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AULA 02 – TIPOS DE DADOS Rol = Lista ordenada dos dados de uma série estatística. FREQUÊNCIA ACUMULADA Fi = Σ (i= 1→k) fi Ex: Frequencia Acumulada da classe “30|̶—40”: Fi = Σ (i= 1→4) fi Fi = 2+1+3+5 = 11 FREQUÊNCIA RELATIVA Fr ൌ ∑ Fr = Frequência relativa fi = Frequência Simples Fr4 = Frequência Relativa da Quarta classe Fi4 = Frequência Simples da Quarta classe Fr4 ൌ ସ∑ Fr4 ൌ 550 Fr4 ൌ 0,1 ou 10% FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fri ൌ ி∑ி Fri = Frequência acumulada relativa Fi = Frequência Acumulada i Classes fi Fi Fr Fri 1 0|̶—10 2 2 0,04 0,04 2 10|̶—20 1 3 0,02 0,06 3 20|̶—30 3 6 0,06 0,12 4 30|̶—40 5 11 0,1 0,22 5 40|̶—50 10 21 0,2 0,42 6 50|̶—60 8 29 0,16 0,58 7 60|̶—70 9 38 0,18 0,76 8 70|̶—80 6 44 0,12 0,88 9 80|̶—90 4 48 0,08 0,96 10 90|̶—100 2 50 0,04 1 AULA 03 – MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL CALCULOS DE MÉDIAS SIMPLE E AGRUPADAS – Para calcular a média simples, basta somar os valores da amostra apresentada e dividir pela quantidade de amostras apresentadas, ex: Calcule a média simples de 5;4;5;2. Χิ – Média Simples n – Números (quantidade) de amostras Χิ = (5+4+5+2)/4 = 16/4 = 4 – Para calcular a média com dados agrupados, devemos identificar primeiramente o ponto médio (PM ou Xi). Χത ൌ ∑௫ ∑ = ଶ.ଷ ହ = 54,6 PM ou Xi Classes fi Fi Σ Xi*fi 5 0|̶—10 2 2 10 15 10|̶—20 1 3 15 25 20|̶—30 3 6 75 35 30|̶—40 5 11 175 45 40|̶—50 10 21 450 55 50|̶—60 8 29 440 65 60|̶—70 9 38 585 75 70|̶—80 6 44 450 84 80|̶—90 4 48 340 95 90|̶—100 2 50 190 2.730 MODA APARTIR DE AMOSTRAGEM ‐ A Moda é o valor se repete com maior frequencia. Ela pode não existir (Amodal), pode ser única (Unimodal) ou ter mais de uma (Bimodal). Unimodal X = 4,5,5,6,6,6,7,7,8,8 Moda = 6 (Valor mais frequente) Amodal Y = 2,3,4,5,6 Moda = não tem moda, pois os valores tem a mesma frequencia Bimodal Z = 2,4,4,4,6,7,8,8,8,9 Moda = 4 e 8 ‐ Bimodal pois há dois valores com maiores frequencia MEDIANA APARTIR DE AMOSTRAGEM ‐ A Mediana é o valor que ocupa a posição central de uma determinada amostragem. Amostragem com quantidade ímpar: 4,5,15,22,27,36,47 Mediana = 22 Obs.: Divide‐se a amostragem em dois grupos iguais, o valor central é a mediana Amostragem com quantidade par: 4,5,15,22,27,36,47,54 Mediana = 24,5 Obs.: Soma‐se os dois valores centrais e divide‐se por dois = (22+27)/2 = 24,5 MODA E MEDIANA APARTIR DE DADOS AGRUPADOS MÉDIA AGRUPADA Χത ൌ ∑௫ ∑ = ଶ.ଷ ହ = 54,6 Mo ൌ ܮ݅ ݀1݀1 ݀2 ∗ ݄ MODA COM DADOS AGRUPADOS “CZUBER” Li = Limite inferior do intervalo de classe a que pertence Fm; h = Intervalo da classe; d1 = É a frequência da classe da moda menos a frequência da classe anterior (d1=fi‐fant); d2 = É a frequência da classe da moda menos a frequência da classe posterior (d2=fi‐fsup); Me ൌ ܺ݁ ݄ ሺܺ݉ െ ܨ݅ܽܽሻ݂݅ MEDIANA COM DADOS AGRUPADOS Xe (Li) = Ponto inicial (Limite Inferior) do intervalo de classe a que pertence Xm; h = Intervalo da classe; Xm = É o valor mediano (metade da frequência total); Fiaa = Frequência acumulada anterior à classe a qual pertence Xm; fi = Frequência simples da classe a qual pertence Xm. PM ou Xi Classes fi Fi Σ Xi*fi 5 0|̶—10 2 2 10 15 10|̶—20 1 3 15 25 20|̶—30 3 6 75 35 30|̶—40 5 11 175 45 40|̶—50 10 21 450 55 50|̶—60 8 29 440 65 60|̶—70 9 38 585 75 70|̶—80 6 44 450 84 80|̶—90 4 48 340 95 90|̶—100 2 50 190 2.730 Me ൌ 50 10 ሺ25 െ 21ሻ8 Me ൌ 50 10 ሺ4ሻ8 Me ൌ 50 10 ∗ 0,5 Me ൌ 55 MEDIANA Temos 50 elementos (Fi), logo a mediana estará no 25º elemento, que se encontra na classe “50|̶—60”. Xe = 50 h = 10 Xm = 25 Fiaa = 21 Fi = 8 Mo ൌ ܺ ݄ሺܨ݉ െ ܨܽሻ 2ܨ݉ െ ሺܨܽ ܨሻ MODA COM DADOS AGRUPADOS Xo = Ponto inicial do intervalo de classe a que pertence Fm; h = Intervalo da classe; Fm = É a frequência máxima; Fa = Frequência anterior à Fm; Fp = Frequência posterior à Fm. Mo ൌ 40 ݀1݀1 ݀2 ∗ 10 Mo ൌ 40 55 2 ∗ 10 Mo ൌ 40 0,714 ∗ 10 Mo ൌ 47,14 MODA COM DADOS AGRUPADOS “CZUBER” Identifica‐se a classe de com maior valor de “fi” Frequencia simples, logo aí estará a Moda. Na tabela ao lado estará na classe “40|̶—50” Li = 40 H = 10 d1 = (10‐5) = 5 d2 = (10‐8) = 2 AULA 04 – MEDIDAS DE ORDENAMENTO E FORMA ‐ Para Calculos de Quartis, Decis e Centis com dados de amostras: Quartis ܳ݊ݍ ൌ ܺሺ݊ݍ݊4 1 2ሻ Decis ܳ݊ݍ ൌ ܺሺ݊ݍ݊10 1 2ሻ Centil ܳ݊ݍ ൌ ܺሺ݊ݍ݊100 1 2ሻ Qnq = São os primeiro, segundo e terceiro quartil; X = Elemento da série ordenada; n = Tamanho da amostra; nq = Número do Quartil que se deseja obter. Amostra: 65,68,70,75,80,80,82,85,88,90,90,95,98,100,100. Qual o 3º Quartil: Q3=X+((nq*n/4)+1/2) Q3=X+((3*15/4)+1/2) Q3=X11,75 O 3ºQ está entre o 11º e 12º elemento da amostra, no caso, 90 e 95. Aplica‐se a regra de 3: , Soma‐se o resultado da “regra de 3” ao 11º elemento da amostra. X—0,75 5—1 = 3,75 Resultado: 11º Elemento = 90 Regra de 3 = 3,75 3ºQ = 93,75 Qual o 60º Centil: C60=X+((nq*n/100)+1/2) C60=X+((60*15/100)+1/2) C60=X9,5 O 60ºC está entre o 9º e 10º elemento da amostra, no caso, 88 e 90. Aplica‐se a regra de 3: , Soma‐se o resultado da “regra de 3” ao 9º elemento da amostra. X—0,5 2—1 = 1 Resultado: 9º Elemento = 88 Regra de 3 = 1 60ºC = 89 Qual o 7º Decil: D7=X+((nq*n/10)+1/2) D7=X+((7*15/10)+1/2) D7=X11 O 7ºD é o 11ºelemento da amostra, no caso, 90. AULA 04 – MEDIDAS DE ORDENAMENTO E FORMA ‐ Cont. ‐ Para Calculos de Quartis, Decis e Centis com dados agrupados: ܥ ݊ݔ ൌ ܮ݅ ൬݊ݔ ∗ ݊ െ ܨܽܽ݊ݐܨ݅ ൰ ∗ ݄ nx = Quartil, Decil ou Centil que se deseja; n = Quantidade da Amostra (Frequência acumulada – Fi); Li = Limite Inferior da Classe encontrada, ex: 70|̶—80, Li=70; h = Amplitude (quantidade) do intervalo das classes, ex: 70|̶—80, h=10 ; Faant = Frequência Acumulada da classe anterior; fi = Frequência da classe encontrada Para Quatil (nx*n) 1ºQ=(1/4)*Fi ou 0,25*Fi; 2ºQ=0,5*Fi; 3ºQ=0,75*Fi. Para Decil (nx*n) 1ºD=(1/10)*Fi ou 0,1*Fi; 2ºD=0,2*Fi; 3ºD=0,3*Fi ... 9ºD=0,9*Fi. Para Centil (nx*n) 60ºC=(60/100)*Fi ou 0,6*Fi. Classes fi Fi 0|̶—10 2 2 10|̶—20 4 6 20|̶—30 5 11 30|̶—40 4 15 40|̶—50 6 21 50|̶—60 7 28 60|̶—70 7 35 70|̶—80 10 45 80|̶—90 25 70 90|̶—100 10 80 Qual o 2º Quartil: C50=Li+((nx*n‐Faant)/fi)*h C50=70+((0,5*80‐35)/10)*10 = 75 Qual o 6º Decil: C60=Li+((nx*n‐Faant)/fi)*h C60=80+((0,6*80‐45)/25)*10 = 81,2 Qual o 72º Centil: C72=Li+((nx*n‐Faant)/fi)*h C72=80+((0,72*80‐45)/25)*10 = 85,04 AULA 05 – MEDIDAS DE DISPERSÃO Para calcular o Desvio Padrão (DP) de uma amostra: 1‐ Acha‐se a Média Simples (Χิ = ΣΧі/n); 2‐ Diminui‐se cada amostra da média calculada (Χі ‐ Χิ); 3‐ Eleva‐se ao quadrado o valor obtido da fórmula (Χі ‐ Χิ) em cada amostra e soma‐se todas; 4‐ O valor encontrado no item “3” divide‐se pelo número de amostra diminuído de um (n – 1); 5‐ Tem‐se o valor da Variância; 6‐ Extraimos a raiz quadrada da variância e teremos o Desvio Padrão. Χิ – Média Simples Σ – Somatório Χі – amostras n – Números (quantidade) de amostras Χิ = ΣΧі/n = 29/5 = 5,8 Χі Χิ Χі ‐ Χิ (Χі ‐ Χิ)2 4 5,8 ‐1,8 3,24 5 5,8 ‐0,8 0,64 5 5,8 ‐0,8 0,64 7 5,8 1,2 1,44 8 5,8 2,2 4,84 29 10,8 VAR= ∑ ଶሺಆі ష ಆጟሻିଵ Σ(Χі ‐ Χิ)2 /n‐1 VAR= ଵ,଼ହିଵ = ଵ,଼ ସ = 2,7 DP = √ܸܣܴ DP = √2,7 = 1,64 D.P. para amostras AULA 05 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – Cont. Para calcular o Desvio Padrão (DP) de Dados Agrupados: A – Apartir da amplitude (intervalo) da classe, acha‐se o Ponto Médio (Χі ouPM), ex: 0|̶—10, o ponto médio é 5; E – Faça o somatório do resultado da multiplicação do Ponto Médio pela frequência da classe Σ(Xi*fi); F – Calcula‐se a Média Agrupada em Classe Χิ = Σ(Xi*fi) /n; G – Diminui‐se o valor encontrado no item “E” pelo valor encontrado no item “F” para cada classe (Xi*fi) ‐ Χิ; H – Eleva‐se ao quadrado o valor encontrado no item “G”; I – Multiplica‐se o valor encontrado no item “G” pela frequencia simples de cada classe; J – Faça o somatório (Σ) do valor encontrado no item “I” e divida pela Frequencia Acumulada (Fi) para encontrar o valor da Variância; K – Extraimos a raiz quadrada da variância e teremos o Desvio Padrão. Dados do Exercício A=(B/2) B C D E=A*C F= (ΣE)/Fi G=E‐F H = G2 I=H*C Χі (PM) Classes fi Fi Χі *fi Χิ (Χі*fi) ‐ Χิ ((Χі*fi) ‐ Χิ)2 ((Χі*fi) ‐ Χิ)2 *fi 5 0|̶—10 2 2 10 65,9 ‐60,9 3709 7418 15 10|̶—20 4 6 60 65,9 ‐50,9 2591 10364 25 20|̶—30 5 11 125 65,9 ‐40,9 1673 8365 35 30|̶—40 4 15 140 65,9 ‐30,9 955 3820 45 40|̶—50 6 21 270 65,9 ‐20,9 437 2622 55 50|̶—60 7 28 385 65,9 ‐10,9 119 833 65 60|̶—70 7 35 455 65,9 ‐0,9 1 7 75 70|̶—80 10 45 750 65,9 9,1 83 830 85 80|̶—90 25 70 2125 65,9 19,1 365 9125 95 90|̶—100 10 80 950 65,9 29,1 847 8470 5270 51854 Χิ = Σ(Xi*fi) /n = 5270/80 = 65,9 VAR= ∑ ଶሺಆі ష ಆጟሻ ∗∑ Σ(Χі ‐ Χิ)2 *fi/ Σfi VAR = 51854/80 = 648,195 DP = √ܸܣܴ DP = ඥ648,195 = 25,45 AULA 07 – DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM σx ൌ σ/√݊ Erro padrão da Média σx = Erro Padrão da Média σ = Desvio padrão da população n = tamanho da amostra FC ൌ ඥሺܰ െ ݊ሻ/ሺN െ 1ሻ Fator de Correção para Populações FC = Fator de Correção N = Tamanho da População n = tamanho da amostra σd ൌ σx/ܨܥ Erro padrão da Distribuição σd = Erro Padrão da Distribuição σx = Erro Padrão da Média FC = Fator de Correção AULA 08 – INTERVALOS DE CONFIANÇA Intervalo de Confiança IC = Xm +- Z σx IC = Intervalo de Confiança Xm = Média Z = Número Unidade Desvio Padrão apartir da Média σx = Erro amostral Em uma dada semana, uma amostra de 30 empregados horistas é selecionada de um grande número de empregados de uma fábrica, teve uma média da amostra de salários de R$ 180,00, com desvio padrão da amostra de R$ 14,00. Estimamos a média dos salários para todos os empregados horistas na empresa com intervalo estimado de forma que podemos estar em 95% confiantes de que o intervalo inclui o valor médio da população da seguinte maneira: n (amostra empregados) = 30 Xm (média salários) = 180,00 σ (desvio padrão) = 14,00 IC = 95% σx ൌ σ/√݊ σx ൌ 14/√30 ൌ 2,56 1ª. Etapa σx = Erro Amostral σ = Desvio padrão da população n = amostra empregados 2ª. Etapa 1,96 ................95% Z = 1,96 Nº Und. de Desvio Padrão da Média Proporção Verificada 1,645 90% 1,96 95% 2,58 99% 3ª. Etapa IC = Xm +- Z σx IC = 180 + 1,96*2,56 = 185,02 IC = 180 – 1,96*2,56 = 174,98 O Intervalo de confiança será entre 174,98 e 185,02. 1ª. Etapa – Calcular o Erro Amostral 2ª. Etapa – Identificar o Número de unidades de Desvio Padrão a partir da média. 3ª. Etapa – Aplicar a fórmula do intervalo de confiança. AULA 09 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL Probabilidade Distribuição Normal Z = (Xi – Xm) / σ Z = Probabilidade Distrib. Normal Xi = Média da Amostra Xm = Média Geral σ = Desvio Padrão Supondo que uma nota média de estudantes em uma prova foi de 6 com desvio padrão de 1, 5. Calcule as probabilidades associadas: A – O percentual de alunos com média entre 4,5 e 7,5; B – O percentual de alunos com média acima de 7,5; C – O percentual de alunos com média acima de 4, 5; D – O percentual de alunos com média abaixo de 5,25. A – O percentual de alunos com média entre 4,5 e 7,5: Z = (Xi – Xm) / σ Z = (7,5-6) / 1,5 = 1 (0,3413 Tabela*) Z = (4,5-6) / 1,5 = 1 (0,3413 Tabela*) 0,3413+0,3413=0,6826 O % de alunos que obtiveram notas entre 4,5 e 7,5 de média é de 68,26%. * Tabela de Distribuição Normal B – O percentual de alunos com média acima de 7,5: Z = (Xi – Xm) / σ Z = (7,5-6) / 1,5 = 1 (0,3413 Tabela*) Como uma nota acima de 7,5 está à direita da metade da curva temos: 0,50 - 0,3413 = 15,87% O % de alunos que obtiveram média acima de 7,5 é de 15,87%. * Tabela de Distribuição Normal C – O percentual de alunos com média acima de 4, 5: Z = (Xi – Xm) / σ Z = (4,5-6) / 1,5 = -1 (0,3413 Tabela*) Como uma nota acima de 4,5 está à esquerda da metade da curva temos: 1,00 - 0,3413 = 65,87% O % de alunos que obtiveram média acima de 4,5 é de 65,87%. * Tabela de Distribuição Normal D – O percentual de alunos com média abaixo de 5,25: Z = (Xi – Xm) / σ Z=(5,25-6)/1,5= -0,5 (0,1915 Tabela*) Como uma nota acima de 5,25 está à esquerda da metade da curva temos: 0,50 - 0,1915 = 30,85% O % de alunos que obtiveram média abaixo de 5,25 é de 30,85%. * Tabela de Distribuição Normal AULA 10 – TESTE DE HIPÓTESES Considere que um determinado professor anunciou que a média de nota de alunos em estatística foi de no mínimo 6,0 na AV1. Considerando um teste de hipótese com amostras de 50 elementos e um nível de significância de 5%, calcule: A – Se após os dados relativos a 50 elementos encontrarmos a média de 6,2 e desvio-padrão de 0,8. B – Se após os dados relativos a outra amostra com 50 elementos, encontrarmos a média de 5,7 e desvio-padrão de 1,2. A – Se após os dados relativos a 50 elementos encontrarmos a média de 6,2 e desvio-padrão de 0,8. Etapa 1: H0 = 6,0 e H1 <6,0 Etapa 2: Nível de Significância 5% Etapa 3: De acordo com a Distribuição Normal Reduzida, o Z para nível de significância de 5% é de - 1,65 Etapa 4: Utilização da fórmula Z = (6,2-6) I (0,8/ √50) = 0,2 I 0, 1131 = 1, 7678 Como 1, 7678 > -1 ,65, a hipótese nula será aceita. B – Se após os dados relativos a outra amostra com 50 elementos, encontrarmos a média de 5,7 e desvio-padrão de 1,2. Etapa 1: H0 = 6,0 e H1 <6,0 Etapa 2: Nível de Significância 5% Etapa 3: De acordo com a Distribuição Normal Reduzida, o Z para nível de significância de 5% é de - 1,65 Etapa 4: Utilização da fórmula Z = (5,7-6) I (1,2/ √50) = -0,3 I 0, 1697 = -1, 7678 Como -1, 7678<-1 ,65, a hipótese nula será rejeitada. Ou seja, a informação da amostra não nos permite confirmar uma média 6,0 na prova com nível de significância de 5%.
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