Estatistica Aplicada

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ESTATISTICA 
APLICADA 
Elizabeth Reis 
Paulo MeIo 
Rosa Andrade 
Teresa Calapez 
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?JOI3dflS V1OD 
E expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer meio 
ou forma, NOMEADAMENTE FOTOCOPIA, esta obra. As transgressOes serão 
passiveis das penalidades previstas na legislaçao em vigor. 
FICHA TECNICA: 
TItulo: EstatIstica Aplicada 
Autores: Elizabeth Reis, Paulo Melo, Rosa Andrade, Teresa Calapez 
© EdiçOes Sliabo, Lda. 
!mpressao e acabamentos: Rolo & Filhos, Lda. 
Lisboa 1996 
DepOsito legal: 96244/95 
ISBN: 972-618-132-1 
EDIçOEs SILABO, LDA. 
R. Passos Manuel, 99, 52 Esq. 
1150 Lisboa 
Telfs: 3161281 /3145880 / 3161282 
Fax: 3145880 
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In dice 
PREFACIO 	 • 13 
Cap Itulo / - /ntrodução 
1. DUAS RAZOES PARA SE ESTUDAR ESTATISTICA ........17 
2. A NECESSIDADE DA ESTATISTICA NAS CIENCIAS 
ECONc5MICAS E DE GESTAO ...................17 
3. METODO ESTATISTICO DE RESOLUçAO DE UM PROBLEM . . 19 
4. ESTAT1STICA DESCRITIVA E INFERENCIA ESTATISTICA . . . . 20 
5. ESCALAS DE MEDIDA DOS DADOS ESTATISTICOS .......22 
5.1. Escala nominal ..........................23 
5.2. Escala ordinal 	..........................24 
5.3. Escala por intervalos .......................24 
5.4. Escala de rácios .........................25 
6. ALGUMAS CONSIDERAQOES FINAlS ...............25 
7. UTILIZAQAO DO COMPUTADOR ..................26 
Cap Itulo II - To or/a das probabiidades 
1. RESUMO HISTORICO ........................29 
2. CONCEITOS DA TEORIA DAS PROBABILIDADES ........32 
2.1. ExperiOncia aleatOria .......................32 
2.2. Espaço de resultados ......................33 
2.3. Acontecimentos 	.........................35 
3. ALGEBRA DOS ACONTECIMENTOS ................ 39 
3.1. União de acontecimentos 	.................... 39 
3.2. Intersecção de acontecimentos 	................. 40 
3.3. Diferença de acontecimentos 	.................. 42 
3.4. Propriedades das operaçöes 	.................. 44 
4. CONCEITOS DE PROBABILIDADE 	 . 45 
4.1. Conceito ciássico do probabilidade (a priori) .......... 46 
4.2. Concoito froquoncista do probabilidado (a poster/on) ..... 48 
4.3. Concoito subjoctivo ou personalista do probabihdade .....49 
5. AXIOMAS DA TEORJA DAS FROBABILIDADES ..........51 
6. PROBABILIDADES CONDICIONADAS ...............62 
6.1. Axiomática e tooromas da tooria das probabilidados 
na probabilidado condicionada .................65 
7. PROBABILIDADE DE INTERSEC9A0 DE ACONTECIMENTOS. 
ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES ..............68 
7.1. Probabilidado de intorsecçäo do acontocimontos ........68 
7.2. Acontecimontos indopendenfes .................70 
7.3. Acontocimentos indopendentos versus acontecimontos 
incompatIveis ou mutuamonto oxciusivos ............76 
8. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E FORMULA DE BAYES 	78 
8.1. Teoroma da probabilidade total .................79 
8.2. FOrmula do Bayes ........................80 
EXERCICIOS PROPOSTOS ......................83 
Capftuio III - Var/ave/s aleatarias 
1. DEFINIçA0 ..............................89 
1.1. Enquadramonto o oxemplos ...................89 
1.2. Cálculo do probabilidados atravOs do variávois aloatOrias . . . 94 
1.3. Variáveis aloatOrias unidimonsionais o bidimonsionais .....96 
2. FUN9OE8 DE PROBABILIDADE E DE DISTRIBUIcAO 
DE VARIAVEIS ALEATORIAS UNIDIMENSIONAIS .........99 
2.1. Variavejs aloatOrias discrotas ..................99 
2.1.1. Funçào de probabilidade 	..................99 
2.1.2. Função do distribuiçao ....................104 
2.2. Variavois aleatOrjas contInuas ..................107 
3. FUNçOES DE PROBABILIDADE E DE DISTRIBUIQAO 
DE VARIAVEIS ALEATORIAS BIDIMENSIONAIS ..........115 
3.1. Variávois aleatOrias discretas ..................115 
3.1.1. Função do probabilidado conjunta .............115 
3.1.2. Função do distribuição conjunta . 	117 
3.1.3. Função do probabilidade marginal 	............. 119 
3.1.4. lndependencia de variáveis aleatorias 	........... 120 
3.2. Variaveis aleatOrias contInuas 	.................. 121 
3.2.1. 	Definição 	........................... 121 
3.2.2. Cálculo do probabilidades 	.................. 123 
3.2.3. Funçöes do densidade do probabiUdade marginais 	. 125 
3.2.4. IndepondOncia 	........................ 126 
4. FARAMETROS DE VARIAVEIS ALEATORIAS: VALOR ESPERADO 
E VARIANCIA 	............................. 127 
4.1. Media ou valor esperado 	.................... 127 
4.1.1. 	Definição 	........................... 127 
4.1.2. Propriedades do valor esperado 	.............. 129 
4.1.3. Valor esperado do função do variávol aleatOria ....... 131 
4.1.4. Valor esperado monetário (V.E.M.) 	............. 133 
4.2. Variância e desvio-padrão 	.................... 137 
4.2.1. Fropriodades da variância .................. 139 
4.3. Covariância e coeficiente do correlaçäo linear 	......... 140 
5. MOMENTOS 	............................. 145 
5.1. Função goradora do momentos 	................. 147 
6. DESIGUALDADES DE MARKOV E CHEBISHEV .......... 148 
EXERCICIOS PROPOSTOS 	...................... 154 
Cap[tub IV - D!stribuiçöes teáricas mais importantes 
1. DISTRIBuIçOES DISCRETAS .................... 161 
1.1. A distribuiçäo uniforme ...................... 161 
1.2. Prova do Bernoulli 	........................ 166 
1.3. A distribuição do Bernoulli 	.................... 169 
1.4. A distribuiçao binomial 	...................... 171 
1.4.1. Afunção do probabilidade da binomial 	........... 172 
1.4.2. Aspecto gráfico da função do probabilidade da binomial . . 	177 
1.4.3. Parâmetros da distribuição binomial 	............ 181 
1.4.4. A aditividade nas distribuiçoes binomiais 	.......... 184 
1.4.5. Outras aplicaçOes da distribuiçao binomial 	......... 185 
1.5. A distribuição multinomial 	.................... 189 
1.5.1. Parametros mais importantes da multinomial ........ 191 
1.6. A distribuiçao binomial negativa . 	195 
1.6.1. Relaçao entre a binomial e a binomial negativa 	...... 196 
1.6.2. Parâmetros mais importantes da binomial negativa 	. . 	197 
1.7. A distribuiçao geométrica ou de Pascal . 198 
1.7.1. Parâmetros mais importantes da distribuição geométrica . 	199 
1.8. A distribuiçào hipergeometrica .................. 200 
1.8.1. Parâmetros mais importantes da distribuiçao 
hipergeomOtrica 	....................... 203 
1.8.2. Generalização da distribuiçao hipergeometrica ....... 204 
1.9. A distribuiçao de Poisson 	.................... 206 
1.9.1.0 processo de Poisson 	................... 206 
1.9.2. Parâmetros mais importantes da distribuiçao de Poisson . 209 
1.9.3. A aditividade nas distribuiçoes de Poisson 	......... 212 
1.9.4. Aproximaçao da distribuiçao binomial a Poisson ...... 214 
2. DISTRIBuIcOES CONTINUAS 	................... 219 
2.1. A distribuiçao uniforme ...................... 219 
2.2. A distribuiçao normal ....................... 222 
2.2.1. CaracterIsticas da distribuiçao normal 	........... 223 
2.2.2. Cálculo de probabilidades na distribuiçao normal 	. . . 	. 	225 
2.2.3. A aditividade da distribuiçao normal ............. 232 
2.2.4. A distribuiçao normal como uma aproximaçäo 
da distribuição binomial 	................... 234 
2.2.5. A distribuiçao normal como aproximação 
da distribuiçao de Poisson .................. 235 
EXERCICIOS PROPOSTOS ......................238 
Capftulo V - 0 processo de amostragem 
1.INTRODUçA0 ............................245 
2. ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES NA TEORIA 
DA AMOSTRAGEM ..........................247 
3. QUESTOES PREVIAS A0 PROCESSO DE AMOSTRAGEM . . . 250 
4. AS FASES DO PROCESSO DE AMOSTRAGEM .......... 251 
4.1. A identificaçao da população alvo I população inquirida 	. . 252 
4.2. Os métodos de selecçao da amostra .............. 254 
4.2.1. Métodos de amostragem aleatOria 	............. 255 
4.2.1.1.Amostragem aleatOria simples 	............. 256 
4.2.1.2. Amostragem casual sistematica . 259 
4.2.1.3. Amostragem estratificada 	................ 260 
4.2.1.4. Amostragem por clusters 	................263 
4.2.1.5. Amostragem multi-etapas 	................ 264 
4.2.1.6. Amostragem multi-fásica .................. 265 
4.2.2. Métodos de amostragem dirigida 	.............. 267 
4.2.2.1. Amostragem por conveniência 	............. 267 
4.2.2.2. Amostragem intencional 	................. 268 
4.2.2.3. Amostragem snowball .................. 269 
4.2.2.4. Amostragem sequencial 	................. 269 
4.2.2.5. Amostragem por quotas 	................. 270 
EXERCICIOS PROPOSTOS ......................273 
Cap(tub VI— Distr!buiçães Amos trais 
1.INTRODUQAO ............................277 
1.1. Amostra aleatOria 	........................278 
1.2. Parametros e estatisticas ....................281 
1.3. Lei dos grandes nümeros ....................283 
1.4. Teorema do limite central ....................285 
2. DISTRIBUIQOES AMOSTRAIS TEORICAS ............. 287 
2.1. Distribuição normal ........................ 287 
2.2. Outras distribuiçOes 	....................... 290 
2.2.1. Distribuição do Qui-quadrado 	................ 290 
2.2.1.1. Principais caracteristicas da distribuição do ...... 291 
2.2.1.2. Alguns teoremas 	.................... . 	291 
2.2.2. Distribuição t de Student 	.................. 292 
2.2.2.1. Principals caracteristicas 
da distribuiçäo t de Student 	............... 293 
2.2.2.2. Alguns teoremas 	..................... 293 
2.2.3. Distribuição Fde Snedecor 	................. 294 
2.2.3.1. Principals caracterIsticas da distribuição F 	....... 295 
2.2.3.2. Alguns teoremas 	..................... 295 
3. DISTRIBUI9OES AMOSTRAIS DAS ESTATISTICAS 
MAIS IMPORTANTES ........................297 
3.1. Populaçoes Bernoulli .......................297 
3.1.1. Distribuição de uma proporção amostral ..........299 
3.1.2. Distribuição da diferença entre duas proporçöes amostrais . 301 
3.2. Popufaçoes normals 	
. 302 
3.2.1. Distribujcao da media amostra! (X) quando a variancja a2 6 Conhecida 	.........................302 
3.2.2. Distribuiçao da variancia amostral (.-S2) ........... 303 
3.2.3. Distribuicao da media amostra: (X) quando a variancja a2 
nao 6 conhecida .......................304 
3.2.4. Distribuicao do quociente 
de variancias amostrais (S,2 A9 j) ............. 305 3.2.5. Distribuicao da diferença 
entre mOd las amostrais (X 	
-
1 - X2) ............. 306 
EXERCICIOS PROPOSTos ........................
308 
Capftulo VII - Estimaçao de parAmetros 
1.INTRODUcAO 
.........................
313 
2. ESTIMAcAO PONTUAL 	.......................
314 2.1. Estimadores 0 estjmj., 	....................
314 2.2. Propriecjades dos esfimadores 	.................
315 2.3. MOtodos de estimação pontuaf 	.................
327 
2.3.1. 0 mOtodo da maxima verosimilhanca ............327 
3. ESTIMAQAO FOR INTERVALOS 	..................
335 
EXERCICIOS PROPOSTOS 	......................
347 
Cap[tWo VIII - Ensaio de Hip áteses 
l.A NECESSIDADE DOS ENSAIDS DE HIPOTESES 	........ 355 
2. HIPOTESES E ERROS 	.......................
357 
3. 
COMQ FAZER UM ENSAJO DE HIPOTESES ............359 
4. ERROS NOS ENSAIOS DE HIPOTESES ..............367 
4.1. Análjse do erros 	.........................
369 4.l.l.Oerrot/poi 	.........................
370 4.l.2.Oerrot/poll 	.........................373 
4.1.3. Minimizacao dos erros ....................377 
4.2. Funçao potOncia do ensajo 	...................383 
5. ESCOLHA DA ESTATISTICA ADEQUADA AO ENSAIO . 389 
5.1. 	Introduçao 	............................ 389 
5.2. Ensalos do hipOteses corn uma arnostra 	............ 390 
5.2.1. Ensaio para a media ji do universo .............. 390 
5.2.1.1. A população é normal e a variäncia 
do universo e conhecida ................. 390 
5.2.1.2. A popu!açäo é normal e a variäncia 
do universo O desconhocida ............... 390 
5.2.1.3. A populaçäo O desconhecida 	.............. 394 
5.2.2. Ensaio para a proporção 	.................. 395 
5.2.3. Ensaio para a variância 	................... 396 
5.3. Ensaios do hipOtoses com duas amostras 	........... 398 
5.3.1. Ensaio para a diferença do mOdias 	............. 398 
5.3.1.1. Populaçoes norrnais e variâncias conhecidas 	..... 399 
5.3.1.2. Qualquer população, variâncias desconhecidas, 
mas amostras grandes 	................. 399 
5.3.1.3. Arnostras pequenas, populaçoes normals 
e variâncias desconhecidas mas iguais ......... 402 
5.3.1.4. Arnostras empareihadas 	................. 404 
5.3.2. Ensaio para a diferença de proporçOes ........... 408 
5.3.3. Ensaio para comparação do duas variâncias ........ 411 
5.4. Ensaio do hipOteses para rnais de duas amostras 	....... 415 
5.4.1. Ensaio para a diforonça do k medias - 
— analise do variância simples 	............... 416 
5.4.2. Testes do comparação mültipla 	............... 422 
5.4.3. Ensalos 	para a diferença do kvariancias 	......... 429 
EXERCICIOS PROPOSTOS ......................432 
Cap [tWo IX - Testes não-paramétricos 
1. INTRODUQAO ............................441 
2. TESTES DEAJUSTAMENT0 ....................445 
2.1. Teste do ajustamento do qui-quadrado .............447 
2.2. Teste do Kolrnogorov-Smirnov ..................456 
3. TABELAS DE CONTINGENCIA ...................462 
3.1. Teste do Qui-quadrado do IndependOncia ...........462 
3.2. Modidas do Associação .....................469 
4. TESTES A IGUALDADE DE DUAS OU MATS DISTRIBUICOES. . 472 
4.1. Testes a igualdade de distribuiçöes 
em duas amostras independentes ................ 474 
4.1.1. Teste de Mann-Whitney 	................... 474 
4.1.2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras 	. . . . 483 
4.2. Teste a igualdade de distribuiçoes em mais de duas 
amostras independentes - o teste de Kruskall-Wallis ..... 487 
5. COMPARAçOES ENTRE DUAS AMOSTRAS EMPARELHADAS . 495 
5.1. Teste de McNemar ou de mudança de opiniao ......... 496. 
5.2. Teste 	do Sinai 	.......................... 501 
5.3. Tests de Wiiooxon 	........................ 504 
EXERCICIOS PROPOSTOS 	...................... 510 
Apên dice - Tabelas de distribuiçao 
Distribuiçäo binomial 	......................... 515 
Distribuiçao de Poisson 	....................... 520 
Distribuição normal padrão 	...................... 527 
Distribuiçao do qul-quadrado 	..................... 528 
Distribuição de t de Student 	..................... 529 
Distribuição Fde Snedcor 	...................... 530 
Valores crIticos da distribuição do studentized 
range para comparaçöes mültip!as 	............... 532 
Quantis da estatIstica de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra . . 536 
Quantis da estatistica de Mann-Whitney ............... 537 
Quantis da estatIstica de Koimogorov-Smirnov 
para duàs amostras de igual dimensão ............. 541 
Quantis da estatIstica de Koimogorov-Smirnov 
para amostras de dimensoes diferentes 	............ 542 
Quantis da estatistica de Kruskai-Wallis para pequenas amostras 	. 544 
BIBLIOGRAFIA 	............................. 545 
Este livro de EstatIstica Aplicada destina-se a profissionais licenciados ou 
não e a estudantes universitários que, na vida prática ou no processo de 
aprendizagern, tern necessidade de saber EstatIstica e de a aplicar aos pro-
blernas mais variados do dia-a-dia. Como objectivos finais, este livro pretende 
tornar compreensIveiS a linguagem e notação estatIsticas, bern como exern-
plificar as suas potenciais utilizaçOes, sem descurar os pressupostos 
subjacentes e o rigor teOrico necessário. 
Deverá referir-se que a escolha do tItulo não foi pacffica. De entre os vários 
alternativos - Probabilidades e Estatistica, lnferência EstatIstica, etc. - a 
preferência por Estatistica Aplicada justifica-se pela abordagem diferenciada 
de outras obras já publicadas sobre lnferência Estatfstica, e que resumidamen-
te pode ser assim descrita: mais do que <<ensinar>>, pretende-se corn este livro, 
a) despertar e estimular 0 interesse dos leitores pelo método estatIstico de 
resolução dos problemas; b) utilizando urna linguagem simples e adessIvel, 
apresentar os conceitos e mOtodos de análise estatisticade modo mais intuitivo 
e informal; c) acompanhar a apetëncia teórica corn exemplos apropriados a 
cada situação. 
o livro encontra-se dividido ern nove capItulos. No capItulo I (Introduçao) 
são explicitadas várias razOes para que urn profissional, técnico, estudarite ou 
mero cidadão adquira urn nIvel mInimo de conhecimentos em EstatIstica. 
A Teoria das Probabilidades é objecto de estudo do capitulo II. Nele são 
apresentados os diferentes conceitos de probabilidade e a sua axiomática, 
dando especial relevo aos teorernas da probabilidade total e de Bayes. 
Os terceiro e quarto capitulos, tal como o segundo, são essencials para a 
compreensão dos seguintes, relativos a lnferencia EstatIstica. 0 capitulo Ill 
respeita as Variáveis AleatOrias, sua definição, caracterIsticas e propriedades. 
No quarto capItulo estudam-se em pormenor as distribuiçöes de algumas 
variáveis aleatOrias de importãncia major nas areas de aplicação das ciOncias 
sOcio-económicas como sejam as distribuiçoes de Bernoulli, binomial, Poisson, 
binomial negativa, hipergeornétrica, multinomial, uniforme e normal. 
o capItulo V e dedicado ao estudo dos processos de arnostragem, incluindo 
os diferentes métodos de recolha de urna amostra, enquanto que no capftulo 
VI se apresentarn as distribuiçöes amostrais mais importantes. 
Os trës Oltirnos capItulos são dedicados a lnferencia EstatIstica propriamen-
to dita. No capitulo VII apreseritam-so métodos do estimação de parâmotros, 
corn Onfase especial para o método do maxima verosimilhança. Inclui-se ainda 
a estirnação por intervalos. Os capItulos VIII e IX destinam-se a apresentaçãô, 
respectivamente, dos ensaios de hipOteses pararnétricos e não-pararnétricos. 
Corn excepção do prirneiro, todos os restantes capItulos são finalizados 
corn urn conjunto do exercIcios não resolvidos, acompanhados geralmente das 
respectivas soluçoes. 
No ApOndice estão incluldas as Tabelas (das distribuiçbes) necessárias a 
compreensão do texto e a resolução dos exemplos e dos exercicios propostos. 
Este livro é o resultado do alguns anos do experiOncia docente dos seus 
autores na equipa do Estatistica do ISCTE e da tentativa do responder as 
necessidades sentidas por rnuitos - alunos e docentes de variadas licencia-
turas, docentes do ensino secundário, profissionais e técnicos do diferentes 
areas cientIficas (gestão, econornia, sociologia, psicologia, medicina, enferrna-
gem, engenharia, inforrnática, etc.) - quo, no decorrer destes anos, e na falta 
do urna obra quo os ajudasse a encontrar as soluçoes estatisticas apropriadas 
aos seus problernas, procuraram ajuda junto dos autores. 
Sern dUvida que a responsabilidade desta obra é assurnida pelos seus 
autores, mas a sua concretização so so tornou possIvel corn a ajuda, apoio e 
disponibilidade do rnuitos. Por isso, não deixarido do agradecer a todos os quo, 
directa ou iridirectamente, contribuIrarn para a sua realização, gostarlamos do, 
nominalmente, dar urna palavra especial do agradecimonto aos seguintes 
docentes do Estatistica do ISCTE: Ana Cristina Ferreira, Ana Paula Marques, 
Antonio Robalo, Fatima Ferrão, Graça Trindade, Helena Carvalho, Helena 
Pestana, João Figueira, J.C. Castro Pinto, J.J. Dias Curto, Margarida Peres-
trelo e Paula Vicente. 
Finalmente, uma palavra de apreço a todos os alunos, quer das licenciatu-
ras do ISCTE, quer dos mestrados do INDEG/ISCTE, cujas sugestöes, düvidas 
e problernas certamonte contribufram para enriquecer este livro. 
Os autores 
n = 
1. Duas razOes para so estudar estatIstica 
Existem duas boas razöes para so saber Estatfstica. Primeira, qualquer 
cidadão está diariamente exposta a urn enorme conjunto de informaçoes 
resultantes de estudos sociolOgicos e do mercado ou econOmicos, de sonda-
gens palIticas ou mesmo de pesquisa cientIfica. Muitos destes resultados 
baseiam-se em inquOritos par amastragem. Alguns deles utilizam, para a efeito, 
uma amostra representativa de dirnensaa adequada e recalhida par um pro-
cessa aleatOria. Outros nãa. Para estes, a validade dos resultados nãa 
ultrapassa a arnostra que as ariginau. A afirmaçaa de que e fácil mentir cam 
EstatIstica e quaso urn lugar camurn. Qualquor manual que se preze apresenta 
nas primeiras páginas a farnosa citaçãa atribuida a Benjamin Disraeli: "There 
is three kinds of lies: lies, damned lies and statistics)). E o pior é que, do coda 
forma, esta citaçäo é verdadeira: O Mcii distorcer e manipular resultados e 
canclusöes e enganar alguem não-(in)farmado. Mas saber Estatistica permite 
que so avaliom as métados de recolha, as prOprias resultados, se detectem e 
rejeitem falsas conclusoes. 
So, para muitas, a nocessidade do saber Estatistica advém do facto do 
serern cidadäos do mundo, para alguns essa nocessidade é acrescida par uma 
actividado prafissianal que requer a utilizaçãa do métadas estatisticas de 
recolha, análise e interpretaçao de dados. F osta é a sogunda razâo para so 
estudar EstatIstica. A utilização da EstatIstica nas ciOncias sociais, pailticas, 
econOmicas, biolOgicas, fisicas, médicas, de engenharia, etc, é por dernais 
canhecida: as métados de arnostragem o do inferOncia estatIstica tornaram-se 
urn dos principals instrumentos do rnétoda cientifico. Para tados as quo traba-
Iham nestas areas, é vital urn canhocirnenta básica dos conceitas, 
passibilidados e limitaçoes desses mOtadas. 
2. A necessidade da estatIstica nas ciências 
econámicas e de gestão 
Nas areas econOrnicas e de gestãa do empresas, a EstatIstica pade ser 
utilizada cam três objectivas: (1) descrever e campreender roiaçöos ontre 
diforentes caracterIsticas de uma populaçaa, (2) lamar decisöos mais carrectas 
e (3) fazor face a mudança. 
7 
A quantidade de informaçào recoihida, procossada e finalmente apresenta-
da a urn comum mortal cresce tao rapidarnente quo urn procosso de selecção 
o identificaçâo das relaçöes mais irnportantes so torna imprescindIvel. E aqul 
que a EstatIstica poderá dar o seu prirneiro contributo, quer atravOs de métodos 
merarnente descritivos, quer utilizando métodos mais sofisticados do genera-
!ização dos resultados do uma arnostra a toda a popuiação. 
Urna vez identificadas as relaçoes, estas poderão constituir uma ajuda 
prociosa a tornada de decisOes correctas em situaçöes de incerteza. Veja-se 
o seguinte exernplo. 
AtravOs do métodos estatIsticos adequados, detorminada instituição bancá-
na idenfificou as caracterIsticas sócio-econOrnicas daquoles que considera 
serern bons clientes. Esta identificação pormite-Ihe, no futuro, rejeitar pedidos 
do crédito por patio do potenciais clientos, cujas caracterIsticas mais se afas-
tarn das anteriores. 
Pianoar significa determinar antecipadamente as acçöes a ernpreender no 
futuro. Para fazer face a rnudança, é nocessário que as decisoes e o planiea-
monto se apoiern nurna análise cuidada da situação presonte e riuma previsão 
realista do quo acontecerá no futuro. 
Os mOtodos estatisticos de previsão nao permitorn adivinhar corn uma 
precisão absoluta os acontecimontos futuros, rnas perrnitem modir as variaçOos 
actuais e estabolecer os conários futuros mais provávois, dirninuindo, de algurn 
rnodo, a incerteza inorente a osses acontecirnontos futuros. 
Na gestão das empresas, a tomada do docisão é crucial e faz parte do 
dia-a-dia de qualquer gestor. As consequOncias dossas docisoes são derna-
siado irnportantos para quo possarn basoar-so apenas na intuição ou feeling 
rnornentânoos. 
Os gostores são rosponsáveis polas decisoes rnesrno quando ostas se 
baseiarn ern inforrnaçoes incornpletas ou incertas. E precisarnente porque a 
inforrnação disponfvol estã associado urn elevado grau do incerteza que a 
Estati'sfica se tornou tao irnportanto no processo de tornada de decisOos: a 
Estatistica perrnito a extracção do conclusbes válidas a partir de informação 
incompleta. 
O arnbionte de forrnação do uma decisão varia do urn extrerno em que 
muita, pouca, ou nenhuma inforrnação ostã disponIvel, ao oxtrernooposto orn 
que o decisor detOm toda ou quase toda a informação sobre a situação. Este 
Ultimo extrerno significa que o decisor conhoce a situação do todos os elemen-
tos da popu!ação. A inforrnação disponIvel a partir dos rocensearnentos do INE, 
roalizados de 10 em 10 anos, 6 urn exomplo. Mas a situação mais cornum 
para Os gestores é aque!a em que quase nenhuma inforrnação so encontra 
disponIvel. Veja-se 0 exemplo do Iançarnento de urn novo produto utihzanclo 
tecnologia de ponta praticamente desconhecida dos consurnidores. Como iräo 
estes reagir ao !ançarnento do novo produto? A partida, pouca ou nenhuma 
inforrnaçâo existe para que o gestor possa responder a esta pergunta. 
A EstatIstica fornece aos gestores instrumentos para que possarn responder 
a estas questOes e tomar decisoes corn alguma confiança, mesrno quando a 
quantidade de inforrnaçäo disponIvel O pequena e as situaçOes futuras são de 
elevada incerteza. 
3. Método estatIstico de resoluçao 
de urn problema 
Para que se obtenharn resultados vá!idos, o investigador deve seguir todos 
os passos que definem o metodo estatIstico de resolução do problornas: 
1. Identificar correctamente o problema ern anátise. Mesmo em estudos 
exp!oratarios cujo objectivo 6 identificar possIveis relaçöes entro as caracterIs-
ticas dos indivIduos sem quo, a partida, se defina urn rnodelo regulador dessas 
relaçöes, 6 necessário identificar o problema para o qual se pretendem encon-
trar respostas. 
2. Recolhera informaçao necessária, relevante para 0 problema em estudo, 
em tempo ütil e tao completa quanto possIvel. Esta informação podera consistir 
em dados primários, recoihidos através do urn questionário, ou dados secun-
dários, recoihidos e publicados através do outra fonte de inforrnaçao. 
3. ClassY/car e organizar os dados, por exemplo, através da codificação e 
criação do uma base de dados em suporte informatico. Urna vez ultrapassada 
esta fase, é ja possIvel reduzir a quantidade de informaçao, fazendo desapa-
recer os porrnenores menos irnportantes através do medidas do estatIstica 
descritjva (medidas de tendêncja central, dispersão, concentração, etc ), qua-
dros e grãficos. 
4. Análise dos dados e apresentação dos resultados: identificar relaçoes, 
testar hipOteses, definir modelos corn a ajuda de métodos estatIsticos apro-
priados. 
ESTA TISTICA APLICADA 
5. Tomar a decisäo mais adequada, ponderando as possíveis opçöes face 
aos objectivos inicialmente propostos. A qualidade da inforrnação recoihida e 
as capacidades do investigador determinam, em grande parte, a adequabitida-
de das opçöes propostas. 
4. EstatIstica descritiva e inferéncia estatIstica 
Embora a ctassificação e organização dos dados a quo se faz referenda 
no terceiro passo seja ainda urn capItu!o importante da EstatIstica - a Esta-
tIstica Descritiva - urn segundo capItulo torna-se muito mais importante, 
quando Os dados recoihidos respeitarn apenas a urn subconjunto da popuiação 
ern estudo e não a toda a populaçao - a !nferência Estatfstica. SO quando a 
grupo sobre o qual so pretende obter informação é de dimensão reduzida, so 
torna viável rocoiher essa inforrnaçao para todos os elementos desse grupo. 
0 recensearnento de uma poputaçao envoive custos e tempos dernasiado 
elevados para serern suportados por organizaçOes não vocacionadas para o 
efeito. For essa razäo, so tornaram populares e se generalizaram a todos as 
dornfnios cientificos as técnicas de arnostragern. 
Contrariarnente a urn recenseamento, onde so recoihe inforrnação sobre as 
caracterIsticas de toda uma populaçao, uma amostra fornece inforrnação sobre 
um subconjunto dessà populaçao. 
Os rnétodos de Inferencia Estatistica permitem (1) estirnar as caractorIsticas 
desconhecidas do urna população (por exernplo, a proporçäo de consumidores 
que preferem uma dada rnarca de detergentes) e (2) testar se determinadas 
hipOteses sobre essas caracterIsticas desconhecidas são plausIveis (por 
exempto, so a afirmação de urn vendedor de que as resultados de lavagern 
da marca quo vende são superiores aos de outras rnarcas concorrentes). 
Nos exernplos anteriores, as caracterIsficas das populaçöes (proporçao de 
consurnidores o resuttados medios da aplicação do produto) são os parámc-
tros. Quando respeitarn a uma amostra, ostes indicadores estatIsticos passam 
a charnar-se estatIsticas. 
Os rnétodos de Inferência Estatistica envolvern a cálcu!o do estatIsticas, a 
partir das quais se infere sobre os parâmetros da populaçao, isto e, perrnitem, 
com determinado grau de probabilidade, generalizar a população cortas con-
clusoes, por cornparação com as resuitados amostrais. 
Exemplos do parâmetros são a media do uma população (l.t), a variâncja 
(a2) ou o desvio-padrão (ci). Como exemplos do estatIsticas: a media (X), a 
variãncia (S) ou o desvio-padrao (s) amostrais. 
A distinção ontre parâmetro o estatistica torna-se extremarnonto importanto 
na Inferéncia EstatIstica. Muitas vezes protendo-se ostimar 0 valor do urn 
parãmotro ou fazer urn teste de hipáteses sabre a seu valor. No entanto, a 
cálculo dos parâmetros é, goraimonto, irnpossIvel ou irnpraticävej, dovido aos 
requisitos de tempo e dinheiro a que obriga. Nestes casos, a escoiha do uma 
amostra aloatOria permito quo so obtenha uma estimativa para o parâmotro. A 
base da InferOncia EstatIstica consiste, assim, na possibifldado do so tomarem 
decisöos sobre as parämetros do uma população, sem que seja nocessário 
procoder a urn recensearnento do toda a população. 
Urn industrial de máquinas de lavar quer determinar qual o nürnero medlo de 
lavagens de determinado tipo do máquina (lavar e secar), ate quo necessitem de 
reparação. 0 paràrnetro quo pretende conhecer é a nOmero medio de lavagens 
das máquinas ate serern reparadas. 0 técnico da sua fábrica selecciona aleato-
riarnente algurnas máquinas da sua produçao mensal, e verifica as lavagens 
efectuadas ate ocorrer uma avaria, calculando, em seguida, para as rnáquinas da 
amostra, o nUmero médio do lavagens, isto e, a media amostral. 
LI.. 
A figura seguinte domonstra a processo seguido. 
Amostra aieatOria 
Populaçao 
Amostra 
Estatfstjcas (conhecidas) 
Parâr-netros (desconfiecidos) 
Inferencia Estatistica 
ES TA TIS TI CA APLICADA 
o processo do gonoralizar a população Os resultados recolhidos na amostra 
ë foito num ambionto do incortoza. A nao sor quo o valor dos parâmotros soja 
calculado a partir do todos os olornontos da população, nunca so saberá corn 
certeza so as ostirnativas ou inferOncias feitas são verdadeiras ou não. Num 
esforço para modir o grau do confianga ou de certeza associado aos rosultados 
do procosso do inferencia, a EstatIstica utiliza a teoria das probabilidados. Por 
ossa razão so dedica urn capItulo desto livro ao ostudo das probabilidados. 
5. Escalas de medida dos dados estatIsticos 
Os oxomplos do dados quo diariarnonte se podom rocolhor são dos mais 
variados. Vojamos alguns: a temporatura maxima na cidado do Lisboa; - a 
cotação do escudo e das rostantes moodas do Sistoma Monetário Europou; 
as taxas do inflação dos paisos da União Europoia; as oxportaçöes de material 
oloctrOnico dos paisos da Asia Oriental; a distribuiçao otãria da população do 
concelho de Lisboa; a distribuição por sexos dossa mosma população; as 
profissöos da população da Marinha Grande; a distribuição dos omigrantos 
portuguosos por paisos do acolhimonto; as proforencias da população portu-
guesa no quo respoita as suas viagons do férias; as preforOncias dos 
portuguesos orn rolação aos quatro canals do telovisão nacional; as quotas do 
mercado das diforontos rnarcas do automOveis utiutarios. 
Estes oxernplos do dados ostatisticos diforenciam-so, não so por se rofori-
rem a caractorIsticas do diferontos populaçöos, rnas tambern por ostarern 
dofinidos em diforontos oscalas de medida o, portanto, por nocossitarom do 
diforontos métodos ostatIsticos para os doscrevorom o analisarom. São quatro 
os tipos do oscalas do medida: nominal,ordinal, por intorvalos o por rácios. 
Nem sompro é ovidonte a distinção ontro ostas oscalas, sobrotudo ontro as 
duas Ultirnas. Aclassificação quo so doscrovorá em soguida é a adoptada polos 
autoros dosto livro, ombora se reconhoça não oxistir unanimidado noste dornI-
nio. 
5. 1. Escala nominal 
Os dados definidos nurna escala nominal são dados qualitativos por exce-
léncia. For exemplo, suponha-se que se pretendia conhecer a caracterIstica 
pro flssão da populaão constitulda pelos pais dos alunos universitärios. 0 
estudo desta caracter(stica permitiria descrever 0 conjunto do profissOes desta 
populacão, através do uma hstagem que incluiria: 
- trabalhador qualificado 
- medico 
- advogado 
- militar 
- professor 
- bancário 
- etc, etc, etc. 
Suponha-se ainda que, para efeitos do processamento dos dados, SO GO-
dificava cada urn dos valores desta caracteristica, dando o valor 1 ao 
trabaihador qualificado, 2 ao medico, 3 ao adVogado, 4 ao militar, e assirn por 
diante. Estes nürneros são utilizados apenas corno cOdigos e não corno valores 
quantitativos, urna vez que, por exemplo, ao valor 4, não está associada urna 
rnaior quantidade do que aos valores 1, 2 e 3. 
Os cOdigos numéricos são utilizados para diferenciar as categorias desta 
caracterIstica, não fazendo qualquer sentido calcular indicadores quantitativos 
(corno a media ou desvio-padrao) a partir destes nUrneros. 
-)Outros exernplos de caracterIsticas definidas em escalas norninais são a 
religiao, a raga, a localização geográfica, o local de nascirnento, o sexo, os 
sectores de actividade econOmica. 
Urn caso particular deste tipo de escala do medida ocorre quando a carac-
terIstica ern estudo tern apenas duas categorias: são as chamadas 
caracteristicas binárjas ou dicotOrnicas. São exemplos doste tipo de caracte-
rIsticas o soxo (que pode set- masculino ou ferninino), e a rosposta a seguinte 
pergunta: <<Reside em Lisboa?" (podendo ser Sim ou Näo). 
23 
ESTATISTICA APLICADA 
52. Es ca/a ordinal 
Quando numa caracteristica nominal a ordem das categorias obedece a 
uma sequOncia corn significado, está-se ern presença do uma caracterIstica 
definida numa escala ordinal. Os cOdigos nurnOricos que identificam as cate-
gorias já não são dados de forma arbitraria mas sirn de tal modo que as 
categorias as quais foram dados o primeiro e Ultimo cOdigos são as quo mais 
distam e rnais se diferenciam entre si. 
As escalas ordinais tornarn-se extremamente Uteis para medir opiniöes 
subjectivas sobre as qualidades de certos atributos, cuja mediçâo objectiva é 
impossivél. For exemplo, poder-se-á perguntar a um consumidor qual a sua 
opinião sobre o sabor de determinado produto alimentar, de acordo com a 
seguinte escala: 
1 - detesta 
2— gosta pouco 
3— indiferente 
4— gosta 
5— adora. 
As respostas a esta questão podem ser resumidas numa escala ordinal, 
corn cinco categorias, vulgarrnente conhecida por escala de Likert. 
Outro exemplo consistiria em solicitar aos consurnidores quo ordenassem 
por ordem decrescente de preferencia, de 1 ate 8, oito marcas de sabonetes. 
Urn outro modo de obtenção do uma escala ordinal consiste em dividir uma 
escala continua em rnUltiplos intervalos. For exemplo, os indivIduos de uma 
população podem ser classificados em trés grandes grupos, resultantes da 
divisão de um intervalo contInuo de idades: jovens (ate 18 anos), adultos (do 
18 a 65 anos) e idosos (rnais de 65 anos). 
5.3. Escala por intervalos 
Para alOm das propriedades da escala ordinal, a escala por intervalos tern 
ainda a propriedade de a distãncias iguais corresponderem quantidades iguais. 
As escalas por intervalos podem ser continuas ou discretas. São contInuas se 
podem tornar um nUmero infinito não nurnerável de valores e são discretas se 
o nUmero de valores que tornam e finito ou, sendo infinito, é numerável. For 
exemplo, a temperatura do ar em graus Fahrenheit está definida numa escala 
continua, enquanto que o nUmero de automOveis que atravessa a ponte 25 de 
Abril, em cada hora, é uma caracteristica definida numa escala por intervalos 
discretos. 
5.4. Escala de rácios 
Esta escala tem as mesmas propriedades de uma escala por intervalos 
continua, e adicionalmente apresenta a caracterIstica de possuir um zero 
absoluto como valor minimo. Exemplos de dados definidos nesta escala são 
a altura, o peso, o tempo, o volume, etc. Corn dados deste tipo, alteraçOes nas 
unidades de medida não afectam os rácios entre dois valores. For exemplo, o 
rácio entre o peso de duas embalagens de acücar e sempre o rnesmo, 
qualquer que seja a unidade de medida (quilos, gramas, libras, etc). 
Feio contrário, a temperatura do ar não define uma escala de rácios: 
em bo ra 
10° C= 50° F e 30° C= 86° F, 
10°c 	50° F 
30° C 86° F 
6. Algumas consideraçöes finals 
A diferença entre uma escala por intervalos e uma escala de rácios nem 
sempre é evidente o que leva alguns autores a agregarem estes dois tipos 
numa so categoria. Os dados definidos nestas duas escalas são considerados 
corno métricos dado que são quantitativos por natureza. 
Os dados norninais e ordinais são dados qualitativos e, portanto, não-mé-
tricos. Agrande maioria dos 6t 'dos estatistidos requer a utilização de dados 
metricos. Os dados nomjnaisso os rnais limitados em termos de tOcnicas 
estatisticas disponiveis para a sua análise. Aos dados ordinais podem aplicar-
se todas as tëcnicas definidas para dados nominais e, adicionalmente, as 
tëcnicas especificarnente concebidas para este tipo do dados. Na realidade, 
constitui urna perda de inforrnação tratar dados ordinais corno norninais, polo 
quo muitos autores propOern ate que estes dados sejarn tratados corn tOcnicas 
definidas para dados em escalas por intervalos. 
Os métodos de !nferencia EstatIstica podern ser classificados em dois 
grandes tipos: métodos paramétricos 0 näo paramétricos. De urn rnodo geral 
os primeiros requerern quo Os dados estejarn definidos numa escala por 
intervalos ou do rácios, o que não acontece corn os sogundos. .Os dados 
ordinais, apesar de serem qualitativos, por obedecerorn a uma relaçâo do 
ordem, são, corno so disse, muitas vezes anausados corn rnétodos pararnétri-
cos. 
Este livro proocupar-se-ã, sobretudo, corn a apresentação do métodos 
pararnétricos do anãlise do dados, embora urn dos capitulos seja especialrnen-
to dedicado aos métodos não-pararnétricos. 
7. Utilização do computador 
As inovaçöes do hardware e software, e a sua acessibilidade ern termos 
do preço, vierarn criar novas oportunidades do aplicação dos rnétodos estatIs-
ticos a grandes bases do dados. 
Esta acessibilidade, e o desenvolvirnento do software estatistico apropriado, 
vierarn pormitir a aplicação genoralizada do rnuitos rnétodos estatIsticos que, 
por serern complexos quando rnanualrnente aplicados, se tornavarn domora-
dos e aborrocidos. 
Para alérn do software não espocIfico, cornô sejarn as folhas do cálculo 
(Lotus e Excol),que porrnitern, polo rnonos, urna arialise prelirninar da inforrna-
cáo, desenvolverarn-so rnuitos prograrnas espocIficos para a análise 
estatIstica. Do entre as rnültiplas hipOteses existentos no rnercado, devern 
referir-se, pela sua popularidado o abrangencia, o SPSS, o SAS e o MINITAB. 
Mas rnuitos outros so encontrarn disponIvois a préços relativarnente acessI-
veis, para quern possuir urn rnicrocornputador, corn urn mInirno do 640 K do 
RAM e 20 Mgb do disco, corno sejarn o SYSTAT, CSS o STATGRAFHS. Para 
grandes sistornas, os prograrnas SFSS, BMDF, SAS e GENSTAT continuarn a 
sor os rnais utiljzados. Para alern destos, rnuito outro software tern sido do-
sonvolvido para aplicaçöes pontuals, sobrotudo do rnétodos do estatIstica 
rnultivariada. 
!iJ*ii1IPfff.i*3 
Nao é possivol fazor a histOria da Estatistica sern falar em probabilidades. 
Estas tiverarn a sua origom no estudo dos jogos do azar, ja conhocidos dos 
EgIpcios 3500 anos A.C. Mas so no século xvi so assisto a primeira tentativa 
do desenvolver urnatooria das probabilidades. 
Cardano foi urn dos prirnoiros a tentar doscrever urn rnétodo do cálculo 
das probabilidades born como as suas leis básicas. Cardano pode ser consi- 
derado como urn verdadeiro ciontista da Epoca Renascontista: escrevou sobre 
todas as areas de ostudo da época incluindo a rnaternática, a teologia, a 
cosmologia 0 a medicina. Corn o sou livro intitulado The book on games of 
change, Cardano não so oxplica as leis da probabilidade corno anaflsa os jogos 
do azar e onsina a jogar e a dotoctar os "batoteiros". A sua experiëncia como 
jogador inveterado ajuda-o a analisar corroctarnento os jogos do dados o a 
comproonder, tambOrn do modo correcto, o cálculo do probabilidades para os 
casos simétricos ou igualmento prováveis. Nostes casos, a probabilidade de 
urn acontecirnento é o quociente ontre o nUrnero de rosultados que pormitorn 
a realização desso acontecirnonto e o nümoro total do rosultados possIvois. 
For oxernplo, a probabilidade do que saia urna face par no lançarnonto do urn 
dado 6 	urna voz quo ha sois rosultados possIveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) o trés 
doles são nürneros pares (2, 4, 6). Urna irnportanto lei probabilIstica doscoborta 
por Cardano foi a lei do produto do acontocirnentos indopondontos. A proba-
bilidade do sair "Face>> quando so lança urna mooda 6 ½. A probabilidade do 
sair "Face 2)) quando so lança urn dado 6 1/6. A probabilidade do ostos doEs 
acontocimontos ocorrorom quando so lança urna mooda o urn dado é o produto 
das duas: (1/2) (1/6) = 1/12 
Cinco décadas mais tardo, Galileu rospondou aos jogadoros sobro urna 
quostà.o quo, aparontomonto os proocupava: quando so Iançam trés dados, 0 
total de 10 pontos ocorre mais vezos quo urn total do 9, o quo lhos parocia 
contradjtorio urna vez quo é igual o nümoro de combinaçöes (6) quo sornam 
9 (621, 531, 522, 441, 432, 333) o 10 pontos (631, 622, 541, 532, 442, 433). 
Mas Galilou rnostrou quo sO é possIvol quo os rosultados tenham diforonto 
probabilidade so a ordorn for tarnbérn tornada em consideração e, nesso caso, 
29 
APLICADA 
o nUrnero de resultados corn soma igual a 9 é de 25, e corn soma igual a 10, 
de 27, resultarido ern probabilidades de 25/216 e 27/216, respectivamente. 0 
que rnuitos autores se admirarn é que Os jogadores se tenharn apercebido 
desta diferença tao dirninuta! 
0 estudo sisternático das leis das probabilidades teve urn contributo impor-
tante corn Pascal e Fermat e a correspondencia trocada entre arnbos. Tudo 
corneçou quando Chevalier de Méré, conhecido escritor e ardente jogador da 
corte de Luis xcv, consultou Fermat sobre problernas de divisão de apostas e 
interrupçOes antes de se completar urn jogo. 
Blaise Pascal (1623 - 1662) era urna criança prodIgio que aos dezasseis 
anos ja tinha escrito urn livro e aos dezoito inventado urna rnáquina calcula-
dora. Pierre de Fermat (1601 —1665) era urn jurista de Toulouse que nos 
tempos livres se dedicava ao estudo da rnaternática, tendo já sido considerado 
corno o rnaior rnaternático puro de todos os tempos. 
Se de Cardano se pode afirrnar que rnarcou o firn da prO-histOria da Teoria 
das Probabilidades, Fermat e Pascal derarn o passo decisivo no desenvolvi-
rnento desta teoria e na fundarnentação teOrica da Inferéncia EstatIstica. No 
final do século xvii, Leibniz publicou duas obras, urna sobre problernas corn-
binatOrios, e outra sobre a aplicação das probabilidades as questbes 
financeiras. Foi sob o seu conselho que Jacques Bernoulli estudou o assunto 
de tal rnodo que o cálculo das probabilidades adquire finalmente o estatuto de 
cléncia. 0 teorerna de Bernoulli apresenta pela prirneira vez a correspondOncia 
entre frequéncias e probabilidades, dando origern a urn novo conceito de 
probabilidade. 0 conceito de probabilidade inversa é definido por Thomas 
Bayes ainda no século xviii. A irnportância dos resultados de Bayes so vem a 
ser reconhecida quase dois séculos depois, quando se forma, dentro da Esta-
tIstica, urna nova corrente: a escola Bayesiana. 
Durante o século XIX o desenvolvirnento do cálculo das probabilidades 
deveu-se ao contributo de trés astrOnornos: Laplace, Gauss e Quetelet. 
Muitos dos desenvolvimentos posteriores, norneadamente da escola russa 
(Chebyshev, Markov e Lyapunov), baseiarn-se na análise e desenvolvirnento 
da obra de Laplace. Gauss explanou urna teoria sobre a análise de observação 
aplicável a qualquer rarno da ciéncia, contribuindo, assirn, para alargar 0 
carnpo de aplicação do cálculo das probabilidades. Quetelet iniciou a sua 
aplicação aos fenórnenos sociais. A ele se deve a introduçäo do conceito de 
hornern rnédio e a charnada de atenção para a consistOncia dos fenórnenos 
sociais. 
TEORIA DAS PROBAB/LIDADES 
A distinçäo entre Estatistica & Probabilidades parece ja ser impassive! 
Desde a final do seculo Xix que muitos contribuirarn para o desenvolvimento 
da EstatIstica corn valiosas antecipaçoes que sO rnais tarde puderarn ser 
plenamente cornpreendidas. De entre estes talvez se possarn destacar Karl 
Pearson, William Gosset que escrevou sob o pseudOnirno de Student" & 
Ronald Fisher, polo vigoroso impulso dado a Estatistica. Pearson, quo so 
dedicou ao ostudo da correlação, cuja descoborta e atribuida a Galton, foi urn 
entusiasta do evolucianismo de Darwin, desenvolveu extraordinariamonte os 
metodos do tratarnento do dados, para alern de so interessar pelo calculo das 
probabilidades Em 1894, depois do analisar urn elevado nurnero de resultadas 
das roletas num casino, chegou a conclusão do quo estas estavarn viciadas e 
quo não serviam coma laboratorio para analiso das probabilidades, ern suma, 
a razäo do ser dos casinos não era, de modo nenhurn, cientifica Mas estas 
experiOncias no inicia da sua carreira não doixaram do ser uteis na aplicaçäo 
que fez da teoria das probabilidades a evoiução biologica e a importantes 
descobertas ostatisticas coma a teste do qut-quadrado, utilizada para tostar se 
urna dada distribuiçâo de frequencia segue doterminada distnbuição probabi-
listica Gosset, ou seja, "Student", trabalhava para urna empresa produtora 
de cervejas - a Guiness - e comoçou uma nova fase nos estudos estatisticos 
corn os motodos do tratarnento de pequenas amostras Fisher deu, talvoz, a 
mais importante contribuição a Estatistica Matematica e a sua divulgaçaa 0 
livro quo publicou em 1925, Statiscal Methods for Research Workers, permitiu 
aos investigadores a familiarizaçao nocessaria corn as metodos ostatisticos e 
a sua aplicaçâo a problemas práticos. 
Muitos outros nomes podoriam ser referidos nesto percurso de quase quatro 
sOculos. Todas contribufram para que, quando Fisher publicou a seu livro, ha 
muito se tivesso doixado do definir EstatIstica corno "a estudo dos assuntos 
de Estado" e de a associar a teoria das probabilidades. Corn a século xx, a 
EstatIstica tornau-se urn instrurnenta do analise podoroso aplicado em todas 
as areas do saber o a quo a desenvolvirnento inforrnatico veio dar nova fôlego. 
Se ihe perguntassern o significado da seguinte frase - "Se Iançar urna 
moeda ao ar, a probabihdade de sair "Face>' é ½" - a sua resposta talvez 
fosse: "SO ha dots resultados possIveis corn iguais hipOteses de ocorrerem". 
Mas suponha que Ihe perguntavarn tarnbérn: "Qual a probabilidade de urn 
carro avariar ao atravessar a ponte 25 de Abril?". Tarnbérn aqui existern 
apenas dois resultados possIveis: ao atravessar a ponte ou o carro avaria ou 
não avaria. Mas ja será irnpossivel responder que essa probabikdade e 1/2. A 
sirnetria ou equiprobabihidade existente na prirneira experiOncia (lançarnento 
de uma rnoeda ao ar) ja não se verifica na segunda. Esta é a situação mais 
cornurn, a de experiOncias cujos resultados são influenciados pelo acaso e aos 
quais estão associadas diferentes probabilidades. 
2.1. Experiência a!eatória 
São objecto de estudo na teoria das probabilidades os fenómenos aleató-
rios, ou seja, acontecimentos influenciados pelo acaso. Na base desta teoria 
estáo conceito de experiOncia aleatOria, isto é, o processo de observação ou 
de acção cujos resultados, ernbora podendo ser descritos no seu conjunto, não 
são determinãveis a priori, antes de realizada a experiência. 
Urna experiência aleatOria tern como caracterIsticas: 
- A possibilidade de repetição da experiOncia ern condiçoes uniforrnes; 
- Não se poder dizer a partida qual o resultado (fenOrneno aleatOrio) da 
experiëncia a realizar, rnas poder descrever-se o conjunto de todos Os 
resultados possIveis; 
- A existéncia de regularidade quando a experiência é repetida rnuitas 
vezes. 
TEORIA DAS PROBASIL/DADES 
E corn base nesta Ultirna caracterIstica que so desenvolve toda uma teoria 
o urn conjunto de rnodelosprobabilisticos tendentes a explicar os fenOrnenos 
a!eatOrios e a dar uma indicaçao da major ou menor probabilidade da sua 
ocorréncia. A experlOncia aleatOria contrapoe-se a experiência não aleatoria ou 
determinIstica, aquola cuJo resultado pode ser conhecido antes da sua reaH-
zação. For exemplo, o valor da velocidade do propagaçäo do som (340 m/s) 
O conhecido mesmo antes de realizada a experiencia, o mesrno acontecendo 
corn a rnedição da temperatura de entrada em ebuliçao da água, cujo resultado 
(100° C) 4 conhecido a priori. Já a rnesrno não sucede quando langamos ao 
ar urn dado ou ext ralmos uma carta dum baraiho, quando medimos a duraçao 
de vida de uma lârnpada ou observarnos o resultado do exame do urn estu-
dante escoihido ao acaso. Embora se possa dizer, no caso do exame, que a 
estudante ira obter uma classificaçao entre 0 e 20 valores, não podemos 
afirmar qual a classificaçao exacta que a estudante obterá, so por exemplo 10, 
14 ou 18 valores. Essa classificaçao so será conhecida depois de reaUzado o 
exame. 0 rnesrno acontece corn a duraçao do vida do uma lâmpada; talvez 
se possa afirmar que ela durará entre 0 o 100 horas, rnas o valor exacto da 
sua duração näo 0 conhecido senão depois de a lâmpada se ter fundido. 
Quando lançarnos ao ar urn dado e observamos a nürnero inscrito na face 
voltada para cirna, podornos descrevor o conjunto de todos Os resultados quo 
poderão ocorror (1, 2, 3, 4, 5 e 6), rnas ja 0 irnpossIvel, antes do efoctuarrnos 
o Iançarnonto, afirmar qual a face quo Ira sair. Depois do efectuado a lança-
rnento, certarnente quo alguma face terá ocorrido, por exemplo a face 3. 
Dizernos entâo qua "3" 4 o resultado desta experiencia aleatOria. 
2.2. Espaço de resultados 
Numa determinada experlOncia aleatOria, o conjunto de todos as resultados 
possiveis designa-se por espaço de resultados, e representa-so pela letra 
grega a 
No exemplo do lançarnento do dado, Q = {i, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
A major parte das vezes não so descrevem em detaihe as condicOes e as 
circunstancias quo caracterizarn uma experiência ateatoria. E esta de resto a 
dificuldade de fundo do cálculo das probabilidades: descrição das condiçbes 
unhformes em quo urn acontocirnonto aleatOrio so verifica ou flão. 
ESTI4TISTJCA APLICADA 
Se o nümoro do olementos do ospago de resultados for finito ou infinito 
numorávol trata-se de urn ospaço de resultados discreto; havondo urn nUmoro 
infinito nao nurnorávol do olornontos dispöe-se do urn ospaço do resultados 
continuo. Urn ospaço do resultados pode ser ainda quantitativo ou qualitativo, 
conforme a naturoza dos elernentos quo o compöem. A indicação dos olornon-
tos do ospaço de resultados pode fazor-se, quor pela enurnoração do todos 
os olornentos quo o compOorn (quando são em nürnero finito, evidontornonto) 
- definição por extonsão - quor pola descrição abreviada dessos elernentos 
- definição por cornpreonsão. 
Uma loja abre as 9 horas e encerra as 19. Urn cliente, tornado ao acaso, entra 
na loja no momento X sal no momento Y (tanto X como Y são expressos em 
horas com origem nas 9). Pretends observar-se os momentos de entrada e salda 
do cliente. 
Como a chegada e salda de urn cliente se processa ao acaso, logicamente 
que poderá ocorrer em qualquer momento no tempo, entre as 9 e as 19 horas, 
peIO que X e Y são variáveis contInuas corn X c Y. Portanto, 0 espaço de 
resultados c2 é infinito não nurnerável, podendo descrever-se da forma seguinte: 
= ((X, Y):9 <Xc Y< 191 
(definiçao de Q por compreensao). 
Considere-se a experléncia aleatoria que consiste no Iançamento de urn dado 
e observaçao do nUrnero inscrito na face voltada para cirna. 
0 espaço de resultados é 
92 = (1,2,3,4,5,6} 
(definicão de 0 por extensao). 
TEORIA DAS PROBAB/LIDADES 
2.3. A con tecimentos 
Retorne-se 0 oxomplo da oxporiência aleatória quo consisto no Iancarnento 
do urn dado e cujo espaço do resultados e cz = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Sondo o ospaço do resultados urn conjunto, 6 possIvol formar subconjuntos 
dos seus olornontos, corno, por exemplo: 
A = {2} 
B = { 1,3,5} 
C = { 3,61 
cujo significado 6, respectivarnonto; 
A: salda do face 2 
B: saIda do face Impar 
C: saIda do face divisIvel por 3. 
A, B e C, sondo subconjuntos de U, são sirnultanearnonto conjuritos de 
resultados possiveis da experlOncia aleatOria. Dosignarn-so por acontecimentoa 
Urn acontocirnento é, pois, urn conjunto do resultados possIvois do uma 
oxperiOncia aleatoria ou, de rnodo oquivalonto, qualquer subconjunto do espa-
90 do resultados 6 urn acontecirnento definido em U (ovontualrnente o prOprio 
U ou o conjunto vazio 0). 
Urn acontecimento A rolativo a urn detorrninado ospaço do resultados U o 
associado a uma oxperiência aloatorja 6 sirnplosrnente urn conjunto de resul-
tados possIveis. Diz-se que A so roalizou, se o resultado da exporiêncja 
a!oatOria, co, 6 urn olornonto de A, isto 6, so co c A. 
Não so dovera confundir acontecirnonto corn resultado. Enquanto quo o 
prirneiro significa algo quo a exporiOncia aleatoria podo produzir, mas não so 
realiza necossariarnonte urn resultado indica algo quo a oxporiência aloatOria 
produziu. Ou soja, o conceito de resultado so torn sentido dopois do roalizada 
a oxperiencia enquanto que o conceito de acontocirnenfo torn pleno sontido 
mesrno antes da oxporléncia aleatOria so roalizar. 
Urn acontecirnento A, diz-so acontecjmento elementar so a sua realizaçao 
dopondor da ocorréncia de sornonto urn resultado ospecIfico da exporiencia 
aloatc5ria 
ES TA TIS TI CA APLICADA 
Por oposiçäo poder-se-á definir urn acoritecimento complexo ou composto 
aquele cuja realização impuca a ocorrëncia do urn resultado da experiência 
aleatOria, qualquer urn de entre Os vários possIveis para aquele acontecimento. 
Admita-se a seguinte experiência aleatória: contagem do nUrnero de peças 
produzidas por uma máquina ate ao aparecirnento de uma peça defeituosa. 
A experléncia consiste, portanto, em contar as peças produzidas pela rnáqui-
na, interrompendo-se essa contagem no mornento em que surgir uma defeituosa. 
Como se poderá verificar, qualquer nümero inteiro pode ser urn resultado da 
experiência: 
- pode ser 0, so a prirneira peça retirada for defeituosa; 
- pode ser 1, se a prirneira peça for boa e a segunda defeituosa; 
- pode ser 2, se as duas primeiras forem boas e a terceira defeituosa; 
- e assirn por diante. Ern geral, poderá ser n se as prirneiras n peças forem 
boas e a n + 1 defeituosa. 
o espaço de resultados associado a esta esperiência aleatOria é o conjunto 
dos nümeros inteiros 
El = {O, 1, 2, 3, 4..... n, ... } 
Serão acontecimentos, por exemplo, os seguintes subconjuntos de El: 
A = {6} 
B = { 2,4,6,..., 2n,...} 
at 
A: Contarn-se se/s peças ate sair uma defeituosa. 
B: Conta-se urn nürnero par de peças ate sair uma defeituosa. 
Para que A se realize terá que ocorrer um, e sOmente urn, dos possIveis 
resultados da experiéncia aleatOria (6); diz-se então que A é urn acontecirnento 
elernentar. Polo contrário, para que B se realize, basta que ocorra urn, rnas 
qualquer urn, de entre os vários resultados possfveis, e que são todos os que 
correspondern a contagens pares (2, 4, 6, 8 ...). Trata-se, portanto, de urn acon-
tecimento cornptexo. 
0 
TEORIADAS PROSABJLIDADES 
Torna-so ainda mais nItida a diforença entre acontecimento 0 resultado 
quando so trata de acontecirnentos cornplexos: onquanto quo o prirnoiro prevê 
a possibilidado do ocorrëncia do vários resultados, dopois do realizacja a 
exporiëncia aloatOria apenas Ocorrerá urn desses resultados possIvois. 
Na Tooria das Frobabihdados, urn acontecimento não é, nern urn conceito 
reforente ao passado, nom urn concoito corn ocorréncia assegurada no futuro. 
E apenas uma oventualidado (acontecimento olernentar) ou urn conjunto de 
ovontualidades (acontecimento cornplexo) cuja 000rr6ncia dopende do acaso. 
E a probabilidado de ocorrência do cada acontecimento quo perrnite classifi-
ca-los ern acontecimentos CCrtOS, possIveis e impossIveis, 
Considere-se a experiência aleatória quo consiste em medir o tempo neces-
sário para que urn aluno corn o 12 ano obtenha uma licenciatura em gestao de 
empresas. Admitindo-se que nenhum destes alunos poderá levar mais do 20 anos 
para tal e considerando que em algurnas instituiçöes universitárias a duraçâo 
minima da licenciatura ó de quatro anos, o espaço de resultados desta experiOn-
cia aleatOria será: 
Q = [4, 201 
Sejam os seguintesacontecimentos 
A: o tempo necessário para obtençao da licenciatura e de 5 anos 
B: o tempo necessário 6 igual ou superior a 4 anos mas não superior a 20 
anos. 
C: o tempo necossãrio 6 do 2 anos. 
Poder-se-á dizer que A é um acontecimento possIvel, B é urn acontecimento 
certo e C O um acontecimento impossivel. 
B e urn acontecimento certo porque ocorre sempre, sendo o conjunto que o 
define 
B = [4, 20] 
exactarnente coincidente com o prOprio espaço de resultados. Já o acontecimento 
C não ocorre, qualquer que seja o resultado da experiência aleatOria e, corno não 
existe qualquer resultado que tome viávei a sua realizaçao, o conjunto que define 
C é o vazio: 
C=ø 
ESTATISTICA APLIGADA 
o acontecimentO A situa-se, relativarnonte a 
B e C, numa situação intermedia 
quanto ao grau do possibilidade do so realizar. A 
é apeflas possivel, podendo 
ocorrer ou não depois de realizada a experienCia aieatOtia. 
Considere-Se urn novO acontecirnento 
0: o tempo necessário para obtencâo da licenciatura é superior a 4 a inferior 
a 6 anOs 
ou 
D = ] 4, 6 [. 
Verifica-Se que quando A 
so realizar, V tambérn so realiza, urna vez quo A é 
urn subcofljunto do D. 
Então, A 6 urn subaCOfltCCim0nt0 
de D, A c 0, pois a realizacãO do A 
irnplica 
a realizacãO de D. 
mx 
Algebra dos acontecimentos 0 
Dofiniu-se acontecimento corno urn conjunto do resultados possiveis do 
uma exporiênCia aleatOria. Esta definição sugere quo so podera utihzar todos 
os instrumentos da teoria dos conjuntos para representar as acontecimentos 
e as operaçöes quo so definern sabre estes. Por exemplo, a diagrama do Venn 
revela-se do extrema utilidade na representação do acontecimentos: a conjunto 
universal é identificado como a espaço do resultados fl da experléncia aba-
tória e cada acontecimento A por urna região interior a Q 
Do modo identico, a diagrama do Venn pode ser utilizado para representar, 
do forma simplificada e sugestiva, as operaçöes quo so definom sobre acon-
tecimentos: união ou soma IOgica, intersecçäo ou produto lOgico e diferença. 
3 1. União do acontecimentos 
39 
ESTATISTICA APLICADA 
A união de acontecimentos implica, pois, a idela de disjunção, de alterna-
tiva, traduzida por ou; para que so realize 0 acontecimento união basta quo 
ocorra polo menos urn dos acontecimentos: ou A, ou B ou ambos. 
Diagrarnaticamente, a uniäo de A corn B pode representar-se da seguinte 
forma: 
Q 
II 
A operaçäo união de acontecimentos pode ser generalizada a mais de dois 
acontecimentos. 
Dada urna sucessão infinita de acontecimentos Al, A2, ..., A,-, ..., define-
se a sua uniao ij A corno sendo o acontecimento que 000rrerá se e 
sornente se ocorrer pelo menos urn dos acontecimentos A. 
3.2. Intersecçao do acontecimentos 
Contrariarnente a uniáo, a intersecçao implica a ideia de conjunçao, sirnul-
taneidade ou sequência, a ideia de e: o acontecimento A n B so se realiza 
TE0R149A5 PROBABILIDADES 
quando se realizarem Os acontecirnentos A e B. Diagramaticarnente, a inter-
seccâo de A e B pode ser representada da seguinte forma: 
Q 
TambOm esta operação pode ser generalizada a urn conjunto, finito ou 
infinito, de acontecirnentos. 
Ha certos acontecirnentos que nao podem ocorrer simultanearnente, logo 
a sua intersecção O o acontecirnento impossIvel, isto é, corresporide a urn 
conjunto vazio. Acontecimentos nestas condiçOes, em que a 000rr6ncia de urn 
exclui a ocorrOncia dos restantes, dizern-se mutuamente exciusivos ou incom-
patIveis. 
No diagrarna de Venn anterior representarn-se trés acontecimentos rnutua-
mente exciusivos. 
ESTATISTICA APLICADA 
Seja a experiência aleatOria que consiste no Iançamento de urn dado e os 
dois acontecimentos a ela associados: 
A:saIdade face par; A = {2,4,6} 
B:saIdade face !mpar; B={1,3,5} 
A e B são mutuamente exciusivos ou incompativeis, urna vez que não podem 
ocorrer simuitaneamente: se ocorre A, isto é, sai face par, não pode ocorrer B e 
vice-versa. 
3.3. Diferença de acontecimentos 
Diagramaticamente 
r;i 
TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Seja a experléncia aleatOria que consisfe em medir o consumo médio per 
capita de cerveja em Portugal (em litros) e A e B Os seguintes acontecimentos: 
A: 0 consumo mOdio per capita é Superior ou igual a 30 litros mas inferior a 
50 litros. 
B: o consumo medio per capita é igual ou superior a 40 litros mas inferior a 
75 iltros. 
A - B é 0 acontecimento <o consumo médio per capita é igual ou superior a 
30 iltros mas inferior a 40 iltros" dado que 
A = [30, 50 
B = [40, 75 
A - B = [30,40[. 
ES TA lIST! CA APLICADA 
3.4. Propriedades das opera çäes 
Em seguida apresentam-se as propriedades mais importantes das opera-
çOes de uniao e intersecção do acontecimentos. 
PROPRIEDADES UNIAO INTER5ECçAQ 
1.Comutativa AUB=BUA AflB=BflA 
2.Associativa Au(BUC)=(AuB)UC Afl(BflC)=(AB)C 
3.D/stribut/va Au(BnC)= 
=(AUB)n(AUC) 
Afl(BUC)= 
=(AflB)u(AnC) 
4. /dempotênc/a AuA=A AA=A 
5. Lei do complemento A 	A=Q AA=ø 
6. Leis de De Morgan AuB=AnB AnB=AUB 
7.Elernentoneutro 
AUØ=A AQ=A 
8. Elemento absorvente Au £2 = £2 A 	0 = 0 
rJaM4iDz.frailajjjimrafl. 
Quais as hipOteses do que o rio Douro venha a ter urn caudal abaixo do 
normal no prOxirno Vorão? Qual a probabilidade do quo a procura de automO-
veis movidos a energia oléctrica venha a aumontar no prOxirno ano? Qual a 
proba-bilidade do que Os trabalhadoros do Motropolitano do Lisboa ontrem em 
grove na prOxima sexta-foira? As respostas a ostas perguntas são dadas em 
termos da probabilidade ou verosimuhança de quo cada urn destos aconteci-
mentos ocorra, sondo esta idontificada corno urna rnedida da certeza da 
ocorrOncia do cada acontocimento. 
Nas areas económica o do gestão, os diforentos concoitos do probabilidade 
são largamento utilizados. Por exomplo, quando o prirnoiro-ministro afirrna quo 
a inflação no corrento ano não ultrapassara 6% ou quando urn industrial prove 
quo as matérias-prirnas importadas para a sua produção não sofrerao urn 
aumonto do proços no curio prazo. As probabilidados fornocern aos gostoros 
o 000nornistas as bases para a tornada do docisao, quando oxisto incortoza 
sobro a ovoluçao futura e sobro os ofeitos práticos das suas docisoos, isto é, 
quando a partir do passado não é possIvol prover doterrninistjcarnonto o futuro, 
dovido a i nflubncia do acaso, sondo no ontanto possIvof prover as linhas do 
ovoluçao futura o as possibilidados do ostas so concrotizarem. 
Do acordo corn a definiçao o o rnétodo do cálculo, podom dofinir-so trés 
concoifos do probabilidade: cléss/ca, emp fr/ca ou frequenc/sta o subjectiva. As 
probabilidados quo so basolam nas caractoristicas intrInsocas dos acontoci-
montos são dofinidas Segundo o concoito c!ássjco. Aquolas quo so basoiarn 
numa quantidade razoávoj doovidéncia objoctiva são ompiricas ou froquon-
cistas, onquanto quo as probabilidades dofinidas corn base em cronças ou 
Opirflöos individuals so donominam subjoctivas. 
ES TA TISTICA APLICADA 
4.1. Concefto c!ássico de probabilidade (a priori) 
Se a uma experiência aleatOria se podern associar N resultados possIveis, 
mutuamente exciusivos e igualmente prováveis, e se 17,4 desses resultados 
- 	 - 
tiverem a atributo A, entao a probabilidade de A e a fracçao 
11,4 
 
P[A] = nA 
onde: 
11,4 - nümero de resultados favoráveis a A 
N - nUmero de resultados possIveis 
Repare-se que, para o conceito clássico de probabilidade, as resultados 
possfveis são todos igualmente prováveis, isto é, tOrn todos igual probabilidade 
de se realizarem. E este o conceito subjacente aos chamados jogos de azar, 
cuja prOvia apresentação sisternática foi feita par Cardano. Este define coma 
probabilidade de urn acantecimenta o rácia entre a nUrnera de resultados que 
fazem cam que a acantecimenta se realize e a nUmero total de resultados. Par 
exemplo, a probabilidade de sair urn nürnera par quando se lança urn dada é 
de % parque existern seis resultados passIveis e trOs deles são nümeros 
pares. 
Galileu, rneia século mais tarde, utilizau a rnesrno conceito de probabilidade 
para responder a uma dUvida dos jagadores que notaram, no lançamenta de 
trOs dadas, saIrem rnais vezes faces que sarnarn um total de 10 pontos do 
que 9. pontos. Tal carna Cardana, Galileu sabia que era necessária ter em 
cansideraçãa a ordem dos resultados para que se possarn associar probabi-
lidades diferentes aas resultados. Assim, de 6 x 6 x 6 = 216 resultados 
possiveis, 25 somam 9 pantos e 27 somam um total de 10 pontos, de onde 
resultam, respectivarnente, probabilidades de 25/216 e 27/216. Este ültimo 
exempla ilustra bern a necessidade de recorrer a análise cornbinatória corno 
rnOtada auxiliar para a contagem do nürnero de casas favoráveis e do nUmero 
de casas possIveis. 
TEQAJA DAS PROBABIL/DADES 
Na experiência aieatoria que COnsiste no lancarnento de urn dado e observa-
cáo do nUrnero inscrito na face voltada para dma, seja A o acontecimerito: saIda 
da face 3. 0 espaço de resultados O definido pelos seguintes elernentos 
£2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. A probabilidade de se reahzar a acontecirnento A é: 
corn: 
nA - nümero do resultados favoráveis ao acontecimento A 
N - nOmero do resultados possIveis. 
* 
Consideremos a experiência aleatOria que consiste no Iançamento de urna 
moeda equilibrada ao ar. Seja A 0 acontecirnento: saIda de face. 0 espaço de 
resultados será constituido por £2 = { F, C}. A probabilidade de A será: 
P[AJ= -- -i — 
Urn investigador mostra a urn individuo 12 cores e pede-Ihe quo escreva 4 
que sejarn suas favorites. 
a) Quantos resultados possiveis existern? 
c2 = 
	
(12 
124 	= 495 
b) Se uma das cores do lote das 12 for azul, quantos resultados possiveis iräo 
conter essa cor? 
= 
3) 	(11-3)131 -165 
POis 0 azul 6 sempre escothido e portanto sO 3 cores das restantes 11 
podern ser escoihidas. 
ESTI4TISTICA APLICADA 
c) Qual a probabilidade de escoiher a cor azul como uma das suas preferidas? 
(ii 
3)_ 165 
(12 - 495 - 3 
4.2. Con ceito frequenc!sta 
de probabilidade (a posterior!) 
Se em N roalizaçöes do uma exporiência, o acontocimento A so verificou 
n vezes, diz-se quo a froquência relativa do A nas N realizaçöes e 
n 
sondo fA a trequência relativa do acontecimento A. 
Noutras N realizaçôos da mesma exporiOncia, desde quo N soja suficion-
temente elevado, a frequOncia relativa corn quo se realiza o acontecimonto A 
é ern geral diforonte mas prOxirna da anterior. A modida quo o nUmoro do 
provas aumonta, verifica-se uma regularidade das froquências rolativas, do tal 
modo quo a irrogularidade dos rosuitados individuals se opoo uma coda regu-
laridade estatIstica ao tim do uma longa série do provas, isto 6, fA = / iv tendo 
a estabilizar. E osta caracteristica das oxperiências aloatOrias quo pormite 
definir o concoito froquoncista de probabilidade. 
Ao nUmoro para quo tonde a frequOncia relativa fA , quando se aumonta o 
nümero de provas, chama-se probabilidade do acontocimento A: 
P[A] = jim 1A 
00 
Isto oquivale a acoitar quo numa sucessáo numerosa do oxporiências 6 
praticamonto certo quo a froquência relativa do A soja aproximadamonte igual 
a P [A]. Esta rogra ostá na base da definição frequoncista de probabilidade. 
M. 
TEORIA DAS PROBASILIDADES 
o valor da froquOncia rolativa 0 uma ind:cação do valor da probabilidade na 
exporlOncia aloatoria considorada, quando so repote ossa exporlOncia urn 
nürnoro suficientomento grando do vozes. 
A exporiência aleatória quo consiste na obsorvaçao do soxo de urn recém-
-nascido pode considerar-se 0 exemplo tIpico para aplicacao do conceito frequen-
cista de probabilidade. Porque esta experiéncja já se realizou inürneras vezes e 
existern registos do seu resultado, sabo-se quo a probabilidade do sexo do 
recém-nascido ser masculino é do aproximadamento 0,52 e de ser feminino e do 
cerca do 0,48. 
A utilizaçao do concoito clássico de probabilidade teria conduzido ao valor do 
0,5 para cada urna das reforidas probabilidades, o quo constituiria urn erro. Este 
seria proveniente do facto do so considorarern oquiprovavejs os elernentos do 
espaço de resultados Q = { Masculino, Forninino }, quando ostes a não são. 
a 
4.3. Conceito subjectivo ou persona jista 
de probabilidade 
Utilizarido esto concoito, a probabilidade de urn acontecimonto é dada polo 
grau do crodibiudado ou do confiança quo cada pessoa dá a rea!izaçao do urn 
acontecirnento Basoja-se na inforrnaçao quantitativa (ox: froquencia do ocor-
réncia do urn acontecirnento) o/ou qualitativa (ox: informaçâo sobre experiencia 
passada em situaçöos sornolhantes) quo o docisor possui sobro o acontoci-
rnento orn causa. Diferentos decisores podorn atribuir diferontos probabilidados 
ao rnosrno acontocirnento docorrontos da experiencja, atitudos, valores, etc, 
quo possuorn. 
Esta noçao do probabilidade pode ser aplicada a oxporiOncias quo, ornbora 
de resultado sujoito ao acaso, não so podorn efectuar várias vozos nas rnos- 
rnas condiçoos, casos em quo os concoitos froquoncista o clássico nao so 
podem aplicar. 
ESTATIST/C.4 
Se o Primoiro Ministro afirmasse "a inflação para o próxirno ano sorá de 3% 
corn urna probabilidade do 0,9' estaria aaplicar o conceito subjectivo ou perso-
nalista do probabilidade. Urna outra figura polItica, da Oposiçao, diria certamente 
quo tat meta soda difIcil do atingir, o sendo instada a quantificar o quo para eta 
era "dificit>' podetia mesmo afirmar: "Tal nivet do inflaçao so será atingido corn 
urna probabilidade do 0,25". TambOrn osta figura polItica estará, desto rnodo, a 
apticar o conceito porsonatista do probabilidade. 
Kfj 
Da necessidade de sistematizaçâo dos conceitos empregues na Teoria das 
Frobabilidades e da construção de urn corpo teórico coerente surgem os trés 
axiornas em que so baselarn todos Os desenvoivimentos posteriores deste 
campo das matemáticas. Assirn, consideramos que P (.) é urna funçao quo 
associa a todo o acontecimento A definido em £2 urn nUmero compreendido no 
intervaio [0, 1] e que satisfaz os seguintes axiomas: 
APLICADA 
Corn base nos axiomas referidos O possIv& demonstrar diversos teorernas, 
entre Os quais se destacarn os seguintes: 
Considerese urn acontecirnento A qualquer associado a urn espaço de 
resultados n, e o seu cornplernentar A. Atendendo a prOpria definição de 
acoritecirnento cornplementar, é evidente que A e A curnprern as seguirites 
condiçbes: 
- não podern ocorrer simultaneamente, isto é, A e A são rnutuarnente 
exciusivos, logo a sua intersecção 6 o acontecirnento irnpossIvel; 
- quando so realiza a experiência aleatOria, ocorrerá sernpre urn dos 
acontecirnentos A ou A, logo, a sua união 6 o acontecirnento certo 
Q, isto 6, 
AUA=cL 
Então, aplicando probabilidades 
P[A U A] = P[Q] 
e, pelos axiornas 2) e3) anteriores, 
P[A] + P[A] = 1 
EM 
P[A] = 1 - P[A] 	 c.q.d. 
Seja a exporléncia aleatOria quo consisto na extracçäo do uma carta do urn 
baraiho do 52 cartas. 0 acontocirnento A: sa[cja de urn re/ tern probabilidade 
P[A] = 
dado quo oxistom 4 rois nas 52 cartas. Logo, a probabificjade do acontecirnento 
cornplornontar do A, A: não sal rei, é 
PIAJ=1 - - -= -fQ 
52 	52 
quo so poderia facilmento Cornprovar urna vez quo, nurn baraiho do 52 cartas, 
existom 48 quo não são reis. 
Atenderido as propriodades do elemento neutro na uniao do acontecimen 
tos, e 
agora possivej determinar a probabilidade do 000rr6ncia do 
acontecimonto impossfvel. Assim 
o, aphoando probabilidades, 
P[c2 u øJ = 
mas, porque os dois acontecimentos são mutuamento exciusivos, 
P{Q} + P[øJ = P[Q] 
53 
ESTATISTIGA APLIGADA 
ou seja, 
P[ø] = P{C2J - P[] 
P[ø] = 0 
	
c.q.d. 
o acontecimento irnpossivel tern probabilidade nula mas a recIproca não ë 
verdadeira. A raridade durn acontecimento pode levar a quo a sua probabui-
dade seja zero sern quo, no entanto, este seja impossfvel. E o caso em quo, 
no Iançamento durna moeda ao ar, esta fica ern p6 sern cair para nenhum dos 
lados. 
Sejarn dois acontecimentos A e B quaisquer. Atendendo as propriedades 
das operaçbes sobre acontecimentos, faciirnente so dernonstra o seguinte 
B=Bn(AUA) 
B= (B fl A) U (B 	A) 
Os acontecimentos (B () A) e (B fl A) são mutuarnente exciusivos e 
(B n A) 6 o acontecimento quo se realiza quando se realiza B mas não se 
realiza A, logo 
III 
AnB 
(a- 
BnA=B-A 
TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Polo axioma 3, teremos então 
P[B] = P[B n A] + P[B 	A] 
ou 
P[B] = P[B 	A] + 98 - A] 
logo 
P[B - A] = P[B] - P[B '--i A] 	 c.q.d. 
Na produçao de artigos do vestuário de uma empresa, 10% dos artigos 
produzidos tern defeitos de material (tecido), 5% tern defeitos de acabarnento e 
2% defeitos de ambos os tipos. Qual a probabilidade de uma peça de vestuário 
retirada ao acaso ter apenas defeitos de tecido? 
Considerando os acontecimentos 
A: o art/go tern dde/to do matEr/a prima (tecido) 
B: o art/go tern do!c/to do acabam onto 
e o acontecimento 
A - B: o artigo tern apenas dole/to do maté na prima 
a sua probabilidade será 
P[A - B] = P[A] - P[A 	B]. 
De acordo corn os dados disponIveis 
P[A] = 0,10 
PEA 	B] = 0,02 
então 
PEA - B] = 0,10 - 0,02 = 0,08 
isto é, a probabilidade de uma peça de vestuário ter apenas defeitos de tecido é 
do 0,08. 
0 
ES TA TISTICA APLICADA 	 - 
AUB=(AUB)nn= 
= (A U B) fl (A U A) = 
= A U (B A) = 
= A U (B - A) 
Aplicando probabilidades 
P[AU B] = P[A u (B - A)] 
Mas, porque A e (B - A) são mutuamente exciusivos, 
P[A Li B] = P[A] + P[B - A] 
e utilizando o teorema anterior sobre a probabilidade da diferença de dois 
acontecimentos 
P[A u B] = P[A] + P[B] - P[B n A] 	c.qxi. 
TEORIA DAS PROBABIL/DADES 
Seja a experléncia aleatOria que consiste em retirar urna carta de urn baraiho 
de 52 cartas e considerern-se os acontecimentos: 
A: sal ml 
B: sal paus 
cujas probabilidades são, respectivamente, 4/52 e 13/52. 
A probabilidade do acontecimento uniao 
A u B: saircioupaus 
o P[A u B] =52uma vez que existern 16 resultados favoráveis (13 de 
saIrem paus mais 3 de sairem reis que não são de paus) em 52 resultados 
possiveis. Esta probabilidade 0 diferente de 
17 
P[A} + P[B] = - 
52 
pois ao somarmos P[A] corn P[B], conta-se duas vezes a probabilidade do 
acontecimento "sal rei de paus,, (acontecimento A -- B) cornurn aos aconteci- 
mentos A e B. E necessário, portanto, deduzir a probabilidade deste Ultimo 
acontecimento: 
P[A 	B] = P[A] + P[B] - P[A 	B] = 
413 	1 
- 52 	52 - 52 - 
16 
52 
j 
Em determinada cidade, 30% da população de leitores de jomais diários 
cornpra o jornal "Diario", 40% o jornal <<PQbIico e 10% compra os dois jornais. 
Se desta população escoihermos urn leitor ao acaso, qual a probabilidade de ele 
comprar palo menos urn destes jomais, isto 6, de ler o "Diádo", ou o cPüb!ico>> ou 
ambos? 
Considerando os acontecimentos: 
A: o leitor corn pra o aDiárlo.0 
B: o leitor cornpra o ('Pubilco" 
57 
ESTATIS TI CA APLICADA 
e sabendo que 
P[A] = 0,30 
P[A n B] = 0,10 
o que se pretende conhecer é PEA u B] 
P[A U B] = PEA] + P[B] - P[A 	B] = 
= 0,30 + 0,40 - 0,10 = 
= 0,60 
isto é, 60% dos leitores compra pelo menos urn destes jornais. 
L 
TEQR/A DAS PROBAS/LIDADES 
Paran =3 
P[Ai k) A2 13 As] = 
	
3 	 2 	3 
=P[Aj] - Y, I P[A/nAJ]+(1)4P[A1nA2nA3] 
1=1 	 1=1 j=i+1 
= P[Ai] + P[A2} + P[A3] - P[k -- A2J - 
- P[A1 nA3]_P[A2nAS}+P[A1nA2nA3 I 
Para n=4 
P[Aj U A2 u A3 U A41 = 
4 	3 4 
=P[A1]- 
	
1=1 	 i=1j=f+1 
	
2 	3 
1=1 j=!-i-1 k=j+1 
P [A/nAJnAK]_P[A1nA2nA3nA4] 
= P[A1} + P[A2] + P[A3] + P[A41 - 
- P [Al nA2I_P [Al nAS]_P[A1nA4I 
- P[A2 nA3]_P[A2nA4]p[kn]+ 
+P[A2flA3 flA4J - P[A1flA2 flA3flA4} 
ES TA TISTICA APLICADA 
A mesma populaçao do leitores do exemplo anterior fol inquirida sobre as suas 
preferências relativamente a três revistas mensais A, B e C. Os resultados obtidos 
foram Os seguintes: 
Re vista Leitores (%) 
A 9,8 
8 22,9 
C 12,1 
A e B 5,1 
A e C 3,7 
B e C 6,0 
A e B e C 2,4 
Qual a probabilidade de, urn leitor escolhido ao acaso, ser leitor de 
a) Somente A e C? 
b) Polo menos urna revista? 
As respostas a estas duas questoes sao irnediatas so se atender ao teorema 
3 e a generalizaçao do teorema 4: 
a) A probabilidade pedida é 
PEA 	C 	B] = P[A 	C] - P[A n C 	B] = 
= 0,037 - 0,024 = 
= 0,013 
b) A probabilidade pedida é 
P[AUBuC] = P[A] + P[B] + P[C] - P[A 	B] - 
- P[A ç C] - P[B 	C] + P[A 	B 	C] = 
= 0,098 + 0,229 + 0,121 - 0,051 - 0,037 - 0,06 + 0,024 = 
= 0,324. 
TEORIA 0,45 PROBABILIDADES 
Este problema poderia também ser resolvido corn o auxIlio de urn diagrarna 
de Venn. 
61, 0,042 B 
61 
A partir do momento em que se conhece a probabilidade de o acontecimen-
to B (do espaço do resultados £2) ocorrer, O possIvel calcular a probabilidade de 
qualquer outro acoritecimento A se realizar condicionado polo acontecimento B. 
Urn jogador da loteria cornpra trés bilhetes para a extracção do Natal corn os 
nUmeros 01011, 15555 e 22444, realizando-se 0 sorteio entre urn total do 40000 
nUrneros, de 00000 a 39999. 0 acontecirnento: 
A: o jogador obtém o primeiro prémio 
comporta três resultados favoráveis 
A = {01011, 15555, 22444} 
nurn total do 40000 resultados possIveis 
= {00000, 00001 ......, 399991. 
TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Aplicando 0 concoito c!ássico do probabilidade facilmente se obtem a proba-
bilidade do o jogador obter 0 primeiro prOmio: 
3 
40000 
Admita-se agora quo, no dia da extracçâo, o jogador soubo acidentalmonte 
que o nUmero premiado em primeiro !ugar era um nQmero par, embora não tivesso 
ainda conhecimento do nUmero premiado. Qual será agora a probabilidade do 
jogador obter o primeiro prémio considorando a informaçao adicional de que, 
entretanto, tomou conhecimento? Isto é, qual a probabilidade do o jogador obter 
O primeiro prémlo dado quo o nUmero premiado é par? 
0 nümero de resultados favorávois O agora apenas de 1, uma vez que o 
jogador apenas possui um bilhete com nUrnero par, enquanto quo os resultados 
possivois passaram a ser de 20000 (a total de nUmeros pares nos 40000): 
P[AIB] 
= 20000 
sendo 
B: a primeiro prérnia saiu a urn nOrnero par. 
A probabilidade anterior não ropresenta a probabilidade absoluta ou total do 
A so roahzar (igual a 3/40 000 como se viu anteriormento), mas a probabilidade 
de A condicionada pela ocorréncia de B, ou probabilidade de A dado B. 
0 facto do ser dado B opera uma reduçao no espaço do resultados, que passa 
de Q, constituldo por 40 000 resultados possIveis, para a próprio B, formado por 
apenas 20 000 resultados. A probabilidade de A ontão será 
P[AIB] 
= 20000 
Dividindo ambos as termos da fracçao por 40000 obtém-se 
1 
P[A!BJ = 40000 
20000 
40000 
ficando 
I) no denominador o nUmera de resultados favoréveis a B sabre o nOmero total 
de resultados