Curso de Probabilidade e Estatística da USP - Exercicios Resolvidos

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Exercícios resolvidos sobre Definição de
Probabilidade
Nesta Unidade de estudo, até este ponto você aprendeu definições de probabilidade e viu como os
conceitos se aplicam a várias situações. Observe agora um conjunto de exercícios solucionados que
ilustram a aplicação dos referidos conceitos.
Exercício 1
Em um cassino, localizado em certo país no exterior, o dono providenciou um dado especial. Nesse dado
a probabilidade de sair determinado ponto é inversamente proporcional a seu valor. Um aluno de
Estatística, ao visitar esse cassino, resolveu investigar se estava sendo trapaceado. “Com base na
observação de diversos eventos, para elaborar um relatório, ele fez os cálculos das probabilidades a
seguir.” Sabendo como o dado se comporta, calcule:
a) a probabilidade de sair um número menor que 3;
b) a probabilidade de sair um número par;
c) a probabilidade de sair um número primo;
d) a probabilidade de sair ponto 3;
e) a probabilidade de sair ponto 6.
Solução
Enunciado
Em um cassino, localizado em certo país no exterior, o dono providenciou um dado especial. Nesse dado
a probabilidade de sair determinado ponto é inversamente proporcional a seu valor. Um aluno de
Estatística, ao visitar esse cassino, resolveu investigar se estava sendo trapaceado. Com base na
observação de diversos eventos, ele criou um relatório que apresenta as afirmações a seguir. Sabendo
como o dado se comporta, calcule:
a) a probabilidade de sair um número menor que 3;
b) a probabilidade de sair um número par;
c) a probabilidade de sair um número primo;
d) a probabilidade de sair ponto 3;
e) a probabilidade de sair ponto 6.
Solução
Sabemos que a probabilidade de cada ponto é inversamente proporcional a seu valor. Sendo k uma
constante, teremos as seguintes probabilidades:
Pela definição axiomática, sabemos que a probabilidade do espaço amostral deve ser igual a 1. Portanto,
a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deverá resultar em 1, pois P(S) = 1. Então:
Agora que temos o valor de k, podemos calcular as probabilidades de todos os pontos:
Vamos então verificar cada alternativa:
a) A probabilidade de sair ponto menor que 3 é aproximadamente 0,6123.
O evento “sair ponto menor que 3” é correspondente a “sair ponto 1” ou “sair ponto 2”. Esses dois
eventos elementares são mutuamente excludentes, pois a ocorrência de um implica a não ocorrência do
outro. Assim, podemos aplicar o terceiro axioma:
b) A probabilidade de sair um número par é 0,3742.
Vamos chamar esse evento “sair número par” de E. Então E = {2,4,6} e a probabilidade de sair número
par será igual à probabilidade de sair 2, 4 ou 6. Esses eventos elementares são mutuamente excludentes,
portanto podemos novamente aplicar o terceiro axioma.
c) A probabilidade de sair um número primo é aproximadamente 0,4218.
São primos os números 2, 3 e 5. Então, o evento F = “sair número primo” é tal que F = {2,3,5}. Mais
uma vez, como os eventos elementares são mutuamente excludentes, podemos usar o terceiro axioma:
d) A probabilidade de sair ponto 3 é aproximadamente 0,1361.
Este resultado foi obtido logo após o cálculo da constante k, por meio do terceiro axioma da
probabilidade, e está registrado na tabela anterior.
e) A probabilidade de sair ponto 6 é aproximadamente 0,068.
Mais uma vez, com os resultados obtidos, substituindo-se o valor da constante k, temos que:
Exercício 2
Em um escritório, a necessidade de espaço para armazenamento de informações no servidor é de 500
GB (Gigabyte). Sabendo que podemos comprar discos rígidos de 50 e 100 GB e que a ordem de
aquisição não é relevante, o espaço amostral de possibilidades para conseguir 500 GB é formado por
quantos elementos?
Solução
Enunciado
Em um escritório, a necessidade de espaço para armazenamento de informações no servidor é de 500
GB (Gigabyte). Sabendo que podemos comprar discos rígidos de 50 e 100 GB e que a ordem de
aquisição não é relevante, o espaço amostral de possibilidades para conseguir 500 GB é formado por
quantos elementos?
Solução
Neste exercício, vamos listar todas as possibilidades de obter um conjunto de 500 GB de memória,
composto de elementos de 50 GB e/ou 100 GB.
Temos, portanto, 6 combinações possíveis que satisfazem à exigência de 500 GB de memória total.
Exercício 3
Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os eventos A = {soma dos pontos
igual a 6} e B = {pontos 1, 2 ou 3 no segundo dado}. Calcule:
a) a probabilidade de ocorrer o evento A
b) a probabilidade de ocorrer o evento B
c) a probabilidade de ocorrer o evento união.
d) a probabilidade da interseção entre A e o complemento de B
e) a probabilidade da interseção entre os eventos A e B
f) a probabilidade da união do complemento de A com o evento B
Solução
Enunciado
Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os eventos A = {soma dos pontos
igual a 6} e B = {pontos 1, 2 ou 3 no segundo dado}. Calcule:
a) a probabilidade de ocorrer o evento A
b) a probabilidade de ocorrer o evento B
c) a probabilidade de ocorrer o evento união.
d) a probabilidade da interseção entre A e o complemento de B
e) a probabilidade da interseção entre os eventos A e B
f) a probabilidade da união do complemento de A com o evento B
Solução
São dados os eventos:
A = {soma dos pontos igual a 6} e B = {pontos 1, 2 ou 3 no segundo dado}.
Para resolver este exercício, podemos listar todos os resultados possíveis – não são muitos – e obter as
informações necessárias diretamente.
Veja que o espaço amostral é composto de 36 resultados possíveis e igualmente prováveis, pois os
dados são honestos.
a) Os resultados favoráveis ao evento A são (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1) e estão marcados em
amarelo e verde, portanto:
 
b) Os resultados favoráveis ao evento B são todos aqueles que têm ponto 1, 2 ou 3 no segundo dado,
isto é, as três colunas da esquerda da tabela anterior, marcadas em azul e verde. Então:
c) A probabilidade de ocorrer o evento união corresponde à ocorrência de algum dos eventos A e B, ou
seja, todos os resultados em destaque (amarelo, azul ou verde) na tabela anterior.
d) O complemento de B consiste nos resultados das 3 colunas da direita da tabela. A intersecção entre A
e o complemento de B serão os resultados (2,4) e (1,5).
e) A intersecção entre os eventos A e B está marcada em verde no espaço amostral, pois representa a
ocorrência do “evento azul” e do “evento amarelo”.
f) O complemento do evento A contém todos os resultados exceto: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) e (5,1). A
união do complemento de A com o evento B será o evento que contém todos os resultados do espaço
amostral, exceto (2,4) e (1,5).
Exercício 4
No lançamento de 2 dados (não viciados), quais são as probabilidades de:
a) a soma dos pontos ser igual a 11?
b) a soma dos pontos ser maior que 10?
c) a soma dos pontos ser igual a 7?
d) a soma dos pontos ser igual a 7 ou 11?
Solução
Enunciado
No lançamento de 2 dados (não viciados), quais são as probabilidades de:
a) a soma dos pontos ser igual a 11?
b) a soma dos pontos ser maior que 10?
c) a soma dos pontos ser igual a 7?
d) a soma dos pontos ser igual a 7 ou 11?
Solução
Vamos listar todos os resultados possíveis que constituem o espaço amostral.
Agora vamos verificar cada uma das alternativas.
• A probabilidade de a soma dos pontos ser igual a 11 é 1/18.
Você vê em vermelho todas as combinações que resultam em soma 11. Portanto, chamando de A o
evento “soma igual a 11” temos:
• A probabilidade de a soma dos pontos ser maior que 10 é 1/12.
Em verde, estão destacados todos os resultados favoráveis ao evento B = “soma maior que 10”, que
significa “soma 11” ou “soma 12”.
• A probabilidade de a soma dos pontos ser igual a 7 é 1/6.
Os resultados favoráveis ao evento C = “soma igual a 7” estão circulados em azul na tabela do espaço
amostral. Portanto:
• A probabilidade de a soma dos pontos ser 7 ou 11 é igual a 2/9.
Este evento D = “soma 7 ou 11” corresponde à união dos eventosA e C, que são mutuamente
excludentes (observe na tabela que não há intersecção entre os eventos). Podemos, portanto, aplicar o
terceiro axioma.
Exercício 5
Fez-se um estudo para verificar a quantidade de homens e mulheres em quatro diferentes universidades.
Os resultados encontrados são expostos a seguir. Uma empresa de marketing, interessada em obter
essas informações para planejar uma campanha, pediu a um técnico que fizesse um relatório com base
nos dados publicados nesse estudo. Alguns dos pontos polêmicos do relatório são expostos a seguir.
Agora calcule:
a) qual é a chance de ele ser homem e da Universidade A, sabendo que o estudante não é da
Universidade C?
b) qual é a chance de ser uma mulher ou ser das Universidades C ou D?
c) qual é a probabilidade de um estudante ser uma mulher?
d) qual é a probabilidade de um estudante estudar na Universidade A?
e) sabendo que se trata de um homem, qual é a chance de o estudante ser da Universidade C?
Solução
Enunciado
Fez-se um estudo para verificar a quantidade de homens e mulheres em quatro diferentes universidades.
Os resultados encontrados são expostos a seguir. Uma empresa de marketing, interessada em obter
essas informações para planejar uma campanha, pediu a um técnico que fizesse um relatório com base
nos dados publicados nesse estudo. Alguns dos pontos polêmicos do relatório são expostos a seguir.
Agora calcule:
a) qual é a chance de ele ser homem e da Universidade A, sabendo que o estudante não é da
Universidade C?
b) qual é a chance de ser uma mulher ou ser das Universidades C ou D?
c) qual é a probabilidade de um estudante ser uma mulher?
d) qual é a probabilidade de um estudante estudar na Universidade A?
e) sabendo que se trata de um homem, qual é a chance de o estudante ser da Universidade C?
Solução
Neste exercício, temos as informações necessárias sobre todos os eventos possíveis. Assim, devemos
apenas identificar quais são os resultados favoráveis ao evento considerado e quais são os resultados
possíveis no âmbito do espaço amostral considerado. Atenção: o espaço amostral nem sempre será o
mesmo!
a) Sabendo que o estudante não é da Universidade C, a chance de ele ser homem e da
Universidade A é superior a 0,27.
Aqui, já temos a informação de que este estudante NÃO é da Universidade C, portanto, nosso espaço
amostral será o seguinte:
Os resultados favoráveis são os 225 “homens da Universidade A”. Portanto, podemos calcular a
probabilidade por meio do quociente entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis (destacados
na tabela anterior). Seja A o evento “homem da Universidade A, sabendo que não é da Universidade C”,
então:
b) A chance de ser uma mulher ou ser das Universidades C ou D é aproximadamente 73%.
Nesse caso, o espaço amostral contém 1405 resultados possíveis e a ocorrência de um evento ou de
outro significa a ocorrência de algum dos eventos.
Assim, sendo B o evento “mulher” ou “Universidade C” ou “Universidade D”, temos:
c) A probabilidade de um estudante ser uma mulher é próxima de 21%.
Seja C o evento “mulher”, temos:
d) A probabilidade de um estudante estudar na Universidade A é superior a 0,2.
Seja D o evento “estudante ser da Universidade A”, então:
e) Sabendo que se trata de um homem, a chance de ser da Universidade C é próxima de 48%.
Mais uma vez, temos um espaço amostral diferente, pois é dado que se trata de um homem. Portanto, o
espaço amostral S contém 1098 resultados possíveis, dos quais 532 são favoráveis ao evento “ser da
Universidade C”.
Então, sendo D o evento “ser da Universidade C, dado que é um homem”, temos:
Exercício 6
No lançamento de um dado, o espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}.
Considere os eventos:
- O resultado é um número ímpar: A = {1,3,5}. 
- O resultado é um número primo: B = {2,3,5} .
- O resultado é maior que 4: C = {5,6}.
Agora:
a) encontre o evento complementar de C.
b) encontre a união de A com .
c) identifique a intersecção entre B e C.
d) verifique se os conjuntos A e são mutuamente excludentes.
e) encontre a união de A com C.
f) identifique o complementar de A.
Solução
Enunciado
No lançamento de um dado, o espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}.
Considere os eventos:
- O resultado é um número ímpar: A = {1,3,5}. 
- O resultado é um número primo: B = {2,3,5} .
- O resultado é maior que 4: C = {5,6}.
Agora:
a) encontre o evento complementar de C.
b) encontre a união de A com ' .
c) identifique a intersecção entre B e C.
d) verifique se os conjuntos A e são mutuamente excludentes.
e) encontre a união de A com C.
f) identifique o complementar de A.
Solução
Vamos verificar cada uma das afirmações.
a) O evento complementar contém todos os resultados que não são favoráveis ao evento
considerado. Portanto, o complementar de C é: ={1,2,3,4}.
b) A união de A com = {1,2,3,4,5}.
c) A intersecção entre B e C é {5}.
d) Os conjuntos A e NÃO são mutuamente excludentes.
Como a intersecção dos eventos considerados é não nula, ou seja, , então os eventos não
são mutuamente excludentes.
e) A união de A com C é {1,3,5,6}.
Quando um resultado aparecer em ambos os eventos, não deverá ser repetido. Portanto, 
 .
f) O complementar de A é .
O evento complementar consiste em todos os resultados que não são favoráveis ao evento considerado.
Exercício 7
Em uma competição de aeromodelismo, vence o participante que conseguir pousar mais vezes seu
aeroplano na área especificada. Esta área consiste em um triangulo equilátero, inscrito em um círculo.
Sabendo que um aeroplano pousou dentro do círculo, qual é a probabilidade de ter pousado também
dentro do triângulo? Suponha que a densidade da probabilidade em todos os pontos do círculo é a
mesma.
*Lembre-se de considerar o brinquedo como um ponto material.
Solução
Enunciado
Em uma competição de aeromodelismo, vence o participante que conseguir pousar mais vezes seu
aeroplano na área especificada. Esta área consiste em um triangulo equilátero, inscrito em um círculo.
Sabendo que um aeroplano pousou dentro do círculo, qual é a probabilidade de ter pousado também
dentro do triângulo? Suponha que a densidade de probabilidade em todos os pontos do círculo é a
mesma.
*Lembre-se de considerar o brinquedo como um ponto material.
Solução
Neste exercício, mais uma vez o cálculo será feito por meio do quociente entre os resultados favoráveis
ao evento em questão e os resultados possíveis.
Observe que o espaço amostral é o círculo, pois é dada a informação de que o aeroplano pousou dentro
dele. Assim, o número de resultados possíveis será igual à área do círculo.
O número de resultados favoráveis ao evento E = “pousar também dentro do triângulo”, por sua vez,
será igual à área do triângulo.
A probabilidade de ocorrência do evento E será calculada da seguinte forma:
Com base na figura apresentada, podemos encontrar a relação entre o raio do círculo (R) e o lado do
triângulo (L).
Sabemos que, em um triângulo equilátero, a altura é e é dividida pelo baricentro em dois
segmentos tais que um tem o dobro do comprimento do outro. Como o baricentro do triângulo coincide
com o centro do círculo (afinal, o triângulo é equilátero), podemos dizer que . Assim, o
lado do triângulo equilátero é tal que:
A expressão para o cálculo da área de um triângulo equilátero de lado L é:
Como a área de um círculo de , então a probabilidade de ocorrência do evento E será:
Exercício 8
Relacione as figuras a seguir às operações básicas entre eventos: união, intersecção, evento
complementar e eventos mutuamente excludentes.
Solução
Enunciado
Relacione as figuras a seguir às operações básicas entre eventos: união, intersecção, evento
complementar e eventos mutuamente excludentes.
Solução
As figuras apresentadas neste exercício representam exatamente as definições de cada uma das
operações entre eventos.
Exercícios resolvidos sobre Teoremas de
Probabilidade
Aqui você tem mais uma oportunidade de estudar os teoremas da probabilidade, por meiode um
conjunto de exercícios resolvidos. Observe como as propriedades da probabilidade se aplicam aos
problemas apresentados.
Exercício 1
Em uma empresa há 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 são formados em Direito e, entre
as mulheres, 7 são formadas também em Direito. Os demais são formados em Administração. Ao
sortear uma pessoa desse grupo:
a) qual é a probabilidade de ser um homem formado em Administração?
b) sabendo-se que a pessoa sorteada é formada em Administração, qual é a probabilidade de ser
homem?
c) sabendo-se que é um homem, qual é a probabilidade de ser formado em Administração?
d) sabendo-se que a pessoa sorteada é formada em Direito, qual é a probabilidade de ser uma
mulher?
e) sabendo-se que a pessoa sorteada é uma mulher, qual é a probabilidade de ser formada em
Direito?
Solução
Enunciado
Em uma empresa há 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 são formados em Direito e, entre
as mulheres, 7 são formadas também em Direito. Os demais são formados em Administração. Ao
sortear uma pessoa desse grupo:
a) qual é a probabilidade de ser um homem formado em Administração?
b) sabendo-se que a pessoa sorteada é formada em Administração, qual é a probabilidade de ser
homem?
c) sabendo-se que é um homem, qual é a probabilidade de ser formado em Administração?
d) sabendo-se que a pessoa sorteada é formada em Direito, qual é a probabilidade de ser uma
mulher?
e) sabendo-se que a pessoa sorteada é uma mulher, qual é a probabilidade de ser formada em
Direito?
Solução
As informações dadas são:
Sejam os eventos:
H = ser homem
M = ser mulher
A = ser formado(a) em Administração
D = ser formado(a) em Direito
Vamos verificar as alternativas uma a uma.
a) Temos de calcular a probabilidade de ser um homem e de ser formado em Administração 
Evento intersecção Regra do Produto
b) Para calcular a probabilidade de a pessoa sorteada ser homem, sabendo-se que ela é
formada em Administração, fazemos a aplicação direta da Probabilidade Condicionada. 
c) Para calcular a probabilidade de a pessoa ser formada em Administração, sabendo-se que o
sorteado foi um homem, aplicamos a Probabilidade Condicionada.
d) O cálculo utilizado é da Probabilidade Condicionada:
e) Mais uma vez, trata-se da Probabilidade Condicionada:
Exercício 2
É preciso formar uma comissão e para sua constituição há disponíveis 2 professores e 4 assistentes.
São escolhidas ao acaso 3 pessoas. Qual é a probabilidade de que sejam escolhidos para esta
comissão 1 professor e 2 assistentes?
Solução
Enunciado
É preciso formar uma comissão e para sua constituição há disponíveis 2 professores e 4 assistentes.
São escolhidas ao acaso 3 pessoas. Qual é a probabilidade de que sejam escolhidos para esta
comissão 1 professor e 2 assistentes?
Solução
Temos: 2 professores
4 assistentes
Queremos formar uma comissão com três pessoas, escolhidas ao acaso. Há maneiras
de fazer isso.
Consideremos, agora, o caso particular em que a comissão é formada por um professor e dois
assistentes. Existem duas maneiras de escolher esse professor (dentre os dois disponíveis) e 
 maneiras de escolher os dois assistentes (dentre os quatro disponíveis). Assim, o total de
comissões formadas por um professor e dois assistentes é 
Portanto, se E for o evento “a comissão é constituída por um professor e dois assistentes”, teremos
Exercício 3
Um casal vai mergulhar em busca de pérolas no oceano. Sabemos que em razão das habilidades e do
condicionamento físico deles, o rapaz tem 3/7 de chance de encontrar alguma pérola e a moça, 2/7
de chance. Sabemos que a chance de os dois encontrarem pérolas é de 1/7. Sabendo-se que o rapaz
encontrou uma pérola:
a) Qual é a chance de a moça NÃO ter achado pérola alguma antes e depois de saber que seu
esposo encontrou uma delas?
b) Qual é a chance de a moça encontrar uma pérola depois de saber que o rapaz conseguiu uma
pérola?
c) Decida se o evento de não encontro de pérola do rapaz é mutuamente excludente ao evento do
não encontro de pérola da moça.
d) Sem ter a informação do achado do rapaz, qual é a chance de somente um deles encontrar alguma
pérola?
Solução
Enunciado
Um casal vai mergulhar em busca de pérolas no oceano. Sabemos que em razão das habilidades e do
condicionamento físico deles, o rapaz tem 3/7 de chance de encontrar alguma pérola e a moça, 2/7
de chance. Sabemos que a chance de os dois encontrarem pérolas é de 1/7. Sabendo-se que o rapaz
encontrou uma pérola:
a) Qual é a chance de a moça NÃO ter achado pérola alguma antes e depois de saber
que seu esposo encontrou uma delas?
b) Qual é a chance de a moça encontrar uma pérola depois de saber que o rapaz
conseguiu uma pérola?
c) Decida se o evento de não encontro de pérola do rapaz é mutuamente excludente ao
evento do não encontro de pérola da moça. 
d) Sem ter a informação do achado do rapaz, qual é a chance de somente um deles
encontrar alguma pérola?
Solução
Sejam os eventos:
HA = rapaz encontra pérola
HS = rapaz não encontra pérola
MA = moça encontra pérola
MS = moça não encontra pérola
Sabemos que P(HA) = 3/7, P(MA) = 2/7 e P(HA ∩ MA) = 1/7.
Vamos verificar cada uma das alternativas.
a) Uma informação adicional pode alterar a probabilidade de ocorrência de um evento. Sem a
informação sobre o sucesso do rapaz, a chance de insucesso da moça é calculada pelo evento
complementar.
Após a informação, calculamos também pelo evento complementar, atentando para o espaço
amostral considerado (que inclui apenas os eventos em que o rapaz encontra uma pérola):
A probabilidade P(MA|HA) é calculada pela expressão da Probabilidade Condicionada:
Então, substituindo na expressão anterior:
Portanto, a informação sobre o achado do rapaz afeta a chance de a moça não encontrar algo.
b) Após a informação de que o rapaz encontrou uma pérola, a chance de a moça encontrar é
calculada pela Probabilidade Condicionada:
c) Eventos mutuamente excludentes devem apresentar intersecção nula. Nesse caso, devemos
procurar calcular a intersecção dos eventos de encontrar uma pérola para cada um deles. Pela Regra
do Produto temos:
Porém não sabemos ainda o valor de P(MS|HS). No entanto, podemos obtê-lo por meio do teorema
da Probabilidade Total, pois a chance de a moça achar uma pérola depende de o rapaz ter
encontrado ou não.
Foi calculada anteriormente a probabilidade de a moça não ter achado nenhuma pérola, dado que o
rapaz encontrou:
Assim, podemos fazer as substituições na expressão da Probabilidade Total e obter o valor de
P(MS|HS).
Voltando à Regra do Produto, temos então:
E, como a probabilidade de ocorrência de intersecção é não nula, os eventos não são mutuamente
excludentes.
d) Sem ter a informação do achado do rapaz, a chance de somente um dos dois encontrar uma
pérola é calculada pela Regra da Soma para a ocorrência de algum dos eventos “HS e MA” e “HA e
MS”, que são mutuamente excludentes.
P(MA|HS) nada mais é que a probabilidade de o evento complementar a “MS|HS”, cuja
probabilidade foi calculada no item anterior.
P(MS|HA) também foi calculada anteriormente e vale 2/3. Portanto, substituindo na Regra da Soma:
Exercício 4
Considere três caixas, cada uma delas com dois compartimentos. Na caixa 1 há uma nota de R$ 50
em cada compartimento. Na caixa 2 há uma nota de R$ 10 em cada compartimento. Na caixa 3 há
uma nota de R$ 50 em um compartimento e uma nota de R$ 10 em outro. Escolhendo uma caixa ao
acaso, abrimos um compartimento. Se a nota é de R$ 50, qual é a probabilidade de que no outro
compartimento também haja uma nota de R$ 50?
Solução
Enunciado
Considere três caixas, cada uma delas com dois compartimentos. Na caixa 1 há uma nota de R$ 50
em cada compartimento. Na caixa 2 há uma nota de R$ 10 em cada compartimento. Na caixa 3 há
uma nota de R$ 50 em um compartimento e uma nota de R$ 10 em outro. Escolhendo uma caixa ao
acaso, abrimos um compartimento. Se a nota é de R$ 50, qual é a probabilidade de que no outro
compartimento também haja uma notade R$ 50?
Solução
Este exercício é mais simples do que parece.
Supondo que a primeira nota retirada era de R$ 50, queremos saber a chance de a segunda também
ser de R$ 50.
A intersecção dos eventos em questão ocorre apenas na caixa 1, que contém 2 notas de R$ 50.
Então:
A probabilidade de retirar em primeiro lugar uma nota de R$ 50 pode ser entendida da seguinte
forma: temos 6 notas no total, das quais apenas 3 são de R$ 50. Isso é possível, pois é igualmente
provável escolher qualquer uma das 3 caixas, assim como os compartimentos. Logo:
Então, substituindo na primeira expressão:
Exercício 5
Em uma caixa existem 3 envelopes brancos e 2 envelopes pardos. Eles são extraídos da caixa sem
reposição. Calcule:
a) a chance de que saiam três envelopes brancos sucessivos.
b) a chance de que saiam 2 pardos sucessivamente
c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.
d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.
Solução
Enunciado
Em uma caixa existem 3 envelopes brancos e 2 envelopes pardos. Eles são extraídos da caixa sem
reposição. Calcule:
a) a chance de que saiam três envelopes brancos sucessivos.
b) a chance de que saiam 2 pardos sucessivamente
c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.
d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.
Solução
Considere os eventos:
A = saírem 3 brancos sucessivos
B = saírem 2 pardos sucessivos
E = saírem intercalados
Vamos testar as alternativas uma a uma:
a) A chance de que saiam 3 brancos sucessivos é de 0,3.
Antes de calcular as probabilidades das retiradas, devemos verificar quantas são as permutações
possíveis. Neste caso são 3. Observe:
Agora sim, vamos aplicar a Regra do Produto, multiplicando as probabilidades por 3.
b) A chance de que saiam 2 pardos sucessivamente é 0,4.
A resolução é análoga à do item anterior.
Aplicando a Regra do Produto:
c) A chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos é de 0,5.
Como calculamos nos itens anteriores:
Para obtermos a probabilidade de ocorrência do evento união, aplicamos a Regra da Soma:
Observe que existem duas combinações, entre as 10 possíveis, em que os eventos ocorrem
simultaneamente:
Portanto, e, substituindo na Regra da Soma, temos:
d) A chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados é de 0,1.
Aqui, aplicamos a Regra do Produto para a única combinação possível em que os envelopes saem
intercalados.
Exercício 6
Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. A partir
disso, calcule os valores de p para que os eventos A e B sejam:
a) Mutuamente excludentes
b) Independentes
Solução
Enunciado
Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. A partir
disso, calcule os valores de p para que os eventos A e B sejam:
a) Mutuamente excludentes
b) Independentes
Solução
Eventos mutuamente excludentes são aqueles cuja intersecção é nula. Nesse caso, conforme o
axioma visto na primeira aula, a probabilidade de ocorrência da união dos eventos é calculada
diretamente pela soma de cada uma das probabilidades.
Eventos independentes são aqueles tais que a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de
ocorrência do outro. Ou seja:
Neste caso, a probabilidade da intersecção é calculada pelo produto das probabilidades de cada um
dos eventos elementares. Dessa forma, aplicando a Regra da Soma teremos:
Exercício 7
Considere o circuito elétrico ilustrado a seguir. É preciso que passe um pulso entre os pontos A e B.
Como a estrutura onde ele está instalado é muito precária, cada chave ilustrada do circuito tem
probabilidade igual a ½ de estar fechada. Além disso, cada chave tem funcionamento completamente
independente das demais. Qual é a chance de sucesso do pulso?
Solução
Enunciado
Considere o circuito elétrico ilustrado a seguir. É preciso que passe um pulso entre os pontos A e B.
Como a estrutura onde ele está instalado é muito precária, cada chave ilustrada do circuito tem
probabilidade igual a ½ de estar fechada. Além disso, cada chave tem funcionamento completamente
independente das demais. Qual é a chance de sucesso do pulso?
Solução
Vamos analisar em que condições o pulso não será transmitido entre os terminais.
Não haverá transmissão se:
− Chave 1 aberta OU chave 2 aberta:
− Chaves 4 e 5 abertas OU chave 3 aberta:
Então, a chance de não passar o pulso é de:
E a chance de passar o pulso será dada pelo evento complementar:
Exercício 8
Este exercício é conhecido como “jogo das 3 portas” e consiste em 3 portas das quais apenas uma
delas esconde um prêmio. O participante escolhe uma delas na qual ele acredita estar o prêmio. Uma
vez escolhida a porta, o apresentador, que sabe onde está o prêmio, abre uma porta sem prêmio que
não tenha sido escolhida pelo participante. Restam assim a porta escolhida pelo participante e a outra
fechada. Por fim o apresentador pergunta se o participante quer trocar de porta ou continuar com a
primeira escolhida. 
Se você estivesse participando do jogo e o apresentador te desse a opção de trocar de porta, o que
você faria?
Solução
Enunciado
Este exercício é conhecido como “jogo das 3 portas” e consiste em 3 portas das quais
apenas uma delas esconde um prêmio. O participante escolhe uma delas na qual ele
acredita estar o prêmio. Uma vez escolhida a porta, o apresentador, que sabe onde
está o prêmio, abre uma porta sem prêmio que não tenha sido escolhida pelo
participante. Restam assim a porta escolhida pelo participante e a outra fechada. Por
fim o apresentador pergunta se o participante quer trocar de porta ou continuar com a
primeira escolhida. 
Se você estivesse participando do jogo e o apresentador te desse a opção de trocar de
porta, o que você faria?
Solução
É comum pensar que, após a abertura de uma das portas (que não esconde o prêmio),
a probabilidade de acerto passa a ser 1/2, pois existem agora apenas duas portas
possíveis. No entanto, devemos lembrar que probabilidade é uma medida da
informação que temos a respeito da ocorrência de um evento.
Como vimos nesta unidade, a probabilidade condicional depende exatamente da
quantidade de informação que temos a respeito de dois eventos sucessivos. 
Nesse caso, os eventos são a escolha de uma porta e a posterior abertura de outra
delas. O que ocorre é teoricamente simples. 
Quando inicialmente se escolhe uma das portas, apesar de contarmos com nossa
“intuição”, a informação que temos é clara: temos 1/3 de chance de ganhar com
qualquer uma das portas. No entanto, quando o apresentador escolhe uma das portas
restantes e abre, a informação que temos a respeito do jogo muda. 
Sabemos que o apresentador detém a informação de qual porta esconde o prêmio.
Sabemos também que ele jamais abriria essa porta, afinal o jogo acabaria logo. 
Com a abertura dessa porta o que ocorre é simples: a chance de o prêmio estar na
porta que escolhemos continua a ser de 1/3; afinal, uma vez escolhida nossa porta, nada
aconteceu com ela até o momento. Ela continua sendo a mesma porta do início do jogo
com essa probabilidade de sucesso. Contudo, ganhamos a informação de que a porta
aberta passou a ter 0% de chance de conter o prêmio. Automaticamente, a porta que
não foi escolhida nem aberta passa a ser detentora de ⅔ das chances de esconder o
prêmio. 
Em um primeiro momento parece inacreditável e incorreta essa conclusão, contudo
após refletir bastante você verá que é coerente com a teoria aprendida.
Exercícios Resolvidos sobre probabilidade
total e Teorema de Bayes
Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto
de exercícios resolvidos sobre o tema. Esse passo é fundamental para fixar bem o conteúdo
apresentado na Web Aula e preparar-se para os Exercícios Propostos.
Exercício 1
Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta.
Ao não saber a resposta,o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis
escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60% do conteúdo, qual será a chance
de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar
exatamente 3 questões?
Solução
Enunciado
Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta.
Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis
escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60% do conteúdo, qual será a chance
de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar
exatamente 3 questões?
Solução
Este problema consiste em calcular a probabilidade incondicional de um aluno acertar uma questão
qualquer. Isto é, sem saber se ele domina ou não o conteúdo, qual é a chance de acertar uma
questão?
Para resolver este exercício, portanto, você deve aplicar o teorema da Probabilidade Total.
Considere os eventos:
A = acertar
B = saber o conteúdo
= não saber o conteúdo e, portanto, “chutar” uma alternativa
Assuma que, se o aluno sabe o conteúdo, ele tem 100% de probabilidade de acertar a questão
considerada. Se ele não domina o assunto, “chutará” uma resposta, com 20% de chance de acertar –
pois há 5 alternativas possíveis.
Então, temos:
Para calcular a chance de o aluno acertar exatamente 3 questões, vamos utilizar a informação obtida
na primeira parte do exercício.
Essa chance será calculada multiplicando a chance de ele acertar 3 questões multiplicada pela chance
de errar 2 questões multiplicada pelo número possível de combinações com 3 questões certas e 2
erradas. Utilizando o que você aprendeu sobre regra do produto e os conhecimentos que já possuía
sobre combinações temos:
Exercício 2
Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos,
não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter
problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se
não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente.
Agora, calcule:
a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia?
b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico?
c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o
veículo não parou nesse dia?
Solução
Enunciado
Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos,
não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter
problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se
não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente.
Agora, calcule:
a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia?
b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito
mecânico?
c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se
o veículo não parou nesse dia?
Solução
Considere os eventos:
M = ter problema mecânico
E = ter problema elétrico
São dadas as informações:
P(M) = 0,2
P(E|M) = 0,25
Vamos verificar cada um dos itens:
a) O veículo somente vai parar se tiver problema elétrico. Então, precisamos calcular a
Probabilidade Total de ocorrer defeito elétrico, independentemente de ter havido ou não defeito
mecânico.
b) Devemos calcular a probabilidade de ter havido defeito mecânico condicionada ao fato de
sabermos que o veículo parou (lembre-se que o veículo para quando há defeito elétrico). Isso é feito
por meio do Teorema de Bayes.
Observe que P(E) é a Probabilidade Total, calculada no item anterior.
c) Mais uma vez, vamos utilizar o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade de que tenha
havido problema mecânico, dado que não houve defeito elétrico.
A probabilidade de não haver defeito elétrico é dada pela propriedade do evento complementar:
Agora vamos calcular a probabilidade de não haver defeito elétrico, dado que houve defeito
mecânico. Considerando o espaço amostral de todos os eventos que podem ocorrer, dado que
houve defeito mecânico, sabemos que a chance de haver defeito elétrico é P(E|M) = 0,25. A
chance de não haver defeito elétrico será, portanto, o complementar do evento E em relação a este
espaço amostral.
Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:
Exercício 3
Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas. A comunidade em que ele vive, interessadíssima
nesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foi averiguado que ele acerta 80% das vezes em
que diz que os tomates não vão germinar e 90% das vezes em que diz que os tomates vão germinar.
Os tomates não germinam em 10% das colheitas. Se Alberto anunciar a perda da colheita, qual é a
probabilidade real de que eles não germinem?
Solução
Enunciado
Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas. A comunidade em que ele vive, interessadíssima
nesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foi averiguado que ele acerta 80% das vezes em
que diz que os tomates não vão germinar e 90% das vezes em que diz que os tomates vão germinar.
Os tomates não germinam em 10% das colheitas. Se Alberto anunciar a perda da colheita, qual é a
probabilidade real de que eles não germinem?
Solução
A maior dificuldade deste exercício é identificar os eventos relevantes. Sejam:
A = haver previsão de perda
B = haver perda real da colheita
O que queremos saber é a probabilidade de haver perda da colheita, dado que houve previsão de
perda. Esse cálculo é feito pelo Teorema de Bayes:
A probabilidade de haver previsão de perda da colheita, tendo de fato havido perda, nada mais é que
a probabilidade de acertar previsão de perda. E este valor é fornecido no enunciado
A probabilidade de haver previsão de perda, independentemente de acertar ou não, é calculada pela
Probabilidade Total.
Atenção: é a probabilidade de haver previsão de perda, mas, na realidade, não haver perda
real, ou seja, 0,1.
Então, substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:
Exercício 4
Jack é um empresário conhecido por ser muito cauteloso com relação a suas informações. Ele tem
um registro minucioso da composição de cada área de sua empresa e sabe que:
Jack resolve visitar de surpresa um dos departamentos, escolhendo aleatoriamente um deles e
consegue identificar de modo imediato dois executivos. Um deles é sênior e o outro, júnior. Assuma
que os três departamentos são igualmente prováveis de serem visitados (as portas das salas são
idênticas e equiprováveis). Com base nesses dados, calcule:
a) Qual é a chance de Jack visitar a área financeira?
b) Qual é a chance de a visita não ser na área de advocacia?
c) Qual é a chance de ser o departamento de contabilidade o visitado?
d) Qual é a probabilidade de avistar um executivo júnior e um sênior no espaço amostral
considerado?
Solução
Enunciado
Jack é um empresário conhecido por ser muito cauteloso com relação a suas informações. Ele tem
um registro minucioso da composição de cada área de sua empresa e sabe que:
Jack resolve visitar de surpresa um dos departamentos, escolhendo aleatoriamente um deles e
consegue identificar de modo imediato dois executivos. Um deles é sênior e o outro, júnior. Assuma
que os três departamentos são igualmente prováveis de serem visitados (as portas das salas são
idênticas e equiprováveis). Com base nesses dados, calcule:
a) Qual é a chance de Jack visitar a área financeira?
b) Qual é a chance de a visita não ser na área de advocacia?
c) Qual é a chance de ser o departamento de contabilidade o visitado?
d) Qual é a probabilidade de avistar um executivo júnior e um sênior no espaço amostral
considerado?
Solução
Vamos calcular as probabilidades de ser cada um dos três departamentos. Considere os eventos:F = ser o departamento financeiro.
A = ser o departamento de advocacia.
C = ser o departamento de contabilidade.
S = ser executivo sênior
P = ser executivo pleno
J = ser executivo júnior
Queremos calcular a probabilidade de ter sido avistado determinado departamento dado que nele
havia um executivo sênior e um júnior. Esse cálculo é feito por meio do Teorema de Bayes. Observe
para o caso do departamento financeiro:
P(F) é dada e P(S∩J|F) é calculada pela Regra do Produto:
, no departamento financeiro
Para os outros dois departamentos, o raciocínio é o mesmo:
, no departamento de advocacia
, no departamento de contabilidade
P(S∩J) é a probabilidade de haver um executivo sênior e um júnior, independentemente de qual
departamento seja considerado. Portanto, será obtida pela Probabilidade Total.
Assim, substituindo os valores calculados anteriormente na expressão do Teorema de Bayes, temos:
Agora podemos responder às alternativas:
a) A chance de ser a área financeira é de 35/122. Como foi calculado:
b) Calculamos anteriormente a probabilidade de ser a área de advocacia, dado que foram avistados
um executivo sênior e um júnior. A probabilidade de não ser a área de advocacia é obtida pela
propriedade do evento complementar
A chance de ser o departamento de contabilidade é de 42/122. Como calculamos anteriormente
c) A probabilidade de se avistar um executivo júnior e um sênior, independentemente do
departamento considerado, foi calculada por meio da Probabilidade Total.
Exercício 5
No lançamento de dois dados simultaneamente, se as faces mostrarem números diferentes, qual é a
probabilidade de que uma face seja o número 2?
Solução
Enunciado
No lançamento de dois dados simultaneamente, se as faces mostrarem números diferentes, qual é a
probabilidade de que uma face seja o número 2?
Solução
Considere os eventos:
A = sair pelo menos uma face 2
B = saírem duas faces diferentes
Este é mais um exercício que você pode resolver listando todos os resultados possíveis contidos no
espaço amostral. Porém, para ser coerente com o conteúdo desta Unidade, vamos associar este
problema ao Teorema de Bayes, que vai nos permitir calcular a probabilidade de sair uma face 2
condicionada ao fato de que as faces são diferentes.
O que queremos calcular é
P(A) é a probabilidade de sair pelo menos uma face 2, e os eventos favoráveis estão marcados em
azul na tabela a seguir.
P(B) é a probabilidade de saírem duas faces diferentes, e os eventos favoráveis estão marcados em
vermelho na tabela a seguir.
P(B|A) é a probabilidade de saírem duas faces diferentes, dado que saiu pelo menos uma face 2. Os
eventos favoráveis estão marcados em verde na tabela a seguir e o espaço amostral considerado, em
azul.
Portanto, temos:
Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:
Que tal confirmarmos nosso resultado utilizando simplesmente a definição clássica? Como o espaço
amostral foi desenhado durante o exercício, isso vai ser fácil.
Temos 36 resultados possíveis quando jogamos dois dados (ilustrados anteriormente). No entanto,
podemos facilmente contar que são 6 resultados em que os números que saem são iguais. Portanto,
nosso espaço amostral fica reduzido a 30 resultados possíveis.
Também podemos facilmente contar o número de resultados que tenham números diferentes na face
dos dados e contenham o número 2. São 10 resultados favoráveis.
Pronto, agora é só fazer casos favoráveis sobre casos possíveis.
Exercício 6
Quando tratamos de doenças sérias, muitos médicos pedem ao paciente que tenha apresentado
diagnóstico positivo em determinado exame que o refaça em outro laboratório para confirmar tal
resultado. Imaginando essa situação, crie hipoteticamente dois laboratórios: o laboratório A, que dá
resultado positivo para 80% dos portadores da doença e resultado positivo para 10% dos sãos. O
laboratório B dá resultado positivo para 70% dos portadores da doença e resultado positivo para 5%
dos sãos. Imaginando que a chance de um indivíduo qualquer ter essa doença é de 15% e que os
resultados dos laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos
sãos:
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de
ser o laboratório A é igual a chance de ser o B), q ual é a chance de obter resultado negativo?
c) Qual é a chance de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos
dois laboratórios?
d) Aqui a pergunta provável poderia ser: Se 2 doentes fizerem os testes nos 2 laboratórios,
qual seria a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?
Solução
Enunciado
Quando tratamos de doenças sérias, muitos médicos pedem ao paciente que tenha apresentado
diagnóstico positivo em determinado exame que o refaça em outro laboratório para confirmar tal
resultado. Imaginando essa situação, crie hipoteticamente dois laboratórios: o laboratório A, que dá
resultado positivo para 80% dos portadores da doença e resultado positivo para 10% dos sãos. O
laboratório B dá resultado positivo para 70% dos portadores da doença e resultado positivo para 5%
dos sãos. Imaginando que a chance de um indivíduo qualquer ter essa doença é de 15% e que os
resultados dos laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos
sãos:
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de
ser o laboratório A é igual a chance de ser o B), qual é a chance de obter resultado negativo?
c) Qual é a chance de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos
dois laboratórios?
d) Aqui a pergunta provável poderia ser: Se 2 doentes fizerem os testes nos 2 laboratórios,
qual seria a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?
Solução
a) A probabilidade de um indivíduo obter resultado positivo nos dois laboratórios, independentemente
de ser ou não portador da doença, nada mais é do que a probabilidade total de ocorrência do evento
E = “resultado positivo”.
Onde:
P(D) = probabilidade de ser um “indivíduo portador” = 0,15
P(S) = probabilidade de ser um “indivíduo são” = 0,85
P(EA|D) = probabilidade de termos “resultado positivo no laboratório A, dado que o indivíduo
é portador” = 0,8
P(EB|D) = probabilidade de termos “resultado positivo no laboratório B, dado que o indivíduo
é portador” = 0,7
P(EA|S) = probabilidade de termos “resultado positivo no laboratório A, dado que o indivíduo
é são” = 0,1
P(EB|S) = probabilidade de termos “resultado positivo no laboratório B, dado que o indivíduo
é são” = 0,05
Portanto, a chance de um indivíduo qualquer fornecer resultado positivo pelos 2 laboratórios é
próxima de 0,09.
b) Para calcular a probabilidade de o teste falhar, independentemente da escolha do laboratório,
aplicamos a Probabilidade Total.
Seja F o evento “falha no teste”, então:
 
c) A forma mais simples de resolver é por meio do evento complementar. A doença será detectada
se algum dos testes acusar a enfermidade. Portanto, vamos calcular a probabilidade de nenhum dos
laboratórios detectar a doença. Depois, vamos aplicar a probabilidade do evento complementar.
Seja G o evento “a doença ser detectada”, GA = “a doença ser detectada no laboratório A” e GB =
“a doença ser detectada no laboratório B”.
Assim, a probabilidade de a doença ser detectada é:
d) Para a doença não ser detectada de forma alguma (vamos chamar de evento H), os testes devem
falhar no laboratório A e no laboratório B para ambos os pacientes. Então, nada mais é do que uma
Regra do Produto aplicada duas vezes. 
Portanto, a probabilidade de a doença ser detectada é dada pelo evento complementar àquele cuja
probabilidade foi calculada anteriormente
Exercício 7
Em dias muito frios a chance de os funcionários de uma indústria faltaremao trabalho é de 0,06. Já
em dias normais, ela é igual a 0,01. Em 1/5 dos dias faz muito frio. Qual é a probabilidade de 1
funcionário não ter faltado em um dia qualquer?
Solução
Enunciado
Em dias muito frios a chance de os funcionários de uma indústria faltarem ao trabalho é de 0,06. Já
em dias normais, ela é igual a 0,01. Em 1/5 dos dias faz muito frio. Qual é a probabilidade de 1
funcionário não ter faltado em um dia qualquer?
Solução
Embora seja muito simples, este exercício é importante para que você possa verificar uma aplicação
direta do Teorema da Probabilidade Total.
Queremos calcular a chance de 1 funcionário não faltar em determinado dia, independentemente de
ter feito frio ou não.
Sejam os eventos:
F = dia frio
N = dia normal
Então, a probabilidade de não haver falta é dada pelo evento complementar:
Exercício 8
Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 são normais, um deles apresenta números pares em 75%
das jogadas, e o último tem somente números pares. Escolhendo aleatoriamente um dos dados e
jogando-o 2 vezes obtém-se 2 números pares. Qual é a chance de ter sido escolhido um dado
normal?”
Solução
Enunciado
Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 são normais, um deles apresenta números pares em 75%
das jogadas, e o último tem somente números pares. Escolhendo aleatoriamente um dos dados e
jogando-o 2 vezes obtém-se 2 números pares. Qual é a chance de ter sido escolhido um dado
normal?”
Solução
Este problema é resolvido pela aplicação direta do Teorema de Bayes. Queremos a probabilidade de
ter sido escolhido 1 dado normal (chamaremos de evento A), dado que foram obtidos 2 números
pares nas 2 jogadas (chamaremos de evento B). Então:
P(A) é a probabilidade de se escolher 1 dado normal e é igual a ½, pois existem 2 dados normais em
4 possíveis.
P(B|A) é a probabilidade de saírem 2 números pares, considerando que foi escolhido 1 dado normal.
Os resultados dos dados – condicionalmente ao dado que foi retirado – são independentes. Assim,
podemos aplicar a regra do produto, o que nos dá, então:
P(B) é a probabilidade de saírem 2 números pares, independentemente de qual dado tenha sido
escolhido. Pela Probabilidade Total, sendo E = “escolher o dado com 75% de chance de sair número
par” e F = “escolher o dado somente com números pares”:
Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:
Exercícios resolvidos sobre Função de
probabilidade e densidade de probabilidade
Você aprendeu o que é função probabilidade e função densidade de probabilidade e viu como esses conceitos são
importantes para o estudo estatístico. Estudando esse conjunto de Exercícios Resolvidos, terá mais uma
oportunidade de aprender como os conceitos estudados nesta Unidade se aplicam a situações típicas do dia a dia
das sociedades contemporâneas.
Exercício 1
Visando aprimorar a capacitação do seu quadro de funcionários, uma empresa sorteia mensalmente quatro
colaboradores que vão participar de programas intensivos de treinamento. Nessa empresa, 1/3 dos colaboradores
são mulheres. Estamos interessados na distribuição de probabilidade da variável aleatória “número de
colaboradoras do sexo feminino”. Considerando que o número de funcionários da empresa é suficientemente grande
para que possamos aplicar a distribuição binomial, calcule:
a) qual é a probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher “p(0)” ?
b) qual é a probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher “p(1)” ?
c) qual é a probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(2)” ?
d) qual é a probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(3)” ?
e) qual é a probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres “p(4)” ?
Solução
Enunciado
Visando aprimorar a capacitação do seu quadro de funcionários, uma empresa sorteia mensalmente quatro
colaboradores que vão participar de programas intensivos de treinamento. Nessa empresa, 1/3 dos colaboradores
são mulheres. Estamos interessados na distribuição de probabilidade da variável aleatória “número de
colaboradoras do sexo feminino”. Considerando que o número de funcionários da empresa é suficientemente grande
para que possamos aplicar a distribuição binomial, calcule:
a) qual é a probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher “p(0)” ?
b) qual é a probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher “p(1)” ?
c) qual é a probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(2)” ?
d) qual é a probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(3)” ?
e) qual é a probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres “p(4)” ?
Solução
Neste exercício, devemos descrever toda a distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X =
“número de colaboradoras sorteadas”.
Isso significa que devemos calcular as probabilidades de cada um dos valores que a variável X pode assumir.
Sabemos que a probabilidade de uma colaboradora ser mulher é p =1/3, então:
Aqui vale um comentário importante. Os números que estão multiplicando as probabilidades têm origem na maneira
como se desenha o exercício. Peguemos, por exemplo, o número 4 que está presente na P(x = 3).
Essa multiplicação ocorre porque importa a ordem de acontecimento dos fatores. Além disso, são 4 as maneiras
possíveis dessa ocorrência, ilustradas a seguir.
Agora podemos completar a tabela da função de probabilidade:
Com base nessas informações, basta comparar os resultados obtidos com as afirmações propostas:
A probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher é de aproximadamente 20%.
A probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher é de aproximadamente 40%
A probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres é de aproximadamente 30%
A probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres é próxima de 10%.
A probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres é de aproximadamente 1%.
Exercício 2
Uma caixa contém 8 bombons, dos quais 5 são feitos com chocolate meio amargo e 3 são feitos com chocolate
branco. Se uma criança pegar dois bombons da caixa, aleatoriamente, qual será a distribuição da probabilidade
para o número de bombons feitos com chocolate branco?
Solução
Enunciado
Uma caixa contém 8 bombons, dos quais 5 são feitos com chocolate meio amargo e 3 são feitos com chocolate
branco. Se uma criança pegar dois bombons da caixa, aleatoriamente, qual será a distribuição da probabilidade
para o número de bombons feitos com chocolate branco?
Solução
Devemos fazer a descrição completa da distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X = “número
de bombons brancos”.
Sabendo-se que, de 8 bombons de um pacote, 3 são brancos e 5 são meio amargos, vamos calcular as
probabilidades de cada um dos valores que X pode assumir.
 
Observe que no caso “escolher um meio amargo e um branco”, você deve multiplicar as probabilidades por dois, ou
seja, deve considerar as duas combinações possíveis: “branco, meio amargo” e “meio amargo, branco”.
Portanto, a função de probabilidade da variável aleatória X = “número de bombons brancos” é dada pela tabela a
seguir.
Exercício 3
Enunciado
Uma fábrica de tintas está estudando a aplicação de métodos estatísticos para melhorar a qualidade do seu
processo produtivo. Um dos indicadores importantes de qualidade para a tinta é a sensibilidade à luz, descrita pela
variável aleatória X que apresenta a seguinte distribuição de probabilidade:
Com base nisso, calcule:
Solução
Enunciado
Uma fábrica de tintas está estudando a aplicação de métodos estatísticos para melhorar a qualidade do seu
processo produtivo. Um dos indicadores importantes de qualidade para a tinta é a sensibilidade à luz, descrita pela
variável aleatória X que apresenta a seguinte distribuição de probabilidade:
Com base nisso, calcule:
Solução
a) Como X pode assumir valores de um conjunto finito, trata-se de uma variável aleatória discreta. Sabemos que, a
função de probabilidade deve obedecer à seguinte regra:
 
b) Sabemos que, no intervalo 2 ≤ X ≤ 6, a variável X pode assumir os valores 5 ou 3,então:
c) A função de repartição ou função de distribuição acumulada, no caso discreto, é calculada por:
Exercício 4
Observe a função de distribuição acumulada F(x) abaixo e calcule as probabilidades de:
a) X ≤ 2
b) 3 ≤ X ≤ 8
c) 1 ≤ X ≤ 7
d) X ≤ 6
e) X > 1
Solução
Enunciado
Observe a função de distribuição acumulada F(x) abaixo e calcule as probabilidades de:
a) X ≤ 2
b) 3 ≤ X ≤ 8
c) 1 ≤ X ≤ 7
d) X ≤ 6
e) X > 1
Solução
Você deve se lembrar que a função de repartição dá a probabilidade acumulada de um determinado valor.
a) X ≤ 2
A probabilidade de X assumir valores de no máximo 2 é o acúmulo das probabilidades de todos os valores até 2.
Este valor é dado pela função de repartição F(x):
b) 3 ≤ X ≤ 8
Uma das propriedades da função de repartição é:
Então,
c) 1 ≤ X ≤ 7
Este item é resolvido da mesma forma que o anterior.
d) X ≤ 6
Este item é semelhante ao item a.
e) X > 1
A função de repartição dá apenas o valor da probabilidade de uma variável assumir valores menores ou iguais a um
determinado valor. Nesse caso, só podemos calcular a probabilidade de X assumir valores menores ou iguais a 1:
Já, a probabilidade de X ser maior que 1 é dada pelo evento complementar:
Essa solução é aceitável, pois se marcarmos os eventos mencionados anteriormente sobre a reta real, veremos que
o espaço amostral fica completamente coberto.
Exercício 5
Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0,1,2,3,4,5 e tal que
a) Para qual valor de k a expressão anterior é uma função de probabilidade?
b) Calcule P(X = 2|X < 3)
Solução
Enunciado
Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0,1,2,3,4,5 e tal que
a) Para qual valor de k a expressão anterior é uma função de probabilidade?
b) Calcule P(X = 2|X < 3)
Solução
Para resolver esse exercício, podemos começar fazendo uma tabela que relacione o valor de p(x) com cada X em
função de k.
 
a) Sabemos no entanto que :
b) Agora podemos calcular P(X = 2|X < 3)
Nesse ponto vale reforçar que o calculado na expressão anterior é uma probabilidade condicionada. Esse conceito
foi visto em Unidades anteriores. Se você ficou com dúvida na maneira de calcular a probabilidade condicionada,
reveja o conteúdo que trata do tema.
Exercício 6
A transfusão de sangue é uma prática médica que ajuda a salvar muitas vidas. No entanto, para uma transfusão de
sangue ser bem-sucedida, alguns cuidados devem ser tomados. O sangue doado, além de ser testado para evitar a
transmissão de doenças, deve ser de tipo compatível com o tipo sanguíneo do receptor. Esse procedimento é
necessário pois cada organismo aceita ou rejeita o sangue recebido e isso pode causar sérios problemas ao doente.
Podemos considerar uma pessoa que tenha sangue do tipo O- como um “doador universal”. Considerando um
grupo de cinco possíveis doadores, onde somente 2 deles são do tipo O- , se testarmos cada um dos 5
aleatoriamente, até que um dos indivíduos O- seja identificado,qual é a função de probabilidade da variável aleatória
“número de indivíduos testados”?
Solução
Enunciado
A transfusão de sangue é uma prática médica que ajuda a salvar muitas vidas. No entanto, para uma transfusão de
sangue ser bem-sucedida, alguns cuidados devem ser tomados. O sangue doado, além de ser testado para evitar a
transmissão de doenças, deve ser de tipo compatível com o tipo sanguíneo do receptor. Esse procedimento é
necessário pois cada organismo aceita ou rejeita o sangue recebido e isso pode causar sérios problemas ao doente.
Podemos considerar uma pessoa que tenha sangue do tipo O- como um “doador universal”. Considerando um
grupo de cinco possíveis doadores, onde somente 2 deles são do tipo O- , se testarmos cada um dos 5
aleatoriamente, até que um dos indivíduos O- seja identificado, qual é a função de probabilidade da variável aleatória
“número de indivíduos testados”?
Solução
Mais uma vez, para encontrar a função procurada, podemos procurar seu valor ponto a ponto. Façamos isso
preenchendo uma tabela para melhor visualização dos resultados.
Vale lembrar que as probabilidades calculadas foram feitas com base no conteúdo das Unidades anteriores do
curso. Se você ficou com alguma dúvida nesse tópico, retorne às Unidades em que se estudou o cálculo de
probabilidades e reveja os tópicos que apresentaram dificuldades para você.
Para efeito de ilustração, segue uma explicação sobre o cálculo de P(x = 3): é a probabilidade de o primeiro
paciente não ter sangue tipo O- , multiplicada pela probabilidade de o segundo paciente também não ter esse tipo
sanguíneo, finalmente multiplicada pela probabilidade de o terceiro ter esse tipo de sangue.
Exercício 7
O sexo de um indivíduo é definido pela interação de cromossomos sexuais. Nos seres humanos, o sexo é
determinado pelo sistema XY. Nesse sistema, os homens têm o cromossomo XY e as mulheres, XX. Na
reprodução, cada um cede um dos genes para o descendente com igual possibilidade de ocorrência. Observando
então uma maternidade e anotando o sexo de cada criança que nasce, até que nasça uma menina, estabeleça a
função de probabilidades para a variável aleatória “crianças nascidas até que nasça a primeira menina”.
(Recomenda-se resolver esse exercício de maneira literal.)
Solução
Enunciado
O sexo de um indivíduo é definido pela interação de cromossomos sexuais. Nos seres humanos, o sexo é
determinado pelo sistema XY. Nesse sistema, os homens têm o cromossomo XY e as mulheres, XX. Na
reprodução, cada um cede um dos genes para o descendente com igual possibilidade de ocorrência. Observando
então uma maternidade e anotando o sexo de cada criança que nasce, até que nasça uma menina, estabeleça a
função de probabilidades para a variável aleatória “crianças nascidas até que nasça a primeira menina”.
(Recomenda-se resolver esse exercício de maneira literal.)
Solução
Comecemos calculando a função ponto a ponto. Definindo a probabilidade de nascer menina como p:
Aqui foram utilizados os conhecimentos anteriores de cálculo de probabilidades e evento complementar. Se você
ficou com alguma dúvida , reveja esses conceitos nas Unidades anteriores.
A fórmula geral que decorre do desenvolvimento acima é:
Exercício 8
Suponha que em uma produção diária de 750 canetas, 50 delas não vão escrever imediatamente assim que usadas
pela primeira vez. Um consumidor compra duas canetas desse lote. Sendo X a variável aleatória que designa o
número de canetas que não escrevem de imediato, qual a função repartição de X?
Solução
Enunciado
Suponha que em uma produção diária de 750 canetas, 50 delas não vão escrever imediatamente assim que usadas
pela primeira vez. Um consumidor compra duas canetas desse lote. Sendo X a variável aleatória que designa o
número de canetas que não escrevem de imediato, qual a função repartição de X?
Solução
Calculemos a função ponto a ponto.
Função repartição:
Exercícios resolvidos sobre Propriedades dos
Parâmetros
Para ampliar sua compreensão sobre conceitos e aplicações das propriedades dos parâmetros, sugerimos que
estude esta série de exercícios selecionados pelo professor. Observe como o conhecimento das propriedades
dos parâmetros é fundamental para a solução de problemas corriqueiros envolvidos em processos diversos da
indústria e do comércio.
Exercício 1
Em uma indústria, são utilizadas caixas para acondicionar 10 bolas de peso médio igual a 100 g e desvio-padrão
igual a 5 g. Cada caixa pesa, em média, 200 g e tem desvio-padrão igual a 15 g. Qual a média e o desvio-
padrão da caixa contendo as 10 bolas?
Solução
Enunciado
Em uma indústria, são utilizadas caixas para acondicionar 10 bolas de peso médio igual a 100 g e desvio-padrão
igual a 5 g. Cada caixa pesa, em média, 200 g e tem desvio-padrão igual a 15 g. Qual a média e o desvio-
padrão da caixa contendo as 10 bolas?
Solução
Para calcular a média e o desvio-padrão, aplicaremos as propriedades da soma e do produto, tanto da média
quanto da variância. Elas são:
Utilizando essas propriedades, fazemos:
Sejam Wto peso total, Wio peso da i-ésima bola (i = 1, ..., 10) e Wc o peso da caixa apenas. Assim,
Logo,
Para calcular o desvio-padrão, calculamos a variância, pois . Assim temos:
Exercício 2
O peso dos produtos em uma empresa é dado pela distribuição a seguir. Sendo x o peso do produto, o custo
de seu transporte é dado por . Calcule o custo médio de transporte.
Solução
Enunciado
O peso dos produtos em uma empresa é dado pela distribuição a seguir. Sendo x o peso do produto, o custo
de seu transporte é dado por . Calcule o custo médio de transporte.
Solução
Aqui, é essencial que se aplique a seguinte propriedade da média:
Sendo φ uma função e x uma variável aleatória:
Como estamos lidando com um caso contínuo, utilizaremos a primeira fórmula.
 (lembrando que podemos “desmembrar a integral”)
(Lembrando aqui que c(x) é dada no enunciado e que f(x) é o valor que a função apresentada no gráfico
assume a cada ponto.)
Exercício 3
Nem sempre é fácil obter informações sobre os parâmetros envolvidos nos eventos apresentados nos exercícios
anteriores e, muitas vezes, dificuldades tecnológicas nos impedem de realizar medições exatas sobre esses
parâmetros. No entanto, medidas indiretas podem nos ajudar a determinar o comportamento do parâmetro.
Sendo W uma variável aleatória com as características apresentadas a seguir, encontre sua média e seu desvio-
padrão.
Solução
Enunciado
Nem sempre é fácil obter informações sobre os parâmetros envolvidos nos eventos apresentados nos exercícios
anteriores e, muitas vezes, dificuldades tecnológicas nos impedem de realizar medições exatas sobre esses
parâmetros. No entanto, medidas indiretas podem nos ajudar a determinar o comportamento do parâmetro.
Sendo W uma variável aleatória com as características apresentadas a seguir, encontre sua média e seu desvio-
padrão.
Solução
Nesse exercício são utilizadas as seguintes propriedades:
Com isso desenvolvemos:
Montando um sistema de duas equações com duas incógnitas, utilizando as equações sublinhadas, temos:
Para a variância temos:
Exercício 4
Um teste é composto por 5 questões de múltipla escolha, com 4 itens em cada uma. Cada resposta errada anula
uma resposta certa. Um aluno “chuta” todas as questões. Qual a nota média e a variância da nota do aluno?
Solução
Enunciado
Um teste é composto por 5 questões de múltipla escolha, com 4 itens em cada uma. Cada resposta errada anula
uma resposta certa. Um aluno “chuta” todas as questões. Qual a nota média e a variância da nota do aluno?
Solução
Na tabela a seguir relaciona-se o número de acertos com a quantidade de questões consideradas na nota do
aluno (número de questões certas menos número de questões erradas):
Lembrando que os eventos podem acontecer em qualquer ordem, podemos então construir a seguinte função de
probabilidade para p(x), para facilitar a resolução.
Com isso, podemos facilmente obter a função de probabilidade para cada nota possível (Y) apresentada a
seguir. Vale observar que os cálculos mais elementares já foram efetuados. Além disso, os números associados
a cada Y são as probabilidades associadas a seu “par” em X. Ou seja, para Y = 3, por exemplo, o valor
encontrado é o referente à probabilidade de se acertar 4 questões (X = 4).
Com isso, podemos calcular a função probabilidade da variável Y (nota). Por exemplo, a probabilidade de tirar
nota 0 é igual à probabilidade de acertar 0, 1 ou 2 questões e assim por diante.
Para calcular a média, multiplicamos cada valor de Y pela probabilidade correspondente.
O cálculo da variância é feito a seguir. Primeiro, mostramos a fórmula para seu cálculo, depois, aos poucos,
introduzimos as indicações e os cálculos feitos. Boa parte desses cálculos e indicações já foi elucidada em outras
partes da resolução do exercício.
Exercício 5
O Sebrae é uma entidade privada e de interesse público que apoia a abertura e a expansão de pequenos
negócios. Entre os cursos oferecidos pelo Sebrae, alguns apresentam os processos de controle da qualidade, em
que é ensinado ao empreendedor como estabelecer procedimentos para inspecionar os lotes produzidos e
minimizar os custos da qualidade. Entre os custos incluem os envolvidos no reprocessamento de produtos
defeituosos. Nesses custos, incluem-se também aqueles relacionados a produtos defeituosos, que são
incorretamente aprovados para comercialização, e a produtos bons, que são rejeitados incorretamente.
Em uma oficina de cerâmica, um iniciante tem 10% de chance de cometer algum erro e fabricar um produto com
defeito. Em virtude da inexperiência, esse artesão também erra no processo de inspeção da qualidade,
classificando de maneira equivocada 20% dos produtos ruins e 30% dos produtos bons. Considerando que esse
artesão produz 10 itens por dia, qual o número médio de produtos classificados como ruins em um dia qualquer?
Solução
Enunciado
O Sebrae é uma entidade privada e de interesse público que apoia a abertura e a expansão de pequenos
negócios. Entre os cursos oferecidos pelo Sebrae, alguns apresentam os processos de controle da qualidade, em
que é ensinado ao empreendedor como estabelecer procedimentos para inspecionar os lotes produzidos e
minimizar os custos da qualidade. Entre os custos incluem os envolvidos no reprocessamento de produtos
defeituosos. Nesses custos, incluem-se também aqueles relacionados a produtos defeituosos, que são
incorretamente aprovados para comercialização, e a produtos bons, que são rejeitados incorretamente.
Em uma oficina de cerâmica, um iniciante tem 10% de chance de cometer algum erro e fabricar um produto com
defeito. Em virtude da inexperiência, esse artesão também erra no processo de inspeção da qualidade,
classificando de maneira equivocada 20% dos produtos ruins e 30% dos produtos bons. Considerando que esse
artesão produz 10 itens por dia, qual o número médio de produtos classificados como ruins em um dia qualquer?
Solução
Em primeiro lugar, vamos resolver esse exercício de maneira mais visual. Vamos utilizar uma árvore de
probabilidade. Ela é bem ilustrativa e de fácil entendimento. Observe:
Com essa árvore de probabilidades, precisamos somar as probabilidades de ser ruim (com classificação
correta) e de ser bom (com classificação errada). Elas são:
Isso significa que 35% dos objetos são classificados como ruins todos os dias, ou seja, em média 3,5 objetos
são classificados como ruins diariamente.
Por outro lado podemos resolver esse exercício com o Teorema da Probabilidade Total. Sendo:
P(R) = probabilidade de ser considerado ruim (incógnita)
P(D) = probabilidade de ser um objeto realmente ruim = 0,1
P(P) = probabilidade de ser um objeto perfeito = 0,9
P(CD/D) = probabilidade de ser considerado defeituoso dado que é um objeto defeituoso realmente = 0,8
P(CD/P) = probabilidade de ser considerado defeituoso dado que é um objeto perfeito = 0,3
P(R)= P(D)*P(CD/D) + P(P)*P(CD/P) = 0,1*0,8 + 0,9*0,3 = 0,08 + 0,27 = 0,35.
Desta forma chegamos ao mesmo resultado da resolução anterior!
Exercício 6
Em uma fábrica de massa para bolo, a mistura para a massa é armazenada em caixas e esse serviço é feito por
uma máquina automática. Depois de passarem pela máquina, as caixas saem com peso bruto médio de 850 g e
desvio-padrão de 4,5 g. As caixas vazias têm peso médio de 220 g e desvio-padrão de 2,7 g. Determine o peso
médio e o desvio-padrão do preparado colocado dentro da caixa, se:
a) A máquina pesar a mistura dentro da caixa.
b) A máquina pesar a mistura e depois colocá-la na caixa.
Solução
Enunciado
Em uma fábrica de massa para bolo, a mistura para a massa é armazenada em caixas e esse serviço é feito por
uma máquina automática. Depois de passarem pela máquina, as caixas saem com peso bruto médio de 850 g e
desvio-padrão de 4,5 g. As caixas vazias têm peso médio de 220 g e desvio-padrão de 2,7 g. Determine o peso
médio e o desvio-padrão do preparado colocado dentro da caixa, se:
a) A máquina pesar a mistura dentro da caixa.
b) A máquina pesar a mistura e depoiscolocá-la na caixa.
Solução
Para resolver esse problema, usaremos as propriedades da média e da variância, lembrando que o peso da
mistura e o peso da caixa são independentes:
Definimos:
C = peso médio da caixa = µ(C) = 220 g
B = peso bruto médio do conjunto (caixa + mistura) = µ(B)= 850 g
P = peso médio da mistura = ?
Aparentemente, os dois itens solicitam a mesma situação, mas aplicando as propriedades dos parâmetros você
verá que são situações bem diferentes.
a) Nesse caso, a máquina pesa o conjunto “mistura + caixa” e, portanto, as medidas que temos são B (peso do
conjunto) e C (peso da caixa). Então:
A média pode ser calculada da seguinte forma:
A variância será:
Portanto, o desvio-padrão, dado pela raiz quadrada da variância, será:
b) Agora, note a diferença quando a mistura é pesada antes de ser colocada na caixa. Por esse procedimento,
podemos obter o peso do conjunto, por meio da soma dos pesos da caixa e da mistura. Então:
A média pode ser calculada da seguinte forma:
A variância será:
Portanto, o desvio-padrão, dado pela raiz quadrada da variância, será:
Exercício 7
Em uma fábrica de automóveis foi medido o tempo que os torneiros mecânicos utilizam para produzir uma certa
peça. Eles descobriram que esse tempo era uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade
descrita a seguir.
Para cada peça processada, o operário recebe um fixo de R$ 2,00 e, se ele processar a peça em menos de 6
minutos, recebe um adicional de R$ 0,50 por minuto poupado. Determine a distribuição de probabilidade, a
média e a variância da variável aleatória G, sendo G a quantia ganha por um operário para a fabricação de uma
peça.
Solução
Enunciado
Em uma fábrica de automóveis foi medido o tempo que os torneiros mecânicos utilizam para produzir uma certa
peça. Eles descobriram que esse tempo era uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade
descrita a seguir.
Para cada peça processada, o operário recebe um fixo de R$ 2,00 e, se ele processar a peça em menos de 6
minutos, recebe um adicional de R$ 0,50 por minuto poupado. Determine a distribuição de probabilidade, a
média e a variância da variável aleatória G, sendo G a quantia ganha por um operário para a fabricação de uma
peça.
Solução
Para calcular o tempo médio de processamento, vamos utilizar o mesmo mecanismo dos exercícios anteriores.
 
Para continuar a resolução, vamos construir a distribuição da probabilidade de G:
Para calcular a média de G, usaremos também:
Para o cálculo da variância, usaremos:
 
Exercício 8
Sabemos que o hodômetro de um veículo marca distâncias em km. Se o comprimento de uma determinada
ponte é 12,8 km, sabemos que, em muitas vezes, o hodômetro marcará 12 km e em outras, 13 km. Qual o
desvio-padrão dessas leituras?
Solução
Enunciado
Sabemos que o hodômetro de um veículo marca distâncias em km. Se o comprimento de uma determinada
ponte é 12,8 km, sabemos que, em muitas vezes, o hodômetro marcará 12 km e em outras, 13 km. Qual o
desvio-padrão dessas leituras?
Solução
Esse exercício, apesar de não ser tão intuitivo, é relativamente fácil! Utilizaremos:
Sabemos que a média é 12,8 e também que:
Exercícios Resolvidos sobre Distribuições de
Bernoulli, Binomial e de Poisson
Estudando os enunciados e as soluções destes exercícios sobre distribuições de Bernoulli, Binomial e
Poisson você estará bem preparado para resolver os Exercícios Propostos deste Módulo.
Exercício 1
Em uma indústria, 60% das peças torneadas são polidas. Se observarmos uma amostra de 10 peças
torneadas de um lote qualquer, qual a probabilidade de encontrarmos ao menos 8 peças polidas?
Calcule também a média e a variância do número de peças polidas.
Solução
Enunciado
Em uma indústria, 60% das peças torneadas são polidas. Se observarmos uma amostra de 10 peças
torneadas de um lote qualquer, qual a probabilidade de encontrarmos ao menos 8 peças polidas?
Calcule também a média e a variância do número de peças polidas
Solução
Seja X o número de peças torneadas da amostra que são polidas. X tem distribuição binomial.
Você já sabe que n é o número de peças da mostra e que p é a probabilidade de ocorrência do evento
desejado (polimento).
Devemos recordar também a fórmula para o cálculo da binomial, que é:
 
É intuitivo que se desejamos calcular p(X ≥ 8), esta será igual a:
Passemos agora para o cálculo da média e da variância. Como vimos na parte teórica do curso:
Então, temos:
Exercício 2
Uma pequena indústria produz 10 bicicletas por dia. Há uma probabilidade constante (p = 0,1) de
produzir bicicletas com problemas. Antes de serem distribuídas no mercado, as bicicletas são
inspecionadas e as que apresentam defeitos são descartadas. A probabilidade de uma bicicleta
defeituosa ser mal classificada é 0,2 (q = 0,2); a probabilidade de uma bicicleta boa ser mal classificada
é 0,3 (p = 0,3).
Determine a função de probabilidade da variável X, número de bicicletas classificadas como defeituosas
ao final do dia. Além disso, determine o número médio de bicicletas classificadas como defeituosas por
dia.
Solução
Enunciado
Uma pequena indústria produz 10 bicicletas por dia. Há uma probabilidade constante (p = 0,1) de
produzir bicicletas com problemas. Antes de serem distribuídas no mercado, as bicicletas são
inspecionadas e as que apresentam defeitos são descartadas. A probabilidade de uma bicicleta
defeituosa ser mal classificada é 0,2 (q = 0,2); a probabilidade de uma bicicleta boa ser mal classificada
é 0,3 (p = 0,3).
Determine a função de probabilidade da variável X, número de bicicletas classificadas como defeituosas
ao final do dia. Além disso, determine o número médio de bicicletas classificadas como defeituosas por
dia.
Solução
Assumindo independência na classificação, e adotando uma distribuição binomial, temos: X = B(n, p)
Você já sabe que n é o número de peças da mostra e que p é a probabilidade de ocorrência do evento
estudado.
Devemos recordar também a fórmula para o cálculo da binomial que é:
Uma maneira mais ilustrativa de resolver esse exercício é criar uma árvore de probabilidades.
O que vimos na árvore de probabilidades:
p( CD ∩ P) = 0,9 * 0,3 = 0,27
p(CD ∩ D) = 0,1 * 0,8 = 0,08
p(CD) = 0,27 + 0,08 = 0,35
O número de bicicletas classificadas como defeituosas no fim do dia é igual:
p(CD) = p[(CD ∩ P) U (CD ∩ D)]
Sendo:
p(CD) = probabilidade de ser classificada como defeituosa
p(CD/P) = probabilidade de ser classificada como defeituosa dado que é perfeita = 0,3
p(CD/D) = probabilidade de ser classificada como defeituosa dado que é defeituosa = 0,8
Então façamos os cálculos, de acordo com o que vimos na árvore de probabilidades:
p(P).p(CD/P) = 0,9 * 0,3 = 0,27
p(D).p(CD/D) = 0,1 * 0,8 = 0,08
p(CD) = 0,27 + 0,08 = 0,35
Como podemos observar, o resultado é o mesmo encontrado na primeira resolução!
Agora que sabemos o valor de p (p = 0,35), e já sabíamos o valor de n (n = 10), temos os dados
necessários para efetuar o restante dos cálculos:
Por fim, calculamos a média:
Exercício 3
Cada um de seis consumidores de chocolate selecionados aleatoriamente recebe uma barra do
chocolate S e uma barra do chocolate F. As barras são idênticas, exceto por um código na embalagem
que identifica o chocolate. Suponha que não haja uma tendência de preferência entre os consumidores,
então, p = P (um indivíduo selecionado prefere S) = 0,5.
a) Qual a probabilidade de exatamente 3 consumidores preferirem S?
b) Qual a probabilidade de pelo menos 3 consumidores preferirem S?
c) Qual a probabilidade de no máximo 1 consumidor preferir S?
Solução
Enunciado
Cada um de seis consumidores de chocolate selecionados aleatoriamente recebe uma barra do
chocolate S e uma barra do chocolate F. As barras são idênticas, exceto por um código na embalagem
que identifica o chocolate. Suponha que não haja uma tendência de preferência entre os consumidores,
então, p = P (um indivíduo selecionado prefere S) = 0,5.
a) Qual a probabilidade de exatamente 3 consumidores preferirem