25πn) + 2 cos(0.38πn). Utilizando janelas retan-
gular e de Hamming, com L = 64 amostras, fica-se com:
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
lit
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
20
40
60
80
v[n], Janela retangular L = 64
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= 35
66.45
= 1
1.8986
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
lit
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
10
20
30
40
v[n], Janela de Hamming L = 64
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= 17.23
34.26
= 1
1.9880
Análise Espectral 16
Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela
0 0.5 1 1.5 2
0
10
20
30
0 10 20 30 40 50 60
-4
-2
0
2
4
a
m
p
lit
u
d
e
v[n], Janela de Blackman L = 64
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= 13.22
26.44
= 1
2
Análise Espectral 17
Vazamento Espectral - Comprimento da Janela
Variando-se o comprimento da janela de Hamming (L = 64, 32 e 128):
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
lit
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
10
20
30
40
v[n], Janela de Hamming L = 64
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= 17.23
34.26
= 1
1.9880
Análise Espectral 18
Vazamento Espectral - Comprimento da Janela
0 5 10 15 20 25 30
−4
−2
0
2
4
a
m
p
lit
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
5
10
15
20
v[n], Janela de Hamming L = 32
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= ?
16.9
0 20 40 60 80 100 120
-2
0
2
a
m
p
lit
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
20
40
60
80
v[n], Janela de Hamming L = 128
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= 34.63
68.86
= 1
1.9884
Análise Espectral 19
Amostragem Espectral
Deve-se lembrar que a DFT corresponde a amostras da DTFT:
V [k] = V (ejω)|ω= 2π
N
k, k = 0..N − 1
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
lit
u
d
e
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
20
40
60
80
v[n], Janela retangular L = 64
|V
(e
j
ω
)|
Amostra n
ω/π
A1
A2
= 35
66.45
= 1
1.8986
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|V
[k
]|
,
N
=
64
ωk = 2πk/N
A1
A2
= 34.79(@0.25π)
61.85(@0.375π)
= 1
1.7778
Análise Espectral 20
Amostragem Espectral
Variando o número de pontos da DFT (N), modifica-se o espaçamento
entre amostras do espectro de V (ejω).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|V
[k
]|
,
N
=
64
ωk = 2πk/N
A1
A2
= 34.79(@0.25π)
61.85(@0.375π)
= 1
1.7778
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|V
[k
]|
,
N
=
12
8
ωk = 2πk/N
A1
A2
= 34.79(@0.25π)
61.85(@0.375π)
= 1
1.7778
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|V
[k
]|
,
N
=
25
6
ωk = 2πk/N
A1
A2
= 34.79(@0.25π)
66.17(@0.383π)
= 1
1.9020
Análise Espectral 21
Amostragem Espectral
Seja o sinal: x[n] = cos(0.25πn) + 2 cos(0.50πn). Utilizando janela retan-
gular com comprimento L = 64 e variando-se o comprimento da DFT,
fica-se com:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|V
[k
]|
,
N
=
64
ωk = 2πk/N
A1
A2
= 32(@0.25π)
64(@0.50π)
= 1
2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|V
[k
]|
,
N
=
12
8
ωk = 2πk/N
A1
A2
= 32(@0.25π)
64(@0.50π)
= 1
2
Análise Espectral 22
Relação entre as frequências
• Amostragem da DTFT: ωk =
2π
N
k, 0 ≤ k ≤ N − 1
• Amostragem do sinal: ω = ΩT =
2πf
fs
• Resolução na frequência: ∆ω =
2π
N
= ∆ΩT = 2π
∆f
fs
• Resolução na frequência f : ∆f =
fs
N
• Relação entre frequências analógicas e as amostras k: fk =
fs
N
k
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 15 31
0.5p p 1.5p 2p
0
5
10
15
20
25
30
35
k [amostras]
ω [rad]
f [Hz]
fs/4 fs/2 fs3fs/2
N − 1
Análise Espectral 23
Exemplo: análise espectral
Os sinais a seguir representam a tensão e a corrente numa lâmpada fluo-
rescente compacta. Os sinais foram amostrados por um osciloscópio digital
com resolução vertical de 8 bits e frequência de amostragem igual a 5 kHz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−400
−300
−200
−100
0
100
200
300
400
tempo [s]
a
m
p
lit
u
d
e
 [
V
]
tensão
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
tempo [s]
a
m
p
lit
u
d
e
 [
A
]
corrente
A idéia é analisar o sinal com diversos comprimentosL, janela retangular
e de Hamming, e diferentes valores de N para o cálculo da DFT.
Análise Espectral 24
Exemplo: análise espectral (cont.)
Utilizando uma porção de sinal com L = 512 amostras, e aplicando a
DFT com N = 512 pontos, e janelas retangular e de Hamming, têm-se os
seguintes sinais no domı́nio da frequência:
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela retangular, L=512, N=512
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela de Hanning, L=512, N=512
f [Hz]
m
a
g
n
it
u
d
e
 [
d
B
]
Análise Espectral 25
Exemplo: análise espectral (cont.)
Utilizando uma porção de sinal com L = 2048 amostras, e aplicando a
DFT com N = 4096 pontos, e janelas retangular e de Hamming, têm-se os
seguintes sinais no domı́nio da frequência:
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela retangular, L=2048, N=4096
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela de Hanning, L=2048, N=4096
f [Hz]
m
a
g
n
it
u
d
e
 [
d
B
]
Análise Espectral 26
Exemplo: análise espectral (cont.)
Para ilustrar os efeitos do vazamento espectral e da amostragem espectral,
as tabelas a seguir mostram as frequências e magnitudes das harmônicas
em 60, 300 e 420 Hz, para os vários casos estudados.
Parâmetros 60 Hz 300 Hz 420 Hz
f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB]
L = 512 Hamming 58,6 0 302,7 -38,2 419,9 -41,3
N = 512 Retangular 58,6 0 293,0 -39,6 419,9 -45,3
L = 1024 Hamming 61,0 0 300,3 -37,5 419,9 -40,5
N = 2048 Retangular 61,0 0 297,9 -38,7 417,5 -42,9
L = 1024 Hamming 59,8 0 300,3 -37,7 419,9 -40,7
N = 4096 Retangular 59,8 0 299,7 -39,3 416,3 -43,5
L = 4096 Hamming 59,8 0 299,7 -37,3 419,9 -40,8
N = 8192 Retangular 59,8 0 299,7 -38,9 419,9 -41,2
Percebe-se que, dependendo do processamento, chega-se a diferentes
valores de frequências e ńıveis de distorção devido às harmônicas de ordem
superior.
Análise Espectral 27
Exemplo: análise espectral (cont.)
Analisando a forma de onda de corrente, chega-se ao seguinte espectro de
magnitude.
0 500 1000 1500 2000 2500
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096
f [Hz]
m
a
g
n
it
u
d
e
 [
d
B
]
• Observando o espectro, nota-se que há harmônicas de múltiplos ı́mpares
da fundamental.
• Como o sinal é de alta frequência (pulsos rápidos), o espectro se es-
tende a frequências superiores a 2500 Hz, causando aliasing.
Análise Espectral 28
Exemplo: análise espectral (cont.)
2000 2100 2200 2300 2400 2500
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096
f [Hz]
m
a
g
n
it
u
d
e
 [
d
B
]
harmônica
ordem 35 
37 39 
41 
A
B
• Componente em A: aliasing da componente em 43×60 = 2580 Hz, que
aparece em (5000-2580) = 2420 Hz.
• Componente em B: aliasing da componente em 45×60 = 2700 Hz, que
aparece em (5000-2700) = 2300 Hz.
• As magnitudes podem ter erros, caso ocorra sobreposição de uma raia
em outra.
Análise Espectral 29
Espectrograma
• Análise Espectral com DFT: adequada para sinais cujo conteúdo
de freqüência não varia com otempo.
• Na prática: o conteúdo de freqüência do sinal pode variar com o
tempo (voz).
• A análise espectral realizada sobre todo o sinal de uma só vez pode
ocultar informações importantes da variação do conteúdo de freqüência
ao longo do tempo.
• Time-dependent Fourier transform, Short-time Fourier transform.
Análise Espectral 30
Chirp
Seja um sinal cuja freq. varia com o tempo:
x[n] = cos(ω0n
2)
A freq. instantânea do sinal é 2ω0n. O sinal e a magnitude de sua DFT
são:
0 50 100 150 200 250
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
m
a
g
n
it
u
d
e
f/fa
Não se pode determinar como variou o conteúdo de freq. do sinal ao
longo do tempo. Uma alternativa é fracionar o sinal e calcular várias DFTs
para diferentes intevalos de tempo.
Análise Espectral 31
Espectrograma
Multiplica-se o sinal x[n] por uma janela w[n] e calcula-se a DTFT:
X[n, λ) =
+∞∑
m=−∞
x[n+m] w[m] e−jλm
Outra forma:
X[n, λ) =
+∞∑
m=−∞
x[m] w[n−m] e−jλm
Amostrando o espectro em N pontos equiespaçados e uma janela de
comprimento L:
X[n, k] = X[n, 2πk/N ] =
L−1∑
m=0
x[n+m] w[m] e−j(2π/N)km, k = 0..N − 1
ou
X[n, k] = X[n, 2πk/N ] =
n∑
m=n−L+1
x[m] w[n−m] e−j(2π/N)km, k = 0..N−1
• A duração da janela é muito menor que a duração total do sinal
• A janela toma trechos do sinal ao longo do tempo
• Quanto mais estreita a janela, maior a resolução no tempo e menor
em freq.
• n é o deslocamento da janela em relação ao sinal
• Para cada n tem-se uma DFT
• Não se pode ter uma boa resolução no tempo e em freq. ao mesmo
tempo usando a DFT
Análise Espectral 32
Espectrograma
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Time
F
re
q
u
e
n
c
y
0 200 400 600 800
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5