Questões de Matemática

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Questões de Matemática
Questão 1
(Enem 2020). A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.
De acordo com as informações dadas, o número de jovens entrevistados que trabalha é
a) 114 708.
b) 164 076.
c) 213 444.
d) 284 592.
e) 291 582.
Resposta correta: c) 213 444.
Dado: número total de entrevistados: 363 000.
Ideia 1: percentual dos que trabalham.
Trabalha e estuda = 13,6%
Somente trabalha = 45,2%
Total que trabalham = 13,6 + 45,2 = 58,8%
Ideia 2: 58,8% de 363 000.
Portanto, o número de jovens entrevistados que trabalha é 213 444.
Questão 2
(Enem 2020). Para chegar à universidade, um estudante utiliza um metrô e, depois, tem duas opções:
• seguir num ônibus, percorrendo 2,0 km;
• alugar uma bicicleta, ao lado da estação do metrô, seguindo 3,0 km pela ciclovia.
O quadro fornece as velocidades médias do ônibus e da bicicleta, em km/h, no trajeto metrô−universidade.
A fim de poupar tempo no deslocamento para a universidade, em quais dias o aluno deve seguir pela ciclovia?
a) Às segundas, quintas e sextas-feiras.
b) Às terças e quintas-feiras e aos sábados.
c) Às segundas, quartas e sextas-feiras.
d) Às terças, quartas e sextas-feiras.
e) Às terças e quartas-feiras e aos sábados.
Resposta correta: c) Às segundas, quartas e sextas-feiras.
Interpretação e dados
Para saber em quais dias a bicicleta é mais rápida, é preciso fazer a comparação dia-a-dia.
É preciso calcular o tempo dia após dia, para cada veículo, pois o que a tabela fornece é a velocidade em km/h.
Distâncias percorridas:
2,0 Km de ônibus.
3,0 Km de bicicleta.
Velocidade é a distância percorrida em um intervalo de tempo.
Assim, temos que:
Comparação das frações de tempo
segunda-feira
Igualando os denominadores: para isso, o denominador de cada fração multiplica o numerador e o denominador da outra fração.
Com os denominadores iguais, basta comparar os numeradores.
Como 27 < 30, na segunda-feira o aluno deve seguir pela ciclovia.
Repetindo o mesmo raciocínio e cálculo para os outros dias da semana.
terça-feira
Assim, na terça-feira o ônibus é mais rápido.
quarta-feira
Na quarta-feira, a bicicleta é mais rápida.
quinta-feira
Na quinta-feira, o ônibus é mais rápido.
sexta-feira
Na sexta-feira a bicicleta é mais rápida.
sábado
Assim, a bicicleta será mais eficiente às segundas, quartas e sextas-feiras.
Questão 3
(Enem 2020). Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica de três dimensões, como visto na imagem ampliada.
A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com 100 micrômetros de comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro. Usando notação científica, qual é a representação do comprimento dessa miniatura, em metro?
Resposta correta: c) 
Objetivo: escrever o número 100 micrômetros em metro, usando notação científica.
1 micrômetro = 1 m / 1 000 000
Multiplicando por 100 ambos os lados da equação.
1 micrômetros x 100 = 1 m x 100 / 1 000 000
100 micrômetros = 1 m / 10 000
100 micrômetros = 0,0001 m
Escrevendo em notação científica.
Para escrever em notação científica, deixamos um algarismo na parte inteira, antes da vírgula e escrevemos a potência de base 10.
Como deslocamos a vírgula para direita, aumentando o número, compensamos com o expoente negativo na potência de base 10.
Portanto, 
Questão 4
(Enem 2020). Uma empresa de ônibus utiliza um sistema de vendas de passagens que fornece a imagem de todos os assentos do ônibus, diferenciando os assentos já vendidos, por uma cor mais escura, dos assentos ainda disponíveis. A empresa monitora, permanentemente, o número de assentos já vendidos e compara-o com o número total de assentos do ônibus para avaliar a necessidade de alocação de veículos extras. Na imagem tem-se a informação dos assentos já vendidos e dos ainda disponíveis em um determinado instante.
A razão entre o número de assentos já vendidos e o total de assentos desse ônibus, no instante considerado na imagem, é
a) 16/42
b) 16/26
c) 26/42
d) 42/26
e) 42/16
Resposta correta: a) 16/42
Razão é uma divisão na forma de uma fração e estamos em busca da seguinte razão:
De acordo com a imagem, temos:
16 vendidos em um total de 42 lugares. Por isso, a razão procurada é 16/42.
Questão 5
A caixa-d’água de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume igual a 28 080 litros. Em uma maquete que representa o edifício, a caixa-d’água tem dimensões 2 cm × 3,51 cm × 4 cm.
Dado: 1 dm³ = 1 L.
A escala usada pelo arquiteto foi
a) 1 : 10
b) 1 : 100
c) 1 : 1 000
d) 1 : 10 000
e) 1 : 100 000
Resposta correta: b) 1 : 100
Ideia 1
O enunciado pergunta a escala das medidas lineares. Queremos determinar quantos centímetros de comprimento a caixa real possui para cada 1 centímetro da maquete. Ou seja:
Onde D representa uma medida de 1 dimensão.
Ideia 2
Primeiro, vamos determinar a escala dos volumes que são quantos cm³ a caixa real possui para cada 1 cm³ a maquete possui.
Onde D³ representa uma medida de 3 dimensões, ou seja, de volume.
Ideia 3
Por fim, convertemos de cm³ para dm³ e, assim, pala litros. Uma vez determinado a quantidade de líquido na maquete, fazemos a razão da escala comparando com a caixa real.
Passo 1: volume da maquete
Volume = comprimento x largura x altura
Como é um produto, a ordem não altera o resultado.
Volume = 2 x 3,51 x 4 = 28,08 cm³
Passo 2: passando de cm³ para dm³
1 dm³ = 10 cm x 10 cm x 10 cm = 1 000 cm³
Fazendo uma regra de três
Se 1 000 cm³ é igual a 1 dm³, então 28,08 cm³ será igual a x dm³ .
1000 . x = 28,08 x 1
x = 28,08 / 1000
x = 0,02808 dm³
Passo 3: decímetros cúbicos para litros
Se 1 dm³ equivale a 1 litro, então 0,02808 dm³ será igual a 0,02808 L.
Dessa forma, 0,02808 L é a capacidade da maquete.
Passo 4: razão dos volumes
Passo 5: a escala de volume 1 / D³
Como o volume é espacial, possuindo três dimensões, fazemos volume igual a D³.
Passo 6: a escala linear 1 / D
Multiplicando cruzado
Logo, a escala procurada é 1/100
Resposta correta: a) y = 1,265x
Temas cobrados nesta questão: porcentagem e geometria espacial.
Ideia 1: alteração percentual de volume do tanque T1 para o T2.
O volume V2, do tanque T2 é maior, pois sofreu processo de aeração.
Em A1 o volume aumenta 15%. Basta multiplicar por 1,15.
Em A2 o volume aumenta mais 10%. Basta multiplicar por 1,10.
Ideia 2: relação entre os volumes
Caso não sofresse aeração, o volume de líquido V1, que sai de T1, seria igual ao volume V2 em T2.
Como o volume final, V2, é maior devido aos aumentos, temos:
V2 = (1,15 )(1,10) . V1
V2 = 1,265 . V1 relação I
Ideia 3: função dos volumes
Como os tanques são prismas, o volume é o resultado da multiplicação de suas três dimensões.
Substituindo o produto na relação I, temos:
V2 = 1,265 . V1 relação I
Portanto, a equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por y = 1,265 x
Questão 7
(Enem 2020). A fabricação da Bandeira Nacional deve obedecer ao descrito na Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971, que trata dos Símbolos Nacionais. No artigo que se refere às dimensões da Bandeira, observa-se: “Para cálculos das dimensões, será tomada por base a largura, dividindo-a em 14 (quatorze) partes iguais, sendo que cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo (M). Os demais requisitos dimensionais seguem o critério abaixo:
I. Comprimento será de vinte módulos (20 M);
II. A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7 M);
III. O raio do círculo azul no meio do losango amarelo será de três módulos e meio (3,5 M).”
BRASIL. Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971.Disponívelem: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 set. 2015.
A figura indica as cores da bandeira do Brasil e localiza o quadro externo a que se refere a Lei n. 5.700.
Um torcedor, preparando-se para a Copa do Mundo e dispondo de cortes de tecidos verde (180 cm x 150 cm) e amarelo (o quanto baste), deseja confeccionar a maior Bandeira Nacional possível a partir das medidas do tecido verde.
Qual a medida, em centímetro, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira desejada?
a) 27
b) 32
c) 53
d) 63
e) 90
Resposta correta: d) 63
Ideia 1: lado do quadrado
O lado do menor quadrado de tecido azul é igual a dois raios do círculo.
De acordo com a norma citada no enunciado em III, o raio R do círculo tem 3,5M.
Como o lado do quadrado é igual a 2R, temos:
Lado do quadrado = 2R = 2 . 3,5M = 7M
Ideia 2: cálculo de M em duas tentativas
O tecido verde é um retângulo e possui as dimensões: 180 cm X 150 cm.
De acordo com a norma, em I, o comprimento deve possuir 20M e a largura 14M.
1ª tentativa
Vamos utilizar o menor lado do tecido (150 cm) para o menor lado da bandeira (largura).
Largura da bandeira = 14M
Se a largura for de 150 cm, M será:
14M = 150 cm
M = 150/14
Devemos conferir se a medida maior do tecido (180 cm) será suficiente para o comprimento de 20M da bandeira.
Largura = 20M = 20. 150/14
Ou, aproximadamente, 214 cm, que é uma medida maior que a do tecido disponível.
2ª tentativa
Comprimento da bandeira de 20M com 180 cm.
20M = 180
M = 180/20 = 9 cm
Largura da bandeira = 14M
Largura da bandeira = 14 x 9 = 126 cm
Nesse caso, haverá tecido suficiente.
Ideia 3: medida do lado do quadrado
Como visto na ideia 1, o lado do quadrado possui 7M. Dessa forma:
Lado do quadrado = 7M = 7.9 = 63
Portanto, o lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira deve medir 63 cm.
Questão 8
(Enem 2020). Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
a) 9!
b) 4! 5!
c) 2 × 4! 5!
d) 9! / 2
e) 4! 5! / 2
Resposta correta: e) 4! 5! / 2
Assunto cobrado na questão: permutação com repetição.
Na frase I AM POTTER, a letra T se repete duas vezes, sendo um caso de permutação com repetição.
Atenção: por ser uma permutação com repetição, devemos dividir o cálculo por 2! Pois a letra T se repete duas vezes.
Condição: vogais (V) e consoantes (C) devem estar intercaladas.
Na frase há 4 vogais e 5 consoantes.
Vamos considerar o caso em que começamos a dispor as letras, sendo a primeira vogal.
Esse caso não satisfaz a condição de vogais e consoantes intercaladas.
Agora, começando por consoante.
Esse caso satisfaz a condição.
Para as consoantes temos o seguinte produto de possibilidades:
5 possibilidades para escolher a primeira consoante, multiplicado por
4 possibilidades para escolher a segunda consoante, multiplicado por
3 possibilidades para escolher a terceira consoante, multiplicado por
2 possibilidades para escolher a quarta consoante, multiplicado por
1 possibilidade para escolher a quinta consoante.
Dessa forma, temos 5! que é o fatorial de 5.
Para as vogais temos o seguinte produto de possibilidades:
4 possibilidades para escolher a primeira vogal, multiplicado por
3 possibilidades para escolher a segunda vogal, multiplicado por
2 possibilidades para escolher a terceira vogal, multiplicado por
1 possibilidade para escolher a quarta vogal.
Dessa forma, temos 4! que é o fatorial de 4.
A quantidade total de anagramas é dada por:
Possibilidades das consoantes (5!), multiplicado pelas possibilidades das vogais (4!), dividido por 2! pois T se repete duas vezes.
Portanto, o número de anagramas formados é dado por:
Questão 9
(Enem 2020). O consumo de espumantes no Brasil tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas do seu processo de produção consiste no envasamento da bebida em garrafas semelhantes às da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o nível de envasamento.
Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?
Resposta correta: b) 
Informação: a vazão é constante.
A vazão é a quantidade de líquido que entra na garrafa por unidade de tempo.
Por exemplo, a quantidade de líquido que entra na garrafa em 1 segundo, é a mesma, que entra no próximo segundo, e assim por diante.
Se o recipiente for grande como uma caixa d’água, o nível de líquido vai subir mais devagar. Dizemos que demora mais para encher uma caixa d’água do que uma garrafa pois o volume da garrafa é menor.
Com a garrafa é o mesmo princípio. Dividindo a garrafa em duas seções temos:
1ª seção
Na primeira seção o volume é maior, sendo um cilindro, sua circunferência é a mesma em toda altura. Como a vazão é constante, o gráfico da altura do nível em função do tempo é uma reta com inclinação que depende da vazão.
Se a vazão for maior, a garrafa se enche em menos tempos e, a inclinação da reta é maior.
2ª seção
Na segunda seção o volume (espaço dentro da garrafa) começa a diminuir. Conforme a altura do líquido aumenta a circunferência diminui e com isso o volume também diminui.
Sendo a vazão constante mas, o volume a ser preenchido cada vez menor, a medida que a altura aumenta, mais rápido é o preenchimento, ou seja, em menor tempo.
Questão 10
(Enem 2020). A exposição a barulhos excessivos, como os que percebemos em geral em trânsitos intensos, casas noturnas e espetáculos musicais, podem provocar insônia, estresse, infarto, perda de audição, entre outras enfermidades. De acordo com a Organização Mundial da Saúde, todo e qualquer som que ultrapasse os 55 decibéis (unidade de intensidade do som) já pode ser considerado nocivo para a saúde. O gráfico foi elaborado a partir da medição do ruído produzido, durante um dia, em um canteiro de obras.
Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve acima de 55 decibéis?
a) 5
b) 8
c) 10
d) 11
e) 13
Resposta correta: e) 13
O ruído esteve acima de 55 dB nos períodos em que a curva do gráfico se mantém acima da linha horizontal de 55 dB.
Fazendo a contagem no gráfico, temos:
Horas em que o ruído esteve acima de 55 decibéis
3h + 3h + 3h + 1h + 3h = 13h
Portanto, neste dia, o ruído esteve por 13h acima do nível de 55 dB.