Estatistica Aplicada - Formulas Importantes

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AULA 02 – TIPOS DE DADOS 
 
Rol = Lista ordenada dos dados de uma série estatística. 
 
FREQUÊNCIA ACUMULADA 
Fi = Σ (i= 1→k) fi 
Ex: Frequencia Acumulada da classe “30|̶—40”: 
Fi = Σ (i= 1→4) fi 
Fi = 2+1+3+5 = 11 
 
FREQUÊNCIA RELATIVA 
Fr ൌ ௙௜∑௙௜  
Fr = Frequência relativa 
fi = Frequência Simples 
 
Fr4 = Frequência Relativa da Quarta classe 
Fi4 = Frequência Simples da Quarta classe  
Fr4 ൌ ௙௜ସ∑௙௜  
Fr4 ൌ 550 
Fr4 ൌ 0,1 ou 10% 
FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA 
Fri ൌ ி௜∑ி௜  
Fri = Frequência acumulada relativa 
Fi = Frequência Acumulada 
   
i  Classes  fi  Fi  Fr  Fri 
1  0|̶—10  2  2  0,04  0,04 
2  10|̶—20  1  3  0,02  0,06 
3  20|̶—30  3  6  0,06  0,12 
4  30|̶—40  5  11  0,1  0,22 
5  40|̶—50  10  21  0,2  0,42 
6  50|̶—60  8  29  0,16  0,58 
7  60|̶—70  9  38  0,18  0,76 
8  70|̶—80  6  44  0,12  0,88 
9  80|̶—90  4  48  0,08  0,96 
10  90|̶—100 2  50  0,04  1 
AULA 03 – MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL 
 
CALCULOS DE MÉDIAS SIMPLE E AGRUPADAS 
 
– Para calcular a média simples, basta somar os valores da amostra apresentada e dividir pela 
quantidade de amostras apresentadas, ex: Calcule a média simples de 5;4;5;2. 
 
Χิ – Média Simples 
n – Números (quantidade) de amostras 
 
Χิ = (5+4+5+2)/4 = 16/4 = 4 
 
– Para calcular a média com dados agrupados, devemos identificar primeiramente o ponto 
médio (PM ou Xi). 
 
 
 
     Χത ൌ
∑௫௜ ௙௜
∑௙௜  = 
ଶ.଻ଷ଴
ହ଴  = 54,6 
PM ou Xi  Classes  fi  Fi  Σ Xi*fi 
5  0|̶—10  2  2  10 
15  10|̶—20  1  3  15 
25  20|̶—30  3  6  75 
35  30|̶—40  5  11  175 
45  40|̶—50  10  21  450 
55  50|̶—60  8  29  440 
65  60|̶—70  9  38  585 
75  70|̶—80  6  44  450 
84  80|̶—90  4  48  340 
95  90|̶—100 2  50  190 
        2.730 
MODA 
APARTIR DE AMOSTRAGEM 
‐ A Moda é o valor se repete com maior frequencia. Ela pode não existir (Amodal), pode ser 
única (Unimodal) ou ter mais de uma (Bimodal). 
 
Unimodal 
X = 4,5,5,6,6,6,7,7,8,8 
Moda = 6 (Valor mais frequente) 
 
Amodal 
Y = 2,3,4,5,6 
Moda = não tem moda, pois os valores tem a mesma frequencia 
 
Bimodal 
Z = 2,4,4,4,6,7,8,8,8,9 
Moda = 4 e 8  ‐ Bimodal pois há dois valores com maiores frequencia 
 
 
MEDIANA 
APARTIR DE AMOSTRAGEM 
‐ A Mediana é o valor que ocupa a posição central de uma determinada amostragem.  
Amostragem com quantidade ímpar: 
4,5,15,22,27,36,47 
Mediana = 22  
Obs.: Divide‐se a amostragem em dois grupos iguais, o valor central é a mediana 
Amostragem com quantidade par: 
4,5,15,22,27,36,47,54 
Mediana = 24,5  
Obs.: Soma‐se os dois valores centrais e divide‐se por dois = (22+27)/2 = 24,5 
 
 
 
 
 
MODA E MEDIANA APARTIR DE DADOS AGRUPADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉDIA AGRUPADA 
 
Χത ൌ 	 ∑௫௜	௙௜∑௙௜  = 
ଶ.଻ଷ଴
ହ଴  = 54,6 
Mo ൌ ܮ݅ ൅ ݀1݀1 ൅ ݀2 ∗ ݄ 
MODA COM DADOS AGRUPADOS “CZUBER” 
 
 
Li = Limite inferior do intervalo de classe a que pertence 
Fm; 
h = Intervalo da classe; 
d1 = É a frequência da classe da moda menos a frequência  
da classe anterior (d1=fi‐fant); 
d2 = É a frequência da classe da moda menos a frequência  
da classe posterior (d2=fi‐fsup); 
Me ൌ ܺ݁ ൅ ݄ ሺܺ݉ െ ܨ݅ܽܽሻ݂݅  
MEDIANA COM DADOS AGRUPADOS 
 
 
Xe (Li) = Ponto inicial (Limite Inferior) do intervalo de classe a que 
pertence Xm; 
h = Intervalo da classe; 
Xm = É o valor mediano (metade da frequência total); 
Fiaa = Frequência acumulada anterior à classe a qual pertence Xm; 
fi = Frequência simples da classe a qual pertence Xm. 
PM ou Xi  Classes  fi  Fi  Σ Xi*fi 
5  0|̶—10  2  2  10 
15  10|̶—20  1  3  15 
25  20|̶—30  3  6  75 
35  30|̶—40  5  11  175 
45  40|̶—50  10  21  450 
55  50|̶—60  8  29  440 
65  60|̶—70  9  38  585 
75  70|̶—80  6  44  450 
84  80|̶—90  4  48  340 
95  90|̶—100 2  50  190 
        2.730 
Me ൌ 50 ൅ 10 ሺ25 െ 21ሻ8  
Me ൌ 50 ൅ 10 ሺ4ሻ8  
Me ൌ 50 ൅ 10 ∗ 0,5 
Me ൌ 55 
MEDIANA 
 
Temos 50 elementos (Fi), logo a mediana estará no 
25º elemento, que se encontra na classe “50|̶—60”. 
 
Xe = 50 
h = 10 
Xm = 25 
Fiaa = 21 
Fi = 8 
 Mo ൌ ܺ݋ ൅
݄ሺܨ݉ െ ܨܽሻ
2ܨ݉ െ ሺܨܽ ൅ ܨ݌ሻ 
MODA COM DADOS AGRUPADOS 
 
 
Xo = Ponto inicial do intervalo de classe a que 
pertence Fm; 
h = Intervalo da classe; 
Fm = É a frequência máxima; 
Fa = Frequência anterior à Fm; 
Fp = Frequência posterior à Fm. 
Mo ൌ 40 ൅ ݀1݀1 ൅ ݀2 ∗ 10 
Mo ൌ 40 ൅ 55 ൅ 2 ∗ 10 
Mo ൌ 40 ൅ 0,714 ∗ 10 
Mo ൌ 47,14 
MODA COM DADOS AGRUPADOS “CZUBER” 
 
Identifica‐se a classe de com maior valor de “fi” 
Frequencia simples, logo aí estará a Moda. Na tabela 
ao lado estará na classe “40|̶—50” 
 
Li = 40 
H = 10 
d1 = (10‐5) = 5 
d2 = (10‐8) = 2 
AULA 04 – MEDIDAS DE ORDENAMENTO E FORMA 
‐ Para Calculos de Quartis, Decis e Centis com dados de amostras: 
Quartis 
ܳ݊ݍ ൌ ܺሺ݊ݍ݊4 ൅
1
2ሻ 
Decis 
ܳ݊ݍ ൌ ܺሺ݊ݍ݊10 ൅
1
2ሻ 
Centil 
ܳ݊ݍ ൌ ܺሺ݊ݍ݊100 ൅
1
2ሻ 
Qnq = São os primeiro, segundo e terceiro quartil; 
X = Elemento da série ordenada; 
n = Tamanho da amostra; 
nq = Número do Quartil que se deseja obter. 
 
Amostra: 65,68,70,75,80,80,82,85,88,90,90,95,98,100,100. 
 
 
   
Qual o 3º Quartil: 
Q3=X+((nq*n/4)+1/2) 
Q3=X+((3*15/4)+1/2) 
Q3=X11,75 
 
O 3ºQ está entre o 11º e 12º elemento da amostra, no caso, 90 e 95. Aplica‐se a regra de 
3:                          , Soma‐se o resultado da “regra de 3” ao 11º elemento da amostra. 
 
X—0,75 
5—1 
= 3,75 
Resultado: 11º Elemento = 90 
                     Regra de 3 = 3,75 
                     3ºQ = 93,75 
Qual o 60º Centil: 
C60=X+((nq*n/100)+1/2) 
C60=X+((60*15/100)+1/2) 
C60=X9,5 
 
O 60ºC está entre o 9º e 10º elemento da amostra, no caso, 88 e 90. Aplica‐se a regra de 3:    
, Soma‐se o resultado da “regra de 3” ao 9º elemento da amostra. 
  X—0,5 
2—1 
= 1 
Resultado: 9º Elemento = 88 
                     Regra de 3 = 1 
                     60ºC = 89 
Qual o 7º Decil: 
D7=X+((nq*n/10)+1/2) 
D7=X+((7*15/10)+1/2) 
D7=X11 
 
O 7ºD é o 11ºelemento da amostra, no caso, 90. 
 
AULA 04 – MEDIDAS DE ORDENAMENTO E FORMA ‐ Cont. 
‐ Para Calculos de Quartis, Decis e Centis com dados agrupados: 
ܥ	݊ݔ ൌ ܮ݅ ൅ ൬݊ݔ ∗ ݊ െ ܨܽܽ݊ݐܨ݅ ൰ ∗ ݄	 
nx = Quartil, Decil ou Centil que se deseja; 
n = Quantidade da Amostra (Frequência acumulada – Fi); 
Li = Limite Inferior da Classe encontrada, ex: 70|̶—80, Li=70; 
h = Amplitude (quantidade) do intervalo das classes, ex: 70|̶—80, h=10 ; 
Faant = Frequência Acumulada da classe anterior; 
fi = Frequência da classe encontrada 
Para Quatil (nx*n) 
1ºQ=(1/4)*Fi ou 0,25*Fi; 2ºQ=0,5*Fi; 3ºQ=0,75*Fi. 
Para Decil (nx*n) 
1ºD=(1/10)*Fi ou 0,1*Fi; 2ºD=0,2*Fi; 3ºD=0,3*Fi ... 9ºD=0,9*Fi. 
Para Centil (nx*n) 
60ºC=(60/100)*Fi ou 0,6*Fi. 
 
Classes  fi  Fi 
0|̶—10  2  2 
10|̶—20  4  6 
20|̶—30  5  11 
30|̶—40  4  15 
40|̶—50  6  21 
50|̶—60  7  28 
60|̶—70  7  35 
70|̶—80  10  45 
80|̶—90  25  70 
90|̶—100  10  80 
 
 
   
Qual o 2º Quartil: 
C50=Li+((nx*n‐Faant)/fi)*h 
C50=70+((0,5*80‐35)/10)*10 = 75 
Qual o 6º Decil: 
C60=Li+((nx*n‐Faant)/fi)*h 
C60=80+((0,6*80‐45)/25)*10 = 81,2 
Qual o 72º Centil: 
C72=Li+((nx*n‐Faant)/fi)*h 
C72=80+((0,72*80‐45)/25)*10 = 85,04 
AULA 05 – MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Para calcular o Desvio Padrão (DP) de uma amostra: 
1‐ Acha‐se a Média Simples (Χิ = ΣΧі/n); 
2‐ Diminui‐se cada amostra da média calculada (Χі ‐ Χิ); 
3‐ Eleva‐se ao quadrado o valor obtido da fórmula (Χі ‐ Χิ) em cada amostra e soma‐se todas; 
4‐ O valor encontrado no item “3” divide‐se pelo número de amostra diminuído de um (n – 1); 
5‐ Tem‐se o valor da Variância; 
6‐ Extraimos a raiz quadrada da variância e teremos o Desvio Padrão. 
 
Χิ – Média Simples 
Σ – Somatório 
Χі – amostras 
n – Números (quantidade) de amostras 
 
Χิ = ΣΧі/n = 29/5 = 5,8 
 
Χі  Χิ  Χі ‐ Χิ  (Χі ‐ Χิ)2 
4  5,8  ‐1,8  3,24 
5  5,8  ‐0,8  0,64 
5  5,8  ‐0,8  0,64 
7  5,8  1,2  1,44 
8  5,8  2,2  4,84 
       
29      10,8 
 
VAR=  		∑ ଶሺಆі	ష	ಆጟሻ௡ିଵ       Σ(Χі ‐ Χิ)2 /n‐1 
 
VAR= 		ଵ଴,଼ହିଵ  = 		
ଵ଴,଼
ସ   = 2,7 
 
DP = √ܸܣܴ 
 
DP = √2,7 = 1,64 
 
 
   
D.P. para amostras
AULA 05 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – Cont. 
Para calcular o Desvio Padrão (DP) de Dados Agrupados: 
 
A – Apartir da amplitude (intervalo) da classe, acha‐se o Ponto Médio (Χі ouPM), ex: 0|̶—10, o 
ponto médio é 5; 
E – Faça o somatório do resultado da multiplicação do Ponto Médio pela frequência da classe 
Σ(Xi*fi); 
F – Calcula‐se a Média Agrupada em Classe Χิ = Σ(Xi*fi) /n; 
G – Diminui‐se o valor encontrado no item “E” pelo valor encontrado no item “F” para cada 
classe (Xi*fi) ‐ Χิ; 
H – Eleva‐se ao quadrado o valor encontrado no item “G”; 
I – Multiplica‐se o valor encontrado no item “G” pela frequencia simples de cada classe; 
J – Faça o somatório (Σ) do valor encontrado no item “I” e divida pela Frequencia Acumulada 
(Fi) para encontrar o valor da Variância; 
K – Extraimos a raiz quadrada da variância e teremos o Desvio Padrão. 
 
  Dados do Exercício           
A=(B/2)  B  C  D  E=A*C  F= (ΣE)/Fi  G=E‐F  H = G2  I=H*C 
Χі (PM)  Classes  fi  Fi  Χі *fi  Χิ  (Χі*fi) ‐ Χิ ((Χі*fi) ‐ Χิ)2  ((Χі*fi) ‐ Χิ)2 *fi
5  0|̶—10  2  2  10  65,9  ‐60,9  3709  7418 
15  10|̶—20  4  6  60  65,9  ‐50,9  2591  10364 
25  20|̶—30  5  11  125  65,9  ‐40,9  1673  8365 
35  30|̶—40  4  15  140  65,9  ‐30,9  955  3820 
45  40|̶—50  6  21  270  65,9  ‐20,9  437  2622 
55  50|̶—60  7  28  385  65,9  ‐10,9  119  833 
65  60|̶—70  7  35  455  65,9  ‐0,9  1  7 
75  70|̶—80  10  45  750  65,9  9,1  83  830 
85  80|̶—90  25  70  2125  65,9  19,1  365  9125 
95  90|̶—100  10  80  950  65,9  29,1  847  8470 
        5270        51854 
 
Χิ = Σ(Xi*fi) /n = 5270/80 = 65,9 
 
VAR=  		∑ ଶሺಆі	ష	ಆጟሻ ∗௙௜∑௙௜     Σ(Χі ‐ Χิ)2 *fi/ Σfi 
 
VAR = 51854/80 = 648,195 
 
DP = √ܸܣܴ 
 
DP = ඥ648,195 = 25,45 
 
 
   
AULA 07 – DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM 
 
 
   σx ൌ σ/√݊ 
Erro padrão da Média 
σx = Erro Padrão da Média 
σ = Desvio padrão da população 
n = tamanho da amostra 
FC ൌ ඥሺܰ െ ݊ሻ/ሺN െ 1ሻ 
Fator de Correção para Populações 
FC = Fator de Correção 
N = Tamanho da População 
n = tamanho da amostra 
σd ൌ σx/ܨܥ 
Erro padrão da Distribuição 
σd = Erro Padrão da Distribuição 
σx = Erro Padrão da Média 
FC = Fator de Correção 
AULA 08 – INTERVALOS DE CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de Confiança 
IC = Xm +- Z σx 
 
IC = Intervalo de Confiança 
Xm = Média 
Z = Número Unidade Desvio Padrão 
apartir da Média 
σx = Erro amostral 
Em uma dada semana, uma amostra de 30 
empregados horistas é selecionada de um 
grande número de empregados de uma 
fábrica, teve uma média da amostra de 
salários de R$ 180,00, com desvio padrão 
da amostra de R$ 14,00. Estimamos a 
média dos salários para todos os 
empregados horistas na empresa com 
intervalo estimado de forma que podemos 
estar em 95% confiantes de que o intervalo 
inclui o valor médio da população da 
seguinte maneira: 
 
n (amostra empregados) = 30 
Xm (média salários) = 180,00 
σ (desvio padrão) = 14,00 
IC = 95% 
σx ൌ σ/√݊ 
σx ൌ 14/√30 	ൌ 2,56 
1ª. Etapa 
σx = Erro Amostral 
σ = Desvio padrão da população 
n = amostra empregados 
2ª. Etapa 
1,96 ................95% 
Z = 1,96 
 
Nº Und. de Desvio 
Padrão da Média 
Proporção Verificada 
1,645 90% 
1,96 95% 
2,58 99% 
3ª. Etapa 
IC = Xm +- Z σx 
IC = 180 + 1,96*2,56 = 185,02 
IC = 180 – 1,96*2,56 = 174,98 
O Intervalo de confiança será entre 
174,98 e 185,02. 
 
1ª. Etapa – Calcular o Erro Amostral 
2ª. Etapa – Identificar o Número de unidades de Desvio Padrão a partir da média. 
3ª. Etapa – Aplicar a fórmula do intervalo de confiança. 
AULA 09 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade Distribuição Normal 
Z = (Xi – Xm) / σ 
Z = Probabilidade Distrib. Normal 
Xi = Média da Amostra 
Xm = Média Geral 
σ = Desvio Padrão 
Supondo que uma nota média de 
estudantes em uma prova foi de 6 
com desvio padrão de 1, 5. Calcule 
as probabilidades associadas: 
A – O percentual de alunos com 
média entre 4,5 e 7,5; 
B – O percentual de alunos com 
média acima de 7,5; 
C – O percentual de alunos com 
média acima de 4, 5; 
D – O percentual de alunos com 
média abaixo de 5,25. A – O percentual de alunos com 
média entre 4,5 e 7,5: 
Z = (Xi – Xm) / σ 
Z = (7,5-6) / 1,5 = 1 (0,3413 Tabela*) 
Z = (4,5-6) / 1,5 = 1 (0,3413 Tabela*) 
0,3413+0,3413=0,6826 
O % de alunos que obtiveram notas 
entre 4,5 e 7,5 de média é de 
68,26%. 
* Tabela de Distribuição Normal 
B – O percentual de alunos com 
média acima de 7,5: 
Z = (Xi – Xm) / σ 
Z = (7,5-6) / 1,5 = 1 (0,3413 Tabela*) 
Como uma nota acima de 7,5 está à 
direita da metade da curva temos: 
0,50 - 0,3413 = 15,87% 
O % de alunos que obtiveram média 
acima de 7,5 é de 15,87%. 
 
* Tabela de Distribuição Normal
C – O percentual de alunos com 
média acima de 4, 5: 
Z = (Xi – Xm) / σ 
Z = (4,5-6) / 1,5 = -1 (0,3413 Tabela*) 
Como uma nota acima de 4,5 está à 
esquerda da metade da curva temos: 
1,00 - 0,3413 = 65,87% 
O % de alunos que obtiveram média 
acima de 4,5 é de 65,87%. 
 
* Tabela de Distribuição Normal
D – O percentual de alunos com 
média abaixo de 5,25: 
Z = (Xi – Xm) / σ 
Z=(5,25-6)/1,5= -0,5 (0,1915 Tabela*) 
Como uma nota acima de 5,25 está à 
esquerda da metade da curva temos: 
0,50 - 0,1915 = 30,85% 
O % de alunos que obtiveram média 
abaixo de 5,25 é de 30,85%. 
 
* Tabela de Distribuição Normal
AULA 10 – TESTE DE HIPÓTESES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere que um determinado 
professor anunciou que a média de 
nota de alunos em estatística foi de 
no mínimo 6,0 na AV1. 
Considerando um teste de hipótese 
com amostras de 50 elementos e um 
nível de significância de 5%, calcule: 
A – Se após os dados relativos a 50 
elementos encontrarmos a média de 
6,2 e desvio-padrão de 0,8. 
B – Se após os dados relativos a 
outra amostra com 50 elementos, 
encontrarmos a média de 5,7 e 
desvio-padrão de 1,2. 
A – Se após os dados relativos a 50 
elementos encontrarmos a média de 
6,2 e desvio-padrão de 0,8. 
Etapa 1: H0 = 6,0 e H1 <6,0 
Etapa 2: Nível de Significância 5% 
Etapa 3: De acordo com a 
Distribuição Normal Reduzida, o Z 
para nível de significância de 5% é de 
- 1,65 
Etapa 4: Utilização da fórmula 
Z = (6,2-6) I (0,8/ √50) = 0,2 I 0, 1131 
= 1, 7678 
Como 1, 7678 > -1 ,65, a hipótese 
nula será aceita.
B – Se após os dados relativos a 
outra amostra com 50 elementos, 
encontrarmos a média de 5,7 e 
desvio-padrão de 1,2. 
Etapa 1: H0 = 6,0 e H1 <6,0 
Etapa 2: Nível de Significância 5% 
Etapa 3: De acordo com a 
Distribuição Normal Reduzida, o Z 
para nível de significância de 5% é de 
- 1,65 
Etapa 4: Utilização da fórmula 
Z = (5,7-6) I (1,2/ √50) = -0,3 I 0, 1697 
= -1, 7678 
Como -1, 7678<-1 ,65, a hipótese 
nula será rejeitada. Ou seja, a 
informação da amostra não nos 
permite confirmar uma média 6,0 na 
prova com nível de significância de 
5%.