Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses

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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Intervalos de Confiança - Amostras Pequenas
Teste de Hipóteses para uma Média
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela,
Instituto de Qúımica - UNESP
Araraquara, SP
capela@iq.unesp.br
Araraquara, SP - 2016
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Qúımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
1 Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
2 Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
3 Testes de hipóteses para uma média
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Qúımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Fixando a ideia de intervalo de confiança
Para estimar a média µ de uma população qualquer usamos a média
X de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite central
tem-se
E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =
σ√
n
.
P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95
P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95
Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-
tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), então 95%
deles contêm o parâmetro µ.
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Fixando a ideia de intervalo de confiança
Para estimar a média µ de uma população qualquer usamos a média
X de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite central
tem-se
E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =
σ√
n
.
P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95
P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95
Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-
tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), então 95%
deles contêm o parâmetro µ.
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Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Fixando a ideia de intervalo de confiança
Para estimar a média µ de uma população qualquer usamos a média
X de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite central
tem-se
E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =
σ√
n
.
P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95
P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95
Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-
tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), então 95%
deles contêm o parâmetro µ.
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Testes de hipóteses para uma média
Tamanho da amostra para estimar µ
Tamanho da amostra:
n =
(zασ
E
)2
,
sendo E a margem de erro, σ o desvio padrão e zα é tal que
P(|z | < zα) = α2
Para aumentar a precisão da estimativa sem diminuir o ńıvel
de confiança aumenta-se o tamanho da amostra.
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Testes de hipóteses para uma média
Tamanho da amostra para estimar µ
Tamanho da amostra:
n =
(zασ
E
)2
,
sendo E a margem de erro, σ o desvio padrão e zα é tal que
P(|z | < zα) = α2
Para aumentar a precisão da estimativa sem diminuir o ńıvel
de confiança aumenta-se o tamanho da amostra.
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Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 1
Determinar o tamanho ḿınimo da amostra para obter 95% de con-
fiança de que a média amostral esteja a uma unidade da média
populacional. Assuma que a população é normalmente distribúıda
com desvio padrão σ = 4.8.
n =
(
1.96× 4.8
1
)2
= 88.51 ≈ 89
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Exemplo 1
Determinar o tamanho ḿınimo da amostra para obter 95% de con-
fiança de que a média amostral esteja a uma unidade da média
populacional. Assuma que a população é normalmente distribúıda
com desvio padrão σ = 4.8.
n =
(
1.96× 4.8
1
)2
= 88.51 ≈ 89
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Testes de hipóteses para uma média
Tamanho da amostra para estimar a proporção p
No caso da proporção tem-se
n = p̂(1− p̂)
(zα
E
)2
.
Se não for posśıvel uma estimativa inicial de p̂ use p̂ = 0.5, que é
o valor onde se tem o máximo da função f (p̂) =
√
p̂(1− p̂) (ou a
margem de erro máxima).
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
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Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 2
Deseja-se estimar com 95% de confiança a proporção de eleitores
que irão votar em determinado candidato. Com uma margem de
erro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessária nas seguin-
tes situações: (a) não há nenhuma estimativa prévia (b) há uma
estimativa prévia p̂ = 0.31.
(a)
n = 0.5× 0.5
(
1.96
0.03
)2
= 1067.11 ≈ 1068
(b)
n = 0.31× 0.69
(
1.96
0.03
)2
= 913.02 ≈ 914
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Exemplo 2
Deseja-se estimar com 95% de confiança a proporção de eleitores
que irão votar em determinado candidato. Com uma margem de
erro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessária nas seguin-
tes situações: (a) não há nenhuma estimativa prévia (b) há uma
estimativa prévia p̂ = 0.31.
(a)
n = 0.5× 0.5
(
1.96
0.03
)2
= 1067.11 ≈ 1068
(b)
n = 0.31× 0.69
(
1.96
0.03
)2
= 913.02 ≈ 914
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Testes de hipóteses para uma média
Quando σ não for conhecido o desvio padrão amostral s e a distri-
buição t podem ser usados para se obter um intervalo de confiança
para a média populacional.
A distribuição t
Se a distribuição X for aproximadamente normal, então
t =
X − µ
s/
√
n
segue uma distribuição t.
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Testes de hipóteses para uma média
Distribuição t
Cada curva t é determinada pelos seus graus de liberdade (gl). Os gl
são o número de escolhas livres deixadas depois que X é calculada.
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Exemplo 3
Observe que o valor cŕıtico tc = 2.145 corresponde a uma confiança
de 95% quando o tamanho da amostra é 15.
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Testes de hipóteses para uma média
Intervalos de confiança e a distribuição t
Identifique a amostra: n, X e s.
X =
∑n
i=1 xi
n
s =
√∑n
i=1(xi − X )2
n − 1
Ńıvel de confiança c, e graus de liberdade gl = n − 1
Margem de erro: E = tc
s√
n
Int. Conf.: X − E < µ < X + E
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 4
Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do café vendido
em cada uma delas. A média da temperatura é 162.0 oF com desvio
padrão de 10.0 oF. Encontre um intervalo de 95% de confiança para
a temperatura média admitindo que as temperaturas são aproxima-
damente normalmente distribúıdas.
E = tc
s√
n
= 2.131
10√
16
≈ 5.3
Portanto
IC : (X − E ,X + E ) = (162− 5.3, 162 + 5.3) = (156.7, 167.3)
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Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 4
Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do café vendido
em cada uma delas. A média da temperatura é 162.0 oF com desvio
padrão de 10.0 oF. Encontre um intervalo de 95% de confiança para
a temperatura média admitindo que as temperaturas são aproxima-
damente normalmente distribúıdas.
E = tc
s√
n
= 2.131
10√
16
≈ 5.3
Portanto
IC : (X − E ,X + E ) = (162− 5.3, 162 + 5.3) = (156.7, 167.3)
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Testes de hipóteses para uma média
Testes de Hipóteses
Uma afirmação sobre um parâmetro populacional é chamada de
hipótese estat́ıstica. Para testar um parâmetro populacional deve-
mos afirmar cuidadosamente um par de hipóteses:{
H0 : µ ≤ k
H1 : µ > k
{
H0 : µ ≥ k
H1 : µ < k
{
H0 : µ = k
H1 : µ 6= k
H0: Hipótese nula (contém a igualdade)
H1: Hipótese alternativa (complemento da H0)
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
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Testes de hipóteses para uma média
Tipos de erro.
Inicia-se assumindo que a condição de igualdade é verdadeira
na hipótese H0. Decisões:
A verdade de H0
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeite H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisão correta
Ńıvel de significância: probabilidade máxima permitida para
cometer um erro do tipo I. É denotado por α.
Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-
babilidade de cometer um erro do tipo II é preciso conhecer a
média populacional, o que raramente ocorre na prática.
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Tipos de erro.
Inicia-se assumindo que a condição de igualdade é verdadeira
na hipótese H0. Decisões:
A verdade de H0
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeite H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisão correta
Ńıvel de significância: probabilidade máxima permitida para
cometer um erro do tipo I. É denotado por α.
Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-
babilidade de cometer um erro do tipo II é preciso conhecer a
média populacional, o que raramente ocorre na prática.
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Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Tipos de erro.
Inicia-se assumindo que a condição de igualdade é verdadeira
na hipótese H0. Decisões:
A verdade de H0
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeite H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisão correta
Ńıvel de significância: probabilidade máxima permitida para
cometer um erro do tipo I. É denotado por α.
Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-
babilidade de cometer um erro do tipo II é preciso conhecer a
média populacional, o que raramente ocorre na prática.
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
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Testes de hipóteses para uma média
Teste unicaudal à esquerda
{
H0 : µ ≥ k
H1 : µ < k
Estat́ıstica do teste: z0 =
X − k
σ/
√
n
O valor p (p-valor) é a área à esquerda da estat́ıstica do teste.
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Testes de hipóteses para uma média
Teste unicaudal à direita
{
H0 : µ ≤ k
H1 : µ > k
Estat́ıstica do teste: z0 =
X − k
σ/
√
n
O valor p (p-valor) é a área à direita da estat́ıstica do teste.
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Teste bicaudal
{
H0 : µ = k
H1 : µ 6= k
Estat́ıstica do teste: z0 =
X − k
σ/
√
n
O valor p (p-valor) é duas vezes a área à direita (esquerda) do
valor positivo (negativo) da estat́ıstica do teste.
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Exemplo 5
Está sendo proposta uma dieta que visa a reduzir o ńıvel de colesterol
sangúıneo. De uma população em que o ńıvel médio é 262 mg/mL
e o desvio padrão, 70 mg/mL, é selecionada uma amostra de 20
pessoas que se submetem a esta dieta. Ao final de certo tempo, o
ńıvel de colesterol é medido nessas pessoas e a média é 233 mg/mL.
Pode-se afirmar que a dieta produziu realmente uma redução no
colesterol sangúıneo (α = 0.05) ou a diferença deve ser atribúıda ao
acaso?
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Exemplo 5: Resolução
{
H0 : µdieta ≥ 262
H1 : µdieta < 262 (afirmação)
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Exemplo 5: Resolução
A estat́ıstica do teste:
z0 =
233− 262
70/
√
20
= −1.8527
está na região de significância (rejeição).
Portanto há evidências
para apoiar a afirmação que a dieta reduz a taxa de colesterol.
Observação sobre o valor p:
p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α
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Exemplo 5: Resolução
A estat́ıstica do teste:
z0 =
233− 262
70/
√
20
= −1.8527
está na região de significância (rejeição). Portanto há evidências
para apoiar a afirmação que a dieta reduz a taxa de colesterol.
Observação sobre o valor p:
p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho daamostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 5: Resolução
A estat́ıstica do teste:
z0 =
233− 262
70/
√
20
= −1.8527
está na região de significância (rejeição). Portanto há evidências
para apoiar a afirmação que a dieta reduz a taxa de colesterol.
Observação sobre o valor p:
p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α
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Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 6
Em indiv́ıduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se nor-
malmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com base
em 9 indiv́ıduos portadores de uma doença, se esta tem influência
no consumo renal de oxigênio. Os dados são: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2,
11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e 10.5. O consumo médio para os 9 pacientes
foi 11.68 cm 3/min e o desvio padrão s = 0.76 cm3/min.
{
H0 : µ = 12
H1 : µ 6= 12 (afirmação)
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Exemplo 6
Em indiv́ıduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se nor-
malmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com base
em 9 indiv́ıduos portadores de uma doença, se esta tem influência
no consumo renal de oxigênio. Os dados são: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2,
11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e 10.5. O consumo médio para os 9 pacientes
foi 11.68 cm 3/min e o desvio padrão s = 0.76 cm3/min.{
H0 : µ = 12
H1 : µ 6= 12 (afirmação)
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Exemplo 6: Resolução
Como σ é desconhecido usamos a variável t de Student com
n − 1 = 8 graus de liberdade e α = 0.05, isto é tc = 2.306
.
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Exemplo 6: Resolução
A estat́ıstica do teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
11.68− 12
0.76/
√
9
= −1.26,
que não pertence à região cŕıtica.
Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a doença tem influência no consumo renal
de oxigênio.
Valor p:
p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 6: Resolução
A estat́ıstica do teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
11.68− 12
0.76/
√
9
= −1.26,
que não pertence à região cŕıtica. Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a doença tem influência no consumo renal
de oxigênio.
Valor p:
p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05
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Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 6: Resolução
A estat́ıstica do teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
11.68− 12
0.76/
√
9
= −1.26,
que não pertence à região cŕıtica. Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a doença tem influência no consumo renal
de oxigênio.
Valor p:
p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05
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Exemplo 7
O teor de enxofre na análise de um gás distribui-se normalmente em
torno de 80 ppb (partes por bilhão) com um desvio padrão de 5 ppb.
Deseja-se investigar o teor de enxofre em 6 análises: 83.08, 61.00,
57.00, 80.41, 65.57, 87.29. Com base nesta análise podemos afirmar
ao ńıvel de 5% de significância que o teor de enxofre é diferente de
80 ppb? {
H0 : µ = 80
H1 : µ 6= 80 (afirmação)
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Exemplo 6: Resolução
Como σ é desconhecido usamos a variável t com n − 1 = 5 graus
de liberdade e α = 0.05, isto é tc = 2.5706.
A média amostral é
X = 72.40 e o desvio padrão amostral é s = 12.76. A estat́ıstica do
teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
72.40− 80
12.76/
√
6
= −1.46
que não pertence à região cŕıtica. Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a média seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
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Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 6: Resolução
Como σ é desconhecido usamos a variável t com n − 1 = 5 graus
de liberdade e α = 0.05, isto é tc = 2.5706. A média amostral é
X = 72.40 e o desvio padrão amostral é s = 12.76.
A estat́ıstica do
teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
72.40− 80
12.76/
√
6
= −1.46
que não pertence à região cŕıtica. Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a média seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Qúımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 6: Resolução
Como σ é desconhecido usamos a variável t com n − 1 = 5 graus
de liberdade e α = 0.05, isto é tc = 2.5706. A média amostral é
X = 72.40 e o desvio padrão amostral é s = 12.76. A estat́ıstica do
teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
72.40− 80
12.76/
√
6
= −1.46
que não pertence à região cŕıtica. Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a média seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Qúımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Exemplo 6: Resolução
Como σ é desconhecido usamos a variável t com n − 1 = 5 graus
de liberdade e α = 0.05, isto é tc = 2.5706. A média amostral é
X = 72.40 e o desvio padrão amostral é s = 12.76. A estat́ıstica do
teste é
t0 =
X − µ0
s/
√
n
=
72.40− 80
12.76/
√
6
= −1.46
que não pertence à região cŕıtica. Portanto não há evidências para
apoiar a afirmação que a média seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
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Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra
Intervalos de confiança para a média: amostras pequenas
Testes de hipóteses para uma média
Em um teste de hipótese a maior preocupação é com o erro do tipo
I, cuja probabilidade α é conhecida. Tem-se uma decisão estatisti-
camente forte quando se rejeita H0.
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