lista-ele-cdi2-1-2019

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Lista 1
Integrais Duplas
Versão do 9-4-2019
Integrais Iteradas
1) Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
a) f(x,y) = y+2x, R=[-1,2]*[-1,4]. (V=75/2 u.v.)
b) f(x,y) = x²+y², R=[2,4]*[-1,1]. (V= 
116
3
 u.v.)
c) f(x,y) = x-3y², R=[0,2]*[1,2]. (V= -12 u.v.)
d) f(x,y) = ysin(xy), R=[1,2]*[0, π ]. (V= 0 u.v., Fernando Victor da Silva)
e) f(x,y)= x²y+y²x, R=[0,2]*[0,3]. (V=30 u.v., Thales Vieira e Silva Lobo de 
Almeida)
III Casos de regiões D
2) Ache o volume do sólido limitado pela superfície f(x,y) = 4−
1
9
x²−
1
16
y2 pelos planos x=3, y =2
e pelos planos coordenados. (V= 
43
2
u.v., Adriano Garufe Nogueira)
3) Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados do primeiro octante e o plano
x+y+z=3.
(V= 
9
2
u.v.)
4) Determine o valor do volume do sólido delimitado pelos cilindro parabólicos y=x² e pelos planos
z=3y e z=2+y. (V= 16/15 u.v.)
5) Calcule a integral ∫D ∫ x e
y dA onde D é a região limitada pelo eixo-y, pela reta x =1, a parábola
y =x², e a reta y=x. (V= 
3
2
−
e
2
u.v.)
6) Calcule a integral ∫0
1
∫x2
1
x3 sin y3 dydx trocando a ordem de integração.
(V= 
1
12
(1−cos(1)) u.v.)
7) Encontre o volume do prisma cuja base é o triangulo no plano xy limitado pelo eixo x e pelas retas
y=x, x=1 e cujo topo está no plano z=3-x-y. (V= 1 u.v.)
Áreas de regiões D
8) Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
a) x=y³, x+y=2, y=0. (A=5/4 u.a.)
b) x= y2 , y=x−2 (A=9/2 u.a., Thales Vieira e Silva Lobo de 
Almeida)
c) r=cos(2θ) , primeiro quadrante. (A=
π
8 u.a.)
d) r= 3 sin θ , r=2−sin(θ) (A= 3√3 u.a.)
e) y=x³,y=4x, primeiro quadrante. (A= 4 u.a.)
f) x=y², x=2y-y² (A= 
1
3
u.a., Thales Vieira e Silva Lobo de
Almeida)
Massa, Centro de Massa, Momentos de inércia de uma lâmina
9) Ache o centro de massa da lâmina na forma da região interior à semi-circunferência
r=a cos  , 0≤≤/2, e cuja medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer
ponto é proporcional à medida de sua distância à origem. A massa é medida em kg, e a distância em
m.
((3/5a, 9/40a) u.c.)
10) Determine os momentos de inercia Ix, Iy, e Iz de um disco homogêneo de raio a no SI.
( I x= I y=
I z
2
=
πρa4
4
kg⋅m² )
11) O limite de uma lâmina consiste nos semicirculos y=√1−x2 e y=√4−x2 juntamente com as
partes do eixo x que os une. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for
proporcional à distância da origem.
( (0,
45π
14
) u.c., Felipe Rudolf Depieri Zwetsloot)
12) Uma lâmina tem a forma de um semidisco de raio a. A densidade de massa por unidade de
superfície é proporcional a distância de cada ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante
de proporcionalidade K se a massa do semidisco for πa3 u. m.
(K= 3 kg/m³)
13) Determine o centro de massa da região no primeiro quadrante delimitada pelo eixo x, pela parábola
y²=2x e pela reta x+y=4. ( (
64
35,
5
7
) u.c.)
Integrais Duplas em coordenadas polares
14) Determine a área da cardioide r=2 1sin  .
(A = 6 u.a.)
15) Determine o volume da região sólida limitada pela superfície z=(x²+y²)sin(x²+y²) e a região plana
circular de centro na origem e raio √2π (V= 4 π u.v.)
16) Encontre o volume do sólido formado por r=3 sin (θ) ,r=3 cos(θ) e z =3, limitado pelo primeiro
quadrante. (V= 
27
2
u.v.)
17) Avalie a integral ∫0
1
∫0
√1−x²
(x²+ y² )dydx . (V=
π
8 u.v., Ahmad Muhammad Sourentino)
18) Encontre o volume da esfera de raio a usando coordenadas polares.
(V=
4
3
πa3 u.v., Ahmad Muhammad Sourentino)
19) Calcule a integral ∫D ∫3 x+4 y
2 dxdy , onde D é a região do semiplano superior delimitada por
x²+y²=4, x²+y²=1, y=x e y=0. (V= 
15
2
π u.v., Henrique Amon de Lima)
20) Calcule a integral ∫D ∫e
√x ²+ y ² dxdy onde R é a região do primeiro quadrante interior a x²+y² =
4 e exterior a x²+y² =1. (V=
π
2
e ² u.v.)
21) Determine o volume do sólido que está sobe o paraboloide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do
cilindro x²+y²=2x. (V=
3π
2
u.v., Henrique Amon de Lima)
22) Calcule ∫D ∫ ln( x
2
+ y2)dxdy , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as
circunferências x²+y²= 1 e x²+y²=4. (V= 
π
4
(8 ln(2)−3) u.v.)
23) Calcule a área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência x²+y²=4 e dentro da
circunferência x²+y²=4x. (A = 2
π
3
+√3 u.a.) 
Áreas de regiões = f x , y 
24) Ache a área do paraboloide z = x²+y² cortado pelo plano z=1.
 (A=
π
6
(53 /2−1) u.a.)
25) Determine a área da parte da superfície z=√4−x ² que está acima da região retangular D no
plano xy com 0≤x≤1 e 0≤ y≤4 .
 (A=
4
3
π u.a., Jaine M Fernandes de Oliveira)
26) Determine a área da superfície da parte de cima do paraboloide z=y²-x² que está entre os cilindros
x²+y²=1 e x²+y²=4.
(A= 
π
6
(173 /2−53/2) u.a.)
27) Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da catenária y=acosh  x /a de
x = 0 até x = a, em torno do eixo x. (A= 92 u.a.)
28) Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo y da curva y=3√ x ,0≤x≤1 .
(A= 
π
27
(√1000−1) u.a.)