turmadefevereiro-matemática1-Progressão aritmética-soma dos termos-22-07-2021-

Prévia do material em texto

1 
Matemática 
 
Progressão aritmética: soma dos termos 
Objetivo 
A partir das propriedades de simetrias de uma P.A., compreender o funcionamento da soma dos termos de 
uma sequência desse tipo. 
Se liga 
Para esta aula, é necessário compreender o que é uma P.A. Para saber mais sobre essa sequência, clique 
aqui. Ou, caso não seja direcionado, procure na biblioteca pela aula “Progressão Aritmética”. 
Curiosidade 
Com menos de dez anos de idade, Gauss teria descoberto a inspiração para a elaboração da relação da soma 
dos termos uma P.A., sem saber o que de fato era essa progressão. 
Teoria 
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. 
O matemático alemão Karl Friedrich Gauss, em tenra idade, resolveu rapidamente o seguinte problema: qual 
o valor da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 … + 99 + 100)? 
Ele usou o seguinte raciocínio: 
Agrupou os 100 termos da soma em 50 pares de números cuja soma é 101, obtendo 50 ⋅ 101 = 5 050. Então, 
a soma dos 100 termos dessa sequência é 5 050. Portanto, algebricamente o que Gauss fez foi: 
( )
100
1 100 .100
5050
2
S
+
= = 
Analisando esse raciocínio para algo genérico, temos: 
 
 
 
Ele observou que a soma dos termos equidistantes sempre dava o mesmo resultado da soma dos termos 
extremos, logo chegou à fórmula: 
( )1
2
n
n
a a n
s
+
= 
https://www.google.com/url?q=https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2018/aulas/progressao-aritmetica/videos/definicao/&sa=D&source=editors&ust=1621798169087000&usg=AFQjCNGI0j8AvMDxC0Pz5yektItjYzLzXA
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Na qual: 
1a é o primeiro termo da sequência 
na é o último termo da sequência 
n é o número de termos da sequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Exercícios de fixação 
 
1. Determine a soma dos termos da sequência (4; 7; 10; 13; 16; … ; 115). 
 
 
2. Determine a soma dos múltiplos de 6 compreendidos entre 55 e 182. 
 
 
3. A soma dos termos da sequência (2; 11; 20; 29; … ) é igual a 728. Quantos termos há nessa sequência? 
 
 
4. Em um jogo de baralho, formam-se diversas pilhas, cada uma com uma quantidade de cartas. A 
primeira possui uma carta, a segunda duas cartas, a terceira três, e assim por diante. Com 104 cartas, 
qual o total de pilhas que podem ser formadas? Sobram algumas cartas? Se sim, quantas? 
 
 
5. Considere a sequência cuja lei de recorrência é dada a seguir: 
 
{
𝑎1 = 12 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 4, 𝑛 ≥ 2
 
 
Determine a soma dos 50 primeiros termos dessa sequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Exercícios de vestibulares 
 
 
1. Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 
52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a 
segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim 
sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as 
cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é 
a) 21. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 31. 
 
 
2. Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o condicionamento de um 
maratonista que se recupera de uma contusão: 
• primeiro dia: corrida de 6 𝑘𝑚; 
• dias subsequentes: acréscimo de 2 𝑘𝑚 à corrida de cada dia imediatamente anterior. 
O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 𝑘𝑚. O total percorrido pelo atleta nesse 
treinamento, do primeiro ao último dia, em quilômetros, corresponde a: 
a) 414 
b) 438 
c) 456 
d) 484 
e) 491 
 
 
3. Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, 
pedalará 60 𝑘𝑚; no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais 𝑟 𝑘𝑚; no terceiro dia, a mesma 
distância do segundo mais 𝑟 𝑘𝑚; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do 
dia anterior mais 𝑟 𝑘𝑚. No último dia, ele deverá percorrer 180 𝑘𝑚, completando o treinamento com um 
total de 1560 𝑘𝑚. A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em 𝑘𝑚, é: 
a) 3 
b) 7 
c) 10 
d) 13 
e) 20 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
 
4. Melhorando-se o nível de alimentação da população, condições sanitárias das casas e ruas, vacinação 
das crianças e pró-natal, é possível reduzir o índice de mortalidade infantil em determinada cidade. 
Considerando-se que o gráfico abaixo representa o número de crianças que foram a óbito a cada ano, 
durante dez anos, e que os pontos do gráfico são colineares, podemos afirmar corretamente que o total 
de crianças mortas neste intervalo de tempo foi de: 
 
a) 224 
b) 280 
c) 324 
d) 300 
e) 240 
 
5. As projeções para a produção de arroz no período de 2012 − 2021, em uma determinada região 
produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro 
apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, 
de acordo com essa projeção. 
 
Ano Projeção da produção (𝒕) 
2012 50,25 
2013 51,50 
2014 52,75 
2015 54,00 
 
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será 
de 
a) 497,25. 
b) 500,85. 
c) 502,87. 
d) 558,75. 
e) 563,25. 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
6. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. 
Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma 
apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 
10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras 
foi: 
a) 384 
b) 192 
c) 168 
d) 92 
e) 80 
 
7. Desde a Grécia Antiga, sabe-se que a somados números ímpares consecutivos, a partir do primeiro, é 
sempre um quadrado perfeito. Como exemplo, tem-se 
 
1 = 1² 
1 + 3 = 2² 
1 + 3 + 5 = 3² 
1 + 3 + 5 + 7 = 4² 
 
Então, a soma de todos os números ímpares menores do que 100 é: 
a) 42² 
b) 49² 
c) 50² 
d) 99² 
e) 100² 
 
 
8. Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 
comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20 𝑚𝑔. Admita que um dos frascos contenha a 
quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30 𝑚𝑔. Para 
identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: 
• numeram-se os frascos de 1 a 15; 
• retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; 
• verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 2540 𝑚𝑔. 
A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
9. Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 
300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu 
rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. 
Considere que esse chip armazena, em sua memória, no máximo 9,5 𝑘𝑚 de corrida/caminhada, 
devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva 
de dados. Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias 
consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário? 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 12 
e) 13 
 
 
10. Considere a soma dos números inteiros ímpares positivos agrupados do seguinte modo: 
 
1 + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + . .. 
 
O grupo de ordem 𝑛 é formado pela somade 𝑛 inteiros positivos ímpares e consecutivos. Assim, pode-
se afirmar corretamente que a soma dos números que compõem o décimo primeiro grupo é igual a 
a) 1223. 
b) 1331. 
c) 1113. 
d) 1431. 
e) 1322. 
 
 
 
 
Sua específica é exatas e quer continuar treinando esse conteúdo? 
Clique aqui para fazer uma lista extra de exercícios. 
 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-progressao-aritmetica-soma-dos-termos
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
Gabaritos 
Exercícios de fixação 
1. 𝟐. 𝟐𝟔𝟏 
Como a razão dessa P.A. é igual a 7 − 4 = 3, podemos determinar sua quantidade de termos pelo termo 
geral: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 → 115 = 4 + (𝑛 − 1) ⋅ 3 →
111
3
= 𝑛 − 1 → 37 = 𝑛 − 1 → 𝑛 = 38. 
Logo, a soma dos termos dessa sequência é 𝑆 =
(𝑎𝑛+𝑎1) ⋅ 𝑛
2
=
(115+4) ⋅ 38
2
= 2.261. 
2. 𝟐. 𝟓𝟐𝟎 
O primeiro múltiplo de 6 dessa sequência é 60, e o último é 180. Assim, queremos a soma dos termos da 
sequência (60, 66, 72, 78, … , 180). 
Podemos determinar sua quantidade de termos pelo termo geral: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 → 180 = 60 +
(𝑛 − 1) ⋅ 6 →
120
6
= 𝑛 − 1 → 20 = 𝑛 − 1 → 𝑛 = 21. 
Logo, a soma dos termos dessa sequência é 𝑆 =
(𝑎𝑛+𝑎1) ⋅ 𝑛
2
=
(180+60) ⋅ 21
2
= 2.520. 
3. 𝟏𝟑 termos 
Dada a sequência (2; 11; 20; 29; … ), temos que, pela soma dos termos: 
 
(𝑎𝑛+𝑎1) ⋅ 𝑛
2
= 728 → (𝑎𝑛 + 2) ⋅ 𝑛 = 1.456 
 Mas, pelo termo geral: 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 → 𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1) ⋅ 9 = 2 + 9𝑛 − 9 → 𝑎𝑛 = 9𝑛 − 7. 
 
 Substituindo essa informação na equação da soma: (𝑎𝑛 + 2) ⋅ 𝑛 = 1.456 → (9𝑛 − 7 + 2) ⋅ 𝑛 = 1.456 →
9𝑛2 − 5𝑛 = 1.456 → 9𝑛2 − 5𝑛 − 1.456 = 0 
 
 Resolvendo a equação do segundo grau obtida, encontramos como única solução positiva 𝑛 = 13. 
4. 𝟏𝟑 pilhas, restando 𝟏𝟑 cartas 
Temos que a soma dos termos da sequência (1,2,3,4 … ) deve ser menor ou igual a 104. Assim, como, 
pelo termo geral, 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ⋅ 1 → 𝑎𝑛 = 1 + 𝑛 − 1 = 𝑛, vale dizer que, caso a soma fosse igual a 104: 
𝑆 =
(𝑎1+𝑎𝑛)⋅𝑛
2
→
(1+𝑛)⋅𝑛
2
= 104 → 𝑛2 + 𝑛 = 208 → 𝑛2 + 𝑛 − 208 = 0, cuja solução é positiva e um termo um 
pouco maior que 13. Logo, o maior número de pilhas é igual a 13, de modo que sobrarão 104 −
(13 + 12 + ⋯ + 1) = 13 cartas. 
 
5. 𝟓. 𝟓𝟎𝟎 
Os termos dessa sequência são (12, 16, 20, 24, … 12 + 4 ⋅ 49) = (12, 16, 20, 24, … , 208). A soma dos 
termos dessa sequência é 
 (12 + 208) ⋅
50
2
= 220 ⋅ 25 = 5.500 
 
Exercícios de vestibulares 
1. B 
As cartas organizadas nas colunas formam uma P.A. de razão 1, (1,2,3,4,5,6,7). A soma dessa P.A. pode 
ser calculada segundo a fórmula 
(𝑎1+ 𝑎𝑛) . 𝑛
2
 , sendo 𝑎𝑛 o termo que ocupa a última posição e 𝑛 o total de 
termos da P.A. 
Nesse caso, o monte é formado pelas cartas que sobraram 52 – 28 = 24. 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
2. C 
Sendo a quilometragem percorrida uma P. A., pode-se escrever: 
( )
( )
1 6
42
 número de dias
2
42 6 1 2 18 1 19
6 42 19 48 19
456
2 2
n
a
a
n
r
n n n
S S km
=
=
=
=
= + −  → = − → =
+  
= = → =
 
 
3. C 
As distâncias diárias percorridas correspondem a uma progressão aritmética de primeiro termo 60 𝑘𝑚 e 
razão 𝒓 𝑘𝑚. Logo, sabendo que a soma dos 𝑛 primeiros termos dessa progressão é igual a 1.560 𝑘𝑚, e 
que a distância percorrida no último dia foi de 180 𝑘𝑚, temos 
 
( )60 18021560 13n n
+=   = 
 
Portanto, segue que 
 
( )180 60 13 1 10r r km= + −   = 
 
4. B 
A sequência é uma P.A. de 10 termos, pois sua variação é constante, porque no gráfico os pontos 
pertencem a uma mesma reta. 
 
( )P.A 56, _, _, _, _, _, _, _, _,0 
 
A soma dos 10 primeiros termos da P.A. será dada por: 
 
( )
10
56 0 10
280
2
S
+ 
= = 
 
5. D 
Como 51,5 – 50,25 = 52,75 – 51,5 = 54 – 52,75 = 1,25, podemos concluir que a sequência 
50,25; 51,50; 52,75; 54,00; ... é uma progressão aritmética de primeiro termo 
1a 50,25= e razão 𝑟 =
 1,25. Portanto, queremos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão aritmética, ou seja, 
1
10
2 9 2 50,25 9 1,25
10 10 558,75
2 2
a r
S
+  +    
=  =  =  
  
 
6. B 
1
8
10
4
10 (8 1)4 38
(10 38)8
192
2
n
a
r
a
S
=

=
 = + − =
+
= =
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
7. C 
( ) 21 99 50 2500 50
2
S
+ 
= = = 
 
8. C 
Supondo que todos os comprimidos tivessem massa igual a 20 mg, a massa total retirada dos frascos 
seria igual a 20. (1 + 2 + 3 + ... + 15) = 20.
(1+15)
2
 . 15 = 2400 mg. 
Daí, como a diferença entre a massa dos comprimidos é de 30 − 20 = 10 mg, segue que o número do 
frasco que contém os comprimidos mais pesados é 
2540 2400
14
10
−
= 
 
9. B 
( )
( )
( )
1
2
2
2
300
200
300 200 1
9500
300 300 200 1
9500
2
19000 600 200 1
190 6 2 2
2 4 190 0
2 95 0
8,5
n
n
a
r
a n
S
n n
n n n
n n n
n n
n n
n
=

=

= + −
 =
+ + −  =
= + −
= + −
+ − =
+ − =

 
10. B 
A quantidade de números até o grupo 10 é igual a 
1 10
10 55
2
+
 = 
Logo, o primeiros número do grupo 11 é 1 55 2 111+  = , e o último é 111 10 2 131+  = . Por conseguinte, a 
resposta é 
111 131
11 1331
2
+
 =