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Indaial – 2022 Financeira Prof. Fernando Eduardo Cardoso 2a Edição MateMática Elaboração: Prof. Fernando Eduardo Cardoso Copyright © UNIASSELVI 2022 Revisão, Diagramação e Produção: Equipe Desenvolvimento de Conteúdos EdTech Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada pela equipe Conteúdos EdTech UNIASSELVI Impresso por: C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI. Núcleo de Educação a Distância. CARDOSO, Fernando Eduardo. Matemática Financeira. Fernando Eduardo Cardoso. Indaial - SC: UNIASSELVI, 2022. 198p. ISBN 978-85-515-0582-3 ISBN Digital 978-85-515-0576-2 “Graduação - EaD”. 1. Matemática 2. Financeira 3. Juros CDD 650.015 Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Esse livro está organizado em três unidades e seus respectivos tópicos. Na Unidade 1, abordaremos os princípios básicos da matemática financeira. A partir desse norte, vamos estudar algumas terminologias, como: valor presente do capital (PV); taxa de juros (i); número de períodos de capitalização (n); tempo (t); valor futuro do capital (VF). Na sequência, analisaremos o diagrama das operações financeiras, estudando os fluxos de caixa, tanto na visão do tomador de decisão, quanto do ponto de vista do cliente/consumidor. Na Unidade 2, abordaremos inicialmente as taxas de juros, analisando o valor do dinheiro no tempo, diferentes conceitos e tipos de juros e taxa proporcional. Em seguida, abordaremos os juros simples, em que analisaremos juros simples ordinários, juros exatos e montante com base nos juros exatos. Na sequência, falaremos acerca do cálculo do montante, em que analisaremos conceitos de montante e diferentes formas de cálculos. Na Unidade 3, abordaremos primeiramente juros compostos, inflação versus deflação, taxas equivalentes nos juros compostos, cálculos e conceitos de juros compostos. Em seguida, analisaremos serie de pagamentos, em que abordaremos empréstimos parcelados, tipos de series de pagamentos, cálculo do antecipado e cálculo do postecipado. Por fim, abordaremos os planos de amortização de empréstimos e financiamentos, me que vamos ponderar conceitos de amortização, cronograma de amortização, sistema de amortização e cálculo do sistema de amortização constante e sistema de amortização francês. Bons estudos! Profª. Ketlin Saleski APRESENTAÇÃO Olá, acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você – e dinamizar, ainda mais, os seus estudos –, nós disponibilizamos uma diversidade de QR Codes completamente gratuitos e que nunca expiram. O QR Code é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar essa facilidade para aprimorar os seus estudos. GIO QR CODE Olá, eu sou a Gio! No livro didático, você encontrará blocos com informações adicionais – muitas vezes essenciais para o seu entendimento acadêmico como um todo. Eu ajudarei você a entender melhor o que são essas informações adicionais e por que você poderá se beneficiar ao fazer a leitura dessas informações durante o estudo do livro. Ela trará informações adicionais e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto estudado em questão. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material-base da disciplina. A partir de 2021, além de nossos livros estarem com um novo visual – com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura –, prepare-se para uma jornada também digital, em que você pode acompanhar os recursos adicionais disponibilizados através dos QR Codes ao longo deste livro. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com uma nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página – o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Preocupados com o impacto de ações sobre o meio ambiente, apresentamos também este livro no formato digital. Portanto, acadêmico, agora você tem a possibilidade de estudar com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Preparamos também um novo layout. Diante disso, você verá frequentemente o novo visual adquirido. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar os seus estudos com um material atualizado e de qualidade. ENADE LEMBRETE Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela um novo conhecimento. Com o objetivo de enriquecer seu conheci- mento, construímos, além do livro que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementa- res, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento. Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo. Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada! Acadêmico, você sabe o que é o ENADE? O Enade é um dos meios avaliativos dos cursos superiores no sistema federal de educação superior. Todos os estudantes estão habilitados a participar do ENADE (ingressantes e concluintes das áreas e cursos a serem avaliados). Diante disso, preparamos um conteúdo simples e objetivo para complementar a sua compreensão acerca do ENADE. Confi ra, acessando o QR Code a seguir. Boa leitura! SUMÁRIO UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................. 1 TÓPICO 1 - FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ...............................................3 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................3 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................................3 2.1. APLICAÇÕES PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................................4 2.2 USABILIDADE PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................... 6 3 TERMINOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ...............................................................6 3.1 VALOR PRESENTE DO CAPITAL (PV) ................................................................................................7 3.2 TAXA DE JUROS (I) ...............................................................................................................................7 3.3 NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n) OU TEMPO (t) ...............................................8 3.4 VALOR FUTURA DO CAPITAL (VF) ....................................................................................................8 4 DIAGRAMA DAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS ...................................................................8 RESUMO DO TÓPICO 1 ..........................................................................................................11 AUTOATIVIDADE .................................................................................................................. 12 TÓPICO 2 - CALCULADORA FINANCEIRA HP12C .............................................................. 15 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 15 2 FUNCIONALIDADES DA HP12C ........................................................................................ 16 2.1 LIGAMENTO E DESLIGAMENTO DA CALCULADORA HP12C ......................................................17 2.2 TESTE DE FUNCIONAMENTO DE CIRCUITOS ...............................................................................17 2.3 TECLADO ..............................................................................................................................................18 2.4 INSERINDO NÚMEROS ....................................................................................................................... 18 2.5 SEPARADORES DE DÍGITOS ............................................................................................................. 19 2.6 NÚMEROS NEGATIVOS ...................................................................................................................... 19 2.7 AS TECLAS ”CLEAR” (APAGAR) ....................................................................................................... 19 2.8 CONFIGURAÇÃO DE CASAS DECIMAIS .........................................................................................20 2.9 REGISTROS DE ARMAZENAMENTO .................................................................................................21 2.10 MODO DE OPERAÇÃO ......................................................................................................................22 2.11 ESTADO “C” – STO EEX .....................................................................................................................23 2.12 MODO DE PAGAMENTO - BEG END .............................................................................................24 3 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ............................................................................................... 24 3.1 RADICIAÇÃO/ RECIPROCIDADE .......................................................................................................24 3.2 RAIZ QUADRADA ................................................................................................................................24 3.3 LOGARITMO .........................................................................................................................................25 3.4 POTENCIAÇÃO .....................................................................................................................................25 RESUMO DO TÓPICO 2 .........................................................................................................27 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 28 TÓPICO 3 - CÁLCULOS DE PORCENTAGEM E CALENDÁRIO ............................................ 31 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 31 2 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM .......................................................................................... 31 2.1 PORCENTAGENS – % ..........................................................................................................................32 2.2 DIFERENÇA PERCENTUAL – ∆% .....................................................................................................33 2.3 PORCENTAGEM DO TOTAL – %T .....................................................................................................34 3 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO ............................................................................................ 36 3.1 FORMATO DE DATA ............................................................................................................................. 37 3.2 DATAS FUTURAS OU PASSADAS - DATE .....................................................................................39 3.3 NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS - ∆DYS ..................................................................................... 41 RESUMO DO TÓPICO 3 ........................................................................................................ 44 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 45 TÓPICO 4 - INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTO.......... 49 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 49 2 MÉTODO PARA INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ....................................................................................... 49 3 NOÇÕES DE JUROS SIMPLES .......................................................................................... 51 4 NOÇÕES DE JUROS COMPOSTOS .................................................................................. 53 LEITURA COMPLEMENTAR ................................................................................................ 58 RESUMO DO TÓPICO 4 ........................................................................................................ 64 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 65 REFERÊNCIAS ......................................................................................................................67 UNIDADE 2 — SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .................................................... 69 TÓPICO 1 — TAXA DE JUROS ............................................................................................... 71 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 71 2 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ..................................................................................... 71 3 JUROS ...............................................................................................................................73 4 TAXA PROPORCIONAL ......................................................................................................75 RESUMO DO TÓPICO 1 .........................................................................................................79 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 80 TÓPICO 2 - JUROS SIMPLES .............................................................................................. 83 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 83 2 JUROS SIMPLES ORDINÁRIOS (CALENDÁRIO COMERCIAL)........................................ 84 2.1 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES ORDINÁRIO PELAS FÓRMULAS ............................................86 2.2 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES PELA CALCULADORA HP12C ................................................87 2.3 EXEMPLOS E RESOLUÇÃO .............................................................................................................. 88 3 JUROS EXATOS (CALENDÁRIO CIVIL) E MONTANTE COM BASE NO JUROS EXATOS ........ 91 3.1 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES PELAS FÓRMULAS ...................................................................92 3.2 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES EXATOS PELA CALCULADORA HP12C ................................92 3.3 EXEMPLOS E RESOLUÇÃO ...............................................................................................................93 RESUMO DO TÓPICO 2 .........................................................................................................96 AUTOATIVIDADE ..................................................................................................................97 TÓPICO 3 - CÁLCULO DO MONTANTE ................................................................................99 1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................99 2 MONTANTE ........................................................................................................................99 2.1 CÁLCULO DO MONTANTE PELAS FÓRMULAS..............................................................................99 2.2 CÁLCULO DO MONTANTE PELA CALCULADORA HP12C ........................................................100 2.3 EXERCICIO E RESOLUÇÃO .............................................................................................................100RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................................105 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................106 TÓPICO 4 - OPERAÇÕES BANCÁRIAS ..............................................................................109 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................109 2 OPERAÇÕES BANCÁRIAS ..............................................................................................109 3 DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO ........................................................................ 110 3.1 CÁLCULO DO DESCONTO COMERCIAL PELA FÓRMULA ..........................................................114 3.2 CÁLCULO DO DESCONTO COMERCIAL PELA HP12C ................................................................115 3.3 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................115 4 ANTECIPAÇÃO DE RECEBÍVEIS .....................................................................................120 4.1. MÉDIA PONDERADA ......................................................................................................................... 123 LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................126 RESUMO DO TÓPICO 4 .......................................................................................................132 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................133 REFERÊNCIAS ....................................................................................................................136 UNIDADE 3 — SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ...............................................139 TÓPICO 1 — JUROS COMPOSTOS ...................................................................................... 141 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 141 2 INFLAÇÃO VS. DEFLAÇÃO ..............................................................................................142 2.1 INFLAÇÃO ............................................................................................................................................ 143 2.2 DEFLAÇÃO ..........................................................................................................................................144 3 TAXAS EQUIVALENTES NOS JUROS COMPOSTOS ..................................................... 144 3.1 CÁLCULO DE CAPITALIZAÇÃO ....................................................................................................... 145 3.2 CÁLCULO DESCAPITALIZAÇÃO .....................................................................................................146 4 JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................... 147 4.1 PERIODO DE JUROS COMPOSTOS ................................................................................................148 4.2 COMO OS JUROS COMPOSTOS SÃO CALCULADOS ................................................................ 149 4.3 CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE ................................................................ 149 4.4 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL INICIAL ..................................................150 4.5 CÁLCULO DA TAXA (i) .......................................................................................................................151 4.6 CÁLCULO DO TEMPO ( n ) .............................................................................................................. 152 RESUMO DO TÓPICO 1 .......................................................................................................154 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................155 TÓPICO 2 - SÉRIE DE PAGAMENTO .................................................................................. 157 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 157 2 EMPRÉSTIMOS PARCELADOS .......................................................................................158 3 TIPOS DE SÉRIES DE PAGAMENTO ................................................................................160 4 CÁLCULO DO ANTECIPADO ........................................................................................... 161 5 CÁLCULO DO POSTECIPADO .........................................................................................162 RESUMO DO TÓPICO 2 .......................................................................................................163 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................164 TÓPICO 3 - PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .......165 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................165 2 INTRODUÇÃO À AMORTIZAÇÃO .....................................................................................166 2.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS ................................................................................................ 166 2.2 AMORTIZAÇÃO DE ATIVOS INTANGÍVEIS .....................................................................................167 2.3 A IMPORTANCIA DA AMORTIZAÇÃO ..............................................................................................167 2.4 DIFERENÇA ENTRE AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃO ..............................................................167 3 CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................168 3.1 ENTENDENDO OS CRONOGRAMAS DE AMORTIZAÇÃO ...........................................................168 3.2 MÉTODOS PARA CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO ............................................................... 169 4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ..........................................................................................170 4.1 SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO .................................................................................................. 171 4.2 SISTEMA DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS ....................................................................................... 171 4.3 SISTEMA AMERICANO ..................................................................................................................... 172 4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ...................................................................... 173 4.5 SISTEMA PRICE (SISTEMA FRANCÊS) ......................................................................................... 174 4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) ................................................................................. 174 4.7 SISTEMA ALEMÃO ............................................................................................................................. 175 5 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) E SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)........................................................................... 175 5.1 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ..............................................176 5.2 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) ..............................................181 LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................188 RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................................194 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................195REFERÊNCIAS .................................................................................................................... 197 1 UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de: • entender conceitos, símbolos e terminologias da matemática fi nanceira; • compreender os regimes de juros simples e compostos; • realizar cálculos na calculadora HP12C; • conhecer as principais funções da HP12C; A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA TÓPICO 2 – CALCULADORA FINANCEIRA HP12C TÓPICO 3 – CALCULOS DE PORCENTAGEM E CALENDÁRIO TÓPICO 4 – INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTO Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações. CHAMADA 2 CONFIRA A TRILHA DA UNIDADE 1! Acesse o QR Code abaixo: 3 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 INTRODUÇÃO A matemática financeira, de acordo com Jacques (2010), é uma área aplicada da Matemática que estuda o comportamento de capitas no tempo. Em outras palavras, como o valor do dinheiro de comporta no decorrer do tempo. Para o autor, essa área estuda questões que fazem parte do dia a dia das pessoas, como, por exemplo, emprés- timos, renegociação de débitos ou mesmo cálculo do valor de um desconto recebido, por isso estudar matemática financeira é tão importante. O conhecimento em matemática financeira, mesmo que seja básico, já é capaz de auxiliar em alguma tomada de decisão que envolva finanças, tanto no que diz respeito ao meio organizacional como familiar. Neste capítulo, vamos iniciar estudando princípios básicos da matemática financeira. A partir desse norte, vamos estudar algumas terminologias, como Valor presente do capital (PV); Taxa de juros (i); Número de períodos de capitalização (n); tempo (t); e Valor futuro do capital (VF). Na sequência, analisaremos o diagrama das operações financeiras, estudando os fluxos de caixa tanto na visão do tomador de decisão como do ponto de vista do cliente/consumidor. TÓPICO 1 - UNIDADE 1 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira, conforme Wakamatsu (2012), é uma ferramenta bastante utilizada no dia a dia das pessoas, seja em operações simples, como um desconto em uma compra realizada, até em situações mais complexas, como na aplicação de juros de um empréstimo bancário. Para o autor, em ambas as formas, um mínimo de conhecimento já pode ser bastante útil, porém, quanto mais profundo for o entendimento sobre as questões ligadas à matemática financeira, mais liberdade as pessoas têm para operar, tanto em questões profissionais como em decisões pessoais. Como vimos anteriormente, segundo Castanheira (2010), a matemática financeira é uma área aplicada da matemática, sua abordagem é baseada em ferramentas como estatística, probabilidade e economia. Algumas organizações atuam sob a ótica da matemática financeira, como instituições de investimentos, comerciais, companhias de seguros, agências reguladoras, dentre outras, as quais apoiam na matemática financeira seus gerenciamentos de riscos, simulação de cenários e estruturação de portfólios. 4 Um exemplo disso, de acordo com Vannucci (2017), é que a análise quantitativa trouxe eficiência e rigor aos mercados financeiros e ao processo de investimento, e está se tornando cada vez mais importante em questões regulatórias. Sendo assim, de forma simples, podemos dizer que a matemática financeira consiste em aplicar a matemática para resolver problemas financeiros, tanto de modelagem de mercados, como em análise de dados financeiros, tornando ela uma área importante da matemática (VANNUCCI, 2017). 2.1. APLICAÇÕES PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA Aprender matemática financeira, conforme Samanez (2010), normalmente inclui a compreensão de fórmulas financeiras, funções, sistemas de equações, frações, modelagem e outras habilidades matemáticas. Há algumas áreas que utilizam a matemática financeira para análise de dados e resolução de problemas. A seguir, vamos estudar como ela se aplica em outras áreas: Gerenciamento de riscos O uso da matemática financeira pode ajudar a identificar e gerenciar os riscos financeiros. Os analistas financeiros costumam usar matemática financeira para analisar dados de mercado, encontrar padrões em dados e prever riscos. Os riscos financeiros podem ser classificados como: • Risco de mercado: segundo Gimenes (2009), o risco de mercado refere-se aos riscos financeiros no mercado-alvo da empresa, incluindo mudanças de mercado. Para o autor, a matemática financeira pode ajudar as empresas a analisar seu mercado-alvo e prever mudanças para reduzir riscos. • Risco operacional: segundo Jacques (2010), o risco operacional inclui riscos que surgem de fatores internos de uma empresa, incluindo processos e funcionários, bem como eventos externos que afetam as operações. Para o autor, a matemática financeira pode ajudar as empresas a analisar suas finanças para se preparar e mitigar o risco operacional. • Risco de crédito: segundo Barros (2014), o risco de crédito refere-se aos riscos asso- ciados a empréstimos e contratos, incluindo a incapacidade de pagar empréstimos ou cumprir contratos. Para o autor, as empresas podem usar a matemática financeira para tomar decisões inteligentes sobre empréstimos e contratos para reduzir o risco de crédito. • Risco de liquidez: segundo Barros (2014), o risco de liquidez inclui riscos de financiamento de curto e longo prazo que podem fazer com que uma empresa não consiga cumprir os custos financeiros. Para o autor, ao analisar seus orçamentos e prever despesas, as empresas podem usar a matemática financeira para ajudar a reduzir o risco de liquidez. Mineração de dados Para Jacques (2010), a mineração de dados é o processo de identificar padrões e anomalias nos dados para fazer previsões. Há muitos usos para mineração de dados, incluindo gerenciamento de riscos financeiros, redução de despesas e muito mais. Conforme Barros (2014), a mineração de dados também é usada em vários setores, incluindo seguros, manufatura, bancos, tecnologia, varejo e muitos outros 5 Negociação de ações Para Vanucci (2017), a negociação de ações é a compra e venda de ações em um esforço para capitalizar os mercados em mudança. Compreender a matemática financeira pode ajudar os traders a analisar dados financeiros para fazer previsões e escolher as ações certas para comprar e vender. Econometria A econometria envolve o uso de habilidades em matemática financeira e estatística para ajudar a analisar e interpretar dados econômicos para prever tendências futuras do mercado. A econometria pode ajudar as empresas a planejar seu futuro, incluindo como elas determinam e alocam seus orçamentos (VANNUCCI, 2017). Normalmente, a econometria se concentra nas relações entre dados financeiros e variáveis (BARROS, 2014). Previsão A previsão consiste em usar dados existentes para gerar previsões sobre eventos futuros, incluindo vendas, demanda e outros fatores de mercado. Existem muitos tipos de previsão, incluindo previsão qualitativa e quantitativa (JACQUES, 2010). De acordo com Wakamatsu (2012), a previsão é uma forma de ajudar as empresas a tomar decisões financeiras inteligentes que podem contribuir para seu sucesso geral. Marketing A matemática financeira também pode auxiliar nas estratégias de marketing de uma organização. Ao prever a demanda do mercado, você pode determinar quando deve lançar campanhas de marketing e quais produtos deve comercializar mais (GIMENES, 2009). Isso pode permitir que você crie estratégias de marketing eficazes que tenham o maior impacto possível. Gestão de inventário A matemática financeira também é útil na gestão de estoques, isso porque a previsão da demanda do mercadopode permitir que você determine quanto estoque manter disponível e quando você precisa aumentar seu estoque. Existem muitos métodos de gerenciamento de estoque, e a compreensão da matemática financeira pode ajudar os gerentes de estoque a tomar decisões de negócios inteligentes (GIMENES, 2009). Estratégias de investimento A matemática financeira também pode ser aplicada a estratégias de investi- mento, uma vez pode auxiliar na compreensão de como analisar dados e fazer pre- visões, ajudando a fazer investimentos inteligentes. Muitas vezes, os banqueiros de investimento usam matemática financeira para fazer investimentos inteligentes e ge- renciar portfólios. 6 2.2 USABILIDADE PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA Como vimos, a matemática financeira está relacionada a diversas áreas, conse- quentemente, pessoas em muitas funções e instituições utilizam dela em suas funções. As instituições que usam matemática financeira podem incluir bancos comerciais e de investimento, companhias de seguros e muito mais (BARROS, 2014). Pessoas em mui- tas carreiras também usam matemática financeira, como (GIMENES, 2009): • Analistas financeiros: segundo Jacques (2010), os analistas financeiros são responsáveis por analisar dados financeiros para identificar potenciais oportunidades ou riscos financeiros. Para o autor, os analistas financeiros geralmente têm diplomas em matemática ou finanças. • Cientistas de dados: segundo Castanheira (2010), os cientistas de dados são res- ponsáveis por analisar uma variedade de dados para identificar padrões e tendên- cias. Para o autor, os cientistas de dados geralmente são formados em matemática, estatística, ciência da computação ou economia. • Analistas de inteligência de negócios: segundo Vannucci (2017), um analista de inteligência de negócios é um profissional financeiro que analisa dados para preparar relatórios financeiros que podem ajudar as empresas a usar padrões e tendências para tomar decisões. Para o autor, os analistas de inteligência de negócios geralmente são formados em administração de empresas, ciência da computação ou estatística. • Banqueiros: segundo Samanez (2010), os banqueiros são responsáveis por ajudar os clientes a tomar decisões financeiras, incluindo poupança e investimento. Para o autor, muitas vezes, os banqueiros têm diplomas em finanças, economia, contabilidade ou outro grau relacionado a negócios. 3 TERMINOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Podemos entender como operação financeira a troca simultânea de capital financeiro, que é acordada entre um credor e um tomador. Para isso, é utilizada de uma equivalência na transação, entre um capital e outro. Dessa forma, toda e qualquer operação financeira precisa estar estruturada em função do tempo e da taxa de juros, e elas são compostas por quatro componentes, que são: • Valor presente do capital – Representado por (PV). • Taxa de juros - Representado por (i). • Número de períodos de capitalização- Representado por (n). • Valor futuro do capital - Representado por (VF). É importante que você grave essas representações, pois é comum que nos cálculos financeiros essas operações sejam indicadas apenas por meio do símbolo. 7 Caro acadêmico, a seguir, vamos abordar de forma detalhada cada um dos componentes da operação financeira. 3.1 VALOR PRESENTE DO CAPITAL (PV) O valor do dinheiro se altera com o tempo, como reflexo das condições do mercado. Nesse sentido, para Gimenes (2009) o Valor presente (PV) se refere ao valor inicial de uma operação, e está representado no instante “zero”. O valor presente também é chamado por outros nomes, como: valor principal (P); capital (C); valor original (O). Nesse sentido, Wakamat- su (2018) traz como exemplo o valor de uma quantia emprestado de um banco para financiar um carro, o valor disponibilizado como empréstimo pelo banco seria o valor presente. 3.2 TAXA DE JUROS (I) A taxa de juros periódica (I) vem do termo do inglês “interest rate”, cuja tradução é “taxa de juros”, e corresponde ao montante aplicado em uma determinada quantia pelo período de capitalização (GIMENES, 2010). Gimenes (2010) nos traz também que a forma de incidência da taxa de juros pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral, semestral, anual, dentre outras. A aplicação da taxa de juros é expressa em forma de percentual, por exemplo, “7%” ou “24%”. Ainda, Wakamatsu (2018) e Gimenes (2010) afirmam que letra “i” (minúscula) indica que a taxa “I” foi dividida por cem, por exemplo 0,05 (“I” de 5% é mesmo que um “i” de 0,05). Caro acadêmico, o objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta didática desenvolvida e utilizada com o intuito de apresentar ao acadêmico um determinado tema e articular atividades relacionadas a ele, atendendo ao princípio norteador da UNIASSELVI, de que “não basta saber, é preciso saber fazer”. Dessa forma, nosso Objeto de Aprendizagem será composto por duas etapas: uma contendo a apresentação do conteúdo, e a outra contendo as atividades práticas relacionadas a ele. Segue o link do objeto de aprendizagem: - Taxa de juros: https://bit.ly/3qveyKz Bons estudos! DICA 8 3.3 NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n) OU TEMPO (t) O número de período envolvido na operação (n) refere-se ao tempo, e ambos devem estar no mesmo período que a taxa de juros (GIMENES, 2010). Para Wakamatsu (2018) toda operação ocorre dentro de um determinado período (dias, semanas, meses, anos etc.), sendo assim, o número de período (n) também pode ser chamado de tempo (t). Vamos utilizar o exemplo trazido por Wakamatsu (2018) para compreender o que seria número de período. Vejamos: imagine um financiamento de imóveis que normalmente se estende por um período longo de 10 anos, 20 anos, 30 anos, dependendo do contrato. Nesse caso, usamos “n” para nos referirmos à quantidade de tempo. No entanto é válido reforçar que não existe uma regra dizendo se devemos utilizar dias, semanas, quinzenas, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres, anos etc. como unidade de medida, tudo vai depender do cálculo que desenvolvemos. Caro acadêmico, é importante ressaltar que, para cálculos de matemática financeira, o tempo e a taxa devem sempre estar no mesmo período. Exemplo: se a taxa estiver em meses, o tempo deverá estar em meses. Se a taxa estiver em anos, o tempo deverá estar em anos também, ou seja, sempre no mesmo período. IMPORTANTE 3.4 VALOR FUTURA DO CAPITAL (VF) O valor futuro (VF) é o valor representado no instante “n”, sendo composto de amortização mais juros. O valor futuro recebe outras denominações, como: valor de resgate, montante (M) e saldo futuro (S) (GIMENES, 2010). Para Wakamatsu (2018), o valor futuro refere-se ao resultado da ação dos juros sobre o valor presente (VP). 4 DIAGRAMA DAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS O diagrama das operações financeiras nada mais é do que uma representação gráfica de uma operação simples que utiliza matemática financeira (GIMENES, 2010). No diagrama das operações financeiras, a compreensão de uma situação que aborde valor presente, tempo, taxa de juro, pode ser representada em forma de diagrama, chamado de fluxo de caixa, e é composto por: linha de tempo, valor de entrada e valores de saída (WAKAMATSU, 2018). 9 Os negócios que envolvem juros são compostos por uma “entrada” e por uma “saída”, como no caso de um empréstimo bancários em que, de um lado, está o cliente e, do outro lado, está a instituição financeira, que repassa o dinheiro (GIMENES, 2010). Para Gimenes (2010), em ambos os lados (cliente, instituição financeira) o valor inicial e final são os mesmos, o que se diferencia é o fluxo da quantia, se está entrando ou saindo. Dentre os valores iniciais e finais, segundo Gimenes (2010) e Wakamatsu (2018), existe o componente chamado tempo, que é um componente fundamental quando falamos de juros, afinal o tempo envolvido é o que vai definir o tamanho da diferença entre os valores presente e futuro, ou seja, entreos valores de entrada e saída. O diagrama das operações financeiras aborda todos os conceitos de matemática financeira, e precisa ser realizado sempre sob duas óticas, também chamadas de agentes: a do tomador e do recebedor da operação. Para Wakamatsu (2018), o tomador do empréstimo, que é o cliente, geralmente recebe recursos no início do período, ou seja, no período (instante) “zero”. á o financiador, que é a instituição financeira, concede o empréstimo para recebê-lo mais tarde, em um período futuro, mediante o acréscimo dos juros. Caro acadêmico, veremos, a seguir, uma ilustração para auxiliar na explicação do diagrama, baseada em Gimenes (2010) e Wakamatsu (2018): Um cliente pega R$ 1.000,00 emprestado de uma instituição financeira, devendo pagar a importância de R$ 1.100,00 ao término do período, cujo tempo acordado para devolução foi de 5 anos. A seguir, veremos o diagrama dessa operação na visão tomador/ cliente (Figura 1) e na visão da instituição financeira (Figura 2). FIGURA 1 – VISÃO TOMADOR/CLIENTE FONTE: o autor $ 1.000 $ 1.100 1 2 C 3 4 5 10 Como podemos observar na Figura 1, o primeiro círculo (o da esquerda) apresenta a seta apontando para cima, isso significa que ela se refere a uma entrada de dinheiro. Nesse círculo, discriminamos o valor do início do processo, ou seja, valor emprestado da instituição financeira para o cliente, que, no nosso exemplo, é de R$ 1.000,00 (WAKAMATSU, 2018). Em contrapartida, o outro círculo (o da direita) da Figura 1 apresenta a seta apontando para baixo, e representa a saída de dinheiro, que no nosso exemplo corresponde a R$ 1.100,00, valor este que o tomador precisará devolver no fim da operação. Na saída de caixa, ao término do período estipulado, que no caso é 5 anos, o tomador do empréstimo/ cliente deverá pagar o valor recebido acrescido dos juros, que resultou no valor de R$ 1.100,00, e na visão do tomador de empréstimo é uma saída, ou seja, negativo (GIMENES, 2010). Entre os dois círculos, temos a linha do tempo, que marca zero na entrada e cinco na saída, e é o período pelo qual foi aplicado os juros, ou seja, é o tempo que a instituição financeira levará para receber seu dinheiro de volta (WAKAMATSU, 2018). FIGURA 2 – FLUXO DE CAIXA (VISÃO DA INSTITUIÇÃO FINANCEIRA) $ 1.000 $ 1.100 1 2 3 4 5 FONTE: o autor Agora, temos o mesmo exemplo anterior. Utilizando a visão da instituição financeira, esse fluxo é uma versão espelhada do gráfico anterior (visão do tomador/ cliente), apresentando valores e tempo exatamente iguais. A diferença está na inversão do sentido das setas dos dois círculos, ou seja, o que havia aparecido como entrada vem agora como saída, e vice-versa (WAKAMATSU, 2018). Gimenes (2010) explica que a instituição financeira está emprestando ao tomador do empréstimo/cliente a quantia de R$ 1.000,00, então, para a instituição financeira, existe uma saída de caixa no instante zero e uma entrada de R$ 1.100,00 depois de 5 anos. 11 Neste tópico, você aprendeu: • As operações financeiras são compostas por quatro componentes: Valor presente do capital (PV); Taxa de juros por período de capitalização (i); Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t); Valor futuro do capital (VF). • O Valor presente (PV) refere-se ao valor inicial de uma operação e está representado no instante “zero”. • A taxa de juros periódica (I) vem do termo do inglês interest rate – taxa de juros. • O número de período envolvido na operação (n) refere-se ao tempo que deve estar no mesmo período (em acordo) com a taxa de juros. • Valor futuro (VF) é represento no instante n, sendo composto de amortização mais juros. • O valor futuro recebe outras denominações, como: valor de resgate, montante (M) e saldo futuro (S). • O diagrama das operações financeiras, nada mais é do que uma representação gráfica de uma operação simples que utiliza matemática financeira. RESUMO DO TÓPICO 1 12 AUTOATIVIDADE 1 No diagrama das operações financeiras, a compressão de uma situação que aborde valor presente, tempo, taxa de juro pode ser representada em forma de diagrama, chamado de fluxo de caixa, e é composto por: linha de tempo, valor de entrada e valores de saída. Conceitue diagrama das operações financeiras. 2 O valor presente refere-se ao ponto de partida da operação. Como exemplo, podemos citar o caso do dinheiro pego emprestado de um banco para financiar um carro ou casa. Esse valor pego no banco seria o valor presente, também chamado de capital. Conceitue valor presente. 3 Toda e qualquer operação financeira, precisa estar estruturada em função do tempo e de da taxa de juros. Existem quatro componentes fundamentais nas operações financeiras. Sobre os componentes das operações financeira, analise as sentenças a seguir: I- Valor presente do capital (PV). II- Taxa de juros por período de capitalização (i). III- Valor de inflação (VI). IV- Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t). V- Valor futuro do capital (VF). IV- Taxa de desconto (TxD). Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) As sentenças II, III e V estão corretas. b) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas. c) ( ) As sentenças III, IV e V estão corretas. d) ( ) As sentenças I, II, IV e V estão corretas. 4 Os negócios que envolvem juros são compostos por uma “entrada” e por uma “saída”, como no caso de um empréstimo bancário, em que de um lado está o cliente e, do outro lado, está a instituição financeira, que repassa o dinheiro. Com base nos componentes das operações financeiras, associe os itens, utilizando o código a seguir: I- Valor presente do capital (PV). II- Taxa de juros por período de capitalização (i). III- Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t). IV- Valor futuro do capital (VF). 13 ( ) Vem do termo do inglês (interest rate), refere-se à taxa de juros cobrado por período de capitalização. ( ) Refere-se ao valor inicial de uma operação, e está representado no instante “zero”. ( ) O valor futuro é representado no instante n, sendo composto de amortização mais juros. ( ) Refere-se ao tempo que deve estar no mesmo período (em acordo) com a taxa de juros. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) II – I – IV – III b) ( ) III – IV – II – I c) ( ) I – III – II – IV d) ( ) IV – I – III – II 5 Toda e qualquer operação financeira precisa estar estruturada em função do tempo e de da taxa de juros. As operações financeiras são compostas por quatro componentes: Valor presente do capital (PV); Taxa de juros (i); Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t); Valor futura do capital (VF). Relacionado ao valor futuro, ele recebe outras denominações. Sobre as outras denominações do valor futuro, assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) Valor de resgate, montante (M), e saldo futuro (S). b) ( ) Valor principal (P); capital (C); valor original (O). c) ( ) Número de período (n); tempo (t). d) ( ) “I” maiúsculo expressa a taxa em percentagem; “i” minúsculo expressa a taxa decimais. 14 15 CALCULADORA FINANCEIRA HP12C 1 INTRODUÇÃO Caro acadêmico, no decorrer deste tópico, você aprenderá a realizar cálculos por meio da calculadora HP12C. De acordo com Gimenes (2010), a calculadora HP12C pode ser de grande valia no dia a dia, auxiliando nos cálculos fi nanceiros. Com a aprendizado deste tópico, você será capaz de realizar cálculos, auxiliando no orçamento familiar, no processo de tomada de decisão de compra e venda com relação à forma de pagamento, bem como nas aplicações fi nanceiras envolvendo empréstimos, investimentos etc. Ao longo desses estudos, vamos abordar questões voltadas a cálculos fi nan- ceiros, compreendo como ocorrem cálculos tanto com a aplicação de fórmulas quanto utilizando a HP12C. O Guia da HP12C (2004) foi elaborado com intuito de auxiliar no uso e aproveitar o má- ximo possível das funções da calculadora fi nanceira programável HP12C. O manual apresenta 16 seções. Para aprofundar aindamais o uso da calculadora, recomendamos a leitura das se- ções: Seção 1: Começando; Seção 2: Funções de percentagem e calendário; Seção 3: Funções fi nanceiras básicas; Seção 5: Características operacionais adicionais; Seção 7: Funções mate- máticas e de alteração de números. São seções de base, cujos pontos abordaremos neste livro. Acadêmico, neste Tópico 2, abordaremos funcionalidades da HP12C e estuda- remos algumas funções, teclas, comandos e modos de operação como: ligamento e desligamento da calculadora; teste de funcionamento de circuitos; teclado; entrando números; separadores de dígitos; números negativos; a tecla ”clear” (apagar); confi gu- ração de casas decimais; mudando de ponto para vírgula; registros de armazenamento; modo de operação; e outras funções matemáticas. UNIDADE 1 TÓPICO 2 - Caro acadêmico, você pode baixar na internet o “guia do usuário da HP12C calculadora fi nanceira”, como também pode baixar o “Guia de inicialização rápida da calculadora fi nanceira HP12C”. Dessa forma, você conseguirá aprofundar ainda mais o conhecimento e usabilidade da HP12C. • Lins do Guia de inicialização rápida da calculadora fi nanceira HP12C: https://bit.ly/3DfTZcH. Acesso em: 18 ago. 2022. • Lins do guia do usuário da HP12C calculadora fi nanceira: https://bit. ly/3U0B6Ay. Acesso em: 18 ago. 2022. Bons estudos! DICA 16 2 FUNCIONALIDADES DA HP12C A calculadora HP12c é muito utilizada em operações que envolvem a matemática financeira, pois apresenta uma série de funcionalidades, as quais, quando utilizadas de forma correta, podem auxiliar nos cálculos financeiros. Nesse subtópico, aprenderemos algumas das principais funções financeiras e de usabilidade da calculadora HP12C. A calculadora HP12C pode ser um facilitador na hora de realizar cálculos financeiros. Apesar de ser possível fazer os cálculos de forma manual com a aplicação de fórmulas, a calculadora permite que eles sejam realizados de maneira confiável em muito menos tempo. Caso você não possua uma HP12C, é possível utilizar o emulador da calculadora financeira no link: https://stendec.io/ctb/rpn_fin.html. Ao longo desses estudos, vamos aprender a utilizar duas versões diferentes da calculadora HP12C: a “Golden” e a “Platinum”. Nesse primeiro momento, vamos estudar os comandos básicos da calculadora, para que em nossos próximos capítulos, quando estudarmos as fórmulas, você já tenha um pré-conhecimento de como ela funciona. É importante dizer que a diferença entre as duas calculadoras se dá apenas pela função algébrica (RPN): a Platinum dispõe, e a Golden, não. De toda forma, essa diferença será mais bem exemplificada a seguir. Todos os demais comandos vistos aqui funcionam de maneira igual nas duas. Vamos iniciar pela Golden. A seguir, na Figura 3, está uma representação dela que irá nos auxiliar nos próximo tópicos, onde vamos estudar seus comandos. Assim, você pode utilizar a imagem para compreender como seria o comando na prática. FIGURA 3 – EMULADOR DA CALCULADORA FINANCEIRA HP12C (GOLDEN) FONTE: https://stendec.io/ctb/rpn_fin.html. Acesso em: 17 ago. 2022. 17 FIGURA 4 – TESTE DE FUNCIONAMENTO DE CIRCUITOS FONTE: Gimenes (2010, p. 55). 2.1 LIGAMENTO E DESLIGAMENTO DA CALCULADORA HP12C Para iniciar manualmente o uso da HP12C, aperte a tecla ON . Para desligar a calculadora, basta apertar novamente a tecla ON . Caso o usuário da calculadora não a desligue manualmente, ela se desligará automaticamente entre 8 e 17 minutos depois do último uso. 2.2 TESTE DE FUNCIONAMENTO DE CIRCUITOS Um teste automático de circuitos indica se todas as funções e os circuitos da calculadora HP12C estão em perfeito funcionamento, que também é uma opção para quando se realiza a compra, buscando saber se o aparelho funciona normalmente (GIMENES, 2010). Para realizar o teste, siga os seguintes comandos: com a calculadora desligada, aperte a tecla com sinal de multiplicação X , mantenha a tecla pressionada enquanto liga a calculadora na tecla ON e, em seguida, solte a tecla X . Se a calculadora estiver em perfeito funcionamento, aparecerá no visor da calculadora a seguinte indicação (Figura 4): Se a calculadora apresentar problema, aparecerá no visor a mensagem “Erro 9” ou não aparecerá nada. Indicador de carga da bateria O ícone da bateria que aparece no canto superior esquerdo do mostrador quando a calculadora está ligada, significa que a bateria está fraca e é necessário substituí-la. 18 2.3 TECLADO A maioria das teclas da HP12C realizam duas ou até três funções. As funções primárias das teclas são marcadas pelos caracteres impressos em branco na sua face superior. A funções secundárias das teclas são indicadas pelos caracteres impressos em letra dourada acima da tecla e em letra azul na sua face inferior. Essas funções secundárias são ativadas pressionando a tecla de prefixo apropriada antes da tecla de função. FIGURA 5 – TECLAS DE FUNÇÕES DA HP12C FONTE: adaptado do Guia HP12C (2004) • De forma a conseguir selecionar a função secundária impressa em letra dourada acima de uma tecla, o usuário precisa apertar a tecla de prefixo dourada f e, na sequência, a tecla de função. • De forma a conseguir selecionar a função primária impressa em letra branca na face superior de uma tecla, aperte somente a tecla. • De forma a conseguir selecionar a função secundária impressa em azul na face inferior de uma tecla, aperte a tecla de prefixo azul g e, na sequência, a tecla de função. Caro acadêmico, caso você̂ pressione a tecla de prefixo f ou g por engano, é possível cancelar o comando apertando f PREFIX. Essa combinação de teclas também pode ser usada para cancelar as teclas STO, RCL, e GTO, que veremos mais adiante sobre suas funcionalidades. As teclas f ou g são chamadas de prefixo, no sentido que outras teclas precisam ser apertadas em seguida para executar a função correspondente. Acionando a tecla de prefixo f ou g , o indicador de estado correspondente é apresentado no mostrador. Os indicadores de estado são desligados em três situações: • quando você̂ aperta uma tecla de função (executando a função secundária da tecla); • uma outra tecla de prefixo ( f ou g ); ou • f PREFIX. 2.4 INSERINDO NÚMEROS Diferente das calculadoras comuns, a HP12C não tem um botão de virgula, e ela insere sozinha o ponto quando forem números maiores que “1.000”, caso o número seja menor e você queira utilizar centavos, por exemplo “R$ 100,50”, você deverá inserir o ponto decimal antes dos centavos “100.50”. Para inserir número na hora de realizar os cálculos, então, basta pressionar as teclas de 0 até 9, na sequência desejada, utilizando o ponto decimal ( . ), se for o caso. 19 2.5 SEPARADORES DE DÍGITOS Como já explicado, a função separadores de digito é representado pela tecla . . Ao digitar um valor, a cada três números digitados, a calculadora insere automaticamente um ponto decimal como separador. Caso você deseje, é possível configurar a calculadora para inserir uma vírgula no lugar do ponto, apesar de não haver essa tecla disponível. Para fazer essa inversão, basta desligar a calculadora, apertar e segurar a tecla . e apertar e tecla ON simultaneamente. Para reverter, basta realizar essa operação novamente, e a calculadora irá para voltar à configuração original de separador de dígitos no mostrador. 2.6 NÚMEROS NEGATIVOS A calculadora apresenta uma tecla para trocar o sinal do valor (se está positivo, pode ser transformado para negativo ou vice-versa) no mostrador, que pode ser feito tanto para um número que acabou de ser digitado, quanto para um número que resultou de um cálculo realizado. Para fazer essa operação, basta pressionar a tecla CHS (do inglês CHange the Sign, na tradução livre: “trocar o sinal”). Sendo assim, quando o mostrador exibe um número negativo, ou seja, um número precedido pelo sinal de menos (-), pressionando CHS será removido o sinal do mostrador e o número se torna positivo. 2.7AS TECLAS ”CLEAR” (APAGAR) É importante dizer que a HP12C possui memória, ou seja, ela armazena os cálculos realizados. Após realizar um cálculo, é possível zerar apenas o visor e depois restaurar o cálculo anterior, como é possível também deletar da memória os cálculos realizados. Existem diversas operações que apagam ou zeram registros na HP12C, todas as operações se concentram nas teclas “clear”, como mostrado na Figura 6 a seguir. 20 FIGURA 6 – OPERAÇ Õ ES QUE APAGAM OU ZERAM REGISTROS NA HP12C FONTE: Guia HP12C (2004, p. 18) Caro acadêmico, neste livro, não iremos aprofundar o tema de estatística, nem mesmo de programação, por ter uma disciplina específi ca para isso, e iremos focar nas funções fi nanceiras. Dessa forma, a função de apagar ou zerar que iremos usar neste livro é f REG, pois trata-se da função de zerando e apagando mais completa, zerando e apagando todos os registros de armazenamento de dados, registros fi nanceiros, registros da pilha e LAXT X e mostrador. NOTA 2.8 CONFIGURAÇÃO DE CASAS DECIMAIS A calculadora HP12C permite confi gurar quantas casas decimais você desejar. Para realizar essa confi guração, é preciso estar com a calculadora ligada e pressionar a tecla f , e, em seguida, digitar uma tecla numérica com o número de casas que você deseja trabalhar. Exemplo 1 Para confi gurar a calculadora para duas casas decimais, pressione a tecla f e o número 2. No visor, irá aparecer 0,00, ou seja, duas casa após a virgula. f 2 Resposta do visor: 0,00 Exemplo 2 Para confi gurar a calculadora para 7 casas decimais, pressione a tecla f e o número 7. No visor irá aparecer 0,0000000, ou seja, 7 casa pós a virgula. f 7 Resposta do visor: 0,0000000 21 Caro acadêmico, para os cálculos deste livro, confi gure a calculadora para nove casas decimais. Dessa forma, ela proporcionará a obtenção de valores exatos dos cálculos. No início de cada cálculo, habitue-se a zerar toda a memória da calculadora. Tome isso como hábito, evitando, assim, que o resultado dos cálculos seja prejudicado por considerar outros valores constantes na memória da HP12C. DICA DICA 2.9 REGISTROS DE ARMAZENAMENTO Os dados advindos de cálculos realizados na HP12C sã o armazenados em memórias chamadas de “registros de armazenamento” ou, simplesmente, “registros”. A calculadora HP12C disponibiliza até́ 20 registros para que podem ser armazenados manualmente a escolha do usuário. Esses registros de armazenamento sã o designados como “R0” até “R9” e “R.0” a “R.9“, observe que entre os símbolos um contém ponto e outro não, e a soma de ambos resulta nos 20 registros permitidos. Armazenamento e recuperaç ã o de nú meros Para poder memorizar o cálculo que aparece no mostrador e torná-lo um registro de armazenamento de dados, é preciso seguir os seguintes comandos: 1. Aperte STO (armazenar, vem do inglês store). 2. Digite o nú mero do registro: 0 a 9 para os registros de R0 a R9, ou . 0 a . 9 para os registros de R.0 a R.9. Do mesmo modo, para recuperar para um cálculo de um registro de armazenamento, basta pressionar a tecla RCL (recuperar, do inglês to recover), e, em seguida, digitar o nú mero do registro onde salvou o valor salvo (Por exemplo “R0”). Esse comando vai copiar para o mostrador o nú mero armazenado no registro. O número recuperado permanecerá inalterado no registro de armazenamento, até que se realize alguma alteração, ou seja, deletado da memória. 22 2.10 MODO DE OPERAÇÃO É comum que se tenha que realizar mais de uma operação sequencial para realizar cálculos financeiros. Quando o cálculo envolve números em parênteses, que exigem seu cálculo apartado dos demais da fórmula, a HP12C trabalha com o sistema RPN (Reverse Polish Notation, em tradução livre: Notação Polenesa Reversa). Essa função existe nas duas versões da HP12C (Golden e Platinum) (GIMENES, 2010). Aqui está a diferença que comentamos anteriormente, isso porque a versão platinum da HP12C apresenta a possibilidade de operações no sistema algébrico, denominado de “ALG”, o qual está destacado na Figura 7, a seguir. Caro acadêmico, todos os cálculos deste livro são realizados no sistema RPN. Pede-se que a calculadora seja ajustada para o sistema RPN. Isso é feito pressionando a tecla f , seguida da tecla RPN. O visor da Platium deve mostrar o RPN aceso. IMPORTANTE FIGURA 7 – CALCULADORA HP12C PLATINUM FONTE: https://bit.ly/3eKRF3s. Acesso em: 17 ago. 2022. Diferença entre os modos ALG e RPN O modelo platinum permite trabalhar no modo de operação tradicional algébrico (ALG), desde que ele seja acionado, sendo que para acionar basta pressionar e tecla F e ALG. Acionado esse modo, realizar uma operação básica funciona da seguinte forma: número, sinal da operação, outro número, e pressionar a tecla enter (igual). Por exemplo: 7 + 5 = 12 (GIMENES, 2010). 23 FIGURA 8 – OPERAÇÕES BÁSICAS RPN E ALG FONTE: Gimenes (2010, p. 57) No modo de operação RPN, disponível nas duas versões, a principal característica consiste em realizar uma operação básica da seguinte forma: número, enter, número, e, por fi m, sinal da operação (GIMENES, 2010). A Figura 8 demostra como realizar operações básica em RPN e ALG. 2.11 ESTADO “C” – STO EEX A calculadora HP12C permite que os cálculos de i, n, PV, PMT e FV sejam executados com juros simples ou juros compostos. Se o indicador de “estado C” no mostrador nã o estiver presente, os juros simples são calculados, ou seja, para realizar cálculos de juros simples, o estado C” não pode estar ativado. Para realizar cálculos de juros compostos, é preciso ligar o indicador de “estado C” pressionando as teclas STO EEX . Caro acadêmico, o uso incorreto do estado C pode levar a erros no resultado dos cálculos. Para evitar erros, lembre-se: • Para cálculos de juros simples, desative o “Estado C”. • Para cálculos de juros compostos, ative o “Estado C”. • Pressionando STO EEX ., para ativar o “Estado C”, e repita o comendo para desativar o “Estado C”. Caro acadêmico, para realizar os cálculos deste livro, sugerimos confi gurar a calculadora para nove casas após a virgula, de forma a obter o valor mais exato possível para realização dos cálculos propostos ao longo do livro, bem como para evitar erros nos cálculos envolvendo data, onde é exigida uma confi guração com um maior número de casas decimais. DICA 24 2.12 MODO DE PAGAMENTO - BEG END Pressione g BEG para estabelecer o modo de pagamento para problemas de fluxo de caixa. Use o modo Início para pagamentos ocorridos no começo do período composto. Observe que será́ exibido o indicador "begin" (GUIA HP12C, 2004). A função g BEG deve ser ativada nos casos em que você irá iniciar o pagamento com um valor de entrada (1+8 vezes). Pressionar g END é usado para pagamentos ocorridos no final do período composto, ou seja, esta função g END é usada nos casos em que você irá iniciar o pagamento daqui a 30 dias, em um valor de entrada (0 + 9 vezes). 3 FUNÇÕES MATEMÁTICAS Segundo o Guia da HP12C (2004), a calculadora apresenta diversas teclas de funções matemáticas e de alteração de números, cuja função é realizar cálculos financeiros específicos e para cálculos matemáticos em geral. 3.1 RADICIAÇÃO/ RECIPROCIDADE Essa função é utilizada para calcular a reciprocidade do número exibido no registro X. Pressionando a tecla 1/x , você irá dividir “1” pelo número que está no mostrador. Vamos supor que o número do mostrador seja “50”. Nesse caso, a calculadora fará o seguinte cálculo: Exemplo: 1/50 = 50 1/x = 0,02 Outros Exemplos: 61/2 = 6 ENTER 2 1/x YX = 2,4495 1,341/7 = 1,34 ENTER 7 1/x YX = 1,244 3.2 RAIZ QUADRADA Para calcular a raiz quadrada, você deve inserir o número que deseja e, na sequência, pressionar as teclas g . Vejamos um exemplo a seguir: Exemplo = 5 g = 2,236067977 = 11 g = 3,316624790 25 3.3 LOGARITMO Há duas formas de se calcular logaritmo, são elas: natural e comum. O logaritmo natural (também chamadode neperiano), cujo símbolo matemático é (ln x), para ser calculado, é preciso inserir o número que se pretende calcular e, em seguida, pressionar as teclas g LN da HP12C. Exemplo ln50 = 50 g LN = 3,9120 ln3 = 3 g LN = 1,0986 ln10 = 10 g LN = 2,30258 Há, ainda, a forma de calcular o logaritmo comum cujo símbolo matemático é (Log x). Também é necessário inserir o número que se pretende calcular, mas, na sequência, devem ser acionadas as teclas 10 g LN . Exemplo ln50 = 50 g LN 10 g LN =1,6990 ln3 = 3 g LN 10 g LN = 0,4771 ln10 = 10 g LN 10 g LN = 1,0000 No logaritmo com Base “e” Euller, o valor é de 2,7182818284590452353602874. O número 𝑒 é um número irracional, ou seja, não é possível escrevê-lo em forma de fração com numerador e denominador inteiros, portanto, ele possui infinitas casas decimais não periódicas. FONTE: https://bit.ly/3L8E69Y. Acesso em: 18 ago. 2022. INTERESSANTE 3.4 POTENCIAÇÃO Cálculos relacionados a valores exponenciais podem ser realizados na HP12C com ajuda da tecla YX. Quando fazemos essa ação, temos que ter o número que será calculado (nesse caso, é o Y) e número ao qual se deseja elevar (nesse caso, é o x) (GIMENES, 2010). Para realizar o cálculo, segundo o Guia HP12C (2004), siga os seguintes comandos: 1. Digite o número base (designado pelo “Y”). 2. Aperte ENTER para separar o segundo número (o expoente) do primeiro (a base). 26 3. Digite o expoente (designado pelo “x” na face da tecla). 4. Aperte YX para calcular a potência. Exemplo 42,6 = 4 ENTER 2,6 YX = 36,76 4-2,6 = 4 ENTER 2,6 CHS YX = 0,0272 (-3)4 = 3 CHS ENTER 4 YX = 81,00 Caro acadêmico, o objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta didática desenvolvida e utilizada com o intuito de apresentar um determinado tema e articular atividades relacionadas a ele, atendendo ao princípio norteador da UNIASSELVI, de que “não basta saber, é preciso saber fazer”. Dessa forma, nosso Objeto de Aprendizagem será composto por duas etapas: uma contendo a apresentação do conteúdo e a outra contendo as atividades práticas relacionadas a ele. Segue o link dos objetos de aprendizagem: Conhecendo novas funções da calculadora financeira HP12C: https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/4101/index.html - Utilizando a calculadora HP12C: https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/4101/index.html - Funções financeiras da HP12C: https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/216339/index.html Bons estudos! DICA 27 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu: • Para iniciar manualmente o uso da HP12C, aperte a tecla ON. Para desligar a calculadora, basta apertar novamente a tecla ON. • Um teste de automático de circuitos indica se todas as funções e os circuitos da calculadora HP12C estão em perfeito funcionamento. • O ícone da bateria que aparece no canto superior esquerdo do mostrador, quando a calculadora está ligada, significa que a bateria está fraca e é necessário substituí-la. • A maioria das teclas da HP12C realizam duas ou até́ três funções. A função primária de uma tecla é marcada pelos caracteres impressos em branco na sua face superior. As funções secundárias de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em letra dourada acima da tecla e em letra azul na sua face inferior. • A tecla CHS inverte o sinal da operação. • Existem diversas operações que apagam ou zeram registros na HP12C. Todas as operações concentram-se as teclas “clear”. • A radiciação, pressionando 1/x, calcula o inverso do número no mostrador. • Pressionando g LN, pode-se calcular o logaritmo natural ou neperiano (isto é, o logaritmo com base e) do número no mostrador. • A realização de cálculos relacionados a valores exponenciais pode ser feita na HP12C com ajuda da tecla YX (GIMENES, 2010). 28 AUTOATIVIDADE 1 Calcule a radiciação e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: i) 1/13 = ii) 201/2 = iii) 2,611/5 = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 0,0769; ii= 4,4721; iii= 1,2115. b) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. c) ( ) i= 0,0076; ii= 3,2023; iii= 1,9452. d) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570. 2 Calcule a raiz quadrada e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: a) = b) = c) = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 0,0076; ii= 3,2023; iii= 1,9452. c) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570. d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284 3 Calcule o logaritmo neperiano e apresenta o resultado com 4 casas após a virgula: i) ln30 = ii) ln7 = iii) ln15 = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 3,4012; ii= 1,9459; iii= 2,7081. c) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570. d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284 29 4 Calcule o logaritmo comum e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: i) Log (30) = ii) Log (7) = iii) Log (15) = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 3,4011; ii= 1,9459; iii= 2,7081. c) ( ) i= 1,4771; ii= 0,8451; iii= 1,1761 d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284 5 Calcule o logaritmo comum e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: i) 73,8 = ii) 7-3,8 = iii) (-5)6 = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 1.626,9438; ii= 0,0006; iii= 15.625,0000 c) ( ) i= 3.872,4011; ii= 1.9023,9459; iii= 22.450,5082. d) ( ) i= 17.321,9788; ii= 0,0500; iii= 2.452,0001 6 Normalmente, é necessário realizar mais de uma operação sequencial para realizar cálculos financeiros. De forma a facilitar os cálculos e desenvolvê-los sem o uso dos parênteses, a HP12C trabalha com o sistema RPN (Reverse Polish Notation) ou Notação Polenesa Reversa. Na versão Platium da HP12C, a calculadora apresenta a possibilidade de operações no sistema algébrico, denominado de ALG. Descreva a diferença entre os modos ALG e RPN. 7 Para realizar o teste de automático de circuitos, siga os seguintes comandos: com a calculadora desligada, aperte a tecla com sinal de multiplicação X, mantenha a tecla pressionada enquanto liga a calculadora na tecla ON e, em seguida, solte a tecla X. Descreva para que serve o teste automático de circuitos. 30 31 TÓPICO 3 - CÁLCULOS DE PORCENTAGEM E CALENDÁRIO 1 INTRODUÇÃO De acordo com Castanheira e Macedo (2020), uma porcentagem de 1% é quando dividimos o inteiro em 100 partes iguais e levamos em consideração apenas umas dessas partes. É possível representar essa análise da seguinte forma: 1/100, que é chamado de razão centesimal ou de razão porcentual, e lemos “um por cento”. Continuando com pensamento de Castanheira e Macedo (2020), é utilizado o símbolo % de forma a simbolizar a porcentagem. Com relação às funções da HP12C voltadas para o calendário, existem funções que permitem o cálculo do número de dias entre duas datas, assim como outras funções que proporcionam determinar a qual dia da semana está relacionada a determinada data. Por exemplo, se você não sabe o dia da semana que nasceu, com a HP12C você irá descobrir, e se já sabe o dia da semana que nasceu, poderá confirmar ou mesmo calcular a data de quaisquer pessoas ou dado histórico. Caro acadêmico, no Tópico 3, abordaremos primeiramente a porcentagem e funções atribuídas a ela, por meio da tecla % da HP12C. Em seguida, analisaremos a função diferença percentual, por meio da tecla ∆%, da HP12C. Por fim, estudaremos a percentagem do total, por meio da tecla %T, da HP12C. Com relação à função de calendário, analisaremos primeiramente o formato de data e como configurar a calculadora, por meio da tecla DATE. Em seguida, estudaremos datas futuras ou passadas. Por fim, abordaremos número de dias entre datas por meio da tecla ∆DYS. UNIDADE 1 2 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM O termo “por cento” significa “emcem”. Na matemática, porcentagens são usadas como frações, decimais e como forma de descrever partes de um todo. Quando se está usando porcentagens, considera-se que o todo é composto por cem (SAMANEZ, 2010). O símbolo “%” é usado para mostrar que um número é uma porcentagem. A porcentagem está em quase todos os lugares: em lojas, na internet, em anúncios e na mídia. Compreender o que as porcentagens significam é uma habilidade essencial que potencialmente economizará tempo e dinheiro (VANNUCCI, 2017). 32 Caro acadêmico, a calculadora HP12C disponibiliza essas três teclas para solucionar problemas com percentagens: % , ∆%, e %T. Vamos ver a seguir como funciona cada uma dessas funções. 2.1 PORCENTAGENS – % Para sabermos o valor recebido ou descontado de uma quantia que tem um desconto ou acréscimo com base em percentual, utilizamos a tecla %. A forma de calcu- lar o valor recebido ou descontado pela aplicação do percentual na HP12C é a seguinte: 1. Digite o número base. 2. Aperte ENTER. 3. Digite a percentagem. 4. Aperte % . Exemplo 1 a) Um cliente comprou uma camisa no valor de R$ 250,00 e irá ganhar 18% de desconto pelo pagamento à vista. Qual o valor do desconto no pagamento à vista? Resolução: 250 ENTER 18 % Resposta no visor: 45,00 (ou seja, R$ 45,00 recebidos de desconto) Exemplo 2 b) Um prestador de serviços prestou um serviço no valor de R$ 5.000 e precisa recolher (pagar) o imposto de ISS (imposto do serviço) de 2,25%. Qual valor do ISS que ele precisa recolher (pagar)? Resolução: 5.000 ENTER 2,25 % Resposta no visor: 112,5 (ou seja, R$ 112,50) Exemplo 3 c) Um vendedor efetuou a venda de um terreno no valor de R$ 450.000,00 e receberá 6% de comissão sobre a venda. Qual o valor de comissão sobre esta venda? 33 Resolução: 450.000 ENTER 6 % Resposta no visor: 27.000,00 (ou seja, R$ 27.000,00) 2.2 DIFERENÇA PERCENTUAL – ∆% A tecla ∆% é usada para mostrar em percentual a diferença entre dois números. Na calculadora HP12C, a forma para se chegar nesse resultado é a seguinte: 1. Digite o número base. 2. Aperte ENTER para separar o outro número do número base. 3. Digite o outro número. 4. Aperte ∆%. Interpretação: Se o número for maior que o número base, a diferença percentual será positiva. Se o número for menor que o número base, a diferença percentual será negativa. Dessa forma, uma resposta positiva indica um aumento, enquanto uma resposta negativa indica uma redução. Se você̂ estiver calculando a diferença percentual no tempo, o número base é, normalmente, o valor que ocorre primeiro. A tecla ∆% pode ser usada para saber o aumento do valor que um determinado produto sofreu com o tempo em forma de percentual. Vejamos: Exemplo 4 Ontem o valor das ações de um investidor caiu de R$ 70,60, para R$ 63,10. Qual é a diferença percentual desses valores? 70,6 ENTER 63,10 ∆% Resposta no visor: -10,62 (ou seja, uma queda de quase 11%) Exemplo 5 Um produto no atacado custa R$ 115,00, e no varejo, o mesmo produto custa R$ 210,00, qual a diferença percentual entre os valores? 115 ENTER 210 ∆% Resposta no visor: 82,61 (ou seja, 82,61%) 34 2.3 PORCENTAGEM DO TOTAL – %T A tecla porcentagem do total %T proporciona o cálculo para identificar qual é a porcentagem da proporção de um número para outro. Deve-se seguir os seguintes comandos: 1. Calcule o valor total somando os valores individuais, como em um cálculo aritmético complexo. 2. Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja achar. 3. Aperte %T . Caro acadêmico, vamos praticar: Exemplo 6 Quanto corresponde, em percentual, R$ 30,00 em relação a R$ 400,00? Resposta: 400 ENTER 30 %T Resposta no visor: 7,5 (ou seja, 7,5%). Comentário: a calculadora considera o valor de R$ 400,00 como sendo o 100% e verifica quanto o valor de R$ 30,00 representa em relação aos R$ 400,00 em percentual. Exemplo 7 Um remédio que é vendido à vista por R$ 950,00 tem R$ 400,00 de impostos embutidos no valor de venda. Quanto representam esses impostos em percentual sobre o preço à vista do remédio? Resposta: 950 ENTER 400 %T Resposta no visor: 42,11 (ou seja, 42,11%). Comentário: a calculadora considera o valor de R$ 950,00 como sendo o 100% e verifica quanto o valor de R$ 400,00 representa em relação aos R$ 950,00 em percentual. Exemplo 8 Em um determinado mês, sua organização teve vendas de R$ 4,74 milhõ es na filial “A”; R$ 5,37 milhões na filial “B”, e R$ 7,82 milhões na filial “C”. Qual percentagem das vendas totais ocorreram na filial “B”? 35 f REG 4,74 ENTER 5,37 + 7,82 + 5,37 %T Resultado no visor: 29,95 (ou seja, quase 30%) Como vimos anteriormente, a HP12C retém o valor calculado na memória. Dessa forma, para calcular qual a porcentagem de outro valor: 1. Pressione CLX para zerar o mostrador. 2. Digite o outro valor. 3. Aperte %T novamente. Por exemplo, para calcular qual percentagem das vendas totais no exemplo anterior ocorreu na filial “A” e qual percentagem ocorreu na filial “C”: Na filial “A”: CLX 4,74 %T Resposta no visor: 26,44 (ou seja, quase 27%). Na filial “C”: CLX 7,82 %T Resposta no visor: 43,61 (ou seja, quase 44%). Para calcular qual percentagem um número é de um total, quando você já sabe o valor total, deve-se efetuar o seguinte comando: 1. Digite o valor total. 2. Aperte ENTER para separar o outro número do número total. 3. Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja calcular. 4. Aperte %T . Por exemplo, suponha que no exemplo anterior você já soubesse que as vendas totais eram de R$ 17,93 milhões e desejasse descobrir qual percentagem do total ocorreu na filial “B”: f REG 17,93 ENTER 5,37 %T Resultado no visor: 29,95 (ou seja, quase 30%) 36 3 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO A matemática financeira, de acordo com Samanez (2010), trabalha com duas formas de calendário: ou com calendário comercial, também chamado de ano comercial, ou com calendário civil, também chamado de ano civil. A seguir, vamos compreender como funciona cada um deles e sua relevância na hora de realizar os cálculos. Calendário comercial ou ano comercial Um ano comercial é um período de 360 dias, composto por 12 meses de 30 dias cada, e que é usado por algumas empresas e organizações sem fins lucrativos para rastrear internamente as alterações nas contas. As diferenças no número de dias em cada mês do calendário são ajustadas para que as comparações de vendas, despesas etc. sejam mais fáceis de fazer (SAMANEZ, 2010). Segundo Jacques (2010), cada ano civil vai de 1º de janeiro a 31 de dezembro, e alguns meses contêm mais dias do que outros. Essas variações podem ser problemáticas para as empresas que desejam ou precisam acompanhar as operações ao longo do ano, principalmente porque um mês de 31 dias não pode ser imediatamente comparado a um de 28 dias. Wakamatsu (2012) afirma que tais questões podem ser contornadas empregando um modelo de ano comercial. Sob esse formato, cada mês do ano consiste em 30 dias, e se torna muito mais fácil para as empresas compararem o desempenho e as despesas mensais, assim como projetar números futuros e avaliar e gerenciar estoques (todos os produtos acabados ou materiais usados na produção que foram armazenados). Conforme Castanheira (2012), embora seja verdade que uma análise de incrementos de uma semana ou mesmo diários possa ser realizada para ajustar as diferenças nos dias do mês, o período de 30 dias é o preferido porque suaviza o ruído de curto prazo. Outro benefício do ano comercial é que ele não precisa seguir a data de início e término do ano civil e pode ser modificado para melhor atender às necessidades de uma empresa (CASTANHEIRA, 2012). Calendário ou ano civil Um ano civil é um período de um ano que começa em 1º de janeiro e termina em 31 de dezembro, também chamado de calendário gregoriano, que é comumente usado (VANNUCCI, 2017). Samanez (2010) afirma que, para fins de tributação de pessoas físicas e jurídicas, o ano civil geralmente coincide com o ano fiscal e, portanto, geralmente compreende
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