Livro Texto - Unidade IV

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LÓGICA
Unidade IV
Estudaremos os quantificadores, que são operadores capazes de identificar valores que tornam 
sentenças verdadeiras. Lidaremos, em um primeiro momento, mais com a abordagem de elementos 
numéricos de conjuntos.
Posteriormente, conheceremos os argumentos lógicos quantificados, que são argumentos que 
utilizam esse tipo de sentença em suas premissas e conclusão. Nesse contexto, lidaremos basicamente 
com argumentos mais cotidianos, cujos conjuntos não trazem elementos numéricos.
7 QUANTIFICADORES
Conheceremos os quantificadores e os aplicaremos primariamente a conjuntos cujos elementos são 
numéricos. Traremos uma abordagem mais puramente matemática nesta primeira parte. Faremos, a 
seguir, algumas definições importantes, para que possamos compreender essa área.
7.1 Revisão de conjuntos numéricos
Há um tema relativo à teoria de conjuntos que optamos por revisar apenas a essa altura do nosso 
livro‑texto, pois é aqui que vamos aplicá‑lo extensamente. Trata‑se dos conjuntos numéricos.
No nosso sistema decimal de numeração, utilizamos apenas 10 algarismos, que vão de 0 a 9, para 
representar quantidades. Quando combinamos algarismos entre si, formamos numerais, que representam 
qualquer número (quantidade) que desejarmos representar. Esses números podem ser classificados por 
tipo e divididos em conjuntos. A matemática chama‑os de conjuntos numéricos. Podemos pensar que 
esses conjuntos identificam o nível de complexidade dos números em questão. Veremos os principais 
conjuntos numéricos adotados, começando pelos mais simples.
Conjunto dos números naturais (ℕ)
Começaremos com o conjunto dos números mais simples e intuitivos de todos. O conjunto dos 
números naturais é constituído por todos os números inteiros não negativos, incluindo o zero. 
Desse modo, temos um conjunto começando em zero e se estendendo infinitamente:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O conjunto dos números naturais apresenta um subconjunto de destaque. Para conjuntos numéricos, 
ficou convencionado que a inclusão de um asterisco próximo ao símbolo de representação do conjunto 
significa a exclusão do zero. Dessa forma, temos a representação seguinte.
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} (conjunto dos números naturais não nulos)
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Unidade IV
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Os números inteiros, que englobam também os naturais, são todos aqueles que podem ser 
representados sem casas decimais ou frações. Pense nos números naturais, mas inclua também os 
números negativos. Temos, nesse caso, um conjunto que se estende infinitamente nos dois sentidos 
da contagem:
ℤ = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
O conjunto dos números inteiros apresenta alguns subconjuntos de destaque. Além do asterisco, 
que indica supressão do zero, podemos utilizar mais símbolos. A inclusão do sinal “+” próximo ao 
símbolo de representação do conjunto significa a exclusão de todos os números negativos. Já o sinal 
“–“ (menos) significa a exclusão de todos os números positivos. Dessa forma, podemos ter os conjuntos 
mostrados a seguir.
• ℤ* = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} (conjunto dos números inteiros não nulos)
• ℤ+ = {0,1,2,3,4,5,6,…} (conjunto dos números inteiros não negativos)
• ℤ_ ={…,‑4,‑3,‑2,‑1,0} (conjunto dos números inteiros não positivos)
• ℤ+* ={1,2,3,4,5,6,…} (conjunto dos números inteiros não nulos e não negativos)
• ℤ_* ={…,‑4,‑3,‑2,‑1} (conjunto dos números inteiros não nulos e não positivos)
Conjunto dos números racionais (ℚ)
O conjunto dos números racionais engloba os dois conjuntos tratados anteriormente. Podemos 
definir o conjunto dos números racionais como aquele que tem os números que podem ser expressos na 
forma de fração entre inteiros. Nesse caso, há a seguinte propriedade:
ℚ = {𝑥 | 𝑥 = 𝑎/𝑏, 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ*}
Vemos que 𝑏 fica restrito a números inteiros não nulos, pois não podemos atribuir 0 ao denominador 
de uma fração e, ainda assim, mantê‑la dentro do conjunto dos números racionais. Os mesmos símbolos 
*, + e – podem ser associados ao símbolo ℚ, formando subconjuntos.
Vejamos alguns exemplos de números racionais, que incluem números decimais e dízimas periódicas:
• 3
5
 , que é uma fração entre inteiros
• 7
2
− , que é uma fração entre inteiros
• 0,71, que pode ser escrito como 71
100
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LÓGICA
• −0,3, que pode ser escrito como 
3
10
−
• 5, que pode ser escrito como 5
1
• 2,7, que pode ser escrito como 27
10
• 0,4444…, que pode ser escrito como 
4
9
• 0,121212…, que pode ser escrito como 12
99
Conjunto dos números irracionais (𝕀)
Outro conjunto importante é aquele que representa os números decimais com dízimas não periódicas, 
ou seja, que apresentam infinitas casas decimais e não periódicas. Esse conjunto é chamado de irracional, 
representado pela letra 𝕀. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de números irracionais.
• π = 3,141592653… A constante π (pi) resulta da divisão do comprimento de uma circunferência 
por seu diâmetro. Note que as casas decimais são infinitas e não periódicas, e não podemos 
expressar π como uma fração entre inteiros.
• 2 1,414221356...=
• 5 2,23606797...=
Conjunto dos números reais (ℝ)
O conjunto dos números reais engloba todos os números racionais e irracionais, positivos ou 
negativos, finitos ou infinitos. Portanto, ℝ representa a união entre os conjuntos dos números 
racionais e irracionais. Ele engloba, desse modo, todos os conjuntos numéricos vistos anteriormente. 
Podemos defini‑lo dessa forma:
ℝ = { 𝑥 | 𝑥 ∈ ℚ ou 𝑥 ∈ 𝕀}
Desse modo, temos que ℝ = ℚ ⋃ 𝕀. Tal conjunto parece englobar todos os números existentes, 
correto? Só que não é bem assim. Há números que estão fora do conjunto dos números reais, que são os 
números que apresentam parte imaginária. Eles fazem parte de um conjunto ainda maior, denominado 
conjuntos dos números complexos. Este contém o conjunto dos números reais. Porém, não vamos 
abordá‑lo, pois não utilizaremos números imaginários no conteúdo deste livro‑texto.
Os mesmos símbolos já apresentados anteriormente, *, + e −, podem ser associados ao símbolo ℝ, 
formando subconjuntos.
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Unidade IV
O relacionamento existente entre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais 
e reais é mostrado na figura seguinte. Note as relações de inclusão existentes entre esses conjuntos.
Números reais
Racionais
Inteiros
Naturais
47,3
‑27
‑7
‑432
432
0 987
8
0,3
8
2391
11
2
Irracionais
π
2
13
7
55
Figura 39 – Conjuntos numéricos, com exemplos de elementos
7.2 Sentenças abertas
Antes de sermos apresentados aos quantificadores, vamos, primeiro, entender o que são as 
sentenças abertas. Uma sentença aberta (ou uma função proposicional) é uma sentença que 
contém uma ou mais variáveis, que são termos ou símbolos que podem ser substituídos por diferentes 
valores. Se não há atribuição de um valor a cada variável, não somos capazes de identificar o nível 
lógico da sentença. Logo, uma sentença aberta não é considerada uma proposição. Acompanhe alguns 
exemplos de sentenças abertas, apresentadas a seguir.
1. 𝑋 é um planeta do Sistema Solar.
Nesse caso, enquanto não soubermos o que a variável 𝑋 representa, não podemos atribuir um 
valor lógico à sentença. Se, por exemplo, 𝑋 assumir o valor “Saturno”, temos a proposição “Saturno é 
um planeta do Sistema Solar”, cujo valor lógico é verdadeiro. Se, por exemplo, 𝑋 assumir o valor “Lua”, 
temos a proposição “Lua é um planeta do Sistema Solar”, cujo valor lógico é falso.
2. Ela estuda ciências contábeis.
Os pronomes pessoais em 3ª pessoa (ele, ela, eles ou elas) são termos que, quando utilizados como 
sujeito da sentença e sem contexto, transformam‑na em uma sentença aberta. Na sentença do exemplo, 
não sabemos quem é “ela”.
3.	𝑥 + 5 = 6
A sentença aberta 𝑥 + 5 = 6 se torna uma proposição verdadeira se atribuirmos a 𝑥 o valor 1. 
Qualquer outro valor faz com que a sentença se transforme em uma proposição falsa.
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LÓGICA
4.	𝑦 > 7
A sentença aberta 𝑦 > 7 é verdadeira se 𝑦 assumir qualquer valor maior do que7. Qualquer outro 
valor, incluindo o próprio 7, faz com que tenhamos uma proposição falsa.
7.2.1 Conjunto universo e conjunto verdade
O conjunto universo de uma variável é o conjunto de possíveis valores que podem substituir 
a variável de uma sentença aberta. Chamaremos, simbolicamente, esse conjunto de 𝑈. O conjunto 
universo pode ser definido pelo próprio contexto da sentença, ou imposto por algum agente, como o 
próprio enunciado de uma questão.
É especialmente importante reconhecermos o conjunto universo quando estamos lidando com 
sentenças matemáticas. Por exemplo, se considerarmos a sentença aberta 𝑦 + 3 ≤ 10, podemos impor 
que o conjunto universo 𝑈 da variável 𝑦 seja algum conjunto numérico, como o conjunto dos números 
naturais (ℕ), o conjunto dos números inteiros (ℤ) ou o conjunto dos números reais (ℝ). Também poderia 
ter sido atribuído qualquer conjunto arbitrário de valores para o universo, como 𝑈 = {4, 5, 6, 7}. No caso 
de não haver menção ao conjunto universo, consideramos o maior conjunto possível de valores, dado o 
contexto – em contextos que envolvem sentenças matemáticas, consideramos 𝑈 = ℝ.
O conjunto verdade de uma variável é o conjunto de possíveis valores, pertencentes ao 
universo, capazes de transformar a sentença aberta em uma proposição verdadeira. Chamaremos, 
simbolicamente, esse conjunto de 𝑉𝑝.
Se considerarmos, novamente, a sentença aberta 𝑦 + 3 ≤ 10, com 𝑈 = ℕ, o conjunto verdade 𝑉𝑝 
será composto de todos os valores do conjunto dos números naturais capazes de fazer com que a 
inequação seja verdadeira. Nesse caso, qualquer número natural menor ou igual a 7 torna a sentença 
verdadeira. Portanto, temos 𝑉𝑝 = {𝑦 ∈ ℕ | 𝑦 ≤ 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Se você não entendeu como esse conjunto foi obtido, você precisa se recordar que uma inequação 
funciona de forma parecida com uma equação, porém, ao invés de um sinal de igualdade, utilizamos 
outro símbolo comparativo entre as expressões algébricas.
Partimos de 𝑦 + 3 ≤ 10, e a nossa intenção é isolar a variável, 𝑦 . Para isso, precisamos mandar o 
termo + 3 para o outro lado da inequação, trocando o seu sinal. Com isso, ficamos com 𝑦 ≤ 10 – 3. 
Resolvendo a expressão da direita, chegamos a 𝑦 ≤ 7. Depois, observamos que o universo é restrito ao 
conjunto dos números naturais, pela indicação 𝑈 = ℕ. Por isso, 𝑦 precisa pertencer a ℕ. A notação final, 
portanto, diz que 𝑉𝑝 = {𝑦 ∈ ℕ | 𝑦 ≤ 7}.
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Unidade IV
 Lembrete
Conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros: ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
Conjunto dos números racionais: ℚ = {𝑥 | 𝑥 = 𝑎/𝑏, 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ*}
Conjunto dos números irracionais: 𝕀 = {𝑥 | 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ∉ ℚ}
Conjunto dos números reais: ℝ = ℚ ⋃ 𝕀
Nos exemplos a seguir, lidaremos com os conceitos de conjunto universo e conjunto verdade, 
aplicados a sentenças abertas.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Considere a seguinte sentença aberta: “O planeta 𝑋 é o maior planeta do Sistema Solar”. 
Pelo contexto, determine o conjunto universo e o conjunto verdade da variável 𝑋.
Resolução
O conjunto universo é formado por todos os planetas do Sistema Solar. Ele terá, portanto, 8 elementos, 
dispostos a seguir.
𝑈 = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
Já o conjunto verdade é composto de todos os elementos pertencentes ao universo que transformam 
a sentença aberta em uma proposição verdadeira. Como o maior planeta do Sistema Solar é Júpiter, ele 
é o único elemento que integra o conjunto verdade.
𝑉𝑝 = {Júpiter}
Exemplo 2. Considere a sentença aberta 𝑥 + 5 ≤ 11. Sabendo que 𝑥 ∈ ℤ, determine seu 
conjunto verdade.
Resolução
Se sabemos que 𝑥 ∈ ℤ, o conjunto dos números inteiros é o conjunto universo da variável 𝑥. Portanto, 
temos o que segue.
𝑈 = ℤ
Para definirmos o conjunto verdade, vamos isolar a variável 𝑥, a seguir.
141
LÓGICA
𝑥 + 5 ≤ 11
𝑥 ≤ 11 – 5
𝑥 ≤ 6
Logo, o conjunto verdade será dado por:
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥 ≤ 6}
 Lembrete
Uma sentença aberta não é uma proposição, pois não pode ser 
classificada como verdadeira ou falsa. Porém, ao atribuirmos valores às 
variáveis, transformamos uma sentença aberta em uma proposição.
Uma sentença aberta pode, portanto, ser transformada em uma proposição lógica. Para isso 
acontecer, precisamos adotar uma das seguintes estratégias:
• Atribuir um valor a cada variável (conforme já discutimos).
• Utilizar um quantificador (conforme discutiremos a seguir).
7.3 Quantificador universal
Um quantificador é um símbolo (ou um termo) lógico capaz de fazer uma verificação sobre o 
conjunto de valores do universo que se tornam sentenças verdadeiras. A função de um quantificador é 
tornar uma sentença aberta uma proposição lógica. Trabalharemos com dois quantificadores: o universal 
e o existencial.
 Observação
Podemos definir quantificadores como operadores lógicos que 
restringem as variáveis das sentenças abertas, de forma que elas se refiram 
a todo o conjunto universo ou a uma parte dele.
Considere que 𝑃(𝑥) é uma sentença aberta em função da variável 𝑥. O quantificador universal 
expressa o fato de que, para todo elemento 𝑥 do universo, 𝑃(𝑥) será uma proposição verdadeira. Ou 
seja, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, o quantificador universal transforma essa sentença 
em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para qualquer valor assumido pela variável. 
Usaremos o símbolo ∀ para expressar o quantificador universal. Em linguagem corrente, ele é lido como 
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Unidade IV
“todo”, “para todo”, “para qualquer” ou “qualquer que seja”. A quantificação universal da sentença “para 
todo 𝑥, 𝑃(𝑥)” é dada como exposto a seguir.
∀𝑥 (𝑃(𝑥))
Essa proposição significa que para todos os valores de 𝑥 do universo, a sentença 𝑃(𝑥) é verdadeira. 
Nesse caso, o conjunto verdade de 𝑥 deve coincidir com o próprio conjunto universo para que tenhamos 
uma proposição verdadeira. Ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈.
A própria sentença quantificada pode explicitar o universo. Observe a sentença a seguir: “Para todo 𝑥 
natural, 𝑥 é maior do que zero”. Ela contém o quantificador universal (para todo, ou ∀), o universo 
(conjunto dos números naturais, ou ℕ) e a sentença aberta em função de 𝑥 (𝑥 é maior do que zero, ou 
𝑥 > 0). Simbolicamente, ela pode ser expressa como o exposto a seguir.
(∀𝑥 ∈ ℕ)(𝑥 > 0)
Lidamos, em alguns exemplos anteriores do nosso livro‑texto, com a sentença “Todo homem é mortal”. 
Ela tem a forma “Todo 𝐴 é 𝐵”, e pode ser reescrita na forma “Se 𝐴, então 𝐵”.
Vamos pensar que se é verdade que todo homem é mortal, o conjunto de todos os homens é um 
subconjunto do conjunto de todos os mortais. Desse modo, a palavra “todo” representa uma relação de 
inclusão entre conjuntos e, por isso, está associada à operação condicional. Simbolicamente, a sentença 
“Todo 𝐴 é 𝐵” pode ser expressa como
∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
Ou
(∀𝑥 ∈ 𝐴)(𝑥 ∈ 𝐵)
A primeira forma simbólica é lida como “para todo 𝑥, se 𝑥 pertence a 𝐴, então 𝑥 pertence a 𝐵”. Nesse 
formato, de certa forma, expressamos o universo no próprio predicado, ou seja, entre os parênteses que 
sucedem o quantificador. A segunda forma simbólica pode ser lida como “para todo 𝑥 que pertence a 
𝐴, 𝑥 pertence a 𝐵”.
Ao invés de utilizarmos o símbolo de pertinência, da teoria de conjuntos, podemos simplesmente 
indicar o nome do conjunto, seguido da variável que pertence a ele. Assim, uma outra forma de 
escrever ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) seria o demonstrado a seguir.
∀𝑥(𝐴𝑥 → 𝐵𝑥)
Esse formato será utilizado com bastante frequência por nós, quando discutirmos argumentos 
lógicos quantificado, no próximo tópico deste livro‑texto.
143
LÓGICA
 Observação
No contexto de quantificadores, é comum chamarmos a sentença 
aberta 𝑃(𝑥) de predicado. O predicado traz uma propriedade a determinada 
sentença quantificada, e é expresso entre os parênteses que sucedem 
o quantificador.
7.4 Quantificador existencial
Considere que 𝑃(𝑥)é uma sentença aberta em função da variável 𝑥. O quantificador existencial 
expressa o fato de que existe pelo menos um elemento 𝑥 no universo, capaz de tornar 𝑃(𝑥) uma 
proposição verdadeira. Ou seja, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, o quantificador existencial 
transforma essa sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para pelo menos 
um valor assumido pela variável. Usaremos o símbolo ∃ para expressar o quantificador existencial. Em 
linguagem corrente, ele é lido como “algum”, “para algum”, “existe pelo menos um” ou “existe algum”. 
A quantificação existencial da sentença “para algum 𝑥, 𝑃(𝑥)” é dada como exposto a seguir.
∃𝑥 (𝑃(𝑥))
Essa proposição significa que existe pelo menos um valor de 𝑥 do universo para o qual a sentença 
𝑃(𝑥) é verdadeira. Nesse caso, para que tenhamos uma proposição verdadeira, basta que o conjunto 
verdade de 𝑥 não seja um conjunto vazio. Ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø.
A própria sentença quantificada pode explicitar o universo. Observe a sentença a seguir: “Existe um 
𝑥 inteiro, tal que 𝑥 é maior do que zero”. Ela contém o quantificador existencial (existe um, ou ∃), o 
universo (conjunto dos números inteiros, ou ℤ) e a sentença aberta em função de 𝑥 (𝑥 é maior do que 
zero, ou 𝑥 > 0). Simbolicamente, ela pode ser expressa como o exposto a seguir.
(∃𝑥 ∈ ℤ)(𝑥 > 0)
Observe a sentença “Algum matemático é filósofo”. Ela tem a forma “Algum 𝐴 é 𝐵”. Nesse caso, há 
a indicação de que existe uma interseção entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵. Por isso, a palavra “algum” está 
associada à operação de conjunção.
Simbolicamente, a sentença “Pelo menos um 𝐴 é 𝐵” pode ser expressa como
∃𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
Ou
(∃𝑥 ∈ 𝐴)(𝑥 ∈ 𝐵)
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Unidade IV
Ao invés de utilizarmos o símbolo de pertinência, da teoria de conjuntos, podemos simplesmente 
indicar o nome do conjunto, seguido da variável que pertence a ele. Assim, uma outra forma de escrever 
∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) seria o demonstrado a seguir.
∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥)
Esse formato será utilizado com bastante frequência por nós quando discutirmos argumentos 
lógicos quantificados.
7.5 Valores lógicos de sentenças quantificadas
Aprenderemos, agora, a reconhecer o valor lógico de proposições quantificadas. Veremos, 
separadamente, os casos de cada quantificador.
7.5.1 Quantificador universal
Quando temos uma proposição quantificada universalmente, seu valor lógico será verdadeiro 
se o seu conjunto verdade for igual ao seu conjunto universo, ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈. Observe a sentença 
quantificada a seguir.
(∀𝑥 ∈ ℕ*)(2𝑥 > 𝑥)
Lemos como: “para qualquer 𝑥 pertencente ao conjunto dos números naturais não nulos, 2𝑥 é 
maior do que 𝑥”.
O predicado é encontrado nos segundos parênteses da sentença. Nesse caso, podemos isolar a 
variável 𝑥, conforme disposto a seguir.
𝑃(𝑥): 2𝑥 > 𝑥
𝑃(𝑥): 2𝑥 – 𝑥 > 0
𝑃(𝑥): 𝑥 > 0
O seu conjunto universo é expresso nos primeiros parênteses junto ao quantificador universal. Ele é 
o conjunto dos números naturais não nulos. Simbolicamente, temos o que segue.
𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Já o conjunto verdade é o conjunto de valores do universo que tornam a sentença 𝑃(𝑥) verdadeira. 
Para isso, expressamos tanto o universo quanto o predicado.
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
145
LÓGICA
Note que, nesse caso, o conjunto universo coincide com o conjunto verdade, ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈. Isso 
faz com que tenhamos uma proposição verdadeira. Qualquer divergência entre os elementos desses 
conjuntos tornaria a proposição falsa.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Encontre o valor lógico da proposição quantificada a seguir.
(∀𝑥 ∈ ℤ)(2𝑥 > 𝑥)
Resolução
Lemos como: “para todo 𝑥 inteiro, 2𝑥 é maior do que 𝑥”.
𝑃(𝑥): 2𝑥 > 𝑥
𝑃(𝑥): 2𝑥 – 𝑥 > 0
𝑃(𝑥): 𝑥 > 0
𝑈 = ℤ = {..., – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Como 𝑉𝑝 ≠ 𝑈, a proposição é falsa.
Exemplo 2. Encontre o valor lógico da proposição quantificada a seguir.
(∀𝑥 ∈ ℕ*)(𝑥 + 3 > 7)
Resolução
Lemos como: “para todo 𝑥 que pertence ao conjunto dos números naturais não nulos, 𝑥 + 3 é 
maior do que 7”.
𝑃(𝑥): 𝑥 + 3 > 7
𝑃(𝑥): 𝑥 > 7 – 3
𝑃(𝑥): 𝑥 > 4
𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 > 4} = {5, 6, 7, 8, 9, ...}
Como 𝑉𝑝 ≠ 𝑈, a proposição é falsa.
146
Unidade IV
7.5.2 Quantificador existencial
Quando temos uma proposição quantificada existencialmente, seu valor lógico será verdadeiro 
se o seu conjunto verdade tiver pelo menos um elemento, ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø. Observe a sentença 
quantificada a seguir.
(∃𝑥 ∈ ℤ)(2𝑥 > 𝑥)
Lemos como: “existe pelo menos um 𝑥 pertencente ao conjunto dos números inteiros, tal que 2𝑥 é 
maior do que 𝑥”.
O predicado é encontrado nos segundos parênteses da sentença. Nesse caso, podemos isolar a 
variável 𝑥, conforme disposto a seguir.
𝑃(𝑥): 2𝑥 > 𝑥
𝑃(𝑥): 2𝑥 – 𝑥 > 0
𝑃(𝑥): 𝑥 > 0
O seu conjunto universo é expresso nos primeiros parênteses, junto ao quantificador universal. Ele é 
o conjunto dos números inteiros. Simbolicamente, temos o que segue.
𝑈 = ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Já o conjunto verdade é o conjunto de valores do universo que tornam a sentença 𝑃(𝑥) verdadeira. 
Para isso, expressamos tanto o universo quanto o predicado.
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Note que, nesse caso, o conjunto verdade não é um conjunto vazio, ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø. Isso faz com 
que tenhamos uma proposição verdadeira. Apenas se encontrássemos 𝑉𝑝 = Ø é que teríamos uma 
proposição falsa.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Encontre o valor lógico da proposição quantificada a seguir.
(∃𝑥 ∈ ℕ*)(𝑥 + 5 < 3)
Resolução
Lemos como: “existe pelo menos um 𝑥 pertencente ao conjunto dos números naturais não nulos, 
tal que 𝑥 + 5 é menor do que 3”.
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LÓGICA
𝑃(𝑥): 𝑥 + 5 < 3
𝑃(𝑥): 𝑥 < 3 – 5
𝑃(𝑥): 𝑥 < –2
𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 < – 2} = Ø
Como 𝑉𝑝 = Ø, a proposição é falsa.
Exemplo 2. Encontre o valor lógico da proposição quantificada a seguir.
(∃𝑥 ∈ ℕ*)(𝑥 – 5 > 10)
Resolução
Lemos como: “existe um 𝑥 que pertence ao conjunto dos números naturais não nulos, tal que 𝑥 – 5 
é maior do que 10”.
𝑃(𝑥): 𝑥 – 5 > 10
𝑃(𝑥): 𝑥 > 10 + 5
𝑃(𝑥): 𝑥 > 15
𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 > 15} = {16, 17, 18, 19, ...}
Como 𝑉𝑝 ≠ Ø, a proposição é verdadeira.
8 ARGUMENTOS LÓGICOS QUANTIFICADOS
Lidaremos com argumentos lógicos quantificados, com foco em sentenças em linguagem corrente 
e em contextos que não envolvem conjuntos cujos elementos são numéricos. Adotaremos um formato 
padronizado para simbolizar nossas sentenças, e seguiremos com ele até o fim da nossa unidade. Desse 
modo, é mais fácil lidarmos com estruturas argumentativas.
Em sentenças quantificadas universalmente, no formato ”todo A tem a propriedade B”, podemos 
usar a letra 𝑥 como representante de qualquer elemento do universo, expressando: “Qualquer que seja 
𝑥, se 𝑥 tem a propriedade A, então 𝑥 tem a propriedade B”. Simbolicamente, representaremos essa 
expressão no seguinte formato:
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Unidade IV
∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐵𝑥)
Nesse caso, ∀ é o quantificador universal, 𝑥 é a variável e (𝐴𝑥 → 𝐵𝑥) é o predicado.
Em sentenças quantificadas existencialmente, no formato ”algum A tem a propriedade B”, podemos 
usar a letra 𝑥 como representante de qualquer elemento do universo, expressando: “Existe pelo menos 
um x que tem a propriedade A e a propriedade B”. Simbolicamente, representaremos essa expressão no 
seguinte formato:
∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥)
Nesse caso, ∃ é o quantificador existencial, 𝑥 é a variável e (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥) é o predicado.
8.1 Definição de argumento quantificado
Um argumento quantificado é um argumento lógico que possui, em suas proposições, sentenças 
quantificadas.
Não precisamos nos preocupar com o valor lógico das premissas. Lembre‑se de que, na lógica, 
estamos interessados na validade da estrutura argumentativa, e não na validação das premissas do nosso 
argumento.Portanto, consideraremos que todas as premissas com a qual lidaremos serão verdadeiras.
Vamos trazer, novamente, o argumento mais clássico da lógica formal, que é um argumento quantificado.
P1: todo homem é mortal.
P2: Sócrates é um homem.
Q: portanto, Sócrates é mortal.
Se chamarmos o conjunto dos homens de 𝐻, o conjunto dos mortais de 𝑀, o elemento Sócrates 
de 𝑠, e elementos quaisquer do universo de 𝑥, podemos fazer a tradução simbólica dessa expressão, da 
maneira explicitada a seguir.
P1: ∀𝑥 (𝐻𝑥 → 𝑀𝑥)
P2: 𝐻𝑠
Q: ∴𝑀𝑠
Seguindo a mesma lógica, podemos simbolizar as sentenças quantificadas a seguir, conforme 
explicitado.
Alguns vendedores são morenos: ∃𝑥 (𝑉𝑥 ∧ 𝑀𝑥)
149
LÓGICA
Todas as universitárias são estudantes: ∀𝑥 (𝑈𝑥 → 𝐸𝑥)
Há pessoas que não gostam de chocolate: ∃𝑥 (𝑃𝑥 ∧ ~𝐶𝑥)
Na última sentença, 𝑃 é o conjunto de todas as pessoas e 𝐶 é o conjunto das pessoas que gostam 
de chocolate. O operador de negação indica que há elementos que pertencem ao conjunto 𝑃 e que não 
pertencem ao conjunto 𝐶.
8.2 Equivalência entre quantificadores
Para trabalharmos com a prova da validade de argumentos quantificados, é conveniente que os 
quantificadores se apresentem num formato não negado. No caso de haver quantificadores negados, 
podemos substituí‑los por um formato equivalente. Para isso, usamos as equivalências expostas a seguir.
~∀𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃(𝑥))
~∃𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥))
Vamos analisar cada equivalência individualmente. Quando dizemos que ~∀𝑥(𝑃(𝑥)), falamos que 
nem todos os elementos 𝑥 estão associados ao predicado 𝑃(𝑥). Isso é equivalente a afirmar ∃𝑥~(𝑃(𝑥)), ou 
seja, que existe pelo menos um 𝑥 que não está associado ao predicado 𝑃(𝑥). Observe o exemplo a seguir.
~∀𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃(𝑥))
Não é verdade que todos os homens falam alemão. ⇔ Existe pelo menos um homem que não 
fala alemão.
Quando dizemos que ~∃𝑥 (𝑃(𝑥)), falamos que não existe um elemento 𝑥 associado ao predicado 
𝑃(𝑥). Isso é equivalente a afirmar ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥)), ou seja, que todo elemento 𝑥 não está associado ao 
predicado 𝑃(𝑥). Observe o exemplo a seguir.
~∃𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥))
Não é verdade que existem alunos que são estudiosos. ⇔ Todos os alunos não são estudiosos (ou 
seja, nenhum aluno é estudioso).
Além das equivalências entre quantificadores, as equivalências lógicas já estudadas anteriormente 
podem ser usadas nas sentenças quantificadas.
 Observação
Observe que para negarmos uma sentença quantificada, trocamos seu 
tipo de quantificador e transferimos a negação para o predicado.
150
Unidade IV
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Demonstre que a sentença “não existe baleia que seja réptil” é equivalente à sentença 
“todas as baleias não são répteis”.
Resolução
A sentença “não existe baleia que seja réptil” pode ser expressa simbolicamente por ~∃𝑥 (𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥). 
Note que a sentença quantificada está negada.
De acordo com as equivalências que acabamos de estudar, para negar uma sentença quantificada, 
devemos trocar o seu quantificador e negar seu predicado. Desse modo, temos que
~∃𝑥 (𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 ~(𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥)
Se usarmos a equivalência de De Morgan ~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∨ ~𝑏, podemos reescrever o predicado 
~(𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥) como
~∃𝑥 (𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 ~(𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 (~𝐵𝑥 ∨ ~𝑅𝑥)
Usando a equivalência condicional 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏, podemos reescrever o predicado 
(~𝐵𝑥 ∨ ~𝑅𝑥) como
~∃𝑥 (𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 ~(𝐵𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 (~𝐵𝑥 ∨ ~𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 (𝐵𝑥 → ~𝑅𝑥)
Em linguagem corrente, essa última sentença pode ser lida como “todas as baleias não são répteis”.
Exemplo 2. Demonstre que a sentença “nem todo pássaro voa” é equivalente à sentença “existem 
pássaros que não voam”.
Resolução
A sentença “nem todo pássaro voa” pode ser expressa simbolicamente por ~∀𝑥 (𝑃𝑥 → 𝑉𝑥). Note 
que a sentença quantificada está negada.
De acordo com as equivalências que acabamos de estudar, para negar uma sentença quantificada, 
devemos trocar o seu quantificador e negar seu predicado. Desse modo, temos que
~∀𝑥 (𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃𝑥 → 𝑉𝑥)
Partindo da equivalência condicional 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏, podemos negar ambas as expressões da 
equivalência, o que resulta em ~(𝑎 → 𝑏) ⇔ ~(~𝑎 ∨ 𝑏). Note que o predicado ~(𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) parte do 
formato ~(𝑎 → 𝑏). Vamos, então, levá‑lo ao formato ~(~𝑎 ∨ 𝑏).
151
LÓGICA
~∀𝑥 (𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(~𝑃𝑥 ∨ 𝑉𝑥)
Agora, podemos aplicar a equivalência de De Morgan ~(𝑎 ∨ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏.
~∀𝑥 (𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(~𝑃𝑥 ∨ 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 (~(~𝑃𝑥) ∧ ~𝑉𝑥)
Aplicando a dupla negação 𝑎 ⇔ ~(~𝑎), temos
~∀𝑥 (𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝑃𝑥 → 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(~𝑃𝑥 ∨ 𝑉𝑥) ⇔ ∃𝑥 (~(~𝑃𝑥) ∧ ~𝑉𝑥) ⇔
∃𝑥 (𝑃𝑥 ∧ ~𝑉𝑥)
Em linguagem corrente, podemos ler essa última expressão como “Existem pássaros que não voam”.
Exemplo 3. Demonstre que a sentença “nem todos os animais não são domésticos” é equivalente à 
sentença “Alguns animais são domésticos”.
Resolução
A sentença “nem todos os animais não são domésticos” pode ser expressa simbolicamente por 
~∀𝑥 (𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥). Note que a sentença quantificada está negada.
De acordo com as equivalências que acabamos de estudar, para negar uma sentença quantificada, 
devemos trocar o seu quantificador e negar seu predicado. Desse modo, temos que
~∀𝑥 (𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥)
Partindo equivalência condicional 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏, podemos negar ambas as expressões da equivalência, 
o que resulta em ~(𝑎 → 𝑏) ⇔ ~(~𝑎 ∨ 𝑏). Note que o predicado parte do formato ~(𝑎 → 𝑏) . Vamos, então, 
levá‑lo ao formato ~(~𝑎 ∨ 𝑏).
~∀𝑥 (𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(~𝐴𝑥 ∨ ~𝐷𝑥)
Aplicando a equivalência de De Morgan ~(𝑎 ∨ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏, temos
~∀𝑥 (𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 (~(~𝐴𝑥) ∧ ~(~𝐷𝑥))
Por dupla negação, chegamos a
~∀𝑥 (𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝐴𝑥 → ~𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 (~(~𝐴𝑥) ∧ ~(~𝐷𝑥)) ⇔ ∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)
Em linguagem corrente, podemos ler essa última expressão como “alguns animais são domésticos”.
152
Unidade IV
Das equivalências apresentadas neste tópico, podemos concluir que a negação da sentença 
“Todo A é B” pode ser expressa como “Algum A não é B”. Se a sentença “Todo A é B” for verdadeira, 
certamente “Algum A não é B” será uma proposição falsa, e vice‑versa.
Do mesmo modo, a negação da sentença “Algum A é B” pode ser expressa como “Nenhum A é B”. 
Se “Algum A é B” é verdade, “Nenhum A é B” tem que ser falso, e vice‑versa.
Esses dados são resumidos na tabela seguinte, que traz as proposições quantificadas em linguagem 
corrente e em formato simbólico.
Tabela 49 – Tabela resumindo os formatos de afirmação 
e de negação de sentenças quantificadas
Afirmação Negação
Linguagem 
corrente
Forma 
simbólica Linguagem corrente Forma simbólica
Forma simbólica 
equivalente
Todo A é B ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐵𝑥) Não é verdade que todo A é B(Algum A não é B) ~∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐵𝑥) ∃𝑥 ~(𝐴𝑥 → 𝐵𝑥)
Algum A é B ∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥) Não é verdade que algum A é B(Nenhum A é B) ~∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ∀𝑥 ~(𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥)
 Lembrete
Para negarmos uma sentença quantificada, “trocamos” seu tipo de 
quantificador e “transferimos” a negação para o predicado.
8.3 Validade de argumentos quantificados
Vamos aprender métodos para provar a validade de argumentos que envolvem sentenças 
quantificadas. Para isso, vamos utilizar métodos da exemplificação e da generalização.
É possível transformar tais argumentos com quantificadores, por meio da exemplificação, em 
argumentos sem quantificadores, como os que já foram estudados na unidade III. Dessa forma, a prova 
direta de validade para esses argumentos exemplificados pode ser utilizada, usando as mesmas regras de 
inferência e de equivalência já verificadas. Finalizada a prova de validade do argumento exemplificado, 
podemos usar a generalização para obter a conclusão, caso ela seja uma sentença quantificada.
Vamos, a seguir, conhecer esses métodos.
153
LÓGICA
8.3.1 Exemplificação
O método da exemplificaçãoconsiste em escolhermos um elemento de exemplo, 𝑐, de dentro de uma 
expressão quantificada que se refere a elementos genéricos 𝑥. Ela funcionará como uma regra de inferência. 
Há duas possibilidades: a exemplificação universal e a existencial.
Exemplificação universal (EU)
Se todos os elementos 𝑥 estão associados ao predicado 𝑃, escolhemos um deles, 𝑐, um termo 
constante. Isso é indicado pela exemplificação universal, demonstrada simbolicamente a seguir.
∀𝑥(𝑃(𝑥)) 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑃𝑐
Exemplificação existencial (EE)
Se existe um termo associado ao predicado 𝑃, estipulamos que tal termo seja 𝑐. Isso é indicado pela 
exemplificação existencial, demonstrada simbolicamente em sequência.
∃𝑥(𝑃(𝑥)) 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑃𝑐
8.3.2 Generalização
O método da generalização reverte o que a exemplificação realiza. Há duas possibilidades: a 
exemplificação universal e a existencial.
Generalização universal (GU)
Se o termo 𝑐, tomado na exemplificação, pode ser qualquer um (ou seja, pode ser tomado aleatoriamente), 
então qualquer termo está associado ao predicado 𝑃. Isso é o que traduz a generalização universal, 
demonstrada a seguir.
𝑃𝑐 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ ∀𝑥 (𝑃(𝑥))
154
Unidade IV
Generalização existencial (GE)
Se concluímos que um termo 𝑐 constante está associado ao predicado 𝑃, então existe um termo 
associado a 𝑃. Esse é o conceito da generalização existencial, demonstrada a seguir.
𝑃𝑐
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ ∃𝑥(𝑃(𝑥))
Como exemplo, vamos aplicar a exemplificação e a generalização para provar a validade do 
argumento quantificado, disposto a seguir.
P1: todos os jogadores são atletas.
P2: todos os atletas sofrem contusões.
Q: portanto, todos os jogadores sofrem contusões.
Vamos, primeiramente, representar o argumento em seu formato simbólico, onde 𝐽 é o conjunto dos 
jogadores, 𝐴 é o conjunto dos atletas e 𝐶 é o conjunto dos que sofrem contusões.
P1: ∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐴𝑥)
P2: ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐶𝑥)
Q: ∴∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐶𝑥)
Seguindo as regras da demonstração da prova direta, nas primeiras duas linhas de nossa 
demonstração, vamos posicionar as duas premissas em formato simbólico.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐴𝑥) (P1)
2. ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐶𝑥) (P2)
Em seguida, vamos aplicar às premissas a regra de exemplificação universal: se vale para 
todos, vale para um 𝑐 específico. Faremos isso para ambas as premissas, gerando as linhas 3 e 4 
da nossa demonstração.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐴𝑥) (P1)
155
LÓGICA
2. ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐶𝑥) (P2)
3. 𝐽𝑐 → 𝐴𝑐 (EU, 1)
4. 𝐴𝑐 → 𝐶𝑐 (EU, 2)
Agora, já podemos usar as regras de inferência ou equivalências lógicas convencionais, pois nos 
“livramos” das estruturas quantificadas. Continuamos a demonstração com um silogismo hipotético, 
entre as linhas 3 e 4.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐴𝑥) (P1)
2. ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐶𝑥) (P2)
3. 𝐽𝑐 → 𝐴𝑐 (EU, 1)
4. 𝐴𝑐 → 𝐶𝑐 (EU, 2)
5. 𝐽𝑐 → 𝐶𝑐 (SH, 3 e 4)
Note que já atingimos um formato simbólico que corresponde ao predicado da conclusão do nosso 
argumento. Nesse momento, podemos aplicar a generalização universal: se vale para 𝑐, escolhido 
arbitrariamente, vale para um elemento 𝑥 qualquer.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐴𝑥) (P1)
2. ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝐶𝑥) (P2)
3. 𝐽𝑐 → 𝐴𝑐 (EU, 1)
4. 𝐴𝑐 → 𝐶𝑐 (EU, 2)
5. 𝐽𝑐 → 𝐶𝑐 (SH, 3 e 4)
6. ∀𝑥 (𝐽𝑥 → 𝐶𝑥) (GU, 5)
156
Unidade IV
 Saiba mais
Os métodos da exemplificação e da generalização são explicados 
detalhadamente no livro Introdução à lógica matemática, de Carlos Alberto 
Bispo, Luiz Castanheira e Oswaldo Souza Filho.
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à 
lógica matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
A leitura é recomendada, pois o livro conta com diversos exemplos que 
serviram como referência para a construção deste material.
Com isso, provamos que a conclusão é verdadeira. Tente resolver os próximos exemplos, 
propostos a seguir.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Demonstre a validade do argumento quantificado a seguir.
Todos que estavam doentes foram medicados. Alguns não foram medicados. Logo, nem todos 
estavam doentes.
Resolução
Primeiro, vamos representar o argumento em seu formato simbólico, onde 𝐷 é o conjunto dos que 
estavam doentes e 𝑀 é o conjunto dos que foram medicados.
P1: ∀𝑥 (𝐷𝑥 → 𝑀𝑥)
P2: ∃𝑥 (~𝑀𝑥)
Q: ∴~∀𝑥 (𝐷𝑥)
Repare que a conclusão tem um quantificador negado em sua estrutura. Vamos aplicar a equivalência 
que permite negar quantificadores, trocando o tipo do quantificador e negando seu predicado.
~∀𝑥 (𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 ~(𝐷𝑥) ⇔ ∃𝑥 (~𝐷𝑥)
Vamos considerar, então, o argumento com o formato a seguir.
157
LÓGICA
P1: ∀𝑥 (𝐷𝑥 → 𝑀𝑥)
P2: ∃𝑥 (~𝑀𝑥)
Q: ∴∃𝑥 (~𝐷𝑥)
A demonstração completa é apresentada a seguir, e detalhada posteriormente.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐷𝑥 → 𝑀𝑥) (P1)
2. ∃𝑥 (~𝑀𝑥) (P2)
3. ~𝑀𝑐 (EE, 2)
4. 𝐷𝑐 → 𝑀𝑐 (EU, 1)
5. ~𝐷𝑐 (MT, 3 e 4)
6. ∃𝑥 (~𝐷𝑥) (GE, 5)
Nas linhas 1 e 2, apresentamos as premissas do argumento. Na linha 3, aplicamos a exemplificação 
existencial à premissa da linha 2: se existe um, vamos chamá‑lo de 𝑐. Na linha 4, aplicamos a 
exemplificação universal à premissa da linha 1: se vale para qualquer 𝑥, vale para um 𝑐 específico. 
Na linha 5, aplicamos a regra Modus Tollens entre as linhas 3 e 4. Por fim, aplicamos, na linha 6, a 
generalização existencial à sentença da linha 5: como vale para um elemento 𝑐, certamente, existe um 
elemento com tal propriedade. Com isso, provamos que a equivalência da conclusão original é válida.
Note que aplicamos a exemplificação existencial (EE) antes da exemplificação universal (EU). 
Essa ordem deve ser respeitada, pois o quantificador universal se refere a todos os elementos do 
conjunto. Caso EU fosse feita antes de EE, o elemento 𝑐 escolhido poderia não coincidir com aquele 
associado em questão.
Exemplo 2. Demonstre a validade do argumento quantificado a seguir.
Todos que gostam de química gostam de ciência. Alguns gostam de química e não gostam de sorvete. 
Logo, alguns dos que gostam de ciência não gostam de sorvete.
Resolução
Primeiro, vamos representar o argumento em seu formato simbólico, onde 𝑄 é o conjunto dos que 
gostam de química, 𝐶 é o conjunto dos que gostam de ciência e 𝑆 é o conjunto dos que gostam de sorvete.
158
Unidade IV
P1: ∀𝑥 (𝑄𝑥 → 𝐶𝑥)
P2: ∃𝑥 (𝑄𝑥 ∧ ~𝑆𝑥)
Q: ∴∃𝑥 (𝐶𝑥 ∧ ~𝑆𝑥)
A demonstração completa é apresentada a seguir, e detalhada posteriormente.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝑄𝑥 → 𝐶𝑥) (P1)
2. ∃𝑥 (𝑄𝑥 ∧ ~𝑆𝑥) (P2)
3. 𝑄𝑐 ∧ ~𝑆𝑐 (EE, 2)
4. 𝑄𝑐 → 𝐶𝑐 (EU, 1)
5. 𝑄𝑐 (S, 3)
6. 𝐶𝑐 (MP, 4 e 5)
7. ~𝑆𝑐 (S, 3)
8. 𝐶𝑐 ∧ ~𝑆𝑐 (U, 6 e 7)
9. ∃𝑥 (𝐶𝑥 ∧ ~𝑆𝑥) (GE, 8)
Nas linhas 1 e 2, apresentamos as premissas do argumento. Na linha 3, aplicamos a exemplificação 
existencial à premissa da linha 2: se existe um, vamos chamá‑lo de 𝑐. Na linha 4, aplicamos a 
exemplificação universal à premissa da linha 1: se vale para qualquer 𝑥, vale para um 𝑐 específico. Na 
linha 5, aplicamos a Simplificação da linha 3, concluindo uma de suas componentes, 𝑄𝑐. Na linha 6, 
aplicamos a regra Modus Ponens entre as sentenças das linhas 4 e 5, concluindo o consequente da 
condicional, 𝐶𝑐. Na linha 7, novamente, simplificamos a linha 3, mas, dessa vez, inferimos a outra 
componente da conjunção, ~𝑆𝑐. Na linha 8, aplicamos uma União entre as linhas 6 e 7, de forma a 
inferir a conjunção entre elas. Na linha 9, aplicamos a generalização existencial da linha 8: como vale 
para um elemento 𝑐, existe um elemento que possui tal propriedade. Daí, já chegamos à conclusão.
Repare que, novamente, aplicamos a exemplificação existencial (EE) antes da exemplificação 
universal (EU). Essa ordem deve ser respeitada, pois o quantificador universal se refere a todos os 
elementos do conjunto. Caso EU fosse feita antes de EE, o elemento 𝑐 escolhido poderia não coincidir 
com aquele associado em questão.
159
LÓGICA
Exemplo 3. Demonstre a validade do argumento quantificado a seguir.
Ácidos ou basessão produtos químicos. O vinagre é um ácido. Portanto, o vinagre é um produto químico.
Resolução
Primeiro, vamos representar o argumento em seu formato simbólico, onde 𝐴 é o conjunto dos 
ácidos, 𝐵 é o conjunto das bases, 𝑄 é o conjunto dos produtos químicos e 𝑣 é o elemento vinagre.
Podemos ler a primeira premissa como “Todos os ácidos ou bases são produtos químicos”. Temos, 
portanto, a representação simbólica a seguir.
P1: ∀𝑥 (𝐴𝑥 ∨ 𝐵𝑥 → 𝑄𝑥)
Na segunda premissa, foi afirmado que um elemento, o vinagre, faz parte do conjunto dos ácidos.
P2: 𝐴𝑣
Na conclusão, diz‑se que o elemento vinagre faz parte do conjunto dos produtos químicos.
Q: ∴ 𝑄𝑣
A demonstração completa é apresentada a seguir, e detalhada posteriormente.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐴𝑥 ∨ 𝐵𝑥 → 𝑄𝑥) (P1)
2. 𝐴𝑣 (P2)
3. 𝐴𝑣 ∨ 𝐵𝑣 → 𝑄𝑣 (EU, 1)
4. 𝐴𝑣 ∨ 𝐵𝑣 (A, 2)
5. 𝑄𝑣 (MP, 3 e 4)
Nas linhas 1 e 2, apresentamos as premissas do argumento. Na linha 3, aplicamos a exemplificação 
universal à premissa da linha 1: se vale para qualquer 𝑥, vale para um 𝑣 específico. Na linha 4, aplicamos 
uma Adição à premissa da linha 2, inferindo 𝐴𝑣 ∨ 𝐵𝑣. Na linha 5, aplicamos a regra Modus Ponens entre 
as linhas 3 e 4. Com isso, chegamos à conclusão.
Dessa vez, ao invés de nosso elemento específico ser chamado de 𝑐, optamos por chamá‑lo de 𝑣, 
devido ao contexto. Na prática, não faz diferença qual símbolo você usa na demonstração.
160
Unidade IV
Exemplo 4. Demonstre a validade do argumento quantificado a seguir.
Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Portanto, Sócrates é mortal.
Resolução
Vamos representar o argumento em seu formato simbólico, onde 𝐻 é o conjunto dos homens, 𝑀 é 
o conjunto dos mortais e 𝑠 é o elemento Sócrates. Temos a representação simbólica a seguir.
P1: ∀𝑥 (𝐻𝑥 → 𝑀𝑥)
P2: 𝐻𝑠
Q: ∴ 𝑀𝑠
A demonstração completa é apresentada a seguir, e detalhada posteriormente.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐻𝑥 → 𝑀𝑥) (P1)
2. 𝐻𝑠 (P2)
3. 𝐻𝑠 → 𝑀𝑠 (EU, 1)
4. 𝑀𝑠 (MP, 2 e 3)
Nas linhas 1 e 2, apresentamos as premissas do argumento. Na linha 3, aplicamos a exemplificação 
universal à premissa da linha 1: se vale para qualquer 𝑥, vale para um 𝑠 específico. Na linha 4, aplicamos 
a regra Modus Ponens entre as linhas 2 e 3. Com isso, chegamos à conclusão.
Novamente, ao invés de nosso elemento específico ser chamado de 𝑐, optamos por chamá‑lo de 𝑠, 
devido ao contexto. Na prática, não faz diferença qual símbolo você usa na demonstração.
Exemplo 5. Demonstre a validade do argumento quantificado a seguir.
Qualquer material apropriado resiste àquela pressão. Não existe um metal que resista àquela pressão. 
Consequentemente, nenhum material apropriado é metal.
Resolução
Vamos representar o argumento em seu formato simbólico, onde 𝐴 é o conjunto dos materiais 
apropriados, 𝑅 é o conjunto dos materiais resistentes à pressão e 𝑀 é o conjunto dos metais. Temos a 
representação simbólica a seguir.
161
LÓGICA
P1: ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝑅𝑥)
P2: ~∃𝑥 (𝑀𝑥 ∧ 𝑅𝑥)
Q: ∴ ~∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥)
Antes de partirmos para as regras de inferência, vamos encontrar as equivalências das sentenças 
P2 e Q, que têm quantificadores negados. A partir da regra
~∃𝑥 (𝑃(𝑥)) ⇔ ∀𝑥 ~(𝑃(𝑥))
Sabemos que
~∃𝑥 (𝑀𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 ~(𝑀𝑥 ∧ 𝑅𝑥)
E que
~∃𝑥 (𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥) ⇔ ∀𝑥 ~(𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥)
Por meio dos formatos equivalentes, expressaremos o argumento como
P1: ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝑅𝑥)
P2: ∀𝑥 ~(𝑀𝑥 ∧ 𝑅𝑥)
Q: ∴ ∀𝑥 ~(𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥)
Agora, sim, vamos montar a demonstração, considerando o formato anterior. Ao longo da 
demonstração, utilizaremos diversas equivalências lógicas aplicadas aos predicados. A demonstração 
completa é apresentada a seguir, e detalhada posteriormente.
Demonstração:
1. ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝑅𝑥) (P1)
2. ∀𝑥 ~(𝑀𝑥 ∧ 𝑅𝑥) (P2)
3. ∀𝑥 (~𝑀𝑥 ∨ ~𝑅𝑥) (De Morgan, 2)
4. ∀𝑥 (𝑀𝑥 → ~𝑅𝑥) (Equivalência Condicional, 3)
5. 𝑀𝑐 → ~𝑅𝑐 (EU, 4)
6. ~(~𝑅𝑐) → ~𝑀𝑐 (Equivalência Condicional, 5)
162
Unidade IV
7. 𝑅𝑐 → ~𝑀𝑐 (Dupla Negação, 6)
8. 𝐴𝑐 → 𝑅𝑐 (EU, 1)
9. 𝐴𝑐 → ~𝑀𝑐 (SH, 7 e 8)
10. ~𝐴𝑐 ∨ ~𝑀𝑐 (Equivalência Condicional, 9)
11. ~(𝐴𝑐 ∧ 𝑀𝑐) (De Morgan, 10)
12. ∀𝑥 ~(𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥) (GU, 11)
Nas linhas 1 e 2, apresentamos as premissas do argumento. As próximas linhas serão detalhadas a 
seguir, uma por uma, devido à complexidade da demonstração.
Linha 3: aplicamos a equivalência de De Morgan ~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∨ ~𝑏 à linha 2. Com isso, temos que
∀𝑥 ~(𝑀𝑥 ∧ 𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 (~𝑀𝑥 ∨ ~𝑅𝑥)
Linha 4: aplicamos a equivalência condicional 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏 à expressão da linha 3. Temos que
∀𝑥 (~𝑀𝑥 ∨ ~𝑅𝑥) ⇔ ∀𝑥 (𝑀𝑥 → ~𝑅𝑥)
Linha 5: aplicamos a exemplificação universal à expressão da linha 4, ∀𝑥 (𝑀𝑥 → ~𝑅𝑥). Se vale para 
qualquer 𝑥, vale para um 𝑐 específico. Com isso, chegamos à expressão 𝑀𝑐 → ~𝑅𝑐.
Linha 6: aplicamos a equivalência condicional 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑏 → ~𝑎 à expressão da linha 5. Portanto, 
temos o que segue.
𝑀𝑐 → ~𝑅𝑐 ⇔ ~(~𝑅𝑐) → ~𝑀𝑐
Linha 7: aplicamos a dupla negação ao antecedente da expressão da linha 6. Desse modo, escrevemos 
~(~𝑅𝑐) em seu formato não negado, ou seja, 𝑅𝑐. A expressão completa ficou como 𝑅𝑐 → ~𝑀𝑐.
Linha 8: aplicamos a exemplificação universal à premissa da linha 1, ∀𝑥 (𝐴𝑥 → 𝑅𝑥). Se vale para 
qualquer 𝑥, vale para um 𝑐 específico. Com isso, chegamos à expressão 𝐴𝑐 → 𝑅𝑐.
Linha 9: aplicamos a regra de inferência Silogismo Hipotético às expressões das linhas 7 e 8. Como 
o termo 𝑅𝑐 participa como antecedente de uma e como consequente de outra, ele foi excluído da 
expressão final, que é descrita como 𝐴𝑐 → ~𝑀𝑐.
Linha 10: foi aplicada a equivalência condicional 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏 à expressão da linha 9. Com 
isso, temos o que segue.
𝐴𝑐 → ~𝑀𝑐 ⇔ ~𝐴𝑐 ∨ ~𝑀𝑐
163
LÓGICA
Linha 11: foi aplicada a equivalência de De Morgan ~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∨ ~𝑏 à expressão da linha 10. 
Assim, temos o exposto a seguir.
~𝐴𝑐 ∨ ~𝑀𝑐 ⇔ ~(𝐴𝑐 ∧ 𝑀𝑐)
Linha 12: aplicamos a generalização universal à expressão da linha 11, ~(𝐴𝑐 ∧ 𝑀𝑐). Se vale para um 𝑐, 
escolhido arbitrariamente, vale para um elemento 𝑥 qualquer. Temos, portanto, que ∀𝑥 ~(𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥).
 Observação
Formalmente, uma demonstração da prova da validade de um 
argumento inclui todas as etapas de transformação das expressões 
lógicas envolvidas em sua lista numerada. Porém, optamos por realizar 
separadamente as etapas de encontrar equivalências de negações de 
quantificadores, para destacar como foram realizadas essas operações. 
Desse modo, não lidamos com quantificadores negados na lista das 
nossas demonstrações.
 Saiba mais
A linguagem de programação Prolog, voltada para aplicações de 
inteligência artificial, segue o paradigma de programação em lógica 
matemática. Com isso, conceitos de argumentação e de quantificadores são 
diretamente utilizados em seus códigos. Você pode aprender mais sobre esse 
assunto consultando o livro A cartilha Prolog, de Maria do Carmo Nicoletti.
NICOLETTI, M. C. A cartilha Prolog. São Carlos: EdUFSCar, 2021.
8.4 Diagramas de Venn‑Euler
Algumas demonstrações que utilizam o formato simbólico dos argumentos quantificados são 
relativamente complicadas, como foi o caso do último exemplo que vimos no tópico passado deste livro‑texto. 
Existe um modo menos formal e, talvez, mais intuitivo, de lidarmos com argumentos quantificados. Ele 
envolve a construção de diagramas de Venn‑Euler capazes de ilustrar a situação proposta. Por meio deles, 
podemos fazer o teste de argumentos quantificados. Quando explicamos o conceito de falácias, na unidade III, 
de certa forma, aplicamos esse método visual, mas para proposições não quantificadas.
164
Unidade IV
Vamos estudar alguns casos.
1) Todo 𝐴 é 𝐵.
Utilizando diagramas de Venn‑Euler, essa relação mostra que o conjunto 𝐴 está contido no conjunto 𝐵. 
Desse modo, 𝐴 é subconjunto de 𝐵, conforme demonstrado na figura a seguir.
B
A
Figura 40 – Diagrama que representa a sentença “Todo 𝐴 é 𝐵”
2) Algum 𝐴 é 𝐵.
Nesse caso, pensamos que o termo “algum”representa um elemento comum entre os conjuntos 
citados, ou seja, pertence à interseção entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵. Temos, portanto, uma interseção não 
vazia entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵, disposta graficamente a seguir.
BA
Elemento
Figura 41 – Diagrama que representa a sentença “Algum 𝐴 é 𝐵”
3) Algum 𝐴 não é 𝐵 (ou não é verdade que todo 𝐴 é 𝐵).
A sentença “Algum 𝐴 não é 𝐵” é equivalente à sentença “Não é verdade que todo 𝐴 é 𝐵”. Elas 
representam formas de negação da sentença “Todo 𝐴 é 𝐵”.
165
LÓGICA
Nesse caso, queremos dizer que há pelo menos um elemento que pertence exclusivamente ao 
conjunto 𝐴. Nesse caso, nos referimos à região exclusiva do conjunto 𝐴, resultado da operação de 
diferença 𝐴 – 𝐵.
BA
Elemento
Figura 42 – Diagrama que representa a sentença “Algum 𝐴 não é 𝐵”
4) Nenhum 𝐴 é 𝐵 (ou todo 𝐴 não é 𝐵).
Nesse caso, pensamos que os conjuntos 𝐴 e 𝐵 são disjuntos entre si. Fazemos a representação de 
ambos separadamente.
BA
Figura 43 – Diagrama que representa a sentença “Nenhum 𝐴 é 𝐵”
Podemos representar no diagrama elementos específicos, quando eles aparecerem na estrutura 
argumentativa. Também podemos montar o diagrama apenas com a disposição dos conjuntos, caso todas 
as proposições se refiram a conjuntos de elementos, e não a elementos específicos. Para entendermos 
melhor esse método, vamos analisar o argumento quantificado exposto a seguir.
Todo engenheiro sabe matemática.
Todo colaborador da empresa é engenheiro.
Logo, todo colaborador da empresa sabe matemática.
166
Unidade IV
Vamos chamar de 𝐸 o conjunto dos engenheiros, de 𝑀 o conjunto dos que sabem matemática e de 
𝐶 o conjunto dos colaboradores da empresa. Começaremos montando o diagrama da primeira premissa: 
Todo engenheiro sabe matemática. Nesse caso, sabemos que o conjunto 𝐸 dos engenheiros está contido 
no conjunto 𝑀 dos que sabem matemática. Graficamente, temos o que segue.
M
E
Figura 44 – Diagrama que representa a sentença “Todo engenheiro sabe matemática”
Partiremos, agora, para a segunda premissa: Todo colaborador da empresa é engenheiro. Nesse caso, 
sabemos que o conjunto 𝐶 dos colaboradores da empresa está contido no conjunto 𝐸 dos engenheiros. 
Completando a figura anterior com os dados dessa segunda premissa, graficamente, temos o que segue.
M
E
C
Figura 45 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto
Com isso, montamos o cenário descrito pelas premissas do nosso argumento. Vamos, agora, analisar se a 
conclusão do nosso argumento corresponde com o cenário proposto ou não. Repare que o conjunto 𝐶 está 
contido no conjunto 𝑀. Isso nos permite afirmar que todo 𝐶 é 𝑀. Com isso, a conclusão “Logo, todo colaborador 
da empresa sabe matemática” é uma conclusão necessariamente verdadeira, quando consideramos verdadeiras 
as premissas. Isso significa que temos um argumento válido.
Vamos propor, agora, um novo argumento para analisarmos, disposto a seguir.
167
LÓGICA
Todos os ingleses são britânicos.
Todos os londrinos são ingleses.
Portanto, todos os britânicos são londrinos.
Vamos chamar de 𝐼 o conjunto dos ingleses, de 𝐵 o conjunto dos britânicos e de 𝐿 o conjunto dos 
londrinos. Começaremos montando o diagrama da primeira premissa: Todos os ingleses são britânicos. 
Nesse caso, sabemos que o conjunto 𝐼 dos ingleses está contido no conjunto 𝐵 dos britânicos. Graficamente, 
temos o que segue.
B
I
Figura 46 – Diagrama que representa a sentença “Todos os ingleses são britânicos”
Vamos para a segunda premissa: Todos os londrinos são ingleses. Nesse caso, sabemos que o 
conjunto 𝐿 dos londrinos está contido no conjunto 𝐼 dos ingleses. Completando a figura anterior com 
os dados dessa segunda premissa, graficamente, temos o que segue.
B
I
L
Figura 47 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto
Com isso, montamos o cenário descrito pelas premissas do nosso argumento. Vamos, agora, analisar se a 
conclusão do nosso argumento corresponde com o cenário proposto ou não. Repare que o conjunto 𝐿 está 
contido no conjunto 𝐵. Isso nos permite afirmar que todo 𝐿 é 𝐵. No entanto, a conclusão “Portanto, todos 
os britânicos são londrinos” sugere que todo 𝐵 é 𝐿, ou seja, que o conjunto 𝐵 está contido no conjunto 𝐿. 
168
Unidade IV
Verificamos, pela disposição do diagrama, que isso não corresponde ao cenário proposto pelas premissas. 
Como as premissas não implicaram a conclusão, isso significa que temos um argumento inválido.
Vamos acompanhar alguns exemplos de verificação de argumentos lógicos quantificados, utilizando 
os diagramas de Venn‑Euler.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir.
Todos os estudantes de filosofia são estudiosos. Alguns estudantes de filosofia são loiros. Portanto, 
alguns loiros são estudiosos.
Resolução
Começaremos montando o diagrama da primeira premissa: todos os estudantes de filosofia são 
estudiosos. Nesse caso, sabemos que o conjunto 𝐹 dos estudantes de filosofia está contido no conjunto 𝐸 
dos estudiosos. Graficamente, temos o que segue.
E
F
Figura 48 – Diagrama que representa a sentença “Todos os estudantes de filosofia são estudiosos”
Vamos para a segunda premissa: alguns estudantes de filosofia são loiros. Nesse caso, sabemos que 
há uma interseção não vazia entre o conjunto 𝐹 dos estudantes de filosofia e o conjunto 𝐿 dos loiros. 
Completando a figura anterior com os dados dessa segunda premissa, graficamente, temos o que segue:
169
LÓGICA
E
F
L
Figura 49 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto
A região destacada demonstra a interseção entre os conjuntos 𝐿 e 𝐹. Note que todos os elementos 
dessa região destacada, necessariamente, pertencem também a 𝐸. No momento em que o conjunto 𝐿 
entra em interseção com 𝐹, ele também entra em interseção com 𝐸. Desse modo, a conclusão “Portanto, 
alguns loiros são estudiosos” é necessariamente verdadeira, já que alguns 𝐿 são 𝐸. Temos, então, um 
argumento válido.
Exemplo 2. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir.
Toda cobra é um réptil. Existem répteis venenosos. Logo, algum réptil venenoso é uma cobra.
Resolução
Primeira premissa: toda cobra é um réptil. Se chamarmos de 𝐶 o conjunto das cobras e de 𝑅 o 
conjunto dos répteis, temos o que segue.
R
C
Figura 50 – Diagrama que representa a sentença “Toda cobra é um réptil”
Segunda premissa: existem répteis venenosos. Há uma interseção não vazia entre o conjunto 𝑅 
dos répteis e o conjunto 𝑉 dos seres venenosos. Essa interseção pode acontecer em cenários diferentes. 
Vamos considerar dois deles, expostos a seguir.
170
Unidade IV
Cenário 1: o conjunto 𝑉 não toca o conjunto 𝐶.
R
C V
Figura 51 – Diagrama que representa o cenário 1 do argumento proposto
Nesse cenário, há apenas répteis venenosos que não são cobras, considerando apenas as informações 
das premissas.
Cenário 2: o conjunto 𝑉 intersecta o conjunto 𝐶.
R
C
V
Figura 52 – Diagrama que representa o cenário 2 do argumento proposto
Nesse cenário, há pelo menos um elemento na região dos répteis venenosos que são cobras, 
destacada na figura.
Como as premissas nos levam a possíveis cenários distintos, em que nem em todos eles a 
conclusão é verdadeira, não podemos afirmar que, necessariamente, a conclusão “Logo, algum 
réptil venenoso é uma cobra” é verdadeira. Como não garantimos que as premissas implicam a 
conclusão, temos um argumento inválido.
Exemplo 3. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir.
Todo filme é uma obra artística. Nenhuma obra artística é descartável. Logo, nenhum filme é descartável.
171
LÓGICA
Resolução
Primeira premissa: todo filme é uma obra artística. Se chamarmos de 𝐹 o conjunto dos filmes e de 
𝐴 o conjunto das obras artísticas, temos o que segue.
A
F
Figura 53 – Diagrama que representa a sentença “Todo filme é uma obra artística”
Segunda premissa: nenhuma obra artística é descartável. O conjunto 𝐴 das obras artísticase o 
conjunto 𝐷 dos elementos descartáveis não fazem interseção entre si (são disjuntos). Temos, então, 
o cenário seguinte:
A
F
D
Figura 54 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto
Vemos que o conjunto 𝐹 não tem qualquer elemento em comum com o conjunto 𝐷. Com isso, 
sabemos que a conclusão “Logo, nenhum filme é descartável” é verdadeira. Desse modo, temos um 
argumento válido.
Exemplo 4. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir.
Alguns artistas são brasileiros. Nenhum espanhol é brasileiro. Logo, nenhum artista é espanhol.
172
Unidade IV
Resolução
Primeira premissa: alguns artistas são brasileiros. Há uma interseção não vazia entre o conjunto 𝐴 
dos artistas e o conjunto 𝐵 dos brasileiros.
BA
Figura 55 – Diagrama que representa a sentença “Alguns artistas são brasileiros”
Segunda premissa: nenhum espanhol é brasileiro. Não há interseção entre o conjunto dos 𝐸 
dos espanhóis e o conjunto 𝐵 dos brasileiros. Essa disjunção pode ocorrer em dois cenários distintos, 
dispostos a seguir.
Cenário 1: o conjunto 𝐸 não toca o conjunto 𝐴.
A B
E
Figura 56 – Diagrama que representa o cenário 1 do argumento proposto
Nesse cenário, nenhum elemento do conjunto 𝐴 é também um elemento do conjunto 𝐸. Esse cenário 
indica que nenhum artista é espanhol.
173
LÓGICA
Cenário 2: o conjunto 𝐸 intersecta o conjunto 𝐴, com interseção não vazia.
BA
E
Figura 57 – Diagrama que representa o cenário 1 do argumento proposto
Nesse cenário, pelo menos um elemento do conjunto 𝐴 é também um elemento do conjunto 𝐸. Ele 
indica a existência de pelo menos um artista espanhol.
Como as premissas nos levam a possíveis cenários distintos, em que nem em todos eles a conclusão 
é verdadeira, não podemos afirmar que, necessariamente, a conclusão “Logo, nenhum artista é espanhol” é 
verdadeira. Como não garantimos que as premissas implicam a conclusão, temos um argumento inválido.
Exemplo 5. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir.
Qualquer material apropriado resiste àquela pressão. Não existe um metal que resista àquela pressão. 
Consequentemente, nenhum material apropriado é metal.
Resolução
Primeira premissa: qualquer material apropriado resiste àquela pressão. O conjunto 𝐴 é dos 
materiais apropriados está contido no conjunto 𝑅 dos materiais resistentes à pressão.
R
A
Figura 58 – Diagrama que representa a sentença 
“Qualquer material apropriado resiste àquela pressão”
174
Unidade IV
Segunda premissa: não existe um metal que resista àquela pressão. O conjunto 𝑀 dos metais não 
intersecta o conjunto 𝑅 dos materiais resistentes à pressão.
R
A
M
Figura 59 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto
Percebemos que nenhum elemento de 𝐴 pertence também a 𝑀. Consequentemente, nenhum 
material apropriado é metal. O argumento é válido, pois a conclusão é verdadeira a partir da consideração 
da veracidade das premissas.
Exemplo 6. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir.
Todos que gostam de química gostam de ciência. Alguns gostam de química e não gostam de sorvete. 
Logo, alguns dos que gostam de ciência não gostam de sorvete.
Resolução
Primeira premissa: todos que gostam de química gostam de ciência. O conjunto 𝑄 dos que gostam 
de química está contido no conjunto 𝐶 dos que gostam de ciência.
C
Q
Figura 60 – Diagrama que representa a sentença “Todos que gostam de química gostam de ciência”
175
LÓGICA
Segunda premissa: alguns gostam de química e não gostam de sorvete. Representaremos o 
conjunto 𝑆 dos que gostam de sorvete em interseção com o conjunto 𝑄 dos que gostam de química. 
Sabemos que a região exclusiva do conjunto 𝑄, destacada na figura, não está vazia.
C
QS
Figura 61 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto
Vemos que alguns dos elementos de 𝐶 não são elementos de 𝑆. Logo, alguns dos que gostam de 
ciência não gostam de sorvete. Temos, portanto, um argumento válido.
 Saiba mais
O livro intitulado Raciocínio lógico‑matemático facilitado, de Bruno 
Villar, apresenta diversos exemplos da aplicação de diagramas de Venn‑Euler, 
ilustrando cenários propostos por premissas. O livro é voltado para ensinar, 
de forma simplificada, raciocínio lógico para concursandos. A leitura 
é recomendada. 
VILLAR, B. Raciocínio lógico‑matemático facilitado. São Paulo: 
Método, 2019.
176
Unidade IV
 Resumo
Começamos fazendo uma revisão de conjuntos numéricos. Depois, 
passamos a conhecer diversos conceitos da lógica de predicados. Uma 
sentença aberta (ou uma função proposicional) é uma sentença que 
contém uma ou mais variáveis, que são termos ou símbolos que podem ser 
substituídos por diferentes valores. Se não há atribuição de um valor a cada 
variável, não somos capazes de identificar o nível lógico da sentença. Logo, 
uma sentença aberta não é considerada uma proposição.
Nesse contexto, o conjunto universo de uma variável é o conjunto de 
possíveis valores que podem substituir a variável de uma sentença aberta. 
Já o conjunto verdade é o conjunto de valores do universo que tornam a 
sentença verdadeira.
Passamos, então, ao estudo dos quantificadores. Um quantificador é 
um símbolo (ou um termo) lógico capaz de fazer uma verificação sobre 
o conjunto de valores do universo que tornam sentenças verdadeiras. A 
função de um quantificador é tornar uma sentença aberta uma proposição 
lógica. Trabalharemos com dois quantificadores: o universal e o existencial.
O quantificador universal, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, 
transforma essa sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é 
verdadeira para qualquer valor assumido pela variável. Já o quantificador 
existencial, ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, transforma essa 
sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para 
pelo menos um valor assumido pela variável.
Quando temos uma proposição quantificada universalmente, seu valor 
lógico será verdadeiro se o seu conjunto verdade for igual ao seu conjunto 
universo, ou seja, 𝑉𝑝 = 𝑈. Quando temos uma proposição quantificada 
existencialmente, seu valor lógico será verdadeiro se o seu conjunto verdade 
tiver pelo menos um elemento, ou seja, 𝑉𝑝 ≠ Ø.
Passamos, então, ao estudo dos argumentos lógicos quantificados. 
Um argumento quantificado é um argumento lógico que possui, em suas 
proposições, sentenças quantificadas. Não nos preocupamos, a partir 
dessa etapa, com o valor lógico das premissas, pois, na lógica, estamos 
interessados na validade da estrutura argumentativa, e não na validação 
das premissas do nosso argumento. Portanto, consideramos que todas as 
premissas com a qual lidamos eram verdadeiras.
177
LÓGICA
Vimos que para trabalharmos com a prova da validade de argumentos 
quantificados, é conveniente que os quantificadores se apresentem num formato 
não negado. No caso de haver quantificadores negados, podemos substituí‑los 
por um formato equivalente. Dessas equivalências, podemos concluir que a 
negação da sentença “Todo A é B” pode ser expressa como “Algum A não é B”. Se 
a sentença “Todo A é B” for verdadeira, certamente “Algum A não é B” será uma 
proposição falsa, e vice‑versa. Do mesmo modo, a negação da sentença “Algum 
A é B” pode ser expressa como “Nenhum A é B”. Se “Algum A é B” é verdade, 
“Nenhum A é B” tem que ser falso, e vice‑versa.
Em seguida, aprendemos métodos para provar a validade de 
argumentos que envolvem sentenças quantificadas. Para isso, utilizamos 
os métodos da exemplificação e da generalização. A exemplificação 
consiste em escolhermos um elemento de exemplo, 𝑐, de dentro de uma 
expressão quantificada que se refere a elementos genéricos 𝑥. O método da 
generalização reverte o que a exemplificação realiza.
Estudamos que é possível transformar argumentos com quantificadores, 
por meio da exemplificação, em argumentos sem quantificadores. Dessa forma, 
a prova direta de validade para esses argumentos exemplificados pode ser 
utilizadausando as mesmas regras de inferência e de equivalência já estudadas. 
Finalizada a prova de validade do argumento exemplificado, podemos usar a 
generalização para obter a conclusão, caso ela seja uma sentença quantificada.
Por fim, fomos apresentados a um método menos formal e, 
talvez, mais intuitivo, de lidarmos com argumentos quantificados. Ele 
envolve a construção de diagramas de Venn‑Euler capazes de ilustrar 
a situação proposta. Por meio deles, pudemos fazer o teste de diversos 
argumentos quantificados.
178
Unidade IV
 Exercícios
Questão 1. Considere as sentenças a seguir.
I – Y é um número racional.
II – Z ≥ 0.
III – 2X não é ímpar, sendo X um número natural.
Temos sentenças abertas em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) I e II, apenas.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
Vimos que uma sentença aberta é uma sentença para a qual não há atribuição de valor à variável e, 
por isso, não somos capazes de identificar seu valor lógico.
Em I, temos uma sentença aberta. Vejamos:
• se Y for igual a 23, por exemplo, a sentença I será verdadeira;
• se Y for igual a π, por exemplo, a sentença II será falsa.
Em II, temos uma sentença aberta. Vejamos:
• se Z for igual a 0,37, por exemplo, a sentença II será verdadeira;
• se Z for igual a ‑8, por exemplo, a sentença II será falsa.
Em III, não temos uma sentença aberta. Vejamos:
• se X for igual a 0, 2X será 0, e a sentença III será verdadeira;
• se X for diferente de 0, 2X não será ímpar, e a sentença III será verdadeira.
179
LÓGICA
Questão 2. Avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I – A proposição (∀𝑥 ∈ℕ*)(‑2𝑥+6 < 6) é verdadeira.
porque
II – O conjunto verdade 𝑉𝑝 de (∀𝑥 ∈ ℕ*)(‑2𝑥 +6 < 6) é vazio.
Assinale a alternativa correta.
A) As asserções I e II são verdadeiras, e a asserção II justifica a I.
B) As asserções I e II são verdadeiras, e a asserção II não justifica a I.
C) A asserção I é verdadeira, e a asserção II é falsa.
D) A asserção I é falsa, e a asserção II é verdadeira.
E) As asserções I e II são falsas.
Resposta correta: alternativa C.
Análise da questão
Em I, temos uma proposição verdadeira que é lida como “para todo 𝑥 que pertence ao conjunto dos 
números naturais não nulos, ‑2𝑥+6 é menor do que 6”. Vejamos.
𝑃(𝑥): ‑2𝑥 + 6 < 6
𝑃(𝑥): ‑2𝑥 < 6 ‑ 6
𝑃(𝑥): ‑2𝑥 < 0
𝑃(𝑥): ‑𝑥 < 0
𝑃(𝑥): 𝑥 > 0
𝑈 = ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
𝑉𝑝 = {𝑥 ∈ ℕ* | 𝑥 >0} = {1, 2, 3, 4, ...}
Como 𝑉𝑝 ≠ Ø, a proposição é verdadeira.
O que vimos faz com que a asserção I seja verdadeira e a asserção II seja falsa.
180
REFERÊNCIAS
Textuais
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2017.
BARROS, D. M. Raciocínio lógico e matemática. São Paulo: Rideel, 2018. 
(Série Concurso Descomplicado).
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à lógica matemática. 
São Paulo: Cengage Learning, 2011.
DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1995.
DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 2012.
DANTE, L. R.; VIANA, F. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 2019. (volume único).
FREITAS, M. L. C. Lógica jurídica, argumentação e racionalidade. Jus Navigandi, Teresina, ano 17, 
n. 3307, 21 jul. 2012. Disponível em: https://cutt.ly/7MBwcUZ. Acesso em: 21 nov. 2022.
GENIOL. Desafios de lógica. 2022. Disponível em: https://cutt.ly/DMBuIfD. Acesso em: 21 nov. 2022.
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
GODOY, W. Argumento indutivo. Filosofia na escola, 13 ago. 2019. Disponível em: https://cutt.ly/4MBqsK6. 
Acesso em: 21 nov. 2022.
HAUPT, A.; DACHI, É. Eletrônica digital. São Paulo: Blucher, 2016.
HEGENBERG, L. Lógica. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2012.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Raciocínio lógico e lógica quantitativa. Curitiba: InterSaberes, 2017.
MICALEVISK’S GITHUB REPOSITORIES. Gerador de tabela verdade +. 2022. Disponível em: 
https://cutt.ly/XM2XRgF. Acesso em: 22 nov. 2022.
NICOLETTI, M. C. A cartilha da lógica. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
NICOLETTI, M. C. A cartilha Prolog. São Carlos: EdUFSCar, 2021.
PIVA JUNIOR, D. Algoritmos e programação de computadores. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
SOUZA, J. A. L. Lógica matemática. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
181
VILLAR, B. Raciocínio lógico‑matemático facilitado. São Paulo: Método, 2019.
WALTON, D. N. Lógica informal: manual de argumentação crítica. São Paulo: WMF 
Martins Fontes, 2012.
182
APÊNDICE A – EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS
Resumo das equivalências notáveis estudadas na unidade II.
1. Dupla negação
𝑎 ⇔ ~(~𝑎)
2. Leis idempotentes
𝑎 ∧ 𝑎 ⇔ 𝑎
𝑎 ∨ 𝑎 ⇔ 𝑎
3. Leis comutativas
𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ 𝑏 ∧ 𝑎
𝑎 ∨ 𝑏 ⇔ 𝑏 ∨ 𝑎
4. Leis associativas
(𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 ⇔ 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐)
(𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 ⇔ 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐)
5. Leis de De Morgan
~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∨ ~𝑏
~(𝑎 ∨ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏
6. Leis distributivas
𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐)
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐)
7. Condicionais
𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑏 → ~𝑎
𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏
8. Bicondicionais
𝑎 ↔ 𝑏 ⇔ (𝑎 → 𝑏) ∧ (𝑏 → 𝑎)
𝑎 ↔ 𝑏 ⇔ ~(𝑎 ⊻ 𝑏)
183
APÊNDICE B – REGRAS DE INFERÊNCIA
Resumo das regras de inferência estudadas na unidade III.
1. União (U)
 𝑎
 𝑏 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑎 ∧ 𝑏
2. Modus Ponens (MP)
 𝑎 → 𝑏
 𝑎 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑏
3. Modus Tollens (MT)
 𝑎 → 𝑏
 ~𝑏 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ ~𝑎
4. Adição (A)
 𝑎 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 ∴ 𝑎 ∨ 𝑏
5. Simplificação (S)
 
𝑎	∧ 𝑏 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 
∴ 𝑎
 
𝑎	∧ 𝑏 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 
∴ 𝑏
6. Silogismo Hipotético (SH)
 𝑎 → 𝑏
 𝑏 → 𝑐 
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑎 → 𝑐
184
7. Silogismo Disjuntivo (SD)
 
 𝑎 ∨ 𝑏 
 ~𝑎 
‑‑‑‑‑‑‑‑ 
 ∴ 𝑏
 
𝑎 ∨ 𝑏 
 ~𝑏 
‑‑‑‑‑‑‑‑ 
 ∴ 𝑎
8. Dilema Construtivo (DC)
 𝑎 → 𝑏
 𝑐 → 𝑑
 𝑎 ∨ 𝑐
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑏 ∨ 𝑑
9. Dilema Destrutivo (DD)
 𝑎 → 𝑏
 𝑐 → 𝑑
 ~𝑏 ∨ ~𝑑
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ ~𝑎 ∨ ~𝑐
10. Regra da Absorção (RA)
 𝑎 → 𝑏
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
∴ 𝑎 → (𝑎 ∧ 𝑏)
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000