Tema 1 Conceitos Basicos de probabilidades

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TEMA #I - CONCEITOS BÁSICOS EM PROBABILIDADES
O conceito de probabilidade está associado a experiência aleatória e, de certa forma, à frequência
da sua ocorrência no sentido de que ”é tanto mais provável um acontecimento quanto mais
frequente é a sua ocorrência”.
Assim, existem dois tipos de experiências:
 Experiência Determinística – é aquela que produz sempre o mesmo resultado, ou seja,
resultado conhecido à priori cumpridas certas condições;
 Experiência aleatória: processo de observação que conduz a pelo menos dois resultados
possíveis, associados a uma incerteza com a qual ocorrerá;
Exemplos de uma experiência aleatória:
Lançamento de uma moeda e observação do lado que fica para cima;
Lançamento de um dado e observação do número de pontos obtidos;
Extracção de uma carta de um baralho e anotação do Rei;
Etc.
Características de uma experiência aleatória:
 Não se pode dizer à partida qual o resultado (fenómeno aleatório) da experiência a realizar,
mas pode descrever-se o conjunto de todos os resultados possíveis;
 A existência da regularidade quando a experiência é repetida muitas vezes;
 A possibilidade de repetição da experiência em condições similares;
Espaço de resultados: é o conjunto Ω (não vazio) formado por todos os resultados que
hipoteticamente é possível obter de uma determinada experiência aleatória.
Exemplo : No lançamento de um dado, os resultados básicos são os números 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Assim, o espaço de resultados é: Ω = [1, 2, 3, 4, 5, 6].
Acontecimento ou evento: é um subconjunto do espaço de resultados. É o que a experiência
aleatória pode produzir mas não se realiza necessariamente;
Exemplo : Consideremos a possibilidade de saída de um número par no lançamento de um
dado:
Experimento ou Experiência aleatória: Lançamento de um dado
Espaço de resultados: Ω=(1, 2, 3, 4, 5 e 6)
Acontecimento: (2, 4, 6)
No que diz respeito à realização, podemos ter acontecimentos:
 Elementar – se só acontecer um resultado específico;
 Composto – se ocorrer um resultado de vários possíveis;
Quanto à probabilidade de ocorrência:
 Certo – quando ocorre sempre: P(A) = 1
 Possível – quando pode ocorrer ou não: 0<P(A)<1
 Impossível – quando não ocorre: P(A) = 0
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Quanto à ocorrência de resultados
 Mutuamente Exclusivos – quando não podem ocorrer em simultâneo. Isto é, a ocorrência de
um exclui a ocorrência dos demais;
 Equiprováveis/Igualmente possíveis – os acontecimentos Ai, i = 1,...,n são Equiprováveis
ou igualmente possíveis quando P(A1) = P(A2) = ... = P(An) = p. Por conseguinte, a
probabilidade de cada um dos n pontos amostrais (acontecimentos) é p = 1/ n
Medidas de probabilidade
A abordagem clássica de probabilidade: descreve a probabilidade em termos da proporção de vezes
em que um acontecimento pode teoricamente esperar-se que ocorra.
Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneira diferentes de um total de n possíveis,
mutuamente exclusivos, então a probabilidade de ocorrência do acontecimento A – P(A) é dada por:
possiveisresultadosdetotalNúmero
ntoacontecimeaofavoráveispossiveisresultadosNumero
n
mAPP  )(
Abordagem frequencista de probabilidade: expressa a proporção de vezes que a ocorrência de um
acontecimento é observada num grande número de provas.
A probabilidade do acontecimento A é o número para que tende a frequência relativa quando se
aumenta o número de provas, isto é:
provasdetotalNúmero
ocorrentoacontecimequaisnasprovasNumero
n
nAP A
N
Lim 

)(
A abordagem subjectiva de probabilidade: representa o grau em que alguém acredita que o
acontecimento ocorra. Tais probabilidades podem ser também descritas como palpites ou
suposições.
Propriedades da Medida de probabilidade
1. 1)(0  AP
2. )(1)( APAP 
Regras de probabilidades
Regra de multiplicação de probabilidades
Descreve a probabilidade conjunta de ocorrência de dois ou mais acontecimentos, por
exemplo, P(A ᴖ B) e determinam a probabilidade de ocorrência simultânea de ambos
acontecimentos, sejam eles, dois, três ou mais.
Esta regra envolve vários termos importantes:
Acontecimentos dependentes: dois ou mais acontecimentos diz-se ser dependentes se a ocorrência
de um afecta a ocorrência dos demais. Caso contrário, os acontecimentos são independentes;
Probabilidade Marginal: a probabilidade de ocorrência de um dado acontecimento. Nenhuns outros
acontecimentos são tomados em consideração. Uma expressão típica é P(A).
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Probabilidade Conjunta: a probabilidade de ocorrência de dois ou mais acontecimentos. Uma
expressão típica é P(A ᴖ B)
Probabilidade Condicionada: suponha que se pretende calcular a probabilidade de um
acontecimento A, dado que um outro acontecimento B já ocorreu ou teve lugar. Uma expressão
típica é P(A/B) - com a descrição verbal de “probabilidade de A dado B” ou "probabilidade de A
condicionada por B", é dada por:
)(
)(
)|(
BP
BeAP
BAP  (para toda P(B)>0)
Existem duas regras de multiplicação e a aplicação de cada uma delas depende de se os
acontecimentos são dependentes ou independentes.
Assim,
 Se os acontecimentos são independentes a probabilidade de ocorrência simultânea é igual ao
produto das suas probabilidades marginais individuais.
P(AeB)=P(A)*P(B)
 Se os acontecimentos são dependentes a probabilidade de ocorrência simultânea é igual ao
produto da ocorrência do primeiro vezes o segundo calculado na suposição de que o primeiro
ocorreu.
P(AeB)=P(A)*P(B|A)
Exemplo 1: Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Seja A1 o acontecimento “primeira bola
extraída ‘e preta” e A2 o acontecimento “a segunda bola extraída é preta”. Qual é a probabilidade de
saírem duas bolas pretas em duas extrapolações?
Se considerarmos uma extração com reposição, os acontecimentos A1 e A2 são independentes e
então P(A1) = 2/(3+2) = 2/5 e P(A2) = 2/(3+2) = 2/5. E, por conseguinte, a probabilidade de as duas
bolas serem pretas nas duas extracções é dada por:
25/45/2*5/2)()()( 2121  APAPAeAP
Se considerarmos uma extracção sem reposição, os acontecimentos A1 e A2 são dependentes e então
P(A1) = 2/(3+2) = 2/5 e P(A2|A1) = 1/(3+1).=1/4. E, por conseguinte, a probabilidade de as duas
bolas serem pretas nas duas extracções é dada por:
10/14/1*5/2)|()()( 12121  AAPAPAeAP
Regra de Adição de Probabilidade
Descreve a probabilidade de ocorrência de pelo menos um acontecimento, por exemplo, P(A ᴗ B).
 Se os acontecimentos são mutuamente exclusivos, esta probabilidade será a soma das suas
probabilidades individuais:
)()()( 2121 APAPAouAP 
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Exemplo 2: Se definirmos A1 como sendo o acontecimento “saída de um 6 no lançamento de um
dado” e A2 o acontecimento “saída de um número ímpar”, então P(A1) = 1/6 e P(A2) = 3/6 = ½. A
probabilidade de sair um 6 ou um número ímpar num único lançamento é:
3/22/16/1)()()( 2121  APAPAouAP
 Quando os acontecimentos não são mutuamente exclusivos, aplica-se a regra geral de adição de
probabilidades. Esta regra toma em conta que dois ou mais acontecimentos poderão ocorrer
simultaneamente.
)()()()( 212121 AAPAPAPAouAP 
Exemplo 3: Se A1 é o acontecimento que consiste na extracção de um “As” de um baralho de
cartas” e A2 a extração de um “Espada”, então P(A1) = 4/52 = 1/13 e P(A2) = 13/52 = 1/4. A
probabilidade de se extrair um “As” ou um “Espada” em uma única extracção é:
52/1652/152/1352/4)( 21  AAP
Exemplo 4: Um escritório possui 100 máquinas de calcular. Algumas dessas máquinas são
eléctricas, enquanto outras são manuais; e algumas são novas, enquanto outras são muito usadas. A
tabela dá o número de máquinas de cada categoria. Seja N = a máquina é nova; U = a máquina é
usada; E = a máquina é eléctrica; e M = a máquina é manual.
Eléctrica Manual Total
Nova 40 30 70
Usada 20 10 30
Total 60 40 100
Os valores da Tabela acima devem entender-se do seguinte modo:
 Probabilidade de obter uma máquina nova: P(N) = 70/100;
 Probabilidade de obter uma máquina usada: P(U) = 30/100
 Probabilidade de obter uma máquina eléctrica: P(E) = 60/100
 Probabilidade de obter uma máquina manual: P(M) = 40/100
 Probabilidadede obter uma máquina eléctrica e nova: P(EeN) = (40/100)
PROBABILIDADE TOTAL E FORMULA DE BAYES
A probabilidade condicional é de grande utilidade se conhecermos a partição do espaço de
resultados.
Diz-se que os acontecimentos A1 A2, ...An definem uma partição S, quando se verificam
simultaneamente as seguintes condições:
a) Formam grupo completo, isto é, a união de todos os acontecimentos é o próprio espaço de
resultados;
b) Os acontecimentos são mutuamente exclusivos dois a dois;
c) Todos os acontecimentos têm probabilidade não nula, isto é, P(Aj)>0
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Probabilidade Total
Se os acontecimentos A1, A2, ..., An definem uma petição sobre Ω, então para qualquer eventos B
definido em Ω tem-se:



n
i
ii APAAPAP
1
)().|()(
)()|(...)()|()()|( 2211 nn AxPAAPAxPAAPAxPAAP 
Exemplo 5: Num escritório existem três impressoras A, B, e C, que imprimem a velocidades
diferentes. Os ficheiros são enviados para a primeira impressora que estiver disponível. A
probabilidade de um ficheiro ser enviado para as impressoras A, B ou C é respectivamente 0.5, 0.3 e
0.2. Ocasionalmente a impressora avaria e destrói a impressão. As impressoras A, B e C avariam
com probabilidades 0.01, 0.06 e 0.08.
a. Um ficheiro é enviado para impressão. Qual é a probabilidade de avaria da impressora e
destruição da impressão?
Vamos considerar a seguinte anotação:
A: “enviar para impressora A”; P(A)=0.5; B : “enviar para impressora B’; P(B)=0.3 C :
“enviar para impressora C”; P(B)=0.2; D : “impressão destruída’; P(D|A)=0.01,
P(D|B)=0.06, P(D|C)=0.08;
P(D)=P(D|A)·P(A)+P(D|B)·P(B)+P(D|C)·P(C) =0.01×0.5+0.06×0.3+0.08×0.2=0.039
Fórmula de Bayes
É uma extensão do conceito de probabilidade condicional e emprega-se para reavaliar as
probabilidade dos acontecimentos Aj de uma partição [A1, A2, …, Am] quando se obtém a
informação adicional de que um dado acontecimento B se realizou e se conhece P(B/Aj).
Se A1, A2, ..., An definem uma partição sobre Ω, então, para B definido em Ω com P(A)>0:
nj
AAxPAP
AAPAP
AAP n
i
ii
jj
j ,...,2,1
)|(.(
)|().(
)|(
1



Exemplo 6: Do exemplo anterior sabe-se que a impressão do ficheiro foi destruída. Qual a
probabilidade de ter sido enviada para impressora A?
P(A|D)= P(D|A)·P(A) / P(D) = 0.01×0.5/ 0.039 = 0.005 / 0.039 =0.1282 „
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Elementos da Análise Combinatória
 Arranjos de n elementos em grupos de k elementos ( nkA ): Considera-se um conjunto com n
elementos distintos e suponha-se que a partir dele se formam grupos com um número fixo de
k elementos (k=1, 2, …, n), não repetidos, mas onde os grupos diferem pela ordem em que
os elementos são seleccionados.
)!(
!)1)...(2)(1(
kn
nknnnnAnk 

Os arranjos de k elementos formados a partir de um conjunto com n elementos podem ser
considerados amostras ordenadas sem reposição.
 Permutações (Pn): As permutações de um conjunto de n elementos distintos são arranjos de
n elementos em grupos de k elementos, isto é, as permutações são grupos formados por
todos os elementos do conjunto.
!1*2)...2)(1( nnnnAP nkn 
 Combinações ( nkC ): Calcula-se contando os arranjos de n elementos em grupos de k
elementos, e eliminando as permutações que traduzem as diferentes ordens.
 
)!(!
!
knk
n
P
AC
k
n
kn
k
n
k 

Exemplo 7: Com um conjunto de 10 pessoas quantas comissões de 3 pessoas podem formar-se?
evidentemente, as comissões devem diferir apenas pelas pessoas que as compõem. A comissão com
(José, João, Paulo) não é diferente da comissão com (João, José, Paulo)
Aplicação da análise combinatória:
Considere-se uma população com N elementos, dos quais m possuem determinado atributo.
Escolhida uma amostra com n elementos (n>=0), qual a probabilidade de nela se encontrarem k
elementos com o referido atributo (k = 0, 1, 2, ..., n)
Como os números de elementos da população e da amostra são, respectivamente, N e n, o numero
de casos possíveis é dado pelas combinações de N elementos em grupos de n, ou seja, NnC .
Para calcular o numero de casos favoráveis, devem ter-se em conta as seguintes composições da
população e da amostra:
 a população possui m elementos com o atributo em estudo e, portanto, N-m sem este
atributo;
 a amostra tem k elementos com o referido atributo e, portanto, n-k sem ele.
Então, o número de casos favoráveis é dada por: mN knmk CC .
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Assim, se a escolha for feita sem reposição, a probabilidade de se encontrarem k elementos com o
referido atributo é dado por:
N
n
mN
kn
m
k
k C
CCP


.
Se a escolha for feita com reposição, utiliza-se o chamado esquema binomial dada por:
knkn
kkn
kn
k
k
n
kn
n
k
knk
k PPCN
mN
N
mC
N
CmNmP 





 )1()()(
Onde P = m/N
Exemplo 8: Considere-se uma população de 100 computadores dos quais 10 sofreram determinada
avaria. Escolhida aleatoriamente, sem reposição, uma amostra de 5 computadores, qual a
probabilidade de nenhum deles estar avariado?
584,0. 100
5
90
5
100
5
10100
05
10
0
)( 


C
C
C
CCP o
Caso a tiragem fosse com reposição, tem-se o esquema binomial, e vem:
59049,09,09,0.1,0. 55050)(  CP o
	Regras de probabilidades
	Regra de Adição de Probabilidade
	Eléctrica 
	Manual
	Total
	Nova
	40
	30
	70
	Usada
	20
	10
	30
	Total
	60
	40
	100