Problemas de Treliças em Engenharia Elétrica

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Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie 
 Departamento de Engenharia Elétrica 
 
PROBLEMA 01 (Sussekind, p.264, prob.9.3) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
vãos: 2m x 2m 
 
 
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PROBLEMA 02 (Sussekind, p.264, prob.9.5) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
vãos: 3m x 4m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 03 (Sussekind, p.265, prob.9.7) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
vãos: 2m x 2m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 04 (Sussekind, p.266, prob.9.9) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
vãos: 2m x 2m 
 
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PROBLEMA 05 (Sussekind, p.266, prob.9.10) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
vãos: 2m x 3m 
 
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PROBLEMA 06 (Sussekind, p.266, prob.9.11) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
vãos: 4m x 3m 
 
 
 
 
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PROBLEMA 07 (Sussekind, p.269, prob.9.19/modificado) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
distâncias horiz.: 4m/1m/1m/4m vert: 3,5m/1,5m 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 08 (extra) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
vãos: 1m x 1m 
 
 
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PROBLEMA 09 (extra) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
vãos: 3m x 4m 
 
 
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PROBLEMA 10 (Hibbeler, Mecânica/Estática, p.218, prob.6.44) 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
vãos: 3m x 3m 
 
 
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PROBLEMA 11 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
vão 2m (60
o
 , 45
o
 , 30
o
 ) 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 12 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
vão 4m (60
o
 , 45
o
 , 30
o
 ) 
 
 
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PROBLEMA 13 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
vão 4m (60
o
 , 45
o
 , 30
o
 ) 
 
 
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PROBLEMA 14 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
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PROBLEMA 15 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 16 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
vão 4m (45
o
 , 30
o
 ) 
 
 
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PROBLEMA 17 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 18 
 
Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. 
 
 
 
 
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Problemas propostos Problemas propostos Problemas propostos Problemas propostos –––– Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças 
 
 Problemas propostos – Dimensionamento e verificação de treliças 
 
Exercício 1 Determinar o esforço normal na barra 1, indicada abaixo, 
sabendo-se que ela é a mais carregada da estrutura. Determinar qual o 
perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser 
idênticas. Dado de projeto: tensão admissível aço σ adm =150 MPa. 
 
2
0
 k
N
2
0
 k
N
4
0
 k
N
4
0
 k
N
4
0
 k
N
4
0
 k
N
4
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
 
 
Resposta: N1 =−180 kN 
D1=60mm t1=8mm 
 
Exercício 2 Determinar o esforço normal na barra 1, indicada abaixo, 
sabendo-se que ela é a mais carregada da estrutura. Determinar qual o 
perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser 
idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa 
e coeficiente de segurança à compressão 2,65. 
 
3
0
 k
N
3
0
 k
N
6
0
 k
N
6
0
 k
N
6
0
 k
N
6
0
 k
N
6
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
 
 
Resposta: N1 =−270 kN 
D1=60mm t1=8mm 
 
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Exercício 3 Determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, indicadas abaixo, 
sabendo-se que elas são as mais carregadas da estrutura. Determinar qual 
o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser 
idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa, 
tensão escoamento alumínio σ T = 265 MPa (tração) e coeficiente de 
segurança à compressão 2,65 e à tração 2,00. 
 
 
6
0
 k
N
6
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
2
 
 
 
Resposta: N1 =−540 kN (compressão) A1 > 25,6 cm2 
N2 =480 kN (tração) A2 > 36,2 cm2 
D2=100mm t2=14mm 
 
Exercício 4 Determinar o peso da estrutura do problema anterior, sendo 
que as barras comprimidas serão dimensionadas a partir do esforço na 
barra 1 e as barras tracionadas, a partir da barra 2. 
 
 
+ ++ ++ +− − − −−−−
− − − − − −
+ + + + + +
 
 
Resposta: comprimidas: D1=80mm t1=12mm p1=20,1 kg/m 
tracionadas: D2=100mm t2=14mm p2=29,7 kg/m 
(13 x 2m x 20,1 kg/m) + [(6 x 2m)+(6 x 2,83m)] x 29,7 kg/m 
peso estrutura: ≈1383 kg 
 
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Exercício 5 Determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, indicadas abaixo, 
sabendo-se que elas são as mais carregadas da estrutura. Determinar qual 
o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser 
idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa, 
tensão escoamento alumínio σ T = 265 MPa (tração) e coeficiente de 
segurança à compressão 2,65 e à tração 2,00. 
 
 
6
0
 k
N
6
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
2
 
 
 
Resposta: N1 =−480 kN (compressão) A1 > 22,7 cm2 
N2 =540kN (tração) A2 > 40,75 cm2 
D2=100mm t2=16mm 
 
Exercício 6 Determinar o peso da estrutura do problema anterior, sendo 
que as barras comprimidas serão dimensionadas a partir do esforço na 
barra 1 e as barras tracionadas, a partir da barra 2. 
 
 
− −− −− − + + −++−
− − − −
+ + + + + +
 
 
Resposta: comprimidas: D1=80mm t1=12mm p1=20,1 kg/m 
tracionadas: D2=100mm t2=16mm p2=33,1 kg/m 
(10 x 2m x 33,1 kg/m) + [(9 x 2m)+(6 x 2,83m)] x 20,1 kg/m 
(Obs: para as barras ociosas adota-se o perfil mais leve) 
peso estrutura: ≈1365 kg 
 
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Exercício 7 Determinar a máxima carga P que poderá ser aplicada na 
treliça, sendo que a barra 1é a mais carregada e todas as barras são 
tubulares de diâmetro externo D= 80 mm e espessura de parede t=14mm. 
Dados: tensão admissível aço σ adm =183,9 MPa. 
 
 
3m
6P 6P4P 2P P2P2P
4
m
3m 3m 3m 3m 3m
1
 
 
 
Resposta: Pmax = 20 kN 
 
Exercício 8 Determinar a máxima carga P que poderá ser aplicada na 
treliça, sendo que a barra 1 é a mais carregada e todas as barras são 
tubulares de diâmetro externo D= 40 mm e espessura de parede t=8mm. 
Dados: tensão admissível aço σ adm =125 MPa. 
 
 
4P 3P 5P 6P
1
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m 2m
 
 
 
Resposta: Pmax = 25 kN 
 
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Exercício 9 Verificar a segurança estrutural da treliça indicada abaixo, 
sabendo-se que as barras são formadas por barras chatas 32 x 6 mm e a 
barra mais solicitada é a barra 1. Dado de projeto: tensão de escoamento 
do aço σ Y =250 MPa (tração ou compressão). 
 
20 kN 20 kN
2
m
2m 2m
6mm
32mm
2
m
2m
1
 
 
Resposta: γ = 1,7 
 
Exercício 10 Idem para a treliça abaixo composta por barras circulares. 
 
 
 
20 kN
80 kN 80 kN
40 kN
1
3
m
3
m
4m4m
φ 32mm
 
Resposta: γ = 1,72 
 
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Exercício 11 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, 
sabendo-se que as barras 1e 2 são as mais comprimidas. Todas as barras 
são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de 
parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E =210 GPa. 
 
 
6
0
 k
N
6
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
2
 
 
Resposta: |N1|=480 kN Pcr,1 = 1695 kN 
|N2|=424,3 kN Pcr,2 = 847,5 kN γ = 2 
 
Exercício 12 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, 
sabendo-se que a barra 1 é a mais comprimida e todas as diagonais são 
tracionadas (Treliça Pratt). Todas as barras são tubulares de aço. Dados: 
diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de 
elasticidade E =210 GPa. 
 
 
6
0
 k
N
6
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
 
 
 
Resposta: |N1 |=540 kN Pcr,1 = 1695 kN γ = 3,14 
 
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Exercício 13 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, 
sabendo-se que as barras 1e 2 são as mais comprimidas. Todas as barras 
são tubulares de alumínio. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura 
de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade alumínio E = 70 GPa. 
 
 
6
0
 k
N
6
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
2
 
 
Resposta: |N1|=480 kN Pcr,1 = 565 kN 
|N2|=424,3 kN Pcr,2 = 282,5 kN γ = 0,66 (FLAMBOU!!!) 
 
Exercício 14 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, 
sabendo-se que a barra 1 é a mais comprimida e todas as diagonais são 
tracionadas (Treliça Pratt). Todas as barras são tubulares de aço. Dados: 
diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de 
elasticidade E = 70 GPa. 
 
 
6
0
 k
N
6
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
1
2
0
 k
N
2m
2
m
2m 2m 2m 2m 2m
1
 
 
Resposta: |N1 |=540 kN Pcr,1 = 565 kN γ = 1,05 
 (RISCO DE FLAMBAGEM!!!) 
 
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Exercício 15 Qual deve ser o perfil comercial a ser adotado para que a 
treliça de alumínio do exercício 13 tenha segurança à flambagem γ > 2. 
 
Resposta: D1=140mm t1=16mm γ = 2,48 
 
Exercício 16 Qual deve ser o perfil comercial a ser adotado para que a 
treliça de alumínio do exercício 14 tenha segurança à flambagem γ > 2. 
 
Resposta: D1=120mm t1=14mm γ = 2,13 
 
Exercício 17 Verificar a segurança à flambagem da treliça do exercício 9, 
sabendo-se que a barra mais comprimida é a barra 1. Dados: momento de 
inércia da seção retangular I=32. 63/12 mm4 e módulo de elasticidade do 
aço E =210 GPa. Caso não seja verificada a segurança a flambagem qual 
deverá ser a dimensão b da seção quadrada para que se tenha γ = 2? 
 
 
Resposta: γ = γ = 0 b=40mm 
 
 
Exercício 18 Verificar a segurança à flambagem da treliça do exercício 10, 
sabendo-se que a barra mais comprimida é a barra 1. Dados: momento de 
inércia da seção retangular I= π/64.(32)4 mm4 e módulo de elasticidade 
do aço E =210 GPa. Caso não seja verificada a segurança a flambagem 
( γ < 1 ) qual deverá ser o diâmetro da barra para que se tenha γ = 2? 
 
 
 
Resposta: γ γ = 0 φ=87mm 
ou reduzir o comprimento 
de flambagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN
80 kN 80 kN
40 kN
 
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Obs: Momento de inércia da seção tubular [ ]44 )t2D(D
64
−−⋅
π
=Ι 
 
D 
(mm) 
 
t 
(mm) 
 
 
A 
(cm2) 
 
W 
(cm3) 
 
p 
(kg/m) 
 
40 6 6,4 4,8 5,0 
40 8 8,0 5,5 6,3 
40 10 9,4 5,9 7,4 
60 6 10,2 12,5 8,0 
60 8 13,1 15,1 10,3 
60 10 15,7 17,0 12,3 
80 10 22,0 34,4 17,3 
80 12 25,6 38,2 20,1 
80 14 29,0 41,3 22,8 
100 12 33,2 65,4 26,0 
100 14 37,8 71,8 29,7 
100 16 42,2 77,2 33,1 
120 14 46,6 111,0 36,6 
120 16 52,3 120,6 41,0 
120 18 57,7 128,9 45,3 
140 16 62,3 174,0 48,9 
140140 18 69,0 187,4 54,2 
140 20 75,4 199,3 59,2 
150 20 81,7 235,5 64,1 
150 22 88,5 248,7 69,4 
150 24 95,0 260,5 74,6 
160 22 95,4 291,0 74,9 
160 24 102,5 305,6 80,5 
 26 109,5 318,6 85,9 
Tabela 1 Características perfis tubulares 
D
A = área da seção transversal
W = módulo resistente
p = peso linear
 
t
 
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