Apostila Formulação de Rações 3

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE MEDICINA VETERINÁRIA E ZOOTECNIA
DEPARTAMENTO DE MELHORAMENTO E NUTRIÇÃO ANIMAL
CÂMPUS DE BOTUCATU
FORMULAÇÃO DE RAÇÕES
PROFESSOR: ANTONIO CELSO PEZZATO
BOTUCATU
2003
FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA FORMULAÇÃO DE RAÇÕES
1. INTRODUÇÃO
Em uma economia de livre mercado, para competir de forma eficiente é necessário ter os custo de
produção mínimos possíveis, de tal maneira, que se possam ter preços dos produtos competitivos no
mercado, assegurando uma adequada rentabilidade de retorno.
A importância de contar com rações devidamente balanceada de mínimo custo torna de grande
interesse se considerarmos que os custos de alimentação constituem normalmente entre 60 e 70%
dos custos de produção em uma exploração animal.
A formulação de rações de mínimo custo por computador tem permitido entre outras coisas, as
seguintes vantagens:
 Formulação rápida e precisa de rações balanceadas e de custo mínimo;
 Diminuição nos custos de alimentação, produção com conseqüente aumento nos lucros;
 Avaliação de sensibilidade econômica das rações antes das alterações dos preços dos
ingredientes;
 Apoiar decisões comerciais ante as alternativas de vender ou incluir na ração de uma matéria
prima de produção própria ou excedente;
 Manter os custos de alimentação em valores mínimos ante as trocas de preços dos
componentes, mudando as fórmulas rapidamente, quando necessário.
2. PROGRAMAÇÃO LINEAR
A formulação de rações de custo mínimo se realiza através da determinação de um Modelo
Nutricional de Programação Linear (PL) em que se incorporam as matérias primas (ingredientes)
disponíveis para formular, as restrições nutritivas que deve ter a dieta resultante, as restrições de
quantidade máxima e/ou mínima de alguns componentes se isso for necessário. Além disso, é
necessário fornecer os preços dos componentes disponíveis e uma restrição de consistência de
quantidade de nutrientes por unidade de medida, que pode ser uma unidade (1 kg ou 1 tonelada) ou
em 100% ou ainda um valor, em kg, previamente determinado, em função do peso do animal, que
corresponderia o consumo diário de matéria seca desse grupo de animais.
Os problemas de programação linear se referem ao uso eficiente de recursos limitados,
maximizando ou minimizando o objetivo desejado.
Historicamente o problema geral de programação linear (PPL) foi desenvolvido pela primeira vez
em 1947 por George H. Dantzig e colaboradores do Departamento da Força Aérea dos Estados
Unidos. Nesse ano, o grupo mencionado se encarregou da possibilidade de aplicar técnicas
matemáticas à programação militar e os problemas de planificação. Este estudo levou Dantzig a
propor que a inter-relação entre as atividades de uma organização pode ser definida como um
modelo de Programação Linear. Posteriormente se descobriu que também se pode aplicar esse
modelo em outras áreas, como na agricultura, industria química, comunicações, industria do ferro e
aço, industria de papelaria, de alimentos, análises econômicas, programação de produção e controle
de inventários, projetos de estruturas, problemas de distribuição e inúmeros outros.
3. PLANEJAMENTO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.1. MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Matematicamente a programação linear consiste em otimizar uma função objetivo (FO) sujeita a
uma série de condições ou restrições ou ainda, contrastes.
O esquema de um problema geral de programação linear é o seguinte:
Otimizar  Z (Função Objetivo)
Z = C1 * X1 + C2 * X2 + ... Cn * Xm
Onde:
Z = função objetivo
X1, X2, ... Xn são as variáveis do problema;
C1, C2, ... Cm são os coeficientes técnicos da função objetivo a otimizar (no caso específico,
custos dos ingredientes)
Sujeito às seguintes restrições:
Y1  A11 * X1 + A21 * X2 + ... + An1 * Xn =  B1
Y2  A12 * X1 + A22 * X2 + ... + An2 * Xn =  B2
 -- -- -- -- ---- =  -- --
Ym  A1m*X1 + A2m* X2 + ... + Amn * Xn =  Bm
Onde:
Y1, Y2, ... Ym: são as restrições impostas ao sistema (energia, proteína, quantidade, e outros)
A11, A12, A21, A22, ... Amn: são os coeficientes técnicos da matriz (composição química, por
exemplo)
X1, X2, ... Xn: são as variáveis do sistema (ingredientes)
B1, B2, .. Bm: são os valores das restrições
X1, X2, ...Xn = 0 condição fundamental para as variáveis serem maiores ou iguais a zero
Têm-se vários procedimentos matemáticos para resolver problemas de programação linear,
sendo que o de maior uso, por sua potencialidade e praticidade, é o método Simplex.
3.2. MÉTODO SIMPLEX
É uma seqüência de cálculos iterativos e sua aplicação prática se faz em problemas de n
variáveis (X) e m restrições (Y). O problema resolvido se chama de Solução Primal e em resumo tem-
se o seguinte:
 Delineamento de uma solução base;
 Busca de uma solução viável;
 Se existe uma solução viável, continua para o próximo passo;
 Se não existe uma solução possível, termina o cálculo;
 Na busca de uma solução ótima, há duas possibilidades:
o Existe uma solução ótima  mostra os resultados
o Não existe limite para uma solução ótima  busca infinitamente a solução.
Os problemas que não têm solução, basicamente se enquadram em dois tipos:
 Não existe solução possível: Ocorre quando uma ou mais restrição exigida não podem ser
satisfeita ou as restrições são incompatíveis entre si, como, por exemplo, impor um limite
máximo de incorporação de um determinado ingrediente na ração em 5% quando o limite
Maximo do mesmo seria de 10%. Nesses casos de solução impossível, quando uma ou mais
restrições não foram satisfeitas, deve-se analisar as restrições solicitadas e os componentes
que compõem o sistema, incorporando novos ingredientes ou trocando e/ou modificando as
restrições impostas.
 Não existe limite para uma solução ótima: Neste caso as restrições impostas são tais que a
solução não converge a nenhum ponto, encontrando em cada iteração, cada vez valores
menores (em caso de minimização) ou valores cada vez maiores (em caso de maximização).
Um exemplo deste caso é a maximizar dietas com todas as restrições com condições de
limite Maximo, sempre se encontrará uma nova solução que satisfará todas as condições
nutritivas com uma função objetivo cada vez maior. Esse tipo de erro de sistema leva o
programa encontrar iterações infinitas e pode-se evitar este problema desenhando um
modelo convergente, ou seja, deve-se colocar ao menos uma restrição condicionada no
sentido contrário às demais.
3.3. PROBLEMA DUAL
Ao inverter a matriz do problema simplex, esta transforma as restrições anteriores nos
coeficientes da função objetivo e a função objetivo anterior se transforma em restrições, e desta
forma as condições mínimas agora se transformam em máximas e troca o sentido da otimização: a
primal é minimizada e a dual, maximizada.
Após todas essas mudanças, o problema indica os custos relativos das restrições (nutrientes)
limitantes, ou seja, as condições que se satisfazem em quantidade do limite exigido de tal maneira
que qualquer variação nessas restrições causa uma variação no valor da função objetivo e
provavelmente na composição da ração.
Os resultados obtidos sevem como um guia para se obter uma ração ainda mais econômica, e de
se conhecer o valor dessas restrições limitantes.
Com essas informações adicionais pode-se buscar outros componentes de substituição para
serem incluídos no sistema de tal forma, que tenham valores em seus coeficientes técnicos maiores
que os já incluídos ou procurar incluir outros suplementos e/ou modificar o sistema, se possível.
3.4. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
É uma informação adicional que se obtém com o algoritmo simplex, o qual permite medir a
resposta do custo e composição da ração otimizada antes da mudança dos custos de seus
componentes.
Matematicamente consiste na determinação dos limites entre os quais pode-se variar a direção
do hiper-plano da função econômica (Função Objetivo) que o hiper-poliedro das restrições do
problema se mantém fixo.
A resposta da análise de sensibilidade consiste em apresentar os cálculos doscoeficientes de
variação Maximo ou Mínimo a partir da tabela simplex otimizada para cada componente a fim de se
conhecer entre que preços se mantém a solução de ótimo. Se algum dos preços ultrapassar os
limites da análise de sensibilidade para aquele ingrediente, já não é possível uma solução ótima com
os mesmos valores obtidos, tornando necessário reformular os dados para se obter uma nova
solução de mínimo custo.
A análise de sensibilidade serve para um estudo de tendência de preços e tem como objetivo dar
ao formulador condições de fazer um plano de soluções a médio e longo prazo. Outra aplicação da
análise de sensibilidade é a obtenção de um mapa de sensibilidade (gráficos, em %, do componente
Z da ração x preço do componente Z ou valor da ração x preço do componente Z) o qual nos permite
conhecer em nosso sistema nutricional se é que dependemos de matérias primas críticas, as que se
faltarem ante algum fato imprevisto, não seriam substituídas. Ou seja, permite saber onde está fraco,
sensível, o nosso sistema montado e permite buscar alternativas para reforça-lo.
4. PLANEJAMENTO DE UM MODELO DE FORMULAÇÃO
Trata-se de se fazer uma abstração matemática de um problema nutricional para uma
determinada espécie e finalidade, de maneira que nos permita gerar um sistema, escrevendo-o por
meio de fórmulas.
Atualmente através de programas computacionais o problema matemático é transparente para o
usuário, já que basta definir o modelo e introduzi-lo no computador para se obter os resultados no
vídeo ou impresso no papel por impressora.
Os passos iniciais para se montar um sistema são os seguintes:
 Obter todas as informações das matérias primas escolhidas.
 Pesquisar as recomendações das exigências nutricionais para cada fase da criação.
 Estruturar o modelo matemático.
 Balancear a ração gerando a formula do problema.
 Validação das formulas.
Os três primeiros passos desta seqüência são a essência da formulação da ração e os dois
últimos são obtidos com o tempo, com contínua aplicação do modelo na prática, já que os valores
devem representar a realidade e por isso o modelo deve ser continuamente melhorado com
experiências adquiridas pelo seu uso, sendo cada vez mais ajustado ao seu propósito particular.
4.1. INFORMAÇÕES DAS MATÉRIAS PRIMAS
Deve-se identificar todas as matérias primas disponíveis no mercado, determinando o custo
real, os limites de utilização, a procedência, a composição química e o abastecimento.
 Custo real: deve-se determinar o custo real de cada ingrediente, incluindo o custo de
transporte, processamento prévio, armazenamento, embalagens, custo por kg de MS.
 Limites de utilização: pesquisar todas informações na literatura quando não tiver valores
experimentais de uso na propriedade ou região, dos seus limites máximos de incorporação e
a presença de fatores antinutricionais nessas matérias primas.
 Procedência: é fundamental conhecer idoneidade dos fornecedores das matérias primas, pois
produtos mal armazenados ou processados podem ser contaminados por fungos
(micotoxinas) e insetos, que alteram sua qualidade.
 Composição química: a composição química se relaciona com os itens anteriores e com a
matéria prima em si. Deve-se contar com um maior numero possível de informações sobre a
composição química das matérias primas, e se possível a analise laboratorial de cada lote
fornecido, para se ter o controle total do produto final balanceado.
 Abastecimento: é importante levar em consideração esse item, pois não é prático formular
rações sem ter certeza de seu abastecimento em quantidade suficiente por um determinado
tempo e que os produtos fornecidos sejam sempre de qualidade constante, sem
adulterações.
4.2. RECOMENDAÇÕES NUTRITIVAS
Deve-se fazer uma revisão bibliográfica completa, de fontes confiáveis, e de informações
práticas, para se estabelecer todas restrições nutritivas. Estas informações são importantes, pois
determinarão a fórmula final da ração.
Deve-se trabalhar com dados práticos de campo, ou de referencias confiáveis, recomendados
pelos Conselhos ou Comitês de Pesquisas Nacionais ou Internacionais. O recomendável e desejável
é conhecer as recomendações especificas da espécie, para uma determinada finalidade, pois dessa
maneira a formula obtida não conteria nutrientes em excesso, que encareceria o custo final da ração
ou com défice de nutrientes, que comprometeria o desempenho final da criação.
4.3. ESTRUTURA DO MODELO MATEMÁTICO
Nesta etapa, com as informações obtidas seleciona-se os parâmetros a considerar, levando-se
em consideração a definição do modelo.
Estabelecem-se as restrições nutritivas, condições de quantidade total e algumas outras
condições necessárias para o funcionamento lógico do modelo.
Além disso, deve-se verificar a consistência das unidades, escolhendo as unidades para cada
restrição, onde a unidade utilizada numa restrição deve ser a mesma em toda equação, ou seja, kg
de nutriente/kg de ração, ou g de nutriente/kg de ração para todos os ingredientes dessa restrição.
O valor da restrição limitante deve ser a que se deseja obter, também por kg de ração. Se desejar
expressar esse valor em %, deve multiplicar este valor por 100.
O ideal para esta fase é transpor o modelo da matriz para uma planilha, onde se pode ver todos
os dados selecionados, analisá-los antes de serem digitados no computador.
4.4. GERAÇÃO DE FÓRMULAS
Esta etapa é executada no computador com um programa de programação linear, o qual calcula
a mistura dos componentes com o algoritmo simplex, obtendo-se os custos marginais das restrições
limitantes com os valores duais e a analise de sensibilidade econômica.
Se não se obtiver uma solução viável, possível, analisa-se o modelo proposto, as restrições
impostas, e efetuam-se possíveis alterações pertinentes para se obter uma nova solução factível.
4.5. VALIDAÇÃO DAS FÓRMULAS
Todo modelo processado pelo algoritmo simplex é teórico, logo os resultados obtidos devem ser
analisados por um nutricionista a fim de qualificar a solução encontrada, se aplicável ou não, No caso
de não ser adequado seu uso na prática, deve-se corrigir o modelo, introduzindo ou retirando
restrições, alterando valores das restrições, de tal maneira a produzir um resultado factível e de uso
adequado na prática.
Por outro lado, analisando a solução obtida e as restrições limitantes, podem-se verificar as
possíveis trocas nas restrições para se obter um custo final ainda menor.
MODELAGEM DE PLANILHA
1. INTRODUÇÃO
As equações lineares são utilizadas para o balanceamento de rações, pois estes tipos
de equações têm duas propriedades que podem ser aplicadas na mistura de dois ou mais
ingredientes: proporcionalidade e aditividade. Desta forma, ao misturarmos 1kg de milho, com 10%
de proteína, com 1kg de farelo de soja com 50% de proteína, os 2kg da mistura terá 30% de proteína,
ou seja: (10 + 50)/2 = 30.
Na montagem de uma planilha para resolução de um problema de programação
linear, é necessário distinguir dois tipos de equações matemáticas: primeiro, uma função ou equação
de custo, que é a função objetivo, pois o que se busca é uma mistura que satisfaça todas as
exigências e restrições nutricionais por um menor custo, e em segundo, é necessário especificar
todas as restrições correspondentes às exigências nutricionais.
Exemplo: modelagem de uma planilha para balanceamento de uma ração de frangos
de corte inicial (1-21 dias de idade).
a) Exigências nutricionais/kg de ração:
Nutrientes Mínimo Máximo
Proteína 17 -
Energia metabolizável 3000 -
b) Alimentos disponíveis:
Ingredientes R$/kg PB, % EM, kcal/kg
Milho 0,18 10 3440
Farelo de soja 0,42 48 2440
c) Limitação de alimentos:
Farelo de soja: Máximo de 0.30kg/ kg de ração
Identificação das variáveis:
Quantidade de milho = X1
Quantidade de soja = X2
Função Objetivo:
Custo mínimo Z
Minimizar o custo de Z = 0,18 * X1 + 0,42 * X2
R$/kg kg R$/kg kg
(Na função objetivo, cancelando-se R$/kg e kg, tem-se que Z será expresso em R$)
Restrições:
a. Quantidade:
kgkgkg
Q=X1+X121 
Onde Q é a quantidade de ração que será balanceada e neste exemplo Q=100, portanto:
100=X1+X1 21 
b. Nutrientes:
kg%kg%kg%
Q21X48+X10:INProteína/M 21 
kg
kg
kcal
kg
kg
kcal
kg
kg
kcal
Q3000X2440+X3440:NEnergia/MI 21 
Portanto:
3000X24,40+X34,40
ou300000X2440+X3440
21X0,48+X0,10
ou2100X48,00+X0,001
21
21
21
21




c. Ingredientes:
kg
kg
kgkg
Q0,30X1:sojadeFarelo 2 
Portanto:
30X1
ou1000,30X1
2
2


Todas essas inequações são matematicamente iguais.
2. MODELO COMPLETO
Neste modelo será introduzido um novo conceito na modelagem de uma planilha para
o balanceamento de ração, que é a introdução de uma variável de transferência ou contábil, que tem
custo zero e não entra na quantidade final da ração.
Minimizar:
Z = 0,18 * X1 + 0,42 * X2
Sujeito a:
10,00 * X1 + 48,00 * X2 21,00 * Q
3440 * X1 + 2440 * X2 3000 * Q
X2 0,30 * Q
X1 + X2 = 100 * Q
X1 0
X2 0
Agora será utilizado o conceito de variável de transferência para se estabelecer a
relação Energia/Proteína.
Restrição adicional:
EM total/PB total 130
EM total/PB total 135 ou
135 EM total/PB total 130, ou seja,
R 130
R 135
Portanto:
R
X48+X10
X2440+X3440
totalPB
totalEM
21
21 


130
X48+X10
X2440+X3440
21
21



135
X48+X10
X2440+X3440
21
21 


As duas últimas equações não podem fazer parte do modelo, pois os programas de
programação linear só admitem variáveis lineares. Por isso serão criadas novas variáveis para
substituir essas relações:
EM total: é a quantidade total de energia metabolizável da ração que pode ser escrita
matematicamente da seguinte forma:
3440 * X1 + 2440 * X2 = EM tot
Para EMtot, que é uma nova variável, a denominaremos de X3, portanto:
3440 * X1 + 2440 * X2 = 1 * X3, ou.
3440 * X1 + 2440 * X2 - 1 * X3 = 0
PB total: analogamente para a quantidade total de proteína da ração, pode-se escrever da
seguinte forma:
10,00 * X1 + 48,00 * X2 = PB tot
Para PBtot, que também é uma nova variável, será denominada de X4, portanto:
10,00 * X1 + 48,00 * X2 = 1 * X4, ou
10,00 * X1 + 48,00 * X2 - 1 * X4 = 0
X3 e X4 são as variáveis de transferência com custo zero, que foram criadas para
viabilizar as variáveis não lineares.
Portanto a relação EM/PB poderá ser expressa desta forma:
EM/PBmax e EM/PBmin:
0X135-X1
ouX135X1
ou135
X1
X1
:formamesmaDa
0X130-X1
ouX130X1
ou130
X1
X1
43
43
4
3
43
43
4
3










Resumo da planilha completa, com as variáveis contábeis:
Minimizar Z = 0,18 * X1 + 0,42 * X2 + 0 * X3 + 0 * X4 (1)
Sujeito a:
3440 * X1 + 2440 * X2 - 1 * X3 = 0 (2)
10.00 * X1 + 48.00 * X2 - 1 * X4 = 0 (3)
100*X3 3000*Q (4)
100*X4 21 * Q (5)
100*X2 0.30 * Q (6)
1*X1 + 1*X2 = Q (7)
1*X3 - 135 * X4 0 (8)
1*X3 - 130 * X4 0 (9)
Para: X1, X2 , X3, X4 0
INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR
1.1. O Desenvolvimento da Programação Linear
Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo de cientistas foi convocado na Inglaterra para
estudar problemas de estratégia e de tática associados com a defesa do país. O objetivo era decidir
sobre a utilização mais eficaz de recursos militares limitados. A convocação deste grupo marcou a
primeira atividade formal de uma pesquisa operacional.
Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa operacional inglesa motivaram
os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada à Inglaterra a origem
da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se principalmente à equipe de cientistas liderada por
George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocados durante a Segunda Guerra Mundial. Ao
resultado deste esforço de pesquisa, concluído em 1947, deu-se o nome de Método Simplex.
Com o fim da guerra, a utilização de técnicas de pesquisa operacional atraiu o interesse de
diversas outras áreas. A natureza dos problemas encontrados é bastante abrangente e complexa,
exigindo, portanto uma abordagem que permita reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. Uma
característica importante da pesquisa operacional e que facilita o processo de análise e de decisão é
a utilização de modelos. Esses modelos permitem a experimentação da solução proposta, ou seja,
significa que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente
implementada. A economia obtida e a experiência adquirida pela experimentação justificam a
utilização da Pesquisa Operacional em muitas atividades.
Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memória dos
computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso é devido
também à larga utilização de microcomputadores, que se tornaram unidades isoladas dentro de
empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos pelos profissionais de Pesquisa Operacional
sejam mais rápidos e versáteis, além de serem também interativos, possibilitando a participação do
usuário ao longo do processo de cálculo.
1.2 Modelagem
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto
aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do sistema,
de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para definir a
estrutura ideal do sistema.
A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação desse modelo na
representação do sistema real e, a validação do modelo é a confirmação de que ele realmente
representa o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo
depende diretamente da precisão do modelo em descrever o comportamento original do sistema.
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução.
Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a ser
bastante complexa.
Introdução à Programação Linear 2
1.3. Estrutura de Modelos Matemáticos
Em um modelo matemático, são incluídos três conjuntos principais de elementos:
1. Variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem
determinadas pela solução do modelo e os parâmetros são valores fixos no
problema;
2. Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo
deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis
(ou viáveis);
3. Função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em
função das variáveis de decisão.
Para melhor ilustrar o conjunto acima, considere-se o seguinte exemplo:
Uma empresa de ração canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura
dessas rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:
 A ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg
de cereais;
 O pacote de ração Tobi custa R$ 20,00 e o pacote de ração Rex custa, R$ 30,00;
 O kg de carne custa R$ 4,00 e o kg de cereais custa R$ 1,00;
 Estão disponíveis por mês 10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereais.
 Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro.
Neste problema as variáveis de decisão são as quantidades de ração de cada tipo a serem
produzidas. Os parâmetros fornecidos são os preços unitários de compra e venda, além das
quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração e as restrições são os limites de
carne e cereais e, finalmente, a função objetivo é uma função matemática que determine o lucro em
função das variáveis de decisão e que deve ser maximizada.
1.4. Técnicas Matemáticas em Pesquisa Operacional
A formulação do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A função
objetivo e as funções de restrições podem ser lineares ou não-lineares; as variáveis de decisão
podem ser contínuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parâmetros podem ser determinísticos
ou probabilísticos.
O resultado dessa diversidade de representações de sistemas é o desenvolvimento de
diversas técnicas de otimização, de modo a resolver cada tipode modelo existente. Estas técnicas
incluem, principalmente: programação linear, programação inteira, programação dinâmica,
programação estocástica e programação não-linear.
A programação linear é utilizada para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo
são lineares; a programação inteira se aplica aos modelos que possuem variáveis inteiras (ou
discretas); a programação dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser
Introdução à Programação Linear 3
decomposto em subproblemas menores; a programação estocástica é aplicada a uma classe
especial de modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade; e finalmente, a
programação não-linear é utilizada em modelos contendo funções não-lineares.
Uma característica presente em quase todas as técnicas de programação matemática é que a
solução ótima do problema não pode ser obtida em um único passo, devendo ser obtida
iterativamente. É escolhida uma solução inicial (que geralmente não é a solução ótima). Um algoritmo
é especificado para determinar, a partir desta, uma nova solução, que geralmente é superior à
anterior. Este passo é repetido até que a solução ótima seja alcançada (supondo que ela existe).
1.5. Fases do Estudo de Pesquisa Operacional
Um estudo de pesquisa operacional geralmente envolve as seguintes fases:
1. Definição do problema;
2. Construção do modelo;
3. Solução do modelo;
4. Validação do modelo;
5. Implementação da solução.
Apesar da seqüência acima não ser rígida, ela indica as principais etapas a serem vencidas.
A seguir, é apresentado um resumo da cada uma das fases.
1.5.1. Definição do problema
A definição do problema baseia-se em três aspectos principais:
 Descrição exata dos objetivos do estudo;
 Identificação das alternativas de decisão existentes;
 Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o processo do
estudo, pois a partir dela é que o modelo é concebido. Da mesma forma, é essencial que as
alternativas de decisão e as limitações existentes sejam todas explicitadas, para que as soluções
obtidas ao final do processo sejam válidas e aceitáveis.
1.5.2. Construção do modelo
A escolha apropriada do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o
modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através de
métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são muito
complexas, talvez se faça necessária a utilização de combinações de metodologias.
1.5.3. Solução do modelo
O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto. Ao contrário das
outras fases, que não possuem regras fixas, a solução do modelo é baseada geralmente em técnicas
matemáticas existentes.
No caso de um modelo matemático, a solução é obtida pelo algoritmo mais adequado, em
Introdução à Programação Linear 4
termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Isto exige um conhecimento profundo
das principais técnicas existentes. A solução obtida neste caso, é dita "solução ótima".
1.5.4. Validação do modelo
Nessa altura do processo de solução do problema, é necessário verificar a validade do
modelo. Um modelo é válido se, levando-se em conta sua inexatidão em representar o sistema, ele
for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema.
Um método comum para testar a validade do sistema é analisar seu desempenho com dados
passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema
apresentou.
É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes,
ou seja, em projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os
resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema.
1.5.5. Implementação da solução
Avaliadas as vantagens e a validação da solução obtida, esta deve ser convertida em regras
operacionais. A implementação, por ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das
etapas críticas do estudo. É conveniente que seja controlada pela equipe responsável, pois,
eventualmente, os valores da nova solução, quando levados à prática, podem demonstrar a
necessidade de correções nas relações funcionais do modelo conjunto dos possíveis cursos de ação,
exigindo a reformulação do modelo em algumas de suas partes.
2. Sistemas de Equações Lineares
Tanto as linhas quanto as colunas de uma matriz podem ser tratadas por vetores. Um vetor
pode ser considerado uma matriz de uma única linha ou uma única coluna. Quando um vetor é
considerado uma matriz com uma única linha é chamado de vetor linha e quando for uma coluna,
será chamado de vetor coluna. Um vetor coluna será representado da mesma forma que um vetor
convencional, ou seja, uma letra minúscula em negrito (p , q , r). Quando for o caso de um vetor linha,
ele será representado como um vetor transposto (pT, qT, rT).
Suponha o seguinte sistema de equações lineares:
2x1 – x2 =7
-x1 + 4x2 = 0
Este sistema pode ser representado na forma matricial por:














0
7
2
1
41
12
x
x
O vetor coluna x é o vetor do sistema de equações lineares e pode ser calculado por:
X = A-1 b
Introdução à Programação Linear 5
Para a solução de um sistema de equações lineares são propostos alguns métodos.
2.1. Método Algébrico por Adição
Pelo menos uma das equações deve ser multiplicada por um escalar real, de modo que a
soma das equações, apenas uma das variáveis seja efetivamente a incógnita do problema. Por
exemplo:
4 x1 + 8 x2 = 160
6 x1 + 4 x2 = 120
Multiplicando a segunda equação por (-2), temos:
4 x1 + 8 x2 = 160
-12 x1 – 8 x2 = -240
Somando as duas equações, chega-se a:
- 8 x1 = -80
Daí calcula-se o facilmente o valor de x1 e, substituindo este valor em qualquer uma das equações
tem-se o valor de x2:
x1 = 10
x2= 15
2.2. Método Algébrico por Substituição
Isola-se uma das variáveis em uma das equações, substituindo-se a relação obtida na outra
equação. Por exemplo:
4 x1 +8 x2 = 160
6 x1 + 4 x2 = 120
Manipulando a primeira equação, temos que:
2240
4
281601 xxx 
Substituindo x, na segunda equação:
6 (40 – 2 x2) + 4 x2 = 120
Resolvendo a equação algebricamente, e aplicando o valor de x2 encontrado na primeira equação,
temos:
240 – 12 x2 + 4 x2 = 120
-8 x2 = -120
x2 = 15 e x1 = 10
2.3. Método de Gauss-Jordan
Consiste da derivação de um sistema específico de equações lineares que tenha a mesma
solução que o sistema original. Este novo sistema deverá ter o formato e uma matriz identidade, o
que pode ser obtido através de combinações lineares das equações originais. Assim, pretende-se
que:
Introdução à Programação Linear 6
4 x1 + 8 x2 = 160  1 x1 + 0 x2 = a
6 x1 + 4 x2 = 120  0 x1 + 1 x2 = b
Serão permitidas as seguintes transformações lineares:
Troca de linhas
Multiplicação da linha por um escalar
Soma de uma linha multiplicada por um escalar a uma outra linha
Notação:
L n  L m troca das linhas n e m;
L n k L n multiplicação da linha n pelo escalar k;
L n L n+ k L m soma da linha m multiplicada pelo escalar k à linha n.
Para resolver o exemplo acima, são seguidos os seguintes passos:
1) L1 L1 / 4 (divisão da linha 1 por 4) - transformação do coeficiente de x1 na equação 1 para 1.
x1 + 2 x2 = 40
6 x1 + 4 x2 = 120
2) L2  L2 (subtração da linha 2 pela linha 1 multiplicada por 6) - transformação do coeficiente de x1
na equação 2 para 0.
3) L2 -L2 / 8 (divisão da linha 2 por (-8) - transformação do coeficiente de x2 na equação 2 para 1.
X1 +2 x2 = 40
0 x1 + 1 x2 = 15
4) L1  L1 - 2 L2 (subtração da linha 1 pela linha 2 multiplicada por 2) - transformação do coeficiente
de x2 na equação 1 para 0.
X1 +0 x2 = 10
0 x1 + 1 x2 = 15
Solução:
x1 = 10 e x2 = 15
3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.1 Definição
O problema geral de programação linear é utilizado para otimizar (maximizar ou minimizar)uma função linear de variáveis, chamada de função objetivo, sujeita a uma série de inequações
lineares, chamadas restrições. A formulação do problema a ser resolvido por programação linear
Introdução à Programação Linear 7
segue alguns passos básicos.
Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada. Por
exemplo, maximização de lucros, ou de desempenhos, de custos, de perdas, de tempo. Tal
objetivo será representado por uma função objetivo, a ser maximizada ou minimizada;
 Para que esta função objetivo seja matematicamente especifica, devem ser definidas as variáveis
de decisão envolvidas. Por exemplo, número de máquinas, a área a ser explorada, a classe de
investimento à disposição etc. Normalmente, assume-se que todas estas variáveis possam assumir
somente valores positivos;
 Estas variáveis normalmente estão sujeitas a uma série de restrições, normalmente representadas
por inequações. Por exemplo, quantidade de equipamento disponível, tamanha da área a ser
exploradas, capacidade de um reservatório, exigências nutricionais para uma determinada ração,
etc.
Todas essas expressões, entretanto, devem estar de acordo com a hipótese principal da
programação linear, ou seja, todas as relações entre as variáveis devem ser lineares. Isto implica
proporcionalidade das quantidades envolvidas. Estas características de linearidade pode ser
interessante no tocante a simplificação da estrutura matemática envolvida, mas prejudicial na
representação de fenômenos não lineares (por exemplo, funções de custo tipicamente quadráticas).
3.2 Formulação de Modelos
O problema geral de programação linear pode ser definido por maximizar ou minimizar uma
função.
Maximizar (ou minimizar): Z = c1 x1 + c2 x2 + .......... + cn xn
Sujeito a: a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ou ou = b1
a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ou = b2
...........
am1 x1 + am2 x2 + .......... ou ou = bm
x1, x2, .......... xn 0
3.3 Exemplo
A empresa de ração canina produz dois tipos de raçôes: Tobi e Rex. Para a manufatura das
rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:
A ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2
kg de cereais;
O pacote de ração Tobi custa R$ 20,00 e o pacote de ração Rex custa R$ 30,00
O kg de carne custa R$ 4,00 e o kg de cereais custa R$ 1,00;
Estão disponíveis por mês 10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereais.
Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro.
No modelo deseja-se maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de ração Tobi (x1) e de
ração Rex (x2). A tabela abaixo apresenta o cálculo do lucro unitário de cada ração.
Introdução à Programação Linear 8
Especificações Ração Tobi Ração Rex
Custo da carne 1 kg x R$ 4,00 = R$ 4,00 4 kg x R$ 4,00 = R$ 16,00
Custo dos cereais 5 kg x R$ 1,00 = R$ 5,00 2 kg x R$ 1,00 = R$ 2,00
Custo total R$ 9,00 R$ 18,00
Preço R$ 20,00 R$ 30,00
Lucro R$ 11,00 R$ 12,00
A função objetivo pode ser escrita como:
Maximizar: Z = 11 x1 + 12 x2 (máximo lucro)
Sujeito a: 1 x1 + 4 x210000 (restrição de carne)
5 x1 + 2 x230000 (restrição de cereais)
x1, x2 
3.4 Solução Gráfica
Este problema com apenas duas variáveis pode ser resolvido graficamente. Traça-se um
gráfico com os seus eixos, representados pelas duas variáveis x1 e x2. A partir daí, traçam-se as
retas referentes às restrições do problema e delimita-se a região viável.
Encontrada a região viável, deve-se traçar uma reta com a inclinação da função objetivo. São
então traçadas diversas paralelas a ela no sentido de Z crescente (maximização da função). O ponto
ótimo é o ponto onde a reta de maior valor possível corta a região viável (normalmente num vértice).
Introdução à Programação Linear 9
Figura 3.1. Região viável para o problema das rações
Introdução à Programação Linear 10
Figura 3.2. Busca da solução ótima para o problema das rações
4. O MÉTODO SIMPLEX
O Método Simplex caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que
não possua soluções vizinhas melhores que ela, e esta é a solução ótima.
A solução ótima pode não existir em dois casos: quando não há nenhuma solução viável para
o problema, devido a restrições incompatíveis; ou quando não há máximo (ou mínimo), isto é, uma ou
mais variáveis podem tender a infinito e as restrições continuarem sendo satisfeitas, o que fornece
um valor sem limites para a função objetivo.
4.1 Exemplo de um Problema
O modelo de programação linear pode ser resolvido por um método de solução de sistema de
equações lineares. O processo que será apresentado no exemplo a seguir, o qual é bastante intuitivo,
tem por finalidade apresentar a metodologia utilizada pelo Método Simplex.
Introdução à Programação Linear 11
a) Formulação do problema
Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a
oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de
simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira
e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
Recurso Disponibilidade
Madeira 12 m2
Mão-de-obra 8 horas.homem
O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa, a fábrica gasta 2 m2 de madeira e 2
horas.homem de mão-de-obra e, para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m2 de madeira e 1
hora.homem.
Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de
R$ 4,00 e cada armário de R$ 1,00. O problema é encontrar o programa de produção que maximiza a
margem de contribuição total para o lucro.
b) Montagem do modelo
As variáveis de decisão envolvidas no problema são:
x1 : quantidade a produzir de mesas;
x2: quantidade a produzir de armários
A função objetivo é:
Lucro: Z=4 x1 + x2
Para as restrições, a relação lógica existente é:
Utilização de recurso Disponibilidade
Assim temos:
Madeira: 2 x1 + 3 x2 12
Mão-de-obra: 2 x1 + x2 8
x1, x2 0
O modelo completo é:
Maximizar: Z = 4 x1 + x2
Sujeito a: 2 x1 + 3 x2 12
2 x1 + 3 x2 8
x1, x2 0
c) Solução do modelo
Já conhecemos o método de solução gráfica para problemas de programação linear de duas
variáveis. Será agora apresentada a solução por sistema de equações lineares.
Introdução à Programação Linear 12
Para se transformar as restrições do problema de programação linear de inequações em
equações, são introduzidas as variáveis de folga. Neste problema as restrições têm a seguinte
estrutura lógica:
Utilização de Recurso Disponibilidade
Ao se introduzir o conceito de folga de recurso, a inequação pode ser escrita como:
Utilização de Recurso + Folga = Disponibilidade
Isso significa que:
Utilização de RecursoDisponibilidade  Folga 0
Utilização de Recurso = Disponibilidade  Folga = 0
Deste modo a folga de cada recurso pode ser representada por uma variável de forma
exatamente igual à produção de cada produto. Desse modo vamos chamar:
f1: Folga de madeira
f2: Folga de mão-de-obra
Introduzindo as variáveis de folga, o problema a ser resolvido passa a ser:
Maximizar: Z = 4 x1 + x2
Sujeito a: 2 x1 + 3 x2 + f1 =12
2 x + x2 + f2 = 8
x1, x2, f1, f2 0
O problema consiste em encontrar a solução do sistema de equações lineares que maximiza
o lucro. Como neste caso o número de variáveis (m = 4) é superior ao número de equações (n = 2), o
sistema é indeterminado, apresentando infinitas soluções.
No entanto, todas as variáveis devem ser maiores ou iguais a zero. Atribuir zero a uma
variável significa não produzir um dos produtos (se a variável for x1 ou x2) ou utilizar toda a
disponibilidade de recursos (se a variável for f1 ou f2). Desta forma, podemos encontrar soluções
para o sistema de equações zerando duas variáveis (n - m = 2) e encontrando o valor para as duas
variáveis restantes. Portanto tem-se que resolver:
6
)!2!2(
!4
C24  sistemas de equações lineares.
Uma vez resolvido o sistema, serãoaplicados na função objetivo os valores encontrados,
onde as variáveis zeradas são chamadas de variáveis não-básicas e as variáveis cujos valores são
calculados pelo sistema de equações serão chamadas de variáveis básicas.
Iteração 1) Variáveis não-básicas: x1 = 0
x2 = 0
Temos as variáveis básicas f1 = 12
f2 = 8
Dando lucro: Z = 0
Iteração 2) Variáveis não-básicas: x1 = 0
f1 = 0
Temos as variáveis básicas x2 = 4
Introdução à Programação Linear 13
f2 = 4
Dando lucro: Z = 4
Iteração 3) Variáveis não-básicas: x1 = 0
f2 = 0
Temos as variáveis básicas x2 = 8
f1 = -12
Como f1 < 0, a solução obtida é INVIÁVEL.
Iteração 4) Variáveis não-básicas: x2 = 0
f1 = 0
Temos as variáveis básicas x1 = 6
f2 = -4
Como f2 < 0, a solução é INVIÁVEL.
Iteração 5) Variáveis não-básicas: x2 = 0
f2 = 0
Temos as variáveis básicas x1 = 4
f1 = 4
Dando lucro: Z = 16
Iteração 6) Variáveis não-básicas: f1 = 0
f2 = 0
Temos as variáveis básicas x1 = 3
x2 = 2
Dando lucro: Z = 14
Comparando-se todas as soluções encontradas por este processo, achamos a uma solução
ótima, ou seja, x1 = 4, x2 = 0, f1 = 4, f2 = 0, dando um lucro Z = 16.
4.2 Desenvolvimento do Método Simplex
Da forma como foi resolvido o problema anteriormente, é necessário que muitos sistemas de
equações sejam resolvidos e suas soluções comparadas. Para problemas reais de programação
linear, esta solução se torna inviável. Desta forma, para termos condições de resolver um problema
de programação linear, precisamos de uma sistemática que nos diga:
 Qual o sistema de equações que deve ser resolvido;
 Que o próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução
 Como identificar uma solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado.
Essa sistemática é o método Simplex, e as regras que o método utiliza para atender às três
Introdução à Programação Linear 14
questões acima são, basicamente, os critérios que desenvolvemos nos itens anteriores. Vamos voltar
ao problema, já com as variáveis de folga:
Maximizar Z = 4 x1 + x2
Sujeito a 2 x1 + 3 x2 + f1 = 12
2x1 + x2 + f2 = 8
x1, x2, f1, f2 0
Vamos montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando nele apenas os
coeficientes das variáveis. No caso da função objetivo, vamos realizar a seguinte transformação:
de: Z = 4x1 + x2
para: Z –4 x1 - x2 = 0
Quadro 1
Base x1 x2 f1 f2 b
f1 2 3 1 0 12
f2 2 1 0 1 8
z -4 -1 0 0 0
A última coluna corresponde aos termos independentes das equações, e a última linha
contém os coeficientes das variáveis na função objetivo. Nessa última linha teremos sempre a
contribuição que cada variável dá para o lucro total Z, por unidade, em cada iteração do processo.
Essa última linha será chamada de função objetivo transformada, ou função z-transformada.
a) Solução inicial
A solução inicial para o problema será sempre obtida fazendo as variáveis originais do
modelo (no caso x1 e x2) iguais a zero e achando o valor das demais.
Assim, fazendo x1 = x2 = 0 (variáveis não básicas), obtemos do Quadro 1:
f1 = 12
f2 = 8 (variáveis básicas)
Z = 0
A variáveis básicas estão indicadas no Quadro 1, para facilitar o acompanhamento das
operações.
b) Segunda solução
Como a primeira solução claramente não é a melhor, vamos procurar outra que dê um valor
maior para Z. O problema é descobrir:
 Das duas variáveis não básicas (nulas) na primeira solução, qual deve se tornar positiva?
Introdução à Programação Linear 15
 Das duas variáveis básicas (positivas) na primeira solução, qual deverá ser anulada?
Qual variável deverá se tornar positiva?
Vamos observar que na última linha do Quadro 1 temos os coeficientes da função objetivo
que mostram a contribuição para o lucro Z de cada unidade produzida de mesa (x1) e de armário
(x2). Assim, aplicando o critério de que devemos produzir primeiro o produto que mais contribui para
o lucro, vamos começar a produção pela variável x1, já que sua contribuição maior que a contribuição
unitária para o lucro (R$ 4,00) é maior que a contribuição de x2 (R$ 1,00).
Logo, a variável que deverá se tornar positiva é x1.
Qual variável deverá ser anulada?
Nota-se pelo Quadro 1 que, na primeira equação, o maior valor possível de x1 é 6 quando f1
for igual a zero (note que x2 vale zero por ser variável não básica). Qualquer valor maior de x1 fará
com que o valor de f1 fique negativo, o que não é permitido. Na segunda equação, o maior valor
permitido para x1 é 4, quando f2 for igual a zero. Analisando simultaneamente as duas equações ,
percebe-se que o maior valor possível para x1 é 4, já que atende às duas equações.
Observe que esta análise pode ser feita diretamente do Quadro 1, através da divisão dos
elementos da coluna b pelos correspondentes elementos da coluna x1. O menor quociente indica,
pela linha em que ocorreu, qual a variável básica que deve ser anulada. Assim, como o menor
quociente é dado pela divisão 8/2 = 4, a variável básica a ser anulada é f2, que é a variável positiva
na atual solução, cujo valor foi encontrado na segunda linha.
Assim temos: x2 =0 e f2 = 0 e o sistema restante deve ser resolvido para acharmos o valor de
x1 e f1. A solução desse sistema será feita usando o Quadro 1 com as equações completas e usando
as operações válidas com as linhas da matriz.
1a. Operação: Dividir a segunda linha por 2 ( L2  L2 / 2)
Quadro 1 A
Base x1 x2 f1 f2 B
f1 2 3 1 0 12
x1 1 ½ 0 ½ 4
Z -4 -1 0 0 0
2a. Operação: Multiplicar a segunda linha do Quadro 1 A por (-2) e somar com a primeira linha
do mesmo quadro, colocando o resultado na primeira linha (L1 L1 –2 L2)
Quadro 1 B
Base x1 x2 f1 f2 B
f1 0 2 1 -1 4
x1 1 ½ 0 ½ 4
Z -4 -1 0 0 0
3a. Operação: Multiplicar a segunda linha do Quadro 1 B por (4) e somar com a terceira linha
do mesmo quadro, colocando o resultado na terceira linha (L3 4 L2).
Introdução à Programação Linear 16
Quadro 2
Base x1 x2 f1 f2 B
f1 0 2 1 -1 4
x1 1 ½ 0 ½ 4
Z 0 1 0 2 16
Como a última linha (função z-transformada) mostra as contribuições liquidas para o lucro,
caso as variáveis x1 e f2 venham ter seus valores aumentados de 0 (zero) para 1 e, como estas
contribuições têm seus valores trocados com relação ao quadro original, conclui-se que a solução
encontrada é ótima.
x1 = 4 x2 = 0 f1 = 4 f2 = 0 Z = 16
4.3 Procedimento do Método Simplex (Problemas de Maximização)
 Passo 1: Introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade.
 Passo 2: Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis
com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo
transformada.
 Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às
variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga.
 Passo 4: Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que
oferece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem
o maior valor negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes
nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver
coeficiente nulo, isto significa que ela pode ser introduzida na base sem aumentar o valor da
função objetivo. Isso quer dizer que temos uma solução ótima, com o mesmo valor da função
objetivo.
 Passo 5: Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte
procedimento:
o Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da
coluna da variável que vai entrar na base. Caso não haja elemento algum positivo
nesta coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.
o O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser
anulada, tornando-se variável não básica.
 Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro de
cálculos de forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica
deverá se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondenteà
variável que está sendo anulada.
 Passo 7: Retornar ao passo 4 para iniciar outra iteração.
Introdução à Programação Linear 17
4.4 Outro Exemplo
Vamos resolver pelo método Simplex o problema das rações.
.
Maximizar: Z = 11 x1 + 12 x2
Sujeito a: x1 + 4 x2 10000
5 x1 + 2 x230000
x1,x2 0
a) Inclusão das variáveis de folga
Com a inclusão das variáveis de folga, o problema torna-se:
Maximizar Z = 11 x1 + 12 x2
Sujeito a: x1 + 4 x2 + f1 · 10000
5 x1 + 2 x2 + f2 30000
x1,x2, f1, f2 0
b) Solução inicial
Base x1 x2 f1 f2 b
f1 1 4 1 0 10000
f2 5 2 0 1 30000
Z -11 -12 0 0 0
c) Primeira iteração
Variável a entrar na base: x2 (coluna com maior valor negativo na última linha)
Variável a sair da base: f1 (o quociente 10000/4 é o menor quociente entre a última coluna
e a coluna da variável x2, que vai entrar na base)
L1  L1 / 4
L2  L2 – 2 L1
L3  L3 + 12 L1
Base x1 x2 f1 f2 b
f1 ¼ 1 ¼ 0 2500
f2 4,5 0 -1/2 1 2500
Z -8 0 3 0 30000
d) Segunda iteração
Variável a entrar na base: x1 (coluna com maior valor negativo na última linha)
Variável a sair da base: f2 (o quociente 25000/4 é o menor quociente entre a última coluna
e a coluna da variável x1, que vai entrar na base)
L2  L2 / 4,5
L1  L1 – L2 / 4
L3  L3 + 8 L2
Introdução à Programação Linear 18
Base x1 x2 f1 f2 b
x2 0 1 0,2778 -0,0556 1111,11
x1 1 0 -0,1111 0,2222 5555,56
Z 0 0 2,1111 1,7778 74444,44
e) Solução ótima encontrada
Como todos os valores da última linha (função z-transformada) são positivos ou nulos, conclui-se
que a solução encontrada é ótima, ou seja:
x1 = 5555,55 x2 = 1111,11 Z = 74444,44
4.5 Aspectos Matemáticos Singulares
Na modelagem de um problema de programação linear, algumas situações específicas
podem ocorrer, o que pode levar a casos em uma forma matemática diferente da apresentada até o
momento. Entretanto, alguns artifícios matemáticos ajudam a reduzir o modelo obtido à forma padrão
estudado. Estes artifícios são mostrados a seguir.
4.5.1 Minimização de uma função
A minimização de uma função Z(x) é matematicamente análoga à maximização da negativa
desta função (-Z(x)).
Exemplo:
Minimizar z = c1 x1i + c2 x2 + ...... + cn xm
É equivalente a:
Maximizar z' = - c1x1 - c2 x2 .... - cn xm
Com:
Z' = -Z
Essa é uma das formas de se resolver os problemas de minimização utilizando o mesmo
algoritmo. Caso que queira resolver diretamente, devemos alterar o critério de entrada das variáveis
na base. A variável que entra na base passa a ser aquela que tem o maior valor positivo na linha
z-transformada. Caso todas tenham coeficientes negativos ou nulos, a solução obtida é ótima.
4.5.2 Restrições de limite inferior ( )
Uma desigualdade em uma direção (ou ) pode ser mudada para uma desigualdade na
direção oposta, pela multiplicação de ambos os lados da desigualdade por (-1).
Exemplo:
a1 x1 + a2 x2 b é equivalente a:
-a1 x1 - a2 x2 -b
Introdução à Programação Linear 19
4.5.3 Restrições de igualdade
Uma equação pode ser substituída por duas desigualdades de direções opostas.
Exemplo:
a1 x1 + a2 x2 = b é equivalente a duas desigualdades simultâneas:
a1 x1 + a2x2 b
a1 x1+ a2 x2 b
4.5.4 Variável irrestrita em sinal
Uma variável irrestrita em sinal (ou seja, que pode ser positiva, nula ou negativa) pode ser
substituída pela diferença de duas variáveis não negativas.
Exemplo: se a variável x1 for irrestrita em sinal, pode ser substituída pela diferença (x´1 - x"1)
com x'1 0 e x”2 0.
4.6 Método Simplex em Duas Fases
O Método Simplex utiliza uma solução inicial viável para começar o processo iterativo,
trabalhando sempre dentro da região viável. Nos casos apresentados até o presente momento, a
solução x1 = 0, para i =1, ...... n era uma solução viável, já que todas as restrições apresentadas
foram do tipo (). Quando as restrições são do tipo (=) ou (), esta solução não existe.
Seja o exemplo abaixo:
Minimizar Z = 10 x1 + 4 x2 + 5 x3
Sujeito a: 8 x1 + 3 x2 + 4 x3 10
4 x1 + 3 x28
x1, x2 , x3 0
Como temos uma restrição do tipo (), a variável de folga deve ter coeficiente negativo, tendo
o significado de uma variável de excesso. O problema transformado é:
Minimizar Z = 10 x1 + 4x2 + 5x3
Sujeito a: 8 x1 + 3 x2 + 4 x3 – f1 = 10
4 x1 + 3 x2 + f2 = 8
x1, x2, x3 , f1, f2 0
Onde f1 é uma variável de excesso e f2 é uma variável de folga.
Note que, pelo processo de solução anterior, a variável de excesso (f1) passaria a ter valor
negativo na solução inicial (-10), o que não é permitido. Assim, a solução x1 = x2 = x3 = 0 é inviável.
É necessário então encontrar uma solução viável para que o método Simplex possa ser iniciado.
A forma de se resolver isto é criando novas variáveis. Estas variáveis são chamadas de
variáveis artificiais, e representadas por zj. Será colocada uma variável artificial em cada restrição do
modelo, ou seja:
Introdução à Programação Linear 20
8 x1 + 3 x2 + 4 x3 – f1 + z1 = 10
4 x1 + 3 x2 + f2 + z2 = 8
x1, x2, x3, f1, f2, z1, z2 0
Como se pode perceber, o problema com as restrições acima não é o mesmo problema, a
não ser que todas as variáveis zi sejam iguais a zero.
Desta forma, podemos resolver o problema em duas fases: na primeira fase, substituímos a
função objetivo original por uma função objetivo auxiliar:
Zaux = - z1 - z2 = 12 x1 + 6 x2 + 4 x3 – f1+ f 2 -18
Nesse momento, aplicamos o método Simplex de forma a maximizar a função objetivo
auxiliar, com as restrições contendo as variáveis auxiliares. A função objetivo auxiliar será
maximizada quando todas as variáveis zi forem iguais a zero, já que não podem conter valores
negativos.
A primeira fase do problema, que consiste na maximização da função objetivo auxiliar,
fornecerá uma solução viável para o problema original. A segunda fase consiste em resolver o
problema original tomando como solução inicial os valores obtidos pela primeira fase para as
variáveis x i e fi.
a) Solução inicial
Para resolver o problema, monta-se o quadro de forma semelhante à sistemática, colocando-se a
função objetivo artificial na última linha. O quadro do exemplo fica:
Base x1 x2 x3 f1 f2 z1 z2 b
z1 8 3 4 -1 0 1 0 10
z2 4 3 0 0 1 0 1 8
z´ = -z 10 4 5 0 0 0 0 0
Zaux -12 -6 -4 1 -1 0 0 18
Observação: Como a função objetivo é de minimização, ela foi transformada em um problema
de maximização através da multiplicação de todos os coeficientes por (-1).
A seguir, aplica-se o método Simplex normalmente, usando como função objetivo a última
linha. Quando a solução ótima for atingida, dois casos podem ocorrer:
Zaux = 0: Neste caso foi obtida uma solução básica do problema original e o processo de solução deve
continuar, desprezando-se as variáveis artificiais e os elementos da última linha. É o início
da segunda fase do processo.
Zaux 0: Neste caso o problema original não tem solução viável, o que significa que as restrições
devem ser inconsistentes.
Introdução à Programação Linear 21
b) Fase 1- Primeira iteração
Variável a entrar na base: x1 (coluna com maior valor negativo na última linha)
Variável a sair da base: z1 (o quociente 10/8 é o menor quociente entre a última coluna e a
coluna da variável x1, que vai entrar na base)
L1 L1 / 8
L2 L2 - 4 L1
L3 L3 – 10 L1
L4 L4 + 12 L1
Base x1 x2 x3 f1 f2 z1 z2 b
x1 1 3/8 ½ -1/8 0 1/8 0 5/4
z2 0 3/2 -2 ½ 1 -1/2 1 3
z´ = -z 0 ¼ 0 5/4 0 -5/4 0 -12,5
Zaux 0 -3/2 2 -1/2 -1 3/2 0 -3
b) Fase 1 - Segunda iteração
Variável a entrar na base: x2 (coluna com maior valor negativo na última linha)
Variável a sair da base: z2 (o quociente 3/(3/2) é o menor quociente entre a última coluna e a
coluna da variável x2, que vai entrar na base)
L2 2 L2 / 3
L1 L1 – 3 L2 / 8
L3 L3 – L2 / 4
L4 L4 + 3 L2 / 2
Base x1 x2 x3 f1 f2 z1 z2 b
x1 1 0 1 -1/4 -1/4 ¼ -1/4 ½
x2 0 1 -4/3 1/3 2/3 -1/3 2/3 2
z´ = -z 0 0 1/3 7/6 -1/6 -7/6 1/6 -13
Zaux 0 0 0 0 0 1 1 0
Como na última linha o valor da função objetivo artificial é zero, a primeira fase terminou e a
solução encontrada é a solução básica inicial para a segunda fase.
Removendoa última linha e as colunas referentes às variáveis artificiais, o quadro se torna:
Base x1 x2 x3 f1 f2 b
X1 1 0 1 -1/4 -1/4 ½
x2 0 1 -4/3 1/3 2/3 2
z´ = -z 0 0 1/3 7/6 -1/6 -13
c) Fase 2 - Primeira iteração
Variável a entrar na base: f2 (coluna com maior valor negativo na última linha)
Variável a sair da base: x2 (o quociente 2/(2/3) é o menor quociente entre a última coluna e a
coluna da variável x2, que vai entrar na base)
L2 3 L2 / 2
L1 L1 + L2 /4
Introdução à Programação Linear 22
L3 L3 + L3 / 6
Base x1 x2 x3 f1 f2 b
z1 1 3/8 ½ -1/8 0 5/4
z2 0 3/2 -2 ½ 1 3
Zaux 0 ¼ 0 5/4 0 -12,5
e) Solução ótima encontrada
Como todos os valores da última linha (função z-transformada) são positivos ou nulos,
concluímos que a solução encontrada é ótima, ou seja:
X1 = 1,25 x2 = 0 z=-z'= 12,5
APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR NO BALANCEAMENTO DE RAÇÕES
1. INTRODUÇÃO
Existe infinitas possibilidade de se formular rações a partir dos ingredientes
disponíveis e que atendam as exigências nutricionais de uma determinada espécie e categoria
animal, mas com diferentes custos de produção. Uma ração de mínimo custo significa selecionar a
composição de uma ração a partir destes ingredientes, de tal forma que, atendem as exigências do
animal, mas com o menor custo possível.
O modelo matemático de um problema de formulação de ração de mínimo custo é o
Problema de Programação Linear (PPL) e sua solução é obtida através do Método Simplex.
Programação linear é uma técnica de otimização utilizada para resolver problemas
que admitem uma grande quantidade de soluções, onde se deseja encontrar a melhor das soluções
possíveis. Portanto a programação linear serve para resolver problemas que possam ser descritos
matematicamente pôr uma série de equações lineares e pôr uma função que define o objetivo a ser
alcançado.
Para melhor conceituar um problema de programação linear, será apresentado um
balanceamento de uma ração para frangos de corte, apenas com dois alimentos e dois nutrientes. Os
dados essenciais são apresentados na tabela abaixo.
Ingredientes Milho Soja Restrição Exigência
EM, kcal/kg 3416,00 2283,00 mínimo 2950,00
PB, % 8,51 45,6 mínimo 17,00
Custo, R$ 0,18 0,42 - -
Farelo de soja, kg/kg - - máximo 0,30
Variáveis: são os valores a serem encontrados dentro da região viável.
- Quantidade de milho (kg): X1
- Quantidade de soja (kg): X2
Função objetivo: é a função que deve ser minimizada ou maximizada e que
determinará os valores das variáveis. No caso é minimizar o custo da ração.
 Minimizar Z = 0,18 * X1 + 0,42 * X2
Restrições: são as equações que definem tecnicamente o problema.
 Energia: 3416*X1 + 2283*X2 2950 * Q
 PB: 8,51* X1 + 45,6 * X2 17,00 * Q
 Soja: 100 * X2 30 * Q
 Peso: 1* X1 + 1* X2 = Q (O valor de Q no exemplo é igual a 100)
Limite das Variáveis: é a faixa de domínio permitido para as variáveis. Deve-se ter
quantidades de ingredientes não negativos, ou seja:
 X1, X2 0
Tipo das entidades:
 Função objetivo: linear
 Restrições: lineares
 Variáveis: reais
Resumo geral do problema de programação linear, expresso matematicamente:
 Otimizar: Z = CT * X (minimizar ou maximizar)
 Sujeito a: A * X = b
 X ≥0
Formulação completa do problema proposto:
Minimizar: Z = 0,18 * X1 + 0,42 * X2
Sujeito a:
Proteína: 8,51 * X1 + 45,6 * X2 17 * 100
Energia: 3416 * X1 + 2283 * X2 2950 * 100
Peso: 1 * X1 + 1 * X2 = 100
Soja max: 1 * X2 30
Com: X1, X2 0
2. SOLUÇÕES DO PROBLEMA
2.1. SOLUÇÃO POR TENTATIVAS
O problema proposto possui infinitas soluções que atendem as exigências
nutricionais, cada uma com um custo, além de infinitas soluções que não atendem as exigências
propostas.
Pelo método da tentativa, pode-se montar uma tabela do tipo exposto a seguir, com
as quantidades de milho e de farelo de soja variando de 5 em 5 kg.
Número Milho Soja Energia Proteína Quantidade Custo
01 100,00 0,00 3.416,0 8,5 100,00 1,80
02 95,00 5,00 3.359,3 10,4 100,00 1,92
04 85,00 15,00 3.246,0 14,1 100,00 2,16
05 80,00 20,00 3.189,4 15,9 100,00 2,28
06 75,00 25,00 3.132,7 17,8 100,00 2,40
07 70,00 30,00 3.076,1 19,6 100,00 2,52
08 65,00 35,00 3.019,4 21,5 100,00 2,64
20 5,00 95,00 2.339,6 43,7 100,00 4,08
22 70,00 25,00 2.962,0 17,3 95,00 2,31
23 80,00 25,00 3.303,5 18,2 105,00 2,49
 As formulações de número 1 a 5 não atendem as exigências em proteína, a qual
deve ser no mínimo 17%;
 As formulações de número 10 a 21 não atendem as exigências em energia
metabolizável, que deve ser no mínimo 2950 kcal EM/kg de ração;
 As formulações de número 8 e 9 não atendem as exigências de limitação da
quantidade do farelo de soja, que deve ser no máximo 0,30kg de soja/kg de ração
(ou 30kg em 100kg de ração);
 As formulações de números 22 e 23 não atende a restrição de quantidade, a
primeira por insuficiência (95kg) e a segunda por excesso (105kg), quando a
restrição para o peso é de 100kg;
 Pode-se concluir dessa análise, que a formulação de custo mínimo que atende
todas as exigências e restrições está compreendida entre as formulações de
número 5 e 8.
Trabalhando nesse intervalo, com intervalos de 1kg, tem-se:
Número Milho Soja Energia Proteína Quantidade Custo
01 79,00 21,00 3,178,1 16,3 100,00 2,30
02 78,00 22,00 3,166,7 16,6 100,00 2,33
03 77,00 23,00 3,155,4 17,0 100,00 2,35
04 76,00 24,00 3,144,1 17,4 100,00 2,38
09 71,00 29,00 3,087,4 19,2 100,00 2,50
10 70,00 30,00 3,076,1 19,6 100,00 2,52
11 69,00 31,00 3,064,8 20,0 100,00 2,54
Efetuando a mesma análise da tabela anterior, verifica-se que as formulações que
atendem as exigências nutricionais são as compreendidas entre os números 3 e 10. Dessas, a de
melhor solução é a número 3, com 77% de milho, 23% de farelo de soja, fornecendo 3155,4 kcal
EM/kg de ração e 17,0% de PB, a um custo de R$ 2,35/kg de ração.
Para obter um resultado mais preciso, pode-se continuar os cálculos entre as
soluções compreendidas entre os números 2 e 4, variando as quantidades do milho e da soja de 0,1
em 0,1kg. Da mesma forma, construi-se nova tabela e verifica-se a melhor solução. Se for o caso,
continua-se o cálculo, agora de 0,01 em 0,01kg, e assim por diante até encontrar a solução com dois
algarismos decimais.
Para o exemplo estudado, com dois ingredientes e dois nutrientes, este modelo,
apesar de exaustivo, é um procedimento possível de ser realizado manualmente. Porém quando uma
ração envolver vários ingredientes e vários nutrientes, este procedimento é praticamente impraticável.
2.2. SOLUÇÃO GRÁFICA
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
X1
0
20
40
60
80
100
120
X
2
EM = 3416 X1 + 2283 X2 = 295000
X1 + X2 = 100
8.51X1 + 45.6X2 = 1700
X2=30
No segmento da reta, a qual satisfaz todas as restrições do problema, no ponto de
intercessão com a reta da função de custo, é obtida a solução de custo mínimo.
2.3. SOLUÇÃO PELA PROGRAMAÇÃO LINEAR
Resolvendo-se o problema através da programação linear, o resultado obtido, de uma
forma bem simplificada, seria:
Ingredientes Quantidade, kg Custo, $
Milho 77,11 138,80
Farelo de soja 22,89 96,14
Total 100,00 234,94
3. MÉTODO SIMPLEX
Forma geral de um problema de programação linear
Otimizar: Z = C1 * X1 + C2 * X2 + .......... + Cn * Xn
Sujeito a:
A11 * X1 + A12 * X2 + ............. + A1n * Xn ; ; = b1
A21 * X1 + A22 * X2 + ............. + A2n * Xn ; ; = b2
.................. .................. ............. + ............... ....................
Am1 * X1 + Am2 * X2 + ............. + Amn * Xn ; ; = bm
Ou seja,
Otimizar: Z = CT * X
Sujeito a: A * X ; ; = b
Com: X 0
BALANCEAMENTO DE RAÇÕES PELO MÉTODO DO QUADRADO DE PEARSON
1. INTRODUÇÃO
O balanceamento de rações pelo método do Quadrado de Pearson é o mais simples
e rápido da maioria dos sistemas de balanceamento de rações, e serve para se obter uma mistura de
dois alimentos e um nutriente, sendo que este nutriente, normalmente é a proteína da ração.
O balanceamento pelo Quadrado de Pearson Simples sempre envolve dois alimentos
e um nutriente, enquanto que o Quadrado de Pearson "T" Múltiplo permite envolver no
balanceamento umasérie de alimentos, mas com apenas um nutriente, e ainda, num caso particular,
pode-se balancear uma ração com três ingredientes e dois nutrientes utilizando-se do Método do
Quadrado de Pearson, desde que um dos ingredientes tenha em um dos nutrientes envolvido, o valor
zero.
2. QUADRADO DE PEARSON SIMPLES
2.1. DOIS ALIMENTOS E UM NUTRIENTE
Calcular uma ração com 21% de proteína bruta (PB) utilizando-se o farelo de soja
com 48% de PB e do milho com 8% de PB.
Milho  8 27  Partes de milho
21
Soja  48 13  Partes de soja
40  Partes da mistura
Este "Quadrado" encerra toda a resolução do problema: subtrai-se algebricamente
(sem levar em consideração o sinal da operação) o nível da proteína do milho (8) pelo valor da PB da
mistura desejada (21) e coloca-se no sentido transversal do quadrado (21-8 = 13), ficando esse valor
obtido no canto inferior direito do quadrado, e representa as partes do farelo de soja na mistura total.
Da mesma forma, subtrai-se o teor de proteína do farelo de soja (48) pelo da mistura (21) obtendo-se
o valor de 27, e coloca-o no sentido transversal do quadrado, mas no canto superior direito, valor
esse que representa as partes de milho no total da mistura.
Desta maneira, tem-se 13 partes em 40 partes da mistura, que se refere ao farelo de
soja, e 27 partes em 40 da mistura e que se refere ao milho. Para se obter uma mistura com 100
partes, faz-se uma regra de três simples:
40  27
100  X
Ou seja:
2700/40 = 67,50% de milho
100 - 67,50 = 32,50% de farelo de soja.
Prova: 8% de 67,50 = 5,40% de proteína do milho
48% de 32,50 = 15,60 % de proteína da soja
Total: 21,00%
Outro exemplo: Formular uma ração com 21,0% de proteína bruta a base de milho e farelo de
soja e com suplemento de vitaminas e minerais. Dados:
INGREDIENTES PB NOS INGREDIENTES, % PB NA RAÇÃO, % TOTAL, %
Milho 9 - -
Soja, farelo 46 - -
Premix - 2
Total - 21 100
Para essa variação do Quadrado de Pearson, onde a quantidade final da mistura
milho mais soja estará contida em 100 - 2 = 98, temos que fazer uma correção do teor de proteína
para os 98%, ou seja:
98  21
100  X
Portanto X = 21,43%
Executando-se os cálculos pelo Quadrado de Pearson teremos 26,57 partes de milho
e 13,43 partes de farelo de soja de um total de 40,00 partes da mistura. Calculando-se para 100%,
teremos:
98 x 26,57/40 = 65,10 % de milho
98 x 13,43/40 = 32,90% de farelo de soja.
Prova:
ALIMENTOS QUANTIDADE, % PB, %
Milho 65,10 5,21
Soja, farelo 32,90 15,79
Premix 2,00 -
Total 100,00 21,00
2.2. TRÊS ALIMENTOS E DOIS NUTRIENTES
Neste caso pode-se balancear uma ração pelo método do Quadrado de Pearson
utilizando-se até três alimentos e dois nutrientes simultaneamente, desde que um dos alimentos
tenha em um dos nutrientes balanceados o valor zero, que no caso o óleo seria o alimento mais
adequado para este caso particular do Quadrado de Pearson.
Exemplo: Balancear uma ração para frangos de corte com 22% de PB e 3300 kcal
EM/kg de ração, com farelo de soja, milho e óleo bruto de soja. Dados:
ALIMENTOS PB, % EM, kcal/kg
Milho 9 3400
Soja, farelo 48 2200
Óleo de soja - 8700
Mistura 22 3300
O procedimento consta de se formar três pré-misturas de acordo com o esquema
abaixo:
Mistura I
 Utilizam-se os dois alimentos completos e fixa-se o nível protéico da mistura. Dessa maneira tem-
se a porcentagem de cada ingrediente, com as quais pode-se determinar o valor da energia dessa
Mistura I
Mistura II
 Utiliza-se o concentrado protéico com o terceiro alimento, que no caso é o concentrado
exclusivamente energético (óleo) e fixa-se novamente o nível protéico da mistura. Da mesma
maneira, tem-se a porcentagem de cada ingrediente, com as quais determina-se o valor
energético dessa Mistura II.
Mistura III
 Com as misturas I e II obtidas, temos duas rações com o mesmo nível protéico, mas com valores
energéticos diferentes. A próxima etapa consiste em obter a Mistura III a partir das I e II, pois
ambas têm o mesmo nível de PB.
Cálculos:
Mistura I:
Milho  9 26  Partes de milho
22
Soja  48 13  Partes de soja
39  Partes da mistura I
Mistura I: Milho  26/39 x 100 = 66,67%
Soja  13/39 x 100 = 33,33%
Mistura I com 22% de PB e 3000 kcal EM/kg
Mistura II:
Óleo  0 26  Partes de óleo
22
Soja  48 22  Partes de soja
48  Partes da mistura II
Mistura II: Soja  22/48 x 100 = 45,83%
Óleo  26/48 x 100 = 54,17%
Mistura II com 22% de PB e 5721 kcal EM/kg
Mistura III:
Mistura I  3000 2421  Partes da Mistura I
3300
Mistura II  5721 300  Partes da Mistura II
2721  Partes da Mistura III
Mistura III: Mistura I  2421/2721 x100 = 88,97%
Mistura II  300/2721 x 100 = 11,03%
Mistura III com 22% de PB e 3300 kcal de EM/kg
Determinando-se os valores dos componentes da Mistura III, temos:
Milho = 88,97% de 66,67 da Mistura I = 59,32%
Óleo = 11,03% de 54,17 da Mistura II = 5,97%
Soja = (duas frações) = 34,71%
Soja (duas frações) = 88,97% de 33,33 da Mistura I = 29,55%
= 11,03% de 45,83% da Mistura II = 5,06%
Prova:
Alimentos % PB, % EM, kcal/kg
Milho 59,32 5,34 2.016,88
Soja 34,71 16,66 763,62
Óleo 5,97 - 519,39
Total 100 22 3.300
3. QUADRADO DE PEARSON MÚLTIPLO ("T")
Tem o mesmo procedimento do Quadrado de Pearson Simples, onde numa coluna à
esquerda coloca-se os alimentos em ordem (de)crescente em relação aos níveis de proteína (ou
outro nutriente), e no centro desta coluna de alimentos, coloca-se o nível de proteína (ou outro
nutriente) desejado da mistura. A seguir procede-se da mesma forma que o do Método do Quadrado
de Pearson Simples, ou seja, subtrai-se o valor do nutriente do primeiro alimento do valor da mistura
e coloca-o numa outra coluna, adjacente, no lado direito, correspondendo ao último alimento da
coluna esquerda. Da mesma forma, subtrai-se do segundo alimento o valor de seu nutriente do valor
da mistura e coloca-o na coluna à direita, onde corresponderá ao penúltimo alimento da coluna
esquerda, e assim sucessivamente, até que o último alimento da coluna esquerda seja subtraído do
valor da mistura e o resultado seja colocado na coluna à direita, cujo valor corresponderá ao primeiro
alimento da coluna direita.
Exemplo: Balancear um concentrado protéico com 40% de proteína bruta, a partir dos
alimentos com os seguintes níveis protéicos (%):
Far.Trigo Far. Alfafa Far. Girassol Glúten Milho Far. Soja Far. Peixe
15.00 18.00 36.00 39.00 48.00 56.00
Os alimentos já foram colocados em uma ordem decrescente de proteína, portanto
pode-se montar as colunas para as subtrações:
Alimentos Coluna Esquerda Mistura Coluna Direita Parte de:
Farelo de trigo 15 16 Farelo de trigo
Farinha de alfafa 18 8 Farinha de alfafa
Farelo de girassol 36 1 Farelo de girassol
40
Glúten de milho 39 4 Glúten de milho
Farelo de soja 48 22 Farelo de soja
Farinha de peixe 56 25 Farinha de peixe
Total 76
Transformando-se em porcentagens, temos:
Farelo de trigo = 16/76 x 100 = 21,05% Farinha de alfafa=8/76 x 100 = 10,53%
Farelo de girassol = 1/76 x 100 = 1,32% Glúten de milho = 4/76 x 100 = 5,26%
Farelo de soja = 22/76 x 100 = 28,95% Farinha de peixe =25/76 x 100 = 32,83%
Prova:
Alimentos % PB, %
Farelo de trigo 21,05 3,16
Farinha de alfafa 10,53 1,90
Farelo de girassol 1,32 0,47
Glúten de milho 5,26 2,05
Farelo de soja 28,95 13,90
Farinha de peixe 32,89 18,42
Total 100,00 39,90
Observa-se que há um défice de 0,10% de proteína bruta no concentrado. Para
adequar o concentrado com 40% de PB, faz-se um ajuste entre os ingredientes de maior (farinha de
peixe) e o de menor (farelo de trigo) nível de proteína bruta. Portanto:
1kg a menos de farelo de trigo eqüivale a 0,150 kg de proteína
1 kg a mais de farinha de peixe eqüivale a 0,560 kg de proteína
Em função desse raciocínio, temos um aumento de: 0,560 - 0,150 = 0,410 kg de proteína/kg de
substituição entre esses dois alimentos escolhidos.
Défice de nutrientes (em kg) Diferencial de nutrientes (em kg)
Quantidade a serem trocadas entre esses dois alimentos:
No caso: 0,100 / 0,410 = 0,244 kg ou praticamente 0,25 kg. Efetuando-se a subtração e
adição entre os ingredientes, temos:Farelo de trigo = 21,05 - 0,25 = 20,80%
Farinha de peixe = 32,89 + 0,25 = 33,14%
Alimentos % PB, %
Farelo de trigo 20,80 3,12
Farinha de alfafa 10,53 1,90
Farelo de girassol 1,31 0,47
Glúten de milho 5,26 2,05
Farelo de soja 28,95 13,9
Farinha de peixe 33,14 18,56
Total 100,00 40,00
No caso de ocorrer um excesso de nutrientes, faz-se o inverso, ou seja: retira-se o
valor obtido do alimento com maior porcentagem e soma-se o mesmo valor ao alimento com menor
nível de nutriente.
BALANCEAMENTO DE RAÇÕES PELO MÉTODO GRÁFICO
JOSÉ ROBERTO SARTORI
GUILHERME JORDÃO DE MAGALHÃES ROSA
ANTONIO CELSO PEZZATO
1. INTRODUÇÃO
O método baseia-se na aplicação das coordenadas cartesianas, sendo que em cada eixo
são representados, sob escala, os teores em princípios nutritivos de cada alimento.
2. DUAS RESTRIÇÕES E DIFERENTES NÚMEROS DE ALIMENTOS
2.1. DOIS ALIMENTOS
Como primeiro exemplo, os eixos das abscissas e ordenadas, indicarão respectivamente,
os níveis de proteína bruta (PB) e dos nutrientes digestíveis totais (NDT), dos alimentos.
Assim no Gráfico 1, o ponto A representa um alimento com 80% NDT e 7% PB e o ponto
B, outro alimento com 15% PB e 65% NDT.
O princípio básico do método é de que todas as possíveis misturas entre dois alimentos
são representadas graficamente pelos pontos que constituem o segmento de reta que os ligam.
Cada ponto desse segmento indica uma mistura dos dois alimentos, cujos teores em PB e NDT
são dados pelas suas projeções sobre as coordenadas.
8 0
7 5
7 0
6 5
5 1 0 1 5
N D T
P B
X M
A
B
Gráfico 1. Dois alimentos e duas restrições
O ponto M no Gráfico 1 corresponde a uma ração com teores de 12,3% PB e 70% NDT.
Para se determinar as quantidades dos alimentos A e B que formarão a mistura M
procede-se da seguinte maneira:
 O segmento que liga os pontos referentes aos dois alimentos representará a quantidade Q da
mistura M. Assim se se deseja obter 100kg da mistura, o comprimento do segmento AB
equivalerá a essa quantidade.
 O segmento AB será dividido pelo ponto M em dois segmentos proporcionais às quantidades
de A e B necessárias à composição de M. Esses segmentos representados sob forma de
fração de AB, serão chamados de Relação Indicativa do Alimento (Ri).
 O Ri de um alimento é dado pelo segmento da reta em oposição ao ponto que representa esse
alimento. No presente caso, as relações indicativas dos alimentos A e B são:
RiA = BM/AB RiB = AM/AB
Para se obter a quantidade q de cada alimento que irão formar o total Q da mistura
desejada M, multiplica-se o Ri de cada alimento por essa quantidade Q. Neste EXEMPLO 1 deve-
se calcular as quantidade de A e B para perfazer 100kg da mistura M com 12,3% PB e 70% NDT.
Dados:
Alimentos PB, % NDT, %
A 7 80
B 15 65
M 12,3 70
Dados obtidos do Gráfico 1 em papel milimetrado:
Retas e segmentos de reta do Gráfico 1 Medida
Comprimento da reta AB 8,4 mm
Comprimento do segmento AM 56 mm
Comprimento do segmento BM 28 mm
RiA 28/84
RiB 56/84
Alimentos Cálculos Quantidades, kg PD, % NDT,%
A qA = (28/84) x 100 33,3 2,33 26,64
B qB = (56/84) x 100 66,7 10,00 43,35
M Total 100,0 12,33 69,99
Portanto em 100kg da mistura tem-se 33,3kg do alimento A e 66,7kg do alimento B. Com
essas quantidades dos alimentos A e B obtém-se uma mistura M com 12,33% PB e 69,99% NDT.
Observações:
1. Para facilitar os cálculos, podem-se substituir as medidas de comprimento dos
segmentos mencionados pelas suas projeções sobre os eixos, utilizando-se de papel
quadriculado. Usando-se o papel quadriculado e com os mesmos dados, têm-se as seguintes
projeções sobre os eixos das ordenadas:
Reta AB 15 quadrículas A = (5/15) x 100 33,3 kg
Segmento AM 10 quadrículas B = (10/15) x 100 66,7 kg
Segmento BM 5 quadrículas
2. Quando se deseja obter uma determinada quantidade de ração balanceada diferente de
100kg, basta multiplicar a relação indicativa de cada alimento pela quantidade Q desejada. Assim,
as quantidades de A e B para a composição de 80kg da mesma mistura M, serão:
A = (5/15) x 80 = 26,7kg; B = (10/15) x 80 = 53,3kg
2.2. TRÊS ALIMENTOS
O segundo exemplo, é a obtenção de uma mistura M com 16% PB e 72% NDT utilizando-
se de três alimentos, sendo os dois anteriores (A e B) e um terceiro C com 23% PB e 76% NDT.
Inicialmente organiza-se o Gráfico 2 e nele localizam-se os pontos referentes aos alimentos que
deverão compor a mistura. Os três pontos que formam o triângulo ABC, dentro do qual estarão
todos os pontos correspondentes às misturas possíveis entre esses alimentos. Assim, se
desejarmos uma mistura indicada por um ponto que se localize fora desse triângulo, essa mistura
é irrealizável com os alimentos dados. No EXEMPLO 2 a mistura M encontra-se no interior do
referido triângulo e, portanto poderá ser obtida a partir dos alimentos dados.
A
C
B
x
M
M1
80
75
70
65
5 10 15 20
NDT
PB
Gráfico 2. Três alimentos e duas restrições
Cálculo:
Como já foi visto, ligando-se dois desses pontos por um segmento AB, por exemplo, ele
representará todas as misturas possíveis entre esses dois alimentos. Traçando-se um segundo
segmento desde o ponto C até o segmento AB, com a condição de passar pelo ponto M, tem-se o
gráfico completado, ou seja, a mistura calculada graficamente. Nesse gráfico, M1 é a mistura
preliminar de A com B, e M é a mistura final da combinação de C com M1.
Regra para a determinação da quantidade dos componentes:
A quantidade de cada alimento é obtida multiplicando-se seu Ri pelos Ri das misturas
preliminares das quais esse alimento faz parte e ainda pela quantidade Q da mistura que se
deseja. Neste caso, têm-se três componentes com os seguintes dados:
Alimentos PD, % NDT, %
A 7 80
B 15 65
C 23 76
M 16 72
Do Gráfico 2 tem-se as seguintes projeções:
AB = 15,0 AM1 = 10,0 BM1 = 5,0
CM1 = 6,0 CM = 4,0 M1M = 2,0
As relações indicativas dos alimentos são:
RiA = BM1/AB = 5/15 RiB = AM1/AB = 10/15
RiC = M1M/CM1 = 2/6 RiM1 = CM/CM1 = 4/6
Para obter 100kg da mistura, tem-se:
qA = RiA x RiM1 x 100 qB = RiB x RiM1 x 100 qC = RiC x 100
Alimentos Cálculos Quantidades, kg PD, % NDT, %
A qA = (5/15) x (4/6) x 100 22 1,54 17,60
B qB = (10/15) x (4/6) x 100 44 6,60 28,6
C qC = (2/6) x 100 34 7,82 25,8
M Total 100 15,96 72,00
2.3. QUATRO ALIMENTOS
O terceiro exemplo é a obtenção de uma mistura M com quatro alimentos. No caso com
três ingredientes o ponto M obrigatoriamente ficou dentro do triângulo formado pelos pontos A, B e
C correspondentes a esses componentes. Em função dessa constatação, pode-se generalizar
que, quando houver três ou mais ingredientes, a mistura será exeqüível quando o ponto M ficar no
interior do polígono formado pelas retas mais externas que ligam entre si todos os pontos
representativos dos alimentos.
NDT NDT NDT
PBEXEQUIVEL EXEQUIVEL NÃO EXEQUIVEL
* M
* M
* M
Figura 3. Possíveis situações para soluções para uma mistura de alimentos
Neste caso, vamos calcular uma mistura M com 15,5% PB e 73,5% NDT utilizando-se os
alimentos A, B, C e D. Dados:
Alimento PD, % NDT, %
A 7,0 80,0
B 15,0 65,0
C 23,0 76,0
D 25,0 68,0
M 15,5 73,5
Solução gráfica: traçam-se inicialmente dois segmentos: AC, representativo das misturas
possíveis entre os alimentos A e C e BD, com a mesma finalidade em relação a B e D, conforme o
Gráfico 4.
80
75
70
65
NDT
05 10 15 20 25
PB
A
C
M1
B
D
M X
M2
Gráfico 4. Quatro alimentos e duas restrições
Pelo ponto M, que representa a mistura que se deseja obter, deverá passar a terceira reta,
interceptando AC e BD. Neste exemplo, M1 indica a mistura preliminar de A com C e M2, a
mistura preliminar de B com D. A citada terceira reta, que liga os segmentos AC à BD, poderia ter
várias posições, atendendo em todas, a condição de passar por M. Todas essas posições
satisfariam ao balanceamento desejado com relação aos teores de PB e NDT. Entretanto, essas
diversas posições representarão teores diferentes nos outros nutrientes, como o cálcio, fósforo,
metionina, lisina, fibra, ou seja, nas demais características da ração.
Verifica-se, portanto, a importância dessa reta que passa