livro (4)

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Indaial – 2022
Financeira
Prof. Fernando Eduardo Cardoso
2a Edição
MateMática
Elaboração:
Prof. Fernando Eduardo Cardoso
Copyright © UNIASSELVI 2022
 Revisão, Diagramação e Produção: 
Equipe Desenvolvimento de Conteúdos EdTech 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada pela equipe Conteúdos EdTech UNIASSELVI
Impresso por:
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI.
Núcleo de Educação a Distância. CARDOSO, Fernando Eduardo.
Matemática Financeira. Fernando Eduardo Cardoso. Indaial - SC: UNIASSELVI, 
2022.
198p.
ISBN 978-85-515-0582-3
ISBN Digital 978-85-515-0576-2
“Graduação - EaD”.
1. Matemática 2. Financeira 3. Juros
CDD 650.015
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
Esse livro está organizado em três unidades e seus respectivos tópicos. Na Unidade 
1, abordaremos os princípios básicos da matemática financeira. A partir desse norte, vamos 
estudar algumas terminologias, como: valor presente do capital (PV); taxa de juros (i); 
número de períodos de capitalização (n); tempo (t); valor futuro do capital (VF). Na sequência, 
analisaremos o diagrama das operações financeiras, estudando os fluxos de caixa, tanto na 
visão do tomador de decisão, quanto do ponto de vista do cliente/consumidor.
Na Unidade 2, abordaremos inicialmente as taxas de juros, analisando o valor do 
dinheiro no tempo, diferentes conceitos e tipos de juros e taxa proporcional. Em seguida, 
abordaremos os juros simples, em que analisaremos juros simples ordinários, juros exatos 
e montante com base nos juros exatos. Na sequência, falaremos acerca do cálculo do 
montante, em que analisaremos conceitos de montante e diferentes formas de cálculos. 
Na Unidade 3, abordaremos primeiramente juros compostos, inflação versus 
deflação, taxas equivalentes nos juros compostos, cálculos e conceitos de juros 
compostos. Em seguida, analisaremos serie de pagamentos, em que abordaremos 
empréstimos parcelados, tipos de series de pagamentos, cálculo do antecipado e 
cálculo do postecipado. Por fim, abordaremos os planos de amortização de empréstimos 
e financiamentos, me que vamos ponderar conceitos de amortização, cronograma de 
amortização, sistema de amortização e cálculo do sistema de amortização constante e 
sistema de amortização francês. 
Bons estudos!
Profª. Ketlin Saleski
APRESENTAÇÃO
Olá, acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você – e 
dinamizar, ainda mais, os seus estudos –, nós disponibilizamos uma diversidade de QR Codes 
completamente gratuitos e que nunca expiram. O QR Code é um código que permite que você 
acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar 
essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só 
aproveitar essa facilidade para aprimorar os seus estudos.
GIO
QR CODE
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No livro didático, você encontrará blocos com informações 
adicionais – muitas vezes essenciais para o seu entendimento 
acadêmico como um todo. Eu ajudarei você a entender 
melhor o que são essas informações adicionais e por que você 
poderá se beneficiar ao fazer a leitura dessas informações 
durante o estudo do livro. Ela trará informações adicionais 
e outras fontes de conhecimento que complementam o 
assunto estudado em questão.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos 
os acadêmicos desde 2005, é o material-base da disciplina. 
A partir de 2021, além de nossos livros estarem com um 
novo visual – com um formato mais prático, que cabe na 
bolsa e facilita a leitura –, prepare-se para uma jornada 
também digital, em que você pode acompanhar os recursos 
adicionais disponibilizados através dos QR Codes ao longo 
deste livro. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura 
interna foi aperfeiçoada com uma nova diagramação no 
texto, aproveitando ao máximo o espaço da página – o que 
também contribui para diminuir a extração de árvores para 
produção de folhas de papel, por exemplo.
Preocupados com o impacto de ações sobre o meio ambiente, 
apresentamos também este livro no formato digital. Portanto, 
acadêmico, agora você tem a possibilidade de estudar com 
versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.
Preparamos também um novo layout. Diante disso, você 
verá frequentemente o novo visual adquirido. Todos esses 
ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos 
nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, 
para que você, nossa maior prioridade, possa continuar os 
seus estudos com um material atualizado e de qualidade.
ENADE
LEMBRETE
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma 
disciplina e com ela um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conheci-
mento, construímos, além do livro que está em 
suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, 
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da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementa-
res, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de 
auxiliar seu crescimento.
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dos meios avaliativos dos cursos superiores no sistema federal de 
educação superior. Todos os estudantes estão habilitados a participar 
do ENADE (ingressantes e concluintes das áreas e cursos a serem 
avaliados). Diante disso, preparamos um conteúdo simples e objetivo 
para complementar a sua compreensão acerca do ENADE. Confi ra, 
acessando o QR Code a seguir. Boa leitura!
SUMÁRIO
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................. 1
TÓPICO 1 - FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ...............................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................3
2 MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................................3
2.1. APLICAÇÕES PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................................4
2.2 USABILIDADE PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................... 6
3 TERMINOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ...............................................................6
3.1 VALOR PRESENTE DO CAPITAL (PV) ................................................................................................7
3.2 TAXA DE JUROS (I) ...............................................................................................................................7
3.3 NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n) OU TEMPO (t) ...............................................8
3.4 VALOR FUTURA DO CAPITAL (VF) ....................................................................................................8
4 DIAGRAMA DAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS ...................................................................8
RESUMO DO TÓPICO 1 ..........................................................................................................11
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................. 12
TÓPICO 2 - CALCULADORA FINANCEIRA HP12C .............................................................. 15
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 15
2 FUNCIONALIDADES DA HP12C ........................................................................................ 16
2.1 LIGAMENTO E DESLIGAMENTO DA CALCULADORA HP12C ......................................................17
2.2 TESTE DE FUNCIONAMENTO DE CIRCUITOS ...............................................................................17
2.3 TECLADO ..............................................................................................................................................18
2.4 INSERINDO NÚMEROS ....................................................................................................................... 18
2.5 SEPARADORES DE DÍGITOS ............................................................................................................. 19
2.6 NÚMEROS NEGATIVOS ...................................................................................................................... 19
2.7 AS TECLAS ”CLEAR” (APAGAR) ....................................................................................................... 19
2.8 CONFIGURAÇÃO DE CASAS DECIMAIS .........................................................................................20
2.9 REGISTROS DE ARMAZENAMENTO .................................................................................................21
2.10 MODO DE OPERAÇÃO ......................................................................................................................22
2.11 ESTADO “C” – STO EEX .....................................................................................................................23
2.12 MODO DE PAGAMENTO - BEG END .............................................................................................24
3 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ............................................................................................... 24
3.1 RADICIAÇÃO/ RECIPROCIDADE .......................................................................................................24
3.2 RAIZ QUADRADA ................................................................................................................................24
3.3 LOGARITMO .........................................................................................................................................25
3.4 POTENCIAÇÃO .....................................................................................................................................25
RESUMO DO TÓPICO 2 .........................................................................................................27
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 28
TÓPICO 3 - CÁLCULOS DE PORCENTAGEM E CALENDÁRIO ............................................ 31
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 31
2 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM .......................................................................................... 31
2.1 PORCENTAGENS – % ..........................................................................................................................32
2.2 DIFERENÇA PERCENTUAL – ∆% .....................................................................................................33
2.3 PORCENTAGEM DO TOTAL – %T .....................................................................................................34
3 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO ............................................................................................ 36
3.1 FORMATO DE DATA ............................................................................................................................. 37
3.2 DATAS FUTURAS OU PASSADAS - DATE .....................................................................................39
3.3 NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS - ∆DYS ..................................................................................... 41
RESUMO DO TÓPICO 3 ........................................................................................................ 44
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 45
TÓPICO 4 - INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTO.......... 49
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 49
2 MÉTODO PARA INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ....................................................................................... 49
3 NOÇÕES DE JUROS SIMPLES .......................................................................................... 51
4 NOÇÕES DE JUROS COMPOSTOS .................................................................................. 53
LEITURA COMPLEMENTAR ................................................................................................ 58
RESUMO DO TÓPICO 4 ........................................................................................................ 64
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 65
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................67
UNIDADE 2 — SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .................................................... 69
TÓPICO 1 — TAXA DE JUROS ............................................................................................... 71
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 71
2 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ..................................................................................... 71
3 JUROS ...............................................................................................................................73
4 TAXA PROPORCIONAL ......................................................................................................75
RESUMO DO TÓPICO 1 .........................................................................................................79
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 80
TÓPICO 2 - JUROS SIMPLES .............................................................................................. 83
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 83
2 JUROS SIMPLES ORDINÁRIOS (CALENDÁRIO COMERCIAL)........................................ 84
2.1 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES ORDINÁRIO PELAS FÓRMULAS ............................................86
2.2 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES PELA CALCULADORA HP12C ................................................87
2.3 EXEMPLOS E RESOLUÇÃO .............................................................................................................. 88
3 JUROS EXATOS (CALENDÁRIO CIVIL) E MONTANTE COM BASE NO JUROS EXATOS ........ 91
3.1 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES PELAS FÓRMULAS ...................................................................92
3.2 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES EXATOS PELA CALCULADORA HP12C ................................92
3.3 EXEMPLOS E RESOLUÇÃO ...............................................................................................................93
RESUMO DO TÓPICO 2 .........................................................................................................96
AUTOATIVIDADE ..................................................................................................................97
TÓPICO 3 - CÁLCULO DO MONTANTE ................................................................................99
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................99
2 MONTANTE ........................................................................................................................99
2.1 CÁLCULO DO MONTANTE PELAS FÓRMULAS..............................................................................99
2.2 CÁLCULO DO MONTANTE PELA CALCULADORA HP12C ........................................................100
2.3 EXERCICIO E RESOLUÇÃO .............................................................................................................100RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................................105
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................106
TÓPICO 4 - OPERAÇÕES BANCÁRIAS ..............................................................................109
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................109
2 OPERAÇÕES BANCÁRIAS ..............................................................................................109
3 DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO ........................................................................ 110
3.1 CÁLCULO DO DESCONTO COMERCIAL PELA FÓRMULA ..........................................................114
3.2 CÁLCULO DO DESCONTO COMERCIAL PELA HP12C ................................................................115
3.3 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................115
4 ANTECIPAÇÃO DE RECEBÍVEIS .....................................................................................120
4.1. MÉDIA PONDERADA ......................................................................................................................... 123
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................126
RESUMO DO TÓPICO 4 .......................................................................................................132
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................133
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................136
UNIDADE 3 — SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ...............................................139
TÓPICO 1 — JUROS COMPOSTOS ...................................................................................... 141
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 141
2 INFLAÇÃO VS. DEFLAÇÃO ..............................................................................................142
2.1 INFLAÇÃO ............................................................................................................................................ 143
2.2 DEFLAÇÃO ..........................................................................................................................................144
3 TAXAS EQUIVALENTES NOS JUROS COMPOSTOS ..................................................... 144
3.1 CÁLCULO DE CAPITALIZAÇÃO ....................................................................................................... 145
3.2 CÁLCULO DESCAPITALIZAÇÃO .....................................................................................................146
4 JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................... 147
4.1 PERIODO DE JUROS COMPOSTOS ................................................................................................148
4.2 COMO OS JUROS COMPOSTOS SÃO CALCULADOS ................................................................ 149
4.3 CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE ................................................................ 149
4.4 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL INICIAL ..................................................150
4.5 CÁLCULO DA TAXA (i) .......................................................................................................................151
4.6 CÁLCULO DO TEMPO ( n ) .............................................................................................................. 152
RESUMO DO TÓPICO 1 .......................................................................................................154
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................155
TÓPICO 2 - SÉRIE DE PAGAMENTO .................................................................................. 157
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 157
2 EMPRÉSTIMOS PARCELADOS .......................................................................................158
3 TIPOS DE SÉRIES DE PAGAMENTO ................................................................................160
4 CÁLCULO DO ANTECIPADO ........................................................................................... 161
5 CÁLCULO DO POSTECIPADO .........................................................................................162
RESUMO DO TÓPICO 2 .......................................................................................................163
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................164
TÓPICO 3 - PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .......165
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................165
2 INTRODUÇÃO À AMORTIZAÇÃO .....................................................................................166
2.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS ................................................................................................ 166
2.2 AMORTIZAÇÃO DE ATIVOS INTANGÍVEIS .....................................................................................167
2.3 A IMPORTANCIA DA AMORTIZAÇÃO ..............................................................................................167
2.4 DIFERENÇA ENTRE AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃO ..............................................................167
3 CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................168
3.1 ENTENDENDO OS CRONOGRAMAS DE AMORTIZAÇÃO ...........................................................168
3.2 MÉTODOS PARA CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO ............................................................... 169
4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ..........................................................................................170
4.1 SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO .................................................................................................. 171
4.2 SISTEMA DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS ....................................................................................... 171
4.3 SISTEMA AMERICANO ..................................................................................................................... 172
4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ...................................................................... 173
4.5 SISTEMA PRICE (SISTEMA FRANCÊS) ......................................................................................... 174
4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) ................................................................................. 174
4.7 SISTEMA ALEMÃO ............................................................................................................................. 175
5 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) E SISTEMA 
 DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)........................................................................... 175
5.1 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ..............................................176
5.2 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) ..............................................181
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................188
RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................................194
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................195REFERÊNCIAS .................................................................................................................... 197
1
UNIDADE 1 -
INTRODUÇÃO À 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• entender conceitos, símbolos e terminologias da matemática fi nanceira;
• compreender os regimes de juros simples e compostos;
• realizar cálculos na calculadora HP12C;
• conhecer as principais funções da HP12C;
A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de 
reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
TÓPICO 2 – CALCULADORA FINANCEIRA HP12C
TÓPICO 3 – CALCULOS DE PORCENTAGEM E CALENDÁRIO 
TÓPICO 4 – INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTO
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
2
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 1!
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3
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
1 INTRODUÇÃO
A matemática financeira, de acordo com Jacques (2010), é uma área aplicada 
da Matemática que estuda o comportamento de capitas no tempo. Em outras palavras, 
como o valor do dinheiro de comporta no decorrer do tempo. Para o autor, essa área 
estuda questões que fazem parte do dia a dia das pessoas, como, por exemplo, emprés-
timos, renegociação de débitos ou mesmo cálculo do valor de um desconto recebido, 
por isso estudar matemática financeira é tão importante.
O conhecimento em matemática financeira, mesmo que seja básico, já é capaz 
de auxiliar em alguma tomada de decisão que envolva finanças, tanto no que diz respeito 
ao meio organizacional como familiar.
Neste capítulo, vamos iniciar estudando princípios básicos da matemática 
financeira. A partir desse norte, vamos estudar algumas terminologias, como Valor 
presente do capital (PV); Taxa de juros (i); Número de períodos de capitalização (n); 
tempo (t); e Valor futuro do capital (VF). Na sequência, analisaremos o diagrama das 
operações financeiras, estudando os fluxos de caixa tanto na visão do tomador de 
decisão como do ponto de vista do cliente/consumidor.
TÓPICO 1 - UNIDADE 1
2 MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira, conforme Wakamatsu (2012), é uma ferramenta 
bastante utilizada no dia a dia das pessoas, seja em operações simples, como um 
desconto em uma compra realizada, até em situações mais complexas, como na 
aplicação de juros de um empréstimo bancário. Para o autor, em ambas as formas, um 
mínimo de conhecimento já pode ser bastante útil, porém, quanto mais profundo for 
o entendimento sobre as questões ligadas à matemática financeira, mais liberdade as 
pessoas têm para operar, tanto em questões profissionais como em decisões pessoais. 
Como vimos anteriormente, segundo Castanheira (2010), a matemática financeira 
é uma área aplicada da matemática, sua abordagem é baseada em ferramentas como 
estatística, probabilidade e economia. Algumas organizações atuam sob a ótica da 
matemática financeira, como instituições de investimentos, comerciais, companhias de 
seguros, agências reguladoras, dentre outras, as quais apoiam na matemática financeira 
seus gerenciamentos de riscos, simulação de cenários e estruturação de portfólios.
4
Um exemplo disso, de acordo com Vannucci (2017), é que a análise quantitativa 
trouxe eficiência e rigor aos mercados financeiros e ao processo de investimento, e está 
se tornando cada vez mais importante em questões regulatórias. Sendo assim, de forma 
simples, podemos dizer que a matemática financeira consiste em aplicar a matemática 
para resolver problemas financeiros, tanto de modelagem de mercados, como em análise 
de dados financeiros, tornando ela uma área importante da matemática (VANNUCCI, 2017). 
2.1. APLICAÇÕES PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aprender matemática financeira, conforme Samanez (2010), normalmente 
inclui a compreensão de fórmulas financeiras, funções, sistemas de equações, frações, 
modelagem e outras habilidades matemáticas. Há algumas áreas que utilizam a 
matemática financeira para análise de dados e resolução de problemas. A seguir, vamos 
estudar como ela se aplica em outras áreas:
Gerenciamento de riscos
O uso da matemática financeira pode ajudar a identificar e gerenciar os riscos 
financeiros. Os analistas financeiros costumam usar matemática financeira para analisar 
dados de mercado, encontrar padrões em dados e prever riscos. Os riscos financeiros 
podem ser classificados como:
• Risco de mercado: segundo Gimenes (2009), o risco de mercado refere-se aos 
riscos financeiros no mercado-alvo da empresa, incluindo mudanças de mercado. 
Para o autor, a matemática financeira pode ajudar as empresas a analisar seu 
mercado-alvo e prever mudanças para reduzir riscos.
• Risco operacional: segundo Jacques (2010), o risco operacional inclui riscos que surgem 
de fatores internos de uma empresa, incluindo processos e funcionários, bem como 
eventos externos que afetam as operações. Para o autor, a matemática financeira pode 
ajudar as empresas a analisar suas finanças para se preparar e mitigar o risco operacional.
• Risco de crédito: segundo Barros (2014), o risco de crédito refere-se aos riscos asso-
ciados a empréstimos e contratos, incluindo a incapacidade de pagar empréstimos ou 
cumprir contratos. Para o autor, as empresas podem usar a matemática financeira para 
tomar decisões inteligentes sobre empréstimos e contratos para reduzir o risco de crédito.
• Risco de liquidez: segundo Barros (2014), o risco de liquidez inclui riscos de financiamento 
de curto e longo prazo que podem fazer com que uma empresa não consiga cumprir 
os custos financeiros. Para o autor, ao analisar seus orçamentos e prever despesas, as 
empresas podem usar a matemática financeira para ajudar a reduzir o risco de liquidez.
Mineração de dados
Para Jacques (2010), a mineração de dados é o processo de identificar padrões 
e anomalias nos dados para fazer previsões. Há muitos usos para mineração de dados, 
incluindo gerenciamento de riscos financeiros, redução de despesas e muito mais. 
Conforme Barros (2014), a mineração de dados também é usada em vários setores, 
incluindo seguros, manufatura, bancos, tecnologia, varejo e muitos outros
5
Negociação de ações
Para Vanucci (2017), a negociação de ações é a compra e venda de ações em 
um esforço para capitalizar os mercados em mudança. Compreender a matemática 
financeira pode ajudar os traders a analisar dados financeiros para fazer previsões e 
escolher as ações certas para comprar e vender.
Econometria
A econometria envolve o uso de habilidades em matemática financeira e estatística 
para ajudar a analisar e interpretar dados econômicos para prever tendências futuras do 
mercado. A econometria pode ajudar as empresas a planejar seu futuro, incluindo como elas 
determinam e alocam seus orçamentos (VANNUCCI, 2017). Normalmente, a econometria se 
concentra nas relações entre dados financeiros e variáveis (BARROS, 2014).
Previsão
A previsão consiste em usar dados existentes para gerar previsões sobre eventos 
futuros, incluindo vendas, demanda e outros fatores de mercado. Existem muitos tipos 
de previsão, incluindo previsão qualitativa e quantitativa (JACQUES, 2010). De acordo 
com Wakamatsu (2012), a previsão é uma forma de ajudar as empresas a tomar decisões 
financeiras inteligentes que podem contribuir para seu sucesso geral.
Marketing
A matemática financeira também pode auxiliar nas estratégias de marketing de 
uma organização. Ao prever a demanda do mercado, você pode determinar quando deve 
lançar campanhas de marketing e quais produtos deve comercializar mais (GIMENES, 
2009). Isso pode permitir que você crie estratégias de marketing eficazes que tenham o 
maior impacto possível.
Gestão de inventário
A matemática financeira também é útil na gestão de estoques, isso porque a 
previsão da demanda do mercadopode permitir que você determine quanto estoque 
manter disponível e quando você precisa aumentar seu estoque. Existem muitos métodos 
de gerenciamento de estoque, e a compreensão da matemática financeira pode ajudar 
os gerentes de estoque a tomar decisões de negócios inteligentes (GIMENES, 2009).
Estratégias de investimento
A matemática financeira também pode ser aplicada a estratégias de investi-
mento, uma vez pode auxiliar na compreensão de como analisar dados e fazer pre-
visões, ajudando a fazer investimentos inteligentes. Muitas vezes, os banqueiros de 
investimento usam matemática financeira para fazer investimentos inteligentes e ge-
renciar portfólios.
6
2.2 USABILIDADE PARA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Como vimos, a matemática financeira está relacionada a diversas áreas, conse-
quentemente, pessoas em muitas funções e instituições utilizam dela em suas funções. 
As instituições que usam matemática financeira podem incluir bancos comerciais e de 
investimento, companhias de seguros e muito mais (BARROS, 2014). Pessoas em mui-
tas carreiras também usam matemática financeira, como (GIMENES, 2009):
• Analistas financeiros: segundo Jacques (2010), os analistas financeiros são 
responsáveis por analisar dados financeiros para identificar potenciais oportunidades 
ou riscos financeiros. Para o autor, os analistas financeiros geralmente têm diplomas 
em matemática ou finanças.
• Cientistas de dados: segundo Castanheira (2010), os cientistas de dados são res-
ponsáveis por analisar uma variedade de dados para identificar padrões e tendên-
cias. Para o autor, os cientistas de dados geralmente são formados em matemática, 
estatística, ciência da computação ou economia.
• Analistas de inteligência de negócios: segundo Vannucci (2017), um analista 
de inteligência de negócios é um profissional financeiro que analisa dados para 
preparar relatórios financeiros que podem ajudar as empresas a usar padrões 
e tendências para tomar decisões. Para o autor, os analistas de inteligência de 
negócios geralmente são formados em administração de empresas, ciência da 
computação ou estatística.
• Banqueiros: segundo Samanez (2010), os banqueiros são responsáveis por ajudar 
os clientes a tomar decisões financeiras, incluindo poupança e investimento. 
Para o autor, muitas vezes, os banqueiros têm diplomas em finanças, economia, 
contabilidade ou outro grau relacionado a negócios.
3 TERMINOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Podemos entender como operação financeira a troca simultânea de capital 
financeiro, que é acordada entre um credor e um tomador. Para isso, é utilizada de 
uma equivalência na transação, entre um capital e outro. Dessa forma, toda e qualquer 
operação financeira precisa estar estruturada em função do tempo e da taxa de juros, e 
elas são compostas por quatro componentes, que são:
• Valor presente do capital – Representado por (PV).
• Taxa de juros - Representado por (i).
• Número de períodos de capitalização- Representado por (n).
• Valor futuro do capital - Representado por (VF).
É importante que você grave essas representações, pois é comum que nos 
cálculos financeiros essas operações sejam indicadas apenas por meio do símbolo. 
7
Caro acadêmico, a seguir, vamos abordar de forma detalhada cada um dos 
componentes da operação financeira.
3.1 VALOR PRESENTE DO CAPITAL (PV) 
O valor do dinheiro se altera com o tempo, como reflexo das condições do mercado. 
Nesse sentido, para Gimenes (2009) o Valor presente (PV) se refere ao valor inicial de uma 
operação, e está representado no instante “zero”. O valor presente também é chamado por 
outros nomes, como: valor principal (P); capital (C); valor original (O). Nesse sentido, Wakamat-
su (2018) traz como exemplo o valor de uma quantia emprestado de um banco para financiar 
um carro, o valor disponibilizado como empréstimo pelo banco seria o valor presente.
3.2 TAXA DE JUROS (I) 
A taxa de juros periódica (I) vem do termo do inglês “interest rate”, cuja tradução 
é “taxa de juros”, e corresponde ao montante aplicado em uma determinada quantia pelo 
período de capitalização (GIMENES, 2010). Gimenes (2010) nos traz também que a forma 
de incidência da taxa de juros pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal, bimestral, 
trimestral, quadrimestral, semestral, anual, dentre outras. A aplicação da taxa de juros é 
expressa em forma de percentual, por exemplo, “7%” ou “24%”. Ainda, Wakamatsu (2018) 
e Gimenes (2010) afirmam que letra “i” (minúscula) indica que a taxa “I” foi dividida por 
cem, por exemplo 0,05 (“I” de 5% é mesmo que um “i” de 0,05).
Caro acadêmico, o objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta 
didática desenvolvida e utilizada com o intuito de apresentar ao acadêmico 
um determinado tema e articular atividades relacionadas a ele, atendendo 
ao princípio norteador da UNIASSELVI, de que “não basta saber, é preciso 
saber fazer”. Dessa forma, nosso Objeto de Aprendizagem será composto 
por duas etapas: uma contendo a apresentação do conteúdo, e a outra 
contendo as atividades práticas relacionadas a ele.
 
Segue o link do objeto de aprendizagem:
- Taxa de juros: https://bit.ly/3qveyKz
Bons estudos!
DICA
8
3.3 NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n) OU 
TEMPO (t) 
O número de período envolvido na operação (n) refere-se ao tempo, e ambos 
devem estar no mesmo período que a taxa de juros (GIMENES, 2010). Para Wakamatsu 
(2018) toda operação ocorre dentro de um determinado período (dias, semanas, meses, 
anos etc.), sendo assim, o número de período (n) também pode ser chamado de tempo (t).
Vamos utilizar o exemplo trazido por Wakamatsu (2018) para compreender 
o que seria número de período. Vejamos: imagine um financiamento de imóveis que 
normalmente se estende por um período longo de 10 anos, 20 anos, 30 anos, dependendo 
do contrato. Nesse caso, usamos “n” para nos referirmos à quantidade de tempo. No 
entanto é válido reforçar que não existe uma regra dizendo se devemos utilizar dias, 
semanas, quinzenas, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres, anos etc. 
como unidade de medida, tudo vai depender do cálculo que desenvolvemos. 
Caro acadêmico, é importante ressaltar que, para cálculos de matemática 
financeira, o tempo e a taxa devem sempre estar no mesmo período. 
Exemplo: se a taxa estiver em meses, o tempo deverá estar em meses. 
Se a taxa estiver em anos, o tempo deverá estar em anos também, ou 
seja, sempre no mesmo período.
IMPORTANTE
3.4 VALOR FUTURA DO CAPITAL (VF)
O valor futuro (VF) é o valor representado no instante “n”, sendo composto de 
amortização mais juros. O valor futuro recebe outras denominações, como: valor de 
resgate, montante (M) e saldo futuro (S) (GIMENES, 2010). Para Wakamatsu (2018), o 
valor futuro refere-se ao resultado da ação dos juros sobre o valor presente (VP). 
4 DIAGRAMA DAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS
O diagrama das operações financeiras nada mais é do que uma representação 
gráfica de uma operação simples que utiliza matemática financeira (GIMENES, 2010). No 
diagrama das operações financeiras, a compreensão de uma situação que aborde valor 
presente, tempo, taxa de juro, pode ser representada em forma de diagrama, chamado 
de fluxo de caixa, e é composto por: linha de tempo, valor de entrada e valores de saída 
(WAKAMATSU, 2018).
9
Os negócios que envolvem juros são compostos por uma “entrada” e por uma 
“saída”, como no caso de um empréstimo bancários em que, de um lado, está o cliente e, 
do outro lado, está a instituição financeira, que repassa o dinheiro (GIMENES, 2010). Para 
Gimenes (2010), em ambos os lados (cliente, instituição financeira) o valor inicial e final 
são os mesmos, o que se diferencia é o fluxo da quantia, se está entrando ou saindo.
Dentre os valores iniciais e finais, segundo Gimenes (2010) e Wakamatsu (2018), 
existe o componente chamado tempo, que é um componente fundamental quando 
falamos de juros, afinal o tempo envolvido é o que vai definir o tamanho da diferença entre 
os valores presente e futuro, ou seja, entreos valores de entrada e saída. O diagrama das 
operações financeiras aborda todos os conceitos de matemática financeira, e precisa 
ser realizado sempre sob duas óticas, também chamadas de agentes: a do tomador e 
do recebedor da operação.
Para Wakamatsu (2018), o tomador do empréstimo, que é o cliente, geralmente 
recebe recursos no início do período, ou seja, no período (instante) “zero”. á o financiador, 
que é a instituição financeira, concede o empréstimo para recebê-lo mais tarde, em um 
período futuro, mediante o acréscimo dos juros.
Caro acadêmico, veremos, a seguir, uma ilustração para auxiliar na explicação 
do diagrama, baseada em Gimenes (2010) e Wakamatsu (2018):
Um cliente pega R$ 1.000,00 emprestado de uma instituição financeira, devendo 
pagar a importância de R$ 1.100,00 ao término do período, cujo tempo acordado para 
devolução foi de 5 anos. A seguir, veremos o diagrama dessa operação na visão tomador/
cliente (Figura 1) e na visão da instituição financeira (Figura 2).
FIGURA 1 – VISÃO TOMADOR/CLIENTE
FONTE: o autor
$ 1.000
$ 1.100
1 2
C
3 4 5
10
Como podemos observar na Figura 1, o primeiro círculo (o da esquerda) 
apresenta a seta apontando para cima, isso significa que ela se refere a uma entrada 
de dinheiro. Nesse círculo, discriminamos o valor do início do processo, ou seja, valor 
emprestado da instituição financeira para o cliente, que, no nosso exemplo, é de R$ 
1.000,00 (WAKAMATSU, 2018). 
Em contrapartida, o outro círculo (o da direita) da Figura 1 apresenta a seta 
apontando para baixo, e representa a saída de dinheiro, que no nosso exemplo 
corresponde a R$ 1.100,00, valor este que o tomador precisará devolver no fim da 
operação. Na saída de caixa, ao término do período estipulado, que no caso é 5 anos, o 
tomador do empréstimo/ cliente deverá pagar o valor recebido acrescido dos juros, que 
resultou no valor de R$ 1.100,00, e na visão do tomador de empréstimo é uma saída, ou 
seja, negativo (GIMENES, 2010). 
Entre os dois círculos, temos a linha do tempo, que marca zero na entrada 
e cinco na saída, e é o período pelo qual foi aplicado os juros, ou seja, é o tempo que a 
instituição financeira levará para receber seu dinheiro de volta (WAKAMATSU, 2018).
FIGURA 2 – FLUXO DE CAIXA (VISÃO DA INSTITUIÇÃO FINANCEIRA)
$ 1.000
$ 1.100
1 2 3 4 5
FONTE: o autor
Agora, temos o mesmo exemplo anterior. Utilizando a visão da instituição 
financeira, esse fluxo é uma versão espelhada do gráfico anterior (visão do tomador/
cliente), apresentando valores e tempo exatamente iguais. A diferença está na inversão 
do sentido das setas dos dois círculos, ou seja, o que havia aparecido como entrada 
vem agora como saída, e vice-versa (WAKAMATSU, 2018). Gimenes (2010) explica que a 
instituição financeira está emprestando ao tomador do empréstimo/cliente a quantia de 
R$ 1.000,00, então, para a instituição financeira, existe uma saída de caixa no instante 
zero e uma entrada de R$ 1.100,00 depois de 5 anos.
11
Neste tópico, você aprendeu:
• As operações financeiras são compostas por quatro componentes: Valor presente 
do capital (PV); Taxa de juros por período de capitalização (i); Número de períodos 
de capitalização (n), ou tempo (t); Valor futuro do capital (VF). 
• O Valor presente (PV) refere-se ao valor inicial de uma operação e está representado 
no instante “zero”. 
• A taxa de juros periódica (I) vem do termo do inglês interest rate – taxa de juros.
• O número de período envolvido na operação (n) refere-se ao tempo que deve estar 
no mesmo período (em acordo) com a taxa de juros.
• Valor futuro (VF) é represento no instante n, sendo composto de amortização mais 
juros.
• O valor futuro recebe outras denominações, como: valor de resgate, montante (M) 
e saldo futuro (S).
• O diagrama das operações financeiras, nada mais é do que uma representação 
gráfica de uma operação simples que utiliza matemática financeira.
RESUMO DO TÓPICO 1
12
AUTOATIVIDADE
1 No diagrama das operações financeiras, a compressão de uma situação que aborde 
valor presente, tempo, taxa de juro pode ser representada em forma de diagrama, 
chamado de fluxo de caixa, e é composto por: linha de tempo, valor de entrada e 
valores de saída. Conceitue diagrama das operações financeiras.
2 O valor presente refere-se ao ponto de partida da operação. Como exemplo, podemos 
citar o caso do dinheiro pego emprestado de um banco para financiar um carro ou 
casa. Esse valor pego no banco seria o valor presente, também chamado de capital. 
Conceitue valor presente.
3 Toda e qualquer operação financeira, precisa estar estruturada em função do tempo 
e de da taxa de juros. Existem quatro componentes fundamentais nas operações 
financeiras. Sobre os componentes das operações financeira, analise as sentenças a 
seguir:
I- Valor presente do capital (PV).
II- Taxa de juros por período de capitalização (i).
III- Valor de inflação (VI).
IV- Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t).
V- Valor futuro do capital (VF).
IV- Taxa de desconto (TxD).
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As sentenças II, III e V estão corretas.
b) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas.
c) ( ) As sentenças III, IV e V estão corretas.
d) ( ) As sentenças I, II, IV e V estão corretas. 
4 Os negócios que envolvem juros são compostos por uma “entrada” e por uma “saída”, 
como no caso de um empréstimo bancário, em que de um lado está o cliente e, do outro 
lado, está a instituição financeira, que repassa o dinheiro. Com base nos componentes 
das operações financeiras, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Valor presente do capital (PV).
II- Taxa de juros por período de capitalização (i).
III- Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t).
IV- Valor futuro do capital (VF).
13
( ) Vem do termo do inglês (interest rate), refere-se à taxa de juros cobrado por período 
de capitalização.
( ) Refere-se ao valor inicial de uma operação, e está representado no instante “zero”. 
( ) O valor futuro é representado no instante n, sendo composto de amortização mais 
juros.
( ) Refere-se ao tempo que deve estar no mesmo período (em acordo) com a taxa de 
juros.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) II – I – IV – III
b) ( ) III – IV – II – I
c) ( ) I – III – II – IV
d) ( ) IV – I – III – II 
5 Toda e qualquer operação financeira precisa estar estruturada em função do tempo e 
de da taxa de juros. As operações financeiras são compostas por quatro componentes: 
Valor presente do capital (PV); Taxa de juros (i); Número de períodos de capitalização 
(n), ou tempo (t); Valor futura do capital (VF). Relacionado ao valor futuro, ele recebe 
outras denominações. Sobre as outras denominações do valor futuro, assinale a 
alternativa CORRETA:
a) ( ) Valor de resgate, montante (M), e saldo futuro (S).
b) ( ) Valor principal (P); capital (C); valor original (O).
c) ( ) Número de período (n); tempo (t).
d) ( ) “I” maiúsculo expressa a taxa em percentagem; “i” minúsculo expressa a taxa 
decimais.
14
15
CALCULADORA FINANCEIRA HP12C
1 INTRODUÇÃO
Caro acadêmico, no decorrer deste tópico, você aprenderá a realizar cálculos por 
meio da calculadora HP12C. De acordo com Gimenes (2010), a calculadora HP12C pode 
ser de grande valia no dia a dia, auxiliando nos cálculos fi nanceiros. Com a aprendizado 
deste tópico, você será capaz de realizar cálculos, auxiliando no orçamento familiar, no 
processo de tomada de decisão de compra e venda com relação à forma de pagamento, 
bem como nas aplicações fi nanceiras envolvendo empréstimos, investimentos etc.
Ao longo desses estudos, vamos abordar questões voltadas a cálculos fi nan-
ceiros, compreendo como ocorrem cálculos tanto com a aplicação de fórmulas quanto 
utilizando a HP12C. 
O Guia da HP12C (2004) foi elaborado com intuito de auxiliar no uso e aproveitar o má-
ximo possível das funções da calculadora fi nanceira programável HP12C. O manual apresenta 
16 seções. Para aprofundar aindamais o uso da calculadora, recomendamos a leitura das se-
ções: Seção 1: Começando; Seção 2: Funções de percentagem e calendário; Seção 3: Funções 
fi nanceiras básicas; Seção 5: Características operacionais adicionais; Seção 7: Funções mate-
máticas e de alteração de números. São seções de base, cujos pontos abordaremos neste livro.
Acadêmico, neste Tópico 2, abordaremos funcionalidades da HP12C e estuda-
remos algumas funções, teclas, comandos e modos de operação como: ligamento e 
desligamento da calculadora; teste de funcionamento de circuitos; teclado; entrando 
números; separadores de dígitos; números negativos; a tecla ”clear” (apagar); confi gu-
ração de casas decimais; mudando de ponto para vírgula; registros de armazenamento; 
modo de operação; e outras funções matemáticas.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 -
Caro acadêmico, você pode baixar na internet o “guia do usuário da HP12C 
calculadora fi nanceira”, como também pode baixar o “Guia de inicialização 
rápida da calculadora fi nanceira HP12C”. Dessa forma, você conseguirá 
aprofundar ainda mais o conhecimento e usabilidade da HP12C.
• Lins do Guia de inicialização rápida da calculadora fi nanceira HP12C: 
https://bit.ly/3DfTZcH. Acesso em: 18 ago. 2022.
• Lins do guia do usuário da HP12C calculadora fi nanceira: https://bit.
ly/3U0B6Ay. Acesso em: 18 ago. 2022.
Bons estudos!
DICA
16
2 FUNCIONALIDADES DA HP12C
A calculadora HP12c é muito utilizada em operações que envolvem a matemática 
financeira, pois apresenta uma série de funcionalidades, as quais, quando utilizadas de 
forma correta, podem auxiliar nos cálculos financeiros. Nesse subtópico, aprenderemos 
algumas das principais funções financeiras e de usabilidade da calculadora HP12C.
A calculadora HP12C pode ser um facilitador na hora de realizar cálculos 
financeiros. Apesar de ser possível fazer os cálculos de forma manual com a aplicação 
de fórmulas, a calculadora permite que eles sejam realizados de maneira confiável em 
muito menos tempo. Caso você não possua uma HP12C, é possível utilizar o emulador 
da calculadora financeira no link: https://stendec.io/ctb/rpn_fin.html. 
Ao longo desses estudos, vamos aprender a utilizar duas versões diferentes da 
calculadora HP12C: a “Golden” e a “Platinum”. Nesse primeiro momento, vamos estudar 
os comandos básicos da calculadora, para que em nossos próximos capítulos, quando 
estudarmos as fórmulas, você já tenha um pré-conhecimento de como ela funciona. 
É importante dizer que a diferença entre as duas calculadoras se dá apenas 
pela função algébrica (RPN): a Platinum dispõe, e a Golden, não. De toda forma, essa 
diferença será mais bem exemplificada a seguir. Todos os demais comandos vistos aqui 
funcionam de maneira igual nas duas.
Vamos iniciar pela Golden. A seguir, na Figura 3, está uma representação dela 
que irá nos auxiliar nos próximo tópicos, onde vamos estudar seus comandos. Assim, 
você pode utilizar a imagem para compreender como seria o comando na prática.
FIGURA 3 – EMULADOR DA CALCULADORA FINANCEIRA HP12C (GOLDEN)
FONTE: https://stendec.io/ctb/rpn_fin.html. Acesso em: 17 ago. 2022.
17
FIGURA 4 – TESTE DE FUNCIONAMENTO DE CIRCUITOS
FONTE: Gimenes (2010, p. 55).
2.1 LIGAMENTO E DESLIGAMENTO DA CALCULADORA HP12C 
Para iniciar manualmente o uso da HP12C, aperte a tecla ON . Para desligar a 
calculadora, basta apertar novamente a tecla ON . Caso o usuário da calculadora não a 
desligue manualmente, ela se desligará automaticamente entre 8 e 17 minutos depois 
do último uso.
2.2 TESTE DE FUNCIONAMENTO DE CIRCUITOS 
Um teste automático de circuitos indica se todas as funções e os circuitos da 
calculadora HP12C estão em perfeito funcionamento, que também é uma opção para 
quando se realiza a compra, buscando saber se o aparelho funciona normalmente 
(GIMENES, 2010). 
Para realizar o teste, siga os seguintes comandos: com a calculadora desligada, 
aperte a tecla com sinal de multiplicação X , mantenha a tecla pressionada enquanto 
liga a calculadora na tecla ON e, em seguida, solte a tecla X . 
Se a calculadora estiver em perfeito funcionamento, aparecerá no visor da 
calculadora a seguinte indicação (Figura 4):
Se a calculadora apresentar problema, aparecerá no visor a mensagem “Erro 9” 
ou não aparecerá nada.
Indicador de carga da bateria
O ícone da bateria que aparece no canto superior esquerdo do mostrador quando 
a calculadora está ligada, significa que a bateria está fraca e é necessário substituí-la.
18
2.3 TECLADO
A maioria das teclas da HP12C realizam duas ou até três funções. As funções 
primárias das teclas são marcadas pelos caracteres impressos em branco na sua face 
superior. A funções secundárias das teclas são indicadas pelos caracteres impressos em 
letra dourada acima da tecla e em letra azul na sua face inferior. Essas funções secundárias 
são ativadas pressionando a tecla de prefixo apropriada antes da tecla de função.
FIGURA 5 – TECLAS DE FUNÇÕES DA HP12C
FONTE: adaptado do Guia HP12C (2004)
• De forma a conseguir selecionar a função secundária impressa 
em letra dourada acima de uma tecla, o usuário precisa apertar 
a tecla de prefixo dourada f e, na sequência, a tecla de função.
• De forma a conseguir selecionar a função primária impressa em 
letra branca na face superior de uma tecla, aperte somente a 
tecla.
• De forma a conseguir selecionar a função secundária impressa em 
azul na face inferior de uma tecla, aperte a tecla de prefixo azul g 
 e, na sequência, a tecla de função.
Caro acadêmico, caso você̂ pressione a tecla de prefixo f ou g por engano, é 
possível cancelar o comando apertando f PREFIX. Essa combinação de teclas também 
pode ser usada para cancelar as teclas STO, RCL, e GTO, que veremos mais adiante sobre 
suas funcionalidades. As teclas f ou g são chamadas de prefixo, no sentido que outras 
teclas precisam ser apertadas em seguida para executar a função correspondente.
Acionando a tecla de prefixo f ou g , o indicador de estado correspondente é 
apresentado no mostrador. Os indicadores de estado são desligados em três situações:
• quando você̂ aperta uma tecla de função (executando a função secundária da tecla);
• uma outra tecla de prefixo ( f ou g ); ou
• f PREFIX.
2.4 INSERINDO NÚMEROS
Diferente das calculadoras comuns, a HP12C não tem um botão de virgula, e 
ela insere sozinha o ponto quando forem números maiores que “1.000”, caso o número 
seja menor e você queira utilizar centavos, por exemplo “R$ 100,50”, você deverá inserir 
o ponto decimal antes dos centavos “100.50”. Para inserir número na hora de realizar os 
cálculos, então, basta pressionar as teclas de 0 até 9, na sequência desejada, utilizando 
o ponto decimal ( . ), se for o caso.
19
2.5 SEPARADORES DE DÍGITOS
Como já explicado, a função separadores de digito é representado pela tecla . . 
Ao digitar um valor, a cada três números digitados, a calculadora insere automaticamente 
um ponto decimal como separador. Caso você deseje, é possível configurar a calculadora 
para inserir uma vírgula no lugar do ponto, apesar de não haver essa tecla disponível. 
Para fazer essa inversão, basta desligar a calculadora, apertar e segurar a tecla
 . e apertar e tecla ON simultaneamente. Para reverter, basta realizar essa operação 
novamente, e a calculadora irá para voltar à configuração original de separador de 
dígitos no mostrador.
2.6 NÚMEROS NEGATIVOS
A calculadora apresenta uma tecla para trocar o sinal do valor (se está positivo, 
pode ser transformado para negativo ou vice-versa) no mostrador, que pode ser feito 
tanto para um número que acabou de ser digitado, quanto para um número que resultou 
de um cálculo realizado. Para fazer essa operação, basta pressionar a tecla CHS (do 
inglês CHange the Sign, na tradução livre: “trocar o sinal”). 
Sendo assim, quando o mostrador exibe um número negativo, ou seja, um 
número precedido pelo sinal de menos (-), pressionando CHS será removido o sinal do 
mostrador e o número se torna positivo.
2.7AS TECLAS ”CLEAR” (APAGAR)
É importante dizer que a HP12C possui memória, ou seja, ela armazena os 
cálculos realizados. Após realizar um cálculo, é possível zerar apenas o visor e depois 
restaurar o cálculo anterior, como é possível também deletar da memória os cálculos 
realizados. Existem diversas operações que apagam ou zeram registros na HP12C, todas 
as operações se concentram nas teclas “clear”, como mostrado na Figura 6 a seguir.
20
FIGURA 6 – OPERAÇ Õ ES QUE APAGAM OU ZERAM REGISTROS NA HP12C
FONTE: Guia HP12C (2004, p. 18)
Caro acadêmico, neste livro, não iremos aprofundar o tema de estatística, 
nem mesmo de programação, por ter uma disciplina específi ca para isso, 
e iremos focar nas funções fi nanceiras. Dessa forma, a função de apagar 
ou zerar que iremos usar neste livro é f REG, pois trata-se da função 
de zerando e apagando mais completa, zerando e apagando todos os 
registros de armazenamento de dados, registros fi nanceiros, registros da 
pilha e LAXT X e mostrador.
NOTA
2.8 CONFIGURAÇÃO DE CASAS DECIMAIS
A calculadora HP12C permite confi gurar quantas casas decimais você desejar. 
Para realizar essa confi guração, é preciso estar com a calculadora ligada e pressionar 
a tecla f , e, em seguida, digitar uma tecla numérica com o número de casas que você 
deseja trabalhar.
Exemplo 1 
Para confi gurar a calculadora para duas casas decimais, pressione a tecla f e o 
número 2. No visor, irá aparecer 0,00, ou seja, duas casa após a virgula.
 f 2
Resposta do visor: 0,00
Exemplo 2
Para confi gurar a calculadora para 7 casas decimais, pressione a tecla f e o 
número 7. No visor irá aparecer 0,0000000, ou seja, 7 casa pós a virgula.
 f 7
Resposta do visor: 0,0000000
21
Caro acadêmico, para os cálculos deste livro, confi gure a calculadora para 
nove casas decimais. Dessa forma, ela proporcionará a obtenção de valores 
exatos dos cálculos.
No início de cada cálculo, habitue-se a zerar toda a memória da calculadora. 
Tome isso como hábito, evitando, assim, que o resultado dos cálculos seja 
prejudicado por considerar outros valores constantes na memória da 
HP12C.
DICA
DICA
2.9 REGISTROS DE ARMAZENAMENTO
Os dados advindos de cálculos realizados na HP12C sã o armazenados em 
memórias chamadas de “registros de armazenamento” ou, simplesmente, “registros”. 
A calculadora HP12C disponibiliza até́ 20 registros para que podem ser armazenados 
manualmente a escolha do usuário. Esses registros de armazenamento sã o designados
como “R0” até “R9” e “R.0” a “R.9“, observe que entre os símbolos um contém ponto e outro 
não, e a soma de ambos resulta nos 20 registros permitidos.
Armazenamento e recuperaç ã o de nú meros
Para poder memorizar o cálculo que aparece no mostrador e torná-lo um registro 
de armazenamento de dados, é preciso seguir os seguintes comandos:
1. Aperte STO (armazenar, vem do inglês store).
2. Digite o nú mero do registro: 0 a 9 para os registros de R0 a R9, ou . 0 a . 9 para os 
registros de R.0 a R.9.
Do mesmo modo, para recuperar para um cálculo de um registro de 
armazenamento, basta pressionar a tecla RCL (recuperar, do inglês to recover), e, em 
seguida, digitar o nú mero do registro onde salvou o valor salvo (Por exemplo “R0”). Esse 
comando vai copiar para o mostrador o nú mero armazenado no registro. O número 
recuperado permanecerá inalterado no registro de armazenamento, até que se realize 
alguma alteração, ou seja, deletado da memória.
22
2.10 MODO DE OPERAÇÃO
É comum que se tenha que realizar mais de uma operação sequencial para 
realizar cálculos financeiros. Quando o cálculo envolve números em parênteses, que 
exigem seu cálculo apartado dos demais da fórmula, a HP12C trabalha com o sistema 
RPN (Reverse Polish Notation, em tradução livre: Notação Polenesa Reversa). Essa 
função existe nas duas versões da HP12C (Golden e Platinum) (GIMENES, 2010). 
Aqui está a diferença que comentamos anteriormente, isso porque a versão 
platinum da HP12C apresenta a possibilidade de operações no sistema algébrico, 
denominado de “ALG”, o qual está destacado na Figura 7, a seguir. 
Caro acadêmico, todos os cálculos deste livro são realizados no sistema 
RPN. Pede-se que a calculadora seja ajustada para o sistema RPN. Isso é 
feito pressionando a tecla f , seguida da tecla RPN. O visor da Platium deve 
mostrar o RPN aceso.
IMPORTANTE
FIGURA 7 – CALCULADORA HP12C PLATINUM
FONTE: https://bit.ly/3eKRF3s. Acesso em: 17 ago. 2022.
Diferença entre os modos ALG e RPN
O modelo platinum permite trabalhar no modo de operação tradicional 
algébrico (ALG), desde que ele seja acionado, sendo que para acionar basta pressionar e 
tecla F e ALG. Acionado esse modo, realizar uma operação básica funciona da seguinte 
forma: número, sinal da operação, outro número, e pressionar a tecla enter (igual). Por 
exemplo: 7 + 5 = 12 (GIMENES, 2010). 
23
FIGURA 8 – OPERAÇÕES BÁSICAS RPN E ALG
FONTE: Gimenes (2010, p. 57)
No modo de operação RPN, disponível nas duas versões, a principal 
característica consiste em realizar uma operação básica da seguinte forma: número, 
enter, número, e, por fi m, sinal da operação (GIMENES, 2010). 
A Figura 8 demostra como realizar operações básica em RPN e ALG.
2.11 ESTADO “C” – STO EEX
A calculadora HP12C permite que os cálculos de i, n, PV, PMT e FV sejam 
executados com juros simples ou juros compostos. Se o indicador de “estado C” no 
mostrador nã o estiver presente, os juros simples são calculados, ou seja, para realizar 
cálculos de juros simples, o estado C” não pode estar ativado. 
Para realizar cálculos de juros compostos, é preciso ligar o indicador de “estado 
C” pressionando as teclas STO EEX . 
Caro acadêmico, o uso incorreto do estado C pode levar a erros no resultado dos 
cálculos. Para evitar erros, lembre-se:
• Para cálculos de juros simples, desative o “Estado C”.
• Para cálculos de juros compostos, ative o “Estado C”.
• Pressionando STO EEX ., para ativar o “Estado C”, e repita o comendo para desativar 
o “Estado C”.
Caro acadêmico, para realizar os cálculos deste livro, sugerimos confi gurar 
a calculadora para nove casas após a virgula, de forma a obter o valor mais 
exato possível para realização dos cálculos propostos ao longo do livro, 
bem como para evitar erros nos cálculos envolvendo data, onde é exigida 
uma confi guração com um maior número de casas decimais.
DICA
24
2.12 MODO DE PAGAMENTO - BEG END
Pressione g BEG para estabelecer o modo de pagamento para problemas de 
fluxo de caixa. Use o modo Início para pagamentos ocorridos no começo do período 
composto. Observe que será́ exibido o indicador "begin" (GUIA HP12C, 2004). A função 
g BEG deve ser ativada nos casos em que você irá iniciar o pagamento com um valor de 
entrada (1+8 vezes). 
Pressionar g END é usado para pagamentos ocorridos no final do período 
composto, ou seja, esta função g END é usada nos casos em que você irá iniciar o 
pagamento daqui a 30 dias, em um valor de entrada (0 + 9 vezes).
3 FUNÇÕES MATEMÁTICAS
Segundo o Guia da HP12C (2004), a calculadora apresenta diversas teclas 
de funções matemáticas e de alteração de números, cuja função é realizar cálculos 
financeiros específicos e para cálculos matemáticos em geral.
3.1 RADICIAÇÃO/ RECIPROCIDADE
Essa função é utilizada para calcular a reciprocidade do número exibido 
no registro X. Pressionando a tecla 1/x , você irá dividir “1” pelo número que está no 
mostrador. Vamos supor que o número do mostrador seja “50”. Nesse caso, a calculadora 
fará o seguinte cálculo: 
Exemplo:
1/50 = 50 1/x = 0,02
Outros Exemplos:
61/2 = 6 ENTER 2 1/x YX = 2,4495
1,341/7 = 1,34 ENTER 7 1/x YX = 1,244
3.2 RAIZ QUADRADA
Para calcular a raiz quadrada, você deve inserir o número que deseja e, na 
sequência, pressionar as teclas g . Vejamos um exemplo a seguir: 
Exemplo
 = 5 g = 2,236067977
 = 11 g = 3,316624790
25
3.3 LOGARITMO 
Há duas formas de se calcular logaritmo, são elas: natural e comum. O logaritmo 
natural (também chamadode neperiano), cujo símbolo matemático é (ln x), para ser 
calculado, é preciso inserir o número que se pretende calcular e, em seguida, pressionar 
as teclas g LN da HP12C. 
Exemplo
ln50 = 50 g LN = 3,9120
ln3 = 3 g LN = 1,0986
ln10 = 10 g LN = 2,30258
Há, ainda, a forma de calcular o logaritmo comum cujo símbolo matemático 
é (Log x). Também é necessário inserir o número que se pretende calcular, mas, na 
sequência, devem ser acionadas as teclas 10 g LN . 
Exemplo
ln50 = 50 g LN 10 g LN =1,6990
ln3 = 3 g LN 10 g LN = 0,4771
ln10 = 10 g LN 10 g LN = 1,0000
No logaritmo com Base “e” Euller, o valor é de 2,7182818284590452353602874.
O número 𝑒 é um número irracional, ou seja, não é possível escrevê-lo em forma 
de fração com numerador e denominador inteiros, portanto, ele possui infinitas 
casas decimais não periódicas.
FONTE: https://bit.ly/3L8E69Y. Acesso em: 18 ago. 2022.
INTERESSANTE
3.4 POTENCIAÇÃO
Cálculos relacionados a valores exponenciais podem ser realizados na HP12C 
com ajuda da tecla YX. Quando fazemos essa ação, temos que ter o número que será 
calculado (nesse caso, é o Y) e número ao qual se deseja elevar (nesse caso, é o x) 
(GIMENES, 2010). 
Para realizar o cálculo, segundo o Guia HP12C (2004), siga os seguintes 
comandos:
1. Digite o número base (designado pelo “Y”).
2. Aperte ENTER para separar o segundo número (o expoente) do primeiro (a base).
26
3. Digite o expoente (designado pelo “x” na face da tecla).
4. Aperte YX para calcular a potência.
Exemplo
42,6 = 4 ENTER 2,6 YX = 36,76
4-2,6 = 4 ENTER 2,6 CHS YX = 0,0272
(-3)4 = 3 CHS ENTER 4 YX = 81,00
Caro acadêmico, o objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta didática 
desenvolvida e utilizada com o intuito de apresentar um determinado tema e 
articular atividades relacionadas a ele, atendendo ao princípio norteador da 
UNIASSELVI, de que “não basta saber, é preciso saber fazer”. Dessa 
forma, nosso Objeto de Aprendizagem será composto por duas 
etapas: uma contendo a apresentação do conteúdo e a outra contendo as 
atividades práticas relacionadas a ele.
Segue o link dos objetos de aprendizagem:
Conhecendo novas funções da calculadora financeira HP12C:
https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/4101/index.html
- Utilizando a calculadora HP12C:
https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/4101/index.html
- Funções financeiras da HP12C:
https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/216339/index.html
Bons estudos!
DICA
27
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu:
• Para iniciar manualmente o uso da HP12C, aperte a tecla ON. Para desligar a 
calculadora, basta apertar novamente a tecla ON.
• Um teste de automático de circuitos indica se todas as funções e os circuitos da 
calculadora HP12C estão em perfeito funcionamento.
• O ícone da bateria que aparece no canto superior esquerdo do mostrador, quando a 
calculadora está ligada, significa que a bateria está fraca e é necessário substituí-la.
• A maioria das teclas da HP12C realizam duas ou até́ três funções. A função primária 
de uma tecla é marcada pelos caracteres impressos em branco na sua face superior. 
As funções secundárias de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em 
letra dourada acima da tecla e em letra azul na sua face inferior.
• A tecla CHS inverte o sinal da operação.
• Existem diversas operações que apagam ou zeram registros na HP12C. Todas as 
operações concentram-se as teclas “clear”.
• A radiciação, pressionando 1/x, calcula o inverso do número no mostrador.
• Pressionando g LN, pode-se calcular o logaritmo natural ou neperiano (isto é, o 
logaritmo com base e) do número no mostrador. 
• A realização de cálculos relacionados a valores exponenciais pode ser feita na HP12C 
com ajuda da tecla YX (GIMENES, 2010).
28
AUTOATIVIDADE
1 Calcule a radiciação e apresente o resultado com 4 casas após a virgula:
i) 1/13 = 
ii) 201/2 = 
iii) 2,611/5 = 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) i= 0,0769; ii= 4,4721; iii= 1,2115.
b) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351.
c) ( ) i= 0,0076; ii= 3,2023; iii= 1,9452.
d) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570.
2 Calcule a raiz quadrada e apresente o resultado com 4 casas após a virgula:
a) = 
b) = 
c) = 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351.
b) ( ) i= 0,0076; ii= 3,2023; iii= 1,9452.
c) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570.
d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284
3 Calcule o logaritmo neperiano e apresenta o resultado com 4 casas após a virgula:
i) ln30 = 
ii) ln7 = 
iii) ln15 = 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351.
b) ( ) i= 3,4012; ii= 1,9459; iii= 2,7081.
c) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570.
d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284
29
4 Calcule o logaritmo comum e apresente o resultado com 4 casas após a virgula:
i) Log (30) = 
ii) Log (7) = 
iii) Log (15) =
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351.
b) ( ) i= 3,4011; ii= 1,9459; iii= 2,7081.
c) ( ) i= 1,4771; ii= 0,8451; iii= 1,1761
d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284
5 Calcule o logaritmo comum e apresente o resultado com 4 casas após a virgula:
i) 73,8 = 
ii) 7-3,8 = 
iii) (-5)6 =
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351.
b) ( ) i= 1.626,9438; ii= 0,0006; iii= 15.625,0000
c) ( ) i= 3.872,4011; ii= 1.9023,9459; iii= 22.450,5082.
d) ( ) i= 17.321,9788; ii= 0,0500; iii= 2.452,0001
6 Normalmente, é necessário realizar mais de uma operação sequencial para realizar 
cálculos financeiros. De forma a facilitar os cálculos e desenvolvê-los sem o uso 
dos parênteses, a HP12C trabalha com o sistema RPN (Reverse Polish Notation) ou 
Notação Polenesa Reversa. Na versão Platium da HP12C, a calculadora apresenta a 
possibilidade de operações no sistema algébrico, denominado de ALG. Descreva a 
diferença entre os modos ALG e RPN.
7 Para realizar o teste de automático de circuitos, siga os seguintes comandos: com a 
calculadora desligada, aperte a tecla com sinal de multiplicação X, mantenha a tecla 
pressionada enquanto liga a calculadora na tecla ON e, em seguida, solte a tecla X. 
Descreva para que serve o teste automático de circuitos.
30
31
TÓPICO 3 - 
CÁLCULOS DE PORCENTAGEM E CALENDÁRIO
1 INTRODUÇÃO
De acordo com Castanheira e Macedo (2020), uma porcentagem de 1% é 
quando dividimos o inteiro em 100 partes iguais e levamos em consideração apenas 
umas dessas partes. É possível representar essa análise da seguinte forma: 1/100, 
que é chamado de razão centesimal ou de razão porcentual, e lemos “um por cento”. 
Continuando com pensamento de Castanheira e Macedo (2020), é utilizado o símbolo % 
de forma a simbolizar a porcentagem.
Com relação às funções da HP12C voltadas para o calendário, existem funções 
que permitem o cálculo do número de dias entre duas datas, assim como outras funções 
que proporcionam determinar a qual dia da semana está relacionada a determinada 
data. Por exemplo, se você não sabe o dia da semana que nasceu, com a HP12C você 
irá descobrir, e se já sabe o dia da semana que nasceu, poderá confirmar ou mesmo 
calcular a data de quaisquer pessoas ou dado histórico.
Caro acadêmico, no Tópico 3, abordaremos primeiramente a porcentagem e 
funções atribuídas a ela, por meio da tecla % da HP12C. Em seguida, analisaremos a 
função diferença percentual, por meio da tecla ∆%, da HP12C. Por fim, estudaremos a 
percentagem do total, por meio da tecla %T, da HP12C. 
Com relação à função de calendário, analisaremos primeiramente o formato de 
data e como configurar a calculadora, por meio da tecla DATE. Em seguida, estudaremos 
datas futuras ou passadas. Por fim, abordaremos número de dias entre datas por meio 
da tecla ∆DYS.
UNIDADE 1
2 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM
O termo “por cento” significa “emcem”. Na matemática, porcentagens são 
usadas como frações, decimais e como forma de descrever partes de um todo. Quando 
se está usando porcentagens, considera-se que o todo é composto por cem (SAMANEZ, 
2010). O símbolo “%” é usado para mostrar que um número é uma porcentagem.
A porcentagem está em quase todos os lugares: em lojas, na internet, em 
anúncios e na mídia. Compreender o que as porcentagens significam é uma habilidade 
essencial que potencialmente economizará tempo e dinheiro (VANNUCCI, 2017).
32
Caro acadêmico, a calculadora HP12C disponibiliza essas três teclas para 
solucionar problemas com percentagens: % , ∆%, e %T. Vamos ver a seguir como funciona 
cada uma dessas funções. 
2.1 PORCENTAGENS – %
Para sabermos o valor recebido ou descontado de uma quantia que tem um 
desconto ou acréscimo com base em percentual, utilizamos a tecla %. A forma de calcu-
lar o valor recebido ou descontado pela aplicação do percentual na HP12C é a seguinte: 
1. Digite o número base.
2. Aperte ENTER.
3. Digite a percentagem.
4. Aperte % .
Exemplo 1
a) Um cliente comprou uma camisa no valor de R$ 250,00 e irá ganhar 18% de desconto 
pelo pagamento à vista. Qual o valor do desconto no pagamento à vista?
Resolução:
250 ENTER
18 %
Resposta no visor: 45,00 (ou seja, R$ 45,00 recebidos de desconto)
Exemplo 2
b) Um prestador de serviços prestou um serviço no valor de R$ 5.000 e precisa recolher 
(pagar) o imposto de ISS (imposto do serviço) de 2,25%. Qual valor do ISS que ele 
precisa recolher (pagar)?
Resolução:
5.000 ENTER
2,25 %
Resposta no visor: 112,5 (ou seja, R$ 112,50)
Exemplo 3
c) Um vendedor efetuou a venda de um terreno no valor de R$ 450.000,00 e receberá 
6% de comissão sobre a venda. Qual o valor de comissão sobre esta venda? 
33
Resolução:
450.000 ENTER
6 %
Resposta no visor: 27.000,00 (ou seja, R$ 27.000,00)
2.2 DIFERENÇA PERCENTUAL – ∆%
A tecla ∆% é usada para mostrar em percentual a diferença entre dois números. 
Na calculadora HP12C, a forma para se chegar nesse resultado é a seguinte:
1. Digite o número base.
2. Aperte ENTER para separar o outro número do número base. 
3. Digite o outro número.
4. Aperte ∆%.
Interpretação:
Se o número for maior que o número base, a diferença percentual será positiva.
Se o número for menor que o número base, a diferença percentual será negativa. 
Dessa forma, uma resposta positiva indica um aumento, enquanto uma resposta 
negativa indica uma redução. Se você̂ estiver calculando a diferença percentual no 
tempo, o número base é, normalmente, o valor que ocorre primeiro.
A tecla ∆% pode ser usada para saber o aumento do valor que um determinado 
produto sofreu com o tempo em forma de percentual. Vejamos: 
Exemplo 4
Ontem o valor das ações de um investidor caiu de R$ 70,60, para R$ 63,10. Qual 
é a diferença percentual desses valores?
70,6 ENTER
63,10 ∆%
Resposta no visor: -10,62 (ou seja, uma queda de quase 11%)
Exemplo 5
Um produto no atacado custa R$ 115,00, e no varejo, o mesmo produto custa R$ 
210,00, qual a diferença percentual entre os valores?
115 ENTER
210 ∆%
Resposta no visor: 82,61 (ou seja, 82,61%)
34
2.3 PORCENTAGEM DO TOTAL – %T
A tecla porcentagem do total %T proporciona o cálculo para identificar qual é 
a porcentagem da proporção de um número para outro. Deve-se seguir os seguintes 
comandos:
1. Calcule o valor total somando os valores individuais, como em um cálculo aritmético 
complexo.
2. Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja achar.
3. Aperte %T .
Caro acadêmico, vamos praticar:
Exemplo 6
Quanto corresponde, em percentual, R$ 30,00 em relação a R$ 400,00?
Resposta:
400 ENTER
30 %T
Resposta no visor: 7,5 (ou seja, 7,5%).
Comentário: a calculadora considera o valor de R$ 400,00 como sendo o 100% e 
verifica quanto o valor de R$ 30,00 representa em relação aos R$ 400,00 em percentual.
Exemplo 7
Um remédio que é vendido à vista por R$ 950,00 tem R$ 400,00 de impostos 
embutidos no valor de venda. Quanto representam esses impostos em percentual sobre 
o preço à vista do remédio?
Resposta:
950 ENTER
400 %T
Resposta no visor: 42,11 (ou seja, 42,11%).
Comentário: a calculadora considera o valor de R$ 950,00 como sendo o 100% e 
verifica quanto o valor de R$ 400,00 representa em relação aos R$ 950,00 em percentual.
Exemplo 8
Em um determinado mês, sua organização teve vendas de R$ 4,74 milhõ es na 
filial “A”; R$ 5,37 milhões na filial “B”, e R$ 7,82 milhões na filial “C”. Qual percentagem das 
vendas totais ocorreram na filial “B”?
35
 f REG
4,74 ENTER
5,37 + 
7,82 + 
5,37 %T
Resultado no visor: 29,95 (ou seja, quase 30%)
Como vimos anteriormente, a HP12C retém o valor calculado na memória. Dessa 
forma, para calcular qual a porcentagem de outro valor:
1. Pressione CLX para zerar o mostrador.
2. Digite o outro valor.
3. Aperte %T novamente.
Por exemplo, para calcular qual percentagem das vendas totais no exemplo 
anterior ocorreu na filial “A” e qual percentagem ocorreu na filial “C”:
Na filial “A”:
CLX 4,74 %T
Resposta no visor: 26,44 (ou seja, quase 27%).
Na filial “C”:
CLX 7,82 %T
Resposta no visor: 43,61 (ou seja, quase 44%).
Para calcular qual percentagem um número é de um total, quando você já sabe 
o valor total, deve-se efetuar o seguinte comando:
1. Digite o valor total.
2. Aperte ENTER para separar o outro número do número total.
3. Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja calcular.
4. Aperte %T .
Por exemplo, suponha que no exemplo anterior você já soubesse que as vendas 
totais eram de R$ 17,93 milhões e desejasse descobrir qual percentagem do total ocorreu 
na filial “B”:
 f REG
17,93 ENTER
5,37 %T
Resultado no visor: 29,95 (ou seja, quase 30%)
36
3 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO
A matemática financeira, de acordo com Samanez (2010), trabalha com duas 
formas de calendário: ou com calendário comercial, também chamado de ano comercial, 
ou com calendário civil, também chamado de ano civil. A seguir, vamos compreender 
como funciona cada um deles e sua relevância na hora de realizar os cálculos.
Calendário comercial ou ano comercial
Um ano comercial é um período de 360 dias, composto por 12 meses de 30 
dias cada, e que é usado por algumas empresas e organizações sem fins lucrativos para 
rastrear internamente as alterações nas contas. As diferenças no número de dias em 
cada mês do calendário são ajustadas para que as comparações de vendas, despesas 
etc. sejam mais fáceis de fazer (SAMANEZ, 2010).
Segundo Jacques (2010), cada ano civil vai de 1º de janeiro a 31 de dezembro, e 
alguns meses contêm mais dias do que outros. Essas variações podem ser problemáticas 
para as empresas que desejam ou precisam acompanhar as operações ao longo do ano, 
principalmente porque um mês de 31 dias não pode ser imediatamente comparado a 
um de 28 dias.
Wakamatsu (2012) afirma que tais questões podem ser contornadas empregando 
um modelo de ano comercial. Sob esse formato, cada mês do ano consiste em 30 dias, 
e se torna muito mais fácil para as empresas compararem o desempenho e as despesas 
mensais, assim como projetar números futuros e avaliar e gerenciar estoques (todos os 
produtos acabados ou materiais usados na produção que foram armazenados).
Conforme Castanheira (2012), embora seja verdade que uma análise de 
incrementos de uma semana ou mesmo diários possa ser realizada para ajustar as 
diferenças nos dias do mês, o período de 30 dias é o preferido porque suaviza o ruído 
de curto prazo. Outro benefício do ano comercial é que ele não precisa seguir a data de 
início e término do ano civil e pode ser modificado para melhor atender às necessidades 
de uma empresa (CASTANHEIRA, 2012).
Calendário ou ano civil
Um ano civil é um período de um ano que começa em 1º de janeiro e termina em 
31 de dezembro, também chamado de calendário gregoriano, que é comumente usado 
(VANNUCCI, 2017). Samanez (2010) afirma que, para fins de tributação de pessoas físicas 
e jurídicas, o ano civil geralmente coincide com o ano fiscal e, portanto, geralmente 
compreendetodas as informações financeiras do ano usadas para calcular o imposto 
de renda a pagar. O ano civil contém 365 dias completos ou 366 para um ano bissexto. 
É dividido em meses, semanas e dias. O calendário civil é o padrão internacional e é 
usado na maior parte do mundo para organizar eventos religiosos, sociais, empresariais, 
pessoais e administrativos (GIMENES, 2009). 
37
Os calendários são úteis para indivíduos e empresas gerenciarem suas agendas, 
planejarem eventos e atividades e marcarem ocasiões especiais no futuro. O advento 
da tecnologia tornou o planejamento ainda mais fácil, pois os calendários agora são 
facilmente acessíveis por meio de computadores, smartphones e outros dispositivos 
pessoais (BARROS, 2014).
Algumas partes do mundo, de acordo com Vannucci (2017), usam o padrão, 
bem como calendários religiosos. Por exemplo, o calendário gregoriano foi adotado na 
Índia, em todo o país, quando os britânicos colonizaram o país. Embora a maior parte da 
Índia urbana continue a usá-lo hoje, os hindus devotos nas partes mais rurais do país 
podem continuar a usar um calendário religioso regional diferente, onde as datas de 
início e fim do ano diferem.
Um ano civil para indivíduos e muitas empresas é usado como o ano fiscal, ou 
o período de um ano no qual seus impostos a pagar são calculados (GIMENES, 2009). 
Algumas empresas optam por declarar seus impostos com base em um ano fiscal 
(GIMENES, 2009). De acordo com Castanheira (2012), na maioria dos casos, esse período 
começa em 1º de abril e termina em 31 de março e se adapta melhor aos padrões de 
sazonalidade ou outras preocupações contábeis aplicáveis aos seus negócios.
Um ano civil sempre vai de 1º de janeiro a 31 de dezembro. Um ano fiscal, por 
outro lado, pode começar e terminar em qualquer ponto do ano, desde que inclua 12 
meses completos (WAKAMATSU, 2012). Uma empresa que inicia seu ano fiscal em 1º 
de janeiro e o encerra em 31 de dezembro opera com base no ano civil. O ano civil 
representa o ano fiscal mais comum no mundo dos negócios (JACQUES, 2010).
Essas informações são importantes, pois podem impactar na realização de 
cálculos financeiros, uma vez que muitas das funções são impactadas pelo período, a 
exemplo dos juros. A seguir, vamos estudar as funções das HP12C que utilizam períodos.
3.1 FORMATO DE DATA
A HP12C fornece as funções de calendário nas teclas, DATE e ∆DYS, que 
trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. Qualquer 
data fora desse período vai apresentar erro no resultado da calculadora HP12C.
Para todas as funções de calendário, a calculadora utiliza um desses dois 
formatos de data:
• Mês-Dia-Ano; formato normalmente usado nos EUA. 
• Dia-Mês-Ano; formato normalmente usado no Brasil.
O formato de data é utilizado tanto para interpretar datas quando são digitadas 
quanto para exibi-las.
38
Quando os cálculos envolverem tempo, você precisará inserir a data no cálculo. 
Isso pode ocorrer de duas formas, como vimos anteriormente, e a escolha desse 
formato é indiferente, contudo, independentemente de qual for o escolhido, ele precisa 
ser configurado, como veremos a seguir. 
Quando tratar de Mês-Dia-Ano, para configurar o formato aperte g M.DY. 
Vejamos a seguir como realizar isso na HP12C:
1. Digite o mês, com um ou dois dígitos.
2. Aperte a tecla do ponto decimal • .
3. Digite os dois dígitos do dia.
4. Digite os quatro dígitos do ano.
As datas são exibidas no mesmo formato. Por exemplo, para digitar 24 de maio 
de 2022:
No visor ficará: 5,242022
Quando utilizar o formato de Dia-Mês-Ano, para configurar o formato aperte g 
D.MY. Vejamos a seguir como realizar isso na HP12C:
1. Digite o dia, com um ou dois dígitos.
2. Aperte a tecla do ponto decimal • .
3. Digite o mês, com dois dígitos.
4. Digite os quatro dígitos do ano.
Por exemplo, para digitar 24 de maio de 2022:
No visor ficará: 24,052022
Quando o formato da data está configurado para dia-mês-ano, o indicador de 
estado D.MY estará presente no mostrador. Se o indicador D.MY não estiver presente, 
o formato da data será mês-dia-ano, ou seja:
• para usar formato dia-mês-ano, você deve apertar o comando g D.MY, e no visor irá 
aparecer escrito D.MY;
• para usar o formato mês-dia-ano, você deve apertar o comando g M.DY, porém, no 
visor, não irá aparecer nada escrito. Interpreta-se que a calculadora está configurada 
para cálculos de datas de mês-dia-ano.
39
Caro acadêmico, para todos os cálculos de data deste livro, iremos usar 
o formato brasileiro de data, ou seja, dia-mês-ano. Dessa forma, deixe 
sempre sua calculadora formatada para esse tipo de cálculo, da seguinte 
forma: tecle g D.MY
IMPORTANTE
3.2 DATAS FUTURAS OU PASSADAS - DATE
Para o cálculo das datas futuras ou passadas, usamos a tecla DATE, 
proporcionando o cálculo para se identifi car a data e dia da semana que é um certo 
número de dias depois ou antes de uma data fornecida. Para tanto, deve-se utilizar o 
seguinte comando:
1. Digite a data fornecida e aperte ENTER.
2. Digite o número de dias.
3. Se a outra data estiver no passado, aperte CHS.
4. Aperte g DATE.
A resposta calculada pela funç ã o DATE é exibida em um formato especial. Os 
nú meros do, dia, mê s e ano (ou mê s, dia e ano quando estiver formatado em M.DY) sã o 
separados por separadores de dí gitos, e o dí gito ao lado direito da resposta no mostrador 
indica o dia da semana, conforme o Quadro 1.
QUADRO 1 – FUNÇ Ã O DATE DIA DA SEMANA
FONTE: o autor
Código. Dia da semana
1 Segunda-feira
2 Terça-feira
3 Quarta-feira
4 Quinta-feira
5 Sexta-feira
6 Sábado
7 Domingo
40
Caro acadêmico, o dia da semana indicado pela funç ã o DATE pode ser 
diferente daquele registrado em textos históricos quando o calendário 
juliano estava em uso. O calendário juliano era o padrã o na Inglaterra 
e em suas colô nias até́ 14 de setembro de 1752, quando foi adotado o 
calendá rio gregoriano. Outros paí ses adotaram o calendá rio gregoriano 
em momentos diferentes.
FONTE: Guia HP12C (2004, p. 30).
INTERESSANTE
Exemplo 1
Queremos saber em que dia da semana caiu o dia 27/07/2022.
Resposta
g D.MY
27.072022 ENTER
0 g DATE
Resposta no visor: 27.07.2022 3 (conforme Quadro 1, refere-se a uma quarta-feira).
Caso alguém receba uma proposta para adquirir um terreno em 10 de fevereiro 
de 2022, válida por 150 dias, qual seria a data de vencimento? Leve em consideração 
que está sendo usado o formato de data dia-mê s-ano. Vejamos a seguir como realizar 
o cálculo:
g D.MY
10.022022 ENTER
150 g DATE
Resposta no visor: 10,07,2022 7 (a data de vencimento é 10 de julho de 2022, 
e, conforme Quadro 1, refere-se a um domingo).
Exemplo 2
Qual a data e qual dia da semana será 478 dias após o dia 01/08/2022?
Resposta:
01.082022 ENTER
478 g DATE
Resposta no visor: 22.11.2023 3 (ou seja, 22 de novembro de 2023, e, 
conforme o Quadro 1, refere-se a um quarta-feira).
41
Exemplo 3
O bebê Pedro está com apenas 100 dias de vida. Se hoje é dia 07/09/2022, qual 
a data que Pedro nasceu, e em qual dia da semana.
Resposta:
07.092022 ENTER
100 CHS g DATE
Resposta no visor: 30.05.2022 1 (ou seja, 30 de maio de 2022, e, conforme 
o Quadro 1, refere-se a um segunda-feira)
3.3 NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS - ∆DYS
A tecla ∆DYS proporciona o cálculo do número de dias entra datas. De forma 
a conseguir calcular o número de dias entre duas datas, deve-se utilizar o seguinte 
comando:
1. Digite a data mais antiga e aperte ENTER.
2. Digite a data mais recente e aperte g ∆DYS.
Calendário civil (Número exato de dias)
A resposta apresentada no mostrador é o número exato de dias entre as 
duas datas (calendário civil), incluindo o ano bissexto onde tem o dia 29 de fevereiro, 
se houver. 
O calendário civil corresponde ao seguinte período:
• Ano = 12 meses, 365 ou 366 dias (ano bissexto)
• Mês = 28, 29, 30 ou 31, mudando conforme o mês ou conforme ano, se for bissexto.
Calendário comercial (Considera ano 360 dias e mês com 30 dias) 
Adicionalmente, a HP12C também calculao número de dias entre as duas 
datas com base no calendário comercial (mês de 30 dias). Essa resposta é retida 
na memória da calculadora; para mostrá-la, aperte x><y. Apertando-se x><y a resposta 
original será novamente exibida no mostrador.
O calendário comercial corresponde ao seguinte período:
• Ano = considera-se de 360 dias
• Mês = considera-se 30 dias
42
Ano comercial e ano civil
O ano comercial é imutável (360 dias), enquanto o ano civil é variável (365 
ou 366 dias). O ano comercial é inferior ao ano civil, visto este ter 365 
ou 366 dias (em anos bissextos). O ano civil começa em 1º de janeiro e 
termina em 31 de dezembro.
O civil é alterado de quatro em quatro anos, baseando-se no movimento 
da Terra, somando-se um dia a mais no mês de fevereiro, que passa a ter 
29 dias, assim como o ano civil passa a ter 366 dias, e a ser chamado de 
ano bissexto.
FONTE: https://www.economias.pt/ano-comercial/
INTERESSANTE
Exemplo 1
Os cálculos de juros compostos podem ser feitos utilizando-se o número exato 
de dias ou o número de dias com base no ano comercial. Realize o cálculo do número de 
dias entre datas e apresenta qual seria o número de dias, contados das duas maneiras 
(dias exatos e com base no ano comercial com mês de 30 dias), a ser utilizado para 
calcular os juros acumulados de 2 de abril de 2022 a 17 de setembro de 2023, levando 
em consideração a configuração da HP12C com uso do formato dia-mês-ano.
Resposta:
g D.MY
2,042022 ENTER
17,092023 g ∆DYS
Resposta no visor: 533 (número exato de dias)
x><y
Resposta no visor: 525 (número de dias baseado no calendário comercial.)
Exercício 2
Calcular número de dias exatos entre 14/07/2022 e 31/10/2022. Depois, calcule 
o número de dias com base calendário comercial, ou seja, com mês de 30 dias, entre 
14/07/2022 e 31/10/2022.
Resposta:
g D.MY
14.072022 ENTER
31.102022 g ∆DYS
Resposta no visor: 109 (número exato de dias)
x><y
Resposta no visor: 107 (número de dias baseado no calendário comercial.)
43
Exercício 3
Vamos calcular o número de dias exatos entre 05/02/1970 e 27/10/2054 
considerando o calendário civil e, depois, vamos calcular o número de dias com base 
calendário comercial.
Resposta:
g D.MY
05.071970 ENTER
27.102054 g ∆DYS
Resposta no visor: 30.795 (número exato de dias com base no calendário civil)
x><y
Resposta no visor: 30.352 (número de dias baseado no calendário comercial 
– mês com 30 dias)
44
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu:
• A calculadora HP12C disponibiliza três teclas para solucionar problemas com 
porcentagens: %, ∆%, e %T .
• A tecla ∆% é usada para achar a diferença percentual entre dois números:
• A tecla percentagem do total %T proporciona o cálculo para identificar qual 
percentagem um número é de um outro.
• A HP12C fornece as funções de calendário nas teclas, DATA e ∆DYS, que trabalham 
com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046.
• Para configurar o formato para mês-dia-ano, deve-se pressionar g M.DY.
• Para configurar o formato para dia-mês-ano, deve-se pressionar g D.MY.
• Para o cálculo das datas futuras ou passadas, usamos a tecla DATE, proporcionando 
o cálculo para se identificar a data e dia da semana, que é um certo número de dias 
depois ou antes de uma data fornecida.
• A tecla ∆DYS proporciona o cálculo do número de dias entra datas.
45
AUTOATIVIDADE
1 A calculadora HP12C disponibiliza três teclas para solucionar problemas com 
percentagens: % , ∆%, e %T . Com uso das teclas, não é preciso converter percentagens 
nos equivalentes decimais; isso é feito automaticamente ao apertar qualquer uma 
dessas teclas. Disserte sobre a funcionalidade das teclas ∆% e %T .
2 A HP12C fornece as funções de calendário nas teclas, DATA e ∆DYS, que trabalham 
com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. Qualquer data 
fora desse período vai apresentar erro na calculadora HP12C. Disserte sobre a 
funcionalidade das teclas DATE e ∆DYS .
3 Calcule o valor que corresponde à 4,78% do valor R$500,00. Assinale a alternativa 
CORRETA:
a) ( ) R$ 31,70.
b) ( ) R$ 15,40.
c) ( ) R$ 23,90.
d) ( ) R$ 47,71.
4 Calcule o valor que corresponde a 20% do valor R$6.000,00. Assinale a alternativa 
CORRETA:
a) ( ) R$ 800,00.
b) ( ) R$ 1.000,00.
c) ( ) R$ 1.200,00.
d) ( ) R$ 1.500,00.
5 Calcule o valor que corresponde a 66% do valor R$700,00. Assinale a alternativa 
CORRETA:
a) ( ) R$ 392,00.
b) ( ) R$ 462,00.
c) ( ) R$ 528,00.
d) ( ) R$ 584,00.
6 Uma ação de investimentos caiu de R$ 32,47; para R$ 12,05. Qual é a diferença 
percentual?
a) ( ) -10,11.
b) ( ) -62,89.
46
c) ( ) -88,67.
d) ( ) -13,10.
7 Um produto custa R$ 400,00 na loja “A”, e na loja “B”, o mesmo produto custa R$ 
500,00. Qual a diferença percentual entre os valores?
a) ( ) 15%.
b) ( ) 20%.
c) ( ) 25%.
d) ( ) 30%.
8 Quanto corresponde em percentual R$ 150,00 em relação a R$ 725,00?
a) ( ) 47,91%
b) ( ) 15,93%
c) ( ) 60,24%
d) ( ) 20,69%
9 Um automóvel que é vendido à vista por R$ 60.000,00 tem R$ 18.000,00 de impostos 
embutidos no valor de venda. Quanto representam esses impostos em percentual 
sobre o preço à vista do automóvel?
a) ( ) 10%
b) ( ) 20%
c) ( ) 30%
d) ( ) 40%
10 Qual a data e qual dia da semana que será 1058 dias após o dia 10/06/2022?
a) ( ) 03.05.2025 6 (sábado).
b) ( ) 10.10.2024 7 (domingo).
c) ( ) 18.08.2028 1 (segunda-feira).
d) ( ) 23.02.2026 3 (quarta-feira).
11 Se hoje é dia 22/05/2022, qual a data e qual dia da semana foi 200 dias antes de 
22/05/2022?
a) ( ) 28.04.2020 2 (terça-feira).
b) ( ) 03.11.2021 3 (quarta-feira).
c) ( ) 12.02.2022 5 (sexta-feira).
d) ( ) 09.09.2021 4 (quinta-feira).
47
12 Calcule número de dias exatos entre 22/04/1600 e 01/08/2022. Depois, calcule o 
número de dias com base calendário comercial, ou seja, com mês de 30 dias, entre 
22/04/1500 e 01/08/2022.
a) ( ) 154.233 dias exatos e 152.019 dias no calendário comercial.
b) ( ) 44.350 dias exatos e 44.210 dias no calendário comercial.
c) ( ) 133.831 dias exatos e 130.903 dias no calendário comercial.
d) ( ) 88.591 dias exatos e 88.037 dias no calendário comercial.
13 Calcule o número de dias exatos entre 15/05/2022 e 11/12/2022. Depois, calcule o 
número de dias com base calendário comercial, ou seja, com mês de 30 dias, entre 
22/04/1500 e 01/08/2022.
a) ( ) 267 dias exatos e 255 dias no calendário comercial.
b) ( ) 190 dias exatos e 177 dias no calendário comercial.
c) ( ) 322 dias exatos e 317 dias no calendário comercial.
d) ( ) 210 dias exatos e 206 dias no calendário comercial.
48
49
TÓPICO 4 - 
INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES E COMPOSTO
1 INTRODUÇÃO
Capitalização, de acordo com Castanheira e Macedo (2020), refere-se ao 
processo de integração do juro ao capital que o gerou, sendo que o sistema de 
capitalização está diretamente ligado a dois termos, “capital” e “juros”. Para os autores, 
o capital refere-se ao valor expresso na moeda corrente de uma determinado país e 
é disponível para operações financeiras, enquanto os juros nada mais são do que a 
remuneração do capital. 
O sistema de capitalização, segundo Castanheira e Serenato (2014), é que irá 
definir a forma de acúmulo dos juros. O sistema de capitalização apresenta dois tipos: o 
sistema de capitalização simples e o sistema de capitalização composto. Castanheira e 
Serenato (2014) afirmam que, no sistema de capitalização simples, o juro incide somente 
sobre o capital inicial, enquanto no sistema de juros compostos, o juro incide sobre o 
capital mais o juro acumulado anteriormente.
Acadêmico, no Tópico 4 analisaremos, primeiramente, um método para facilitar 
na interpretação e resolução de problemas da matemática financeira. Em seguida, 
abordaremos noções de juros simples e noções de juros composto de forma a conseguir 
identificar a lógica de cada um desses sistemas, seus conceitos e terminologias. Por fim, 
estudaremos a diferença entre os dois sistemas de capitalização,simples e composto.
UNIDADE 1
2 MÉTODO PARA INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Mesmo sabendo que a matemática financeira é uma disciplina da área de 
ciências exatas, ela também depende da interpretação do leitor, como ocorre nas 
ciências humanas. Isso porque é importante que o leitor, ao realizar a leitura dos dados 
apresentados pela questão, faça a interpretação para que as informações sejam 
extraídas e trabalhadas de forma correta (GIMENES, 2010). 
Dessa forma, Gimenes (2010) apresenta um método de resolução de exercícios 
que envolve essencialmente quatro etapas. A seguir, vamos apresentar as quatro etapas 
descritas por Gimenes (2010) de forma detalhada.
50
Caro acadêmico, essas quatro etapas são muito úteis quando se está iniciando 
o processo de aprendizado da matemática financeira, e à medida que você adquire a 
prática, é possível encurtá-las ou mesmo deixar de realizá-las. 
Normalmente, quando se adquire a prática da elaboração dos cálculos, costuma-
se utilizar apenas as etapas 2 e 4. 
Etapa 1 e Etapa 2 
• Etapa 1 – Coleta de dados: consiste na separação dos elementos centrais do 
problema
• Etapa 2 – Terminologia: refere-se ao relacionar os elementos extraídos com as 
nomenclaturas específicas da matemática financeira. 
Dessa forma, primeiro você deve separar os elementos principais do problema e, 
na sequência, relacionar aos elementos que são extraídos das nomenclaturas. A seguir, 
na Figura 9, podemos verificar como ocorre a prática dessas etapas.
FIGURA 9 – COLETA DE DADOS E TERMINOLOGIA
FONTE: Gimenes (2010, p. 51)
Etapa 3 
• Etapa 3 – Diagrama: é considerado um dos principais pontos a ser montado, pois é 
um retrato de como o problema foi interpretado. Mostra a organização da situação, 
quais os elementos envolvidos e aonde se quer chegar.
Após realizar a interpretação e separação dos dados, como vimos nas etapas 
anteriores, agora é a hora de organizar o diagrama para retratar o problema, conforme 
veremos no exemplo a seguir:
51
FIGURA 10 – DIAGRAMA
FONTE: Gimenes (2010, p. 51)
Etapa 4 
• Etapa 4 – Cálculo: refere-se ao cálculo em si, ou seja, se o problema estiver 
interpretado corretamente, o resultado encontrado concluirá o processo.
Com o diagrama organizado, é hora de realizar o cálculo propriamente, que trata 
a resolução para o problema identificado. Vejamos o exemplo a seguir:
Fn = P x (1 + i) n
F5 = 1.000 x (1 + 0,10)5
F5 = 1.000 x (1,10)5 
F5 = 1.610,51
3 NOÇÕES DE JUROS SIMPLES
Os juros simples, de acordo com Wakamatsu (2012), são um método para calcular 
o valor dos juros cobrados de uma determinada taxa aplicada sobre uma quantia e por 
um determinado período. Nos juros simples, o valor do principal é sempre o mesmo, ao 
contrário dos juros compostos, onde somamos os juros do principal dos anos anteriores 
para calcular os juros do ano seguinte.
Juros, de acordo com Samanez (2010), é a recompensa por emprestar o capital 
a alguém por um período. Para o autor, existem vários métodos para calcular o interesse. 
Como o nome indica, juros simples são fáceis de entender, e essa é a principal razão 
pela qual falamos sobre isso aqui (WAKAMATSU, 2012). A ideia por trás dos juros simples 
é que o valor dos juros é o produto de três quantidades: a taxa de juros, o principal e o 
período (WAKAMATSU, 2012).
O regime de juros simples, segundo Horiguti e Donadel (2014), refere ao 
sistema no qual a taxa de juros incide apenas sobre o valor principal, de forma que 
não há incidência de juros sobre os juros gerados a cada período. O regime de juros 
simples, conforme Wakamatsu (2018), refere-se ao regime em que os juros de cada 
52
período são calculados sempre sobe o mesmo valor principal. Em outras palavras, em 
um dado período de tempo, o cálculo dos juros incide sobre o valor inicial, e nunca sobre 
o montante, que é o valor derivado da soma dos juros mais capital inicial.
Exemplo de cálculo de juros simples
Se uma pessoa realiza um empréstimo bancário no valor de R$ 1.000,00, para ser 
pago daqui a 5 meses a uma taxa de 10% ao mês, adotando o sistema de capitalização 
de juros simples, qual valor deve pagar ao banco?
QUADRO 2 – RESOLUÇÃO
FONTE: o autor
Tempo (n)
Mês
Capital
% Juro
10% ou 0,1
Valor Juro
(Capital * % Juro)
Montante
(Capital + Juro)
1 R$ 1.000,00 10% R$ 100,00 (1.000,00 x 0,1) R$ 1.100,00
2 R$ 1.000,00 10% R$ 100,00 (1.000,00 x 0,1) R$ 1.200,00
3 R$ 1.000,00 10% R$ 100,00 (1.000,00 x 0,1) R$ 1.300,00
4 R$ 1.000,00 10% R$ 100,00 (1.000,00 x 0,1) R$ 1.400,00
5 R$ 1.000,00 10% R$ 100,00 (1.000,00 x 0,1) R$ 1.500,00
Considerações:
• No primeiro mês, temos um capital inicial de R$ 1.000,00. Com uma taxa de juros 
de 10%, obtemos um valor de juros do primeiro mês de R$ 100,00 (R$ 1.000,00 x 0,1). 
O montante acumulado é de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do 
primeiro mês).
• No segundo mês, temos um capital inicial de R$ 1.000,00. Com uma taxa de juros 
de 10%, obtemos um valor de juros do segundo mês de R$ 100,00 (R$ 1.000,00 x 
0,1). O montante acumulado é de R$ 1.200,00 (R$ 1.000,00 capital + R$ 100,00 juros 
do primeiro mês + R$ 100,00 juros do segundo mês).
• No Terceiro mês, temos um capital inicial de R$ 1.000,00. Com uma taxa de juros 
de 10%, obtemos um valor de juros do terceiro mês de R$ 100,00 (R$ 1.000,00 x 0,1). 
O montante acumulado é de R$ 1.300,00 (R$ 1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do 
primeiro mês + R$ 100,00 juros do segundo mês + R$ 100,00 juros do terceiro mês).
• No quarto mês, temos um capital inicial de R$ 1.000,00. Com uma taxa de juros de 
10%, obtemos um valor de juros do quarto mês de R$ 100,00 (R$ 1.000,00 x 0,1). O 
montante acumulado é de R$ 1.400,00 (R$ 1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do 
primeiro mês + R$ 100,00 juros do segundo mês + R$ 100,00 juros do terceiro mês 
+ R$ 100,00 juros do quarto mês).
53
FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
FONTE: Gimenes (2010, p. 51)
• No quinto mês, temos um capital inicial de R$ 1.000,00. Com uma taxa de juros de 
10%, obtemos um valor de juros do quinto mês de R$ 100,00 (R$ 1.000,00 x 0,1). O 
montante acumulado é de R$ 1.500,00 (R$ 1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do 
primeiro mês + R$ 100,00 juros do segundo mês + R$ 100,00 juros do terceiro mês 
+ R$ 100,00 juros do quarto mês + R$ 100,00 juros do quinto mês).
Em capitalização simples, os juros são sempre calculados sobre o capital 
inicial.
NOTA
4 NOÇÕES DE JUROS COMPOSTOS
Segundo Wakamatsu (2012), ao contrário dos juros simples, que rendem 
juros apenas sobre o valor principal, os juros compostos rendem juros sobre os juros 
ganhos anteriormente. Os juros são adicionados ao valor principal. Os juros compostos 
são, simplesmente, juros sobre juros (WAKAMATSU, 2018). O juro composto tem o 
potencial de obter mais retorno do que apenas os juros simples de um investimento. Os 
investimentos crescem exponencialmente com juros compostos porque são baseados 
no poder principal de capitalização (CASTANHEIRA, 2012).
De acordo com Jacques (2010), o banco ou instituição fi nanceira, ou o credor, 
decidem sobre a frequência de capitalização. Pode ser diário, mensal, trimestral, 
semestral ou anual. Quanto maior a frequência de capitalização, maior será o valor de 
acumulação de juros. Assim, os investidores se benefi ciam mais dos juros compostos do 
que os tomadores do empréstimo (mutuários) (GIMENES, 2009).
A maioria das instituições bancárias utiliza juros compostos. A ideia por trás dos 
juros compostos é que, no segundo ano, você deve receber juros sobre os juros que 
ganhou no primeiro ano (VANNUCCI, 2017). Em outras palavras, os juros que você ganha 
54
no primeiro ano são combinados com o principal e, no segundo ano, você ganha juros 
sobre a soma combinada (BARROS, 2014). 
No regime de capitalização composta, segundo Horiguti et al. (2014), o valor 
futuro é calculado sobre o capital do período anterior, e não sobre o valor do capital 
inicial. O juro composto, conforme Wakamatsu (2018), tambémpode ser chamado de 
juros sobre juros, ou seja, é o resultado obtido após a incidência dos juros e serve de 
base para o cálculo do período seguinte.
Exemplo de cálculo de juros composto
Iremos usar o mesmo exemplo anterior, de forma a comparemos os valores. 
Pedro realiza um empréstimo bancário no valor de R$ 1.000,00, para ser pago 
daqui a 5 meses a uma taxa de 10% ao mês. Adotando o sistema de capitalização de 
juros composto, qual valor Pedro deve pagar ao banco?
QUADRO 3 – RESOLUÇÃO DO CÁLCULO DE JUROS COMPOSTO
FONTE: o autor
Tempo (n)
Mês
Capital ou 
Valor 
presente
% Juro
10% ou 0,1
Valor Juro
(Capital * % Juro)
Montante / Valor 
futuro
(Capital + Juro)
1 R$ 1.000,00 10% R$ 100,00 (1.000,00 x 0,1) R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 10% R$ 110,00 (1.100,00 x 0,1) R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 10% R$ 121,00 (1.210,00 x 0,1) R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 10% R$ 133,10 (1.331,00 x 0,1) R$ 1.464,10
5 R$ 1.464,10 10% R$ 146,41 (1.464,10 x 0,1) R$ 1.610, 51
Considerações
• No primeiro mês, temos um capital inicial de R$ 1.000,00 (referente ao empréstimo). 
Com uma taxa de juros de 10%, obtemos um valor de juros do primeiro mês de R$ 
100,00 (R$ 1.000,00 x 0,1). O montante acumulado é de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 
capital + R$ 100,00 juros do primeiro mês).
• No segundo mês, temos um capital inicial de R$ 1.100,00 (referente ao montante do 
mês anterior). Com uma taxa de juros de 10%, obtemos um valor de juros do segundo 
mês de R$ 110,00 (R$ 1.100,00 x 0,1). O montante acumulado é de R$ 1.210,00 (R$ 
1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do primeiro mês + R$ 110,00 juros do segundo mês).
• No terceiro mês, temos um capital inicial de R$ 1.210,00 (referente ao montante do 
mês anterior). Com uma taxa de juros de 10% ,obtemos um valor de juros do terceiro 
mês de R$ 121,00 (R$ 1.210,00 x 0,1). O montante acumulado é de R$ 1.331,00 (R$ 
1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do primeiro mês + R$ 110,00 juros do segundo 
mês + R$ 121,00 juros do terceiro mês).
55
• No quarto mês, temos um capital inicial de R$ 1.331,00 (referente ao montante do 
mês anterior). Com uma taxa de juros de 10%, obtemos um valor de juros do quarto 
mês de R$ 133,10 (R$ 1.331,00 x 0,1). O montante acumulado é de R$ 1.464,10 (R$ 
1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do primeiro mês + R$ 110,00 juros do segundo 
mês + R$ 121,00 juros do terceiro mês + R$ 133,10 juros do quarto mês).
• No quinto mês, temos um capital inicial de R$ 1.464,10 (referente ao montante do 
mês anterior). Com uma taxa de juros de 10%, obtemos um valor de juros do quinto 
mês de R$ 146,41 (R$ 1.464,10 x 0,1). O montante acumulado é de R$ 1.610,51 (R$ 
1.000,00 capital + R$ 100,00 juros do primeiro mês + R$ 110,00 juros do segundo 
mês + R$ 121,00 juros do terceiro mês + R$ 133,10 juros do quarto mês + R$ 146,41 
juros do quinto mês).
Diferença entre os sistemas de capitalização
Os juros simples são baseados no valor principal de um empréstimo ou 
depósito. Em contraste, os juros compostos são baseados no valor do principal e nos 
juros acumulados sobre ele em cada período (VANNUCCI, 2017). Para Samanez (2010), 
os juros compostos geralmente são um fator em transações comerciais, investimentos 
e produtos financeiros destinados a se estender por vários períodos ou anos. Os juros 
simples são usados principalmente para cálculos simples: aqueles que normalmente 
englobam um único período ou menos de um mês. Os juros simples também se aplicam 
a situações em aberto, como saldos de cartão de crédito (GIMENES, 2009).
Eles são calculados apenas sobre o valor principal de um empréstimo ou 
depósito, por isso é mais fácil determinar do que os juros compostos. Geralmente, os 
juros simples pagos ou recebidos em um determinado período são uma porcentagem 
fixa do valor principal que foi emprestado (GIMENES, 2009).
Os juros compostos são acrescidos aos juros acumulados de períodos anteriores, 
isso, em outras palavras, inclui juros sobre juros. Ele é calculado multiplicando o valor do 
principal por um mais a taxa de juros anual elevada ao número de períodos compostos 
e, em seguida, menos a redução do principal para aquele ano (GIMENES, 2009). Com 
juros compostos, o tomador do empréstimo deve pagar juros sobre os juros, bem como 
o principal (BARROS, 2014).
O Quadro 4 mostra a diferença entre valores que são obtidos com juros simples 
e com juros compostos. Observe que, com o passar dos meses, a diferença entre eles 
vai aumentando. 
56
QUADRO 4 – COMPARAÇÃO ENTRE SISTEMA JUROS SIMPLES E COMPOSTO
FONTE: o autor
Juros Simples Juros compostos
Mês Capital Juros Montante Juros Montante
1 R$ 1.000,00
R$ 100,00 
(1.000,00 x 0,1)
R$ 1.100,00
R$ 100,00 
(1.000,00 x 0,1)
R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00
R$ 100,00 
(1.000,00 x 0,1)
R$ 1.200,00
R$ 110,00 
(1.100,00 x 0,1)
R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00
R$ 100,00 
(1.000,00 x 0,1)
R$ 1.300,00
R$ 121,00 
(1.210,00 x 0,1)
R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00
R$ 100,00 
(1.000,00 x 0,1)
R$ 1.400,00
R$ 133,10 
(1.331,00 x 0,1)
R$ 1.464,10
5 R$ 1.464,10
R$ 100,00 
(1.000,00 x 0,1)
R$ 1.500,00
R$ 146,41 
(1.464,10 x 0,1)
R$ 1.610, 51
Quando o período de capitalização for igual a 1, a capitalização de juros simples 
será igual a capitalização de juros compostos. O único período (tempo) onde os dois 
sistemas de capitalização apresentam o mesmo valor de juros é quando o período é 
igual a “1”. Sempre que o período for maior que 1, o sistema de capitalização de juros 
compostos irá apresentar um maior valor de capitalização.
Comparado aos juros compostos, conforme Barros (2014), os juros simples 
são mais fáceis de calcular e mais fáceis de entender. Se você tem um empréstimo 
temporário ou com juros que não são compostos, você só precisa se preocupar com os 
juros adicionados ao saldo do principal pendente.
Quando se trata de investir, os juros compostos são melhores, pois permitem 
que os fundos cresçam a uma taxa mais rápida do que em uma conta com uma taxa 
de juros simples. Os juros compostos entram em jogo quando você está calculando 
o rendimento percentual anual (SAMANEZ, 2010). Para Vannucci (2017), essa é a taxa 
anual de retorno ou o custo anual do empréstimo de dinheiro. Nas próximas unidades, 
aprofundaremos cada um dos tipos de juros.
Caro acadêmico, o objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta didática desenvolvida 
e utilizada com o intuito de apresentar ao acadêmico um determinado tema e articular 
atividades relacionadas a ele, atendendo ao princípio norteador da UNIASSELVI, de que 
“não basta saber, é preciso saber fazer”. Dessa forma, nosso Objeto de Aprendizagem 
será composto por duas etapas: uma contendo a apresentação do conteúdo, e a outra 
contendo as atividades práticas relacionadas a ele.
DICA
57
Segue o link dos objetos de aprendizagem:
- Regime de capitalização:
https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/disc/10049/index.html
- Capitalização simples e composta:
https://static.asselvi.com.br/objetos/aprendhtml5/cuni/153741/index.html
Bons estudos!
58
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Renata de Moura Issa Vianna 
1.2 - Regimes de Capitalização
Considere um capital que é aplicado a uma determinada taxa por período ou 
por vários períodos. Quando queremos calcular qual é o valor de um montante, estamos 
querendo saber o resultado da capitalização do valor atual. O montante pode ser 
calculado de acordo com os seguintes critérios:
1. Regime de Capitalização Simples.
2. Regime de Capitalização Composta.
3. Regime de Capitalização Mista.
Analisemos cada uma das capitalizações.
1.2.1 - Regime de Capitalização Simples
No Regime de Capitalização Simples, a taxa de juros incide diretamente sobre 
o valor do capital. Em cada período, o juro é obtido pelo produto do capital inicial pela 
taxa unitária. Desta forma, os juros são iguais em cada período. É também chamado de 
Juros Simples.
Exemplo: Um investidor aplica $1.000,00 por um prazo de 4 meses a uma taxa 
mensal de 10%. Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de 
Capitalização Simples.
Resolução:Usando que M=C+J, calculamos o montante Mn ao final de cada mês n:
M1=1.000+1.000(0,1)=$1.100 
M2=1.100+1.000(0,1)=$1.200 
M3=1.200+1.000(0,1)=$1.300 
M4=1.300+1.000(0,1)=$1.400
Observe que, a cada mês, o montante é acrescido de $100,00. Assim, podemos 
afirmar que os montantes formam uma Progressão Aritmética de razão 100.
LEITURA
COMPLEMENTAR
59
No caso geral, para um capital C aplicado a juros simples durante n períodos a uma 
taxa unitária i referida nesse período, tem-se uma Progressão Aritmética cujo primeiro 
termo é C+Ci e a razão é Ci. Assim, lembrando que a equação que relaciona um termo 
qualquer an de uma Progressão Aritmética com o primeiro termo a1 e a razão r é dada por
an = a1 (n-1)r,
temos que o montante será dado por
M = (C+Ci) + (n-1)Ci
M = C+Ci + Cin-Ci
M = C + Cin
M = C (1+in)
Como M=C+J, temos que C+Cin=C+J. Logo,
J = Cin
Portanto, na Capitalização Simples, a cada período, aplicamos a taxa de juros 
sobre o capital e obtemos o valor do juro daquele período. Quando há mais de um período 
envolvido, basta somar todos os juros obtidos ou, de forma mais simples, multiplicar o 
juro de um período pelo número de períodos da aplicação.
Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples.
Exemplo: Um artigo de preço à vista igual a $700,00 pode ser adquirido com 
entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 
8% ao mês, qual o valor do pagamento devido?
Resolução:
Exemplo: Um empréstimo foi efetuado a uma taxa linear de 1,8% ao mês e pago 
um montante de $5.667,20 após 20 dias. Qual é o valor do empréstimo?
60
Resolução:
Exemplo: Um investidor aplicou $4.000,00 com capitalização simples à taxa 
de 5% ao mês. O montante que ele irá receber será de $7.000,00. Determine o prazo de 
aplicação.
Resolução:
1.2.2 - Regime de Capitalização Composta
No Regime de Capitalização Composta, a taxa de juros incide diretamente sobre 
o valor do montante do período anterior. É também chamado de Juros Compostos.
Exemplo: Um investidor aplica $1.000,00 por um prazo de 4 meses a uma taxa 
mensal de 10%. Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de 
Capitalização Composta.
Resolução:
Calculando o montante Mn ao final de cada mês n, obtemos:
M1 = 1.000(0,1) + 1.000 = 1.100
M2 = 1.100(0,1) + 1.100 = 1.210
M3 = 1.210(0,1) + 1.210 = 1.331
M4 = 1.331(0,1) + 1.331 = 1.464,10
Note que, a cada mês, o montante é acrescido de 10% do seu valor. Assim, 
podemos afirmar que os montantes formam uma Progressão Geométrica de razão 1,1.
61
De maneira geral, para um capital C, aplicado a juros compostos durante n 
períodos a uma taxa unitária i referida nesse período, tem-se uma Progressão Geométrica 
cujo primeiro termo é C(1+i) e a razão é (1+i). Portanto, lembrando que a equação que 
relaciona um termo qualquer a_n de uma Progressão Geométrica com o primeiro termo 
a1e a razão q é dada por
an = a1.q(n-1),
temos que o montante M será dado por
M = C(1+i)(1+i)(n-1)
M = C(1+i)n
Como podemos observar, o mesmo capital calculado sob as formas de ambos 
os regimes produz um total de juros de $400,00, na capitalização simples, e $464,10, 
na capitalização composta. Esta diferença entre as formas de cálculo é fruto da 
remuneração de juros sobre juros dos juros compostos.
Essa diferença é exponencial, pois, com o transcurso do tempo, o coeficiente 
angular dos juros compostos aumenta cada vez mais, enquanto o valor dos juros 
simples permanece o mesmo até o final da operação. O gráfico traz um comparativo 
entre ambos os sistemas de capitalização.
Observa-se pelo gráfico que:
• Para n > 1: Capitalização Composta > Capitalização Simples;
• Para 0<n<1: Capitalização Composta < Capitalização Simples;
• Para n=1: Capitalização Composta = Capitalização Simples.
GRÁFICO 1: COMPARAÇÃO DAS CAPITALIZAÇÕES SIMPLES E COMPOSTA
62
Exemplo: Uma aplicação especial rende 1,5% ao mês em regime de juros 
compostos. Certa pessoa deseja aplicar a quantidade $620,00 durante 2 anos. Qual é o 
montante gerado por essa aplicação?
Resolução:
Exemplo: Uma loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $2.600,00 
da seguinte forma:
Entrada: 10% de $2.600,00
Ao final de 8 meses: $3.270,00
Qual é a taxa exponencial mensal cobrada pela loja?
Resolução:
Exemplo: Determine o tempo necessário para o capital de $20.000,00 gerar um 
montante de $28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês.
Resolução:
63
FONTE: Adaptado de https://bit.ly/3DtK5o2. Acesso em: 28 mai. 2022. 
64
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu:
• Capitalização refere-se ao processo de integração do juro ao capital que o gerou.
• O capital refere-se ao valor expresso na moeda corrente de uma determinado país 
e disponível para operações financeira denominada capital. 
• Os juros nada mais são do que a remuneração do capital. 
• O sistema de capitalização é que irá definir a forma de acúmulo do juros.
• O sistema de capitalização apresenta dois tipos: sistema de capitalização simples e 
o sistema de capitalização compostos. 
• No sistema de capitalização simples, o juro incide somente sobre o capital inicial.
• No sistema de juros compostos, os juros incidem sobre o capital mais o juro 
acumulado anteriormente.
• As etapas do método para resolução de qualquer problema de matemática financeira 
são: Coleta de dados; Terminologia; Diagrama; Cálculo. 
• O regime de juros simples refere-se ao sistema no qual a taxa de juros incide apenas 
sobre o valor principal, de forma que não há incidência de juros sobre os juros 
gerados a cada período.
• O regime de juros simples, segundo Wakamatsu (2018), refere-se ao regime em que 
os juros de cada período são calculados sempre sobe o mesmo valor principal.
• No regime de capitalização composta, segundo Horiguti et al. (2014), o valor futuro 
é calculado sobre o capital do período anterior e não sobre o valor do capital inicial.
65
RESUMO DO TÓPICO 4 AUTOATIVIDADE
1 Mesmo considerando que a financeira seja uma disciplina da área de ciências 
exatas, é comum ela depender bastante da interpretação do leitor. Nesses termos, 
é importante que o leitor, ao realizar a leitura dos dados apresentados pela questão, 
realize a leitura e a interpretação para que seus dados sejam extraídos e trabalhados 
de forma correta. Dessa forma, a literatura apresenta um método de resolução de 
exercícios que envolve, essencialmente, quatro etapas. Sobre as etapas do método 
de resolução de exercícios, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Planejamento – execução - análise – feedback.
b) ( ) Coleta de dados – Terminologia – Diagrama – Cálculo.
c) ( ) Pesquisa – tabulação – análise – execução.
d) ( ) Controle – Gráfico – flexibilidade – métrica.
2 Capitalização refere-se ao processo de integração do juro ao capital que o gerou. 
Com base no sistema de capitalização simples e composto, quando a capitalização 
de juros simples será igual a capitalização de juros compostos?
a) ( ) Quando o período de capitalização for negativo.
b) ( ) Quando o período de capitalização for maior que 1.
c) ( ) Quando o período de capitalização for igual a 1.
d) ( ) Quando o período de capitalização for menor que 1.
3 O sistema de capitalização é que irá definir a forma de acúmulo dos juros. O sistema 
de capitalização apresenta dois tipos: sistema de capitalização simples e o sistema 
de capitalização composto. De acordo com os princípios do sistema de capitalização, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Capitalização refere-se ao processo de integração do juro ao capital que o gerou.
( ) O capital refere-se ao valor expresso na moeda corrente de uma determinado país 
e disponível para operações financeira denominada capital. 
( ) Juros nada mais é do que a remuneração do capital. 
( ) No sistema de capitalização composto, o juro incide somente sobre o capital inicial.
( ) No sistema de juros simples, os juros incidem sobre o capital mais o juro acumulado 
anteriormente.
66
Assinalea alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) F – V – F – V – F. 
b) ( ) V – F – V – F – V. 
c) ( ) F – V – V – V – V. 
d) ( ) V – V – V – F – F. 
4 No sistema de capitalização simples, o juro incide somente sobre o capital inicial. 
Conceitue regime de juros simples.
5 No sistema de juros compostos, os juros incidem sobre o capital mais o juro acumulado 
anteriormente. Conceitue regime de juros compostos.
67
REFERÊNCIAS
BARROS, D. M. Matemática Financeira. São Paulo: Rideel, 2014.
CASTANHEIRA, N. F.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 2ª Edição. 
Curitiba: Intersaberes, 2020.
CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, A. E. Geometria analítica em espaços de duas e três 
dimensões. 1. ed. Curitiba: Intersaberes, 2017.
CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática financeira e análise financeira 
aplicada: para todos os níveis. Curitiba: Juruá, 2014. 
CASTANHEIRA, N. HP-12c: Com utilizá-la com facilidade. Curitiba: IBEPEX, 2010.
FERREIRA, R. G. Matemática Financeira Aplicada: mercado de capitais, análise de 
investimentos, finanças pessoais e tesouro direto. São Paulo: Atlas, 2014.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira Com HP12C e Excel: uma abordagem 
descomplicada. São Paulo: Pearson, 2009.
GUIA HP12C. Hp 12c calculadora financeira, guia do usuário. 4ª edição. SanDiego, 
CA: HP invente, 2004.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2014.
HORIGUTI, A. M.; DONADEL, J. Matemática Comercial e Financeira e Fundamentos 
de Estatística. 1 ed. São Paulo: Érica, 2014.
JACQUES, I. Matemática para economia e administração. Tradução Regina Célia 
Simille de Macedo. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
NETO, A. A.; LIMA, F. G. Fundamentos de Administração Financeira. São Paulo: 
Atlas, 2017.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. 5.ed. 
São Paulo: Prentice Hall, 2010.
68
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica princípios e 
aplicações. 2ª Edição. São Paulo: Blucher, 2017.
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. 1ª Edição. São Paulo: Pearson, 2012.
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. 2ª Edição. São Paulo: Pearson, 2018.
69
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES
UNIDADE 2 —
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender o sistema de juros simples;
• elaborar cálculos de taxas proporcionais;
• realizar cálculos de juros simples;
• realizar cálculos de montante;
• realizar cálculos bancários.
A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de 
reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – TAXA DE JUROS
TÓPICO 2 – JUROS SIMPLES
TÓPICO 3 – CÁLCULO DO MONTANTE
TÓPICO 4 – OPERAÇÕES BANCÁRIAS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
70
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 2!
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71
TÓPICO 1 — 
TAXA DE JUROS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Os juros simples são um método utilizado no cálculo dos juros cobrados em um 
empréstimo (BARROS, 2014). São calculados multiplicando a taxa de juros diária pelo 
principal pelo número de dias decorridos desde o último pagamento (BARROS, 2014). 
Sempre que se efetua qualquer pagamento de um empréstimo a juros simples, o ajus-
tamento é efetuado primeiramente pelo montante dos juros e do capital remanescente.
Existem dois tipos: ordinário e exato. A única diferença é o uso do tempo em 
ambas as categorias. Quando falamos de juros simples ordinários, usa-se 360 dias como 
o número equivalente de dias em um ano enquanto. No caso dos juros simples exatos, 
usa-se o número exato de dias de um ano, que é 365 ou 366 em um ano bissexto.
Acadêmico, neste tópico, abordaremos conceitos, principais terminologias e cál-
culos de juros simples. Juros simples referem-se aos juros que são calculados sobre o 
capital inicial, ou seja, em juros simples não existe juros sobre juros. Dessa forma, o capital 
cresce de forma linear (SAMANEZ, 2010). Uma característica importante de juros simples 
é que ele pode ser convertido para qualquer outro prazo com a simples base de multipli-
cação ou divisões, sem prejudicar seu valor intrínseco, mantendo a sua proporcionalidade. 
Normalmente, juros simples têm sua utilidade no curtíssimo prazo (SAMANEZ, 2010). 
2 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O valor do dinheiro no tempo é um conceito financeiro básico, que sustenta que 
o dinheiro no presente vale mais do que a soma de dinheiro a ser recebida no futuro 
(JACQUES, 2010). Isso é verdade porque o dinheiro que se tem agora pode ser investido 
e gerar um retorno, criando, assim, uma quantidade maior de dinheiro no futuro 
(JACQUES, 2010). Além disso, com dinheiro futuro, existe o risco adicional de que o 
dinheiro nunca seja realmente recebido, por um motivo ou outro. O valor do dinheiro no 
tempo, às vezes, é chamado de valor presente líquido (VPL) do dinheiro (BARROS, 2014).
O valor do dinheiro no tempo também está relacionado aos conceitos de 
inflação e poder de compra (JACQUES, 2010). Ambos os fatores precisam ser levados 
em consideração, juntamente com qualquer taxa de retorno que possa ser obtida com 
o investimento do dinheiro.
72
O valor do dinheiro no tempo é o conceito de que uma soma de dinheiro vale mais 
agora do que a mesma soma valerá em uma data futura devido ao seu potencial de ganhos 
nesse ínterim. Esse é um princípio fundamental das finanças (SAMANEZ, 2010). Uma soma 
de dinheiro na mão tem valor maior do que ela soma a ser paga no futuro. O valor do dinheiro 
no tempo também é conhecido como valor presente descontado (JACQUES, 2010).
Os investidores preferem receber dinheiro hoje em vez de receber a mesma 
quantia no futuro, porque uma quantia, uma vez investida, cresce com o tempo. Por 
exemplo, o dinheiro depositado em uma conta poupança rende juros. Com o tempo, 
os juros são adicionados ao principal, rendendo mais juros. Esse é o poder dos juros 
compostos (VANNUCCI, 2017).
Se não for investido, o valor do dinheiro corrói com o tempo. Se você esconder 
R$ 3.000 em um colchão por cinco anos, perderá o dinheiro adicional que poderia ter 
ganho ao longo desse tempo se investido (BARROS, 2014). Ele terá ainda menos poder 
de compra quando você o recuperar, pois a inflação reduziu seu valor.
Como outro exemplo, digamos que um investidor tenha a opção de receber R$ 
7.000 agora ou R$ 7.000 daqui a dois anos. Apesar do valor nominal igual, R$ 7.000, hoje, 
tem mais valor e utilidade do que daqui a dois anos devido aos custos de oportunidade 
associados ao atraso. Em outras palavras, um pagamento atrasado é uma oportunidade 
perdida (VANNUCCI, 2017).
Valor do dinheiro no tempo X custo de oportunidade
O custo de oportunidade é a chave para o conceito do valor do dinheiro no 
tempo. O dinheiro só pode crescer se for investido ao longo do tempo e tiver um retorno 
positivo. O dinheiro que não é investido perde valor com o tempo (VANNUCCI, 2017). 
Portanto, uma quantia que se espera que seja paga no futuro, por mais confiante que 
seja, está perdendo valor nesse meio tempo (BARROS, 2014).
Importância do valor do dinheiro no tempo
O conceito do valor do dinheiro no tempo pode ajudar a orientar as decisões de 
investimento. Vannucci (2014) apresenta o seguinte exemplo: suponha que um investi-
dor possa escolher entre dois projetos: Projeto A e Projeto B. Eles são idênticos, exceto 
que o Projeto A promete um pagamento em dinheiro de R$ 1 milhão no ano um, enquan-
to o Projeto B oferece um pagamento em dinheiro de R$ 1 milhão no ano cinco. Os paga-
mentos não são iguais. O pagamento de R$ 1 milhão recebido após um ano tem um valor 
presente maior do que o pagamento de R$ 1 milhão após cinco anos (BARROS, 2014).
73
Valor do dinheiro no tempo X finanças
Seria difícil encontrar uma única área de finanças onde o valor do dinheiro no 
tempo não influenciasse o processo de tomada de decisão. O valor do dinheiro no tem-
po éo conceito central na análise de fluxo de caixa descontado, que é um dos méto-
dos mais populares e influentes para avaliar oportunidades de investimento (BARROS, 
2014). É também parte integrante das atividades de planejamento financeiro e gestão 
de risco. Gestores de fundos de pensão, por exemplo, consideram o valor do dinheiro no 
tempo para garantir que seus correntistas receberão fundos adequados na aposenta-
doria (VANNUCCI, 2017).
3 JUROS
Juros são o encargo monetário pelo privilégio de pedir dinheiro emprestado, 
normalmente expresso como uma taxa percentual anual. Eles são a quantidade 
de dinheiro que um credor ou instituição financeira recebe por emprestar dinheiro 
(WAKAMATSU, 2012).
Juros são a taxa paga sobre uma quantia, seja ela emprestada ou investida 
(BARROS, 2014).
Os juros podem afetá-lo em vários aspectos financeiros (WAKAMATSU, 2012):
• Ao pedir dinheiro emprestado: é preciso reembolsar o valor emprestado e incluir 
os pagamentos de juros, que representam o custo do empréstimo.
• Ao emprestar dinheiro: os credores geralmente definem uma taxa e obtêm receita 
de juros em troca de disponibilizar dinheiro para outras pessoas.
• Ao depositar dinheiro: contas com juros, como contas de poupança, pagam juros 
porque você está disponibilizando seu dinheiro ao banco para emprestar a outras 
pessoas.
Dois tipos principais de juros podem ser aplicados a empréstimos, os juros 
simples e os juros compostos. Juros simples são uma taxa fixa sobre o principal 
originalmente emprestado ao mutuário que o mutuário tem que pagar pela capacidade 
de usar o dinheiro. Os juros compostos são os juros sobre o principal e os juros 
compostos pagos sobre esse empréstimo. O último dos dois tipos de juros é o mais 
comum (BARROS, 2014).
Algumas das considerações que entram no cálculo do tipo de juros e do valor 
que um credor cobrará de um mutuário incluem (WAKAMATSU, 2012):
• Custo de oportunidade ou o custo da incapacidade do credor de usar o dinheiro que 
está emprestando.
• Valor da inflação esperada.
74
• O risco de que o credor não possa pagar o empréstimo devido à inadimplência.
• Período em que o dinheiro está sendo emprestado.
• Possibilidade de intervenção do governo nas taxas de juros.
• Liquidez do empréstimo.
Tipos de taxas
O sistema bancário apresenta alguns tipos de taxa como proporcional, 
equivalente, nominal e efetiva (CASTANHEIRA, 2010). No decorrer desse livro iremos 
aprofundar cada tipo de taxa, mas de forma introdutória, a seguir apresentamos conceito 
dos tipos de taxas:
Taxa proporcional: segundo Samanez (2010), é calculada pela relação simples 
entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e o número de vezes em que 
ocorrem juros (quantidade de períodos de capitalização).
Taxa equivalente: na matemática financeira, conforme Samanez (2010), 
intitulamos de equivalentes os capitais que apresentam o mesmo valor em uma 
determinada data de avaliação. Para o autor, a equivalência é utilizada para renegociação 
de dívidas, onde uma pessoa tem um débito com uma instituição financeira, tem 
conhecimento de que não tem condições de quitá-lo no prazo e renegocia a dívida, 
procurando uma nova data de pagamento. Nessa situação, de acordo Samanez (2010), 
é necessário que o novo montante seja equivalente ao que seria pago se fossem 
cumpridos dispositivos iniciais.
Taxa de juros nominal: é uma taxa referencial onde os juros são capitalizados 
mais de uma vez no período a que a taxa se refere. Em outras palavras, a taxa nominal 
é aquela calculada com base no valor nominal (SAMANEZ, 2010).
Taxa de juros efetiva: é a taxa calculada com base no valor efetivamente apli-
cado ou tomado emprestado, ou seja, com base no valor colocado à disposição do banco 
ou do cliente na data da aplicação ou do contrato de financiamento (SAMANEZ, 2010).
Histórico das taxas de juros
O custo de pedir dinheiro emprestado é considerado comum hoje em dia, 
no entanto, a ampla aceitação do interesse tornou-se comum apenas durante o 
Renascimento (JACQUES, 2010). Os juros são uma prática antiga; no entanto, as 
normas sociais das antigas civilizações do Oriente Médio, até os tempos medievais, 
consideravam a cobrança de juros sobre empréstimos uma espécie de pecado. Isso se 
deve, em parte, porque os empréstimos foram feitos para pessoas necessitadas e não 
havia outro produto além do dinheiro sendo feito no ato de emprestar ativos com juros.
75
A dúvida moral de cobrar juros sobre empréstimos desapareceu durante o 
Renascimento. As pessoas começaram a pedir dinheiro emprestado para expandir 
negócios na tentativa de melhorar sua própria estação (JACQUES, 2010). Segundo 
Barros (2014), mercados em crescimento e relativa mobilidade econômica tornaram os 
empréstimos mais comuns e tornaram a cobrança de juros mais aceitável. Para o autor, 
foi nessa época que o dinheiro começou a ser considerado uma mercadoria e o custo 
de oportunidade de emprestá-lo passou a valer a pena cobrar.
Irã, Sudão e Paquistão usam sistemas bancários sem juros. O Irã é completamente 
livre de juros, enquanto o Sudão e o Paquistão têm medidas parciais (JACQUES, 2010). 
Essa tendência nos bancos islâmicos – recusar-se a receber juros sobre empréstimos 
– tornou-se mais comum no final do século XX, independentemente das margens de 
lucro (BARROS, 2014).
Hoje, as taxas de juros podem ser aplicadas a vários produtos financeiros, 
incluindo hipotecas, cartões de crédito, empréstimos para carros e empréstimos 
pessoais (JACQUES, 2010). 
4 TAXA PROPORCIONAL
As taxas proporcionais são taxas de juros que se baseiam nas quantidades 
de bens e serviços adquiridos. Normalmente, a proporção é uma porcentagem fixa 
aplicada ao preço de compra dos itens adquiridos pelos compradores (GIMENES, 2009). 
Essa abordagem é diferente de outras formas de classificação, como as abordagens 
progressivas e regressivas que podem levar a uma mudança na taxa real com base 
em fatores relevantes. Com uma taxa proporcional, os juros aplicados permanecem os 
mesmos mesmo quando outros fatores mudam (CASTANHEIRA, 2010).
A ideia por trás de uma taxa proporcional é estabelecer um padrão que se 
aplique a qualquer situação (GIMENES, 2009). Isso evita a necessidade de reconhecer 
e analisar uma ampla gama de variáveis, uma tarefa que pode consumir muito tempo e 
complicar significativamente o processo contábil.
A taxa proporcional, também chamada de taxa linear, refere-se às taxas 
nominais de acordo com uma fração do tempo À qual elas correspondem (WAKAMATSU, 
2012). Para realizar seu cálculo, basta dividir a taxa nominal de juros pela fração do 
tempo que se quer calcular.
Caro acadêmico, use o Quadro 1 para ajudar no cálculo das taxas proporcionais.
76
TABELA 1 – TRANSFORMAÇÃO DAS TAXAS NO TEMPO
FONTE: o autor
Ano Sem. Quad. Trim. Bim. Mês Dia
1 ano 1 2 3 4 6 12 360 
1 semestre - 1 - 2 3 6 180 
1 quadrimestre - - 1. - 2 4 120 
1 trimestre - - - 1 - 3 90 
1 bimestre - - - - 1 2 60 
1 mês - - - - - 1 30 
1 dia - - - - - - 1 
Podemos observar na Tabela 1 os diferentes tempos e sua relação com anos, 
semestres, quadrimestre, trimestre, bimestres, mês e dias:
• 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 6 bimestres = 12 meses = 360 dias
• 1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres = 6 meses = 180 dias
• 1 quadrimestre = 2 bimestres = 4 meses = 120 dias
• 1 trimestre = 3 meses = 90 dias
• 1 bimestre = 2 meses = 30 dias
• 1 mês = 30 dias
O objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta didática desenvolvida e 
utilizada com o intuito de apresentar ao acadêmico um determinado tema e 
articular atividades relacionadas a ele, atendendo ao princípio norteador da 
UNIASSELVI, de que “não basta saber, é preciso saber fazer”. Dessa forma, 
nosso Objeto de Aprendizagem será composto por duas etapas: uma 
contendo a apresentação do conteúdo e a outra contendo as atividades 
práticas relacionadas a ele.
 Segue o link do objeto de aprendizagem:
- Conversão de prazos: https://bit.ly/3S5kIgv
Bons estudos!
DICA
Exemplo 1a
Qual a taxa proporcionalde 18,0% a.a. para ao mês?
Resolução:
18 / 12 = 1,5 (ou seja 1,5% a.m.)
77
Se temos uma taxa de 18,0% ao ano e queremos saber o quanto ela representa 
a cada mês, basta dividir 18 por 12 e chegaremos a 1,5% de juros ao mês. O 12 representa 
a quantidade de meses que tem em um ano, dessa forma, para descobrir a taxa de um 
mês, basta dividir taxa de ano por 12.
Exemplo 1b
Qual a taxa proporcional de 1,5% a.m. para ao ano?
Resolução:
1,5 * 12 = 18,0 (ou seja 18,0% a.a.)
Se temos uma taxa de 1,5% ao mês e queremos saber o quanto ela representa 
a cada ano, basta multiplicar 1,5 por 12 e chegaremos a 18,0% de juros ao ano. O 12 
representa a quantidade de meses que tem em um ano, dessa forma, para descobrir a 
taxa de um ano, basta multiplicar taxa de mês por 12.
Exemplo 2a
Qual a taxa proporcional de 2,0% a.m. para ao ano?
Resolução:
2,0 x 12 = 24 (ou seja 24,0% a.a.)
Se temos uma taxa de 2,0% ao mês e queremos saber o quanto ela representa a 
cada ano, basta multiplicar 2 por 12 e chegaremos a 24% de juros ao ano. O 12 representa 
a quantidade de meses que tem em um ano, dessa forma, para descobrir a taxa de um 
mês, basta dividir taxa de ano por 12.
Exemplo 2b
Qual a taxa proporcional de 24,0% a.a. para ao mês?
Resolução:
24 / 12 = 2 (ou seja 2,0% a.m.)
Se temos uma taxa de 24,0% ao ano e queremos saber o quanto ela representa 
a cada mês, basta dividirmos 24 por 12 e chegaremos a 2% de juros ao mês. O 12 
representa a quantidade de meses que tem em um ano, dessa forma, para descobrir a 
taxa de um ano, basta multiplicar taxa de mês por 12.
Exemplo 3a
Qual a taxa proporcional de 6,0% a.b. para ao semestre?
Resolução:
6 x 3 = 18 (ou seja 18,0% a.s.)
Se temos uma taxa de 6,0% ao bimestre e queremos saber o quanto ela representa 
a cada semestre, basta multiplicar 6 por 3 e chegaremos a 18% de juros ao semestre. 
O 3 representa a quantidade de bimestre que tem em um semestre, dessa forma, para 
descobrir a taxa de um semestre, basta multiplicar taxa de semestre por 3 bimestres.
78
Exemplo 3b
Qual a taxa proporcional de 18,0% a.s. para ao bimestre?
Resolução:
18 / 3 = 6 (ou seja 6,0% a.b.)
Se temos uma taxa de 18,0% ao semestre e queremos saber o quanto ela 
representa a cada semestre, basta dividir 18 por 3 e chegaremos a 6% de juros ao bimestre. 
O 3 representa a quantidade de bimestre que tem em um semestre, dessa forma, para 
descobrir a taxa de um bimestre, basta dividir taxa de semestre por 3 bimestres.
79
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu:
• O cálculo de juros simples apresenta, basicamente, três passos.
• O primeiro passo do cálculo de juros simples é igualar os períodos. 
• O segundo passo do cálculo de juros simples é transformar a taxa de percentual 
para decimal.
• O terceiro passo do cálculo de juros simples é calcular pela fórmula.
• A taxa proporcional também é chamada de taxa linear.
• A taxa proporcional refere-se às taxas nominais de acordo com uma fração do 
tempo ao qual elas se referem.
• Para realizar cálculo de taxa proporcional, basta dividir a taxa nominal de juros pela 
fração do tempo que se quer calcular.
80
AUTOATIVIDADE
1 Normalmente, juros simples têm sua utilidade no curtíssimo prazo. O cálculo de juros 
simples apresenta basicamente três passos: igualar os períodos; transformar a taxa 
de percentual para decimal: calcular pela fórmula. Conceitue taxa proporcional.
2 Juros simples referem-se aos juros que são calculados sobre capital inicial, ou 
seja, em juros simples não existe juros sobre juros, dessa forma, o capital cresce de 
forma linear. A taxas podem ser apresentadas em diferentes períodos apresentado 
diferentes simbologia para representar cada um dos períodos. Qual a simbologia de 
cada período?
3 Uma característica importante de juros simples que é ele pode ser convertido para 
qualquer outro prazo com a simples base de multiplicação ou divisões, sem prejudicar 
seu valor intrínseco, mantendo a sua proporcionalidade. Quais são os diferentes 
tempos e sua relação com anos, semestres, quadrimestre, trimestre, bimestres, mês 
e dias?
4 As taxas proporcionais são taxas de juros que se baseiam nas quantidades de bens e 
serviços adquiridos. Normalmente, a proporção é uma porcentagem fixa aplicada ao 
preço de compra dos itens adquiridos pelos compradores. Qual a taxa proporcional de 
6% a.s. para ao trimestre?
a) 1,5% a.m.
b) 2,7% a.m.
c) 1,0% a.m.
d) 0,5% a.m.
5 A ideia por trás de uma taxa proporcional é estabelecer um padrão que se aplique 
a qualquer situação. Isso evita a necessidade de reconhecer e analisar uma ampla 
gama de variáveis, uma tarefa que pode consumir muito tempo e complicar 
significativamente o processo contábil. Qual a taxa proporcional de 6% a.a. para ao 
quadrimestre?
a) 4,0% a.q.
b) 3,0% a.q.
c) 2,0% a.q.
d) 1,0% a.q.
81
6 A taxa proporcional, também chamada de taxa linear, refere-se às taxas nominais de 
acordo com uma fração do tempo à qual elas correspondem. Para realizar seu cálculo, 
basta dividir a taxa nominal de juros pela fração do tempo que se quer calcular. Qual 
a taxa proporcional de 30% a.t. para ao mês?
a) 10,0% a.m.
b) 1,0% a.m.
c) 15,0% a.m.
d) 3,0% a.m.
7 Com uma taxa proporcional, os juros aplicados permanecem os mesmos, mesmo 
quando outros fatores mudam. Qual a taxa proporcional de 11% a.b. para ao semestre?
a) 15,0% a.s.
b) 22,0% a.s.
c) 30,0% a.s.
d) 33,0% a.s.
8 A taxa proporcional é diferente de outras formas de classificação, como as abordagens 
progressivas e regressivas que podem levar a uma mudança na taxa real com base 
em fatores relevantes. Qual a taxa proporcional de 0,2% a.d. para ao mês?
Assinale a alternativa CORRETA:
a) 8,0% a.m.
b) 6,0% a.m.
c) 3,0% a.m.
d) 2,0% a.m.
82
83
JUROS SIMPLES
1 INTRODUÇÃO
Acadêmico, no Tópico 2, intitulado “Juros Simples”, abordaremos primeiramente 
o conceito para entender as diferenças de juros simples ordinário e juros simples exato. 
Em seguida, abordaremos os cálculos de juros simples pelas fórmulas, onde aprendere-
mos a principal fórmula de juros simples, bem como as suas derivadas. Posteriormente, 
analisaremos os cálculos de juros simples pela calculadora HP12C, onde aprenderemos 
os comandos para realizar os cálculos de juros simples ordinário.
Na sequência, abordaremos juros simples exato, bem como o montante com 
base nos juros simples exato. Aprenderemos, também, o conceito de juros exatos e de 
montante. Em seguida, estudaremos os cálculos de juros simples pelas fórmulas, onde 
conheceremos a fórmula principal. Feito isso, estudaremos o cálculo de juros simples 
exatos pela calculadora HP12C, aprendendo os comandos para realizar os cálculos. Por 
fim, abordaremos os cálculos de montante com base na taxa de juro exato, analisando 
os principais comandos na HP12C, bem como a resolução por meio da fórmula.
De uma forma geral, os conteúdos serão abordados teoricamente, e, posterior-
mente, com exemplos para facilitar na compreensão da prática. Por fim, com a resolução 
comentada dos exercícios, proporcionaremos aprendizado teórico e prático da temática 
de juros simples, explorando não só as fórmulas, mas também o uso da HP12C.
UNIDADE 2 TÓPICO 2 - 
Regras de arredondamento
A ABNT/NBR 5891 dispõe sobre as regras de arredondamento da numeração decimal.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado 
for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação. 
 Exemplo: 1,333 3 arredondado à primeira decimal, temos: 1,3.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 
superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o 
último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. 
 Exemplo A: 1,666 6 arredondado à primeira decimal, temos: 1,7.
 Exemplo B: 4,850 5 arredondados à primeira decimal, temos: 4,9.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado 
for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar oalgarismo a ser conservado para o 
algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, 
aumentará uma unidade.
 Exemplo: 4,550 0 arredondados à primeira decimal, temos: 4,6.
INTERESSANTE
84
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ú ltimo a ser conservado for 5 seguido 
de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modifi caç ã o.
 Exemplo: 4,850 0 arredondados à primeira decimal, temos: 4,8.
Nos exemplos a seguir, estamos aplicando a regra da ABNT arredondando para duas casas 
decimais. Repare na tabela que 0 é considerado par.
FONTE: Adaptado de https://bit.ly/3BioVGz. Acesso em: 19 ago. 2022.
2 JUROS SIMPLES ORDINÁRIOS (CALENDÁRIO 
COMERCIAL)
Juros simples é um método rápido e fácil de calcular juros sobre o dinheiro, no 
método de juros simples, os juros sempre se aplicam ao valor do principal original, com 
a mesma taxa de juros para cada ciclo de tempo. Quando investimos nosso dinheiro 
em qualquer banco, o banco nos fornece juros sobre o nosso valor (GIMENES, 2009). Os 
juros aplicados pelos bancos são de vários tipos, um deles é o juro simples (BARROS, 
2014). Agora, antes de nos aprofundarmos no conceito de juros simples, vamos primeiro 
entender o que é um empréstimo.
Um empréstimo é uma quantia que uma pessoa toma emprestado de um 
banco ou de uma autoridade fi nanceira para atender às suas necessidades. Existem 
empréstimos para habitação, empréstimos para automóveis, empréstimos para 
educação e empréstimos pessoais. O valor do empréstimo deve ser devolvido pela 
pessoa às autoridades no prazo com um valor extra, que geralmente é o juro que você 
paga pelo empréstimo (GIMENES, 2009).
Caro acadêmico, o cálculo de juros simples é realizado tanto por meio de 
fórmulas manualmente, como em alguns casos é possível resolver a questão por meio 
do uso da calculadora HP12C. Quando se tratar de juros simples, na HP12C só é possível 
calcular os juros, o montante, o desconto e o valor líquido. A taxa, o tempo e o valor 
85
presente (VP) não possuem uma programação na HP12C, para esses cálculos você terá 
que utilizar as fórmulas. Nesse livro, mostraremos as duas formas de fazer o cálculo de 
juros simples, ou seja, pela fórmula e pela HP12C.
Em juros simples, trabalhamos com dois tipos de juros, o juro ordinário e juro 
exato. O juro ordinário utiliza o calendário comercial onde todos os anos têm 360 dias 
e todos os meses têm 30 dias. Já o juro exato utiliza o calendário civil, onde o ano tem 
365 ou 366 dias, quando for ano bissexto.
Caro acadêmico, esse tema é tão importante que vale a pena reforçar.
Em juros simples, trabalhamos com dois tipos de juros, o juro ordinário e 
juro exato:
- O juro ordinário, que utiliza o calendário comercial onde todos os anos 
têm 360 dias e todos os meses têm 30 dias. 
- Já o juro exato utiliza o calendário civil, onde o ano tem 365 ou 366 dias, 
quando for ano bissexto.
IMPORTANTE
O cálculo de juros simples apresenta, basicamente, três passos:
Primeiro, igualar os períodos: 
Para cálculos de juros simples, utilizando a fórmula, sempre é preciso ajustar a 
taxa e o tempo para o mesmo período (unidade de tempo). Desta forma, de um exercício 
apresentar a taxa e o tempo em períodos divergentes, é preciso transformá-los em 
períodos iguais. Por exemplo: se a taxa estiver em dias e tempo em meses, é preciso 
ajustar ou a taxa para mês ou o tempo para dias. Se torna indiferente se optar por ajustar 
a taxa ou o tempo, o importante é que eles estejam no mesmo período.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal:
Sempre que for realizar o cálculo de juros simples utilizando algumas das 
fórmulas, lembre-se de que é obrigatório dividir a taxa (que está em porcentagem) por 
cem (para transformar a taxa em números decimais). 
Terceiro, calcular pela fórmula:
O cálculo de juros simples apresenta uma fórmula principal e outras três fór-
mulas derivadas, onde é possível realizar o cálculo de juros simples utilizando qualquer 
umas das quatro fórmulas.
Com base nessa introdução de juros simples, iniciaremos estudando primeira-
mente a taxa proporcional para que você, acadêmico, consiga realizar o primeiro passo 
de igualar os períodos, e só então veremos os cálculos de juros simples utilizando a 
fórmula e a calculadora pela HP12C.
86
A taxas podem ser apresentadas em diferentes períodos apresentado a seguinte 
simbologia para representar cada um dos períodos:
• taxa ao ano, simbolizada por a.a.;
• taxa ao semestre, simbolizada por a.s.;
• taxa ao quadrimestre, simbolizada por a.q.;
• taxa ao trimestre, simbolizada por a.t.;
• taxa ao mês, simbolizada por a.m.;
• taxa ao dia, simbolizada por a.d.
2.1 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES ORDINÁRIO PELAS 
FÓRMULAS 
A fórmula principal de juros simples ordinário é:
J = C * i * n
Onde:
• J = Juros simples
• C = Capital inicial ou capital principal, ou ainda valor presente (PV)
• I = taxa de juros (taxa de juros dividido por 100)
Caro acadêmico, sempre que você for fazer cálculo de juros simples 
utilizando algumas das fórmulas, lembre-se de que é obrigatório 
dividir a taxa (que está em porcentagem) por cem (para transformar 
a taxa em números decimais). 
Para cálculos de juros simples utilizando a fórmula, sempre é preciso 
ajustar a taxa e o tempo para o mesmo período (unidade de tempo). 
Dessa forma, se um exercício apresentar a taxa e o tempo em períodos 
divergentes, é preciso transformá-los em períodos iguais. Por exemplo: se 
a taxa estiver em dias e tempo em meses, é preciso ajustar ou a taxa para 
mês ou o tempo para dias. Se torna indiferente se optar por ajustar a taxa 
ou o tempo, o importante é que eles estejam no mesmo período.
Por último, lembre-se de que, quando se busca a taxa como resposta, é 
preciso multiplicar o resultado encontrado por 100, isso ocorre porque a 
fórmula como padrão usa a taxa em números decimais e, ao multiplicar por 
100, a taxa é transformada em percentual.
IMPORTANTE
87
Existem outras fórmulas derivadas da principal:
2.2 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES PELA CALCULADORA 
HP12C
Caro acadêmico, a HP12C automaticamente calcula juros simples ordinários 
(utilizando o calendário comercial, um ano de 360 dias) e exatos (utilizando um ano 
de 365 dias), simultaneamente. Além do cálculo dos juros, segundo o Guia da HP12C 
(2005), com os juros acumulados no mostrador da HP12C, é possível calcular também o 
valor total, ou seja, o valor principal mais juros acumulados. 
Como vimos, na HP12C só é possível calcular os juros e o montante. Dessa for-
ma, para cálculos de juros simples na HP12C, você SEMPRE deve deixar a taxa em ano e 
o tempo em dia. A seguir, vamos ver como calcular os juros simples utilizando a HP12C.
Comandos para realizar o cálculo de juros simples na HP12C:
1. Digite ou calcule o número de dias e aperte n .
2. Digite a taxa de juros anual e aperte i .
3. Digite o valor do principal e aperte CHS PV *
4. Aperte f INT para calcular e exibir os juros ordinários acumulados.
* Apertando-se a tecla PV , o valor do principal é registrado no registro PV, que então 
conterá o valor presente do valor sobre o qual os juros acumularão. A tecla CHS é pres-
sionada primeiro para trocar o sinal do principal antes de armazená -lo no registro PV. 
Isso é necessário devido à convenção para sinais de fl uxos de caixa, que se aplica prin-
cipalmente a cálculos de juros compostos, mas vale também para juros simples (GUIA 
HP12C, 2005).
Caro acadêmico, para cálculos de juros simples na HP12C, SEMPRE se deve 
deixar a taxa em ano e o tempo em dia.
IMPORTANTE
88
Quando se tratar de juros simples, na HP12C, só é possível calcular os 
juros, o montante e o desconto (desconto é um assunto que vermos ainda 
nesta unidade). A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma 
programação na HP12C. Para esses cálculos, você terá que utilizar as fórmulas.
ATENÇÃO
2.3 EXEMPLOS E RESOLUÇÃO
Exemplo 1
Seu amigo precisa de um empréstimo para começar uma empresa e pediuR$ 
450 emprestados por 60 dias. Você empresta o dinheiro a juros simples ordinários de 
7% a.a. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 60 dias? (GUIA DA 
HP12C, 2005).
Resolução pela fórmula:
Primeiro, igualar os períodos
Optamos em igualar todos os períodos ao ano. A taxa já está ao ano, basta 
transformar o tempo que está em dia para ano. Para isso, basta dividir tempo por 360, 
pois um ano tem 360 dias no calendário comercial.
60 / 360 = 0,16666666667
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
7 / 100 = 0,07
Terceiro, basta calcular pela fórmula
J = C * i * n
J = 450 * 0,07 * 0,166666667
J = 5,25 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 5,25)
Resolução pela HP12C
60 n
7 i
450 CHS PV
 f INT 
= 5,25 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 5,25)
Exemplo 2
Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 2.500,00 pelo prazo de 3 anos e à 
taxa de 15% ao ano. Qual o valor do juro simples ordinário a ser pago?
89
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos.
Como a taxa e o tempo estão em ano, ou seja, no mesmo período, não precisa 
ajustar.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
15 / 100 = 0,15
Terceiro, calcular pela fórmula
J = C * i * n
J = 2500 * 0,15 * 3
J = 1125,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 1,125,00)
Resolução pela HP12C
Ajuste do tempo: taxa sempre em ano; tempo sempre em dias
3 anos * 360 = 1080
>> Cálculo na HP12C
1080 n
15 i
2500 CHS PV
f INT 
= 1.125,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 1,125,00)
Exemplo 3
Mario realizou uma aplicação de R$ 7.000,00 a uma taxa de 1,8% ao mês em 
juros simples ordinário e gerou juros de R$ 800,00. Sabendo essas informações, calcule 
por quantos meses o capital ficou aplicado.
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Como a taxa está ao mês e a questão está pedindo o tempo ao mês, não precisa 
ajustar.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
1,8 / 100 = 0,018
90
Terceiro, calcular pela fórmula
J = C * i * n
800 = 7000 * 0,018 * n
800 = 126 * n
800 / 126 = n
n = 6,35 (ou seja 6,35 meses)
Resolução pela HP12C
A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros 
simples ordinário quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para 
identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula.
Exemplo 4
Considerando que um capital de R$ 3.000,00 é aplicado durante 15 meses e 
produz juros de R$ 1.000,00. Tendo conhecimento destes dados, calcule a taxa mensal 
dessa aplicação.
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Como a taxa está ao mês e o enunciado da questão está pedindo o tempo ao 
mês, não precisa ajustar.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
A questão está justamente pedindo a taxa. Lembre-se de que, quando se busca 
a taxa como resposta, é preciso multiplicar o resultado encontrado por 100, isso ocorre 
porque a fórmula como padrão usa a taxa em números decimais e, ao multiplicar por 
100, a taxa é transformada em percentual.
Terceiro, calcular pela fórmula
J = C * i * n
1000 = 3000 * i * 15
1000 = 45.000 * i 
1000 / 45.000 = i
i = 0,0222 (em decimais)
i = 0,0222 * 100 
i = 2,22 (em percentual ou seja 2,22% a.m.)
91
Resolução pela HP12C
A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros 
simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar 
a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula.
Exemplo 5
Um capital foi aplicado durante 60 meses e a uma taxa de 24% ao ano. 
Sabendo que os juros simples ordinário do período foram R$ 3.000,00, calcule o capital 
inicialmente aplicado.
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos. 
Optamos em igualar todos os períodos ao mês. O tempo já está ao mês, basta 
apenas transformar a taxa que está em ano para mês. Para isso, basta dividir a taxa por 
12, pois um ano tem 12 meses.
24 / 12 = 2% a.a.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
2 / 100 = 0,02
Terceiro, calcular pela fórmula
J = C * i * n
3.000 = C * 0,02 * 60
3.000 = C * 1,2
C = 3000 / 1,2
C = 2.500 (ou seja, R$ 2.500,00)
 
Resolução pela HP12C
A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros 
simples ordinário quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para 
identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula.
3 JUROS EXATOS (CALENDÁRIO CIVIL) E MONTANTE 
COM BASE NO JUROS EXATOS
Juro exato é quando realizamos os cálculos de juros simples utilizando o 
calendário civil com ano de 365 ou 366 dias, se for um ano bissexto. Assim como em 
juros simples ordinários, em que é utilizado calendário comercial, em que o ano tem 360 
dias, nos cálculos de juros exatos também é possível realizar por meio de fórmulas, bem 
como uso da HP12C.
92
Quando se tratar de juros simples exatos, na HP12C, só é possível calcular os 
juros, o montante e o desconto. A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem 
uma programação na HP12C. Para esses cálculos você terá que utilizar as fórmulas. 
Para cálculos de juros simples exatos, tanto no cálculo pela fórmula como no cálculo na 
HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia.
3.1 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES PELAS FÓRMULAS 
A fórmula principal de juros simples exatos é:
Fórmula do montante exato:
M = C + J. exato
M = 450 + 5,18
M = 455,18
3.2 CÁLCULO DE JUROS SIMPLES EXATOS PELA 
CALCULADORA HP12C
Caro acadêmico, a HP12C automaticamente calcula juros simples exatos 
(utilizando o calendário civil, um ano de 365 ou 366 dias, se for ano bissexto). Além 
do cálculo dos juros simples exatos, segundo Guia da HP12C (2005), com os juros 
acumulados no mostrador da HP12C, é possível calcular a amortização (valor total), ou 
seja, o valor principal mais juros acumulados. 
Quando se tratar de juros simples exatos, na HP12C só é possível calcular os juros 
e o montante. A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma programação 
na HP12C, para esses cálculos você terá que utilizar as fórmulas. Por fim, para cálculos 
de juros simples exatos na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia.
Comandos para realizar o cálculo de juros simples na HP12C:
1. Digite ou calcule o número de dias e aperte n.
2. Digite a taxa de juros anual e aperte i .
3. Digite o valor do principal e aperte CHS PV *
4. Aperte fÏ para calcular e exibir os juros ordinários acumulados.
5. Se você quiser exibir os juros exatos acumulados, aperte R↓ X><Y .
6. Aperte + para calcular o total do principal mais os juros acumulados exibidos 
no mostrador.
93
As quantidades n, i e PV podem ser informadas em qualquer ordem.
Caro acadêmico, este tema é tão importante que vale a pena reforçar.
Em juros simples trabalhamos com dois tipos de juros, o juro ordinário e juro 
exato:
- O juro ordinário utiliza o calendário comercial em que todos os anos têm 
360 dias e todos os meses têm 30 dias. 
- Já o juro exato utiliza o calendário civil, em que o ano tem 365 ou 366 dias, 
quando for ano bissexto.
IMPORTANTE
IMPORTANTE
* Apertando-se a tecla PV , o valor do principal é registrado no registro PV, que então 
conterá o valor presente do valor sobre o qual os juros acumularão. A tecla CHS é 
pressionada primeiro para trocar o sinal do principal antes de armazená -lo no registro 
PV. Isso é necessário devido à convenção para sinais de fl uxos de caixa, que se aplica 
principalmente a cálculos de juros compostos, mas vale também para juros simples 
(GUIA HP12C, 2005).
3.3 EXEMPLOS E RESOLUÇÃO
Exemplo 1
Seu amigo precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu 
R$ 450 emprestados por 60 dias. Você empresta o dinheiro a juros simples exato de 7%. 
Qual é o valor dos juros exato acumulados que ele lhe deveráapós 60 dias e qual será o 
montante calculado com juros exatos devido? (GUIA DA HP12C, 2005).
Resolução Pela fórmula:
Primeiro, igualar os períodos
Caro acadêmico, para cálculos de juros simples exatos, tanto no cálculo pela 
fórmula como no cálculo na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em 
dia. O enunciado já apresentou os dados neste período.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
7 / 100 = 0,07
94
 Terceiro, basta calcular pela fórmula
J = (C * i * n) / 365
J = (450 * 0,07 * 60) / 365
J = 1.890 / 365
J = 5,18 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 5,18)
M = C + J
M = 450 + 5,18
M = 455,18 (ou seja, montante com juros exatos de R$ 455,18) 
Resolução pela HP12C
60 n
7 i
450 CHS PV
 f INT R↓ X><Y
= 5,18 (ou seja, o valor dos juros exatos acumulados é R$ 5,18)
 + 455,18 (ou seja, montante com juros exatos de R$ 455,18) 
Exemplo 2
Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 2.500,00 pelo prazo de 3 anos e à 
taxa de juros exatos de 15% ao ano. Qual o valor do juro simples exato a ser pago e qual 
o valor do montante com base no juro exato?
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Caro acadêmico, para cálculos de juros simples exatos, tanto no cálculo pela 
fórmula como no cálculo na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia.
3 anos * 365 dias = 1095 dias
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
15 / 100 = 0,15
Terceiro, calcular pela fórmula
J = (C * i * n) / 365
J = (2.500 * 0,15 * 1.095) / 365
J = 410.625 / 365
J = 1.125 (ou seja, o valor dos juros exatos acumulados é R$ 1.125,00)
M = C + J
M = 2500 + 1125
M = 3.625 (ou seja, montante de R$ 3.625,00)
95
Resolução pela HP12C
Ajuste do tempo: taxa sempre em ano; tempo sempre em dias
3 anos * 365 = 1.095 dias
>> Cálculo na HP12C
1.095 n
15 i
2.500 CHS PV
f INT R↓ X><Y
= 1.125 (ou seja, o valor dos juros exatos acumulados é R$ 1,125,00)
+ 3.625 (ou seja, montante de R$ 3.625,00)
96
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu:
• O juro ordinário utiliza o calendário comercial, em que todos os anos têm 360 dias e 
todos os meses têm 30 dias. 
• O juro exato utiliza o calendário civil, em que o ano tem 365 ou 366 dias, quando for 
ano bissexto.
• Sempre que for fazer cálculo de juros simples utilizando algumas das fórmulas, 
lembre-se de que é obrigatório dividir a taxa (que está em porcentagem) por cem 
(para transformar a taxa em números decimais). 
• Para cálculos de juros simples utilizando a fórmula, sempre é preciso ajustar a taxa 
e o tempo para o mesmo período (unidade de tempo). 
• Quando se busca a taxa como resposta, é preciso multiplicar o resultado encontrado 
por 100. Isso ocorre porque a fórmula como padrão usa a taxa em números decimais 
e, ao multiplicar por 100, a taxa é transformada em percentual.
• Quando se tratar de juros simples, na HP12C, só é possível calcular os juros, o 
montante e o desconto (desconto é um assunto que vermos ainda nesta unidade).
• A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma programação na HP12C
• Juro exato é quando realizamos os cálculos de juros simples utilizando o calendário 
civil, com ano de 365 ou 366 dias, se for um ano bissexto. 
• Em juros simples exatos, as quantidades n, i e PV podem ser informadas em qualquer 
ordem.
• Para cálculos de juros simples exatos, tanto no cálculo pela fórmula como no cálculo 
na HP12C, SEMPRE se deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia. 
97
AUTOATIVIDADE
1 Um investido precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu 
R$ 5.000,00 emprestados por 180 dias. O banco empresta o dinheiro a juros simples 
ordinários de 12% a.a. Qual é o valor dos juros acumulados que ele deverá após 180 dias?
a) R$ 300,00.
b) R$ 230,00.
c) R$ 450,00.
d) R$ 390,00.
2 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 34.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 
6% ao ano. Qual o valor dos juros simples ordinário a ser pago?
a) R$ 7,530,00.
b) R$ 3,390,00.
c) R$ 5,620,00.
d) R$ 4,080,00.
3 Mario realizou uma aplicação de R$ 43.000,00 a uma taxa de 0,9% ao mês em juros 
simples ordinário e gerou juros de R$ 5.000,00. Sabendo essas informações, calcule 
por quantos meses o capital ficou aplicado.
a) 6,59 meses.
b) 8,34 meses.
c) 10,11 meses.
d) 12,92 meses.
4 Considerando que um capital de R$ 39.000,00 é aplicado durante 44 meses e produz 
juros ordinário de R$ 3.000,00. Tendo conhecimento desses dados, calcule a taxa 
mensal dessa aplicação.
a) 0,11% a.m.
b) 0,17% a.m.
c) 0,48% a.m.
d) 0,9% a.m.
5 Um capital foi aplicado durante 120 meses e a uma taxa de 18% ao ano. Sabendo que 
os juros simples ordinário do período foram R$ 6.000,00, calcule o capital inicialmente 
aplicado.
98
a) R$ 3.333,33.
b) R$ 5.500,10.
c) R$ 7,616,16.
d) R$ 9.000,00.
Autoatividade juros exatos e montante com base nos juros exatos
6 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 30.000,00 pelo prazo de 7 anos e à taxa de 
juros exatos de 17% ao ano. Qual o valor do juro simples exato a ser pago e qual o valor 
do montante com base nos juros exatos?
a) Juros exatos: R$ 20.300,00; Montante: R$ 50.300,00
b) Juros exatos: R$ 35.700,00; Montante: R$ 65.700,00
c) Juros exatos: R$ 42.400,00; Montante: R$ 72.400,00
d) Juros exatos: R$ 51.200,00; Montante: R$ 81.200,00
7 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 13.000,00 pelo prazo de 500 dias e à taxa 
de juros exatos de 6% ao ano. Qual o valor dos juros simples exatos a serem pagos e 
qual o valor do montante com base nos juros exatos?
a) Juros exatos: R$ 800,00; Montante: R$ 13.800,00.
b) Juros exatos: R$ 1.120.32; Montante: R$ 14.068,49.
c) Juros exatos: R$ 1.068,49; Montante: R$ 14.068,49.
d) Juros exatos: R$ 1.120.32; Montante: R$ 2.560,00.
8 O valor do empréstimo deve ser devolvido pela pessoa às autoridades no prazo com 
um valor extra, que geralmente é o juro que você paga pelo empréstimo. Disserte 
sobre a diferença de juros ordinário e juros exatos.
9 Quando investimos nosso dinheiro em qualquer banco, o banco nos fornece juros 
sobre o nosso valor. Os juros aplicados pelos bancos são de vários tipos, um deles é o 
juro simples. Disserte sobre o conceito de juros simples.
99
TÓPICO 3 - 
CÁLCULO DO MONTANTE
1 INTRODUÇÃO
Acadêmico, no Tópico 3, intitulado “cálculo do montante” abordaremos inicial-
mente o conceito de montante e sua usabilidade no mercado financeiro. Em seguida, 
analisaremos os cálculos do montante pelas fórmulas, estudando as duas fórmulas bá-
sicas de montante. Na sequência, abordaremos o cálculo do montante pela calculadora 
HP12C, onde estudaremos os comandos para realizar os cálculos de juros simples.
O montante, segundo Castanheira e Macedo (2020), refere-se ao capital 
envolvido em uma operação financeira, somado ao juro, ou seja, representa o valor total 
de uma dívida ou valor futuro. Para Castanheira e Serenato (2014, p. 47), “é possível 
obter o valor do montante calculado juros simples, o período de capitalização a período 
de capitalização e incorporando-o ao capital inicial para o próximo período”.
A literatura apresenta o montante, que pode também ser chamado de valor 
futuro, pois ele representa a soma do capita inicial, somados os juros de determinado 
período. Ao longo desse tópico, aprofundaremos esse conceito, de forma a proporcionar 
tanto domínio tanto teórico quanto prático das fórmulas, como da HP12C. 
UNIDADE 2
2 MONTANTE
 
O montante, segundo o Guia HP12C (2004), também chamado de valor total, é a 
soma do valor principal mais juros acumulados. O montante refere-se à soma do capital 
(valor presente) mais os juros referentes ao período de capitalização. Para cálculo do 
montante, podemos usar basicamente duas fórmulas que veremos a seguir.
2.1 CÁLCULO DO MONTANTE PELAS FÓRMULAS
As fórmulas para cálculos do montante são basicamente duas, que são 
apresentadas a seguir.
M = C + J
Onde: 
• M = Montante
• C = Capital
• J = Juros
100
Outra fórmula é:
M = C * (1 + i * n)
A escolhade qual fórmula usar vai depender das informações apresentadas em 
cada exercício. 
2.2 CÁLCULO DO MONTANTE PELA CALCULADORA HP12C
Caro acadêmico, a HP12C automaticamente calcula juros simples ordinários 
(utilizando o calendário comercial, um ano de 360 dias) e exatos (utilizando um ano de 
365 dias), simultaneamente. Além do cálculo dos juros, segundo Guia da HP12C (2005), 
com os juros acumulados no mostrador da HP12C, é possível calcular o valor total, ou 
seja, o valor principal mais juros acumulados. 
Quando se tratar de juros simples, na HP12C só é possível calcular os juros e o 
montante. A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma programação na 
HP12C, para esses cálculos você terá que utilizar as fórmulas. Por fim, para cálculos de 
juros simples na HP12C, SEMPRE se deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia.
Comandos para realizar o cálculo de juros simples na HP12C:
1. Digite ou calcule o número de dias e aperte n .
2. Digite a taxa de juros anual e aperte i .
3. Digite o valor do principal e aperte CHS PV *
4. Aperte f INT para calcular e exibir os juros ordinários acumulados.
5. Aperte + para calcular o montante (total do principal mais os juros acumulados 
exibidos no mostrador).
* Apertando-se a tecla PV , o valor do principal é registrado no registro PV, que então 
conterá o valor presente do valor sobre o qual os juros acumularão. A tecla CHS é 
pressionada primeiro para trocar o sinal do principal antes de armazená-lo no registro 
PV. Isso é necessário devido à convenção para sinais de fluxos de caixa, que se aplica 
principalmente a cálculos de juros compostos, mas vale também para juros simples 
(GUIA HP12C, 2005).
2.3 EXERCICIO E RESOLUÇÃO
Exemplo 1
Qual o montante, de uma aplicação de R$ 50.000,00, durante 30 meses à taxa 
de 18% ao ano em juros simples ordinário?
101
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Optamos em igualar todos os períodos ao mês. O tempo já está ao mês, basta 
transformar a taxa que está em ano para mês. Para isso, basta dividir a taxa por 12, pois 
um ano tem 12 meses.
18 / 12 = 1,5% a.m.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100
1,5 / 100 = 0,015
Terceiro, calcular pela fórmula
M = C * (1 + i * n)
M = 50.000 * (1 + 0,015 * 30)
M = 50.000 * (1 + 0,45)
M = 50.000 * 1,45
M = 72.500 (ou seja, R$ 72.500,00)
Resolução pela HP12C
Ajuste do tempo
30 meses * 30 dias = 900 (multiplica 30 meses por 30 dias que tem um mês no 
calendário comercial).
>> Cálculo na HP12C
900 n
18 i
50.000 CHS PV
f INT 
= 22.500 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 22.500,00).
 + **
= 72.500 (ou seja, o valor do montante é R$ 72.500,00)
** Observação: Aperte + para calcular o total do principal mais os juros acumulados 
exibidos no mostrador.
Exemplo 2
Determine qual é o capital inicial necessário para obter um montante de R$ 
30.000,00, em um período de 900 dias, a uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros 
simples ordinário.
102
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Optamos em igualar todos os períodos ao mês. A taxa já está em meses, basta 
apenas transformar o tempo que está em dias para meses. Para isso, basta dividir o 
tempo por 30, pois um ano comercial o mês tem 30 dias.
900 / 30 = 30 (ou seja, 30 meses)
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100
1 / 100 = 0,01 (1% dividido por 100 igual a 0,01 decimais)
Terceiro, calcular pela fórmula
M = C * (1 + i * n)
30.000 = C * (1 + 0,01 * 30)
30.000 = C * (1 + 0,3)
30.000 = C * 1,3
30.000 / 1,3 = C
C = 23.076,92 (ou seja, capital de R$ 23.076,92)
Resolução pela HP12C
A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros 
simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar 
a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula.
Exemplo 3
Por quantos meses deve ser aplicado o capital de R$ 4.000,00 a uma taxa de 
juros ordinário de 21,6% ao ano para obter um montante de R$ 4.576,00.
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Optamos em igualar todos os períodos ao mês, pois a questão pede a resposta 
em meses. Basta transformar a taxa que está em anos para meses. Para isso, é preciso 
dividir a taxa por 12, pois um ano tem 12 meses.
21,6 / 12 = 1,8 (ou seja, 1,8% a.m.)
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100
1,8 / 100 = 0,018
103
Terceiro, calcular pela fórmula
M = C * (1 + i * n)
4576 = 4.000 * (1 + 0,018 * n)
4576 / 4.000 = (1 + 0,018 * n)
1,144 = 1 + 0,018 * n
1,144 - 1 = 0,018 * n
0,144 = 0,018 * n
0,144 / 0,018 = n
n = 8 (ou seja, 8 meses)
Resolução pela HP12C
A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros 
simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar 
a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula.
Exemplo 4
Calcule a taxa mensal, em que deve ser aplicado um capital de R$ 20.000,00, 
durante 12 meses (calendário comercial), para obter um montante de R$ 35.000,00.
Resolução pela fórmula
Primeiro, igualar os períodos
Como o exercício pede a taxa em meses e o tempo já está em meses, não é 
preciso fazer ajustes no período.
Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100
A questão está justamente pedindo a taxa. Lembre-se de que, quando se busca 
a taxa como resposta, é preciso multiplicar o resultado encontrado por 100, isso ocorre 
porque a fórmula como padrão usa a taxa em números decimais e, ao multiplicar por 
100, a taxa é transformada em percentual.
Terceiro, calcular pela fórmula
M = C * (1 + i * n)
35000 = 20.000 * (1 + i * 12)
35000 / 20.000 = (1 + i * 12)
1,75 = 1 + i * 12
1,75 - 1 = i * 12
0,75 = i * 12
0,75 / 12 = i
i = 0,0625 (em decimais)
i = 0,0625 * 100
i = 6,25 (em percentual ou seja 6,25% a.m.)
104
Resolução pela HP12C
A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros 
simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar 
a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula.
105
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu:
• O montante, também chamado de valor total, é a soma do valor principal mais juros 
acumulados. 
• O montante refere-se à soma do capital (valor presente) mais os juros referentes ao 
período de capitalização. 
• O montante refere-se ao capital envolvido em uma operação financeira, somado ao 
juro.
• O montante representa o valor total de uma dívida ou valor futuro. 
• Para cálculo do montante podemos usar basicamente duas fórmulas: M = C + J e M 
= C * (1 + i * n).
• Para cálculos de juros simples na HP12C, SEMPRE se deve deixar a taxa em ano e o 
tempo em dia.
• A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma programação na HP12C.
106
AUTOATIVIDADE
1 A matemática financeira faz parte da sua vida. Quanto maior for a compreensão de 
seus conceitos, melhor será o entendimento das possíveis oscilações nas finanças. 
Na prática, esses conceitos serão incorporados a uma série de fórmulas que, por 
sua vez, vão servir como poderosos instrumentos para a obtenção de informações 
estratégicas. Conceitue montante.
2 Qual o montante, de uma aplicação de R$ 85.000,00, durante 80 meses à taxa de 15% 
ao ano em juros simples ordinário?
a) R$ 100.000,00.
b) R$ 140.000,00.
c) R$ 170.000,00.
d) R$ 190.000,00.
3 Determine qual é o capital inicial necessário para obter um montante de R$ 27.000,00, 
em um período de 500 dias, a uma taxa de 1,7% ao mês, no regime de juros simples 
ordinário.
a) R$ 21.038,96.
b) R$ 33.560,10.
c) R$ 18.204,31.
d) R$ 40.790,53.
4 Por quantos meses deve ser aplicado o capital de R$ 68.000,00 a uma taxa de juros 
ordinário de 19,4% ao ano para obter um montante de R$ 200.000,00?
a) 30 meses.
b) 60 meses.
c) 90 meses.
d) 120 meses.
5 Calcule a taxa de juros mensal ordinário, que deve ser aplicado um capital de R$ 
10.000,00, durante 18 meses, para obter um montante de R$ 20.000,00.a) 7,80% a.m.
b) 4,29% a.m.
c) 5,56% a.m.
d) 11,13% a.m.
107
6 Um investidor precisa de um empréstimo para conectar mais uma empresa e pediu 
R$ 5.000,00 emprestados por 180 dias. O banco empresta o dinheiro a juros simples 
ordinário de 12% a.a. Qual é o valor do montante que ele deverá após 180 dias?
a) R$ 5.300,00.
b) R$ 5.230,00.
c) R$ 5.450,00.
d) R$ 5.390,00.
7 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 34.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 
juros simples ordinário de 6% ao ano. Qual o valor do montante a ser pago?
a) R$ 40,530,00
b) R$ 37,390,00..
c) R$ 39,620,00.
d) R$ 38,080,00.
8 O montante, também chamado de valor total, é a soma do valor principal mais juros 
acumulados. O montante refere-se à soma do capital (valor presente) mais os juros 
referentes ao período de capitalização. Disserte sobre montante.
9 Quando se tratar de juros simples, na HP12C só é possível calcular os juros e o 
montante. A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma programação na 
HP12C, para esses cálculos você terá que utilizar as fórmulas.
108
109
TÓPICO 4 - 
OPERAÇÕES BANCÁRIAS
1 INTRODUÇÃO
Acadêmico, no Tópico 4, intitulado de “Operações Bancárias”, abordaremos 
inicialmente os conceitos de desconto comercial ou bancário. Abordaremos os títulos 
mais comuns que costumam sofrer operações de desconto. Abordaremos a função do 
desconto no mercado comercial e bancário.
Posteriormente, abordaremos os cálculos do desconto comercial. Primeiramente 
analisaremos os cálculos por meio das fórmulas. Basicamente, existe uma fórmula 
principal, mas dela derivam outras três. Em seguida, analisaremos o cálculo do desconto 
comercial por meio do uso da calculadora HP12C. 
O aprendizado permite que o aluno saiba tanto a parte teórica como prática 
dos cálculos do montante, não se limitando apenas aos cálculos via fórmula, mas 
também com uso da HP12C. Os diversos exercícios apresentam resolução comentada 
dos exercícios de forma a facilitar o entendimento nos estudos individuais, bem como 
discussão em grupo das diversas formas de resolução de uma mesma questão.
UNIDADE 2
2 OPERAÇÕES BANCÁRIAS
De acordo com Gimenes (2009), existem inúmeros tipos de bancos e instituições 
financeiras atualmente operando no mundo. Para o autor, cada uma dessas instituições 
busca fornecer um conjunto específico de serviços, não sendo incomum uma 
organização adequar seus serviços a um determinado mercado ou tipo de investidor. 
As operações bancárias, segundo Barros (2014), envolvem as práticas e 
procedimentos que um banco usa para garantir que as transações dos clientes sejam 
concluídas de forma precisa e adequada. O autor apresenta o exemplo: se um cliente 
deseja comprar ações, o banco garante que o dinheiro e as ações estão prontos para 
serem negociados. O banco supervisionará a transferência real das ações e dos fundos 
e garantirá que todos os requisitos de relatórios relativos à transação sejam registrados 
(GIMENES, 2009). Durante todo o processo, o banco se concentra em proteger sua 
clientela e procurar possíveis ameaças às finanças do cliente.
Banco de varejo 
Em geral, muitas pessoas estão mais familiarizadas com o banco de varejo. O 
banco de varejo presta serviços ao público em geral, incluindo empréstimos, depósitos e 
contas correntes (GIMENES, 2009). Como esses bancos atendem à população em geral, 
110
o mercado é altamente competitivo. Para construir uma base de clientes, a maioria dos 
bancos se concentra em fornecer serviços altamente convenientes e acessíveis à sua 
clientela (BARROS, 2014). Uma vez que um cliente contrata um banco para fornecer 
um determinado serviço, como uma conta corrente, o banco normalmente incentiva o 
cliente a abrir uma conta poupança também. As operações bancárias internas em um 
banco de varejo envolvem a abertura de novas contas, a transferência de dinheiro entre 
contas e a assistência aos clientes no gerenciamento de depósitos (GIMENES, 2009).
Banco de negócios
O banco de negócios é outra operação bancária comum. Em geral, os bancos em-
presariais funcionam de forma muito semelhante aos bancos de varejo, exceto que sua 
clientela consiste principalmente em empresas (GIMENES, 2009). As empresas exigem 
uma ampla variedade de serviços bancários, incluindo empréstimos iniciais, cobrança de 
depósitos e investimentos. Devido às complexidades de muitos negócios, o banco de 
negócios é muitas vezes mais complexo e sofisticado do que o banco de varejo (BARROS, 
2014). As empresas geralmente dependem de bancos para funções de tesouraria, incluin-
do o gerenciamento de contas a receber e a pagar da empresa (GIMENES, 2009).
Banco privado
O banco privado tornou-se menos comum nos últimos anos, em parte devido à 
tendência recente de bancos maiores abrirem departamentos de banco privado. O banco 
privado é adaptado para clientes ricos que normalmente têm um patrimônio líquido su-
perior a US$ 1 milhão (GIMENES, 2009). Os serviços bancários privados envolvem contas 
correntes e de poupança padrão, além de muitos serviços de planejamento imobiliário. 
Devido à grande quantidade de riqueza que seus clientes possuem, os bancos privados 
ou departamentos de banco privado ajudam os indivíduos a estabelecer relações de con-
fiança e garantir que estejam cumprindo as leis fiscais aplicáveis (BARROS, 2014).
Banco de investimento
O banco de investimento é um tipo altamente sofisticado de operação bancária. 
Essas entidades são especializadas na prestação de serviços de subscrição, incluindo 
ações e dívidas, criação de mercados de títulos, negociação de ações e prestação de 
serviços de consultoria para clientes corporativos (GIMENES, 2009). Os bancos de investi-
mento são altamente voláteis, mas podem levar a enormes ganhos financeiros (BARROS, 
2014). Exemplos comuns de transações que são tratadas por meio de instituições ban-
cárias de investimento incluem fusões e aquisições, negociação e mercados e vendas 
de capitais. Essas instituições são fortemente escrutinadas por agências reguladoras e 
devem cumprir toda uma série de regulamentações bancárias (GIMENES, 2009).
3 DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO
Desconto comercial, tambem chamado de desconto bancário, segundo 
Castanheira e Macedo (2020), é determinado aplicando-se uma taxa de desconto 
(i), sobre o valor nominal (N), de um título de crédito, em outras palavras, desconto 
111
comercial é calculado sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento. Para o autor, 
se torna importante salientar que no cálculo do desconto, “n” refere-se ao número de 
período antes do vencimento, ou seja, é o tempo faltante para vencer a dívida.
O desconto acontece quando o possuidor de um título (de valor nominal - N) 
resgata-o antes do vencimento em um agente financeiro. Os títulos mais comuns que 
costumam sofrer operações de desconto são (GIMENES, 2009):
• Nota promissória.
• Letras de câmbio.
• Duplicatas.
• Cheques pré-datados.
Nota promissória
Uma nota promissória é um instrumento de dívida que contém uma promessa 
escrita por uma parte (o emissor ou emitente da nota) de pagar à outra parte (o 
beneficiário da nota) uma quantia definida de dinheiro, sob demanda ou em uma data 
futura especificada. Uma nota promissória normalmente contém todos os termos 
relativos ao endividamento, como valor principal, taxa de juros, data de vencimento, 
data e local de emissão e assinatura do emissor (VANNUCCI, 2017).
Segundo Castanheira e Macedo (2020), embora as instituições financeiras 
possam emiti-las, por exemplo, você pode ser obrigado a assinar uma nota promissória 
para fazer um pequeno empréstimo pessoal, as notas promissórias geralmente 
permitem que empresas e indivíduos obtenham financiamento de outra fonte que não 
um banco. Para o autor, essa fonte pode ser um indivíduo ou uma empresa disposta a 
carregar a nota (e fornecer o financiamento) nos termos acordados. Com efeito, as notas 
promissórias podem permitir que qualquer pessoa seja um credor (VANNUCCI, 2017).
Uma nota promissória pode ser vantajosaquando uma entidade não consegue 
encontrar um empréstimo de um credor tradicional, como um banco. No entanto, notas 
promissórias podem ser muito mais arriscadas porque o credor não possui os meios e a 
escala de recursos encontrados nas instituições financeiras (VANNUCCI, 2017). Segundo 
Castanheira e Serenato (2014), ao mesmo tempo, questões legais podem surgir tanto 
para o emissor quanto para o beneficiário em caso de inadimplência. Para o autor, por 
isso, obter uma nota promissória com firma reconhecida pode ser importante.
Letras de câmbio
Uma letra de câmbio é uma ordem escrita usada principalmente no comércio 
internacional, que obriga uma parte a pagar uma quantia fixa de dinheiro a outra parte 
sob demanda ou em uma data predeterminada. As letras de câmbio são semelhantes 
a cheques e notas promissórias, podem ser sacadas por pessoas físicas ou bancárias e 
geralmente são transferíveis por endossos (VANNUCCI, 2017).
112
Uma transação de letra de câmbio pode envolver até três partes (BARROS, 2014). 
O sacado é a parte que paga a quantia indicada pela letra de câmbio. O beneficiário é 
quem recebe essa soma. O sacador é a parte que obriga o sacado a pagar ao sacado. O 
sacador e o beneficiário são a mesma entidade, a menos que o sacador transfira a letra 
de câmbio para um terceiro beneficiário.
Ao contrário de um cheque, no entanto, uma letra de câmbio é um documento 
escrito que descreve a dívida de um devedor para com um credor. É frequentemente usa-
do no comércio internacional para pagar bens ou serviços. Embora uma letra de câmbio 
não seja um contrato em si, as partes envolvidas podem usá-la para cumprir os termos 
de um contrato. Ele pode especificar que o pagamento é devido sob demanda ou em uma 
data futura especificada. Muitas vezes, é estendido com termos de crédito, como 90 dias. 
Além disso, uma letra de câmbio deve ser aceita pelo sacado para ser válida.
As letras de câmbio, geralmente, não pagam juros, tornando-as essencialmente 
cheques pré-datados. Eles podem acumular juros se não forem pagos em uma 
determinada data, no entanto, nesse caso, a taxa deve ser especificada no instrumento. 
Inversamente, podem ser transferidos com desconto antes da data indicada para 
pagamento. Uma letra de câmbio deve detalhar claramente a quantia, a data e as partes 
envolvidas, incluindo o sacador e o sacado.
Se uma letra de câmbio for emitida por um banco, ela pode ser chamada de 
saque bancário. O banco emissor garante o pagamento da transação. Se as letras 
de câmbio forem emitidas por pessoas físicas, elas podem ser chamadas de saques 
comerciais. Se os fundos forem pagos imediatamente ou sob demanda, a letra de 
câmbio é conhecida como saque à vista. No comércio internacional, um saque à vista 
permite que um exportador detenha a propriedade das mercadorias exportadas até 
que o importador receba a entrega e pague imediatamente por elas. No entanto, se os 
fundos forem pagos em uma data definida no futuro, isso é conhecido como saque a 
prazo. Um saque a prazo dá ao importador um curto período para pagar o exportador 
pelas mercadorias após recebê-las.
 As letras de câmbio são úteis no comércio internacional porque ajudam 
compradores e vendedores a lidar com os riscos associados às flutuações das taxas de 
câmbio e às diferenças nas jurisdições legais.
Se forma resumida, uma letra de câmbio é uma ordem escrita que obriga uma parte 
a pagar uma quantia fixa de dinheiro a outra parte sob demanda ou em algum momento 
no futuro. Uma letra de câmbio geralmente inclui três partes – o sacado é a parte que paga 
a quantia, o beneficiário recebe essa quantia e o sacador é aquele que obriga o sacado a 
pagar ao beneficiário. Uma letra de câmbio é usada no comércio internacional para ajudar 
importadores e exportadores a realizar transações. Embora uma letra de câmbio não seja 
um contrato em si, as partes envolvidas podem usá-la para especificar os termos de uma 
transação, como os termos de crédito e a taxa de juros acumulados.
113
Duplicatas
Uma duplicata refere-se a um título de crédito que representa uma ordem de 
pagamento, podendo ser emitido em duas situações específicas: na compra e venda de 
produtos mercantis ou na prestação de serviços.
A lei que regulariza uma duplicata, é a Lei nº 5.474/1968, emitida pela empresa 
cobradora para conseguir crédito e não para cobrar o pagamento. Ou seja, ela serve 
como um adiantamento do valor.
De acordo com a Lei nº 5.474/1968, em seu artigo 2º, § 1º, uma duplicata deve 
conter:
I - a denominação "duplicata", a data de sua emissão e o número 
de ordem;
II - o número da fatura;
III - a data certa do vencimento ou a declaração de ser a duplicata 
à vista;
IV - o nome e domicílio do vendedor e do comprador;
V - a importância a pagar, em algarismos e por extenso;
VI - a praça de pagamento;
VII - a cláusula à ordem;
VIII - a declaração do reconhecimento de sua exatidão e da 
obrigação de pagá-la, a ser assinada pelo comprador, como 
aceite, cambial;
IX - a assinatura do emitente (BRASIL, 1968, s. p.).
Cheques pré-datados
Um cheque pós-datado é um cheque em que o emitente declarou uma data 
posterior à data atual. É utilizado quando o emissor deseja adiar o pagamento ao 
destinatário, enquanto o destinatário pode aceitá-lo simplesmente porque o cheque 
representa uma data firme em que poderá depositar o cheque. 
Essa situação representa um risco para o destinatário do cheque, uma vez que 
a passagem do tempo pode fazer com que não haja mais dinheiro na conta bancária 
do emitente para ser utilizado no pagamento do valor constante do cheque quando 
este eventualmente for apresentado ao banco para pagamento. Um cheque pré-datado 
também é usado quando o destinatário exige que o emissor entregue um conjunto de 
cheques pré-datados para cobrir uma série de pagamentos futuros, que o destinatário 
concorda em descontar nas datas especificadas. Essa abordagem é usada para melhorar 
as chances de ser pago.
Para que se possa descontar um título, segundo Gimenes (2009), é necessário 
conhecer:
• o seu valor nominal N ou de face;
• o tempo n para o vencimento;
• taxa de juros i que o agente financeiro vai cobrar.
114
Desconto comercial ou bancário é o tipo de desconto mais comum na 
matemática fi nanceira. Para realização do seu cálculo é necessário basicamente quatro 
informações (dados):
• Valor nominal (N): também chamado de valor futuro ou de face, refere-se ao valor que 
aparece no título, constituindo o valor que deve ser pago na data de seu vencimento.
• Valor líquido do título (VL): refere-se ao valor após o desconto aplicado pela 
instituição fi nanceira. O valor líquido é o valor pago pela instituição fi nanceira ao 
portador do título, após a operação de desconto. OU seja, é a diferença entre o valor 
nominal menos o valor do desconto. 
• Taxa de desconto (i): taxa cobrada pela instituição fi nanceira, referente ao 
desconto. 
• Tempo (n): refere-se ao tempo faltante para cumprir o compromisso, ou tempo 
faltante para vencimento do título. 
3.1 CÁLCULO DO DESCONTO COMERCIAL PELA FÓRMULA
Fórmula do desconto
O cálculo do desconto comercial ou bancário, pode ser calculado por meio da 
fórmula:
d = N * i * n
Onde: 
• d = desconto
• N = valor nominal título (ou valor de face)
• n = tempo
• i = taxa de desconto
Caro acadêmico, sempre que você for fazer cálculo de juros simples utilizando 
algumas das fórmulas, lembre-se de que é obrigatório dividir a taxa (que está 
em porcentagem) por cem (para transformar a taxa em números decimais).
IMPORTANTE
115
VL = N – d
VL = N • (1 – i • n)
Fórmula do valor líquido (VL)
O valor líquido é realizado pelo cálculo da diferença entre o valor nominal (N) e o 
valor do desconto bancário (d): 
Ou por meio da fórmula a seguir, utilizado quando não sabemos o valor do 
desconto.
3.2 CÁLCULO DO DESCONTO COMERCIAL PELA HP12C
O cálculo do desconto pode ser realizado com a HP12C, basta seguir os 
comandos descritos a seguir.
Comandos para realizar o cálculo de desconto simplesna HP12C:
1. Digite ou calcule o número de dias e aperte n.
2. Digite a taxa de desconto anual e aperte i .
3. Digite o valor nominal do título (N) e aperte CHS PV *
4. Aperte f INT para calcular e exibir os descontos acumulados.
5. Aperte - para calcular o valor líquido, ou seja, o valor nominal (N) menos os 
descontos acumulados exibidos no mostrador.
3.3 EXERCÍCIOS
Exemplo 1 – exemplo de cálculo do desconto
A empresa Delta S.A. emitiu uma duplicata com valor nominal (N) de R$ 5.000,00 
e com vencimento para 10 de dezembro de 2022. Porém, no dia 20 de outubro de 2022, 
efetuou uma operação de desconto do título. A instituição financeira aplicou uma taxa de 
3% ao mês de desconto bancário. Tendo conhecimento destas informações, determine 
o valor do desconto (d). Depois determina qual valor líquido (VL).
Resolução pela fórmula
Cálculos dos dias que o título foi antecipado
Para resolução desta exercícios, teremos que calcular a quantidade de dias que 
o título foi antecipado. Para tanto, será necessário calcular a quantidade de dias exatos 
entre duas datas, assunto este já aprendido na unidade 1 deste livro, mesmo assim 
vamos relembrar.
116
De forma a conseguir calcular o número de dias entre duas datas, deve-se 
utilizar o seguinte comando:
1. Digite a data mais antiga e aperte ENTER.
2. Digite a data mais recente e aperte g ∆DYS.
g D.MY
20.102022 ENTER
10.122022 g ∆DYS
Resposta no visor: 51 (ou seja, exatos 51 dias)
Conversão da taxa
Como o tempo está em dias, é preciso converter a taxa que está em meses para dias.
3 / 30 = 0,1 (ou seja 0,1%) *
* (dividimos a taxa de 3% por 30 dias que tem um mês no calendário comercial)
Transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
0,1 / 100 = 0,001
Cálculo do desconto comercial
Agora que já identificamos a quantidade de dias que foi antecipado o título e 
transformamos a taxa, basta cálculo o desconto.
d = N * i * n
d = 5.000 * 0,001 * 51 
d = 255 (ou seja, R$ 255,00). 
Antecipando o título em 51 dias, obtemos um desconto de R$ 255,00)
VL = N – d
VL = 5.000 – 255
VL = 4.745 (ou seja, valor líquido (VL) de R$ 4.734,00)
Resolução pela HP12C
Primeiro precisamos converter a taxa para ano. Lembre-se: para cálculos de 
juros simples na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia.
3%a.m * 12 (meses) = 36% a.a.
51 n
36 i
5000 CHS PV
f INT 
= 255 (ou seja, o valor do desconto é R$ 255,00)
 - **
= 4.745 (ou seja, valor líquido de R$ 4.734,00)
117
** Observação: Aperte - para calcular o valor líquido, ou seja, o valor nominal (N) menos 
os descontos acumulados exibidos no mostrador.
Exemplo 2 – exemplo de cálculo do desconto
Um título com valor nominal de R$ 23.000,00 foi descontado em uma instituição 
financeira, faltando 255 dias para o seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto 
bancário ou comercial foi 11,7% ao ano, calcule o valor do desconto. Depois determina 
qual valor líquido (VL).
Resolução pela fórmula
Cálculos dos dias que o título foi antecipado
O enunciado do exercício já forneceu que são 255 dias.
Conversão da taxa
Como o tempo está em dias, é preciso converter a taxa que está em anos para dias.
11,7 / 360 = 0,0325 (ou seja 0,0325%) *
* (dividimos a taxa de 11,7% por 360 dias que tem um ano no calendário comercial)
Transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
0,0325 / 100 = 0,000325
d = N * i * n
d = 23000 * 0,000325 * 255
d = 1906,13
VL = N – d
VL = 23.000 – 1.906,13
VL = 21.093,88 (ou seja, valor líquido de R$ 21.093,88)
Resolução pela HP12C
Como a taxa já está em ano e tempo já foi apresentado no enunciado da questão, 
e está em dia, basta realizar o cálculo.
255 n
11,7 i
23000 CHS PV
f INT 
= 1906,13 (ou seja, o valor do desconto R$ 1.906,13)
 - **
= 21.093,88 (ou seja, valor líquido de R$ 21.093,88)
** Observação: Aperte - para calcular o valor líquido, ou seja, o valor nominal (N) menos 
os descontos acumulados exibidos no mostrador.
118
Exemplo 3 – exemplo de cálculo do N (valor nominal)
Uma empresa emitiu uma duplicata com vencimento daqui a 125 dias. Porém 
hoje, a empresa deseja descontar o título em uma instituição financeira, que cobra 
uma taxa de 2% a.m. de desconto bancário ou comercial, cobrando um desconto de 
R$500,00. Sabendo essas informações, calcule o valor nominal da duplicata.
Resolução
Cálculos dos dias que o título foi antecipado
O enunciado do exercício já forneceu que são 125 dias
Conversão da taxa
Como o tempo está em dias, é preciso converter a taxa que está em meses para dias.
2 / 30 = 0,0666667 (ou seja 0,0666667%) *
* (dividimos a taxa de 2% por 30 dias que tem um mês no calendário comercial)
Transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
0,0666667 / 100 = 0,000666667
d = N * i * n
500 = N * 0,000666667 * 125
500 = N * 0,08333333333
500 / 0,08333333333 = N 
N = 6000 (ou seja, R$ 6.000).
O valor nominal da duplicata é de R$6.000,00
Caro acadêmico, quando se tratar de cálculo de desconto bancário ou 
comercial, na HP12C só é possível calcular os descontos. A taxa (i), o tempo 
(n) e o valor nominal (N) não possuem uma programação na HP12C. Para 
esses cálculos, você terá que utilizar as fórmulas.
IMPORTANTE
Exemplo 4 – exemplo de cálculo do i (taxa)
Uma empresa emitiu uma duplicata com o valor nominal de R$ 9.000,00 e 52 
dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto foi R$ 936,00, calcule a 
taxa diária dessa operação de desconto.
Resolução
119
Cálculos dos dias que o título foi antecipado
O enunciado do exercício já forneceu que são 100 dias
d = N * i * n
936 = 9000 * i * 52
936 = 468.000 * i
936 / 468.000 = i
i = 0,002 (decimais)
0,002 * 100 = 0,2% a.d.
Se o exercício pedisse a taxa ao ano, bastaria multiplicar a taxa a.d. por 360 dias 
que tem no calendário comercial
0,2 x 360 = 72% a.a.
Caro acadêmico, quando se tratar de cálculo de desconto bancário ou 
comercial, na HP12C só é possível calcular os descontos. A taxa (i), o tempo 
(n) e o valor nominal (N) não possuem uma programação na HP12C. Para 
esses cálculos você terá que utilizar as fórmulas.
IMPORTANTE
Exemplo 5 – exemplo de cálculo do n (tempo)
Uma empresa descontou um cheque com valor nominal de R$ 4.000,00 e o 
valor do desconto foi R$ 40,20. Sabendo que a taxa de desconto cobrada foi 0,015% ao 
dia, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
Resolução
Transformar a taxa de percentual para decimal
Para tanto, basta dividir a taxa por 100.
0,015 / 100 = 0,00015
d = N * i * n
40,20 = 4000 * 0,00015 * n
40,20 = 0,6 * n
40,20 / 0,6 = n
n = 67 (ou seja, 67 dias)
120
Caro acadêmico, quando se tratar de cálculo de desconto bancário ou 
comercial, na HP12C só é possível calcular os descontos. A taxa (i), o tempo 
(n) e o valor nominal (N) não possuem uma programação na HP12C. Para 
esses cálculos, você terá que utilizar as fórmulas.
IMPORTANTE
4 ANTECIPAÇÃO DE RECEBÍVEIS
A antecipação de recebíveis é uma alternativa de crédito por meio da qual 
as empresas podem obter recursos fi nanceiros para quitar dívidas ou até mesmo 
realizar algum investimento no negócio (GONÇALVES; GOUVÊA; MANTOVANI, 2013). A 
antecipação de recebíveis é uma oportunidade de melhorar o fl uxo de caixa e ainda 
evitar possíveis perdas de recursos (GONÇALVES; GOUVÊA; MANTOVANI, 2013).
Em suma, segundo Leite (2011), a antecipação de recebíveis é uma operação 
fi nanceira que permite que as empresas antecipem recursos aos quais já pertencem, 
mas que só receberiam após um período, ou seja, é uma alternativa para que o caixa da 
empresa possa ser suprido com dinheiro que só chegaria depois de meses.
Digamos que sua empresa forneça um serviço para clientes que, na maioria 
das vezes, precisam de prazos maiores para efetuar seus pagamentos (CAPELLETTO, 
CORRAR, 2008). É exatamente nesse caso que a antecipação de recebíveis pode ser 
importante, ela permite que sua empresa receba valor por atender um cliente, mesmo 
que o cliente não consigapagar no momento da compra. Esse adiantamento de capital 
permite que as empresas antecipem valores das parcelas que receberiam de seus 
clientes (WOLF, 2008).
Um dos grandes desafi os das empresas é conciliar o recebimento dos recursos 
com a saída deles, alinhando assim a oferta de caixa com as despesas. Só assim o 
negócio poderá prosperar, pois possibilita um planejamento mais estruturado para o 
futuro da empresa (WOLF, 2008). Nesse sentido, as organizações conseguem gerenciar 
sua situação fi nanceira na hora de quitar dívidas e, consequentemente, evitar possíveis 
complicações para obter crédito no futuro, e manter uma boa reputação junto aos 
fornecedores (LEITE, 2011). Vale destacar que as vantagens da antecipação de recebíveis 
em relação a outras formas de crédito são signifi cativas, pois costumam ter juros mais 
baixos e menos burocracia (LEITE, 2011).
De acordo com IASB (2014), existem duas modalidades principais de antecipação 
de recebíveis: 
121
• Venda de recebíveis: transfere substancialmente o risco do instrumento financeiro 
para quem adquire o título. Nessa modalidade, ocorre a efetiva venda do título e sua 
respectiva baixa contábil pelo vendedor.
• Cheques com desconto ou boletos de aceites comerciais: a holding assume 
o risco de não pagamento do título, utilizando o instrumento financeiro como mera 
garantia para sua captação junto aos bancos. Essa é a modalidade mais comum, 
principalmente no âmbito de pequenas empresas. Para o autor, nessa situação, 
apenas a transferência de fundos do banco (ou operador financeiro) para a empresa 
garante as duplicatas ou os cheques a receber. O tratamento contábil do segundo 
tipo de transação é o mesmo da contabilização de um empréstimo.
As taxas cobradas pelo banco ou instituição financeira fazem parte do custo 
efetivo da operação e devem ser tratadas como tal, ou seja, devem ser incluídas no 
custo efetivo do financiamento. A grande vantagem dessa modalidade em relação ao 
empréstimo para capital de giro são as taxas cobradas, substancialmente inferiores às 
dos empréstimos bancários (MACHADO; RIBEIRO, 2018).
Para angariar fundos com a antecipação de duplicatas ou cheques, uma 
organização pode recorrer a um banco comercial ou a uma empresa de factoring. O 
banco intermedia recursos financeiros, capta e empresta dinheiro da poupança popular. 
Dessa forma, o capital é absorvido junto com os agentes superavitários e entregue aos 
agentes deficitários (MACHADO; RIBEIRO, 2018). 
A factoring já opera com recursos próprios, presta serviços de cobrança e adquire 
os créditos diretos (direitos) de seus clientes (MACHADO; RIBEIRO, 2018). No desconto ban-
cário, o custo da operação de antecipação para o cliente é medido pela taxa efetiva que re-
presenta o risco de crédito, o spread bancário (diferença entre o custo de captação e a apli-
cação do valor de mercado), os impostos e a taxa que os encargos bancários da operação. 
Em factorings, o custo de antecipação é medido pelo fator de compra. Esse 
fator representa a taxa efetiva cobrada pelas empresas de factoring juntamente com 
sua margem e seus custos totais diretos e indiretos (CAPELLETTO; CORRAR, 2008; 
GONÇALVES; GOUVÊA; MANTOVANI, 2013; LEITE, 2011; WOLF, 2008).
Embora bancos e factoring formalmente tenham concepções distintas de ativi-
dades e formas de financiamento, nas operações de antecipação de recebíveis essen-
cialmente fazem a mesma coisa; emprestam recursos com base na garantia do título a 
receber. As taxas cobradas pelo banco e o fator factoring, apesar de refletirem a situa-
ção e os custos particulares das operações de crédito, também representam o mesmo 
para quem necessita de recursos, o custo real da operação (MACHADO; RIBEIRO, 2018). 
Para calcular a antecipação de recebíveis, a instituição financeira calcula o 
prazo médio dos títulos e posteriormente o desconto. Isso ocorre porque o empresário 
pode descontar vários títulos de uma única vez, e a instituição, ao invés de calcular título 
por título, calcula a média de todos os títulos para efetua o desconto, otimizando tempo.
122
Para se chegar ao valor do prazo médio, é preciso calcular a média ponderada 
dos descontos por maior do prazo e valores nominais dos títulos (N) apresentados para 
instituição financeira para aplicar o desconto.
Após identificar o prazo médio (ponderado), as instituições financeiras podem 
calcular o desconto (d) em diversos títulos, simplificando assim o cálculo do desconto. 
Em outras palavras, quando a instituição financeira tem o prazo médio ponderado, em 
vez de calcular o desconto título por título, é possível cálculo o desconto para todos os 
títulos de forma simultânea. A seguir, iremos aprender a calcular a média ponderada, 
para saber calcular o prazo médio dos títulos.
Caro acadêmico, aprenda a calcular média estatística uni e bivariada.
Média estatísticas uni e bivariadas
A HP12C pode executar cálculos estatísticos uni-variados e bivariados (GUIA HP12C, 2005). 
Os dados são entrados na calculadora usando a tecla Σ+ , que automaticamente calcula e 
armazena estatísticas dos dados nos registros de armazenamento R1 a R6. Antes de iniciar 
os cálculos da média, é preciso zerar os registros estatísticos pressionando f SST.
Cálculos média estatísticos uni-variados
Em cálculos estatísticos uni-variados, para entrar cada dado, denominado “valor x”,
1. Digite o valor x 
2. Aperte Σ+.
3. g *, (calcula a média aritmética dos valores x)
* (é o botão “0” da calculadora)
Exemplo 1
Qual a média dos valores R$ 100,00; 200,00; 300,00
Calcula no HP12C
100 Σ+
200 Σ+
300 Σ+
g 
No visor: 200 (ou seja média de R$ 200,00)
Cálculos média estatísticos bivariados
Em cálculos estatísticos bivariados, para entrar cada par ordenado, denominados “os 
valores x e y”:
1. Digite o valor y no mostrador.
2. Aperte ENTER.
3. Digite o valor x no mostrador.
INTERESSANTE
123
4. Aperte Σ+.
5. Apertando g calcula as médias aritméticas dos valores x (x) e dos 
valores y ( y ). 
• A média dos valores x aparece no mostrador depois de pressionar g 
• A média dos valores y, aperte X><Y .
4.1 MÉDIA PONDERADA
A média ponderada de um conjunto de números pode ser calculada desde que 
se saiba os pesos correspondentes dos itens em questão (GUIA HP12C, 2005):
1. Aperte f Σ .
2. Digite o valor do item e aperte ENTER , depois digite seu peso e aperte Σ+. Digite o 
valor do segundo item e aperte ENTER , depois digite o segundo peso e aperte Σ+. 
Continue até́ entrar todos os valores dos itens e seus pesos correspondentes. A 
regra para informar os dados é “item ENTER peso Σ+.”
3. Aperte g para calcular a mé dia ponderada dos itens.
Exemplo 1 – é um Exemplo do Guia da HP12C (2005)
Suponha que você pare durante uma viagem de férias para comprar combustível 
em quatro postos: 15 litros a R$1,16 por litro, 7 litros a R$1,24 por litro, 10 litros a R$1,20 por 
litro e 17 litros a R$1,18 por litro. Você̂ quer calcular o custo médio por litro de combustível 
comprado. Se você̂ tivesse comprado a mesma quantidade em cada posto, poderia usar 
a média aritmética simples usando a tecla . Mas, como você sabe o valor do item 
(combustí vel) e seu peso correspondente (nú mero de litros comprados), utilize a tecla 
 para calcular a média ponderada (GUIA DA HP12C, 2005):
Resolução:
Teclas Mostrador
 f Σ 0 Zera os registros estatísticos.
1,16 ENTER 15 Σ+ 1 Primeiro item e peso
1,24 ENTER 7 Σ+ 2 Segundo item e peso
1,20 ENTER 10 Σ+ 3 Terceiro item e peso
1,18 ENTER 17 Σ+ 4 Quarto item e peso
g 1,19 Ou seja, 1,19 litros
124
Exemplo 2
Calcule o prazo médio dos seguintes títulos, utilizando como peso de ponderação 
os valores dos títulos:
- Título de R$ 7.000,00 com prazo de 22 dias.
- Título de R$ 3.000,00 com prazo de 42 dias.
- Título de R$ 55.000,00 com prazo de 85 dias.
- Título de R$ 42.000,00 com prazo de 12 dias.
Resolução:
Teclas Mostrador
 f Σ 0 Zera os registros estatísticos.
22 ENTER 7.000 Σ+ 1 Primeiro item e peso
42 ENTER 3.000 Σ+ 2 Segundo item e peso
85ENTER 55.000 Σ+ 3 Terceiro item e peso
12 ENTER 42.000 Σ+ 4 Terceiro item e peso
g 51 Ou seja, prazo médio de 51 dias
Exemplo 3
Calcule o prazo médio dos seguintes títulos, utilizando como peso de ponderação 
os valores dos títulos:
- Título de R$ 30.000,00 com prazo de 255 dias.
- Título de R$ 15.000,00 com prazo de 179 dias.
- Título de R$ 39.000,00 com prazo de 47 dias.
- Título de R$ 3.000,00 com prazo de 8 dias.
Resolução
Teclas Mostrador
 f Σ 0 Zera os registros estatísticos.
255 ENTER 30.000 Σ+ 1 Primeiro item e peso
179 ENTER 15.000 Σ+ 2 Segundo item e peso
47 ENTER 39.000 Σ+ 3 Terceiro item e peso
8 ENTER 3.000 Σ+ 4 Terceiro item e peso
g 140 Ou seja, prazo médio de 140 dias
125
O objeto de aprendizagem trata de uma ferramenta didática desenvolvida 
e utilizada com o intuito de apresentar ao acadêmico um determinado 
tema e articular atividades relacionadas a ele, atendendo ao princípio 
norteador da UNIASSELVI, de que “não basta saber, é preciso saber fazer”. 
Dessa forma, nosso Objeto de Aprendizagem será composto por duas 
etapas: uma contendo a apresentação do conteúdo e a outra contendo as 
atividades práticas relacionadas a ele.
Segue o link do objeto de aprendizagem:
- Média: https://bit.ly/3LfWXzO
Bons estudos!
IMPORTANTE
126
A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA NO COTIDIANO E NA 
CONSTRUÇÃO DA CIDADANIA
Lourdes Aparecida Nocette Miranda
Adriana Strieder Philippsen
RESUMO
A Matemática Financeira encontra-se muito presente em nosso cotidiano, quer seja 
quando efetuamos o financiamento de um automóvel ou imóvel, ou até mesmo em 
situações mais simples, como o desconto que recebemos ao fazermos uma compra 
com pagamento à vista. Estes exemplos de aplicações financeiras são movimentados 
sob o efeito de juros e, buscando contribuir para melhoria no ensino e aprendizagem 
de Matemática Financeira, foram desenvolvidas atividades que contribuem para um 
envolvimento em torno de uma contextualização com a realidade do aluno, empregando 
como ferramenta metodológica a Resolução de Problemas. Foi desenvolvido um projeto 
de intervenção no Colégio Estadual Alberico Marques da Silva – EFMP –, aplicado em uma 
sala de aula com alunos de 9º ano, com o objetivo de propor aos educandos os conceitos 
básicos da Matemática Financeira e como ela está́ relacionada e afeta nossa economia 
familiar. Para atingir tal objetivo, foram propostos exemplos atuais e relacionados ao 
nosso dia a dia e induzimos questões como, por exemplo, quando compramos um 
eletrodoméstico. Quanto é cobrado de juros se efetuarmos a compra a prazo? E se 
fizéssemos a mesma compra, quanto estaríamos economizando ao pagarmos à vista? 
Ao final do trabalho, considerou-se de extrema importância a metodologia proposta, 
pois houve um grande interesse, por parte dos educandos, em desenvolver e solucionar 
as atividades propostas por se tratar de assuntos pertinentes ao seu cotidiano e que 
contribuíram para a formação da cidadania e de uma melhor interação professor/aluno.
Palavras-chave: Matemática Financeira. Juros Simples e Compostos. Resolução de 
Problemas.
1. INTRODUÇÃO
Vivemos numa época em que qualquer noticiário televisivo, jornalístico e 
periódicos na internet apontam para a crise econômica que atravessa o mundo e, 
principalmente, nosso país. Ao se falar em crise econômica, não há como deixar de 
citar dívidas externa e interna do país e, entende-se por dívida: um aluguel de capital 
LEITURA
COMPLEMENTAR
127
em função do tempo em que determinado valor financeiro fica emprestado. A taxa de 
juro é citada como a vilã principal atrelada a volta da inflação galopante e destruidora da 
economia de um país e, principalmente alvo da oposição nos ataques ao governo. Isso 
não é “privilégio” somente do Brasil.
Ao se falar em juros, porcentagens, inflação, alta de preços, déficit, superávit 
etc., é preciso entender que estas expressões precisam fazer parte dos conteúdos 
escolares no que tange a disciplina de matemática, desde os primeiros anos até as 
séries finais do ensino fundamental, em especial no 9o ano quando do fechamento do 
conteúdo estruturante tratamento de informação.
É certo que os alunos apresentam certa dificuldade e não conseguem assimilar 
os conteúdos quando se envolve o ensino da Matemática, em especial, as porcentagens. 
É sabido também que, quando se insere os conteúdos propostos com uma contextualiza-
ção que envolva problemas do cotidiano, o aluno se sente formador de seu próprio conhe-
cimento, razão pela qual se justifica a inserção do conteúdo de juros simples e compostos 
mostrando a relevância deste conteúdo e a importância do mesmo para o exercício da 
cidadania, vez que a atual conjuntura econômica mundial exige conhecimentos do gêne-
ro para se entender os rumos da economia, mesmo do mais simples, como a economia 
doméstica ao mais complexo, como a oscilação das bolsas de valores.
Os conteúdos juros simples e compostos darão o pontapé inicial para este 
jogo de interesses: do aluno em se situar na atual conjuntura e do professor na difícil 
missão de atrair o aluno para o conhecimento e desenvolvimento do raciocínio lógico e 
no protagonismo de seu próprio saber e entendimento. A educação não pode ter como 
objetivo a simples transmissão de informações para o aluno.
Deve garantir-lhe autonomia de pensamentos, capacidade de tomar iniciativa e 
de desenvolver o pensamento crítico, para viver em uma grande sociedade em constante 
e acelerado processo de crescimento e transformação (GIOVANNI; GIOVANNI JR., 2006)
Segundo o construtivismo de Piaget, as estruturas lógico – matemáticas são 
construídas pelas atividades que a criança realiza, pelas relações que essas atividades 
proporcionam:
Para Piaget, inteligência é entendida como capacidade de adaptação do sujeito ao 
seu meio. Nesse sentido, podemos afirmar que a inteligência é determinada por fatores am-
bientais e culturais, podendo, portanto, ser desenvolvido ao longo da vida, por meio das expe-
riências físicas e das lógicas matemáticas. Por conseguinte, o conhecimento, é construído de 
interação da experiência sensorial e da razão, indissociáveis uma da outra. (Blumental, 2002).
Nas atividades de sala de aula é fundamental que se valorize o contexto do 
educando à medida que for se deparando com a situação que ele enfrenta no dia a 
dia, perceberá a importância do saber matematicamente elaborado para auxiliá-lo na 
128
resolução deles, é preciso colocar o aluno em uma posição que exigirá dele o pensar, o 
organizar de ideias e estratégias, o lançar mão de um leque de habilidades.
Considerando o aluno, agente da construção de sua aprendizagem, pretende- 
se neste trabalho, mostrar que é possível, por meio de situações reais e atividades 
desafiadoras, estimular o aluno a agir reflexivamente, possibilitando a ele a troca de 
ideias com seus colegas, a fim de analisar e refletir sobre os diferentes caminhos que 
se pode percorrer para resolver determinados problemas, não atendendo a uma forma 
única. Isso propicia o desenvolvimento de habilidades, conceitos e estratégias que irão 
refletir, e, talvez, ser agente transformador da sociedade em que vive.
2 DESENVOLVIMENTO
Devido às transformações ocorridas na sociedade ao longo dos séculos muitas 
mudanças se fizeram necessárias na prática pedagógica do professor, pois novos 
conhecimentos foram surgindo e assimilados onde a Matemática era utilizada somente 
para contagem para uma era industrial. Hoje, é necessário que as pessoas possuam 
conhecimento matemático, pois disso depende sua inserção no mundo do trabalho 
numa sociedade cada vez mais dinâmica, competitiva e versátil.
Porém, a escola atual tem dado pouca ênfase a essas situações em detrimento 
de conteúdos que exige aplicações de algoritmos e regras.
A oportunidade de usar conceitos matemáticos no seu dia a dia 
favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em 
relação à Matemática, não basta fazer mecanicamente as operações 
de adição, subtração e divisão. È precisosaber como e quando 
auxiliá-los convenientemente na resolução de situações problemas, 
aprenderem a resolver problemas matemáticos deve ser o maior 
objetivo da instrução matemática, certamente outros objetivos da 
Matemática devem ser procurados mesmo para atingir o objetivo da 
competência em resolução de problemas (DANTE, 1999, p.14).
Dante (1999) coloca que: para resolver problemas, precisamos desenvolver 
determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número de situações. 
Tal estrutura ajuda na análise e na solução de situações problemas em que desejamos 
determinar um ou mais elementos desconhecidos. A Matemática moderna é constituída 
de exemplos reais que possibilitam uma melhor aprendizagem, porém isso não tem 
garantido a formação plena do educando.
Por essa razão, o professor deve articular suas ações pedagógicas à visão de 
mundo do aluno, auxiliá-los na construção de estratégias para resolução e formulação 
de conceitos matemáticos, levá-los a fazer conexões matemáticas com seu mundo real, 
isso exige, portanto, muita dedicação por parte do professor e estar apto a desenvolver-
se intelectual e profissionalmente, tornar-se um pesquisador no conhecimento acerca 
dos conteúdos matemáticos, suas relações com outras áreas e com a prática social de 
seus alunos e suas opções diante da vida, da história e do cotidiano.
129
E ainda, para a caracterização das concepções de Matemática Financeira dos 
alunos, e, na tentativa de minimizar os efeitos da subjetividade, deve-se fundamentar 
em Skemp (1976) apud Rezende (2002) que define em aprendizagem matemática 
instrumental ou relacional.
Skemp (1976 apud REZENDE, 2002), indicam que as concepções dos alunos 
podem influenciar na aprendizagem matemática e, isto não seria diferente com a 
Matemática Financeira, para a qual adotar-se-á, neste trabalho porcentagem e juros 
simples como ponto de partida, valendo-se da proposta da Modelagem Matemática que 
consiste na arte de transformar problemas do cotidiano em problemas matemáticos, 
apresentando soluções com linguagem do mundo real.
Neste artigo adotamos a mesma classificação de Rezende (2002) no que 
diz respeito aos conceitos da Matemática Financeira: “partimos sempre daquilo 
que interessa ao aluno, do que é presente no seu cotidiano, para depois introduzir o 
conhecimento sistematizado”. Muitas das atividades apresentadas para os alunos são 
propostas de modo que elas sejam desenvolvidas em grupos, para que possam discutir 
e socializar os conceitos abordados em sala de aula, como por exemplo, questões que 
envolvam problemas sobre porcentagem, juros simples e juros compostos.
A Matemática Financeira tem diversas aplicações no nosso cotidiano como, por 
exemplo, no financiamento de um carro, de uma casa, no empréstimo de um dinheiro, 
toda essa aplicação é movimentada por uma taxa de juros que é a remuneração do 
capital empregado. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita 
através de prestações mensais somadas aos juros, isso quer dizer que, ao quitarmos 
o valor do empréstimo este sempre será maior ao valor inicial do empréstimo. A essa 
diferença damos o nome de juros.
Uma mudança que vem ocorrendo nos nossos dias é que, ao contrário do que 
vinha se pensando, a Matemática Financeira não é de uso exclusivo de administradores, 
contadores e economistas e dos que trabalham nessa área, apesar de servir 
essencialmente a esse grupo. O certo é que, assim como a economia passou de uma 
simples troca de mercadorias, para uma rede mundial de importações e compras, esse 
sistema também precisou se reorganizar e ser aprimorado. As aplicações da matemática 
financeira estão se tornando mais comuns no cotidiano de todos os profissionais em 
todas as áreas de atuação.
Por tais razões exige do professor de matemática uma maior atenção no preparo 
dos conteúdos relacionados com porcentagens, potência, raízes, funções, visando uma 
melhor qualidade na apresentação dos conteúdos juros simples e compostos, bem 
como uma melhor seleção das situações problemas primando por temas atuais e que 
despertem no aluno a necessidade de interpretar, apreender e buscar o conhecimento 
necessário para a solução das propostas apresentadas.
130
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Sabemos que a Resolução de Problemas contribui para a formação do pensa-
mento matemático. Porém percebe-se uma grande dificuldade dos alunos na interpreta-
ção dos textos destes problemas exigindo uma intervenção maior e constante por parte 
do professor no sentido de abstrair o modelo matemático presente na situação proposta.
Contudo, tal intervenção se constitui em um desafio para o trabalho 
pedagógico do professor, pois estes, geralmente, sentem dificuldades em desenvolver 
essa metodologia, quer pela fragilidade de sua formação acadêmica ou formação 
continuada, material pedagógico inadequado e, ainda, desinteresse dos educandos e 
da sociedade em relação à Matemática e a educação em geral, além do despreparo para 
o uso das calculadoras consideradas financeiras, ou científicas, face aos cálculos que 
envolvem potência de números decimais, logaritmos, raízes enésimas – conteúdos não 
trabalhados no ensino fundamental.
Foi neste pensando em contribuir para uma melhoria neste cenário que se de-
senvolveu este projeto usando a Resolução de Problemas como ferramenta metodoló-
gica na Matemática Financeira e introdução a função afim e exponencial, compreensão 
e análise dos processos de organização das finanças a partir de problemas matemáticos 
contextualizados, o que se exige a busca de novas metodologias, atividades e materiais 
que contribuirão para o desenvolvimento do conhecimento matemático e para a cons-
trução da cidadania, conforme preceitua Onuchic (1999).
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao se trabalhar os conteúdos de Matemática Financeira, como juros, vinculados 
a situações práticas do dia a dia do estudante, percebeu-se uma interação significativa 
entre aluno e professor, pois o papel do professor deixou de ser simplesmente o de 
transmitir conhecimento para mediador no processo de ensino- aprendizagem e o 
papel do aluno, de ser apático e receptivo, para sujeito próprio de sua aprendizagem. 
Atividades relacionadas ao cotidiano e os conceitos estudados na escola favoreceram 
a aprendizagem de Matemática Financeira que, antes da aplicação do projeto, era um 
assunto que os estudantes não dominavam, achavam que não era importante aprender 
e apresentavam dificuldades, porém, com o desenvolver das atividades propostas, 
demonstraram interesse nos conteúdos o que favoreceu a aprendizagem e possibilitou 
formar um cidadão participativo e consciente.
Vale ressaltar que os alunos participaram efetivamente e se dedicaram ao 
máximo durante o período de realização do projeto. Desempenharam o que foi proposto 
com muito esforço e comprometimento, aplicando o conhecimento adquirido e devido a 
isso podemos dizer que foram alcançados os objetivos propostos, pois pude presenciar 
uma real, significativa e permanente mudança no comportamento dos alunos. Pudemos 
mostrar a importância que a Matemática Financeira exerce, sendo necessária ao 
131
exercício da cidadania e à economia familiar. Por isso, esperamos ter contribuído para 
que os alunos tenham tido uma noção básica do conteúdo aplicado, que possa auxiliá-
los a melhorar as suas finanças: sabendo organizar, economizar e investir para cumprir 
metas financeiras. Almejamos que possam levar essa aplicação em sua vida cotidiana e 
induzi-los à busca de novos conhecimentos e solução de novos desafios.
FONTE: Disponível em: https://bit.ly/3RH9MWD. Acesso em: 24 jun. 2022. 
132
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu:
• Desconto comercial ou bancário é o tipo de desconto mais comum na matemática 
financeira.
• Valor nominal (N), também chamado de valor futuro ou de face, refere-se ao valor 
que aparece no título, constituindo o valor que deve ser pago na data de seu 
vencimento.
• Valor líquido do título (VL) refere-se ao valor após odesconto aplicado pela instituição 
financeira. O valor líquido é o valor pago pela instituição financeira ao portador do 
título, após a operação de desconto, ou seja, é a diferença entre o valor nominal 
menos o valor do desconto. 
• Taxa de desconto (i) é taxa cobrada pela instituição financeira referente ao desconto. 
• Tempo (n) refere-se ao tempo faltante para cumprir o compromisso, ou tempo 
faltante para vencimento do título.
133
AUTOATIVIDADE
1 A prática demonstra que a operação de desconto é feita apenas em cima de títulos 
de crédito, que por sua vez, representam soma líquida e certa, portanto de fácil 
recuperação ao banco. De maneira análoga aos juros, os descontos são também 
classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do 
desconto simples e exponencial no caso do desconto composto. Conceitue o termo 
desconto.
2 Os Títulos Bancários são uma modalidade de investimento em Renda Fixa, que como 
o nome já sugere, são emitidos por bancos. Sendo assim, os bancos captam recursos 
provenientes de empréstimos realizados por investidores, ou seja, a instituição 
financeira recolhe o dinheiro aplicado para oferecer a outras pessoas, que são os 
seus credores. Quais são os títulos mais comum que costumam sofrer operações de 
desconto?
3 Uma empresa emitiu uma duplicata com valor nominal de R$ 20.000,00 e com 
vencimento para 25 de março de 2023. Porém, no dia 12 de setembro de 2022, 
efetuou uma operação de desconto do título. A instituição financeira aplicou uma 
taxa de 2% ao mês de desconto bancário. Tendo conhecimento destas informações, 
determine o valor do desconto e determine qual valor líquido (VL).
a) Desconto: R$ 791,33; valor líquido: R$ 19.208,67.
b) Desconto: R$ 1.344,10; valor líquido: R$18.655,90.
c) Desconto: R$ 2.586,67; valor líquido: R$17.413,33.
d) Desconto: R$ 3.103,30; valor líquido: R$ 16.896,70.
4 Um título com valor nominal de R$ 6.000,00 foi descontado em uma instituição 
financeira, faltando 96 dias para o seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto 
bancário ou comercial foi 30% ao ano, calcule o valor do desconto e determine qual 
valor líquido (VL).
a) Desconto: R$ 480,00; valor líquido: R$ 5.520,00.
b) Desconto: R$ 720,00; valor líquido: R$ 5.280,00.
c) Desconto: R$ 1.520,00; valor líquido: R$ 4.480,00.
d) Desconto: R$ 1.906,00; valor líquido: R$ 4.094,00.
5 Uma empresa emitiu uma duplicata com vencimento daqui a 300 dias. No entanto, 
hoje, a empresa deseja descontar o título em uma instituição financeira, que cobra 
uma taxa de 0,5% a.m. de desconto bancário ou comercial, cobrando um desconto de 
R$2.000,00. Sabendo essas informações, calcule o valor nominal da duplicata.
RESUMO DO TÓPICO 4
134
a) R$ 15.000,00.
b) R$ 18.000,00.
c) R$ 40.000,00.
d) R$ 61.000,00.
6 Uma empresa emitiu uma duplicata com o valor nominal de R$ 45.000,00 e 77 dias 
para o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto foi R$ 770,00, calcule a taxa 
diária e qual é a taxa anual dessa operação de desconto.
a) Taxa diária: 0,0111% a.d; Taxa anual: 4% a.a.
b) Taxa diária: 0,022% a.d; Taxa anual: 8% a.a.
c) Taxa diária: 0,0361% a.d.; Taxa anual: 13% a.a.
d) Taxa diária: 0,0472% a.d.; Taxa anual: 17% a.a.
7 Uma empresa descontou um cheque com valor nominal de R$ 17.000,00 e o valor do 
desconto foi R$ 187,00. Sabendo que a taxa de desconto cobrada foi 0,02% ao dia, 
calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
a) 37 dias.
b) 55 dias.
c) 70 dias.
d) 93 dias.
Autoatividade sobre prazo médio
8 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos, utilizando como peso de ponderação os 
valores:
- Título de R$ 100,00 com prazo de 30 dias.
- Título de R$ 200,00 com prazo de 60 dias.
- Título de R$ 300,00 com prazo de 90 dias.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) 55 dias.
b) 60 dias.
c) 65 dias.
d) 70 dias.
135
9 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos, utilizando como peso de ponderação os 
valores:
- Título de R$ 4.000,00 com prazo de 20 dias.
- Título de R$ 13.000,00 com prazo de 77 dias.
- Título de R$ 95.000,00 com prazo de 130 dias.
- Título de R$ 400,00 com prazo de 210 dias.
- Título de R$ 46.000,00 com prazo de 33 dias.
- Título de R$ 10.000,00 com prazo de 30 dias.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) 47 dias.
b) 91 dias.
c) 113 dias.
d) 139 dias.
136
REFERÊNCIAS
BARROS, D. M. Matemática Financeira. São Paulo: Rideel, 2014.
CAPELLETTO, L. R. CORRAR, L. J. . Índices de risco sistêmico para o setor bancário. 
Revista Contabilidade e Finanças, v. 19, n. 47, p. 6-18. 2008
CASTANHEIRA, N. F.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 2. Edição 
(online Plataforma Pearson). Curitiba: Intersaberes, 2020.
CASTANHEIRA, N. HP-12c: Com utilizá-la com facilidade. Curitiba: IBEPEX, 2010.
CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, Á. E. Geometria analítica em espaços de duas e três 
dimensões:1. ed. Curitiba: Intersaberes, 2017.
CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática financeira e análise financeira 
aplicada: para todos os níveis. Curitiba: Juruá, 2014. 
FERREIRA, R. G. Matemática Financeira Aplicada: mercado de capitais, análise de 
investimentos, finanças pessoais e tesouro direto (Online Plataforma Minha Biblioteca). 
São Paulo: Atlas, 2014.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira Com HP12C E Excel: uma abordagem 
descomplicada. São Paulo: Pearson, 2009.
GONÇALVES, E. B., GOUVÊA, M. A., MANTOVANI, D. M. N. . Análise de risco de crédito com 
o uso de regressão logística. Revista Contemporânea de Contabilidade, v. 10, n. 20, 
p. 139-160. 2013
GUIA USUÁRIO HP12C. Hp 12c calculadora financeira, guia do usuário, 4ª ed. San 
Diego, CA: HP INVENTE, 2004
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2014.
HORIGUTI, A. M.; DONADEL, J. Matemática Comercial e Financeira e Fundamentos 
de Estatística. 1 ed. São Paulo: Érica, 2014.
INTERNATIONAL ACCOUNTING STANDARDS BOARD (IASB). International Financial 
Reporting Standards 9. Financial Instruments, 2014. Disponível em: https://bit.
ly/3LgXTUY. Acesso em: 2 set. 2022.
JACQUES, I. Matemática para economia e administração. Tradução Regina Célia 
Simille de Macedo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
137
LEITE, L. L. . Factoring no Brasil (12a ed., pp. 221-225). São Paulo: Atlas. 2011
NETO, A. A.; LIMA, F. G. Fundamentos De Administração. São Paulo: Atlas, 2017.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. 5.ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica princípios e 
aplicações. 2. Edição (online Plataforma Pearson). São Paulo: Blucher, 2017.
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. 1ª Edição. São Paulo: Pearson, 2012.
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. 2. Edição. São Paulo: Pearson, 2018.
WOLF, F. M. As práticas de análise para concessão de crédito numa empresa de 
fomento mercantil (factoring). Graduação em Ciências Contábeis, Universidade 
Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, Brasil. 2008. Disponível em: https://bit.
ly/3qJ0a1n. Acesso em: 2 set. 2022.
138
139
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA
UNIDADE 3 —
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender o sistema de juros compostos;
• realizar cálculos de juros compostos;
• realizar cálculos de série de pagamentos;
• elaborar planos de amortizações de empréstimos fi nanceiros.
A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar 
o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – JUROS COMPOSTOS
TÓPICO 2 – SÉRIE DE PAGAMENTO
TÓPICO 3 – PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
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141
TÓPICO 1 — 
JUROS COMPOSTOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Juros compostos são os juros de um depósito calculados com base no principal 
inicial e nos juros acumulados deperíodos anteriores, ou seja, juros compostos são juros 
adquiridos sobre juros. Quanto maior o número de períodos compostos, maior o juro 
composto (CASTANHEIRA; LEITE, 2017). 
Hazzan e Pompeo (2014) fazem a seguinte analogia com os juros compostos: 
pense nos juros compostos como uma bola de neve, em que quanto mais cedo um 
investidor começar a economizar e quanto mais dinheiro o investidor adicionar a sua 
bola de neve, mais ela crescerá. Agora, pense se o investidor empurrasse a bola de neve 
por uma colina coberta de neve. Assim, a neve que o investidor já acumulou vai ficar, e 
o investidor vai acumular mais neve (HAZZAN, POMPEO, 2014). Eventualmente, quando 
sua bola de neve chegar ao fundo da colina, ela conterá a neve com a qual o investidor 
começou, a neve que acumulou ao longo do caminho e ainda mais neve em cima disso.
Em outras palavras, o efeito juros sobre juros pode gerar retornos continuamente 
crescentes com base no valor do seu investimento inicial. Assim, quanto mais 
frequentemente o investidor economizar, e quanto maior o valor que economizar, 
maiores serão os retornos de juros (BARROS, 2014).
Os juros compostos fazem com que sua riqueza cresça mais rapidamente, faz 
uma soma de dinheiro crescer a uma taxa mais rápida do que os juros simples, porque 
o investidor obterá retornos sobre o dinheiro investido, bem como sobre os retornos ao 
final de cada período de capitalização (GIMENES, 2009). Isso significa que o investidor 
não precisa guardar tanto dinheiro para alcançar seus objetivos!
A magia da composição pode ser um fator importante na construção de sua 
riqueza, em que quanto mais cedo o investidor abrir uma conta com juros e começar a 
estocar dinheiro, mais dinheiro ganhará em juros compostos. Também é fundamental 
para ajudar a mitigar fatores de erosão da riqueza, como o aumento do custo de vida, a 
inflação e a redução do poder de compra (NETO, 2017).
Acadêmico, no Tópico 1, abordaremos primeiramente a inflação versus 
deflação, seus conceitos e relação com juros compostos. Em seguida, analisaremos 
taxas equivalentes nos juros compostos onde abordaremos os cálculos capitalização e 
descapitalização. Após, estudaremos juros compostos, quando abordaremos o período 
de juros compostos, e como os juros compostos são calculados.
142
2 INFLAÇÃO VS. DEFLAÇÃO
O quão rentável um investimento pode ser vai depender da inflação ou deflação 
acumulada no período. Tanto a inflação como a deflação são calculadas sobre juros com-
postos, ou seja, juros sobre juros. O cálculo da inflação e da deflação são realizados por meio 
dos juros compostos, proporcionando o cálculo perdas e ou ganhos ao longo do tempo.
A inflação ocorre quando os preços dos bens e serviços aumentam, enquanto a 
deflação ocorre quando esses preços diminuem. O equilíbrio entre essas duas condições 
econômicas, lados opostos da mesma moeda, é delicado e uma economia pode oscilar 
rapidamente de uma condição para outra (SELEME, 2010). Os bancos centrais estão aten-
tos aos níveis de variação de preços e atuam para conter a deflação ou a inflação por meio 
da condução da política monetária, como a fixação das taxas de juros (SILVA, 2009).
A inflação é uma medida quantitativa da rapidez com que o preço dos bens em 
uma economia está aumentando, podendo ser causada quando bens e serviços estão 
em alta demanda, criando assim uma queda na disponibilidade. Os suprimentos podem 
diminuir por vários motivos, por exemplo, um desastre natural pode acabar com uma 
safra de alimentos, ou, quem sabe, um boom imobiliário pode esgotar os suprimentos de 
construção etc. (BARTEL, 2011). Seja qual for o motivo, os consumidores estão dispostos 
a pagar mais pelos itens que desejam, fazendo com que fabricantes e prestadores de 
serviços cobrem mais (HOJI, 2012).
A medida mais comum de inflação é a taxa de aumento do índice de preços 
ao consumidor (IPC). O IPC é uma cesta teórica de bens, incluindo bens e serviços de 
consumo, assistência médica e custos de transporte. O governo acompanha o preço 
dos bens e serviços na cesta para entender o poder de compra (PADOVEZE, 2016).
A inflação pode ser boa ou ruim, dependendo das razões e do nível de inflação. 
De fato, uma completa falta de inflação pode ser bastante ruim para a economia, como 
veremos a seguir com a deflação (PUJATTI; ALMEIDA, 2007). Uma quantia modesta de 
inflação pode encorajar gastos e investimentos, pois a inflação pode corroer lentamente 
o poder de compra do dinheiro (PAULANI; BRAGA, 2020).
A deflação ocorre quando há muitos bens disponíveis ou quando não há 
dinheiro suficiente circulando para comprar esses bens e, como resultado, o preço dos 
bens e serviços cai (GITMAN, 2010).
Picardo (2022) apresenta o seguinte exemplo: se um determinado tipo de carro 
se tornar muito popular, outros fabricantes começam a fabricar um veículo semelhante 
para competir. Logo, as montadoras têm mais desse estilo de veículo do que podem 
vender, então devem baixar o preço para vender os carros. As empresas que ficam 
presas com muito estoque precisam cortar custos, o que geralmente leva a demissões. 
Indivíduos desempregados não têm dinheiro suficiente disponível para comprar itens; 
para persuadi-los a comprar, os preços baixam, o que continua a tendência.
143
A deflação pode levar a uma recessão econômica ou depressão, e os bancos 
centrais geralmente trabalham para interromper a deflação assim que ela começa. 
Quando os provedores de crédito detectam uma queda nos preços, geralmente 
reduzem a quantidade de crédito que oferecem (HOJI, 2014). Para Gitman (2010), isso 
cria uma crise de crédito em que os consumidores não podem acessar empréstimos 
para comprar itens caros, deixando as empresas com estoques em excesso e causando 
mais deflação. Períodos prolongados de deflação podem prejudicar o crescimento 
econômico e aumentar o desemprego (GITMAN, 2010).
Assim como a hiperinflação descontrolada é ruim, quedas descontroladas de pre-
ços podem levar a danos em uma espiral deflacionária. Essa situação normalmente ocorre 
durante períodos de crise econômica, como recessão ou depressão, à medida que a produ-
ção econômica diminui e a demanda por investimento e consumo seca (HOJI; LUZ, 2018). 
Isso pode levar a um declínio geral nos preços dos ativos, pois os produtores são forçados a 
liquidar os estoques que as pessoas não querem mais comprar (SELEME, 2010).
Consumidores e empresas começam a manter reservas de dinheiro líquido para 
proteger contra perdas financeiras adicionais. Quanto mais dinheiro é economizado, 
menos dinheiro é gasto, diminuindo ainda mais a demanda agregada (SILVA, 2009). 
Nesse ponto, as expectativas das pessoas em relação à inflação futura também são 
reduzidas e elas começam a acumular dinheiro. Os consumidores têm menos incentivo 
para gastar dinheiro hoje quando podem razoavelmente esperar que seu dinheiro terá 
mais poder de compra amanhã (HOJI; LUZ, 2018).
2.1 INFLAÇÃO
A inflação é um aumento dos preços, que pode ser traduzido como o declínio 
do poder de compra ao longo do tempo. A taxa na qual o poder de compra cai pode ser 
refletida no aumento do preço médio de uma cesta de bens e serviços selecionados 
durante algum período (BARTEL, 2011). O aumento dos preços, que muitas vezes é 
expresso em porcentagem, significa que uma unidade de moeda efetivamente compra 
menos do que em períodos anteriores. A inflação pode ser contrastada com a deflação, 
que ocorre quando os preços caem e o poder de compra aumenta (SELEME, 2010).
Embora seja fácil medir as mudanças de preço de produtos individuais ao 
longo do tempo, as necessidades humanas vão além de apenas um ou dois produtos 
(HOJI; LUZ, 2018). Para Bartel (2011), os indivíduos precisam de um conjunto grande 
e diversificado de produtos, bem como de uma série de serviços para viver uma vida 
confortável. Eles incluem commodities como grãos alimentícios, metal, combustível, 
serviços públicos como eletricidade e transporte e serviços como assistência médica, 
entretenimentoe trabalho (BARTEL, 2011).
144
A inflação visa medir o impacto geral das mudanças de preços para um conjunto 
diversificado de produtos e serviços, gerando uma representação de valor único do 
aumento do nível de preços de bens e serviços em uma economia durante um período 
(PADOVEZE, 2016).
De acordo com Paulani e Braga (2020), os preços aumentam, o que significa 
que uma unidade de dinheiro compra menos bens e serviços. Essa perda de poder 
de compra impacta o custo de vida do público comum, o que acaba levando a uma 
desaceleração do crescimento econômico. Para os autores, a visão consensual entre 
os economistas é que a inflação sustentada ocorre quando o crescimento da oferta 
monetária de uma nação supera o crescimento econômico.
Para combater isso, a autoridade monetária (como o banco central) toma as medi-
das necessárias para gerenciar a oferta monetária e o crédito para manter a inflação dentro 
dos limites permitidos e manter a economia funcionando sem problemas (HOJI; LUZ, 2018).
2.2 DEFLAÇÃO
A deflação é um declínio geral nos preços de bens e serviços, normalmente 
associado a uma contração na oferta de moeda e crédito na economia. Durante a 
deflação, o poder de compra da moeda aumenta ao longo do tempo (BARTEL, 2011).
A deflação faz com que os custos nominais de capital, trabalho, bens e serviços 
caiam, embora seus preços relativos possam permanecer inalterados. A deflação tem 
sido uma preocupação popular entre os economistas por décadas, em que à primeira 
vista, a deflação beneficia os consumidores porque eles podem comprar mais bens e 
serviços com a mesma renda nominal ao longo do tempo (PADOVEZE, 2016).
No entanto, nem todos ganham com preços mais baixos, e os economistas 
muitas vezes se preocupam com as consequências da queda dos preços em vários 
setores da economia, especialmente em questões financeiras. Em particular, a deflação 
pode prejudicar os mutuários, que podem ser obrigados a pagar suas dívidas em dinheiro 
que vale mais do que o dinheiro emprestado, bem como quaisquer participantes do 
mercado financeiro que invistam ou especulem sobre a perspectiva de aumento dos 
preços (PAULANI; BRAGA, 2020).
3 TAXAS EQUIVALENTES NOS JUROS COMPOSTOS
Na matemática financeira, intitulamos de equivalentes os capitais que 
apresentam o mesmo valor em uma determinada data de avaliação. O cálculo da taxa 
equivalente proporciona converter taxas que estão em um período para outro, de forma 
a proporcionar a comparação de taxas e verificar qual o mais rentável (SAMANEZ, 2010). 
Por exemplo, você pode ter um investimento que lhe rende 10% ao ano e pode ter outro 
145
investimento que lhe rende 1,3% ao mês. A taxa equivalente proporciona converter as 
taxas para o mesmo período e assim proporcionar a comparação de investimento e 
decidir qual o mais rentável.
Em síntese, o cálculo da taxa equivalente apresenta duas funções principais:
• Para fazer comparações entre todos os seus investimentos. 
• Para calcular a taxa de juros auferida sobre um determinado valor de juros que 
recebeu em um ano para determinar o desempenho de seus investimentos.
O cálculo das taxas equivalentes é realizado quando se tem duas taxas com 
período de capitalização diferentes. O cálculo proporciona colocar a taxa no mesmo 
período e, assim, poder compará-las. O cálculo das taxas equivalentes é realizado 
utilizando as fórmulas de capitalização e descapitalização.
• Capitalização de uma taxa refere-se ao processo realizado para identificar uma 
taxa equivalente a um período MAIOR em relação à taxa que temos. Por exemplo, 
converter uma taxa que está ao mês para ao ano. 
• Descapitalização de uma taxa refere-se ao processo realizado para identificar uma 
taxa equivalente a um período MENOR em relação à taxa que temos. Por exemplo, 
converter uma taxa que está ao ano para ao mês.
3.1 CÁLCULO DE CAPITALIZAÇÃO
O cálculo de capitalização pode ser realizado tanto por meio de fórmula como 
por meio da calculadora HP12C.
A fórmula da capitalização é:
Ic = {(1 + i)n – 1} • 100
O cálculo da taxa equivalente pode ser realizado pela HP12C, porém, como não é 
informado o capital para que possamos calcular utilizando a calculadora, padronizamos 
em utilizar SEMPRE um capital fictício no valor de R$ 100,00. 
Comandos para realizar o cálculo da capitalização na HP12C:
1. Digite f REG para zerar a memória financeira da calculadora.
2. Digite o valor fictício de 100 e aperte CHS PV
3. Digite o valor da taxa de juros e aperte i 
4. Digite o valor do tempo entre a taxa informada e a procurada e aperte n
5. Aperte FV para calcular e exibir os juros equivalente.
6. Digite 100 e aperte - .
146
Exemplo 1:
Calcule qual é a taxa anual equivalente a uma taxa de 1% ao mês.
Resolução pela fórmula:
Ic = {(1 + i)n – 1} * 100
Ic = {(1 + 0,01)12 – 1} * 100 
Ic = {(1,01)12 – 1} * 100
Ic = {1,12682503 – 1} * 100 
Ic = 0,12682503 * 100
Ic = 12,682503% ao ano (ou seja, em juros compostos 1% ao mês é equivalente 
a 12,68% ao ano).
Observação: foi utilizado o expoente 12, pois um ano tem 12 meses, e como o 
exemplo pedia para converter mês para ano, era necessário identificar quantos meses 
tem no decorrer de um ano para colocar no expoente. Se em outro exemplo solicita-se 
para converter mês para semestre, iremos usar o expoente 6, pois em um semestre 
temos 6 meses.
Resolução pela HP12C:
f REG
100 CHS PV
1 i
12 n
FV
100 - .
No visor, irá aparecer: 12,682503 (ou seja, em juros compostos 1% ao mês é 
equivalente a 12,68% ao ano).
3.2 CÁLCULO DESCAPITALIZAÇÃO
O cálculo de descapitalização pode ser realizado tanto por meio de fórmula 
como por meio da calculadora HP12C.
A fórmula da descapitalização é:
Id = {(1 + i)1/n – 1} • 100
O cálculo da taxa equivalente pode ser realizado pela HP12C, porém, como não é 
informado o capital, para que possamos calcular utilizando a calculadora, padronizamos 
em utilizar SEMPRE um capital fictício no valor de R$ 100,00. 
147
Comandos para realizar o cálculo da descapitalização na HP12C:
1. Digite f REG para zerar a memória financeira da calculadora.
2. Digite o valor fictício de 100 e aperte CHS PV .
3. Digite o valor da taxa de juros e aperte i .
4. Digite o valor do tempo entre a taxa informada e a procurada e aperte 1/x n.
5. Aperte FV para calcular e exibir os juros equivalente.
6. Digite 100 e aperte - .
Exemplo 3:
Calcule qual é a taxa mensal equivalente a uma taxa de 20% ao ano.
Resolução pela fórmula:
Id = {(1 + i)1/n – 1} * 100
Id = {(1 + 0,2)1/12 – 1} * 100
Id = {(1,2)0,083333333 – 1} * 100
Id = {1,01530947 – 1} * 100
Id = 0,01530947 * 100
Id = 1,530947% ao mês (ou seja, em juros compostos 20% ao ano é equivalente 
a 1,53% ao mês).
Observação: foi utilizado o expoente 1/12, pois um ano tem 12 meses e, como o 
exemplo pedia para converter ano para mês, era necessário identificar quantos meses 
tem no decorrer de um ano para colocar no expoente. Se em outro exemplo solicita-se 
para converter semestre para mês, iremos usar o expoente 1/6, pois em um semestre 
temos 6 meses.
Resolução pela HP12C:
f REG
100 CHS PV
20 i
12 1/x n
FV
100 - .
No visor, irá aparecer: 1,530947% ao mês (ou seja, em juros compostos 20% ao 
ano é equivalente a 1,53% ao mês).
4 JUROS COMPOSTOS
Juros compostos são os juros de um empréstimo ou depósito calculados com 
base no valor principal (também chamado de capital inicial, valor emprestado) e nos 
juros acumulados de períodos anteriores. Acredita-se que tenha se originado na Itália 
148
do século XVII. Os juros compostos podem ser considerados como “juros sobre juros” 
(SAMANEZ, 2010). Eles farão uma soma crescer a uma taxa mais rápida do que os juros 
simples, que são calculados apenas sobre o valor principal.
4.1 PERIODO DE JUROS COMPOSTOS
Os juros podem ser compostos em qualquer período de frequência, de diário 
a anual. Existem esquemas de frequência de composição padrão que geralmente são 
aplicados a instrumentos financeiros (CASTANHEIRA; LEITE, 2017).
De acordo com Ferreira (2014), o períodode composição é comumente usado 
para contas de poupança nos bancos é diário. Segundo o autor, para um certificado de 
depósito (CD), os tempos típicos de frequência de capitalização são diários, mensais ou 
semestrais; para contas do mercado monetário, geralmente, é diário. Para empréstimos 
imobiliários, empréstimos comerciais pessoais ou contas de cartão de crédito, o período 
de composição mais comumente aplicado é mensal (SAMANEZ, 2010).
Pode haver variações no prazo em que os juros acumulados são efetivamente 
creditados ao saldo existente. Os juros de uma conta podem ser compostos diariamente, 
mas apenas creditados mensalmente. De acordo com Barros (2014), é somente quando 
os juros são realmente creditados, ou adicionados ao saldo existente que ele começa a 
render juros adicionais na conta.
Alguns bancos também oferecem algo chamado juro composto continuamente, 
que adiciona juros ao principal a cada instante possível. Para fins práticos, não acumula 
muito mais do que juros compostos diários, a menos que você queira colocar dinheiro 
e retirá-lo no mesmo dia (CASTANHEIRA; LEITE, 2017). A composição mais frequente de 
juros é benéfica para o investidor ou credor. Para um mutuário, o oposto é verdadeiro 
(FERREIRA, 2014).
Um mutuário é a pessoa que recebe um empréstimo para adquirir um 
bem. Nesses casos, o mutuário recebe o valor logo após firmar contrato 
e se torna responsável por pagar o montante adquirido ao banco ou à 
instituição financeira em questão. Um exemplo de mutuário são as 
pessoas que participam do programa Minha Casa Minha Vida. Nesse caso, 
o consumidor recebe o subsídio do Governo Federal para compra de uma 
casa ou apartamento.
FONTE: https://bit.ly/3xpuL8d. Acesso em: 31 ago. 2022.
DICA
149
4.2 COMO OS JUROS COMPOSTOS SÃO CALCULADOS
Os juros compostos são calculados aplicando um fator de crescimento expo-
nencial à taxa de juros ou taxa de retorno que está usando (SAMANEZ, 2010). Para cal-
cular juros compostos é preciso conhecer alguns conceitos:
• Valor presente (PV): também chamado de valor do capital ou valor principal, 
refere-se ao saldo inicial sobre o qual os juros estão sendo calculados.
• Taxa: refere-se à taxa de juros (ou taxa de retorno esperada no investimento), 
expressa como um decimal.
• Período: também chamado de tempo, o período de composição refere-se à 
frequência com que você adiciona juros ao principal.
• Valor futuro (FV): também chamado de montante, refere-se ao valor recebido ou 
pago ao fim do período acrescido de juros calculado conforma a taxa estabelecida. 
Ou seja, é a soma do valor principal mais os juros.
• Valor da Prestação (PMT): refere-se ao valor pago ou recebido periodicamente, 
como o pagamento de uma compra mensalmente paga com um valor da prestação 
até a quitação da compra.
4.3 CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE
O cálculo do valor futuro (FV), também chamado de montante (capital + juros), 
pode ser realizado por meio da fórmula:
FV = PV • (1 + i)n
Onde:
• FV = Montante ou Valor Futuro.
• PV = Capital inicial ou Valor Presente.
• i = taxa de juros.
• n = período(s) de capitalização(ões) ou tempo.
Exemplo 1
Calcule o valor futuro (FV) que será produzido se aplicarmos o capital inicial 
de R$ 3.000,00 a uma taxa de 7% ao mês em Juros Compostos, durante o tempo de 3 
meses.
Resolução pela fórmula
FV = PV * (1 + i)n
FV = 3.000 * (1 + 0,07)3 
FV = 3.000 * 1,225043
FV = 3.675,13 (ou seja, o valor futuro é de R$ 3.675,13)
150
Resolução pela hp12c
 f REG
3000 CHS PV
7 i
3 n
FV = 3.675,13 (ou seja, o valor futuro é de R$ 3.675,13)
Exemplo 2
Calcule o valor futuro (FV) que será produzido se aplicarmos o valor presente de 
R$ 5.000,00 a uma taxa de 4% ao mês em juros compostos, durante o tempo de 2 ano.
Resolução
Se preferir pode usar a função capitalização e/ou descapitalização para calcular 
a taxa equivalente para igualar a taxa ao tempo. Ou pode converter o tempo para mesmo 
período da taxa. 
Como a taxa está ao mês, optamos em transformar o tempo, que está em ano 
para ao mês.
O tempo de 2 ano é igual a 24 meses (2 anos * 12 meses = 24 meses).
Resolução pela fórmula
FV = PV * (1 + i)n
FV = 5.000 * (1 + 0,04)24 
FV = 5.000 * 2,563304165
FV = 12.816,52 (ou seja, o valor futuro é de R$ 12.816,52)
Resolução pela HP12C
 f REG
5000 CHS PV
4 i
24 n
FV = 12.816,52 (ou seja, o valor futuro é de R$ 12.816,52)
4.4 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL INICIAL
Exemplo 3
Calcule o valor presente (PV) que, aplicado durante 12 meses e a uma taxa de 
2% ao mês em juros compostos, produz o valor futuro (FV) de R$ 5.000,00.
Resolução pela fórmula
FV = PV • (1 + i)n
5000 = PV * (1 + 0,02)12 
5000 = PV * 1,268241795
151
5000/ 1,268241795 = PV 
PV = 3.942,47 (ou seja, o valor presente é de R$ 3.942,47)
Resolução pela HP12C
 f REG
5000 CHS FV
2 i
12 n
PV = 3.942,47 (ou seja, o valor presente é de R$ 3.942,47)
Exemplo 4
Calcule o valor presente (PV) que, aplicado durante 60 meses, a uma taxa de 8% 
ao ano em juros compostos, produz o valor futuro (FV) de R$ 20.000,00.
Resolução
Se preferir, pode usar a função capitalização e/ou descapitalização para calcular 
a taxa equivalente para igualar a taxa ao tempo. Ou pode converter o tempo para mesmo 
período da taxa.
 
Como a taxa está ao ano, optamos em transformar o tempo, que está ao mês 
para ao ano.
Como 1 ano tem 12 meses, então, dividimos 60 meses por 12 e obtemos que 60 
meses é igual a 5 anos. (60 meses / 12 meses = 5 anos).
Resolução pela fórmula
FV = PV • (1 + i)n
20.000 = PV * (1 + 0,08)5 
20.000 = PV * 1,469328077
20.000/ 1,469328077 = PV 
PV = 13.611,66 (ou seja, o valor presente é de R$ 13.611,66)
Resolução pela HP12C
 f REG
20.000 CHS FV
8 i
5 n
PV = 13.611,66 (ou seja, o valor presente é de R$ 13.611,66)
4.5 CÁLCULO DA TAXA (i)
Exemplo 5
O valor presente de R$ 2.000,00 produziu um valor futuro de R$ 3.000,00 
durante 5 meses. Calcule a taxa de aplicação mensal em juros compostos.
152
Resolução pela fórmula
i = 0,084471771 * 100
i = 8,4471771 (ou seja, uma taxa de 8,45% ao mês)
Resolução pela HP12C
 f REG
2000 CHS PV
3000 FV
5 n
i = 8,4471771 (ou seja, uma taxa de 8,45% ao mês)
4.6 CÁLCULO DO TEMPO ( n )
Exemplo 6
Calcule em quantos meses um valor presente (PV) de R$ 5.000,00 produz um 
valor futuro (FV) de R$ 9.000,00 se a taxa de juros for 3% ao mês, em juros compostos.
Resolução pela fórmula
n = 19,88533433 (ou seja, 19,89 meses)
Como calcular o In()
In(1,8) = 1,8 g LN
In(1,8) = 0,587786665
153
In (1,03) = 1,03 g LN
In (1,03) = 0,029558802
Resolução pela HP12C
 f REG
5000 CHS PV
9000 FV
3 i
n = 20,00 (ou seja, uma taxa de 20 meses) *
* Observação importante: a HP12C sempre arredonda a resposta para o 
próximo período inteiro. Para ela, não existe tempo “quebrado” ou meses quebrados. No 
exemplo, a resposta pela fórmula é 19,89 meses, mas, para a calculadora, será 20 meses.
154
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu:
• A inflação é uma medida quantitativa da rapidez com que o preço dos bens em uma 
economia está aumentando
• A deflação ocorre quando há muitos bens disponíveis ou quando não há dinheiro 
suficiente circulando para comprar esses bens e, como resultado, o preço dos bens 
e serviços cai.
• Capitalização de uma taxa refere-se ao processo realizado para identificar uma taxa 
equivalente a um período MAIOR em relação à taxa que temos. 
• Descapitalização de uma taxa refere-se ao processo realizado para identificar uma 
taxa equivalente a um período MENOR em relação à taxa que temos.
• Juros compostos são os juros de um empréstimo ou depósito calculados com base 
no valor principal e nos juros acumulados de períodos anteriores.
• Valor presente (PV), também chamado de valor do capital ou valor principal, refere-
se ao saldo inicial sobre o qual os juros estão sendo calculados.
• Taxa refere-se à taxa de juros (ou taxa de retorno esperada no investimento), 
expressa como um decimal.
• Também chamado de tempo, o período de composição refere-se à frequência comque você adiciona juros ao principal.
• Valor futuro (FV), também chamado de montante, refere-se ao valor recebido ou 
pago, ao fim do período acrescido de juros calculado conforma a taxa estabelecida. 
Ou seja, é a soma do valor principal mais os juros.
• Valor da Prestação (PMT) refere-se ao valor pago ou recebido periodicamente. Como 
o pagamento de uma compra, onde mensalmente se paga um valor da prestação 
até a quitação da compra.
155
AUTOATIVIDADE
1 Calcule qual é a taxa semestral equivalente a uma taxa de 2% ao mês.
a) ( ) 9,33% a.s.
b) ( ) 12,62% a.s.
c) ( ) 15,10% a.s.
d) ( ) 24,93% a.s.
2 Calcule qual é a taxa bimestre equivalente a uma taxa de 10% ao semestre.
a) ( ) 0,46% a.b.
b) ( ) 1,34% a.b.
c) ( ) 3,23% a.b.
d) ( ) 5,93% a.b.
3 Calcule o valor futuro (FV) que será produzido se aplicarmos o capital inicial de R$ 
8.000,00 a uma taxa de 4% ao mês em Juros Compostos, durante o tempo de 5 
meses.
a) ( ) R$ 8.733,22.
b) ( ) R$ 4.190,52.
c) ( ) R$ 5.945,30.
d) ( ) R$ 6.274,91.
4 Calcule o valor futuro (FV) que será produzido se aplicarmos o valor presente (PV) de 
R$ 600,00 a uma taxa de 1,8% ao mês em juros compostos, durante o tempo de 1 
semestre.
a) ( ) R$ 679,15.
b) ( ) R$ 780,31.
c) ( ) R$ 961,10.
d) ( ) R$ 667,79.
5 Calcule o valor presente (PV) que, aplicado durante 18 meses e a uma taxa de 6% ao 
mês em juros compostos, produz o valor futuro (FV) de R$ 6.500,00.
a) ( ) R$ 1.356,41.
b) ( ) R$ 2.789,73.
c) ( ) R$ 2.277,23.
d) ( ) R$ 3.738,44.
156
6 Calcule o valor presente (PV) que, aplicado durante 120 meses, a uma taxa de 9% ao 
ano em juros compostos, produz o valor futuro (FV) de R$ 15.000,00.
a) ( ) R$ 3.900,61.
b) ( ) R$ 4.350,44.
c) ( ) R$ 6.336,16.
d) ( ) R$ 8.520,10.
7 O valor presente de R$ 1.000,00 produziu um valor futuro de R$ 2.000,00 durante 10 
meses. Calcule a taxa de aplicação mensal em juros compostos.
a) ( ) 7,18% a.m.
b) ( ) 5,31% a.m.
c) ( ) 4,56% a.m.
d) ( ) 3,10% a.m.
8 Calcule em quantos meses um valor presente (PV) de R$ 3.000,00 produz um valor 
futuro (FV) de R$ 4.000,00 se a taxa de juros for 6% ao mês, em juros compostos.
a) ( ) 8,32 meses
b) ( ) 6,12 meses
c) ( ) 2,82 meses
d) ( ) 4,94 meses 
9 O cálculo das taxas equivalentes é realizado quando se tem duas taxas com período 
de capitalização diferentes. O cálculo proporciona colocar a taxa no mesmo período 
e assim poder compará-las. O cálculo das taxas equivalentes é realizado utilizando 
as fórmulas de capitalização e descapitalização. Disserte sobre o sistema de 
capitalização e de descapitalização.
10 O quão rentável um investimento pode ser, vai depender da inflação ou deflação 
acumulado no período. Tanto a inflação como a deflação são calculados sobre 
juros compostos, ou seja, juros sobre juros. O cálculo da inflação e da deflação são 
realizados por meio dos jutos compostos, proporcionando o cálculo perdas e ou 
ganhos ao longo do tempo. Conceitue inflação e deflação.
157
SÉRIE DE PAGAMENTO
1 INTRODUÇÃO
Um empréstimo parcelado é um tipo de acordo ou contrato envolvendo um 
empréstimo que é pago ao longo do tempo com um número definido de pagamentos 
programados. O prazo do empréstimo pode ser de apenas alguns meses ou mesmo 
alguns anos (FERREIRA, 2014). Um empréstimo parcelado é uma quantia que o investidor 
empresta e paga em pagamentos, ou parcelas, durante um período, geralmente meses 
ou anos. Os empréstimos parcelados podem ser garantidos com garantias, como um 
carro, ou não garantidos (SAMANEZ, 2010). 
A solicitação de um empréstimo parcelado geralmente requer uma verificação 
de crédito, o que pode diminuir temporariamente a pontuação de crédito em alguns 
pontos. Além disso, os empréstimos parcelados podem fortalecer seu crédito se a 
mutuário fizer pagamentos consistentes e pontuais (GIMENES, 2009).
O empréstimo tem sido praticado por muitos milhares de anos e manifestou 
uma variedade de formas ao longo desse tempo. Contratos de empréstimo primitivos 
da Mesopotâmia já no século X a. C. evidenciam o desenvolvimento de um sistema 
rudimentar de crédito que incluía o conceito de juros e o conceito de pagamento de 
juros em parcelas em intervalos regulares (BARROS, 2014). 
O pagamento dos juros de empréstimos em prestações, segundo Hazzan e 
Pompeo (2014), pode ser discernido já no século VI a. C. em contratos antigos como 
o seguinte contrato de empréstimo de dinheiro, que é de 550 a. C., em que nenhuma 
garantia foi dada ao credor, mas ele recebeu juros de vinte por cento e esses juros foram 
pagos em parcelas em intervalos de um mês (supostamente lunar).
Caro acadêmico, no Tópico 2, abordaremos, primeiramente, os empréstimos 
parcelados, e analisaremos os tipos comuns de empréstimos, as classificações dos 
empréstimos parcelados, vantagens e desvantagens. Em seguida, analisaremos os 
tipos de séries de pagamentos: o antecipado e o postecipado. Por fim, abordaremos os 
cálculos das séries de pagamentos, primeiramente a de antecipado e, posteriormente, 
a de postecipado.
UNIDADE 3 TÓPICO 2 - 
158
2 EMPRÉSTIMOS PARCELADOS
Um empréstimo parcelado, segundo Hazzan e Pompeo (2014), é um termo 
amplo e geral que se refere à esmagadora maioria dos empréstimos pessoais e 
comerciais concedidos aos mutuários. Para os autores, os empréstimos parcelados 
incluem qualquer empréstimo que seja reembolsado com pagamentos ou prestações 
regulares. Um empréstimo parcelado fornece ao mutuário uma quantia que deve ser 
reembolsada com pagamentos programados regularmente. Cada pagamento de uma 
dívida parcelada inclui o pagamento de uma parte do valor principal emprestado e o 
pagamento de juros sobre a dívida (PADOVEZE, 2016).
De acordo com Silva (2009), as principais variáveis que determinam o valor 
de cada pagamento de empréstimo programado regularmente incluem o valor do 
empréstimo, a taxa de juros cobrada do mutuário e a duração ou prazo do empréstimo. 
O valor do pagamento regular, normalmente devido mensalmente, permanece o mesmo 
durante todo o prazo do empréstimo, tornando mais fácil para o mutuário fazer um 
orçamento antecipado para fazer os pagamentos necessários (SILVA, 2009).
Os tipos comuns de empréstimos parcelados são:
• empréstimos para automóveis;
• empréstimos imobiliários;
• empréstimos pessoais. 
Com exceção dos empréstimos imobiliários, que às vezes são empréstimos 
com taxa variável em que a taxa de juros muda durante o prazo do empréstimo, quase 
todos os empréstimos parcelados são com taxa fixa, o que significa que a taxa de juros 
cobrada durante o prazo é fixada no momento de empréstimo (SILVA, 2009).
Os empréstimos parcelados podem ser classificados com relação à garantia de 
duas formas, existe o parcelado garantido (com garantias) e/ou parcelado não garantido 
(sem garantias) (PADOVEZE, 2016). 
• Parcelados garantidos: ocorrem quando o mutuário apresenta um bem como 
garantia de pagamento do empréstimo. Empréstimos imobiliários são garantidos 
com a imóvel que o empréstimo está sendo usado para comprar, e a garantia 
para um empréstimo de automóvel é o veículo que está sendo adquirido com o 
empréstimo (PADOVEZE, 2016).
• Parcelados não garantidos: ocorrem quando o mutuário não apresenta nenhum 
bem como garantia de pagamento do empréstimo. Alguns empréstimos parcelados 
(geralmente chamados de empréstimos pessoais) são concedidos sem a 
necessidade de garantias. Os empréstimos concedidos sem a exigência de garantias 
são feitos com base na qualidade de crédito do mutuário, geralmente demonstrada 
por meio de uma pontuação de crédito, e na capacidade de pagamento conforme 
demonstrado pela renda e ativos do mutuário (PADOVEZE, 2016).
159
A taxa de juros cobrada em um empréstimo sem garantia é geralmente mais 
alta do que a taxa que seria cobrada em um empréstimo com garantia comparável, 
refletindo o maior risco de não pagamento que o credor aceita (SELEME, 2010).
Os empréstimos parcelados são flexíveis e podem ser facilmente adaptados às 
necessidadesespecíficas do mutuário em termos do montante do empréstimo e do 
período que melhor corresponde à capacidade do mutuário de o reembolsar. Esses 
empréstimos permitem que o mutuário obtenha financiamento a uma taxa de juros 
substancialmente mais baixa do que o normalmente disponível com financiamento de 
crédito rotativo, como cartões de crédito (HOJI; LUZ, 2018). Dessa forma, o mutuário 
pode manter mais dinheiro disponível para usar para outros fins, em vez de fazer um 
grande desembolso de dinheiro (SELEME, 2010).
Vantagens
• Capacidade de financiar grandes compras.
• O valor do pagamento geralmente permanece o mesmo durante todo o prazo do 
empréstimo.
• Geralmente é possível economizar juros pagando o empréstimo antecipadamente.
Desvantagens
• As taxas de empréstimo podem ser altas.
• O crédito pode ser danificado devido a pagamentos atrasados ou perdidos.
• Potencial para emprestar mais do que o necessário.
Para empréstimos de prazo mais longo, uma desvantagem é que o mutuário 
pode estar pagando um empréstimo com juros fixos a uma taxa de juros mais alta do 
que a taxa de mercado vigente. O mutuário pode refinanciar o empréstimo à taxa de 
juros mais baixa vigente (SELEME, 2010).
A outra desvantagem principal de um empréstimo parcelado decorre do fato de 
o mutuário estar preso a uma obrigação financeira de longo prazo. Em algum momento, 
as circunstâncias podem tornar o mutuário incapaz de cumprir os pagamentos 
programados, arriscando inadimplência e possível perda de qualquer garantia usada 
para garantir o empréstimo (SILVA, 2009).
Pagar um empréstimo parcelado em dia é uma excelente maneira de construir 
seu crédito. O histórico de pagamentos é um fator muito importante que contribui para 
sua pontuação de crédito e um longo histórico de uso responsável de crédito é bom para 
sua classificação de crédito (BARTEL, 2011). A pontuação de crédito pode ser afetada se 
você não fizer os pagamentos em dia ou deixar de pagar o empréstimo, o que também 
é uma bandeira vermelha aos olhos dos credores (GITMAN, 2010).
160
3 TIPOS DE SÉRIES DE PAGAMENTO
Caro acadêmico, as séries de pagamento podem ser tanto antecipadas como 
potenciadas. 
• Antecipadas: a série de pagamento antecipada ocorre quando o primeiro paga-
mento de uma negociação (compra) é pago no ato do negócio (compra). Antecipado 
é a prestação que será paga no mesmo dia da concretização de um negócio ou 
operação, ou seja, é chamado de forma de pagamento (1 + n), onde a negociação 
(compra) envolve valor de entrada iniciando o pagamento no dia do fechamento do 
negócio (GIMENES, 2009). Por exemplo, uma compra que será parcelada em 9 vezes 
sem que o primeiro pagamento ocorra no dia da compra (1 + 8).
A fórmula para realizar o cálculo da prestação antecipada é:
• Postecipadas: a série de pagamento postecipado ocorre quando o primeiro paga-
mento de uma negociação (compra) é realizado 30 dias após a compra. Postecipada 
é a prestação que será paga 30 dias após a concretização de um negócio ou opera-
ção, ou seja, é chamado de forma de pagamento (0 + n), onde a negociação (compra) 
não envolve valor de entrada e o início da série de pagamento ocorre após 30 dias do 
fechamento do negócio (GIMENES, 2009). Por exemplo, uma compra que será par-
celada em 9 vezes sem entrada e o primeiro pagamento será daqui a 30 dias (0 + 9).
A fórmula para realizar o cálculo da prestação postecipada é:
Uso da HP12C para séries de pagamento antecipada e postecipada
Para realizar o cálculo da prestação postecipada com uso da calculadora HP12C, 
é preciso configurar a calculado ativando a função END para calcular série de pagamento 
postecipada, e o BEGIN para calcular série de pagamento antecipado.
Para especificar o modo de vencimento:
• ANTECIPADA: aperte g BEG para pagamentos feitos no início dos períodos de 
capitalização. Observe que no visor da calculadora irá aparecer “BEGIN”.
• POSTECIPADO: aperte g END para pagamentos feitos no final dos períodos de 
capitalização. Observe que se não estiver aparecendo no visor da calculadora a 
palavra BEGIN significa que a calculadora está trabalhando no modula END. Ou seja, 
quando o END estiver ativado, ele não aparece no visor da calculadora.
161
4 CÁLCULO DO ANTECIPADO
Caro acadêmico, como vimos anteriormente, a série de pagamento antecipada 
ocorre quando o pagamento é realizado no início da série de pagamento (1 + n). Também 
vimos que para calcular com uso da calculadora hp12c é preciso ativar a função BEGIN da 
calculadora, por meio dos comandos: aperte g BEG ). A fórmula da série de pagamento 
antecipado é: 
Chegou a hora de praticar.
Exemplo 1
Um apartamento que custa à vista R$ 250.000,00 pode ser adquirido em 120 
prestações mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga no ato do negócio. 
Considerando que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1% ao mês, calcule o 
valor das prestações.
Resolução pela fórmula
250.000 / 70,39752725 = PMT
PMT => 3.551,26 (ou seja, as prestações são de R$ 3.551,26 mensais e fixas).
Resolução pela HP12C
Certifique-se de que o BEGIN está ativo ( g BEG )
f REG
250.000 CHS PV
120 n
1 i
PMT => 3.551,26 (ou seja, as prestações são de R$ 3.551,26 mensais e fixas).
162
5 CÁLCULO DO POSTECIPADO
Caro acadêmico, como vimos, a série de pagamento postecipado ocorre quando 
o pagamento é realizado 30 dias após o início da série de pagamento (0 + n). Também 
vimos que para calcular com uso da calculadora hp12c é preciso ativar a função END da 
calculadora, por meio dos comandos: aperte g BEG . A fórmula da série de pagamento 
postecipado é: 
Chegou a hora de praticar.
Exemplo 2
Um apartamento que custa à vista R$ 250.000,00 pode ser adquirido em 120 
prestações mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga 30 dias após o negócio. 
Considerando que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1% ao mês, calcule o 
valor das prestações.
Resolução pela fórmula:
250.000 = PMT * 69,70052203
250.000 / 69,70052203 = PMT
PMT => 3.586,77 (ou seja, as prestações são de R$ 3.586,77 mensais e fixas)
Resolução pela HP12C
Certifique-se de que o END está ativo ( g END )
f REG
250.000 CHS PV
120 n
1 i
PMT => 3.586,77 (ou seja, as prestações são de R$ 3.586,77 mensais e fixas)
163
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu:
• Um empréstimo parcelado é um termo amplo e geral que se refere à esmagadora 
maioria dos empréstimos pessoais e comerciais concedidos aos mutuários.
• Os tipos comuns de empréstimos parcelados são: empréstimos para automóveis, 
empréstimos imobiliários e empréstimos pessoais. 
• Parcelamento garantido ocorre quando o mutuário apresenta um bem como 
garantia de pagamento do empréstimo.
• Parcelamento não garantido ocorre quando o mutuário não apresenta nenhum bem 
como garantia de pagamento do empréstimo.
• A série de pagamento antecipada ocorre quando o primeiro pagamento de uma 
negociação (compra) é pago no ato do negócio (compra).
• A série de pagamento postecipada ocorre quando o primeiro pagamento de uma 
negociação (compra) é realizado 30 dias após a compra.
• Para especificar o modo de vencimento antecipada deve-se apertar g BEG para 
pagamentos feitos no início dos períodos de capitalização. 
• Para especificar o modo de vencimento postecipado deve-se apertar g END para 
pagamentos feitos no final dos períodos de capitalização.
164
AUTOATIVIDADE
1 Um terreno que custa à vista R$ 100.000,00 pode ser adquirido em 90 prestações 
mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga no ato do negócio. Considerando 
que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor das 
prestações.
a) ( ) R$ 2.080,34.
b) ( ) R$ 2.002,08.
c) ( ) R$ 2.032,11.
d) ( ) R$ 2.052,10.
2 Um terreno que custa à vista R$ 100.000,00 pode ser adquirido em 90 prestações 
mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga 30 dias após o negócio. 
Considerando que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,5% ao mês, calcule 
o valor das prestações.
a) ( ) R$2.080,34
b) ( ) R$ 2.002,08
c) ( ) R$ 2.032,11
d) ( ) R$ 2.052,10
3 Um empréstimo parcelado é um termo amplo e geral que se refere à esmagadora 
maioria dos empréstimos pessoais e comerciais concedidos aos mutuários. Os 
empréstimos parcelados incluem qualquer empréstimo que seja reembolsado 
com pagamentos ou prestações regulares. Os empréstimos parcelados podem ser 
classificados com relação à garantia de duas formas. Assinale a alternativa CORRETA 
sobre os dois tipos de classificação:
a) ( ) Garantidos – não garantidos.
b) ( ) Capital próprio – capital terceiro.
c) ( ) Tangível – intangível.
d) ( ) Ativo – passivo.
4 Os empréstimos parcelados são flexíveis e podem ser facilmente adaptados às 
necessidades específicas do mutuário em termos do montante do empréstimo 
e do período que melhor corresponde à capacidade do mutuário de o reembolsar. 
Conceitue série de pagamento antecipada.
5 Os empréstimos permitem que o mutuário obtenha financiamento a uma taxa de juros 
substancialmente mais baixa do que o normalmente disponível com financiamento de 
crédito rotativo, como cartões de crédito. Conceitue série de pagamento postecipada.
165
TÓPICO 3 - 
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
E FINANCIAMENTOS
1 INTRODUÇÃO
A amortização é a forma como os pagamentos de empréstimos são aplicados 
a certos tipos de empréstimos. Normalmente, o pagamento mensal permanece o 
mesmo e é dividido entre custos de juros (o que seu credor recebe pelo empréstimo), 
redução do saldo do empréstimo (também conhecido como "pagamento do principal do 
empréstimo") e outras despesas, como impostos sobre a propriedade (BARTEL, 2011).
Existem duas definições gerais de amortização. A primeira é o reembolso 
sistemático de um empréstimo ao longo do tempo, já o segundo é usado no contexto 
da contabilidade empresarial e é o ato de distribuir o custo de um item caro e de longa 
duração por vários períodos (PUJATTI; ALMEIDA, 2007). Os dois são explicados em mais 
detalhes nos tópicos a seguir.
Um cronograma de amortização (às vezes chamado de tabela de amortização) é 
uma tabela que detalha cada pagamento periódico de um empréstimo amortizado. Cada 
cálculo feito pela calculadora também virá com um cronograma de amortização anual 
e mensal (SELEME, 2010). Cada pagamento de um empréstimo amortizado conterá um 
pagamento de juros e um pagamento do saldo principal, que varia para cada período de 
pagamento. Um cronograma de amortização ajuda a indicar o valor específico que será 
pago para cada um, juntamente com os juros e o principal pagos até a data e o saldo do 
principal restante após cada período de pagamento (SILVA, 2009).
Caro acadêmico, no Tópico 3, abordaremos primeiramente a introdução a 
amortização onde abordaremos a amortização de empréstimos e de ativos intangíveis. 
Em seguida, analisaremos a importância da amortização, a diferença entre amortização 
e depreciação. Na sequência, analisaremos o cronograma de amortização onde 
abordaremos a questão sobre o entendimento do cronograma de amortização, e os 
métodos para cronograma de amortização. Posteriormente, abordaremos o sistema 
de amortização analisando os principais sistemas. Por fim, abordaremos os cálculos do 
sistema de amortização abordando o sistema de amortização constante bem como o 
sistema de amortização francês.
UNIDADE 3
166
2 INTRODUÇÃO À AMORTIZAÇÃO
A amortização é uma técnica usada para reduzir periodicamente o valor de um 
empréstimo ou de um ativo intangível durante um determinado período. No caso de um 
empréstimo, a amortização concentra-se em distribuir os pagamentos do empréstimo 
ao longo do tempo (SELEME, 2010). 
O termo “amortização” refere-se a duas situações de uso:
• Amortização de empréstimo: primeiro, a amortização é usada no processo de 
pagamento da dívida por meio de pagamentos regulares de principal e juros ao 
longo do tempo. Um cronograma de amortização é usado para reduzir o saldo atual 
de um empréstimo (SELEME, 2010).
• Amortização de Ativos Intangíveis: em segundo lugar, a amortização também 
pode se referir à prática de distribuir despesas de capital relacionadas a ativos 
intangíveis ao longo de uma duração específica, geralmente durante a vida útil do 
ativo, para fins contábeis e fiscais (SELEME, 2010).
2.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
A amortização pode se referir ao processo de pagamento da dívida ao longo do 
tempo em parcelas regulares de juros e principal suficientes para pagar o empréstimo 
integralmente até a data de vencimento. Uma porcentagem maior do pagamento mensal 
fixo vai para os juros no início do empréstimo, mas a cada pagamento subsequente, 
uma porcentagem maior vai para o principal do empréstimo (HOJI; LUZ, 2018).
A amortização pode ser calculada usando as calculadoras financeiras mais 
modernas (por exemplo, a hp12c), pacotes de software de planilha (por exemplo, o 
Microsoft Excel) ou calculadoras de amortização online. Os cronogramas de amortização 
começam com o saldo do empréstimo em aberto (PUJATTI; ALMEIDA, 2007). Para chegar 
ao valor dos pagamentos mensais, o pagamento de juros é calculado multiplicando a 
taxa de juros pelo saldo do empréstimo e dividindo por 12. O valor do principal devido em 
um determinado mês é o pagamento mensal total (um valor fixo) menos o pagamento 
de juros para aquele mês (HOJI; LUZ, 2018). 
Para o mês seguinte, o saldo devedor do empréstimo é calculado como o saldo 
devedor do mês anterior menos o pagamento do principal mais recente. O pagamento 
de juros é novamente calculado a partir do novo saldo devedor, e o padrão continua até 
que todos os pagamentos do principal tenham sido feitos, e o saldo do empréstimo seja 
zero ao final do prazo do empréstimo (HOJI; LUZ, 2018).
167
2.2 AMORTIZAÇÃO DE ATIVOS INTANGÍVEIS
A amortização também pode se referir à amortização de intangíveis (BARTEL, 
2011). Nesse caso, a amortização é o processo de despender o custo de um ativo 
intangível ao longo da vida projetada do ativo, e mede o consumo do valor de um ativo 
intangível, como fundo de comércio, patente, marca registrada ou direitos autorais 
(SILVA, 2009).
A amortização é calculada de forma semelhante à depreciação, que é usada 
para ativos tangíveis, como equipamentos, prédios, veículos e outros bens sujeitos 
ao desgaste físico, e à depreciação, que é usada para recursos naturais. Quando as 
empresas amortizam despesas ao longo do tempo, elas ajudam a vincular o custo de 
uso de um ativo às receitas que ele gera no mesmo período contábil (SELEME, 2010).
2.3 A IMPORTANCIA DA AMORTIZAÇÃO
A amortização é importante porque ajuda organizações e investidores a entender 
e prever seus custos ao longo do tempo. No contexto do pagamento do empréstimo, 
os cronogramas de amortização fornecem clareza sobre qual parte do pagamento do 
empréstimo consiste em juros versus principal (PADOVEZE, 2016). Isso pode ser útil para 
fins como dedução de pagamentos de juros para fins fiscais.
A amortização de ativos intangíveis é importante porque pode reduzir o lucro 
tributável de uma empresa e, portanto, sua responsabilidade fiscal, ao mesmo tempo em 
que dá aos investidores uma melhor compreensão dos verdadeiros ganhos da empresa 
(PAULANI; BRAGA, 2020).
2.4 DIFERENÇA ENTRE AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃO
Amortização e depreciação são conceitos semelhantes, pois ambos tentam 
capturar o custo de manter um ativo ao longo do tempo. A principal diferença entre eles, 
no entanto, é que a amortização se refere aos ativos intangíveis, enquanto a depreciação 
se refere aos ativos tangíveis (PAULANI; BRAGA, 2020). Exemplos de ativos intangíveis 
incluem marcas e patentes. Os ativos tangíveis incluem equipamentos, prédios, veículos 
e outros ativos sujeitos a desgaste físico (PAULANI, BRAGA, 2020).
168
3 CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO
Os empréstimos amortizados apresentam valores de pagamento nivelados ao 
longo da vida do empréstimo, mas com proporções variadas de juros e principal que 
compõem cada pagamento. Um cronograma de amortização é uma tabelaque fornece 
os detalhes dos pagamentos periódicos de um empréstimo amortizado (SILVA, 2009). 
O principal de um empréstimo amortizado é pago ao longo da vida do empréstimo. 
Normalmente, um valor igual de pagamento é feito a cada período (BARTEL, 2011).
Um cronograma de amortização de empréstimo representa a tabela completa 
de pagamentos periódicos de empréstimo, mostrando o valor de principal e juros que 
compõem cada nível de pagamento até que o empréstimo seja pago no final de seu 
prazo. No início do cronograma, a maior parte de cada pagamento vai para juros; mais 
adiante no cronograma, a maior parte de cada pagamento começa a cobrir o principal 
remanescente do empréstimo (HOJI; LUZ, 2018).
Um cronograma de amortização pode ser gerado por uma calculadora de 
amortização, com as entradas do valor, prazos periódicos e taxa de juros do empréstimo. 
Por meio de cronogramas de amortização, os mutuários podem planejar e acompanhar 
melhor quanto ainda devem e como serão pagos (GIMENES, 2009).
3.1 ENTENDENDO OS CRONOGRAMAS DE AMORTIZAÇÃO
Pagamentos periódicos são feitos para amortizar empréstimos, como um carro 
ou hipoteca de casa. Cada pagamento consiste em dois componentes – cobrança de 
juros e amortização do principal. A porcentagem de pagamento de juros ou principal 
varia para diferentes empréstimos (GIMENES, 2009).
O valor dos juros cobrados para cada período depende da taxa de juros pré-
determinada e do saldo devedor do empréstimo. A parte restante do pagamento 
periódico é aplicada para reembolsar o principal (FERREIRA, 2014). Apenas a parcela do 
reembolso do principal reduz o saldo remanescente do empréstimo.
Com valor de empréstimo especificado, o número de períodos de pagamento e 
a taxa de juros, um cronograma de amortização identifica o valor total do pagamento 
periódico, as parcelas de juros, o pagamento do principal e o saldo restante do 
empréstimo para cada período (FERREIRA, 2014).
Normalmente, o saldo remanescente de um empréstimo amortizado diminui 
com o passar do tempo, com os principais reembolsados (GIMENES, 2009). Assim, o 
valor dos juros para cada período também diminui ao longo do tempo, e a amortização 
do principal aumenta gradualmente.
169
3.2 MÉTODOS PARA CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO
Existem vários métodos para amortizar um empréstimo. Diferentes métodos 
levam a diferentes cronogramas de amortização. A seguir, veremos alguns métodos 
para cronograma de amortização.
1. Linha reta
A amortização linha reta, também conhecida como amortização linear, é onde 
o valor total dos juros é distribuído igualmente ao longo da vida de um empréstimo. 
É um método normalmente usado devido a sua simplicidade. Com o pagamento total 
periódico fixo e o valor dos juros, o reembolso do principal também é constante ao longo 
da vida do empréstimo (HAZZAN, POMPEO, 2014).
2. Saldo decrescente
O método do saldo decrescente é um método acelerado de amortização em que o 
pagamento periódico de juros diminui, mas o pagamento do principal aumenta com a ida-
de do empréstimo. Nesse método, cada pagamento periódico é maior que os juros cobra-
dos (taxa de juros vezes o saldo inicial do empréstimo do período); a parte restante paga 
o principal e o saldo do empréstimo diminui. O saldo decrescente do empréstimo leva a 
taxas de juros mais baixas e, portanto, acelera o pagamento do principal (NETO, 2017).
3. Anuidade
Um empréstimo amortizado no método de anuidade compreende uma série de 
pagamentos efetuados entre intervalos de tempo iguais (NETO, 2017). Os pagamentos 
também são normalmente feitos em quantidades iguais. Existem dois tipos de anuidade: 
• anuidade ordinária, para a qual os pagamentos são feitos no final de cada período;
• anuidade vencida, para a qual os pagamentos são feitos no início de cada período.
Diferentes tipos de anuidades podem causar uma pequena diferença entre 
seus cronogramas de amortização. Quanto maior a taxa de juros ou quanto maior a vida 
do empréstimo, maior a diferença (NETO, 2017).
4. Bullet
Os empréstimos bullet normalmente não são amortizados ao longo da vida 
dos empréstimos. Geralmente, os pagamentos periódicos de um empréstimo bullet 
cobrem apenas os juros. Ele deixa uma grande quantidade do pagamento para o final no 
vencimento do empréstimo, que reembolsa todo o principal. Portanto, o saldo devedor 
de um empréstimo bullet permanece inalterado ao longo da vida do empréstimo e é 
reduzido imediatamente para zero no vencimento (HAZZAN, POMPEO, 2014).
170
5. Balão
Um empréstimo de balão é semelhante a um empréstimo de bullet, que 
geralmente paga todo o seu principal no vencimento. Ocasionalmente, é amortizado 
com pequenas amortizações de principal, mas ainda deixa a maior parte paga no 
vencimento. Nesse caso, o saldo devedor diminui ligeiramente ao longo da vida do 
empréstimo e cai para zero no vencimento (HAZZAN, POMPEO, 2014).
6. Amortização negativa
No método de amortização negativa, o pagamento total de um período é inferior 
aos juros cobrados naquele período. Isso significa que não resta nada do pagamento 
periódico para reembolsar o principal, e os juros restantes se acumularão para aumentar 
o saldo devedor do empréstimo. O saldo do empréstimo aumenta com o tempo e será 
pago no vencimento (NETO, 2017).
4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
A amortização é o processo financeiro pelo qual uma dívida é extinta gradativa-
mente por meio de pagamentos periódicos que podem ser de valores iguais ou diferen-
tes, ou seja, amortizar significa reembolsar gradualmente o capital de um empréstimo 
ou de um crédito (SAMANEZ, 2010). O mais comum é que o pagamento dessas obriga-
ções seja feito por meio de desembolsos escalonados ao longo do tempo, embora tam-
bém possa ser acordado um único pagamento ao final do período (NETO, 2017).
Existem diversos sistemas de amortização que afetam o valor e a composição 
das parcelas periódicas que o cliente terá que pagar, normalmente essas parcelas 
compreendem tanto o capital quanto parte dos juros da dívida. Os principais sistemas 
de amortização são (SOBRÉ, 2020):
• Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final.
• Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados.
• Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período.
• Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização da dívida é constante 
e igual em cada período.
• Sistema Price ou Francês (PRICE): os pagamentos são iguais.
• Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias aritméticas 
dos sistemas SAC e Price.
• Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto 
o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor 
amortizado com os juros do saldo devedor (SOBRÉ, 2020). Para cálculo do pagamento 
podemos usar a seguinte fórmula:
171
4.1 SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO
O devedor paga o empréstimo, em um único pagamento ao final do período, 
podendo ser calculado pela fórmula: M = C (1 + i)n. 
O sistema de pagamento único é normalmente usado em: 
• Letras de câmbio.
• Títulos descontados em bancos.
• Certificados com prazo fixado para a renda final.
Exemplo de sistema de pagamento único
• Suponha um empréstimo de R$ 300.000,00.
• Taxa de juros: 4% ao mês.
• Tempo de pagamento: a empréstimo será pago ao final de 5 meses.
QUADRO 1 – EXEMPLO DE SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO
FONTE: Sobré (2020, s. p.)
4.2 SISTEMA DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS
O devedor paga periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição 
financeira e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do 
Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período (SOBRÉ, 2020).
O sistema de pagamentos variáveis é normalmente usado no pagamento de 
cartão de crédito (SOBRÉ, 2020).
(Pagamento = Amortização + Juros)
Passamos a detalhar os principais sistemas de amortização.
172
Exemplo de sistema de pagamentos variáveis
• Suponha um empréstimode R$ 300.000,00.
• Taxa de juros: 4% ao mês.
• Tempo de pagamento: a empréstimo será pago ao final de 5 meses.
• Dado: Supomos que foi combinado entre o devedor e o banco a seguinte forma de 
pagamento:
º No final do 1o. mês: $30.000,00 + juros.
º No final do 2o. mês: $45.000,00 + juros.
º No final do 3o. mês: $60.000,00 + juros.
º No final do 4o. mês: $75.000,00 + juros.
º No final do 5o. mês: $90.000,00 + juros.
QUADRO 2 – SISTEMA DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS
FONTE: Sobré (2020, s. p.)
4.3 SISTEMA AMERICANO
A amortização pelo método americano caracteriza-se pelo pagamento 
de apenas juros durante o período do empréstimo, todo o capital é pago ao final do 
empréstimo. Em outras palavras, no sistema americano de amortização refere-se a um 
estilo de pagamento de um empréstimo onde o valor principal é pago em uma única 
parcela, porém os juros são pagos periodicamente (SOBRÉ, 2020).
Exemplo sistema Americano
• Suponha um empréstimo de R$ 300.000,00.
• Taxa de juros: 4% ao mês.
• Tempo de pagamento: a empréstimo será pago ao final de 5 meses.
173
QUADRO 3 – SISTEMA AMERICANO
QUADRO 4 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
FONTE: Sobré (2020, s. p.).
FONTE: Sobré (2020, s. p.).
4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Um dos métodos mais usados no Brasil, e como o próprio nome de denota, 
neste sistema é caracterizado por uma amortização constante, em contrapartida as 
prestações são decrescentes (SOBRÉ, 2020).
O sistema de amortização constante (SAC) é normalmente usado no Sistema 
Financeiro da Habitação (SOBRÉ, 2020).
Exemplo sistema de amortização constante (SAC)
• Suponha um empréstimo de R$ 300.000,00
• Taxa de juros: 4% ao mês
• Tempo de pagamento: a empréstimo será pago ao final de 5 meses.
174
4.5 SISTEMA PRICE (SISTEMA FRANCÊS)
O sistema PRICE é caracterizado por uma prestação (pagamento) constante, 
em contrapartida a amortização é crescente.
O sistema de amortização PRICE é normalmente usado em financiamentos em 
geral de bens de consumo (SOBRÉ, 2020).
QUADRO 5 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE
QUADRO 6 – CÁLCULO PRESTAÇÃO NO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)
FONTE: Sobré (2020, s. p.)
FONTE: Sobré (2020, s. p.)
4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas 
no Sistemas PRICE e no Sistema de Amortização Constante (SAC).
O sistema de amortização mista (SAM) é normalmente usado em financiamentos 
do Sistema Financeiro da Habitação (SOBRÉ, 2020).
175
QUADRO 7 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)
QUADRO 8 – SISTEMA ALEMÃO
FONTE: Sobré (2020, s. p.)
FONTE: Sobré (2020, s. p.)
4.7 SISTEMA ALEMÃO
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos 
antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde 
aos juros cobrados no momento da operação financeira (SOBRÉ, 2020). Devemos 
conhecer o valor de cada pagamento e os valores das amortizações.
O sistema de amortização Alemão é normalmente usado em alguns 
financiamentos (SOBRÉ, 2020).
5 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
(SAC) E SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)
Caro acadêmico, no Brasil, um dos sistemas de capitalização mais utilizados são 
os sistemas de amortização constante SAC, e o sistema de amortização francês (PRICE). 
Dessa forma, passaremos a detalhar os cálculos desses dois sistemas de amortização.
176
5.1 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
(SAC)
Exemplo 1
Carlos contratou um empréstimo no Banco Beta para a compra de um sítio. 
Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 70.000,00, Carlos pagará 3 prestações 
mensais, vencendo a primeira um mês após a liberação do crédito. Sabendo ainda que 
o banco trabalha com uma taxa de 2% ao mês em seus empréstimos e que operou com 
o Sistema de amortização constante (SAC). Elabore o cronograma do Sistema de 
amortização constante (SAC)
QUADRO 9 – CRONOGRAMA DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
FONTE: o autor
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
Total
Resolução
Etapa 1 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Valor do Empréstimo (PV) / número de meses (n)
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Etapa 3 – Cálculo das prestações
Fórmulas:
Prestação = J + Amort.
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
177
QUADRO 10 – CRONOGRAMA DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
FONTE: o autor
Etapas: Etapa 3 Etapa 2 Etapa 1 Etapa 4
Fórmula: J + Amort. SD * i PV / n SD Anterior – Amort.
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 R$ 70.000,00
1 R$ 24.733,33 R$ 1.400,00 R$ 23.333,33 R$ 46.666,67
2 R$ 24.266,67 R$ 933,33 R$ 23.333,33 R$ 23.333,33
3 R$ 23.800,00 R$ 466,67 R$ 23.333,33 0
Total R$ 72.800,00 R$ 2.800,00 R$ 70.000,00
Demonstração do cálculo do Cronograma do Sistema de amortização constante 
(SAC):
PRAZO 1
Etapa 1 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Valor do Empréstimo (PV) / número de meses (n)
Amortização = 70.000 / 3
Amortização = 23.333,33 (ou seja, como a amortizado é constante, por isso em 
TODOS os períodos a amortização será de R$ 23.333,33).
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 70.000 * 2%
Juro = 1.400,00 (ou seja, um juro de R$ 1.400,00)
Etapa 3 – Cálculo das prestações
Fórmulas:
Prestação = J + Amort.
Prestação = 1.400 + 23.333,33.
Prestação = 24.733,33 (ou seja, uma prestação de R$ 24.733,33)
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 70.000 – 23.333,33
SD = 46.666,67 (ou seja, saldo devedor de R$ 46.666,67)
178
PRAZO 2
Etapa 1 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Valor do Empréstimo (PV) / número de meses (n)
Amortização = 70.000 / 3
Amortização = 23.333,33 (ou seja, como a amortizado é constante, por isso em 
TODOS os períodos a amortização será de R$ 23.333,33).
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 46.666,67 * 2%
Juro = 933,33 (ou seja, um juro de R$ 933,33)
Etapa 3 – Cálculo das prestações
Fórmulas:
Prestação = J + Amort.
Prestação = 933,33 + 23.333,33.
Prestação = 24.266,66 (ou seja, uma prestação de R$ 24.266,66)
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 46.666,67 – 23.333,33
SD = 23.333,33 (ou seja, saldo devedor de R$ 23.333,33)
PRAZO 3
Etapa 1 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Valor do Empréstimo (PV) / número de meses (n)
Amortização = 70.000 / 3
Amortização = 23.333,33 (ou seja, como a amortizado é constante, por isso em 
TODOS os períodos a amortização será de R$ 23.333,33).
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 23.333,33 * 2%
Juro = 466,66 (ou seja, um juro de R$ 466,66)
179
Etapa 3 – Cálculo das prestações
Fórmulas:
Prestação = J + Amort.
Prestação = 466,66 + 23.333,33.
Prestação = 23.800,00 (ou seja, uma prestação de R$ 23.800,00)
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 23.333,33 – 23.333,33
SD = 0,00 (ou seja, saldo devedor de R$ 0,00)
Exemplo 2
Um Investidor contratou um empréstimo no Banco Safra para a compra de 
um posto de combustível. Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 300.000,00, o 
investidor pagará 5 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a liberação 
do crédito. Sabendo ainda que o banco trabalha com uma taxa de 4% ao mês em seus 
empréstimos e que operou com o Sistema de amortização constante (SAC). Elabore 
o cronograma do Sistema de amortização constante (SAC).
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Total
Resolução:
Etapa 1 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Valor do Empréstimo (PV) / número de meses (n)
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Etapa 3 – Cálculo das prestações
Fórmulas:
Prestação = J + Amort.
180
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
QUADRO 11 – CRONOGRAMA DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
FONTE: o autor
Etapas: Etapa 3 Etapa 2 Etapa 1 Etapa 4
Fórmula: J + Amort. SD *i PV / n SD Anterior – Amort.
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 R$ 300.000,00
1 R$ 72.000,00 R$ 12.000,00 R$ 60.000,00 R$ 240.000,00
2 R$ 69.600,00 R$ 9.600,00 R$ 60.000,00 R$ 180.000,00
3 R$ 67.200,00 R$ 7.200,00 R$ 60.000,00 R$ 120.000,00
4 R$ 64.800,00 R$ 4.800,00 R$ 60.000,00 R$ 60.000,00
5 R$ 62.400,00 R$ 2.400,00 R$ 60.000,00 R$ 0,00
Total R$ 336.000,00 R$ 36.000,00 R$ 300.000,00
Demonstração do cálculo do Cronograma do Sistema de amortização constante 
(SAC):
PRAZO 1
Etapa 1 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Valor do Empréstimo (PV) / número de meses (n)
Amortização = 300.000 / 5
Amortização = 60.000 (ou seja, como a amortizado é constante, por isso em 
TODOS os períodos a amortização será de R$ 60.000,00).
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 300.000 * 4%
Juro = 12.000,00 (ou seja, um juro de R$ 12.000,00)
Etapa 3 – Cálculo das prestações
Fórmulas:
Prestação = J + Amort.
Prestação = 12.000 + 60.000.
Prestação = 72.000 (ou seja, uma prestação de R$ 72.000,00)
181
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 300.000 – 60.000
SD = 240.000 (ou seja, saldo devedor de R$ 240.000,00)
E assim, sucessivamente, para todas os 5 prazos.
5.2 CÁLCULO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
(PRICE)
Exemplo 3
Carlos contratou um empréstimo no Banco Beta para a compra de um sítio. 
Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 70.000,00, Carlos pagará 3 prestações 
mensais, vencendo a primeira um mês após a liberação do crédito. Sabendo ainda que 
o banco trabalha com uma taxa de 2% ao mês em seus empréstimos e que operou 
com o Sistema Francês de Amortização - PRICE. Elabore o cronograma do Sistema 
Francês de Amortização – PRICE.
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
Total
Resolução:
Etapa 1 – Cálculo da Prestação
O primeiro passo para calcular o cronograma do Sistema Francês de Amortização 
- PRICE é identificar o valor da prestação, tendo em vista que a prestação é m valor fixo 
no sistema de amortização PRICE.
Fórmula para cálculo da prestação (PMT):
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
182
Etapa 3 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Prestação - J
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
QUADRO 12 – CRONOGRAMA DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
FONTE: o autor
Etapas: Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4
Fórmula: SD * i
Amortização = 
Prestação - J
SD Anterior – 
Amort.
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 R$ 70.000,00
1 R$ 24.272,82 R$ 1.400,00 R$ 22.872,83 R$ 47.127,17
2 R$ 24.272,82 R$ 942,53 R$ 23.330,28 R$ 23.796,89
3 R$ 24.272,82 R$ 475,93 R$ 23.796,89 0
Total R$ 72.818,46 R$ 2.818,46 R$ 70.000,00
Demonstração do cálculo do Cronograma do Sistema Francês de 
Amortização - PRICE:
PRAZO 1
Etapa 1 – Cálculo da Prestação
Fórmula para cálculo da prestação (PMT):
70.000 = PMT * 2,883883250
70.000 / 2,883883250 = PMT
PMT = 24.272,83 (ou seja, uma prestação constante de R$ 24.272,83) 
Obs.: O valor da prestação é igual para todos os períodos pois ela é constante (fixa)
183
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 70.000 * 2%
Juro = 1.400 (ou seja, juros de R$ 1.400,00) 
Etapa 3 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Prestação - J
Amortização = 24.272,83 - 1.400,00
Amortização = 22.872,83 (ou seja, uma amortização de R$ 22.872,83)
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 70.000 – 22.872,83
SD = 47.127,17 (ou seja, um saldo devedor de R$ 47.127,17)
PRAZO 2
Etapa 1 – Cálculo da Prestação
Fórmula para cálculo da prestação (PMT):
70.000 = PMT * 2,883883250
70.000 / 2,883883250 = PMT
PMT = 24.272,83 (ou seja, uma prestação constante de R$ 24.272,83) 
Obs.: o valor da prestação é igual para todos os períodos pois ela é constante (fixa).
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 47.127,17 * 2%
Juro = 942,54 (ou seja, juros de R$ 942,54) 
184
Etapa 3 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Prestação - J
Amortização = 24.272,83 - 942,54
Amortização = 23.330,28 (ou seja, uma amortização de R$ 23.330,28)
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 47.127,17 – 23.330,28
SD = 23.796,89 (ou seja, um saldo devedor de R$ 23.796,89)
PRAZO 3
Etapa 1 – Cálculo da Prestação
Fórmula para cálculo da prestação (PMT):
70.000 = PMT * 2,883883250
70.000 / 2,883883250 = PMT
PMT = 24.272,83 (ou seja, uma prestação constante de R$ 24.272,83) 
Obs.: o valor da prestação é igual para todos os períodos pois ela é constante (fixa).
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 23.796,89 * 2%
Juro = 475,94 (ou seja, juros de R$ 475,94) 
Etapa 3 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Prestação - J
Amortização = 24.272,83 - 475,94
Amortização = 23.796,89 (ou seja, uma amortização de R$ 23.796,89)
185
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 23.796,89 – 23.796,89
SD = 0,00 (ou seja, um saldo devedor de R$ 0,00)
Exemplo 4
Um Investidor contratou um empréstimo no Banco Safra para a compra de 
um posto de combustível. Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 300.000,00, o 
investidor pagará 5 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a liberação 
do crédito. Sabendo ainda que o banco trabalha com uma taxa de 4% ao mês em seus 
empréstimos e que operou com o Sistema Francês de Amortização – PRICE. Elabore 
o cronograma do Sistema Francês de Amortização – PRICE.
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Total
Resolução:
Etapa 1 – Cálculo da Prestação
O primeiro passo para calcular o cronograma do Sistema Francês de Amortização 
- PRICE.é identificar o valor da prestação, tendo em vista que a prestação é m valor fixo 
no sistema de amortização PRICE.
Fórmula para cálculo da prestação (PMT):
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Etapa 3 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Prestação - J
186
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
QUADRO 15 – CRONOGRAMA DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
FONTE: o autor
Etapas: Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4
Fórmula: SD * i
Amortização = 
Prestação - J
SD Anterior – 
Amort.
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 R$ 300.000,00
1 R$ 67.388,13 R$ 12.000,00 R$ 55.388,13 R$ 244.611,87
2 R$ 67.388,13 R$ 9.784,47 R$ 57.603,66 R$ 187.008,21
3 R$ 67.388,13 R$ 7.480,01 R$ 59.907,81 R$ 127.100,40
4 R$ 67.388,13 R$ 5.084,01 R$ 62.304,12 R$ 64.796,28
5 R$ 67.388,13 R$ 2.591,85 R$ 64.796,28 R$ 0,00
Total R$ 336.940,65 R$ 36.940,65 R$ 300.000,00
Demonstração do cálculo do Cronograma do Sistema Francês de 
Amortização - PRICE:
PRAZO 1
Etapa 1 – Cálculo da Prestação
Fórmula para cálculo da prestação (PMT):
300.000 = PMT * 4,451822325
300.000 / 4,451822325 = PMT
PMT = 67.388,13 (ou seja, uma prestação constante de R$ 67.388,13) 
Obs.: o valor da prestação é igual para todos os períodos pois ela é constante (fixa).
187
Etapa 2 – Cálculo dos Juros
Fórmulas:
Juro = SD * i
Juro = 300.000 * 4%
Juro = 12.000 (ou seja, juros de R$ 12.000,00) 
Etapa 3 – Cálculo da amortização
Fórmulas:
Amortização = Prestação - J
Amortização = 67.388,13 – 12.000,00
Amortização = 55.388,13 (ou seja, uma amortização de R$ 55.388,13)
Etapa 4 – Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmulas:
SD = SD Anterior – Amort.
SD = 300.000 – 55.388,13
SD = 244.611,87 (ou seja, um saldo devedor de R$ 244.611,87)
 
Assim, sucessivamente, para todas os 5 prazos.
188
PERÍCIA CONTÁBIL-FINANCEIRA E OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SISTEMA 
FRANCÊS VERSUS SISTEMA DE EQUIVALÊNCIA A JUROS SIMPLES 
André Sekunda
1 INTRODUÇÃO
A contabilidade constitui um sistema de informação destinado a melhorar o 
processo de tomada de decisão (FIGUEIREDO; MOURA, 2001). O emprego da informação 
contábil se dá nos mais diferentes contextos. É muito comum o emprego da informação 
da contabilidade para tomadade decisões no âmbito das empresas, porém, há tempos 
que em outros contextos, que não apenas nas organizações a informação contábil 
subsidia o processo decisório.
Neste sentido, um ambiente em que a informação contábil ganha relevante 
destaque e apoia decisões é no âmbito do Poder Judiciário. Em muitas espécies de pro-
cessos, a informação contábil, consubstanciada no laudo pericial, é fator determinante 
para a decisão processual.
Quando o magistrado confia no trabalho e na informação contábil do perito, 
somando- se a isso a isenção do profissional, a prova pericial contábil acaba por tornar-
se a mais importante dentro de um processo, de modo que, não raro, o juiz termina por 
decidir as lides em função e de acordo com as conclusões expostas no laudo pericial 
(NEVES JUNIOR; CERQUEIRA; GOTTARDO, 2013).
Ou seja, a informação contábil há tempos ultrapassou as fronteiras das 
empresas e apoia o processo decisório em outras instâncias, como a judicial. No âmbito 
do processo judicial, a informação contábil se manifesta por meio de um laudo pericial, 
elaborado no bojo de uma perícia.
A perícia constitui uma espécie de prova no direito brasileiro, e é demandada 
nas ações judiciais quando o juiz depende de conhecimentos técnicos ou científicos 
para o julgamento da causa, nos termos do art. 156 do Código de Processo Civil – CPC 
(BRASIL, 2015).
LEITURA
COMPLEMENTAR
189
A perícia contábil é uma das espécies de perícias mais comuns em processos 
judiciais de diferentes naturezas, visto que trata do patrimônio das pessoas físicas 
e jurídicas. Portanto, é muito comum que em ações judiciais, arbitrais, e até mesmo 
em conflitos extrajudiciais, seja demandada uma perícia de natureza contábil (NEVES 
JUNIOR; BRITO, 2007).
Dada a amplitude do campo de atuação da contabilidade, a perícia contábil 
pode incidir sobre diferentes relações jurídicas, como em processos trabalhistas para 
realização da liquidação de sentenças em favor dos empregados, ações de natureza 
previdenciária, com objetivo de apurar o valor dos benefícios previdenciários devidos 
ao segurado, ações de natureza cível para atualização de valores e recálculos de 
financiamentos à taxas de juros de mercado, demandas societárias, como para a 
apuração de haveres de sócio, dentre tantas outras situações que envolvam o patrimônio 
de pessoas físicas ou jurídicas (ZANNA, 2013).
Dentre todas as possibilidades de aplicação da perícia contábil, uma possui 
grande destaque: a perícia contábil envolvendo planos e sistemas de amortização, em 
especial em contratos amortizados pelo sistema francês de amortização (popularmente 
conhecido, no Brasil, como “Tabela Price”).
Existem muitas razões que levam os litigantes a ajuizar demandas como essas 
no Brasil, como a falta de segurança jurídica do sistema de contratos brasileiro, as falhas 
nas redações dos contratos celebrados entre as partes, que empregam redações dúbias 
e com diversas interpretações, a própria natureza belicosa do brasileiro em questões 
processuais, mas certamente o motivo mais usado para fundamentar tais ações é a 
alegada proibição da incidência de juros sobre juros no Brasil, prevista no Decreto no 
22.626, de 7 de abril de 1933, também conhecido como a “Lei da Usura”.
Independentemente das razões que motivam tais ações, fato é que, de maneira 
muito recorrente, são ajuizadas demandas judiciais visando discutir contratos que são 
amortizados com base no sistema francês de amortização, e os pedidos nas ações são 
igualmente diversos.
Existem ações visando afastar o sistema de amortização francês, substituindo-o 
por algum outro à juros simples (como o sistema de amortização de Gauss, ou método 
de amortização a juros simples – MAJS), visando o recálculo do financiamento à taxas 
médias de mercado, visando afastar do capital financiado valores não contratados, 
como taxas de abertura de crédito, enfim, a gama de demandas judiciais envolvendo a 
questão é gigantesca e a atuação em processos dessas naturezas, faz parte do dia-a-
dia profissional do perito contador.
E os Tribunais, por sua vez, exaram as mais diferentes sentenças possíveis a 
respeito do tema, não havendo absolutamente nenhuma uniformidade no tratamento 
jurídico da questão.
190
Por conta disso, e tendo em vista todos os problemas empíricos que contratos 
amortizados com base no sistema francês de amortização causam tanto aos litigantes, 
quanto aos juízes, quanto, inclusive, aos peritos contadores, o presente estudo visa res-
ponder à seguinte questão de pesquisa: Qual a economia proporcionada ao mutuário pela 
amortização de um contrato de financiamento pelo SEJS em detrimento da tabela Price?
Com isso, o objetivo do trabalho é analisar a economia proporcionada ao mutuário 
que tem seu contrato de financiamento de veículo amortizado pelo sistema de equivalên-
cia a juros simples em detrimento da amortização pelo sistema francês de amortização 
(tabela Price), mensurando a diferença dos fluxos de caixa gerada pela substituição do 
sistema de amortização e seus efeitos no patrimônio pessoal do mutuário.
Para responder ao problema, far-se-á a análise de um contrato real de 
financiamento de veículos, sub judice, originalmente amortizado pelo sistema francês 
de amortização, oferecendo o recálculo do contrato à juros simples, com base nas 
disposições previstas na sentença.
Embora o tema seja recorrente no dia a dia profissional, pouquíssimos estudos 
aplicados, como propõe a presente pesquisa, são realizados. Diversos estudos na área 
de perícia contábil são encontrados abordando questões, como a percepção de juízes 
sobre a qualidade do laudo pericial, a percepção dos peritos sobre o mercado de trabalho, 
a importância da perícia contábil para o Poder Judiciário, e outros, porém, estudos sobre 
perícia contábil, com aplicações práticas e empíricas como ora se propõe, são escassos.
Nesse sentido, Sandrini (2007), em seu trabalho dissertativo sobre sistemas 
de amortização e capitalização de juros, pontuou que um dos incentivos à realização 
do trabalho, era o fato de que o tema era pouco contemplado por revistas científicas 
nacionais e estrangeiras, o que se tornou um motivo a mais para a realização da pesquisa.
Com isso, acredita-se que o trabalho oferece sua parcela de contribuição tanto à 
academia, propondo uma pesquisa sobre tema pouco explorado em periódicos e eventos 
da área contábil, quanto aos profissionais, pois discute questões umbilicalmente ligadas 
ao seu dia a dia profissional, sendo que pode servir de fonte de pesquisas futuras e 
material, para fundamentação da sua atividade prática.
Além disso, acredita-se que o estudo contribui com a literatura acerca da 
perícia, em especial da perícia ligada a contratos financeiros, ao realizar uma revisão 
robusta dos sistemas de amortização contratual sob análise (Price e SEJS), discorrendo 
sobre seu funcionamento, demonstrando como se dá sua aplicação, o funcionamento 
de suas equações e analisando sua aplicação em um caso concreto. Com isso, outros 
estudos podem se utilizar dos temas discutidos aqui para motivar futuras pesquisas.
Esses motivos justificam a realização da presente pesquisa, visto que pode 
contribuir tanto com os profissionais que labutam na área, quanto com a academia, 
oferecendo uma pesquisa com abordagem pouco explorada no meio acadêmico.
191
Por fim, o estudo possui a seguinte estruturação: esta seção introdutória, uma 
seção de revisão de literatura, uma seção expondo os procedimentos metodológicos, 
uma seção de análise dos resultados e, por fim, as considerações finais.
2 REVISÃO DE LITERATURA
2.1 ASPECTOS CONCEITUAIS, PROCESSUAIS E PROFISSIONAIS DA PERÍCIA 
CONTÁBIL
A perícia contábil, em seu conceito clássico, refere-se a um trabalho de notória 
especialização, feito com o objetivo de obter prova ou opinião que se destina a orientar 
uma autoridade formal no julgamento de um fato (MAGALHÃES, 2017).
No caso da perícia contábil, as normas elementares que balizam a atuação 
dos profissionais envolvidosna perícia são o Código de Processo Civil (CPC), aprovado 
pela Lei 13.105/2015, e as Normas Brasileiras de Contabilidade (NBC), expedidas pelo 
Conselho Federal de Contabilidade (CFC), relativas à perícia contábil. Atualmente, as 
duas NBCs mais relevantes sobre a perícia são a NBC TP 01, que estabelece regras e 
procedimentos técnicos a serem observados pelo perito, e a NBC PP 01, que estabelece 
procedimentos inerentes à atuação do contador na condição de perito.
Nos termos do art. 156 do CPC, o juiz será assistido por perito quando a prova do 
fato depender de conhecimento técnico ou científico (BRASIL, 2015). Ou seja, sempre que 
o juiz se deparar com alguma situação envolvendo questões técnicas no processo, e que 
isso de alguma forma dificulte seu trabalho de julgar a lide, será nomeado um perito para 
a realização dos esclarecimentos de todos os aspectos técnicos ao juízo, de forma que o 
processo possa seguir seu fluxo e ser julgado, dando fim à controvérsia judicial.
Na maioria dos processos em que se demanda a perícia (seja a contábil, seja a 
de qualquer outra natureza), tem-se a atuação de duas figuras distintas: o perito do juízo 
e o assistente técnico. No caso da perícia contábil, essas figuras são tratadas por perito-
contador (que pode ser nomeado, contratado ou escolhido) e por perito-contador assistente.
De acordo com a NBC PP 01 (CFC, 2015), o perito-contador nomeado é o 
designado pelo juiz em perícia contábil judicial. Já o contratado é o que atua em perícia 
contábil extrajudicial. Por fim, o escolhido é o que exerce sua função em perícia contábil 
arbitral. Por sua vez, o perito-contador assistente é o contratado e indicado pela parte 
em perícias contábeis, em processos judiciais e extrajudiciais, inclusive arbitral.
Para atuação com a perícia contábil, seja na função de perito-contador ou 
de perito- contador assistente, os requisitos são, essencialmente, o registro ativo do 
profissional em Conselho Regional de Contabilidade na categoria de contador (arts. 25, 
“c” e 26 do Dec. Lei 9.295/1946 – BRASIL, 1946) e os conhecimentos técnicos acerca da 
matéria objeto da perícia (BRASIL, 2015).
192
Saliente-se que nos termos da NBC PP 01 (CFC, 2015), o perito-assistente deve 
declarar-se suspeito quando, após contratado, verificar a ocorrência de situações que 
venham suscitar suspeição em função da sua imparcialidade ou independência e, dessa 
maneira, comprometer o resultado do seu trabalho.
Embora não constitua uma exigência para atuação do perito, o CFC editou a 
resolução 1.502/16 e alterações, instituindo o Cadastro Nacional de Peritos Contadores 
(CNPC). O objetivo do cadastro, segundo o próprio CFC, é oferecer ao judiciário e à socie-
dade uma lista de profissionais qualificados e aptos a atuarem com perícias contábeis.
Atualmente, para compor o CNPC, os profissionais interessados devem ser 
aprovados em Exame de Qualificação Técnica (EQT), bem como cumprir as demais 
exigências realizadas pelo Conselho Federal de Contabilidade.
O CPC, em seu art. 465, dispõe que o juiz nomeará perito especializado no 
objeto da perícia, evidenciando a necessidade de conhecimentos técnicos do perito 
para atuação, visto que sem tais conhecimentos, não faria sequer sentido a atuação do 
profissional em meio a questões técnicas especializadas (BRASIL, 2015).
Importante distinção entre o perito-contador e o perito-contador assistente 
reside no fato de que, nos termos do art. 466 §1o do CPC, os assistentes técnicos não 
estão sujeitos às causas de impedimento e suspeição, não possuindo, portanto, o dever 
da imparcialidade, enquanto, ao perito, cabe o dever de obediência à imparcialidade da 
sua atuação.
Essa norma possui um efeito prático importante nas atuações de ambos os 
profissionais, pois enquanto o perito deverá balizar sua atuação pela neutralidade 
e imparcialidade da apreciação, o assistente técnico pode atuar em defesa do seu 
contratante, o que, via de regra, coloca peritos e assistentes técnicos em rota de colisão.
Isso porque uma das principais tarefas do assistente técnico, senão a principal, 
é justamente contrapor os pontos prejudiciais ao seu cliente do laudo pericial emitido 
pelo perito, em defesa dos interesses da parte que lhe contratou. Evidentemente que 
se o laudo apresentar pontos favoráveis, o assistente técnico não precisará discordar do 
ponto de vista do perito em relação a esses pontos.
No tocante ao laudo pericial contábil, este deve seguir a estrutura indicada na NBC 
TP 01 (CFC, 2015), bem como as disposições constantes do art. 473 do CPC, em especial 
no tocante a conter a exposição do objeto da perícia, a análise técnica ou científica 
realizada pelo perito, a indicação do método utilizado, esclarecendo-o e demonstrando 
ser predominantemente aceito pelos especialistas da área do conhecimento da qual se 
originou e, por fim, a resposta conclusiva a todos os quesitos apresentados pelo juiz, 
pelas partes e pelo órgão do Ministério Público (BRASIL, 2015).
193
E engana-se quem pensa que o trabalho do perito se encerra com a apresentação 
do laudo pericial, visto que podem ser demandados do perito esclarecimentos e quesitos 
complementares ao laudo, nos termos do art. 477 do CPC (BRASIL, 2015).
Portanto, pelo exposto, verifica-se que a atuação profissional do perito e do 
assistente técnico envolve a obediência a uma gama de normas, de procedimentos 
especiais e de ritos previstos tanto pela legislação processual quanto pelas normas 
de classe. Apresentados os principais elementos essenciais à atuação do perito, em 
seguida, serão discutidos aspectos específicos da perícia contábil em matéria financeira, 
em especial em contratos financeiros, que são aqueles que justamente possuem as 
maiores discussões, sobre questões ligadas à sistemas de amortização.
FONTE: https://bit.ly/3qEhEfp. Acesso em: 30 jul. 2022. 
194
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu:
• A amortização é uma técnica usada para reduzir periodicamente o valor de um 
empréstimo ou de um ativo intangível durante um determinado período.
• Amortização de empréstimo: a amortização é usada no processo de pagamento da 
dívida por meio de pagamentos regulares de principal e juros ao longo do tempo. 
• A amortização também pode se referir à amortização de intangíveis. 
• Um cronograma de amortização é uma tabela que fornece os detalhes dos 
pagamentos periódicos de um empréstimo amortizado.
• A amortização linha reta, também conhecida como amortização linear, é onde o 
valor total dos juros é distribuído igualmente ao longo da vida de um empréstimo.
• A amortização linha reta, também conhecida como amortização linear, é onde o 
valor total dos juros é distribuído igualmente ao longo da vida de um empréstimo. 
• O método do saldo decrescente é um método acelerado de amortização em que o 
pagamento periódico de juros diminui, mas o pagamento do principal aumenta com 
a idade do empréstimo
• Um empréstimo amortizado no método de anuidade compreende uma série de 
pagamentos efetuados entre intervalos de tempo iguais.
• Os empréstimos bullet normalmente não são amortizados ao longo da vida dos 
empréstimos.
• Um empréstimo de balão é semelhante a um empréstimo de bullet, que, geralmente, 
paga todo o seu principal no vencimento.
• No método de amortização negativa, o pagamento total de um período é inferior aos 
juros cobrados naquele período.
195
AUTOATIVIDADE
1 A amortização é uma técnica usada para reduzir periodicamente o valor de um 
empréstimo ou de um ativo intangível durante um determinado período. No caso 
de um empréstimo, a amortização concentra-se em distribuir os pagamentos do 
empréstimo ao longo do tempo. O termo “amortização” refere-se a duas situações de 
uso. Assinale a alternativa CORRETA sobre as duas situações de uso da amortização.
a) ( ) Tangível – Intangível.
b) ( ) Empréstimo – Ativos intangíveis.
c) ( ) Recursos – Bens.
d) ( ) Ativo – Positivo.
2 Os empréstimos amortizados apresentam valores de pagamento nivelados ao longoda vida do empréstimo, mas com proporções variadas de juros e principal que 
compõem cada pagamento. Um cronograma de amortização pode ser gerado por 
uma calculadora de amortização, com as entradas do valor, prazos periódicos e taxa 
de juros do empréstimo. Conceitue cronograma de amortização.
3 Um empréstimo amortizado no método de anuidade compreende uma série de 
pagamentos efetuados entre intervalos de tempo iguais. Os pagamentos também são 
normalmente feitos em quantidades iguais. Existem dois tipos de anuidade. Assinale 
a alternativa CORRETA sobre os tipos de anuidades:
a) ( ) Especial – Padrão.
b) ( ) Própria – Terceiros.
c) ( ) Ordinária – Vencida.
d) ( ) Primária – Secundária.
4 A amortização é o processo financeiro pelo qual uma dívida é extinta gradativamente 
por meio de pagamentos periódicos que podem ser de valores iguais ou diferentes. 
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado 
com os juros do saldo devedor. Existem diversos sistemas de amortização. Conceitue 
o sistema de amortização constante (SAC).
5 Existem diversos sistemas de amortização que afetam o valor e a composição 
das parcelas periódicas que o cliente terá que pagar, normalmente essas parcelas 
compreendem tanto o capital quanto parte dos juros da dívida. Um deles é 
caracterizado por uma prestação (pagamento) constante, em contrapartida a 
amortização é crescente. A qual sistema de amortização o conceito se refere?
196
a) ( ) Sistema Francês.
b) ( ) Sistema americano.
c) ( ) Sistema alemão.
d) ( ) Sistema de amortização constante.
197
REFERÊNCIAS
BARROS, D. M. Matemática Financeira. São Paulo: Rideel, 2014.
BARTEL, G. Gestão Financeira. Indaial: Uniasselvi, 2011
CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, A. E. Geometria analítica em espaços de duas e três 
dimensões. 1. ed. Curitiba: Intersaberes, 2017.
FERREIRA, R. G. Matemática Financeira Aplicada: mercado de capitais, análise de 
investimentos, finanças pessoais e tesouro direto. São Paulo: Atlas, 2014.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira Com HP12C E Excel: uma abordagem 
descomplicada. São Paulo: Pearson, 2009.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2014.
HOJI, M.; LUZ, A. E. da. Gestão financeira econômica. Rio de Janeiro: Atlas, 2018.
HOJI, M. Administração financeira e orçamentária: matemática financeira 
aplicada, estratégias financeiras, orçamento empresarial. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2014.
HOJI, M. Administração financeira na prática: guia para educação financeira 
corporativa e gestão financeira pessoal. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
NETO, A. A.; LIMA, F. G. Fundamentos de Administração Financeira: São Paulo: 
Atlas, 2017.
PADOVEZE, C. L. Manual de contabilidade básica: contabilidade introdutória e 
intermediária. 10. ed. Rio de Janeiro: Atlas, 2016.
PAULANI, L. M.; BRAGA, M. B. A nova contabilidade social: uma introdução à 
macroeconomia. 5. ed. São Paulo: Saraiva Uni, 2020.
PUJATTI, L.; ALMEIDA, R. A. de. Finanças, administração e tecnologia para o 
turismo. São Paulo: Ipsis, 2007
PICARDO, E. Why Is Deflation a Central Bank's Worst Nightmare? 2022. Disponível 
em: https://bit.ly/3xsLHKR. Acesso em: 10 jul. 2022
198
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. 5. ed. 
São Paulo: Prentice Hall, 2010.
SELEME, R. B. Diretrizes e práticas da gestão financeira e orientações 
tributárias. Curitiba: IBPEX, 2010
SILVA, E. C. da. Introdução à administração financeira: uma nova visão econômica 
e financeira para a gestão de negócios das pequenas e médias empresas. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. 
SOBRÉ, U. Matemática Financeira, Sistemas de Amortização, jul., 2020. 
Disponível em: https://bit.ly/3BKo9E2. Acesso em 10 jul. 2022.