8- POTENCIAÇÃO

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Potenciação 
INTRODUÇÃO 
 
Iniciaremos falando da importância de entender este tema inicial que é a potenciação, 
vejamos os casos: 
 
1° caso: Quando pensamos num produto de dois fatores iguais, fica fácil a sua representação, 
por exemplo: 
2 𝑥 2 = 4 
 
2° caso: Quando pensamos num produto de três fatores iguais, também fica fácil a sua 
representação, veja: 
2 𝑥 2 𝑥 2 = 8 
 
Agora, quando se faz necessário a escrita (ou representação) de um produto de 100 fatores 
iguais, ou até mesmo diversas operações entre produtos diferentes uns dos outros, concorda 
que fica um pouco inviável? Pois bem, por este motivo a Potenciação cresce de importância. 
 
CONCEITO 
 
Potência nada mais é que uma forma matemática alternativa de exprimir um produto de 
fatores iguais. Assim, toda vez que tivermos uma multiplicação de um mesmo fator, muito 
repetido, a representação mais recomendada será por meio de uma potência. 
 
Exemplo: Observe o exemplo abaixo, no qual fiz um produto de 100 fatores iguais a dois: 
2 𝑥 . . . 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 = 2100 
Perceba que, no resultado, a base permaneceu igual ao fator 2, no entanto, o expoente dessa 
base é exatamente igual a quantidade de vezes que se multiplicou o mesmo fator, ou ainda, 
igual à soma dos 100 expoentes iguais a 1. 
 
Nomenclatura e representação 
 
Vejamos a nomenclatura das partes da potência e como representá-la: 
 
𝑎. 𝑎. 𝑎 . . . . 𝑎 = 𝑎n 
"n" vezes o “a” 
 
 
a = base da potência 
n = expoente (número de vezes que vai parecer a base se multiplicando) 
an = potência 
 
𝑎n 
 
 
Leitura de potências 
 
Vejamos como fazer uma leitura correta de potências, temos algumas formas de falar de 
acordo com o número do expoente: 
 
Expoente 0 e 1: Vejamos a forma de ler: 
 
Nome do número da base + elevado + zero/ um 
 
 
Exemplo: 30 = três elevado a zero 
 
Exemplo: 41 = quatro elevado a um 
 
Expoentes acima de 1: Vejamos a forma de ler, nesse temos mais de uma forma de leitura, 
vejamos: 
 
 
Nome do número da base + elevado + nome do número do 
expoente 
 
 
 
 
 
Nome do número da base + elevado + nome do número do 
expoente na forma ordinária 
 
 
Exemplo: 42 = quatro elevado a dois ou quatro elevado a segunda potência. 
Exemplo: 88 = oito elevado a oito ou oito elevado a quarta potência. 
 
CASOS DA POTENCIAÇÃO 
 
Vamos, a partir de agora, analisar cada possibilidade da potência: 
 
1- Potência com expoente natural sem o zero (N*) 
 
É toda potência que possui em seu expoente um número inteiro e positivo (n ∈ N*). Este 
expoente indica exatamente a quantidade de vezes que uma expressão (base) se repete como 
fator. 
 
Assim: 
 
𝑎n = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. . . 𝑎 
 
Com “n ∈ N*”; ele representa a quantidade de vezes que o 
“a” será multiplicado por ele mesmo. 
 
Exemplo: 22 = 2. 2 = 4 
 
Sinais da potência 
 
Se resume bastante aos parênteses ou não então preste bastante atenção quando a base da 
potência não estiver entre parênteses, pois isso poderá implicar numa diferença de resultado, 
qual seja, Vejamos: 
• Base da potência entre parênteses: neste caso temos duas observações, a primeira 
é que se: 
 
 Expoente for par: o resultado será sempre não negativo, ou seja, maior que ou igual a 
zero. 
 
Exemplo: ( - 2 ) 2 = ( -2). (-2 ) = 4 
 
 Expoente for ímpar: o resultado terá o mesmo sinal da base. 
 
Exemplo: (−3) 3 = (−3). (−3). (−3) = −27 
 
• Base da potência sem parênteses: já neste caso, o sinal do resultado será sempre o 
mesmo que estiver em frente à base, ou seja, independe de o expoente ser par ou 
ímpar. 
 
Exemplo: −2 2 = −(2). (2) = −4 
 
Exemplo: +3 3 = +(3). (3). (3) = +27 
 
Observação: Temos que ter atenção nos parênteses, se na frente deles terá algum sinal 
negativo, pois se tiver tudo de dentro vai trocar de sinal. 
 
Exemplo: - ( - 3 ) 2 = ( 3 ) 2 = 9 
 
Exemplo: - ( 2 ) 2 = - ( 2. 2 ) = - 4 
 
 
Observação 2: Um expoente elevado a um conjunto de números dentro de um parêntese, 
ele vai elevar tudo dentro desses parênteses. 
 
Exemplo: ( 2ab ) 3 = 23. a3. b3 = 8a3b3 
 
Observação 3: Quando aparece um negativo na frente da base é o mesmo que um “-1”, 
Vejamos: 
 
Exemplo: - 22 = -1. 22 = -1.4= -4 
 
2- Potência com expoente nulo (zero) 
 
Todo número diferente de zero, elevado ao expoente zero, será igual a um. Assim: 
 
𝑎 0= 1; sendo𝒂 ≠ 𝟎 
 
Exemplo: 20210 = 1 
 
Exemplo: (−
3
7
)
0
= 1 
 
Observação: zero elevado a zero é indeterminado! 
 
00 = indeterminado 
3- Potência com expoente inteiro (z) negativo. 
 
Nesse caso vamos inverter o número, para tirar o negativo do expoente, inverte o número e 
eleva o expoente ao denominador de sinal trocado. 
 
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
; 𝒂 ≠ 𝟎 
 
(
𝟏
𝒂
)
−𝒏
= 𝒂𝒏; 𝒂 ≠ 𝟎 
 
Exemplo: (
2
3
)
−2
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 2−2 
 
 
 
 
 
Observação: O zero não pode ser elevado a um número negativo, pois vai acabar gerando 
algo impossível, porque ele vai para o denominador e zero no denominador não pode 
acontecer. 
Exemplo: 0-2 = 
1
02
 
 
Curiosidade 
 
Apenas a título de conhecimento, vamos tentar entender o motivo pelo qual todo expoente 
negativo gera o inverso multiplicativo da base! Veja pelos exemplos a seguir: 
 
Observação: Antes de tudo entenda que cada vez que diminuímos 1 no expoente de uma 
potência de algum número, estamos dividindo o resultado do número antes da subtração de 
1 no expoente, pela base. 
 
Exemplo: 33= 27; 32 = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por que o inverso, no expoente negativo? 
 
23 = 2.2.2 = 8; vamos partir deste exemplo, ok? 
 
22 = 2.2 = 4; ao diminuir uma unidade do expoente, o resultado é dividido por 2. 
 
21 = 2; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 4. 
 
20 = 1; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 2. 
 
2−1 = ( 
1
21
 ) = ( 
1
2
 ); diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 1. 
 
2−2 = ( 
1
22
 ) = ( 
1
4
 ); diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 1/2. 
 
Assim, podemos entender o motivo pelo qual os expoentes negativos trazem como resultado 
a inversão da base. Ressalto que essa inversão tem um nome específico, que é: INVERSO 
MULTIPLICATIVO. 
 
4- Potência com Expoente Fracionário 
 
É exatamente o expoente fracionário que origina os radicais, ou seja, as raízes. Que será da 
seguinte forma: 
 
𝒂
𝒎
𝒏 
 
E assim o denominador do expoente se transforma no índice da raiz, e o numerador se 
transforma em expoente da raiz. 
 
√𝒂𝒎
𝒏
 
Dica! Tem uma dica para resolver o expoente fracionário, que é basicamente que está no 
sol vai para sombra e quem está na sombra vai para o sol. Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ver que o “m” está no sol e o “n” está na sombra, agora invertemos eles, o que 
está na assombra vai para o sol e o que está no sol vai para a sombra. Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 2
1
3 
 
 
Exemplo: 3
2
3 
 
Exemplo: (−2)
3
5 
 
 
 
 
Exemplo: 𝑥
2𝑘
7 
 
 
 
 
 
Cuidado! Número negativo dentro de raiz com índice par é impossível no campo dos reais, 
pois não tem como um número multiplicado por ele mesmo em “n” vezes, sendo que o “n” 
é par, gerar um número negativo dentro dos números reais. 
 
Exemplo: √−𝟒
𝟐
 
 
Isso é impossível, pois qual número multiplicado por ele mesmo duas vezes gera um número 
negativo dentro dos reais? Nenhum! 
 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
As propriedades a seguir são de suma importância. São elas que farão você ter um norte de 
como começar a fazer uma determinada questão de expressões algébricas, numéricas ou até 
mesmo questões puras de potenciação/radiciação, bem como questões de produtos 
notáveis. 
1- Bases iguais na multiplicação 
 
Bases iguais na multiplicação, podemos operar eles preservando a base e somando os 
expoentes. 
 
𝒂𝒙 ⋅ 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙+𝒚 
 
Exemplo: 23 . 25 = 28 
 
2- Basesiguais na divisão 
 
Na divisão bases iguais, podemos operar eles preservando a base e subtraindo os expoentes. 
 
𝒂𝒙
𝒂𝒚
= 𝒂𝒙−𝒚 
 
Exemplo: 
𝟐𝟓
𝟐𝟑
= 𝟐𝟓−𝟑 = 𝟐𝟐 = 𝟒 
 
3- Parênteses e dois expoentes 
 
Quando temos uma base com expoente dentro de um parênteses, e fora desse parênteses 
temos um expoente elevando todo o parêntese, podemos multiplicar os expoentes e manter 
a base. 
 
 
(𝒂𝒙)𝒚 = 𝒂𝑿⋅𝒚 
 
Exemplo: (23)2 = ? 
 
 
 
Observação: Observe as seguintes expressões e perceba suas diferenças: 
 
(𝒂𝒙)𝒚 ≠ 𝒂𝒙
𝒚
 
 
Exemplo: se x=2; y=3 e a =2 
 
 
 
 
 
 
4- Potências multiplicadas dentro de um parêntese e o parêntese 
elevados a um expoente. 
 
Quando temos duas bases elevadas a um expoente sendo multiplicadas dentro de um 
parêntese, e esse parêntese está elevado a um expoente, podemos tirar o parêntese e 
multiplicar o expoente que estava elevado ao parêntese pelos expoentes das bases. 
 
(𝒂𝒙. 𝒃𝒚 )𝒛 = 𝒂𝒙.𝒛. 𝒃𝒚.𝒛 
 
 
Exemplo: (22. 3)3 = ? 
 
 
 
 
5- Potências divididas dentro de um parêntese e o parêntese elevados a 
um expoente. 
 
Quando temos duas bases elevadas a um expoente sendo divididas dentro de um parêntese, 
e esse parêntese está elevado a um expoente, podemos tirar o parêntese e multiplicar o 
expoente que estava elevado ao parêntese pelos expoentes das bases. 
 
(
𝒂𝒙
𝒃𝒚
)
𝒛
=
𝒂𝒙⋅𝒛
𝒃𝒚.𝒛
 
 
 
Exemplo: (
22
33
)
2
=? 
 
 
 
 
6- Potências com bases diferentes sendo multiplicadas, com expoentes 
iguais. 
 
Se aparecer duas potências de bases diferentes sendo multiplicadas, mas com expoentes 
iguais, podemos simplesmente multiplicar as bases entre parênteses e elevar a base igual aos 
dois ao parêntese. 
 
𝒂𝒙 ⋅ 𝒃𝒙 = (𝒂 ⋅ 𝒃)𝒙 
 
 
Observação 
 
As propriedades tanto podem ser feitas como desfeitas para facilitar em alguma operação. 
 
Exemplo: 22+1 = 22 . 21 
 
POTENCIAÇÃO DE BASE 10 COM EXPOENTE POSITIVO 
 
Essas potências de 10 são simples de resolver com expoente positivo, vamos colocar o 
número “1” e seguido dele vamos colocar o número de zeros, igual o valor do expoente. 
Vejamos: 
 
a) 100 = 1 ; expoente zero, reflete, no resultado, nenhum zero após o algarismo um. 
 
b) 101 = 10 ; expoente um, reflete, no resultado, um zero após o algarismo um. 
 
C) 102 = 100; expoente dois, reflete, no resultado, dois zeros após o algarismo um. 
 
d) 103 = 1000; expoente três, reflete, no resultado, três zeros após o algarismo um. 
. 
. 
. 
. 
Conclusão: Assim, podemos concluir que: 10𝑛 = 1000. . .0; tantos zeros quanto valer o 
número do expoente. 
 
POTENCIAÇÃO DE BASE 10 COM EXPOENTE NEGATIVO 
 
Essas potências de 10 são simples de resolver com expoente negativo, vamos apenas colocar 
o número de zeros igual o valor do expoente e após o primeiro zero vamos colocar uma 
vírgula e o número “1” no final. 
 
a) 10-1 = 0,1; um zero seguido de vírgula. 
 
b) 10-2 = 0,01; dois zeros, com uma vírgula após o primeiro. 
 
c) 10-3 = 0,001; três zeros, com uma vírgula após o primeiro. 
 
d) 10-4 = 0,0001; quatro zeros, com uma vírgula após o primeiro. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
Conclusão: Assim, podemos concluir que: 10 −𝑛 = 0,00. . .01; vamos apenas colocar o 
número de zeros igual o valor do expoente e após o primeiro zero vamos colocar uma vírgula 
e o número “1” no final. 
 
CASO ESPECIAL DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTES 
DIFERENTES 
 
Muitos alunos sentem dificuldade quando se deparam com questões deste tipo. Para isso, 
vejamos duas possibilidades de resolução deste caso especial de operações entre potências. 
 
1° Possibilidade 
 
Vejamos um passo a passo pegando “67 + 69” como exemplo: 
 
1° passo: devemos igualar os expoentes das bases, utilizando a técnica da decomposição. 
 
1.67 + 62 . 67 
 
 
2° passo: Agora vamos adicionar ou subtrair as potências. 
 
1.67 + 36 . 67 = 37 . 67 
 
Exemplo: 9 12 − 9 9 
 
 
 
 
 
 
2° Possibilidade (fatoração) 
 
Agora vamos mudar um pouco o passo a passo, pois vamos usar a fatoração, vejamos um 
passo a passo pegando “67 + 69” como exemplo: 
 
1° passo: devemos igualar os expoentes das bases, utilizando a técnica da decomposição. 
 
1.67 + 62 . 67 
 
2° passo: Agora vamos colocar o fator em comum em evidência. 
 
1.67 + 62 . 67 = 67.( 62 + 1 ) = 37. 67 
Exemplo: 9 12 − 9 9 
 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
Tema bastante importante. Não só para a nossa querida matemática, mas também para a 
Física. A notação científica trabalha com as potências de 10 e serve para representar números 
muito grandes ou muito pequenos. 
 
Representação da notação científica 
 
A notação científica é representada pelo produto de dois números, um sendo um a potência 
de 10 e o outro o número que multiplica para gerar o número representado. 
 
a.10x 
 
a = É o fator real que multiplica a potência de 10, e gera o número representado. Ele precisa 
ser menor que 10 e maior ou igual a 1, "𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎" que é chamado de mantissa o “a”. 
 
10x = É a potência de 10, e seu “x” pode ser nulo, positivo ou negativo. 
 
Coloque os seguintes exemplos em notação científica: 
 
Exemplo: 187.000.000.000 
 
 
 
Exemplo: 0,0000000017 
 
 
 
 
Exemplo: 0,00000789 
 
 
 
 
Exemplo: 1.230.000 
 
 
 
METADE DE UMA POTÊNCIA DE 2 
 
A metade de uma potência de 2, é basicamente subtrair “1” no seu expoente. 
 
𝟐𝒙 ⇒
𝟐𝒙
𝟐
= 𝒂𝒙−𝟏 
 
Exemplo: 210 qual é a sua metade? 
210 = 1024 
1024/2 = 512 
512 = 29 
 
Observação: Se não aparecer nada no expoente o número está elevado a 1. 
 
Exemplo: 2 = 21 
EXERCÍCIOS 
 
1- Resolva a seguinte equação: 
 
E = 117 + 117 + 117 + 117 + 117 + 117 + 117 + 117 + 117 + 
117 + 117 = ? 
 
 
 
 
2- A metade de 211 + 48 é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Qual o valor de (372 + 375) ⋅ 92 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Qual o valor de 
𝟐𝟗𝟖+𝟒𝟓𝟎−𝟖𝟑𝟒
𝟐𝟗𝟗−𝟑𝟐𝟐𝟎+𝟐𝟏𝟎𝟏
?