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Bráulio Roberto Gonçalves Marinho Couto
Janaína Giovani Noronha de Oliveira
Octávio Alcântara Torres
Reinaldo Carvalho de Morais
Estatística e 
Probabilidades
Bráulio Roberto Gonçalves Marinho Couto
Janaína Giovani Noronha de Oliveira
Octávio Alcântara Torres
Reinaldo Carvalho de Morais
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Belo Horizonte
Junho de 2015
COPYRIGHT © 2015
GRUPO ĂNIMA EDUCAÇÃO
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Grupo Ănima Educação
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Edição
Grupo Ănima Educação
Vice Presidência
Arthur Sperandeo de Macedo
Coordenação de Produção
Gislene Garcia Nora de Oliveira
Ilustração e Capa
Alexandre de Souza Paz Monsserrate
Leonardo Antonio Aguiar
Equipe EaD
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O AUTOR
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A AUTORA
Bráulio Roberto Gonçalves Marinho Couto é 
doutor em Bioinformática, mestre em Ciência 
da Computação, especialista em Estatística, 
bacharel em Engenharia Química e técnico 
em Química. Atuante nas áreas de Estatística, 
Cálculo Numérico, Informática em Saúde, 
Epidemiologia Hospitalar e Bioinformática. 
Professor do Centro Universitário de Belo 
Horizonte (UniBH). 
Janaína Giovani Noronha de Oliveira 
é mestre em Estatística e graduada 
em Licenciatura em Matemática com 
Habilitação em Física. Possui experiência 
como docente na área de Matemática 
e Estatística do Ensino superior e 
médio. Experiência com orientação de 
Monograias.
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O AUTOR
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O AUTOR
Octávio Alcântara Torres é bacharel em 
Estatística e mestre em Demograia. Possui 
experiência nas áreas de probabilidade e 
estatística, regressão e correlação, análise 
estatística multivariada e controle estatístico 
de processo. Áreas de interesse: projeções 
populacionais, projeções de mão de obra 
qualiicada, pesquisa de mercado, estatística 
aplicada.
Reinaldo Carvalho de Morais é mestre 
e bacharel em Administração Pública, 
graduado em Estatística e especialista 
em Gestão Financeira. Possui experiência 
em pesquisas sobre economia e inanças 
públicas mineiras, bem como docência nas 
disciplinas de estatística, de economia, 
de engenharia econômica, de matemática 
inanceira e de administração da produção.
Egressos de cursos de Engenharia e 
Tecnologia são proissionais que resolvem 
problemas. E como isso ocorre? Pela 
aplicação eiciente do método cientíico. 
Pois bem, é disso que se trata essa 
disciplina: apresentar ferramentas 
estatísticas que possibilitarão a você 
transformar-se num especialista em 
qualquer área do conhecimento e, portanto, 
apto a resolver problemas. A disciplina é 
dividida em oito unidades cujo objetivo é 
introduzir o aluno na área da Estatística 
e Probabilidades, tornando-o capaz de 
planejar e de executar experimentos de 
pequeno e médio porte nas áreas de 
Ciências Exatas e de Engenharia. Além de 
fazer a análise exploratória dos dados e de 
realizar inferências, por meio da tomada de 
decisão na presença de incerteza.
A Unidade 1 apresenta deinições 
fundamentais para a correta compreensão 
do processo de coleta e de análise de dados. 
Conceitos sobre população e amostra, 
censo e amostragem, e variáveis são 
discutidos nessa unidade. A Unidade 2 trata 
da análise exploratória de dados, quando 
são apresentadas técnicas de Estatística 
Descritiva. O objeto dessa unidade, 
bastante intuitiva, é trabalhar a síntese 
numérica, gráica e tabular dos dados. 
A ideia é usar ferramentas como o Excel 
para construir tabelas e gráicos, como 
histograma, diagrama de dispersão, Pareto 
e calcular valores como média, mediana, 
desvio padrão, e coeiciente de variação. 
Na Unidade 3 são introduzidos conceitos 
básicos de probabilidades, cruciais para 
que se entenda o processo de tomada 
de decisão na presença de incerteza. A 
Unidade 4 é uma continuação da terceira 
unidade, são apresentados os modelos 
probabilísticos mais importantes para se 
modelar problemas de pequeno e médio 
porte na área de Engenharia e Tecnologia. 
A partir da Unidade 5 caminhamos para 
a área “nobre” da Estatística, que envolve 
as inferências, isto é, o processo de 
generalização de resultados parciais, 
observados em amostras, para toda a 
população envolvida num problema. Nessa 
unidade é discutida a forma de obter os 
intervalos de coniança, tanto para média 
quanto para proporção. Na Unidade 5 
discute-se, por exemplo, como o resultado 
de uma pesquisa eleitoral é calculado e o 
signiicado do intervalo deinido pela soma 
e subtração de uma “margem de erro”. 
A Unidade 6 é voltada para o planejamento 
de experimentos, quando é apresentado, 
APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA
por exemplo, como calcular o tamanho 
de uma amostra. Em alguns livros este 
item é colocado na primeira unidade, o 
que tem certa lógica por tratar da coleta 
de dados, primeira etapa de qualquer 
análise estatística. Entretanto, como são 
necessários conceitos probabilísticos e de 
inferência para entender o planejamento 
de experimentos, optamos por colocar 
essa unidade logo após a discussão sobre 
intervalos de coniança. 
As Unidades 7 e 8 fecham a disciplina, 
apresentado as ferramentas mais úteis 
para que você inalmente se transforme 
num especialista em uma área qualquer e, 
portanto, realmente apto a resolver seus 
problemas. Na Unidade 7 são discutidos 
os métodos para fazer e interpretar testes 
de hipóteses, num contexto uni variado 
e, na Unidade 8, discute-se métodos de 
correlação e regressão, introduzindo a 
análise multivariada. 
Ao longo das oito unidades, procuraremos 
apresentar uma abordagem baseada 
em PPL – Aprendizagem Baseada em 
Problemas, além de usarmos como 
ferramentas computacionais o Microsoft® 
Excel e o software de domínio público, 
EpiInfo. 
Bom trabalho!
Bráulio, Janaína, Octávio e Reinaldo.
UNIDADE 1 003
Introdução à Estatística 004
Conceitos básicos 006
O papel das variáveis numa base de dados: identiicação, 
auxiliares, variáveis explicativas e variável reposta (desfecho) 010
Tipos de variáves 013
Uso do excel como um sistema de gerenciamento de dados 
e dos formulários do google docs para coleta de informações 015
Revisão 017
UNIDADE 2 019
Análise exploratória de dados 020
Síntese gráica de dados 021
Síntese tabulador de dados 038
Síntese numérica de dados 038
Revisão 048
UNIDADE 3 049
Introdução à teoria de probabilidades 050
Probabilidade clássica e probabilidade frequentista 053
Leis básicas de probabilidade 053
União e interseção de eventos 054
Tabelas de contigência 056
Eventos independentes 057
Teorema de Bayes 058
Revisão 061
UNIDADE 4 063
Modelos probabilísticos 064
Varieaveis aleatórias 065
Modelos probabilísticos 071
Distribuição binomial 071
Distribuição Poisson 072
Distribuição normal 072
Revisão 076
UNIDADE 5 077
Estimação de médias e proporções 078
Teorema central do limite 079
Estimação pontual e por intervalos de coniança para uma 
média populacional 082
Estimação pontual e por intervalos de coniança para uma 
proporção populacional 089
Uso do excel no cálculo de intervalos de coniança para 
média e proporção 091
Introdução ao programa Epiinfo 094
Revisão 095
UNIDADE 6 098
Planejamento de experimentos 099
Cálculo de tamanho de amostra baseado em intervalos 
de coniança para uma proporção 100 
Cálculo de tamanho de amostra baseado em intervalos 
de coniança para uma média 103
Planejamento de experimentos 106
Revisão 113
UNIDADE 7 115
Testes de hipóteses 116
A construção e o signiicado de uma hipótese estatística 117
Testes para uma amostra 118
Testes para duas ou mais amostras 133
Revisão 137
UNIDADE 8 139
Análise de correlação e regressão 140
Análise de correlação 141
Regressão linear simples 149
Regressão linear múltipla 157
Revisão160
 
REFERÊNCIAS 117
unidade 1
004
INTRODUÇÃO À 
ESTATÍSTICA
P
odemos entender o método estatístico como um processo para obter, apresentar e 
analisar características ou valores numéricos, identiicando padrões que possibilitam 
a tomada de decisão em situações de incerteza. Pode acreditar, se você aplicar o 
método estatístico para a análise e solução de problemas, muito rapidamente se tornará um 
especialista de qualquer área do conhecimento! Num mundo real, completamente cercado 
de incertezas, ser capaz de identiicar padrões de comportamento de pessoas, projetos, 
produtos, serviços, etc pode transformá-lo num “mago”. 
Entretanto, antes de você transformar-se num “mago”, é necessário um entendimento 
adequado do método estatístico, que tem suas “armadilhas”. Costumo dizer que Estatística não 
é Matemática... é muito mais “difícil”. Na verdade, Estatística é uma das áreas da Matemática 
que, por sinal, é a Ciência cuja aplicação no mundo real possibilitou ter uma vida incrivelmente 
confortável. Bom, quando airmo que “Estatística não é Matemática”, quero dizer que, na 
Matemática que você aprendeu no Ensino Fundamental e Médio, os problemas têm usualmente 
uma única forma de serem resolvidos e devem todos chegar ao mesmo resultado (uma única 
resposta correta). Na Estatística, os problemas têm várias formas de serem resolvidos, podem 
chegar a resultados diferentes e todos estão corretos! Isso ocorre porque a Estatística requer 
a habilidade de considerarmos as coisas dentro de uma perspectiva probabilística, o que vai 
completamente contra a conceituação usual dos problemas em simplesmente certo ou errado. 
Não buscaremos a “verdade absoluta”, mas padrões de comportamento que nos possibilitarão 
tomar decisões com alto grau de coniança. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
005
Para melhor entendermos o que será discutido, o método estatístico será dividido em quatro 
grandes áreas:
1) amostragem e coleta de dados;
2) análise exploratória de dados (estatística descritiva);
3) teoria de probabilidades;
4) decisão na presença de incerteza (inferência). 
A ideia por trás dessa unidade é levar até você o conhecimento fundamental que lhe permitirá 
entender a coleta de dados. Estudaremos conceitos fundamentais de Estatística, questões 
simples, mas essenciais para que tenhamos sucesso nas outras etapas do método estatístico, 
que serão discutidas nas próximas unidades. Estes são os objetivos da Unidade 1:
a) apresentar conceitos básicos de Estatística e Probabilidades;
b) identiicar as funções e os principais tipos de dados e de variáveis;
c) identiicar e corrigir problemas de dados faltantes (missing); 
d) conigurar o Excel como instrumento de coleta de dados;
e) entender o sistema de endereçamento de células do Excel. 
f) construir formulários de coleta de dados no Google Docs;
g) enviar formulários de coleta de dados por meio de mala direta. 
É crucial que você entenda os conceitos que serão discutidos nessa unidade. Sem o 
entendimento do que seja, por exemplo, uma variável, o seu tipo e a sua função na base de 
dados, não há como você ser feliz nas outras etapas do processo! 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
006
CONCEITOS 
BÁSICOS
Vamos supor que uma cozinheira esteja 
preparando dois litros de sopa. 
Como ela sabe se a sopa está temperada? 
Os dois litros de sopa formam a população 
e, se a cozinheira comer/provar toda a sopa, 
estará fazendo um censo, o que geraria um 
absurdo do tipo “É, a sopa estava ótima!”. 
A cozinheira sabe que em experimentos 
baseados em ensaios destrutivos, quando 
a própria análise destrói o dado coletado, o 
censo é um absurdo. Na verdade, ela sabe 
que censos, de modo geral, são inviáveis, 
muito caros e/ou muito demorados. Mais 
ainda, ela sabe que se usar uma pequena 
amostra cuidadosamente retirada, chamada 
amostra representativa, poderá tomar 
decisões sobre toda a população envolvida 
no problema com um alto grau de coniança. 
A cozinheira então retira uma pequena 
amostra, uma “pitada” da comida, prova-a 
e generaliza o resultado para toda a sopa. 
Isso é chamado de inferência: tomar 
decisões sobre toda uma população com 
base em informações parciais de uma 
amostra (veja a FIGURA 1). 
Entretanto, a cozinheira sabe que para fazer 
inferências válidas, deve tomar cuidado 
para não trabalhar com amostras viciadas. 
E o que seria isso? 
Se ela retirar uma amostra somente da 
parte de cima da sopa, muito provavelmente 
terá uma amostra viciada, isto é, sem 
representantes de todos os componentes 
da sopa como um todo que, neste caso, é a 
população amostrada. 
E como ela retira uma amostra 
representativa da sua população (“sopa”)? 
Como a cozinheira procede para obter uma 
amostra com “representantes” de cada 
estrato da sopa? 
Simples, ela mistura a sopa fazendo uma 
homogeneização e sorteia uma porção/
pitada que será usada no seu processo 
decisório. Fazendo uma amostragem 
aleatória, a cozinheira sabe que terá 
grande chance de trabalhar com amostras 
representativas. 
Podemos agora resumir esses conceitos.
População: 
a) consiste na totalidade das unidades de 
observação a partir dos quais ou sobre 
os quais deseja tomar uma decisão;
b) conjunto de elementos que formam o 
universo do nosso estudo e que são 
Você sabe o que é população? E 
amostra? Vejamos o exemplo a seguir.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
007
passíveis de serem observados;
c) conjunto de indivíduos sobre os quais 
recairão todas as generalizações das 
conclusões obtidas no estudo;
d) usualmente, as unidades de observações 
são pessoas, objetos ou eventos;
e) é o universo a ser amostrado;
f) do ponto de vista matemático, a população 
é deinida como um conjunto de 
elementos que possuem pelo menos uma 
característica em comum (SILVA, 2001).
População inita: o número de unidades de 
observação pode ser contado e é limitado. 
Exemplos: 
a) alunos matriculados na disciplina 
Estatística e Probabilidades; 
b) todas as declarações de renda recebidas 
pela Receita Federal;
c) todas as pessoas que compram telefone 
celular num determinado ano;
d) um lote com N produtos. 
População ininita: a quantidade de 
unidades de observação é ilimitada, ou 
a sua composição é tal que as unidades 
da população não podem ser contadas. 
Exemplos:
a) conjunto de medidas de determinado 
comprimento;
b) gases, líquidos e alguns sólidos em 
que as suas unidades não podem ser 
identiicadas e contadas. 
Amostra: conjunto de unidades 
selecionadas de uma população, ou seja, 
uma parte dos elementos da população.
Amostra representativa: é uma versão 
em miniatura da população, exatamente 
como ela é, somente menor. A amostra 
representativa segue o modelo populacional, 
tal que suas características importantes 
são distribuídas similarmente entre ambos 
os grupos.
Unidade amostral: é a menor parte distinta 
de uma população, identiicável para ins de 
seleção e construção da amostra. 
Amostra aleatória: é aquela obtida por meio 
de um processo de sorteio ou aleatorização.
Amostra viciada: é aquela que representa 
apenas parte da população, não possuindo 
elementos de todos os estratos ou 
subconjuntos que formam a população 
como um todo.
Censo: exame de todas as unidades de 
observação de uma população. Como 
discutido no exemplo da cozinheira, se 
a pesquisa envolve ensaio destrutivo, o 
censo é inviável. Na verdade, somente se a 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
008
FIGURA 1 - População alvo, população amostrada e amostra
População alvo do estudo
Amostra
População 
amostrada
Inferência
Fonte: Elaborado pelo autor.
Inferir significa generalizar resultados de uma amostra para toda a população.
Por que usar amostras? Por que não incluir no estudo todos os indivíduos da população? 
A amostragem deve ser usada porque torna o processo eficiente e preciso. E ela 
é eficiente, uma vez que o recurso quepoderia ser despendido na coleta de dados 
desnecessários de um grande número de indivíduos pode ser gasto em outra atividade, 
como na monitoração da qualidade da própria coleta dos dados. As amostras, por serem 
menores que a população, podem ser estudadas mais rapidamente que censos e são 
também mais baratas. Além disso, se o processo de amostragem gerar uma amostra 
representativa da população alvo do estudo, os resultados observados poderão ser 
generalizados, sem risco de chegar a uma conclusão diferente daquela que seria obtida 
se trabalhar com toda a população.
população alvo for pequena é razoável observá-la por inteiro, através do censo, pois mesmo 
quando viáveis, censos são caros e demorados. Outros exemplos de ensaios destrutivos, nos 
quais é impossível aplicar censo: pesquisa sobre a força de tração de um lote de barras de 
aço para construção; pesquisa sobre contaminação de soro isiológico em um lote; testes de 
resistência e durabilidade de um lote de concreto; tempo de pega de um lote de cimento. 
Amostragem: processo pelo qual uma amostra de unidades da população é retirada e 
observada. É a parte mais importante do processo de pesquisa. O principal e fundamental 
objetivo de qualquer plano de amostragem é selecionar a amostra, de tal maneira que ela 
retrate ielmente a população pesquisada. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
009
Vejamos agora alguns aspectos 
relevantes para o campo da amostragem. 
São eles:
• Questões da amostragem: Qual 
o tamanho da amostra? Como 
a amostra será obtida? Como 
garantir que a amostra obtida 
seja representante da população 
objeto do estudo? A questão mais 
importante não é o seu tamanho, 
mas como a amostra será obtida, 
pois a amostragem mal feita 
invalida qualquer pesquisa.
• Tamanho da amostra (n): está 
relacionado ao total de unidades 
amostradas, usadas no processo 
de inferência. Imagino que 
você esteja curioso em relação 
ao tamanho da amostra, mas, 
como citado anteriormente, 
esta não é de longe a questão 
mais importante. Por exemplo, 
o que você que teria mais 
credibilidade numa pesquisa 
sobre a aceitação (ou não) do 
aborto por parte da população 
brasileira: resultados de pesquisa 
realizada no domingo à noite por 
uma emissora de TV, envolvendo 
milhões de pessoas que, após 
assistirem a uma reportagem 
sobre o assunto, responderam 
à pesquisa; ou resultados de 
uma amostra de 2.500 pessoas 
selecionadas aleatoriamente no 
território brasileiro? 
No entanto, essa não é uma questão 
muito importante para obtermos o 
tamanho da amostra adequada para 
uma pesquisa, visto que é necessário 
estudarmos alguns conceitos 
probabilísticos, que serão apresentadas 
somente nas próximas unidades. 
IMPORTANTE
A maioria das pessoas, quando questionadas 
sobre qual o tamanho da amostra necessária 
para uma pesquisa, tem o raciocínio equivocado 
de que o tamanho da amostra (n) tem relação 
direta com o tamanho da população amostrada 
(N). Inevitavelmente, a maioria das pessoas 
airma erroneamente que uma boa amostra deve 
conter pelo menos, digamos, 30% da população. 
O que a cozinheira diria disto? Para provar dois 
litros de sopa, quanto de amostra ela teria que 
avaliar? Isso mesmo, uma pitada. E para provar 
400 litros de sopa, ela beberia um prato inteiro? 
Não. Ela provará a mesma pitada, pois sabe que, o 
mais importante nesse processo inferencial não é 
o tamanho da amostra, mas provar uma amostra 
não viciada, representativa de toda a sopa. 
Voltando aos processos de amostragem, 
as amostras podem ser classiicadas em 
probabilísticas e não probabilísticas:
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
010
Amostra probabilística: 
- existe uma garantia, em termos de 
probabilidade, de que qualquer membro 
da população possa ser selecionado para 
amostra. 
Amostra não probabilística:
- os elementos da amostra não são 
escolhidos por meio de um sorteio. 
CARVALHO e COUTO (2003) apresentam 
as principais características de tipos de 
amostragem mais comuns, relacionados 
principalmente com pesquisas de survey. 
Outras amostras, por exemplo, amostragem 
de minério, de solo, de gases e de líquidos 
têm procedimentos próprios que buscam, 
em última instância, obter amostras que 
sejam representativas de cada população 
envolvida. Em suma, qualquer que seja o 
esquema de amostragem, probabilístico ou 
não, deve-se sempre garantir que a amostra 
reflita as características da população da 
qual foi retirada. 
LEMBRE
Conforme discutido anteriormente, algumas 
pessoas acreditam que uma amostra 
representativa é necessária coletar dados 
de um percentual mínimo da população, 
digamos, 30% do total de indivíduos. Isso é 
absolutamente falso e, o que é pior, mesmo 
que fossem analisados tal percentual de 
indivíduos da população, não é o tamanho 
que garante representatividade da 
amostra, mas a forma com ela é obtida. É 
a imparcialidade do processo de seleção 
dos seus elementos e a homogeneidade 
da distribuição das características da 
amostra e da população que garantem a 
representatividade da amostra.
O PAPEL DAS VARIÁVEIS 
NUMA BASE DE DADOS: 
IDENTIFICAÇÃO, 
AUXILIARES, 
VARIÁVEIS 
EXPLICATIVAS E 
VARIÁVEL REPOSTA 
(DESFECHO)
O primeiro passo de qualquer processo 
estatístico é a coleta de dados. Portanto, 
tudo o mais será alicerçado sobre o que 
for coletado. Sendo assim, essa fase deve 
ser cuidadosamente planejada, já que da 
qualidade dos dados coletados dependerá 
toda a análise e a tomada de decisão 
subsequente. 
Antes da coleta de um dado, é importante 
entender o conceito de variável que está 
por trás da informação que você procura. 
A variável contém a informação que você 
quer analisar, sob a forma de uma medição 
sobre determinadas características dos 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
011
indivíduos estudados e das unidades de 
observação. 
E, por que esse conceito é tão importante? 
Porque, no im das contas, é a variável 
que é analisada e não a informação que 
ela contém. Por isso, é importante que 
você, antes de sair coletando informações, 
analise o seu questionário de coleta de 
dados, identiique cada variável envolvida 
e responda perguntas, tais como: O que 
exatamente a variável está medindo? Para 
que serve esta variável e, principalmente, 
é possível analisá-la? E com que método 
estatístico?
CONCEITO
Uma variável é a quantiicação de uma 
característica de interesse da pesquisa (SOARES 
e SIQUEIRA, 2002). Refere-se ao fenômeno a ser 
pesquisado. É o campo de variação de cada tipo 
de dado a ser pesquisado. Observe que, como o 
próprio nome diz, uma variável deve variar, ou seja, 
se você está coletando dados sobre características 
de alunos da disciplina Cálculo Diferencial, 
podemos pensar em inúmeras variáveis para a 
unidade de observação “aluno”: idade, sexo, curso, 
local do ensino médio, tempo entre inal do ensino 
médio e início da graduação, nota inal, percentual 
de presença às aulas etc. Entretanto, o tipo de 
disciplina não é uma variável nesse caso, pois ela é 
constante (Cálculo Diferencial). 
O grau de variabilidade de uma variável é 
chave no método estatístico e será foco 
de discussões nas próximas unidades. 
Entretanto, neste momento, é crucial que 
você entenda dois aspectos básicos de 
qualquer variável: o seu tipo e a sua função, 
o papel que ela exerce na base de dados. 
ATENÇÃO
Toda análise que será feita na base de dados 
dependerá do seu entendimento sobre o tipo e a 
função de cada variável coletada! 
Vejamos os tipos de funções de cada 
variável: 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
012
QUADRO 1 - O papel de uma variável numa base de dados.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Variáveis de 
identiicação e auxiliares
Variáveis explicativas
Variável desfecho
Servem para o rastreamento dos indivíduos e das unidades 
amostrais, ou são usadas na deinição de outras variáveis. Exemplos 
de variáveisde identiicação: CPF, nome, número de matrícula, 
número da amostra etc.
Exemplos de variáveis auxiliares: datas, peso e altura. 
Variáveis de identiicação e auxiliares não são analisadas, mas 
fazem parte da base de dados.
São aquelas que, por hipótese, podem influenciar, determinar ou 
afetar a variável resposta ou desfecho da pesquisa. São chamadas 
também de co-variáveis ou variáveis independentes. 
Para cada estudo existem variáveis explicativas próprias, deinidas 
por hipóteses da própria pesquisa ou conforme revisão da literatura. 
Em processos químicos, quando se busca entender os fatores que 
afetam o rendimento de uma reação química, são exemplos de 
variáveis explicativas a temperatura, a pressão, o tipo de catalisador 
e a concentração de reagentes. Se alguém pesquisar sobre as 
razões de algumas pessoas serem maiores que outras, as alturas 
do pai e da mãe, a origem étnica, a idade e o sexo são exemplos de 
variáveis explicativas. 
É aquela que queremos explicar, em função de ser influenciada, 
afetada por outros fatores (variáveis explicativas). Também 
denominada de variável dependente ou variável resposta. Sempre 
deina um ou mais desfechos para o estudo, conforme os objetivos 
da sua pesquisa. Por exemplo, numa pesquisa cujo objetivo é 
explicar porque imóveis de uma mesma região têm preços tão 
variados, o preço de venda seria uma variável resposta. Fatores 
como área, número de quatros, número e tipo de vaga de garagem, 
quantidade de suítes, presença de salão de festas ou piscina são 
algumas das possíveis variáveis explicativas para esse problema. 
TIPOS CARACTERÍSTICAS
A função de cada variável na base de dados, assim como o seu tipo, deinirá que tipo de análise 
será feita. Não subestime esses conceitos pois, sem eles, não há como entender os métodos 
de análise estatística que serão estuados nas próximas unidades. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
013
TIPOS DE 
VARIÁVEIS
Se considerarmos a maioria absoluta das 
variáveis envolvidas em experimentos 
de pequeno e médio porte nas áreas de 
Ciências Exatas e Engenharia, teremos 
duas situações para o tipo da variável.
I) Variável qualitativa ou categórica: é 
aquela que expressa características ou 
atributos de classificação, distribuídos 
em categorias mutuamente 
exclusivas de objetos ou entidades. 
Categorias mutuamente exclusivas ou 
mutuamente excludentes não podem 
ser observadas simultaneamente 
num mesmo indivíduo. Por exemplo, 
grupo sanguíneo (A, B, AB, O) é uma 
variável categórica mutuamente 
exclusiva: um indivíduo tem somente 
um grupo sanguíneo, não podendo 
ser classificado em mais de uma 
categoria ao mesmo tempo. Variáveis 
qualitativas têm um nível baixo de 
informação, sendo obtidas por um 
critério de classificação. Por exemplo, 
sexo (masculino, feminino), estado civil 
(com companheiro, sem companheiro), 
cor de um produto (branco, verde, 
amarelo, azul), tipo de transmissão 
de um carro (manual, automática), 
conformidade de qualidade de um 
produto (aceito, não aceito), dia 
chuvoso (sim, não), resultado final de 
um aluno numa disciplina (aprovado, 
reprovado) etc. 
A análise de uma variável categórica 
é muito restrita e simples: conta-
se quantas unidades amostrais ou 
resultados observados em cada 
categoria da variável e calcula-se o 
percentual de ocorrência de cada classe 
ou categoria. 
II) Variável quantitativa: é aquela obtida 
por meio de um processo de medição 
ou contagem. Por exemplo: peso, 
altura, dosagem e concentrações 
de produtos químicos e outros 
insumos, temperatura, pressão, 
altitude, umidade, largura, diâmetro, 
comprimento, voltagem, corrente, 
quantidade de chuva (mm), número 
de falhas, número de ligações 
telefônicas, número de mensagens 
eletrônicas, número de faltas de um 
aluno numa disciplina, nota final na 
disciplina, área, preço, etc. 
A variável quantitativa possui o mais 
alto nível de informação, sendo objeto de 
inúmeras técnicas de análise. Para cada 
variável quantitativa podemos calcular 
seu valor médio, mediano, modal, mínimo, 
máximo, seu desvio padrão, coeficiente 
de variação, intervalos específicos de 
variação e outras técnicas analíticas que 
serão descritas na próxima unidade. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
014
As variáveis quantitativas são chamadas 
também de numéricas, mas essa 
nomenclatura pode gerar confusão, 
pois o simples fato de alocar números 
aos resultados de uma variável não a 
torna quantitativa. Por exemplo, se os 
grupos sanguíneos fossem classificados 
em 1, 2, 3 e 4 (ao invés de A, B, AB e 
O), tal codificação não a tornaria uma 
variável quantitativa. Na verdade, para 
que uma variável seja quantitativa, 
deve ser possível aplicarmos operações 
aritméticas aos seus resultados. A 
capacidade de realizarmos, por exemplo, 
somas e subtrações “válidas” aos 
resultados de uma variável é um indicativo 
de que ela é quantitativa. Claro que a 
análise do seu processo de obtenção é 
mais importante: os resultados de uma 
variável quantitativa devem ser obtidos 
por medição ou contagem. Além disso, 
essas variáveis podem ser contínuas, 
quando representadas por números reais, 
ou discretas, quando representadas por 
números inteiros. 
Usualmente, se ela é obtida por 
medição, então é contínua. Caso seja 
obtida por meio de contagem, é uma 
variável discreta. Para efeitos práticos, 
não faremos distinção entre variáveis 
contínuas e discretas, o fundamental é 
entendê-las como quantitativas. 
Algumas variáveis originalmente de 
classificação. As notas obtidas por 
um aluno numa prova são tratadas 
como quantitativas, mesmo que não 
sejam obtidas por meio de um aparelho 
ou dosador. Nesse caso, a nota de 
uma prova é tratada como variável 
quantitativa porque considera-se válido 
aplicar operações aritméticas aos 
seus resultados. Entretanto, será que 
um aluno que obtém 80 pontos numa 
disciplina sabe o dobro que um aluno que 
obteve 40 pontos? Claro que não. Já uma 
pessoa de 100 Kg tem o dobro de peso 
de uma pessoa de 50 Kg. Outro exemplo, 
as temperaturas medidas em Graus 
Celsius são tratadas como variáveis 
quantitativas. Isso quer dizer que um dia 
com 40ºC tem o dobro de calor de um 
dia com 20ºC? Transforme os valores em 
Graus Celsius para Kelvin e compare o 
resultado.
Bom, os conceitos por trás dessa 
discussão envolve o nível de mensuração 
da variável (nominal, ordinal, intervalar 
e de razão) que será tratado a seguir. 
Para efeito prático, consideraremos 
somente duas categorias de variáveis: 
quantitativas versus categóricas. 
Conforme citado anteriormente, esses 
são os tipos de variável coletadas em 
problemas típicos de Ciências Exatas e 
de Engenharia. 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
015
USO DO EXCEL COMO 
UM SISTEMA DE 
GERENCIAMENTO DE 
DADOS E DOS 
FORMULÁRIOS 
DO GOOGLE DOCS 
PARA COLETA DE 
INFORMAÇÕES
Duas ferramentas essenciais para coleta 
de dados de experimentos de pequeno 
e médio porte na área de Ciências 
Exatas e Engenharia são o Excel, um dos 
componentes do pacote Ofice da Microsoft, 
e os Formulários do Google Docs <https://
docs.google.com/forms>. 
O Excel é uma planilha eletrônica com 
origens no Lotus 1-2-3 (GAZZARRRINI, 
2013). Ambas as ferramentas são 
extremamente práticas, de grande utilidade 
e serão discutidas por meio de vídeo aulas. 
Os formulários do Google Docs são ótimos 
para pesquisas envolvendo pessoas que 
têm endereço eletrônico (e-mails). Para 
usá-los você terá que obter uma lista com os 
nomes dos respondentes e os respectivos 
e-mails. Após construir o formulário de 
coleta de dados no Google Docs, você 
poderá enviá-lo usando o mecanismo de 
“mala direta”, da aba “correspondências” 
do Word, que também é parte do pacote 
Ofice da Microsoft. As respostas enviadas 
pelos respondentes são automaticamente 
armazenadas em planilha eletrônica, 
facilitando a coleta e a análise dos dados.É crucial que você domine o Excel como 
instrumento de coleta de dados e entenda 
perfeitamente o papel de cada variável a ser 
coletada. Identiicar variáveis explicativas 
e desfecho (s), distinguir entre variável 
quantitativa e categórica é uma questão 
relativamente simples, mas fundamental 
para as discussões que serão feitas nas 
próximas unidades. 
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
Considere o artigo “Utilização de efluente de 
frigoríico, tratado com macróita aquática, 
no cultivo de tilápia do Nilo”, de autoria de 
Adilson Reidel e outros pesquisadores da 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
(REIDEL et al.; 2005) disponível em: 
<http://www.agriambi.com.br/revista/
suplemento/index_arquivos/PDF/181.pdf>
Neste trabalho, os pesquisadores izeram 
um experimento em que, resumidamente, 
foram colocadas amostras aleatórias de 
alevinos (“ilhotes”) de tilápia em aquários 
com água potável (tratamento A) e em 
tanques com efluente de frigoríico após 
passar num sistema de iltro com aguapé 
https://docs.google.com/forms
https://docs.google.com/forms
http://www.agriambi.com.br/revista/suplemento/index_arquivos/PDF/181.pdf
http://www.agriambi.com.br/revista/suplemento/index_arquivos/PDF/181.pdf
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
016
(tratamento B), avaliando-se comparativamente o desenvolvimento e a sobrevivência dos 
peixes. A pergunta principal da pesquisa era: “É possível cultivar tilápias em efluente de 
frigoríico tratado com aguapé?” 
Nas tabelas 1 e 2 do artigo, são apresentados alguns resultados e um conjunto de variáveis 
envolvidas na pesquisa. 
TABELA 1 – Valores médios dos parâmetros físico-químicos 
determinados durante o cultivo da tilápia do Nilo (O. niloticus)
Fonte: REIDEL et al., 2005.
TABELA 2 – Valores médios de desempenho e sobrevivência de alevinos 
de tilápia do Nilo, cultivados com água potável e efluente tratado
Fonte: REIDEL et al.; 2005.
Esse é um exemplo prático da aplicação de conceitos discutidos na Unidade 1 em experimentos 
de pequeno e médio porte na área de Ciências Exatas e de Engenharia. O experimento é baseado 
em amostragem e analisa o impacto de variáveis explicativas em desfechos diretamente ligados 
ao objetivo do projeto: sobrevivência dos peixes, peso e biomassa inal no aquário. 
PARÂMETROS
VARIÁVEIS
TRATAMENTOS
Tratamento A Tratamento B Teste t-Student 
T calculado
A
média médiaO O
B
Temperatura média (ºC) 26,4 = 1,60 26,4 = 1,70
Oxigienio Dissolvido (mg L-1) 7,17 = 0,60 7,18 = 0,90
Condutividade Elétrica (uS cm-1) 227,48 = 36 1779,7 = 68
pH 8,44 = 0,12 7,40 = 0,35
Peso inicial (indivíduo) (g) 0,235 a 43,267 0,232 a 46,113 0
Biomassa inicial (aquário) (g) 1,172 a 2,426 1,160 a 1,901 0,001
Peso inal (indivíduo) (g) 1,391 a 42,269 1,054 a 45,582 0,028
Biomassa inal (aquário) 5,280 a 38,890 4,300 a 45,721 0,028
Sobrevivência (%) 75 a 80,467 80 a 25,819 0,08
Tratamentos: (A) controle (água potável + ração); (B) efluente tratado (efluente do sistema de 
iltro de aguapé + ração)
Médias seguidas da mesma letra, na linha, não diferem signiicadamente pelo teste t de Student ao nível 5% de signiicância
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
017
Nesse trabalho são usadas três variáveis 
resposta, uma categórica (“O peixe 
sobreviveu?” “sim ou não”) e dois desfechos 
quantitativos (peso inal e biomassa inal, 
medidos em gramas). Dentre as variáveis 
explicativas envolvidas, a mais importante, 
que está diretamente ligada ao objetivo da 
pesquisa é o tipo de tratamento (A versus 
B), uma variável categórica dicotômica. 
Muitas pessoas têm diiculdade em 
identiicar essa variável explicativa, apesar 
dela ser a mais importante na pesquisa. 
As outras variáveis explicativas são todas 
quantitativas e, como tal, foram obtidas 
por meio de um processo de medição, 
contagem ou dosagem: temperatura (ºC), 
oxigênio Dissolvido (mg L-1), condutividade 
Elétrica (μS cm-1), pH, peso inicial (g) e 
biomassa inicial (g). 
Nas tabelas apresentadas aparecem 
métricas (média, desvio padrão e valor de t 
de student) que são usadas na análise e na 
conclusão do projeto. Fique tranquilo, esses 
conceitos serão tratados nas próximas 
unidades! 
De qualquer forma, a conclusão da pesquisa 
para a pergunta “É possível cultivar tilápias 
em efluente de frigoríico tratado com 
aguapé?”, é: “Sim, é possível cultivar tilápias 
em efluente de frigoríico tratado com 
aguapé. Os dados não mostraram diferença 
signiicativa entre os dois tratamentos, 
tanto em relação ao desenvolvimento 
quanto à sobrevivência dos peixes”. 
O entendimento completo das razões 
para chegar a essa conclusão será obtido 
nas próximas unidades. Entretanto, neste 
momento, é fundamental que você já 
entenda conceitos referentes ao processo 
de amostragem/coleta de dados e, 
principalmente, que consiga diferenciar 
os tipos e as funções das variáveis numa 
pesquisa. 
REVISÃO
Vimos nessa unidade alguns dos principais 
tópicos introdutórios do campo da 
Estatística. Em resumo, estudamos sobre:
População, amostra, censo e amostragem: 
- Censo de toda a população não é viável, 
devido aos altos custos e/ou quando a 
pesquisa envolve ensaios destrutivos.
- Uma pequena, mas cuidadosamente 
escolhida amostra pode ser usada para 
representar a população.
- Os resultados observados numa amostra 
representativa poderão ser generalizados, 
sem risco de chegar a uma conclusão 
diferente daquela que seria obtida no caso 
de trabalhar com toda a população.
- A questão mais importante numa 
amostragem não é o tamanho da amostra, 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
unidade 1
018
mas como a amostra será obtida, pois o 
delineamento amostral mal feito invalida 
qualquer pesquisa.
Tipos de variáveis:
- Variável qualitativa ou categórica: é 
aquela que expressa características ou 
atributos de classiicação, distribuídos 
em categorias mutuamente exclusivas de 
objetos ou entidades.
- Variável quantitativa: é aquela obtida 
por meio de um processo de medição ou 
contagem.
Função das variáveis:
- Variáveis de identiicação e auxiliares: 
servem para o rastreamento dos 
indivíduos e das unidades amostrais 
ou são usadas na deinição de outras 
variáveis.
- Variáveis explicativas: são aquelas 
que, por hipótese, podem influenciar, 
determinar ou afetar a variável resposta 
ou desfecho da pesquisa.
- Variável desfecho: é aquela que queremos 
explicar, em função de ser influenciada e/
ou afetada por outros fatores (variáveis 
explicativas). Também denominada de 
variável dependente ou variável resposta. 
Aconselha-se sempre deinir um ou mais 
desfechos para o estudo, conforme os 
objetivos da sua pesquisa.
Ainda compreendemos que alguns sistemas 
computacionais são ferramentas essenciais 
para coleta de dados de experimentos de 
pequeno e médio porte na área de Ciências 
Exatas e da Engenharia. São eles: o Excel, 
um dos componentes do pacote Ofice da 
Microsoft, e os Formulários do Google Docs 
<https://docs.google.com/forms>.
PARA SABER 
MAIS
Para aprofundar sobre as questões discutidas 
nessa unidade, leia o Capítulo 1 do livro texto: 
LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria 
e aplicações usando Microsoft Excel em 
português, 3º edição ou superior: “Introdução e 
Coleta de Dados”, assim como o suplemento do 
capítulo 1 “Introdução à Utilização do Microsoft 
Excel”. w
https://docs.google.com/forms
2UNIDADE
unidade 2
020
ANÁLISE EXPLORATÓRIA 
DE DADOS
C
onforme citado na Unidade 1, se você usar técnicas de análise estatística, você poderá 
rapidamente se transformar num especialista em qualquer assunto, certo? Pois bem, 
como exemplo, que tal se tornar um especialista em reprovação em disciplinas básicas 
de cursos de Engenharia e Tecnologia? E você não precisará “repetir” nenhuma dessas disciplinas 
para ser um especialista em reprovação...! Esse é um problema bem conhecido, mas suas causas 
e fatores associados não! Uma hipótese é que durante o ensino fundamentale médio muitos 
alunos não conseguem adquirir habilidade em resolver problemas matemáticos. Essa deiciência 
então culmina nos cursos de Engenharia com altos índices de reprovação no ciclo básico. 
Disciplinas como Cálculo Diferencial, Geometria Analítica e Álgebra Linear (GAAL), Química Geral 
e Algoritmos (AEDS) podem ser verdadeiros “infernos” para alunos da área de Exatas. 
Considerando o problema geral “desempenho acadêmico em disciplinas de ciclo básico de 
cursos de Engenharia”, que tal analisar dados de amostra de alunos, buscando identiicar 
as características e possíveis fatores associados aos desfechos “conceito” (aprovado ou 
reprovado), “nota histórico” (0 a 100 pontos) e “abandonou a disciplina?” (sim ou não)?
Para resolver o problema acima, qual a primeira providência? Muitos podem pensar: “Preciso 
estudar melhor o assunto, fazer uma revisão da literatura sobre o problema. Em seguida, 
preciso planejar e executar a coleta dos dados”. Essa primeira etapa já foi feita e faz parte de 
projeto de iniciação cientíica do Centro Universitário de Belo Horizonte – UniBH, cujo título da 
pesquisa é “Fatores associados ao desempenho acadêmico de alunos em disciplinas do ciclo 
básico de cursos de Engenharia”. A pesquisa foi aprovada pelo Comitê de Ética em Pesquisa 
(CEP) do UniBH com o nº 920.308, em 17/12/2014 e os dados estão disponíveis para download 
unidade 2
021
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
no link: https://www.dropbox.com/sh/6bvsls6mi6kpqyv/AABy88F2iVFPyEc2ArIIZ2GNa?dl=0. 
Agora que você já tem acesso aos dados, qual o próximo passo para resolvermos o problema 
de reprovação e abandono em Cálculo, GAAL, Química Geral e AEDS? A primeira etapa de 
qualquer análise estatística, ou melhor, a fase preliminar da busca das informações agregadas 
a dados já coletados, é a análise exploratória dos mesmos. Como o próprio nome diz, a 
análise exploratória dos dados é o conjunto de ferramentas da Estatística Descritiva que têm 
como objetivo fazer uma síntese dos dados, organizando-os sob a forma de tabelas, gráicos 
e números. Portanto, para entendermos e resolvermos nosso problema de reprovação, 
precisamos estudar as ferramentas da Estatística Descritiva:
a) Síntese tabular: Resumo da análise por meio de tabelas;
b) Síntese numérica: Medidas de posição (média e mediana) e medidas de variabilidade (soma 
dos quadrados dos resíduos, variância, desvio padrão, coeiciente de variação);
c) Síntese gráica: Gráicos de pizza, barra, coluna, linha, séries históricas, histograma, gráico 
de Pareto, gráico misto, de coluna e de linha, diagrama de dispersão e box-plot. 
O objetivo desta unidade é promover o conhecimento fundamental que lhe permitirá entender 
dados coletados, transformando dados brutos em informações úteis!
SÍNTESE 
GRÁFICA DE DADOS
Uma igura vale mais que mil palavras! Isso é verdade, entretanto um gráico vale mais que mil 
palavras se e somente se ele for desenhado de forma clara, correta e concisa. Sempre desenhe 
gráicos a partir de seus dados, mas tente fazê-los de tal forma que a frase “basta olhar 
para entender” seja válida. Os gráicos mais úteis para análise de dados de experimentos de 
pequeno e médio porte na área de Ciências Exatas e Engenharia são: gráicos de pizza, barras, 
colunas, linha, séries históricas, histograma, gráico de Pareto, gráico misto, de coluna e de 
linha, diagrama de dispersão e box-plot (tabela 1). De todos esses, somente vejo sentido em 
construi-los “à mão” histogramas e diagramas de dispersão. Entretanto, na prática devemos 
construir gráicos usando ferramentas computacionais como o Excel. 
https://www.dropbox.com/sh/6bvsls6mi6kpqyv/AABy88F2iVFPyEc2ArIIZ2GNa?dl=0
unidade 2
022
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TABELA 3 - Gráicos mais úteis para análise de dados de experimentos 
de pequeno e médio porte na área de Ciências Exatas e Engenharia.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Pizza ou setor
Colunas (verticais)
Barras (horizontais)
Histograma
 
Gráicos de linha
 
Séries históricas
 
Gráico de Pareto
Gráico misto, de 
coluna e linhas
Diagrama de 
dispersão 
Box-plot
Uma
Uma
Uma
Uma
 
Duas
 
Duas
 
Uma
Duas
 
Duas
 
Uma ou mais
Categórica
Categórica
Categórica
Quantitativa, mas categorizada numa 
tabela de distribuição de frequências
Quantitativa no eixo vertical, e 
categórica no eixo horizontal
Quantitativa no eixo vertical, e 
o “tempo” no eixo horizontal
Categórica
Quantitativa no eixo vertical, e 
o “tempo” no eixo horizontal
Variável explicativa quantitativa no eixo horizontal, 
e desfecho quantitativo no eixo vertical
Quantitativa
TIPO DE GRÁFICO NÚMERO DE VARIÁVEIS 
ENVOLVIDAS
TIPO DE VARIÁVEL ANALISADA
Como fazer os gráicos? Siga regras e comentários abaixo e você terá sucesso ao desenhar 
gráicos:
 1. Um gráico deve conter um título, entretanto este não deve ser colocado no próprio 
gráico (como o Excel insiste em fazer...). Quando desenhamos um gráico usando o 
Excel, por exemplo, este será exportado para algum documento do Word ou para o 
PowerPoint, ou para outros editores de texto e apresentadores de slides. O título do 
gráico será então colocado no slide ou na descrição da igura no editor de textos, 
sendo desnecessário e errado colocá-lo no meio do próprio gráico. Mesmo em 
casos excepcionais, quando o gráico não é exportado para nenhum outro aplicativo, 
sendo impresso diretamente do Excel, o título não deve ser colocado no meio da 
igura. O título deve ser inserido no cabeçalho da planilha que contém o gráico.
 2. Ao escrever um relatório, comece pelas iguras. É impressionante, mas as pessoas leem 
artigos cientíicos, relatórios técnicos, jornais e revistas de “fofoca” da mesma forma: 
começamos pelas iguras! Por isso, o título de gráicos e tabelas deve ser o mais claro 
unidade 2
023
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
possível: toda informação necessária para o entendimento da igura deve estar no seu 
título. Essa é uma tendência das revistas cientíicas (Nature, Science, por exemplo) e 
tem um efeito colateral: o título da igura ica muito longo. Isso não é exatamente uma 
regra, mas recomendação. Se você quer que seu relatório seja lido, invista nos títulos de 
iguras e tabelas e sempre coloque respostas claras para pelo menos quatro perguntas: 
O que? Quem? Quando? Onde? A interpretação das informações no gráico também 
deve ser colocada como subtítulo da igura. Se necessário, coloque notas explicativas, 
usando siglas somente para coisas realmente conhecidas de quem lerá o seu texto (seu 
chefe ou o chefe do seu chefe...). Veja um exemplo de gráico de pizza na igura abaixo.
A maioria absoluta (58%) dos 760 artigos publicados nos volumes 298 a 301 da NEJM utilizou 
somente técnicas de Estatística Descritiva na análise dos dados. Praticamente um quarto 
dos artigos usou teste t de student e 15% aplicou teste de qui-quadrado nas tabelas de 
contingência, ferramentas que serão discutidas na Unidade 7 deste livro. 
 
Fonte: BAILAR & MOSTELLER,1992.
FIGURA 2 – Principais ferramentas estatísticas encontradas em 
artigos publicados no New England Journal of Medicine (NEJM).
 3. Caso o gráico tenha eixos (horizontal X e vertical Y), estes devem estar rotulados para 
entendimento. Os rótulos dos eixos devem conter as respectivas unidades de medida 
envolvidas (g, R$, kg, m/s, etc.). Esse é mais um ponto de erro do Excel! Além de não colocar 
os rótulos nos eixos, o Excel coloca o título no meio da igura e uma legenda que não tem a 
menor utilidade. Na verdade, as legendas somente devem ser colocadas se existirem mais de 
um grupo de dados na igura. Veja um exemplo correto de gráico de barras na igura abaixo. 
unidade 2
024
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 3 – Risco de reprovação em disciplinas de cursos de Engenharia 
e Tecnologia do Centro Universitário de Belo Horizonte – UniBH.
Análise de 21 disciplinas avaliadas em sete semestres (2011/1 a 2014/1), considerando amostra de 78.399 
alunos. Quatro disciplinas têm maisde 40% de seus alunos reprovados: Cálculo Diferencial, Geometria Analítica e 
Álgebra Linear, Cálculo de Várias Variáveis e Algoritmo e Estruturas de Dados. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor.
 4. Não existe regra ixa para a escolha da escala do gráico. Qualquer escala é boa 
desde que os valores no gráico não iquem muito espalhados nem muito juntos 
numa única região da igura.
 5. Sombreamento, efeitos 3D e pequenas iguras relacionadas com o tipo de dado 
usado no gráico, colocados para dar vida à igura: na maioria das vezes esses 
efeitos são inúteis, podendo até mesmo distorcer o gráico.
 6. A maioria dos gráicos apresenta o valor zero como ponto de início dos eixos, mas 
isso não é necessário se o ponto de início da escala é devidamente marcado na 
igura. Na verdade, as pessoas usualmente assumem que o valor zero está na base do 
gráico. Para os gráicos de linha isso não é problemático, entretanto, quando se tratar 
de gráicos de colunas ou de barras, o valor zero deve obrigatoriamente estar na base 
da coluna. Caso isso não seja feito, ocorre uma distorção do gráico levando a uma 
interpretação errada dos dados. Veja o exemplo abaixo. O primeiro gráico, como não 
começa no valor zero, está errado, ele “ilude o leitor”: a auditoria foi um sucesso?! 
unidade 2
025
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 4 – Exemplos de gráico de colunas: o valor 
zero deve obrigatoriamente ser incluído na igura.
Fonte: Elaborado pelo autor.
 7. Mais de uma curva ou linha pode ser desenhada em um único gráico com o objetivo 
de comparação. Entretanto, deve-se diferenciar claramente os dados de cada linha para 
que não haja erro de interpretação (use cores diferentes ou linhas pontilhadas ou mesmo 
símbolos). Linhas de grade, usualmente colocadas no gráico para auxiliar a leitura das 
escalas, devem ser discretas (na cor cinza, por exemplo) ou serem eliminadas.
FIGURA 5- Exemplo de gráico com legenda identiicando diferentes dados.
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 2
026
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
 8. Os gráicos devem ser desenhados no formato de paisagem, com a altura tendo 
aproximadamente ¾ da sua largura. Caso isso não seja feito, poderá haver distorção 
da igura e da própria informação, que ica comprometida: o primeiro gráico está 
correto, mas os outros estão na categoria “como mentir com estatística”...
FIGURA 6 – Formato dos gráicos: a igura deve ser desenhada em 
formato de paisagem, com a altura tendo aproximadamente 75% da largura.
Fonte: Elaborado pelo autor.
FIGURA 7 – Gráico distorcido: desenhando a igura com a altura muito pequena, em relação 
à largura, a informação é falseada e se tem a sensação de estabilidade dos dados.
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 2
027
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8 - Gráico distorcido: desenhando 
a igura com a altura muito grande, 
em relação à largura, a informação é 
falseada e se tem a sensação de redução 
dos dados ao longo do tempo
Fonte: Elaborado pelo autor.
 9. Gráicos de pizza, “o queridinho”: 
Apesar de muito “engraçadinhos”, 
estes gráicos são muitos confusos. 
Evite o seu uso, substituindo por 
gráicos de barra ou de colunas. 
É aceitável construi-los somente 
quando são poucos setores bem 
deinidos (até cinco pedaços). Evitar 
gráicos de pizza em 3D, com vários 
pedaços. Construi-los como na 
igura 2. 
 10. Diagrama de dispersão: Ferramenta 
que nos permite avaliar o efeito de 
uma variável explicativa quantitativa 
sobre um desfecho. Serve tanto para 
visualizarmos funções matemáticas 
teóricas (igura 9) quanto funções 
de relacionamentos empíricos já 
conhecidos (igura 10), mas a sua 
grande utilidade é quando tentamos 
estabelecer a associação entre 
duas variáveis quantitativas (igura 
11). A igura 9 é um diagrama de 
dispersão mostrando uma relação 
completamente teórica entre duas 
variáveis (x e y). Como é uma relação 
exata, somente é desenhada a linha 
que liga os pontos do gráico. Na 
igura 10 é desenhada uma relação 
empírica, no caso a lei de Abrams, 
que relaciona a resistência do 
concreto à compressão (R) com o 
fator água/cimento (fx) da seguinte 
forma: R = α/βfx. Nessa igura, α e 
β foram deinidos como 100 e 10 
respectivamente, de tal forma que 
a equação icou R = 100/10fx, fx 
variando de 0 a 3. Já a igura 11 
mostra o uso “nobre” dos diagramas 
de dispersão, quando tentamos 
explorar, criar e propor uma nova 
relação empírica entre duas variáveis 
quantitativas. Nesse exemplo, 
ao invés de aplicarmos a relação 
empírica de Abrams, usamos dados 
reais de fator fx de água/cimento 
e a resistência medida em 28 dias 
de uma amostra de concretos 
(desfecho). Ao inserirmos uma 
linha de tendência linear, estamos 
unidade 2
028
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 9 – Diagrama de dispersão sem os marcadores e com linhas contínuas mostrando a 
relação de x e sua função f(x) = 2x3 – cos(x+1) – 3. Nesse caso o diagrama está mostrando 
uma relação teórica exata, tal como aquela encontrada nas disciplinas de Cálculo Diferencial.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
FIGURA 10 – Diagrama de dispersão com marcadores e linhas contínuas mostrando 
a relação empírica da lei de Abrams que relaciona a resistência à compressão 
de concretos, medida em megapascal (MPa), e o fator água/cimento (fx), 
determinado pela razão do peso de água pelo peso em cimento do concreto.
sugerindo que, na faixa de variação medida de fx (entre 0,2 e 1,0), a resistência à compressão 
do concreto se relaciona com fx por meio de uma equação de reta. 
unidade 2
029
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 11 – Diagrama de dispersão somente com os marcadores e sem 
linhas contínuas mostrando uma possível relação linear entre resistência à 
compressão de concretos em 28 dias (MPa) e o fator água/cimento (fx).
Fonte: Elaborado pelo autor baseado nos dados em DAFICO, Dario de Araújo. Método Simples para Explicar a 
Resistência à Compressão do Concreto de Alto Desempenho. Disponível em: http://www2.ucg.br/nupenge/pdf/
Dario.pdf. Acesso em 14 maio 2015.
A igura 12 mostra possíveis padrões de relacionamento entre uma variável explicativa (X) 
e o desfecho (Y), ambos quantitativos. Sempre que construir um diagrama de dispersão, 
você deve interpretar o gráico gerado em um dos quatro padrões mostrados na igura 12. A) 
Correlação positiva: Em média, quando X aumenta, Y também aumenta, numa tendência em 
“linha reta”. Por exemplo, quanto maior a área de um imóvel, maior é o seu preço de venda. B) 
Correlação negativa: Em média, quando X aumenta, Y tende a diminuir. Por exemplo, quanto 
mais velho um imóvel, menor é o seu preço de venda. C) Associação curvilinear: Em média, 
quando X aumenta, Y também aumenta, mas não numa tendência em “linha reta”, e sim 
“em curva”. Isso pode ocorrer quando, por exemplo, a relação entre a variável resposta (Y) 
e a explicativa (X) for uma equação de segundo grau (parábola) ou cúbica, de grau três. D) 
Sem associação: Também é um padrão importante, pois indica que não há relação entre as 
duas variáveis associadas, que a variável explicativa, na verdade, não explica o desfecho! Por 
exemplo, frequentemente se observa que a idade do aluno não está associada à sua nota na 
maioria das disciplinas que ele cursa. 
http://www2.ucg.br/nupenge/pdf/Dario.pdf
http://www2.ucg.br/nupenge/pdf/Dario.pdf
unidade 2
030
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 12 – Padrões de relacionamentos entre variáveis avaliadas 
por meio de diagrama de dispersão: correlação positiva (A), correlação 
negativa (B), associação curvilinear (C) e ausência de associação (D).
Fonte: Elaborado pelo autor.
11. Histograma: A ideia deste gráico é categorizar uma variável quantitativa, dividindo-a 
em intervalos ou classes, contar quantos valores se encaixam em cada intervalo e 
construir um gráico de colunas com o resultado. Ao se interpretar um histograma, 
deve-se tentar responder às seguintes questões: Qual éa forma da distribuição dos 
dados? Existe um ponto central bem deinido? Como é a amplitude de variação dos 
dados? Existe apenas um pico isolado? A distribuição é simétrica? Os exemplos abaixo 
podem auxiliá-lo na interpretação de um histograma. Procure descobrir com qual 
destes oito tipos o seu histograma se parece.
Exemplo 1 - Histograma simétrico: A frequência de dados é mais alta no centro e decresce 
gradualmente à esquerda e à direita de forma aproximadamente simétrica, em forma de sino. 
unidade 2
031
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte: Elaborado pelo autor
Exemplo 2 - Histograma fortemente 
assimétrico: A frequência dos dados 
decresce rapidamente num dos lados e 
muito lentamente no outro, provocando uma 
assimetria na distribuição dos valores. A 
distribuição dos salários numa empresa é um 
exemplo comum de histograma assimétrico: 
muitas pessoas ganham pouco e poucas 
pessoas ganham muito (a). A situação (b), 
apesar de mais rara, também pode acontecer. 
Exemplo 3 - Histograma tipo despenhadeiro: 
O histograma termina abruptamente em 
um ou nos dois lados, dando a impressão 
de que faltam dados. Na verdade, essa 
possivelmente deve ser a explicação para 
histogramas com esse formato: os dados 
muito pequenos e/ou muito grandes foram 
eliminados da amostra. 
Exemplo 4 - Histograma com dois picos: 
Ocorrem picos na distribuição e a frequência 
é baixa entre os picos. Possivelmente, os 
dados se referem a uma mistura de valores 
de diferentes populações, devendo ser 
avaliados com cuidado. Se houve mistura 
dos dados, é melhor separá-los. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 2
032
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Exemplo 5 - Histograma tipo platô: As 
classes de valores centrais apresentam 
aproximadamente a mesma frequência. 
Essa situação também sugere mistura de 
valores de diferentes populações. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Exemplo 6 – Histograma com uma pequena 
ilha isolada: Alguns valores isolados têm 
frequência elevada, formando uma espécie 
de ilha. Também pode ter ocorrido uma 
mistura de dados. 
Exemplo 7 – Histograma tipo serrote: 
As frequências de valores se alternam 
formando vários dentes. Pode indicar algum 
problema na obtenção (leitura) dos dados. 
Vamos usar como exemplo de dados para 
a construção de um histograma notas de 
amostra de alunos em uma prova de Cálculo 
Diferencial (n=120):
unidade 2
033
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 13 – Dados brutos de notas de amostra de alunos em prova de 
Cálculo Diferencial. Centro Universitário de Belo Horizonte – UniBH, 2014/2.
Fonte: Elaborado pelo autor.
0 0 0 1 5 5 6 9 13 17 18 21
0 0 0 1 5 5 6 10 13 17 18 21
0 0 0 1 5 5 6 11 14 17 20 22
0 0 0 2 5 5 9 11 14 17 20 22
0 0 0 2 5 5 9 12 14 17 20 24
0 0 0 3 5 5 9 12 14 17 20 24
0 0 0 3 5 5 9 13 15 17 20 25
0 0 0 5 5 6 9 13 15 17 20 25
0 0 0 5 5 6 9 13 17 18 21 25
0 0 1 5 5 6 9 13 17 18 21 25
Passo 1 - Determinar valores mínimo, máximo e amplitude (R):
 mín = 0; máx = 25; R = máx – mín = 25 – 0 = 25
Passo 2 – Determinar quantas classes ou intervalos (k) serão usados para dividir os dados. O 
número de classes deve ser algo entre 5 a 20 subintervalos. Regra empírica: k ≈ √n e 
5 ≤ k ≤ 20 . No exemplo, n ≈ 120; k ≈ √120 ≈ 10.
Passo 3 – Determinar o tamanho de cada subintervalo (h). h ≈ 
R
 . No exemplo, h ≈ 
R 
≈ 
25
. ≈ 2,5 
Ou seja, no nosso exemplo, temos 120 valores que variam de 0 a 25 e vamos dividi-los em 10 
classes de tamanho 2,5.
Passo 4 - Contar a frequência de valores em cada classe. No exemplo, começando em zero 
(valor mínimo), teremos uma tabela de distribuição de frequências, base para construção do 
histograma, de 2,5 a 2,5 pontos cada subintervalo. Vamos veriicar na base de dados quantos 
valores se encaixam em cada classe. 
Observe na figura 14 o símbolo --|, ele indica que o valor à direita faz parte do intervalo, 
mas o valor à sua esquerda não! Ou seja, o intervalo 2,5 --| 5,0 implica em valores acima 
de 2,5 e menores ou iguais a 5,0. Por exemplo, alunos que tiraram 5,0 são contabilizados 
somente no segundo intervalo (2,5 --| 5,0), assim como aqueles que tiraram 7,5 pontos 
k k 10
unidade 2
034
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
entram somente na terceira classe (5,0 --| 7,5). Veja também o símbolo |--|, ele só pode 
ser usado no primeiro subintervalo e possibilita que incluamos o valor 0,0 na primeira 
classe (0,0 |--| 2,5). Se não fizéssemos isso, não teríamos onde colocar a frequência de 
valores iguais a zero. Eventualmente você poderá se deparar com tabelas construídas 
com o símbolo “invertido”, |--, que indica valores maiores ou iguais ao número colocado à 
esquerda e menores que o valor colocado à direita. Por exemplo, 30 |-- 40 implica valores 
maiores ou iguais a 30 e menores que 40. Usei a notação --| que é o padrão usado pelo 
Excel na construção de histogramas (figura 14). 
Lembre-se de que o total, a soma da coluna “Frequência”, deve ser exatamente o tamanho 
da amostra (n). Além da coluna de frequência absoluta, podemos calcular a frequência 
relativa ou percentual de cada classe (em relação ao total de valores) e a frequência 
acumulada ou percentual acumulado, útil para a construção de gráficos de Pareto (que 
será explicado mais à frente). 
FIGURA 14 – Tabela de distribuição de frequências das notas de amostra de alunos em 
prova de Cálculo Diferencial. Centro Universitário de Belo Horizonte – UniBH, 2014/2.
Fonte: Elaborado pelo autor.
0,0 |--| 2,5 35 29% 29%
2,5 --| 5,0 22 18% 48%
5,0 --| 7,5 6 5% 53%
7,7 --| 10,0 9 8% 60%
10,0 --| 12,5 4 3% 63%
12,5 --| 15,0 12 10% 73%
15,0 --| 17,5 10 8% 82%
17,5 --| 20,0 10 8% 90%
20,0 --| 22,5 6 5% 95%
22,5 --| 25,0 6 5% 100%
Total 120 100%
Uma
Uma
Uma
Uma
Uma
Uma ou mais
 NOTA FREQUÊNCIA PERCENTUAL PERCENTUAL ACUMULADO
unidade 2
035
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 15 – Histograma com a distribuição das notas na prova de Cálculo 
Diferencial: os dados mostram um padrão de distribuição assimétrico, 
semelhante àquele apresentado no histograma do exemplo 2.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
 12. Gráico de Pareto: Esta ferramenta é ótima para ajudar na deinição de prioridades, 
quando precisamos fazer um plano de ação para melhoria de qualidade de um 
serviço ou produto. Por exemplo, se um determinado problema ou defeito pode 
ocorrer de diversas formas, como escolher os tipos de defeito prioritários para serem 
corrigidos? A ideia do “efeito Pareto” é que 80% dos problemas estão associados 
a 20% dos problemas. Nem sempre esse efeito ocorre, mas esse é o objetivo do 
gráico de Pareto: veriicar quais itens ou problemas ocorrem com maior frequência 
num determinado cenário. Por exemplo, numa amostra de 400 defeitos de fabricação 
de uma peça mecânica, foram observados 16 tipos de defeito: rebarbas, diâmetro 
menor, diâmetro maior, sem usinagem, altura menor, trincas, altura maior, borda 
muito ina, enviesado, base maior que o topo, borda muito grossa, cor muito escura, 
estrutura pouco flexível, base menor que o topo, cor muito clara e estrutura frágil. Ao 
se construir um gráico de Pareto com os dados (igura 16), observa-se que a maioria 
absoluta (66%) dos defeitos se refere somente a três tipos: rebarbas (32%), diâmetro 
menor (21%) e diâmetro maior (13%). Ou seja, ao fazer um plano de ação para corrigir 
possíveis defeitos de fabricação dessa peça, “ignore” 13 defeitos e priorize suas 
ações em apenas esses três. Fazendo isso, 66% do problema estará corrigido!
unidade 2
036
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 16 – Gráico de Pareto com a frequência de defeitos de fabricação 
de uma peça mecânica: 66% dos defeitos são somente de três categorias prioritárias 
para um plano de ação para melhorar a qualidade do processo de fabricação 
(rebarbas, diâmetro menor e diâmetro maior).
Fonte: Elaborado pelo autor.13. Box-plot: Este gráico, também conhecido como diagrama em caixa ou “caixa e 
bigode”, informa sobre a distribuição dos dados. Somente se aplica a variáveis 
quantitativas (igura 17), informando o menor valor (pequena linha horizontal 
inferior) e valor máximo (pequena linha horizontal superior). A distância entre o 
valor mínimo e a aresta inferior da caixa cinza é a amplitude em que ocorrem os 
25% dos valores mais baixos. Este é conhecido como 1º quartil, sendo delimitado 
pelo percentil 25 dos dados. As duas caixas, cinza e vermelha, mostram onde 
estão 50% dos dados. A distância entre a aresta superior da caixa vermelha e a 
pequena linha horizontal superior, que equivale ao máximo dos dados, refere-se ao 
intervalo em que ocorrem 25% dos maiores valores da variável. A linha separando 
as duas caixas representa a mediana, que expressa o valor do meio se todos os 
dados fossem colocados em ordem. Assim como os histogramas, o box-plot nos 
informa sobre a maneira de distribuição dos dados, tendo a vantagem de permitir 
a visualização de grupos de dados (igura 18). Nessa igura, é apresentado um 
resumo comparativo da taxa de aprovação de oito disciplinas de ciclo básico de 
cursos de Engenharia. 
unidade 2
037
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 17 – Exemplo de box-plot para uma variável quantitativa genérica: quanto maior o 
tamanho das duas caixas, vermelho e cinza, maior a variabilidade e dispersão dos dados.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
FIGURA 18 – Box-plot com as taxas de aprovação de oito disciplinas de ciclo básico de 
cursos de Engenharia: Desenho e Estatística se destacam das outras disciplinas, que têm 
taxas de aprovação bem menores e mais heterogêneas. Cálculo Integral é a disciplina com 
menor taxa de aprovação e maior variabilidade dos dados.
unidade 2
038
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
SÍNTESE TABULAR 
DE DADOS
Na análise exploratória de dados, em última instância, todos os resultados são apresentados 
ou na forma de iguras ou de tabelas. Assim como nos gráicos, invista no título da tabela e 
sempre coloque respostas claras para pelo menos quatro perguntas: O que? Quem? Quando? 
Onde? Sugerimos que a interpretação das informações na tabela também seja colocada no 
próprio título. Se necessário, coloque notas explicativas, usando siglas somente para coisas 
realmente conhecidas. A tabela 4 é um exemplo de formato de tabelas, apresentando modelo 
para síntese de variáveis categóricas de uma base de dados. 
TABELA 4 – Análise exploratória de variáveis categóricas: a síntese de variáveis 
categóricas, sejam elas explicativas ou desfecho, resume-se a apresentar suas 
categorias, a frequência de valores em cada categoria e os respectivos percentuais.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Conceito Aprovado 2287 49%
 Reprovado 2386 51% 
Local do ensino médio Instituição privada 1509 32%
 Instituição pública 3164 68% 
Sexo Feminino 1948 42%
 Masculino 2725 58% 
Turno Manhã 1153 25%
 Noite 3520 75%
VARIÁVEL CATEGORIA FREQUÊNCIA PERCENTUAL
SÍNTESE NUMÉRICA 
DE DADOS
A síntese numérica de variáveis categóricas é muito simples, basta que você apresente suas 
categorias, a frequência de valores em cada categoria e os respectivos percentuais, tal como 
apresentado na tabela 3. Já a síntese de variáveis quantitativas é mais ampla e envolve 
resumir dois aspectos:
unidade 2
039
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
 1) um valor típico ou característico para a variável;
 2) uma medida do grau de variabilidade ou de dispersão dos dados. 
1. V alor típico ou medida de posição: O objetivo é encontrar o valor característico, aquele 
que melhor represente os dados. Vamos discutir aqui as duas possibilidades mais 
aplicadas a problemas de pequeno e médio porte na área de Ciências Exatas e 
Engenharia: a média ( X ) e a mediana ( Md ). A média é obtida pelo resultado da 
soma de todos os valores, dividido pelo total de dados ou tamanho da amostra (n). 
Matematicamente, a média é obtida por:
Já a mediana, é na verdade uma medida de ordem, indicando o valor “do meio”, aquele que 
“divide os dados em duas metades”:
Passo 1 – Colocar os dados em ordem crescente.
Passo 2 – Encontrar o “valor do meio”, isto é:
 se n, o tamanho da amostra, é ímpar, então Md é o valor central;
 se n é par, então Md é a média dos dois valores centrais.
Exemplo A (n=11), dados já ordenados:
{3; 4; 4; 5; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10}
Para a mediana, como são 11 valores (n é ímpar) e a metade de 11 é 5,5, então Md é o 6º 
valor, ou seja, o “valor do meio” (lembre-se de que os dados já estão ordenados):
 Md = 9
Exemplo B (n=18), dados já ordenados:
{17; 17; 20; 20; 20; 24; 26; 28; 30; 40; 50; 50; 50; 50; 50; 51; 51; 52}
X = ∑ Xi
n
i =1
n
unidade 2
040
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Para a mediana, como são 18 valores (n 
é par) e a metade de 18 é 9, então Md é a 
média entre o 9º e o 10º valor, ou seja:
 Md = 
30
 
+
 
40
 = 352
ATENÇÃO
Não se esqueça, para obter a mediana é 
necessário, antes de tudo, colocar os dados 
em ordem crescente. Não ordenar os dados é a 
principal fonte de erro no cálculo da mediana! 
Algumas pessoas se perguntam: “Quantas 
casas decimais devo apresentar no 
resultado?”. Quanto menos casas decimais 
você conseguir apresentar nos seus 
resultados, melhor para o entendimento 
da informação! Apresente seus resultados 
usando o mesmo número de casas decimais 
que os dados originais ou, no máximo, uma 
casa decimal além do original, como foi 
feito nos cálculos anteriores.
Outra questão é “Quando escolher entre 
média e mediana para melhor representar 
um conjunto de dados?” ou “Em que 
situações resumir uma variável quantitativa 
usando a média e quando a mediana é 
melhor para representar os dados?”. Para 
essa resposta, é preciso seguir uma regra 
prática:
• Se média e mediana forem 
semelhantes, então usar a média 
para representar os dados.
• Se média e mediana forem muito 
diferentes, então usar a mediana 
para representar os dados.
Além de se basear nas regras acima, que 
exigem uma interpretação caso a caso do 
que seja “média e mediana muito diferentes”, 
você poderá construir histogramas e, pelo 
padrão do gráico, escolher uma ou outra 
medida para representar os dados. Nos 
modelos de histograma colocados no 
tópico anterior, os exemplos 1 (simétrico), 
3 (despenhadeiro) e 5 (platô), a média 
é a melhor medida de posição. Já nos 
histogramas dos exemplos 2 (fortemente 
assimétrico) e 6 (ilha isolada), a mediana é 
a melhor medida de posição que caracteriza 
o conjunto de dados. 
2. Medida do grau de variabilidade ou 
de dispersão dos dados: O objetivo 
é quantiicar o quanto os dados são 
heterogêneos, são imprevisíveis, 
em suma, quantiicar o grau de 
variabilidade de uma variável 
quantitativa.
unidade 2
041
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
A princípio, podemos medir a variabilidade de um dado informando o seu valor mínimo (mín) e 
o valor máximo (máx), o que nos leva à sua amplitude (R): R = máx – mín. 
Entretanto, essa é uma forma muito “simplista”, pois envolve somente dois valores da variável, 
o mínimo e o máximo, ignorando todos os outros. Para uma medida mais adequada de 
variabilidade, uma forma é calcular a sua média ( X ) e, em seguida, calcular quanto os dados 
estão distantes da média, em média! Soa estranho, mas a ideia faz sentido. Por exemplo, seja 
uma amostra de n = 5 pessoas e seus respectivos números de ilhos: 
Pessoa A B C D E
Número de ilhos 0 1 1 2 3
Qual o número médio de ilhos?
Isso mesmo, essas pessoas têm, em média, 1,4 ilhos! Você deve estar se perguntado, “como 
assim... um e 0,4 ilho? Não existe 0,4 ilho!!” Não se preocupe, a média funciona como um 
modelo e, como tal, é uma aproximação da realidade. A média é o melhor valor representativo 
para esses dados e, caso seja necessário resumir toda a informação num único valor, ela 
deve ser usada para substituir o verdadeiro número de ilhos de cadapessoa. Bom, voltando 
à variabilidade, como calcular o quanto os dados estão distantes da média, em média? Para 
cada indivíduo, devemos subtrair o valor observado pela média, calculando um “resíduo”:
-1,4 -0,4 -0,4 +0,6 +1,6
Pessoa A B C D E
Número de ilhos 0 1 1 2 3
Resíduo 0-1,4 = 1-1,4 = 1-1,4 = 2-1,4 = 3-1,4 =
O resíduo mede a distância de cada valor em relação à média dos dados, ou seja, é uma 
medida de quanto os dados estão distantes da média. Para resumir os resíduos num único 
valor, o ideal é então calcular uma média dos resíduos, que refletiria o quanto os dados estão 
X =
 0 + 1 + 1 + 2 + 3
 = 
7 
 = 1,4.5 5
unidade 2
042
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
distantes da média, em média! Infelizmente, se izermos essa média, ela sempre dará zero, 
pois os resíduos negativos anulam os positivos, dando uma soma dos resíduos igual a zero. 
Para resolver esse problema, ao invés de simplesmente calcular os resíduos, devemos calcular 
o resíduo elevado ao quadrado:
-1,4 -0,4 -0,4 +0,6 +1,6
1,96 0,16 0,16 0,36 2,56
Pessoa A B C D E
Número de ilhos 0 1 1 2 3
Resíduo 0-1,4 = 1-1,4 = 1-1,4 = 2-1,4 = 3-1,4 =
Resíduo elevado (-1,4)2 = (-0,4)2 = (-1,4)2 = (+0,6)2 = (+1,6)2 =
ao quadrado
Se somarmos os resíduos elevados ao quadrado teremos a soma dos quadrados dos resíduos 
( ∑ ( Xi -X )2 ), uma métrica que aparece em várias outras análises estatísticas. Quanto maior 
a soma dos quadrados dos resíduos, maior a variabilidade dos dados! Para resumir essa 
métrica, calculamos a sua média, que é chamada de variância amostral ( s2 ):
n
i =1
s2 = ∑ ( Xi -X )2
n
i =1
n - 1
Nessas fórmulas, Xi representa cada um dos dados individuais, X é a média e n o tamanho da 
amostra ou total de dados. Observe que, no denominador, dividimos a soma dos quadrados 
dos resíduos por (n - 1) e não por ( n ). Isso é feito porque nossos dados foram obtidos por 
meio de amostragem e não por censo. Ou seja, sempre que tivermos dados amostrais, que é 
a situação mais comum, calcularemos a variância amostral dividindo a soma dos quadrados 
dos resíduos por (n - 1). Se tivermos acesso à população toda, ou melhor, se izermos um 
censo (o que é muito raro), então poderemos calcular a variância populacional (Ợ 
2
 ), dividindo 
a soma dos quadrados dos resíduos por (n):
n
Ợ 
2
 = ∑ ( Xi -X )2
n
i =1
unidade 2
043
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
É importante se lembrar dessa diferença, pois ela aparece nas calculadoras cientíicas e no 
Excel, que permite o cálculo tanto de s2 quanto de Ợ 
2
. Na prática (e na dúvida), sempre calcule 
a variância amostral (s2). 
Uma outra métrica de variabilidade é o desvio padrão amostral (s). Ele é a raiz quadrada da 
variância e tem uso mais difundido que sua “mãe” (s2), porque, ao tirarmos a raiz quadrada 
da variância, o resultado tem a mesma unidade de medida que a média e os dados originais. 
Assim, no exemplo anterior, do número de ilhos da amostra de n=5 pessoas, a variância 
amostral é:
O desvio padrão amostral é:
É muito comum, ao divulgarmos uma síntese de uma variável quantitativa, apresentarmos a 
sua média, seguida do seu desvio padrão no formato ( X = s ). Ou seja, no exemplo anterior, 
essas pessoas têm 1,4 = 1,1 ilhos. 
Cuidado, isso não signiica que os dados variem somente dentro do intervalo X = s , de 1,4 – 
1,1 = 0,3 até 1,4 + 1,1 = 2,5 ilhos! Essa é apenas uma forma usada para apresentar ambos os 
valores, de média ( X ) e desvio padrão (s). Na verdade, se os dados tiverem um histograma 
de forma simétrica, aproximadamente 95% dos dados ocorrerão dentro do intervalo deinido 
pela média mais ou menos dois desvios padrões ( X = 2s ), e 99,7% dentro da média mais ou 
menos três desvios padrões ( X = 3s ). Se não tivermos como avaliar a forma de distribuição 
dos dados, ou seja, se não soubermos o padrão do histograma dos dados, pelo menos 89% 
dos dados cairão no intervalo X = 3s .
Supondo que você já consiga calcular o desvio padrão ( s ) de um conjunto de dados, como 
interpretar o seu resultado? É fato que, quanto maior o desvio padrão, maior a variabilidade 
unidade 2
044
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
dos dados. Mas, o que é um desvio padrão grande? Essa resposta depende da magnitude da 
média ( X ), isto é, para sabermos se um desvio padrão é grande ou pequeno, vai depender do 
valor da média. Por exemplo, sejam os resultados das provas de um atleta, resumidos abaixo:
Tempo para correr 100 metros: X = 11,5 e s = 2,1 segundos;
Salto em altura: X = 2,2 e s = 0,8 e metros.
Em qual prova, salto em altura e tempo para 100 m, o atleta é mais heterogêneo, tem os 
resultados com maior variabilidade? Se você responder essa questão comparando os dois 
desvios padrões, estará cometendo dois erros: 
1º Não se pode comparar diferentes unidades de medida (s versus m);
2º Deve-se considerar a magnitude da média ao se avaliar um desvio padrão.
Então, como efetivamente obter o grau de variabilidade de uma variável? Isso é feito pelo 
coeiciente de variação (cv), uma relação percentual entre o desvio padrão e a média: 
cv = 
s
 x 100 (%). 
Além de ser uma medida adimensional, o que possibilita comparações entre diferentes 
variáveis, o CV pode ser interpretado de forma absoluta:
x
QUADRO 2 – Deinição e interpretação do grau de variabilidade de um conjunto de dados. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
CV <= 20% Dados com pouca variabilidade, bem comportados, homogêneos. A 
variável tem um comportamento bem previsível. 
20 < CV <= 30% Dados com variabilidade intermediária. 
CV > 30% Dados com muita variabilidade, heterogêneos. A variável tem um 
comportamento muito imprevisível. 
CV > 100% Neste caso, o desvio padrão é maior que a média. Dados com 
variabilidade extrema, muito heterogênea. A variável tem um 
comportamento caótico, completamente imprevisível. 
CV INTERPRETAÇÃO
unidade 2
045
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
No caso do atleta, teremos os seguintes valores de coeiciente de variação:
Tempo para correr 100 metros: cv = 
2,1
 x 100 = 19%;
Salto em altura: cv = 
0,8
 x 100 = 36%; 
Podemos dizer então que o atleta tem pouca variabilidade nos seus resultados da corrida de 
100 m e muita variabilidade nos saltos em altura. 
11,5
2,2
LEMBRE
Quando você izer uma análise exploratória de dados, lembre-se de corrigir os gráicos produzidos pelo 
Excel. Lembre-se também de colocar os títulos das tabelas e das iguras o mais informativo possível. 
E, ao calcular o desvio padrão, não se esqueça de considerar que você tem dados amostrais. Conira 
na sua calculadora e/ou no próprio Excel qual a fórmula que está sendo usada. Resuma os dados por 
meio de gráicos, números e tabelas. Esse é o primeiro e fundamental passo para entender os dados e 
o problema investigado.
A análise exploratória dos dados é o primeiro passo para que você se torne especialista na 
área investigada. Suas ferramentas de análise não produzem conclusões deinitivas sobre um 
problema, mas possibilitam que hipóteses sejam construídas de forma consistente. 
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
O artigo “Avaliação do impacto do Cálculo Zero no desempenho de alunos ingressantes de cursos de 
Engenharia”, apresentado em 2013 por COUTO e cols. no COBENGE - Congresso Brasileiro de Educação 
em Engenharia, teve como objetivo avaliar o impacto do “Cálculo Zero” no desempenho de alunos 
ingressantes em cursos de Engenharia e Ciência da Computação, tanto em termos da nota inal em 
Cálculo Diferencial e Geometria Analítica e Álgebra Linear (GAAL), quanto na chance de aprovação 
nessas disciplinas. As perguntas-chave do trabalho eram: O “Cálculo Zero” afeta de forma signiicativa 
o resultado dos alunos nas disciplinas obrigatórias de Cálculo Diferencial e GAAL? Vale a pena investirunidade 2
046
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
em projetos de “Cálculo Zero”? Quais são os fatores, as características que afetam o desempenho dos 
alunos nessas duas disciplinas?
Várias técnicas de análise exploratória de dados foram utilizadas no artigo. Por exemplo, usando um 
gráico de linhas, uma série temporal, mostrou-se no artigo a elevação no número de matrículas nas 
duas disciplinas-alvo do trabalho, Cálculo Diferencial e GAAL:
FIGURA 19 - Evolução do número de alunos matriculados e o percentual de aprovados 
em Cálculo Diferencial e GAAL. Entre o 2º semestre de 2009 e o 2º semestre de 2012, o 
percentual de aprovação em ambas as disciplinas apresentou elevação, principalmente em 
Cálculo Diferencial. O número de alunos matriculados nas disciplinas também aumentou de 
forma importante no período, principalmente após o 1º semestre de 2011.
Fonte: COUTO et al., 2013.
Um diagrama de dispersão foi construído mostrando claramente o efeito das faltas às aulas na nota 
inal de Cálculo Diferencial: 
unidade 2
047
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 20 – Gráico de dispersão considerando o percentual de faltas/ausências 
às aulas de Cálculo Diferencial e a nota inal do aluno nessa disciplina: análise 
considerando somente alunos em que foram registradas pelo menos uma falta 
às aulas durante o semestre. Há uma forte correlação negativa (r= -0,77) entre 
ausências às aulas e a nota inal do aluno: quanto mais faltas às aulas o aluno tiver, 
menor a sua nota inal em Cálculo Diferencial. IET/ UniBH, 1º semestre de 2011.
Fonte: COUTO et al., 2013.
Além de gráicos, tabelas com a síntese numérica dos dados coletados no estudo também foram 
apresentadas no artigo. O uso dessas ferramentas estatísticas de análise de dados mostrou de forma 
inequívoca que valia a pena implementar ações como o “Cálculo Zero”, pois o fato de se ofertar essa 
disciplina afetava o resultado dos alunos nas disciplinas obrigatórias de Cálculo Diferencial e GAAL. 
Esse é um exemplo real de como usar a análise exploratória dos dados e outras técnicas de 
Estatística e Probabilidades para se entender a fundo um problema, resolvendo-o e se tornando um 
especialista na área. 
Referência:
XLI CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, 2013. Avaliação do Impacto do Cálculo Zero no 
Desempenho de Alunos Ingressantes de Cursos de Engenharia. Paraná: FADEP, 2013. Disponível em: <http://www.
fadep.br/engenharia-eletrica/congresso/pdf/116280_1.pdf>. Acesso em 14 maio 2015.
http://www.fadep.br/engenharia-eletrica/congresso/pdf/116280_1.pdf
http://www.fadep.br/engenharia-eletrica/congresso/pdf/116280_1.pdf
unidade 2
048
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
REVISÃO
Vimos nesta unidade os principais tópicos 
da análise exploratória de dados, também 
denominada de Estatística Descritiva: 
Síntese gráica: Uma igura vale mais que 
mil palavras! Isso é verdade, entretanto 
um gráico vale mais que mil palavras se 
e somente se ele for desenhado de forma 
clara, correta e concisa. Sempre desenhe 
gráicos a partir de seus dados, mas tente 
fazê-los de tal forma que a frase “basta 
olhar para entender” seja válida. Os gráicos 
mais úteis para análise de dados de 
experimentos de pequeno e médio porte na 
área de Ciências Exatas e Engenharia são: 
gráicos de pizza, barras, colunas, linha, 
séries históricas, histograma, gráico de 
Pareto, gráico misto, de coluna e de linha, 
diagrama de dispersão e box-plot. Na 
prática devemos construir gráicos usando 
ferramentas computacionais como o Excel. 
Síntese tabular de dados: Na análise 
exploratória de dados, em última instância, 
todos os resultados são apresentados ou 
na forma de iguras ou de tabelas. Assim, 
invista no título da tabela e sempre coloque 
respostas claras para pelo menos quatro 
perguntas: O que? Quem? Quando? Onde? 
Também sugiro que a interpretação das 
informações na tabela seja colocada no 
próprio título. Se necessário, coloque notas 
explicativas, usando siglas somente para 
coisas realmente conhecidas. 
Síntese numérica: O resumo de uma 
variável categórica é muito simples, basta 
que você apresente suas categorias, a 
frequência de valores em cada categoria 
e os respectivos percentuais. Já a síntese 
de variáveis quantitativas é mais ampla e 
envolve resumir dois aspectos:
1) Um valor típico ou característico para a 
variável, que é deinido pela média ( X ) e 
pela mediana (Md). Se média e mediana 
forem semelhantes, então a média deve 
ser usada para representar os dados. 
Entretanto, caso haja discrepância muito 
grande entre média e mediana, então se 
deve usar a mediana para representar os 
dados;
2) Uma medida do grau de variabilidade ou 
de dispersão dos dados, calculada pelo 
desvio padrão amostral ( ) e o coeiciente 
de variação (CV). 
PARA SABER 
MAIS
Caso você deseje aprofundar sobre as questões 
discutidas nesta unidade, leia os capítulos 2 e 3 
do livro texto: LEVINE, David M. et al. Estatística: 
teoria e aplicações: usando Microsoft Excel em 
português. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, 
3UNIDADE
unidade 3
050
INTRODUÇÃO À 
TEORIA DE PROBABILIDADES
A 
origem da teoria das probabilidades é comumente associada à questões colocadas 
por MÉRÉ (1607-1684) a PASCAL (1623-1662). Todavia, existem autores que 
sustentam que o cálculo das probabilidades iniciou-se na Itália, com PACCIOLI 
(1445-1514), CARDANO (1501-1576), TARTAGLIA (1499-1557) e GALILEO (1564-1642), 
dentre outros. 
Contudo, foi ADOLPHE QUÉTELET (1796 – 1874) o pioneiro na tarefa de mensurar, ou seja, 
quantiicar uma pequena amostra do universo de interesse da investigação, almejando inferir 
sobre toda a população em estudo, baseando-se em análises probabilísticas e embasando-se 
em rigorosos métodos cientíicos.
A teoria das probabilidades, porém, só começa a fazer sentido nas engenharias por volta 
de 1930, quando surgem os primeiros trabalhos práticos destinados aos engenheiros. O 
primeiro foi executado pelo matemático WILLIAM GOSSET (1876 – 1937), com a aplicação das 
probabilidades no Controle de Qualidade em uma fábrica de Cervejas.
A teoria das probabilidades é uma importante área da estatística que possibilita ao proissional 
no mercado de trabalho calcular percentuais, trabalhar com estimativas e realizar predições 
em toda e qualquer área do conhecimento. No que tange às Engenharias, a probabilidade 
está presente no controle de processos de produtos e serviços, permitindo estimar o risco e o 
acaso de eventos futuros. Também é amplamente utilizada no que tange ao planejamento de 
novas técnicas e estratégias de produção e vendas, dentre outras. 
unidade 3
051
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Suponha que você é o engenheiro responsável pela qualidade na linha de produção de uma 
grande marca de bebidas. Sabe-se que não é possível “experimentar” todos os produtos 
antes de disponibilizá-lo ao mercado, pois ninguém compraria uma bebida já provada, e que 
o processo de fabricação é composto por etapas, por interferências dos funcionários, por 
equipamentos (que podem estar ou não muito bem regulados), e por uma série de outros 
fatores controláveis ou não, como até mesmo uma simples umidade excessiva no ambiente de 
fabricação devido ao período chuvoso. No entanto, você pode suspeitar que um determinado 
lote, devido à variabilidade inerente ao processo, apresente um percentual de itens não 
conformes maior que o permitido pelos órgãos iscalizadores.
A teoria das probabilidades vem auxiliá-lo nesse processo de tomada de decisão, permitindo 
inferir sobre a população em estudo, ou mesmo sobre eventos que ainda irão ocorrer, 
estimando as “chances” de sucesso do mesmo.
A TEORIA DAS 
PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades nasce na Idade Média com os tradicionais jogos de azar existentes 
na Corte. Jogos de cartas e dados, ou mesmo os lançamentos de moeda são classiicados 
como fenômenos que envolvem o acaso, assim como a maioria dos jogos esportivos. Uma 
aplicaçãodireta da teoria das probabilidades no campo das Engenharias é o processo de 
decisão, seja para aumentar o investimento ou cortar despesas, no qual o proissional do 
mercado de trabalho deve arriscar-se mantendo “os pés no chão”.
CONCEITO
Um dos principais conceitos matemáticos amplamente estudado no que diz respeito à teoria das 
probabilidades é o de conjunto. Um conjunto pode ser deinido como uma coleção de objetos, itens ou 
serviços que possuem característica (s) comum (s).
No contexto da teoria das probabilidades, o conjunto de todos os resultados possíveis a ser estudado 
em um experimento aleatório é denominado espaço amostral. 
Espaço Amostral (Ω) é qualquer conjunto de todos os possíveis resultados em um experimento aleatório.
unidade 3
052
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Sendo deinido como experimento todo e 
qualquer resultado que sugere a incerteza 
antes da observação, ou seja, fenômenos 
que, mesmo repetidos várias vezes sob 
condições semelhantes, apresentam resultados 
imprevisíveis (acaso). Os resultados dos 
experimentos são nomeados estatisticamente 
como eventos.
Um Evento Aleatório (E) é qualquer subconjunto 
de um espaço amostral.
O espaço amostral (Ω) é essencial na teoria 
das probabilidades por deinir o espaço 
de interesse da investigação, permitindo 
ao pesquisador de toda e qualquer área 
do conhecimento fazer inferências sobre 
o todo a partir da parte estudada. Pode 
ser deinido de acordo com o evento de 
interesse da investigação, podendo ser 
caracterizado por: (1) o mesmo evento 
repetidas vezes; ou (2) eventos distintos; ou 
(3) eventos aleatórios. 
Se tivermos o mesmo evento repetidas 
vezes, como no lançamento de um 
dado ou de uma moeda, ou mesmo nas 
possibilidades de ilhos de um casal, ou 
de peças defeituosas em uma linha de 
produção, o espaço amostral (Ω) é dado 
pelas possibilidades do evento elevado 
ao número de repetições realizadas, por 
exemplo:
No lançamento de uma moeda três vezes, 
temos duas possibilidades (cara ou coroa) 
em cada lançamento, portanto o espaço 
amostral (Ω) é dado por:
Ω = ( possibilidades )(repetições)= 23 = 8
Se tivermos eventos distintos, como no 
lançamento de um dado e uma moeda, o 
espaço amostral (Ω) é dado pelo produto 
da quantidade de possibilidades de cada 
evento, como:
No lançamento de uma moeda e um dado, 
temos duas possibilidades da moeda (cara 
ou coroa) e seis possibilidades do dado 
(os números inteiros de 1 a 6). Portanto, o 
espaço amostral (Ω) é dado por:
Ω = ( possibilidades ) . ( possibilidades ) = 
2.6 = 12
Se tivermos eventos aleatórios, como o 
número de funcionários ausentes em um 
dia de trabalho de uma determinada linha 
de produção, ou mesmo o número de 
caminhões presentes em uma determinada 
rota, não há um modelo matemático que 
simpliique a mensuração dos elementos 
que compõem esse espaço amostral. 
É preciso “apelar” para o princípio 
fundamental da contagem, ou seja, o 
serviço “braçal”.
Os eventos que compõem o espaço 
amostral podem ser classiicados de acordo 
unidade 3
053
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
com a sua ocorrência. Os eventos nos quais 
cada elemento do banco de dados pode 
ocorrer com a mesma probabilidade são 
chamados de eventos equiprováveis.
Eventos Equiprováveis são aqueles cujos 
todos os elementos do banco de dados 
têm a mesma probabilidade de ocorrência.
Os eventos são classificados como 
mutuamente exclusivos, se eles não 
puderem ocorrer simultaneamente, ou 
seja, A ∩ B= Ø.
Se E = Ω, E é chamado de evento certo.
Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.
PROBABILIDADE 
CLÁSSICA E 
PROBABILIDADE 
FREQUENTISTA
A probabilidade de realização de um evento 
A é dada pelo quociente entre o número de 
ocorrências de A pelo número de eventos 
possíveis, ou seja:
P ( A ) = 
número de orcorrências de A
A probabilidade pode ser resumida como 
o quociente do que se “quer” pelo que se 
“tem”. Na qual primeiro determina-se o que 
é possível “ter” e depois retira o que se “quer 
do que se tem”, não podendo “querer mais 
espaço amostral (Ω)
Probabilidade = Quer
Tem
20 passo
10 passo
Existem duas restrições à aplicação da 
deinição da probabilidade clássica: (1) 
todos os eventos possíveis devem ter a 
mesma probabilidade de ocorrência, ou 
seja, os eventos devem ser equiprováveis e 
(2) deve-se ter um número inito de eventos 
possíveis.
LEIS BÁSICAS DE 
PROBABILIDADES
Para qualquer evento E de um espaço 
amostral Ω : 0 ≤ P ( E ) ≤ 1;
P ( Ω ) = 1;
P ( Ac ) = 1 - P ( A ), sendo Ac o evento 
complementar ao evento A;
LEMBRE
As operações com os eventos utilizam as 
mesmas propriedades matemáticas, ou seja:
do que tem”, ou seja:
unidade 3
054
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
QUADRO 3 – Leis Matemáticas
Fonte: Elaborado pelo autor.
Associatividade 
Comutatividade
 
Distributividade
 
Absorção
 
Modulares
 
 
Leis de De Morgan
 
Dupla negação
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) 
( A U B ) U C = A U ( B U C )
A ∩ B = B ∩ A 
A U B = B U A
( A ∩ B ) U C = ( A U C ) ∩ ( B U C ) 
( A U B ) ∩ C = ( A ∩ C ) U ( B ∩ C )
A C B → A ∩ B = A 
A C B → A ∩ B = B 
A ฀Ω = A 
A ฀Ω = Ω 
A ฀Ø = Ø 
A Ø = A
A ∩ B = A U B 
A U B = A ∩ B 
A = A
PROPRIEDADE DESCRIÇÃO MATEMÁTICA
UNIÃO E INTERSEÇÃO 
DE EVENTOS
A união de dois eventos A e B, indicada por A U B, é o evento que contém todos os elementos 
de A e todos os elementos de B.
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ฀ B )
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ), se A e B são mutuamente exclusivos;
A interseção de dois eventos A e B, indicada por A฀B, é o evento que contém todos os elementos 
comuns a A e B.
P(A Ç B) = P(B). P(A | B)
unidade 3
055
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Sendo P ( A | B ), a probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de A ocorrer sabendo 
que o evento B ocorreu.
TABELA 12 – Tipo Sanguíneo
Fonte: Elaborado pela autora.
A probabilidade de o doador ter tipo sanguíneo O ou A é dada por:
184 + 164 = 0,8508
A probabilidade de o doador ter tipo sanguíneo B ou ser Rh negativo é dada por:
45 + 65 - 8 = 0,2494
409
409
CONCEITO
Dois ou mais eventos podem ser classiicados como mutuamente exclusivos quando a realização de um 
exclui a realização do (s) outro (s). No lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar 
coroa" são mutuamente exclusivos, já que a realização de um deles implica, necessariamente, na não 
realização do outro.
Portanto, em eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à 
soma das probabilidades de que cada um deles se realize.
Positivo
Negativo
Total
156
28
184
139
25
164
37
8
45
12
4
16
344
65
409
O A B AB TOTAL
TIPO SANGUÍNEO
unidade 3
056
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
DICAS
Eventos mutuamente exclusivos não é a mesma 
coisa de eventos independentes. O primeiro é 
utilizado quando apenas um dos eventos pode 
ocorrer, excluindo qualquer probabilidade de 
ocorrência do outro. Já o segundo é utilizado 
quando a ocorrência de um dos eventos não 
afeta a ocorrência do outro.
Exemplo: Um grupo de alunos que usa óculos 
é independente do número de alunos do sexo 
masculino em sala de aula, mas não são eventos 
mutuamente exclusivos, pois é possível ter 
alunos do sexo masculino em sala de aula que 
usam óculos.
TABELAS DE 
CONTINGÊNCIA
As tabelas de contingência são aplicadas na 
avaliação do relacionamento das categorias 
com respeito aos grupos segundo dois 
modos: independência ou homogeneidade. 
Ou seja, eventos com dupla entrada.
A aplicação de tabela de contingência 
dois por dois é dada quando n elementos, 
selecionados aleatoriamente de uma 
população, são classiicados em duas 
categorias. Depois dos elementos serem 
classiicados, um tratamento é aplicado 
e alguns são examinados novamente e 
classiicados nas duas categorias. O que 
se almeja saber é: o tratamento alterou 
signiicativamente a proporção de objetos 
em cada uma das duascategorias? 
EXEMPLO
Em relação à pratica apresentada no início 
dessa unidade, suponha que em uma amostra 
de 2000 produtos disponibilizados ao mercado, 
sejam 800 refrigerantes e 1200 cervejas, dos 
quais 5 e 10 apresentaram algum tipo de 
defeito, respectivamente, seja no rótulo da 
embalagem, no volume líquido ou qualquer 
outro tipo de avaria. A tabela 1 apresenta uma 
tabela de contingência para melhor visualizar 
esses dados.
unidade 3
057
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TABELA 13 - Produtos Disponibilizados
Fonte: Elaborado pela autora.
Bom
Defeito
Total
1985
15
2000
795
5
800
1190
10
1200
CERVEJA REFRIGERANTE TOTAL
A partir dessa tabela, é possível estimar que a probabilidade dessa empresa disponibilizar um 
produto (dentre cervejas e/ou refrigerantes) no mercado com algum tipo de defeito é dada por:
P (defeito) = 15 = 0,0075
Portanto, apenas 0,75% dos produtos disponibilizados por essa empresa apresentam algum 
tipo de defeito.
2000
IMPORTANTE
A tabela de contingência é um processo de organizar a informação correspondente a dados dicotômicos. 
De uma maneira geral, uma tabela de contingência é uma representação dos dados, quer de tipo 
qualitativo, quer de tipo quantitativo, especialmente quando são de tipo bivariado, isto é, podem ser 
classiicados segundo dois critérios.
EVENTOS 
INDEPENDENTES
Um ou mais eventos pode (m) ser classiicado (s) como independente (s) quando a realização 
de um dos eventos não afeta a probabilidade de ocorrência do outro, e vice-versa.
Quando dois eventos são independentes, P ( A ฀ B ) = P ( A ) . P ( B ).
unidade 3
058
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
EXEMPLO
Nota na prova e ter feito a prova de chinelo;
O valor de venda de um produto e a cor do cabelo das funcionárias que o fabricaram.
TEOREMA 
DE BAYES
A probabilidade condicional, ou seja, as chances de um evento A ocorrer, dado que outro 
evento B ocorreu, é dada por:
P ( A | B ) = 
P ( A ฀ B )
 
para P ( B ) > 0.
O teorema de Bayes propõe que, se os eventos E
1
,E2,…,E
n
 são partições do espaço 
amostral Ω, então:
P ( E
i
 | B ) = 
P ( B | E
i
 ) . P ( E
i
 )
Recorrendo à lei de probabilidade total, é possível inferir que:
P ( Ei | B ) =
 ( P ( B | Ei ) . P ( Ei ) 
P ( B ) 
P ( B )
∑ P ( B | Ej ) 
CONCEITO
Seja B
1
, B
2
, …, B
n
 um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o espaço amostral Ω. 
Seja E outro evento no mesmo espaço amostral Ω, tal que P ( E ) > 0, então:
P ( E ) = P ( E | B
1 
) + P ( E | B
2 
) + P ( E | B
3 
) + ...฀+ P ( E | B
n 
)
P ( E ) = P ( B
1 
) . P ( E | B
1 
) + P ( B
2 
) P ( E | B
2 
) + P ( B
3 
) P ( E | B
3 
) + ...฀+ P( B
n 
) P ( E | B
n 
)
unidade 3
059
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Portanto, 
P ( E ) = ∑ P ( B
i 
) . P ( E | B
i 
)
EXEMPLO
Numa sala de aula, sabe-se que 10% dos 
homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80 m. 
A sala tem 70% de mulheres e 30% de homens. 
Um estudante foi escolhido aleatoriamente, e 
constatou-se que tem mais de 1,80 m. Qual a 
probabilidade de que seja homem?
0,10 . 0,70 = 0,9211
0,10.0,70+0,02.0,30
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
A teoria das probabilidades pode auxiliar 
facilmente a resolver o problema proposto no 
início dessa unidade. Vejamos:
“Suponha que você é o engenheiro responsável 
pela qualidade na linha de produção de uma 
grande marca de bebidas. Está ciente de que 
não é possível “experimentar” todos os produtos 
antes de disponibilizá-lo ao mercado, pois 
ninguém compraria uma bebida já provada, e 
que o processo de fabricação é composto por 
etapas, por interferências dos funcionários, por 
equipamentos (que podem estar ou não muito 
bem regulados), e por uma série de outros 
fatores controláveis ou não, como até mesmo 
uma simples umidade excessiva no ambiente 
de fabricação devido ao período chuvoso. Você 
pode suspeitar que um determinado lote, devido 
à variabilidade inerente ao processo, apresente 
um percentual de itens não conformes maior que 
o permitido pelos órgãos iscalizadores? ”
Se a empresa aqui citada produzir dois lotes 
com duas mil unidades em cada por semana, 
distribuídas entre 1000 cervejas, 600 refrigerantes 
e 400 sucos por lote, com aproximadamente 
0,2, 0,1 e 0,15 por cento de itens defeituosos, 
respectivamente, podemos utilizar a teoria das 
probabilidades para responder questões como:
 a) Qual o percentual de refrigerantes 
distribuídos semanalmente?
 b) Qual a probabilidade do consumidor 
adquirir um suco?
 c) Dentre as cervejas, qual a 
probabilidade do consumidor adquirir 
uma cerveja com defeito?
 d) Dentre os sucos, qual a probabilidade 
do consumidor adquirir um suco sem 
defeito do primeiro lote?
 e) Sabendo que foi adquirido um produto 
com defeito, qual a probabilidade de 
ser um suco?
Para responder essas questões, utilizamos a 
probabilidade clássica para responder o item (a); 
a união de probabilidades para responder o item 
(b); a probabilidade condicional para responder o 
unidade 3
060
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
item (c); e o teorema de Bayes para responder o item (d). Ou seja:
 a) P (refrigerante ) = 1200 =0,30 = 30%
 b) P (suco) = 400 + 400 = 0,40 = 40%
Observe que, neste caso, tanto faz se o consumidor adquirir um suco do primeiro lote ou do segundo 
lote, independente da ordem de ocorrência do evento.
 c) P ( defeito฀cerveja ) = P (cerveja com defeito ) = 0,2.1000 + 0,2 * 1000 = 
400 
 = 0,20
 d) P ( suco sem defeito do primeiro lote | suco ) =
4000
2000
P ( cerveja ) 1000 + 1000 2000
2000
0,5.0,2.0,85+0,5.0,2.0,85
= 0,5. 0,2 . 0,85 = 0,0850 = 0,5
0,1700
unidade 3
061
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
	 P	(	suco	com	defeito	│defeito	)	=
= 2. (0,5 . 0,2 . 0,15 ) = 0,0150 = 0,1875
0,08002. ( 0,5 . 0,2 . 0,15 + 0,5 .0,3 .0,1 + 0,5 .0,5 .0,2
REVISÃO
A teoria das probabilidades é utilizada em todas as áreas do conhecimento. Ela visa auxiliar 
o proissional no mercado de trabalho a predizer valores futuros, estimando as “chances” de 
ocorrência de um evento antes que ele ocorra.
Para calcular a probabilidade, basta dividir o que se “quer” pelo que se “tem”, ou seja:
Probabilidade = Quer
Tem
20 passo
10 passo
Sendo imprescindível, primeiro, deinir o que se “tem” para somente depois retirar do que se 
“tem” o que se “quer”.
Quando a ocorrência de um evento não afeta a realização ou não de um outro evento, eles são 
classiicados como eventos independentes.
O Teorema de Bayes é aplicado em situações cuja a probabilidade de ocorrência de um evento 
está vinculada às chances de sucesso de um outro evento.
unidade 3
062
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
PARA SABER 
MAIS
Filmes
A Probabilidade Estatística do Amor Á Primeira 
Vista (Adaptado)
Jennifer E. Smith
Com uma certa atmosfera de 'Um dia', mas voltado 
para o público jovem adulto, a probabilidade 
estatística do amor à primeira vista é uma 
história romântica, capaz de conquistar fãs de 
todas as idades. Quem imaginaria que quatro 
minutos poderiam mudar a vida de alguém? 
Mas é exatamente o que acontece com Hadley. 
Presa no aeroporto em Nova York, esperando 
outro voo depois de perder o seu, ela conhece 
Oliver. Um britânico fofo, que se senta a seu lado 
na viagem para Londres. Enquanto conversam 
sobre tudo, eles provam que o tempo é, sim, 
muito, muito relativo. Passada em apenas 24 
horas, a história de Oliver e Hadley mostra que 
o amor, diferentemente das bagagens, jamais se 
extravia.
 
SMITH, Jennifer E. A Probabilidade Estatística do 
Amor à Primeira Vista. Rio de Janeiro: Galera Record, 
2013
Quebrando a banca (Adaptado).
Ben Campbell (Jim Sturgess) é um brilhante 
estudante do M.I.T. (Instituto Tecnológico de 
Massachusetts). O seu único problema é não ter 
dinheiro para pagar as contas escolares, mas 
a solução está onde ele menos esperava: nas 
cartas. Ele é recrutado para integrar o grupodos 
mais talentosos estudantes da escola, que todos 
os ins-de-semana vão a Las Vegas, com falsas 
identidades e com as suas mentes brilhantes, 
são capazes de aumentar em grande escala as 
probabilidades de ganhar no blackjack.
Além disto, ainda contam com o professor 
de matemática (e gênio da estatística) Micky 
Rosa (Kevin Spacey) como líder. A contagem 
das cartas e um, muito bem deinido esquemas 
de sinais, que permitem à equipa vencer nos 
grandes cassinos. Seduzido pelo dinheiro e pelo 
estilo de vida de Vegas, e pela sua inteligente 
e sexy amiga Jill Taylor (Kate Bosworth), Ben 
começa a ir até ao limite.
Apesar da contagem da carta não ser ilegal, 
o risco é cada vez mais elevado e o grande 
desaio prende-se agora com, não só manter 
a contagem correta, mas também enganar o 
chefe de segurança dos casinos: Cole Williams 
(Laurence Fishburne).
 
 
Quebrando a Banca. Direção: Robert Luketic. 
EUA: Sony Pictures, 2008. (123 min), son., color., 
legendado. 
4UNIDADE
unidade 4
064
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
A
ssim como a Matemática, também a Estatística apresenta funções que norteiam 
o comportamento de suas variáveis, como as retas, parábolas e hipérboles. 
Na Estatística temos os modelos probabilísticos. Esses modelos são funções 
paramétricas que descrevem o comportamento de uma variável em estudo.
unidade 4
065
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS
O estudo das variáveis aleatórias é de suma 
importância nas engenharias ou mesmo 
em qualquer outra área do conhecimento 
técnico e cientíico. Isso porque, nem 
sempre, os dados que compõem o estudo 
estatístico são números, sendo necessário 
descobrir um meio de transformá-los em 
números, a partir de uma função chamada 
de ‘variável aleatória’, visando facilitar a 
estimativa das medidas estatísticas.
CONCEITO
Probabilidade
Seja um experimento aleatório qualquer 
de um espaço amostral Ω e um espaço de 
probabilidades P. Então a variável aleatória X 
no espaço de probabilidade é uma função real 
deinida no espaço amostral Ω, tal que ( X ≤ x ) é 
um evento aleatório para qualquer x real.
As variáveis aleatórias podem ser 
classiicadas como contínuas ou discretas, 
de acordo com o domínio da variável 
abordada no estudo. São classiicadas 
como variáveis discretas as funções para as 
quais é possível associar um único número 
real a cada evento de uma partição do 
espaço amostral Ω. Portanto são variáveis 
que resultam de processos aleatórios nos 
quais os resultados possíveis são casuais e 
formam um conjunto enumerável.
São classiicadas como variáveis contínuas 
as funções para as quais é possível associar 
ininitos valores a um intervalo ( a, b ), sendo 
que para valores que não pertencem ao 
intervalo no qual se limita o experimento, a 
probabilidade de ocorrência é zero.
VARIÁVEIS 
DISCRETAS
É função P ( x ) aquela nas quais se 
associam probabilidades aos valores da 
variável aleatória X abordada no estudo 
estatístico. Ou seja, quando uma variável 
aleatória X assume os valores x
1
,x
2
,x3,…,xn 
com as respectivas probabilidades p ( x
1 
), 
p ( x
2 
), p ( x3 ) ,…, p ( xn ) deinidas por uma P 
( X ), na qual a soma de todas as possíveis 
probabilidades é igual a um, conforme 
apresentado na tabela 14, ou seja:
unidade 4
066
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TABELA 14 - Distribuição de probabilidades discretas
 
Fonte: Elaborado pelo autor.
 X x
1
 x
2
 x3 ... xn
 P (X) p ( x
1 
) p ( x
2 
) p ( x3 ) ... p ( xn )
Para uma distribuição discreta de probabilidades, é possível deinir a função acumulada 
indicada por F ( x ) = P ( X ≤ x
i 
), ou seja, a probabilidade da variável aleatória assumir valores 
menores ou iguais a x
i
. 
O valor esperado, indicado por E ( x ) = μ, é a esperança matemática de uma variável aleatória 
discreta X que assume os valores x
1
, x
2
, x3, …, xn com as respectivas probabilidades p ( x1 ), p ( x2 ), 
p ( x3 ),…, p ( xn ) deinidas por uma P ( Xn ), ou seja, é igual ao valor médio da variável:
E ( x ) = x
1
 . p ( x
1
 ) + x
2
. p ( x
2
 ) + x3 .p ( x3 )+...+ xn. p (xn)
E (x) = ∑ xi . p ( xi )
n
i =1
DICAS
O valor esperado, indicado por E (x) = μ, é a média de uma variável discreta.
A variância, ou seja, a medida estatística que concentra as probabilidades em torno da média 
é indicada por Var ( x ) ou σ2 e dada por:
Var ( x ) = E ( x2 ) - [ E ( x ) ] 2
sendo E ( x ) o valor esperado, e E (x2 ) dada por:
E ( x2 ) = x
1
2 . p ( x
1 
) + x
2
2. p ( x2 ) + x3
2 . p ( x3 ) + ... + xn
2 . p ( x
n 
)
E ( x2 ) = ∑ xi
2
 . p ( xi )
n
i =1
unidade 4
067
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
DICAS
O desvio padrão indicado por DP ( x ) = σ é a raiz da variância, ou seja:
DP ( x ) = √Var ( x )
Para uma variável aleatória n-dimensional (também chamada de vetor aleatório), com n=2, 
denota-se por ( X,Y ) o vetor aleatório, sendo:
TABELA 15 - Distribuição discreta
Fonte: Elaborado pelo autor.
Valores associados 
à variável Y
P ( X )
Probabilidade conjunta
P ( X, Y )
Probabilidade marginal de X
Probabilidade 
marginal de Y
1
X
Y
VALORES ASSOCIADOS 
À VARIÁVEL X
P ( Y )
Pois P 
(X,Y) é uma 
f.d.p.
IMPORTANTE
Só é possível realizar análises estatísticas sobre distribuições que sejam uma função densidade de 
probabilidade, ou seja, f.d.p. Dizemos que uma ou mais variáveis são uma f.d.p. quando a soma de todas 
as probabilidades que compõem o evento em estudo é igual a 1, ou seja, 100%. Portanto, uma ou mais 
variáveis podem ser classiicadas como f.d.p. quando:
 ∑ p ( x
i
 ) = p ( x
1
) + ( x
2
 ) + p ( x3 ) + ... + p ( xn ) = 1
n
i =1
unidade 4
068
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
ATENÇÃO
As probabilidades são sempre dispostas paralelamente às suas variáveis na construção da tabela 
bidimensional. Portanto, se invertermos as posições de X e Y na tabela anterior, teremos a seguinte 
distribuição de probabilidades:
TABELA 16 - Distribuição discreta
Fonte: Elaborado pelo autor.
Valores associados 
à variável Y
P ( Y )
Probabilidade conjunta
P ( X, Y )
Probabilidade marginal de Y
Probabilidade 
marginal de X
1
X
Y
VALORES ASSOCIADOS 
À VARIÁVEL Y
P ( X )
Pois P 
(X,Y) é uma 
f.d.p.
O valor esperado da distribuição conjunta, indicado por E ( X, Y), é dado pelo produto entre 
cada valor associado à variável X, com cada valor associado à variável Y e sua respectiva 
probabilidade conjunta, ou seja:
E ( X, Y ) = ∑ ∑ xi . yj . p ( xi , yj ) 
E ( X, Y ) = a . d . p ( a , d ) + b . d . p ( b, d ) + c . d . p ( c, d ) + a . e . p ( a, e ) + b . e . p ( b , e ) + 
+ c . e . p ( c, e ) + a . f . p ( a, f ) + b . f . p ( b, f ) + c . f . p ( c, f )
Para a tabela de distribuição a seguir:
n
i =1
n
j =1
TABELA 16 - Distribuição discreta
Fonte: Elaborado pelo autor.
d
e
f
P(X)
 P (a, d ) P ( b, d) P ( c, d )
 P ( a, e ) P ( b, e ) P ( c, e )
 P ( a, f ) P ( b, f ) P ( c, f )
 P ( a ) P ( b ) P ( c ) 
P ( d ) 
P ( e ) 
P ( f ) 
1
X
Y P ( Y )A B C
unidade 4
069
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
VARIÁVEIS 
CONTÍNUAS
É uma função f ( x ) aquela nas quais se 
associam probabilidades aos ininitos 
valores da variável aleatória X, abordada 
no estudo estatístico. Ou seja, quando uma 
variável aleatória X assume ininitos valores 
em um determinado intervalo ( a, b ), sendo 
a probabilidade igual a zero para valores 
fora desse intervalo e a soma de todas as 
possíveis probabilidades contidas nesse 
intervalo igual a um. Portanto, para as 
variáveis contínuas, temos que:
 • f (x) ≥ 0, x C R; 
 • ∫ f ( x ) dx = 1 (toda área sob a 
curva de probabilidade, ou curva 
de frequência, deinida por f ( x ) 
vale um); 
 • P ( a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x ) dx 
(probabilidade correspondente 
à área sob a curva limitada pelo 
intervalo compreendido entre x 
= a e x = b ). Esse assunto será 
mais detalhado posteriormente no 
estudo da distribuição normal.
O valor esperado, indicado por E ( x ) = μ, é 
a esperança matemática deuma variável 
aleatória contínua X, que assume os 
ininitos valores do intervalo ( a, b ), ou seja:
A
b
a
+ oo
- oo
E (x) = ∫ x .f ( x ) dx 
b
a
A variância, ou seja, a medida estatística 
que concentra as probabilidades em torno 
da média é indicada por Var ( x ) ou σ2 e 
dada por:
Var ( x ) = E ( x2 ) - [ E ( x ) ]2,
sendo E ( x ) o valor esperado, e E ( x2 ) dada 
por:
E ( x2 ) = ∫ x2 . f ( x ) dx฀
Para uma variável aleatória contínua 
bidimensional, deinida em todos os valores 
dos números reais, a função densidade 
de probabilidade conjunta f ( x, y ) é uma 
função que satisfaz:
 • f ( x, y ) ≥ 0, para todo ( x, y ) R2;
 •∫
R
 ∫
R
 f ( x, y ) d x d y =1
O valor esperado da distribuição conjunta, 
indicado por E ( X, Y ), é dado por:
E ( X, Y ) =∫
R
 ∫
R 
x . y . f ( x, y ) d x d y 
A covariância para as variáveis contínuas 
ou discretas, ou seja, a medida estatística 
que possibilita veriicar se as variáveis 
envolvidas na análise são diretamente ou 
b
a
unidade 4
070
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
inversamente proporcionais. Isso porque à medida que X aumenta o Y também aumenta, ou à 
medida que X diminui o Y aumenta, respectivamente. Tal relação é dada por:
Cov ( X, Y ) = E ( X, Y ) - E ( X ) . E ( Y )
E o coeiciente de correlação das variáveis contínuas ou discretas, indicado por ρX , Y , ou seja, 
a medida estatística que mensura a relação entre as variáveis X e Y é dado por:
ρ X, Y = 
 Cov ( X, Y )
σX . σY 
Sendo -1 ≤ ρ X,Y ≤ 1.
IMPORTANTE
ndependentemente de a classiicação da variável aleatória ser dada como discreta ou contínua, sendo 
a e b constantes e x e y variáveis aleatórias, valem as propriedades:
E ( X ) = μ
E ( a ) = a
E ( a x ) = a . E ( x )
E ( a ± b x ) = a ± b . E ( x )
E ( a x ± b y ) = a . E ( x ) ± b . E ( y )
Var ( x ) = σ2
Var ( a ) = 0
Var ( a x ) = a2 . Var ( x )
Var ( a ± b x ) =b2 . Var ( x )
Var ( a x ± b y ) = a2 . Var ( x ) = b2 . Var ( y ) ± 2 . a . b . Cov ( x, y )
CONCEITO
Duas variáveis aleatórias X e Y são independentes se o produto das distribuições marginais for igual à 
distribuição conjunta, ou seja:
p ( x ) . p ( y ) = p ( x , y ) para distribuição discreta;
f ( x ) . f ( y ) = f ( x , y ) para distribuição contínua.
unidade 4
071
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
Assim como na Matemática, temos os 
modelos que representam o comportamento 
da variável abordada no estudo, ou seja, as 
retas, parábolas e hipérboles dentre tantas 
outras funções matemáticas. Na Estatística, 
os modelos probabilísticos descrevem o 
comportamento de uma variável, sendo 
possível calcular a probabilidade associada 
aos eventos da variável abordada no 
estudo, recorrendo apenas aos modelos 
probabilísticos. Esses modelos são 
chamados de distribuições, apresentando 
particularidades próprias que facilitam a 
sua identiicação, podendo ser divididos 
em contínuos e discretos, assim como as 
variáveis estudadas no início deste capítulo.
DISTRIBUIÇÃO 
BINOMIAL
A distribuição binomial é denotada por 
X~Bin ( n; p ), sendo n o número de 
amostragens (tentativas) e p a probabilidade 
de sucesso do experimento. Trata-se de 
uma distribuição discreta, aplicada em 
casos dicotômicos, ou seja, experimentos 
aleatórios com apenas duas possibilidades 
de resposta, denotadas por sucesso ou 
falha. Podemos citar como exemplo o 
lançamento de uma moeda, um item ter 
defeito ou não, um funcionário faltar ou não.
Para se caracterizar como distribuição 
binomial, a variável aleatória abordada no 
estudo deve ter:
 a) n tentativas ou provas independentes, ou 
seja, eventos sem reposição; 
b) cada uma das n tentativas só admite dois 
resultados possíveis, sendo eles sucesso 
ou falha; 
c) as probabilidades de sucesso e falha são 
complementares e constantes durante 
todo o processo de observação.
O valor esperado, ou seja, a média da 
distribuição binomial e a variância são 
dadas por:
E ( x ) = μ = n . p e Var ( x ) = σ2 = np . ( 1 - p ), 
respectivamente.
A probabilidade de ocorrência de um 
determinado evento na distribuição 
binomial é dada por:
P ( X = x ) = ( n ). px. ( 1 - p )n-xx
x
( n- x) ! . x!x
sendo: ( n ) a combinação de n elementos 
x a x, ou seja: ( n ) = n! e p a 
probabilidade de sucesso.
A distribuição binomial é amplamente 
aplicada para avaliar probabilidades de 
eventos relacionados com controle de 
unidade 4
072
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
qualidade, mercado de ações, risco de 
apólices de seguro, análise demográica e 
vendas, dentre outras inúmeras situações 
de controle da variabilidade inerente ao 
processo produtivo.
DISTRIBUIÇÃO 
POISSON
A distribuição Poisson é denotada por 
X~Poisson (λ), sendo λ a taxa média, 
ou seja, λ = 1 e sendo λ também sempre 
inversamente proporcional ao intervalo de 
tempo ou espaço deinido no problema. 
Portanto, o seu valor deve corresponder ao 
tamanho do intervalo apresentado. Assim, 
para qualquer outro intervalo, o valor da 
média deve sofrer a correção numérica 
adequada. 
A distribuição Poisson é uma distribuição 
discreta, aplicada em variáveis aleatórias 
cujo número de sucessos observados num 
intervalo contínuo, de tempo ou espaço, 
pode estar relacionado à quantidade 
de: carros que passam em um sinal por 
minuto; defeitos por metro quadrado de um 
revestimento; chamadas por hora numa 
delegacia etc.
A probabilidade de ocorrência de um 
determinado evento com distribuição 
Poisson é dada por:
μ
P ( X = x ) = e
-λ . λx
x!
A distribuição Poisson pode ser aplicada 
como um caso limite da binomial, quando 
o tamanho da amostra em eventos 
dicotômicos é maior que 30.
DISTRIBUIÇÃO 
NORMAL
A distribuição normal é denotada por 
X~Normal (μ; σ2 ), sendo o valor esperado, 
ou seja, a média da distribuição normal e a 
variância dadas por: 
E ( x ) = μ e Var ( x ) = σ2, respectivamente.
Por diversas razões, tanto na teoria 
quanto na prática, a distribuição normal 
é a mais importante das distribuições de 
probabilidade. Isso porque muitas variáveis 
no mundo real têm comportamento bastante 
aproximado dessa distribuição. Sua 
relevância pode ser destacada pelo fato de: 
a) seus resultados serem de fácil operação 
matemática; 
b) muitas técnicas estatísticas pressuporem 
que os dados têm distribuição normal; 
c) os dados de muitas situações reais, 
unidade 4
073
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
embora não sejam rigorosamente normais, podem gerar bons resultados, facilitando o 
tratamento matemático; 
d) a distribuição amostral de muitas estatísticas tenderem à distribuição normal, em face do 
teorema do limite central.
Essa distribuição é classiicada como contínua, podendo a variável assumir qualquer valor 
dentro de um intervalo previamente deinido. Essa distribuição, delineada por uma curva em 
forma de sino com f.d.p, é dada por:
As principais propriedades da distribuição normal são: 
1) ter a forma de um sino; 
2) ser simétrica em relação à média μ ; 
3) ser assintótica1 em relação ao eixo de x; 
4) ser unimodal2 e ter achatamento proporcional ao desvio padrão ou variância; 
5) ter média, moda e mediana iguais.
FIGURA 21 - Distribuição normal
Fonte: TRIOLA, 2011, p.88.
1 - Não toca o eixo x.
2 - Só tem uma moda.
unidade 4
074
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Como o cálculo da área abaixo da curva é a integral da f.d.p. nos limites desejados e esse 
cálculo é, muitas vezes, longo, a área sob a curva pode ser simpliicada pela transformação:
z = x - μ w
Sendo z uma variável aleatória com distribuição normal, média zero e variância 1, e x sendo 
uma variável aleatória com distribuição normal, média μ e variância σ2. 
A área total limitada pela curva normal e pelo eixo das abscissas é 1u.a. (uma unidade de 
área), ou seja, 100%, sendo as áreas sob a curva limitadas pela distância entre o desvio padrão 
e a média. Essa área é apresentada na tabela a seguir.
σ
TABELA 18 - Área sob a curvada normal
Fonte: BARBETTA, 2010, p. 377.
unidade 4
075
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Sendo a primeira coluna e a primeira linha o número inteiro mais a primeira casa decimal e 
a segunda casa decimal, respectivamente, do número z calculado pela estatística de teste 
z = x - μ e, no centro da tabela, as probabilidades correspondentes à área entre zero e esse 
ponto, conforme ilustração a seguir.
σ
FIGURA 22 - Distribuição normal padrão
Fonte: Elaborado pela autora.
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
Uma grande indústria compra diversos novos processadores de texto no inal de cada ano, sendo que o número 
exato deles depende da frequência dos reparos no ano anterior. Suponha que o número de processadores, 
indicado por X, que são comprados a cada ano, tenha a seguinte distribuição de probabilidade:
TABELA 19 - Distribuição de frequências
 
Fonte: Elaborado pelo autor.
 X 0 1 2 3
 P(X) 0,10 0,30 0,40 0,20
Se o custo do modelo desejado permanecer ixo em R$ 1500,00 durante este ano e um desconto de 50.X2 
(em reais) for fornecido em relação a qualquer compra, quanto a empresa espera gastar E ( X ) em novos 
processadores no inal do ano?
E ( X ) = 0.0,1 + 1.0,3 + 2.0,4 + 3.0,2
E ( X ) = 1,7
unidade 4
076
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
REVISÃO
A distribuição discreta é usada em casos cujos dados analisados podem ser alocados em uma 
tabela de probabilidades, sendo que aquelas localizadas no centro da tabela são classiicadas 
como probabilidade conjunta e as localizadas nas laterais, como probabilidades marginais. 
Probabilidades marginais são aquelas que correspondem a apenas uma das variáveis em 
estudo, e as probabilidades conjuntas são as que correspondem a duas variáveis analisadas 
concomitantemente.
A distribuição contínua é usada em casos cujos dados analisados podem ser alocados em um 
intervalo contínuo.
No que tange as distribuições de probabilidade, cabe ressaltar:
TABELA 20 - Revisão das medidas de tendência central
Fonte: Elaborado pelo autor.
Binomial
 
Poisson
 
Normal
Não usual para amostras com 
mais de 30 elementos.
Quando os eventos estudados permitem apenas 
duas respostas possíveis.
Quando o foco do estudo é na quantidade do 
período.
Quando a média e o desvio padrão são 
conhecidos.
DISTRIBUIÇÃO LIMITAÇÕES QUANDO USAR
PARA SABER 
MAIS
MOORE, David. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro. LTC, 2014.
Para uma fundamentação matemática mais aprofundada sobre o assunto, consulte a seguinte obra:
MONTGOMERY, Douglas; RUNGER, George Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 3 ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009.
5UNIDADE
unidade 5
078
ESTIMAÇÃO DE MÉDIAS 
E PROPORÇÕES
N
as unidades anteriores, você estudou três grandes áreas do método estatístico: 
amostragem e coleta de dados; análise exploratória de dados; e teoria de 
probabilidades. A partir de agora, você vai entender como essas áreas se relacionam 
para construir a quarta área do método estatístico, que é a decisão na presença de incerteza 
ou estatística inferencial.
A estatística inferencial recebe esse nome por ser um conjunto de métodos e técnicas que 
permitem, a partir dos dados provenientes de uma amostra, inferir informações sobre toda 
a população alvo do estudo. Logicamente existe uma incerteza associada a esse processo, 
mas ela é quantiicada através dos níveis de coniança e margens de erro do estudo. Essa é a 
grande contribuição da estatística inferencial, permitir que se conheça o nível de incerteza da 
informação antes de tomar decisões.
Existe uma ininidade de técnicas de estatística inferencial, como os intervalos de coniança, 
testes de hipóteses paramétricos e não paramétricos, análises de correlação e regressão, 
dentre outras. Para que você tenha noção da quantidade de técnicas, imagine que exista um 
curso de graduação em Estatística com duração de quatro anos em que o aluno passa a maior 
parte do tempo estudando técnicas de estatística inferencial. E ainda assim esse tempo não é 
suiciente para estudar todas as técnicas!
A boa notícia é que em todas essas técnicas existe um ponto em comum, conceitos que 
são utilizados em todas elas, como estimativa pontual, intervalos de coniança e testes 
de hipóteses. Esses conhecimentos estão presentes em todas as técnicas de estatística 
unidade 5
079
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
inferencial. E é exatamente o que estudaremos nas próximas unidades.
Nesta unidade, especiicamente, você vai conhecer o teorema principal da estatística, o 
fundamento de grande parte das técnicas de estatística inferencial: o teorema central do 
limite. Esse teorema fala sobre a relação entre o modelo normal de probabilidades e a média 
calculada a partir de uma amostra. Você consegue imaginar qual seja essa relação?
Aqui você vai descobrir como são calculadas as margens de erro das pesquisas eleitorais, 
que são obtidas através das estimativas pontuais e intervalares para médias e proporções 
populacionais. Vai descobrir como utilizar o Excel para construir uma calculadora para intervalos 
de coniança. E também um software muito útil para fazer várias análises estatísticas, o EpiInfo.
TEOREMA CENTRAL 
DO LIMITE
Imagine a seguinte situação: um engenheiro de produção deseja monitorar um processo de 
produção de ibra sintética de maneira a garantir que a característica de qualidade resistência 
à tração esteja sempre dentro dos limites de especiicação. É conhecido que a resistência à 
tração das ibras produzidas naquela empresa é normalmente distribuída com média de 75 psi 
(libras força por polegada quadrada) com desvio-padrão de 3,5 psi.
Como não é viável medir a característica de qualidade em todas as peças produzidas (inspeção 
100%) ele decidiu coletar amostras periodicamente para veriicar se não houve alteração na 
média do processo. Acontece que cada vez que ele coleta uma amostra e obtém a média 
dessa amostra existe uma variação, ou seja, as médias das amostras são sempre diferentes. 
A dúvida é: o engenheiro pode airmar que houve alteração na média do processo (de todas as 
peças produzidas) ou a variação é devida simplesmente à uma flutuação amostral?
O teorema central do limite (TCL) poderá auxiliar o engenheiro a interpretar os resultados 
dessas amostras e resolver a dúvida. O TCL diz que quando trabalhamos com amostras e 
calculamos médias, as médias das amostras são normalmente distribuídas em torno da 
verdadeira média populacional. Isso acontece porque, exatamente pelo fato de serem 
baseadas em sorteio aleatório, as amostras são sempre diferentes e, se calcularmos então a 
média em cada amostra, é bem difícil encontrarmos exatamente os mesmos valores.
unidade 5
080
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Entretanto, apesar de as amostras serem 
diferentes e terem médias diferentes, 
se selecionarmos várias amostras e 
obtivermos suas médias, podemos fazer um 
histograma dessas médias. Ao realizar esse 
procedimento poderemos ver que, à medida 
que aumentamos a quantidade de amostras, 
o histograma mais se assemelha à curva 
da distribuição normal de probabilidades 
e, ainda, a média dessas médias mais se 
aproxima da verdadeira média populacional.
Deinição do teorema central do limite:
Se X é uma variável aleatória com média µ e 
variância σ2 e é a média de uma amostra 
com n elementos dessa variável aleatória, 
então podemos dizer que a forma limite da 
distribuição de 
z = X - μ
é a distribuição normal padrão quando n 
tende ao ininito.
Podemos dizer ainda que X é normalmente 
distribuído com média μX = μ e desvio-
padrão σX = σ ⁄√n .
EXEMPLO
Pensando no exemplo das ibras sintéticas, 
chamamos de X a variável aleatória 
resistência à tração das ibras. Sabemos 
que a média é 75 psi e o desvio-padrão é 
3,5 psi. Encontre a probabilidade de uma 
amostra aleatória de n = 25 ibras ter uma 
resistência média menor que 73,6 psi.
Note que a distribuição amostral de é 
normal, com média μX = ฀75 psi e um desvio-
padrão de
σX฀ = σ = 3,5 = 0,7 psi
Consequentemente, a probabilidade 
desejada corresponde à área sombreada na 
igura abaixo.
σ⁄√n
√n √25
FIGURA 23 - Distribuição amostral de X - 
Média 75 e desvio-padrão 0,7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Desse modo, podemos dizer que
P( < 73,6 ) = P ( Z < z ) onde o valor de z é 
obtido através da padronização:
z = 73,6 - 75 = -235⁄√25
Então,
P( < 73,6 ) = P ( Z < -2 ) = 0,0228 (pela 
unidade 5
081
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 24 - Distribuições amostrais de para diferentes populações e tamanhos de amostra
tabela da distribuição normal padrão).
O resultado acima indica que a probabilidade de selecionar uma amostra de ibras e obter 
resistência média menor que 73,6 psi é de 2,28%. Na Unidade 7 veremos que essa probabilidade 
pode ser considerada baixa e, portanto, de posse dessa informação, o engenheiro poderia adotar 
o seguinte critério: ao observar uma amostra de ibras com resistência média menor que 73,6 
psi, o processo deve ser veriicado.
É importante ressaltar que o TCL pode ser utilizado ainda que a distribuição da variável 
aleatória X não seja normal, ou seja, o teorema é valido para qualquer que seja a distribuição 
de X. Essa é a grande contribuição do TCL para o desenvolvimento dos métodos estatísticos. 
Entretanto, nas situações em que a distribuição da variável aleatória X seja muito assimétrica, 
a aplicação do TCL é adequada para amostras grandes ( n ≥ 30 ). A igura abaixo ilustra as 
distribuições amostrais de para diferentes populações e diferentes tamanhos de amostra. 
Fonte: Elaboração do autor. 
População original 
(distribuição de X)
Distribuição amostral 
de X para n = 2
Distribuição amostral 
de X para n = 5
Distribuição amostral 
de X para n = 30
unidade 5
082
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Note nos gráicos acima que a aproximação pela distribuição normal é razoável para amostras com 
30 ou mais observações. Por essa razão, a utilização do teorema central do limite é adequada quando 
o tamanho da amostra for ao menos 30 ou quando a distribuição da variável aleatória X for normal.
Nos próximos tópicos, você vai descobrir como aplicar o teorema central do limite para 
obter estimativas intervalares para médias e proporções populacionais a partir da média e 
proporções amostrais. Na Unidade 7, o TCL será utilizado para realizar testes de hipóteses 
sobre os parâmetros populacionais.
ESTIMAÇÃO PONTUAL E POR INTERVALOS DE CONFIANÇA 
PARA UMA MÉDIA POPULACIONAL
Neste tópico, você vai aprender a obter uma estimativa para média populacional e calcular 
a precisão dessa estimativa. Você vai entender por que apresentar a margem de erro e o 
nível de coniança da pesquisa é tão importante quanto apresentar a estimativa pontual para 
média. Após a leitura deste tópico, você terá um novo olhar sobre as estatísticas que lhe são 
apresentadas diariamente em jornais ou revistas.
Considere que uma montadora desenvolveu um novo modelo e está elaborando a icha técnica 
do veículo. Uma informação relevante para o cliente é o consumo médio de combustível. Sabe-
se que o consumo está relacionado ao tipo de combustível (etanol ou gasolina ), à maneira 
de conduzir, ao tipo de via (cidade ou estrada), à qualidade do combustível, dentre outras 
variáveis. O consumo pode variar também entre os veículos de mesmo modelo, por essa razão 
podemos tratar o consumo de combustível como uma variável aleatória. 
Para deinir o consumo médio de combustível do novo modelo de veículo, a montadora coletou 
dados sobre distância percorrida e consumo de combustível de 35 veículos. Com esses dados, 
calculou o consumo médio na estrada e na cidade tanto para gasolina quanto para etanol. Os 
resultados são apresentados na tabela abaixo:
TABELA 20 - Revisão das medidas de tendência central
Cidade
Estrada
8,7
10,4
12,5
15,2
TRAJETO ETANOL (KM/L) GASOLINA (KM/L)
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 5
083
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Os 35 veículos que participaram do 
experimento podem ser considerados uma 
amostra do total de veículos produzidos 
pela montadora, já que o objetivo é obter 
informação sobre todos os veículos do 
referido modelo que são produzidos. Dessa 
forma, a montadora está utilizando a média 
da amostra para estimar µ, o consumo 
médio de todos os veículos. 
Dizemos que a média da amostra 
representa um único estimador numérico 
da média da população. Por essa razão, 
recebe o nome de estimador pontual. 
Observe, por exemplo, na tabela 21 que o 
consumo médio do veículo na cidade com 
etanol foi estimado em 8,7 km/l, mas não foi 
apresentada nenhuma informação quanto à 
precisão dessa estimativa.
No tópico anterior, vimos que a média 
amostral pode ser considerada uma 
variável aleatória. Isso signiica que, caso 
selecionássemos outra amostra de 35 
veículos e calculássemos o consumo 
médio na cidade com etanol, o resultado 
poderia ser diferente de 8,7 km/l. Por 
essa razão, a estimativa pontual deve vir 
sempre acompanhada da margem de erro, 
informando assim sua precisão. A margem 
de erro pode ser obtida através da equação 
abaixo:
E = Za/2 √n
σ
Onde:
zα ⁄2 está relacionado ao nível de coniança 
desejado para o estudo;
σ é o desvio-padrão populacional da 
variável aleatória X;
n é o tamanho da amostra coletada.
O nível de coniança do estudo é deinido 
pelo valor de zα⁄2 que pode ser obtido da 
tabela da distribuição normal padrão. O nível 
de coniança é dado em valor percentual e 
deve ser sempre inferior a 100%. Chamamos 
signiicância (α) o percentual restante, de 
maneira que coniança + signiicância = 
100%. Por exemplo, para um estudo com 
95% de coniança, o valor de α será 5%. O 
valor de z = 1,96 é deinido então a partir da 
distribuição normal padrão, como ilustra a 
igura abaixo:
FIGURA 25 - Deinição do valor 
de z para coniança de 95%
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 5
084
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Observe também que, para o cálculo da 
margem de erro, precisamos conhecer o 
desvio-padrão populacional da variável 
aleatória X, isto é, o desvio-padrão do 
consumo de combustível de todos os 
veículos do referido modelo produzidos 
pela montadora. Entretanto, como a 
amostra pode ser considerada grande ( n > 
30 ), podemos utilizar o desvio-padrão da 
amostra s como aproximação de σ, e então 
o cálculo da margem de erro será:
E = Za/2 √n
S
Vamos obter, portanto, a margem de erro 
para o verdadeiro consumo médio de etanol 
na cidade para esse veículo, com um nível 
de 95% de coniança, sabendo que o desvio-
padrão do consumo de etanol na cidade 
para a amostra dos 35 veículos foi de 4 km/l.
E = 1,96 4 = 1,325√35
O cálculo acima mostra que a margem de erro 
do estudo é de 1,325 km/l para o consumo 
do veículo ao rodar com etanol na cidade. 
Com isso, podemos dizer que o verdadeiro 
consumo médio do veículo é de 8,7 km/l com 
uma margem de 1,325 km/l para mais ou para 
menos, ou seja, está entre 8,7 - 1,325 = 7,375 
km/l e 8,7 + 1,325 = 10,025 km/l. O intervalo 
que acabamos de construir (7,375; 10,025) 
é conhecido como intervalo de coniança ou 
estimador intervalar e é deinido pela equação:
IC [ μ; ( 100 - α ) % ] = ± E
IC [ μ; 95% ] = ± E
Ou seja, o intervalo de coniança para μ, a 
verdadeira média populacional, com um nível 
de ( 100 - α ) % de coniança, é dado pela 
média amostral menos a margem de erro e a 
média amostral mais a margem de erro.
O resultado do exemplo acima é comumente 
interpretado da seguinte maneira: “se 
obtivermos várias amostras de 35 veículos 
e, para cada uma delas, calcularmos os 
correspondentes intervalos com 95% de 
coniança, esperamos que a proporção de 
intervalos que contenham o verdadeiro 
consumo médio μ seja igual a 95%”.
Exemplo:
Para os dados da tabela 1, supondo que o 
desvio-padrão para o consumo de etanol na 
estrada seja de 2 km/l, obtenha o intervalo 
de 95% para o verdadeiro consumo médio.
Solução:
Pararesolver a questão acima, podemos 
utilizar a equação:
Precisamos, portanto, encontrar a margem 
de erro do estudo. Para isso, vamos utilizar 
a equação:
unidade 5
085
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
E = Za/2 √n
S
Logo:
E = 1,96 * 
2 = 0,663
√35
Então:
IC [ μ ; 95% ] = 10,4 ± 0,663
O intervalo é comumente apresentado como 
segue:
IC [ μ ; 95% ] = [ 9,737 ; 11,063 ]
Dessa forma, airmamos com 95% de 
coniança que o consumo médio de etanol 
na estrada para o novo modelo de veículo 
está entre 9,737 km/l e 11,063 km/l.
ESTIMAÇÃO POR 
INTERVALOS DE 
CONFIANÇA PARA 
UMA MÉDIA 
POPULACIONAL 
(AMOSTRAS 
PEQUENAS)
Você deve ter observado no tópico anterior 
que o cálculo da margem de erro para o 
intervalo de coniança exige o conhecimento 
do desvio-padrão populacional (σ). 
Entretanto, na maioria das vezes em que 
se deseja estimar a média populacional, 
o desvio-padrão populacional também é 
desconhecido, o que torna inadequada a 
aplicação da equação para o cálculo da 
margem de erro.
Felizmente, quando trabalhamos com 
grandes amostras ( n > 30 ), o desvio-
padrão amostral (s) é uma boa aproximação 
para o desvio-padrão populacional (σ), o 
que possibilita a utilização da equação 
apresentada para o cálculo da margem de 
erro. Mas, o que fazer quando a amostra 
é pequena ( n < 30 )? É exatamente o que 
descobriremos aqui.
Nas situações em que a amostra é pequena, 
nos deparamos com dois problemas: 
1. Não podemos utilizar o teorema central 
do limite para dizer que a média amostral 
( ) é normalmente distribuída, pois o 
TCL é válido somente para amostras com 
mais de 30 observações.
2. A aproximação do desvio-padrão 
populacional pelo desvio-padrão 
amostral é considerada pobre.
Para contornar o problema 1, lançamos 
mão do seguinte teorema:
Se X é uma variável aleatória normalmente 
distribuída, ao selecionar amostras de 
tamanho n, a distribuição amostral de 
será uma distribuição normal.
unidade 5
086
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Esse teorema garante que, se a variável aleatória X é normalmente distribuída, então a 
distribuição amostral de será normal independente do tamanho da amostra.
Para contornar o problema 2, vamos precisar utilizar uma nova distribuição de probabilidades, 
a distribuição t-student. Essa distribuição é muito semelhante à distribuição normal: tem 
forma de sino, é simétrica e tem média zero. A diferença é que a distribuição t-student é 
mais achatada (tem caudas mais pesadas). Com isso, as estimativas obtidas a partir dessa 
distribuição serão menos precisas.
FIGURA 26 - Comparação entre a distribuição normal e a distribuição t-student (5 gl)
Fonte: Elaborado pelo autor.
A igura abaixo ilustra parte da tabela dos valores mais utilizados para distribuição t-student. 
Para construção de intervalos de coniança, devemos olhar os valores para área em duas 
caudas e a área deve se referir ao valor de α ⁄ 2 + 
α ⁄ 2. Os graus de liberdade são dados por 
n - 1, ou seja, o tamanho da amostra menos 1.
unidade 5
087
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 27 -Valores tabelados para distribuição t-studen
Fonte: TRIOLLA, 2013, p. 614.
Exemplo:
Uma equipe de engenharia está desenvolvendo uma nova mistura para concreto e deseja 
estimar a resistência média do produto à compressão. Como o teste de resistência à 
compressão é um ensaio destrutivo, o máximo que a equipe conseguiu para realização do 
estudo foram 10 corpos de prova. A resistência média à compressão da amostra foi de 2.500 
psi e o desvio-padrão foi de 45 psi. Sabendo que a resistência do concreto à compressão segue 
uma distribuição normal, obtenha uma estimativa intervalar para a verdadeira resistência 
média populacional com 95% de coniança.
Solução:
Observe que o tamanho da amostra é pequeno, n = 10, e o desvio-padrão foi obtido da amostra 
(não conhecemos o desvio-padrão populacional). Nesse caso, para construir o intervalo de 
coniança, é necessário utilizar a distribuição t-student e a margem de erro deve ser calculada 
utilizando a equação:
unidade 5
088
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Onde tα ⁄2 ; n-1 é obtido da tabela t-student, sendo os parâmetros: α⁄2 a área em cada uma 
das duas caudas e n - 1 os graus de liberdade.
Como o intervalo é de 95% de coniança, sabemos que a signiicância é cx = 5% (para consultar 
a tabela usamos o valor em decimal, 0,05). Os graus de liberdade são obtidos calculando n-1, 
ou seja, 10 - 1 = 9. Assim, encontramos que o valor de t0,025;9 é de 2,262.
E = tα/2 , n - 1 √n
S
FIGURA 28: Tabela t-student - encontrando t 0,025;9
Fonte: TRIOLA, 2013, p. 614
Com isso, estimamos que a margem de erro será:
E = 2,262 45 = 32,189
O intervalo de coniança pode ser então obtido:
IC [ μ ; 95% ] = 2.500 ± 32,189
IC [ μ ; 95% ] = [ 2.467,81 ; 2.532,19 ]
A equipe de engenharia pôde interpretar o resultado como segue: airmamos com 95% de coniança 
que a resistência média do concreto à compressão está entre 2.467,81 psi e 2.532,19 psi.
√10
unidade 5
089
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
ESTIMAÇÃO PONTUAL E POR 
INTERVALOS DE CONFIANÇA 
PARA UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL
Como são calculadas as margens de erro das pesquisas eleitorais? Possivelmente no início da 
unidade você tenha icado instigado a descobrir como é feito esse cálculo. Antes de dar início, 
é preciso entender que as pesquisas eleitorais buscam descobrir o percentual de eleitores 
que são favoráveis ao candidato A ou B, e esses percentuais são tratados na estatística como 
proporções.
Para simpliicar os cálculos, vamos pensar em uma eleição que foi para o segundo turno e, portanto, 
tem apenas dois candidatos. Uma empresa de pesquisa entrevistou 2.500 eleitores quanto à 
intenção de voto nos candidatos A e B. Note que "candidato" é uma variável qualitativa, e o que 
queremos descobrir é como estimar a probabilidade de sucesso em um experimento binomial em 
que p é a probabilidade de que o eleitor escolhido preira o candidato A, por exemplo. Uma maneira 
bem intuitiva de estimar p para a população é usar a proporção de sucessos da amostra:
 
p = Número de eleitores que preferem o candidato A
Suponha que dos 2.500 eleitores amostrados 1.300 tenham declarado intenção de votar 
no candidato A, 950 no candidato B e 250 em branco ou nulo. Assim, podemos estimar a 
proporção de eleitores que votariam no candidato A por:
p ฀= 1.300 = 0,52
Ou seja, a amostra indica que cerca de 52% dos eleitores têm intenção de votar no candidato 
A. Entretanto, devemos lembrar que caso fosse realizada outra amostragem e fossem 
selecionados outros 2.500 eleitores o resultado poderia ser diferente de 0,52. O valor de p ฀ é 
uma estimativa pontual para p, a verdadeira proporção de eleitores que têm intenção de votar 
no candidato A em toda a população.
Podemos tratar p como uma média, se pensarmos que X é uma variável aleatória que assume 
0 quando o eleitor declara votar no candidato B, em branco ou nulo e 1 quando o eleitor declara 
votar no candidato A. Nesse caso, podemos utilizar o teorema central do limite e dizer que p é 
Número de eleitores amostrados
ˆ
ˆ
ˆ
2.500
ˆ
unidade 5
090
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
normalmente distribuído com média μp = 
p e desvio-padrão σp = √p.q , onde q = 1-p, 
ou de maneira aproximada σp = √p.q , pois 
não conhecemos os verdadeiros valores de 
p e q.
Sabemos que o TCL é válido apenas 
para amostras grandes. No caso de 
estimativas para proporções, dizemos 
que a amostra é grande quando n . p ≥ 
5 e também n . q ≥ 5, ou seja, ambos os 
critérios devem ser satisfeitos.
Caso esses critérios tenham sido satisfeitos, 
podemos calcular a margem de erro através 
da equação:
n
n
E = Za/2 √ n
pq
E então o intervalo de coniança para p será:
IC [ p ; ( 100 - α) % ]= p ± E
No exemplo da pesquisa eleitoral, n . p ฀= 
2.500 * 0,52 = 1.300 e n.q ฀= 2.500 * 0,48 
= 1.200. Como ambos os critérios foram 
satisfeitos, dizemos que temos uma 
amostra grande o bastantepara justiicar 
a utilização do TCL, logo podemos obter 
a margem de erro com o nível de 95% de 
coniança:
E= 1,96 √ = 0,01960,52 × 0,482.500
E o intervalo de coniança será:
IC [ p ; 95% ] = 0,52 ± 0,0196
IC [ p ; 95% ] = [ 0,5004 ; 0,5396 ]
Podemos airmar com 95% de coniança 
que a verdadeira proporção de eleitores que 
votam no candidato A em toda a população 
está entre 50,04% e 53,96%. Observe que 
airmar com 95% de coniança signiica 
dizer que, se fossem feitas 100 pesquisas 
e calculados os intervalos de coniança, 
cerca de 95 deles conteriam a verdadeira 
proporção de eleitores que votam no 
candidato A.
Exemplo:
A empresa XYZ compra tubos de aço do 
fornecedor A. Na última semana, a XYZ 
recebeu uma proposta de comprar tubos de 
aço do fornecedor B pela metade do preço 
do fornecedor A. Para decidir, o gerente de 
compras deseja estimar qual o percentual de 
não conformidade nos tubos do fornecedor 
B (proporção de tubos defeituosos). Em um 
lote de 150 tubos havia 21 não conformes. 
Obtenha o intervalo de 90% de coniança 
para a verdadeira proporção de tubos não 
conformes do fornecedor B.
Solução:
Uma estimativa pontual para a verdadeira 
proporção de tubos não conformes é dada por:
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
unidade 5
091
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
p = 21 = 0,14
Veriicamos que a aplicação do teorema 
central do limite é adequada, pois n . p = 21 
e n . q = 150 * 0,86 = 129, ou seja, ambos 
são maiores que 5, indicando que a amostra 
é suicientemente grande. Podemos estimar 
a margem de erro do estudo pela equação:
E = 1,645 √ = 0,047
Então, deinimos o intervalo com 90% de 
coniança para p pela equação:
IC [ p ; 90% ] = p ± E
IC [ p ; 90% ] = 0,14 ± 0,047
IC [ p ; 90% ] = [ 0,093 ;0,187 ]
O gerente de compras pode airmar, 
com 90% de coniança, que a verdadeira 
proporção de tubos não conformes 
provenientes do fornecedor B está entre 
9,3% e 18,7%. O gerente fará sua decisão 
baseado nessa informação e em outras que 
julgar convenientes.
150
E = Za/2 √ n
pq
0,14 × 0,86
150
USO DO EXCEL 
NO CÁLCULO DE 
INTERVALOS 
DE CONFIANÇA 
PARA MÉDIA E 
PROPORÇÃO
Agora que você já sabe exatamente como 
são obtidos os intervalos de coniança, 
vamos utilizar o Excel para construir uma 
calculadora de intervalos de coniança. 
Começaremos pelo intervalo para média.
Nos tópicos anteriores, vimos que o 
intervalo de coniança para a média 
populacional pode ser obtido de duas 
maneiras: utilizando a distribuição 
normal (estatística z) ou a distribuição 
t-student (estatística t). Vimos também 
que a distribuição t-student é utilizada 
quando o tamanho da amostra é menor 
que 30 e o desvio-padrão populacional 
é desconhecido. Nos outros casos, 
utilizamos a distribuição normal. 
Vamos construir primeiramente uma 
calculadora para intervalos de coniança 
utilizando a distribuição normal. 
Utilizaremos os dados sobre consumo 
de combustível do primeiro exemplo.
A igura abaixo ilustra como deve icar 
nossa calculadora nas colunas A e B.
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
unidade 5
092
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 29 - Calculadora para intervalo de coniança para média: 
amostras grandes ou desvio-padrão populacional conhecido
Fonte: Elaborado pelo autor.
Nas linhas 4 a 7 são inseridas as informações iniciais do problema, como: desvio-padrão, 
que pode ser tanto da população quanto da amostra; a média amostral ฀; o tamanho da 
amostra n; e o nível de coniança desejado. Note que a célula B7 deve ser conigurada como 
porcentagem.
Nas linhas 9 a 11 são realizados cálculos intermediários como erro padrão da média σx (ou σx ฀), 
o valor de z relativo ao nível de coniança desejado e a margem de erro resultante. As fórmulas 
utilizadas para cada um dos cálculos são apresentadas exatamente à sua direita. Por exemplo, 
na célula B9 foi inserida a fórmula = B4/RAIZ(B6), que é o desvio-padrão dividido pela raiz do 
tamanho da amostra. Nas linhas 13 e 14 é apresentado o intervalo de coniança, sendo limite 
inferior do intervalo o valor de - E e o limite superior do intervalo o valor de + E. 
Para construir a calculadora para amostras pequenas e desvio-padrão populacional 
desconhecido, vamos utilizar os dados do exemplo sobre a resistência do concreto à 
compressão. O procedimento é o mesmo do anterior, alterando apenas as informações 
relativas aos parâmetros da distribuição t-student:
ˆ
unidade 5
093
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 30 - Calculadora para intervalo de coniança para média: 
amostras pequenas e desvio-padrão populacional desconhecido
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para construir a calculadora de intervalos de coniança para proporções, vamos utilizar os 
dados do exemplo da pesquisa eleitoral. Nesse caso, os dados iniciais são o número de 
sucessos e o tamanho da amostra. Lembrando que a palavra sucesso está relacionada à 
distribuição binomial e se refere ao número de vezes que ocorreu o evento de interesse. No 
caso do exemplo sobre as eleições, o número de sucessos é a quantidade de entrevistados 
que declarou intenção de votar no candidato A, 1300 pessoas. O tamanho da amostra foi de 
2500 entrevistados. Com esses dados, calcula-se a proporção estimada p ฀ dividindo o número 
de sucessos pelo tamanho da amostra (célula B6).
O erro padrão da média é calculado através da equação σp = √p.q = implementada na célula 
B9. As demais células utilizam as mesmas fórmulas já apresentadas nas calculadoras 
anteriores.
n
ˆˆ ˆ
unidade 5
094
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 31 - Calculadora para intervalo de coniança para proporção
Fonte: Elaborado pelo autor.
INTRODUÇÃO AO 
PROGRAMA EPIINFO
O software EpiInfo é uma ferramenta muito útil para análise de dados. Esse software foi 
desenvolvido pelo Centro de Controle de Doenças (CDC) para análise de dados epidemiológicos, 
entretanto pode ser utilizado em qualquer área, inclusive em engenharia. O software está 
disponível no site www.cdc.gov/epiinfo
Veja no material web da disciplina os vídeos de instalação do EpiInfo e de introdução à análise 
de dados utilizando essa ferramenta. 
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
Um fabricante de anéis para pistões de motor deseja veriicar se seu produto atende as especiicações 
do cliente. Para isso, resolveu estimar o diâmetro médio dos anéis produzidos. A partir de uma amostra 
www.cdc.gov/epiinfo
unidade 5
095
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
de 40 anéis, registrou-se diâmetro médio de 
74,045 milímetros com desvio-padrão de 0,02 
milímetros. Construa o intervalo com 99% de 
coniança para o verdadeiro diâmetro médio dos 
anéis.
Solução:
Note que o enunciado não informou a distribuição 
de probabilidade da variável diâmetro dos anéis 
e, além disso, também não temos informação 
a respeito do desvio-padrão populacional 
dessa variável. Entretanto, como a amostra é 
considerada grande (40 anéis), podemos valer 
do teorema central do limite e airmar que a 
distribuição amostral do diâmetro médio dos 
anéis é normal, com média μ e desvio-padrão 
σ⁄√n , onde μ é o verdadeiro diâmetro médio dos 
anéis e σ o verdadeiro desvio-padrão. Sabemos 
ainda que o estimador de μ é X ฀, a média amostral 
e o estimador de σ é s, o desvio-padrão amostral. 
Dessa forma, utilizaremos as equações abaixo 
para construir o intervalo com 99% de coniança 
para o verdadeiro diâmetro médio dos anéis.
IC [ μ ;99% ] = x ± E
Precisamos, portanto, encontrar a margem 
de erro do estudo. Para isso, vamos utilizar a 
equação:
Logo:
E = 2,575 * 
0,02
 = 0,008
Então:
IC [ μ ; 99% ] = 74,045 ± 0,008
O intervalo é comumente apresentado como 
segue:
IC [ μ ;99% ] = [ 74,037 ; 74,053]
Dessa forma, airmamos com 99% de coniança 
que o diâmetro médio dos anéis está entre 
74,037 milímetros e 74,053 milímetros.
E = Za/2 √n
S
√40
REVISÃO
Nesta unidade, você aprendeu a construir 
estimativas pontuais e por intervalos para 
os verdadeiros parâmetros populacionais 
atravésde dados provenientes de amostras. 
Aprendeu também que existem ao menos 
quatro maneiras de obter estimativas 
intervalares, e que a escolha da maneira 
adequada para cada situação é determinada 
basicamente pelo tipo de dados (qualitativo 
ou quantitativo) e pelo tamanho da amostra 
( n < 30 ou n ≥ 30 ). O esquema abaixo 
apresenta de maneira resumida o processo 
de decisão:
unidade 5
096
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 32– Processo de decisão
Tipo de dados
Quantitativo parâmetro μ
Amostra grande ( n ≥ 30 )
Pelo teorema central do 
limite, o intervalo de 
coniança pode ser obtido 
pelas equações 1 ou 2.
Amostra pequena ( n < 30 )
O intervalo de coniança pode 
ser obtido pela equação 3 
apenas se a população tem 
distribuição normal.
Aplicável quando np ≥ 5 e nq ≥ 5
O intervalo de 
coniança pode ser 
obtido pela equação 4.
Qualitativo parâmetro p
Equação 1: ฀ ± zα⁄2 √n
Equação 2: ฀ ± zα⁄2 √n
Equação 3: ฀ ± tα⁄2; n -1 √n
Equação 4: p ฀± zα⁄2 √p.q
σ
s
s
n
PARA SABER 
MAIS
Fonte: Elaborada pelo autor
Caso você tenha se interessado pelo assunto desta unidade e deseja aprofundar nesse conteúdo, 
recomendo a leitura do capítulo 5 do livro texto:
McCLAVE, James T. George Benson, Terry Sincich. Estatística para administração e economia. trad. 
Fabrício Pereira Soares e Fernando Sampaio Filho; rev. téc. Galo Carlos Lopez Noriega. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2009.
Se você deseja uma leitura mais formal e tem interesse em demonstrações das equações, leia o capítulo 
8 do livro texto: 
ˆ ˆ ˆ
unidade 5
097
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
MONTGMOMERY, Douglas C. George C. Runger. 
Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. trad. e rev. téc. Verônica Calado. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Se você deseja um estudo de caso com aplicação 
do conteúdo na área de engenharia, leia o artigo: 
NETO, Antônio Peli. Intervalos de coniança, 
Intervalos de Predição e Campo de Arbítrio nas 
Avaliações de Imóveis Urbanos. Associação 
Brasileira dos Engenheiros Civis - Departamento 
da Bahia. Bahia, 2010. Disponível em: <http://
www.abenc-ba.org.br/attachments/289_
ANTONIO_PELLI_ABNT%20NBR%2014653-2%20
%282%C2%BAProjeto%29212751_1.pdf>. 
Acesso em 16 jun. 2015.
http://www.abenc-ba.org.br/attachments/289_ANTONIO_PELLI_ABNT%20NBR%2014653-2%20%282%C2%BAProjeto%29212751_1.pdf
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6UNIDADE
unidade 6
099
PLANEJAMENTO DE 
EXPERIMENTOS
N
a Unidade 5, Estimação de médias e proporções, você aprendeu a estimar 
parâmetros populacionais a partir de dados amostrais. Você deve ter observado 
que os resultados amostrais foram disponibilizados, mas não foram apresentados 
os métodos utilizados para seleção das amostras ou sequer a justiicativa para o tamanho 
amostral. Nesta unidade você vai aprender a planejar um experimento de pequeno e médio 
porte na área de Engenharia e Ciências Exatas, bem como calcular o tamanho mínimo de 
uma amostra que tenha representatividade estatística.
Uma situação que utiliza o planejamento de experimentos muito frequentemente é o estudo 
dos efeitos do tratamento térmico de metais sobre suas propriedades mecânicas. Considere 
que uma equipe de engenharia deseja estudar o efeito de três diferentes tipos de banho 
de têmpera sobre a dureza de um determinado tipo de aço. Os tipos de banho de têmpera1 
utilizados são têmpera em água, têmpera em óleo e têmpera em solução aquosa de cloreto de 
sódio (água salgada). O propósito do estudo é determinar qual banho de têmpera produzirá a 
dureza máxima do aço.
A princípio, a equipe considerou suiciente para o propósito do estudo submeter um 
determinado número de corpos de provas a cada meio de têmpera e medir a dureza da liga 
metálica. A partir desses resultados calcular-se-ia a dureza média em cada um dos diferentes 
tipos de banho. Aquele que apresentasse a maior dureza média seria o mais adequado.
A têmpera consiste essencialmente em aquecer uma peça de aço a uma certa temperatura e, a seguir, resfriá-
la rapidamente em um banho, usualmente água, óleo ou soluções salinas. Seu objetivo é, em geral, aumentar 
a dureza do aço e tornar mais elevadas suas resistências à tração, à compressão e ao desgaste
unidade 6
100
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Entretanto, ao analisar o experimento com cautela, o engenheiro de produção detectou várias 
questões que deviam ser respondidas antes do início da coleta de dados: água, óleo e água salgada 
são os únicos banhos de interesse no processo de têmpera? Há outros fatores que possam afetar 
a dureza do aço e que devem ser pesquisados? Quantos corpos de prova devem ser submetidos a 
cada banho de têmpera? De que modo os corpos de prova devem ser alocados aos três diferentes 
banhos? Em que ordem os dados devem ser coletados? Qual método de análise de dados deve ser 
utilizado? Qual diferença entre dureza média será considerada signiicativa do ponto de vista prático?
Diante de todas essas questões, a equipe constatou a necessidade de utilizar técnicas 
estatísticas para planejamento do experimento, a im de assegurar a coniabilidade dos 
resultados do estudo. São estas técnicas que você irá aprender nessa unidade.
CÁLCULO DE TAMANHO DE AMOSTRA 
BASEADO EM INTERVALOS DE CONFIANÇA 
PARA UMA PROPORÇÃO 
Para alguns pesquisadores, a deinição do tamanho da amostra é o único cuidado necessário 
para validade estatística do estudo. Como você observou na introdução dessa unidade, existe 
uma série de cuidados que devem ser tomados ao conduzir experimentos em engenharia, 
além do tamanho da amostra. A começar pelo objetivo do estudo. 
Se o objetivo do estudo é comparar resultados expressos em forma de porcentagens ou 
proporções, existe um método adequado para o cálculo do tamanho amostral. Se o objetivo 
é comparar resultados expressos em forma de médias, existe outro método adequado para 
o cálculo do tamanho amostral. Diversos outros fatores podem ser considerados nestes 
cálculos, alterando, assim, a adequação de cada método.
Neste tópico você aprenderá a calcular o tamanho amostral para um estudo que tem o 
interesse de estimar uma proporção populacional. Os parâmetros controlados são o nível de 
coniança e a margem de erro máxima desejados para o estudo. Vejamos um exemplo:
Exemplo 8
Uma empresa fabricante de motores deseja comprar correias do fornecedor Borrachão, 
pois o atual fornecedor tem apresentado um percentual elevado de peças defeituosas (não 
unidade 6
101
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
conformes). Para estimar o percentual de 
correias não conformes produzidas pelo 
fornecedor Borrachão, a empresa fabricante 
de motores deseja adquirir uma amostra que 
seja representativa. A equipe de engenharia 
deseja que seja conduzido um estudo com 
95% de coniança e margem de erro máxima 
da estimativa de 2 pontos percentuais, para 
mais ou para menos. Qual o tamanho de 
amostra necessário para esse estudo? A 
equação abaixo deverá ser utilizada para o 
cálculo do tamanho amostral desejado:
Equação 1: Tamanho de amostra 
exigido para estimativa de uma 
proporção populacional – Conhecendo 
uma estimativa de p 
n = Za/2pq
Onde:
n: é o tamanho da amostra calculado
zα⁄2 : escore z que separa uma área de 
α/2 na cauda direita da distribuição 
normal padrão
p: é uma estimativa da verdadeira proporção 
populacional.
q ฀: é obtido por 1-p ฀
E: é a margem de erro máxima aceitável 
para o estudo.
Note que a equação acima exige que 
se tenha um conhecimento prévio da 
E2
ˆˆ
ˆ
ˆ ˆ
verdadeira proporção populacional. Esse 
pressuposto pode não ser satisfeito na 
prática. Nesse caso, deve-se utilizar o valor 
0,5 no lugar de p, e a equaçãopassa a ser:
Equação 2: Tamanho de amostra 
exigido para estimativa de uma 
proporção populacional – 
Desconhecendo estimativa de p ฀
n = Za/20,25 
Para o exemplo das correias, a equipe 
utilizou a equação 2, uma vez que não havia 
conhecimento sobre a estimativa de p.
n = 1,96 x 0,25
n = 1.225
Dessa forma, a equipe concluiu que para 
estimar a verdadeira proporção de correias 
não conformes produzidas pelo fornecedor 
Borrachão, com 95% de coniança e uma 
precisão de 2%, será necessário coletar uma 
amostra de 1.225 correias.
Note que, caso a equipe tivesse uma 
informação quanto ao verdadeiro percentual 
de correias não conformes e desejasse 
realizar um estudo apenas para conirmação 
da informação o tamanho amostral, poderia 
ser signiicativamente menor. Suponha 
que o fornecedor Borrachão airmasse 
que o percentual de peças não conformes 
ˆ
ˆ
ˆ
E2
0,022
ˆ
unidade 6
102
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
fosse de 5%. A equipe poderia utilizar essa 
informação como uma estimativa de p e 
poderia então utilizar a equação 1:
n = 1,96 x 0,5 x 0,95
n = 232,8 ˜ 233
Observe que o tamanho de amostra 
necessário para conirmar a airmação 
do fornecedor é de apenas 233 correias. 
Isso sempre acontecerá, ou seja, o 
tamanho amostral resultante da equação 
1 será sempre menor que o resultante 
da equação 2, pois na primeira já temos 
um conhecimento a priori do verdadeiro 
valor populacional e desejamos apenas 
conirmá-lo.
0,022
IMPORTANTE
É importante destacar que, para o cálculo do 
tamanho amostral, o resultado deve ser sempre 
arredondado para cima, independentemente 
do valor decimal. Assim, no exemplo anterior, 
caso o cálculo exato resultasse em 232,1 
ainda assim arredondaríamos para 233 
correias. Isso ocorre porque o tamanho de 
amostra mínimo necessário para atender aos 
requisitos do nível de confiança e margem 
de erro seria de 232,1 correias. Como não 
faz sentido amostrar 0,1 correia, devemos 
selecionar uma peça a mais.
CÁLCULO DE TAMANHO 
DE AMOSTRA BASEADO 
EM INTERVALOS DE 
CONFIANÇA PARA 
UMA PROPORÇÃO – 
POPULAÇÃO FINITA
ˆ
No tópico anterior aprendemos a calcular 
o tamanho de amostra para estimar 
uma proporção, mas observe que não 
foi considerado o total de elementos na 
população. Isso ocorre em situações em 
que a população é considerada ininita, ou 
seja, o número de elementos da população 
é tão grande que pode ser considerado 
ininito. Em algumas situações, no entanto, 
esse pressuposto não é minimamente 
razoável. Nessas situações precisamos 
utilizar um fator de correção para população 
inita. Utilizamos, então, a equação 3:
Equação 3: Tamanho de amostra 
exigido para estimativa de uma 
proporção populacional – 
Correção para população inita
n = pq (za/2)2
Considere que desejamos estimar o 
percentual de peças defeituosas em um lote 
de 100 peças. Qual o tamanho de amostra 
necessário, se queremos uma estimativa 
com 90% de coniança e margem de erro 
máxima de 3%? Utilizando a equação 2 
pq (za/2)2 + (N - 1) E2ˆˆ
ˆˆ
unidade 6
103
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
teríamos o seguinte resultado:
n = 1,645 x 0,25 = 457
Observe que o resultado da equação é 
irreal, pois como poderíamos amostrar 457 
peças em um lote de 100? Nessa situação 
devemos utilizar a equação 3, que leva em 
consideração o tamanho do lote:
n = 100 x 0,5 x 0,5 (1,645)2
O tamanho da amostra passa a ser então 
89 peças, o que é real, ou possível, tendo em 
vista que o tamanho do lote é de 100 peças. 
Caso já existisse uma informação sobre 
o percentual de peças defeituosas e fosse 
desejável apenas conirmar a informação, 
o tamanho amostral seria menor. Por 
exemplo, considere que normalmente 
cerca de 5% das peças são defeituosas. 
Para conirmar tal informação, seriam 
necessárias 60 peças na amostra.
n = 100 x 0,05 x 0,95 (1,645)2 
0,032
0,5 x 0,5 (1,645)2 + (100 - 1) 0,032
0,05 x 0,95 (1,645)2 + (100 - 1) 0,032
n = 89
n = 60
CÁLCULO DE TAMANHO 
DE AMOSTRA BASEADO 
EM INTERVALOS DE 
CONFIANÇA PARA 
UMA MÉDIA
No início dessa unidade falamos que o 
cálculo do tamanho amostral depende 
de vários fatores, sendo o principal deles 
o objetivo do estudo. Nesta seção você 
aprenderá a calcular o tamanho amostral 
para um estudo que tem o interesse de 
estimar uma média populacional. Os 
parâmetros controlados continuam sendo 
o nível de coniança e a margem de erro 
máxima desejados para o estudo. Vejamos 
um exemplo:
Exemplo 9
Uma empresa fabricante de baterias 
automotivas desenvolveu um novo produto 
e deseja estimar a sua vida média. De 
estudos anteriores, sabe-se que a vida 
média das baterias produzidas por esse 
fabricante segue uma distribuição normal, 
com desvio-padrão de seis meses. A 
equipe de engenharia do produto ressalta 
a importância da correta estimação da vida 
média da bateria, pois a partir desta será 
determinado o tempo de garantia. Por essa 
razão, decidiu-se que o nível de coniança 
do estudo será de 99% e a margem de erro 
máxima aceitável para a estimativa é de 
três meses. Utilizando a equação abaixo, 
unidade 6
104
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
a equipe poderá determinar o tamanho 
amostral necessário para atender às 
exigências do estudo.
Equação 4: Tamanho de amostra exigido 
para estimativa de uma média populacional
n = { Za/2Ợ }2
Onde:
n: é o tamanho da amostra
Za/2: escore z que separa uma área de 
α/2 na cauda direita da distribuição 
normal padrão
σ: é o desvio-padrão populacional
E: é a margem de erro máxima aceitável 
para a estimativa.
Utilizando a equação 4, a equipe determinou 
que para estimar a vida média da nova 
bateria desenvolvida, com 99% de coniança 
na estimativa e margem de erro máxima de 
três meses, será necessária uma amostra 
de 27 baterias.
n = { 2,575 x 6 }2
n = 26,5 ˜ 27
Ao calcular tamanho de amostra para 
estimativa de uma média populacional, 
continua valendo aquela regra de 
arredondamento apresentada no tópico 
anterior, ou seja, devemos sempre 
E
E
arredondar o resultado para cima. 
Você deve ter observado no exemplo 9 
que já dispúnhamos de uma estimativa a 
priori do desvio-padrão populacional (σ), 
ou seja, a equipe utilizou o desvio-padrão 
das outras baterias. Em muitas situações 
práticas, o desvio-padrão populacional não 
é conhecido e nesses casos pode-se utilizar 
uma das seguintes alternativas:
1 – Utilização da regra empírica da 
amplitude para estimação do desvio-
padrão: σ ≈ Amplitude⁄4. Para aplicação 
dessa alternativa, é necessário 
coletar uma amostra piloto de 
aproximadamente 87 observações. 
Para maior esclarecimento sobre essa 
regra, consulte Triolla (2013), seção 3-3.
2 – Comece o processo de coleta sem o 
conhecimento de σ e, como base nos 
primeiros resultados, obtenha o desvio-
padrão amostral s. Use essa estimativa 
em lugar de σ.
3 – Utilize o valor de σ estimado por outros 
estudos realizados anteriormente.
unidade 6
105
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
CÁLCULO DE TAMANHO 
DE AMOSTRA BASEADO 
EM INTERVALOS DE 
CONFIANÇA 
PARA UMA MÉDIA – 
POPULAÇÃO FINITA
Nos tópicos anteriores apresentamos 
uma fórmula alternativa para o cálculo 
do tamanho amostral para estimativa de 
uma proporção populacional, no caso 
de populações initas. Da mesma forma, 
para calcular o tamanho amostral para 
estimativa de uma média populacional, no 
caso de populações initas, existe também 
um fator de correção. A equação abaixo 
apresenta o método correto para essas 
situações:
Equação 5: Tamanho de amostra 
exigido para estimativa de uma média 
populacional – população inita
n = Nσ2 (Za/2)
2
Exemplo 10
Suponha que o exército brasileiro deseje 
encomendar uma remessa de uniformes 
para os novos recrutas. Para melhor 
adequação dos tamanhos dos uniformes, 
o sargento decidiu obter uma estimativa da 
altura média deles. Dos 100 novos recrutas, 
o sargento deseja obtera estimativa 
a partir de uma amostra com 95% de 
(N - 1) E2 + σ2(Za/2)
2
coniança e margem de erro máxima de 
cinco centímetros. Sabendo que nos anos 
anteriores o desvio-padrão da altura dos 
recrutas era de 30 centímetros, o sargento 
utilizou a equação 4 para determinar 
o tamanho da amostra necessária, 
encontrando o valor 139 (maior que o total 
de novos recrutas):
n = { 1,96 x 30 }2
n = 139
Sem entender o que havia feito de errado, o 
sargento decidiu conversar com um soldado 
que tinha conhecimento de estatística para 
auxiliá-lo. O soldado informou então que, 
neste caso, o sargento deveria utilizar a 
equação 5, que leva em consideração o 
tamanho populacional. Utilizando o método 
adequado, o sargento decidiu, portanto, que 
para estimar a altura média dos 100 novos 
recrutas, com 95% de coniança e margem 
de erro máxima da estimativa de cinco cm, 
era necessária uma amostra de 59 recrutas:
n = 100 x 302 (1,96)2
n = 58,3 ˜ 59
5
(100 - 1) x 52 +302 x (1,96)2
unidade 6
106
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
PLANEJAMENTO DE 
EXPERIMENTOS 
O planejamento de experimentos, 
também conhecido como DOE (Design of 
Experiments), é um conjunto de técnicas 
estatísticas que visa garantir uma coleta 
de dados eiciente para uma análise de 
dados que seja informativa e coniável. Esse 
conjunto de técnicas tem vasta utilização 
em diversas áreas do conhecimento, desde 
ciências ligadas à saúde até as engenharias. 
Em engenharia, especialmente, o DOE é 
utilizado principalmente em Pesquisa e 
Desenvolvimento, ou na área de qualidade e 
desenvolvimento do produto.
O propósito dos experimentos planejados, 
estatisticamente, é tornar a análise de 
dados tão informativa quanto possível. 
Experimentos que tenham sido mal 
planejados fornecem pouca ou nenhuma 
informação útil, mesmo com soisticadas 
técnicas de análise de dados, e podem levar, 
inclusive, à conclusões completamente 
equivocadas.
Em engenharia, o DOE é utilizado em 
conjunto com outras técnicas estatísticas, 
como as cartas de controle de processos, 
por exemplo, ou combinado ao ciclo PDCA. 
Nesses casos o objetivo é, normalmente, 
estudar os efeitos de possíveis fatores 
sobre o resultado de um processo, expresso 
como uma característica da qualidade do 
produto (ou processo). O planejamento de 
experimentos pode ser deinido assim:
Um experimento é um procedimento no 
qual alterações propositais são feitas 
nas variáveis de entrada de um processo 
ou sistema, de modo que se possa 
avaliar as possíveis alterações sofridas 
pela variável resposta como também as 
razões destas alterações (WERKEMA & 
AGUIAR, 1996).
Todo processo ou sistema é impactado 
pelos insumos e por um conjunto de fatores. 
O objetivo do DOE é identiicar quais são os 
fatores que atuam sobre o processo, quais 
desses fatores são controláveis e, dentre os 
controláveis, qual a relação que têm com o 
resultado do processo ou a característica 
de qualidade de interesse. A igura 
abaixo ilustra essa situação, podem estar 
aturando sobre o sistema os insumos, os 
equipamentos, as informações do processo, 
as condições ambientais, as pessoas, os 
métodos e os procedimentos:
unidade 6
107
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 33 - Modelo geral de um processo ou sistema
Fatores de ruído 
(não controláveis)
SISTEMA 
(PRODUTO/PROCESSOEntradas
V 
Varíaveis resposta 
(Características de 
Qualidade)
Fatores controláveis 
(especiicados pelo pesquisador)
Fonte: WERKEMA & AGUIAR, p.15, 2006. Adaptado. 
Considere uma situação em que se deseja estudar a resistência à compressão de um concreto. 
O engenheiro civil identiicou que existem quatro tipos de técnicas de mistura desse concreto 
e ele acredita que a resistência à compressão resultante varia conforme a técnica de mistura 
utilizada. O objetivo do engenheiro é determinar qual a técnica produzirá o concreto com maior 
resistência.
Com esse objetivo, decidiu produzir uma série de corpos de prova, utilizando cada uma das 
quatro técnicas e medindo a resistência à compressão desses concretos. A resistência média 
seria utilizada para determinar qual seria a melhor técnica de mistura.
Analisando o experimento com mais cautela, o engenheiro detectou várias questões que 
deveriam ser respondidas antes do início da coleta de dados: existem apenas essas quatro 
técnicas de mistura ou existem outras? Por que foram escolhidas estas quatro técnicas? 
Existem outros fatores que possam afetar a resistência à compressão do concreto? Quantos 
corpos de prova devem ser produzidos com cada técnica? De que modo os corpos de prova 
devem ser alocados às diferentes técnicas de mistura? Qual método de análise de dados deve 
ser utilizado? Qual resistência à compressão deverá ser considerada signiicativa do ponto de 
vista prático?
Em todo experimento, a forma de coleta dos dados é fundamental para interpretação dos 
resultados e, consequentemente, para coniabilidade do estudo. Suponha que nesse estudo 
unidade 6
108
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
sobre a resistência à compressão do 
concreto tenham sido utilizados quatro 
sacos de cimento, provenientes de quatro 
fornecedores distintos, sendo alocados da 
seguinte maneira:
Técnica de mistura 1 – cimento do 
fornecedor A
Técnica de mistura 2 – cimento do 
fornecedor B
Técnica de mistura 3 – cimento do 
fornecedor C
Técnica de mistura 4 – cimento do 
fornecedor D
Você concorda com esse procedimento? 
Ao adotá-lo, o engenheiro assumiu que as 
características do cimento dos diferentes 
fornecedores são idênticas, ou que qualquer 
diferença entre os cimentos não exerceria 
influência sobre a resistência à compressão 
dos corpos de prova. Entretanto, não 
podemos tomar essa conduta, pois é 
bem provável que existam características 
especíicas de cada fornecedor que 
poderiam impactar na resistência à 
compressão dos corpos de prova.
Da maneira como o estudo foi conduzido 
pelo engenheiro, quando forem obtidas 
as resistências à compressão médias de 
cada técnica ele não será capaz de dizer 
quanto da diferença observada é resultado 
da técnica de mistura utilizada e quanto 
é resultado das diferenças inerentes aos 
quatro tipos de cimento utilizados. Nesse 
caso, dizemos que o efeito da técnica de 
mistura foi confundido com o efeito do 
tipo de cimento. Vamos apresentar agora 
três princípios básicos do planejamento 
de experimentos que devem ser sempre 
utilizados. Estes princípios são: réplica, 
aleatorização e blocagem.
As réplicas são repetições do experimento 
feitas sob as mesmas condições 
experimentais. No exemplo que estamos 
considerando, uma réplica do experimento 
completo consiste em medir a resistência 
à compressão de um corpo de prova 
produzido pela técnica de mistura 1, outro 
pela técnica 2, outro pela técnica 3 e outro 
pela técnica 4. Se três corpos de prova 
foram produzidos para cada técnica, 
dizemos que foram produzidas três réplicas 
do experimento (veja que teremos 3 x 4 = 12 
corpos de prova, mas apenas três réplicas).
É muito importante que as réplicas sejam 
produzidas sob as mesmas condições 
experimentais. Isso signiica que todos 
os demais fatores que possam exercer 
impacto sobre a característica resultante de 
interesse devem ser mantidos constantes.
O segundo princípio básico do DOE é a 
aleatorização. De acordo com esse princípio, 
são deinidos de maneira aleatória tanto a 
ordem de realização dos ensaios individuais 
unidade 6
109
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
do experimento, quanto a alocação de cada 
corpo de prova às respectivas condições 
experimentais. Esse princípio garante 
que o efeito dos fatores não controláveis 
sejam distribuídos igualmente ao longo de 
todos os ensaios, evitando assim que haja 
confusão do efeito desses fatores com o 
efeito dos fatores de interesse.
No exemplo citado, suponha que os corpos 
de prova serão produzidos por operadores 
distintos e, comose sabe, a habilidade dos 
operadores pode influenciar a qualidade 
do concreto produzido. Logo, se todas as 
amostras produzidas através da técnica de 
mistura 1 forem feitas pelo operador menos 
experiente, poderemos estar continuamente 
colocando a técnica de mistura 1 em 
desvantagem, em relação às outras 
técnicas de mistura. A distribuição aleatória 
da ordem de produção de cada corpo de 
prova para cada operador atenuaria esse 
problema.
O terceiro e último princípio básico é o 
princípio da blocagem. Chamamos de 
blocos os conjuntos homogêneos de 
unidades experimentais. No exemplo 
considerado, os corpos de prova são 
produzidos com cimento de fornecedores 
distintos. Logo são bastante heterogêneos 
em relação a outros fatores além da técnica 
de mistura.
Para resolver esse problema, podemos 
realizar o experimento da seguinte maneira: 
Cada pacote de cimento será utilizado 
para produzir um corpo de prova para cada 
técnica de mistura. Nesse caso, cada bloco 
é um pacote de cimento (fornecedor) que 
será utilizado para produzir quatro corpos 
de prova. A igura 34 ilustra como icaria o 
experimento. Cada retângulo vertical (azul 
claro) é considerado um bloco enquanto 
cada retângulo horizontal (azul escuro) é 
um corpo de prova produzido por uma das 
quatro técnicas de mistura. Logo, para o 
cimento proveniente do fornecedor A, por 
exemplo, serão produzidos quatro corpos 
de prova, um para cada técnica de mistura. 
Este procedimento é mais adequado que 
aquele proposto pelo engenheiro no início 
da seção, em que cada pacote de cimento 
seria utilizado para produção de quatro 
corpos de prova, utilizando uma única 
técnica de mistura.
unidade 6
110
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 34 - Blocagem dos cimentos para cada tipo de técnica de mistura do concreto
FORNECEDOR A FORNECEDOR B FORNECEDOR C FORNECEDOR D
Téc. 1 Téc. 1 Téc. 1 Téc. 1
Téc. 2 Téc. 2 Téc. 2 Téc. 2
Téc. 3 Téc. 3 Téc. 3 Téc. 3
Téc. 4 Téc. 4 Téc. 4 Téc. 4
Fonte: Elaborado pelo autor
TERMINOLOGIA 
BÁSICA
Agora que você já aprendeu quais são os princípios básicos do DOE, vamos aprender alguns 
termos comuns e muito úteis para o bom planejamento do experimento. Serão apresentados 
seis termos básicos, a saber: Unidade Experimental, Fatores, Níveis de um Fator, Tratamento, 
Ensaio e Variável Resposta (ou desfecho). Para melhor entendimento, vamos utilizar o exemplo 
sobre resistência à compressão do concreto, do tópico anterior, e deinir cada termo.
A Unidade Experimental é a unidade básica para a qual será feita a medida da resposta. No 
nosso exemplo, cada unidade experimental corresponde a um corpo de prova do concreto 
utilizado no estudo.
Os Fatores são os tipos distintos de condições que são manipuladas as unidades 
experimentais. Ou seja, são as variáveis controláveis que podem exercer influência sobre a 
variável resposta. E desejamos conhecer essa influência. No exemplo citado temos um único 
fator: técnica de mistura.
Os Níveis de um fator são os diferentes modos de presença de um fator no estudo considerado. 
No exemplo citado, os níveis do fator técnica de mistura são os diferentes tipos de técnica: 
Técnica 1, Técnica 2, Técnica 3 e Técnica 4. Podemos dizer, portanto, que nosso fator tem 
quatro níveis.
unidade 6
111
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Chamamos de Tratamento as combinações 
especíicas dos níveis de diferentes fatores. 
Quanto temos apenas um fator, como no 
nosso exemplo, os tratamentos são os 
próprios níveis dos fatores, Tratamento 
1 = Técnica 1, Tratamento 2 = Técnica 2, 
Tratamento 3 = Técnica 3 e Tratamento 4 = 
Técnica 4.
Em alguns estudos podemos desejar 
estudar dois ou mais fatores com diferentes 
níveis. Nesses casos, os tratamentos 
seriam a combinação de cada nível do fator 
1 com cada um dos diferentes níveis do 
fator 2. Suponha que um engenheiro deseja 
estudar o efeito de dois métodos de pintura 
de para-choques de automóveis (imersão e 
aspersão) e de três tipos de tinta (A, B e C) 
sobre a força de adesão da tinta. 
Aqui, o fator 1 seria o método de pintura, 
que tem dois níveis (Imersão e Aspersão) e 
o fator 2 seria o tipo de tinta, que tem três 
níveis (A, B e C). Para esse estudo, teríamos 
2x3=6 tratamentos, a saber: T1 = Imersão + 
Tinta A, Imersão + Tinta B, Imersão + Tinta 
C, Aspersão + Tinta A, Aspersão + Tinta B 
e por im, Aspersão + Tinta C. Observe que 
a unidade experimental seria cada um dos 
para-choques sobre os quais aplicaríamos 
os distintos tratamentos.
Deinimos como Ensaio cada realização do 
experimento em uma determinada condição 
de interesse (tratamento), ou seja, ao aplicar 
um tratamento a uma unidade experimental, 
realizamos um ensaio. No nosso exemplo 
sobre a resistência à compressão do 
concreto, cada ensaio consiste em produzir 
um corpo de prova utilizando determinada 
técnica de mistura do concreto.
No exemplo sobre os métodos de pintura de 
para-choques automotivos, um ensaio seria 
aplicar um tratamento em uma unidade 
experimental (para-choque), por exemplo, 
pintar um para-choque por Imersão usando 
tinta A.
Por im, o termo Variável Resposta, você 
já conheceu nas unidades anteriores, 
nada mais é que o resultado de interesse 
registrado após a realização de um ensaio. 
No exemplo sobre as técnicas de mistura do 
concreto, a variável resposta é a resistência 
à compressão do corpo de prova produzido 
com cada uma das técnicas de mistura. Já 
no exemplo sobre os métodos de pintura 
de para-choques automotivos, a variável 
resposta é força de adesão da tinta sobre o 
para-choque, medida após a aplicação da 
tinta com cada método de aplicação e tipo 
de tinta.
unidade 6
112
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
Considere que você tenha uma máquina de 
secar roupas que trabalha com diferentes 
níveis de temperatura e deseja determinar o 
efeito do nível de temperatura sobre o tempo 
de secagem das roupas.
a) Defina para essa situação cada um 
dos seis termos básicos.
b) O que seria uma réplica nesse estudo?
c) Descreva um viés de amostragem 
que poderia ser resolvido pela 
aleatorização.
d) Descreva um viés de amostragem que 
poderia ser resolvido pela blocagem.
SOLUÇÂO:
a) Unidade Experimental: Cada trouxa de 
roupa molhada que será introduzida para 
secagem.
Fator: O fator, nesse caso, é a temperatura 
de operação da máquina de lavar.
Níveis do fator: Os níveis do fator são 
as diferentes faixas de temperatura da 
secadora, podendo ser Baixo, Médio e Alto, 
por exemplo.
Tratamento: Como estamos trabalhando 
com um único fator, os níveis do fator 
são o próprio tratamento, logo, T1=baixo, 
T2=médio e T3 = Alto.
Ensaio: Um ensaio seria secar uma trouxa 
de roupa utilizando temperatura baixa, por 
exemplo. Outro ensaio seria secar outra 
trouxa de roupa utilizando temperatura alta.
Variável resposta: A variável resposta 
desse estudo é o tempo para secagem das 
roupas, que pode ser medido em minutos, 
por exemplo.
b) Para este estudo, uma réplica seria secar 
umas três trouxas de roupa, sendo uma 
para cada nível de temperatura da secadora, 
ou seja, um ensaio para cada um dos 
tratamentos existentes.
c) A temperatura ambiente poderia ser um fator, 
de maneira que, caso realizássemos todos 
os ensaios com tratamento 1 (temperatura 
baixa) no período manhã (normalmente mais 
frio) e todos os ensaios com tratamento 
3 (temperatura alta) no período da tarde 
(normalmente mais quente), por exemplo, 
no final não saberíamos dizer quanto da 
diferença no tempo de secagem é devido 
aos diferentes níveis de temperatura da 
máquina, e quanto é devido à variação 
da temperatura ambiente. Aleatorizando 
a ordem de realização dos ensaios 
atenuaríamos esse problema.
d) Diferentes tipos de roupa poderiam ser um 
problema, uma vez que roupas com malhas 
mais grossas levam um tempo maior para 
secar do que outras. Devem-se agrupar as 
unidade 6
113
ESTATÍSTICAE PROBABILIDADES
roupas por características semelhantes de fabricação, como leveza do pano, tamanho das peças. 
A quantidade das mesmas também deve ser controlada para que cada ensaio seja feito de forma 
mais homogênea possível. Por exemplo, se tiver disponível três peças de moletom, deve-se alocar 
uma a cada trouxa de roupas, ou se tiver seis peças jeans, deve-se alocar duas para cada trouxa 
de roupas.
REVISÃO
Nesta unidade você aprendeu que, para calcular o tamanho amostral, diversos fatores devem 
ser levados em consideração. Em especial você aprendeu a calcular o tamanho amostral em 
quatro situações: quando o objetivo do estudo é a estimativa de uma proporção populacional, 
sendo o tamanho populacional inito ou “ininito”. E quando o objetivo do estudo é a estimativa 
de uma média populacional, novamente, sendo o tamanho populacional inito ou “ininito”. O 
quadro abaixo resume essas situações:
QUADRO 4 - Equações para cálculo de tamanho amostral segundo objetivos do estudo
Estimar uma proporção populacional Estimar uma média populacional
População Ininita: Equação 1
n = Za/2 pq 
População Ininita: Equação 3
n = { Za/2Ợ }2
 
População Finita: Equação 2
n = Nqp (Za/2)
2 
População Finita: Equação 2
n = Nσ2 (Za/2)
2 
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
E2 E
pq (Za/2)
2 + (N - 1) E2 (N - 1) E2 + σ2(Za/2)
2
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Você aprendeu também que em qualquer área do conhecimento a coleta de dados deve ser 
sempre precedida pelo planejamento do experimento. Essa prática assegura a coniabilidade 
dos resultados e simpliica os métodos de análise. Por outro lado, a não observância dessa 
prática inviabiliza a utilização dos resultados a despeito de qualquer técnica estatística, por 
mais soisticada que seja.
Neste sentido, os princípios básicos que você aprendeu foram: réplica, aleatorização e 
unidade 6
114
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
blocagem. E também os seis termos básicos 
utilizados em qualquer planejamento 
de experimentos, a saber: Unidade 
Experimental, Fatores, Níveis de um fator, 
Tratamento, Ensaio e Variável Resposta.
PARA SABER 
MAIS
Se você tem interesse em aprender mais 
sobre o cálculo do tamanho de amostra para 
estimação de médias ou proporções, levando em 
consideração o nível de coniança e margem de 
erro da estimativa, leia o capítulo 8 do livro: 
MONTGMOMERY, Douglas C. George C. Runger. 
Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. trad e rev téc Verônica Calado - Rio 
de Janeiro: LTC, 2009.
Para este assunto você pode ler também o 
capítulo 7 do livro: 
TRIOLLA, Mario F. Introdução à Estatística: 
Atualização da tecnologia. trad e rev téc Ana 
Maria Lima de Farias, Vera Regina Lima de Farias 
e Flores. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
Se você tem interesse em aprofundar sobre 
Planejamento de Experimentos, leia o capítulo 
13 do livro: 
MONTGMOMERY, Douglas C. George C. Runger. 
Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. trad e rev téc Verônica Calado. Rio 
de Janeiro: LTC, 2009.
Ou você pode ler o capítulo 1 do livro: 
WERKEMA, Maria Cristina Catarino; AGUIAR, 
Silvio. Planejamento e análise de experimentos: 
Como Identiicar as principais variáveis 
influentes em um processo. Belo Horizonte: 
Fundação Cristiano Ottoni, Escola de Engenharia 
da UFMG, 1996. 
7UNIDADE
unidade 7
116
TESTES DE 
HIPÓTESES
O 
teste de hipóteses é uma técnica estatística utilizada para avaliar alguma 
airmação feita sobre uma população de interesse através de dados amostrais. 
Por exemplo: um engenheiro pode estar interessado em avaliar a hipótese de que 
o tempo de duração de um fusível seja de 1.000 horas, contra a hipótese de que tal valor 
seja diferente de 1.000 horas. Essa seria uma airmação sobre uma média, uma vez que a 
variável de interesse – tempo de duração – é quantitativa. Nesse caso, o objetivo é testar 
se a hipotética média de 1.000 horas é verdadeira.
No exemplo em questão, seria impraticável observar o tempo de duração de todos os fusíveis 
fabricados, ou seja, da população de interesse. De forma que é necessária a utilização de 
dados amostrais. O engenheiro poderia selecionar alguns fusíveis, calcular o valor da média e 
comparar com o valor proposto de 1.000 horas.
Você irá aprender que, além de avaliar airmações sobre médias, as hipóteses estatísticas 
também podem ser testadas para outros parâmetros de interesse, como proporções (em caso 
de variáveis categóricas), desvio-padrão, medianas, etc.
unidade 7
117
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
A CONSTRUÇÃO E O 
SIGNIFICADO DE UMA 
HIPÓTESE ESTATÍSTICA
Uma hipótese estatística pode ser 
construída a partir de alguma teoria sobre 
determinado assunto, ou através de 
alguma airmação sobre certo parâmetro 
da população em análise. No caso do 
engenheiro interessado em testar se o 
tempo médio de duração de um fusível é 
1.000 horas, a hipótese não se deu através 
de uma teoria, mas possivelmente em 
função da experiência dele com o assunto.
Um teste estatístico tem como objetivo o 
fornecimento de evidências para subsidiar a 
decisão de rejeitar ou não rejeitar uma hipótese 
sobre algum parâmetro de uma população 
através de dados obtidos por uma amostra.
A airmação sobre a média populacional 
é tida como a hipótese nula. Damos o 
nome de hipótese alternativa à airmação 
contrária à da hipótese nula.
CONCEITO CONCEITO
Hipótese nula: Refere-se a uma airmação do 
que queremos provar sobre algum parâmetro. 
Geralmente representada por H0.
Hipótese alternativa: Refere-se a uma airmação 
contrária ao que queremos provar. Geralmente 
representada por H1 ou Ha.
Exemplo 7.1
Um fabricante airma que o tempo médio 
de secagem da tinta de sua marca é de 30 
minutos. Uma pessoa decide testar se essa 
airmação é verdadeira. Para isso, marca o 
tempo de secagem de 40 paredes e depois 
calcula a média. Quais seriam as hipóteses 
nula e alternativa?
SOLUÇÃO:
A hipótese nula é o tempo de secagem, igual 
a 30 minutos. 
A hipótese alternativa é o contrário (ou 
o complemento): o tempo de secagem é 
diferente de 30 minutos. As hipóteses são 
representadas da seguinte forma:
H0: μ = 30 minutos
H1: μ ≠ 30 minutos
Além da deinição acerca das hipóteses, 
o nível de signiicância também deve ser 
escolhido pelo analista.
Nível de signiicância: Consiste na probabilidade 
de rejeitar a hipótese nula, dado que ela é 
verdadeira. Geralmente é representado pela letra 
grega alfa (α). O nível de signiicância também é 
conhecido como erro tipo I.
unidade 7
118
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Qual seria o significado da expressão “... 
rejeitar a hipótese nula, dado que ela é 
verdadeira”? Assim como no exemplo do 
tempo de duração do fusível, em que o 
analista resolve testar se a afirmação de 
que o fusível sobrevive por 1.000 horas, 
a operacionalização do teste ocorre a 
partir de dados amostrais. Nesse caso, 
pode ser obtida uma amostra muito ou 
pouco parecida com a população. Tanto 
no primeiro como no segundo caso 
existem probabilidades associadas. 
Existem chances de coletar uma amostra 
que dê evidências de que a hipótese seja 
rejeitada, mesmo quando, na verdade, 
a hipótese seja verdadeira. O analista 
sempre corre o risco de tomar uma 
decisão equivocada no que se refere à 
rejeição ou não da hipótese nula, cabendo 
a ele escolher quanto risco aceita correr. 
Esse risco é conhecido como nível de 
significância e geralmente é estipulado 
em 10%, 5% ou 1%. Dessa forma, ao 
efetuar um teste de hipóteses com 5% de 
significância, podemos afirmar que exista 
5% de probabilidade de rejeitar a hipótese 
nula, quando na verdade ela é verdadeira, 
ou seja, 5% de chance de cometer o erro 
tipo I.
Os testes de hipótese com afirmações 
sobre médias ou proporções podem ser 
feitos principalmente com uma ou duas 
amostras. No primeiro caso é testada 
uma afirmação sobre o valor que a 
variável assume. No segundo caso são 
comparados os valores de médiaou 
proporção entre dois grupos. Além disso, 
podemos fazer testes unilaterais ou 
bilaterais. O próximo tópico aborda o teste 
bilateral com uma amostra.
TESTES PARA 
UMA AMOSTRA
A distribuição da estatística de teste 
tende para o formato de uma distribuição 
normal quando o tamanho da amostra é 
relativamente grande (geralmente maior 
ou igual a 30). Se o tamanho da amostra 
for pequeno (menor do que 30) e o desvio-
padrão for desconhecido, a distribuição da 
estatística de teste apresenta formato mais 
próximo da distribuição t de Student. Essa 
informação é importante porque deinirá até 
que valor da estatística de teste a hipótese 
deve ser rejeitada. 
TESTES DE GRANDES 
AMOSTRAS PARA 
UMA MÉDIA 
POPULACIONAL
O exemplo a seguir consiste numa situação 
em que é feita uma airmação acerca 
do valor de uma média (parâmetro mais 
testado quando trabalhamos com variáveis 
quantitativas).
unidade 7
119
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Exemplo 7.2
Uma indústria realiza o empacotamento 
do produto café em grãos. Um dos 
objetivos é que a embalagem contenha 
500 gramas de café. É natural que em 
situações como essa exista alguma 
variação no peso do produto empacotado. 
Dessa forma, podem ter pacotes com 
498 gramas, com 502 gramas, com 501 
gramas, com 499 gramas, ou qualquer 
outro valor próximo do especificado. 
No entanto, a indústria geralmente 
trabalha para que exista certa margem 
de aceitação tanto para cima quanto para 
baixo, devido aos seguintes fatores: 
 a) pacotes com volume muito 
alto podem provocar aumento 
exagerado de custos;
 b) pacotes com peso muito abaixo 
dos 500 gramas podem provocar 
sanções à indústria junto aos 
órgãos de iscalização. 
Para certificar de que o peso esteja 
dentro da margem aceitável, pode ser 
inviável verificar todos os produtos 
embalados (ou seja, toda a população 
de interesse). Nesse contexto, torna-se 
interessante utilizar amostras para testar 
se o processo encontra-se dentro de 
padrões aceitáveis, ou seja, para testar se 
o processo encontra-se sobre controle.
Suponha que um proissional especializado 
em controle estatístico de processos resolva 
fazer esse teste. Nesse caso, o objetivo é 
testar a hipótese de que o processo esteja 
sob controle, ou seja, que o peso médio 
do café após empacotamento seja de 500 
gramas. Para a operacionalização do teste, 
36 pacotes foram inspecionados (pesados). 
Sabendo que a média obtida através dessa 
amostra foi de 502 gramas, e que o desvio-
padrão foi de 3 gramas, podemos airmar 
que o processo está sob controle? 
Para operacionalizar esse teste, devemos 
seguir as seguintes etapas:
1ª etapa: Estabeleça as hipóteses de 
interesse
No caso em estudo, o parâmetro2 a ser 
testado é a média. Temos o interesse em 
veriicar se ela é igual a 500 gramas. Então 
devemos estabelecer as hipóteses nula e 
alternativa. Dessa forma, as hipóteses são:
H0: μ = 500 gramas
H1: μ ≠ 500 gramas
2 - Um parâmetro refere-se à determinada medida 
que caracterize a população de interesse. Os 
parâmetros mais frequentemente investigados 
através dos testes de hipóteses são: a 
média, o desvio-padrão, no caso de variáveis 
quantitativas e a proporção, no caso de variáveis 
categóricas.)
unidade 7
120
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Note que o teste refere-se à média 
populacional e não amostral. A média 
amostral será utilizada como base para 
tomar a decisão sobre rejeição ou não 
rejeição da hipótese nula.
2ª etapa: Obtenção da estatística de teste 
O valor médio obtido pela amostra foi: = 
502 gramas. Será que esse valor foi obtido 
em função da variabilidade amostral3 , ou 
seja, o valor obtido de 502 gramas é próximo 
do valor proposto de μ = 500 gramas? Para 
respondermos a essa questão devemos 
veriicar qual a probabilidade de obter o 
valor 502 gramas, levando em consideração 
a distribuição das médias amostrais, 
ou seja, a possibilidade de obtenção de 
resultados diferentes de amostra para 
amostra. Para isso, utilizamos a distribuição 
normal padronizada quando o valor de σ é 
conhecido ou quando o tamanho da amostra 
é razoavelmente grande (geralmente igual 
ou acima de 30). Quando a amostra é 
pequena (geralmente menor do que 30) e o 
desvio-padrão é desconhecido, utilizamos 
a distribuição t para avaliar a probabilidade 
em questão. Como no presente exemplo 
temos uma amostra de tamanho igual a 
36, podemos trabalhar com a distribuição 
normal padronizada. Nomeamos o valor 
obtido da estatística de teste, que é 
calculada de acordo com a fórmula abaixo:
Z = 
 - μ
Essa fórmula permite que a média 
amostral obtida passe de qualquer escala 
(em gramas, no presente exemplo) para 
número de desvio-padrão. Isso possibilita 
traçar comparações com os valores de 
probabilidade da distribuição normal 
padronizada (em que a unidade de medida 
é a quantidade de desvio-padrão). Sem 
esse procedimento, essa comparação seria 
pouco viável. A fórmula é composta dos 
seguintes itens:
Z: Escore da distribuição normal 
padronizada
: Média obtida através da amostra
μ: Valor da média populacional a ser testada
σx: Valor do desvio-padrão da distribuição 
das médias amostrais. 
σx = 
σ
Caso não se conheça o desvio-padrão 
populacional σ (situação muito comum), 
podemos utilizar o desvio-padrão obtido 
através da amostra:
sx = 
σ
3 - A variabilidade amostral ocorre porque 
existem chances de tomarmos tanto amostras 
parecidas com a população de interesse quanto 
amostras pouco semelhantes à população. 
Qualquer processo de amostragem sujeita-se a 
essa situação. Cabe ao pesquisador levar esse 
fato em consideração ao construir um teste de 
hipóteses
σx
√n
√n
unidade 7
121
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Dessa forma, a estatística de teste passa a ser:
Z = 
 - μ
Com os dados do problema, temos então:
Z = 
502 - 500 = 4,0
O número obtido signiica que 502 gramas encontram-se a 4,0 desvios-padrão de distância da 
média populacional de 500 gramas. Mas esse valor é perto ou longe da média populacional? 
• Quando Z = 0, pode-se airmar que a média amostral é exatamente igual ao valor 
hipotético da média populacional. 
• Quando Z = 1, a probabilidade do valor da média amostral ter sido obtido devido à 
flutuação amostral é de aproximadamente 34%, pois 68% dos dados encontram-se a 
até um desvio-padrão de distância da média, conforme a igura 8.1
s/√n
s/√36
FIGURA 8.1: Área da distribuição normal padronizada 
de acordo com o número de desvios-padrão.
Fonte: TRIOLA, 2013, p. 88.
unidade 7
122
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
• Quando Z = 2, a probabilidade do valor da média amostral ter sido obtido devido à 
flutuação amostral é de aproximadamente 5%, pois 95% dos dados encontram-se a 
até um desvio-padrão de distância da média4.
• Quando Z = 3, a probabilidade do valor da média amostral ter sido obtido devido à 
flutuação amostral é de aproximadamente 0,2%, pois 99,8% dos dados encontram-se 
a até um desvio-padrão de distância da média.
Utilizando o mesmo raciocínio, com o valor de Z = 4,0, depreende-se que a probabilidade do 
valor da média amostral ter sido obtida devido à flutuação amostral seja bem menor que 0,2%. 
Dessa forma, o valor de Z = 4 signiica que os 502 gramas obtidos pela amostra apresentam 
uma grande distância dos 500 gramas propostos na hipótese nula (a distância de 2 gramas 
corresponde a 4 desvios-padrão). O fato dos valores serem tidos como distantes implica 
na rejeição da hipótese nula. Para deinir quais valores do escore Z são considerados altos, 
utiliza-se o desenho da distribuição normal padronizada, conforme o 3º passo.
Os valores acima podem ser obtidos através de um software estatístico, ou pela tabela Z.
3ª etapa: Obtenção da região de rejeição
Para tomar a decisão de rejeitar ou não a hipótese nula, podemos utilizar o diagrama da igura 8.2:
4 - Observe pela Figura 8.1 que 34% + 13,5% = 47,5%. Ao multiplicarmos esse valor por dois, obtemosos 95%. 
FIGURA 8.2 - Regiões de rejeição da hipótese nula
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 7
123
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
A igura 8.2 representa a distribuição normal 
padronizada. A área em vermelho refere-
se à região de rejeição da hipótese nula. 
Valores menores que - 1,96 desvios-padrão 
ou maiores que + 1,96 desvios-padrão são 
considerados demasiadamente afastados 
quando consideramos uma signiicância de 
5% para o teste bilateral (ou seja, podemos 
considerar que tais valores sejam pontos de 
corte). Dessa forma, cada uma das áreas 
em vermelho representa 2,5% dos dados. A 
área total abaixo dos dados (soma da área 
verde com a área vermelha) representa 
100% dos dados.
Quando o valor da estatística de teste 
encontra-se na região em vermelho, 
consideramos pouco provável que a média 
amostral (ou outra estatística) tenha sido 
resultado das flutuações amostrais. Os 
valores críticos (- 1,96 e 1,96) foram obtidos 
pelo percentil 97,5 da tabela da distribuição 
normal padronizada. Podem ser calculados 
também através de softwares estatísticos. 
A igura 8.3 indica de onde os dados foram 
obtidos.
Devemos procurar na tabela o valor do nível 
de signiicância dividido por 2, ou seja α⁄2, 
pois o teste é bilateral, o que implica em 
duas regiões de rejeição (as caudas direita 
e esquerda da distribuição, conforme a 
igura 8.3). Observe que a combinação da 
linha com a coluna gera o valor do escore 
Z = 1,96. O número 1,96 foi obtido através 
da combinação da coluna e linha formados 
pelo valor 0,0250 referente à área da cauda 
direita (ou esquerda) da distribuição normal 
padronizada.
unidade 7
124
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.3 - Distribuição normal padrão
Fonte: BARBETTA, 2010, p. 377
unidade 7
125
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
4ª etapa: Conclusão
Com base nos valores obtidos pela estatística 
de teste e pela região de rejeição, tomamos 
uma decisão em relação à hipótese nula. 
No caso em questão, a decisão é rejeitá-la, 
pois o valor 4 desvios-padrão (relativo aos 2 
gramas de distância entre a média amostral 
e a média populacional proposta na hipótese 
nula) pode ser considerado muito longe da 
média, uma vez que se encontra na parte 
vermelha do diagrama. A estatística de teste 
no valor de 4,00 é maior do que o valor crítico 
de + 1,96 (número obtido na tabela da Figura 
8.3, que serve de referência para rejeição ou 
não rejeição da hipótese nula).
Exemplo 7.3
Um processo foi delineado para fabricar 
bancadas de tamanho igual a 120 
centímetros. Para veriicar se o processo 
encontra-se sob controle, um especialista 
coletou uma amostra de 64 peças. Foi 
obtida uma média amostral = 120,2 
centímetros, com desvio-padrão s = 1,6 
centímetros. Teste a hipótese de que o 
processo encontra-se sob controle, ou seja, 
que a média populacional μ seja igual a 120 
centímetros. Use signiicância de 10%.
1ª etapa: Estabeleça as hipóteses de 
interesse
H0: μ = 120 centímetros
H1: μ ≠ 120 centímetros
2ª etapa: Obtenção da estatística de teste 
Z = 
 - μ
s/√n
1,6/√64
Com os dados do problema, temos então:
Z = 120,2 - 120,0
3ª etapa: Obtenção da região de rejeição
unidade 7
126
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.4 - Regiões de rejeição da hipótese nula.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O valor crítico de 1,645 positivo (ou negativo) foi obtido pela combinação da linha e coluna 
relativas à área igual a 0,050 (0,100 dividido por 2)5 da tabela da distribuição normal padrão da 
igura 8.4.
5 - O valor 0,10 refere-se aos 10% escolhidos como nível de signiicância pelo pesquisador. Tal valor consiste 
na probabilidade de rejeitar a hipótese nula, dado que ela é verdadeira, ou seja, probabilidade de tomar uma 
decisão equivocada em relação à hipótese.
unidade 7
127
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.5 - Distribuição normal padrão
Fonte: BARBETTA, 2010, p. 377
unidade 7
128
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
4ª etapa: Conclusão
Como o valor de Z = 1,00 obtido pela 
estatística de teste não supera a valor 
crítico de 1,645, ou seja, não pertence à 
região crítica, não rejeitamos a hipótese 
nula. Não podemos descartar a hipótese de 
que a média seja 120 centímetros. Portanto, 
há indícios de que o processo encontra-se 
sob controle.
TESTES DE HIPÓTESES 
PARA AMOSTRAS 
PEQUENAS 
Nos exemplos 7.2 e 7.3 as amostras têm 
tamanho maior que 30. Quando a amostra 
for pequena (menor do que 30) e o desvio-
padrão for desconhecido (situação mais 
frequente), devemos utilizar a Distribuição t 
de Student para realizar o teste.
O exemplo 7.4 consiste num problema de 
teste de média em que a amostra é pequena 
e o desvio-padrão (σ) é desconhecido.
Exemplo 7.4
Um engenheiro acredita que um processo 
esteja sob controle produzindo esferas com 
10 milímetros de diâmetro. Foi coletada 
uma amostra com 16 esferas cujo o valor 
obtido para a média foi X ฀ = 10,2 milímetros 
e desvio-padrão s = 0,20 milímetros. Teste 
a hipótese de que a média seja igual a 10 
milímetros. Use signiicância de 5%.
1ª etapa: Estabeleça as hipóteses de 
interesse
H0: μ = 10 milímetros
H1: μ ≠ 10 milímetros
2ª etapa: Obtenção da estatística de teste 
Nesse caso, devemos utilizar o escore t no 
lugar do Z:
Com os dados do problema, temos então:
t = - μ = 10,2 - 10,0 
3ª etapa: Obtenção da região de rejeição
Nesse caso, devemos trabalhar com a 
distribuição t:
s/√n 0,2/√16
unidade 7
129
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.6 - Distribuição t de Student
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para saber o valor crítico, devemos consultar a tabela t. Como a amostra conta com 16 
elementos, temos 15 graus de liberdade. Como o nível de signiicância é igual a 5%, devemos 
procurar o escore t na coluna do 0,05 (área em duas caudas, pois o teste é bilateral)
unidade 7
130
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.7 - Tabela da Distribuição t
Fonte: TRIOLA, 2013, p. 614.
4ª etapa: Conclusão
Como o valor 0,4 obtido pela estatística de teste não supera a valor crítico 2,13, obtido pela 
distribuição t, não rejeitamos a hipótese de que a média seja de 10 milímetros. Portanto, o 
processo encontra-se sob controle.
unidade 7
131
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TESTE PARA 
UMA PROPORÇÃO
Quando trabalhamos com variáveis 
quantitativas, o principal parâmetro de 
interesse costuma ser a média. Além da 
média, outros parâmetros também podem 
ser testados, como, por exemplo, o desvio-
padrão. No caso de variáveis categóricas, 
geralmente a medida de interesse a ser 
testada é uma proporção. 
No teste de hipóteses, o valor do erro padrão 
da proporção geralmente está baseado no 
uso do valor hipotético:
Sp = √π (1 -π)
n
A fórmula para o cálculo de Z para testar 
uma hipótese voltada para o valor da 
proporção da população é:
Sp
Z = p - π
O exemplo 7.5 consiste num teste de 
proporção.
Exemplo 7.5
Um engenheiro acredita que 30% dos 
trabalhadores de uma determinada 
firma ficam estressados quando fazem 
horas extras durante a madrugada. 
Foi coletada uma amostra com 49 
trabalhadores, dos quais 12 afirmaram 
se estressar nessa situação. Teste a 
hipótese de que a proporção seja de 
30%. Use significância de 5%.
1ª etapa: Estabeleça as hipóteses de 
interesse
H0: π = 0,30 
H1: π ≠ 0,30 
Observação 1: Enquanto a média é 
representada pela letra μ, a proporção é 
representada pela letra grega π (pi).
Observação 2: Para representarmos os 
30% propostos na hipótese nula, utilizamos 
a escala decimal. Dessa forma, o valor 
utilizado nos cálculos é 0,30 (ou seja, 30 
dividido por 100).
2ª etapa: Obtenção da estatística de teste 
Antes de obtermos o escore padronizado 
Z, devemos calcular o desvio-padrão da 
proporção populacional, dado pela fórmula 
a seguir:
unidade 7
132
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Sp = √π (1 -π) = √0,30 (1 - 0,30) = √0,21= √0,00428 = 0,0655
n
n 0,0655
49
49
49
O escore padronizado então é:
Z =
 p - π
 = 
0,2653 - 0,3000= 
- 0,0347
 = -,053
3ª etapa: Obtenção da região de rejeição
Como o teste é bilateral e com 5% de signiicância, obtemos através da tabela Z o valor crítico 
igual a - 1,96.
FIGURA 8.8 - Distribuição normal padronizada
Fonte: Elaborado pelo autor.
4ª etapa: Conclusão
O valor - 0,53, obtido pela estatística de teste, encontra-se fora da região de rejeição, sendo 
próximo de zero e longe do valor crítico de -1,96. Dessa forma, não rejeitamos a hipótese 
nula. Portanto, não há indícios de que a proporção de trabalhadores estressados na empresa 
estudada seja diferente de 30%.
No próximo tópico você verá situações em que o pesquisador tem como interesse comparar 
os valores dos parâmetros de duas amostras.
unidade 7
133
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TESTES PARA DUAS OU 
MAIS AMOSTRAS
Nos tópicos anteriores aprendemos a 
delinear testes de hipóteses bilaterais 
em que uma airmação numérica é feita 
sobre uma média ou uma proporção para 
uma amostra. Em algumas situações o 
pesquisador tem interesse em comparar 
tais valores em dois grupos. Nesse caso, 
podemos airmar que temos um teste 
de hipótese para a comparação de duas 
médias ou de duas proporções. 
TESTE PARA A 
COMPARAÇÃO 
DE DUAS MÉDIAS EM 
AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
Em várias situações devemos decidir se 
uma diferença observada entre as médias 
de dois grupos pode ser atribuída ao acaso 
ou se há indícios de que os valores obtidos 
de fato provêm de populações com médias 
diferentes. Quando desejamos comparar 
as médias obtidas por duas amostras 
independentes, utilizamos a seguinte 
estatística de teste:
Z = 
1 - 2
√s21 + s22n1 n2
O numerador apresenta as médias das 
duas amostras, enquanto o denominador 
consiste na raiz da soma dos desvios-
padrão divididos pelos respectivos 
tamanhos de amostras. No exemplo 7.6 é 
feito um teste em que são comparadas as 
médias de duas amostras.
Exemplo 7.6
Um engenheiro resolveu comparar o tempo 
de secagem de duas marcas diferentes de 
tintas para determinado tipo de parede. 
Para a marca A foram veriicados os tempos 
de secagem de 50 paredes. O tempo médio 
obtido foi A = 80 minutos, com desvio-
padrão s1 = 6 minutos. Para a marca B, 
foram veriicadas 40 paredes, com tempo 
médio B = 88 minutos e desvio-padrão 
s2 = 10 minutos. Teste a hipótese de que 
não existe diferença entre as médias. Use 
signiicância 1%.
1ª Etapa: Estabeleça as hipóteses de 
interesse
H0: μA = μB
H1: μA ≠ μB
2ª Etapa: Obtenção da estatística de teste 
Aplicando a fórmula, temos:
unidade 7
134
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
√62 +102 √36 +100 √0,72 + 2,5 √3,22 1,794450 50Z = 
1 - 2 
= 
80 - 88 
= 
- 8 
= 
 - 8 
= 
-8 
= 
-8 
= -4,46√s21 + s22n1 n2 40 40
3º Etapa: Obtenção da região de rejeição.
FIGURA 8.9 - Regiões de rejeição da hipótese nula.
O valor crítico de 2,33 positivo (ou negativo) foi obtido pela combinação da linha e coluna 
relativas à área igual a 0,005 (0,010 dividido por 2) da tabela da distribuição normal padrão.
4ª Etapa: Conclusão
Como o valor de Z = - 4,46 é bem inferior ao valor crítico - 2,33, obtido pela tabela da 
distribuição normal padronizada, rejeitamos a hipótese nula. Não há indícios de que o tempo 
médio de secagem das tintas seja diferente.
TESTE PARA A COMPARAÇÃO 
DE DUAS PROPORÇÕES
Quando se deseja testar a hipótese de que as proporções em duas populações são iguais, o 
procedimento é análogo ao teste para a comparação de médias. A fórmula é a seguinte:
Fonte: Elaborado pelo autor.
unidade 7
135
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Z = 
p1
 
-
 
p2
√p (1 - p) + p (1 - p) n1 n2
Onde p = x1 e p2 = x2 (proporções amostrais)
p = x1 + x2 (proporção amostral combinada)
Exemplo 7.7
Um especialista acredita que a proporção de trabalhadores com estresse ocupacional no 
turno da manhã seja estatisticamente diferente do turno da tarde. Uma amostra de 100 
trabalhadores foi estudada, sendo 50 pela manhã e 50 a tarde. No turno da manhã contou-se 
10 trabalhadores nessa situação. No turno da tarde contou-se 15. Teste a hipótese de que as 
proporções sejam diferentes nos respectivos turnos. Nível de signiicância: 5%.
1ª Etapa: Estabeleça as hipóteses de interesse
H0: p1 = p2
H1: p1 ≠ p2
2ª Etapa: Obtenção da estatística de teste 
Aplicando a fórmula, temos:
p = x1 + x2 = 10 + 15 = 25 = 0,25
p1 = 10 = 0,20
p2 = 15 = 0,30
ˆ ˆ
n1
n1 + n2
n1 + n2 50 + 50
50
50
100
n2
ˆ
ˆ
ˆ
Z = 
p1
 
-
 
p2 
= √p (1 - p) + p (1 - p) n1 n2
ˆ ˆ
 
 0,20 - 0,30 
= 
 
 - 0,10 
= 
 - 0,10 
= 
 - 0,10 
= -1,15
√0,25 (1 - 0,25) + 0,25 (1 - 0,25) 
√0,25 (0,75) + 0,25 (0,75) √0,0075 0,0866
50
50
50
50
unidade 7
136
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
3º Etapa: Obtenção da região de rejeição.
FIGURA 8.10 - Regiões de rejeição da hipótese nula.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O valor crítico de 1,96 positivo (ou negativo) foi obtido pela combinação da linha e coluna 
relativas à área igual a 0,025 (0,050 dividido por 2) da tabela da distribuição normal padrão.
4ª Etapa: Conclusão
O Z calculado de - 1,15 encontra-se fora da região crítica. Não rejeitamos a hipótese nula. 
Portanto, não há diferença na proporção de trabalhadores com estresse entre os turnos da 
manhã e tarde.
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
Os testes de hipótese são extremamente úteis na engenharia, principalmente no delineamento 
de experimentos. Em várias situações busca-se a otimização de processos. Espera-se que os 
insumos sejam combinados da melhor maneira possível, de forma a obter produtos de qualidade 
ao menor custo possível. Nesse contexto, diversos fatores podem determinar o sucesso de um 
processo de produção de produtos ou serviços.
Num processo produtivo em que determinada mercadoria é embalada de forma manual por um 
trabalhador, diversos fatores (ou seja, diversas variáveis) exercem influência sobre o desempenho 
unidade 7
137
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
desse trabalhador, como, por exemplo, a 
iluminação, a temperatura, o número de horas 
trabalhadas, e talvez até a altura de uma 
bancada. Dessa forma, a execução de um 
experimento com diversas combinações de 
valores que as variáveis possam assumir pode 
ser útil para a otimização do processo. Por 
exemplo: o desempenho dos trabalhadores é 
melhor quando a temperatura de um galpão é 
de 22 graus celsius, de 23 ou de 24? Como um 
experimento desse tipo depende da utilização 
de amostras, torna-se fundamental o uso 
de testes de hipóteses para obtenção de 
conclusões acerca do processo.
REVISÃO
Nessa unidade aprendemos os 
fundamentos dos testes de hipóteses. O 
principal objetivo deles é contrapor uma 
hipótese de interesse, conhecida como 
hipótese nula, a uma hipótese contrária, 
conhecida como hipótese alternativa, 
em relação a um parâmetro de interesse 
(geralmente a média, no caso de variáveis 
quantitativas e a proporção, no caso de 
variáveis categóricas).
As hipóteses podem ser unilaterais ou 
bilaterais. No primeiro caso, a hipótese 
nula de igualdade contrapõe-se à hipótese 
alternativa, em que o sinal é de menor 
ou maior. No caso dos testes bilaterais, 
na hipótese alternativa temos o sinal 
de diferente. Todos os exemplos dessa 
unidade focaram em testes bilaterais.
Para definir o tipo de teste a ser utilizado, 
levamos em consideração o tamanho 
da amostra e o conhecimento ou não do 
desvio-padrão populacional. Quando 
desconhecemos o desvio-padrão e a 
amostra tem tamanho inferior a 30, 
utilizamos o teste t. No caso de conhecer o 
desvio-padrão populacional ou a amostra 
igual ou superior a 30, utilizamos o teste 
Z. O nome do teste ocorre em função 
da distribuição da estatística de teste, 
que é construídaatravés do conjunto de 
possíveis amostras, o que é conhecido 
como distribuição amostral.
Os testes podem ser utilizados para 
verificar uma afirmação sobre uma 
amostra, sobre duas amostras ou sobre 
mais de duas amostras. Os dois primeiros 
casos foram abordados nessa unidade.
A grande utilidade do teste de hipóteses 
para o engenheiro ocorre no delineamento 
de experimentos e no controle estatístico 
de processos.
unidade 7
138
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
PARA SABER 
MAIS
LEVINE, David; BERENSON, Mark; STEPHAN, 
David. Estatística: teoria e aplicações - usando 
o Microsoft Excel em português. 6 ed. LTC, 2011, 
812 p.
MOORE, David. A estatística básica e sua prática. 
Rio de Janeiro: LTC, 2014.
TRIOLA, Mário. Introdução à Estatística: 
Atualização da Tecnologia. 11 ed. LTC, 2013. 
VitalBook ile.
Para uma fundamentação matemática mais 
aprofundada sobre o assunto, consulte a 
seguinte obra:
MONTGOMERY, Douglas; RUNGER, George 
Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
8UNIDADE
unidade 8
140
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E 
REGRESSÃO
A
o analisar um conjunto de dados, podemos ter interesse no relacionamento 
entre duas variáveis quantitativas. Dessa forma, poderíamos traçar o seguinte 
questionamento: um aumento no valor da variável X se relaciona a um aumento 
na variável Y? Qual seria a magnitude dessa relação? As técnicas de análise de correlação 
e análise de regressão podem ser utilizadas para estudos desse tipo.
A relação entre variáveis quantitativas pode ser modelada através de análise de correlação e 
regressão. Com a evolução da informática nos últimos 20 anos, essas técnicas têm sido cada 
vez mais utilizadas no ambiente empresarial.
Nesta unidade, você aprenderá a desenvolver cálculos para correlação e regressão tanto 
passo a passo como através do software Microsoft Excel.
unidade 8
141
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
ANÁLISE DE 
CORRELAÇÃO
Quando temos interesse em investigar o quanto duas variáveis quantitativas estão associadas, 
podemos utilizar uma medida conhecida como coeiciente de correlação.
CONCEITO
CONCEITO
O coeiciente de correlação mede o grau de intensidade do relacionamento linear entre duas variáveis 
quantitativas.
DIAGRAMA DE 
DISPERSÃO
Antes de calcular a correlação entre duas variáveis, é interessante representar os dados num 
diagrama de dispersão.
Diagrama de dispersão: Consiste na representação gráica de duas variáveis quantitativas no plano 
cartesiano. 
A igura 8.1 se refere a uma pesquisa com anúncios de vendas de 58 imóveis. As variáveis são: 
ÁREA DO IMÓVEL (em metros quadrados) e VALOR DO IMÓVEL (em R$ mil).
unidade 8
142
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.1 - Área do imóvel x valor do Imóvel
-
100 
200 
300 
400 
500 
600 
700 
800 
0 50 100 150 200 250 300
V
al
o
r 
d
o
 i
m
ó
ve
l 
(R
$ 
m
il
)
Área (em metros quadrados)
Fonte: Elaborado pelo autor
Através do gráico de dispersão é possível visualizar graicamente alguns aspectos relativos 
ao comportamento conjunto das variáveis, como: direção, forma e força da relação.
No que se refere à direção, a igura 8.1 apresenta indícios de que as variáveis (ÁREA e VALOR) 
estejam positivamente relacionadas, ou seja, parece que a direção é ascendente. Há situações 
em que as variáveis apresentam associação negativa6 como por exemplo o PREÇO e a 
QUANTIDADE DEMANDADA (para a maioria das mercadorias, quanto maior o preço, menor a 
quantidade demandada).
Em relação à forma, na igura 8.1 podemos observar que a relação entre as variáveis parece 
ser linear. Observe a reta que resume a associação. Existem situações em que duas variáveis 
se encontram associadas, porém de forma não linear, como na igura 8.2.
6 - Associação negativa: Duas variáveis apresentam associação negativa quando o crescimento de uma se 
associa à diminuição da outra, ou o contrário, a queda em uma se associa ao acréscimo da outra.
unidade 8
143
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.2 - Relação não linear entre as variáveis X e Y
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15 20
Y
X
Fonte: Elaborado pelo autor 
Outro aspecto de grande importância ao observar o diagrama de dispersão é a força da 
relação. Na igura 8.1, o VALOR DO IMÓVEL se relaciona à ÁREA, mas a intensidade da relação 
não parece tão extrema. 
A igura 8.3 mostra um diagrama de dispersão onde as variáveis apresentam ausência de 
relação.
FIGURA 8.3: Ausência de relação entre as variáveis X e Y
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
0 5 10 15 20
Y
X
Fonte: Elaborado pelo autor
unidade 8
144
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
O grau de intensidade da relação linear entre duas variáveis quantitativas é dado pelo 
coeiciente de correlação de Pearson.
COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO DE PEARSON
O coeiciente de correlação linear de Pearson consiste na medida do grau de intensidade 
da relação linear entre duas variáveis quantitativas, podendo assumir valores entre -1 e 1. 
Podemos airmar que duas variáveis estão positivamente correlacionadas se elas caminham 
no mesmo sentido, ou seja, quando uma delas aumenta de valor, o valor da outra também 
aumenta. Nesse caso, quanto mais próxima de 1, maior a intensidade da associação entre 
as variáveis. Quando as variáveis caminham em sentidos opostos, dizemos que elas 
estão negativamente correlacionadas. Quanto mais próxima de -1, maior a intensidade da 
associação, porém a relação é inversa.
É importante destacar que o fato de duas variáveis estarem associadas não signiica, 
necessariamente, que exista uma relação de causa e efeito. Por exemplo: geralmente crianças 
mais novas apresentam menor peso, entretanto isso não signiica que o envelhecimento 
causa aumento de peso. É mais provável que a criança aumente o peso pelo fato de aumentar 
a altura.
A análise de correlação tem objetivo exploratório servindo como elemento auxiliar na análise 
da relação entre variáveis. Dessa forma, em muitas ocasiões o estudo da correlação é utilizado 
como um recurso a mais na análise dos dados.
O coeiciente de correlação de Pearson é dado pela fórmula:
Cor ( X, Y ) = r = ∑ ( x - ) ( y - y )
sxsy ( n - 1)
O numerador da fórmula se refere ao somatório do produto dos desvios da variável X e da 
variável Y em relação às suas respectivas médias. No denominador, encontra-se o produto 
dos desvios padrão de cada uma das duas variáveis multiplicado pelo tamanho da amostra 
menos uma unidade.
unidade 8
145
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Exemplo 8.1 (adaptado de HINES et al, 2006)
Um engenheiro químico está estudando o efeito da temperatura de operação do processo 
sobre o resultado da produção. O estudo resultou nos seguintes dados:
X - Temperatura (º Celsius) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Y - Resultado (porcentagem) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
Calcule o coeiciente de correlação entre as variáveis.
Solução:
Ao realizar uma análise de correlação, é interessante construir o diagrama de dispersão para 
ter uma ideia sobre a associação entre as variáveis:
FIGURA 8.4 - Resultado do processo (em %) em função da temperatura (em °C)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 50 100 150 200
Y
 -
R
es
u
lt
ad
o
 (
%
)
X - Temperatura (º C)
Fonte: HINES et al (2006), pag.369 
A igura 8.4 apresenta indícios de que as variáveis estão fortemente associadas. Para 
conirmar essa suspeita, podemos calcular o coeiciente de correlação, conforme a tabela 8.1: 
unidade 8
146
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TABELA 8.1 - Dados para o cálculo do coeiciente 
de correlação entre temperatura (X) e resultado (Y)
X Y
100 45 100 - 145 = -45 45 - 67,3 = -22,3 (-45) × (-22,3) = 1003,5
110 51 110 - 145 = -35 51 - 67,3 = -16,3 (-35) × (-16,3) = 570,5
120 54 120 - 145 = -25 54 - 67,3 = -13,3 (-25) × (-13,3) = 332,5
130 61 130 - 145 = -15 61 - 67,3 = -06,3 (-15) × (-6,3) = 94,5
140 66 140 - 145 = -05 66 - 67,3 = -01,3 (-5) × (-1,3) = 6,5
150 70 150 - 145 = +05 70 - 67,3 =+02,7 (5) × (2,7) = 13,5
160 74 160 - 145 = +15 74 - 67,3 = +06,7 (15) × (6,7) = 100,5
170 78 170 - 145 = +25 78 - 67,3 = +10,7 (25) × (10,7) = 267,5
180 85 180 - 145 = +35 85 - 67,3 = +17,7 (35) × (17,7) = 619,5
190 89 190 - 145 = +45 89 - 67,3 = +21,7 (45) × (21,7) = 976,5
Média (X) = 145 Média (Y) = 67,3
Desv. Pad (X) = 30,3 Desv. Pad (Y) = 14,7
3985
(�� − �̅) (�� − ��) (�� − �̅)(�� − ��) 
� (� � − �̅)(�� − �� ) =��=1 
Fonte: Elaborado pelo autor
Cor ( X, Y ) = r = 3985 = 3985 = + 0,99
( 30,3) (14,7) (10 -1) 4008,7
O valor + 0,99 obtido pelo coeiciente de correlação conirma que as variáveis estão fortemente 
associadas, conforme indício dado pelo diagrama de dispersão (igura 8.4).
O exemplo 8.2 se refere a uma situação em que as variáveis apresentam correlação negativa.
Exemplo 8.2
O quadro abaixo representa o PREÇO (em R$) e a QUANTIDADE DEMANDADA de uma 
determinada mercadoria.
Preço (X) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Quantidade (Y) 200 171 168 165 170 147 120 130 105 124
Solução:
Antes de calcular o coeiciente de correlação, é interessante construir o diagrama de dispersão 
para ter uma ideia da direção e da forma da associação entre as variáveis.
unidade 8
147
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.5 - Quantidade x preço
100
120
140
160
180
200
220
8 10 12 14 16 18 20
Y
 -
Q
u
an
ti
d
ad
e
X - Preço
Fonte: Elaborado pelo autor
TABELA 8.2 - Dados para o cálculo do coeiciente de correlação entre preço (X) e quantidade (Y)
Preço (X) Quantidade (Y)
10 200 -4,5 50 -225
11 171 -3,5 21 -73,5
12 168 -2,5 18 -45
13 165 -1,5 15 -22,5
14 170 -0,5 20 -10
15 147 0,5 -3 -1,5
16 120 1,5 -30 -45
17 130 2,5 -20 -50
18 105 3,5 -45 -157,5
19 124 4,5 -26 -117
Média (X) = 14,5 Média (Y) = 150
Desv. Pad (X) = 3,0 Desv. Pad (Y) = 29,6
-747
(�� − �̅) (�� − ��) (�� − �̅)(�� − ��) 
�(�� − �̅)(�� − ��) =��=1 
Fonte: Elaborado pelo autor
Cor ( X, Y ) = r = -747 = -747 = - 0,93
( 3,0) (29,6) (10 -1) 799,2
Portanto, as variáveis apresentam forte correlação negativa, conforme indício do diagrama de 
dispersão.
Observações importantes sobre o coeiciente de correlação de Pearson:
Para o cálculo do coeiciente de correlação, temos:
unidade 8
148
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
• O valor da correlação independe da 
unidade de medida dos dados. Por 
exemplo, se tivermos interesse em 
medir a correlação entre ALTURA 
e PESO de um grupo de pessoas, 
tanto faz a ALTURA entrar nos 
cálculos em centímetros ou em 
metros;
• A correlação não se aplica a mais 
de duas variáveis;
• A correlação não faz distinção 
sobre qual variável se projeta em 
cada eixo do plano cartesiano. 
Dessa forma, Cor (X,Y) = Cor (Y,X);
• As variáveis devem ser 
quantitativas. O coeiciente de 
correlação linear de Pearson não se 
aplica a variáveis categóricas;
• A correlação mede o grau de 
associação linear. Dessa forma, 
se duas variáveis quantitativas se 
relacionam de forma quadrática 
ou exponencial, o coeiciente de 
correlação linear não é indicado, 
uma vez que matematicamente tem 
a capacidade de captar relações 
lineares.
USO DA TECNOLOGIA 
PARA O CÁLCULO DO 
COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO
O cálculo do coeiciente de correlação no 
Excel é dado pela função:
= CORREL (matriz1;matriz2) 
Onde os parâmetros (matriz1 e matriz2) 
se referem aos dados das duas variáveis. 
Observe a igura 8.6.
unidade 8
149
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.6 - Coeiciente de correlação no Excel
Fonte: Elaborado pelo autor
REGRESSÃO 
LINEAR SIMPLES
A regressão linear simples tem como objetivo estimar uma equação que relacione 
matematicamente duas variáveis, sendo que uma delas é explicada pela outra. A variável 
explicada geralmente é denominada variável resposta ou variável dependente. A variável 
explicativa é denominada variável explanatória ou variável independente.
A análise de regressão múltipla tem por objetivo estimar uma equação que relacione 
matematicamente uma variável resposta a duas ou mais variáveis explicativas.
A igura 8.7 reapresenta os dados relativos à igura 8.1 onde a variável resposta VALOR se 
correlaciona à ÁREA DO IMÓVEL.
unidade 8
150
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.7 - Valor do imóvel x área do imóvel
Fonte: Elaborado pelo autor
Observe que os pontos do diagrama não caem exatamente sobre a reta de regressão, mas a 
reta é capaz de resumir o padrão geral de comportamento dos dados. Uma das técnicas mais 
utilizadas para obtenção dessa reta é conhecida como método dos mínimos quadrados.
CONCEITO
Método dos mínimos quadrados: É uma técnica estatística utilizada para resumir um conjunto de 
variáveis quantitativas numa equação. Ela se baseia na minimização da distância quadrática de cada 
ponto em relação à reta.
A equação que representa o modelo de regressão linear simples é:
Y1 = β0 + β1 X1 = ε1
unidade 8
151
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Onde:
Yi = valor da variável dependente na i-ésima 
tentativa, ou observação;
β0 = primeiro parâmetro da equação de 
regressão, o qual indica o intercepto 
no eixo Y, ou seja, o valor de Y quando 
X = 0;
β1= segundo parâmetro da equação de 
regressão, chamado coeiciente 
angular, que indica a inclinação da reta 
de regressão;
εi = o valor do erro, que signiica a diferença 
entre o valor verdadeiro e o valor 
previsto pela equação de regressão (ε é 
a letra grega épsilon). Após a estimação 
da equação de regressão, o erro passa a 
ser denominado resíduo.
Os parâmetros β0 e β1 no modelo de 
regressão linear são estimados pelos 
valores β0 e β1 que se baseiam nos dados 
amostrais. O “chapéu” sobre as letras indica 
que foi feita uma estimativa dos parâmetros 
do modelo com base em dados obtidos 
através de uma amostra.
Dessa forma, a equação de regressão linear 
baseada nos dados da amostra que é usada 
para estimar um simples valor da variável 
dependente, onde o “chapéu” sobre o Y 
indica que ele é um valor estimado, é:
Y = β0 + β1X^ ^ ^
A análise de regressão se distingue da 
correlação por supor uma relação de 
causalidade entre as variáveis resposta e 
explanatória. A análise geralmente se baseia 
numa referência teórica, que justiique uma 
relação matemática de causalidade.
A estimativa dos parâmetros β0 e β1 
do modelo se dá a partir das seguintes 
fórmulas:
^ ^
^β1 = ∑ XY - nXY
∑ X2 - nX2
β1 = Y - β
1
X^
Exemplo 8.3
Um professor acredita que a NOTA na 
prova de estatística esteja relacionada ao 
número de HORAS DE ESTUDO dos alunos. 
Para tentar convencer os estudantes dessa 
relação, o professor resolve fazer a pesquisa 
levantando dados de sete estudantes, 
conforme o quadro abaixo.
unidade 8
152
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
QUADRO 8.1 -Dados para a estimação da reta de regressão 
que relaciona nota na prova de estatística (Y) e horas de estudo (X)
Horas de Nota na
estudo (X) prova (Y)
1 20 72
2 15 62
3 35 87
4 26 77
5 30 90
6 24 83
7 18 68
Estudante
Fonte: Elaborado pelo autor
[a] Determine a equação da reta de regressão para os dados da tabela.
[b] Use a eq uação de regressão para estimar a nota de um estudante que tenha dedicado 20 
horas de estudo para a prova.
Solução:
[a] Podemos incluir mais duas colunas na tabela para facilitar a operacionalização dos 
cálculos:
QUADRO 8.2 - Cálculos para a estimação da reta de regressão 
que relaciona nota na prova de estatística (Y) e horas de estudo (X)
Horas de Nota na
estudo (X) prova (Y)
1 20 72 400 1440
2 15 62 225 930
3 35 87 1225 3045
4 26 77 676 2002
5 30 90 900 2700
6 24 83 576 1992
7 18 68 324 1224
MÉDIA (X) = 24 MÉDIA(Y) = 77 ΣX2 = 4.326 ΣXY = 13.333
Estudante X2 X.Y
Fonte: Elaborado pelo autor
Na penúltima coluna foram obtidos os valores da variável X ao quadrado. Na última coluna os 
valores de X foram multiplicados pelos valores de Y para cada estudante. Em seguida, foram 
obtidas as médias de cada variável e, inalmente, o somatório das duas últimas colunas.Colocando os dados obtidos nas fórmulas, temos:
unidade 8
153
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
β̂1 = ∑ XY - nXY
∑ X2 - nX2
= 13.333 - 7 . 24. 77 = 13.333 -12.936 = 397 = 1,35
4.326 - 7.242 4.326 - 4.032 294
βo = 77 - (1,35) . (24) = 77 - 32,4 = 44,6^
^
^
A equação estimada foi:
Y = 44,6 + 1,35 . X
FIGURA 8.8 - Previsão da NOTA (Y) com base no número de HORAS DE ESTUDO (X)
Fonte: Elaborado pelo autor
 Para calcular o valor estimado da nota (Y) com base no número de horas estudadas (X), basta 
inserir o valor de X na equação. Considerando X = 20, temos:
Y = 44,6 + 1,35 . 20 = 44,6 + 27 = 71,6
Portanto, estima-se que um estudante que tenha dedicado 20 horas de estudo obtenha 
aproximadamente 72 pontos na prova. Observe abaixo o diagrama da igura 8.8:
unidade 8
154
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
INTERPRETAÇÃO DO RESULTADO DA REGRESSÃO
Além de permitir a previsão de uma variável resposta em função de uma variável explanatória, 
a análise de regressão também mede a variação de Y quando variamos X. A partir da equação 
obtida pelos dados do exemplo 8.3, podemos airmar que o aumento de uma unidade na 
variável X (número de horas estudadas) aumenta, em média, 1,35 unidades na variável Y 
(pontos na prova de estatística).
USO DA TECNOLOGIA PARA A ESTIMAÇÃO DA REGRESSÃO
Com a evolução da informática, a técnica de regressão múltipla passou a ser cada vez mais 
utilizada pelas organizações e pelos cientistas, pois os cálculos se tornaram menos tediosos. 
No exemplo 8.4, os dados do exemplo 8.3 foram rodados no Excel.
Exemplo 8.4
Estime a equação de regressão com os dados do exemplo 8.2 utilizando o Excel.
Solução:
DADOS > ANÁLISE DE DADOS > REGRESSÃO > OK
FIGURA 8.9 - Comandos utilizados no Excel para análise de regressão
Fonte: Elaborado pelo autor
Nos intervalos de entrada e saída, insira o endereço das variáveis explanatória (X – horas de 
estudo) e resposta (Y – nota na prova), respectivamente. Em seguida, aperte OK.
unidade 8
155
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
FIGURA 8.10 - Comandos utilizados no Excel para análise de regressão
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte: Elaborado pelo autor
Após rodar a regressão, o Excel apresenta três quadros. O primeiro mostra, dentre outras 
estatísticas, o valor do R-quadrado. No exemplo em questão, o valor observado é igual a 0,843. 
Isso signiica que o modelo explica aproximadamente 84,3% da variabilidade em Y a partir da 
variação em X.
TABELA 8.3 - Estatísticas para análise de regressão
A tabela 8.4 diz respeito ao teste de signiicância do modelo, conhecido como teste F, que 
produziu uma estatística igual a 26,8, que implica num valor p próximo de zero. Dessa forma, 
rejeitamos a hipótese de que o modelo não se ajusta bem aos dados. Portanto, o modelo é 
estatisticamente signiicativo.
Estatística de regressão
R múltiplo 0,918 
R-Quadrado 0,843 
R-quadrado ajustado 0,811 
Erro padrão 4,470 
Observações 7
unidade 8
156
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TABELA 8.4 - Resultados do teste de adequação do modelo de regressão simples (teste F)
ANOVA
gl SQ MQ F Valor p
Regressão 1 536,085 536,085 26,8271 0,00353
Resíduo 5 99,915 19,983
Total 6 636
A outra saída se refere a valores p dos testes dos coeicientes β0 e β1. 
As hipóteses para o intercepto são:
H0: β0 = 0
H0: β0 ≠ 0
As hipóteses para a variável explanatória são:
H0: β1 = 0
H0: β1 ≠ 0
Os valores p iguais a zero para o intercepto e para a variável X1 implicam na rejeição da 
hipótese de que os valores sejam não signiicativos. Portanto os coeicientes ( β0 e β1 ) são 
signiicativos com base no teste t para cada um separadamente.
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte: Elaborado pelo autor
TABELA 8.5 - Coeicientes da regressão e estatísticas de interesse
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção 44,59 6,48 6,88 0,00 
Variável X 1 1,35 0,26 5,18 0,00 
A equação estimada é:
Y = 44,6 +1,35 . X1
Dessa forma, o modelo se mostra útil tanto para analisar o impacto que a variável explanatória 
exerce sobre a variável resposta, quanto para previsão. 
ˆ
unidade 8
157
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
A interpretação do coeiciente da variável X1 é: o aumento de uma unidade na variável X (ou 
seja, a cada hora a mais de estudo) consiste no aumento de 1,35 unidades na variável Y (1,35 
pontos na prova de estatística) 
Para um estudante que tenha dedicado 30 horas ao estudo, o valor previsto pela equação é 85:
Y = 44,6 + 1,35 x 30 = 44,6 + 40,5 = 85ˆ
REGRESSÃO 
LINEAR MÚLTIPLA
Na regressão linear simples, uma variável resposta pode ser explicada por uma variável 
explanatória. Na igura 8.7, o valor do imóvel pode ser previsto com base no seu tamanho 
(em metros quadrados). O valor obtido para o R2 foi de 0,45. Isso signiica que a variável 
explanatória X explica 45% da variação na variável Y. No exemplo em questão, outras variáveis 
também podem ser utilizadas para explicar melhor a variação de Y (preço do imóvel), como 
por exemplo a idade do imóvel, o preço do condomínio, o número de banheiros, etc.
Dessa forma, na regressão múltipla, uma variável resposta se relaciona a duas ou mais 
variáveis explanatórias. O objetivo também é predizer os valores de Y com base nas variáveis 
explanatórias.
Na maioria das vezes, uma variável resposta se relaciona a mais de uma variável explanatória. 
Nessa situação, também podemos utilizar o método dos mínimos quadrados para obter uma 
equação que relacione as variáveis. Nesse caso, temos uma regressão múltipla:
Yi = β0 + β1 X1 + β2 X2 + … + βk Xk + εi
Onde:
Yi = variável resposta (variável dependente);
β0 = intercepto (valor assumido por Y quando todas as demais variáveis assumem valor igual 
a zero);
β1, β2,..., βk = coeicientes angulares;
k = número de variáveis explanatórias (variáveis independentes).
unidade 8
158
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
A estimação da equação de regressão linear múltipla também se dá através do método dos 
mínimos quadrados. O objetivo é obter o hiperplano que melhor se ajuste ao conjunto de 
dados através da minimização dos desvios quadráticos.
Com a evolução da informática, a técnica de regressão múltipla passou a ser cada vez mais 
utilizada pelas organizações e pelos cientistas, pois os cálculos se tornaram menos tediosos. 
No exemplo 8.5, o preço do imóvel é estimado com base em duas variáveis: ÁREA DO IMÓVEL 
e NÚMERO DE QUARTOS.
Exemplo 8.5
Estime a equação de regressão relacionando o VALOR DO IMÓVEL às variáveis: ÁREA do 
apartamento e NÚMERO DE QUARTOS.
Solução
DADOS > ANÁLISE DE DADOS > REGRESSÃO > OK
Nos intervalos de entrada e saída, insira o endereço das variáveis explanatória e dependente, 
respectivamente, assim como foi feito para a regressão simples. Em seguida, aperte OK.
Após rodar a regressão múltipla, o Excel produz tabelas. Segue a primeira:
TABELA 8.7 - Resultados do teste de adequação do modelo de regressão múltipla (teste F)
Fonte: Elaborado pelo autor
A saída da última coluna se refere aos valores p do teste dos coeicientes da regressão. A 
hipótese nula é de que cada coeiciente é igual a zero, individualmente, versus a hipótese 
alternativa de que seja diferente de zero, respectivamente.
ANOVA
gl SQ MQ F Valor p
Regressão 2 557.278.841.710 278.639.420.855 42,5 0,000
Resíduo 55 360.283.037.601 6.550.600.684
Total 57 917.561.879.310
unidade 8
159
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
TABELA 8.8 - Coeicientes de regressão e estatísticas de interesse
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção 86.873 60.689 1,43 0,16
Variável X 1 1.335 285 4,68 0,00
Variável X 2 67.719 24.091 2,81 0,01
Fonte: Elaborado pelo autor
A equação estimada é:
Y = 86.873 + 1.335X1 + 67.719X2
Na última coluna temos os valores p, que mostram que as variáveis são signiicativas e o 
intercepto não, conforme os testes t para cada coeiciente separadamente. O intercepto no 
caso não tem signiicado prático nesse exemplo.
Dessa forma, o modelo se mostra útiltanto para analisar o impacto que cada uma das variáveis 
explanatórias exerce sobre a variável resposta, mantendo constantes as outras variáveis, 
quanto para previsão. 
A interpretação do coeiciente da variável X1 é: a cada uma unidade de aumento na ÁREA (ou 
seja a cada metro quadrado a mais) a variável Y (VALOR) aumenta em R$ 1.335,00, se mantida 
constante a variável X2 (NÚMERO DE QUARTOS).
A interpretação do coeiciente da variável X2 é: a cada uma unidade de aumento na variável 
X2 (NÚMERO DE QUARTOS), a variável Y (VALOR) aumenta em média R$ 67.719, se mantida 
constante a variável X1 (ÁREA).
Para um apartamento que tenha 80 metros quadrados e três quartos, o valor previsto pela 
equação é:
Y = 86.873 + 1.335 × 80 + 67.719 × 3=
 Y = 86.873 + 106.800 + 203.157 = R$ 396.830
ˆ
ˆ
ˆ
unidade 8
160
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
APLICAÇÃO 
PRÁTICA
Os exemplos de análise de regressão utilizados 
nesta unidade contêm uma variável explicativa, 
no caso da regressão simples, ou duas variáveis 
explicativas, no caso da regressão múltipla. Tais 
situações ilustram a utilização dos modelos 
de regressão para situações mais simples. Na 
verdade, esses modelos podem ser utilizados 
com um número bem maior de variáveis 
explicativas. 
Por exemplo, para prever o preço de revenda 
de um automóvel, o analista de dados pode 
utilizar diversas variáveis, como: idade, número 
de quilômetros rodados, presença de vidros 
elétricos, presença de ar condicionado, consumo 
de combustível na estrada, consumo de 
combustível na cidade, estado de conservação 
dos pneus, estado de conservação da pintura, 
etc.
Nesse sentido, os modelos de regressão se 
mostram muito úteis para a realização de 
previsões. Outro exemplo: imagine o gestor de 
uma empresa de varejo de alimentos que tem 
que tomar a decisão sobre a quantidade de itens 
em estoque. Nesse caso, ele não pode estocar 
muito, pois os produtos podem perder validade, 
além do custo do espaço utilizado para guardar 
as mercadorias. Ao mesmo tempo, estocar uma 
quantidade insatisfatória pode implicar na falta 
de produtos para a venda. Nesse caso, é de 
grande valia a utilização de modelos de previsão 
para estimar a quantidade de mercadorias que 
serão comercializadas num certo espaço de 
tempo. 
Um terceiro exemplo do uso de modelos de 
regressão se refere à decisão dos bancos 
sobre conceder ou não um empréstimo para 
determinado candidato. Para isso, o banco 
geralmente levanta diversas variáveis para 
estimar a probabilidade de o cliente ser ou não 
um bom pagador.
REVISÃO
A presente unidade tratou do tema 
relação entre duas ou mais variáveis 
quantitativas. Foi demonstrado que, para 
o estudo de duas variáveis quantitativas 
simultaneamente, faz-se interessante o 
uso de diagramas de dispersão com o 
objetivo de inspecionar visualmente se elas 
apresentam associação. Devemos observar, 
principalmente, a forma, a intensidade e a 
direção da relação entre as variáveis. Além 
disso, também é importante o cálculo do 
coeiciente de correlação, que fornece um 
valor entre 0 e 1, podendo ser negativo no 
caso de relacionamento linear inverso entre 
as variáveis.
Outra técnica bastante interessante para 
o estudo da relação entre duas variáveis é 
a regressão simples, muito útil para fazer 
previsões. Além da regressão simples, a 
regressão múltipla também é bastante 
unidade 8
161
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
utilizada, pois na maioria das situações 
as variáveis previstas são associadas a 
diversas variáveis explanatórias, tanto 
quantitativas quanto categóricas.
Para que o modelo de regressão seja útil, 
o analista depende do conhecimento da 
teoria acerca do assunto e de alguma 
experiência prática capaz de auxiliar na 
escolha das melhores variáveis candidatas 
e explicativas.
A utilização dos modelos de regressão na 
engenharia é muito importante, uma vez 
que vários experimentos são delineados na 
otimização de processos de produção.
PARA SABER 
MAIS
Para estudar mais sobre os modelos de 
regressão, consulte as seguintes obras:
DOANE, David, SEWARD, Lori. Estatística 
Aplicada à Administração e à Economia. 
ArtMed, 2010. VitalBook ile.
FREUND, John, SIMON, Gary. Estatística 
Aplicada: Economia, Administração e 
Contabilidade. 9 Ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
LEVINE, David; BERENSON, Mark; STEPHAN, 
David. Estatística: teoria e aplicações - 
usando o Microsoft Excel em português. 6 
ed.Rio de Janeiro: LTC, 2011, 812 p.
MONTGOMERY, Douglas, RUNGER, George. 
Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2009.
MOORE, David. A estatística básica e sua 
prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
TRIOLA, Mário. Introdução à Estatística. 10 
ed. Rio de Janeiro: LTC. 2008. 722p.
162
REFERÊNCIAS
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Menezes, BORNIA, Antônio Cezar. 
Estatística: Para Cursos de Engenharia e 
Informática. 3 ed. Atlas, 2010. VitalBook ile.
BAILAR III, John.C.; MOSTELLER, Frederick. 
Medical uses of statistics. 2. ed. Boston: 
NEJM Books, 1992.
CARVALHO, Danilo Heraldo; COUTO, Bráulio 
Roberto Gonçalves Marinho. Levantamentos 
por amostragem ou “pesquisas de survey. 
Relatório técnico DCET, Nº 3/2003. 107p
DAVID M. et al. Estatística: teoria e 
aplicações usando Microsoft Excel em 
português. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000
DOANE, David, SEWARD, Lori. Estatística 
Aplicada à Administração e à Economia. 
ArtMed, 2010. VitalBook ile.
DOWNING, Douglas. Estatística Aplicada. 
Trad. Alfedro Alves de Farias: 2ed São Paulo: 
Saraiva, 2003
FIELD, Andy. Descobrindo a Estatística 
Usando o SPSS. 2 ed. Porto Alegre: 
ARTMED, 2009. 688p
FORMULÁRIO GOOGLE DOCS. Disponível em: 
<https://docs.google.com/forms>. Acesso 
em: 15 abr. 2015
FREUND, John. Estatística Aplicada à Economia. 
11 ed. Bookman, 2006. VitalBook ile.
GAZZARRRINI, Rafael. Lotus 1-2-3: o software 
que ajudou a mudar o mundo. 18 fev. 2013. In: 
Site “TecMundo”. Disponível em: <http://www.
tecmundo.com.br/tecnologia/36697-lotus-
1-2-3-o-software-que-ajudou-a-mudar-o-
mundo.htm>. Acesso em: 15 abr. 2015
GRIFFITHS, Dawn. Use a cabeça! Estatística. 
Rio de Janeiro: Altabooks, 2009.
HINES, William, MONTGOMERY, Douglas, 
GOLDSMAN, Dave, BORROR, Connie. 
Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. VitalBook ile.
KAZMIER, Leonard. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. Bookman, 2007.
LEVINE, David M. et al. Estatística - teoria 
e aplicações: usando Microsoft Excel em 
português. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 804 p
MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, 
Antônio Carlos Pedroso. Noções de 
Probabilidade e Estatística. 6. ed. São Paulo: 
Editora da Universidade de São Paulo, 2007.
MALHOTRA, Naresh K.. Pesquisa de 
marketing: uma orientação aplicada. trad. 
Lene Belon Ribeiro, Monica Stefani. rev. téc. 
Janaína de Moura Engracia Giraldi. Porto 
Alegre: Bookman, 2012.
https://docs.google.com/forms
http://www.tecmundo.com.br/tecnologia/36697-lotus-1-2-3-o-software-que-ajudou-a-mudar-o-mundo.htm
http://www.tecmundo.com.br/tecnologia/36697-lotus-1-2-3-o-software-que-ajudou-a-mudar-o-mundo.htm
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SINCICH, Terry. Estatística para 
administração e economia. trad. Fabrício 
Pereira Soares e Fernando Sampaio Filho; 
rev. téc. Galo Carlos Lopez Noriega. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MONTGMOMERY, Douglas C; RUNGER, 
George C. Estatística aplicada e probabilidade 
para engenheiros. trad. e rev. téc. Verônica 
Calado. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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NETO, Antônio Peli. Intervalos de coniança, 
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probabilística. 2 ed. São Paulo: Editora da 
Universidade de São Paulo, 2001. 120p
SHARP, Norean, DE VEAUX, Richard, 
VELLEMAN. Paul. Estatística Aplicada - 
Administração, Economia e Negócios. Porto 
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SOARES, José Francisco; SIQUEIRA, 
Armanda Lúcia. Introdução à Estatística 
Médica. Belo Horizonte: UFMG, 2002. 300p
STEVENSON, William. Estatística Aplicada 
à Administração. ed 2001. São Paulo: 
Harbra, 1981.
TRIOLA, Mario Farias. Introdução à Estatística: 
tradução de Vera Regina Lima de Farias e 
Flores, revisão técnica Ana Maria Lima de 
Farias. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística: 
Atualização da Tecnologia, 11 ed. LTC, 
03/2013. VitalBook ile.
WERKEMA, Maria Cristina Catarino; 
AGUIAR, Silvio. Planejamento e análise de 
experimentos: Como Identiicar as principais 
variáveis influentes em um processo. Belo 
Horizonte: Fundação Cristiano Ottoni, 
Escola de Engenharia da UFMG, 1996.
WALPOLE, Ronald. Probabilidade e 
estatística para engenharia e ciências. São 
Paulo: Pears, 2008
http://goo.gl/6uFFSt
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www.animaeducacao.com.br