teorico III

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Estruturas de Madeira 
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro
Revisão Textual:
Prof.ª Dra. Selma Aparecida Cesarin
Cálculo de Estruturas de Madeira
Cálculo de Estruturas de Madeira
 
 
• Apresentar as características inerentes ao dimensionamento de estruturas de madeira; 
• Expor o dimensionamento de barras tracionadas e de barras comprimidas de madeira, bem 
como o dimensionamento de vigas, isto é, de barras flexionadas de madeira; 
• Apresentar o dimensionamento de treliças de madeira.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Dimensionamento de Peças Tracionadas;
• Dimensionamento de Peças Comprimidas;
• Dimensionamento de Vigas – Peças Flexionadas;
• Dimensionamento de Treliças.
UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Introdução
O cálculo de estruturas de madeira leva em consideração aspectos característicos 
inerentes a esse material.
Os valores de resistência de cálculo das peças de madeira são dados pela expressão 
(Eq. 1):
 mod
wk
wd
w
ff k
γ
= (Eq. 1)
Onde:
• fwk – Valor característico da resistência;
• Kmod – Coeficiente de modificação que leva em consideração os efeitos da duração 
do carregamento, da umidade do meio ambiente e da qualidade do material;
• γw – Coeficiente de ponderação de segurança do material.
O coeficiente de ponderação (coeficiente de modificação) do material é formado pela 
expressão 2:
 mod mod1 mod 2 mod3k k k k= (Eq. 2)
Onde:
• Kmod1 – Coeficiente parcial de modificação, que leva em conta a classe de carrega-
mento (Tabela 1) e o tipo de material empregado (Tabela 2);
• Kmod2 – Coeficiente de modificação que leva em consideração os efeitos da duração do 
carregamento, da umidade do meio ambiente e da qualidade do material (Tabela 3);
• Kmod3 – Coeficiente de modificação que leva em consideração os efeitos da duração do 
carregamento, da umidade do meio ambiente e da qualidade do material (Tabela 4).
O coeficiente de modificação Kmod3 é definido em função da categoria da madeira 
utilizada, podendo ser de primeira categoria ou de segunda categoria:
• Madeira de Primeira Categoria: É aquela que passou por classificação visual para 
garantir a isenção de defeitos e por classificação mecânica para garantir a homoge-
neidade da rigidez. Nesse caso, → Kmod3 = 1,0;
• Madeira de Segunda Categoria: É considerada os demais casos. Nesse caso, → 
Kmod3 = 0,8.
Para madeira de coníferas, deve-se adotar sempre Kmod3 = 0,8 para considerar a pre-
sença de nós não detectáveis pela inspeção visual.
Para madeira laminada colada, o coeficiente parcial de modificação, Kmod3, leva em 
consideração a curvatura da peça, valendo o valor de Kmod3 = 1,0 para peças retas e, 
para peças curvas, deve-se utilizar a expressão (Eq. 3).
 
2
mod3 1 1200
tk
r
 = −  
 
 (Eq. 3)
8
9
Onde:
• t – É a espessura das lâminas;
• r – É o menor raio de curvatura.
Nas verificações de segurança que dependem da rigidez da madeira, o módulo de 
elasticidade na direção paralela às fibras deve ser tomado como na expressão (Eq. 4):
c0,ef mod,1 mod,2 mod,3 c0,mE k k k E= (Eq. 4)
Tabela 1 – Valores de Kmod1
Classe de 
Carregamento 
Ação Variável Principal da Combinação
Duração Acumulada Ordem de Grandeza da Duração Acumulada da Ação Característica
Permanente Permanente Vida Útil da Construção
Longa duração Longa duração Mais de 6 meses
Média duração Média duração 1 Semana a 6 Meses
Curta duração Curta duração Menos de 1 Semana
Duração Instantânea Duração Instantânea Muito Curta
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Tabela 2 – Valores de Kmod1
Classes de 
Carregamento
Tipos de Madeira
Madeira Serrada
Madeira Laminada Colada
Madeira Compensada
Madeira Recomposta
Permanente 0,60 0.30
Longa duração 0,70 0,45
Média duração 0,80 0,65
Curta duração 0,90 0,90
Instantânea 1,10 1,10
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Tabela 3 – Valores de Kmod2
Classe de 
Umidade
Madeira Serrada
Madeira Laminada Colada
Madeira Compensada
Madeira 
Recomposta
(1) e (2) 1,0 1,0
(3) e (4) 0,8 0,9
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Tabela 4 – Valores de Kmod3
Classes 1ª. Categoria 2ª. Categoria
Coníferas 0,8 0,8
Folhosas 1,0 0,8
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
9
UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Os coeficientes de ponderação nos estados limites últimos, de acordo com a solicitação, 
são apresentados na Tabela 5.
Tabela 5 – Valores do coeficiente de ponderação nos estados limites últimos
Solicitação Coeficiente de Ponderação
Tensões de Compressão Paralelas às Fibras 1,4wcγ =
Tensões de Tração Paralelas às Fibras 1,8wtγ =
Tensões de Cisalhamento Paralelas às Fibras 1,8wvγ =
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Nos estados limites de utilização, os coeficientes de ponderação do material têm o 
valor básico de γw = 1,0.
Combinação de ações
Nos Estados Limites Últimos, as combinações correspondem às ações que são com-
binadas conforme a sua natureza. Têm-se combinações para ações normais, especiais 
e de construção.
Combinações últimas normais
Essas combinações são definidas pela expressão (Eq. 5):
 , 1, 0 ,
1 2
m n
d Gi Gi k Q Q k j Qj k
i j
F F F Fγ γ ψ
= =
 
= + + 
 
∑ ∑ (Eq. 5)
Onde:
• FGi,K – Valor característico das ações permanentes;
• FQ1,k – Valor característico da ação variável considerada principal em um determi-
nado caso de carregamento;
• Ψ0J FQj,k – Valor reduzido de combinação de cada uma das ações variáveis;
• Ψ0J – Fator de combinação correspondente a cada uma das ações variáveis.
Como a condição de segurança é para uma situação duradoura, para a classe de 
carregamento de longa duração e a resistência de projeto levam em conta um tempo 
grande de atuação da solicitação, e as ações variáveis de curta duração FQ1,k deverão ser 
reduzidas pelo fator de 0,75.
Coeficientes de ponderação e fatores de combinação
Todas as partes de uma ação permanente são ponderadas pelo mesmo coeficiente 
e esses valores dependem do tipo de ação e da sua combinação (Tabela 6 à Tabela 9).
10
11
Segundo a NBR 7190, 1997, considera-se ação de pequena variabilidade o peso da 
madeira classificada estruturalmente, cujo peso específico tenha coeficiente de variação 
não superior a 10%.
São consideradas ações de grande variabilidade o peso próprio das madeiras das 
estru turas e dos elementos construtivos permanentes não estruturais e dos equipamentos 
fixos, todos considerados globalmente quando o peso próprio da estrutura não superar 
75 % da totalidade dos pesos permanentes.
Tabela 6 – Valores do coefi ciente de Ponderação
para Ações Permanentes de Pequena Variabilidade
Combinações
Efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γg = 1,3 γg = 1,0
Especiais ou de Construção γg = 1,2 γg = 1,0
Excepcionais γg = 1,1 γg = 1,0
Podem ser utilizados indiferentemente os símbolos γg ou γG
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Tabela 7 – Valores do coefi ciente de ponderação
para ações permanentes de grande variabilidade
Combinações
Efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γg = 1,4 γg = 0,9
Especiais ou de Construção γg = 1,3 γg = 0,9
Excepcionais γg = 1,2 γg = 0,9
Podem ser utilizados indiferentemente os símbolos γg ou γG
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Tabela 8 – Valores do coefi ciente de Ponderação para Ações Permanentes
Indiretas (incluem os efeitos de recalque de apoio e de retração dos materiais)
Combinações
Efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γε = 1,2 γε = 0
Especiais ou de Construção γε = 1,2 γε = 0
Excepcionais γε = 0 γε = 0
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Coeficientes de ponderação para ações variáveis
Nas estruturas, são ponderadas apenas as ações variáveis que produzem efeitos desfa-
voráveis para a segurança, majorando-se seus valores característicos conforme a Tabela 9.
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Tabela 9 – Valores do coeficiente de Ponderação para Ações Variáveis
Combinações
Efeitos
Ações Variáveis em Geral incluídas 
as Cargas Acidentais Móveis Temperatura
Normais γQ =1,4 γε =1,2Especiais ou de Construção γQ =1,2 γε =1,1
Excepcionais γQ =1,0 γε =0
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Fatores de combinação em estados limites últimos (ψ0)
Esses fatores de combinação são utilizados levando-se em consideração que existe 
uma probabilidade remota de que as ações variáveis consideradas atuem simultanea-
mente (Tabela 10).
Assim, toma-se uma ação variável como principal com o seu valor característico e 
se reduzem os valores das demais ações multiplicando-os pelo fator de combinação que 
for correspondente.
Fatores de combinação em estados 
limites de utilização (ψ1 e ψ2)
Esses fatores de combinação são utilizados visando a reduzir os valores das ações 
variáveis para que correspondam às condições de serviço, considerando a duração 
dessas ações.
Para combinações de média duração, emprega-se o fator ψ1, enquanto, para longa 
duração, emprega-se o fator ψ2 (Tabela 10).
Tabela 10 – Valores do Fator de Combinação
Combinações
Fator de Combinação
Ψ0 Ψ1 Ψ2
Ações em Estruturas Correntes
Variações Uniformes de Temperatura em Relação à Média Anual Local 0,6 0,5 0,3
Pressão Dinâmica do Vento 0,5 0,2 0
Cargas Acidentais dos Edifícios
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem de eleva-
da concentrações de pessoas 0,4 0,3 0,2
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou de elevada 
concentrações de pessoas 0,7 0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Cargas Móveis e seus Efeitos Dinâmicos
Pontes de Pedestres 0,4 0,3 0,2*
Pontes Rodoviárias 0,6 0,4 0,2*
Pontes Ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,4*
*Admite-se Ψ2 = 0, quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
12
13
Exemplo 1
Uma barra está submetida a carregamentos permanentes de grande variabilidade (g), 
cargas acidentais (q) de longa duração e pressão do vento (w), todos com direção vertical 
e sentido de cima para baixo.
Sabe-se que as ações valem g = 430 N/m, q = 100 N/m e w = 200 N/m.
Pede-se a avaliação das combinações para estado limite de utilização.
Solução
Para se determinar a combinação de cálculo das ações para o estado limite de utilização, 
deve-se fazer a avaliação das ações para se determinar a mais crítica.
Para situações normais de projeto, a Norma NBR 7190, 1997 considera que todas 
as ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração, 
dada pela expressão (Eq. 5):
, 1, 0 ,
1 2
m n
d Gi Gi k Q Q k j Qj k
i j
F F F Fγ γ ψ
= =
 
= + + 
 
∑ ∑
Da Tabela 9, para ações devidas ao vento Ψ2j = 0 e para locais em que não há predo-
minância de pesos e de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas 
Ψ2j = 0,2.
Assim, substituindo-se os valores na expressão (Eq. 5), tem-se:
430 0,2(100) 0(200) 450 /dF N m= + + =
Dimensionamento de Peças Tracionadas
As peças de madeira quando submetidas a esforços axiais de tração apresentam com-
portamento denominado elastofrágil.
Essa condição ocorre até o instante de sua ruptura.
Elas não apresentam valores significativos de deformações antes do rompimento 
da peça.
Nas estruturas de madeira, a tração paralela às fibras ocorre, principalmente, nas 
barras de treliças e nos tirantes de madeira.
Nas barras tracionadas axialmente, os estados limites últimos se configuram por 
ruptura das fibras na seção líquida, ou na seção bruta, quando não houver furos, com a 
condição de segurança dada pela expressão (Eq. 6):
, ,
sd
t d t d
wn
N f
A
σ = ≤ (Eq. 6)
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Onde:
• σt,d – Tensão solicitante de cálculo devido ao esforço de tração;
• ft,d – Resistência de cálculo à tração;
• Awn – Área líquida da seção;
• Nsd – Esforço normal solicitante de cálculo.
Sendo a resistência de cálculo à tração dada pela expressão (Eq. 7):
 ,k, mod 1,8
t
t d
f
f k= (Eq. 7)
Onde:
• ft,d = f0,d – Para fibras paralelas ao eixo longitudinal da barra;
• ft,d = ftα,d – Para fibras com inclinação em relação ao eixo longitudinal da barra, com 
a redução da resistência dada pela fórmula de Hankinson (Eq. 8):
 0,d 90,d, 2 2
0,d 90,d cos
t t
t
t t
f f
f
f sen fα α α
×
=
× + ×
 (Eq. 8)
Área líquida em ligações com pinos
A área útil deve considerar a redução por furos, ou por entalhes, na seção transver-
sal, quando a redução da área resistente for superior a 10% da peça íntegra (item 7.1.1, 
NBR 7190, 1997).
Considera-se, neste item, somente as barras de seção retangular h x t (Figura 1).
h
t
Figura 1 – Seção Transversal de Barra de Seção Retangular
Área bruta da seção transversal reta (Eq. 9):
 Aw = h . t (Eq. 9)
14
15
Área de um furo ( Eq. 10):
Af = t . df (Eq. 10)
Onde:
• df – Diâmetro do furo.
Valor do diâmetro do furo:
Para parafusos com folga → df = d + 0,5 mm (Eq. 11)
Para pregos → df = d (Eq. 12)
Onde:
• d – Diâmetro do furo.
Área da seção transversal reta (Expressão Eq. 13):
Awr = Aw – n Af (Eq. 13)
Onde:
• n – Número de furos da seção transversal.
Além das verificações das deformações da estrutura completa, recomenda-se limitar 
a esbeltez da peça tracionada correspondente ao comprimento máximo de 50 vezes a 
menor dimensão da seção transversal ( Eq. 14):
50 50 12 173
/ 12máx
L t
r t
λ = = = ≅ (Eq. 14)
O item 10.3 da NBR 7190, 1997 limita a esbeltez máxima de peças tracionadas em 
λ = 173.
O valor mínimo do afastamento entre os eixos de furos é (Figura 2):
S < 4 df An = Ag – 2 b d’ (Eq. 15)
S ≥ 4 df An = Ag – b d’ (Eq. 16)
S
mínimo 4d
d'
b
Figura 2 – Afastamento entre o Centro de Furos
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Exemplo 2
Uma barra de madeira está submetida ao esforço solicitante de cálculo Nsd = 30 kN, 
considerando uma situação duradoura de projeto, verifique se a seção (7,5 cm x 10 cm) 
resiste a esse esforço (Figura 3).
Dados:
• Conífera classe C-30 → fc0k = 30 MPa;
• Carregamento de longa duração → kmod1 = 0,7;
• Classe 4 de umidade → kmod2 = 0,8;
• Peças de 2ª categoria → kmod3 = 0,8;
• Parafusos diâmetro 12,5 mm com tensão de escoamento fy = 250 MPa.
2,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
10 cm 10 cm5 cm 5 cm
2,5 cm
3,75 cm
7,50 cm
3,75 cm
NsdNsd
NsdNsd
Figura 3 – Barra de Madeira Tracionada
Solução
mod mod1 mod 2 mod3 (0,7)(0,8)(0,8) 0,45k k k k= = ≅
0,k
, 0, mod
300,45 7,50
1,8
t
t d t d
wt
f
f f k MPa
γ
= = = =
df = d + 0,5 mm = 12,5 + 0,5 = 13 mm
Af = t . df = 7,5 x 1,3 = 9,75 cm
2
Seção reta
Awr = Aw – n Af = (7,5 x 10) – (2 x 9,75) = 55,5 cm
2
3
0, 0,4
30 10 5,40 7,50
55,5 10
sd
t d t d
wn
N x MPa f MPa
A x
σ −= = = ≤ =
16
17
Dimensionamento de Peças Comprimidas
Nas barras comprimidas axialmente, os estados limites últimos ocorrem por meio do 
esmagamento das fibras, como nas barras que são denominadas barras curtas, ou por 
instabilidades que são associadas aos efeitos de segunda ordem, que são provocados por 
flambagem de Euler, também denominada flambagem por flexão, no caso das peças 
esbeltas e semiesbeltas.
O índice de esbeltez de barra comprimida é definido pela expressão (Eq. 17):
0L
r
λ = (Eq. 17)
Onde:
• λ – índice de esbeltez;
• L0 – Comprimento de flambagem;
• r – Raio de giração.
Peças curtas – λ ≤ 40
Nas peças curtas, a ruptura caracteriza-se por esmagamento da madeira e a condição 
de segurança é dada pela expressão (Eq. 18):
c0, c0,
d
d d
w
N f
A
σ = ≤ (Eq. 18)
Onde:
• σc0,d – Tensão de cálculo devido ao esforço de compressão;
• fc0,d – Resistência de cálculo ao esforço de compressão paralela às fibras;
• Aw – Área bruta da seção transversal;
• Nsd – Esforço normal solicitante de cálculo.
Peças semiesbeltas – 40 < λ ≤ 80
A ruptura das peças medianamente esbeltas pode ocorrer por esmagamento da 
madeira ou por flexão devido à perda de estabilidade.
A Norma Técnica ABNT NBR 7190, 1997 – Projeto de estruturas de madeira, não 
considera para peças medianamente esbeltas a verificação da compressão simples, 
mas exige a verificação da flexo-compressão nessas barras, mesmo para carga deprojeto centrada.
Esse critério estabelece a consideração de possíveis excentricidades na estrutura, não 
previstas no projeto.
A verificação deve ser feita isoladamente nos planos de rigidez mínima e de rigidez 
máxima do elemento estrutural.
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
A condição de segurança para o estado limite último de instabilidade impõe a relação 
(Eq. 19) para o ponto mais comprimido da seção transversal, aplicada isoladamente nos 
planos de rigidez mínima e máxima do elemento estrutural.
 
0,d 0,d
1Nd Md
c cf f
σ σ
+ ≤ (Eq. 19)
Onde:
• σN,d – Tensão de compressão devido à força normal de compressão;
• σM,d – Tensão de compressão devido ao momento fletor Md;
• fc0,d – Resistência de cálculo ao esforço de compressão paralela às fibras;
• fc0,d – Resistência de cálculo ao esforço de compressão paralela às fibras.
Sendo a tensão de compressão devido à força normal de compressão (Eq. 20):
 N,
sd
d
w
N
A
σ = (Eq. 20)
Onde:
• Nsd – Esforço normal solicitante de cálculo;
• Aw – Área bruta da seção transversal.
Sendo a tensão de compressão devido ao momento fletor Md devido à excentricidade 
de cálculo (Eq. 21):
 M,
d
d
M
W
σ = (Eq. 21)
Onde:
• Md – Momento fletor devido à excentricidade de cálculo;
• W – Módulo resistente elástico da seção transversal.
O momento fletor devido à excentricidade de cálculo (Eq. 22):
 d d dM N e= (Eq. 22)
Onde:
• ed – Excentricidade de cálculo.
A excentricidade de cálculo (Eq. 23).
 1
E
d
E d
Ne e
N N
 
=  − 
 (Eq. 23)
Onde:
• e1 – Excentricidade de primeira ordem;
• NE – Carga crítica de Euler;
• Nd – Força normal de cálculo.
18
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A excentricidade de primeira ordem ( Eq. 24):
1 i ae e e= + (Eq. 24)
Onde:
• ei – Excentricidade inicial;
• ea – Excentricidade acidental devida às imperfeições geométricas da barra.
A excentricidade acidental devida às imperfeições geométricas da barra ( Eq. 25):
0
300 30a
L he = ≥ (Eq. 25)
Onde:
• h – Altura da seção transversal na direção referente ao plano de verificação.
A excentricidade inicial devida aos valores de cálculo de M1d e Nd ( Eq. 26):
1
1 30
d
d
M he
N
= ≥ (Eq. 26)
A força crítica de Euler (Expressão Eq. 27).
2
0,
2
0
c ef
e
E I
N
L
π
= (Eq. 27)
Onde:
• I – Mento de inércia da seção transversal relativo ao plano de flexão referente ao 
plano de verificação da segurança.
Peças esbeltas – 80 < λ ≤ 140
Nas peças esbeltas, a forma de ruptura ocorre por flexão causada pela perda de es-
tabilidade lateral.
A condição de segurança relativa ao estado limite último de instabilidade é dada pela 
expressão (Eq. 28):
0,d 0,d
1Nd Md
c cf f
σ σ
+ ≤ (Eq. 28)
O momento fletor de cálculo ( Eq. 29):
1,
E
d d ef
E d
NM N e
N N
 
=  − 
 (Eq. 29)
Onde:
• e1,ef – Excentricidade efetiva de 1ª. ordem.
A excentricidade efetiva de 1ª. ordem (Expressão Eq. 30):
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
 1, 1ef c i a ce e e e e e= + = + + (Eq. 30)
Onde:
• ei – Excentricidade inicial com valor ≥ h/30;
• ea – Excentricidade acidental com valor L0/300 ou mínimo ≥ h/30;
• ec – Excentricidade suplementar de primeira ordem.
A excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da madei-
ra (Expressão Eq. 31):
 ( ) ( )( )
1 2
1 2
(
exp 1gk qkc ig a
e gk qk
N N
e e e
N N N
ψ ψ
ψ ψ
  Φ + + = + −  
 − + +     
 (Eq. 31)
 1 2 1ψ ψ+ ≤ , da Tabela 10 (Eq. 32)
 1 ,g dig
gd
M
e
N
= (Eq. 33)
Onde:
• Ngk – Valor característico da força normal devido às cargas permanentes;
• Nqk – Valor característico da força normal devido às cargas variáveis;
• M1g,d – Valor de cálculo do momento fletor devido apenas às ações permanentes;
• f – Coeficiente de fluência relacionado às classes de carregamento e de umidade 
(Tabela 11).
Tabela 11 – Valores do Fator de Combinação
Classes de Carregamento
Classes de Umidade
1 e 2 3 e 4
Permanente ou de 
Longa Duração
0,8 2,0
Média Duração 0,3 1,0
Curta Duração 0,1 0,5
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Similarmente às peças semiesbeltas, a NBR 7190, 1997 admite que, para o caso 
de barras de treliças biarticuladas, seja dispensada a exigência de valor mínimo para ei.
Exemplo 3
Determinar a força máxima acidental que pode ser aplicada a uma barra de peroba 
rosa com seção transversal (15 cm x 20 cm) e comprimento L = 170 cm.
Ela está em situação normal de projeto, sabendo que a força permanente vale 
Ngk = 160 kN.
20
21
Ambas as extremidades estão impedidas de se deslocarem nas direções x e y. A ma-
deira é usual, a classe de umidade do local da construção é 2 e as cargas permanentes 
são de grande variabilidade. fc0,k = 2950 N/cm
2 (peroba rosa).
Solução
Será calculado no plano com maior índice de esbeltez.
3 3
320 15 5625
12 12y
h b xI cm= = =
215 20 3000A b h x cm= = =
5625 4,33
3000
y
y
y
I
r cm
r
= = =
170 39,3
4,33
fl
máx
y
L
r
λ = = =
Em torno dos dois eixos, a peça é considerada curta, pois λ < 40.
O critério de segurança para peça curta é:
c0, c0,
d
d d
w
N f
A
σ = ≤
A ação permanente é de grande variabilidade e o coeficiente de ponderação corres-
pondente é γg = 1,4 para a combinação normal.
A ação variável máxima deve ser determinada, sendo o coeficiente de ponderação 
para ação variável igual a (γq = 1,4).
1,4 160 1,4d g gk q qk qkN N N x xNγ γ= + = +
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por:
0,
0, mod
c k
c d
c
f
f k
γ
=
mod mod1 mod 2 mod3k k k k=
Madeira serrada e carregamento de longa duração (para situação normal de projeto, 
o carregamento é sempre considerado de longa duração) → kmod1 = 0,7.
Madeira serrada e classe de umidade igual a 2 → kmod2 = 1,0.
Madeira de 2ª. categoria (não submetida a ensaios específicos) → kmod3 = 0,8.
mod mod1 mod 2 mod3 (0,7)(1,0)(0,8) 0,56k k k k= = =
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
0, 2
0, mod
29500,56 1180 / 11,80
1,4
c k
c d
c
f
f k N cm MPa
γ
= = = =
3 3
6
c0, c0,4
1, 4 160 10 1,4 10
11,80 10
300 10
qkd
d d
w
x x xN xN f x
A x
σ −
+
= = ≤ =
Nqk ≤ 92,86 kN
Dimensionamento de Vigas – 
Peças Flexionadas
A verificação da segurança de peças sujeitas à flexão consiste nas verificações dos 
estados limites últimos e dos estados limites de utilização.
Nos estados limites últimos, devem ser verificadas as tensões normais de tração e 
compressão, as tensões cisalhantes e a estabilidade lateral para vigas esbeltas.
Nos estados limites de utilização, são verificadas as deformações e vibrações limites.
Estados limites últimos para momento fletor
Flexão simples reta
Nas peças submetidas à flexão simples, o plano de incidência do carregamento coin-
cide com um dos eixos principais de inércia e não sofrem efeito do esforço normal.
Para peças com pelo menos um eixo de simetria, um eixo principal de inércia coin-
cide com o eixo de simetria.
A verificação dos estados limites últimos de esmagamento da borda comprimida e 
ruptura da borda tracionada ficam garantidos respectivamente pelas condições das ex-
pressões (Eq. 34) e (Eq. 35):
 0, 0,
sd
c d c d
c
M f
W
σ = ≤ (Eq. 34)
 0, 0,
sd
t d t d
t
M f
W
σ = ≤ (Eq. 35)
Onde:
• σc0,d – Tensão atuante de cálculo na borda comprimida;
• σt0,d – Tensão atuante de cálculo na borda tracionada;
• Wc – Módulo de resistência elástica à compressão da seção transversal da peça;
• Wt – Módulo de resistência elástica à tração da seção transversal da peça;
• fc0,d – Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras;
• ft0,d – Resistência de cálculo à tração paralela às fibras.
22
23
Sendo:
c
c
IW
y
= (Eq. 36)
t
t
IW
y
= (Eq. 37)
Onde:
• I – Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo central de inércia 
perpendicular ao plano de ação do momento fletor atuante.
Para cálculos das barras fletidas, adota-se para o vão teórico L o menor dos valores:
• Distância entre eixos apoiados;
• Vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão;
• Não se consideram acréscimos maiores que 10 cm.yC1
(–) (+)
y
X
borda 2
borda 1
CG
Yt2
Y
σ t2, d (+)
σC1, d (–)
Figura 4 – Tensões Atuantes em Barra de Madeira Flexionadas com Seção Tê
O Módulo de Elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras é dado pela expres-
são (Eq. 38):
0, mod 0,c ef c mE k E= (Eq. 38)
Onde:
• Ec0,m – Rigidez na compressão paralela às fibras.
Tabela 12 – Valores da Classe de Resistência Coníferas
Coníferas
Classes fc0k (MPa) FVk (MPa) Ec0m (MPa) ρbas,m (kg/m
3) ρaparente (kg/m
3)
C20 20 4 3500 400 500
C25 25 5 8500 450 550
C30 30 6 14.500 500 600
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Tabela 13 – Valores da Classe de Resistência Folhosas
Folhosas
Classes fc0k (MPa) FVk (MPa) Ec0m (MPa) ρbas,m (kg/m
3) ρaparente (kg/m
3)
C20 20 4 9500 500 650
C30 30 5 14.500 650 800
C40 40 6 19.500 750 950
C60 60 8 24.500 800 1000
Fonte: Adaptada de ABNT NBR 7190, 1997
Exemplo 4
Uma viga biarticulada com 4 m de vão e 6 cm de largura está submetida a um carrega-
mento permanente distribuído de 700 N/m.
Calcular a altura necessária da viga, considerando madeira da classe C40 e ações 
permanentes de grande variabilidade, considerando situação duradoura de projeto, com 
carregamento de longa duração e a classe de umidade igual a 2.
Solução
Mk = (700 x 6
2)/8 = 3.150 Nm → Md = 1,4 x 3.150 = 4.410 Nm = 44.100 Ncm
Vk = (700 x 6)/2 = 2.100 N → Vd = 1,4 x 2.100 = 2.940 N
Ec0,f = 0,56 x 1.950.000 = 1.092.000 N/cm
2
3 2
44.100 12 44.100
2 6
d c
md
M y x x h
I x x h h
σ = = =
3 3 2.940 735
2 2 6
d
Vd
V x
bh x x h h
τ = = =
Condições de Segurança:
2
mod
40000,56 1.600 /
1,4
wk
wd
w
ff k N cm
γ
= = =
Tensão Normal:
2
1, 1, 0,2
44.100 1.600 /c d t d c df N cmh
σ σ= = ≤ =
h ≥ 5,25 cm
Tensão de Cisalhamento:
2
0,
6000,56 187 /
1,8v d
f N cm= =
2
, ,
735 187 /V d Vo df N cmh
τ = ≤ =
h ≥ 3,93 cm
24
25
Flecha:
4
,
,
5
384 200
g
d util
co ef
x F x L Lu
x E x I
= ≤
4
, 3
5 7 400 400
2006384 1.092.000
12
d util
x xu
x hx x
= ≤
 
 
 
h ≥ 12,88 cm
Adotado: h ≥ 13 cm.
Dimensionamento de Treliças
Nas treliças de madeira, as barras são dimensionadas e há esforços de tração e de 
compressão.
Assim, deve-se calcular os esforços em todas as barras e utilizar os conceitos desen-
volvidos nos itens de barras tracionadas e de barras comprimidas.
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UNIDADE Cálculo de Estruturas de Madeira
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estruturas de Madeira: Projetos, Dimensionamento e Exemplos de Cálculo
DIAS, A. A. et al. Estruturas de madeira: projetos, dimensionamento e exemplos de cálculo. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2019.
Tesouras de Telhado: Tesouras de Madeira
MONTEIRO, J. C. R. Tesouras de telhado: tesouras de madeira. 4. ed. rev. atual. Rio de 
Janeiro: Interciência, 1976.
Manual de Tecnologia da Madeira
NENNEWITZ, I.; NUTSCH, W. Manual de tecnologia da madeira. 2. ed. São Paulo: 
Edgard Blucher, 2012.
Bases para Projeto Estrutural na Arquitetura
REBELLO, Y. C. P. Bases para projeto estrutural na arquitetura. 2. ed. São Paulo: 
Zigurate, 2008.
Árvores e Madeiras Úteis do Brasil: Manual de Dendrologia Brasileira
RIZZINI, C. T. Árvores e madeiras úteis do Brasil: Manual de Dendrologia brasileira. 
2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1978
26
27
Referências
MOLITERNO, A. Caderno de Projetos de Telhados em Estruturas de Madeira. 
4. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2012.
NEGRÃO, J.; FARIA, A. Projecto de Estruturas de Madeira. São Paulo: Publindústria, 
2009.
PFEIL, W. Estruturas de Madeira: Dimensionamento Segundo a Norma Brasileira 
NBR 7190/97 6. ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 2007.
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