AULA 6 - Tensões e Deformações

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Professor:
Felipe Quevedo
PORTO ALEGRE, 2021
1
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
2
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
3
HISTÓRICO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://www.estudopratico.com.br/ferramentas-na-pre-historia/
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_do_Gard#/media/Ficheiro:Pont_du_Gard_BLS.jpg
Desde a pré-história o homem tem 
contato com a dureza dos materiais 
na criação de ferramentas.
HISTÓRICO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://www.estudopratico.com.br/ferramentas-na-pre-historia/
https://fei.edu.br/sites/sicfei/2017/eng-mecanica/SICFEI_2017_paper_47.pdf
A agricultura trouxe mais 
necessidade de criar 
ferramentas e construção 
de abrigos.
HISTÓRICO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://www.smithsonianmag.com/smart-news/simple-trick-may-have-helped-egyptians-build-pyramids-no-ancient-aliens-needed-180951317/
https://slideplayer.es/slide/12127982/
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_do_Gard#/media/Ficheiro:Pont_du_Gard_BLS.jpg
Egípcios Romanos
Desenvolvimento de grandes civilizações:
HISTÓRICO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Porém, como ciência tem-se 
início nos trabalhos de Galileu 
(1564-1642)
https://kaiohdutra.wordpress.com/2011/01/16/a-historia-da-resistencia/
Até o século XVII: se construía exclusivamente 
com base em obras de referência e regras 
empíricas.
Galileu foi o primeiro a tentar explicar o 
comportamento de alguns elementos estruturais 
submetidos a cargas segundo uma base racional. 
Aplicando o método científico.
https://civil.lindahall.org/strength.shtml
HISTÓRICO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
h
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s:
//
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t%
C
3
%
A
D
fi
co
A partir de Galileu houve uma série de contribuições que levaram a resistência 
dos materiais ao nível atual.
HISTÓRICO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
11
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Em todas as construções de engenharia, às partes de uma estrutura 
devem ser atribuída dimensões físicas definidas, de forma que resistam 
às cargas que atuarão sobre as mesmas. Deve-se garantir:
Estabilidade: a estrutura deve satisfazer as 
equações de equilíbrio estático tendo todos 
seus movimentos de corpo rígido impedidos.
Resistência: o material deve resistir ao estado 
de tensões gerado pelas cargas atuantes.
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Rigidez: a estrutura não deve apresentar 
deformações excessivas.
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Durabilidade: manter suas propriedades ao 
longo do tempo em um dado ambiente.
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Resistência: que não rompa
Rigidez: que não deforme excessivamente
Estabilidade: que não seja instável
Durabilidade: que não se deteriore no ambiente
Em resumo:
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://ingenieroantonioleon.blogspot.com/2015/12/cuando-las-estructuras-caen-puente-en.html
Ex: Resistência
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/10307/1/PDF-%20Deividy%20Lem%20Mac%C3%AAdo%20da%20Rocha%20Calixto.pdf
https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/11720/1/GP_COECI_2018-2_02.pdf
https://www.scielo.br/j/riem/a/JfSLbYxSwghDbwRKLFg9gkF/?lang=pt#
Ex: Resistência
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://www.passeidireto.com/arquivo/47078919/flechas-concreto-2
Ex: Rigidez - Deformações excessivas
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://inspecaoequipto.blogspot.com/2014/01/caso-056-o-tragico-fim-da-challenger.html
Ex: Resistência
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://inspecaoequipto.blogspot.com/2014/01/caso-056-o-tragico-fim-da-challenger.html
Ex: Resistência
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
https://www.nucleodoconhecimento.com.br/engenharia-civil/recuperacao-de-estruturas
https://www.risoengenharia.com.br/corrosao-de-armaduras/
Ex: Durabilidade
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Na primeira parte da disciplina estudamos basicamente a Estabilidade, 
obtendo as solicitações que eram necessárias para garantir o equilíbrio 
estático interno das seções. Mas não pensamos no efeito das solicitações 
nos materiais, e não nos questionamos se os elementos eram capazes de 
resistir a elas.
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Resistência: que não rompa
Rigidez: que não deforme excessivamente
Estabilidade: que não seja instável
Durabilidade: que não se deteriore no ambiente
Em resumo:
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AREA 2 e 3
A partir de agora, estudaremos as forças internas em maiores 
detalhes, e sua real distribuição ao longo de toda a seção. Para 
tanto, inicialmente veremos os conceitos de tensão e deformação.
OBJETIVO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
26
Pense o seguinte experimento:
Ambas barras estão sobre a 
mesma solicitação normal P. 
Porém, a experiência mostra que 
a primeira barra irá romper antes!
CONCEITO DE TENSÕES
Dessa forma, as solicitações não
são um parâmetro eficiente para a 
determinação da resistência do 
elemento.
A mesma solicitação e uma
rompeu antes?
CONCEITO DE TENSÕES
Apesar de representarmos
as solicitações como forças
no baricentro de cada seção
transversal da peça...
...as forças internas estão, 
na realidade, distribuídas
por toda a área da seção 
transversal.
CONCEITO DE TENSÕES
...e dessa forma, a intensidade das
forças internas por unidade de
área parece ser um parâmetro
melhor pra analisar a resistência
da peça.
CONCEITO DE TENSÕES
Este parâmetro damos o nome de 
tensão.
CONCEITO DE TENSÕES
Novamente, vamos analisar um corpo genérico em equilíbrio:
Seção
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 25
CONCEITO DE TENSÕES
Para solicitações fizemos:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 26
CONCEITO DE TENSÕES
Agora para as TENSÕES vamos fazer o seguinte:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 40
CONCEITO DE TENSÕES
Tensão 
Normal
Tensão 
Cisalhante
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
...pegando apenas a componentenormal, vamos definir:
CONCEITO DE TENSÕES
Tensão 
Normal
Tensão 
CisalhantePerceba que ao reduzir a
área, a força também se reduz
e a relação entre força e área
tende a um valor finito!
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
Tensão 
Normal
Tensão 
CisalhantePerceba também que o valor 
da tensão varia ao longo da 
seção!
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
Tensão 
Tangencial
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
...de forma análoga a componente normal, podemos também definir para 
as componentes tangenciais ao plano:
CONCEITO DE TENSÕES
z
Tensão normal na direção z
Os índices são dados assim:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
zx
Tensão tangencial que atua no 
plano normal a direção z e 
que aponta na direção x
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
zy
Tensão tangencial que atua no 
plano normal a direção z e 
que aponta na direção y
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
Agora, cortando em um plano perpendicular a direção y tem-se:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 40
CONCEITO DE TENSÕES
...e cortando em um plano perpendicular a direção x:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 40
CONCEITO DE TENSÕES
Dessa forma, para os três planos ortogonais:
n
Tensão normal na direção n
ji
Tensão tangencial que atua no 
plano normal a direção i e 
aponta na direção j
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
Esse conjunto de tensões 
definem o estado de tensões em 
um dado ponto do material.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
...por equilíbrio tem-se que as 
tensões normais em planos 
opostos tem o mesmo módulo.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
...também por equilíbrio, tem-se
que as tensões tangenciais em faces
contíguas tem mesmo módulo e
apontam ou se afastam da aresta.
Isso é conhecido como o
princípio de reciprocidade das
tensões tangenciais.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
CONCEITO DE TENSÕES
( ) ( ) 0o z xy yxM dy dz dx dx dz dy =   −   =
( ) 0o z xy yxM dx dy dz =  − =
xy yx =
Por exemplo, deduzindo esse princípio da reciprocidade por equilíbrio:
CONCEITO DE TENSÕES
...representamos o estado de tensões 
de um ponto pelo que chamamos de 
tensor de tensões:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 41
Agrupando essas tensões:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  
   
  
 
 


 
= 

...esse tensor também é conhecido 
como tensor de tensão de Cauchy.
CONCEITO DE TENSÕES
Devido ao principio da reciprocidade das tensões tangenciais ele é um 
tensor simétrico:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  
   
  
 
 


 
= 
SYM
princípio de reciprocidade das tensões 
tangenciais
Apenas 6 componentes 
independentes!
xy yx
xz zx
yz zy
 
 
 
=
=
=
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 535
CONCEITO DE TENSÕES
Convenção de sinais:
Faces positivas
Primeiro define-se faces positivas
como sendo aquelas cujo vetor
normal aponta na direção positiva
do eixo. E negativa as demais
faces.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 535
CONCEITO DE TENSÕES
Faces positivas
Tensão agindo em face positiva é
positiva se age na direção positiva de
um eixo. E negativa se age na direção
negativa de um eixo.
Tensão agindo em face negativa é
positiva se age na direção negativa
de um eixo. E negativa se age na
direção positiva de um eixo.
Convenção de sinais:
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials. 10ed. p. 534-535
CONCEITO DE TENSÕES
Sinais positivos:
CONCEITO DE TENSÕES
Perceba que a unidades das tensões é semelhante a das pressões 
pois corresponde a Força/Área.
: / ²SI Pa N m=
3
6
5
 (10 )
 (10 )
/ ² (~10 )
kPa Pa
MPa Pa
kgf cm Pa
Comum também usar:
CONCEITO DE TENSÕES
Contudo, pressões são oriundas de cargas externas distribuídas pela
superfície do corpo, ao passo que as tensões se originam de forças
internas, no interior do corpo.
Perceba também que poderia ser pego outros planos para determinar as
componentes de tensões além dos planos alinhados com os eixos
cartesianos. Nesse caso, teríamos valores diferentes para as componentes
do tensor.
Dessa forma, os valores das componentes do tensor de tensões dependem
da orientação a que se refere. Contudo, ainda teríamos o mesmo estado
de tensões!
CONCEITO DE TENSÕES
Em outra aula veremos as transformações do tensor de tensões para ter 
suas componentes em qualquer orientação.
Além disso, veremos que a tensão é um parâmetro chave para a
determinação da resistência do material...
...pode-se prever falha ou ruptura para um dado material em situações de
geometria e carregamentos complexos a partir da comparação entre o
estado de tensões que leva a falha ou ruptura em ensaios simples do
mesmo material.
CONCEITO DE TENSÕES
...o estudo do estado de tensões durante a falha em ensaios de corpos de 
prova do material levará os engenheiros a desenvolver os critérios de falha 
ou teorias de resistência.
Estado de tensões 
em uma situação 
complexa
Estado de tensões que 
leva a um dado limite 
obtido a partir de 
ensaios
Em projetos (seja dimensionamento ou verificação) no fundo estamos 
comparando:
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
57
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES
Quando um corpo é submetido a um sistema de forças, os pontos materiais
que o constituem sofrem deslocamentos. A rigor, se trata de uma
transformação geométrica que leva os pontos do corpo a uma nova
configuração no espaço.
Se esses deslocamentos são tais que a distância relativa entre dois pontos
quaisquer deste corpo permaneça inalterada, dizemos que o corpo
apresenta movimento de corpo rígido (deformações nulas).
Por outro lado, quando há mudança na distância relativa entre os pontos,
dizemos que o corpo sofreu deformações.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES
Em determinadas situações os deslocamentos são tão pequenos que podemos 
desprezá-los e assumir o corpo na sua posição indeformada.
Esse é o caso que assumimos durante o cálculo das reações externas e
solicitações internas que fizemos na primeira área. Perceba que adotamos
a configuração inicial do corpo na determinação dessas quantidades.
Porém o corpo se desloca ao aplicar cargas e muda sua configuração...
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES
...a posição da carga e a distribuição das
solicitações podem ser afetadas pelos
deslocamentos, fazendo com que a hipótese
de pequenos deslocamentos não se aplique
para determinar reações e solicitações.
Esse efeito é relevante em estruturas que
sofrem grandes deslocamentos. Dizemos
que a estrutura tem uma não-linearidade
geométrica.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES
Porém para determinar reações e
solicitações continuaremos adotando a
hipótese de pequenos deslocamentos.
E vamos estudar as deformações no
interior da estrutura e relacionar essas
deformações com as tensões.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES
Note que após aplicar a carga a linha
vertical se alongou, a horizontal
encurtou e a inclinada mudou tanto
seu comprimento como orientação.
Veja o seguinte ensaio de uma membrana de borracha:
Como descrever a 
deformação?
Configuração de referência Configuração deformada
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 65
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões4) Conceito de deformações
1) Deformação normal
2) Deformação tangencial
3) Componentes cartesianas
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
O QUE SERÁ APRESENTADO?
63
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
Imagine a seguinte transformação no corpo:
Os pontos A e B 
deslocam-se para a nova 
configuração A’ e B’.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
...o segmento de reta AB
orientado na direção n de 
comprimento Δs torna-se 
curvo de comprimento Δs’
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
'
med
s s
s

 −
=

Definimos então a 
deformação normal 
média na direção n:
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
Por exemplo, uma barra tracionada:
0
0 0
med
L L L
L L

−
=

=
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
F F
Essa é a deformação normal 
média na direção longitudinal. 
Chamamos apenas deformação 
longitudinal.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
0
0 0
Lmed
L L L
L L
 =
− 
= =
F F
Positivo se alongar.
Negativo se encurtar.
0
0 0
med
L L L
L L

−
=

=
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
F F
Veja que pelo sinal de ∆𝐿:
Note também que a unidade da
deformação é adimensional.
...e muitas vezes nos referimos as
deformações como deformações
específicas (já que se refere ao
comprimento por unidade de
comprimento).
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
0
0 0
Lmed
L L L
L L
 =
− 
= =
F F
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
0
0 0
Lmed
L L L
L L
 =
− 
= =
Além disso, a experiência mostra que
há um encurtamento na direção
transversal da peça.
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
F F
...que podemos definir como 
a deformação normal média 
na direção transversal:
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
0
0 0
T
D D D
D D

−
=

=
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
F F
A deformação transversal
está relacionada com a
deformação longitudinal
através do coeficiente de
Poisson.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
T L = −
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
0
0 0
T
D D D
D D

−
=

=
F F
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
O sinal negativo 
indica o sentido 
contrário entre as 
duas deformações.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 102
T L = −
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
0
'
lim
s
s s
s

 →
 −
=

Bom, vimos a deformação normal média, porém,
...tornando o ponto B 
cada vez mais próximo do 
ponto A tem-se:
Essa é a deformação 
normal no ponto A
orientada ao longo da 
direção n
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
0
'
lim
s
s s
s

 →
 −
=

Se B estiver muito próximo 
de A, temos que A’B’ 
também é um segmento de 
reta, muito embora possa 
ter comprimento diferente 
de AB.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
0
'
lim
s
s s
s

 →
 −
=

Se o comprimento de A’B’ 
e AB forem iguais, a 
deformação normal no 
ponto A na direção n é 
nula.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
0
'
lim
s
s s
s

 →
 −
=

Perceba também que a 
deformação depende da 
posição do ponto e da 
direção n que se escolhe!
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO NORMAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 66
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
1) Deformação normal
2) Deformação tangencial
3) Componentes cartesianas
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
O QUE SERÁ APRESENTADO?
79
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Porém apenas a definição 
de deformação normal, 
não capta a distorção. 
Durante a transformação 
geométrica os ângulos 
entre duas retas podem 
não ser preservados. 
Configuração de referência Configuração deformada
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Apenas o caso especial
de uma transformação
homotética preserva os
ângulos.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
...define-se a deformação 
tangencial (ou distorção) 
como uma medida da 
mudança de ângulo entre 
dois segmentos de retas 
perpendiculares entre si.
Para levar em conta a distorção:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 67
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
...esse ângulo é indicado por γ
e é medido em radianos (rad).
A deformação tangencial é a
tangente desse ângulo, a qual
coincide com o próprio γ para
ângulos pequenos.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Isso ocorre quando se tem 
a hipótese de pequenas 
deformações.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 67
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
, '
2
nt med

 = −
...pegando os pontos C e 
B, a distorção média 
entre as direções n e t é 
definida:
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 67
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
0
0
l m '
2
i
AC
AB
nt s
s

 
 →
 →
= −
...tomando os pontos B e 
C cada vez mais próximo 
de A:
Essa é a distorção (ou
deformação tangencial)
no ponto A entre as
direções n e t
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 67
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
0
0
l m '
2
i
AC
AB
nt s
s

 
 →
 →
= −
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – DEFORMAÇÃO TANGENCIAL
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 67
Perceba também que essa 
deformação depende da 
posição do ponto e da 
direção n e t que se escolhe!
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
1) Deformação normal
2) Deformação tangencial
3) Componentes cartesianas
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
O QUE SERÁ APRESENTADO?
87
A ideia agora é aplicar o conceito de deformações normais 
e tangenciais em três direções ortogonais e obter o estado 
de deformações em um dado ponto.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
Configuração 
deformada
Imagine o seguinte cubo,
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 68
Configuração de 
referência
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
zz z + 
2
zy

−
...após a transformação terão dimensões: 
...e a mudança de ângulo entre as duas arestas será dada por: 
Considerando apenas as 
arestas Δz e Δy,
zy y + 
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 68
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
Configuração de 
referência
Configuração 
deformada
Considerando todas 
as outras arestas:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 68
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
...dessa forma, o estado de deformação em um ponto também é representado
por um tensor:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  
   
  
 
 


 
= 

Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 68Configuração 
deformada
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  
   
  
 
 


 
= 

Tal como o tensor de tensões, o tensor de 
deformações também é simétrico.
É conhecido como tensor de deformações 
de Green-Lagrange linearizado ou tensor de 
deformações infinitesimais.
Linearizado pois assumimos pequenas 
deformações.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  
   
  
 
 


 
= 

Essa hipótese de pequenas deformações faz 
com que as componentes desse tensor 
sejam muito menores que a unidade.
1ij 
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  
   
  
 
 


 
= 

As deformações normais (que ficam na 
diagonal principal) são responsáveis pela 
mudança de volume do elemento e estão 
relacionadas com as tensões normais.
E as deformações tangenciais (que estão 
fora da diagonal principal) são responsáveis 
pela mudança de forma do elemento e 
estão relacionadas com as tensões 
tangenciais.
Veremos no próximo tópico que:
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
Convenção de sinal para deformações tangenciais:
A deformação tangencial é positiva 
quando o ângulo entre duas faces se 
reduz.
...e é negativa quando o ângulo entre 
duas faces aumenta.
CONCEITO DE DEFORMAÇÕES – COMPONENTES CARTESIANAS
J. M. Gere; B. J. Goodno (2018). Mechanics of Material, SI Edition. 8ed. p. 60
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos
O QUE SERÁ APRESENTADO?
98
Em 1796 Robert Hooke,
um cientista inglês que
fazia experiência com
molas e se deu conta que
a força variava com a
extensão.
LEI DE HOOK
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm
Fazendo um ensaio de tração/compressão uniaxial de um material, dentro de um 
certo limite de carga, observa-se:
0
L
F
A
 =
0
L
L
L
 =

L
L cte


=
LEI DE HOOK
Configuração
Referência
Configuração
Deformada
F F
0A
De forma análoga, fazendo um ensaio de cisalhamento de um material, dentro 
de um certo limite de carga, observa-se:
0
F
A
 =
2

 = −
LEI DE HOOK
FConfiguração
Referência
Configuração
Deformada
0A
cte


=
...dentro de determinado limite, 
as tensões e deformações são 
proporcionais. E a constante de 
proporcionalidade depende do 
material e as chamamos de:
te Gc


= =
cte E


= =
LEI DE HOOK
Portanto:
E – módulo de Young ou módulo 
de elasticidade longitudinal.
G – módulo de Coulomb, módulo 
de elasticidade transversal, ou 
ainda, módulo de cisalhamento.
Para tensões e deformações 
normais
G =
E =
Para tensões e deformações 
tangenciais
Dessa forma, tem-se o que chamamos de Lei de Hook:
LEI DE HOOK
G =
E =
LEI DE HOOK
...os módulos de elasticidade 
longitudinal e transversal 
têm a mesma unidade das 
tensões, ou seja, N/m² (Pa)
...como as deformações são adimensionais:
LEI DE HOOK
Como veremos adiante, o módulo de elasticidade longitudinal pode ser 
obtido através de um ensaio de tração ou compressão.
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials SI Edition. 8ed. p. 39
1
E
LEI DE HOOK
E, como veremos adiante, o módulo de elasticidade transversal pode ser
obtido através de um ensaio de torção de uma peça cilíndrica. Ou ainda
através de uma relação com o módulo de elasticidade longitudinal e o
coeficiente de Poisson.
https://essel.com.br/cursos/material/01/EnsaioMateriais/ensa10.pdf
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
107
LEI DE HOOK GENERALIZADA
x
E

y
E

−
z
E

−
y
E

x
E

−
z
E

− z
E

x
E

−
y
E

−y

x
z
Deformação 
causada pela 
tensão em cada 
direção
Tensão 
aplicada
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
x y z
LEI DE HOOK GENERALIZADA
x
E

y
E

−
z
E

−
y
E

x
E

−
z
E

− z
E

x
E

−
y
E

−y

x
z
Deformação 
causada pela 
tensão em cada 
direção
Tensão 
aplicada
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
x y z
LEI DE HOOK GENERALIZADA
x
E

y
E

−
z
E

−
y
E

x
E

−
z
E

− z
E

x
E

−
y
E

−y

x
z
Deformação 
causada pela 
tensão em cada 
direção
Tensão 
aplicada
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
x y z
LEI DE HOOK GENERALIZADA
x
E

y
E

−
z
E

−
y
E

x
E

−
z
E

− z
E

x
E

−
y
E

−y

x
z
Deformação 
causada pela 
tensão em cada 
direção
Tensão 
aplicada
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
x y z
LEI DE HOOK GENERALIZADA
x
E

y
E

−
z
E

−
y
E

x
E

−
z
E

− z
E

x
E

−
y
E

−y

x
z
Deformação 
causada pela 
tensão em cada 
direção
Tensão 
aplicada
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
x y z
LEI DE HOOK GENERALIZADA
x
E

y
E

−
z
E

−
y
E

x
E

−
z
E

− z
E

x
E

−
y
E

−y

x
z
Deformação 
causada pela 
tensão em cada 
direção
Tensão 
aplicada
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
x y z
LEI DE HOOK GENERALIZADA
...colocando módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson em 
evidência, para as deformações normais tem-se:
( )
1
x x y z
E
     = − +
 
( )
1
y x zy
E
     = − + 
( )
1
z x yz
E
     = − +
 
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials SI Edition. 8ed. p. 650
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 535
LEI DE HOOK GENERALIZADA
Isolando as tensões, é possível ter a relação inversa:
( )(
(1 )
1
(1
)
2 )
x x y z
E
     
 
 = +− +
 + −
( )(
(1 )
1
(1
)
2 )
y y zx
E
     
 
 = +− + + −
( )(
(1 )
1
(1
)
2 )
z z yx
E
     
 
 = +− +
 + −
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
LEI DE HOOK GENERALIZADA
xy
xy
G

 =
yz
yz
G

 = xzxz
G

 =
Para as componentes tangenciais tem-se apenas:
Colocando as componentes no arranjo tensorial, para o tensor de deformações:
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
LEI DE HOOK GENERALIZADA
( )
1
x x y z
E
     = − +
 
( )
1
y x zy
E
     = − + 
( )
1
z x yz
E
     = − +
 
xy
xy
G

 =
yz
yz
G

 =
xz
xz
G

 =SYM
SYM SYM
 =
...fazendo o mesmo para o tensor de tensões:
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
LEI DE HOOK GENERALIZADA
xy xyG = yz yzG =
xz xzG =
( )(
(1 )
1
(1
)
2 )
x x y z
E
     
 
 = +− +
 + −
( )(
(1 )
1
(1
)
2 )
y y zx
E
     
 
 = +− + + −
( )(
(1 )
1
(1
)
2 )
z z yx
E
     
 
 = +− +
 + −
SYM
SYM SYM
 =
LEI DE HOOK GENERALIZADA
Essa lei de Hook Generalizada é válida para:
- Material Homogêneo
- Material Isotrópico (propriedades não dependem da direção)
- Regime elástico-linear- Pequenas deformações
- Evolução isotérmica (sem variação da temperatura)
- Material sem envelhecimento
- Carregamento quase-estático
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
1) Estado uniaxial de tensões
2) Estado de cisalhamento puro
3) Estado plano de tensões
4) Estado plano de deformações
5) Estado hidrostático de tensões
O QUE SERÁ APRESENTADO?
120
A ideia é determinar as componentes do tensor de tensões e 
deformações dado algumas situações específicas. Ou seja, 
particularizar.
CASOS ESPECIAIS DA LEI DE HOOK GENERALIZADA
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
1) Estado uniaxial de tensões
2) Estado de cisalhamento puro
3) Estado plano de tensões
4) Estado plano de deformações
5) Estado hidrostático de tensões
O QUE SERÁ APRESENTADO?
122
CASOS ESPECIAIS – ESTADO UNIAXIAL DE TENSÕES
x xE =
0y =
0xy =
0yz =
0xz =
0z =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO UNIAXIAL DE TENSÕES
Para o tensor de tensões:
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
x xE =
0y =
0xy =
0yz =
0xz =
0z =
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO UNIAXIAL DE TENSÕES
Para o tensor de deformações:
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
x
x
E

 =
x
y
E

 = −
0xy =
0yz =
0xz =
x
z
E

 = −
SYM
SYM SYM
 =
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
1) Estado uniaxial de tensões
2) Estado de cisalhamento puro
3) Estado plano de tensões
4) Estado plano de deformações
5) Estado hidrostático de tensões
O QUE SERÁ APRESENTADO?
126
CASOS ESPECIAIS – ESTADO CISALHAMENTO PURO
0x =
0y =
xy xyG =
0yz =
0xz =
0z =
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
0x =
0y =
xy xyG =
0yz =
0xz =
0z =
Para o tensor de tensões:
CASOS ESPECIAIS – ESTADO CISALHAMENTO PURO
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO CISALHAMENTO PURO
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
0x =
0y =
xy
xy
G

 =
0yz =
0xz =
0z =
Para o tensor de deformações:
SYM
SYM SYM
 =
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
1) Estado uniaxial de tensões
2) Estado de cisalhamento puro
3) Estado plano de tensões
4) Estado plano de deformações
5) Estado hidrostático de tensões
O QUE SERÁ APRESENTADO?
130
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
0z =
0yz =
0xz =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
2(1 )
x x y
E
  

 = + −
0z =
2(1 )
y y x
E
  

 = + −
xy xyG =
0yz =
0xz =
Para o tensor de tensões:
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
1
x x y
E
   = − 
1
yy x
E
   = − 
( )
1
z x y
E
    = − +
 
xy
xy
G

 =
0yz =
0xz =
Para o tensor de deformações:
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
1
x x y
E
   = − 
1
yy x
E
   = − 
( )
1
z x y
E
    = − +
 
xy
xy
G

 =
0yz =
0xz =
Para o tensor de deformações:
SYM
SYM SYM
 =
Embora em EPT não haja 
tensões na direção z, há 
deformações em z. 
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
1) Estado uniaxial de tensões
2) Estado de cisalhamento puro
3) Estado plano de tensões
4) Estado plano de deformações
5) Estado hidrostático de tensões
O QUE SERÁ APRESENTADO?
135
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
0z =
0yz =
0xz =
Eixo z é uma dimensão infinita.
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
1
x x y
E
   = − 
1
yy x
E
   = − 
0z =
xy
xy
G

 =
0yz =
0xz =
Para o tensor de deformações:
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
xy xyG =
0yz =
0xz =
( )z x y   = +
)
( )
(1 ) 1
1
( 2
x x y
E
   
 
 = +
+
− −
)
( )
(1 ) 1
1
( 2
y y x
E
   
 
 = +
+
− −
Para o tensor de tensões:
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
xy xyG =
0yz =
0xz =
( )z x y   = +
)
( )
(1 ) 1
1
( 2
x x y
E
   
 
 = +
+
− −
)
( )
(1 ) 1
1
( 2
y y x
E
   
 
 = +
+
− −
Para o tensor de tensões:
SYM
SYM SYM
 =
Embora em EPD não haja 
deformações na direção z, 
há tensões em z. 
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
1) Estado uniaxial de tensões
2) Estado de cisalhamento puro
3) Estado plano de tensões
4) Estado plano de deformações
5) Estado hidrostático de tensões
O QUE SERÁ APRESENTADO?
140
CASOS ESPECIAIS – ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES
x p = −
y p = −
z p = −
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
0xy =
0yz =
0xz =
z p = −
x p = −
y p = −
Para o tensor de tensões:
SYM
SYM SYM
 =
CASOS ESPECIAIS – ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES
Gere J. M.; Goodno B. J. (2012). Mechanics of Materials. 8ed. p. 650
0xy =
0yz =
0xz =
Para o tensor de deformações:
SYM
SYM SYM
 =
( )21
x p
E


−
= −
CASOS ESPECIAIS – ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES
( )21
y p
E


−
= −
( )21
z p
E


−
= −
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
144
RELAÇÃO ENTRE E, 𝜐 e G
2(1 )
E
G

=
+
As constantes E, 𝜐 e G, que descrevem as propriedades 
físicas de um material homogêneo, elástico linear e 
isotrópico estão relacionadas pela seguinte equação:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
146
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
0dV dxdydz=
(1 )(1 )(1 )x yzdV dxdydz  = + + +
0(1 )(1 )(1 )x y zdV dV  = + + +
Imagine o volume infinitesimal dV0 e após a deformação fica com o volume dV:
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
0V dV dV = −
0(1 )(1 )(1 ) 1x y zV dV   =   − + + +
0( )x y x x z z x y zz y y dV           + + + + + +=
Na hipótese de pequenas deformações, as parcelas 
de ordem superior podem ser desprezadas. Assim:
0 0)( x y z dV V edV   + + ==
Chamamos e de dilatação volumétrica específica.
x y ze   = + +
A variação do volume infinitesimal é dada por:
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
O valor de e representa a variação de volume 
específico, por unidade de volume específico inicial.
0
V
e
dV

=
0 0dV dV edV− =
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
0 0V V V eV− =  =
Se o estado de deformação/tensões for o mesmo em 
todos os pontos do corpo (estado de tensões 
homogêneo) tem-se:
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
x y ze   = + +
( )
1
x x y z
E
     = − +
 
( )
1
y x zy
E
     = − + 
( )
1
z x yz
E
     = − +
 
Para ter a expressão de e em função do estado de tensões:
SUBSITUIR
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
 
( )
( )
2
1 2
 
x y z x y z
x y z
e
E E
E
      

  
+ + + +
= −
−
= + +
Perceba que se 𝜈 é igual a 0,5 o material é incompressível: e = 0
Substituindo as deformações normais em função das tensões na expressão da dilatação 
volumétrica específica tem-se:
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
Agora imagine um estado de tensões hidrostáticas . Com isso tem-se:
1 2 1 2
( 3 )( )x y ze p
E E
 
  
−
=
−
= + + −
3(1 2 )
p E
K
e 
= − =
−
K é conhecido como módulo de
compressibilidade do material (bulk
modulus). E tem unidade de N/m².
Quanto maior o K mais difícil é
comprimir ou expandir o material.
x y z p  = = = −
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 108
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 536
2
( )
1 1 2
3x y ze p
E E
 
   = −
− −
= + +
3(1 2 )
p E
k
e 
= − =
−
Veja também que existe um limite máximo 
teórico para o coeficiente de Poisson que é
𝜈 = 0,5.
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
154
TENSÃO HIDROSTÁTICA E DESVIADORA
Como apenas as tensões normais são responsáveis pela variação do volume do material e
as tensões tangenciais responsáveis pela distorção muitas vezes é conveniente separar o
tensor de tensões em uma parcela hidrostática e uma parcela desviadora:
3
y zx
p
  + +
=
0 0
0 0
0 0
x xy xz
yx y yz
zx z
x xy xz
yx y yz
zxz yy z z
p p
p
p
p
p 
  
   
 
  
  
  
 
 
=  
 
 
 
 
 
 −
 
− 
 
+
    −
=
Tensor de tensão 
hidrostático
Tensor de tensão 
desviador
Chamamos p de componente hidrostática 
do tensor de tensões
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
156
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
São ensaios padronizados com corpos de prova padronizados para avaliar 
as características (propriedades) mecânicas dos materiais.
• Elasticidade
• Resiliência
• Limite de elasticidade
• Ductilidade
• Tenacidade
• Fluência
• Fadiga
• Dureza, Impacto...
Por exemplo, ensaio de tração:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 82
http://eng.sut.ac.th/me/2014/document/MachineDesign1/document/Ch_5_Slides_th.pdf
Corpo de
Prova
Medidor
de carga
Controle
do motor
Cabeçote
móvel
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
...o corpo de prova tem uma geometria padronizada e é composto do 
material que se deseja estudar. Por exemplo:
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 82
Corpo de prova
Extensômetro
Corpo de prova 
instrumentado
0 1/ 2 ''D =
0 2 ''L =
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
O ensaio é feito em condições quase-estáticas (a carga é aplicada de forma 
lenta e incremental). Isso evita efeitos inerciais e padroniza a resposta do 
material que pode ser dependente da velocidade de aplicação da carga.
Em geral o ensaio é feito a uma dada temperatura homogênea padronizada e 
sem variação ao longo do ensaio (condição isotérmica).
Para materiais porosos que dependem da água, a saturação e umidade da 
amostra é padronizada também.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 82
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
Durante o ensaio, os dados de carga vão sendo registrados ao mesmo tempo 
em que se mede o alongamento/encurtamento da peça (extensômetros ou 
leitura ótica de marcações).
Em alguns casos é medido a variação da seção transversal da peça ou ainda a 
variação de volume.
A partir da leitura, são calculados os valores de tensão e deformação e 
montado o que se chama diagrama tensão-deformação.
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 82
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
Há dois tipos básicos de diagramas tensão-deformação:
1) Diagrama tensão-deformação convencional (ou de engenharia)
2) Diagrama tensão-deformação real
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
0
P
A
 =
0
L
L


=
Tensão nominal ou Tensão de Engenharia:
Deformação nominal ou Deformação de Engenharia:
P = Carga total aplicada, em N (ou kN, MN, ...);
A0 = Área incial da seção transversal do corpo de prova, m² 
(ou cm², mm², ...);
Δ L = Alongamento do corpo de prova, em m (ou cm, mm, ...);
L0 = Comprimento inicial do corpo de prova, em m (ou cm, 
mm, ...);
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
Diagrama Tensão-Deformação Convencional
P
A
 =
L
L


=
Tensão de Real:
Deformação Real:
P = Carga total aplicada, em N (ou kN, MN, ...);
A = Área atualizada da seção transversal do corpo de prova, 
medida no instante em que o incremento de carga é 
aplicado;
Δ L = Alongamento do corpo de prova, em m (ou cm, mm, ...);
L = Comprimento atualizado do corpo de prova, medido no 
instante em que o incremento de carga é aplicado;
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
Diagrama Tensão-Deformação Real
CARACTERIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
Diagrama Tensão-Deformação Real
Considera no cálculo das tensões e 
deformações, a área e o comprimento 
atualizados durante o ensaio.
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Comportamento 
Elástico Comportamento Plástico
Limite de 
proporcionalidade
Limite elástico
Tensão 
última
Tensão de
Ruptura 
nominal
Tensão de
ruptura real
Diagrama 
realDiagrama 
convencional
p
r
u
'
r
Escoamento Endurecimento por deformação Estricção
H
ib
b
el
er
(2
0
1
1
).
 M
ech
an
ic
s
o
f
M
at
er
ia
ls
. 8
e
d
. p
. 8
3
1
E
 ou y e 
Tensão de escoamento 
(yield)
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Limite de 
proporcionalidade
Limite elástico
Tensão 
última
Tensão de
Ruptura 
nominal
Tensão de
ruptura real
Diagrama 
realDiagrama 
convencional
p
 ou y e 
r
u
Comportamento 
Elástico Comportamento Plástico
Escoamento Endurecimento por deformação Estricção
H
ib
b
el
er
(2
0
1
1
).
 M
ec
h
an
ic
s
o
f
M
at
er
ia
ls
. 8
e
d
. p
. 8
3
'
r
1
E
Tensão de escoamento 
(yield)
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Comportamento 
Elástico Comportamento Plástico
Limite de 
proporcionalidade
Limite elástico
Tensão 
última
Tensão de
Ruptura 
nominal
Tensão de
ruptura real
Diagrama 
realDiagrama 
convencional
p
r
u
Escoamento Endurecimento por deformação Estricção
H
ib
b
el
er
(2
0
1
1
).
 M
ec
h
an
ic
s
o
f
M
at
er
ia
ls
. 8
e
d
. p
. 8
3
Resiliência
'
r
 ou y e 
Tensão de escoamento 
(yield)
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Comportamento 
Elástico Comportamento Plástico
Limite de 
proporcionalidade
Tensão de escoamento 
(yield)
Limite elástico
Tensão 
última
Tensão de
Ruptura 
nominal
Tensão de
ruptura real
Diagrama 
realDiagrama 
convencional
p
r
u
'
r
Escoamento Endurecimento por deformação Estricção
H
ib
b
el
er
(2
0
1
1
).
 M
ec
h
an
ic
s
o
f
M
at
er
ia
ls
. 8
e
d
. p
. 8
3
Tenacidade
 ou y e 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Nem sempre o diagrama tensão-deformação 
apresenta todos esses estágios bem definidos.
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Para materiais que não apresentam 
patamar de escoamento se utiliza o 
método do desvio para estimar a 
tensão de escoamento.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 73
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 87
Ferro fundido, 
Concreto, Vidro, 
Cerâmica
Ouro, cobre, 
alumínio, aço
Material Dúctil Material Frágil
Grandes 
deformações 
plásticas até a 
ruptura
Pouca 
deformação 
plástica até a 
ruptura
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Hibbeler (2011). Mechanics of Materials. 8ed. p. 87
http://users.encs.concordia.ca/~mmedraj/mech321/lecture_8_fracture.pdf
Material Dúctil Material Frágil
Ferro fundido, 
Concreto, Vidro, 
Cerâmica
Ouro, cobre, 
alumínio, aço
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Material Dúctil Material Frágil
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 73
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
A ductilidade muitas vezes é desejada nos projetos de
engenharia, pois como envolve maiores deformações plásticas,
é como se a estrutura “avisasse” antes de romper.
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Algumas propriedades referentes a
plasticidade podem ser alteradas pela
inclusão de elementos de liga,
tratamento térmico e processos de
fabricação.
Veja que no exemplo ao lado há uma
diferença na ductilidade, tensão de
escoamento e resistência última.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 76
Contudo, o módulo de elasticidade é o 
mesmo para todos os aços.
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Quando se carrega o material além
do limite de escoamento (curva
ABC), e depois descarrega ele
segue uma trajetória de descarga
paralela a reta elástica (reta CD //
AB).
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 78
Deformação plástica residual
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
...quando se carrega novamente, o
material segue a reta DC // AB e inicia a
plastificação próxima ao ponto C.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 78
Deformação plástica residual
Dessa forma, pode-se notar que o limite
de escoamento ficou acima do ponto B.
Como se o material tivesse endurecido...
...contudo o ponto de ruptura permanece
o mesmo. Dessa forma, apesar da tensão
de escoamento estar maior, a ductilidade
é menor.
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
O material pode também ter
comportamentos diferentes a
compressão e a tração. No
exemplo ao lado, a compressão
é dúctil e a tração é frágil.
Compressão
Tração
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 123
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 825
Tabelas com compilados das
propriedades dos materiais podem
ser encontradas em diversos livros
de Resistência dos Materiais.
ABNT (2014). NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – procedimento.
Muitas vezes, nas normas de projeto,
definem os diagramas tensão-
deformação idealizados para serem
utilizados como hipóteses de
projeto.
Tensão-deformação de projeto para o concreto
Tensão-deformação de projeto para o aço
1) Histórico da resistência dos materiais
2) Objetivo da resistência dos materiais
3) Conceito de tensões
4) Conceito de deformações
5) Lei de Hook
6) Lei de Hook Generalizada
7) Casos Especiais da Lei de Hook
8) Relação entre módulo de Young, Coeficiente de Poisson e módulo transversal
9) Dilatação volumétrica
10) Decomposição do tensor em componente hidrostática e desviadora
11) Caracterização das propriedades mecânicas
12) Exemplos, Material Complementar e Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
182
EXEMPLO 1
O bloco de aço (E = 200 GPa e 𝜈=0,29) está
submetido a uma pressão uniforme em todas suas
faces. Sabendo que a variação do comprimento da
aresta AB é -0,03 mm, determine:
a) A deformação específica na direção da aresta 
AB;
b) A variação do comprimento das arestas 
paralelas a y e z;
c) A forma do tensor de tensões e deformações;
d) A pressão que causa essa deformação;
e) O módulo volumétrico do material;
f) A variação de volume da peça se a pressão for 
180 MPa.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 107
EXEMPLO 1
Coletando informações do enunciado:
EXEMPLO 1
a) A deformação específica na direção da aresta AB:
EXEMPLO 1
b) A variação do comprimento das arestas paralelas a y e z:
EXEMPLO 1
c) A forma do tensor de tensões e deformações :
EXEMPLO 1
d) A pressão que causa essa deformação :
EXEMPLO 1
e) O módulo volumétrico do material:
EXEMPLO 1
f) A variação de volume da peça se a pressão for 180 MPa:
EXEMPLO 2
Um bloco retangular de um material com módulo
de elasticidade transversal G = 620 Mpa é colado
entre duas placas rígidas horizontais. A placa
inferior é fixa e a superior é submetida a uma força
horizontal P. Sabendo que a placa superior se
desloca 1 mm, determine:
a) A deformação tangencial;
b) A tensão tangencial;
c) A carga P que causa esse deslocamento;
d) O tensor de tensões e deformações;
e) A variação de volume do material.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 112
EXEMPLO 2
Coletando informações do enunciado:
EXEMPLO 2
a) A deformação tangencial :
EXEMPLO 2
b) A tensão tangencial:
EXEMPLO 2
c) A carga P que causa esse deslocamento :
EXEMPLO 2
d) O tensor de tensões e deformações:
EXEMPLO 2
e) A variação de volume do material:
EXEMPLO 3
Um círculo de diâmetro de 220 mm é desenhado
em uma placa de alumínio livre de tensões de
espessura 19 mm. Forças atuando posteriormente
no plano da placa provocam tensões normais 𝜎𝑥 =
82 MPa e 𝜎𝑧 = 138 MPa. Para 𝐸 = 69 GPa e ν =
1/3 determine:
a) As deformações específicas na direção x, y e z;
b) A variação do diâmetro BA e CD do círculo;
c) A variação da espessura da peça;
d) A variação de volume;
e) O módulo de elasticidade transversal e o tensor 
de tensões e deformações.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 112
EXEMPLO 3
Coletando informações do enunciado:
EXEMPLO 3
a) deformações específicas na direção x, y e z :
EXEMPLO 3
a) deformações específicas na direção x, y e z :
EXEMPLO 3
a) deformações específicas na direção x, y e z :
EXEMPLO 3
a) deformações específicas na direção x, y e z :
EXEMPLO 3
b) A variação do diâmetro BA e CD do círculo :
EXEMPLO 3
c) A variação da espessura da peça :
EXEMPLO3
d) A variação de volume :
EXEMPLO 3
e) O módulo de elasticidade transversal e o tensor de tensões e deformações :
EXEMPLO 4
Um espécime de alumínio tem um diâmetro de 25
mm e um comprimento livre de 250 mm. Se uma
força de 165 kN o alonga de 1,20 mm, determine:
a) A deformação específica longitudinal, a tensão 
e se o regime do material (elástico ou plástico);
b) Determine a variação do diâmetro do 
espécime;
c) O tensor de tensões e deformações.
Considere 𝐺 = 26 GPa e 𝜎𝑦 = 440 MPa
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 128
EXEMPLO 4
Coletando informações do enunciado:
EXEMPLO 4
a) A deformação específica longitudinal, a tensão e se o regime do material:
EXEMPLO 4
b) Determine a variação do diâmetro do espécime :
EXEMPLO 4
c) O tensor de tensões e deformações :
EXEMPLO 5
Uma barra de alumínio tem uma seção circular e está sujeita a uma carga axial de 10
kN. Considerando a curva tensão-deformação e que 𝐸 = 70 GPa, determine o
incremento de comprimento da barra.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 118
EXEMPLO 5
Para as tensões em cada trecho tem-se.
EXEMPLO 5
A deformação longitudinal no trecho AB:
EXEMPLO 5
A deformação longitudinal no trecho BC:
EXEMPLO 5
O incremento de comprimento:
EXEMPLO 6
Uma barra é suportada por um pino em C e um tirante de aço A-36 AB em B. Se o
diâmetro do tirante é 5mm, determine o quanto ele alonga com a carga distribuída
na peça.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 121
EXEMPLO 6
EXEMPLO 6
EXEMPLO 6
EXEMPLO 6
EXEMPLO 6
EXEMPLO 7
Duas barras de treliça são feitas com poliestireno, que possui o diagrama tensão-
deformação ilustrado. Determina a área da seção transversal de cada barra para que
ambas rompam simultaneamente quando a carga atingir 13,5 kN. Despreze o efeito
de flambagem.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 123
EXEMPLO 7
EXEMPLO 7
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Entendendo o conceito de tensão-deformação (The Efficient Engineer):
https://www.youtube.com/watch?v=aQf6Q8t1FQE
Entendendo o módulo de Young (The Efficient Engineer):
https://www.youtube.com/watch?v=DLE-ieOVFjI
Entendendo o coeficiente de Poisson (The Efficient Engineer):
https://www.youtube.com/watch?v=tuOlM3P7ygA
Compreendendo Resistência, ductilidade e tenacidade (The Efficient Engineer):
https://www.youtube.com/watch?v=WSRqJdT2COE
Entendendo a tensão e deformação real (The Efficient Engineer):
https://www.youtube.com/watch?v=AkX6JqlWRqc
Explicando o tensor de tensões (Magic Marks):
https://www.youtube.com/watch?v=5yZNKGxe0H8
Introdução ao diagrama tensão-deformação (Magic Marks):
https://www.youtube.com/watch?v=5WZi7lCT1H4
https://www.youtube.com/watch?v=aQf6Q8t1FQE
https://www.youtube.com/watch?v=DLE-ieOVFjI
https://www.youtube.com/watch?v=tuOlM3P7ygA
https://www.youtube.com/watch?v=WSRqJdT2COE
https://www.youtube.com/watch?v=AkX6JqlWRqc
https://www.youtube.com/watch?v=5yZNKGxe0H8
https://www.youtube.com/watch?v=5WZi7lCT1H4
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Entendendo Estado plano de tensões (The Efficient Engineer):
https://youtu.be/78K0pbvHzjM
Estado Plano de Tensões e Deformações (Me Salva!):
https://youtu.be/Lym3h9JMjjg
Montando o tensor de tensões (Tudo Engenharia Civil)
https://youtu.be/DqOqkx4IhDI
Diagrama Tensão-Deformação e exemplo resolvido (Cintia Macedo de Lima)
https://youtu.be/495B2PiOdKI
Encontrando propriedades no gráfico Tensão-Deformação (Engenharia Raiz)
https://youtu.be/lJJN87YfQyw
Tensão-Deformação diferenças de comportamento Cerâmica, metais e polímeros (Science Club)
https://youtu.be/tkp-Vk2OW9E
https://youtu.be/78K0pbvHzjM
https://youtu.be/Lym3h9JMjjg
https://youtu.be/DqOqkx4IhDI
https://youtu.be/495B2PiOdKI
https://youtu.be/lJJN87YfQyw
https://youtu.be/tkp-Vk2OW9E
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
O que é deformação (Engenharia e Cia):
https://youtu.be/OT_jv9eubLU
Entendendo a ductilidade (Technoworks):
https://www.youtube.com/watch?v=WGH_f__3D20
Tensão-deformação (Real Engineering):
https://www.youtube.com/watch?v=BHZALtqAjeM
Curva tensão-deformação explicada com um teste de tração 
(Technoworks):
https://www.youtube.com/watch?v=RY9X_O8is-k
Prova de carga e determinação do ponto de escoamento em 
curvas que não apresentam patamar (Technoworks):
https://www.youtube.com/watch?v=ayl_YQh8b_c
Lei de Hook Generalizada (Engenharia e Cia):
https://youtu.be/QAkVCpFlZ0U
https://youtu.be/OT_jv9eubLU
https://www.youtube.com/watch?v=WGH_f__3D20
https://www.youtube.com/watch?v=BHZALtqAjeM
https://www.youtube.com/watch?v=RY9X_O8is-k
https://www.youtube.com/watch?v=ayl_YQh8b_c
https://youtu.be/QAkVCpFlZ0U
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Ensaio de tração – Aço (Gabriel Benedet Dutra):
https://www.youtube.com/watch?v=dysuEEH1k1Y
Ensaio de Cisalhamento (Telecurso 2000):
https://youtu.be/vLjP0WqV35s
Determinação da resistência à compressão do concreto (Canal USP): 
https://www.youtube.com/watch?v=7aE40Dj2gqI
Ensaio de tração (MaterialsScience2000):
https://youtu.be/D8U4G5kcpcM
Ensaio de tração e cálculo da tensão (Telecurso 2000):
https://www.youtube.com/watch?v=VTNwWTK98sw
Ensaio de tração e propriedades mecânicas (Telecurso 2000)
https://www.youtube.com/watch?v=6JENBM7u_i8
Ensaio de tração (Materials Life)
https://www.youtube.com/watch?v=nYg9H5tG4-I&t
https://www.youtube.com/watch?v=dysuEEH1k1Y
https://youtu.be/vLjP0WqV35s
https://www.youtube.com/watch?v=7aE40Dj2gqI
https://youtu.be/D8U4G5kcpcM
https://www.youtube.com/watch?v=VTNwWTK98sw
https://www.youtube.com/watch?v=6JENBM7u_i8
https://www.youtube.com/watch?v=nYg9H5tG4-I&t
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Ensaio de compressão no concreto (Carlos Arteta):
https://www.youtube.com/watch?v=c7U91LbKFjI
Teste te tração e o diagrama tensão-deformação (Universidad EAFIT):
https://www.youtube.com/watch?v=TdRDOmdTRPs
Teste de tração (Canal Engineers Academy)
https://www.youtube.com/watch?v=kSbgHLXRMZ0
Teste de tração (Canal Instron)
https://www.youtube.com/watch?v=FpO2KImasNo
https://www.youtube.com/watch?v=c7U91LbKFjI
https://www.youtube.com/watch?v=TdRDOmdTRPs
https://www.youtube.com/watch?v=kSbgHLXRMZ0
https://www.youtube.com/watch?v=FpO2KImasNo
EXERCÍCIOS
Philpot - 2017 - Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4.ed
Example 3.1, Exemple 3.2, Exemplo 3.3 (p. 57-60)
P3.1, P3.2, P3.3, P.3.4, P3.5, P3.6, P3.7, P3.8, P3.9, P3.10, P3.11, P3.13, P3.14, P3.16, P3.17 (p. 61-64)
Example 13.10 (p. 575)
Example 13.11 (p. 579)
P13.31, P13.32, P.13.33, P13.34, P13.35, P13.36, P13.37, P13.39, P13.53, P.13,54, P13.55, P.13.60, P13,61, P13.62, 
P13.65, P13.66, P13.67, P13.68 (p. 580-584)
Hibbeler - 2017 - Mechanics of Materials in SI Units - 10th Ed
Example 3.1, Example 3.2, Example 3.3 (p. 115-118)
F3-1, F3-2, F3-3, F3-4, F3-5, F3-7, F3-7, F3-8, F3-9, F3-10, F3-11, F3-12 (p. 119)
3-4, 3-8, 3-6, 3-7, 3-8, 3-9, 3-10, 3-11, 3-12, 3-13, 3-14, 3-15, 3-16, 3-17, 3-18, 3-19, 3-20, 3-21, 3-22, 3-23, 3-24 (p. 120-123)
Example 3.4 (p. 125)
Example 3.5, 3.6 (p. 125-128)
F3-13, F3-14, F3-15, F3-16 (p. 132)
3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30, 3.31 (p.133-134)
R3-1, R3-2, R3-3, R3-4, R3-5, R3-6, R3-7, R3-8, R3-9, R3-10 (p. 138-139)
Example 10.10, 10.11 (p. 540-541)
10-30, 10-32, 10-33, 10-34, 10-37, 10-39,10-39, 10-52 (p. 542-545)
R10-1, R10-2 (p. 560)
EXERCÍCIOS
Kim, Sankar e Bhavani - 2008 - Introduction to Finite Element Analysis and Design
EXERCISE: 17, 19, 20, 27, 28, 29 (p. 55-53)
Masuero - Apostila - Introducao a Mecanica Estrutural
Exemplo 1 (p. 147), Exemplo 2 (p. 148) 
Beer - 2008 - Mecanica dos Materiais. 5ed
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21 (p. 85-87)
Exemplo 2.8 e 2.9 (p.107, p. 109)
Exemplo 2.10 (p. 112)
Problema Resolvido 2.5 (p. 118)
2.61, 2.62, 2.63, 2.65, 2.66, 2.69, 2.70, 2.71, 2.72, 2.73, 2.74, 2.75, 2.77, 2.78, 2.83, 2.84, 2.85 (p. 119-123)
Leia a Revisãoe Resumo do Capítulo 2 (p. 141)
2.124, 2.126, 2.127, (p. 147)
Sample Problem 2.4, 2.5, 2.6 (p .49-51)
2.28, 2.29, 2.30, 2.31, 2.32, 2.34, 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.39, 2.40 (p. 52-53)
Pytel e Kiusalaas - 2012 - Mechanics of Materials. 2ed
EXERCÍCIOS
Popov - 1990 - Engineering Mechanics of Solids
Example 2-6 (p. 83)
2-30 (p.132)
Example 3.1 (p. 141)
3-3, 3-4, 3-5, 3-6, (p. 171)
Hibbeler - 2010 - Resistencia dos Materiais. 7ed
Example 2-2 Exemplo 2.3, Example 2.4 (p. 50-52)
2.2, 2.3, 2.7, 2.12, 2.13, 2.14, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23, 2.29 (p. 52-55) 
Leia os Pontos Importantes (p. 65)
Exemplo 3.1, Exemplo 3.2, Exemplo 3.3 (p. 66-67)
3.2, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12, 3.13, 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24 (p. 68-72)
Exemplo 3.4 (p. 73) 
Exemplo 3.5, 3.6 (p. 75)
Leia os Pontos Importantes (p. 78)
3.26, 3.27, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32, 3.33, 3.34 (p. 78-80)
3.35, 3.36, 3.38, 3.39, 3.40, 3.44 (p. 83-84)
Leia os Pontos Importantes (p. 382)
Exemplo 10.10, 10.11 (p. 383-384)
10.34, 10.35, 10.36, 10.37, 10.38, 10.39, 10.40, 10.41, 10.42, 10.43, 10.44, 10.45, 10.53 (p. 385-386)
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