Raciocínio Lógico para Concursos e Ensino Médio números, representações e operações.

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1 
 
 
1) Se 
1
1 1
3 4
p
q
=
+
, sendo p e q números inteiros positivos e relativamente primos determine p 
e q . 
SOLUÇÃO: 
Temos que: 
1 1 1 12
1 1 4 3 7 7
3 4 12 12
p
q
= = = =
+
+
 
Como p e q são números inteiros positivos e relativamente primos: 
1212
77
pp
qq
=
=  
=
 
 
2) Encontre um número racional compreendido entre 0,8 0,888...= e 
97
99
. 
SOLUÇÃO: 
Vamos escrever a dizima periódica simples 0,8 0,888...= como fração: 
0,888... 10 8,888...
10 8,888... 0,888... 9 8
8
9
x x
x x x
x
=  =
− = −  =
=
 
Logo, queremos um número racional y entre 
8
9
 e 
97
99
. 
Este número pode ser por exemplo a média aritmética dos números dados, isto é: 
8 97 88 97 185
1859 99 99 99
2 2 2 198
y
+
+
= = = = 
3) Escreva, justificando matematicamente, em ordem crescente os números: 
16 3 1 2 18
; ;1; ; ; ;1,1
17 2 2 5 15 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente vamos separar em dois grupos, números menores e maiores que 1: 
i. Menores que 1: 
2 
 
16 1 2
; ;
17 2 5
 
OBS: Se duas frações possuem o mesmo numerador a maior é aquela que tem o 
menor denominador. 
16 16 1 16 1
17 32 2 17 2
 =  
 
2 2 1 2 1
5 4 2 5 2
2 1 16
5 2 17
 =  
 
 
ii. Maiores que 1: 
3 18
; ;1,1
2 15
 
1,1 1,111...
1,111 10 11,111...
10 11,111... 1,111... 10
10
9 10
9
x x
x x
x x
=
=  =
− = − =
=  =
 
3 18 18 3 18
 ( )
2 12 15 2 15
I=    
OBS: considere as frações 
a
b
 e 
c
d
. 
i. 
a c
ad bc
b d
=  = 
ii. 
a c
ad bc
b d
   ; 
iii. 
a c
ad bc
b d
   ; 
18 10
;
15 9
18 9 162 18 10
 ( )
15 10 150 15 9
II
 =
 
 =
 
De (I) e (II) concluímos que 
3 18 10
2 15 9
  
Portanto a ordem crescente será: 
2 1 16 10 18 3
1
5 2 17 9 15 2
      
4) Verifique matematicamente se 
3 2 3 2
3 2 3 2
A
+ −
= +
− +
 é um número racional ou não. 
SOLUÇÃO: 
OBS: Produtos Notáveis. 
i. ( )
2 2 22a b a ab b+ = + + ; 
ii. ( )
2 2 22a b a ab b+ = + + 
iii. ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − 
3 
 
( ) ( )
( )( )
2 2
2
2
3 2 3 23 2 3 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 4 3 4 3 4 3 4 14
14
13 2
A
A
+ + −+ −
= + =
− + − +
+ + + − +
= = = −
−−
 
Portanto, este número é inteiro, logo, racional. 
5) Assinale, justificando matematicamente, as afirmações verdadeiras e as falsas, onde 
 0n − . 
a) O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 4n e 6n é 12n . 
b) O número ( ) 2 7 7P n n n= + + é sempre ímpar. 
c) O número ( )2( ) 1P n n n= − é sempre múltiplo de 3. 
SOLUÇÃO: 
a) 
12 3 4
12 2 6
n n
n n
= 
= 
 
Portanto, 12n é o MMC. 
b) Vejamos: 
Seja  0n − par, então: 
2n é par; 
7n é par e 2 7n n+ é par e, portanto, 2( ) 7 7P n n n= + + será ímpar pois é a soma de 
um úmero par com um ímpar. 
Seja  0n − ímpar, então: 
2n é ímpar; 
7n é ímpar e 2 7n n+ é par e, portanto, 2( ) 7 7P n n n= + + será ímpar pois é a soma de 
um úmero par com um ímpar. 
Concluímos que 2( ) 7 7P n n n= + + é sempre ímpar. 
c) Para todo  0n − , 3 , 3 1, 3 2 1,2,3,4,5,...n k n k n k k= = − = − = 
i. Se 3n k= , temos: 
( )
( )( ) ( )( )
2
2 2
( ) 1
(3 ) 3 3 1 3 3 1
P n n n
P k k k k k
= −
 = − = −
 
 
Portanto, o número ( )2( ) 1P n n n= − , para 3n k= é sempre múltiplo de 3. 
ii. Se 3 1n k= − , temos: 
( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2
( ) 1
(3 1) 3 1 3 1 1 3 1 9 6 1 1
P n n n
P k k k k k k
= −
− = − − − = − − + −
 
( )( )
( )
2 3 2 2
3 2 3 2
(3 1) 3 1 9 6 27 18 9 6
(3 1) 27 27 6 3 9 9 2
P k k k k k k k k
P k k k k k k k
− = − − = − − +
− = − + = − +
 
Portanto, o número ( )2( ) 1P n n n= − , para 3 1n k= − é sempre múltiplo de 3. 
iii. Se 3 2n k= − , temos: 
4 
 
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )
2
2 2
2 3 2 2
3 2 3 2
( ) 1
(3 2) 3 2 3 2 1 3 2 9 12 4 1
(3 1) 3 2 9 12 3 27 36 9 18 6
(3 1) 27 54 9 6 3 9 18 3 2
P n n n
P k k k k k k
P k k k k k k k k
P k k k k k k k
= −
− = − − − = − − + −
− = − − + = − − − +
− = − − + = − − +
 
Portanto, o número ( )2( ) 1P n n n= − , para 3 2n k= − é sempre múltiplo de 3. 
Portanto, o número ( )2( ) 1P n n n= − é sempre múltiplo de 3. 
6) Sendo 
1
0,1
y = e 
2
0,1
x = , mostre que 
x
A
y
= e 
( )1x y
B
y
−
= são irracionais, mas que .A B 
é racional. 
SOLUÇÃO: 
1 1
10
10,1
10
2 2
20
10,1
10
y
x
= = =
= = =
 
Então: 
20
2
10
x
A
y
= = = que é um número irracional. 
( ) ( )1 20 10 1
18 3 2
10
x y
B
y
− −
= = = = que é um número irracional. 
. 2.3 2 2.3 6A B = = = que é um número racional. 
7) Sendo 25 10q =  , obtenha o menor e o maior valor de p na fração irredutível 
p
q
, de tal 
modo que 10
p
q
   . (considere 3,1415  e 10 3,1622= ) 
SOLUÇÃO: 
25 10 5 100 500q =  =  = 
10 10 500 500 10
500
500 3,1415 500 3,1622 1570,75 1581,1
p p
p
q
p p
         
      
 
Logo, o menor valor para p é 1571 e o maior valor para p é 1581 
8) Apresente um número real compreendido entre os números 
2 3
2
−
 e 
6 2
4
−
. 
SOLUÇÃO: 
Para encontrar o número real x compreendido entre os números positivos 
2 3
2
a
−
= e 
6 2
4
−
 vamos aplicar a propriedade: 
OBS:Se a e b são números reais positivos tal que a b , então, a x b  se, e somente se, 
2 2 2a x b  . 
5 
 
2 2
2
2 2
2
2 3 6 2 2 3 6 2
2 4 2 4
2 3 6 2 12 2 2 3 8 4 3
4 16 4 16
2 3 2 3
4 4
x x
x x
x
   − − − −
            
− − + − −
    
− −
 
 
Como os extremos da desigualdade acima são iguais, o problema é impossível. 
9) Mostre que o número 7 4 3 7 4 3x = + + − é racional. 
SOLUÇÃO: 
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3
7 4 3 2 7 4 3 7 4 3 7 4 3
7 4 3 2 7 4 3 7 4 3 7 4 3
14 2 7 4 3 14 2 49 16.3
14 2 1
4
14 2 16
4
x x
x
x
x
x
x Não
x x
x
= + + −  = + + −
= + + + − + −
= + + + − + −
= + − = + −
= +
= −
= +  =  
=
 
Portanto o número 7 4 3 7 4 3 4x = + + − = é racional. 
10) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 
80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja-se vender o tecido em retalhos 
iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a 
utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter? 
SOLUÇÃO: 
Se os retalhos devem ter o maior comprimento C possível, este comprimento deve ser o 
Maior Divisor Comum entre os comprimentos de 48m, 60m e 80m, isto é: 
4
2
4
(48;60;80)
48 2 3
60 2 3 5
80 2 5
C MDC=
= 
=  
= 
 
O MDC é o produto dos fatores comuns aos números dados elevados ao menor expoente, 
portanto temos que: 
2(48;60;80) 2 4C MDC= = = 
Os retalhos devem ter 4m e a quantidade de retalhos será: 
48 60 80
12 15 20 47
4 4 4
+ + = + + =