Lógica de ProgramaçãoLógica de Programação

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Prof. Me. José Lorandi
UNIDADE IV
Lógica
Revisão de conjuntos numéricos
 Em nosso sistema decimal de numeração, utilizamos apenas 10 algarismos, que vão de 0 a 
9, para representar quantidades. 
 Quando combinamos algarismos entre si, formamos numerais, que representam qualquer 
número (quantidade) que desejarmos representar. 
 Esses números podem ser classificados por tipo e divididos em conjuntos. 
 A Matemática chama-os de conjuntos numéricos. 
 Podemos pensar que esses conjuntos identificam o nível de 
complexidade dos números em questão. 
 Veremos os principais conjuntos numéricos adotados, 
começando pelos mais simples.
Quantificadores
 Conjunto dos números naturais (ℕ)  N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
 Conjunto dos números inteiros (ℤ)  ℤ = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
 ℤ* = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} (conjunto dos números inteiros não nulos)
 ℤ+ = {0,1,2,3,4,5,6, …} (conjunto dos números inteiros não negativos)
 ℤ_ = {…,-4,-3,-2,-1,0} (conjunto dos números inteiros não positivos)
 ℤ+ * = {1,2,3,4,5,6, …} (conjunto dos números inteiros não nulos e não negativos)
 ℤ_ * = {… ,-4,-3,-2,-1} (conjunto dos números inteiros não nulos e não positivos)
Quantificadores
Conjunto dos números racionais (ℚ)
Vejamos alguns exemplos de número 
racionais, que incluem números decimais e 
dízimas periódicas:
 , que é uma fração entre inteiros
 , que é uma fração entre inteiros
Quantificadores
 0,71, que pode ser escrito como
 -0,3, que pode ser escrito como
 5, que pode ser escrito como
 2,7, que pode ser escrito como
 0,4444..., que pode ser escrito como
 0,121212..., que pode ser escrito como
Conjunto dos números irracionais (𝕀)
 π = 3,141592653...
 = 1,414221356...
 = 2,23606797...
Quantificadores
 A constante π (pi) resulta da divisão do 
comprimento de uma circunferência por seu 
diâmetro. 
 Note que as casas decimais são infinitas e não 
periódicas, e não podemos expressar π como 
uma fração entre inteiros.
 Conjunto dos números reais
(ℝ)  ℝ = { 𝑥 | 𝑥 ∈ ℚ ou 𝑥 ∈ 𝕀} 
Sentenças abertas
 Uma sentença aberta (ou uma função proposicional) é uma sentença que contém
uma ou mais variáveis, que são termos ou símbolos que podem ser substituídos por 
diferentes valores. 
 Se não há atribuição de um valor a cada variável, não somos capazes de identificar o nível 
lógico da sentença. 
 Logo, uma sentença aberta não é considerada 
uma proposição. 
 Acompanhe alguns exemplos de sentenças abertas, 
apresentadas a seguir.
Sentenças abertas 
Sentenças abertas
 𝑋 é um planeta do Sistema Solar.
 Nesse caso, enquanto não soubermos o que a variável 𝑋 representa, não podemos atribuir 
um valor lógico à sentença.
 Se, por exemplo, 𝑋 assumir o valor “Saturno”, temos a proposição “Saturno é um planeta do 
Sistema Solar”, cujo valor lógico é verdadeiro.
 Se, por exemplo, 𝑋 assumir o valor “Lua”, temos a proposição 
“Lua é um planeta do Sistema Solar”, cujo valor lógico é falso.
Sentenças abertas 
Conjunto universo e conjunto verdade
 O conjunto universo de uma variável é o conjunto de possíveis valores que podem substituir 
a variável de uma sentença aberta. 
 Chamaremos, simbolicamente, esse conjunto de 𝑈. 
 O conjunto universo pode ser definido pelo próprio contexto da sentença, ou imposto por 
algum agente, como o próprio enunciado de uma questão.
 O conjunto verdade de uma variável é o conjunto de possíveis 
valores, pertencentes ao universo, capazes de transformar a 
sentença aberta em uma proposição verdadeira.
 Chamaremos, simbolicamente, esse conjunto de 𝑉𝑝.
Sentenças abertas 
Conjunto universo e conjunto verdade
Exemplo:
 Considere a seguinte sentença aberta: “O planeta 𝑋 é o maior planeta do Sistema Solar”.
 Pelo contexto, determine o conjunto universo e o conjunto verdade da variável 𝑋.
Resolução:
 O conjunto universo é formado por todos os planetas do Sistema Solar. 
 Ele terá, portanto, 8 elementos, dispostos a seguir. 
 𝑈 = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno} 
 Já o conjunto verdade é composto por todos os elementos 
pertencentes ao universo que transformam a sentença aberta 
em uma proposição verdadeira. 
 Como o maior planeta do Sistema Solar é Júpiter, ele é o único 
elemento que integra o conjunto verdade.
 𝑉𝑝 = {Júpiter}
Sentenças abertas 
Quantificador universal
 Um quantificador é um símbolo (ou um termo) lógico capaz de fazer uma verificação sobre o 
conjunto de valores do universo que se tornam sentenças verdadeiras. 
 A função de um quantificador é tornar uma sentença aberta uma proposição lógica. 
 Trabalharemos com dois quantificadores: o universal e o existencial.
Quantificador
Quantificador universal
 Considere que 𝑃(𝑥) é uma sentença aberta em função da variável 𝑥. 
 O quantificador universal expressa o fato de que, para todo elemento 𝑥 do universo, 𝑃(𝑥) 
será uma proposição verdadeira. 
 Ou seja, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, o quantificador universal transforma 
essa sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para qualquer 
valor assumido pela variável. 
 Usaremos o símbolo ∀ para expressar o quantificador universal. 
 Em linguagem corrente, ele é lido como “todo”, “para todo”, 
“para qualquer” ou “qualquer que seja”. 
 A quantificação universal da sentença “para todo 𝑥, 𝑃(𝑥)” é 
dada como exposto a seguir: ∀𝑥 (𝑃(𝑥)).
Quantificador
Quantificador universal
∀𝑥 (𝑃(𝑥))
 Essa proposição significa que para todos os valores de 𝑥 do universo, a sentença
𝑃(𝑥) é verdadeira. 
 Nesse caso, o conjunto verdade de 𝑥 deve coincidir com o próprio conjunto universo para 
que tenhamos uma proposição verdadeira. Ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈.
Quantificador
Analise os casos a seguir: 
I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero.
II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas.
III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a assertiva II está correta.
b) Somente a assertiva III está correta.
c) Somente a assertiva I está correta.
d) Somente as assertivas II e III estão corretas.
e) Todas as assertivas estão corretas.
Interatividade 
Analise os casos a seguir: 
I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero.
Falsa – Os números naturais são os inteiros positivos mais o zero.
II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas.
Falsa – Podemos ter dízimas irracionais e irracionais que não são dízimas.
III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais.
Correta – O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números irracionais com o 
conjunto dos números racionais.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a assertiva II está correta.
b) Somente a assertiva III está correta.
c) Somente a assertiva I está correta.
d) Somente as assertivas II e III estão corretas.
e) Todas as assertivas estão corretas.
Resposta
Quantificador existencial
 Considere que 𝑃(𝑥) é uma sentença aberta em função da variável 𝑥. 
 O quantificador existencial expressa o fato de que existe pelo menos um elemento 𝑥 no 
universo, capaz de tornar 𝑃(𝑥) uma proposição verdadeira. 
 Ou seja, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, o quantificador existencial transforma 
essa sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para pelo menos 
um valor assumido pela variável. 
 Usaremos o símbolo ∃ para expressar o quantificador existencial. 
 Em linguagem corrente, ele é lido como “algum”, “para algum”, 
“existem pelo menos um” ou “existe algum”. 
 A quantificação existencial da sentença “para algum 𝑥, 𝑃(𝑥)” é 
dada como exposto a seguir.
Quantificador
Quantificador existencial
∃𝑥 (𝑃(𝑥))
 Essa proposição significa que existe pelo menos um valor de 𝑥 do universo para oqual a 
sentença 𝑃(𝑥) é verdadeira. 
 Nesse caso, para que tenhamos uma proposição verdadeira, basta que o conjunto verdade 
de 𝑥 não seja um conjunto vazio. Ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø.
Quantificador
Quantificador existencial
 A própria sentença quantificada pode explicitar o universo.
Observe a sentença a seguir:
 “Existe um 𝑥 inteiro, tal que 𝑥 é maior do que zero”.
 Ela contém o quantificador existencial (existe um, ou ∃), o universo (conjunto dos números
inteiros, ou ℤ) e a sentença aberta em função de 𝑥 (𝑥 é maior do que zero, ou 𝑥 > 0).
Simbolicamente, ela pode ser expressa como o exposto a seguir:
(∃𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 > 0)
 Observe a sentença “Algum matemático é filósofo”. 
 Ela tem a forma “Algum 𝐴 é 𝐵”. 
 Nesse caso, há a indicação de que existe uma interseção 
entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵. 
 Por isso, a palavra “algum” está associada à operação
de conjunção.
Quantificador
Quantificador universal
 Quando temos uma proposição quantificada universalmente, seu valor lógico será verdadeiro 
se o seu conjunto verdade for igual ao seu conjunto universo, ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈. 
 Observe a sentença quantificada a seguir:
(∀𝑥 ∈ ℕ*)(2𝑥 > 𝑥) 
 Lemos como: “para qualquer 𝑥 pertencente ao conjunto
dos números naturais não nulos, 2𝑥 é maior do que 𝑥”.
Valores lógicos de sentenças quantificadas
Quantificador universal
 O predicado é encontrado nos segundos parênteses da sentença. 
 Nesse caso, podemos isolar a variável 𝑥, conforme disposto a seguir:
 𝑃(𝑥): 2𝑥 > 𝑥
 𝑃(𝑥): 2𝑥 – 𝑥 > 0 
 𝑃(𝑥): 𝑥 > 0 
 O seu conjunto universo é expresso nos primeiros parênteses 
junto ao quantificador universal.
 Ele é o conjunto dos números naturais não nulos. 
 Simbolicamente, temos o que segue:
𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Valores lógicos de sentenças quantificadas
Quantificador universal
 Já o conjunto verdade é o conjunto de valores do universo que tornam a sentença 
𝑃(𝑥) verdadeira. 
 Para isso, expressamos tanto o universo, quanto o predicado. 
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 Note que, nesse caso, o conjunto universo coincide com o 
conjunto verdade, ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈. Isso faz com que tenhamos 
uma proposição verdadeira. 
 Qualquer divergência entre os elementos desses conjuntos 
tornaria a proposição falsa.
Valores lógicos de sentenças quantificadas
Quantificador existencial
 Quando temos uma proposição quantificada existencialmente, seu valor lógico será 
verdadeiro se o seu conjunto verdade tiver pelo menos um elemento, ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø.
Observe a sentença quantificada a seguir:
 (∃𝑥 ∈ ℤ)(2𝑥 > 𝑥) 
 Lemos como: “existe pelo menos um 𝑥 pertencente ao conjunto dos números inteiros, tal que 
2𝑥 é maior do que 𝑥”. 
 O predicado é encontrado nos segundos parênteses da sentença. 
Nesse caso, podemos isolar a variável 𝑥, conforme 
disposto a seguir:
 𝑃(𝑥): 2𝑥 > 𝑥
 𝑃(𝑥): 2𝑥 – 𝑥 > 0 
 𝑃(𝑥): 𝑥 > 0
Valores lógicos de sentenças quantificadas
Quantificador existencial
 O seu conjunto universo é expresso nos primeiros parênteses, junto ao 
quantificador universal. 
 Ele é o conjunto dos números inteiros. 
 Simbolicamente, temos o que segue:
𝑈 = ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
 Já o conjunto verdade é o conjunto de valores do universo 
que tornam a sentença 𝑃(𝑥) verdadeira. 
 Para isso, expressamos tanto o universo, quanto o predicado.
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Valores lógicos de sentenças quantificadas
 Lidaremos com argumentos lógicos quantificados, com foco em sentenças em linguagem 
corrente e em contextos que não envolvem conjuntos cujos elementos são numéricos.
 Adotaremos um formato padronizado para simbolizar nossas sentenças, e seguiremos com 
ele até o fim da nossa unidade.
 Desse modo, é mais fácil lidarmos com estruturas argumentativas.
Em sentenças quantificadas universalmente, no formato “todo A 
tem a propriedade B”, podemos usar a letra 𝑥 como 
representante de qualquer elemento do universo, expressando:
 “Qualquer que seja 𝑥, se 𝑥 tem a propriedade A, então 𝑥 tem 
a propriedade B”.
 Simbolicamente, representaremos essa expressão no seguinte 
formato: ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐵𝑥).
 Nesse caso, ∀ é o quantificador universal, 𝑥 é a variável e 
(𝐴𝑥 → 𝐵𝑥) é o predicado.
Argumentos lógicos quantificados
Em sentenças quantificadas existencialmente, no formato ”algum A tem a propriedade B”, 
podemos usar a letra 𝑥 como representante de qualquer elemento do universo, expressando:
 “Existe pelo menos um 𝑥 que tem a propriedade A e a propriedade B”. 
 Simbolicamente, representaremos essa expressão no seguinte formato: ∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥).
 Nesse caso, ∃ é o quantificador existencial, 𝑥 é a variável e (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥) é o predicado.
Argumentos lógicos quantificados
A alternativa que apresenta uma sentença quantificada universalmente é:
a) Em Macapá tem nota fiscal.
b) A Região Oeste do Brasil emite notas fiscais.
c) Existe dentista no posto de saúde do município do SUS.
d) Alguns advogados de São Paulo são auditores fiscais.
e) Qualquer engenheiro de segurança do trabalho pode participar da auditoria.
Interatividade 
A alternativa que apresenta uma sentença quantificada universalmente é:
a) Em Macapá tem nota fiscal.
b) A Região Oeste do Brasil emite notas fiscais.
c) Existe dentista no posto de saúde do município do SUS.
d) Alguns advogados de São Paulo são auditores fiscais.
e) Qualquer engenheiro de segurança do trabalho pode participar da auditoria.
Resposta
Comentário: 
 O termo “qualquer” representa o quantificador universal ∀. 
Note que, na sentença da alternativa “e”, a palavra 
“qualquer” pode ser substituída por “todo”, sem modificar 
o seu significado. 
 Um argumento quantificado é um argumento lógico que possui, em suas proposições, 
sentenças quantificadas.
 Não precisamos nos preocupar com o valor lógico das premissas. 
 Lembre-se de que, na lógica, estamos interessados na validade da estrutura argumentativa, 
e não na validação das premissas do nosso argumento. 
 Portanto, consideraremos que todas as premissas com a qual lidaremos serão verdadeiras. 
 Vamos trazer, novamente, o argumento mais clássico da 
lógica formal, que é um argumento quantificado.
 P1: Todo homem é mortal. 
 P2: Sócrates é um homem. 
 Q: Portanto, Sócrates é mortal.
Definição de argumento quantificado
 Se chamarmos o conjunto dos homens de 𝐻, o conjunto dos mortais de 𝑀, o elemento 
Sócrates de 𝑠, e elementos quaisquer do universo de 𝑥, podemos fazer a tradução simbólica 
dessa expressão, da maneira explicitada a seguir:
 P1: ∀𝑥 (𝐻𝑥 → 𝑀𝑥) 
 P2: 𝐻𝑠
 Q: ∴ 𝑀𝑠
 Seguindo a mesma lógica, podemos simbolizar as sentenças 
quantificadas a seguir, conforme explicitado:
 Alguns vendedores são morenos: ∃𝑥 (𝑉𝑥 ∧ 𝑀𝑥).
 Todas as universitárias são estudantes: ∀𝑥 (𝑈𝑥 → 𝐸𝑥).
 Há pessoas que não gostam de chocolate: ∃𝑥 (𝑃𝑥 ∧ ~𝐶𝑥).
Definição de argumento quantificado
 Para trabalharmos com a prova da validade de argumentos quantificados, é conveniente 
que os quantificadores se apresentem num formato não negado. 
 No caso de haver quantificadores negados, podemos substituí-los por um 
formato equivalente. 
Para isso, utilizamos as equivalências expostas a seguir:
Equivalência entre quantificadores
 Vamos analisar cada equivalência individualmente. 
 Quando dizemos que ~∀𝑥 (𝑃(𝑥)), dizemos que nem todos os 
elementos 𝑥 estão associados ao predicado 𝑃(𝑥). 
 Isso é equivalente a afirmar ∃𝑥 ~(𝑃(𝑥)), ou seja, que existe 
pelo menos um 𝑥 que não está associado ao predicado 𝑃(𝑥). 
 Observe o exemplo a seguir: ~∀𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃(𝑥)). 
 Não é verdade que todos os homens falam alemão. ⇔ Existe 
pelo menos um homem que não fala alemão.
~∀𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃(𝑥)) 
~∃𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥))
 Quando dizemos que ~∃𝑥 (𝑃(𝑥)), dizemos que não existe um elemento 𝑥 associado ao 
predicado 𝑃(𝑥). 
 Isso é equivalentea afirmar ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥)), ou seja, que todo elemento 𝑥 não está associado ao 
predicado 𝑃(𝑥). 
Observe o exemplo a seguir:
~∃𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥)) 
 Não é verdade que existem alunos que são estudiosos. ⇔
Todos os alunos não são estudiosos (ou seja, nenhum 
aluno é estudioso).
 Além das equivalências entre quantificadores, as 
equivalências lógicas já estudadas anteriormente podem ser 
usadas nas sentenças quantificadas.
Equivalência entre quantificadores
 Vamos aprender métodos para provar a validade de argumentos que envolvem sentenças 
quantificadas. Para isso, vamos utilizar métodos da exemplificação e da generalização.
 É possível transformar tais argumentos com quantificadores, por meio da exemplificação, em 
argumentos sem quantificadores.
 Dessa forma, a prova direta de validade para esses argumentos exemplificados pode ser 
utilizada, usando as mesmas regras de inferência e de equivalência já verificadas.
 Finalizada a prova de validade do argumento exemplificado, 
podemos usar a generalização para obter a conclusão, caso 
ela seja uma sentença quantificada.
 Vamos, a seguir, conhecer esses métodos.
Validade de argumentos quantificados
Exemplificação
 O método da exemplificação consiste em escolhermos um elemento de exemplo, 𝑐, de 
dentro de uma expressão quantificada que se refere a elementos genéricos 𝑥. 
 Ela funcionará como uma regra de inferência. Há duas possibilidades: a exemplificação 
universal e a existencial.
Validade de argumentos quantificados
Exemplificação universal (E.U.)
 Se todos os elementos 𝑥 estão associados ao predicado 𝑃, escolhemos um deles, 𝑐, um 
termo constante. 
 Isso é indicado pela exemplificação universal, demonstrada simbolicamente a seguir:
Exemplificação existencial (E.E.)
 Se existe um termo associado ao predicado 𝑃, estipulamos 
que tal termo seja 𝑐. 
 Isso é indicado pela exemplificação existencial, demonstrada 
simbolicamente em sequência. 
Validade de argumentos quantificados
∀𝑥 (𝑃(𝑥)) 
-------
∴ 𝑃𝑐
∃𝑥 (𝑃(𝑥)) 
-------
∴ 𝑃c
Generalização
 O método da generalização reverte o que a exemplificação realiza. 
 Há duas possibilidades: a exemplificação universal e a existencial. 
Generalização universal (G.U.) 
 Se o termo 𝑐, tomado na exemplificação, pode ser qualquer 
um (ou seja, pode ser tomado aleatoriamente), então qualquer 
termo está associado ao predicado 𝑃. Isso é o que traduz a 
generalização universal, demonstrada a seguir:
Validade de argumentos quantificados
𝑃𝑐
-------
∴ ∀𝑥 (𝑃(𝑥))
Generalização existencial (G.E.)
 Se concluímos que um termo 𝑐 constante está associado ao predicado 𝑃, então existe um 
termo associado a 𝑃. Esse é o conceito da generalização existencial, demonstrada a seguir:
Como exemplo, vamos aplicar a exemplificação e a 
generalização para provar a validade do argumento quantificado, 
disposto a seguir:
 P1: Todos os jogadores são atletas. 
 P2: Todos os atletas sofrem contusões. 
 Q: Portanto, todos os jogadores sofrem contusões.
Validade de argumentos quantificados
𝑃𝑐
-------
∴ ∃𝑥 (𝑃(𝑥))
Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um 
participante concorre com a cartela reproduzida a seguir. Qual é a probabilidade de que os três 
primeiros números sorteados estejam nessa cartela?
a) 0,2%
b) 0,3%
c) 0,4%
d) 0,5%
e) 0,6%
Interatividade 
B I N G O
5 18 33 48 64
12 21 31 51 68
14 30 60 71
13 16 44 46 61
11 27 41 49 73
Fonte: autoria própria.
Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um 
participante concorre com a cartela reproduzida a seguir. Qual é a probabilidade de que os três 
primeiros números sorteados estejam nessa cartela?
a) 0,2%
b) 0,3%
c) 0,4%
d) 0,5%
e) 0,6%
Resposta
B I N G O
5 18 33 48 64
12 21 31 51 68
14 30 60 71
13 16 44 46 61
11 27 41 49 73
Podemos resolver o exercício utilizando o princípio fundamental da 
contagem. Observe que a cartela contém 24 números entre um universo de 
75 que serão sorteados. A chance dos três primeiros números dessa cartela 
serem sorteados nas três primeiras rodadas respeita a seguinte ordem:
1º sorteio – 24/75
2º sorteio – 23/74
3º sorteio – 22/73
Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos:
A chance dos três primeiros números sorteados 
serem da cartela é de 0,3%.
 Algumas demonstrações que utilizam o formato simbólico dos argumentos quantificados
são relativamente complicadas. 
 Existe um modo menos formal e, talvez, mais intuitivo, de lidarmos com
argumentos quantificados.
 Ele envolve a construção de diagramas de Venn-Euler capazes de ilustrar a
situação proposta. 
 Por meio deles, podemos fazer o teste de argumentos quantificados. 
Diagramas de Venn-Euler
Vamos estudar alguns casos.
1) Todo 𝐴 é 𝐵.
 Utilizando diagramas de Venn-Euler, essa 
relação mostra que o conjunto 𝐴 está contido 
no conjunto 𝐵. 
 Desse modo, 𝐴 é subconjunto de 𝐵, conforme 
demonstrado na figura ao lado.
Diagramas de Venn-Euler
Fonte: adaptado de: livro-texto. 
A B
Diagrama que representa a sentença “Todo A é B”.
2) Algum 𝐴 é 𝐵.
 Nesse caso, pensamos que o termo “algum” representa um elemento comum entre os 
conjuntos citados, ou seja, pertence à interseção entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵. Temos, portanto, 
uma interseção não vazia entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵, disposta graficamente a seguir.
Diagramas de Venn-Euler
A B
Elemento
Fonte: adaptado de: 
livro-texto.
Diagrama que 
representa a sentença
“Algum A é B”.
3) Algum 𝐴 não é 𝐵 (ou não é verdade que todo 𝐴 é 𝐵). 
 A sentença “Algum 𝐴 não é 𝐵” é equivalente à sentença “Não é verdade que todo 𝐴 é 𝐵”. 
 Elas representam formas de negação da sentença “Todo 𝐴 é 𝐵”. Nesse caso, queremos 
dizer que há pelo menos um elemento que pertence exclusivamente ao conjunto 𝐴. 
 Nesse caso, nos referimos à região exclusiva do conjunto 𝐴, resultado da operação de 
diferença 𝐴 – 𝐵. 
Diagramas de Venn-Euler
Fonte: adaptado de: livro-texto.
A B
Elemento
Diagrama que representa
a sentença “Algum A não é B”.
4) Nenhum 𝐴 é 𝐵 (ou todo 𝐴 não é 𝐵).
 Nesse caso, pensamos que os conjuntos 𝐴 e 𝐵 são disjuntos entre si. Fazemos a 
representação de ambos separadamente.
Diagramas de Venn-Euler
Fonte: adaptado de: livro-texto.
A B
Diagrama que representa
a sentença “Nenhum A é B”.
Consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente 
assistem, obteve-se o seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas 
assistem ao canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B, e 80 assistem a outros 
canais distintos de A e B. O número de pessoas entrevistadas foi:
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
Interatividade 
Consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente 
assistem, obteve-se o seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas 
assistem ao canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B, e 80 assistem a outros 
canais distintos de A e B. O número de pessoas entrevistadas foi:
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
Resposta
 Sabemos que 150 pessoas assistem ao canal A 
e ao canal B, logo, esse é o número que 
ocupará a posição central dos dois círculos 
grandes, chamada de interseção de A com B. 
 O número de pessoas que assistem ao canal A 
é 300 no total. 
 Devemos colocar apenas 150 pessoas dentro do 
círculo roxo, pois esse é o número de pessoas 
que assistem exclusivamente ao canal A. 
 Note que o número de pessoas que assistem 
exclusivamente ao canal A somado ao número 
de pessoas que assistem tanto o canal A quanto 
o canal B é 300.
80
150150 120
A B
150 + 150 + 120 + 80 = 500
ATÉ A PRÓXIMA!