COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE_01

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SISTEMA MODULAR DE ENSINO – SOME
UNIDADE DE ENSINO MÉDIO MODULAR – UEMOD
ESCOLA ESTADUAL:___________________________________
ÁREA DE CONHECIMENTO: MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
TEMA: ANÁLISE COMBINATÓRIA
1- INTRODUÇÃO:
Vamos resolver os seguintes problemas:
PROBLEMA 01: Para o Campeonato Amapaense, certo clube dispõe de dois modelos de camisas e três de calções, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o clube pode dispor para um jogo?
	Uma forma de visualizarmos o que ocorre no exemplo acima é usando conjuntos para designar os elementos semelhantes. Assim, para o problema em questão, vamos adotar dois conjuntos distintos: 
 
 
	Note que podemos estabelecer uma relação entre cada elemento do primeiro conjunto com cada elemento do segundo conjunto. O diagrama de árvore abaixo mostra as possibilidades de uniformes distintos, com os quais o clube pode jogar, usando a primeira camisa do conjunto:
	Assim, utilizando a primeira camisa, o clube terá 3 possíveis uniformes:
	De modo análogo, podemos mostrar que há também 3 uniformes possíveis caso o clube resolva utilizar a segunda camisa. Dessa forma, podemos afirmar que com duas camisas e três calções o clube pode se apresentar com 3 + 3 = 6 uniformes distintos.
Vídeos de apoio:
https://www.youtube.com/watch?v=x3fpYbJ2N7M
https://www.youtube.com/watch?v=4zMFrPh
CkbE
PROBLEMA 02: Um estádio tem 5 portões. De quantos modos uma pessoa pode entrar e sair do estádio por portões diferentes?
	Neste exemplo não temos dois conjuntos distintos, apenas um conjunto formado por 5 elementos distintos, onde devemos fazer a escolha de dois destes elementos: Um portão para entrar e um outro para sair. Vamos adotar a notação de conjunto e resolver usando o raciocínio anterior:
 Utilizando um diagrama de arvore, vamos analisar os possíveis casos, quando for escolhido o portão para entrada:
	Observe que entrando pelo portão 	a pessoa terá 04 opções de escolha para o portão de saída: 
Construa em seu caderno os diagramas para caso a escolha de portão de entrada seja um outro qualquer diferente de . Quantas opções teremos ao todo? 
	Os dois exemplos resolvidos anteriormente nos mostram situações em que foi necessário a análise de POSSIBILIDADES para auxiliar na tomada de decisões. A análise combinatória ou combinatória é o ramo da matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
2- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (P.F.C) OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: 
 Vamos enunciar o princípio fundamental da contagem para um evento que ocorre em duas etapas, mas o mesmo é válido para qualquer evento que ocorra em n etapas.
Se determinado evento ocorre em 2 etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de (m) maneiras diferentes, a segunda de (n) maneiras diferentes, então o número total T de maneiras de ocorrer o evento é dado por: 
 T = m . n
Ex. 01: Para o Campeonato Amapaense, certo clube dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o clube pode dispor para um jogo?
Resolução:
O evento “escolher um uniforme” pode ser dividido em duas etapas distintas:
1ª: Escolher uma camisa: 2 modos
2ª Escolher um calção: 3 modos
Assim, pelo P.F.C, o número total de modos de escolher um uniforme é dado por 2 . 3 = 6 modos
Obs: Note que a ordem de escolha das etapas não altera o resultado.
Ex. 02: Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha?
(Resolva no caderno)
Ex. 03: Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados?
Resolução: Um número de 3 algarismo apresenta a forma CDU (centenas, dezenas e unidades). Assim, o nosso evento se constitui em 03 etapas: 
1ª: Escolher um algarismo para a casa das unidades: 5 modos
2ª: Escolher um algarismo para a casa das dezenas: 5 modos
3ª: Escolher um algarismo para a casa das centenas: 5 modos
Assim, pelo PFC, teremos um total de 5 . 5 . 5 = 125 números. 
Alguns exemplos de números que atendem o problema: 135, 133, 111.
Ex. 04: Considere os algarismos 0,1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados?
Em que esse exemplo se diferencia do anterior?
-Agora será 04 algarismos todos diferentes –U.CDU (Unidade de milhar, Centenas, Dezenas e Unidades Simples).
- Temos o algarismo 0 (zero) que não pode ser usado na primeira casa à esquerda (unidade de milhar), pois não tem sentido matemático iniciar a escrita de um número por zero. Veja: 0135 = 135. 
Então, sabemos que não será usado o 0 (zero) na primeira casa à esquerda e todos os algarismos serão diferentes, sem repetição. Vamos dividir a resolução em dois casos:
1º caso: O número termina em 0 (zero)
Resolução: 
 O evento “escrever um nº de 04 algarismos” pode ser dividido em 04 etapas:
1ª etapa: Preencher a casa das unidades: 01 modo, pois será o 0 (zero);
2ª etapa: Preencher a casa das dezenas: 05 modos, pois não pode usar mais o 0;
3ª etapa: Preencher a casa das centenas:04 modos, pois não pode utilizar o 0, nem o nº usado na casa das dezenas;
4ª etapa: Preencher a casa das unidade de milhar: 03 modos, pois não poderá ser utilizado o 0 nem os demais algarismos usados
Assim, pelo PFC, teremos um total de 3 . 4 . 5 .1 = 60 números para este caso. 
Alguns exemplos de números que atendem o problema: 1350, 3570, 5790
2º caso: O número não termina em 0 (zero)
Resolução: Agora devemos ter o cuidado de não usar o 0 na primeira casa, nem na última casa. Dividimos, novamente o evento em 4 etapas:
1ª etapa: Preencher a casa das unidades:05 modos, pois não podemos usar o 0 (zero);
2ª etapa: Preencher a casa das dezenas: 05 modos, pois agora pode ser usado o 0, mas não pode ser usado (repetir) o algarismo das unidades;
3ª etapa: Preencher a casa das centenas:04 possibilidades, podemos utilizar o 0, mas não os 2 números já utilizados nas casas da unidades e dezenas;
4ª etapa: Preencher a casa das unidade de milhar: 02 modos, pois não pode utilizar o 0, nem os 3 algarismos já utilizados nas casas das unidades, dezenas e centenas.
 
Assim, teremos um total de: 5 . 5 . 4 . 2 =200 números para o segundo caso. 
Agora devemos somar o resultado de cada caso (números que terminam em 0 e números que não terminam em 0): 60 + 200 = 260 números 
O exemplo anterior, ilustra um outro princípio matemático aplicado na resolução de problemas de contagem: O Princípio Aditivo. 
3- PRINCÍPIO ADITIVO: 
Vamos resolver mais um exemplo pra ilustrar o Princípio Aditivo:
De quantas maneiras posso escolher dois livros de áreas diferentes, se tenho a minha disposição: 3 livros de Matemática, 4 livros de Química e 5 livros de Biologia.
Resolução: Note que não podemos aplicar diretamente o PFC, uma vez que não estamos formando um conjunto de 3 livros distintos, mas sim de dois.
Vamos adotar a seguinte notação:
 Matemática – M, Química – Q, Biologia – B 
 Podemos escolher dois livros, sendo um de Matemática e outro de Química, ou um de Matemática e outro de Biologia ou um de Química e outro de Biologia:
 MQ ou MB ou QB 
MQ + MB + QB = 3 . 4 + 3 . 5 + 4 . 5 
 = 12 + 15 + 20 = 47 modos.
OBS: O conectivo “OU” é utilizado, em princípio, na Língua Portuguesa, no sentido excludente, alternante.Em Matemática, o mesmo conectivo “OU” indica adição (+) e inclusão(U).
Agora é a sua vez. Resolva no caderno os seguintes exercícios:
1) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?
2) De quantas maneiras podemos responder a 10 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
3) Quantos números naturais de 4 ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 7 e 9?
4) Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 0, 1, 3, 4 ,5 e 6 ?
5) De quantas maneiras podemos pintar uma bandeira, do formato abaixo, usando as cores branco, vermelho, azul, verde e amarelo, sabendo que regiões adjacentes devem apresentar cores distintas e a faixa vertical deve ser da cor branca ou vermelha:
4- FATORIAL DE UM NÚMERO: Considere n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como sendo a seguinte multiplicação:
 n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1
Ex: a) 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040
 b) 5! = 5 .4 .3 .2 .1 = 120 
 c) 4! =
 d) 6! = 
O fatorial de um nº indica o produto deste número por todos seus antecessores até 1.
A definição acima refere-se a números maiores ou igual a 2, ou seja, n ≥ 2. Se n for igual a zero ou um, define-se: 0! = 1 e 1! = 1.
Ex: Simplifique a expressão:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5- PERMUTAÇÃO SIMPLES
Imagine a seguinte situação: 
“Suponha que você disponha de 5 moedas distintas, de quantos modos você pode ordenar estas moedas em fila?”
 Abaixo temos uma possível solução:
 1ªmoeda 2ª m 3ª m 4ª m 5ª m
Note que esta solução não é única, pois mudando duas moedas de posição entre si, geramos uma nova ordem, uma nova fila. Veja uma outra solução:
 3ªmoeda 2ª m 1ª m 4ª m 5ª m
Vamos usar o PFC para achar a quantidade de soluções possíveis. Para isso, analisar as possibilidades de moedas para cada posição da fila:
1ª posição da fila: 05 possibilidades
2ª posição da fila: 04 possibilidades
3ª posição da fila: 03 possibilidades
4ª posição da fila: 02 possibilidades
5ª posição da fila: 01 possibilidades
Assim, pelo PFC temos:
 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 filas distintas.
Permutações, são agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. 
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. O número de permutações simples de n objetos distintos é representado por 
Ex: De quantos modos podemos ordenar 6 livros lado à lado, em um armário?
Ex: De quantos modos 4 pessoas podem ocupar um banco na praça?
Ex: De quantos modos podemos organizar 8 livros em um armário, sendo 3 de matemática, 3 de química e dois de física, de modo que livros de uma mesma área fiquem juntos?
 Matemática Química Física
 
Acima temos uma possibilidade de ordenação, onde os livros de cada área permutam entre si. Feito isto, temos que lembrar que as áreas podem permutar entre si de 3! modos. Então a solução será, pelo PFC: 
(3! x 3! x 2!) x 3! = 6 x 6 x 2 x 6 = 432 modos. 
 ANAGRAMAS: São palavras obtidas a partir de outra, quando se trocam as posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham sentido ou não. Por exemplo, se considerarmos a palavra ROMA, um de seus anagramas é a palavra AMOR. 
Ex: Quantos anagramas tem a palavra AMOR
 Solução: 4! = 24 
Ex: Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra MODULAR, que iniciem por vogais?
Solução: 
Ex: Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra MODULAR, que iniciem por consoantes?
Ex: Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra MODULAR, que iniciem e terminem por consoantes?
Ex: De quantos modos podemos sentar 6 pessoas em um banco de praça, de modo que o casal do grupo fique sempre juntos?
6- PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Vamos analisar a seguinte situação: Quantos anagramas distintos tem a palavra CAMA?
Sabemos que o total de anagramas será:
 
Mas observe que dentre o 24 anagramas possíveis, teremos algumas repetições, pois temos letras repetidas. Por exemplo, a própria palavra CAMA é um anagrama dela mesma quando trocamos somente as duas vogais A de lugar. O problema agora consiste em saber quantas repetições temos ao todo. Note que para cada anagrama construído, teremos uma repetição, ocasionada pelas 2 vogais repetidas quando permutam de lugar entre si. Então o total será: 
De modo geral, o número de permutações de n elementos, onde elementos se repetem, elementos se repetem elementos se repetem, sendo é dada por: 
 
Ex: Quantos anagramas tem a palavra BANANA?
Note que temos 2 letras N e 3 letras A repetidas, então: 
Ex: De quantos modos podemos colocar 8 moedas, sendo 5 de 50 centavos e 3 de 25 centavos, enfileiradas?
Ex: Um código de barra tem comprimento 10, quando utiliza 10 barras verticais em sua composição. Deseja-se construir um código de barras de comprimento 20, utilizando 6 barras verticais preta de largura 03 mm, 4 barras verticais brancas de largura 02 mm, 6 barras verticais branca de largura 02 mm e 04 barras verticais cinza de largura 02 mm .
a) Qual o comprimento, em cm, deste código de barras? 
b) Quantos código de barras distintos podem ser elaborados nas condições dadas?
Ex: QUESTÃO DESAFIO – (ENEM 2020)
Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( → ) ou para cima ( ↑), segundo o esquema da figura. O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 4 b)14 c)17 d)35 e)48
Solução no link: https://www.youtube.com/watch?v=d0Qg4qOZBHc 
7- ARRANJOS E COMBINAÇÔES SIMPLES
Observem a resolução dos dois problemas abaixo:
PROBLEMA 01: Num grupo de 10 alunos, de quantos modos podemos escolher 3 para compor uma chapa, onde o primeiro escolhido será o candidato a presidente da turma, o segundo escolhido será o vice da chapa e o terceiro escolhido será o secretário?
Solução:
Note que se escolhermos os alunos A, B e C, nessa ordem teremos presidente, vice e secretário. Mas com os mesmos alunos podemos compor várias outras chapas, por exemplo: ACB, BCA, etc..
Vamos usar o PFC para determinar as escolhas possíveis considerando os cargos da chapa:
Inicialmente temos 10 aluno:
Presidente: 10 possibilidades
Vice – presidente: 9 possibilidades
Secretário: 8 possibilidades
Assim teremos chapas
PROBLEMA 02:Num grupo de 10 alunos, de quantos modos podemos escolher 3 alunos para compor uma comissão em uma reunião de classe?
Note que a ordem da escolha agora não influencia no resultado, pois na escolha dos alunos A, B e C ou C, B e A fica determinada uma única comissão. Observe que na escolha de 3 alunos, estes podem permutar de 3!=6 modos, MAS FORMANDO SEMPRE A MESMA COMISSÃO. 
Assim o total T de comissões será dado por:
 comissões
 Os dois problemas resolvidos se diferenciam pela importância dada a ordem de escolha dos elementos. No primeiro exemplo, temos um ARRANJO SIMPLES, pois a ordem das escolhas determinam chapas diferentes. Já no segundo exemplo, temos um caso de COMBINAÇÃO SIMPLES, pois a ordem de escolha não influencia na comissão. Fiquem atentos a essas diferenças, serão essenciais para determinas qual tipo de agrupamento será trabalhado.
 ARRANJO SIMPLES: Dado um conjunto de n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados de p a p, (n ≥ p) a qualquersequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
O cálculo do número de arranjo simples de n elementos tomados p à p é dado por:
 
Veja um exemplo abaixo:
Num grupo de 10 alunos, de quantos modos podemos escolher 3 alunos para compor uma chapa, onde o primeiro escolhido será o candidato a presidente da turma, o segundo escolhido será o vice da chapa e o terceiro escolhido será o secretário?
 
 
 chapas
COMBINAÇÕES SIMPLES: Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados p à p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos e é dado por:
Ex: Num grupo de 10 alunos, de quantos modos podemos escolher 3 alunos para compor uma comissão em uma reunião de classe?
Agora é a sua vez. Resolva os problemas seguintes que envolvem arranjos ou combinações. 
01) Uma lanchonete serve vitaminas de frutas, que podem ser oferecidas com dois ou três frutas distintas. Se há 6 frutas disponíveis, quantas vitaminas distintas pode ser oferecida pela lanchonete?
a)15 b)20 c)25 d)30 e)10
02) (UFSM/2008) O setor de nutrição de determinada cantina sugere, para uma refeição rica em carboidratos, 4 tipos de macarrão, 3 tipos de molho e 5 tipos de queijo. O total de opções para quem vai servir um tipo de macarrão, um tipo de molho e três tipos de queijo é:
a) 2.5! b) 5! c) d) (5!)² e) 
03) (FURG/2006) Uma pizzaria permite que seus clientes escolham pizzas com 1, 2 ou 3 sabores diferentes dentre os 7 sabores que constam no cardápio. O número de pizzas diferentes oferecidas por essa pizzaria, considerando somente os tipos e número de sabores possíveis, é igual a:
a) 210 b) 269 c) 63 d) 70 e) 98
05) Determine os valores de:
a) 
b) 
06) Num grupo de 15 pessoas serão escolhidos 5 para formar uma comissão. De quantos modos pode ser feita tal escolha?
a) 1220 b) 1400 c) 2310 d) 4500 e) 3200
07) Dispomos de 7 cores distintas para pintar 3 paredes de uma sala. De quantos modos podemos fazê-lo?
a) 200 modos
b) 210 modos
c) 220 modos
d) 230 modos
e) NDA
08) (ULBRA/2014) Ana, Beatriz, Carlos, Denise, Luiza e Otávio estão dispostos a representar seus colegas em uma convenção sindical. Nessa convenção, cada empresa pode enviar uma comissão com três representantes. O número de comissões distintas que podem ser formadas nessa empresa é
a) 6
b) 9 
c) 18
 d) 20 
e) 24 
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
1. ESPAÇO AMOSTRAL.
Experimento aleatório: É um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições.
Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.
Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.
2. EVENTOS CERTO, IMPOSSÍVEL E MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.
Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral.
Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.
Exemplos:
1- Lançar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6
a) Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero.
A = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Portanto, A = , logo o evento é certo.
b) Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. B = 
Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível.
c) Evento C: Ocorrência de um número par.
C = 2, 4, 6
d) Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. 
D = 3, 6
e) Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.
E = C D E = 2, 4, 6 3, 6
E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos.
f) Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.
F = C D F = 2, 4, 6 3, 6 F = 6-
Intersecção de eventos.
g) Evento G: Ocorrência de número ímpar
G = 1, 3, 5
Obs.: C e G são chamados eventos complementares. Observe que C G = . Quando a interseção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos.
3. PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO
Exemplos:
1-Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.
Solução:
Espaço amostral: = cara, coroa n() = 2
Evento A: A = cara n(A) = 1
Como , temos que P(A) = ou 0,50 ou 50%.
2- No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4?
Solução:
Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n() = 6
Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2.
Então:
3- No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) Pelo menos 2 caras?
b) Exatamente 2 caras? 
Solução:
Considere: C = cara e K = coroa
Ω = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK
 n() = 8 
a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4
Pelo menos duas caras, significa que não pode ocorrer uma cara somente, ou seja, deve ocorrer duas ou três caras. 
Logo, 
 b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3
Portanto, 
 4- Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser:
a) ímpar b) par? c) múltiplo de 6? d) múltiplo de 4? e) maior que 780?
Solução:
 = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n() = 6
a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 n(A) = 4
Então, 
b) Evento B: ser par B = 798, 978 n(B) = 2
Logo, 
c) Evento C: ser múltiplo de 6 C = 798, 978
 n(C) = 2
Portanto, 
d) Evento D: ser múltiplo de 4 D= n(D) = 0
Logo, 
e) Evento E: ser maior que 780 E = n(E) = 6
Então,
5- Consideremos todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7?
Solução:
Espaço Amostral : é o conjunto formado por todos os números de 4 algarismos distintos a partir dos algarismos: 1, 3, 4, 7, 8 e 9. 
 _UM_ _C_ _D_ _U_ 
A ordem da escolha dos 4 algarismo dentre os 6 importa, pois, por exemplo, 1.347 3.147 7.431 ... Então temos um arranjo simples de 6 elementos para a escolha de 4 : 
 
Evento A: 3 __ __ 7
 
 Portanto,
 
6- Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens:
a) ele gostar de música;
b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
Solução: 
n() = 75
a) Gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44
Logo, 
b) Não gostam de nenhuma dessas atividades: 
75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11
Portanto, 
4. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral . Da teoria dos conjuntos sabemos que:
 
Dividindo os membros da equação por n(), temos:
 
Então,
7 - No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?
Solução:
Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n() = 6
Evento A: número 3 A = {3} n(A) = 1
Evento B: número ímpar B = {1, 3, 5} n(B) = 3
A B = {3} {1, 3, 5} = {3} n(A B) = 1
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 
 P(A B) = = = 0,50 ou 50%
8 - Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja de naipe vermelho ou um ás?
Solução: n() = 52
Evento A: a carta é de naipe vermelho n(A) = 26
Evento B: a carta é ás n(B) = 4
n(A B) = 2
Então, P(AUB) 
5. PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
A probabilidade de não ocorrer o evento A é a probabilidade de ocorrer o evento complementar de A, representado por P
Nessas condições, temos :Então, 
9- No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, vamos calcular a probabilidade de NÃO sair soma 5.
 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. n() = 36.
Seja A o evento “sair soma 5”. Então:
A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4
Portanto, 
Se A= sair soma 5, então = não sair soma 5
Logo, 
Ou seja, 
10- Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é a probabilidade de que:
a) Os três sejam perfeitos?
b) Os três sejam defeituosos?
c) Pelo menos um seja defeituoso?
Solução:
n() = nº de combinações de 50 elementos tomados 3 a 3,istoé:
Portanto, n() = 19600 
a) evento A: os três parafusos são perfeitos
Então,
b) evento B: os três parafusos são defeituosos
Então,
c) evento C: pelo menos um é defeituoso, o que corresponde ao complementar de A (os três são perfeitos). Logo:
10