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1) Um ciclista percorre 40km na primeira hora, 34 km na segunda hora, e assim por
diante , formando uma Progressão Aritmética . Quantos quilômetros percorrerá em 6
horas?
Calculando o último termo desta PA:
an = a1 + (n-1)r
an = 40 + (6-1). (-6)
an = 40 + 5 (-6)
an = 40 - 30
an = 10 km
Soma dos Termos da PA (total de quilômetros percorridos):
Sn = [(a1+an).n] : 2
Sn = [(40+10).6]: 2
Sn = [50.6] : 2
Sn = 300 : 2
Sn = 150 km
2) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010,
estabeleceu como meta produzir 20 000 tratores até o final do ano de 2025.
O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no período
2010-2017.
Solução: questão interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) sobre
progressão aritmética ( PA) onde utilizaremos duas fórmulas: a do termo geral da PA e a da Soma
dos n primeiros termos de uma PA. Sejam:
2010 = a1 = 720
2011 = a2 = 790
razão = r = 70
2025 = a16 = ?
Fórmula do termo geral de uma PA
an = a1 + (n-1) r
a16 = 720 + ( 16-1)*70
a16 = 1770
Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA
Sn = [ n ( a1 + an) ] / 2
S16 = [16 ( 720 + 1770)] / 2
S16 = 19920
Sendo assim, para alcançar a meta ainda faltarão 80 tratores, resposta correta é a letra E.
3 – (Ueg 2019) Uma concessionária vende um carro financiado em dois anos, e
as parcelas mensais serão da seguinte maneira: a primeira parcela será de R$
1 000,00 e as demais decresceram R$20,00 ao mês. Ao final do financiamento,
esse carro terá custado ao comprador
A questão diz que a concessionária vende o carro financiado no tempo de 2 anos, ou seja, 24 meses,
a primeira parcela tem o valor de R$ 1.000,00 e as demais decrescerão R$20,00 mês a mês.
Dessa maneia a primeira parcela será de R$ 1.000,00, já a segunda de R$980,00 ,a terceira de
R$960,00 e assim sucessivamente observe a baixo:
1000 + 980 + 960 + 940 + 920 + 900 + 880 + 860 + 840 + 820 + 800 + 780 + 760 + 740 + 720 + 700
+ 680 + 660 + 640 + 620 + 600 + 580 + 560 + 540 = R$ 18.480,00
Dessa maneira chegamos ao resultado de que o valor pago pelo carro no final das parcelas será de
R$ 18.480,0.
4 – A soma dos 30 termos iniciais da P.A (2, 9, 16, ...) é:
Resposta: A) 3105
A soma dos termos de uma PA finita ou dos termos iniciais de uma PA infinita é dada por:
S = n(a1 + an)
2
Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa PA. Isso
pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir:
an = a1 + (n – 1)r
a30 = 2 + (30 – 1)7
a30 = 2 + (29)7
a30 = 2 + 203
a30 = 205
Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos:
S = n(a1 + an)
2
S = 30(2 + 205)
2
S = 30(207)
2
S = 6210
2
S = 3105
Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105.
5 – Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?
Para calcular essa soma, podemos usar a soma dos termos de uma PA. Para isso, basta saber o
primeiro e o último número ímpar da sequência e a quantidade de números ímpares no intervalo.
Para isso, observe que o primeiro número ímpar após 10 é 11, e o último número ímpar antes de
1000 é 999.
Já a quantidade de números ímpares é a metade da quantidade total de números na sequência. Note
apenas que a sequência começa e termina com um número par. Para que esse cálculo dê certo,
ignoraremos um deles.
Assim, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares.
Substituindo os dados na fórmula usada para soma dos termos de uma PA, teremos:
S = n(a1 + an)
2
S = 495(11 + 999)
2
S = 495(1010)
2
S = 495(1010)
2
S = 499950
2
S = 249975
A soma dos números ímpares que vão de 10 a 1000 é igual a 249975.
Gabarito: letra C.
6 – Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o
50º elemento?
Primeiramente, precisamos relacionar o termo inicial e o final. Podemos fazer isso usando a fórmula
do termo geral da PA. O objetivo dessa relação é usá-la na fórmula para a soma dos termos da PA,
pois essa soma depende desses termos. Observe:
an = a1 + (n – 1)r
a50 = a1 + (50 – 1)5
a50 = a1 + (49)5
a50 = a1 + 245
Agora, com a fórmula da soma dos termos de uma PA, substituiremos a50 por a1 + 245 e S por 6625:
S = n(a1 + an)
2
S = 50(a1 + a50)
2
6625 = 50(a1 + a1 + 245)
2
2·6625 = 50(2a1 + 245)
13250 = 100a1 + 12250
13250 – 12250 = 100a1
1000 = 100a1
a1 = 10
Conhecendo o valor de a1, podemos descobrir a50 voltando à fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n – 1)r
a50 = a1 + (50 – 1)5
a50 = a1 + (49)5
a50 = a1 + 245
a50 = 10 + 245
a50 = 255
Gabarito: letra D.
7 – Qual é a soma de todos os naturais que vão de 1 até 100?
Esse problema é o que deu origem à fórmula da soma dos termos de uma PA. Para calcular essa
soma, já sabemos que o primeiro termo é 1, o último é 100 e que são exatamente 100 termos.
Portanto, podemos escrever:
S = n(a1 + an)
2
S = 100(1 + 100)
2
S = 100(101)
2
S = 10100
2
S = 5050
Gabarito: letra A.
8 – Com o intuito de construir um jogo novo, foram colocados sobre um
tabuleiro de xadrez grãos dearroz da seguinte maneira: na primeira casa,
foram colocados 5 grãos; na segunda, 10; na terceira,15; e assim por diante.
Quantos grãos de arroz foram usados nesse tabuleiro?
Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas (8x8)
Note que o número de graos de arroz forma uma PA de razão 5:
(5,10,15,20,25,...)
Primeiro vamos achar quantos graos de arroz há na 64ª casa:
an = ?
a1 = 5
r = 5
n = 64
an = a1 + (n - 1).r
an = 5 + (64 - 1).5
an = 5 + 63.5
an = 5 + 315
an = 320
Agora a soma dos graos de arroz:
Sn = (a1 + an).n/2
Sn = (5 + 320). 64/2
Sn = 325 . 32
Sn = 10400
R = 10400 grãos de arroz.