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1 MODELAGEM E FUNÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1 Sumário NOSSA HISTÓRIA .................................................................................. 2 MODELAGEM MATEMÁTICA NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM................................................................................................3 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA..............5 COMO IDENTIFICAR UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA?...................................................................................................7 POR QUE MODELAGEM?.......................................................................9 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS APLICADA NO ESTUDO DAS FUNÇÕES.........................................................................................................11 DESAFIO MATEMÁTICO: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA...............................................................................13 METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS...........................15 COMO A MODELAGEM MATEMÁTICA E A RESOLUÇÂO DE PROBLEMAS PODEM INTERVIR NO PROCESSO DE ENSINO- APRENDIZAGEM..............................................................................................20 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS.................................24 APRENDER MATEMÁTICA ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.....................................................................................................25 DEFININDO UM PROBLEMA.................................................................26 REFERÊNCIAS ......................................................................................28 2 NOSSA HISTÓRIA A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível superior. A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras normas de comunicação. A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 3 MODELAGEM MATEMÁTICA NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM A modelagem matemática, de uma forma simples, resume- se à criação de um modelo matemático (um padrão ou fórmula matemática) para explicação ou compreensão de um fenômeno natural. Esse fenômeno pode ser de qualquer área do conhecimento. Atualmente, podemos perceber o uso da modelagem matemática na criação de bovinos, produção de materiais para construção civil, movimentação de animais, teoria da decisão, crescimento de cidades, controle biológico de pragas e outros. O atual papel da educação matemática é formar cidadãos aptos para o convívio em sociedade, respeitando as diferenças, agindo de forma crítica e reflexiva diante das situações cotidianas. Através do uso da modelagem matemática na sala de aula podemos trabalhar a interdisciplinaridade, a transversalidade, mostrando ao aluno como a matemática pode ser útil em sua vida fora do ambiente escolar e como ela interage com as demais áreas do conhecimento. O aluno passa a perceber a importância da matemática para a compreensão de fenômenos naturais, como é possível “prever” alguns acontecimentos utilizando fórmulas e modelos e isso acaba despertando seu interesse pela ciência. A introdução da modelagem matemática pode ser feita através da resolução de problemas, trazendo para dentro de sala a realidade do aluno, uma vez que a matemática só fará sentido para os educados quando ela se tornar significativa e prazerosa. As diversas situações-problemas farão com que a capacidade de interpretação melhore, o aluno assuma uma posição crítica ao tentar resolvê-las e consiga analisar que pode haver mais de uma solução e que há vários caminhos para chegar até elas. Observe que isso é essencial para a solução de 4 situações que são vividas por todos nós diariamente. Precisamos de cidadãos matematicamente alfabetizados que, ao se depararem com seus problemas econômicos, no comércio, na medicina e em outras situações diárias, consigam resolvê-los de forma rápida e precisa. 5 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA O interesse em utilizar a Modelagem Matemática como estratégia de ensino nas aulas de Matemática com alunos do Ensino Fundamental baseia-se na busca da melhoria da qualidade de ensino desta disciplina escolar ofertada nestas séries. Os alunos que ingressam nas séries iniciais do Ensino Fundamental enfrentam um período de transição na vida escolar, antes acostumados a uma rotina diferente, com menos professores, atendimento diferenciado e metodologia adequada para a idade, agora se vêem diante de disciplinas separadas com professores diferentes. Esta fase caracteriza-se como um rito de passagem entre a infância e a adolescência, e, portanto, causa anseios e angústias nos alunos, que podem apresentar dificuldades em entender conceitos matemáticos. Estas dificuldades de adaptação podem ser agravadas por metodologias inadequadas para um período de grandes mudanças pelo qual passam os estudantes. No que se refere à Matemática, uma das características marcantes desta fase é o início da abstração de conceitos aprendidos em séries anteriores e que, muitas vezes, não foram bem assimilados, e portanto, podem se tornam distantes e irreais para os alunos, como observa Sadovsky (2007,p.8): [...] a Matemática, não só no Brasil, é apresentada sem vínculos com os problemas que fazem sentido na vida das crianças e dos adolescentes. Os aspectos mais interessantes da disciplina, como resolver problemas, discutir idéias, checar informações e ser desafiado, são pouco explorados na escola. O ensino se resume a regras mecânicas que ninguém sabe, nem o professor, para que servem. Neste contexto, a Modelagem Matemática pode ser uma contribuição para amenizar os problemas resultantes desta transição. Apresentando uma Matemática mais real, inserida no cotidiano dos alunos, a Modelagem ajuda na organização do pensamento e pode ser um instrumento a mais para que aluno interprete o mundo em que vive segundo suas próprias conclusões e entendimento, e desenvolve a capacidade de exercitar o seu papel de cidadão que pensa e discute os problemas da comunidade em que está inserido. Neste contexto, a Modelagem Matemática pode ser uma contribuição para amenizar os problemas resultantes desta transição. Apresentando uma Matemática mais real, inserida no cotidiano dos alunos, a Modelagem ajuda na 6 organização do pensamento e pode ser um instrumento a mais para que aluno interprete o mundo em que vive segundo suas próprias conclusões e entendimento, e desenvolve a capacidade de exercitar o seu papel de cidadão que pensa e discute os problemas da comunidade em que está inserido. Nesta perspectiva, a Modelagem Matemática proporciona ao aluno situações, nas aulas de matemática, em que pode ser criativo e motivado a solucionar problemas pela curiosidade do momento vivenciado. A Modelagem Matemática, além de ser uma tendência que proporciona uma articulação entre os conceitos matemáticose a realidade, pode ser vista, também, numa perspectiva que valoriza o pensamento crítico e reflexivo do aluno. 7 COMO IDENTIFICAR UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA? O que caracteriza uma Modelagem Matemática, segundo Biembengut e Hein (2003), é o fato de o problema advir de uma situação real e que depois, de formular e resolver um modelo que solucione o problema, este modelo possa ser aplicado, também, como suporte para outras aplicações. Os procedimentos que identificam os passos da modelagem, segundo Biembengut e Hein (2003) são: a) Interação: esta etapa é identificada pela pesquisa e o reconhecimento da situação-problema. Geralmente, o problema surge em outras áreas do conhecimento, a investigação é fundamental para a familiarização do tema e a seleção de dados para o processo de resolução do problema. b) Matematização: este período proporciona um desafio maior para quem vai desenvolver a pesquisa e subdivide-se em formulação e resolução do problema, traduzindo, através da linguagem matemática a situação real para um modelo matemático que poderá solucionar o problema inicial. c) Modelo matemático: esta etapa consiste em validar ou não a solução encontrada para o problema, verificando o grau de confiabilidade na sua utilização e a sua aplicação em outras situações análogas. Definido o tema do problema a ser pesquisado, começa a fase da interação, momento em que o grupo busca informações sobre o assunto, em livros, revistas, entrevistas, observações e outras fontes. Quanto maior for o envolvimento e o aprofundamento com o tema, maior será a facilidade em compreendê-lo. Nesta etapa, o professor deve promover a investigação do assunto por parte dos alunos no sentido de entender cada vez mais o entorno a ser pesquisado. Aguçados pela curiosidade inerente à idade e incentivados pelo professor, os alunos iniciam a matematização, ou seja, o surgimento de perguntas decorrentes da análise dos dados coletados e das observações feitas diretamente no ambiente pesquisado. Este momento é propício para o desenvolvimento, a formulação e a construção do pensar matemático através de um modelo matemático adequado para a resolução dos problemas levantados. 8 POR QUE MODELAGEM? Geralmente são apresentados cinco argumentos: motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel sócio-cultural da matemática. Segundo Blum (1995), esses cinco argumentos são importantes e representam facetas da Modelagem da educação escolar. Porém, para ele, o último está diretamente conectado com o interesse de formar sujeitos para atuar ativamente na sociedade e, em particular, capazes de analisar a forma como a matemática é usada nos debates sociais. As atividades de Modelagem podem contribuir para desafiar a ideologia da certeza e colocar lentes críticas sobre aplicações da matemática. E com isso, potencializar a intervenção das pessoas nos debates e nas tomadas de decisões sociais que envolvem aplicações matemáticas. O QUE É UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM Toda atividade escolar oferece condições sob as quais os alunos são convidados a atuar. No caso de Modelagem, são colocadas algumas condições que propiciam determinadas ações e discussões singulares em relação a outros ambientes de aprendizagem. Para Jonei Barbosa, o ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Ambas as atividades não são separadas, mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo. Em resumo, Jonei diz que Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade. 9 QUAL O LUGAR DE MODELAGEM NO CURRÍCULO? Há várias maneiras de programar Modelagem no currículo. Incorporá-la na escola deve significar também o movimento do currículo de matemática para um paradigma de investigações (Skovsmose, 2000). A literatura tem apresentado experiências de Modelagem que variam quanto à extensão e às tarefas que cabem ao professor e ao aluno. A seguir seguem três casos dados por Jonei Barbosa: Caso 1 O professor apresenta um problema, devidamente relatado, com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos a investigação. Aqui, os alunos não precisam sair da sala de aula para coletar novos dados e a atividade não é muito extensa. Caso 2 Os alunos deparam-se apenas com o problema para investigar, mas têm que sair da sala de aula para coletar dados. Ao professor, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial. Nesse caso, os alunos são mais responsabilizados pela condução das tarefas. Caso 3 Trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas “não-matemáticos”, que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos. Aqui, a formulação do problema, a coleta de dados e a resolução são tarefas dos alunos. Os três casos ilustram a flexibilidade da Modelagem nos diversos contextos escolares. Em certos períodos, a ênfase pode ser projetos pequenos de investigação, como no caso 1; em outros, pode ser projetos mais longos, como os casos 2 e 3. 10 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS APLICADA NO ESTUDO DAS FUNÇÕES A partir da experiência profissional, tenho percebido o crescente desinteresse pela matemática, no ensino fundamental e no ensino médio. Estatisticamente percebo também que as maiores evasões e desistências, acontecem nas séries iniciais de cada ciclo, ou seja, nas quintas séries do ensino fundamental e nos primeiros anos do ensino médio. Pesquisas comprovam que a dificuldade com a matemática é um dos motivos que aumentam as estatísticas das evasões. E por que a matemática é uma disciplina vilã neste contexto? Entre os motivos que afastam alunos das salas de aula, estão os argumentos de ser uma disciplina que requer abstração, pré requisitos, raciocínio lógico e os assuntos estudados distantes do dia-a-dia, entre outros. Na nossa práxis, as atividades propostas em forma de exercícios ou situações problemas descontextualizadas podem contribuir no aumento da evasão e desinteresse pelos estudos. O aluno muitas vezes se questiona, ou questiona o professor: “Onde vou usar isso?” “Por que estou estudando este conteúdo?” “Onde eu aplicarei este conhecimento?” Algumas vezes não temos uma resposta convincente para uma aplicabilidade imediata. Os livros didáticos apresentam atividades muitas vezes distantes da realidade, principalmente as relacionadas aos problemas. Isto faz com que se dificulte a compreensão e provoque desinteresse em sua resolução. Sobre esta questão Werneck (2002) aponta que: [...] Ensinamos demais e os alunos aprendem de menos e cada vez menos! Aprendem menos porque os assuntos são cada dia mais desinteressantes, mais desligados da realidade dos fatos e dos objetivos mais distantes da realidade da vida dos adolescentes. (Wernek, 2002,p.13) Entendo o interesse como um dos principais aliados do professor para o sucesso da educação. É evidente que muitas outras razões contribuem para o fracasso escolar. Como por exemplo, a indisciplina que vem aumentando dia a dia na sala de aula e cada dia mais os educadores sentem dificuldades de como lidar com estes problemas que sem dúvida contribuem para o desinteresse do aluno. Popularmente se diz que “para aprender, tendo interesse, meio caminho já está andado”. E para aprender resolver problemas, temosque querer resolvê- los. Sendo assim, o aluno irá sentir vontade de resolvê-lo ao sentir-se desafiado 11 e perceber alguma afinidade com sua realidade. Passamos boa parte das aulas construindo e trabalhando a base matemática que deverá ser aplicada na resolução de problemas. E por uma série de motivos, muitas vezes “pula-se” a resolução de problemas, alegando diversas circunstâncias no decorrer do ano como exemplo: dificuldade para cumprir o calendário e os itens do planejamento e do currículo, surgimento de imprevistos reduzindo a quantidade de aulas previstas no calendário, alunos com grande diversidade de conhecimento, reservar tempo para diversas atividades de recuperação e avaliação do rendimento, são alguns fatos que fazem com que a resolução de problemas seja deixada para segundo plano, quando deveria ser uma das atividades principais. Neste sentido Lester Jr, et au Dante (2008) diz que “A razão principal de se estudar Matemática é aprender como se resolvem problemas”. Aprender a resolver exercícios é apenas um meio e não um fim. Na prática a matemática deve auxiliar na resolução de problemas práticos e encontrar soluções para necessidades bem como contribuir para o desenvolvimento do pensamento matemático 12 DESAFIO MATEMÁTICO: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA A Resolução de Problemas enquanto metodologia de ensino vem sendo debatida por acadêmicos de Licenciatura em Matemática e nas formações continuadas de professores atuantes, visto que tem se mostrado como uma alternativa eficaz para a aprendizagem matemática, pois ela busca construir o conhecimento em vez de reproduzi-lo. O crédito que se dá a essa forma de ensino é devido às causas que propulsaram o desenvolvimento da matemática enquanto ciência aplicada, que sem dúvida foram às tentativas de resolver problemas encontrados no dia a dia da sociedade. Segundo D’Ambrósio (2009), a matemática tem se evoluído simultaneamente à sociedade, através de problemas que surgiam na vida do homem e este era instigado a resolvê-los. Na história da matemática há importantes legados dos povos desde a Antiguidade Mediterrânea, estes eram desafiados pelos obstáculos do dia a dia, como a repartição de terras férteis e as construções no Egito e necessidades óbvias da atividade de pastoreio na Babilônia. Assim, pode-se entender que todo esse conhecimento matemático que é disponível hoje seja resultado do esforço de inúmeras pessoas que buscavam, dentro de suas culturas, soluções para os problemas por eles vivenciados. No entanto, apesar do desenvolvimento da matemática, em parte, decorrer das situações de ordem prática da sociedade, vislumbrou-se somente a partir da década de 1970, que a Resolução de Problemas poderia ser utilizada como metodologia de ensino da Matemática. Ou seja, a importância dada a esta tendência de ensino é relativamente recente. Onuchi e Alevatto (2009) afirmam que somente nesse período é que os educadores matemáticos passaram a trabalhar a ideia de que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas merecia mais atenção. Subsequentemente, vários autores vislumbram positivamente a utilização desta estratégia em sala de aula. Mas inicialmente é preciso conceituar o que é um problema dentro desta metodologia. Diferente do que muitos professores acham que formaliza um problema, segundo Silveira (2001), um problema matemático envolve situações em que o aluno conhece os objetivos do problema, mas não conhece os meios para realizá-los. Esse processo de busca pelo resultado 13 requer descobertas de ferramentas e informações matemáticas, fazendo com que várias estratégias sejam formuladas e testadas. Resolver problemas é, portanto, criar estratégias para conciliar um obstáculo, atingir objetivos, mesmo não sabendo como chegar ao que se espera. A aprendizagem será uma consequência deste processo de resolução de problemas. Em contrapartida o PCN (2000, p. 44), afirma que “Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la”. Ainda de acordo com o PCN (2000), a proposta de focar na resolução de problemas é de que os conceitos, idéias, métodos e definições matemáticas, que tradicionalmente os alunos se apropriam através de reprodução/imitação e memorização, devem ser assimilados a partir da exploração de problemas. O aluno será levado a interpretar o problema e a estruturar a situação com os dados de que se dispõe. A resolução de um problema contribui para a resolução de outro, fazendo com que haja transferências, correção e rupturas, semelhante ao que se observa na história da matemática. Para Onuchic (1999, p. 210-211.), na abordagem de Resolução de Problemas, o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como aprende matemática para resolver problemas. Acontece então, que os problemas permitem alcançar uma duplicidade de objetivos: aprender matemática ao mesmo tempo em que se torna capaz de aplicá-la para resolver problemas do cotidiano. Assim, o processo da resolução de problemas pode ser um meio para a construção dos conhecimentos matemáticos essenciais para a sociedade que está em constante evolução. 14 METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Muitas pesquisas já foram realizadas sobre a Metodologia de Resolução de Problemas no ensino da Matemática, porém no cotidiano dos professores da área ainda surgem muitas indagações a respeito do assunto. Segundo os PCN’s de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão o seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. A atividade de resolver problemas está presente na vida das pessoas, exigindo soluções que muitas vezes requerem estratégias de enfrentamento. O aprendizado de estratégias auxilia o aluno a enfrentar novas situações em outras áreas do conhecimento. Sendo assim, é de suma importância que o professores compreendam como trabalhar esta metodologia, a fim de desenvolver no aluno a capacidade de resolver situações desafiadoras, interagir entre os pares, desenvolver a comunicação, a criatividade e o senso crítico. Dante (1998), afirma que embora tão valorizada, a resolução de problemas é um dos tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar os algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algoritmos. Isso se deve à maneira com que os problemas matemáticos são trabalhados na sala de aula e apresentados nos livros didáticos, muitas vezes apenas como exercícios de fixação dos conteúdos trabalhados. Um problema pode envolver muito mais do que a simples resolução das operações. Deve, sim, possibilitar ao aluno desenvolver estratégias, buscar vários caminhos para solucioná-lo à sua maneira, de acordo com sua realidade e raciocínio. Para Dante (1998), um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve: Ser desafiador para o aluno; Ser real; z ser interessante; Ser o elemento de um problema realmente desconhecido; 15 Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas; Ter um nível adequado de dificuldade. Um bom problema deve ser capaz de instigar o aluno a resolvê-lo. Deve ser interessante, criativo, desenvolver seu pensamento e desafiá-lo constantemente,pois ao contrário ele ficará desmotivado. Existem diferenças básicas entre exercícios e problemas. No primeiro, o aluno não precisa decidir sobre o procedimento a ser utilizado para se chegar à solução. Pozo(1998, apud, SOARES & PINTO 2001) exemplifica: “As tarefas em que precisa aplicar uma fórmula logo depois desta ter sido explicada em aula, ou após uma lição na qual ela aparece explicitamente... servem para consolidar e automatizar certas técnicas, habilidades e procedimentos necessários para posterior solução de problemas...”. Dante (1998) também faz esta diferenciação onde exercício serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo e problema é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não temos previamente nenhum algoritmo que garanta a solução. Para este mesmo autor, a resolução de um problema exige certa dose de iniciativa e criatividade, aliada ao conhecimento de algumas estratégias. Segundo Soares & Bertoni Pinto (2001), tanto os exercícios quantos os problemas têm seu valor, cabe ao professor manter um equilíbrio dos mesmos durante o ano letivo. Para Dante (1998) os objetivos da resolução de problemas são: • Fazer o aluno pensar produtivamente; • Desenvolver o raciocínio do aluno; • Ensinar o aluno a enfrentar situações novas; • Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática; • Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras; • Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas; • Dar uma boa base matemática às pessoas A partir da leitura e interpretação dos problemas, é possível o envolvimento do aluno na busca por estratégias de resolução, na persistência 16 em encontrar uma solução, na ampliação e na ressignificação de conceitos e idéias que ele já conhece. Por este motivo, vários autores evidenciaram a importância do uso desta metodologia nas aulas. Alves (2004, apud, ZUFFI & ONUCHIC) coloca como um dos objetivos da Educação Básica, desenvolver no aluno a capacidade de solucionar problemas. Segundo Onuchic (1999), o problema não deve ser tratado como um caso isolado, mas como um passo para alcançar a natureza interna da Matemática, assim como seus usos e aplicações. Ele define como problema tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver. Dante (1998) classifica os problemas em vários tipos: • Exercícios de reconhecimento, onde o objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre um conceito; • Exercícios de algoritmos: servem para treinar a habilidade em executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores; • Problemas – padrão: a solução já está contida no enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática, com o objetivo de recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos das quatro operações; • Problemas-processo ou heurísticos: sua solução envolve as operações que não estão contidas no enunciado, exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação; • Problemas de aplicação: também chamados de situações- problema, são aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos; • Problemas de quebra-cabeça: constituem a chamada Matemática recreativa, e sua solução depende quase sempre de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque. O principal é analisar o potencial do problema no desenvolvimento de capacidades cognitivas, procedimento e atitudes e na construção de conceitos e aquisição de fatos da Matemática. O melhor critério para organizar um repertório é selecionar, ou mesmo formular problemas que possibilitem aos alunos pensar sobre o próprio pensamento, que os coloquem diante de variadas situações. Portanto, o professor deve ter em mente os objetivos que deseja alcançar para que possa fazer o uso adequado da resolução de problemas, seja para aplicar 17 alguma técnica ou conceito desenvolvido, trabalharem com problemas abertos nos quais há mais de uma solução possível, suscitando o debate e a argumentação em defesa de cada resolução, trabalhar com problemas gerados a partir de situações de jogo ou da interpretação de dados estatísticos. A seleção do problema deverá ser decorrente dos objetivos a serem alcançados. 18 COMO A MODELAGEM MATEMÁTICA E A RESOLUÇÂO DE PROBLEMAS PODEM INTERVIR NO PROCESSO DE ENSINO- APRENDIZAGEM A preocupação com o ensino de matemática surgiu há muito tempo. Ela surgiu pelo fato de que os educadores não viam na matemática uma conexão com a realidade social. Desde então, muitas pesquisas e estudos na área surgiram e assim, várias teorias se consolidaram. Para este trabalho, fez-se necessária a compreensão de duas importantes teorias tanto para a Matemática como para a Educação Matemática, pois para a realização de todo o estudo empreendido, os pilares que o sustentou foram a Modelagem Matemática que, neste caso, direciona-se no sentido do ensino de matemática e a Resolução de Problemas. Ao levar em consideração essas duas vertentes como fundamentais para essa pesquisa, tratar-se-á daqui em diante da definição de cada uma delas para um melhor entendimento posterior do que esta pesquisa se propôs. 1. A Modelagem Matemática como meio para o ensino-aprendizagem A Modelagem Matemática é uma das vertentes com grande ênfase no ensino de matemática atualmente. Isso se verifica pelo fato de que o ensino por modelagem não se encontra dissociado do contexto social. Desse modo, tratar- se-á aqui de diferenciar quatro itens essenciais sobre este tema – Modelo Matemático, Modelagem, Modelagem Matemática e Modelação Matemática -, pois são eles que justificam processos utilizados pelos alunos juntamente com os professores na realização de suas atividades, a partir da quais se realizou esta pesquisa. Para Biembengut (2011, p. 12), pode-se definir como Modelo Matemático “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir de alguma forma, um fenômeno em questão, ou problema de situação real”. Do mesmo modo, Bassanezi (2011, p. 25) também afirma de modo análogo, que o Modelo Matemático é aquele que pode traduzir em símbolos e operações próprios da matemática um problema em questão e, da mesma maneira, em sentido contrário, consegue-se o resultado da pesquisa na linguagem original do problema. Por tratar, neste momento, da Modelagem como meio de ensino e aprendizagem da matemática, é importante destacar agora a denominação dada 19 ao termo Modelação Matemática segundo Biembengut (2011, p. 18), que define como “O método que utiliza a essência da modelagem em cursos regulares, com programa”. Além disso, a autora ainda complementa o seguinte: “A modelação matemática norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu próprio modelomodelagem” (BIEMBENGUT, 2011, p. 18). 2. A Resolução de Problemas como meio de ensino-aprendizagem Entre as tendências para o ensino de matemática, a Resolução de Problemas se destaca no cenário da Educação Matemática, pois ela consegue fazer o aluno pensar de um modo diferente sobre as situações que lhe são propostas. Esse fato deve-se ao motivo de que essa tendência de ensino não somente faz o aluno compreender melhor o conteúdo matemático e aplicá-lo em uma situação, mas também pelo fato de que o aluno pode desenvolver o seu pensamento crítico e aguçar a sua criatividade de modo a compreender melhor situações que estão presentes no meio em que vive. Diante do que foi evidenciado anteriormente, é importante esclarecer a noção de problema, pois existem implicações em torno desse assunto. Assim, conforme Lopes et al. (2005, p. 9) a palavra problema pode admitir significadosdiferentes de acordo com cada indivíduo em sua particularidade e, por isso, o que pode se apresentar como um problema para um pode não ser para o outro. Pelo fato de o termo problema variar de o acordo com o indivíduo, então, é necessário enfatizar o que Lopes et al. (2005, p. 9) adverte sobre o que se considera como problema: Diremos ainda que um problema deve despertar a curiosidade do indivíduo, provocar- lhe uma certa tensão durante a procura de um plano de resolução, e finalmente, fazê-lo sentir a alegria inerente à descoberta da solução. Um problema é matemático quando envolve o conhecimento de conceitos, técnicas e algoritmos matemáticos para a sua resolução. Dentro do trabalho de ensino a partir da Modelagem como foi enfatizado na seção anterior, pode-se destacar o fato de que, no contexto real trabalhado, surgem questionamentos, os quais geram situações problematizadas e/ou problemas que contribuem para o aprendizado matemático. Desse modo, pode- se destacar um problema como uma dada situação problematizada em que o sujeito tem consciência da ligação entre os referentes dessa situação. Isso quer dizer que o problema é caracterizado pelo fato de o sujeito ter consciência do 20 que se busca e tenta conscientemente alcançar um determinado fim ou objetivo, organizando e desenvolvendo sua atividade mental, de modo a direcioná-la à resolução do problema. Assim, esse problema surge a partir de uma situação problematizada e essa, por sua vez, possui elementos insuficientemente esclarecidos ou mesmo desconhecidos, ao contrário do problema (cf. RUBINSTEIN, 1966, apud HUETE & BRAVO, 2006, p.125). A Resolução de Problemas não deve ser vista apenas como uma técnica de aplicar o saber matemático discutido durante as aulas, ela deve ser colocada como um elemento fundamental de desenvolvimento da aprendizagem matemática, pois considera que, ao resolver problemas, o aluno possui um contato maior com os elementos e o saber matemático e, por isso, consegue compreender melhor os conceitos. 3. O elo entre a Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática no ensino de Matemática Por tratar-se de problemas no contexto da Modelagem, deve-se destacar como acontece a aprendizagem matemática a partir da Resolução de Problemas, que considera o papel da Modelagem Matemática como sendo o de gerar questionamentos seguidos de problemas que almejam alguma solução. Ao se considerar a afirmação de Bassanezi (2011, p. 24) na qual ele afirma que “Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos”, pode-se relacioná-la com a afirmação que ele faz sobre a Modelagem Matemática no ensino: “A modelagem no ensino é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas, caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado” (cf. BASSANEZI, 2011, p. 38). Ao tratar da Resolução de Problemas no contexto da Modelagem Matemática, também é possível destacar quatro passos na resolução de problemas, segundo Polya (apud HUETE & BRAVO, 2006, p. 160 – 161): • Compreensão do problema. Aquele que deve resolver o problema reúne informação acerca do problema e pergunta: “O que quer (ou o que é que se desconhece)? O que há (ou quais são os dados e condições)?”. 21 • Elaboração de um plano. O sujeito tenta utilizar a experiência passada para encontrar um método de solução e pergunta: “Conheço um problema relacionado? Posso reformular o objetivo de uma nova forma utilizando minha experiência passada (trabalhando para trás) ou posso reordenar os dados de uma nova forma que se relacione com minha experiência passada (trabalhando para frente)?” (é aqui que surge o insight). • Colocando o plano em ação. O sujeito põe em prática seu plano de solução comprovando cada passo. • Reflexão. O sujeito tenta comprovar o resultado utilizando outro método ou vendo como tudo se encaixa e se pergunta: “Posso utilizar este resultado ou este método para resolver outros problemas?”. As etapas descritas acima, em que ocorre a resolução de um problema matemático, conforme Polya (1992, apud HUETE & BRAVO, 2006), são momentos em que o aluno passa por uma atividade mental muito importante, pois é quando os conceitos e as definições do saber matemático, além de assuntos ligados a outras áreas passam por um refinamento em favor da resolução do problema ou da situação proposta. Nesse sentido, esse momento é quando o aluno consegue fazer uma maior interação com o saber matemático e, desse modo, consegue conjecturar alguns modelos de resolução do problema que, posteriormente, passa pelo processo de validação, que consiste em observar se, de fato, o modelo corresponde à situação proposta 22 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações; posteriormente, multiplicações e divisões. Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra. O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4. A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1) O quadrado de um número mais 10 → x² + 10 O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x A metade da soma de um número com 15 → (x + 15)/2 A quarta parte de um número → x/4 23 APRENDER MATEMÁTICA ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A resolução de problemas permite que estudantes desenvolvam o pensamento matemático de maneira ativa. Entenda passo a passo como isso pode ser feito. Um problema é uma tarefa para a qual não se possui um esquema, uma estratégia ou um algoritmo previamente definido. Demanda-se certo esforço intelectual no delineamento da estratégia de solução, a qual poderá combinar esquemas anteriores e/ou produzir novos. Chamamos de problemas matemáticos aqueles cujas soluções demandam idéias, conceitos e/ou algoritmos pertencentes à disciplina matemática. 24 DEFININDO UM PROBLEMA Antes mesmo de começar a resolver um problema de matemática, você deve entender o que é esse conceito. Seja qual for o seu nível de educação e a dificuldade do problema a resolver, o princípio é o mesmo. Um problema matemático é uma questão a ser resolvida com o raciocínio e elementos matemáticos. E esta definição pode ser adaptada de acordo com a o seu nível de complexidade: • Os primeiros problemas devem ser considerados como um enigma a ser resolvido, seguindo as informações fornecidas. Este estágio é importante porque se trata do primeiro nível de familiarização com os números e suas relações. Um bom exemplo segue uma linha como: São 14 horas. Alexandre e Tom vão caminhar pela floresta. A que horas eles completarão o trajeto se o passeio dura uma hora e trinta e cinco minutos? • Durante a segunda metade do ensino fundamental, descobrimos as equações, as frações e as porcentagens. Os problemas vão ficando mais complicados. Os exercícios ficam assim: o café verde perde 6% de sua massa durante a torrefação. Quanta massa de café você obtém com 18 kg de café verde? • No início do ensino médio, a exigência de uma compreensão matemática se torna maior. O método de resolução dos problemas fica mais complexo e a necessidade de entendimento das informações corretas é essencial. Exemplo de um problema aberto nesse esquema: Nicolas tem um arame farpado com 75metros de comprimento. Ele quer fechar seu jardim com esse fio. Este jardim deve ser retangular. Ele também quer que seja tão grande quanto possível, para plantar o maior volume que conseguir de flores. Como ele deve fazer isso ? O nível de complexidade difere nos três casos, mas sempre há uma ordem, pistas e uma pergunta para responder. 25 O problema pode ser considerado como uma investigação para resolver! Mesmo que você não tenha a facilidade necessária com os números, você pode considerar os problemas como um grande alinhamento de evidências e tentar buscar a melhor maneira de solucionar cada uma das etapas. conhecidos: Sabemos que a mãe tinha 30 anos quando Laura nasceu e que seu irmão era 4 anos mais velho do que ela. Além disso, a soma de suas idades é igual a 100 anos. 26 REFERÊNCIAS ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de.Modelagem Matemática em sala de aula: em direção à educação matemática crítica. Anais III CNMEM, Piracicaba,2003, pp10. ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; DIAS, Michele Regiane.Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem.BOLEMA, ano 12, nº 22, pp.19-36.2004. 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