AD1-GE-2016-1-gabarito

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Gabarito da AD1 - Geometria Espacial - 2016.1
Questão 1 [2,0 pts]: Duas pessoas seguram cada um uma ponta de uma corda de 7m de comprimento
e partem de uma mesma posição no primeiro andar de um prédio. Uma delas caminha 2m para
o sul e depois 2m para o leste, sempre no primeiro andar do prédio. A outra pessoa sobe uma
escada vertical de 3m para o segundo andar do prédio e depois caminha x para o norte, sempre
no segundo andar do prédio, até que a corda fique totalmente esticada e retiĺınea. Qual o valor
de x?
Solução:
• Posicionamento da caminhada no espaço:
As pessoas partem do ponto O e após a movimentação elas se encontram nos pontos A e B, como
ilustrado na figura 1.
• Cálculo de BC:
O ∆ABC é retângulo e como AB = 7m, pois a corda está esticada e retiĺınea, temos:
AB2 = AC2 +BC2 ⇒ BC2 = 72 − 22 = 45
• Obtenção e cálculo da equação de 20 grau:
O ∆BCD é retângulo, onde BD = 3 e CD = 2 + x, logo:
BC2 = CD2 +BD2 ⇒ 45 = (2 + x)2 + 32 = 4 + 4x+ x2 + 9⇒ x2 + 4x− 32 = 0
4 = 16− 4×−32 = 144⇒ x = −4 + 12
2
= 4m
Como x não pode ser negativo, a solução acima é a única posśıvel.
Questão 2 [2,0 pts]: Um tetraedro regular é uma pirâmide em que todas as suas arestas são iguais
e todas as suas quatro faces são triângulos equiláteros. Sabendo-se que a aresta do tetraedro
regular mede x, calcule a distância entre duas arestas reversas desse tetraedro. Calcule também
o cosseno do ângulo entre 2 faces do tetraedro e calcule também o cosseno do ângulo entre uma
aresta e a face (que não contém essa aresta) do tetraedro.
Solução:
• Cálculo da distância entre duas arestas reversas:
Na figura 2 vemos que a distância entre duas arestas reversas é igual a MN , onde M é ponto médio
de BC e N é ponto médio de AD.
O ∆MND é retângulo, onde ND = x2 e MD é a altura do triângulo equilátero BCD, logo
MD = x.
√
3
2 . Dáı temos que:
MN2 = MD2 −ND2 = 3
4
x2 − 1
4
.x2 =
2
4
x2 ⇒MN =
√
2
2
x.
1
• Cálculo do cosseno do ângulo entre 2 faces do tetraedro:
No tetraedro da figura 2 temos que ˆAMO é o ângulo entre 2 faces do tetraedro. Do ∆AMO temos
que:
cos( ˆAMO) =
OM
AM
=
OM
DM
=
1
3
• Cálculo do cosseno do ângulo entre uma aresta e a face:
No tetraedro da figura 2 temos que ˆADO é o ângulo entre a aresta AD e a face BCD. Do ∆ADO
temos que:
cos( ˆADO) =
OD
AD
=
2
3
DM
x
=
2
3
x
√
3/2
x
=
√
3
3
Fig. 1: Caminhada da questão 1 Fig. 2: Tetraedro da questão 2
Questão 3 [2,0 pts]: Considere um plano α e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçamos
a reta perpendicular a α, a interseção dessa reta com α é um ponto chamado projeção ortogonal
do ponto P sobre α. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre α é
definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Classifique as afirmações abaixo
em VERDADEIRO ou FALSO, corrigindo as afirmações falsas. Também dê um exemplo de
cada afirmação abaixo (ou um contraexemplo se a afirmação for falsa).
(a) A projeção ortogonal de um quadrado pode resultar num segmento de reta.
(b) A projeção ortogonal de um ćırculo pode resultar numa elipse.
(c) A projeção ortogonal de uma elipse pode resultar numa reta.
(d) A projeção ortogonal de um losango pode resultar num quadrado.
(e) A projeção ortogonal de um quadrado pode resultar num losango.
Solução:
Usando o cubo da figura 3 como exemplo:
2
(a) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal do quadrado ABEF no plano ABCD é o
segmento de reta AB.
(b) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal de um ćırculo situado no plano ABGH no
plano ABCD é uma elipse.
(c) FALSO. A projeção ortogonal de uma elipse pode resultar numa outra elipse, num ćırculo ou
num segmento de reta. Contraexemplo: A projeção ortogonal de uma elipse situada no plano
ABEF no plano ABCD é um segmento de reta.
(d) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal no plano ABCD de um losango cujos vértices
são A,G e os pontos médios de DH e BF é o quadrado ABCD.
(e) VERDADEIRO. Exemplo: A projeção ortogonal no plano ABCD de um quadrado cujas diag-
onais são AG e um segmento de reta paralelo ao plano ABCD é um losango.
Fig. 3: Cubo de exemplo da questão 3
Questão 4 [2,0 pts]: Um aparelho aparelho transmissor de rádio, cujas ondas atingem no máximo
uma distância 100
√
26m, está situado no alto de uma torre vertical de altura 100m. As ondas do
transmissor atingem uma estrada retiĺınea e horizontal de comprimento total de 800m. Sabendo
que a torre deve estar o mais distante posśıvel da estrada e que toda a estrada deve captar o sinal
do rádio, calcule a distância d da estrada ao pé da torre. Dica: A torre deve estar localizada na
mediatriz da estrada.
Solução:
• Posicionamento dos objetos no espaço:
Na figura 4 o segmento DE representa a torre e o segmento AB representa a estrada. Como a torre
deve estar o mais distante posśıvel da estrada, temos que r = AE = 100
√
26m.
• Cálculo de AD na figura 4:
O ∆ADE é retângulo logo:
AD2 = AE2 −DE2 = (100
√
26)2 − 1002 = 26× 1002 − 1002 = 25× 1002
3
• Cálculo de d = CD na figura 4:
O ∆ACD é retângulo e como AC = AB/2 temos:
d2 = AD2 −AC2 = 25× 1002 − 4002 = 25× 1002 − 16× 1002 = 9× 1002 ⇒ d = 300m.
Questão 5 [2,0 pts]: (FUVEST 2010) Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de
maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, com 0 < α < π2 . Um triângulo equilátero ABC,
de lado l, está contido em π2, de modo que o lado AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal
de C sobre o plano π1, e suponha que a medida do ângulo θ = CÂD satisfaça sen(θ) =
√
6
4 .
Nessas condições, determine, em função de l, o valor de α e a área do triângulo ABD.
Solução:
• Cálculo de α:
O ∆ADC é retângulo na figura 5: sen(θ) = CDAC =
√
6
4 ⇒
CD
l =
√
6
4 ⇒ CD =
l
√
6
4
O ∆CDM é retângulo: sen(α) = CDCM =
l
√
6
4 /
l
√
3
2 =
√
2
2
Como 0 < α < π2 ⇒ α =
π
4 .
• Cálculo da área do triângulo ABD.
O ∆CDM é retângulo: α = π4 ⇒ β =
π
4 ⇒MD = CD =
l
√
6
4
Logo a área do triângulo ABD é:
S =
1
2
.l.MD =
1
2
.l.
l
√
6
4
=
l2
√
6
8
.
Fig. 4: Questão 4 Fig. 5: Questão 5
4