Desenvolvimento do Conhecimento Lógico

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Desenvolvimento do Conhecimento Lógico 
APRESENTAÇÃO 
 
#CURRÍCULO LATTES# 
 
Professor Me. George Lucas Máximo Ferreira 
 
Bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade Regional de Joinville (UNIVILLE, 
2017). Mestre em Teoria Econômica pela Universidade Estadual de Maringá (UEM, 
2020). Bolsista CNPQ na área de Teoria Econômica. Bolsista SETI/PR em Programa 
para Microempreendedores do Paraná - Bom Negócio Paraná. Bolsista SETI/PR em 
Programa de Certificação Orgânica - Paraná Mais Orgânico. Especialista em 
Tecnologias Aplicadas ao Ensino a Distância pelo Centro Universitário Cidade Verde 
(UNIFCV, 2020). MBA USP/Esalq em Data Science e Analytics (2021-atual). Atua como 
tutor educacional (UNIFCV/EAD), professor adjunto dos departamentos de Tecnologias 
da Informação/Engenharias/Pedagogia/Saúde (UNIFCV) e professor conteudista/autor 
nas áreas de economia, matemática, lógica matemática, estatística, finanças e 
investimentos (Kroton/FATECIE). 
Link Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/7384837321788311 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://lattes.cnpq.br/7384837321788311
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APRESENTAÇÃO DA APOSTILA 
Olá, caro (a) aluno (a)! Seja muito bem-vindo (a) ao material de Desenvolvimento 
do Conhecimento Lógico! Sou o Professor George Lucas Máximo Ferreira e é com 
grande satisfação que apresento este conteúdo de minha autoria, cuja finalidade consiste 
em introduzir os principais conceitos e definições de Lógica Matemática. Assim, na 
Unidade I, vamos apresentar brevemente a história da Lógica Matemática sendo que um 
dos principais contribuintes para a construção das leis lógicas foi o filósofo grego 
Aristóteles por meio da concepção de instrumentos do pensamento (Órganon), no 
capítulo Analytica Priora. Além disso, avançando até a era moderna apresentamos as 
contribuições de George Boole, De Morgan e Frege. Na Unidade II você estudará sobre 
as construções aristotélicas silogísticas. Aprendendo assim, a definição e utilização dos 
termos no silogismo, além disso, serão apresentadas as regras do silogismo e os 
sofismas. Será visto ainda, as representações gráficas por meio dos diagramas de Euler-
Venn e suas aplicações. Por sua vez, na unidade III serão apresentadas o que é uma 
sentença declarativa afirmativa, introduzindo, assim, o conceito de proposições simples 
(p, q, r,...) e compostas (P, Q, R,...) concluindo com a apresentação e aplicação dos 
conectivos proposicionais “˄”; “˅”; “→”; “↔”; “⁓”. Você aprenderá como construir uma 
Tabela Verdade. Isso posto, você verá o conceito de arranjos binomiais VV, VF, FV, FF 
como base do método semântico ou instrumento de validação de argumentos conhecido 
por Tabela Verdade. Além disso, será explorado por meio das regras dos conectivos 
como construir a Tabela Verdade de cada um dos conectivos de acordo com sua 
classificação: “Conjunção”; “Disjunção”; “Condicional; “Bicondicional” e “Negação”. 
Ademais na unidade IV, finalizamos nossa jornada pelo conhecimento sobre lógica 
matemática abordando as lógicas não clássicas ou não aristotélicas. Dessa forma, serão 
abordados os conceitos da lógica modal, lógica alternativas e paraconsistentes. 
Destacam-se as contribuições do criador da lógica paraconsistente, o matemático e 
professor Newton C.A da Costa. Reitero ainda, caro (a) estudante, que o ato de estudar 
e obter conhecimento acerca de um tema é imprescindível para o nosso enriquecimento 
intelectual e pessoal, pois permite o ganho e a elevação que jamais serão perdidos. 
 
Desejo ótimos estudos! 
Prof. Me. George Lucas Máximo Ferreira 
 
UNIDADE I 
O QUE É LÓGICA? 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• O que é lógica? 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Conceituar e contextualizar a lógica clássica. 
• Compreender os tipos de lógica. 
• Estabelecer a importância das regras de inferência. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, seja bem-vindo à disciplina de Desenvolvimento do 
Conhecimento Lógico. Vamos iniciar a nossa jornada pelo conhecimento por meio da 
abordagem das principais características, conceitos e definições que abrangem a Lógica 
Clássica. Disso, você estudará os fundamentos e as contribuições do filósofo grego 
Aristóteles para a axiomatização da lógica. Além disso, são explicitadas as contribuições 
das escolas dos megáricos e estóicos para a concepção lógica. Avançando até a 
contemporaneidade, são introduzidas as contribuições de matemáticos e lógicos como 
Boole, Frege e De Morgan e, apresenta-se a definição clássica de lógica. Na sequência, 
você verá a interligação entre a linguagem, sintática e semântica com as estruturas 
lógicas simbólicas. Disso, surge a argumentação e a organização silogística entre 
premissas e conclusão e, sobretudo como realizar a validação desses argumentos 
utilizando métodos de inferência, conhecidas como prova direta de validação, 
desdobramento das limitações provenientes do método semântico das tabelas de 
verdade. 
 
 
Desejo ótimos estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 O QUE É LÓGICA? 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/man-head-puzzle-mental-health-600w-
1966529368.jpg 
 
Caro (a) estudante, você aprenderá que a lógica estuda a relação de 
consequência dedutiva, analisando entre outras variáveis as validações dos argumentos, 
ou seja, a associação entre as premissas e a conclusão. Assim, a lógica pode ser 
considerada como o estudo da razão ou do raciocínio. Logo, o objetivo da lógica consiste 
na aplicação dos princípios lógicos por meio do raciocínio dedutivo, disso, surge a lógica 
dedutiva. Além disso, a estruturação do pensamento lógico começa com as contribuições 
do filósofo grego Aristóteles (384-322 a. C.) não tendo sido encontrado evidências de 
contribuições anteriores. Disso, a lógica formal (pura ou teórica) surge com Aristóteles 
por meio da sua obra compilada denominada de Órganon1 (KNEALE; KNEALE, 1962). 
Isso posto, para Aristóteles o raciocínio dedutivo é reduzido basicamente ao que se 
denomina silogismo. Para além das contribuições de Aristóteles, houve a lógica dos 
megáricos (300 a.C.) e estóicos (260 a. C.). A abordagem desta última escola se 
distingue da aristotélica (Cálculo Proposicional) devido ao Cálculo de Predicados. São 
características dessa escola, de acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) a 
determinação das diferenças entre o conectivo inclusivo (ou) e exclusivo (ou...ou). 
Na contemporaneidade, você notará que a lógica matemática recebe as 
contribuições do matemático e lógico George Boole (1815-1864) por meio da sua álgebra 
booleana. Disso, surgem as ideias de Augustus De Morgan (1806-1871) e Gottlob Frege 
(1848-1925), este último, desenvolve o cálculo sentencial utilizando a negação e 
implicação, regras de Modus Ponens e de Substituição. Destaca-se ainda as 
contribuições de Bertrand Russell (1829-1970), Alfred Whitehead (1861-1947) com sua 
obra “Principia Mathematica” e Kurt Godel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) 
(CARRION; COSTA, 1988). Para além disso, surgem as lógicas não clássicas por meio 
das contribuições do professor Newton Carneiro Affonso da Costa com sua lógica 
paraconsistente. 
 
1 De acordo com Hegenberg (1995), no Organon se encontram os capítulos: (I) Categorias; (II) De 
Interpretatione (Interpretações); (III) Analytica Priora (Primeiros Analíticos que estuda os silogismos); (IV) 
Analytica Posteriora (Segundos Analíticos que contempla o estudo de silogismos de premissas 
verdadeiras); (V) Tópicos; (VI) Refutações sofísticas. 
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https://image.shutterstock.com/image-vector/man-head-puzzle-mental-health-600w-1966529368.jpg
 
Além disso, Barbosa (2017) destaca que quando pensamos na lógica como 
manifestação do pensamento é possível diferenciá-la comrelação a sua fundamentação, 
o que ajudará a endossar qualquer apoio disciplinar. A lógica pode ser entendida 
segundo Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) como a ciência que estuda os 
axiomas, princípios e métodos estabelecendo as condições de validação ou 
invalidação do argumento. Por sua vez, a lógica apresenta várias vertentes de 
pensamento, dessa forma, vamos adotar o pressuposto que a lógica é dividida em (1) 
lógica clássica e; (2) não clássica (ou alternativa). Dessa forma, a lógica clássica é 
baseada em simbolismos, padrão aristotélico, e cujo rigor tende a ser mais 
fundamentalista. A lógica aristotélica pode ser interpretada como a ciência do 
julgamento dividindo a lógica em formal e material. A lógica formal ou simbólica aborda 
a estrutura do raciocínio, ou seja, estuda as relações entre conceitos e provas, sendo 
conhecida também como lógica matemática. 
 
1.1 Usos da Linguagem 
 
A lógica segue um processo de axiomatização, isto é, de formalização para se 
proceder às inferências. Disso, Alencar Filho (2002), sublinha os pilares da lógica 
aristotélica ou clássica, os três princípios lógicos, a saber: (1) Princípio da Identidade, 
todo objeto é idêntico a si mesmo; (2) Princípio da não contradição, são atribuídas as 
proposições valores lógicos verdadeiro (V) ou falsidade (F), mas não simultaneamente 
e; (3) Princípio do Terceiro Excluído, ou seja, pode-se atribuir os valores lógicos 
verdadeiro ou falso, mas nunca uma terceira designação. Além disso, Costa (1994) e 
Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) afirmam que não existe atividade lógico-racional 
sem a linguagem, com exceção, de raciocínios simplistas como algumas inferências 
imediatas e que tais palavras são substituídas por símbolos na lógica. Logo, é necessário 
a estrutura linguística para determinar as leis da lógica. Disso, surge a ligação com a 
teoria da linguagem. A linguagem de acordo com Costa (1994) é um sistema de sinais, 
ou símbolos, utilizados sistematicamente e de forma orgânica. Nesse conjunto, tais 
símbolos representam objetos ou compõem a formação de estruturas simbólicas ou 
sintaxe. Assim, uma linguagem refere-se a objetos e situações, ou seja, algumas de suas 
estruturas simbólicas representam determinadas entidades cujas sentenças estão 
 
relacionadas a fatos. Ademais, na análise da linguagem é necessário considerar, 
segundo Costa (1994) a dimensão sintática e semântica, isto é, a conexão entre as 
linguagens, os objetos e aos fatos à que se referem. 
 
1.2 O que é Argumento? 
 
 
Um argumento segundo Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) é composto por 
parte do discurso, seja descrito ou narrado na qual são localizados um conjunto de 
premissas cujo resultado é a conclusão. Isso posto, você verá que Mortari (2001) 
destaca que as premissas e a conclusão são representadas por fórmulas de predicados, 
disso é possível determinar que o argumento base é válido se o conjunto das fórmulas 
que representam as premissas "implica" logicamente a fórmula que corresponde à 
conclusão. 
Além disso, Machado e Cunha (2019) descreve o argumento como a pretensão 
do interlocutor em justificar a verdade representada na conclusão por meio da verdade 
das premissas, logo, duas condições são necessárias, a saber: (1) as premissas 
precisam ser verdadeiras e; (2) um argumento coerente. Assim, se pelo menos uma das 
premissas é falsa, mesmo sob a hipótese de argumento coerente, não é possível validar 
a verdade da conclusão. Por sua vez, assumindo que as premissas são verdadeiras e a 
argumentação não é coerente, logo, a validade da verdade da conclusão também não 
pode ser garantida. 
Ademais, um argumento representa um conjunto de n proposições, ou fórmulas, 
sendo que uma é a consequência (conclusão), isto é, deriva das premissas (outras). 
Além disso, as premissas são notadas como 𝑃𝑖, na qual, i=1, 2, 3, ..., (n-1) e a conclusão 
é C. E, a validação do argumento é organizado de acordo com a seguinte disposição: 
 
1. (𝑃1) 
2. (𝑃2) 
⋯ 
(n-1).𝑃𝑛−1 
n. ∴ C 
 
 
Rearranjando os termos é equivalente à notação: 
 
𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ ... ˄ 𝑃(𝑛−1)→ C 
 
Por conseguinte, Alencar Filho (2003) e Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), 
definem que um argumento composto pelas premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1 e conclusão C 
pode ser representado por: 
 
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1 ⊢ C 
 
Na qual, se lê: 
 
I. “𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1acarretam C”. 
II. “C decorre de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1”. 
III. “C se deduz de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1”. 
IV. “C se infere de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1”. 
 
Sendo que, o símbolo “⊢”, denominado traço de asserção determina que a 
proposição à direita pode ser deduzida utilizando apenas as premissas que estão à sua 
esquerda. Além disso, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2001), sublinham que cada 
premissa (𝑃1, 𝑃2, 𝑃3,..., 𝑃𝑛−1) é disposta em uma linha numerada (1, 2, 3, ..., n-1). Sendo 
que, na última linha é disposta a conclusão notada pelo símbolo “∴” que representa, 
“portanto”, e finalmente cada proposição simples ou atômica que compõe a proposição 
composta deve ser representada por letras proposicionais minúsculas do alfabeto latino 
(p, q, r,...). 
 
1.3 Raciocínio e Inferência 
 
Assim sendo, a lógica pode ser entendida como a ciência do raciocínio cuja raiz 
etimológica deriva do grego clássico, logike, que significa “logos”, isto é, a palavra escrita 
 
ou falada. No entanto, de acordo com Bedregal e Acioly (2007) filósofos gregos como 
Heráclito atribuíram um significado mais amplo como: pensamento, a ideia, a razão, o 
argumento. Por sua vez, um argumento não válido, isto é, sua invalidação, segundo 
Alencar Filho (2002) é um sofisma. Um sofisma é uma falácia cujo objetivo é causar 
confusão. Isso posto, Rocha (2010) sublinha que uma falácia pode ser estruturada com 
base em premissas falsas ou verdadeiras que representam casos específicos, ou seja, 
não generalizam, e não podem ser generalizadas. 
A conclusão pode ser correta, entretanto, do ponto de vista real, o argumento é 
uma falácia, porque as proposições base (premissas) apresentadas não determinam 
uma conclusão satisfatória, já que a estrutura é falaciosa. Um método utilizado para a 
validação de argumentos é a Tabela Verdade2, entretanto, tal método semântico 
apresenta limitações. Sendo assim, Alencar Filho (2003), destaca outra forma para se 
provar a validade de um argumento conhecido como prova direta de validação cujos 
instrumentos são as implicações e equivalências tautológicas (Quadro 1). 
 
Quadro 1. Equivalências Tautológicas† 
Regras/abrev. Fórmulas 
Idempotência (IND) 
(p ˄ p) ⟺p 
(p ˅p) ⟺ p 
Comutação (COM) 
(p ˄ q) ⟺ (q˄p) 
(p ˅ q) ⟺ (q ˅ p) 
Associação (ASS) 
((p ˄ q) ˄ r) ⟺ (p ˄ (q ˄ r)) 
((p ˅ q) ˅ r) ⟺ (p ˅ (q ˅ r)) 
Distribuição (DIS) 
(p ˄ (q˅ r)) ⟺ ((p ˄ q) ˅ (p ˄ r)) 
(p ˅ (q˄ r)) ⟺ ((p ˅ q) ˄ (p ˅ r)) 
Condicional (COND) p → q ⟺⁓p ˅ q 
Leis de De Morgan (MOR) 
⁓ (p ˅ q) ⟺ (⁓p ˄⁓q) 
⁓ (p ˄ q) ⟺ (⁓p ˅⁓q) 
Dupla Negação (DN) ⁓(⁓p) ⟺ p 
Importação/Exportação (IE) ((p ˄ q) → r) ⟺ (p → (q →r)) 
Absurdo (ABD) (p → (q ˄⁓q)) ⟺ ⁓p 
Nota: †Trata-se de uma lista parcial das fórmulas proposicionais. 
 
2 As proposições podem ter seus valores-verdade apresentados em “Tabelas de valores”. Disso, são 
utilizadas regras para conjugar cada composição, a saber: conjunções, disjunções, condicionais, 
bicondicionais e a negação de uma proposição. Após esse procedimento segue-se a validação dos 
argumentos, logo, as tabelas-verdade consistem em um método semântico de validação de argumentos 
(HEGENBERG, 1995, p.214). 
 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Bispo; Castanheira; Souza Filho (2011). 
 
As implicações tautológicas são utilizadas para fazer inferências, ou seja, executar 
“etapas” de uma dedução ou demonstração e devido a isso são denominadas, regras 
de inferência. Assim sendo, a notação correta é inserir a premissa sobre um traço 
horizontale na sequência a conclusão abaixo do traço supracitado (ALENCAR FILHO, 
2002) (Quadro 2). 
 
Quadro 2. Implicações† Tautológicas 
Regras/abrev. Regras de Inferência Fórmulas proposicionais 
Adição (AD) 
𝑝
𝑝 ˅ 𝑞
;
𝑝
𝑞 ˅ 𝑝
 p ⟹ p ˅ q 
Simplificação (SIMP) 
𝑝 ˄ 𝑞
𝑝
;
𝑝 ˄ 𝑞
𝑞
 p ˄ q ⟹p 
p ˄ q ⟹ q 
Conjunção (CONJ) 
𝑝 𝑞 
𝑝 ˄ 𝑞
; 
𝑝 𝑞 
𝑞 ˄ 𝑝
 p, q ⟹p ˄ q 
p, q⟹q˄p 
Absorção (ABS) 
𝑝 → 𝑞
𝑝 → (𝑝 ˄ 𝑞)
 p → q⟹p → (p ˄ q) 
Modus Ponens (MP) 
𝑝 → 𝑞 𝑝 
𝑞
 p → q, p⟹q 
Modus Tollens (MT) 
𝑝 → 𝑞 ⁓𝑞 
⁓𝑝
 p → q, ⁓q⟹⁓p 
Silogismo Disjuntivo (SD) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⁓𝑝 
𝑞
; 
𝑝 ˅ 𝑞 ⁓𝑞 
𝑝
 p ˅ q, ⁓p⟹q 
p ˅ q, ⁓q⟹p 
Silogismo Hipotético (SH) 
𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑟 
𝑝 → 𝑟
 p → q, q →r, ⟹p → r 
Nota: †Lista Parcial de implicações Tautológicas. 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2003); Bispo; Castanheira; Souza Filho (2011) 
 
Apresentadas as regras de inferência como alternativas das Tabelas Verdade 
para validação dos argumentos. Você verá, na sequência, as regras de dedução do 
cálculo proposicional. Disso, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), destacam que a 
prova direta de validação de argumentos utiliza três regras, a saber: (1) Equivalências 
Tautológicas; (2) Implicações Tautológicas e o; (3) Teorema da Dedução. O Teorema da 
Dedução ou o Teorema de Herbrand é um método da suposição estabelecido por 
Stanislaw Lesniewski (1886-1939), um filósofo e matemático polonês, e foi transformada 
em técnica pelo lógico polonês Stanislaw Jaśkowski seu aluno e membro da Escola de 
Lógica Lwów-Warsaw. 
 
Entretanto, Hegenberg (1995) destaca que foi Jacques Herbrand (1930) e de 
maneira independente Alfred Tarski (1936) que aperfeiçoaram o método que ficou 
conhecido como Teorema da Dedução (TD) ou segundo Alencar Filho (2003) 
“Demonstração Condicional (DC)”. 
 
SAIBA MAIS 
 
A obra clássica de literatura infantil “Alice no país das maravilhas” foi escrita pelo 
matemático, lógico e romancista Charles Lutwidge Dodgson sob o pseudônimo Lewis 
Carroll (1832-1898). A obra tem características e abordagens lógicas por meio de 
contradições, argumentos circulares, silogismos e falácias, atraindo o leitor para imergir 
no mundo do nonsense e, sobretudo, o leitor é envolvido num ambiente de fantasia e 
reviravoltas mirabolantes. 
 
Fonte: CÂNDIDO. Jornal da Biblioteca Pública do Paraná. O nonsense como crítica da lógica. 
Disponível em: https://www.bpp.pr.gov.br/Candido/Noticia/O-nonsense-como-critica-da-logica. Acesso 
em: 06 ago. 2021. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
“Aonde fica a saída?'', perguntou Alice ao gato que ria. Depende, respondeu o gato. De 
quê, replicou Alice; Depende de para onde você quer ir[...]” 
 
Lewis Carroll, livro Alice no País das Maravilhas. 
 
#REFLITA # 
 
 
 
 
https://www.bpp.pr.gov.br/Candido/Noticia/O-nonsense-como-critica-da-logica
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Caro (a) estudante, nesta unidade, aprendemos sobre as principais 
características, conceitos e definições que abrangem a lógica clássica ou aristotélica. 
Disso, foram apresentadas as contribuições do filósofo grego Aristóteles (384-322 a. C.) 
para a axiomatização da lógica clássica por meio dos três pilares da lógica como (1) 
Princípio da Identidade; (2) Princípio da não contradição e o; (3) Princípio do Terceiro 
Excluído. Além disso, foi apresentado o conceito da lógica, ou seja, a validação de 
argumentos utilizando métodos de validação seja o semântico constituído pelas tabelas 
de verdade ou por meio da prova direta de validade. Por sua vez, foram abordados os 
usos da linguagem, isto é, a interligação que há entre as estruturas linguísticas e a lógica 
matemática, inclusive, considerando aspectos sintáticos e semânticos. Na sequência 
foram discorridos sobre a argumentação por meio das estruturas silogísticas como a 
premissa e a conclusão. Ademais, argumentou-se sobre a ciência do raciocínio, sofisma, 
um tipo de falácia, a validação de argumentos utilizando provas diretas de validade cujos 
instrumentos são as equivalências e implicações tautológicas, denominadas também 
como regras de inferência. Além disso, você aprendeu na unidade que seguiu, acerca 
dos princípios lógicos aristotélicos, silogismos, diagramas de Euler-Venn, falácias e 
sobre o quadrado de oposições aristotélico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
SAUTTER, F. T. Teoria pura da lógica. Natureza Humana, v.13, n.2, São Paulo, 2011. 
 
SAUTTER, F. T. Silogísticas paraclássicas: um estudo de caso sobre a relação 
entre lógica clássica e lógicas não-clássicas. Principia, v.13, n.2, pp. 185-194, 2009. 
DOI:10.5007/1808-1711.2009v13n2p185. 
 
 
 
 
 
LIVRO 
 
Título: Lógica Indutiva e Probabilidade 
Autor: Newton da Costa 
Editora: Hucitec 
Sinopse: Newton da Costa, atualmente é professor aposentado do Departamento de 
Filosofia da Faculdade de Filosofia, Letras e Ciências Humanas da Universidade de São 
Paulo, sendo hoje professor visitante do Departamento de Filosofia da Universidade 
Federal de Santa Catarina, é engenheiro civil e bacharel em Matemática pela 
Universidade Federal do Paraná. Obteve os títulos de doutor em Matemática e docente 
livre de Análise Matemática e Análise Superior pela mesma instituição, em 1961, 
tornando-se catedrático dessa cadeira em 1965. Suas contribuições mais importantes, 
para a Ciência e a Filosofia, relacionam-se com a lógica paraconsistente (da qual foi um 
dos criadores. Juntamente, mas independente, com o lógico polonês S. Jaskowski), a 
teoria dos reticulados e a teoria estrutural das ciências empíricas. 
 
 
FILME/VÍDEO 
 
Título: O Jogo da imitação 
Ano: 2014 
Sinopse: Durante a Segunda Guerra Mundial, o governo britânico monta uma equipe 
que tem por objetivo quebrar o Enigma, o famoso código que os alemães usam para 
enviar mensagens aos submarinos. Um de seus integrantes é Alan Turing (Benedict 
Cumberbatch), um matemático de 27 anos estritamente lógico e focado no trabalho, que 
tem problemas de relacionamento com praticamente todos à sua volta. Não demora 
muito para que Turing, apesar de sua intransigência, lidere a equipe. Seu grande projeto 
é construir uma máquina que permita analisar todas as possibilidades de codificação do 
Enigma em apenas 18 horas, de forma que os ingleses conheçam as ordens enviadas 
antes que elas sejam executadas. Entretanto, para que o projeto dê certo, Turing terá 
que aprender a trabalhar em equipe e tem Joan Clarke (Keira Knightley) sua grande 
incentivadora.
 
 
WEB 
 
Kurt Gödel foi um filósofo, matemático e lógico austríaco, naturalizado norte-
americano. Considerado, ao lado de Aristóteles, Alfred Tarski e Gottlob Frege, um dos 
mais importantes lógicos da história, Gödel causou um imenso impacto no pensamento 
científico e filosófico no século XX. 
Link: https://youtu.be/V3Hto3YX8Wo 
 
https://youtu.be/V3Hto3YX8Wo
 
REFERÊNCIAS 
 
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002. 
 
BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. 1. ed. Curitiba: 
InterSaberes, 2017. 
 
BEDREGAL, B. R. C.; ACIÓLY, B. M. Introdução à lógica clássica para ciência da 
computação. Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Natal, 2017. 
 
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à lógica 
matemática. Cengage Learning, 2011. 
 
CÂNDIDO. Jornal da Biblioteca Pública do Paraná. O nonsense como crítica da 
lógica. Disponível em: https://www.bpp.pr.gov.br/Candido/Noticia/O-nonsense-como-
critica-da-logica. Acesso em: 06 ago. 2021. 
 
CARRION, R.; COSTA, N.C.A. Introdução à lógica elementar. Porto Alegre: Ed. da 
Universidade/UFRGS, MEC/SESu/PROEDI, 1988. 
 
COSTA, N. C. A. Ensaio sobre os fundamentos da lógica. 2. ed. São Paulo: Hucitec, 
1994. 
 
HEGENBERG, L. Dicionário de lógica. São Paulo: EPU, 1995. 
 
KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da lógica. 2. ed. Lisboa: Fundação 
Calouste Gulbenkian, 1962. 
 
MACHADO, N. J.;CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, 
comunicação, argumentação. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. 
 
MORTARI, C. A. Introdução à lógica. São Paulo: UNESP, 2001. 
 
ROCHA, E. Raciocínio lógico para concursos: você consegue aprender. 3. ed. Rio 
de Janeiro: Impetus, 2010. 
 
 
 
 
UNIDADE II 
ARISTÓTELES E A LÓGICA CLÁSSICA 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• Princípios da lógica aristotélica. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Apresentar o conceito de Silogismo; 
• Compreender os tipos de falácias; 
• Estabelecer a importância do Quadrado de Oposições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, seja bem-vindo à disciplina de Desenvolvimento do 
Conhecimento Lógico. Você aprenderá nesta unidade, sobre os princípios da lógica 
clássica ou aristotélica. Assim, serão apresentados a definição, conceitos e estrutura dos 
silogismos por meio de aplicações e representações gráficas dos diagramas de Euler-
Venn. Além disso, serão abordadas as regras dos silogismos e os tipos de proposições 
categóricas. Na sequência, você verá o conceito de falácia, qual sua definição e forma, 
para além disso, serão apresentados os tipos de falácias e suas aplicações nas 
argumentações. Finalmente, você estudará acerca das proposições universais 
afirmativas e negativas, introduzindo assim, o conceito de quadrado de oposições ou 
quadrado aristotélico. 
 
 
Desejo ótimos estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 PRINCÍPIOS DA LÓGICA ARISTOTÉLICA 
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Caro(a) estudante, você estudará que a lógica clássica consiste no cálculo de 
predicados1 de primeira ordem, além de algumas extensões como determinados 
sistemas da teoria dos conjuntos e cálculos de predicados de ordem superior. Além 
disso, Carrion e Costa (1988) sublinham que a lógica clássica, de forma elementar, é 
baseada em certas posições sintáticas e semânticas subjacentes por meio dos 
conectivos lógicos, quantificadores e sobre os predicados de igualdade. Você verá que 
foi Aristóteles no século IV a.C quem começou a sistematizar as formas de 
argumentação, ou seja, de acordo com Kneale, W. e Kneale, M. (1962) e Machado e 
Cunha (2019) a lógica aristotélica estuda de forma detalhada argumentos estruturados 
por duas premissas e uma conclusão, denominados de silogismos, assim a doutrina 
aristotélica das proposições gerais fundamenta o caminho da doutrina silogística. 
 
 
1.1 Silogismos e Diagramas 
 
A palavra silogismo deriva do grego sullogos cujo significado é reunião, ato de 
recolher ou de interligar palavras em um processo de raciocínio. Além disso, argumentos 
mais elaborados cuja composição tinha um número grande de premissas eram 
decompostos em conclusões parciais, encadeados até alcançar a conclusão final 
(MACHADO; CUNHA, 2019). De acordo com Santos (1959) silogismo é uma dedução 
formal, ou seja, é um raciocínio que vai do geral ao específico. Portanto, consiste em 
estabelecer a condição de juízo ou conclusão, demonstrando que é a consequência 
compulsória de um juízo reconhecido como verdadeiro por meio de um terceiro juízo que 
estabelece um laço entre os dois primeiros. No começo da obra Primeiros Analíticos 
contida no Órganon, Aristóteles define um silogismo como uma inferência em que, certas 
proposições se afirmam, qualquer coisa distinta, do que é afirmado nelas, se segue 
 
1 Na lógica clássica, as proposições categóricas eram classificadas por meio de quatro tipos a saber: (i) 
“Todo S é P”, (ii) “Alguns S são P”, (iii) “Nenhum S é P” e; (iv) “Alguns S são P”. Logo, em cada qual, a 
proposição P representava o predicado, ou “expressão predicativa” (HEGENBERG; SILVA, 2005). 
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obrigatoriamente. Assim, tal fórmula é ampla para abranger quase qualquer argumento 
no qual uma conclusão seja obtida (inferida) de duas ou mais premissas (Tabela 1). 
 
Tabela 1. Silogismos Aristotélicos 
a. Silogismo I 
Premissa 1: Todos os homens são mortais. 
Premissa 2: Alguns homens são pobres. 
Conclusão: Alguns pobres são mortais. 
 
b. Silogismo II 
Premissa 1: Todos os brasileiros são americanos. 
Premissa 2: Todos os americanos são comunistas. 
Conclusão: Todos os brasileiros são comunistas. 
 
c. Silogismo III 
Premissa 1: Todas as rosas são vermelhas. 
Premissa 2: Alguns pássaros não são vermelhos. 
Conclusão: Alguns pássaros não são rosas. 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019). 
 
Para além disso, você aprenderá que quando Aristóteles discute silogismos, este 
considera argumentos quase que exclusivamente nos quais as premissas e a conclusão 
são simples no sentido e gerais, ou seja, de acordo com Kneale, W. e Kneale, M. (1962) 
especificamente a conclusão silogística se segue de duas premissas que relacionam os 
termos da conclusão com um terceiro termo denominado de termo médio. Você 
aprenderá que a interpretação do silogismo começa com um juízo universal cuja posição 
pode ser ou não a premissa maior. Logo, o silogismo possui três termos, a saber: (1) 
maior; (2) médio e; (3) menor. Esses termos são constituídos pelas proposições que 
dão origem às premissas e a conclusão. Assim, de acordo com Santos (1959) o 
predicado da conclusão é designado de termo maior (Tabela 2). 
 
Tabela 2. Estrutura silogística 
Premissa maior: Todo homem é mortal. 
Premissa menor: Ora Sócrates é homem. 
Conclusão: Logo, Sócrates é mortal. 
Fonte: Adaptado de Santos (1959). 
 
 
Uma inspeção visual na Tabela 2 permite verificar que o predicado da conclusão 
é denominado de termo maior. Assim, “Mortal” é o termo maior, além disso, o sujeito da 
conclusão é o termo menor, portanto, “Sócrates” é o termo menor. Ademais, o termo 
médio está contido nas premissas, entretanto, não está contido na conclusão, logo, 
“homem” é este termo. Dessa forma, o silogismo para Santos (1959) consiste em 
demonstrar que um objeto ou conjunto de objetos estão contidos em outro conjunto de 
objetos. Isso posto, os silogismos obedecem a oito regras (Figura 1). 
 
Figura 1. Regras do Silogismo 
 
Fonte: Adaptado de Santos (1959). 
 
Assim, por meio dessa definição não é possível classificar como silogismo 
argumentos como: “Se nevar o chão estará coberto de neve; ora nevará; logo o chão 
estará coberto de neve” nem a qualquer outro argumento cuja premissa seja uma 
sentença declarativa composta. Ademais, de acordo com Aristóteles há quatro figuras 
do silogismo que se diferem da relação entre o termo médio e os extremos, ou seja, a 
posição do termo médio nas premissas maior ou menor. Assim, dependendo da posição 
do termo médio nas premissas, Machado e Cunha (2019) destacam quatro classes ou 
figuras de silogismos (Tabela 3). 
 
 
Tabela 3. Figuras Aristotélicas de silogismos 
Proposição 
Figur
a 1 
Figura 2 Figura 3 Figura 4 
elementos envolvidos 
Premissa 1 b ˄ a a ˄ b b ˄ a a ˄ b 
Premissa 2 c ˄ b c ˄ b b ˄ c b ˄ c 
conclusão c ˄ a c ˄ a c ˄ a c ˄ a 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019). 
 
Na qual o símbolo “˄” representa o conectivo “e” ou uma conjunção. Além disso, 
cada uma das três proposições (a, b e c) que compõem o silogismo pode ser de um dos 
quatro tipos categóricos elementares. Portanto, a combinação de 4 x 4 x 4 = 64 
possibilidades para cada classe de silogismo destacada na Tabela 4, logo, totalizam 256 
combinações possíveis, isto é, 4 x 64. Todavia, destes 256 tipos de silogismos apenas 
24 são argumentos coerentes, os demais são considerados sofismas2. Por sua vez, dos 
24 silogismos coerentes 5 podem ser rearranjados em função dos demais(Tabela 4). 
 
Tabela 4. Silogismos redundantes 
a. Silogismo I 
Premissa 1: Todos os paulistas são brasileiros. 
Premissa 2: Todos os brasileiros são latino-
americanos. 
Conclusão: Todos os paulistas são latino-
americanos. 
 
b. Silogismo II 
Premissa 1: Todos os paulistas são brasileiros. 
Premissa 2: Todos os brasileiros são latino-
americanos. 
Conclusão: Alguns paulistas são latino-
americanos. 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019). 
 
Tais silogismos estão contidos nos 24 silogismos coerentes, entretanto, o 
silogismo II (Tabela 4. b) não é considerado válido devido a óbvia derivação do silogismo 
 
2 Consiste em raciocínio falacioso, isto é, deliberadamente elaborado com o objetivo de induzir ao erro 
(HEGENBERG; SILVA, 2005). 
 
I (Tabela 4. a). Dessa forma, restam apenas 19, logo, para identificar se um silogismo 
consistia em um argumento válido ou sofisma, Aristóteles formulou algumas regras que 
são destaques: (1) “Se ambas as premissas são afirmativas, a conclusão deve ser 
afirmativa”; e (2) “Se ambas as premissas são particulares, nada se pode concluir” 
(MACHADO; CUNHA, 2019). Logo, das premissas: 
 
Tabela 5. Regras aristotélicas 
a. 1ª Regra 
Premissa 1: Todos os patos nadam. 
Premissa 2: Alguns gorilas nadam. 
Conclusão: inconclusivo 
 
b. 2ª Regra 
Premissa 1: Alguns homens dançam. 
Premissa 2: Alguns gorilas não dançam. 
Conclusão: inconclusivo 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019) 
 
Note que, da primeira regra nada se pode concluir, porque “Nenhum gorila é um 
pato”, portanto a regra não é respeitada. Isso posto, de forma análoga na segunda regra, 
nenhuma conclusão pode ser obtida. Todavia, utilizar a lista de regras pode ser exaustivo 
e contraproducente, sendo assim, esta pode ser substituída pelos diagramas de Euler3 
Assim, a partir dos diagramas é possível por meio de inspeção visual verificar a validade 
de cada argumento, diante disso, você aprenderá que o conjunto “A”, constituído por 
todos os termos possuidores da propriedade “a” é representado segundo Machado e 
Cunha (2019) por uma região restrita do plano, excetuando os termos que não possuem 
tal propriedade (Figura 2). 
 
Figura 2. Pertinência entre elemento e conjunto 
 
3 Conhecido também por Diagramas de Euler-Venn devido às contribuições do matemático inglês John 
Venn (1834-1923). Venn elaborou aplicações para a lógica propondo a representação gráfica por meio 
dos diagramas utilizando operações com conjuntos. Logo, se trata de operações elementares com 
conjuntos sejam: uniões, intersecções e complementações. Além disso, são utilizados para representar 
visualmente por meio de desenhos (figuras geométricas) sobre um plano. Tal técnica foi proposta pelo 
matemático suíço Leonhard Euler na obra “Cartas a uma Princesa da Alemanha sobre diversos assuntos 
da física e filosofia”. Euler se utilizou dos diagramas para expressar as premissas e a conclusão com o 
objetivo de facilitar a compreensão das regras de argumentação (HEGENBERG; SILVA, 2005, BARBOSA, 
2017, MACHADO; CUNHA, 2019). 
 
 
Fonte: Adaptado de Iezzi e Murakami (2019); Machado e Cunha (2019). 
 
Dessa forma, segundo Iezzi e Murakami (2019) quando se deseja descrever um 
conjunto A por meio de propriedades características “P” dos seus elementos “x” é 
utilizado a seguinte notação: 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃}. Na qual, se lê: “A é o 
conjunto dos elementos x tal que x possui a propriedade P”. Assim, na Figura 2, os 
elementos “a”, “b” e “c” possuem a propriedade “P” atribuída, todavia, o elemento “d” não 
possui tal propriedade. Você verá na Figura 3 as quatro proposições categóricas 
aristotélicas representadas por meio do diagrama de Euler. 
 
Figura 3. Diagramas de Euler-Venn: Proposições básicas 
a. Todo “a” é “b”. 
 
 
 
 
b. Algum “a” é “b”. 
 
 
c. Nenhum “a” é “b”. 
 
d. Algum “a” não é “b”. 
 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019). 
 
Sejam os conjuntos P: “conjunto dos patos”, N: “conjuntos dos seres que nadam”, 
G: “conjunto dos gorilas”, G: “conjunto dos gatos” e H: conjunto dos homens. Assim, a 
proposição categórica “todo a é b” (Figura 3.a) será “Todos os patos nadam”, já em 
“nenhum a é b” (Figura 3.b) a proposição será dada por “Alguns gorilas nadam”. Além 
disso, o resultado obtido do “conjunto de gatos” e o “conjunto dos seres que nadam” 
(Figura 3.c) é possível inferir de acordo com Machado e Cunha (2019) que “Nenhum gato 
nada”. Finalmente, de “Algum a não é b” se obtém que “Alguns homens não nadam”. 
Diante disso, é possível utilizar diagramas como os propostos por Euler como ferramenta 
 
na avaliação de argumentos, ou seja, por meio da inspeção visual é realizada o 
reconhecimento da validade dos argumentos ou identificar um sofisma supondo que a 
representação seja fidedigna as afirmações das premissas. 
 
1.1 Falácias 
 
De acordo com Hegenberg e Silva (2005) e Barbosa (2017) falácias são 
argumentos não dedutivos legítimos ou ilegítimos, além disso, podem representar 
raciocínios incorretos. Assim, falácias ou argumentos falaciosos tem tipos distintos, a 
saber: (i) paralogismos, quando se trata de erros justificáveis, todavia, (ii) quando 
elaboradas deliberadamente com o propósito de induzir ao erro é denominada de 
sofisma (Figura 4). 
 
 
Figura 4. Sofisma 
 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019). 
 
 
Sejam P: “conjunto de todos os paulistas”; B: “conjunto de todos os brasileiros” e; 
H: representa o indivíduo (elemento) Howard. Isso posto, segue o argumento: 
 
Tabela 6. Estrutura do Sofisma 
a. 1ª Regra 
Premissa 1: Todos os paulistas são brasileiros. 
Premissa 2: Howard não é paulista. 
Conclusão: Logo, Howard não é brasileiro. 
Fonte: Adaptado de Machado e Cunha (2019). 
 
 
Se deduz que Howard pode ser brasileiro ou não. Note que, se ele for carioca, as 
premissas seriam verdadeiras e a conclusão falsa. Diante disso, um argumento é válido 
segundo Machado e Cunha (2019) se não é possível ter as premissas simultaneamente 
verdadeiras e a conclusão falsa. Ademais, note que, analogamente, um argumento 
sempre que apresentar as premissas simultaneamente verdadeiras converge para uma 
conclusão verdadeira. Portanto, na linguagem corrente, o termo falácia é utilizado 
quando o argumentador se refere a um argumento que parece correto, todavia, quando 
analisado minuciosamente, verifica-se o contrário. São conhecidas como falácias 
informais ou de ambiguidade, ou seja, são estruturas linguísticas com objetivos 
psicológicos de argumentação. 
Assim, Walton (2012) destaca algumas dessas táticas enganosas como: (i) o 
argumento dirigido ao homem (“argumentum ad hominem” termo em latim) cujo 
objetivo consiste em atacar o argumentador e não o argumento, ou seja, se deseja minar 
e difamar sua credibilidade, caráter e integridade, note que, não se refuta ou contradiz 
as premissas, contudo, se distancia desta com a destruição do apresentador, tal desvio, 
conduz a uma falácia de irrelevância; (ii) a falácia das perguntas múltiplas, esta 
acontece quando uma pergunta é realizada de maneira aberta e agressiva, com o 
objetivo de comprometer o oponente com respostas anteriores com perguntas sequer 
realizadas; (iii) a falácia da conclusão não pertinente (“de ignoratio elenchi” termo em 
latim) acontece quando um argumento é conduzido de forma que prove uma conclusão 
errada não pertinente, ou seja, o argumento pode ser válido, entretanto, o problema se 
desviou da questão; (iv) falácia de apelo à força (“argumentum ad baculum” termo em 
latim) é aplicado quando o argumentador se utiliza da força ou intimidação para impor 
sua conclusão sem apresentar os argumentos adequados; (v) falácia de apelo à piedade 
(“argumentum ad misericordiam”, termo em latim) e; (vi) falácia de apelo às emoções 
(“argumentum ad populum”, termo em latim), cujo objetivo consiste em apelar ao 
entusiasmo ou sentimentos coletivos da plateia. Os apelos às emoções são utilizadospara disfarçar a ausência de provas substanciais para sustentar o argumento. 
 
1.2 Quadrado de Oposições 
 
 
O quadrado de oposições ou quadrado aristotélico consiste numa forma de 
apresentação das proposições universais afirmativas e negativas. Assim, no quadrado 
aristotélico são colocadas as proposições A, E, I, O, (Figura 5) letras que representam 
as primeiras vogais das palavras “AffIrmo” e “nEgO”. Isso posto, A representa as 
universais afirmativas; E às universais negativas; I às particulares afirmativas e; O às 
particulares negativas. Tais vogais têm sido utilizadas para distinguir as formas das 
frases declarativas ou proposições desde a Idade Média, todavia, esta classificação não 
consta na obra aristotélica. Note que, entre A e E predomina uma relação de 
contrariedade e entre I e O prevalece a relação de subcontrariedade (KNEALE, W., 
KNEALE, M., 1962, HEGENBERG; SILVA, 2005). 
 
Figura 5. Quadrado Aristotélico (oposições) 
 
Fonte: Adaptado de Kneale e Kneale (1962). 
 
Aristóteles tinha a preocupação na sua obra De Interpretatione4 em agrupar as 
frases declarativas em pares de tal forma que a segunda frase consistisse na negação 
da primeira. Disso, surgem três formas de frases declarativas que afirmam um predicado 
de um sujeito a saber: (i) a singular; (ii) a universal e; (iii) a particular. Assim, na frase 
singular o sujeito é o nome de um indivíduo que não pode por si ser predicado (e.g.; 
“Mathias”). Todavia, em uma frase declarativa geral, o sujeito representa o símbolo de 
um gênero (e.g.; “Mulher”) podendo se configurar como predicado de muitos indivíduos. 
 
4 Figurava entre os tratados de lógica escritos por Aristóteles (384-322 a. C) e foram compilados em uma 
obra única denominada de Organon ou instrumento da pesquisa filosófica (HEGENBERG, 2005). 
 
Além disso, note que, frases declarativas cujo objetivo é atribuir gênero podem ser 
diferenciadas conforme sejam ou não de abrangência universal. Logo, a expressão 
“Todo homem é rico” é universal e deve ser diferenciada da frase declarativa particular 
“Algum homem é rico”. A partir dessa combinação da distinção entre universal e 
particular com a distinção entre afirmativo e negativo surge a concepção de 
classificação quaternária ou quadrado de oposições aristotélicas (KNEALE, W., 
KNEALE,M., 1962). 
Na doutrina aristotélica as frases declarativas se opõem como contraditórias, 
quando não são ambas verdadeiras ou ambas falsas e contrárias, quando não podem 
ser ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. Dessa forma, Kneale e Kneale 
(1962) destacam que algumas vezes para a forma particular negativa é utilizado “Nem, 
todo o homem é rico” resultando na simples negação da forma universal afirmativa. As 
frases declarativas particulares foram denominadas de subalternas das universais 
abaixo, das quais estão posicionadas no quadrado e subcontrárias uma em relação a 
outra. Tal suposição considera que as subcontrárias não podem ser ambas falsas, 
entretanto, podem ser ambas verdadeiras. Assim, Kneale e Kneale (1962) destacam que 
Aristóteles considerava as subcontrárias como contraditórias das contrárias e que, cada 
frase declarativa universal implicava sua subalterna. Ademais, as informações 
apresentadas no quadrado aristotélico fornecem claramente uma referência para um 
determinado número de inferências imediatas. 
Dessa forma, se adotar uma proposição A como premissa, então, de acordo com 
o quadrado de oposições é possível inferir de maneira válida que a proposição O 
correspondente é falsa, além disso, imediatamente é possível verificar que a proposição 
I é verdadeira. Todavia, da proposição I não se pode deduzir a verdade da proposição A 
correspondente, mas sim, a falsidade da proposição E (COPI, 1978). Assim, dada a 
verdade ou falsidade de qualquer uma das quatro frases declarativas (proposições) pode 
se obter imediatamente a verdade ou falsidade de algumas ou de todas as demais 
proposições. 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS 
 
As obras do filósofo Aristóteles que chegaram ao conhecimento do público 
abrangem todos os temas estudados da época clássica. Assim, tais obras podem ser 
distribuídas em sete grupos, a saber: (i) Lógica; (ii) Física; (iii) Biologia; (iv) Psicologia; 
(v) Metafísica; (vi) Ética e Política; (vii) Retórica e Poética. São destaques os livros no 
primeiro grupo denominados de Organon, “instrumento”, para qualquer estudo, que 
posteriormente seria conhecido como “Lógica”. 
 
Fonte: HEGENBERG, L.; SILVA, M. F.A Dicionário de Lógica. Rio de Janeiro: Pós-Moderno, 2005 
(adaptado). 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
“Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal”. 
 
O Silogismo de Aristóteles. 
#REFLITA# 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Caro (a) estudante, nesta unidade, você aprendeu sobre os princípios da lógica 
aristotélica. Assim, a jornada pelo conhecimento começou apresentando o conceito e 
definição de silogismo, logo, da dedução formal, isto é, de um raciocínio que vai do geral 
ao específico. Portanto, consiste em estabelecer a condição de juízo ou conclusão, 
demonstrando que é a consequência compulsória de um juízo reconhecido como 
verdadeiro por meio de um terceiro juízo que estabelece um laço entre os dois primeiros. 
Além disso, foram estudados a forma, estrutura e regras dos silogismos. Por sua vez, 
foram apresentados os diagramas de Euler-Venn como alternativa de representação das 
proposições categóricas. Na sequência, você estudou sobre as falácias, paralogismos e 
sofismas. Diante disso, foram abordados os tipos de falácias e sua aplicação nas 
argumentações. Finalmente, foram estabelecidas a importância do quadrado de 
oposições ou quadrado aristotélico o qual consiste numa forma de apresentação das 
proposições universais afirmativas e negativas e cuja representação é dada por meio do 
quadrado aristotélico no qual são colocadas as proposições A, E, I, O. Na unidade 
seguinte, foram abordados os aspectos da lógica formal, logo, foram apresentadas as 
características da lógica proposicional e de predicados, além da simbologia, fórmulas e 
quantificadores. Ademais, você pode compreender sobre dedução formal acerca do 
método semântico de validação de argumentos denominado de tabela verdade. 
 
 
 
 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
DIAS, D. H. B. Conteúdo existencial nas lógicas aristotélica e clássica. Perspectiva 
Filosófica, v.47, n.2, 2020. DOI: https://doi.org/10.51359/2357-9986.2020.248892. 
Acesso em: nov./2021. 
 
https://doi.org/10.51359/2357-9986.2020.248892
 
LIVRO 
 
Título: Lógica e Linguagem Cotidiana 
Autor: Nílson José Machado, Marisa Ortegoza da Cunha 
Editora: 2019 
Sinopse: Neste livro, os autores buscam ligar as experiências vividas em nosso 
cotidiano a noções fundamentais tanto para a lógica como para a matemática. Através 
de uma linguagem acessível, o livro possui uma forte base filosófica que sustenta a 
apresentação sobre lógica e certamente ajudará a coleção a ir além dos muros do que 
hoje é denominado Educação Matemática.
 
 
FILME/VÍDEO 
 
Título: Alexandria 
Ano: 2009 
Sinopse: Em Alexandria, no ano de 391, Hipátia é professora de astronomia e 
matemática, além de filósofa. Um dos seus alunos, Orestes, está apaixonado por ela, 
assim como o seu escravo Davus. Juntos, eles deverão lutar contra a extinção da 
biblioteca local e outras grandes instituições, que não devem sobreviver quando o 
Cristianismo ganha poder político na cidade.
 
 
WEB 
 
A lógica é uma área da filosofia que visa estudar a estrutura formal dos enunciados 
(proposições) e suas regras. A lógica serve para se pensar corretamente, sendo assim, 
uma ferramenta do correto pensar. 
Link: https://youtu.be/LCKdEYgaSrE 
 
https://youtu.be/LCKdEYgaSrE
 
REFERÊNCIAS 
 
BARBOSA, M. A. Introdução à Lógica Matemática para acadêmicos. 1. ed. Curitiba: 
InterSaberes, 2017. 
 
CARRION, R.; COSTA, N.C.A.Introdução à lógica elementar. Porto Alegre: Ed. da 
Universidade/UFRGS, MEC/SESu/PROEDI, 1988. 
 
COPI, I. M. Introdução à lógica; tradução de Álvaro Cabral. 2. ed. São Paulo: Mestre 
Jou, 1978. 
 
HEGENBERG, L.; SILVA, M. F.A Dicionário de Lógica. Rio de Janeiro: Pós-Moderno, 
2005. 
 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar – volume 1: 
Conjuntos e funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2019. 
 
KNEALE, W.; KNEALE, M. O desenvolvimento da lógica. 2. ed. Lisboa: Fundação 
Calouste Gulbenkian, 1962. 
 
MACHADO, N. J.; CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, 
comunicação, argumentação. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. 
 
SANTOS, M. F. Lógica e dialética. 4. ed. Curitiba: Logos, 1959. 
 
SOUZA, J. N. Lógica para Ciência da Computação. Editora: Campus, 2002 
 
WALTON, D. N. Lógica informal: manual de argumentação crítica. Tradução Ana 
Lúcia R. Franco, Carlos A. l. Salum; revisão da tradução Fernando Santos. 2. ed. São 
Paulo: WMF Martins Fontes, 2012. 
 
UNIDADE III 
LÓGICA FORMAL 
Professor Mestre George Lucas Máximo Ferreira 
 
 
Plano de Estudo: 
• Lógica proposicional e de predicados; 
• Dedução natural; 
• Tabela verdade. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Apresentar a simbologia, fórmulas e quantificadores lógicos; 
• Estabelecer a importância do Método Semântico das Tabelas Verdade; 
• Introduzir o conceito de Dedução Natural. 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro (a) estudante, seja bem-vindo à disciplina de Desenvolvimento do 
Conhecimento Lógico. Nesta unidade, você aprenderá sobre a simbologia, fórmulas e 
quantificadores lógicos, ou seja, como identificar os conectivos lógicos em determinada 
proposição e organizá-la em proposições simples ou atômicas e a partir dessa estrutura 
realizar a tradução simbólica. Além disso, estudará os tipos de conectivos lógicos e suas 
respectivas classificações. Você conhecerá o método semântico para validação de 
argumentos denominado de tabela verdade, bem como, suas regras de formação. Assim, 
serão apresentadas as regras de formação das tabelas verdade de cada conectivo lógico 
de acordo com sua classificação, ou seja, conjunção, disjunção, condicional, 
bicondicional e negação. Ademais, você aprenderá sobre o método de dedução natural 
como alternativa aos métodos semânticos. Assim, será apresentada a prova direta de 
validação por meio das regras de inferências. 
 
Desejo ótimos estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 LÓGICA PROPOSICIONAL E DE PREDICADOS 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-photo/logical-operations-value-table-
math-600w-1930887116.jpg 
 
 
1.1 Simbologia, fórmulas e quantificadores 
 
Caro (a), estudante, você aprenderá que para expressar ideias são utilizadas a 
linguagem corrente ou comum. Isso posto, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), 
destacam que nós usamos palavras explícitas ou não explícitas para conectar as frases 
e dotá-las de sentido. Todavia, na Lógica Matemática essas palavras são substituídas 
por uma simbologia conhecida por conectivos lógicos, sentenciais ou proposicionais. 
Tais conectivos são representados por cinco identidades (Quadro 1). 
 
Quadro 1. Conectivos proposicionais e símbolos. 
Palavras ou Letras Conectivos (símbolo) 
“e” ˄ 
“ou” | inclusivo ˅ 
“ou... ou” | exclusivo ˅ 
“se..., então...” | implica → 
“se, e somente se” | bi-implicação ↔ 
“não” ⁓ 
Implica ⟹ 
Fonte: Adaptado de Souza (2002); Barbosa (2017). 
 
Dessa forma, tomemos: 
P: “Marcos é economista e Maria é estudante”. 
Trata-se de uma proposição composta P cujas proposições átomos são p: Marcos 
é economista, a segunda proposição átomo é q: Maria é estudante, sendo a letra “e” a 
palavra de ligação. Simbolicamente a proposição composta P pode ser expressa como: 
p ˄ q 
Seja a proposição composta R: 
R: “Se ingerirmos água, morreremos por inanição”. 
 
https://image.shutterstock.com/image-photo/logical-operations-value-table-math-600w-1930887116.jpg
https://image.shutterstock.com/image-photo/logical-operations-value-table-math-600w-1930887116.jpg
 
Trata-se de uma proposição composta R cujas proposições átomos são p: 
Ingerirmos água, a segunda proposição átomo é q: morreremos por inanição, sendo o 
conectivo “se, então” (condicional) Simbolicamente: 
p → q 
Considere a seguinte proposição composta S: 
S: “Mariê foi ao cinema ou ao teatro”. 
Trata-se de uma proposição composta S cujas proposições átomos são p: Mariê 
foi ao cinema, a segunda proposição átomo é q: “(Mariê foi) ao teatro, sendo o conectivo 
“ou...ou” (exclusivo) a palavra de ligação. Simbolicamente: 
p ˅ q 
Observe a proposição composta T: 
T: “O triângulo ABC é retângulo ou é equilátero”. 
Trata-se de uma proposição composta T cujas proposições átomos são p: O 
triângulo ABC é retângulo, a segunda proposição átomo é q: (O triângulo ABC) é 
equilátero, sendo o conectivo “ou” (inclusivo) a palavra de ligação. Simbolicamente a 
proposição composta P pode ser expressa como: 
p ˅ q 
Seja a proposição composta K: 
K: “O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo”. 
Trata-se de uma proposição composta K cujas proposições átomos são p: O 
triângulo ABC é equilátero, a segunda proposição átomo é q: (O triângulo ABC) é 
equiângulo, sendo o conectivo “se, e somente se” (bicondicional) a palavra de ligação. 
Simbolicamente: 
p ↔ q 
Ademais, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), sublinham que os símbolos 
especiais aplicados na lógica matemática exprimem com clareza as estruturas lógicas 
das proposições e argumentos que algumas vezes na linguagem corrente não 
expressam. Isso posto, a lógica matemática aborda a relação das proposições de acordo 
com a forma e não o conteúdo. Assim, Alencar Filho (2003) destaca que ao pensarmos, 
efetuamos algumas operações sobre as proposições, denominadas de operações 
lógicas. Estas, por sua vez, obedecem às regras do cálculo proposicional. Posto isso, 
 
Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), destacam que o Cálculo Proposicional consiste 
na parte da Lógica Matemática cujo objetivo é estudar a validade dos argumentos que 
são representados por uma linguagem particular, a linguagem proposicional. 
Dessa forma, por meio dessa linguagem é possível identificar dois aspectos: 
sintático e semântico. Sendo que, o sintático determina os símbolos (Quadro 2), regras 
de formação e as regras de dedução lógica. Por sua vez, o semântico consiste na 
atribuição dos valores lógicos VERDADEIRO ou FALSIDADE sobre as proposições. Dito 
isso, vamos abordar a seguir as operações lógicas elementares. 
 
Quadro 2. Conectivos proposicionais e símbolos 
Palavras ou Letras Conectivos (símbolos) Nome Lógico 
“e” ˄ Conjunção 
“ou” | inclusivo ˅ Disjunção Inclusiva 
“ou... ou” | exclusivo ˅ Disjunção Exclusiva 
“se ..., então...” | implica → Condicional 
“se, e somente se” | bi-implicação ↔ Bicondicional 
“não” ⁓ Negação 
Implica ⟹ Implicação 
Fonte: Adaptado de Souza (2002); Barbosa (2017). 
 
É denominada negação de uma proposição p a proposição representada por “não 
p” cuja notação é “⁓p”. Dessa forma, Alencar Filho (2002), sublinha que o valor lógico da 
proposição é a VERDADE (V) quando p for falsa e a FALSIDADE (F) quando p for 
verdadeira. Além disso, Bispo, Castanheira e Souza Filho (2001), destacam que se trata 
de um conectivo unário, isto é, não conecta duas proposições, simplesmente nega a 
afirmação da proposição precedente. Seja a proposição simples p: 
p: José recebeu o pagamento na data combinada. 
⁓p: José não recebeu o pagamento na data combinada. 
Pode ser representado também como: 
⁓p: Não é verdade que José recebeu o pagamento na data combinada. 
⁓p: É falso que José recebeu o pagamento na data combinada. 
A conjunção de duas proposições p e q é representada pela letra “e”1 e 
simbolicamente por “˄”, ou seja, “p e q”. Além disso, Alencar Filho (2002), afirma que o 
 
1 De acordocom Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), a palavra “e” que representa a conjunção pode 
ser substituída pelas palavras: mas, todavia, contudo, no entanto, visto que, enquanto, além disso, embora. 
 
valor lógico é a VERDADE (V) quando as duas proposições simples são verdadeiras e a 
FALSIDADE (F), caso contrário. Seja a proposição composta P: 
P: “Mariê foi ao balé e Josefina foi ao cinema”. 
Simbolicamente se obtêm: 
p ˄ q 
A Disjunção inclusiva é o resultado da combinação de duas proposições 
conectadas pela palavra “ou” e é representada pelo símbolo “˅”. Assim sendo, Bispo, 
Castanheira e Souza Filho (2011), destacam que na linguagem corrente a palavra ou 
pode ser utilizada em dois sentidos: inclusiva e exclusiva. Seja a proposição composta: 
Q: “Jorge é matemático ou físico”. 
Simbolicamente se obtêm: 
p ˅ q 
Para essa proposição, Jorge pode ser matemático e físico, ou seja, ambas as 
proposições podem receber a atribuição de valor lógico VERDADEIRO (V) ou 
FALSIDADE (F) o que determina a característica inclusiva. Seja a proposição composta: 
R: “(ou) Maria é Paulistana ou (Maria é) Carioca”. 
Simbolicamente se obtêm: 
p ˅ q 
Sendo assim, ou Maria é Paulista ou Maria é Carioca, mas não pode ter ambas 
as atribuições. Portanto, o conectivo “ou... ou”, lê-se: “ou p ou q” (Disjunção exclusiva), 
possui característica excludente. Além disso, quando uma proposição componente for 
verdadeira, esta invalidará a segunda e vice-versa. 
Ademais, a proposição condicional ou somente condicional é uma proposição 
representada, segundo Alencar Filho (2002), por “se p então q”, cujo símbolo é “p → q” e 
seu valor lógico é a FALSIDADE (F) quando o valor lógico da proposição p for 
VERDADEIRO (V) e da proposição q for a FALSIDADE (F), caso contrário o valor lógico 
é VERDADEIRO (V). Além disso, na condicional é dito que a proposição simples p é o 
antecedente e a proposição simples q e o consequente. Considere a proposição: 
S: “Se João é estudante então é feliz”. 
Simbolicamente se obtêm: 
p → q 
 
Na sequência, você verá que a proposição bicondicional ou somente bicondicional 
é representada por meio de: “p se e somente q” e simbolicamente por: “p ↔ q”. Isso posto, 
Alencar Filho (2002) destaca que o valor lógico da proposição composta é VERDADEIRO 
(V) caso ambas as proposições simples tenham o mesmo valor lógico, caso contrário é 
a FALSIDADE (F). Assim sendo, considere a proposição: 
T: “Só ganharás o valor combinado se entregar o projeto no prazo”. 
Nessa proposição, é o equivalente a dizer que: “só é possível receber o valor 
combinado se, e somente entregar o projeto no prazo estabelecido”. Simbolicamente: 
p ↔ q 
Finalmente, para a Bicondicional lê-se: “p é condição necessária e suficiente para 
q” e “q é condição necessária e suficiente para p”. Além dos operadores lógicos 
apresentados: conjunção, disjunção, condicional, bicondicional e negação são 
destaques os quantificadores. Isso posto, de acordo com Bispo, Castanheira e Souza 
Filho (2011) estes se restringem às funções proposicionais, isto é, representam todo um 
determinado conjunto Ω (letra grega ômega) ou parte desse conjunto. Assim, ao definir 
o conjunto de elementos Ω, o domínio de uma função proposicional, incluindo a esta os 
quantificadores, obtendo assim, uma proposição, ou seja, uma sentença declarativa que 
pode receber atribuição de um valor lógico VERDADEIRO (V) ou FALSIDADE (F) 
(Quadro 3). 
 
Quadro 3.Quantificadores 
Palavras ou Letras Símbolos Nome Lógico 
Para todo, 
qualquer que seja, etc. 
∀ 
Quantificador 
universal 
Existe, há, pelo menos um, 
 alguns, etc. 
∃ Quantificador existencial 
Fonte: Adaptado de Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011). 
 
Sendo assim, considere p(x) uma sentença aberta em um conjunto que não seja 
vazio A, na qual A ≠ Ø e seja Vp o conjunto verdade, logo, Vp={x | x ∈ A ˄ p(x)}, ou seja, 
de acordo com Alencar Filho (2002), quando Vp é igual ao conjunto A, todos os termos 
ou elementos do conjunto A satisfazem a sentença declarativa aberta p(x), você verá 
que: 
 
 
Figura 1. Conjunto verdade 
 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
 
Na qual, se lê: “Para todo elemento x de A, p(x) é V ou; “Qualquer que seja o 
elemento x de A, p(x) é V. Simplificando, se obtêm: “Para todo x de A, p(x)” e; “Qualquer 
que seja x de A, p(x)”. Traduzindo simbolicamente: 
 
(∀ x ∈ A) (p(x)) (1) 
∀ x ∈ A, p(x) (2) 
∀ x ∈ A: p(x) (3) 
Rearranjando: 
 
(∀ x) (p(x)) (4) 
∀ x , p(x) (5) 
∀ x : p(x) (6) 
 
Diante disso, Alencar Filho (2002) destaca a seguinte equivalência: 
 
(∀ x ∈ A) (p(x)) ⇔ Vp = A 
 
Note que, p(x) é uma sentença aberta e, por sua vez, é atribuído um valor lógico 
V ou F, todavia, a sentença aberta p(x) com o símbolo ∀ precedendo-a, ou seja, (∀ x ∈ 
A) (p(x)) é uma proposição, logo, possui valor lógico V se Vp=A e F se Vp ≠ A. Assim, 
sendo p(x) uma sentença aberta em um conjunto A, o símbolo ∀, referindo-se à variável 
 
x representa uma operação lógica que modifica a sentença aberta p(x) em uma 
proposição, V ou F, conforme p(x) expressa ou não uma condição universal no conjunto 
A. Tal operação é denominada de quantificação universal e o símbolo ∀ significa 
quantificador universal (ALENCAR FILHO, 2002). Seja o conjunto de números inteiros 
𝑍 e considere as seguintes funções proposições: 
p: x – 7 > 3. 
q: x2 – 5x + 6 = 0. 
Após uma inspeção visual nas proposições “p” e “q” é possível verificar que “p” é 
V para valores superiores a 10, isto é, existem números inteiros que satisfazem a 
condição desigualdade da função, logo, é V, todavia, é F para todo o conjunto 𝑍. Isso 
posto, a proposição “q” é F para valores diferentes de 2 e 3 e V para as raízes x1=3 e 
x2=3 (BISPO; CASTANHEIRA; SOUZA FILHO, 2011). Substituindo os termos pela 
tradução simbólica, isto é, aplicando os quantificadores, se obtêm: 
∀ x (x ∈ 𝑍, x – 7 > 3), possui valor lógico F; 
∀ x (x ∈ 𝑍, x2 – 5x + 6 = 0), possui valor lógico F. 
Ademais, considere p(x) uma sentença aberta em um conjunto que não seja vazio 
A, na qual A ≠ Ø e seja Vp o conjunto verdade, logo, Vp={x | x ∈ A ˄ p(x)}, sendo assim 
considere o diagrama: 
 
Figura 2. Quantificador existencial 
 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Uma inspeção visual na Figura 2 permite verificar que “Existe pelo menos um x ∈ 
A tal que p(x) é V” ou “Para algum x ∈ A, p(x) é V”. Simplificando, “Existe x ∈ A tal que 
 
p(x)” ou “Para algum x ∈ A, p(x)”. Simbolicamente de acordo com Alencar Filho (2002) 
obtêm: 
 
(∃ x ∈ A) (p(x)) (7) 
∃ x ∈ A, p(x) (8) 
∃ x ∈ A: p(x) (9) 
Rearranjando: 
(∃ x) (p(x)) (10) 
∃ x , p(x) (11) 
∃ x : p(x) (12) 
Logo, é equivalente a: 
(∃ x ∈ A) (p(x)) ⇔ Vp ≠ Ø 
Considere as proposições: 
p: x – 7 > 3. 
q: x2 – 5x + 6 = 0. 
Aplicando os quantificadores existenciais se obtêm: 
∃ x (x ∈ 𝑍, x – 7 > 3), possui valor lógico V; 
∃ x (x ∈ 𝑍, x2 – 5x + 6 = 0), possui valor lógico V. 
A posição do símbolo ∃ antes da sentença aberta p(x) de acordo com Alencar 
Filho (2002) transforma-a numa proposição, diante disso é atribuído um valor lógico V se 
Vp ≠Ø e F caso Vp = Ø. Tal operação é denominada de quantificação existencial. 
 
 
2 TABELA VERDADE 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-vector/blackboard-record-mathematical-
formulas-logic-600w-1734108203.jpg 
 
Para determinar o valor lógico de uma proposição composta de acordo com 
Alencar Filho (2002) é necessário conhecer o valor lógico das proposições componentes 
(p, q, r, ...) (Figura 1). Assim sendo, com base no Princípio do Terceiro excluído, ou 
seja, que é possível atribuir um valor lógico VERDADEIRO (V) ou FALSIDADE (F) e 
nunca um terceiro valor ou objeto para determinada proposição simples é possível obter 
os seguintes arranjos binários. 
 
Figura 1: Bivalência dos Valores Lógicos (árvore binomial) 
 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Rearranjando os termos da Figura 1, obtemos: 
 
Quadro 6. Distribuição dos Valores lógicos de uma proposição simples 
p 
V 
F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
https://image.shutterstock.com/image-vector/blackboard-record-mathematical-formulas-logic-600w-1734108203.jpg
https://image.shutterstock.com/image-vector/blackboard-record-mathematical-formulas-logic-600w-1734108203.jpg
 
Note que, de acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) para determinar 
o valor lógico V ou F de uma proposição composta se utiliza um instrumento semântico 
conhecido como Tabela Verdade cujo objetivo consiste em assegurar que todas as 
combinações possíveis dos valores verdade de cada proposição simples foram 
concluídas. Isso posto, na prática à determinação do valor lógico de uma proposição 
composta dada, assumindo que as proposições simples são “p” e “q”, as únicas 
atribuições possíveis são: 
 
Quadro 7. Distribuição dos Valores lógicos de “p” e “q” 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Observe que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a 
proposição “p” e de um em um para a proposição simples “q”. Logo, VV, VF, FV, FF são 
considerados arranjos binários da bivalência V e F. Portanto, os números de linhas de 
uma Tabela Verdade são dependentes da quantidade de proposições simples (p, q, r,...). 
Assim, para obter o número de linhas de uma Tabela Verdade basta aplicar a fórmula 
2𝑛, sendo que “n” representa o número de proposições, então no caso de haver duas 
proposições “p” e “q”, obtemos uma Tabela Verdade com 4 linhas (BISPO; 
CASTANHEIRA; SOUZA FILHO, 2011). 
Como verificamos o valor lógico de uma proposição composta (P, Q, R, ...) 
depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes (p, q, r, 
...). Dessa forma, seguimos os critérios com base nas classificações dos conectivos 
proposicionais para construir as respectivas Tabelas Verdade. Sendo assim, Bispo, 
Castanheira e Souza Filho (2003) afirmam que uma conjunção tem seu valor lógico V 
se e somente se, as duas proposições simples “p” e “q” possuírem valor lógico V. Note 
que na Tabela Verdade apresentada a conjunção possui valor lógico V apenas na 
primeira linha (Quadro 8). 
 
 
Quadro 8. Tabela Verdade: Conjunção. 
p q p ˄ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Além disso, na forma simbólica é possível expressar a conjunção de duas 
proposições simples “p” e “q” por meio da notação: “p ˄ q”, em que se lê: “p e q” 
(ALENCAR FILHO, 2002). Tomemos como exemplo as seguintes proposições 
compostas: 
P: “A neve é branca e 𝜋 = 3, 14159.”. 
Se adotarmos a resolução por igualdades de acordo com Alencar Filho (2002), 
obtemos: 
Rearranjando as proposições simples: 
p: “A neve é branca” 
q: “𝜋 = 3, 14159”. 
 
Por meio da notação: 
V(p) = V 
V(q) = V 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p˄ q) = V(p) ˄ V(q) 
V(p˄ q) = V ˄ V 
∴ V(P) = V 
 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha (Quadro 8) em que os 
valores lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V, logo, o valor 
lógico da proposição P será V. Além disso, se têm a Disjunção cujo valor lógico é a F 
 
se, e somente se, ambas as proposições simples “p” e “q” são falsas, ou seja, o valor 
lógico é V quando ao menos uma proposição simples seja verdadeira (Quadro 9). 
 
Quadro 9. Tabela Verdade: Disjunção. 
p q p ˅ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Por sua vez, Alencar Filho (2002) destaca que a disjunção pode ser representada 
como “p ˅ q”, em que se lê: “p ou q”. Considere a proposição composta: 
P: “Recife é a capital de Pernambuco ou Camões escreveu os Lusíadas”. 
Rearranjando as proposições simples: 
p: “Recife é a capital de Pernambuco” 
q: “Camões escreveu os Lusíadas”. 
Por meio da notação: 
V(p) = V 
V(q) = V 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
V(p˅ q) = V ˅ V 
∴ V(P) = V 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha (Quadro 9) em que os 
valores lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V, logo, o valor 
lógico da proposição P é V. Além disso, na linguagem comum a palavra “ou” possui dois 
sentidos, de inclusão e exclusão. Dessa forma, a primeira disjunção abordada tratou do 
aspecto inclusivo, ou seja, quando ambas as proposições “p” ou “q” podem ser V. Além 
disso, a disjunção exclusiva possui a característica de que uma e somente uma das 
proposições é V. Logo, a disjunção exclusiva de duas proposições ou “p” ou “q” pode 
 
ser representada na forma simbólica de “p ˅ q” e o valor lógico na Tabela Verdade será 
V quando apenas um valor verdade de uma das proposições simples for V (Quadro 10). 
 
Quadro 10. Tabela Verdade: Disjunção exclusiva 
p q p ˅ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Seja a proposição composta P: 
P: “João é alto ou é baixo”. 
Organizando as proposições simples: 
p: “João é alto” 
q: “(João) é baixo”. 
Por meio da notação: 
V(p) = V ou V(p) = F 
V(q) = F ou V(q) = V 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” será: 
Se, V(p) = V; V(q) = F, então: 
V(p˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
V(p˅ q) = V ˅ F 
∴ V(P) = V 
O resultado obtido pode ser verificado na segunda linha em que os valores lógicos 
das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V e F, e, portanto, o valor lógico 
da proposição com base na regra da disjunção exclusiva de P(p, q) é V. 
Na sequência você estudará o conectivo proposicional condicional. Isso posto, 
para Bispo, Castanheira e Souza Filho (2003) uma proposição condicional possui valor 
lógico F se, e somente se, a proposição antecedente possuir valor lógico V e a 
consequente valor lógico F (Quadro 11). 
 
 
Quadro 11. Tabela Verdade: Condicional 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Além disso, a condicional pode ser representada como: “p → q”, ou seja, afirma-
se que a proposição simples “p” é o antecedente e a proposição “q” o consequente. Seja 
a proposição composta P: 
P: “Se a Terra gira em torno do Sol, então o mês de maio tem 31 dias”. 
Rearranjando as proposições simples: 
p: “A Terra gira em torno do Sol” 
q: “O mês de maio tem 31 dias”. 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p → q) = V(p) →V(q) 
V(p → q) = V → F 
∴ V(P) = F 
O resultado obtido pode ser verificado na segunda linha (Quadro 11) em que os 
valores lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V e F, e, portanto, 
o valor lógico da proposição com base na regra da condicional de P(p, q) é F. Ademais, 
temos a Bicondicional. De acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011), uma 
proposição bicondicional possui o valor lógico V se, e somente se, ambas as proposições 
simples “p” (antecedente) e “q” (consequente) possuírem o mesmo valor lógico sejam 
eles V ou F, além disso, é representada por “p ↔ q” (Quadro 12). 
 
Quadro 12. Tabela Verdade: Bicondicional 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
 
F V F 
F F V 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002).Dessa forma, uma bicondicional possui valor lógico V somente quando as duas 
condicionais: “p→ q” e “q → p”, também o são (ALENCAR FILHO, 2002). Considere a 
seguinte proposição composta: 
P: “Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil e somente se Marte é um planeta”. 
Rearranjando as proposições simples: 
p: “Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil”. 
q: “Marte é um planeta”. 
Portanto, o valor lógico da proposição “P” é: 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) 
V(p ↔ q) = V ↔ V 
∴ V(P) = V 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha (Quadro 12) em que os 
valores lógicos das proposições simples “p” e “q” são respectivamente V e V, e, portanto, 
o valor lógico da proposição com base na regra da bicondicional de P(p, q) é V. 
Concluindo os conectivos lógicos e suas classificações você estudará a negação de uma 
proposição. Isso posto, de acordo com Bispo, Castanheira e Souza Filho (2011) a 
negação de uma proposição verdadeira é uma proposição cujo valor lógico é a F e a de 
uma proposição falsa é uma proposição V (Quadro 13). 
 
Quadro 13. Tabela Verdade: Negação 
p ⁓p 
V F 
F V 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002). 
 
Na qual a negação de uma proposição pode ser representada por “não p”, ou 
simbolicamente por: “⁓p”. Seja a proposição simples: 
p: “2 + 4 = 6” 
 
Identificando a negação da proposição simples “p”: 
⁓p 
O resultado obtido pode ser verificado na primeira linha em que o valor lógico da 
proposição simples “p” é V, e, portanto, a negação da proposição simples será F.
 
 
3 DEDUÇÃO NATURAL 
Fonte da imagem: https://image.shutterstock.com/image-photo/nerdy-scholastic-young-woman-
wearing-600w-318060599.jpg 
 
Caro (a) estudante, você aprendeu que para provar um argumento é necessário 
utilizar o método semântico Tabela Verdade. Todavia, dependendo do número de linhas, 
assim, o tamanho da tabela verdade é regido pela fórmula 2𝑛, sendo que “n” é o número 
de proposições simples que compõe a Tabela Verdade. Note que a aplicação é exaustiva 
e impraticável. Sendo assim, Alencar Filho (2002), destaca outra forma para se provar a 
validade de um argumento conhecido como Método Dedutivo por meio das provas 
diretas cujos instrumentos são as implicações e equivalências tautológicas (Quadro 1). 
 
Quadro 1. Implicações† tautológicas 
Regras/abrev. Regras de Inferência Fórmulas proposicionais 
Adição (AD) 
𝑝
𝑝 ˅ 𝑞
;
𝑝
𝑞 ˅ 𝑝
 p ⟹ p ˅ q 
Simplificação (SIMP) 
𝑝 ˄ 𝑞
𝑝
;
𝑝 ˄ 𝑞
𝑞
 p ˄ q ⟹p 
p ˄ q ⟹ q 
Conjunção (CONJ) 
𝑝 𝑞 
𝑝 ˄ 𝑞
; 
𝑝 𝑞 
𝑞 ˄ 𝑝
 p, q ⟹p ˄ q 
p, q⟹q˄p 
Absorção (ABS) 
𝑝 → 𝑞
𝑝 → (𝑝 ˄ 𝑞)
 p → q⟹p → (p ˄ q) 
Modus Ponens (MP) 
𝑝 → 𝑞 𝑝 
𝑞
 p → q, p⟹q 
Modus Tollens (MT) 
𝑝 → 𝑞 ⁓𝑞 
⁓𝑝
 p → q, ⁓q⟹⁓p 
Silogismo Disjuntivo (SD) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⁓𝑝 
𝑞
; 
𝑝 ˅ 𝑞 ⁓𝑞 
𝑝
 p ˅ q, ⁓p⟹q 
p ˅ q, ⁓q⟹p 
Silogismo Hipotético (SH) 
𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑟 
𝑝 → 𝑟
 p → q, q →r, ⟹p → r 
Nota: †Lista Parcial de implicações Tautológicas. 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002); Bispo; Castanheira; Souza Filho (2011). 
 
Considere a seguinte proposição composta R: 
R: “Se o avião não tivesse caído, teria feito contato por rádio. O avião não fez contato 
pelo rádio. Portanto, o avião caiu”. 
Rearranjando as proposições simples: 
https://image.shutterstock.com/image-photo/nerdy-scholastic-young-woman-wearing-600w-318060599.jpg
https://image.shutterstock.com/image-photo/nerdy-scholastic-young-woman-wearing-600w-318060599.jpg
 
p: O avião tivesse caído. 
q: (O avião) teria feito contato por rádio. 
Simbolicamente, organizando na forma do argumento: 
 
Na qual, foi aplicado a Regra de inferência Modus Tollens (MT) na primeira 
premissa (condicional) e se obteve a segunda premissa, disso, se deduz a conclusão. 
Note que, a proposição resultante da inferência está de acordo com a proposição “o avião 
caiu” apresentada na proposição composta R, logo, está correta. 
Além disso, as equivalências tautológicas são utilizadas para fazer inferências, ou 
seja, executar “etapas” de uma dedução ou demonstração e devido a isso são 
denominadas, regras de inferência (Quadro 2). Assim sendo, a notação correta é inserir 
a premissa sobre um traço horizontal (numerador) e na sequência a conclusão abaixo 
(denominador) do traço supracitado (ALENCAR FILHO, 2002). 
 
Quadro 2. Equivalências† tautológicas 
Regras/abrev. Fórmulas 
Idempotência (IND) 
(p ˄ p) ⟺p 
(p ˅p) ⟺ p 
Comutação (COM) 
(p ˄ q) ⟺ (q˄p) 
(p ˅ q) ⟺ (q ˅ p) 
Associação (ASS) 
((p ˄ q) ˄ r) ⟺ (p ˄ (q ˄ r)) 
((p ˅ q) ˅ r) ⟺ (p ˅ (q ˅ r)) 
Distribuição (DIS) 
(p ˄ (q˅ r)) ⟺ ((p ˄ q) ˅ (p ˄ r)) 
(p ˅ (q˄ r)) ⟺ ((p ˅ q) ˄ (p ˅ r)) 
Condicional (COND) p → q ⟺⁓p ˅ q 
Leis de De Morgan (MOR) 
⁓ (p ˅ q) ⟺ (⁓p ˄⁓q) 
⁓ (p ˄ q) ⟺ (⁓p ˅⁓q) 
Dupla Negação (DN) ⁓(⁓p) ⟺ p 
Importação/Exportação (IE) ((p ˄ q) → r) ⟺ (p → (q →r)) 
Absurdo (ABD) (p → (q ˄⁓q)) ⟺ ⁓p 
Nota: †Trata-se de uma lista parcial das fórmulas proposicionais. 
Fonte: Adaptado de Alencar Filho (2002); Bispo; Castanheira; Souza Filho (2011). 
 
Considere a seguinte proposição composta W: 
 
W: “Não é o caso de irmos ao teatro ou ficarmos na rua conversando. Portanto, não 
ficaremos na rua conversando”. 
Rearranjando as proposições simples: 
p: Irmos ao teatro. 
q: Ficar na rua conversando. 
Simbolicamente, organizando na forma do argumento: 
 
Foram utilizadas as regras de inferência De Morgan (MOR) e a simplificação 
(SIMP) para se obter a conclusão da proposição composta W., todavia, para Copi (1978) 
essas Regras de Inferência são redundantes, porque não são suficientes para constituir 
o principal propósito, isto é, a construção de provas formais de validade para argumentos 
mais amplos. Sendo assim, tal lista apresenta um sistema completo de lógica funcional 
de verdade, ou seja, possibilita a construção de uma prova formal de validade para 
qualquer que seja o argumento funcional de verdade.
 
 
SAIBA MAIS 
 
Rolf Schock (1933-1986) que era ativo no departamento de filosofia em Estocolmo 
legou uma grande parte de seu patrimônio para financiar o que hoje é conhecido como 
os Prêmios Rolf Schock. Os prêmios são atribuídos em quatro categorias: Lógica e 
Filosofia, Matemática, Música e Artes Visuais. Os prêmios de Lógica e Filosofia são 
concedidos pela Royal Swedish Academy of Sciences(STOCKHOLM UNIVERSITY). 
 
Fonte: STOCKHOLM UNIVERSITY. Department of Philosophy, 2014. Disponível em: 
https://www.philosophy.su.se/english/research/2.26526. Acesso em: 27 ago. 2021. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
Os argumentos são, quase sempre, mais verdadeiros do que os fatos. A lógica é 
o nosso critério de verdade, e é nos argumentos, e não nos fatos, que pode haver lógica. 
 
Fernando Pessoa 
#REFLITA # 
 
 
 
 
https://www.philosophy.su.se/english/research/2.26526
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Caro (a) estudante, nesta unidade você aprendeu sobre a simbologia, fórmulas 
e quantificadores lógicos, ou seja, como identificar os conectivos lógicos em determinada 
proposição e organizá-la em proposições simples ou atômicas e, a partir dessa estrutura, 
realizar a tradução simbólica. Sendo assim, foram apresentadas as classificações de 
cada conectivo lógico, a saber: conjunção “e”, disjunção “ou”, condicional “se, então”, 
bicondicional “se, e somente se” e negação “não”, “é falso”, “não é verdade que” e seus 
respectivos símbolos. Diante disso, foi abordada a construção do método semântico da 
Tabela Verdade cujo objetivo consiste em validar argumentos. Sendo assim, você 
aprendeu que os valores lógicos das proposições compostas são dependentes dos 
valores lógicos das proposições atômicas e sua ligação com os conectivos lógicos, tal 
validação é realizada, utilizando as tabelas verdade. Ademais, você estudou sobre o 
método da dedução natural, ou seja, o método alternativo das tabelas verdade. Sendo 
assim, tal método consiste em utilizar a prova direta de validade utilizando as regras de 
inferência para obter as conclusões com