MATEMÁTICA FINANCEIRA

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E-BOOK
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Conceitos introdutórios à matemática 
financeira
APRESENTAÇÃO
As operações que contemplam o uso de porcentagem são muito habituais. Assim, podem ser 
aplicadas em demonstrações de taxas de juros e em situações em que as empresas apresentam 
porcentagem de desconto sobre produtos variados a fim de chamarem a atenção do público-alvo, 
por exemplo. O uso da porcentagem “c por centro” é aplicado sendo dividido por cem.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai adquirir conhecimentos referentes à porcentagem. 
Além disso, conhecerá a definição dos números naturais, inteiros, reais, racionais e irracionais. 
Também verá formas de calcular proporção, regra de três simples, potenciação, 
radiciação, logaritmos e progressões numéricas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir números naturais, inteiros, reais, racionais, irracionais e porcentagem.•
Calcular proporção, regra de três simples, potenciação, radiciação e logaritmos.•
Definir progressões numéricas.•
DESAFIO
A porcentagem é usada diariamente por diversas empresas no cotidiano, com vistas a captar 
empréstimos, calcular lucro e descontos sobre as mercadorias, calcular a média diária de vendas, 
entre outras utilidades. Por meio da porcentagem, é possível estimar ganhos e perdas que 
poderão refletir na empresa a partir de decisões tomadas.
A seguir, acompanhe um caso que envolve desconto em um produto.
Após analisar a situação proposta, disserte sobre a importância da porcentagem para uma 
empresa. Responda se ocorreu lucro ou prejuízo sobre a venda do produto a partir da 
porcentagem aplicada como desconto e apresente o cálculo desenvolvido para justificar sua 
resposta.
INFOGRÁFICO
A regra de três simples possibilita encontrar um elemento que representa uma incógnita, pois 
existem outros três elementos que já são conhecidos e que serão utilizados como base a fim de 
se encontrar o elemento desconhecido. Esse cálculo é usado em circunstâncias diárias, entre elas 
as que abrangem proporções entre grandezas, do mesmo modo como é usado para desenvolver 
cálculos financeiros, facilitando o cotidiano empresarial.
Neste Infográfico, você vai conhecer a relevância e a utilidade da regra de três simples e os 
passos que devem ser obedecidos para a resolução de problemas.
CONTEÚDO DO LIVRO
A proporção tem grande importância no cotidiano das empresas, assim como outras operações, 
como a regra de três simples e a potenciação. Quando duas razões são proporcionais, significa 
que têm o mesmo resultado, ou seja, as variações existentes em uma grandeza refletem ou são 
modificadas pelas variações de outra.
No capítulo Conceitos introdutórios à matemática financeira, da obra Matemática financeira, 
você vai ver conceitos que abordam os conjuntos numéricos e cálculos relacionados 
à matemática financeira, como, por exemplo, regra de três simples, proporções e outros, além de 
conhecer a definição das progressões numéricas.
Boa leitura.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Aline Alves dos Santos
Conceitos introdutórios 
à matemática financeira
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir números naturais, inteiros, reais, racionais, irracionais e 
porcentagem.
 � Calcular proporção, regra de três simples, potenciação, radiciação e 
logaritmos.
 � Definir progressões numéricas.
Introdução
Neste capítulo, você adquirirá conhecimentos que facilitarão seu enten-
dimento sobre os conjuntos numéricas, ou seja, quais são os números 
que são considerados nesse grupo. Além disso, aprenderá sobre as pro-
porções e sua relação à igualdade de duas razões, bem como sobre os 
métodos de cálculos de regra de três simples que possuem grandezas 
diretamente proporcionais. Por fim, verá exemplos e métodos para cál-
culos de potenciação, de radiciação e logaritmos, envolvendo também 
as progressões numéricas.
Entendendo os conjuntos numéricos: 
naturais, inteiros, reais, racionais, 
irracionais e porcentagem
Números naturais
Conforme Oliveira (2016), o conjunto dos números naturais, ou de contagem, 
como também é conhecido, se refere aos números inteiros e positivos, sendo 
representado pelo símbolo N. 
Oliveira (2016) exemplifica os números naturais como: N = 
{0,1,2,3,4,5,6,7,...185, 296,...301...}. Todos os números que compõem o con-
junto dos números naturais possuem outro número que o antecede, exceto o 
número zero.
É importante destacar que o símbolo * elimina o zero de todos os conjuntos numéricos, 
observe: N* = {1,2,3,4,5,6,...} (OLIVEIRA, 2016).
Os números naturais representam os que iniciam com 0 (zero) e sem-
pre são positivos. O surgimento dos números naturais ocorreu a partir da 
necessidade do homem de entender melhor o mundo à sua volta. Bonafini 
(2014, p. 2) afirma que “[...] a distância entre dois pontos no espaço, por exemplo, 
pode ser calculada com números naturais. O tempo só pode ser estimado com 
números naturais [...]”.
Números reais
De acordo com Bonafini (2014), os números reais podem ou não ser apresenta-
dos no formato decimal. A representação decimal pode ser feita por decimais 
exatos, ou periódicos (conhecidos por números racionais), e por decimais não 
exatos, ou não periódicos (conhecidos por números irracionais). Os números 
reais são representados pela simbologia R.
Os números reais podem ser representados pelos exemplos a seguir 
(BONAFINI, 2014):
–7, 0, 1, 25, 78, 2, 444…, √3, 8/5, 16 e π.
Subconjuntos relevantes que pertencem aos números reais:
 � Números naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
 � Números inteiros {…, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}
Conceitos introdutórios à matemática financeira2
Números racionais e irracionais: 
As chaves { } são utilizadas para descrever conjuntos com seus elementos.
Um número é racional quando pode ser escrito como uma razão a/b de 
dois números inteiros, onde b ≠ 0. Podemos usar a notação de conjunto com 
propriedade para descrever os números racionais (BONAFINI, 2014, p. 3):
O conjunto dos números reais possui uma classificação, sendo possível 
verificar números reais e analisá-los quando são maiores ou menores que o 
outro. A ordem, conforme Bonafini (2014), pode ser evidenciada conforme o 
Quadro 1, a partir do qual é possível visualizar a posição de a em relação a b.
Fonte: Adaptado de Bonafini (2014).
Símbolo Definição Leitura
a > b a – b é positivo a é maior que b
a < b a – b é negativo a é menor que b
a ≥ b a – b é positivo ou zero a é maior ou igual a b
a ≤ b a – b é negativo ou zero a é menor ou igual a b
*Os símbolos >, <, ≥ e ≤ são símbolos de desigualdade.
Quadro 1. Ordenação dos números reais, sejam a e b dois números reais quaisquer*
Números inteiros
Os números inteiros são constituídos por números positivos e por números 
negativos, mais o número 0 (zero), compondo dessa forma o conjunto dos 
números inteiros. Os números inteiros são representados simbolicamente 
pela letra Z.
Os números inteiros contemplam os números naturais N e os que são a 
eles equiparados e não nulos. Nesse contexto, Oliveira (2016, p. 22) afirma 
que “[...] dois números inteiros são simétricos quando a sua soma é zero [...]”.
3Conceitos introdutórios à matemática financeira
Exemplo de como o conjunto dos números inteiros pode ser representado 
(OLIVEIRA, 2016):
Z = {..., –4, –3, –1, 0, 1, 2,...} ou ainda Z = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3,...}
Números racionais
De acordo com Oliveira (2016), os números racionais correspondem aos que 
podem ser apresentados por frações, ou seja, com numerador e denominador 
inteiros e denominador não considerado nulo, que, desse modo, não pode 
ser 0 (zero). É possível afirmar que os números inteiros e os naturais são 
entendidos como racionais, já que podem ser evidenciados como uma fração 
de denominador 1. O símbolo que representa os números racionais é a letra Q.
Exemplos de números racionais:
 � 3: porque pode ser escrito 
 � –5: porquepode ser escrito 
 � 0,33333...: porque corresponde a 
Números irracionais
Ao contrário dos números racionais, os irracionais não podem ser apresentados 
em forma de fração, onde o numerador e o denominador representem números 
que façam parte do conjunto dos números inteiros.
O número π não é considerado racional, já que sua escrita decimal é infinita 
e não repete algarismos de modo periódicos. Dessa forma, os números não 
racionais são considerados irracionais e são representados pelo símbolo Q ou 
R – Q (OLIVEIRA, 2016).
Porcentagem ou percentagem
De acordo com Oliveira (2016), a porcentagem ou percentagem, como também 
é denominada, corresponde a uma razão (fração) que possui denominador 100. 
A porcentagem é bastante utilizada para representar aumentos ou reduções 
em preços, quantidades ou números, tendo como base 100 unidades.
Conceitos introdutórios à matemática financeira4
A porcentagem representa o valor adquirido a partir da aplicação de uma razão cen-
tesimal a um valor específico. A razão centesimal se refere a uma expressão fracionária 
que possui denominador igual a 100 (OLIVEIRA, 2016). 
Para se obter 1 por cento é necessário dividir o inteiro em 100 partes exata-
mente iguais, ou seja, seria necessário dividir o 1 por 100, que é denominado 
razão centesimal ou razão porcentual. A porcentagem é representada pelo 
símbolo % (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Exemplos de cálculo de porcentagem
João precisa pagar a um amigo 8% de comissão sobre R$ 250,00 referente a ingressos 
que foram vendidos para uma festa que ele estava anunciando. Desse modo, observe 
como pode ser calculada a porcentagem de 8% sobre os R$ 250,00.
Resolução:
8% de 250 = · 250 = = 20
Seria possível aplicar a proporção para encontrar os 8% sobre os R$ 250,00 da seguinte 
forma:
Resolução:
 = 
100 · x = 250 · x
x = 
x = 20
5Conceitos introdutórios à matemática financeira
Calculando proporção, regra de três simples, 
potenciação, radiciação e logaritmos
Proporção
Conforme Faria (2015), a proporção corresponde à igualdade existente entre 
duas razões. De acordo com Castanheira e Macedo (2012), a proporção 
lê-se 2 está para 6, assim como 3 está para 9.
Uma proporção pode ser apresentada da seguinte forma: ou 
a:b = c:d (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Exemplos de cálculos de proporção: 
1. = 
Resolução:
(20 · y) = (5 · 6) 
20y = 30
y = = 1,5
2. A cada 5 alunos de uma determinada faculdade que cursam a graduação, 2 pre-
tendem dar continuidade aos seus estudos até a pós-graduação. Considerando 
uma classe da graduação formada por 20 alunos que pretende estudar até a pós-
-graduação, tem-se o seguinte:
Resolução:
 = 
2 · 20 = 5 · x
x = = 8
Desse modo, é possível afirmar que 8 alunos pretendem continuar estudando até 
a pós-graduação (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Conceitos introdutórios à matemática financeira6
Regra de três simples
A regra de três simples é considerada um método de fácil aplicação e é muito 
comum na matemática financeira, sendo aplicada para identificar possíveis 
lucros, prejuízos, descontos adquiridos ou concedidos, entre outros (BRUNI; 
FAMÁ, 2012).
Para aplicar a regra de três simples existem alguns procedimentos que 
podem ser seguidos, conforme vemos a seguir.
a) É possível elaborar uma tabela com colunas que podem contemplar as 
grandezas que são do mesmo tipo, como, por exemplo, quantidade e 
valores. Já nas linhas deverão estar as demais grandezas, ou seja, as 
que forem de diferentes espécies.
b) É preciso reconhecer se as grandezas são direta ou indiretamente 
proporcionais.
c) É preciso utilizar o elemento x para descobrir o valor que está se 
procurando.
d) O numerador multiplicará o denominador da outra fração, e, nesse 
caso, poderão ser traçadas setas em x.
e) Resolver a equação, a fim de encontrar o valor da incógnita.
Exemplo de cálculo de regra de três simples:
1. Uma empresa concedeu um desconto de 12% para uma duplicata, resultando em 
um valor líquido de R$10.000,00. Dessa forma, qual seria o valor original da duplicata?
Como o valor original antes da aplicação do desconto não é conhecido, é preciso 
considerar ele como 100%. Desse modo, 100% 10 – 12% = 88%. Assim, entende-se 
que R$10.000,00 representa 88% do valor da duplicata.
Com o intuito de descobrir qual era o valor correspondente aos 100% da duplicata, 
aplica-se a regra de três simples, observe:
10.000 – 88%
x – 100%
x = · 100 – 10.363,64
O valor R$11.363,64, encontrado a partir da aplicação de regra de três, representa o 
valor original da duplicata antes do desconto (BRUNI; FAMÁ, 2012).
7Conceitos introdutórios à matemática financeira
Potenciação
Conforme Bonafini (2014), a potenciação representa um método resumido 
para apresentar uma multiplicação que possui fatores idênticos. É possível 
afirmar que a potenciação é utilizada quando ocorre a multiplicação de um 
número por ele mesmo diversas vezes:
an = a · a · a · a ... a
Exemplo de cálculo de potência (BONAFINI, 2014):
1. 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1.024
2. 42 = 4 · 4 = 16
3. (–64) = (–6) · (–6) · (–6) · (–6 ) = 1.296 (o resultado dessa operação gera um resultado 
positivo, visto que é preciso considerar que, quando sinais são iguais, o resultado 
será positivo). 
Conforme Oliveira (2016), vale destacar que toda base distinta de zero, 
quando elevada a zero, tem por resultado 1. 
Exemplo de potenciação elevada à base zero:
20 = 1
(–3)0 = 1
Conceitos introdutórios à matemática financeira8
Radiciação
Bonafini (2014) define que a radiciação corresponde a uma equação matemática 
que é contrária à potenciação e suas propriedades consideradas essenciais e 
que pode contribuir com os cálculos que contemplam raízes.
A Figura 1 apresenta os elementos da radiciação, indicando que b, mul-
tiplicado por ele próprio por uma certa quantidade de vezes n, representa a.
Figura 1. Propriedade da radiciação.
Fonte: Adaptada de Oliveira (2016).
Conforme Oliveira (2016), as operações com radicais contemplam: adição, 
subtração, multiplicação e divisão.
Exemplo de cálculo de algumas operações com radicais:
 � √49 = 7, já que 72 = 49.
 � 3√2 · 2√5 = 6√10
 � √2 + 3√2 = 1√2 +3√2= 4√2 
9Conceitos introdutórios à matemática financeira
Logaritmos
Conforme Faria (2015), os logaritmos correspondem a uma equação mate-
mática utilizada com a finalidade de descobrir o expoente de uma potência 
que não se conhece. 
Se Xy = Z, é possível afirmar que o logaritmo de Z na base X é igual a Y 
(BRUNI; FAMÁ, 2012).
Exemplo de cálculo das técnicas de logaritmos aplicado à matemática financeira:
1. Maria aplicou R$ 500,00 (C) em uma instituição financeira, a fim de obter retorno 
de juros mensais (i) de 3,5% no regime de juros compostos. Qual será o tempo (t) 
necessário para que Maria adquira o montante (M) de R$ 3.500,00?
M = 3.500,00
C = 500,00
i = 3,5% a.m
=?
M = C · (1+i)t
3.500 = 500 · (1+0,035)t
1,035t = 7
Aplicando logaritmo:
log 1,035t = log 7
t . log 1,035 = log 7
t . 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451/0,0149
t = 56,7 
Para que Maria alcance o montante de R$ 3.500,00, será necessário aguardar por 
56,7 meses de aplicação (FARIA, 2015).
Progressões numéricas
Conforme Oliveira (2016), as progressões numéricas contemplam a progressão 
aritmética e a progressão geométrica.
Conceitos introdutórios à matemática financeira10
Progressões aritméticas
As progressões aritméticas estão inclusas diariamente em diversas situações, 
como, por exemplo, no cálculo dos juros sobre o rendimento da poupança, 
sobre os juros que serão pagos em uma compra de um bem que será parcelada 
em diversas vezes, entre outras.
Para calcular os juros da poupança, é preciso multiplicar o capital investido 
de forma mensal por um valor fixo. Já no caso da compra de um bem, o valor 
pago é decorrente do total das parcelas que foram pagas.
Oliveira (2016, p. 74) afirma que “[...] as sequências ou sucessões são conjun-
tos, finitos ou não, cujos elementos são dispostos entre parênteses e separados 
por vírgulas(ou ponto e vírgulas, quando forem números decimais) [...]”:
 ■ (0,1, 2, 3, 4, 5)
 ■ (-2, 0, 7, -19, -1, 0,2)
 ■ (1, 1, 1, 1, 1,...)
 ■ (1, 7, 9, 16, 23, 36, 48,...)
Conforme Oliveira (2016, p. 74), a apresentação das sequências pode ser 
da seguinte forma:
Toda sequência pode ser escrita como (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n,...
), em que a representa 
o termo e n é o índice, que indica a posição do termo, sempre contando da 
esquerda para a direita.
Assim, considerando a sequência (1, 5, 9, 13, 17), então a
2 
+ a
5
, é o mesmo 
que 5 + 17 = 22; e a
3 
– a
4
, 9 – 13 = –4.
A progressão aritmética (PA) corresponde a sucessões onde cada item 
a partir do segundo é idêntico ao seu antecessor, somado a um valor fixo 
definido por razão (r) (OLIVEIRA, 2016).
a) (1, 2, 3, 4, 5, 6) representa uma PA denominada crescente, já que r > 0.
b) (2, 6, 10, 14, 18, 22, ...) representa uma PA infinita de razão = 4.
11Conceitos introdutórios à matemática financeira
Exemplo de cálculo de progressões aritméticas aplicadas à matemática financeira:
J = C · i · n
J = juros
C = capital
i = taxa
n = tempo
M = C + J ou M = C (1 + i · n)
M = montante
C = capital
J = juros
i = taxa
n = tempo
1. Juliana está com a conta de energia elétrica no valor de R$ 309,00 vencida há 9 
dias e precisa pagá-la. Para contas em atraso, deve ser considerada uma multa de 
2%, independentemente da quantidade de dias. Deve ser considerado, ainda, juros 
mensais de 1% para um período de 30 dias. Calcule o valor que Juliana deve pagar 
considerando os dias em atraso.
Passo a passo da resolução: 
Multa 2% = · 309 – 6,18
Juros (1% ao mês) = % = 1/100 · 9/30 · 309 = 0,93
Pagamento realizado em atraso = 309,00 + 6,18 + 0,93 = 316,11.
Progressões geométricas
De acordo com Oliveira (2016), as progressões geométricas são identificadas 
por PG e representam sequências ou sucessões onde cada termo depois do 
segundo é idêntico ao seu antecessor multiplicado por um valor fixo, denomi-
nado razão q. A seguir, você pode verificar exemplos de progressão geométrica 
com PG crescente e infinita, PG decrescente e finita, PG alternante e infinita 
e PG constante.
Conceitos introdutórios à matemática financeira12
 � (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
q = 2, (PG crescente e infinita)
 � (100, 50, 25, , )
q = (PG decrescente e finita)
 � (7, –14, 28, –56, 112, ...)
q = –2 (PG alternante e infinita)
 � (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,)
q = 1 (PG constante)
Fonte: Oliveira (2016, p. 78).
Ao observar a sequência (5, 10, 20), é possível analisar que cada termo 
multiplicado por 2 tem os seguintes resultados:
5 × 2 = 10; 10 × 2 = 20; 20 × 2 = 40. Esse exemplo corresponde a uma 
progressão geométrica (PG).
Fórmulas: geral e finita da progressão geométrica (OLIVEIRA, 2016).
 � a
n
 = a
1 
· qn – 1 (fórmula geral de uma PG);
 � para q ≠ 1 (fórmula da soma dos termos de uma PG 
considerada finita).
Analise o cálculo dos juros compostos e a progressão geométrica (FARIA, 2015):
1. Cláudio realizou uma aplicação a juros compostos no valor de R$ 5.000,00. O 
investimento foi realizado em uma instituição financeira com rendimentos de 2% 
ao mês. Apresente o montante adquirido ao final de cada mês durante o primeiro 
ano do investimento.
Conforme Faria (2015), existe uma sequência de montantes que constituem uma 
progressão geométrica de razão 1 + 0,02 = 1,02. A solução da questão 1 pode ser 
visualizada no Quadro 2.
13Conceitos introdutórios à matemática financeira
Fonte: Adaptado de Faria (2015).
Mês Montante (M)
1º M = 5000 ∙ 1,02 = 5100
2º M = 5100 ∙ 1,02 = 5202
3º M = 5202 ∙ 1,02 = 5306,04
4º M = 5306,04 ∙ 1,02 ≈ 5412,16
5º M = 5412,16 ∙ 1,02 ≈ 5520,40
6º M = 5520,40 ∙ 1,02 ≈ 5630,81
7º M = 5630,81 ∙ 1,02 ≈ 5743,43
8º M = 5743,43 ∙ 1,02 ≈ 5858,30
9º M = 5858,30 ∙ 1,02 ≈ 5975,46
10º M = 5975,46 ∙ 1,02 ≈ 6094,97
11º M = 6094,97 ∙ 1,02 ≈ 6216,87
12º M = 6216,87 ∙ 1,02 ≈ 6341,21
Quadro 2. Cálculo de juros compostos e progressão geométrica
O Quadro 2 apresenta o cálculo dos juros compostos mensalmente a partir 
da aplicação realizada no exemplo de cálculo via progressão geométrica.
A fim de entender de forma clara a matemática financeira, é fundamental 
que se tenha conhecimentos sobre regras e conceitos elementares. O conteúdo 
apresentado neste capítulo buscou demonstrar de que forma a matemática está 
relacionada com a matemática financeira.
Conceitos introdutórios à matemática financeira14
BONAFINI, F. C. Matemática e estatística. São Paulo: Pearson, 2014.
BRUNI, A. L; FAMÁ, R. Matemática financeira: com HP 12C e excel. 5. ed. São Paulo: 
Atlas, 2012.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Inter-
Saberes, 2012. 
FARIA, W. L. S. Matemática financeira aplicada aos ensinos fundamental e médio. 2015. 
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Programa de Mestrado Profissional em 
Matemática em Rede Nacional, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade 
Federal de Goiás, Goiânia, 2015. Disponível em: https://repositorio.bc.ufg.br/tede/
handle/tede/4606. Acesso em: 23 jul. 2019.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
Leituras recomendadas
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
WAKAMATSU, A. (org.). Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012.
15Conceitos introdutórios à matemática financeira
DICA DO PROFESSOR
A partir da regra de três simples, é possível calcular valores desconhecidos, mas isso só ocorrerá 
se forem apresentadas, para a mesma questão, outras informações, que são imprescindíveis.
As informações essenciais ao cálculo da regra de três simples envolvem três valores que 
precisam ser apresentados, pois estes serão aplicados no cálculo, isolando o elemento que se 
quer descobrir.
Nesta Dica do Professor, você vai conhecer detalhes da regra de três simples, adquirindo 
conhecimentos relativos ao cálculo e a como se dá sua aplicação.
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EXERCÍCIOS
1) Ao avaliar a regra de três simples, é possível considerar que sua aplicação é comum e 
muito habitual quando se pretende identificar valores específicos, como descontos, 
juros, entre outros. Com base no passo a passo que pode ser utilizado na regra de três 
simples, avalie as alternativas e identifique a única correta.
A) Um dos passos está na multiplicação do numerador de uma fração pelo numerador da outra 
fração. 
B) É necessário fazer uso de um elemento que seja de uma grandeza diferente daqueles já 
informados a fim de se obter o valor procurado.
C) Para a multiplicação entre numeradores e denominadores, não é possível usar setas em 
“x”.
É indicado criar uma tabela que tenha colunas nas quais estejam inseridas as grandezas que D) 
são distintas.
E) Nas linhas da tabela estão as outras grandezas que têm a mesma espécie.
2) Os conjuntos numéricos contemplam os números naturais, inteiros, reais, racionais, 
irracionais e porcentagem. Avalie as afirmativas apresentadas com relação aos 
números naturais e indique a opção correta.
A) Com base nos números naturais, sabe-se que o símbolo “*” não exclui o zero de todos os 
conjuntos numéricos.
B) A distância entre dois pontos no espaço não pode ser calculada com base em números 
naturais. 
C) Os números naturais são representados por diversos números, são positivos e iniciam pelo 
número zero.
D) Os números naturais, sem exceção, têm números que os antecedem.
E) É correto afirmar que o tempo não pode ser previsto com números naturais.
3) Sobre a porcentagem, sabe-se que o cálculo é aplicado diariamente dentro 
de empresas a fim de se conhecer valores referentes a juros sobre empréstimos, lucro 
sobre uma venda, rendimento calculado sobre investimentos, etc. Analise cada um 
dos casos apresentados e indique o correto com base no cálculo da porcentagem.
A) Um imóvel foi adquirido por R$ 20.000,00 e vendido posteriormente por R$ 25.300,00. O 
valor do lucro em porcentagem foi de 40%. 
B) Bruno comprouum automóvel por R$ 19.000,00 e o revendeu por R$ 16.900,00. A 
porcentagem que representa o prejuízo nessa operação é de 9,5%.
C) Uma imobiliária adquiriu um terreno por R$ 42.000,00 e o revendeu por R$ 44.300,00. A 
porcentagem de prejuízo dessa negociação é de 5,48%.
D) Um imóvel foi vendido por R$ 39.000,00. Sobre a venda, ocorreu prejuízo de 20% para o 
vendedor sobre o preço de compra. O valor original de compra do imóvel antes da venda 
foi de R$ 48.750,00.
E) Ao calcular 3,89% de R$ 1.123,00, obtém-se R$ 41,68.
4) As progressões numéricas podem ser aritméticas ou geométricas. Por meio das 
progressões numéricas, é possível fazer cálculos do cotidiano das empresas, com o 
intuito de estimar juros de rendimentos, juros sobre aquisição de imóveis, etc. Com 
base no conteúdo progressão numérica, avalie as alternativas apresentadas e marque 
a verdadeira.
A) Com base na progressão aritmética, a fim de se calcular o investimento aplicado, é 
necessário dividir o capital investido ao mês por um valor fixo.
B) A progressão aritmética contempla sucessões em que cada item a partir do segundo é igual 
ao que o antecede, somado a um valor fixo definido por razão.
C) A progressão geométrica poder contemplar apenas sequências crescentes.
D) As progressões geométricas são também denominadas de PA e se referem a sequências ou 
sucessões em que cada termo depois do segundo é igual ao que o antecede.
E) Com base na progressão geométrica, fica claro que não existe uma sequência de montantes 
que a constitui.
A potenciação representa uma operação que corresponde à multiplicação de fatores 
que são iguais. Analise as afirmativas a seguir e identifique a resposta correta com 
5) 
relação aos cálculos de potenciação.
A) A potência 52 equivale a 525. 
B) Ao calcular a potência 22.  23, é possível obter o resultado de  25.
C) Quando se tem a potência 15 elevada ao expoente zero, o resultado será 5.
D) O cálculo da expressão 51 tem como resultado 1.
E) O valor que se obtém da potência 73 é 357.
NA PRÁTICA
A regra de três simples pode ser considerada como direta ou inversa, o que vai depender da 
relação de proporção apresentada entre as grandezas, sendo identificada como um método 
prático e simples. Essa regra é muito comum na matemática financeira e é aplicada diariamente 
por empresas de todos os tipos e tamanhos, especialmente a fim de solucionar várias situações 
financeiras.
A seguir, conheça de que forma um colaborador de uma empresa pode fazer uso da regra de três 
simples em benefício da instituição, a fim de atrair mais um cliente.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Matemática discreta e suas aplicações
Números naturais são os números mais simples que existem — por exemplo, {0, 1, 2, 3, ...}. 
Eles são infinitos e são positivos; têm início, mas não têm um limite máximo. Nesta obra, você 
aprenderá um conjunto particular de fatos matemáticos e verá como utilizá-los, passando por 
argumentação matemática, análise combinatória, estruturas discretas, pensamento algorítmico e 
aplicações e modelos.
Matemática financeira
A regra de três simples pode ser aplicada com vistas a descobrir uma medida de duas grandezas 
proporcionais; entretanto, para aplicar o cálculo, é necessário que se tenha o conhecimento de 
outras três de suas medidas. Neste vídeo, você confere conceitos simples sobre regras de três e 
porcentagem.
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Logaritmos para matemática financeira
Os logaritmos são aplicados na matemática financeira com o intuito de calcular o tempo que um 
investimento ou capital precisa ser aplicado, considerando, nesse caso, os juros compostos, 
visando a gerar um retorno significativo. Neste vídeo, você vai conhecer mais sobre esse tema, 
que é um dos que embasa a matemática financeira.
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Conceitos iniciais
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos compreender o que é e como surgiu o crédito e o 
sistema responsável por sua negociação, chamado sistema de intermediação financeira. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir crédito e juros.•
Explicar fatores que contribuíram para a existência das operações de crédito.•
Identificar os agentes da intermediação de crédito, os chamados agentes da intermediação 
financeira.
•
DESAFIO
Uma empresa pretende expandir suas operações e resolve contratar você como consultor 
financeiro para avaliar a seguinte premissa: se a empresa deverá ou não captar recursos no 
mercado financeiro para realizar determinado investimento. Vamos considerar que a primeira 
avaliação da empresa levará em conta apenas os seus conhecimentos teóricos sobre o assunto. 
Dessa forma, a companhia elaborou o seguinte roteiro para entrevista: 
1. O que você considera como fator decisivo para captar recursos em um processo de expansão? 
2. Quais características de mercado favorecem o aumento dos juros? 
3. Como você conceitua os juros nas operações de crédito?
Responda as questões deste roteiro.
INFOGRÁFICO
O infográfico mostra a relação de concessão, intermediação e tomada de recursos (por parte dos 
agentes financiadores e tomadores de recursos), por meio da sua entrega e devolução com o 
custo/prêmio, que são os juros.
CONTEÚDO DO LIVRO
O surgimento do crédito, os juros e a necessidade de um sistema para intermediar a negociação 
financeira são requisitos essenciais para o ordenamento do sistema financeiro. Vamos 
compreender o início dessa relação através da leitura da introdução do livro Matemática 
financeira: fundamentos e aplicações, dos autores Manuela Longoni de Castro e Wili Dal Zot. 
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 O crédito e o juro
O crédito deve ser sempre associ ado ao tempo, uma vez que não existe empréstimo se 
não for relacionado com um espaço de tempo ao final do qual o tomador deve restituir ao 
credor a quantia emprestada. Deve, portanto, também haver um pagamento pelo preço do 
empréstimo, o juro, uma vez que existem formas de relacionamento jurídico, como o co-
modato, em que existe o empréstimo, durante certo tempo, mas não há uma remuneração 
estabelecida.
O mútuo, ou empréstimo de consumo, é o contrato pelo qual uma pessoatransfere a 
outra a propriedade de certa quantidade de coisas, peças monetárias, mercadorias, 
etc., convencionando que outra parte envolvida lhe devolverá, ao fim de certo prazo, 
uma mesma quantidade de coisas de mesma qualidade. (GIRARD, 1906, apud JAN-
SEN, 2002, p. 7).
Segundo Dumoulin e Rossellus (1961), parece ser justo que o mutuário, tendo realizado 
um ganho com o dinheiro recebido, consagre parte desse ganho para remunerar o serviço 
que lhe prestou o mutuante.
O juro, em relação ao dinheiro, significa, precisamente, o que os livros de aritmética 
afirmam: trata-se apenas do prêmio que se pode obter pelo dinheiro à vista em relação ao di-
nheiro a prazo, de modo que ele mede a preferência marginal (para a comunidade como um 
todo) de conservar o dinheiro em mãos, no lugar de só poder recebê-lo mais tarde. Ninguém 
pagaria esse prêmio, a menos que a posse do dinheiro tivesse alguma finalidade, ou seja, al-
guma eficiência. Portanto, podemos dizer que o juro reflete a eficiência marginal do dinheiro, 
tomado como unidade em função de si mesmo.
1.2 O surgimento do crédito e do sistema financeiro
Embora alguns autores relacionem o surgimento do crédito com o da letra de câmbio, ocor-
rido ao fi nal da Idade Média, pode-se afirmar que ele existe há mais tempo, uma vez que o 
direito romano previa punições para o não cumprimento de dívidas por parte do tomador 
de empréstimos. Entretanto, foi com a letra de câmbio que o crédito tomou uma forma mais 
2 Matemática Financeira
avançada, tendo em vista a possibilidade de endosso que permitia ao credor sua negociação 
ou representação para cobrança.
Inicialmente, a letra de câmbio tinha por objetivo vencimentos à vista, e sua grande 
utilidade era facilitar a troca de moedas entre as diferentes cidades evitando os elevados 
custos de transporte e guarda dos valores. Estava, portanto, dentro das regras do Direi-
to Romano relativas aos contratos de compra e de venda. Gradativamente, foi evoluindo 
para vencimento a prazo, assumindo uma troca de dinheiro no presente por dinheiro no 
futuro. Por apenas constar os valores finais de resgate, a letra de câmbio não identificava a 
natureza dos serviços adicionados além da simples troca de valores entre as moedas, sen-
do possível a inclusão de juros sem que se pudesse identificá-la como empréstimo. Desse 
modo, escapava-se da condenação canônica1 à cobrança de juros e à usura. O aparecimento 
da letra de câmbio constituiu-se, assim, em um marco importante para a facilitação do 
comércio entre as cidades, o que realimentou o crescimento das operações financeiras com 
a consequente criação dos primeiros bancos. Embora haja notícias da existência de bancos 
no século XIII, o primeiro considerado moderno e semelhante aos atuais foi o Banco de 
Amsterdã, fundado no ano de 1608. Foi nesse período, também, que surgiram as socieda-
des por ações e as bolsas, formando, junto com os bancos, os três pilares do Sistema Finan-
ceiro como é entendido hoje.
1.3 As instituições de intermediação financeira
Nas economias capitalistas, a condição de uso do dinheiro (capital) tem possibilitado a pro-
dução de bens e, consequentemente, a formação de mais dinheiro por meio do lucro. Portan-
to, o uso do dinheiro, e não necessariamente a sua propriedade, gera dinheiro. Por essa razão, 
o empréstimo tem valor, e o seu preço (aluguel do dinheiro) é denominado juro.
Para facilitar a compreensão sobre o funcionamento do fluxo do dinheiro entre os agen-
tes econômicos, sugere-se a criação de um modelo didático com três categorias:
 • Agentes superavitários (ou poupadores), cujas receitas são superiores aos gastos (con-
sumo ou investimentos) e que não se interessam em outro uso para sua poupança exce-
to “aplicar”com terceiros.
 • Agentes deficitários:
 a) consumidores cujos gastos com a compra de produtos para seu uso excedem suas 
receitas ou capacidade financeira;
 b) empreendedores cujos recursos próprios são insuficientes para as inversões de capi-
tal em atividades produtivas que desejam fazer.
 • Agentes de intermediação financeira (bancos, financeiras, distribuidoras e corretoras de 
valores, etc.), que tornam possível a transferência da poupança dos agentes superavitá-
rios para os agentes deficitários, por meio do empréstimo e de sua liquidação, mediante 
remuneração pelo serviço, funcionando de forma semelhante a um mercado de merca-
dorias: o Mercado Financeiro.
No Mercado Financeiro é estabelecido o preço do dinheiro cuja unidade de medida é a 
taxa de juros, e seus corretores (os agentes de intermediação financeira) realizam a tarefa de 
aproximação entre os agentes deficitários, que demandam recursos financeiros, e os agentes 
superavitários, que os ofertam mediante uma taxa (spread ou delcredere).
1 “O Cânone XVII do Concílio de Nicéa, em 325, proibiu os sacerdotes de emprestar dinheiro a juros.”(OLIVEIRA, 
2009, p. 351).
Capítulo 1 Introdução 3
Assim, os agentes deficitários, para atingir seus propósitos, buscam recursos empres-
tados para financiar produção real de bens e serviços, além de seu respectivo consumo, por 
meio da intermediação financeira. A condição para que haja harmonia nesse processo de fi-
nanciamento da economia é que o lucro global da economia seja maior do que o custo de seu 
financiamento, ou seja, o lucro deve ser maior do que o juro.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
DICA DO PROFESSOR
Estamos envolvidos em um constante processo de troca de recursos: há quem deseje comprar, 
quem deseje vender e quem deseje intermediar essas operações. No vídeo a seguir vamos 
compreender como e quando surgem os conceitos de crédito e juros, como surgiu a 
intermediação financeira e quem são seus agentes.
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EXERCÍCIOS
1) O mercado financeiro apresenta agentes superavitários e deficitários que utilizam os 
intermediários financeiros para conduzir suas operações, nas quais incidem juros. 
Posto isso, pode-se afirmar que o juro:
A) não considera o valor do dinheiro no tempo.
B) é a remuneração pelo risco, pelo retorno.
C) não deverá ser comparado com o retorno da operação para a qual foi utilizado o recurso.
D) atrapalha o mercado financeiro.
E) terá tanto mais custo quanto menor for o prazo da operação.
2) Entre os agentes do mercado financeiro, tem-se a figura do agente superavitário de 
recursos. Aquele que representa CORRETAMENTE a figura desse agente é:
A) o poupador.
B) quem necessita de recursos para investir.
C) o intermediário financeiro.
D) o mercado financeiro.
E) o agente deficitário na situação de pagamento.
3) A letra de câmbio é considerada o primeiro instrumento de intermediação financeira. 
Em relação a esse instrumento, marque a alternativa INCORRETA:
A) Foi com a crescente utilização da letra de câmbio que surgiram os primeiros bancos, as 
sociedades por ações e as bolsas (três pilares do sistema financeiro).
B) Para formalizar a negociação dos recursos entre poupadores e tomadores de recursos, era 
necessário criar um instrumento formal.
C) A letra de câmbio surge com vencimento à vista e depois passa a ter vencimento a prazo.
D) A letra de câmbio contribuiu para facilitar a troca de moeda.
E) Como a cobrança de juros era condenada pela Igreja Católica, o registro na letra de câmbio 
contemplava todo valor da operação com a descrição da sua composição.
4) A geração de riqueza consiste na movimentação da própria riqueza. O interesse em 
aumentar os recursos acontece a partir da sua melhor utilização. Se não forem 
utilizados, não serão capazes de gerar novos recursos. Dessa forma, marque a 
alternativa que melhor se relaciona com essa afirmação:
Eduardo realizou um empréstimo no banco para pagar R$ 3.000,00 de juros e conseguiu A) 
investir em estoque e aumentar o faturamento da empresa, gerando um aumento de R$ 
5.000,00 no resultado.
B) Fabíolacomprou um carro e pagou juros no valor de R$ 11.000,00, além dos gastos que 
passou a ter com combustível, impostos, taxas, manutenção, estacionamento.
C) Pedro contratou mais cinco funcionários terceirizados. No dia do pagamento, precisou 
obter um empréstimo para pagar esses funcionários.
D) A empresa XCC comprou um maquinário para pagar R$ 50.000,00 de juros. A previsão é 
um aumento no lucro de R$ 80.000,00. Houve uma mudança na preferência do 
consumidor, e o lucro aumentou em apenas R$ 30.000,00.
E) Roberto resolveu vender uma máquina por 30 parcelas de R$ 1.000,00. O valor da 
máquina para Roberto era de R$ 30.000,00.
5) O mercado financeiro surge da necessidade de investir dos agentes, seus integrantes, 
para a geração de riqueza. Os componentes desse mercado são representados pelos 
agentes superavitários, pelos deficitários e pelos intermediários financeiros. Dessa 
maneira, marque a alternativa que melhor define a relação entre os agentes:
A) Agente superavitário é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o seu recurso 
para ampliá-lo. Este agente coloca seu recurso em um agente intermediário, que será 
responsável pela guarda deste e por seu repasse ao agente deficitário, representado pelos 
consumidores e pelas empresas que têm interesse de ampliar seus negócios, mas não 
dispõem de capital próprio suficiente.
B) Agente deficitário é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o seu recurso 
para ampliá-lo. Esse agente coloca seu recurso em um agente intermediário, que será 
responsável por sua guarda e por seu repasse ao agente superavitário, representado pelos 
consumidores e pelas empresas que têm interesse em ampliar seus negócios, mas não 
dispõem de capital próprio suficiente.
C) Agente intermediário financeiro é considerado o poupador que tem interesse em aplicar o 
seu recurso para ampliá-lo Esse agente coloca seu recurso em um agente superavitário, que 
será responsável por sua guarda  e pelo seu repasse ao agente deficitário, representado 
pelos consumidores e pelas empresas que têm interesse de ampliar seus negócios, mas não 
dispõem de capital próprio suficiente.
D) Agente intermediário já é suficiente para que exista a relação entre o agente deficitário e o 
superavitário.
E) Agente mais relevante é o agente deficitário, pois se ele não precisar de recursos, não 
haverá movimentação da moeda.
NA PRÁTICA
Vamos comprar uma casa? Que tal comprar um carro? Vamos verificar como podemos expandir 
os negócios de uma empresa? Para toda aquisição precisamos de recursos, sejam eles próprios 
ou de terceiros, mas sabemos que nem sempre dispomos de recursos próprios. Assim, buscamos 
recursos de terceiros, que serão captados por meio de empréstimos e/ou financiamentos, 
realizados em instituições financeiras. Essas operações geram encargos e juros. Veja um 
exemplo: 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Sistema de Intermediação Financeira
Neste vídeo aula você vai aprender sobre Sistema de Intermediação Financeira
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Como os juros são formados?
O Brasil tem a 4a maior taxa de juros do mundo - saiba como essa taxa é calculada e o que é 
possível fazer para reduzi-la.
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Um pouco mais sobre calculadoras
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos um pouco mais sobre calculadoras, por meio de 
suas classificações, formas de uso e solução de exemplos. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Classificar as calculadoras.•
Distinguir as calculadoras quanto ao modo como os dados das equações são introduzidos.•
Utilizar as calculadoras financeiras.•
DESAFIO
Ana e João estão planejando uma poupança para custear os estudos de sua filha que entrará na 
faculdade daqui a 10 anos. Eles, hoje, dispõem de R$8.000,00 e estimam precisar de 
R$25.000,00. 
Determine a taxa de juros anual que o casal precisa receber de uma aplicação financeira para 
conseguir o almejado valor.
INFOGRÁFICO
O infográfico a seguir indica e explica na calculadora HP12C as principais funções de juros 
compostos, anuidades e fluxo de caixa descontado.
CONTEÚDO DO LIVRO
Com exceção de algumas operações elementares, especialmente somas e subtrações, a maioria 
dos cálculos exigem apoio de alguma calculadora. As calculadoras, tal como a conhecemos 
hoje, vieram substituir métodos de cálculo mais primitivos, como as tábuas de logaritmos, e 
menos precisos, como as réguas de cálculo; esses recursos eram bastante populares nos meios 
profissionais e acadêmicos até meados do século XX com o avanço da eletrônica digital e da 
portabilidade dos recursos. Leia mais detalhes sobre o assunto no livro Matemática financeira: 
fundamentos e aplicações, comece sua leitura pelo capítulo Um pouco mais sobre 
Calculadoras de Wili Dal Zot e Manuela Longoni de Castro.
Boa leitura.
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
APÊNDICE A
UM POUCO MAIS SOBRE 
CALCULADORAS
A.1 Introdução
Com exceção de algumas operações elementares, especialmente soma e substração, a maioria 
dos cálculos exige apoio de alguma calculadora. As calculadoras, como as conhecemos hoje, 
vieram substituir métodos de cálculo mais primitivos, como as tábuas de logaritmos, e me-
nos precisos, como as réguas de cálculo. Esses recursos eram bastante populares nos meios 
profissionais e acadêmicos até meados do século XX, que trouxe o avanço da eletrônica digi-
tal e da portabilidade dos recursos.
Costuma-se classificar as calculadoras em:
 • Calculadoras científicas, apropriadas para a solução de equações matemáticas em geral.
 • Calculadoras financeiras, que, embora também permitam a solução de equações mate-
máticas, contêm fórmulas pré-programadas de Matemática Financeira.
Quanto ao modo como os dados das equações são introduzidos nas calculadoras, temos:
 • Modo ALGébrico: os operadores são colocados entre os operandos (números ou va-
riáveis), buscando respeitar a sequência em que se encontram; os parênteses ajudam a 
respeitar a ordem de execução das operações.
 • Modo RPN (Reverse Polish Notation1): os operadores são colocados após os operandos. 
O modo RPN foi introduzido em calculadoras pela empresa Hewlett-Packard (HP) e 
está presente em quase todos os modelos por ela fabricados. A calculadora financeiraHP 12c Gold, uma das mais utilizadas e conhecidas, utiliza o modo RPN. Suas versões 
mais modernas (HP 12c Platinum e Prestige) permitem o uso dos dois modos (ALG e 
RPN), assim como a HP 17bii, seu modelo financeiro mais avançado. Já a calculadora 
financeira de entrada da empresa, a HP 10bii, opera apenas no modo ALG.
1 Notação Polonesa Reversa, baseada na notação desenvolvida pelo matemático polonês Jan Luksievicz (1878-1956), com 
o objetivo de reduzir o número de operações na solução de equações, de larga aplicação em sistemas computacionais.
138 Apêndice A Um pouco mais sobre calculadoras
A equação Z = 4 + 3 (resp.: 7) é resolvida:
 • Modo ALGébrico: 
 • Modo RPN: 
A equação 
×
×
 (resp.: 42) é resolvida:
 • Modo ALGébrico: 
 • Modo RPN: 
A.2 Usando calculadoras financeiras
As calculadoras financeiras são bastante utilizadas nas soluções de problemas de Matemática 
Financeira por terem várias equações dessa disciplina pré-programadas, facilitado os cálcu-
los.
A maioria das calculadoras financeiras possui dois grupos de funções caracterizadas 
por conjuntos de memórias e funções dedicadas ao cálculo:
 • dos juros compostos e das anuidades. Nesse grupo é comum identificar, na maioria das 
calculadoras, teclas de memória com as siglas e .
 • de fluxos de caixa descontados na análise de investimentos (estudos de viabilidade eco-
nômica). Nesse grupo se encontram as teclas de memória e operações: 
 e 
A.2.1 Marcas e modelos mais comuns
Existem no mercado diversas marcas e modelos de calculadoras financeiras da Hewlet-Pa-
ckard.
A.2.2 Juros compostos com a calculadora financeira
De um modo geral, todas as calculadoras usam os seguintes princípios:
 • S = P(1 + i)n é a equção básica que relaciona as 4 variáveis
 • Para o cálculo de qualquer uma das variáveis, basta informar as 3 variáveis conhecidas, 
digitando os valores nas respectivas memórias e, logo em seguida, clicar na tecla cor-
respondente à incógnita; como nesta última não há digitação de valores, a calculadora 
entende que deve fazer o cálculo dela em função das demais
 • corresponde ao número de períodos de tempo
 • corresponde à taxa percentual de juros
 • corresponde ao principal P (PV = Present Value)
 • corresponde ao valor da prestação R (PMT = Payment)
 • corresponde ao montante S (FV = Future Value)
Apêndice A Um pouco mais sobre calculadoras 139
Na alternativa de cálculos pré-programados, em que as variáveis descritas são utilizadas, a 
calculadora considera o princípio de fluxo de caixa em que, se alguém recebe (recebimento = 
sinal positivo) um principal, deverá pagar (pagamento = sinal negativo) um montante ou 
uma série de prestações. Por essa razão, se digitarmos na calculadora um valor positivo para 
PV e quisermos que ela calcule o PMT, a resposta apresentada será negativa. Portanto, o 
leitor deve observar que, quando for calcular a taxa ou o prazo, os sinais das variáves que 
representam valores (PV, PMT ou FV) devem ser contrários.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
DICA DO PROFESSOR
Assista ao vídeo a seguir e aprenda mais sobre o uso de calculadoras.
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EXERCÍCIOS
1) Um poupador investiu hoje R$12.000,00 em uma caderneta de poupança que rende 
0,5% a.m. e não sacará nada por 4 anos. Determine quanto será o saldo após o prazo 
de aplicação.
A) R$15.245,87
B) R$12.241,81
C) R$11.762,97
D) R$9.445,18
E) R$281,82
2)  Encontre, pela calculadora HP12C, o resultado para: 
A) 2.284,61%
B) 2,227%
C) 102,37%
D) 0,022%
E) 90,52%
3) Fernando deseja comprar um videogame daqui a 2 anos que custará R$2.000,00. 
Considerando a taxa de juros compostos de 9% a.a., determine o valor que ele deverá 
investir, hoje, para conseguir comprá-lo.
A) R$2.376,20
B) R$1.673,51
C) R$3.518,22
D) R$1.683,36
E) R$956,94
4) Determine qual será o valor dos juros obtidos se você aplicar, por 2 meses, a uma 
taxa de juros compostos de 20% a.m., os R$3.000,00 que Maria ganhou do seu pai 
para ajudar no seu casamento.
A) R$4.320,00
B) R$2.083,33
C) R$1.320,00
D) R$916,67
E) R$1.963,64
5) Se um poupador pretende sacar R$20.000,00 da sua poupança, ao fim de 5 anos, 
sendo que ele tem um saldo, hoje, de R$6.000,00, que rende a taxa de juros de 12,5% 
a.a., determine quanto que deve ser depositado anualmente para atingir o objetivo.
A) R$4.802,21
B) R$10.264,83
C) R$1.431,96
D) R$4.681,96
E) R$562,63
NA PRÁTICA
Veja a seguir um exemplo de cálculo realizado na calculadora financeira HP12C.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
HP12C
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Ferramentas de cálculo
APRESENTAÇÃO
Você conhece as funções da HP 12C? Compreende a utilidade de uma planilha eletrônica, como 
o Excel? A Matemática Financeira é aplicada diariamente em diversas transações empresariais 
para calcular taxas de juros, empréstimos, investimentos, entre outros. A HP 12C e a planilha 
eletrônica representam ferramentas de grande relevância que buscam facilitar o cotidiano das 
empresas em diversos cálculos que envolvem a Matemática Financeira.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai adquirir conhecimentos relacionados às importantes 
funções da calculadora financeira HP 12C, bem como sobre as tabelas financeiras e as planilhas 
eletrônicas, entendendo de que forma elas podem ser utilizadas e quais são as suas contribuições 
para as empresas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Utilizar a calculadora financeira HP 12C para operações básicas da matemática financeira.•
Descrever o uso de tabelas financeiras.•
Aplicar as funcionalidades das planilhas eletrônicas (Excel).•
DESAFIO
Os cálculos relacionados à Matemática Financeira podem ser aplicados com o auxílio das 
planilhas eletrônicas, desenvolvidas mediante o Excel, que fornece diversas funções à sua 
elaboração de uma forma simples, sendo muito útil para as empresas.
Suponha que você atua no setor financeiro de uma empresa em que são realizados diversos 
cálculos diários referentes ao andamento dos negócios. Frequentemente, ocorrem reuniões em 
que são apresentadas informações importantes, como, por exemplo, os saldos de estoque do 
período e o valor de cada um dos itens, com o objetivo de verificar e controlar a necessidade de 
realizar novos investimentos nos estoques ou não. 
Para que tenha mais de uma base de informações a apresentar na reunião, o 
gestor geralmente faz uso dos relatórios do sistema que a empresa utiliza, porém, na próxima 
reunião, gostaria de apresentar planilhas de Excel que confirmassem precisamente os dados. 
Desse modo, solicitou que você realizasse os cálculos em planilhas eletrônicas, levando em 
conta os seguintes elementos:
A partir do exposto, seu Desafio é elaborar uma planilha eletrônica para apresentar o saldo total 
de estoque e o valor total do período, considerando todos os produtos listados.
INFOGRÁFICO
A Matemática Financeira apresenta operações importantes que podem ser solucionadas com o 
auxílio da calculadora financeira HP 12C, cujas funções básicas permitem a resolução dos 
cálculos de maneira fácil e eficaz, contribuindo positivamente à prática cotidiana das empresas. 
Dentre os vários cálculos que realiza, estão os de percentuais, os quais apresentam as variações 
relativas à redução ou ao aumento de inflação, por exemplo.
Neste Infográfico, veja como utilizar a calculadora financeira HP 12C para solucionar cálculos 
percentuais básicos e rotineiros.
CONTEÚDO DO LIVRO
Dentro das organizações, as ferramentas de cálculo são ótimas opções para acompanhamentos, 
desde controle de estoque até relatórios financeiros. A planilha eletrônica, por exemplo, 
apresenta inúmeras funcionalidadespara o cotidiano empresarial, solucionando diversos 
cálculos, os quais podem ser apresentados de acordo com o conteúdo que se pretende 
evidenciar, de forma detalhada e por períodos, e promovendo o entendimento de modo simples e 
preciso.
No capítulo Ferramentas de cálculo, da obra Matemática Financeira, você vai entender a 
utilidade das planilhas eletrônicas para as empresas e ver como elaborá-las, inserindo fórmulas 
que viabilizem as operações. Ainda, você estudará o uso da HP 12C, identificando como essa 
calculadora pode auxiliar nos cálculos diários das empresas, do mesmo modo como as tabelas 
financeiras.
Boa leitura.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Aline Alves dos Santos
Ferramentas de cálculo
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Utilizar a calculadora financeira HP 12C para operações básicas da 
matemática financeira.
  Descrever o uso de tabelas financeiras.
  Aplicar as funcionalidades das planilhas eletrônicas (Excel).
Introdução
Neste capítulo, você poderá adquirir conhecimentos relacionados ao 
uso da calculadora financeira HP 12C, bem como conhecerá algumas 
das principais funções que facilitam calcular as operações da matemática 
financeira. Além disso, aprenderá de que forma o Excel contribui para con-
troles financeiros, bem como sobre os tipos de informação que podem ser 
inseridos nas tabelas financeiras e como podem ser controlados. Por fim, 
aprenderá como utilizar as planilhas eletrônicas e suas diversas funções. 
O uso de uma ferramenta essencial
para solucionar operações básicas
da matemática financeira: HP 12C
Conforme Tosi (2009), o uso de calculadoras fi nanceiras para a realização 
de cálculos fi nanceiros viabiliza agilidade e efi ciência no desenvolvimento, 
favorecendo às empresas em relação ao tempo que possuem disponível para 
a solução de tais questões. 
A calculadora financeira HP 12C possui duas modalidades de cálculo que 
servem para desenvolver operações aritméticas nos modos RPN (Reverse 
Polish Notation) e ALG (Algébrico). O modelo mais comum é o RPN, utilizado 
para realizar a soma entre dois números, por exemplo, para somar (5 + 2), 
é necessário usar as teclas (5) (ENTER) (2), seguidas do sinal (+). O modo 
RPN possibilita a agilidade nos cálculos. Além do modo RPN, a calculadora 
apresenta também o modo algébrico, ou seja, representa uma forma tradicional 
de realizar o cálculo, pois a soma é realizada por meio do uso das teclas (5) 
(+) (2), seguidas do sinal de igualdade. O método RPN e o método algébrico 
podem ser escolhidos pelo usuário na calculadora financeira.
De acordo com a HP, os seguintes passos podem ser executados, a fim de 
mudar a modalidade da calculadora:
Alterar o modo de ALG para RPN
Para alterar o modo de ALG para RPN, pressione . Quando a 
calculadora está no modo RPN, o indicador de status ‘RPN’ fica iluminado.
Alterar o modo de RPN para ALG
Para alterar o modo de RPN para ALG, pressione . Quando a 
calculadora está no modo ALG, o indicador de status ‘ALG’ fica iluminado.
O modo de operação permanece definido até ser alterado; isso não é sim-
plesmente alterado desligando a calculadora (HP, 2019, documento on-line).
A calculadoras HP 12C possui funções que são consideradas básicas, 
entre elas: cálculos de variações percentuais, funções financeiras básicas e 
diferenciadas. Essa calculadora permite efetuar cálculos que contemplem datas, 
definindo dias existentes entre duas datas, por exemplo, bem como somar ou 
subtrair dias a uma data determinada (GIMENES, 2009).
Cálculo de percentual efetuado com a HP 12C
Quanto representa um percentual de R$ 20,00 relativo a R$ 500,00?
Na HP 12C, pressione:
  500
  (ENTER)
  20
  (%T)
  4%
A calculadora financeira avalia o valor de R$ 500,00 como 100% e analisa quanto o 
valor de R$ 20,00 corresponde com relação aos R$ 500,00 em percentual, constatando 
que os R$ 20,00 representam 4% sobre os R$ 500,00 (TOSI, 2009).
Ferramentas de cálculo2
É importante conhecer a calculadora financeira HP 12C para aplicar corretamente os 
dados. A calculadora possui funções que são acionadas por teclas e cores, ou seja, a 
tecla (f) permite acesso às funções na cor laranja, ao passo que a tecla (g) aciona as 
funções em azul. As funções primárias da calculadora financeira são representadas 
pelas teclas consideradas básicas e estão demonstradas na cor branca. As teclas 
numéricas apresentadas por 1, 2, 3, 4, 5..., por exemplo, representam somente uma 
função secundária (GIMENES, 2009).
Em geral, os cálculos realizados na calculadora e que envolvem a matemática 
financeira utilizam 4 (quatro) casas decimais após a vírgula. Para definir as 4 
casas decimais, é necessário, com a calculadora ligada, pressionar a tecla (f) 
e, depois, a tecla (4). Após a configuração da quantidade das casas decimais, 
o visor apresentará 0.0000 (GIMENES, 2009).
Conforme Gimenes (2009), alguns cálculos envolvem números negativos, 
e é necessário que a apresentação da operação atenda a essa exigência. Bus-
cando modificar o sinal de um número distinto de zero, é preciso pressionar a 
tecla (CHS), que significa change signal, ou “mudança de sinal”. Para trocar 
o sinal, por exemplo, poderá ser realizada a seguinte operação: 10 (CHS), de 
modo que o visor já apresentará a forma correta do sinal, evidenciando −10.
Quando for necessário apagar um número que aparece no visor, será preciso 
pressionar a tecla (CLx), pois essa função faz o número do visor ser elimi-
nado, permitindo que outro seja inserido. No entanto, se for preciso apagar os 
números existentes na memória da HP 12C, será preciso pressionar as teclas 
(f) (CLx) (GIMENES, 2009).
Funções financeiras básicas da HP 12C
Quando se adquire um produto que foi fi nanciado, estão sendo envolvidas 
quatro variáveis: o valor fi nanciado, o período ou a quantidade de parcelas, a 
taxa de juros e o valor das parcelas. 
As variáveis também estão envolvidas em outra situação, como, por exem-
plo, quando um investidor realiza uma aplicação mensal, a fim de resgatá-la 
futuramente. Nessa situação, as variáveis correspondem ao valor dos pagamen-
tos realizados mensalmente, à taxa de juros acordada para esse investimento, 
ao período estimado e ao valor futuro ou montante decorrente da aplicação 
(GIMENES, 2009).
3Ferramentas de cálculo
O Quadro 1 apresenta algumas funções que são consideradas fundamentais 
para a resolução de cálculos financeiros.
 Fonte: Adaptado de Gimenes (2009). 
Do inglês Tradução
Grupo 1 Present value Valor presente
Payments Pagamentos/
parcelas
Future value Valor futuro
Grupo 2 Interest rate Taxa de juros
Number of periods Número de 
períodos
 Quadro 1. Funções financeiras básicas da HP 12C 
O Quadro 1 demonstra os dois grupos, já que as operações financeiras 
envolvem o valor presente, os valores pagos e o valor futuro, que “[…] estão 
em função de um tempo e de uma taxa de juros periódica. Essa preparação é 
simbólica e de caráter didático [...]” (GIMENES, 2009, p. 43).
No Grupo 1, as teclas são definidas para cada função, conforme segue 
(GIMENES, 2009):
  (PV): a tecla representa o valor presente no período zero. Também é 
denominado capital, valor principal, valor investido e valor original.
  (PMT): corresponde ao valor das parcelas ou dos pagamentos/recebi-
mentos, sendo um valor fixo.
  (FV): representa o valor futuro da operação, sendo também denominado 
montante, valor total ou de resgate.
Ferramentas de cálculo4
Independentemente da operação financeira que for calculada, o tempo e a taxa 
obrigatoriamente devem estar na mesma base (GIMENES, 2009):
  meses = taxa mensal; 
  bimestre = taxa bimestral;
  trimestre = taxa trimestral;
  semestre = taxa semestral;
  ano = taxa anual.
No Grupo 2, as teclas também possuem uma função (GIMENES, 2009):
  (i): essa tecla é utilizada para o cálculo da taxa, podendo ser relativa 
aos juros, ao retorno, ao rendimento, entre outros.
  (n): essa teclaserve para o cálculo das operações que envolvem o período 
ou o tempo, em dias, meses, bimestres, trimestres, anos, entre outros.
Cálculo de operações financeiras efetuado com a HP 12C
Para apresentar o valor dos juros relacionado a um investimento aplicado no valor 
de R$ 16.000,00 durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, considerando-se uma taxa de 36% 
ao ano, é necessário destacar que a taxa está na mesma base, mas é preciso ajustar o 
tempo para dias, por se tratar de um cálculo de juros simples:
  2 anos = 720 dias;
  4 meses = 120 dias;
  10 dias = 10 dias;
  Soma dos dias = 850 dias.
Na HP 12C, pressione as teclas:
  (f) (CLx)
  16.000 (CHS) (PV)
  36 (i)
  850 (n)
  (f) (int) (+) → visor : “13.600,00”
A partir do cálculo realizado neste exemplo, é visível que, em 2 anos, 4 meses e 10 
dias, o valor investido de R$16.000,00 terá um rendimento de juros de R$ 13.600,00 
(TOSI, 2009).
5Ferramentas de cálculo
Antes de realizar o cálculo na HP 12C, é preciso inserir a letra (C) no visor. Essa função 
fará com que a calculadora entenda que todo o período inserido pela tecla (n) será 
considerado como juros compostos (TOSI, 2009).
Para saber como incluir a letra C no visor da HP 12C, leia o seguinte trecho:
A HP 12C resolve problemas em qualquer uma das convenções acima. 
Para isso, quando o período n é um número fracionário, é indispensável 
verificar se no visor está aparecendo ou não a letra C. A letra C pode 
ser colocada ou retirada do visor pressionando-se as teclas STO EEX. 
Calculadora HP 12C (UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA, 
2018, documento on-line).
Cálculo do montante na HP 12C:
Apresentaremos o valor futuro, considerando que foi aplicado R$ 5.000,00 durante 24 
meses a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês.
Na HP 12C, pressione as teclas:
  (f) (CLx)
  5.000 (CHS) (PV)
  24 (n)
  1,5 (i)
  (FV) → visor : “7.147,51”
Este exemplo demonstra o valor apresentado como montante, ou seja, o valor 
futuro realizado na HP 12C.
Ao utilizar a calculadora financeira HP 12C, é possível realizar vários 
cálculos, pois suas teclas podem possuir, cada uma, até três funções diferen-
tes, que se diferenciam pelas seguintes cores: branco, azul e amarelo. A HP 
12C está entre as calculadoras mais utilizadas, em virtude da praticidade que 
ela proporciona aos seus usuários e pelo número de funções que apresenta 
(TOSI, 2009).
Ferramentas de cálculo6
Utilizando tabelas financeiras
De acordo com Bruni e Fama (2012), as tabelas ou planilhas fi nanceiras, como 
também são denominadas, são fundamentais para qualquer empresa, pois seu 
uso refl ete efeitos positivos para o controle dos negócios e, em consequência, 
na tomada de decisões.
Por meio do uso das tabelas financeiras, as empresas possuem uma visão 
ampla sobre a entrada e a saída dos recursos monetários, evidenciando se a 
empresa está no caminho traçado ou se pode estar em risco, ou seja, com 
dificuldades financeiras. O uso das tabelas financeiras vai além do controle 
sobre os recursos monetários, uma vez que, por meio delas, pode ser realizado 
também o controle de estoques que a empresa possui, por exemplo.
Para que as tabelas financeiras apresentem a funcionalidade esperada, é 
importante que exista disciplina com relação aos dados informados, ou seja, 
todas as receitas e despesas devem ser inseridas na tabela diariamente ou com 
uma frequência estipulada de acordo com as particularidades da empresa.
Dentre algumas das tabelas financeiras que são utilizadas pelas empresas, 
estão as listadas a seguir:
  Fluxo de caixa: apresenta todas as entradas e saídas de dinheiro con-
forme um período definido, permitindo, dessa forma, que se tenha um 
entendimento sobre a rentabilidade e a viabilidade em comparativo 
com o que se espera pela empresa. O fluxo de caixa corresponde a 
uma prática que precisa ser analisada continuamente, pois é de grande 
utilidade à tomada de decisões (SAMANEZ, 2010).
  Controle de estoques: com o uso da tabela financeira no controle de 
estoques, é possível obter o controle referente à quantidade de produtos 
e aos seus valores, tanto unitários quanto totais. Mediante esse controle, 
a empresa poderá contatar fornecedores, se for preciso adquirir mais 
produtos (SZABO, 2015).
  Tabela financeira de gastos diários: é uma planilha considerada ideal 
para pessoas jurídicas ou físicas que precisam fazer um planejamento e têm 
uma visão mais ampla referente às suas receitas e despesas (SZABO, 2015).
  Orçamento organizacional: o orçamento pode ser controlado por meio 
das tabelas financeiras, porém, é preciso um controle bastante rígido 
para que se tenha bons resultados, pois é um controle essencial que 
todas as empresas necessitam realizar. A tabela pode ser elaborada e 
monitorada em períodos mensais, mas também pode ser desenvolvida, 
a fim de controlar as informações em períodos trimestrais e semestrais, 
7Ferramentas de cálculo
ou seja, conforme a necessidade que a empresa possui, permitindo que 
seja visualizado se as receitas e despesas previstas estão de acordo com 
as realizadas dentro do período em análise (SZABO, 2015).
Conforme o modelo adotado pela empresa, será possível fazer uma adaptação 
dos números e das variáveis de acordo com a realidade empresarial, a fim de 
atender às suas necessidades, levando em consideração o segmento em que 
a empresa atua. A tabela financeira permite um comparativo entre os dados, 
possibilitando, assim, a elaboração de estratégias, se necessário (SZABO, 2015).
Conforme Gitman e Zutter (2017), as tabelas financeiras são elaboradas a 
fim de demonstrar diferentes execuções das tabelas financeiras. Por meio das 
tabelas financeiras, podem ser calculadas as anuidades mediante à tabela de 
fatores de juros elaborada a partir de uma planilha financeira.
Gitman e Zutter (2017, p. 142) afirmam, com relação à finalidade das 
tabelas financeiras, que:
Os fatores contidos na tabela são construídos somando-se os fatores de valor 
futuro para o número apropriado de anos. Por exemplo, o fator para a anuidade 
do exemplo precedente é a soma dos fatores dos cinco anos (anos 4 a 0): 1,311 
+ 1,225 + 1,145 + 1,070 + 1,000 = 5,751. Como os depósitos são feitos no final 
de cada ano, eles rendem juros a partir do final do ano em que cada um ocorre 
até o final do ano 5. Portanto, o primeiro depósito rende juros por quatro anos 
(final do ano 1 até o final do ano 5), e o último depósito rende juros por zero ano.
Gitman e Zutter (2017, p. 673) esclarecem quando usar e qual a finalidade 
de cada uma das tabelas financeiras (A-1, A-2, A-3 e A-4), conforme a Figura 1.
Figura 1. Tabelas financeiras.
Fonte: Gitman e Zutter (2017, p. 673).
Ferramentas de cálculo8
As tabelas financeiras contemplam fatores de valor futuro e valor presente 
que resumem os cálculos relativos ao valor do dinheiro ao longo do tempo. 
Sabe-se que os valores evidenciados nas tabelas financeiras podem ser adqui-
ridos mediante fórmulas que possuem distintos graus de arredondamento. Em 
geral, as tabelas financeiras são ordenadas conforme a taxa de juros (colunas) 
e por períodos (linhas) (GITMAN; ZUTTER, 2017).
Entendendo as funções das planilhas 
eletrônicas (Excel)
Conforme Gimenes (2009), as operações realizadas no Excel utilizam fór-
mulas que são inseridas nas células por meio de alguns comandos. Indepen-
dentemente da operação que será aplicada, isso somente poderá ser possível 
após a inclusão de uma fórmula na célula pretendida. Através da fórmula 
inserida, poderão ser calculadas operações simples e complexas, equiparar 
valores e combinar valores e funções. Para que a fórmula apresente o valor 
esperado, é necessário inserir o sinal de igual (=) antes de qualquer fórmula 
digitada na célula.
Exemplo 1: operações que não possuem a combinação 
entre as células
Observa que a Figura 2, a seguir, apresenta a célula B1 com a fórmula “= 
(2,7 + 4) * 2”. A operação apresenta valores absolutos que foram inseridos de 
forma direta na fórmula; nessecaso, a coluna “A” seria desconsiderada e está 
apenas agregando o raciocínio (GIMENES, 2009).
Figura 2. Cálculos no Excel.
Fonte: Gimenes (2009, p. 55).
9Ferramentas de cálculo
De acordo com Gimenes (2009, p. 56), “[...] o logaritmo deve ser introduzido 
na fórmula. Esse processo é simples, pois basta digitar ln seguido do número 
ou da expressão entre parênteses [...]”. É possível afirmar que por meio do 
Excel, mediante o uso de fórmulas, diversos cálculos podem ser desenvolvidos.
Exemplo 2: operações com logaritmos resolvidas 
com o uso de planilha eletrônica
A Figura 3 apresenta um exemplo de cálculos realizados em planilha eletrônica 
que envolvem logaritmos, sendo possível observar como aplicar a fórmula na 
planilha. A resolução dos exemplos e os resultados tiveram por base os dados 
informados a seguir:
1. Ln 5,24
2. Ln (1,22)5
3. Ln (1+0,14)12
4. Ln (1,07x3,03)
5. Ln (1,36)4 + ln (1,04)2
Figura 3. Operações no Excel.
Fonte: Adaptada de Gimenes (2009).
A Figura 3 evidencia de que modo a fórmula deve ser aplicada na célula 
e, posteriormente, os resultados apresentados a partir das fórmulas inseridas.
Dentre as diversas funções que o Excel possui, uma delas envolve a variação 
percentual existente entre dois valores. O valor sempre partirá de um antigo 
para o novo, ou o contrário, independentemente da situação.
Ferramentas de cálculo10
Exemplo 3: variação percentual
Uma família tinha uma renda familiar no período de X1 referente a R$ 
5.000,00. Atualmente, no período X2, a nova renda dessa família passou a 
ser R$ 5.680,00. Considere os dados apresentados e avalie a fórmula necessária 
para calcular a variação percentual, com base na renda familiar apresentada 
na Figura 4.
Figura 4. Operações no Excel: variação percentual.
Fonte: Adaptada de Gimenes (2009).
A matemática financeira também pode calcular a partir de fórmulas apli-
cadas nas planilhas eletrônicas. Dentre os cálculos possíveis estão o valor 
presente, o valor futuro, a taxa e os períodos, por exemplo, que também podem 
ser encontrados no Excel, mediante o uso de fórmula específica. Para utilizar 
as fórmulas existentes no Excel, basta acessar o campo “Assistente de funções” 
e escolher qual fórmula será utilizada (TOSI, 2009).
Ao acessar a opção “Assistente de funções”, abrirá uma janela do Excel 
que permitirá selecionar dentro do campo “Categoria” o tipo de fórmula que 
se pretende utilizar. No caso de cálculos relacionados à matemática financeira, 
é preciso escolher a opção “Financeiras” e, posteriormente, escolher, na opção 
“Função”, a fórmula relativa ao que se pretende descobrir, conforme o exemplo 
a seguir (CONFORTIN; LAZO, 2014).
11Ferramentas de cálculo
Exemplo 4: valor futuro
Ana economizou R$ 1.800,00 e procurou uma instituição fi nanceira para aplicar 
esse valor. O gerente da instituição fi nanceira sugeriu a Ana que aplicasse o 
valor a uma taxa prefi xada de 0,9% ao mês, porém ele não relatou para ela 
qual o valor que ela teria ao fi m de 20 meses. A situação que apresenta o valor 
que Ana receberá no término do período está na Figura 5.
A Figura 5 demonstra onde acessar o “Assistente de funções” no Excel, 
evidenciando onde se escolhe qual fórmula utilizar para cada operação. 
Figura 5. Valor futuro.
Fonte: Confortin e Lazo (2014, documento on-line).
A Figura 5 evidencia de que forma é possível realizar o cálculo do valor 
futuro na planilha eletrônica. O Excel apresenta diversas funções que são 
indicadas para cada tipo de cálculo. 
A Figura 6 apresenta, de forma prática, a visualização sobre as funções 
do Excel a partir do cálculo.
Ferramentas de cálculo12
Figura 6. Acessando o “Assistente de funções”.
Fonte: Confortin e Lazo (2014, documento on-line).
A Figura 6 demonstra as funções que podem ser usadas no Excel, buscando 
desenvolver cálculos da matemática financeira; nesse caso, os valores são 
digitados de forma direta na barra de fórmulas do Excel.
Posterior à escolha da fórmula de cálculo para VF (valor futuro), conforme 
evidenciado na Figura 6, a seguinte fórmula deve ser inserida (Excel Total 
Básico e Avançado (ESPÍRITO SANTO, 2018). 
=vf(taxa;nper;pgto;vp;tipo)
Conforme Bruni e Fama (2012), além dos exemplos demonstrados rela-
cionados a cálculos que podem ser resolvidos pelas planilhas eletrônicas, é 
possível afirmar que estas são ferramentas de grande importância também 
para empresas que necessitam realizar um adequado controle de estoques. 
O controle de estoques é imprescindível para qualquer empresa, independen-
temente do seu tamanho. Muitas empresas fazem uso das planilhas eletrônicas 
13Ferramentas de cálculo
para monitorar seus estoques, já que, por meio dessa ferramenta, é possível 
criar colunas específicas que permitem inserir nas células os diversos tipos 
de produtos, as quantidades de produtos que entraram na empresa, bem como 
as quantidades que saíram da empresa, além dos valores unitários conforme 
cada produto e os valores totais de estoques.
O controle de estoques deve estar dentro do planejamento empresarial, sendo 
preciso evidenciar que um apropriado controle pode refletir na melhoria dos 
processos da empresa. Por meio da planilha eletrônica, a empresa insere os 
dados, que são, então, transformados em informações relevantes, o que resulta 
na redução excessiva de produtos em estoque, evitando, dessa forma, que se 
tenham gastos com produtos que não estão tendo demanda, por exemplo. Com 
a quantidade de estoques controlada, a empresa poderá encaminhar os recursos 
que seriam gastos para outros setores (BRUNI; FAMA, 2012).
Com relação ao conteúdo abordado sobre as funcionalidades das planilhas 
eletrônicas, torna-se possível entender sobre métodos para realizar cálculos 
e controles por meio dessa importante ferramenta, a qual pode ser utilizada 
a favor dos seus usuários, que podem ser tanto pessoas físicas como pessoas 
jurídicas, já que permite a previsão de valores futuros, taxas de juros, por exem-
plo, evidenciando a evolução do dinheiro ao longo do tempo e seus resultados. 
O Excel pode ser utilizado como uma boa opção que visa a contribuir com 
as empresas, pois permite estimar possíveis dificuldades e tomar as decisões 
mais adequadas para os negócios (BRUNI; FAMA 2012).
BRUNI, A. L.; FAMA, R. Gestão de custos e formação de preços. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
CONFORTIN, C. F.; LAZO, O. P. D. Planilha eletrônica: uma ferramenta para o ensino da 
matemática financeira. 2014. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/
portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2014/2014_unioeste_mat_artigo_ce-
sar_frederico_confortin.pdf. Acesso em: 28 jul. 2019.
ESPÍRITO SANTO. Excel total básico e avançado: trilha conhecimento em rede. 2018. 
Disponível em: https://esesp.es.gov.br/Media/esesp/Apostilas/APOSTILA%20COM-
PLETA%20-%20EXCEL%20TOTAL.pdf. Acesso em: 28 jul. 2019.
Ferramentas de cálculo14
GIMENES, C. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
GITMAN, L. J.; ZUTTER, C. J. Princípios da administração financeira. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2017. 
HP. Calculadora financeira HP 12c Platinum: modos de operação e procedimentos de 
limpeza. 2019. Disponível em: https://support.hp.com/br-pt/document/c02089539. 
Acesso em: 28 jul. 2019.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
SZABO, V. Gestão de estoques. São Paulo: Pearson, 2015.
TOSI, A. J. Matemática financeira com utilização da HP-12C. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA. Calculadora HP 12C. [2018]. Disponível em: http://
www.mat.ufba.br/disciplinas/financeira/utiliz_hp.pdf. Acesso em: 28 jul. 2019.
Leituras recomendadas
DAL ZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
HIGGINS, R. C. Análise para administração financeira. 10. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
MEGLIORINI, E. Administração financeira. São Paulo: Pearson, 2012.
ROSS, S. A. et al. Administração financeira: versão brasileiras de corporate finance.10. 
ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
TEIXEIRA, C. F. P.; COELHO NETO, J. O uso das tecnologias digitais para o ensino de 
matemática financeira: uma revisão sistemática de literatura. Revista Renole, Porto 
Alegre, v. v. 14, n. 2, p. 1–10, 2016. Disponível em: https://seer.ufrgs.br/renote/article/
view/70673/40110. Acesso em: 28 jul. 2019.
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica: princípios e aplicações. 
São Paulo: Blucher, 2013.
WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012.
15Ferramentas de cálculo
DICA DO PROFESSOR
As tabelas financeiras são úteis tanto para pessoas físicas quanto para pessoas jurídicas, pois 
podem ser elaboradas visando ao controle dos recursos monetários, permitindo, assim, que se 
gerencie de forma correta a aplicação do dinheiro. Nesse sentido, os controles efetuados 
mediante as tabelas financeiras apresentam indicativos de onde o dinheiro está sendo aplicado, 
evidenciando, por exemplo, as receitas e as despesas de um período estipulado.
Saiba mais sobre essa importante ferramenta, assistindo à Dica do Professor a seguir.
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EXERCÍCIOS
1) As empresas têm as tabelas financeiras como uma ferramenta de gestão a fim de 
controlar de forma adequada seus recursos financeiros. Essas tabelas auxiliam no 
controle orçamentário, mantendo a empresa mais organizada.
A partir dos tipos de tabelas financeiras e de suas descrições, assinale a alternativa 
correta:
A) Dentre as planilhas financeiras usadas pelas empresas, está o fluxo de caixa, o qual 
necessita ser verificado de forma constante.
B) O fluxo de caixa representa uma das tabelas financeiras usadas pelas empresas e evidencia 
somente as entradas de dinheiro.
C) O orçamento empresarial é um modelo de tabela financeira usado pelas empresas que 
permite o controle mensal apenas.
O orçamento empresarial é uma tabela financeira utilizada pelas empresas para fiscalizar D) 
as receitas e as despesas que ainda não ocorreram, mas que estão previstas.
E) A tabela financeira de gastos diários é avaliada como essencial, tanto para pessoas 
jurídicas quanto para pessoas físicas que necessitam fazer um planejamento e ter uma 
visão mais curta.
2) Para solucionar operações e facilitar a elaboração de cálculos, a Matemática 
Financeira utiliza a calculadora HP 12C, cujo sistema a partir de siglas permite ao 
usuário escolher uma função para realizar os cálculos de modo rápido.
Com base nas funções básicas da HP 12C, assinale a alternativa correta:
A) As funções financeiras da HP 12C envolvem três variáveis, que se referem ao tempo, ao 
valor financiado e à taxa de juros.
B) Entre as funções básicas da HP 12C, está o valor futuro, que representa o mesmo que valor 
principal.
C) O grupo 1 das funções básicas da HP 12C contempla a taxa de juros.
D) No grupo 1 das funções básicas da HP 12C, considera-se, dentre outras opções, o valor 
futuro.
E) O valor presente está evidenciado como variável e pertence ao grupo 2 da HP 12C.
3) A HP 12C tem diversas funções, sendo necessário conhecer todas elas para obter 
êxito ao utilizá-la. Cada uma das teclas constantes na calculadora representa uma 
função que busca calcular o valor presente, o valor futuro, a taxa de juros, entre 
outros elementos relevantes para seus usuários.
Referente à cada função (tecla) apresentada pela HP 12C, assinale a alternativa 
correta:
A) A tecla (i) é usada para calcular o período.
B) A tecla (PMT) se refere ao cálculo das parcelas fixas.
C) A partir da tecla (n) é possível encontrar os períodos que podem ser apresentados somente 
em meses.
D) A tecla (PV) possibilita calcular valores relacionados aos juros para um período específico.
E) A tecla (FV) não pode ser usada para calcular valores de resgates.
4) As empresas fazem uso das planilhas eletrônicas desenvolvidas no Excel, onde são 
inseridas fórmulas específicas para cada operação. O Excel é um instrumento usado 
diariamente pelas empresas que procuram organizar suas contas de forma adicional, 
ou seja, além dos programas usuais que já possuem.
Sobre as planilhas eletrônicas, assinale a alternativa correta:
A) As planilhas eletrônicas têm células, que são identificadas por letras, números e colunas, 
que não podem ser modificadas.
B) Independente da operação que vai ser executada na planilha eletrônica, ela só será possível 
depois de inserida uma fórmula na célula escolhida.
C) A fórmula inserida na planilha eletrônica permite cálculos apenas de operações complexas.
D) Para que a fórmula da planilha eletrônica funcione e apresente o cálculo esperado, é 
preciso que seja inserido antes dela o sinal de multiplicação (x).
E) As planilhas eletrônicas permitem fazer a comparação e a combinação de valores, mas 
impedem a combinação de funções. 
5) As tabelas financeiras, denominadas também de planilhas financeiras, são 
consideradas fundamentais para as empresas. Por meio delas, é possível registrar 
todos os gastos diários e analisar criteriosamente onde está sendo aplicado o dinheiro.
Quanto à utilização das tabelas financeiras, assinale a alternativa correta:
A) O uso das tabelas financeiras se restringe ao controle sobre os recursos monetários.
B) Para que as tabelas financeiras sejam funcionais, é preciso que exista indisciplina no que 
se refere às informações prestadas.
C) As receitas e as despesas inseridas na tabela financeira devem ser informadas diariamente 
ou conforme a necessidade de cada empresa.
D) O ramo de atuação da empresa é irrelevante no uso das tabelas financeiras.
E) Por meio da tabela financeira, a empresa fica impedida de comparar dados, ou seja, este é 
um ponto negativo da ferramenta, impossibilitar a elaboração de novas estratégias.
NA PRÁTICA
A calculadora financeira HP 12C permite que diversos cálculos sejam resolvidos de 
forma prática e rápida. Para melhor aproveitamento, é preciso que se tenha conhecimento sobre 
as suas funcionalidades, ou seja, que se conheçam as principais teclas e a forma de utilizá-las, 
conforme cada operação.
Na Prática, por meio de um estudo de caso, veja como utilizar essa ferramenta para cálculos 
básicos, os quais tornam o cotidiano das empresas mais eficiente.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Introdução à HP 12C: funções básicas
O uso da calculadora financeira HP 12C permite desenvolver cálculos financeiros de forma fácil 
e eficiente, sendo de grande utilidade para cálculos mais complexos ou que contemplem 
números de grandeza significativa. No vídeo a seguir, aprenda algumas funções básicas dessa 
ferramenta.
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Planilha eletrônica: juro simples
As planilhas eletrônicas permitem cálculos de juros simples e compostos, auxiliando as 
empresas no entendimento a respeito dos valores que elas precisam pagar sobre cada operação 
realizada ou mesmo a fim de tomar decisões relevantes. No vídeo a seguir, veja passo a passo 
como criar uma planilha eletrônica para calcular juro simples e montante.
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Elaborando tabelas financeiras inteligentes
Uma tabela financeira é representada por um conjunto de linhas e colunas que contêm células 
onde são inseridas informações necessárias aos cálculos que serão resolvidos. Acesse o link a 
seguir e veja como construir essas tabelas.
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O uso das tecnologias digitais para o ensino de Matemática Financeira: uma revisão 
sistemática de literaturas
As operações financeiras fazem parte do cotidiano das pessoas, principalmente em suas práticas 
de consumo. Por isso, o artigo apresentado na sequência buscou investigar de que forma e quais 
são as tecnologias digitais para o ensino da Matemática Financeira, destacando a planilha 
eletrônica. Aproveite a leitura.
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Simbologia
APRESENTAÇÃO
A Matemática Financeira tem grande importância no dia a dia das pessoas, empresas, 
instituições financeiras, entre outros. Conhecê-la ajuda a superar obstáculos, a tomar decisões 
mais acertadas, a identificar as melhores operações e negociações, bem como a administrar 
melhor o próprio dinheiro.
Para compreender o universo do mercado financeiro, é preciso conhecer ferramentas como as 
entradas e as saídas monetárias, demonstradas por fluxo de caixa e por cálculos que ajudam a 
decidir as melhores opções de investimentos e de pagamentos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá as principais diferenças entre juros simples e 
compostos, simbologias utilizadas na Matemática Financeira e como representar graficamente 
as entradas e as saídas, as aplicações e os pagamentos por meio do diagrama de um fluxo de 
caixa.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar o fluxo de caixa.•
Descrever a terminologia utilizada na Matemática Financeira.•
Diferenciar os regimes de capitalização.•
DESAFIO
Na Matemática Financeira, é possível realizar cálculos a juros simples ou compostos. Primeiro, 
aplica-se todos os conhecimentos de juro simples e, após esse entendimento, trata-se de estudar 
o juro composto.
Suponha que você trabalha em uma empresa que está em grave crise financeira e isso tem 
afetado a sua vida.
Com base nessas informações, calcule o valor do último 
pagamento do empréstimo a ser realizado e o valor pago pelos 
R$ 2.800,00 emprestados.
INFOGRÁFICO
O fluxo de caixa é uma importante ferramenta para identificar entradas 
e saídas de dinheiro com a finalidade de prever futuros fluxos positivos ou negativos de caixa e 
poder honrar os compromissos. O fluxo de caixa tipo fluxograma é um diagrama que 
demonstra, em determinado período de tempo, qual a estratégia e a melhor decisão a ser 
tomada. 
Veja, no Infográfico, um pouco mais sobre o fluxo de caixa e 
o fluxograma.
CONTEÚDO DO LIVRO
São inúmeras as aplicações da Matemática. Elas auxiliam nas tomadas de decisões e na 
resolução de problemas de ordem financeira, fluxos de caixa com entradas e saídas de dinheiro, 
rendimentos, poupança, empréstimos, enfim, tudo relacionado a dinheiro. 
No capítulo Simbologia, do livro Matemática Financeira, você poderá aprofundar seus 
conhecimentos em fluxo de caixa, terminologias e as diferenças entre capitalizações simples e 
compostas.
Boa leitura.
Matemática 
Financeira
Adriana Claudia Schmidt 
Simbologia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar o fluxo de caixa.
  Descrever a terminologia utilizada na matemática financeira.
  Diferenciar os regimes de capitalização.
Introdução
Entender um fluxo de caixa, as simbologias utilizadas na matemática e 
saber diferenciar entre capitalização simples e composta é extremamente 
importante para o bom desempenho em várias atividades relacionadas 
a cálculos financeiros.
Neste capítulo, você entenderá as diversas aplicabilidades da mate-
mática financeira, uma área da matemática que trabalha e desenvolve 
assuntos relacionados diretamente com o dia a dia do administrador, 
empreendedor, contador e demais profissionais. Por fim, relacionará con-
ceitos importantes dentro da matemática financeira e suas aplicabilidades. 
Convenções básicas do fluxo de caixa
Para representar um fl uxo de caixa utiliza-se uma linha horizontal, que re-
presenta o tempo, com fl echas voltadas para cima e para baixo, em que as 
fl echas voltadas para cima representam entradas, e as fl echas voltadas para 
baixo, as saídas. Para Puccini e Puccini (2006, p. 1), “[...] denomina-se fl uxo de 
caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. 
Podemos ter fl uxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de 
operações fi nanceiras, etc.”. A Figura 1, a seguir, traz a representação de um 
diagrama de fl uxo de caixa.
Figura 1. Representação de um fluxo de caixa. 
Diversas situações que envolvem juros, capitais, montantes e rendas certas 
(antecipadas, postecipadas e diferidas) têm uma resolução facilitada, desen-
volvendo um melhor entendimento por meio das representações por diagrama 
de fluxo de caixa.
Os diagramas a seguir demonstram as diferentes situações de fluxos de 
caixa, e os dois próximos exemplos correspondem a problemas que relacionam 
capitais e montantes.
Tânia faz um investimento no valor de R$ 80.000,00. Após 5 meses, Tânia recebeu R$ 
100.000,00. O diagrama a seguir representa essa situação.
Simbologia2
O diagrama a seguir representa o empréstimo que Ana Maria adquiriu, no valor de R$ 
35.000,00, pelo qual terá de pagar R$ 50.000,00 após 6 meses.
O diagrama do exemplo a seguir descreve um capital com uma série de 
termos de uma renda.
Carlos decide investir R$ 40.000,00 em novos produtos para a sua empresa, sendo 
que este valor irá retornar em duas parcelas bimestrais de R$ 22.000,00, vencendo a 
primeira após 4 meses do investimento. O diagrama a seguir representa essa situação.
Por meio das exemplificações dadas anteriormente, é possível afirmar que 
um fluxo de caixa é a movimentação de recursos financeiros por determinado 
período de tempo, ou seja, nada mais é do que a entrada e a saída de dinheiro. 
Pode-se concluir também que o fluxo de caixa é a representação gráfica das 
transações financeiras em um determinado espaço de tempo.
3Simbologia
Por meio do diagrama de um fluxo de caixa, é possível fazer análises e previsões de 
investimentos, além de auxiliar nas tomadas de decisões.
Terminologias e suas aplicações
Dentro da matemática fi nanceira, muitos símbolos são utilizados, e é necessário 
que você os reconheça. Neste capítulo, você identifi cará os principais símbolos, 
abreviaturas e conceitos importantes da área fi nanceira.
Primeiramente, é preciso entender que, quando se fala em capitalização 
simples e composta, fala-se de juros simples e compostos, e ambos utilizam 
a mesma terminologia para capital, montante, juros, taxas de juros, período 
de tempo, entre outros. 
A porcentagem tem um importante papel na matemática financeira, pois, 
quando se trabalha com aplicação de fórmulas, é preciso trabalhar com a forma 
decimal do número, diferentemente de quando se calcula com a calculadora 
HP 12c, em que se introduz o número na forma percentual. É preciso ter 
cuidado com o símbolo % (lê-se por cento), uma vez que ele representa uma 
divisão por 100, ou seja, 4% corresponde a (taxa centesimal), que também 
é o mesmo que 0,04 (taxa decimal ou unitária). O conceito de porcentagem é 
extremamente importante para a aplicação nas taxas de juros.
Conforme Assaf Neto (2012, p. 2), “[...] a transformação da taxa percentual 
em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual 
por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 
100”. Desse modo, para transformar uma taxa percentual em unitária, basta 
dividir o número por 100, ao passo que para transformar uma taxa decimal 
em percentual, basta multiplicá-la por 100.
Taxa de juros
A taxa de juros tem uma importante função nas capitalizações simples e 
compostas. De acordo com Assaf Neto (2012, p. 1), “[...] a taxa de juro é o 
coefi ciente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital 
utilizado durante certo tempo”.
Simbologia4
Outro cuidado que é preciso ter com as taxas de juros é com a determina-
ção conforme a unidade de tempo, que vem sempre definida com a seguinte 
terminologia:
  a.a. – ao ano;
  a.m. – ao mês;
  a.d. – ao dia;
  a.b. – ao bimestre;
  a.t. – ao trimestre;
  a.q. – ao quadrimestre;
  a.s. – ao semestre;
  a.p. – ao período.
As mais usuais são ao mês e ao ano, e a terminologia “ao período” refere-se 
a um período que não corresponde ao mês ou ao ano, mas sim a um tempo 
não inteiro, como, porexemplo, ao período de 23 dias. É fundamental que 
a taxa e o tempo estejam na mesma unidade. Por exemplo, se a taxa estiver 
ao mês, o tempo terá de ser mensal, se a taxa estiver ao ano, o tempo terá de 
ser anual, e assim sucessivamente. Se não estiverem na mesma unidade de 
tempo, você deverá transformar uma das unidades, deixando-as equivalentes.
A taxa de juros é representada pela letra “i”. Ao substituí-la em alguma 
fórmula, utilize sempre a taxa unitária (centesimal), ou seja, se i = 2,5% a.s., 
na fórmula você utilizará 0,025 (2,5 ÷ 100).
Veja alguns exemplos de transformações de taxas.
1. Transforme as taxas percentuais em unitárias:
 ■ 22% = 22 ÷ 100 = 0,22
 ■ 15,3% = 15,3 ÷ 100 = 0,153
 ■ 0,8% = 0,8 ÷ 100 = 0,008
2. Escreva as taxas percentuais correspondentes a:
 ■ 0,6 = 0,6 × 100 = 60%
 ■ 3,31 = 3,31 × 100 = 331%
 ■ 4 = 4 × 100 = 400%
5Simbologia
Tempo
O tempo é o período de capitalização dos juros. Pode ser expresso em dias, 
meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres e anos. Lembre-se de 
que o tempo deve estar na mesma unidade da taxa de juros; se não estiver, 
você terá de transformá-lo. O tempo pode ser representado pela letra “n” 
minúscula, que representa o número de períodos, ou “t”. É viável que você 
utilize a letra n, pois é a tecla correspondente ao tempo na máquina HP 12c.
Veja os exemplos a seguir.
a) Um ano e meio corresponde a quantos meses? Dezoito meses.
b) Dois trimestres correspondem a quantos quadrimestres? Um quadrimestre e meio (1,5).
c) Seis meses correspondem a quantos bimestres? Três bimestres (pois cada bimestre 
tem 2 meses).
Capital
Capital, valor principal, valor atual ou valor presente signifi cam a mesma 
coisa, ou seja, é o valor que você tem hoje, o valor que quer aplicar, investir. 
Segundo Veras (2005, p. 53), “[...] qualquer quantidade de dinheiro, que esteja 
disponível em certa data, para ser aplicado numa operação fi nanceira, recebe 
o nome de capital, valor atual ou valor presente”. Em geral, é representado 
pela letra C, P ou PV. Neste capítulo, utilizaremos o PV, pois é a simbologia 
mais comum em cursos de graduação, por ser a mesma terminologia utilizada 
nas máquinas fi nanceiras, como na HP 12c (Figura 2).
Figura 2. Imagem da máquina HP 12c.
Simbologia6
Juros
O juro é a remuneração em relação ao capital aplicado, ou seja, se você investir 
certo valor durante um determinado tempo, receberá juros correspondente 
a esse valor. O juro também pode ser o valor que você pagará em relação a 
alguma dívida que tenha adquirido. Em caso de atraso de pagamento, pagará 
juros pela inadimplência. O juro é representado pela letra “j”, que pode ser 
maiúscula ou minúscula.
Montante
O montante é o capital aplicado mais os rendimentos, ou mais os juros. Con-
forme Veras (2005, p. 55):
[...] quando um investidor aplica um capital por certo tempo a determinada 
taxa, no final desse período de tempo ele tem a sua disposição não só o valor 
inicial (valor presente ou capital) aplicado, mas também os juros que lhe são 
devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado montante.
Por exemplo, se você aplicar certo valor a uma determinada taxa e durante 
um certo período de tempo, o valor que resgatará será o valor aplicado mais 
os juros, que pode ser chamado de montante ou valor final. O mesmo ocorre 
quando se tem um valor a pagar e este não é quitado na data de vencimento, 
visto que esse atraso gerará juros, de modo que, no momento do pagamento, 
terá de ser quitado o valor principal mais os juros correspondentes ao período 
de atraso, gerando um montante maior que o valor principal.
O montante ou valor final pode ser representado pela letra M ou FV. 
Sugere-se o uso de FV, por ser a terminologia utilizada na máquina finan-
ceira HP 12c. 
Para transformar taxas percentuais em unitárias, basta dividir a taxa por 100, ou seja, 
deslocar a vírgula duas casas para a esquerda, ao passo que para transformar uma 
taxa decimal em percentual, basta multiplicá-la por 100, ou seja, deslocar a vírgula 
duas casas para a direita.
7Simbologia
Regimes de capitalização: simples e composto
Os regimes de capitalização são divididos em simples e compostos. Segundo 
Almeida (2016), o regime de capitalização é o processo de formação dos juros. 
Se os juros incidem somente sobre o valor inicialmente aplicado ou tomado 
emprestado, trata-se de juros simples ou convenção linear. Em contrapartida, 
se os juros incidem sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente, 
trata-se de juros compostos ou convenção exponencial.
Almeida (2016) elucida a diferença entre os dois regimes. Nos juros simples, 
o crescimento é linear, comportando-se como uma progressão aritmética (PA). 
Já no regime de juros compostos, o crescimento é exponencial, tal qual uma 
progressão geométrica (PG). Na Figura 3, a seguir, é possível observar que 
os resultados no fim do 1º período são iguais nos dois regimes.
Figura 3. Revolução gráfica entre os sistemas de 
juros simples e composto.
Juros simples
Os juros simples, na prática, é bastante limitado, visto que operam geralmente 
em curto prazo. Em cálculos fi nanceiros, empréstimos bancários, cartões de 
créditos, entre outros, o cálculo utilizado é sobre os juros compostos. Para 
Assaf Neto (2012, p. 5):
[…] muitas taxas praticadas no mercado financeiro (nacional e internacional) 
estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos montantes das 
operações processa-se exponencialmente (juros compostos). Por exemplo, a 
Simbologia8
caderneta de poupança paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6% ao ano 
para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento proporcional de 
0,5%. A taxa referenciada para esta operação é linear, porém os rendimentos 
são capitalizados Segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao longo 
dos meses juros sobre juros.
É importante que você tenha um bom entendimento sobre os juros simples, 
para que tenha um bom desempenho nos cálculos de juros compostos. Veja, 
a seguir, um exemplo prático do juro simples.
Ana fará um empréstimo no valor de R$ 5.000,00, pelo prazo de 6 meses, pagando 
sob juros simples, com uma taxa de 1,5% ao mês. O quadro a seguir ilustra a operação 
realizada por Ana.
Mês
Saldo no 
início de cada 
mês (R$)
Juros 
auferidos a 
cada mês (R$)
Saldo 
devedor ao 
fim de cada 
mês (R$)
Crescimento 
mensal 
do saldo 
devedor (R$)
Início do 
1º mês
- - 5.000,00 -
Fim do 
1º mês
5.000,00 0,015 × 
5.000 = 75
5.075,00 75,00
Fim do 
2º mês
5.075,00 0,015 × 
5.000 = 75
5.150,00 75,00
Fim do 
3º mês
5.150,00 0,015 × 
5.000 = 75
5.225,00 75,00
Fim do 
4º mês
5.225,00 0,015 × 
5.000 = 75
5.300,00 75,00
Fim do 
5º mês
5.300,00 0,015 × 
5.000 = 75
5.375,00 75,00
Fim do 
6º mês
5.375,00 0,015 × 
5.000 = 75
5.450,00 75,00
Por meio do quadro anterior, é possível verificar que os juros incidem exclusivamente 
sobre o capital inicial de R$ 5.000,00, e apresentam valores iguais ao fim de cada mês 
(0,015 × 5.000 = 75,00). Pode-se verificar, ainda, que os juros crescem linearmente; no 
exemplo, R$ 75,00 por mês. Ao fim dos 6 meses, os juros atingem um total de R$ 450,00.
9Simbologia
Na Figura 4, a seguir, é possível entender que o juro é linear, ou seja, é 
uma reta que cresce igualmente no decorrer dos meses.
Figura 4. Convenção linear.
Na capitalização simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial. 
Para os cálculos da capitalização simples, são utilizadas as seguintes fórmulas.
Juro:
J = PV ∙ i ∙ n
Taxa de juros:
Tempo ou número de períodos:
Simbologia10
Capital ou valor principal:
ou ainda:
Montante ou valor fi nal:
FV = PV(1 + i ∙ n)
onde:
J = juro;
FV = valor fi nal;
PV = valor principal; 
i = taxa de juros; 
n = número de períodos.
Não esqueça que, muitas vezes, antes de resolver problemas, é importante 
lembrar que: o montante é o capital mais o juro; o capital é o montante menos 
o juro; e o juro é o montante menos o capital. Veja:
FV = PV + JPV = FV – J
J = FV – PV
Lembre-se de que a taxa de juros “i” deve ser unitária, assim como o tempo e a taxa 
devem estar na mesma unidade. Se o tempo estiver em dias, a taxa terá de ser diária; 
se o tempo estiver em anos, a taxa terá de ser anual, e assim sucessivamente.
11Simbologia
O sistema de capitalização simples se detém na aplicação direta de conceitos 
básicos da matemática, podendo muitas vezes ser resolvido de forma intuitiva. 
Você adquiriu dívidas e deseja pagá-las, para isso, pedirá o valor emprestado a um 
amigo. Você precisa de R$ 8.000,00, e seu amigo cobrará uma taxa de juros simples 
de 0,8% a.m., sendo que você quitará a dívida com seu amigo somente daqui a um 
ano. Qual valor você devolverá ao seu amigo?
Primeiramente, verifique as informações que o problema traz:
  PV = 8.000,00;
  i = 0,8%, que você transformará em taxa unitária, logo 0,8% ÷ 100 = 0,008;
  n = 1 ano; como a taxa é mensal, você transformará um ano em 12 meses, logo, n = 12;
  FV = o valor que você deve buscar.
FV = PV (1 + i ∙ n)
FV = 8.000 (1 + 0,008 ∙ 12)
FV = 8.000 ∙ 1,096
FV = 8.768
Então, o valor que você pagará ao seu amigo daqui a um ano será R$ 8.768,00.
Juros compostos
Diferentemente do juro simples, em que o juro incide somente sobre o capital 
empregado, no juro composto, os juros de cada período são sempre somados 
ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes (PUCCINI; 
PUCCINI, 2006). Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem 
juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente 
no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial aplicado. 
Para identificar a diferença entre os juros simples e composto, você acom-
panhará o desenvolvimento do exemplo anterior, em que Ana realiza um 
empréstimo, mas agora sob o sistema de capitalização composta.
Simbologia12
Ana fará um empréstimo no valor de R$ 5.000,00, pelo prazo de 6 meses, pagando 
sob juros compostos, a uma taxa de 1,5% ao mês. O quadro a seguir ilustra a operação 
realizada por Ana.
Mês
Saldo no início 
de cada mês (R$)
Juros auferidos 
a cada mês (R$)
Saldo devedor ao 
fim de cada mês (R$) 
Início do 
1º mês
- - 5.000,00
Fim do 
1º mês
5.000,00 0,015 × 5.000 = 75 5.075,00
Fim do 
2º mês
5.075,00 0,015 × 5.075 = 76,13 5.151,13
Fim do 
3º mês
5.151,13 0,015 × 5.151,13 = 77,27 5.228,40
Fim do 
4º mês
5.228,40 0,015 × 5.228,40 = 78,43 5.306,83
Fim do 
5º mês
5.306,83 0,015 × 5.306,83 
= 79,60
5.386,43
Fim do 
6º mês
5.386,43 0,015 × 5.386,43 
= 80,80
5.467,23
Pelo quadro anterior, pode-se observar que os juros não incidem unicamente 
sobre o capital inicial de R$ 5.000,00, mas sobre o saldo total existente no 
início de cada mês. Esse saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os 
juros incorridos em períodos anteriores, e o crescimento dos juros evolui de 
forma exponencial ao longo do tempo.
Para os cálculos da capitalização composta, são utilizadas as seguintes 
fórmulas.
13Simbologia
Juro:
J = PV[(1 + i)n – 1]
Taxa de juros:
Tempo ou número de períodos:
Capital ou valor principal:
ou ainda:
PV = FV(1 + i)–n
Montante ou valor fi nal:
FV = PV(1 + i)n
onde:
J = juro; 
FV = valor fi nal;
PV = valor principal; 
i = taxa de juros;
n = número de períodos.
Simbologia14
Assim como na capitalização simples, na capitalização composta também 
são válidas as seguintes fórmulas: 
FV = PV + J
PV = FV – J
J = FV – PV
É importante ressaltar que, para a resolução das questões de juros com-
postos, é preciso ter uma calculadora científica em mãos ou a calculadora 
financeira. 
Você deseja realizar uma viagem daqui a 3 anos e, para tanto, resolveu aplicar R$ 
3.250,00 em um título de capitalização composta que rende 1,7% a.m. Quanto você 
terá guardado ao fim desse período?
As informações são:
  PV = 3.250,00;
  i = 1,7%, que você transformará em taxa unitária, logo 1,7% ÷ 100 = 0,017;
  n = 3 anos; como a taxa é mensal, você transformará 3 anos em 36 meses, logo n = 36;
  FV = o valor que você terá após esse período.
FV = PV (1 + i)n
FV = 3.250 (1 + 0,017)36
FV = 5.962,63
Lembre-se de que o valor final pode ter uma pequena diferença, se você tirar os 
valores da máquina calculadora. Além disso, se fizer os cálculos pela calculadora HP 
12c, você trabalhará com uma taxa percentual, e não unitária.
ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de janeiro: LTC, 2016.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa-
raiva, 2006.
VERAS, L. L. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
15Simbologia
DICA DO PROFESSOR
A Matemática Financeira é um conjunto de estratégias e de procedimentos matemáticos que tem 
por determinação apresentar a evolução dos recursos financeiros ao longo do tempo. Saber 
diferenciar a capitalização simples da composta pode auxiliar em alguns investimentos e 
pagamentos.
Nesta Dica do Professor você irá acompanhar um demonstrativo financeiro e poderá distinguir a 
capitalização simples da composta.
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EXERCÍCIOS
1) A rede de lojas Gasparzinho promoveu a venda de um celular com a seguinte oferta: 
“Leve hoje e pague daqui a 3 meses". Caso o pagamento seja feito à vista, a loja 
oferece ao consumidor um desconto de 15%.
Se o consumidor preferir aproveitar a oferta, pagando no final do terceiro mês após a 
compra, a taxa anual aproximada de juro simples que está sendo aplicada no 
financiamento é de:
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A) 15%.
B) 58%.
C) 71%.
D) 100%.
E) 110%.
2) O fluxo de caixa de uma empresa de investimentos e de operações financeiras é válido 
na análise de previsões de investimentos, assim como no auxílio de tomadas de 
decisão.
O diagrama de um fluxo de caixa é representado por:
A) uma reta horizontal com flechas para cima e para baixo. As flechas apontadas para cima 
representam os recebimentos, e as apontados para baixo os pagamentos.
B) uma reta horizontal com flechas para cima e para baixo. As flechas apontadas para cima 
representam as saídas de dinheiro, e as apontados para baixo as entradas de dinheiro.
C) uma reta horizontal com sinais de mais que indicam pagamentos, e sinais de menos que 
indicam recebimentos. Os saldos aparecem com sinais de igual e é o resultado das somas e 
das subtrações.
D) uma reta vertical com flecha à direita e à esquerda que representam, respectivamente, 
entradas e saídas de dinheiro.
E) uma reta vertical com sinais de mais que indicam pagamentos, e sinais de menos que 
indicam recebimentos.
3) Eduardo resolveu investir seu primeiro salário de cirurgião-dentista, durante um 
semestre, a taxa de juro composto de 1,1% a.m. O salário recebido foi de R$ 5.000,00.
Quanto de juros Eduardo receberá por essa aplicação?
A) R$ 339,21.
B) R$ 300,00.
C) R$ 159,20.
D) R$ 100,00.
E) R$ 55,00.
4) Nas operações com juros simples e composto, há algumas diferenças que podem ser 
contextualizadas, em relação ao gráfico, na diferença de juros no decorrer do tempo e 
nas fórmulas.
Logo, em relação aos juros simples e composto, podemos afirmar que:
A) no dia a dia de uma instituição financeira, a capitalização mais usual é o juro composto, 
por evoluir linearmente.
B) o juro simples cresce linearmente, enquanto o juro composto evolui exponencialmente.
C) o juro simples cresce exponencialmente, enquanto que o juro composto evolui 
linearmente.
D) as capitalizações simples e composta evoluem exponencialmente.
E) as capitalizações simples e composta evoluem linearmente.
5) Para cálculo de juro composto, na maioria das situações, é importante ter 
conhecimento das fórmulas.
Considerando essa informação, qual o juro recebido ao final de 3 anos por uma 
aplicador que investe R$ 10.000,00 a juro composto de 2% a.m., capitalizados 
mensalmente?
10.000(1,02)A)3 reais.
B) 10.000(1,02)36 reais.
C) 10.000[(1,02)3 – 1] reais.
D) 10.000[(1,2)3 – 1] reais.
E) 10.000[(1,02)36 – 1] reais.
NA PRÁTICA
A Matemática Financeira está presente no cotidiano das pessoas, auxiliando-as na resolução de 
problemas de ordem financeira, como compra de equipamentos, valor de prestações, pagamento 
de impostos, rendimento de poupança e outros.
Acompanhe, Na Prática, como os cálculos da capitalização composta ajudou Ricardo a se 
programar para a compra de um veículo.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Matemática Financeira - fundamentos e aplicações
Neste livro, no capítulo 2, você poderá aprofundar seus conhecimentos em terminologia e 
verificar os conceitos básicos do dinheiro ao longo do tempo.
Fluxo de caixa utilizando planilha do Excel
Neste vídeo, você verá como realizar uma planilha de fluxo de caixa utilizando o programa 
Excel.
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Web calc
Neste link você acessa uma calculadora financeira on-line, que irá lhe ajudar a desenvolver 
cálculos de juros simples e compostos e também conversões de taxas.
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Juros simples
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem (UA), você irá compreender como se comportam os juros 
simples, que também podem ser apresentados como capitalização simples ou linear. A 
capitalização simples é uma base para cálculos futuros. Sendo assim, você, tendo conhecimento 
desse tópico, irá avançar com precisão nos cálculos da convenção exponencial.
Por meio dos juros simples, você irá calcular e transformar taxas equivalentes, alterar unidades 
de tempo, calcular o número de dias exatos e aproximados. Também poderá estimar o valor 
futuro de uma aplicação ou, ainda, o montante após o pagamento de juros.
Nesta UA, você irá dispor de exemplos e problemas que envolvem assuntos relacionados a juros 
simples, questões estas que podem ser determinadas por meio de máquinas calculadoras 
comuns, científicas ou financeiras, como a HP 12c.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Calcular juros simples e montante.•
Descobrir o valor futuro com base no cálculo de juros simples.•
Resolver problemas que envolvem operações com juros simples.•
DESAFIO
Vários cálculos podem ser solucionados por meio da capitalização simples, desde o cálculo de 
juros, o montante após uma aplicação, a taxa de juros cobrada pelos bancos ou instituições 
financeiras até o juro cobrado por um amigo e também o tempo de um investimento, 
empréstimo ou atraso de um pagamento.
Descubra quanto Eduardo aplicou no banco X e quanto de juros ele irá obter no banco Y, bem 
como o montante acumulado após esse ano de aplicação. E, ainda, ajude Eduardo a descobrir 
qual o banco mais vantajoso para os próximos investimentos.
INFOGRÁFICO
Na capitalização simples, são introduzidos conceitos básicos e os principais fundamentos que 
norteiam o estudo da matemática financeira. O valor do dinheiro no tempo e a realidade dos 
juros são componentes conectados e essenciais ao crescimento do estudo da matemática 
financeira.
No Infográfico a seguir, acompanhe alguns conceitos do juro simples e como ele pode ser 
abordado.
CONTEÚDO DO LIVRO
Por meio das principais fórmulas dos juros simples e do montante, você irá entender e associar a 
resolução de diversos cálculos e problemas relacionados à matemática financeira. Além disso, 
irá compreender que esses cálculos envolvem diversas operações financeiras e têm como 
principais variáveis o tempo, a taxa de juros e o capital.
Na obra Matemática financeira, leia o capítulo Juros simples, que é base teórica desta Unidade 
de Aprendizagem. Neste capítulo, você irá acompanhar os principais conceitos da capitalização 
simples, tais como: os juros representam a remuneração do capital empregado; juro simples é 
um aumento calculado sobre o valor inicial de um investimento financeiro; o valor principal 
(inicial) de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. Esse valor é 
corrigido pela taxa de juros, que é apresentada de forma percentual. Os juros são calculados 
considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado.
Boa leitura.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Adriana Claudia Schmidt
Juros simples
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Calcular juros simples e montante.
 Descobrir o valor futuro com base no cálculo de juros simples.
 Resolver problemas que envolvem operações com juros simples.
Introdução
A capitalização simples é utilizada no mercado financeiro especificamente 
em operações de curto prazo. O desenvolvimento desses cálculos é 
extremamente simples, pois os juros incidem somente sobre o capital 
inicial, ou seja, o juro produzido em cada período é constante.
Neste capítulo, você vai entender e praticar as fórmulas básicas utiliza-
das no cálculo de juros simples, assim como resolver exemplos utilizados 
nessa capitalização. Para entender melhor o conceito de juros simples, 
você vai trabalhar com aplicações práticas de fácil entendimento. Assim, 
vai perceber a importância do cálculo do valor futuro e de todas as ope-
rações relacionadas à capitalização simples.
Cálculo de juros e aplicações 
Entender os juros simples ou a capitalização simples vai auxiliá-lo em cálculos 
futuros, em especial nos juros compostos, uma vez que o juro simples lhe dará 
todo o embasamento necessário para cálculos mais aprofundados. Conforme 
Almeida (2016), os juros simples são utilizados no mercado financeiro nas 
operações de curtíssimo prazo (desde que não maiores de 30 dias) ou “que 
não há capitalizações intermediárias durante todo o período em que os juros 
são computados” (OLIVEIRA, 2009, p.426):
 hot money (empréstimo diário e renovável);
 cheque especial;
 desconto de títulos (notas promissórias e duplicatas);
 desconto antecipado de cheques.
Nos cálculos financeiros, é preciso considerar o tempo de duas formas: o 
tempo exato e o tempo aproximado.
Tempo exato 
É quando consideramos o número exato de dias de um intervalo. Para saber 
o número exato de dias, considerando que os meses variam entre 28 e 31
dias, você pode fazer isso verifi cando em um calendário ou por meio de uma
calculadora fi nanceira HP 12c. Veja a seguir um exemplo para calcular o
número exato de dias pela HP 12c.
Determine o número exato de dias entre 24/05/2019 e 31/12/2019:
 Regule a sua calculadora no sistema brasileiro, g D.MY.
 Insira na calculadora:
24.052019 ENTER
31.122019 g ∆ DYS (está na tecla EEX)
A resposta será 221 dias exatos.
O tempo exato corresponde ao ano civil, que tem 365 dias (ou 366 dias, 
se o ano for bissexto).
Tempo aproximado
É quando consideramos qualquer mês como tendo 30 dias. O tempo aproxi-
mado é calculado a partir do ano comercial ou ordinário, considerando-se 
360 dias. Veja a seguir como resolver o exemplo anterior considerando tempo 
aproximado.
Determine o número aproximado de dias entre 24.05.2019 e 31.12.2019:
 Insira na calculadora:
24.052019 ENTER
31.122019 g ∆ DYS (está na tecla EEX)
 A resposta novamente será 221 dias exatos.
 Tecle x y.
A resposta será 217 dias aproximados.
Se o tempo não for mencionado, considere sempre o ano comercial, ou seja, 
o tempo aproximado, em que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.
Juros simples2
A capitalização simples acontece de forma linear, isto é, o juro é gerado 
somente sobre o capital inicial. A seguir, você verá a introdução das principais 
fórmulas dos juros simples e as suas aplicações. 
onde:
J = juro;
PV = valor principal, capital ou valor inicial;
i = taxa de juros, que deve ser decimal; 
n = prazo, tempo, número de períodos.
É importante lembrar que o tempo (n) e a taxa de juros (i) devem estar na 
mesma unidade. Assim, se a taxafor em dias, o tempo também deverá ser em 
dias; já se a taxa for em anos, o tempo deverá ser em anos, e assim por diante. 
Se isso não ocorrer no problema com o qual você está lidando, você poderá 
modificar tanto a taxa como o tempo, transformando-os na mesma unidade.
Exemplo 1
Antônio empresta a seu irmão uma quantia de $ 6.700,00 para serem pagos 
daqui a seis meses, cobrando uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Quanto 
de juros Antônio receberá?
Resolução:
PV = 6.700,00 
n = 6 meses
i = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02
J = ?
Lembre-se de que a taxa de juros, quando substituída em qualquer fórmula, 
deve ser sempre unitária, ou seja, dividida por 100, como demonstrado no 
exemplo acima. Na situação do exemplo, a taxa e o tempo estão na mesma 
unidade, não sendo necessário transformá-los.
3Juros simples
Para calcular os juros na calculadora HP 12c, é imprescindível que o tempo seja em 
dias e a taxa, em anos. Logo, no Exemplo 1 seria necessário transformar seis meses 
em 180 dias (6 x 30) e 2% a.m. em 24% a.a. (2 x 12).
Resolução:
6.700 CHS PV
180 n
24 i
f INT (para calcular o juro)
Por meio da fórmula do juro simples, é possível demonstrar as suas fórmulas 
decorrentes, como você verá a seguir.
Valor principal
É o valor atual ou aquilo que temos em mãos hoje. É também chamado de 
capital:
onde:
J = juros;
i = taxa de juros;
n = tempo.
Exemplo 2
Carla aplicou certo valor a uma taxa de juros simples de 14% ao semestre, 
durante 12 meses, tendo um rendimento de $ 1.350,00. Qual o valor aplicado 
por Carla?
i = 14 % a.s. ÷ 100 = 0,14
n = 12 meses = 2 semestres
J = 1.350
Juros simples4
PV = ?
1 ano = 2 semestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses
Número de períodos
É o tempo que um valor pode fi car aplicado, isto é, o tempo que decorre do 
início ao fi nal de uma operação fi nanceira. O número de períodos é representado 
pela letra n, e a fórmula utilizada é a seguinte:
onde:
J = juros;
PV = valor principal;
i = taxa de juros.
Exemplo 3
Adão aplicou o seu décimo terceiro salário no valor de $ 3.703,70 no banco 
X, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, tendo um rendimento de $ 
500,00. Durante quantos meses Adão deixou o seu dinheiro aplicado?
PV = 3.703,70
i = 1,5 % a.m. ÷ 100 = 0,015
J = 500
5Juros simples
N = ?
Taxa de juros 
A taxa de juros é representada pela letra i. Trata-se do valor cobrado por algum 
empréstimo ou do valor atribuído a alguma aplicação. A fórmula usual no 
juro simples é a seguinte:
onde:
J = juros;
PV = valor principal;
n = tempo.
Exemplo 4
Ana aplicou as suas economias no valor de $ 11.000,00 e resgatou, cinco anos 
depois, o valor de $ 18.300,00. Qual a taxa mensal de juros dessa aplicação?
PV = 11.000,00
J = 18.300,00 – 11.000,00 = 7.300,00
n = 5 anos = 60 meses
 i = ? 
Juros simples6
Quando você encontra a taxa de juros, ela sempre será decimal. Então, para transformá-
-la em percentual, você deverá multiplicar o número encontrado por 100.
Valor futuro na capitalização simples
Montante
Também chamado de valor futuro, o montante é representado pelas letras M, 
S ou FV. Neste capítulo, vamos utilizar o FV, por ser uma das teclas da calcu-
ladora HP 12c. Por defi nição, montante é a soma do capital aos juros. Então:
Colocando em evidência o PV, que é o termo comum, temos:
Exemplo 5
Você aplicou $ 8.000,00 a uma taxa de juros simples de 1,3% ao mês, durante 
10 meses. Determine o valor acumulado ao fi nal desse período:
PV = 8.000
i = 1,3% ÷ 100 = 0,013 
n = 10 meses
PV = ?
No Exemplo 6, as taxas não são equivalentes.
7Juros simples
Exemplo 6
Um investidor aplicou o valor de $ 150.000,00 em títulos de capitalização 
que lhe renderão uma taxa de juros simples de 4,8% ao bimestre, durante um 
semestre. Qual será o valor do resgate ao fi nal desse prazo?
PV = 150.000 
i = 4,8% ÷ 100 = 0,048 
n = 1 semestre = 3 bimestres
FV = ?
Na utilização de fórmulas, é importante lembrar as regras básicas da matemática. 
Primeiramente você deve resolver a multiplicação e a divisão; por último, resolve a 
adição e a subtração. Ainda, primeiramente você deve resolver os parênteses, depois 
os colchetes, e por último as chaves.
Para realizar o cálculo anterior na HP 12c, você precisa transformar a taxa mensal em 
anual, fazendo 1,3% × 12 = 15,6% a.a., e o tempo mensal em dias, fazendo 10 meses 
× 30 = 300 dias.
Na HP 12c:
8.000 CHS PV
15,6 i
300 n
f int
+
Juros simples8
Taxas proporcional e equivalente
Em muitos problemas de juros simples, as taxas e o tempo não estão na 
mesma unidade e, como você viu anteriormente, é necessário que haja essa 
homogeneidade. Assim, nos juros simples, tanto a taxa como o tempo podem 
ser modifi cados. Para Veras (2005), duas taxas se dizem proporcionais quando 
há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos 
períodos de tempo a que se referem. Na capitalização simples, as taxas propor-
cionais são equivalentes, isto é, elas são consideradas a mesma coisa. Logo, a 
colocação proporcional ou equivalente é indiferente, pois elas são idênticas.
Exemplo 7
Dada a taxa de 20% ao trimestre, determine as taxas equivalentes mensal, 
bimestral e anual.
Resolução:
Trimestral para mensal – basta dividir por 3, pois um trimestre tem três meses:
Trimestral para bimestral – você pode usar a taxa mensal e multiplicar 
por 2, pois um bimestre tem dois meses. Ainda, pode usar a taxa trimestral e 
dividir por 1,5, pois um trimestre corresponde a um bimestre e meio:
Trimestral para anual – você deverá multiplicar por 4, pois um ano tem 
quatro trimestres:
Na capitalização simples, ao realizar transformações das taxas em que você tem o 
maior período e quer encontrar o menor, basta dividir pelo correspondente. Se você 
tiver o menor período e quer encontrar o maior, multiplique pelo correspondente. 
9Juros simples
Juro exato e juro comercial
Ambos os tipos de juros são calculados da mesma maneira; o que difere é o 
tempo em relação a cada um. Para Assaf Neto (2012), é comum, nas operações 
de curto prazo (em que predominam as aplicações com taxas referenciadas em 
juros simples), o prazo ser defi nido em número de dias. Nesse caso, o número 
de dias pode ser calculado de duas maneiras:
  Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil 
(365 dias). O juro apurado dessa maneira denomina-se juro exato.
  Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. Nesse critério, denomina-se juro comercial ou ordinário.
Exemplo 8
Encontre a taxa diária, pelos critérios do juro exato e comercial, equivalente 
a 16% ao ano.
Juro exato:
Juro comercial:
Todas essas relações são muito importantes em cálculos da capitalização 
simples, em especial os juros e o montante. Veja o Exemplo 9.
Exemplo 9
Uma quantia de $ 50.000,00 foi aplicada em 18 de agosto para ser resgatada 
em 20 de novembro, a uma taxa de 21% ao ano. Calcule o montante a ser 
resgatado, considerando os juros comerciais e exatos.
Primeiramente, vamos explorar os dados do problema. No juro comer-
cial, o ano tem 360 dias, e cada mês tem 30 dias. Logo: 18 de agosto a 18 de 
setembro = 30 dias; 18 de setembro a 18 de outubro = 30 dias; 18 de outu-
bro a 18 de novembro = 30 dias; 18 de novembro a 20 de novembro = 2 dias. 
Portanto, o total é 92 dias. No juro exato, o processo é o mesmo, mas você 
precisará ter conhecimento dos dias exatos de cada mês. Então: 18 de agosto 
Juros simples10
a 18 de setembro = 31 dias (agosto tem 31 dias); 18 de setembro a 18 de outubro 
= 30 dias; 18 de outubro a 18 de novembro = 31 dias (outubro tem 31 dias); 18 de 
novembro a 20 de novembro = 2 dias. Portanto, o total no juro exato será de 94 dias.
Resolução pelo juro comercial:
PV = 50.000
n = 92 dias 
i = 
FV = 50.000 ∙ 1,053636
FV = ?
Resolução pelo juro exato:
PV = 50.000
n = 94 dias 
i = 
FV = ?
Dependendo do número de casas que você utilizar após a vírgula, o resultado pode 
divergir. O ideal é usar o maior número de casas possíveis após a vírgula.
11Jurossimples
Resolução de problemas
Conforme Puccini e Puccini (2006, p. 22), “[...] na prática, os juros simples 
são bastante utilizados pelo mercado, pela facilidade de cálculo, e porque 
aumentam fi cticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações fi nanceiras [...]”. 
A partir de agora, você vai acompanhar a utilização das principais fórmulas 
do regime de juros simples e as suas aplicações em problemas do mercado.
Exemplo 10
Seu João aplicou, em uma instituição fi nanceira, o valor de $ 180.000,00, 
resgatando $ 210.000,00 quatro meses depois. Calcule a taxa mensal de juros 
simples auferida nessa aplicação:
PV = 180.000
n = 4 meses
FV = 210.000
J = FV – PV
J = 210.000 – 180.000 = 30.000
i = ?
Tanto na convenção linear (juros simples) como na convenção exponencial (juro 
composto), pode-se dizer que:
FV = PV + J
PV = FV – J
J = FV – PV
Juros simples12
Exemplo 11
Juliana vai precisar de $ 120.000,00 daqui a 11 meses para comprar um terreno. 
Quanto Juliana deverá depositar hoje num fundo de poupança que remunera 
a uma taxa linear de 10% ao ano?
FV = 120.000
n = 11 meses 
i = 10% a.a. ÷ 100 = 0,1 ÷ 12 = 0,008333 a.m.
PV = ?
Exemplo 12
Determine a taxa trimestral de juros simples que faz com que um capital 
dobre de valor após um ano.
PV = 100
FV = 200
J = 200 – 100 = 100
n = 1 ano = 4 trimestres
i = ?
Na resolução de problemas em que você não conhece os valores, você pode atribuir 
qualquer valor. Por convenção, é recomendável utilizar 100 como base de cálculo.
Exemplo 13
Antônio depositou o valor de $ 600,00, aplicados a uma taxa de 22% ao ano, 
durante 25 dias. Quais os juros recebidos por Antônio?
PV = 600
n = 25 dias 
13Juros simples
i = 22% ÷ 100 = 0,22 ÷ 360 dias = 0,000611 a.d. 
Por padrão, você sempre deverá usar os juros comerciais (ano igual a 360 dias), a menos 
que seja explicitado o contrário.
Exemplo 14
Uma pessoa aplica $ 12.000,00 a 28% ao ano, de 12 de maio a 31 de dezembro do 
mesmo ano. Determine os juros exatos e o tempo exato pela convenção linear.
PV = 12.000
n = 233 dias
i = 28% ÷ 100 = 0,28 ÷ 365 dias = 0,000767 a.d.
Para calcular o número de dias exatos, você pode utilizar o calendário, tabelas ou ainda 
uma calculadora HP 12c. Acompanhe o exemplo anterior pela HP 12c:
12.052019 ENTER (você pode considerar qualquer ano)
31.122019 g ∆DYS
233 dias
Juros simples14
Exemplo 15
Ana aplicou na poupança o valor de $ 5.000,00, a uma taxa de 1,8% ao bimestre, 
resgatando um montante de $ 6.250,00. Durante quantos meses Ana deixou 
esse valor aplicado?
PV = 5.000
FV = 6.250
J = 6.250 – 5.000 = 1.250
i = 1,8% ÷ 100 = 0,018 ÷ 2 = 0.009 a.m.
O juro simples é uma parte da matemática financeira baseada no cálculo 
do capital principal, independentemente dos aumentos no decorrer do tempo. 
Com base no que você viu até aqui, poderá verificar as diversas fórmulas para 
resolver problemas financeiros, taxas de juros, capital e montante.
ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa-
raiva, 2006.
VERAS, L. L. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2005.
15Juros simples
DICA DO PROFESSOR
Na capitalização simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial, não incidindo nos 
juros acumulados. Em juros simples, a taxa varia linearmente em função do tempo. A 
remuneração pelo valor principal é diretamente proporcional ao tempo e ao valor aplicado.
Na capitalização simples, os cálculos são, geralmente, de fácil entendimento, e é possível 
resolvê-los com fórmulas específicas e máquinas calculadoras simples. São comumente 
utilizados em períodos curtos, sendo que vários problemas do cotidiano podem ser solucionados 
por esse regime de capitalização.
Na Dica do Professor, você vai acompanhar um exemplo prático de aplicação de juros simples.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Muitas empresas precisam fazer empréstimos, sendo algumas vezes para quitar 
saldos devedores, outras para quitar salários em atraso. A empresa C x A tomou um 
empréstimo a uma taxa de juros simples de 3.50% a.m. durante 10 meses. Ao final 
desse período, calculou em $ 230.000,00 o total de juros auferidos na operação. Qual 
foi o valor do empréstimo?
A) $ 6.571,43.
B) $ 80.500,00.
C) $ 557.142,43.
D) $ 657.142,86.
E) 700.000,00.
2) Carlito adquiriu uma dívida no valor de $ 48.000,00. Ele recebeu um valor de 
herança e vai conseguir quitar a dívida 4 meses antes do vencimento. Para a quitação 
antecipada, o credor concede um desconto de 16% ao ano. Qual o valor aproximado 
da dívida a ser paga antecipadamente por Carlito?
A) $ 29.268,00.
B) $ 41.500,00.
C) $ 45.570,00.
D) $ 46.500,00.
E) $ 47.000,00.
3) No mundo financeiro, há diversos tipos e taxas de aplicação. Se o valor atual de um 
título é 3/5 do valor futuro e o prazo da aplicação é de 18 meses, qual a taxa de juros 
simples considerada nessa aplicação?
A) 3,33% a.m.
B) 3,70% a.m.
C) 0,037% a.m.               
D) 0,33% a.m.
E) 0,37% a.m.
4) Cristina fez um investimento de um capital no valor de $ 2.300,00 por um período de 
70 dias. O banco em que Cristina fez a aplicação vai pagar juro civil (exato) de 47% 
ao ano. Ao final desse período, quanto, aproximadamente, Cristina terá para 
resgatar?
A) $ 2.507,00.
B) $ 3.600,00.
C) $ 4.373,00.
D) $ 4.505,00.
E) $ 4.807,00.
5) Marcelo lhe pediu dinheiro emprestado por um curto período de tempo. Você pode 
emprestar, mas vai resgatar o valor de sua poupança e, por isso, terá de cobrar juros. 
Marcelo quer $ 1.900,00 e vai lhe devolver $ 2.052,00. Você vai lhe cobrar juros de 
0,80% ao mês. Quanto tempo Marcelo levou para lhe devolver o dinheiro? 
A) 1 ano e meio.
B) 1 ano.
C) 10 dias.
D) 10 bimestres.
E) 10 meses.
NA PRÁTICA
A grande maioria das pessoas e das empresas trabalha com bancos, instituições financeiras, bem 
como realiza empréstimos, depósitos e várias operações bancárias.
Em Na Prática, você terá o acompanhamento do extrato bancário de uma empresa calculado sob 
a convenção linear.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Matemática financeira - Fundamentos e aplicações
No capítulo 3, página 11 deste livro, você poderá aprofundar seus conhecimentos adquiridos no 
decorrer desta Unidade de Aprendizagem, assim como resolver diversos exercícios propostos 
pelos autores.
Taxa de juros: nominal, efetiva ou real?
Neste artigo, você vai acompanhar as diferenças e as proporcionalidades entre as diversas taxas 
aplicadas em juros simples.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Matemática financeira: um enfoque da resolução de problemas como metodologia de 
ensino e aprendizagem
Neste artigo, você vai encontrar um enfoque da resolução de problemas como metodologia de 
ensino e aprendizagem na matemática financeira.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Juros compostos
APRESENTAÇÃO
Os juros simples são as rentabilidades alcançadas de um investimento com capital inicial, e os 
juros compostos são os juros de certo período adicionados ao capital para o cálculo de novos 
juros para o período seguinte. No juro simples, apenas o capital inicial rende juros; já no juro 
composto, somam-se os juros a cada período, produzindo juros sobre juros.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar os regimes de juros abordados na 
matemática financeira: o juro simples e o juro composto. Também verá os conceitos das duas 
capitalizações, suas peculiaridades, semelhanças e diferenças. Além disso, verá como as 
fórmulas são utilizadas nos dois regimes de capitalização e as principais taxas de juros 
empregadas no mercado financeiro.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Distinguirjuros simples de juros compostos. •
Aplicar as fórmulas utilizadas para cálculos em operações que envolvem juros compostos. •
Calcular taxas de juros compostos na calculadora financeira. •
DESAFIO
Os juros compostos estão presentes no cotidiano das pessoas, e, no desafio desta Unidade, você 
irá acompanhar o cálculo do tempo necessário para obter certo montante.
O sistema de cobrança de uma companhia estadual de energia elétrica, relativo ao consumo de 
energia efetuado a uma taxa mínima comercial, fez com que o valor das contas de certo 
condomínio fosse muito elevado, mesmo que os usuários economizem energia apagando as 
luzes e retirando os aparelhos das tomadas.
O síndico, preocupado com a situação, procura você, que trabalha com matemática financeira, 
para indicar quais medidas podem ser tomadas. Foi determinado que as luzes dos corredores 
fossem apagadas durante o dia, bem como a desativação dos elevadores, o que gerou economia 
de R$ 2.300,00. Prevendo a troca da fiação elétrica, que está muito antiga, o síndico deverá fazer 
uma aplicação desse valor economizado, à taxa de 2,40% ao mês (aplicado a juros compostos), 
com o objetivo de obter um montante de R$ 15.500,00 para a substituição da rede elétrica.
Diante desse cenário, responda:
Quanto tempo será necessário para que se consiga fazer a troca da fiação elétrica?
INFOGRÁFICO
Quando se relacionam taxas de juros nas convenções linear e exponencial, é possível verificar 
que, quanto maior o tempo e maior a taxa, mais visível fica a diferença entre o juro simples e o 
composto, ou seja, o montante do composto é muito maior que do juro simples.
No juro simples, o cálculo da taxa é bem básico; para convertê-la e deixá-la proporcional, basta 
multiplicar ou dividir pelo período correspondente. Já no juro composto, é preciso realizar o 
cálculo com fórmulas específicas, como você irá ver no Infográfico a seguir.
CONTEÚDO DO LIVRO
No regime de capitalização composta, os juros são calculados no fim de cada período, gerando 
um montante sobre o qual se calculam os juros do período seguinte, obtendo-se juros sobre 
juros. As modalidades de investimentos e financiamentos são avaliadas de acordo com esse tipo 
de investimento, pois apresenta mais rendimento, gerando, assim, mais lucro.
No capítulo Juros compostos, da obra Matemática Financeira, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, você irá analisar as diferenças entre as capitalizações simples e compostas e 
entender suas aplicabilidades. Para os cálculos dos dois regimes, simples e composto, você fará 
uso de fórmulas e calculadoras; em especial, no juro composto, poderá utilizar a 
calculadora HP-12c.
Boa leitura.
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Adriana Claudia Schmidt
Juros compostos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Distinguir juros simples de juros compostos.
 � Aplicar as fórmulas utilizadas para cálculos em operações que envol-
vem juros compostos.
 � Calcular taxas de juros compostos na calculadora financeira.
Introdução
Para diferenciar os sistemas de juros, é importante estruturar alguns 
conceitos entre juros simples e juros compostos, também chamados de 
capitalizações simples e compostas. Em qualquer um dos sistemas, o 
capital, os juros, as taxas e o montante apresentam a mesma definição, e 
tanto na capitalização simples como na composta, é importante entender 
os princípios da matemática financeira, os quais podem ser calculados 
por meio de fórmulas algébricas. 
Neste capítulo, você entenderá a necessidade que as pessoas têm de 
conhecer os fundamentos básicos da matemática financeira. Além disso, será 
possível compreender como um valor aplicado a uma certa taxa de juros se 
comporta no decorrer do tempo. Após esse entendimento, você terá acesso 
ao uso da calculadora financeira, uma ferramenta essencial para quem deseja 
ter agilidade na resolução dos problemas financeiros do cotidiano.
Juros simples e juros compostos
Existem dois tipos de capitalização: simples e composta. A melhor forma de 
diferenciar uma capitalização da outra é por meio de um exemplo sucinto. 
Considere que uma pessoa obteve um empréstimo no valor de R$ 100,00 
em um banco X, que opera com uma taxa de juros de 90% ao ano. Qual será 
sua dívida após 5 anos? No Quadro 1, vemos um exemplo de como esses 
cálculos ocorrem.
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Por meio da tabela desenvolvida, é possível verificar que, após 5 anos, a 
diferença entre os dois montantes é de R$ 1.926,10 (2.476,10 – 550,00).
Além disso, é possível verificar que o juro simples cresce linearmente ao longo 
dos 5 anos, ao passo que o juro composto cresce exponencialmente. A Figura 1, a 
seguir, apresenta um gráfico com a diferença entre os juros simples e composto.
Figura 1. Diferença entre juros simples e composto.
Ano Dívida
Juro 
simples 
Montante 
da dívida Dívida
Juro 
composto 
Montante 
da dívida
1 R$ 100,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 190,00 R$ 100,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 190,00 
2 R$ 190,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 280,00 R$ 190,00 0,9 x 190 = 
171
R$ 361,00 
3 R$ 280,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 370,00 R$ 361,00 0,9 x 361 = 
324,9
R$ 685,90 
4 R$ 370,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 460,00 R$ 685,90 0,9 x 685,9 = 
617,31
R$ 1.303,21 
5 R$ 460,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 550,00 R$ 1.303,21 0,9 x 1303,21 
= 1.172,89
R$ 2.476,10 
Quadro 1. Demonstrativo de cálculo de juro simples e juro composto
Juros compostos2
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Ao somar os juros ao capital, dá-se o nome de capitalização, por isso 
podemos chamar o juro simples de capitalização simples e o juro composto 
de capitalização composta. No regime de capitalização simples, os juros são 
somados uma única vez ao capital, ou seja, o juro é calculado somente sobre 
o capital inicial, ao passo que, nos juros compostos, a remuneração se dá a 
cada período, isto é, juro sobre juro. Conforme Veras (2005, p. 56):
[...] os juros simples, pela sua facilidade de cálculo são utilizados comumente 
em negócios entre pessoas físicas. São utilizados também em operações 
comerciais como argumento de venda, pois, por esse regime, por meio de 
artifícios de cálculo, as taxas de lucro poderão parecer maiores e as taxas de 
juros menores. No mercado financeiro, só é utilizado em aplicações de curto 
prazo, como open market ou overnight e em descontos de títulos. Para todos 
os papéis de renda, sistema financeiro de habitação, crediários, utiliza-se o 
regime de capitalização composta.
Nas duas convenções, linear e exponencial, entende-se o seguinte:
 � Capital é o valor que se tem em mãos hoje, também denominado valor 
atual, principal ou valor presente. Pode ser representado por C ou PV 
(PV, neste capítulo).
 � Juro é o valor da remuneração do capital, representado pela letra J.
 � Taxa de juros é geralmente representada em porcentagem. Quando 
substituída em fórmulas, deve ser decimal, ou seja, dividida por 100. 
É a remuneração paga pelo uso de um capital, sendo representada 
pela letra i.
 � Montante é o valor final do capital aplicado, ou seja, é o capital mais 
os juros, sendo representado pelas letras M, S ou FV, pois também é 
chamado de valor futuro.
 � Tempo é o número de períodos que o capital fica aplicado ou emprestado, 
sendo representado pelas letras n ou t.
Para o cálculo das operações financeiras, são utilizadas fórmulas algébricas 
nas duas convenções, sendo que a simbologia nas duas é a mesma, conforme 
apresentado no Quadro 2.
3Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Capitalização simples Capitalização composta
Juro J = PV ∙ i ∙ n J = PV[(1 + i)n – 1]
Taxa de juros
Tempo ou número 
de períodos
Capital ou valor 
principal
ou: ou:
PV = FV(1 + i)–n
Montante ou 
valor final
FV = PV(1 + i ∙ n) FV = PV(1 + i) ∙ n
Onde:
J = juro; 
FV = valor final;
PV = valor principal;
i = taxa de juros; 
n = número de períodos.Quadro 2. Fórmulas das capitalizações simples e composta
Na resolução de muitos problemas de juros simples e compostos, é imperativo 
que se encontre o montante, o valor principal e o juro por meio das seguintes 
fórmulas:
FV = PV + J
PV = FV – J
J = FV – PV
Juros compostos4
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
É imprescindível estabelecer as relações e as diferenças entre as duas 
capitalizações, concluindo-se que, em juros simples, apenas o capital inicial 
rende juros, sendo diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Já no juro 
composto, o juro gerado pela aplicação em um período será incorporado a 
cada período, gerando juros sobre juros.
Capitalização composta e suas aplicações 
O regime que melhor retrata a realidade nas operações financeiras é o regime de 
capitalização composta. Conforme Azevedo (2015), os financiamentos (p. ex., 
empréstimos bancários, aplicações financeiras ou crédito rotativo por meio de 
cartão de crédito) são permeados atualmente por juros compostos. No regime 
de juros compostos, diferentemente dos juros simples, os juros incidem no saldo 
devedor do período anterior, havendo, portanto, uma composição de juros.
Assim como na capitalização simples, o capital acrescido de juros compõe 
o valor futuro:
FV = PV + J
A fórmula geral da capitalização composta varia de acordo com a quantidade 
de períodos da capitalização, formando o fator de capitalização (1 + i)n, de 
modo que, por gerar juros sobre juros, a fórmula do montante é:
FV = PV(1 + i)n
Por meio da fórmula do valor futuro, tem-se a fórmula do valor principal:
ou ainda:
PV = FV(1 + i)–n
Nos cálculos com a utilização de fórmulas, o período e a taxa devem estar 
na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se o tempo estiver em dias, a taxa 
deve ser dias; se o tempo estiver em meses, a taxa deve estar em meses, e 
assim sucessivamente. Lembre-se de que as taxas devem ser decimais (divi-
didas por 100).
5Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
O Exemplo 1, a seguir, apresenta a aplicabilidade dessa fórmula.
Luiz aplicou um certo capital a uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês, capita-
lizado mensalmente, produzindo um montante de R$ 3.500,00 após 10 meses. Qual 
o valor aplicado por Luiz?
PV = ?
FV = 3.500
n = 10 meses 
i = 1,2% a.m. ÷ 100 = 0,012
Por meio da resolução dessa fórmula, é possível concluir que Luiz Aplicou R$ 3.106,44.
É importante que você utilize uma calculadora científica para a resolução dos cálculos.
Já os juros podem ser calculados pela diferença: 
J = FV – PV
Dessa fórmula, obtém-se: 
J = PV (1 + i)n – PV
E colocando o PV em evidência, tem-se a fórmula do juro composto:
J = PV [(1 + i)n – 1]
O fator (1 + i)n é encontrado em tabelas financeiras para cada valor de 
n e i, e pode ser calculado com as calculadoras científicas usuais ou com a 
calculadora financeira HP 12c.
Juros compostos6
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
O Exemplo 2, a seguir, traz uma demonstração da utilização da fórmula 
do juro composto.
Maria fez um empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2,8% ao mês, durante 
6 meses, e pagou de juros o valor de R$ 7.500,00. Qual o valor que Maria pegou 
emprestado?
PV = ?
FV = ?
Nessa situação, em que se quer descobrir o valor principal que Maria pegou empres-
tado, não é possível utilizar a fórmula do PV, visto que, para calcular por essa fórmula, 
é necessário ter conhecimento do FV, de modo que, como só conhecemos o juro, 
teremos de utilizar a fórmula do juro.
J = 7.500
n = 6 meses
i = 2,8% a.m.÷ 100 = 0,028
Para o cálculo do número de períodos em juros compostos, como o n 
está sempre no expoente, ao fazermos a substituição das variáveis, caímos 
em logaritmos. Em concursos, muitas vezes a questão informa o valor do 
logaritmo, e, nas questões usuais, usa-se a calculadora científica para cálculos 
com fórmulas ou a calculadora financeira HP 12c.
Para o cálculo do tempo, tem-se a seguinte fórmula:
7Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
O Exemplo 3, a seguir, traz uma aplicação para o cálculo do número de 
períodos.
Se a inflação mensal está em torno 1,4%, em quanto tempo uma mercadoria que custa 
R$ 7.500,00 atingirá o preço de R$ 7.819,43?
PV = 7.500
FV = 7.819,43
i = 1,4% a.m. ÷ 100 = 0,014
n = ? 
Já para o cálculo da taxa no juro composto, faz-se necessário o uso de uma 
fórmula prática. Conforme Rohloff (2009), deve-se subtrair 1 e multiplicar 
por 100 o resultado do cálculo exponencial, como segue:
Para o cálculo da taxa, é indispensável o uso de calculadoras. Lembre-
-se de que a resposta virá sempre na forma decimal, de modo que é preciso 
multiplicar por 100 para transformar em taxa percentual, como pode ser 
visualizado no Exemplo 4.
Juros compostos8
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Se você realizar um investimento no valor de R$ 32.000,00 em títulos de capitalização 
que lhe proporcionarão um resgate de R$ 39.753,50 após 150 dias de aplicação, qual 
será a taxa mensal de juros compostos aplicada ao seu capital?
PV = 32.000
FV = 39.753,50
N = 150 dias = 5 meses
i = ?
Resolução de taxas com a máquina financeira 
HP 12c
Taxas de juros
Na capitalização composta, as taxas de juros são definidas de uma maneira 
especial, diferentemente dos juros simples, em que a taxa de 2% ao mês 
representa o mesmo que 24% ao ano ou 12% ao semestre, ou seja, a relação 
é linear. Pode-se dizer, então, que essas taxas são proporcionais. Entretanto, 
nos juros compostos, a relação não é a mesma.
Taxa nominal
Conforme Castanheira e Macedo (2010), ao nos dirigirmos a um agente fi-
nanceiro e questionarmos sobre o valor da taxa utilizado para empréstimo 
9Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
à pessoa física, é comum sermos informados da taxa anual que está sendo 
praticada naquele momento. Entretanto, o prazo de formação de juros e a sua 
incorporação ao capital que o produziu costumam ser de periodicidade menor, 
geralmente mensal. À taxa informada, damos o nome de taxa nominal. 
A taxa de juros é nominal quando a unidade referencial de tempo não 
coincide com a unidade de tempo da capitalização. Por exemplo:
 � 16% ao ano, capitalizada mensalmente;
 � 18% ao ano, capitalizada trimestralmente;
 � 22% ao ano, capitalizada semestralmente.
Quando essa situação ocorrer em problemas de capitalização composta, 
deve-se calcular de forma proporcional aos juros simples. Veja:
 � 16% ao ano, capitalizada mensalmente − = 1,33% a.m.
16
12
 � 18% ao ano, capitalizada trimestralmente 
 � 22% ao ano, capitalizada semestralmente: 
O Exemplo 5, a seguir, apresenta o desenvolvimento desse cálculo por 
meio da fórmula e da calculadora financeira HP 12c.
Determine o montante de um valor de R$ 3.000,00 que foi aplicado à taxa nominal de 
40% ao ano, durante um ano, considerando a capitalização trimestral:
i = 40% a.a. = = 10% a.t. ÷ 100 = 0,1 a.t.
n = 1 ano = 4 trimestres
PV = 3.000
FV = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = 3.000(1 + 0,1)4
FV = 4.392,30
Na calculadora HP 12c:
f reg (zera todos os registros)
3.000 CHS PV
10 i
4 n
FV
Juros compostos10
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Taxas proporcionais, equivalentes e efetivas
Para Azevedo (2015, p. 32), as taxas proporcionais estão ligadas a juros simples, 
ao passo que as taxas equivalentes se associam a juros compostos. Todavia, 
pode-se dizer também que as taxas equivalentes estão ligadas às duas capita-
lizações, e, sempre que solicitadas ao cálculo, é preciso saber qual o tipo de 
capitalização. As taxas efetivas, por sua vez, estão ligadas somente aos juros 
compostos. Desse modo, sempre que for dito a taxa efetiva, não será necessário 
a especificação, visto que a taxa efetiva só é calculada no juro composto.
Conforme Assaf Neto (2012), por se tratar de capitalização exponencial, 
a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de 
juros do períodointeiro. Quando solicitado o cálculo da taxa efetiva ou da 
taxa equivalente em juros compostos, duas fórmulas são usuais para o cálculo:
 e 
A primeira é utilizada quando se tem a taxa com o maior período e se 
quer encontrar a taxa equivalente ao menor período, ao passo que a segunda 
é utilizada quando se tem a taxa com o menor período e se quer encontrar a 
taxa com o maior período.
Para entender melhor, veja os Exemplos 6 e 7.
Determine a taxa de juros compostos mensal equivalente a 21% ao ano:
i = 21% ao ano, porém queremos ao mês (temos a.a. e vamos para a.m., da maior 
para a menor).
Quantos meses têm um ano? 12 meses.
n = 12 meses
Na HP 12c:
100 CHS PV (usa-se como valor principal);
121 FV (valor principal somado à taxa de juros);
12 n (período que buscamos);
i (taxa equivalente).
11Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
A taxa de juros compostos de 2,4% ao mês corresponde à qual taxa equivalente ao 
trimestre?
i = 2,4% ao mês, porém queremos ao trimestre (temos a.m. e vamos para a.t., da 
menor para a maior).
Quantos meses têm um trimestre? 3 meses.
n = 3 meses
Na HP-12c:
100 CHS PV (usa-se como valor principal);
2,4 i (taxa de juros fornecidos);
3 n (período que buscamos);
FV (valor futuro);
100 – (subtrai-se o PV inicial para encontrar a taxa de juros).
Conforme Castanheira e Macedo (2010), na matemática financeira, independentemente 
da capitalização em estudo, é comum utilizar nas respostas duas casas após a vírgula, 
e, para isso, usa-se uma regra de arredondamento: se o terceiro número for 5, 6, 7, 8 
ou 9, o segundo número é arredondado para cima, porém se o terceiro número for 4, 
3, 2, 1 ou 0, o segundo número fica inalterado. Por exemplo:
 � 2,23673% = 2,24%
 � 3,38213% = 3,38%
Juros compostos12
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Neste capítulo, para facilitar o entendimento da capitalização composta, 
foram utilizados vários problemas envolvendo diferentes cálculos desenvolvidos 
por meio de fórmulas e pela máquina financeira HP 12c. Para Castanheira e 
Macedo (2010), pode-se considerar que a essência da capitalização composta 
está na definição de que ela é caracterizada pela reincidência de juros sobre 
o capital, ou seja, quando sobre um valor que já tem embutido uma parcela de 
juro, incide novamente a taxa de juro. Nesse contexto, vários instrumentos de 
cálculos da área financeira são utilizados, como juros simples, juros compostos 
e equivalência de taxas.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
AZEVEDO, G. H. W. Matemática financeira: princípios e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2015.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 3. ed. Curitiba: 
Ibpex, 2010.
ROHLOFF, D. B. Matemática financeira: administração. São Paulo: Pearson, 2009.
VERAS, L. L. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e 
propostos com respostas. São Paulo: Atlas, 2005.
13Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
 
DICA DO PROFESSOR
Em juros compostos, são definidas várias fórmulas aplicadas em problemas do mercado. A 
expressão que define o crescimento do dinheiro ao longo do tempo é (1 + i)n, fundamental no 
regime de juros compostos, e as demais fórmulas são obtidas por meio dessa expressão.
A taxa efetiva é utilizada nos cálculos financeiros a juros compostos, e a taxa nominal depende 
do número de períodos da capitalização.
Nesta Dica do Professor, acompanhe essas aplicações.
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EXERCÍCIOS
1) Ana irá se formar em Administração em dois anos e, para a festa, irá gastar R$ 
9.000,00. Para não ter preocupações com esse valor na época da formatura, já quer 
guardar o dinheiro hoje. O banco lhe ofereceu taxa de juros de 1,42% a.m.
Quanto Ana terá que depositar hoje para ter esse valor na data da formatura? 
(Desconsidere os centavos).
A) R$ 8.749,00.
B) R$ 6.416,00.
C) R$ 6.712,00.
D) R$ 7.610,00.
E) R$ 6.504,00.
2) Sandra realizou uma aplicação de R$ 8.500,00 a juros compostos e, em um ano e 
meio, resgatou o valor de R$ 10.856,96.
Qual a taxa de juros semestral que o banco pagou a Sandra? 
A) 8,50% a.s.
B) 17,72% a.s.
C) 8,50% a.a.
D) 10% a.a.
E) 7% a.s.
3) João está desempregado e, para quitar suas contas mensais, terá de realizar um 
empréstimo bancário no valor de R$ 3.500,00, para pagamento em seis meses. O 
banco lhe ofereceu a taxa de juros compostos de 43% a.a.
Quanto João pagará de juros ao quitar o empréstimo?
A) R$ 573,00.
B) R$ 655,00.
C) R$ 723,00.
D) R$ 685,00.
E) R$ 928,00.
4) Ao se capitalizar uma taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros. As 
instituições financeiras operam com diversos tipos de taxa, confundindo, muitas 
vezes, as convenções linear e exponencial.
Logo, se há uma taxa de 4,80% ao mês, qual será o custo (taxa) efetivo de juros ao 
ano?
A) 3,90% a.a.
B) 0,75% a.a.
C) 0,58% a.a.
D) 57,60% a.a.
E) 75,52% a.a.
5) Um aplicador investe em vários bancos, a fim de obter um bom montante para o 
futuro. No banco X, ele investiu R$ 15.000,00 durante três anos, à taxa de juros 
compostos de 1,2% ao mês, capitalizados mensalmente.
Qual o valor aproximado que poderá ser resgatado ao final desse período por esse 
investidor?
A) R$ 24.763,00.
B) R$ 23.045,00.
C) R$ 15.546,00.
D) R$ 30.546,00.
E) R$ 22.000,00.
NA PRÁTICA
A capitalização composta é o regime de juros mais usual no mercado financeiro e também em 
cálculos do dia a dia das pessoas físicas e jurídicas. Entender como os juros compostos se 
comportam no mercado financeiro é muito importante, pois, quando se adquire dívidas, não é 
nada fácil conseguir quitá-las. O juro do cheque especial, assim como do cartão de crédito, é 
calculado juro sobre juro. 
Veja, Na Prática, um cálculo básico de dívidas com cartão de crédito.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Matemática Financeira — fundamentos e aplicações
A Matemática Financeira auxilia no entendimento dos fenômenos da vida real, permitindo que 
você compreenda melhor o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Assim, o tema de 
juros é de grande importância. Para aprofundar seus conhecimentos, faça a leitura do Capítulo 4, 
"Juros compostos", na página 23 do livro indicado.
Emulador HP-12C
A máquina financeira HP-12c é utilizada principalmente na capitalização composta, e você pode 
realizar todos os cálculos com esta versão on-line.
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Calculadora científica
Para realizar os cálculos de juros compostos, será necessário utilizar uma máquina calculadora 
científica, e você também poderá utilizá-la on-line.
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Taxas
APRESENTAÇÃO
As rentabilidades financeiras fazem a correção de capitais investidos perante uma determinada 
taxa de juros. As taxas de juros, por sua vez, servem para corrigir os índices inflacionários 
referentes a um período, e têm por finalidade ajustar a desvalorização dos capitais aplicados 
durante um aumento da inflação.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá os diferentes tipos de taxas, transformará taxas para 
períodos distintos e equivalentes e analisará a taxa mais adequada ao mercado financeiro e, 
ainda, verificará se a capitalização é simples ou composta.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir os diferentes tipos de taxas.•
Calcular os diferentes tipos de taxas na calculadora financeira.•
Analisar as abordagens sobre taxas referentes ao comparativo à forma de capitalização, ao 
ambiente inflacionário e às operações de desconto.
•
INFOGRÁFICO
Atualmente, é comumas pessoas contratarem empréstimos ou realizarem financiamentos para a 
compra de imóveis e veículos. Um ponto importante do contrato é sempre a taxa de juros, que 
deve ser bem entendida.
Tanto nos tipos de capitalização simples como na capitalização composta podem ser citadas as 
taxas equivalentes. É muito importante compreendê-las.
Veja, no Infográfico, as taxas equivalentes na capitalização simples e na composta.
CONTEÚDO DO LIVRO
No cotidiano das pessoas e também na realidade comercial e bancária, o termo "taxa" tem sido 
empregado com distintos significados e em diferentes situações. Assim, é importante entender 
algumas dessas situações para que se possa aplicar os conceitos e as fórmulas adequadamente.
No capítulo Taxas, da obra Matemática Financeira, você verá as principais taxas utilizadas no 
mercado financeiro, calculadas com fórmulas e também com a calculadora financeira, e ainda 
verá informações sobre inflações e tipos de descontos.
Boa leitura.
Matemática 
Financeira
Adriana Claudia Schmidt 
Taxas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir os diferentes tipos de taxas.
  Calcular os diferentes tipos de taxas na calculadora financeira.
  Analisar as abordagens sobre taxas referentes ao comparativo à forma 
de capitalização, ao ambiente inflacionário e às operações de desconto.
Introdução
As taxas de juros sempre são abordadas nos regimes de capitalização simples 
e composto. No entanto, é preciso fazer um comparativo entre as taxas, por 
meio de problemas práticos e situações cotidianas, pois nem sempre as 
condições das unidades de tempo satisfazem os períodos de capitalização. 
Neste capítulo, você conhecerá os diferentes tipos de taxas, bem como 
as diferentes denominações utilizadas pelo mercado financeiro, sendo 
as taxas mais usuais: efetiva, nominal ou proporcional e equivalente ou 
real. Além disso, aprenderá a adequá-las às categorias padronizadas pela 
calculadora HP-12c. Por fim, analisará as abordagens sobre taxas quando 
à capitalização, ao ambiente inflacionário e às operações de desconto.
Diferentes enfoques das taxas de juros
Taxa efetiva
Pode-se dizer que uma taxa é efetiva quando a taxa informada é igual àquela 
de formação e incorporação dos juros ao capital produzido. Para Puccini e 
Puccini (2006), taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial do 
seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
São exemplos de taxa efetiva:
  3% ao mês, capitalizados mensalmente;
  4% ao bimestre, capitalizados bimestralmente;
  5% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
  8% ao ano, capitalizados anualmente.
Como as unidades de medida de tempo das taxas de juros e dos períodos 
de capitalização são as mesmas, é comum simplesmente dizer: 3% ao mês, 
4% ao bimestre, 5% ao trimestre e 8% ao ano.
Taxa nominal ou proporcional
A taxa nominal de juros refere-se a quando a taxa informada não coincide 
com a capitalização dos juros. Segundo Puccini e Puccini (2006, p. 58), “[...] 
taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização”.
A taxa nominal vem sempre com a unidade anual, e os períodos de ca-
pitalização aparecem em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, 
semestres ou anos. São exemplos de taxas nominais:
  13% ao ano, capitalizados mensalmente;
  14% ao ano, capitalizados bimestralmente;
  15% ao ano, capitalizados trimestralmente;
  18% ao ano, capitalizados semestralmente.
Essa taxa é extremamente empregada em negócios financeiros, porém, 
como não representa a taxa efetiva, seu uso não é indicado em juros compostos.
A taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva subentendida, 
que é a taxa de juros a ser empregado em cada período de capitalização. Essa 
taxa é calculada de forma proporcional ao regime de juros simples. As taxas 
efetivas, que estão implícitas nas taxas anuais nominais, são alcançadas em 
função do número de momentos da capitalização da taxa anual, conforme o 
número de períodos de capitalização do ano, ou seja: quando capitalizado 
diariamente, divide-se a taxa por 360, considerando-se que o ano comercial 
tem 30 dias; quando capitalizado mensalmente, divide-se a taxa por 12, pois 
o ano tem 12 meses; quando capitalizado trimestralmente, divide-se a taxa 
por 4, pois o ano tem 4 trimestres, e assim sucessivamente. 
Conforme Assaf Neto (2012, p. 8):
Taxas2
[...] essa transformação é processada pela denominada taxa proporcional de 
juros também denominada de taxa linear ou nominal. Essa taxa proporcional 
é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número 
de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Observe os exemplos:
  18% ao ano, capitalizados mensalmente:
  20% ao ano, capitalizados trimestralmente:
  22% ao ano, capitalizados semestralmente:
  36% ao ano, capitalizados diariamente:
Pode-se verificar que as taxas nominais não serão utilizadas nos cálculos 
financeiros do regime composto, e sim as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 
1,50% ao mês, 5% ao trimestre, 11% ao semestre, 0,10 % ao dia. Para Dalzot e 
Castro (2015, p. 34), “[...] a existência da proporcionalidade entre duas taxas é uma 
propriedade intrínseca a elas e independe do regime de capitalização dos juros”.
3Taxas
No regime de capitalização simples, taxa proporcional, linear ou nominal e taxas 
equivalentes são a mesma coisa, de modo que é indiferente a classificação das duas 
taxas de juros como proporcional ou equivalente.
Taxa equivalente ou real
Na equivalência de taxas, é preciso considerar os diferentes regimes de capi-
talização — simples e compostos —, visto que, nas mesmas condições, eles 
reproduzem juros diferentes. Para Assaf neto (2012, p. 8), “[...] as taxas de juros 
se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo 
intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros”.
Simbologia para o período das taxas:
  a.d.: ao dia;
  a.b.: ao bimestre;
  a.t.: ao trimestre;
  a.q.: ao quadrimestre;
  a.s.: ao semestre;
  a.a.: ao ano.
Calculando taxas com a HP-12c
A calculadora fi nanceira HP-12c tem maior aplicabilidade no regime de juros 
compostos. A seguir, será demonstrado o cálculo das taxas equivalentes, efetivas 
e nominais somente com o uso da calculadora HP-12c na capitalização composta.
Para o cálculo da taxa equivalente a juros compostos com a calculadora finan-
ceira, observe alguns exemplos. O Exemplo 1 traz a resolução da taxa equivalente.
Taxas4
Exemplo 1
A taxa de 14% a.a. equivale a que taxa mensal?
STO EEX (liga o estado c — capitalização)
100 CHS PV (valor presente)
114 FV (valor futuro — dado pela soma do PV com a taxa de juros)
12 n (período — um ano tem 12 meses)
i (taxa mensal)
1,0978%
Arredondando o valor e trabalhando com duas casas decimais, a taxa equivalente 
a 14% ao ano em juros compostos é igual a 1,10% ao mês.
O Exemplo 2 apresenta o cálculo da taxa mensal para anual, com regime 
de capitalização composta.
Exemplo 2
A taxa de 1,10% a.m. equivale a que taxa anual?
100 CHS PV (valor presente)
1,10 i (taxa mensal)
12 n (período — um ano tem 12 meses)
FV (valor futuro)
RCL PV +
14,0286% (taxa anual)
Arredondando o valor para inteiro, tem-se que 1,10% a.m. é equivalente a 14% ao ano.
5Taxas
Para melhor compreensão dos cálculos equivalentes com a calculadora 
financeira, acompanhe os Exemplos 3 e 4, a seguir.
Exemplo 3
Em juros compostos, qual a taxa bimestral equivalente a 20% ao ano?
Sempre verifique se o estado c está ligado.
100 CHS PV (valor presente)
120 FV (valor futuro — dado pela soma do PV com a taxa de juros)
6 n (período — um ano tem 6 bimestres)
i (taxa bimestral)
3,0853%
Arredondando o valor e trabalhando com duas casas decimais, a taxa equivalente a 
20% aoano em juros compostos é igual a 3,09% ao bimestre.
Exemplo 4
A taxa de 4% ao trimestre equivale a que taxa semestral?
100 CHS PV (valor presente)
4 i (taxa trimestral)
2 n (período — um semestre tem 2 trimestres)
FV (valor futuro)
RCL PV +
8,16% (taxa semestral)
Taxas6
Por meio dos exemplos trabalhados, é possível verificar que, conforme o 
cálculo da taxa equivalente, o modo de resolução na calculadora financeira difere.
Lembre-se de que taxa efetiva é aquela em que o período de capitalização 
é igual ao período da taxa, ao passo que taxa nominal é aquela cujo período 
difere do período de capitalização. Observe a resolução do Exemplo 5.
Exemplo 5
Calcule a taxa nominal anual, considerando que a taxa efetiva é de 19,38%, capitalizada 
mensalmente.
100 CHS PV (valor presente)
119,38 FV (valor futuro — dado pela soma do PV com a taxa de juros)
12 n (período — um ano tem 12 meses)
i (taxa mensal)
1,4871% (taxa nominal mensal)
RCL n x
17,8455% (taxa nominal anual)
Arredondando o valor e trabalhando com duas casas decimais, a taxa nominal efetiva 
é de 19,38% a.a., e a taxa nominal anual é de 17,85% a.a.
Até agora, foram realizados os cálculos das taxas com o uso da calculadora 
financeira. A seguir, serão demonstrados os cálculos por meio do uso de fórmulas.
Interpretações das taxas no regime 
de juros simples e compostos
Taxas proporcionais no juro simples
Duas taxas são ditas proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas 
em que se expressam e as durações dos períodos a que se referem (VERAS, 2005).
7Taxas
Consideremos as taxas de 2% a.m. e 8% a.q. Essas taxas são proporcionais, 
pois 2 é a quarta parte de 8, assim como o mês é a quarta parte do quadri-
mestre. Imagine que dois capitais foram aplicados por um ano às taxas de 2% 
a.m. e 8% a.q., respectivamente. O primeiro deles ficará aplicado durante 12 
períodos, iguais a um mês, e o segundo ficará aplicado durante 3 períodos, 
iguais a um quadrimestre. Nesse caso, a proporção entre as taxas e os números 
de períodos de tempo correspondentes será inversa:
Para Veras (2005), se dois capitais forem aplicados pelo mesmo prazo de 
tempo com taxas proporcionais i
1
 e i
2
, respectivamente, e se n
1
 e n
2 
são os 
números respectivos de períodos que perfazem esse prazo de tempo para cada 
uma dessas aplicações, tem-se:
Acompanhe o Exemplo 6, para o cálculo de taxas proporcionais.
Exemplo 6
Dada a taxa de 60% a.t., determine as taxas proporcionais mensal e anual.
Solução:
Tomando o ano como prazo total da aplicação e substituindo na fórmula, tem-se:
Mensal: i
1
n
1 
= i
2
n
2
Anual: 
i1
n
1 
= i
2
n
2
0,60.4 = im. 12 0,60.4 = ia. 1
im = 0,20 . 100 ia = 2,4 . 100
im = 20% a.m. ia = 240% a.a.
Outra forma de solução é:
Mensal: 60% ÷ 3 = 20% a.m. (dividimos por 3 porque o trimestre tem 3 meses).
Anual: 60% . 4 = 240% a.a. (multiplicamos por 4 porque o ano tem 4 trimestres).
Taxas8
Taxas equivalentes no juro simples
Quando capitais iguais produzem juros e montantes iguais, em tempos iguais, 
são chamados de taxas equivalentes. Segundo Veras (2005, p. 70), “[...] no regime 
de juros simples, as taxas proporcionais são equivalentes”. Então, pode-se dizer 
que 40% a.a. é equivalente a 20% a.s. (40% ÷ 2, pois o ano tem 2 semestres) 
e 10% a.m. é equivalente a 30% a.t. (10% . 3, pois um trimestre tem 3 meses). 
Para o cálculo da taxa, i, em juros simples, pode-se utilizar a seguinte 
fórmula:
onde:
J = juro;
PV = valor principal (capital);
n = tempo.
O Exemplo 7, a seguir, demonstra a equivalência entre as taxas.
Exemplo 7
Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado pelo prazo de 18 dias, tendo produzido um 
montante de R$ 26.200,00. A que taxa mensal esteve aplicado esse capital?
Ao retirar as informações do problema, tem-se:
PV = 25.000
FV = 26.200
J = FV – PV
J = 26.200 – 25.000
J = 1.200
n = 18 dias
9Taxas
Taxa nominal no juro simples
A taxa de juros é nominal quando o período de capitalização é diferente da 
unidade de tempo da taxa. Todavia, para Veras (2005, p. 71):
[...] a taxa nominal nem sempre é igual a efetiva, que é a taxa de rendimento 
que a operação financeira proporciona efetivamente. Isso acontece em razão 
de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os 
rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o 
cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como, por 
exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que, 
na realidade, é pago em parcelas. Esses e outros artifícios são usados cons-
cientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores 
ou menores, conforme a conveniência.
Observe o Exemplo 8 para entender como isso ocorre na prática.
O capital esteve aplicado a uma taxa de 8,00% a.m.
Taxas10
Taxas proporcionais e equivalentes no juro composto
Os conceitos de equivalência e proporcionalidade das taxas no regime de capi-
talização simples e composta são os mesmos. No entanto, enquanto nos juros 
simples o cálculo das taxas equivalentes e proporcionais é o mesmo, em juros 
compostos, eles se diferem, pois as taxas proporcionais não são equivalentes, 
visto que fazem os mesmos capitais, em tempos iguais, produzirem montantes 
diferentes. Observe o Exemplo 9.
Exemplo 8
Uma agência bancária faz empréstimos e cobra 6% a.m. de juros simples, que devem 
ser pagos antecipadamente pelo devedor. Qual é a taxa efetiva que o devedor paga 
pelo empréstimo de R$ 40.000,00 por 5 meses?
Primeiramente, calcula-se os juros retidos na data do empréstimo:
J = PV ∙ i ∙ n
J = 40.000 ∙ 0,06 ∙ 5
J = 12.000,00
Empréstimo efetivo:
40.000 – 12.000 = 28.000
Então, R$ 28.000,00 é o PV efetivo.
Pagamento final: 40.000 (FV efetivo).
Taxa efetiva:
Portanto, o devedor está pagando uma taxa efetiva de 8,57% a.m.
11Taxas
No Exemplo 9, verificou-se que as taxas são proporcionais e os capitais são 
iguais e aplicados em prazos iguais, gerando montantes diferentes, observando 
que, quanto maior o número de capitalizações, maior o montante. Logo, o cálculo 
Exemplo 9
Antônio, Tiago e Gean tinham cada um R$ 20.000,00 para aplicar a juros compostos. 
Antônio aplicou a 12% a.a., Tiago aplicou a 6% a.s. e Gean aplicou a 1 % a.m. Quais os 
montantes de cada um depois de decorrido um ano?
Calcule o montante de cada um conforme as afirmações, primeiro transformando 
as taxas percentuais e decimais e, depois, o tempo de 1 ano, conforme a capitalização.
Antônio:
PV = 20.000
i = 12% a.a ÷ 100 = 0,12
n = 1 ano
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000(1+0,12)1
FV = 22.400,00
Tiago:
PV = 20.000
i = 6% a.s. ÷ 100 = 0,0,6
n = 1 ano = 2 semestres
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000(1+0,06)2
FV = 22.472,00
Gean:
PV = 20.000
i = 1% a.m. ÷ 100 = 0,01
n = 1 ano = 12 meses
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000(1+0,01)12
FV = 22.536,50
Os montantes de Antônio, Tiago e Gean são, respectivamente, R$ 22.400,00, R$ 
22.472,00 e R$ 22.536,50.
Taxas12
das taxas equivalentes, no regime de juros compostos, não se resume a uma 
simples proporção, como no juro simples.
Para o cálculo da taxa, i, em juros compostos, pode-se utilizar a seguinte 
fórmula:
onde:
FV = valor final ou montante;
PV = valor principal ou capital;
n = número de períodos (tempo).
Para Veras (2005), deve haver a seguinte relação entre duas taxas para que 
sejam equivalentes no regime de juros compostos:
Generalizando essa fórmula, pode-se utilizar para o cálculo da taxa equi-
valente as seguintes fórmulas:
O seguinte esquema — não é regra para o uso dessas fórmulas — pode ser 
utilizado quando se tem o tempo de capitalização menor e se deseja encontrar 
a maior capitalização:
E, quando se tem o tempo de capitalização maior e se deseja encontrar a 
menor, utiliza-se:
Pode-se verificar essa relação por meio dos Exemplos 10 e 11.
13Taxas
Exemplo 10
Qual a taxa trimestral equivalente a 30% a.s.?
Como se tem a maior capitalização (semestral) e se desejaencontrar a menor (tri-
mestral), utiliza-se a seguinte fórmula:
Como o semestre tem dois trimestres, n = 2:
A taxa é de 14,02% a.t.
Exemplo 11
Qual a taxa anual equivalente a uma inflação de 4,50% a.t.?
Como se tem a menor capitalização (trimestral) e se deseja encontrar a maior (anual), 
utiliza-se a seguinte fórmula:
Como o ano tem quatro trimestres, n = 4:
A taxa é de 19,25% a.a.
Taxas14
Taxa nominal e taxa efetiva no juro composto
Os conceitos de taxa nominal e efetiva do juro simples são semelhantes aos 
dos juros compostos, visto que, no juro composto, as taxas nominal e efetiva 
também são diferentes. Em juros compostos, é comum a taxa vir com perí-
odos de capitalização e de tempo diferentes, por exemplo: uma taxa de 33% 
ao ano, com capitalização bimestral; ou uma taxa de 20% ao semestre com 
capitalização mensal, e assim sucessivamente. Para Veras (2005), essa forma 
de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado fi nanceiro, também é 
responsável por divergências entre as taxas nominal e efetiva. Convencionou-se, 
então, que, quando o período mencionado na taxa não corresponde ao período 
de capitalização, prevalece este último, devendo-se tomar a taxa proporcional 
correspondente como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal.
O Exemplo 12 traz uma situação comum das taxas de juros.
Exemplo 12
A caderneta de poupança, além da atualização monetária, paga juros de aproximada-
mente 5% a.a., capitalizados mensalmente. Determine a taxa nominal de juros pagos 
pela caderneta de poupança, a taxa efetiva mensal e a taxa efetiva anual.
Solução:
A taxa nominal corresponde a 5% a.a.
A taxa efetiva mensal é 5% ÷ 12 = 0,42% a.m.
A taxa efetiva anual é calculada pela seguinte fórmula:
Taxa de inflação
Em momentos de instabilidade fi nanceira, o ambiente infl acionário é de suma 
importância para o entendimento correto das taxas de atualização monetária. 
Conforme Assaf Neto (2012), diante de cenários econômicos de reduzida taxa 
15Taxas
de infl ação, o conhecimento do juro real permanece muito importante para 
a matemática fi nanceira. Nessas condições, mesmo pequenas oscilações nos 
índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo 
do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado.
Para Veras (2012), a taxa de atualização monetária para n períodos, taxa 
total de atualização monetária ou, ainda, taxa acumulada de atualização 
monetária, i
ac
, pode ser calculada da seguinte forma:
Acompanhe o cálculo da taxa acumulada no Exemplo 13.
Exemplo 13
A taxa mensal de inflação de um trimestre atinge, respectivamente, 2,5%, 3,1% e 5,2%. 
Determine a taxa de inflação acumulada do período:
Para Assaf Neto (2012), de maneira simplista, o processo inflacionário 
de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços 
dos vários bens e serviços. Em sentido contrário, diante de uma baixa pre-
dominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno 
definido como deflação.
Acompanhe no Exemplo 14 a variação dos preços.
Taxas16
Exemplo 14
Determinado semestre apresenta as seguintes taxas mensais de variações nos preços 
gerais da economia: 6,9%, 3,8%, – 1,1% (deflação), 3,2%, 2% e – 0,9% (deflação). Determine 
a taxa de inflação acumulada do semestre:
Taxa de desvalorização da moeda
Em decorrência da infl ação, em que ocorre um aumento nos níveis de preços, 
a taxa de desvalorização da moeda (TDM) mede a queda no poder de compra 
da moeda, causada pelos acréscimos de preços. Para Assaf Neto (2012), se, 
em determinado período, os preços em geral dobram (infl ação de 100%), 
conclui-se que a capacidade de compra das pessoas foi reduzida em 50%, 
ou seja, somente podem adquirir a metade do que costumavam consumir no 
passado. Diz-se, em outras palavras, que a capacidade aquisitiva da moeda 
diminui em 50%. 
A taxa de desvalorização da moeda pode ser calculada pela seguinte 
fórmula:
onde i
i 
é a taxa de infl ação do período.
O Exemplo 15 traz uma demonstração de como se calcula a desvalorização 
da moeda.
17Taxas
Exemplo 15
Em um determinado período, a taxa de inflação alcançou 12%. A queda na capacidade 
de compra nesse período registra a marca de quantos por cento?
A inflação de 12% determina a redução do poder de compra, ou seja, as 
pessoas adquirem 10,71% a menos de bens e serviços do que costumam consumir.
Taxa nominal e taxa real
Para Puccini e Puccini (2006), essas duas denominações estão diretamente 
ligadas ao fenômeno da infl ação. Costuma-se denominar taxa real a taxa de 
juros obtida após se eliminar o efeito da infl ação, e taxa nominal a taxa de juros 
que inclui a infl ação. Assim, a taxa nominal, também chamada de aparente, 
é sempre maior que a taxa real.
De maneira geral, a fórmula de apuração da taxa real é:
onde:
i
r
 = taxa real;
i
n 
= taxa nominal;
i
i
 = taxa de inflação.
Acompanhe o Exemplo 16 para compreender o cálculo da taxa real.
Taxas18
Exemplo 16
Determine a taxa semestral de rendimento real de uma aplicação cuja taxa nominal 
foi de 16% ao semestre, em um semestre em que a inflação foi de 4,85%.
Taxa de desconto 
Segundo Dalzot e Castro (2015), quando se parte de uma quantia futura conhe-
cida, geralmente um direito creditício ou dívida, e se deseja descobrir quanto 
essa quantia vale hoje (qual o seu valor presente ou valor atual), utiliza-se as 
denominadas taxas de desconto.
Pode-se entender que desconto é a diferença entre valor futuro (nominal) e 
valor atual (valor presente). As taxas de desconto podem ser simples ou com-
postas, classificadas em racional (por dento) e comercial ou bancário (por fora).
A taxa de desconto racional simples é dada pela seguinte fórmula:
onde:
i = taxa de desconto por dentro;
N = valor futuro ou nominal;
n = tempo.
Taxa de desconto comercial simples ou por fora: nesse tipo de desconto, a 
taxa incide sobre o valor nominal:
19Taxas
Outra fórmula que pode ser utilizada nesse tipo de desconto é a seguinte:
A taxa de desconto racional composto é dada pela seguinte fórmula:
O Exemplo 17 apresenta o cálculo para os descontos racionais simples e 
composto.
Exemplo 17
Calcule o valor dos descontos racionais simples e composto de um título de R$ 
40.000,00, um ano antes do vencimento, à taxa de 10% ao semestre.
Solução:
N = 40.000
n = 1 ano = 2 semestres
i = 10% a.s. ÷ 100 = 0,10
Desconto racional simples:
Taxas20
A taxa de desconto comercial composto também incide sobre o valor 
nominal, e um desconto para um período anterior ao do nominal deve ser 
entendido como o produto do valor nominal pela taxa de desconto, conforme 
segue: D = N . i. Assim, pode-se concluir que: 
E que:
Para Azevedo (2015), o desconto nada mais é do que a diferença entre 
o valor nominal (montante) e o valor atual (principal). O desconto racional 
composto e os juros compostos possuem o mesmo modus operandi.
Em suma, no mercado financeiro, em muitos problemas práticos e situações 
cotidianas, utiliza-se das taxas de desconto, bem como do cálculo das taxas de juros.
Desconto racional composto:
21Taxas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
AZEVEDO, G. H. W. Matemática financeira: princípio e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2015.
DALZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa-
raiva, 2006.
VERAS, L. L. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao 
mercado financeiro, introdução a engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e 
propostos com respostas. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
Taxas22
DICA DO PROFESSOR
A correção monetária é a atualização do poder aquisitivo. A variação da taxa de atualização 
monetária é dada pela variação entre o último e o primeiro índice.
Acompanhe, na Dica do Professor, como sãorealizados os cálculos de variação da taxa 
acumulada de certo período. 
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EXERCÍCIOS
1) Costuma-se denominar a taxa real como sendo a taxa de juros obtida após se 
eliminar o efeito da inflação. Em uma aplicação, cuja taxa aparente foi de 4% ao mês, 
em um mês em que a inflação foi de 2,72%, qual foi a taxa de rendimento real?
A) 1% a.m.
B) 1,25% a.m.
C) 1,50% a.m.
D) 2% a.m.
E) 2,50% a.m.
2) Oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros 
ao longo do tempo. A taxa mensal de inflação de um bimestre atingiu, 
respectivamente, 4,50 e 3,20%. Qual foi a taxa de inflação acumulada do período?
A) 7,55% a.b.
B) 7,70% a.b.
C) 7,84% a.b.
D) 7,95% a.b.
E) 8,10% a.b.
3) Uma duplicata tem valor nominal de $ 3.050,00 e a taxa de desconto de 2,5% ao mês. 
Qual é o valor do desconto racional simples sabendo que o resgate ocorreu sete meses 
antes do vencimento?
A) $ 454,26.
B) $ 533,75.
C) $ 633,54.
D) $ 655,00.
E) $ 688,27.
4) O processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação 
generalizada dos preços dos vários bens e serviços. Determine a taxa anual de juros 
compostos equivalente a uma inflação de 8,85% a.s.:
A) 4,33% a.s.
B) 4,33% a.a.
C) 1,85% a.s.
D) 18,48% a.s.
E) 18,48% a.a.
5) Antônio tem um capital de $ 15.000,00 e resolveu aplicá-lo pelo prazo de oito meses, 
tendo produzido um montante de $ 16.200,00. A que taxa mensal de juros simples 
esteve aplicado esse capital?
A) 1% a.m.
B) 1,3% a.m.
C) 1,5% a.m.
D) 2% a.m.
E) 2,2% a.m.
NA PRÁTICA
É importante ter cuidado especial no cálculo das taxas nominais, ou seja, nas taxas em que o 
período de capitalização difere do período da taxa, pois não é incomum encontrar esse tipo de 
taxa em financiamentos.
Acompanhe, Na Prática, Marlene e Sérgio, que precisaram fazer um empréstimo, mas não 
ficaram atentos ao período de capitalização da taxa.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Matemática financeira - fundamentos e aplicações
No Capítulo 5, você poderá aprofundar os cálculos das taxas com a utilização de fórmulas e 
também recursos pré-programados existentes nas calculadoras financeiras.
Como transformar taxa nominal em efetiva
Neste link, você assiste a uma explicação sobre taxa nominal e taxa efetiva, para que não restem 
dúvidas.
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O desafio macroeconômico de 2015-2018
Neste estudo, você poderá aprofundar o seu conhecimento sobre a relação entre as taxas de 
juros, a inflação e a taxa de câmbio real.
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Desconto
APRESENTAÇÃO
Nesta unidade de aprendizagem estudaremos o que é desconto, 
as simbologias e os tipos de descontos (bancário e racional). 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar os tipos de desconto bancário e racional.•
Aplicar as fórmulas para se calcular os descontos.•
Demonstrar como calcular os descontos.•
DESAFIO
Após realizar o levantamento das contas a pagar da empresa, para o mês subsequente, o diretor 
administrativo observou que faltariam 
R$ 56.000, 00 em caixa, entretanto, no mês seguinte, a situação já estaria normalizada, com 
folga de caixa superior a este valor. Diante dessas informações, o diretor avaliou quais seriam 
suas alternativas para captar recursos e observou que teria direito de descontar 
R$ 60.000,00 em duplicatas no banco, à taxa de 4% ao mês. Avaliando-se o prazo de 
vencimento das duplicatas, constatou-se que estas teriam vencimento no prazo superior a três 
meses. Como você avalia a situação da empresa? É prudente para a empresa efetuar este 
desconto? Por quê? 
INFOGRÁFICO
O infográfico a seguir mostra a classificação dos descontos em bancário e racional e as fórmulas 
para cálculo, quando forem considerados simples ou compostos, respectivamente:
CONTEÚDO DO LIVRO
O desconto representa um abatimento por pagar um compromisso antes da data de vencimento. 
Temos no mercado o desconto bancário e o desconto racional, ambos divididos em simples e 
compostos. As fórmulas e exemplos estão disponíveis no capítulo 6, Descontos, do livro 
Matemática Financeira: fundamentos e aplicações, dos autores Manuela Longoni de Castro 
Wili Dal Zot.
Boa leitura.
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 6
DESCONTOS
6.1 Introdução
CONCEITO 6.1 Entende-se por desconto “[…] o abatimento que se obtém ao saldar um 
compromisso antes de sua data de vencimento e por descontar o ato acima descrito.” 
(ASSAF NETO, 2009, p. 38; DAL ZOT, 2008, p. 75)
Normalmente os compromissos com vencimento no futuro são originários de empréstimos 
anteriores e são representados por documentos denominados títulos de crédito, que, desem-
penhando papel semelhante ao dos contratos, asseguram legalmente os direitos dos credores.
Os títulos de crédito possuem regras legais que preveem sua negociação de modo a fa-
cilitar a antecipação dos direitos futuros por meio da operação de desconto.
Dentre os títulos mais conhecidos, encontram-se duplicatas, notas promissórias, certifi-
cados de depósito bancário e letras de câmbio.
Uma empresa, ao descontar um título de crédito junto a um banco, recebe um valor in-
ferior ao que o título irá valer no seu vencimento. O valor líquido recebido se denomina valor 
descontado, principal ou valor presente do título. A diferença entre valor líquido recebido e 
valor nominal do título é o desconto.
O valor do título no vencimento é o seu valor de resgate, valor nominal ou valor futuro.
Alguns pontos se destacam na operação de desconto do ponto de vista da empresa que 
se desfaz do título de crédito:
 • Da parte do possuidor ou credor do título, a operação de desconto significa a antecipa-
ção da riqueza nele expressa; em troca, é oferecido um desconto de seu valor nominal 
(ou de resgate).
 • A operação de desconto pode ser comparada a um empréstimo, pois existe um princi-
pal (valor descontado = valor nominal menos o desconto), um prazo e um valor futuro 
(montante, valor nominal, valor de resgate do título).
Pontos de destaque na operação de desconto do ponto de vista do banco que adquire o 
título:
 • Da parte do banco comprador do título, a operação é semelhante a uma aplicação fi-
nanceira cujo principal é o valor pago à vista pelostítulos (valor descontado ou valor 
presente) e o rendimento é o desconto recebido (mesmo que juros).
46 Matemática Financeira
 • Na data de vencimento, o banco que o descontou receberá o valor nominal do título de 
crédito que equivale ao montante do principal oferecido na sua aquisição.
6.2 Simbologia
O objetivo primordial do cálculo financeiro nas operações de descontos é encontrar o 
principal (valor presente ou valor atual) dos títulos de crédito (principal = valor de resgate 
− desconto).
Símbolos mais utilizados
 • D = desconto
 • P = principal, valor descontado, valor atual, valor presente (nas calculadoras financei-
ras: )
 • S = valor de resgate, valor nominal, valor futuro, montante (nas calculadoras financei-
ras: )
6.3 Desconto bancário simples
CONCEITO 6.2 Um dos tipos mais conhecidos de desconto é o desconto bancário sim-
ples. Nele, o valor presente (P) de um título de crédito é obtido por:
 P = S − D (6.1)
e
 D = S·d·n (6.2)
onde
S = valor de resgate, valor de face, valor nominal ou valor futuro do título a ser 
descontado
d = taxa de desconto bancário simples
n = prazo entre o desconto e o vencimento do título
6.4 Cálculo do desconto (D)
EXEMPLO 6.1 Calcular o valor do desconto de duplicatas cujo valor nominal é de R$ 
23.000,00, descontadas a uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês, 38 dias 
antes do vencimento.
Capítulo 6 Descontos 47
Dados:
D = ?
S = 23.000
n = 38 d = m
d = 5% (0,05) a.m.
Solução:
Resposta: R$ 1.456,67.
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
23000 × 23000 ENTER
.05 × .05 ×
38 ÷ 38 ×
30 = 30 ÷
⇒1.456,66666667 ⇒1.456,66666667
6.5 Cálculo do valor descontado (P)
EXEMPLO 6.2 Uma empresa descontou duplicatas no valor de face de R$ 18.700,00 com 
52 dias de antecedência do vencimento, a uma taxa de desconto bancário simples de 4,5% 
ao mês, e deseja saber o valor líquido recebido na operação.
Dados:
P = ?
S = 18.700
n = 52 d = m
d = 4,5% (0,045) a.m.
Solução:
Como D = S·d·n e P = S – D, pode-se formular: P = S − S·d·n ou
 P = S(1 − d·n) (6.3)
Resposta: R$ 17.241,40.
48 Matemática Financeira
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
18700 × ( 18700 ENTER
1 − ( 1 ENTER
.045 × .045 ENTER
52 ÷ 52 ×
30 = 30 ÷
⇒17.241,40000000 − ×
⇒17.241,40000000
6.6 Cálculo da taxa efetiva (i)
Calculando a taxa efetiva
EXEMPLO 6.3 Calcular a taxa efetiva mensal de uma operação de desconto de duplica-
tas no valor de face de R$ 100.000,00, 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de descon-
to bancário simples de 10% ao mês.
Dados:
i = ?
S = 100.000
n = 3 m
d = 10% (0,10) a.m.
Solução:
Como P = S(1 − d·n) e ,
 
ou
 (6.4)
Resposta: 12,62% a.m.
Capítulo 6 Descontos 49
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
1 ÷ ( 1 ENTER
1 − ( 1 ENTER
0.1 × 0.1 ENTER
3 = yx 3 ×
3 1/x − ÷
− 3 1/x yx
1 = 1 −
⇒0,126248 ⇒0,126248
6.7 Tipos de descontos
Os tipos conhecidos de descontos são:
 • Desconto bancário simples (desconto comercial simples ) ou desconto por fora simples
 • Desconto bancário composto ou desconto por fora composto1
 • Desconto racional simples ou desconto por dentro simples
 • Desconto racional composto ou desconto por dentro composto
Tipos de descontos e fórmulas de cálculo do valor presente:
Bancário (d) Racional (i)
Simples P = S(1 − d·n)
Composto P = S(1 − d)n
Uma das diferenças entre os descontos racionais e os bancários é que aqueles utilizam taxa de 
juros (i), enquanto estes, taxas de desconto (d).
Os tipos de descontos mais utilizados são: o desconto bancário simples, para operações 
de desconto de curto prazo, em torno de 30 a 90 dias (duplicatas, notas promissórias, etc.), e 
o desconto racional composto, para prazos superiores.
1 Embora citado por alguns autores, não se tem conhecimento sobre a utilização do desconto bancário composto.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
 
DICA DO PROFESSOR
No vídeo a seguir, veremos o que é desconto, quais os agentes existentes em uma operação de 
desconto, os tipos de desconto e um exemplo de como calcular o desconto bancário simples.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Qual o valor do desconto bancário simples que um banco aplica sobre duplicatas no 
valor de R$ 380.000,00, 57 dias antes do vencimento, à taxa simples de 4% ao mês?
A) R$ 28.880,00
B) R$ 351.120,00
C) R$ 352.712,01
D) R$ 27.287, 98
E) R$ 28.359,45
2) Você investiu em um lote de Letras Financeiras do Tesouro - LFT's, no valor nominal 
de R$ 20.000,00, com prazo de 47 dias, e a uma taxa de desconto de 12% a.m. Qual o 
preço de aquisição do lote, considerando-se desconto bancário simples?
A) R$ 3.760,00
B) R$ 16.240,00
C) R$ 16.370,15
D) R$ 3.629,84
E) R$ 17.600,00
3) Qual o valor pago por um banco que descontou para um cliente duplicatas no valor 
de R$ 120.000,00, à taxa de desconto bancário simples de 2,6% ao mês, 33 dias antes 
do prazo?
A) R$ 3.432,00
B) R$ 116.568,00
C) R$ 116.572,49
D) R$ 3.427,50
E) R$ 116.880,00
4) Qual o valor do desconto bancário simples que um banco aplica sobre duplicatas no 
valor de R$ 27.000,00, 67 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 4,3% ao 
mês?
A) R$ 2.592,90
B) R$ 24.407,10
C) R$ 2.322,00
D) R$ 24.475,62
E) R$ 2.524,37
5) Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 é descontada em um banco seis meses antes de 
seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto bancário simples é de 6% ao mês, 
pergunta-se: qual o valor do desconto?
A) R$ 3.200,00
B) R$ 1.800,00
C) R$ 3.449,34
D) R$ 1.550,65
E) R$ 300,00
NA PRÁTICA
Quando uma empresa precisar de recursos para pagar suas contas, ela poderá recorrer ao 
dinheiro que tem em sua conta bancária, às suas aplicações financeiras, a empréstimos, ao aporte 
de capital etc. Ela terá opção de usar recursos que já existem na empresa e, na falta destes, 
poderá recorrer a recursos externos. Veja: 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Matemática financeira - Fundamentos e aplicações
Este livro ensina os fundamentos da matemática para que se compreenda o seu impacto no 
nosso dia a dia. A obra apresenta conceitos seguidos de exemplos, problemas acompanhados de 
solução e o passo a passo com o uso de calculadoras. Os exemplos foram retirados do mundo 
dos negócios e enriquecidos pela experiência dos autores. (Capítulo 6)
Correção monetária
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, discutiremos a correção monetária, por meio de seu objetivo, 
os conceitos de seus elementos e seus principais indexadores. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir inflação e conhecer seus impactos na economia.•
Calcular a taxa de inflação ocorrida através da leitura dos índices.•
Distinguir as taxas: aparente, correção monetária e real, calculando-as a partir da fórmula 
de Fischer.
•
DESAFIO
Flávia ficou muito feliz quando recebeu a notícia de que seu contrato anual de prestação de 
serviço de decoração com a empresa Casa, de R$15.000,00, teve um aumento de 50%. Sabe-se 
que a inflação interfere no poder aquisitivo e, no período em questão, ela foi de 35%. 
Determine em quanto aumentou ou diminuiu o poder de compra de Flávia no período, em 
termos de taxa e de valor.
INFOGRÁFICO
O infográfico a seguir apresenta a relação entre taxas aparente e real, pela fórmula de Fischer, e 
como encontrar o valor atualizado de venda de um bem, quando se deseja um lucro.
CONTEÚDO DO LIVRO
“A correção monetária é um instituto que visa preservar o valor do dinheiro. Este mecanismo 
opera através da incidência do índice de desvalorização sobre o montante anterior, de maneira 
sucessiva, mantendo-se, desta forma, o poder aquisitivo da moeda”. (Oliveira, 2001, p. 198). 
Para aprofundar os seus conhecimentos sobre o assunto, leia o trecho do capítulo 11 Correção 
Monetáriapertencente a obra Matemática Financeira: fundamentos e aplicações, de Wili Dal 
Zot e Manuela Longoni de Castro, escolhida como base teórica da nossa Unidade de 
Aprendizagem.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Assista ao vídeo a seguir e aprenda um pouco mais sobre correção monetária, por meio de 
exemplos e uso de indexadores.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Uma instituição financeira quer orientar o cálculo da prestação de crédito de uma 
loja, de tal modo que sua rentabilidade real seja de 3% ao mês. Sabendo-se que a 
inflação média é de 2,3% ao mês, determine qual deverá ser a taxa aparente mensal, 
para o cálculo das prestações.
A) 5,30% a.m.
B) 5,37% a.m.
C) 0,7%a.m.
D) -0,68%a.m.
E) 59,90% a.m.
2) Uma empresa desconta R$32.000,00 em duplicatas, 57 dias antes do vencimento, à 
taxa de desconto bancário simples de 6,8% ao mês. Sabendo-se que a inflação média 
do período é de 2,2% ao mês, identifique qual a taxa real mensal de custo efetivo do 
empréstimo para a empresa.
A) 7,55% a.m.
B) 9% a.m.
C) 5,24% a.m.
D) 5,67% a.m.
E) 3,04% a.m.
3) Calcule a taxa de inflação acumulada e média mensal no ano de 2012 com base na variação 
do IGP-M da FGV, conforme tabela a seguir. 
A) -7,2459% a.a. e -0,6249% a.m.
B) 7,8119% a.a. e 0,6288% a.m.
C) 7,5430% a.a. e 0,6079% a.m.
D) 7,9087% a.a. e 0,6363% a.m.
E) -7,0140% a.a. e -0,6042% a.m.
4) Com base nos índices de preços do IGP-M da Fundação Getúlio Vargas, calcule o valor 
atualizado (corrigido), para 31 de julho de 2013, de um eletrodoméstico que foi adquirido 
em 31 de dezembro de 2011, por R$ 230,00. 
A) R$209,12
B) R$252,71
C) R$287,96
D) R$261,74
E) R$252,97
5) Um empresário adquiriu um conjunto habitacional por R$ 11.200.000,00 em 30 de 
novembro de 2009 e deseja vendê-lo com um lucro real de 10%, em 31 de agosto de 2013. 
Com base nos índices de preços do IGP-M da Fundação Getúlio Vargas, calcule o valor que 
o empresário deverá vender o imóvel. 
A) R$12.320.000,00
B) R$14.396.141,28
C) R$15.835.755,41
D) R$13.087.401,16
E) R$14.650.173,65
NA PRÁTICA
A poupança é o investimento mais comum realizado pelos brasileiros, por não incidir imposto 
de renda e ter liquidez diária. Analisando sua rentabilidade, verifica-se que R$100,00 de um 
poupador se converteu, após dois anos, em R$280,00. Sabendo-se que a taxa de inflação média 
mensal foi de 5% a.m., veja, a seguir, a taxa real mensal de juros do esforço financeiro 
realizado.
Em épocas de alta inflação é muito frequente encontrar situações como a do exemplo, onde a 
taxa real foi negativa, ou seja, a pessoa que aplicou durante dois anos, recebe um montante com 
menor poder de compra do que o principal investido.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Inflação
Neste site é apresentado vários aspectos da inflação, desde o que é até a maneira como os 
governos a controlam. Acesse e saiba mais.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Sistema de amortização
APRESENTAÇÃO
A dinâmica de circulação de capitais é crucial para as atividades econômico-financeiras das 
pessoas, das empresas, dos governos e demais agentes. Os empréstimos e financiamentos 
podem ocorrer por intermédio de instituições financeiras ou empresas comerciais, e podem 
ser liquidados em uma única ou mais parcelas A discussão sobre os sistemas de amortização de 
empréstimos não pode esquivar-se do aspecto do valor do dinheiro no tempo, fundamento 
primordial da Matemática Financeira.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar as principais diferenças entre o Sistema de 
Amortização Constante (SAC), Sistema Francês (Tabela Price) e o Sistema de Amortização 
Americano (SAA), além dos conceitos e aplicações, bem como a consolidação de 
cada metodologia e como vem sendo aplicada em relação à amortização do principal e dos juros.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Explicar os principais conceitos do sistema de amortização.•
Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil.•
Utilizar planos financeiros para demonstrar os cálculos, as semelhanças e as diferenças 
entre os sistemas de amortização.
•
DESAFIO
Lidar com o dinheiro em um mundo cada vez mais globalizado está cada dia mais complicado: 
saber cuidar bem das finanças pessoais é fundamental para a qualidade de vida. Porém, por falta 
de um bom acompanhamento e entendimento adequado, as finanças pessoais transformam-
se em uma gigantesca bola de neve originada do consumo desenfreado, crédito facilitado e não 
planejado, comprometendo significativamente a renda das famílias que deixam de lado projetos 
importantes e se dedicam somente a pagar as contas.
Imagine que você está em um stand de vendas imobiliário, onde finalmente encontrou o 
apartamento ideal para você e sua família. Veja, a seguir, as informações sobre essa compra.
Considerando as informações que foram disponibilizadas a você, e pensando na sua condição de 
pagamento, você consegue apenas economizar R$ 4.500,00 por mês para quitar a parcela anual.
Pelo sistema de amortização SAC, seria, nesse caso, adequado, levando em consideração as suas 
condições de pagamento?
INFOGRÁFICO
Os sistemas de amortização são um método que os bancos disponibilizam para as pessoas que 
vão contratar um crédito imobiliário (empréstimo direcionado) e pagar a sua dívida (saldo 
devedor) de forma parcelada. Esses métodos de amortização têm como finalidade 
a liquidação da dívida ou empréstimo ao término do prazo contratado.
Os sistemas mais utilizados pelas instituições financeiras são: o sistema Price e o sistema SAC. 
No Infográfico a seguir, você verá um comparativo entre essas duas formas de amortização.
CONTEÚDO DO LIVRO
O estudo da Matemática Financeira aborda a questão da dívida, que está associada a um valor 
monetário que é emprestado por um período de tempo. Quem adquire essa dívida tem 
como obrigação restituir o montante emprestado, acrescido de juros, previamente acertado o 
valor da taxa desses juros, no prazo estipulado para a quitação do empréstimo.
As práticas usuais do mercado, os empréstimos, são classificados em: de curto, médio e longo 
prazos. Os empréstimos de curto e médio prazos caracterizam-se, normalmente, por serem 
saldados em até três anos. Em relação aos empréstimos de longo prazo (financiamentos), por 
existirem inúmeras modalidades de restituição do capital e de encargos financeiros, têm um 
tratamento especial, no qual essas operações têm condições fixadas por contratos bilaterais entre 
a empresa e a instituição financiadora. Dessa forma, pode-se afirmar que um sistema de 
amortização é simplesmente uma forma de devolução do capital emprestado mais os encargos 
financeiros.
No capítulo Sistema de amortização, da obra Matemática Financeira, você irá conhecer o 
conceito de amortização, conferindo os três tipos de sistemas de amortização, que são: Sistema 
de Amortização Constante (SAC), Sistema Francês (Tabela Price) e Sistema de Amortização 
Americano (SAA).
Boa leitura.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Rodolfo Vieira Nunes
Sistemas de amortização
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Explicar os principais conceitos dos sistemas de amortização.
  Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil.
  Utilizar planos financeiros para demonstrar os cálculos, as semelhanças 
e as diferenças entre os sistemas de amortização.
Introdução
Um empréstimo financeiro é uma operação atrelada a um contrato entre um 
cliente (tomador) e uma instituição financeira (emprestador). Por meio do 
empréstimo, o clienterecebe uma quantia em dinheiro, que deve ser devolvida 
em prazo determinado e acrescida dos juros definidos por ambas as partes.
Um empréstimo que deve ser restituído em quantias periódicas 
iguais (mensal, trimestral ou anualmente) é chamado de “empréstimo 
amortizado”. A palavra “amortização” vem do termo latino mors, que 
significa “morte”. Assim, um empréstimo amortizado é aquele empréstimo 
liquidado com o passar do tempo.
Um sistema de amortização se caracteriza pela definição de critérios que 
estabelecem quanto deve ser pago em cada parcela. Tal pagamento se divide 
em: principal (amortização) e encargos (juros, remuneração). Há basicamente 
três sistemas de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC), 
sistema francês ou tabela Price e Sistema de Amortização Americano (SAA).
Neste capítulo, você vai conhecer alguns conceitos relacionados aos 
sistemas de amortização. Além disso, vai se familiarizar com as principais 
características desses sistemas e verificar as diferenças existentes entre eles.
Principais conceitos
A seguir, você vai conhecer alguns conceitos importantes para o seu apren-
dizado ao longo deste capítulo. Como você sabe, estudar os conceitos básicos 
de uma área é fundamental para compreendê-la (ASSAF NETO, 2016; 
CARVALHO; ELIA; DECOTELI, 2009; GIMENES, 2006; HOJI, 2016; 
SILVA, 2012).
  Amortização: são os pagamentos do principal da dívida, ou seja, do 
montante emprestado. Não confunda a amortização com a parcela 
desembolsada total, que pode incluir juros. Os juros não fazem parte 
da amortização do principal.
  Carência: um fluxo de caixa com carência (ou f luxo diferido) é 
aquele em que os pagamentos da dívida começam a ocorrer em um 
período posterior ao término da carência. Assim, por exemplo, um 
fluxo de caixa com carência de dois períodos é aquele em que os 
pagamentos começam a ocorrer no terceiro período. Alguns autores 
usam um conceito diferente de carência, porém esse que você acabou 
de ver é o mais utilizado no mercado e o mais comum nos exames 
de certificação.
  Juros: são uma espécie de “aluguel” pago pelo uso do dinheiro, ou 
seja, uma forma de remunerar o capital que foi emprestado. Do ponto 
de vista de quem toma um empréstimo, os juros são o custo de captar 
o valor. De uma perspectiva mais financeira, os juros são o resultado 
da aplicação da taxa de juros sobre o saldo devedor.
  Prestação: é uma forma de pagamento a prazo em que o montante total 
é dividido e pago periodicamente pelo devedor como meio de quitar 
uma parte da dívida. A composição da prestação pode ser advinda da 
amortização e dos juros do empréstimo.
  Saldo devedor: é a diferença entre o valor do empréstimo atualizado e a 
soma das amortizações, ou seja, é o que já foi pago de juros e principal. 
Em uma visão simplificada, o saldo devedor é o total do principal da 
dívida em determinado momento.
Todas as definições que você viu aqui estão relacionadas a uma abordagem financeira. 
Podem existir outras explicações e entendimentos sobre esses conceitos, porém com 
uma abordagem ou explicação não financeira.
Sistemas de amortização2
Sistemas de amortização em uso no Brasil
SAC
No SAC, o pagamento do empréstimo ocorre por meio de um conjunto de 
prestações em que as amortizações do saldo devedor são constantes ao longo 
de todo o período do contrato (HOJI, 2016). Nesse sistema, as parcelas da 
amortização são sempre iguais entre si. Já os juros são calculados sobre 
o saldo devedor do período anterior. Na Figura 1, veja a composição das 
prestações no SAC.
Figura 1. Composição das prestações no SAC.
A Figura 1 mostra que as prestações são decrescentes ao longo do período, 
pois os juros incidem com um valor cada vez menor sobre o montante das 
prestações. A amortização do principal, como o próprio nome do sistema 
indica, é constante no tempo.
Para compreender melhor, considere um exemplo: existe um empréstimo 
no valor de R$ 300.000,00 a ser pago em 5 parcelas anuais com carência no 
primeiro ano. A amortização estipulada em contrato deve ser de R$ 60.000,00 
por ano. Esse empréstimo está condicionado a juros de 12% ao ano. Agora 
veja o Quadro 1, a seguir.
3Sistemas de amortização
Final do 
ano
Amortização 
(a)
Juros 
SD
p – 1
 × 12%
(b)
Prestação
(a) + (b)
Saldo 
devedor
(SD)
Hoje 300.000,00
1 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
2 60.000,00 36.000,00 96.000,00 240.000,00
3 60.000,00 28.800,00 88.800,00 180.000,00
4 60.000,00 21.600,00 81.600,00 120.000,00
5 60.000,00 14.400,00 74.400,00 60.000,00
6 60.000,00 7.200,00 67.200,00 0,00
Total 300.000,00 144.000,00 444.000,00
Quadro 1. Aplicação do SAC
Por meio dessa metodologia, as amortizações começam a ser pagas a partir 
do final do segundo ano, por conta do período de carência já predeterminado. 
Contudo, essa carência não interfere no pagamento dos juros, que já come-
çam a ser pagos ao final do primeiro ano, não diminuindo o valor do saldo 
devedor. O cálculo dos juros é efetuado sobre o saldo devedor do período 
anterior. Assim, o saldo devedor diminui somente com a amortização da 
dívida (GIMENES, 2006).
Veja alguns aspectos relevantes sobre o funcionamento do SAC:
  é uma opção sugerida para quem tem a possibilidade de quitar a dívida 
de forma antecipada;
  é caracterizado por uma amortização maior no início e um saldo devedor 
que cai mais rapidamente;
  demanda um capital maior para o início do financiamento.
Em síntese, no método de amortização SAC, também conhecido como 
“método hamburguês”, as prestações ao longo do contrato ou empréstimo 
reúnem a composição das amortizações constantes mais os juros variáveis 
decrescentes (ASSAF NETO, 2016).
Sistemas de amortização4
Um sistema de amortização pouco utilizado é o alemão. Ele consiste em liquidar uma dívida de 
modo que os juros sejam pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto no primeiro 
pagamento, que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. Nesse 
sistema, é necessário conhecer o valor de cada pagamento e os valores das amortizações.
Tabela Price
O sistema Price, também conhecido como “sistema francês”, consiste no paga-
mento de um empréstimo por meio de um conjunto de prestações sucessivas e 
constantes, de modo que a amortização do saldo devedor é realizada ao longo 
do contrato (HOJI, 2016). Ele é largamente utilizado no mercado fi nanceiro e 
de capitais brasileiro; é o sistema mais conhecido no País.
A denominação deve-se ao matemático, filósofo e teólogo inglês Richard 
Price, que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de em-
préstimos. A principal característica desse sistema são as prestações cons-
tantes ao longo do tempo. Para que isso ocorra, é necessário que as parcelas 
da amortização sejam menores no início e maiores no final. Além disso, as 
parcelas dos juros devem ser maiores no início e menores no final. Observe 
a Figura 2 para compreender melhor esse conceito.
Figura 2. Composição das prestações no sistema Price.
5Sistemas de amortização
Utilizando o mesmo exemplo do sistema de amortização anterior, deve-se 
calcular o valor de cada uma das prestações a partir do segundo ano, consi-
derando que elas devem ser iguais entre si. Gimenes (2006) utiliza a equação 
do fluxo de caixa uniforme. Veja:
Onde:
  VP (valor presente): 300.000
  i (taxa de juros): 12% ao ano
  n (período de pagamento): 5 anos
  PMT (valor das prestações): ?
Portanto, o valor de cada prestação, que é composta da amortização so-
mada aos juros, deve ser o montante de R$ 83.222,92 a partir do segundo ano. 
O Quadro 2 apresenta de outra forma o método de cálculo do sistema Price.
Final 
do ano
Amortização
(a)
Juros 
SD
p – 1
 × 12%
(b)
Prestação
(a) + (b)
Saldo 
devedor
(SD)
Hoje 300.000,00
1 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
2 47.222,92 36.000,00 83.222,92 252.777,08
3 52.889,67 30.333,25 83.222,92 199.887,41
4 59.236,43 23.986,49 83.222,92140.650,98
5 66.344,80 16.878,12 83.222,92 74.306,18
6 74.306,18 8.916,74 83.222,92 0,00
Total 300.000,00 152.114,60 452.114,60
Quadro 2. Aplicação do sistema Price
Sistemas de amortização6
Nesse método, todas as prestações são iguais após o período de carência. 
Além disso, a amortização é calculada após o cálculo dos juros, sendo a 
diferença entre a prestação e os juros. A Figura 3 exemplifica o quanto a 
amortização e os juros compõem cada parcela de pagamento.
Figura 3. Prestações — juros e amortizações.
Perceba também que, por começar a amortizar com um valor menor 
no início, quem escolhe esse tipo de sistema acaba pagando mais juros 
do que no SAC. Veja alguns aspectos relevantes sobre o funcionamento 
do sistema Price:
  é caracterizado por uma amortização menor no início e por um saldo 
devedor que demora a cair;
  não é uma boa opção para quem tem a possibilidade de quitar a dívida 
de forma antecipada;
  demanda um capital menor para iniciar o financiamento.
Em resumo, no sistema Price de amortização, as prestações são constantes 
ao longo do tempo. Tais prestações são compostas em parte por amortizações 
diferentes e crescentes e em parte por juros com valores diferentes e decres-
centes ao longo do período (ASSAF NETO, 2016).
7Sistemas de amortização
SAA
No SAA, o principal da dívida só é amortizado ao final do período do 
contrato. Assim, ao longo do contrato, são quitados apenas os juros sobre 
o saldo devedor, que se mantém inalterado até o vencimento da dívida 
(HOJI, 2016).
Nesse sistema, o principal é pago em apenas uma parcela, no final 
do período. Ou seja, a amortização é paga como um todo no final do 
contrato estipulado. Na Figura 4, veja uma representação do método de 
amortização.
Figura 4. Composição das prestações no SAA.
No Quadro 3, a seguir, veja a aplicação de um exemplo. Para esse caso, 
o período de carência é de 5 anos, e não de apenas 1 ano, como nos sistemas 
que você viu anteriormente.
Sistemas de amortização8
Final 
do ano
Amortização
(a)
Juros 
SD
p – 1
 × 12%
(b)
Prestação
(a) + (b)
Saldo 
devedor
(SD)
Hoje 300.000,00
1 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
2 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
3 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
4 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
5 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
6 300.000,00 36.000,00 336.000,00 0,00
Total 300.000,00 216.000,00 516.000,00
Quadro 3. Aplicação do SAA
Na situação mostrada no Quadro 3, os juros pagos são os maiores dentre 
os três sistemas, pois a amortização ocorre apenas no final. Assim, correm 
juros sobre todo o saldo devedor ao longo de toda a vida do empréstimo.
A seguir, veja alguns aspectos relevantes sobre o funcionamento do SAA:
  é caracterizado pela possibilidade de o devedor quitar a sua dívida 
quando quiser;
  permite o pagamento parcial da dívida, reduzindo o valor dos juros 
proporcionalmente;
  é indicado quando está previsto o recebimento de uma quantia futura 
suficiente para quitar a dívida.
Esse tipo de sistema é muito utilizado na emissão de debêntures e títulos 
do governo com pagamentos intermediários (SILVA, 2012). Esses pagamentos 
intermediários recebem também o nome de “cupons”, que nada mais são do 
que os juros pagos sobre o saldo devedor.
9Sistemas de amortização
No modelo americano de amortização, as prestações de quase todo o período 
envolvem o pagamento de juros fixos. Assim, a amortização do principal é 
paga somente no último período do empréstimo. Ou seja, durante quase todo o 
tempo do empréstimo, a prestação é quase toda composta pelos juros; apenas 
no último período essa composição se altera, pois inclui a amortização do 
valor principal (ASSAF NETO, 2016).
A Caixa Econômica Federal possui uma política de financiamento da casa própria. Tal 
política é vinculada a um programa de incentivo e auxílio para a moradia criado pelo 
Governo Federal, o Sistema Financeiro de Habitação (SFH). No financiamento pelo 
SFH, é necessário definir:
  o valor e o prazo;
  se a taxa de juros será pré ou pós-fixada;
  a fórmula de cálculo da prestação.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas, 2016.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELI, C. A. Matemática financeira aplicada. Rio de 
Janeiro: FGV, 2009.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12c e Excel: uma abordagem descompli-
cada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HOJI, M. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016.
SILVA, J. P. Análise financeira das empresas. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
Leituras recomendadas
BREALEY, R.; MYERS, S.; ALLEN, F. Princípios de finanças corporativas. 12. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2018.
GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira. 12 ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
ROSS, S. A. et al. Fundamentos de administração financeira. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
Sistemas de amortização10
DICA DO PROFESSOR
O Sistema Financeiro da Habitação – SFH, buscando conciliar as vantagens e as desvantagens 
das Tabelas Price e SAC, introduziu o chamado Sistema de Amortização Mista – SAM. O SAM 
é equivalente a imaginar que metade do capital seja financiada segundo o método francês e a 
outra metade, à mesma taxa e prazo, pelo método de amortização constante.
Na Dica do Professor, você irá conhecer um pouco do Sistema de Amortização Misto (SAM).
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EXERCÍCIOS
1) O valor de uma casa no litoral é de R$ 500.000,00. Você se interessou e foi conversar 
com o corretor. A proposta feita pelo corretor de imóveis retrata que a casa pode ser 
financiada por 5 anos, com uma taxa nominal de 12% ao ano. Considerando o 
sistema da Tabela Price de financiamento, com pagamentos mensais iniciando ao 
final do primeiro mês, qual é o valor da terceira prestação?
A) R$ 10.146,67.
B) R$ 11.122,22.
C) R$ 12.437,82.
D) R$ 13.166,67.
E) 13.083,33.
O valor de uma casa no litoral é de R$ 500.000,00. Você está interessado e acaba indo 2) 
conversar com o corretor. A proposta feita pelo corretor de imóveis retrata que a 
casa pode ser financiada por 5 anos, com uma taxa nominal de 12% ao ano.
Considerando o Sistema de Amortização Americano de financiamento, com 
pagamentos anuais iniciando ao final do primeiro ano, qual é o valor da terceira 
parcela?
A) R$ 60.000,00.
B) R$ 11.122,22.
C) R$ 13.166,67.
D) R$ 56.000,00.
E) R$ 66.000,00.
3) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira 
delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo 
devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta 
prestação será:
A) R$ 50,00.
B) R$ 52,00.
C) R$ 54,00.
D) R$ 56,00.
E) R$ 58,00.
4) O Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês 
(SAF) são dois métodos de amortização muito utilizados no mercado. Realizando um 
comparativo entre eles, é possível afirmar que:
A) Os juros são calculados sobre o valor da amortização em ambos os sistemas.
B) No Sistema de Amortização Francês (SAF), as prestações são crescentes.
C) No Sistema de Amortização Constante (SAC), as prestações são decrescentes.
D) O pagamento total dos juros é igual em ambos os sistemas.
E) O saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é maior no SAC do que no SAF.
5) A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento leva o indivíduo a 
contrair um empréstimo. E, para sanar esse compromisso, ele pode recorrer a 
diversas formas de pagamento, que recebem o nome de sistema de amortização. Em 
todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com 
os juros do saldo devedor.
No caso do Sistema de Amortização Constante (SAC), pode-se afirmar que:
A) O valor das prestações é uniforme durante toda a amortização e os juros são crescentes.
B) O valor do empréstimo é pago de uma só vez no final do prazo de amortização.C) A amortização é feita em parcelas crescentes com juros constantes lineares.
D) As prestações são fixas e os juros são crescentes durante a amortização.
A amortização é feita em parcelas iguais e, portanto, os valores dos juros e das prestações E) 
são decrescentes.
NA PRÁTICA
Em um contrato de financiamento, além de outras exigências legais, existem as cláusulas que 
determinam o valor das prestações, parte de extrema importância dentro da negociação, pois, 
dependendo da forma como será constituída, os valores podem crescer ou decrescer ao longo do 
contrato. A prestação de um financiamento é dividida em amortização e em juros. Assim, os 
pagamentos de tais financiamentos, normalmente, incluem um montante de juros calculados 
sobre o saldo devedor do financiamento, acrescido de uma parcela do correspondente ao saldo 
devedor do empréstimo. Ou seja, em cada pagamento, sempre haverá o pagamento do principal 
que foi emprestado e uma parte dos juros.
Na Prática, você vai acompanhar um estudo de caso de João Carlos de Melo e o seu 
financiamento de um imóvel pela Tabela SAC.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas e Prestações Constantes
Este artigo apresenta uma interessante abordagem crítica sobre as amortizações e as prestações 
constantes.
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Price ou SAC: qual financiamento devo escolher?
Confira uma breve explicação, com um consultor imobiliário, sobre qual é o melhor sistema: 
Price ou SAC.
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Valor do dinheiro no tempo
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos identificar o valor do dinheiro no tempo e quais são as 
variáveis utilizadas para realizar os cálculos de matemática financeira, bem como a regra de 
ouro para se fazer os arrendondamento e tipos de capitalização dos juros. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar e aplicar o conceito do valor do dinheiro no tempo.•
Apontar as variáveis envolvidas nos cálculos da matemática financeira e sua simbologia.•
Estabelecer o time para arredondamento das contas.•
DESAFIO
A transportadora Mirim, de entregas rápidas e pequenas, avaliou a evolução do gasto com 
combustível: em 1998, um tanque era abastecido por R$30,00. Em 2015, 17 anos depois, o valor 
necessário para abastecer o tanque do mesmo carro passou a ser R$160,00, um aumento de 
433,33%. Diante dessa diferença significativa em 17 anos, em apenas um único custo, a empresa 
pode considerar que apenas se as receitas tenham aumentado na mesma proporção, o negócio 
será viável. 
Você concorda com a afirmação da empresa? Justifique sua resposta.
INFOGRÁFICO
Veja a relação entre o tempo e o valor do dinheiro no tempo.
CONTEÚDO DO LIVRO
Veja o valor do dinheiro no tempo e algumas simbologias propostas para os cálculos financeiros 
nos trechos selecionados do livro Matemática Financeira: fundamentos e aplicações, dos 
autores Manuela Longoni de Castro e Wili Dal Zot.
Boa leitura!
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS
2.1 O valor do dinheiro ao longo do tempo
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa pergunta alea-
toriamente para diversas pessoas, é provável que mais de 90% das respostas indiquem a 
preferênci a por R$ 100,00 hoje. Pode-se ter várias razões para essa preferência:
 • A perda do poder aquisitivo da moeda pela inflação
 • Risco de não receber o dinheiro no futuro
 • Impaciência para consumir bens ou serviços imediatamente
 • Outras opções de investimento com expectativa de lucro
Uma vez que uma quantia hoje representa mais valor do que a mesma quantia no fu-
turo, surge a figura do empréstimo, ou seja, o aluguel do dinheiro por um certo tempo e por 
um determinado preço.
A oportunidade de uso representa valor para quem dispõe de dinheiro hoje; logo, exis-
tem pessoas dispostas a pagar um preço para dispor desse recurso. Essas pessoas são a ponta 
devedora dos empréstimos: viver agora, pagar depois. De outro lado, existem pessoas dispostas 
a se privar de recursos hoje em troca de um prêmio por sua espera: pagar agora, viver depois. 
Assim, pode-se dizer que os juros são o preço da impaciência dos devedores e o prêmio da 
espera dos credores. Os juros são o preço do aluguel do dinheiro, e o empréstimo é uma troca 
intertemporal de uma quantia no presente pela mesma quantia acrescida de juros no futuro 
(GIANETTI, 2005).
A troca intertemporal é representada por uma equação de valor. Se considerarmos que 
a quantia emprestada é uma variável econômica representada pela letra P e tomarmos como 
J a representação dos juros, a variável econômica que expressa o preço pago pelo aluguel do 
dinheiro emprestado, temos a seguinte expressão matemática:
S = P + J
onde S é o valor total que o devedor ou tomador do empréstimo deverá pagar ao credor ao 
final do prazo ajustado. A fórmula e xpressa uma relação de valor: o que hoje vale P, amanhã 
valerá S, equivalente a P + J.
6 Matemática Financeira
CONCEITO 2.1 Matemática Financeira é a disciplina que tem por objetivo o estudo 
da evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo. Esse estudo é composto de equações 
matemáticas que expressam, principalmente, a relação entre o valor de uma quantia 
em dinheiro no presente e o seu valor equivalente no futuro. De uma forma prática, 
a Matemática Financeira visa ao cálculo dos rendimentos dos empréstimos e de sua 
rentabilidade.
Por pertencer ao ramo de disciplinas da Matemática Aplicada, a Matemática Financeira uti-
liza como principal método a solução de problemas, subordinando-se às convenções e normas 
das práticas financeiras, bancárias e comerciais do mundo dos negócios.
2.2 Principais variáveis e simbologia
O estudo da evolução do dinheiro é feito pela Matemática Financeira por meio de equações 
onde se encontram relacionadas as principais variáveis econômicas, geralmente simboliza-
das por letras. Neste livro, as letras utilizadas estão destacadas ao lado dos títulos das sub-
seções. Outras simbologias utilizadas na literatura também são mencionadas nos parágrafos 
de cada variável.
2.2.1 Principal (P)
CONCEITO 2.2 Principal é o capital inicial (C, C0) de um empréstimo ou de uma aplica-
çãofinanceira. Também é conhecido por valor presente (VP), valor atual (VA), valor des-
contado ou present value (PV), sigla encontrada na maioria das calculadoras financeiras.
Em uma aplicação ou em um empréstimo, maior capital inicial implica mais juros.
2.2.2 Juros (J)
CONCEITO 2.3 Juro é a remuneração do capital emprestado. Da parte de quem paga, 
é uma despesa ou custo financeiro; da parte de quem recebe, é um rendimento ou renda 
financeira.
Sinônimos: encargos, acessórios (do principal), rendimento, serviço da dívida.
2.2.3 Montante (S)
CONCEITO 2.4 Montante é o saldo ou valor futuro (VF, Cn) de um empréstimo ou de 
uma aplicação financeira. É a s oma do capital aplicado ou emprestado mais os juros, 
expressa pela equação:
 S = P + J (2.1)
Sinônimos: valor futuro (VF), valor de resgate (VR), future value (FV).
Capítulo 2 Conceitos básicos 7
2.2.4 Prazo (n)
CONCEITO 2.5 O prazo se refere ao período de tempo que dura o empréstimo ou a 
aplicação financeira.
Maior tempo em um empréstimo implica maior quantia de juros.
O tempo pode ser medido em diferentes unidades, como dias, meses, trimestres, anos, 
etc.
O símbolo n também é utilizado para representar número de prestações.
2.2.5 Prestação (R)
CONCEITO 2.6 Prestação se refere ao valor de pagamentos quando esses são feitos em 
um número maior do que a unidade.
Sinônimos: pagamentos (PGTO), payment (PMT).
2.2.6 Taxa (i)
O j uro é o elemento fundamental da Matemática Financeira. Entretanto, conhecer apenas o 
valor do juro não dá uma ideia completa do problema.
Considere duas situações de aplicações feitas no mesmo período em que se obtêm R$ 
200,00 de juros: na primeira, o capital emprestado é R$ 1.000,00; na segunda, o capital em-
prestado é R$ 10.000,00. Em ambas as situações, os juros foram os mesmos: R$ 200,00. En-
tretanto, na primeira situação, cada R$ 100,00 emprestados renderam R$ 20,00, enquanto na 
segunda renderam R$ 2,00.
Por outro lado, os mesmos R$ 200,00 também poderiam ser obtidos de uma mesma 
aplicação em outras duas situações diferentes: após 1 mês de aplicação ou após 12 meses. No-
vamente, em ambas, os juros foram os mesmos: R$ 200,00. No entanto, na primeira situação, 
em apenas 1 mês de empréstimo, obteve-se a mesma quantia de juros que na segunda, que 
demorou 12 meses. Pode-se supor, então, que a primeira aplicação é 12 vezes mais rentável 
do que a segunda.
Os juros crescem à medida que o principal aumenta, mas também crescem com o trans-
correr do tempo. Essa dupla dependência dos juros cria uma dificuldade no seu cálculo. Para 
resolver a dupla dependência dos juros:
CONCEITO 2.7 Define-se como taxa de juros o quociente entre o valor dos juros gerados 
no primeiro período (na unidade de tempo considerada) pelo valor do capital emprestado:
A taxa de juros pode ser apresentada em dois formatos: taxa unitária ou taxa percentual.
Exemplo: um empréstimo de R$ 1.000,00 rendeu juros de R$ 200,00 no primeiro mês:
a.m. a.m. a.m.
8 Matemática Financeira
Uma taxa unitária de 0,20 ao mês significa um juro de R$ 0,20 a cada R$ 1,00 de prin-
cipal por mês de empréstimo. Uma taxa percentual de 20% ao mês significa um juro de R$ 
20,00 a cada R$ 100,00 de principal por mês de empréstimo.
Taxas percentuais são utilizadas no meio financeiro e nas calculadoras financeiras, en-
quanto taxas unitárias são utilizadas em fórmulas.
2.3 Regra do b anqueiro
As fórmulas da Matemática Financeira exigem compatibilidade entre as variáveis de tempo e 
taxa, isto é, se o tempo for medido em meses, a taxa utilizada deverá ser ao mês.
Embora de intuitiva racionalidade, essa exigência nos obriga a seguir determinadas 
convenções. A mais utilizada é a regra do banqueiro (CISSELL; CISSELL, 1982, p. 23).
Os dias de um empréstimo ou aplicação financeira de 01/02/2013 a 01/03/2013 podem 
ser contados de duas maneiras:
 • Contagem exata: 28 dias
 • Contagem aproximada: 30 dias
Em ambos os casos, não se conta o primeiro dia e conta-se o último. Na contagem exata, 
consideram-se os dias efetivamente existentes. Na contagem aproximada, considera-se que 
todo mês tem 30 dias, independentemente de qual seja o mês.
Um ano tem:
 • 365 dias, se for ano civil
 • 360 dias, se for ano comercial ou bancário
Um mês tem: 30 dias
Pela regra do banqueiro, todo ano é bancário, então uma taxa de juros de 20% ao ano 
significa que, a cada 360 dias corridos (contagem exata), uma aplicação financeira de R$ 
100,00 rende R$ 20,00 de juros.
Pela mesma regra do banqueiro, todo mês tem 30 dias, o que significa uma taxa de juros 
de 10% ao mês proporcionando que a cada 30 dias corridos (contagem exata) uma aplicação 
financeira de R$ 100,00 renda R$ 10,00 de juros.
EXEMPLO 2.1 Seja uma aplicação financeira realizada no período que vai de 01/02/2013 
a 01/03/2013 a uma taxa anual de 45% ao ano. Nesse caso, para tornar compatíveis as uni-
dades de tempo e taxa, deseja-se encontrar a fração de ano que corresponde à aplicação.
Pela regra do banqueiro, utiliza-se a combinação contagem exata e ano comercial ou 
bancário:
EXEMPLO 2.2 Considere o período que vai de 01/03/2011 a 01/03/2012. Pela conta-
gem exata, esse período tem 365 dias e todos os dias do período, exceto o primeiro, são 
considerados.
Capítulo 2 Conceitos básicos 9
Se a taxa de juros for mensal, devemos transformar o período em meses:
No caso de uma taxa de juros anual, devemos transformar o período em anos:
2.4 Precisão nos cálculos
2.4.1 Arredondamento
Boa parte dos resultados dos cálculos financeiros é proveniente de frações. Algumas delas 
têm uma representação decimal finita, como é o caso de . Outras, entretanto, têm 
uma correspondência decimal infinita como 
1.400
3
. Se o que estivermos pro-
curando for um valor em reais, no primeiro caso a resposta seria R$ 70,00, precisamente. 
Já no segundo caso, temos um problema de precisão quanto à representação em reais, 
uma vez que nessa moeda é permitido somente até duas casas decimais. Assim somos 
forçados a “arredondar”a resposta para R$ 466,67, que é o número mais próximo da res-
posta correta.
Uma vez definido qual é o número de casas limite para a apresentação do resultado de 
um cálculo, deve-se proceder o arredondamento. Para arredondar, se o primeiro algarismo a 
ser eliminado for 5 ou maior, acrescenta-se 1 no último algarismo remanescente; se o primei-
ro algarismo a ser eliminado for inferior a 5, despreza-se todos os algarismos após a última 
decimal do limite estabelecido.
Exemplos de arredondamento para duas casas decimais:
 • 23,4685 é arredondado para 23,47
 • 41,12497 é arredondado para 41,12
 • 1,99499999 é arredondado para 1,99
 • 9,00500000 é arredondado para 9,01
2.4.2 Precisão
Para se obter o máximo de precisão nos resultados, devem ser evitados arredondamentos 
desnecessários, isto é, arredondamentos em cálculos intermediários. O arredondamento so-
mente deve ser feito na resposta final. Uma das melhores maneiras de se evitar arredo nda-
mentos intermed iários é valer-se dos recursos da calculadora fazendo os cálculos de forma 
sequencial. Por exemplo: × 100 pode ser feito de dois modos:
 a) e após 0, 67 × 100 = 67,00 ou
 b) 
×
×
Com toda a certeza, a segunda opção é bem mais precisa do que primeira.
A principal diferença entre as apções apresentadas é que, na primeira alternativa, houve 
um arredondamento em um dos cálculos intermediários (0,67), resultando em uma perda de 
precisão.
10 Matemática Financeira
REGRA DE OURO Para se obter máxima precisão, não se deve arredondar em cálculos 
intermediários, apenas na resposta final.
2.5 Capitalização de juros
CONCEITO 2.8 Denomina-se capitalização de juros o ato de adicionar juros ao capital.
De acordo com a capitalização, os juros são classificados em:
 • Juros com capitalização discreta: geralmente períodos de tempo iguais ou superiores a 
mês.
 � Juros simples: os juros são calculados apenas com base no principal e cobrados ao 
final
 � Juros compostos: os juros são calculados com base no principal acrescido dos juroscalculados em períodos anteriores
 • Juros contínuos1: os juros são acrescidos ao capital em intervalos infinitesimais de tem-
po (FARO, 1990, p. 4).
1 Juros contínuos não são comuns na prática comercial ou bancária e, por essa razão, não serão desenvolvidos neste 
livro. O estudante interessado poderá aprofundar seu conhecimento em Faro (1990, p. 4) ou em Bueno, Rangel e 
Santos (2011, p. 15).
DICA DO PROFESSOR
No vídeo a seguir, veja a relação do dinheiro no tempo e os principais símbolos utilizados na 
matemática financeira.
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EXERCÍCIOS
1) O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa 
pergunta, aleatoriamente, para diversas pessoas, é provável que mais de 90% das 
respostas irão indicar a preferência para R$ 100,00, hoje. Podemos explicar esta 
preferência, devido a vários motivos, exceto: 
A) perda do poder aquisitivo da moeda, pela inflação.
B) risco de não receber o dinheiro no futuro.
C) impaciência para consumir bens ou serviços imediatamente
D) outras opções de investimento com expectativa de lucro.
E) queda no consumo hoje.
2) O que é a Matemática Financeira? Ela estuda a evolução do valor do dinheiro no 
tempo. Este estudo contempla equações que mostram a relação entre o valor de uma 
quantia de dinheiro no presente e o valor equivalente desta quantia no futuro. A MF 
calculará quanto rende um empréstimo a determinada taxa de juros. Neste cálculo, 
deve(m) constar: 
A) taxa de juros, tempo e valor presente.
B) o montante esperado.
C) o tempo da negociação.
D) o valor presente.
E) expectativa de inflação.
3) Sabemos que boa parte das divisões nos cálculos financeiros são resultados da divisão 
das frações e que os resultados geram dízimas. Dessa forma, se faz necessário 
arredondar valores. Como utilizamos duas casas após a vírgula, devemos observar se 
o primeiro número a ser eliminado é maior ou igual a 5, caso positivo somamos mais 
uma unidade, caso negativo, deixamos o último número que não será eliminado. 
Estas premissas representam:  
A) a regra de ouro.
B) regra de três.
C) ponto de equilíbrio.
D) montante do capital investido.
E) taxa de juros.
4) Para adicionar juros ao capital, podemos considerar dois sistemas de capitalização: 
juros com capitalização discreta e juros contínuos. Os juros com capitalização 
discreta contemplam os juros simples e compostos, e os juros acrescidos ao capital em 
intervalos infinitesimais de tempo dizem respeito aos juros contínuos. Sobre o sistema 
de capitalização discreta, podemos afirmar que: 
A) juros simples consideram a incidência de juros sobre juros.
B) juros compostos consideram a incidência de juros sobre juros.
C) juros simples utilizam funções exponenciais para cálculo.
D) para juros simples e para juros compostos é necessário utilizar funções exponenciais.
E) juros contínuos são comuns na prática comercial ou bancária.
5) As variáveis econômicas são simbolizadas por letras. Sendo: 
PRINCIPAL = Capital inicial de um empréstimo = VP = VA = Valor descontado = 
PV 
JUROS = remuneração do capital emprestado. 
MONTANTE – VF, sado de um empréstimo / aplicação financeira. 
Montante = VF , VR valor de regate, future value 
PRAZO = n = período de tempo que o empréstimo /aplicação financeira dura 
PRESTAÇÃO = valor que será pago - PMT 
 
A partir destas variáveis são estabelecidas relações, conceitos que NÃO condizem 
com: 
A) quanto maior o capital, maior o juros.
B) a prerrogativa de que aquele que paga tem despesa, custo financeiro e quem recebe tem 
renda financeira, rendimento.
C) a afirmação de que juros é igual a encargo, acessório do principal , rendimento, serviço da 
dívida.
Soma do capital aplicado ou emprestado equivale a mais juros, expresso pela equação: S = D) 
P + J.
E) O tempo pode ser em dias, mês, trimestre ou ano .
NA PRÁTICA
A perda do poder aquisitivo influencia diretamente em nossas vidas.
Acesse o link a seguir e confira a reportagem na íntegra.
Clique aqui
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
https://economia.uol.com.br/financas-pessoais/noticias/redacao/2014/02/18/apos-20-anos-real-perde-poder-de-compra-e-nota-de-r-100-vale-so-r-2235.htm#fotoNav=10
O Valor do Dinheiro no Tempo
Introdução aos conceitos de valor do dinheiro no tempo, valor presente e valor futuro.
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Eu vou levar - Série "eu e meu dinheiro"
Dois jovens de condições sócio-econômicas semelhantes e estratégias de compra bem 
diferentes.
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Vídeo do multiplicador - Eu vou levar
Vídeo disponibilizado pelo canal Banco Central do Brasil sobre a iniciativa "Cidadania 
Financeira".
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Análise de investimentos 
APRESENTAÇÃO
A análise de investimentos abrange decisões de aplicação de recursos com o objetivo de 
propiciar retorno acertado aos proprietários desse valor. Para a aplicabilidade de projetos de 
investimentos, são usuais alguns métodos para avaliá-los, como o valor presente líquido (VPL), 
a taxa interna de retorno (TIR) e o payback.
É visível que as empresas querem diminuir seus riscos, escolhendo projetos que tenham retorno 
do capital dentro de um período de tempo aceitável, e o payback é um dos instrumentos para 
esse tipo de cálculo. A taxa interna de retorno (TIR) também é uma ferramenta de análise de 
investimento, mas que geralmente precisa de análise complementar, que pode ser realizada pelo 
valor presente líquido (VPL).
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá se aprofundar em todos esses métodos de 
investimentos e os riscos de retorno.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Explicar a relação entre orçamento de capital e investimentos.•
Analisar as técnicas de orçamento de capital. •
Relacionar a análise de investimentos com o gerenciamento de riscos em organizações. •
INFOGRÁFICO
Antes de se tomar qualquer decisão, é importante avaliar o potencial de retorno de um 
investimento, e uma das formas mais utilizadas e de fácil interpretação é a taxa interna de 
retorno. A taxa interna de retorno (TIR) determina de forma clara e direta se o investimento será 
bom ou ruim no futuro.
Entenda sobre a TIR no Infográfico a seguir.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Quando se deseja investir em um novo projeto ou expandir algo que já existe, é preciso analisar 
o que o mercado financeiro oferece, pois há ampla variedade de investimentos. Portanto, é 
importante avaliar quais são os melhores investimentos e também quais riscos se 
correm. Existem fatores que podem influenciar na decisão de qual o investimento de maior 
retorno e menor risco, e quais os custos de oportunidade.
Na obra Matemática financeira, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, leia o capítulo 
Análise de investimentos, no qual você irá desenvolver e consolidar seus conhecimentos sobre 
investimentos, considerando as melhores e mais usuais ferramentas para escolher a melhor 
opção.
Boa leitura.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Adriana Claudia Schmidt 
Análise de investimentos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Explicar a relação entre orçamento de capital e investimentos.
  Analisar as técnicas de orçamento de capital.
  Relacionar a análise de investimentos com o gerenciamento de riscos 
em organizações.
Introdução
A melhor escolha do método utilizado para a análise de investimento 
compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos, 
mas também se um único investimento é viável ou não. Para a tomada 
de decisão, deve-se levar em consideração os valores quantitativos. Exis-
tem vários métodos para análise de investimentos, mas nem todos são 
confiáveis.
Neste capítulo, você conheceráos métodos de investimentos que se 
baseiam na equivalência de capitais. Além disso, conhecerá as melho-
res técnicas e métodos de análise de investimentos que a matemática 
financeira aborda, e, por fim, relacionará a análise de investimentos com 
o gerenciamento de riscos em organizações.
A importância de estimar valores de 
investimentos
É preciso entender o que é orçamento de capital para estabelecer quais os 
melhores investimentos a serem realizados. Empreender é necessário, e, 
para tanto, é preciso investir, de modo que se deve realizar uma análise dos 
investimentos, efetuar um orçamento de capital, estimar os valores a serem 
empregados, bem como avaliar o retorno dos fl uxos de caixa, a fi m de verifi car 
se o investimento será viável ou não.
Para Gitman (2010), o orçamento de capital é o processo de avaliação e 
seleção de investimentos de longo prazo condizente com o objetivo empresa-
rial de maximizar a riqueza dos proprietários. As empresas costumam fazer 
muitos tipos de investimento de longo prazo, mas os mais comuns entre as 
indústrias são os ativos imobilizados, que abrangem terrenos, instalações e 
equipamentos. Esses ativos, às vezes chamados de ativos geradores de lucros, 
costumam dar base à rentabilidade e ao valor do negócio.
Após realizar um orçamento de capital, será possível avaliar os investimentos, 
processo este que determinará a viabilidade das aquisições necessárias. As em-
presas estão sempre fazendo investimentos, e vários são os motivos para investir, 
como, por exemplo, aquisição de novos equipamentos, ampliação, reforma de 
ativos imobilizados, entre outros. Gitman (2010, p. 327) descreve que o processo 
de orçamento compreende cinco etapas distintas, mas correlacionadas:
1. Geração de proposta. Propostas são feitas em todos os níveis organizacionais 
e revistas pelo financeiro;
2. Revisão e análise. Realizam-se revisões e análises mais detidas para avaliar 
a adequação e a viabilidade econômica das propostas. Uma vez concluída a 
análise, um relatório resumido é submetido aos tomadores de decisão.
3. Tomada de decisão. As empresas costumam delegar a tomada de decisões 
em investimentos de capital com base em tetos de valor. De modo geral, é 
necessário obter autorização do conselho de administração para dispêndios 
além de um determinado valor.
4. Implementação. Depois da aprovação, os investimentos são realizados e os 
projetos, implementados. Os dispêndios em projetos em grande parte muitas 
vezes ocorrem por etapas.
5. Acompanhamento. Os resultados são monitorados e os custos e benefícios 
efetivos, comparados com as expectativas. Poderá ser necessário tomar algu-
mas providências, se os resultados efetivos forem diferentes dos projetados.
Contudo, o orçamento de capital viabiliza que a tomada de decisão seja 
plausível, objetivando o melhor aproveitamento de recursos e impedindo o 
uso inadequado destes e prováveis prejuízos.
Conforme Gitman (2010), é necessário que as empresas concluam o desen-
volvimento dos fluxos de caixa relevantes, uma vez que servem para deter-
minar se um projeto é aceitável ou para fazer uma classificação de projetos. 
Há diversas técnicas para realizar essas análises, mas as abordagens mais 
comuns envolvem a integração de procedimentos de valor do dinheiro no 
tempo, considerações quanto a risco e retorno e conceitos de avaliação para 
selecionar investimentos de capital condizentes com o objetivo da empresa 
de maximizar a riqueza dos proprietários.
Análise de investimentos2
Praticamente toda intervenção financeira é avaliada em termos de fluxo de 
caixa, os quais consistem na comparação dos valores presentes, calculados sob 
o regime de juros compostos, a partir de uma dada taxa de juros, das saídas 
e entradas de caixa. Para Brom e Baliam (2007, p. 3):
[...] um processo de decisão empresarial inicia-se quando uma situação qualquer 
apresenta um problema ou uma oportunidade que exige uma escolha entre as 
alternativas existentes. Se não houver alternativas, não há decisão a ser toma-
da. Constatada a existência de alternativas, e conhecidas as particularidades 
de cada uma, o passo seguinte do processo de decisão empresarial consiste 
na análise delas, com o apoio de métodos objetivos somados à experiência 
pessoal do tomador de decisões. A escolha da melhor alternativa, que, nas 
empresas, deve ser aquela que oferece a melhor relação entre custo e benefício 
(com risco aceitável), configura a tomada de decisão, a qual provocará uma 
ação específica.
Para Assaf Neto (2012, p. 158), “[...] a taxa interna de retorno (TIR) e o 
valor presente líquido (VPL) são os métodos com maior utilização e rigor 
conceitual nas análises das operações financeiras (aplicações e captações) e 
de projetos de investimento”. 
O principal intuito das análises de investimentos é estabelecer uma linha 
de raciocínio financeiro para que sejam tomadas as melhores decisões.
Optar pela realização de bons projetos de investimento pode ser o fator 
determinante para o sucesso da maioria dos negócios. Realizar a avaliação de 
um projeto é a forma ideal para a tomada de decisão, tendo o conhecimento 
de que o valor do dinheiro se altera ao longo do tempo, em decorrência do 
valor dos juros e da moeda.
Avaliação entre métodos de análise de investimentos
Para Dal Zot e Castro (2015), a análise de investimentos pode ser conside-
rada como um conjunto de critérios que as empresas utilizam na tomada de 
decisão ao realizar investimentos, visando, principalmente, à reposição de 
ativos existentes (em particular instalações e equipamentos), ao lançamento 
de novos produtos e à redução de custos. O processo consiste em decidir se 
um projeto vale a pena (se o retorno sobre o investimento é mais interessante 
que aplicações no mercado fi nanceiro) ou optar por um entre vários projetos 
de investimento alternativos.
Considerar o dinheiro ao longo do tempo influencia diretamente a qualidade 
da avaliação. Para se ter um bom rendimento, é necessário estabelecer o que se 
3Análise de investimentos
chama de taxa mínima de atratividade (TMA). Essa taxa expressará a rentabilidade 
mínima que se espera do projeto, é o mínimo de rentabilidade que faz o projeto 
valer a pena do ponto de vista econômico. Três elementos formam a taxa mínima 
de atratividade: o custo de capital do projeto, a taxa do custo de capital e a infla-
ção, juntamente ao risco. O custo de capital do projeto influencia diretamente a 
viabilidade do projeto, sendo importante considerar diferentes opções de capital, 
seja próprio, de terceiros ou uma composição dos dois. A taxa do custo de capital 
pode ser obtida por meio da fórmula do custo médio ponderado de capital (CMPC), 
e a inflação e o risco também podem ser incorporados à TMA para análise.
A análise de investimento é realizada a partir dos fluxos de caixa do projeto, 
os quais podem ser avaliados a partir de três indicadores:
  valor presente líquido (VPL);
  taxa interna de retorno (TIR);
  Payback – tempo de recuperação do investimento.
O método do VPL positivo mostra que o projeto é rentável acima da TMA. O 
método da TIR calcula a taxa para o qual o VPL do projeto é igual a zero. Esse 
valor deve ser utilizado como auxiliar ao VPL e em comparação com a TMA. 
Um valor da TIR acima do valor da TMA significa que o projeto é rentável 
acima da taxa mínima desejada. O método payback, por sua vez, mostra em 
quanto tempo o investimento inicial será recuperado. Ele pode ser calculado 
de forma simples ou descontado. A forma descontada considera o valor do 
dinheiro no tempo, ao contrário da simples, que não considera as variações 
que o dinheiro sofre com o tempo, podendo comprometer o estudo do projeto.
Para Assaf Neto (2012), uma possibilidade de investimento de capital, 
quando tratada individualmente, é classificada de maneira econômica se 
apresentar um VPL positivo, ou uma TIR superior ou, no mínimo, igual à taxa 
mínima de retorno requerida, ou IL maior ou igual a 1,0, ou ainda uma TR 
positiva.Sendo que IL é o índice de lucratividade, ajustado pela semelhança 
entre o valor presente dos fluxos de entrada de caixa e os de saída, e TR é a 
taxa de rentabilidade, que se fundamenta na relação entre o VPL, determinado 
a partir da taxa de atratividade, e o valor presente dos desembolsos de capital.
Ainda conforme Assaf Neto (2012), ao se considerar a comparação com 
alternativas com investimentos não independentes, podem ocorrer situações 
conflitantes, em que os métodos de análise não revelam a mesma indicação 
econômica. As razões que explicam essa divergência dos métodos são: dispa-
ridade de tamanho dos investimentos e diferenças com relação à evolução dos 
fluxos de caixa ao longo do tempo. Na circunstância de conflito, a técnica do 
Análise de investimentos4
VPL é aceita como o que determina as melhores recomendações. A utilização 
da TIR identifica algumas limitações em relação à escolha das alternativas, 
não indicando, necessariamente, a melhor alternativa.
Para realização final da tomada de decisão, de realizar ou não o inves-
timento, deve-se considerar o maior número de fatores possíveis, utilizando 
os indicadores do VPL, da TIR e do payback em conjunto com a análise de 
cenários, fatores sociais, políticos, econômicos, entre outros, que podem 
influenciar na análise de investimento.
Indicadores de análise de investimentos
A análise de investimentos se fundamenta em processos fi nanceiros para 
verifi car qual a melhor forma de investimento entre as diversas alternativas 
reais. Ao se conferir os dados, equações e cálculos referentes ao ativo, é pos-
sível distinguir se existe rentabilidade ou não, de quanto ela pode ser e se o 
investimento está ou não sendo viável. Logo, pode-se garantir que essa análise é 
indispensável ao se avaliar a realização de um investimento, pois ela comprova 
ser um ótimo instrumento de apoio na decisão do investidor. Tendo em vista 
que todo investimento possui riscos envolvidos, a análise de investimentos 
contribuirá para minimizá-los, tornando a ação de investir mais lucrativa em 
longo prazo. Os métodos mais comuns para a análise de investimentos são 
VPL, TIR e payback, abordados individualmente nas seções a seguir.
Taxa interna de retorno 
A taxa interna de retorno (TIR) é um dos métodos de análise de investimentos. 
Conforme Assaf Neto (2012), a TIR é a taxa de juros (desconto) que iguala, em 
determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com 
o das saídas (pagamentos) previstas de caixa. Em geral, adota-se a data de início 
da operação (momento zero) como a data focal de comparação dos fl uxos de caixa. 
O fluxo de caixa no momento zero é normalmente representado pelo valor 
do investimento, empréstimo ou financiamento, e os demais fluxos de caixa 
indicam os valores das receitas ou prestações devidas. Para Assaf Neto (2012), 
a TIR pode ser calculada da seguinte forma:
ou
5Análise de investimentos
onde:
FC
0 
= valor do fluxo de caixa no momento zero;
FC
j
 = fluxos previstos de entradas ou saídas de caixa em cada período
de tempo;
i = taxa interna de retorno.
Para ter uma interpretação clara e objetiva dessa análise de investimento, 
acompanhe o desenvolvimento do Exemplo 1.
Exemplo 1
Uma empresa pretende investir na compra de novos equipamentos no valor de R$ 
75.000,00. Mas, ao mesmo tempo, existe uma aplicação paralela que rende 8% ao ano, 
e estima-se que o investimento trará, durante 6 anos, receitas anuais de: R$ 9.000,00, R$ 
10.000,00, R$ 15.000,00, R$ 18.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 12.500,00. Ao fim desse prazo, a 
empresa pretende vender o equipamento por R$ 15.000,00, devido à desvalorização. 
Calcule a TIR dessa situação:
Resolva, na calculadora HP-12C, da seguinte forma:
75.000 CHS g CF
0
 (valor do investimento, valor que sai da empresa, por isso negativo CHS)
9.000 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa)
10.000 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa)
15.000 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa)
18.000 g CF
J 
(entrada no fluxo de caixa)
15.000 g CF
J 
(entrada no fluxo de caixa)
27.500 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa [12.500 + 150.00])
5,94% f IRR (taxa interna de retorno – TIR)
A TIR encontrada nessa situação é de 5,94% ao ano, sendo que esta taxa é inferior à 
taxa de mercado, que é de 8% ao ano. Logo, esse investimento não é viável, pois a TIR 
deve ser pelo menos igual à taxa de mercado para que se possa realizar o investimento.
Análise de investimentos6
Para realizar o cálculo da TIR pela fórmula, seria necessário utilizar tenta-
tiva e erro, ou seja, testar valores e verificar os resultados até zerar a equação, 
o que tornaria quase impossível o cálculo de uma equação de grau alto.
Observe o que aconteceria com o cálculo do Exemplo 1:
Logo, para realizar os cálculos da TIR, o indicado é o uso de calculadoras 
financeiras ou planilhas no Excel, pois, pela fórmula, fica inviável o cálculo.
Em um fluxo de caixa, o somatório das prestações supera o valor financiado. Se o 
somatório for inferior ao valor financiado, a taxa de juros será negativa, ou seja, a TIR 
será negativa, e isso aponta que, financeiramente, o projeto/investimento é inviável.
Pode-se concluir, ainda, que a TIR é uma taxa i onde o VPL (valor presente 
líquido) é igual a zero, ou seja, torna o valor presente dos fluxos de caixa igual 
ao investimento realizado.
Método do valor presente líquido 
O método do valor presente líquido (VPL) é considerado uma das técnicas 
mais aprimoradas, por avaliar, em seu cálculo, o valor do dinheiro no tempo e 
poder ser aproveitada em qualquer tipo de rendimento. Conforme Veras (2005, 
p. 234), “[...] o método do valor presente consiste em calcular o valor presente 
líquido do fl uxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento 
que está sendo analisado utilizando a taxa de atratividade do investidor”. 
E ainda, se o VPL encontrado for zero, a taxa i de renda do investimento 
coincidirá com a taxa i
a
 de atratividade que foi utilizada; se o VPL for positivo, 
7Análise de investimentos
isso indica que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa 
de atratividade
 
i
a
, logo o investimento analisado interessa ao investidor; e se o 
VPL for negativo, isso indica o quanto falta para que a renda do investimento 
alcance a renda esperada.
Para Assaf Neto (2012), o método do VPL para análise dos fluxos de caixa 
é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) 
previstos de caixa e o valor presente do fluxo de caixa inicial. O cálculo do 
VPL é expresso pela seguinte fórmula:
Ou
onde:
FC
j
 = valor de entrada ou saída de caixa em cada intervalo de tempo;
FC
0
 = fluxo de caixa no momento zero (momento inicial), podendo ser inves-
timento, empréstimo ou financiamento.
Para o cálculo do VPL na calculadora HP-12C, utiliza-se a tecla NPV (net 
present value). Comparando-se o VPL com a TIR no cálculo do VPL, a taxa a 
ser empregada na atualização dos fluxos de caixa já vem definida. O cálculo 
do VPL identifica o resultado econômico da alternativa financeira, expressa 
em moeda atualizada.
O Exemplo 2 traz uma situação do cálculo do VPL.
Exemplo 2
Uma empresa pretende fazer um investimento no valor de R$ 375.000,00, do qual se 
espera retornos anuais de caixa de R$ 125.000,00 no primeiro ano, R$ 160.000,00 no 
segundo ano, R$ 190.000,00 no terceiro ano e R$ 140.000,00 no quarto ano. A taxa de 
desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa do investimento é de 10% ao ano. Verifique 
se esse investimento é rentável para a empresa utilizando o método do VPL.
Análise de investimentos8
Assim, pode-se concluir que, quando o VPL for maior do que zero, o inves-
timento é viável, pois ele é capaz de recompensar e cobrir o capital investido 
de forma satisfatória. Se ele for igual a zero, o resultado é indiferente, pois 
mostra que o investimento não representará nem lucro nem prejuízo de capital. 
Já quando o VPL for menor que zero, conclui-se que o investimento é inviável, 
poisos seus ganhos futuros não serão aceitáveis para uma rentabilidade acima 
do custo de ocasião.
Ao avaliar dois projetos, é viável que se dê prioridade ao que apresentar o maior VPL, 
mesmo que a TIR seja menor, pois o mais importante é a maximização da riqueza, de 
modo que o VPL deve ter sempre preferência.
Solução:
Pela calculadora HP-12C:
375.000 CHS g CF
0
 (valor do investimento, valor que sai da empresa, por isso negativo CHS)
125.000 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa)
160.000 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa)
190.000 g CF
J
 (entrada no fluxo de caixa)
140.000 g CF
J 
(entrada no fluxo de caixa)
10 i (taxa)
109.239,46 f NPV (valor presente líquido – VPL)
Pela fórmula:
Como o VPL é superior a zero, a alternativa de investimento oferece uma taxa de 
rentabilidade anual superior a 10%, indicando que o investimento é rentável.
9Análise de investimentos
Payback
Payback é um dos índices utilizados para avaliar investimentos, é o prazo de 
retorno. Trata-se de quanto tempo se leva para ter retorno em determinado 
investimento. É importante tanto para quem busca investimento rápido como 
para quem tem pouco valor para investir.
Existem dois tipos de cálculo de payback: simples e descontado. No cál-
culo de payback simples, depois de projetados os resultados esperados, é o 
momento em que esses resultados somados se igualam ao valor investido. Essa 
situação pode ser verificada no fluxo de caixa em que uma empresa investe 
R$ 250.000,00 e projeta os próximos quatro anos de resultados, ou seja, uma 
saída de R$ 250.000,00 e os resultados em cada um dos anos: R$ 125.000,00 
no primeiro ano, também R$ 125.000,00 no segundo ano, R$150.000,00 no 
terceiro ano e R$ 200.000,00 no quarto ano. Nessa avaliação, a soma dos dois 
primeiros anos totaliza R$ 250.000,00, ou seja, o payback é de dois anos, 
ou melhor, a empresa levou dois anos para recuperar o investimento de R$ 
250.000,00.
Já o payback descontado segue o mesmo raciocínio, o que muda é que os 
resultados não são avaliados, os resultados são projetados pelo valor nominal, 
pelo valor futuro trazido para o valor presente conforme a TMA, que representa 
o mínimo que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento. 
Imagine, então, o mesmo investimento de R$ 250.000,00 realizado por uma 
empresa a uma TMA de 15% ao ano. Os valores dos fluxos de cada ano terão 
de ser trazidos para o valor presente, o que é representado na Figura 1.
Figura 1. Fluxo de caixa.
Análise de investimentos10
Para encontrar o payback descontado, utiliza-se a fórmula do valor presente 
no juro composto:
Observe a situação representada no quadro a seguir, considerando a taxa 
de 15% ao ano:
Ano Fluxo R$ Fluxo descontado R$ Saldo
0 250.000,00 - 250.000,00 - 250.000,00 
1 125.000,00 108.695,65 - 141.304,35
2 125.000,00 94.517,96 - 46.786,39
3 150.000,00 98.627,43 51.841,04
4 200.000,00 114.350,65 166.191,69
Pela apresentação do quadro, verifica-se que, do segundo para o terceiro 
ano, o saldo deixa de ser negativo e passa a ser positivo, o que ocorre exa-
tamente entre a transição do segundo e o terceiro anos. Se, no terceiro ano, 
o saldo fosse zero, seria exatamente nesse momento o retorno. Para saber 
exatamente em que período o investidor tem seu investimento retornado, 
utiliza-se a seguinte fórmula:
  Payback descontado = 
  Payback descontado = 
  Payback descontado = 2,47
Aproximadamente 2 anos e 6 meses, ou exatamente 2 anos, 5 meses e 19 
dias para se ter o retorno do investimento, sendo que no payback simples o 
retorno foi de 2 anos.
O payback é um dos métodos mais básicos para se avaliar a viabilidade 
de um investimento. Seu cálculo é bastante simples e sua determinação prin-
cipal é que, quanto mais tempo o investidor precisar esperar para reaver o 
investimento, menos atrativo ele fica, e maior é a possibilidade de prejuízo.
11Análise de investimentos
Aquisições e análise de riscos
Todo investimento tem seus riscos, os quais estão diretamente relacionados 
com o investimento realizado e o retorno esperado. Assim, quanto maior o 
investimento, maior pode ser o risco.
Risco pode ser definido como chance de insucesso, em outras palavras, é 
o quanto você pode perder em uma operação, ao passo que retorno é o quanto 
se tem a ganhar em um investimento. Existem vários tipos de riscos, os quais 
são determinados de acordo com cada investimento. Os dois principais tipos 
de risco são o risco sistemático e o não sistemático. 
Risco sistemático
Conforme Higgins (2014), o risco sistêmico refl ete a exposição a eventos que 
afetam a economia como um todo, como mudanças das taxas de juros e ciclos 
de negócio, e que não possam ser reduzidos por meio de diversifi cação.
Risco não sistemático
É um risco que está em cada investimento realizado, detém-se mais em detalhes. 
Para Higgins (2014), o risco não sistêmico refl ete eventos especifi camente liga-
dos ao investimento, como incêndios e processos judiciais, os quais podem ser 
eliminados por meio de diversifi cação. Os riscos mais comuns em investimentos 
são: risco de crédito, risco de liquidez, risco de mercado e risco operacional. 
Risco de crédito envolve emprestar dinheiro e não conseguir receber esse 
dinheiro de volta. Um exemplo de risco de crédito é aplicar em títulos em certo 
banco, e esse banco “quebra”, de modo que dificilmente você terá esse valor 
de volta. O risco de liquidez envolve fazer um investimento e não conseguir 
se desfazer dele. Por exemplo, a compra de um imóvel, ou seja, você compra 
um imóvel, o põe à venda e não consegue vender. Assim, ou você espera o 
imóvel ser vendido, ou baixa o valor deste para poder vendê-lo. O risco de 
mercado, por sua vez, abrange o mercado como um todo. A exemplo de um 
investimento bancário em um período em que os bancos estão indo mal, ou 
quando o governo impõe impostos aos bancos, o que afeta esse setor. Por fim, 
risco operacional é a dificuldade que se pode encontrar dentro de um sistema 
ou até mesmo operacionalizando um investimento. Um exemplo corriqueiro 
dessa situação é você estar vendendo ações que estão em alta pela internet 
quando esta cai; quando a internet volta, a ação já está com o valor lá embaixo, 
ou seja, você perde dinheiro por um problema de operacionalização.
Análise de investimentos12
Esses são os principais tipos de riscos que se pode encontrar em investi-
mentos, e é preciso estar atento a cada um deles, pois os riscos serão diferentes 
para cada tipo de investimento e, às vezes, estão escondidos dentro de cada 
investimento. Portanto, quando uma empresa investe, ela deve estimar os 
riscos desse investimento. 
Para Higgins (2014), a avaliação do risco depende da percepção dos ad-
ministradores que participam da decisão, do conhecimento que eles têm dos 
aspectos econômicos do setor e de sua compreensão das ramificações do 
investimento. Análise de sensibilidade, análise de cenário e simulações são 
favoráveis para fazer avaliações quanto ao risco do investimento, visto que 
ajudam a analisar de maneira sistemática os riscos e os efeitos dobre o retorno 
do investimento.
É importante que se administre esses riscos, para que as perdas sejam 
minimizadas. Assim, é preciso avaliar, identificar e coletar informações para 
que se adote a decisão certa. Conhecer apenas o retorno do investimento não é 
suficiente, é preciso conhecer os riscos envolvidos e como estes influenciam o 
valor ao longo do tempo. Por isso a importância do orçamento de capital, pois 
é ele quem avalia os principais recursos para cada alternativa de investimento, 
bem como os retornos aguardados e seus prováveis riscos, analisando a real 
viabilidade de um projeto para a escolha da melhor alternativa.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BROM, L. G.; BALIAN, J. E. A. Análise de investimentos e capital de giro: conceitos e apli-
cações. São Paulo: Saraiva, 2007.
DAL ZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. PortoAlegre: Bookman, 2015.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
HIGGINS, R. C. Análise para administração financeira. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
VERAS, L. L. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
13Análise de investimentos
Os links para sites da Web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Análise de investimentos14
DICA DO PROFESSOR
Para avaliar técnicas de análises de projetos, podem-se utilizar vários métodos, como o VPL – 
valor presente líquido e a TIR – taxa interna de retorno.
Nesta Dica do Professor, você verá um exemplo de cálculo do VPL, que é a soma algébrica das 
entradas e saídas de um fluxo, em que cada uma delas é descontada a uma taxa, TMA – taxa 
mínima de atratividade, e, portanto, trazida ao valor atual para comparação e análise.
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EXERCÍCIOS
1) Paulo é dono de uma empresa de ônibus e deseja realizar um investimento no valor 
de $ 60.000,00, esperando ter receitas anuais e sucessivas de $ 18.000,00, $ 24.000,00 e 
$ 30.000,00. Considere 20% ao ano a taxa de juros desse investimento.
Paulo fará uma análise de viabilidade pelo método de VPL e quer saber qual o 
resultado matemático e se o investimento é viável e por quê.
A) É viável, pois o VPL calculado é positivo, no valor de $ 10.000,00.
B) Não é viável, pois o VPL calculado é de – $ 10.972,22.
C) É viável, pois o VPL calculado é de $ 10.550,00. 
D) Não é viável, pois o VPL calculado é de – $ 972,22.
E) É viável, pois o VPL é negativo, no valor de – $ 10.972,22.
2) 
Toda empresa em algum momento terá que fazer investimentos, devendo levar em 
conta principalmente a rentabilidade e o risco desse investimento. Risco pode ser 
definido como chance de insucesso: em outras palavras, é o quanto você pode perder 
em uma operação.
Os dois principais tipos de risco são:
A) operacional e de mercado.
B) sistemático e de mercado.
C) operacional e sistemático.
D) sistemático e não sistemático.
E) não sistemático e operacional.
3) Existem diferentes métodos para avaliação dos fluxos de caixa, entre eles payback, 
payback descontado, TIR e VPL. O método do VPL consiste em calcular o valor 
presente líquido do fluxo de caixa do investimento que está sendo analisado, podendo 
ser positivo, negativo ou igual a zero.
Se o VPL for negativo, isso quer dizer que:
A) o investimento analisado interessa ao investidor.
B) o investimento analisado não interessa ao investidor.
C) o investimento analisado é indiferente: não dá nem lucro nem prejuízo.
D) o investimento atingiu a renda desejada.
E) o investimento proporciona a melhor taxa de atratividade.
4) Carlos é taxista e deseja investir em uma frota de táxis. O investimento inicial é de $ 
100.000,00 e ele espera ter retorno anual de fluxos de caixa no valor de $ 30.000,00 ao 
ano.
Carlos precisa saber em quanto tempo terá o retorno do seu investimento:
A) 3,33 anos.
B) 5 anos.
C) 3 meses.
D) 6,66 anos.
E) 2 anos.
5) Você foi chamado para avaliar dois projetos apresentados na empresa em que 
trabalha. O custo de oportunidade em sua empresa é de 20% ao ano, a TIR do 
primeiro projeto é de 62% ao ano e a do segundo projeto é de 40% ao ano. O VPL do 
primeiro projeto é de $ 995,00 e o do segundo projeto é de $ 910,00. Se os projetos 
fossem independentes, você os recomendaria?
E se fossem mutuamente excludentes, qual o melhor deles?
A) Não recomendaria nenhum dos projetos, por não serem viáveis.
B) Recomendaria o segundo projeto, por ser o melhor e ter a menor TIR.
C) Recomendaria apenas o primeiro projeto.
D) Recomendaria, sendo o segundo projeto o melhor. 
E) Recomendaria, sendo o primeiro projeto o melhor. 
NA PRÁTICA
A técnica de análise payback determina o tempo necessário para recuperar o investimento 
realizado. Logo, quanto mais rápida a aplicação de recuperar o investimento realizado, melhor 
será o resultado.
Neste Na Prática, você vai acompanhar o cálculo básico de um payback simples.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Tempo de payback
Neste site, você pode calcular o payback do seu fluxo de caixa.
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Matemática financeira: fundamentos e aplicações
No livro Matemática financeira: fundamentos e aplicações, de Wili Dalzot, capítulo 10, página 
109, leia sobre análise de investimentos e aprofunde o aprendizado alcançado nesta Unidade.
Administração financeira
No livro Administração financeira, versão brasileira de Corporate finance, de Stephen A. Ross, 
capítulo 11, página 390, você irá aprofundar os conceitos de retorno e risco esperado.
Cálculo do fluxo equivalente
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos o cálculo do fluxo equivalente por meio de suas 
três opções, aplicações e objetivos. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir, a partir de um fluxo conhecido, outro equivalente.•
Aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixas, ajustando as 
diferenças entre eles, de modo a torná-los equivalentes entre si.
•
Calcular o fluxo que se tem como o que se deseja obter com fluxos de 1 x 1, n x 1 e n x n 
vencimentos.
•
DESAFIO
Carlos aproveitou a redução de IPI sobre carros novos concedida pelo governo brasileiro e 
trocou o seu automóvel por um 0km, tão sonhado há 5 meses! Quando comprou o carro, a 
negociação para o pagamento foi uma entrada de R$12.000,00 e o restante, R$27.000,00, 
dividido em 48 meses, sendo que a primeira parcela venceria em 6 meses da data da compra, 
com taxa de juros mensal de 2,8%. Neste período de 6 meses, os juros foram incorporados ao 
saldo devedor. Entretanto, Carlos foi demitido e precisa renegociar as parcelas do 
financiamento. Ele foi ao gerente do banco da concessionária para refinanciar sua dívida e 
conseguiu que o valor restante seja pago em três parcelas anuais.
Considerando os dados, defina o que se pede: 
1. Valor do saldo devedor do carro antes do início do pagamento das prestações mensais 
originais. 
2. Valor das prestações mensais do financiamento original do carro. 
3. Valor das parcelas anuais, sabendo que a taxa de juros praticada será a mesma. 
INFOGRÁFICO
O infográfico a seguir apresenta o objetivo do cálculo do fluxo equivalente e as suas soluções de 
acordo com as três diferentes combinações de fluxos.
CONTEÚDO DO LIVRO
Neste capítulo, trataremos do cálculo do fluxo equivalente, também conhecido como 
equivalência de capitais, que aborda as operações financeiras cuja função é adiantar ou 
prorrogar títulos. Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de vista dos 
juros compostos ou para calcular por meio de juros simples. 
 
A princípio, aqui, focaremos no conceito do custo do dinheiro no tempo. Depois, explicaremos 
como determinar um fluxo equivalente a partir de um fluxo conhecido e calcular fluxos de 
caixas em bases comparáveis de data. Essas técnicas são de extrema importância na tomada de 
decisão em finanças, tanto corporativas quanto pessoais. 
Boa leitura!
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Definir, a partir de um fluxo conhecido, outro equivalente.
 > Aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixas, 
ajustando as diferenças entre eles, de modo a torná-los equivalentes entre si.
 > Calcular o fluxo que se tem com o que se deseja obter com fluxos de 1 × 1, 
n × 1 e n × n vencimentos.
Introdução
Neste capítulo, trataremosdo cálculo do fluxo equivalente, também conhecido 
como equivalência de capitais, que aborda as operações financeiras cuja função 
é adiantar ou prorrogar títulos. Esse conceito pode ser considerado aplicável 
apenas do ponto de vista dos juros compostos ou para calcular por meio de 
juros simples. A princípio, aqui, focaremos no conceito do custo do dinheiro no 
tempo. Depois, explicaremos como determinar um fluxo equivalente a partir de 
um fluxo conhecido e calcular fluxos de caixas em bases comparáveis de data. 
Essas técnicas são de extrema importância na tomada de decisão em finanças, 
tanto corporativas quanto pessoais.
Cálculo do fluxo 
equivalente
Ronaldo Akiyoshi Nagai
Como encontrar um fluxo equivalente a 
partir de um fluxo conhecido
Dois ou mais fluxos de caixa são considerados equivalentes se seus valores 
presentes em uma data focal forem iguais (ALMEIDA, 2016; DAL ZOT; CASTRO, 
2015). Temos, aqui, três conceitos de extrema importância para compreender-
mos os cálculos de fluxos equivalentes na matemática financeira. O primeiro 
deles, fluxos de caixa, refere-se às entradas e saídas de caixa projetadas ou 
esperadas em determinado período. É comum representarmos o fluxo de caixa 
em uma linha horizontal, a linha do tempo, e em linhas verticais apontadas 
para cima (entradas de caixa) e para baixo (saídas de caixa) (GITMAN, 2010). 
Veja um exemplo na Figura 1.
Figura 1. Exemplo de representação do fluxo de caixa. 
Por sua vez, o valor presente pode ser considerado o valor atual de um 
fluxo de caixa ou o caixa disponível imediatamente (GITMAN, 2010). Imagine, 
por exemplo, que alguém quer comprar um carro usado pelo valor de R$ 
50.000,00. Para efetivar essa compra, são feitas duas propostas de pagamento. 
Na primeira, a PROPOSTA A, é proposto o pagamento total de R$ 50.000,00 
daqui a cinco meses. Na segunda proposta, a PROPOSTA B, o comprador em 
potencial oferece pagar cinco parcelas mensais de R$ 10.000,00, a partir do 
mês subsequente ao do fechamento do negócio. Você saberia dizer qual é a 
melhor proposta? 
Trazer esses fluxos ao valor presente, ou seja, ao valor atual do momento 
em que se está fechando o negócio, apoia uma melhor tomada de decisão. 
Outra forma de compararmos essas diferenças temporais no fluxo de caixa 
seria transportar o fluxo de caixa a um período futuro, ou seja, fixarmos uma 
data-base para um mês subsequente e calcular o valor futuro desse fluxo, 
que consiste no caixa a ser recebido (ou pago) em alguma data vindoura 
(GITMAN, 2010).
Cálculo do fluxo equivalente2
Por fim, data focal, também referida como data de avaliação ou data de 
referência, trata-se de uma referência na linha do tempo, uma data, para a 
qual devemos transportar todos os valores para fins de comparação (ALMEIDA, 
2016). Ela poderá ser tanto a data em que uma transação ou negócio está 
sendo concretizado quanto qualquer outra, como, por exemplo, 36 meses a 
partir do fechamento do negócio. O elemento que transportará o valor do 
dinheiro no tempo é a taxa de juros. 
Justifica-se, então, a importância da equivalência de taxas, que é aplicada 
com grande frequência por instituições financeiras, empresas e indivíduos 
na análise de fluxo de caixa, especialmente em situações em que se objetiva 
uma renegociação de prazos e/ou de condições de pagamento de uma dívida, 
ou uma negociação e/ou troca de fluxos de caixa (DAL ZOT; CASTRO, 2015). 
Para exemplificar, vamos retornar ao exemplo de compra do carro usado. 
Nesse caso, como podemos encontrar um fluxo de caixa equivalente com 
base em um fluxo de caixa conhecido? Vamos considerar os dois fluxos de 
caixa da proposta. Primeiramente, analisemos a PROPOSTA A, de pagamento 
total de R$ 50.000,00 daqui a cinco meses. Considerando que chamemos a 
data do fechamento de negócio de “0”, temos o fluxo de caixa da Figura 2.
Figura 2. Representação do fluxo de caixa da PROPOSTA A. 
Já na PROPOSTA B, pagamento de cinco parcelas de R$ 10.000,00, temos 
o fluxo de caixa da Figura 3.
Figura 3. Representação do fluxo de caixa da PROPOSTA B.
Cálculo do fluxo equivalente 3
Para fins de comparação, precisamos “converter” o fluxo de caixa da 
PROPOSTA B em um equivalente ao da PROPOSTA A. Ou seja, precisaremos 
transportar cada uma das saídas de caixa acima aos valores equivalentes no 
quinto mês. Mas como fazer isso? Lembre-se do conceito de valor do dinheiro 
no tempo. O custo é representado pela taxa de juros. Dessa forma, a nossa 
tarefa, aqui, é aplicar a taxa de juros para cada um dos fluxos apresentados 
na Figura 3. Vamos definir uma taxa de juros de 1% ao mês para essa operação.
Sempre que desejamos transportar o fluxo de caixa para uma data futura 
(deslocar para a direita no fluxo), temos uma operação de juros, representada 
pela seguinte fórmula:
S = V × (1 + i)n
onde S é o valor que se pretende encontrar, tanto em uma data passada 
quanto em uma data futura, V é o valor que se pretende transportar em outra 
data focal, i é a taxa de juros e n é número de períodos.
Quando desejamos transportar um valor para o passado (deslocar para 
esquerda no fluxo), temos uma operação de desconto, representada pela 
seguinte fórmula:
S = V/(1 + i)n
Dessa forma, graficamente, o fluxo das cinco parcelas mensais trans-
portadas para o quinto mês poderia ser representado conforme a Figura 4.
Figura 4. PROPOSTA B: transporte do fluxo de caixa para o quinto mês.
Cálculo do fluxo equivalente4
De forma matemática, o referido fluxo poderia ser representado da se-
guinte forma.
 � Fluxo do mês 1: transportado quatro períodos para frente, então 
10.000,00 × (1,01)4 = 10.406,04.
 � Fluxo do mês 2: transportado três períodos para frente, então 10.000,00 × 
(1,01)3 = 10.303,01.
 � Fluxo do mês 3: transportado dois períodos para frente, então 10.000,00 × 
(1,01)2 = 10.201,00. 
 � Fluxo do mês 4: transportado um período para frente, então 10.000,00 × 
(1,01)1 = 10.100,00.
 � Fluxo do mês 5: não há necessidade de transporte, então 10.000,00 × 
(1,01)0 = 10.000,00.
A soma de todos os fluxos de caixa transportados aos valores do quinto 
mês será:
10.406,04 + 10.303,01 + 10.201,00 + 10.100,00 + 10.000,00 = 51.010,05
Sob as mesmas condições, comparando o fluxo acima com o da PROPOSTA 
A (pagamento em parcela única de R$ 50.000,00), verificamos que a PROPOSTA 
B é mais vantajosa para quem está recebendo o pagamento. 
Quando transportamos um fluxo de caixa para determinada data fo-
cal, estamos, na realidade, aplicando o efeito do tempo sobre aquele 
capital. Temos, então, no caso do transporte para data futura, uma operação 
de juros, e, no caso do transporte para uma data passada, uma operação de 
desconto (Figura 5).
Figura 5. (a) Transporte de um fluxo de caixa (FC) para uma data futura e (b) transporte de 
um FC para uma data passada.
(a) (b)
Cálculo do fluxo equivalente 5
Repare que os fluxos de caixa da PROPOSTA A e da PROPOSTA B não são 
equivalentes. Segundo Dal Zot e Castro (2015), quando dois fluxos de caixa não 
possuem os mesmos valores atuais a uma mesma taxa, dizemos que eles são 
não equivalentes. Segundo os autores, pode-se obter a equivalência a uma 
determinada taxa de juros somando a diferença dos valores atuais na data 
focal ao fluxo de caixa que apresenta o menor valor. Vejamos um exemplo.
 Para obtermos o fluxo de caixa equivalente, devemos fazer a seguinte 
pergunta: considerando a mesma taxa de juros, quais são os fluxos de caixa em 
cada período que totalizarão, no quinto mês, o mesmo valor de R$ 50.000,00 
da PROPOSTA A? Vejamos.
A somatória dos fluxos de caixa nos meses 1, 2, 3, 4 e 5 “transportados” 
ao quinto mês deve totalizar R$ 50.000,00. A taxa de juros da operação é de 
1% ao mês. Sugere-se utilizar a fórmula do cálculo da prestação de uma série 
postecipada, dada pela fórmula:
onde PMT é a prestação ou o fluxo de caixa nos meses 1, 2, 3, 4 e 5, FV é o 
valor de R$ 50.000,00 que se espera obter no quinto mês, n é a quantidade 
de meses nesse fluxo, correspondendo a cinco meses (n = 5),e i é a taxa de 
juros de 1% ao mês.
Temos, então:
Na Figura 6, demonstramos o valor de R$ 9.802,00 que acabamos de calcular 
sendo transportado para o quinto mês.
Figura 6. PROPOSTA B: transporte do fluxo de caixa para o quinto mês.
(a) (b)
Cálculo do fluxo equivalente6
De forma matemática, esse fluxo poderia ser representado da seguinte 
forma.
 � Fluxo do mês 1: transportado quatro períodos para frente, então 
9.802,00 × (1,01)4 = 10.200,00.
 � Fluxo do mês 2: transportado três períodos para frente, então 9.802,00 × 
(1,01)3 = 10.099,00.
 � Fluxo do mês 3: transportado dois períodos para frente, então 9.802,00 × 
(1,01)2 = 9.999,00.
 � Fluxo do mês 4: transportado um período para frente, então 9.802,00 × 
(1,01)1 = 9.900,00.
 � Fluxo do mês 5: não há necessidade de transporte, então 9.802,00 × 
(1,01)0 = 9.802,00.
A soma de todos os fluxos de caixa transportados aos valores do quinto 
mês será:
10.200,00 + 10.099,00 + 9.999,00 + 9.900,00 + 9.802,00 = 50.000,00
Esse é o fluxo da PROPOSTA B que deveria ocorrer na transação para ser 
equivalente ao fluxo da PROPOSTA A.
Chegamos nesse resultado pela aplicação do conceito de transporte de 
valores no tempo, visto anteriormente. Se quisermos chegar em um fluxo 
equivalente que totalize R$ 50.000,00 no quinto mês, temos o valor atual 
na data focal. Também temos a taxa de juros (1% ao mês) e o número de 
períodos. Logo, temos condições de desenhar o fluxo de caixa da seguinte 
forma (Figura 7).
Figura 7. PROPOSTA B: o fluxo de caixa equivalente.
Cálculo do fluxo equivalente 7
A soma de todos os fluxos de caixa acima deve totalizar R$ 50.000,00, e 
assim teremos a seguinte relação matemática:
FC × (1,0406) + FC × (1,0303) + FC × (1,0201) + FC × 
(1,0100) + FC × (1,0000) = 50.000,00
FC × (1,0406 + 1,0303 + 1,0201 + 1,0100 + 1,00) = 50.000,00
FC = 50.000,00/(1,0406 + 1,0303 + 1,0201 + 1,0100 + 1,00)
FC = 50.000,00/5,1010 = 9.802,00
Nesta seção, estudamos os fundamentos da equivalência de capitais. 
Mostramos como se elabora um fluxo de caixa, como se realiza o transporte 
de todos os valores para uma data focal e em quais situações realizamos o 
desconto e a incidência de juros. Na seção a seguir, apresentaremos outras 
aplicações da equivalência de capitais na administração do fluxo de caixa.
Aplicação da equivalência de capitais na 
administração do fluxo de caixa
Comecemos com um exemplo. Imagine que você trabalha como prestador de 
serviços autônomos na área de tecnologia da informação e é chamado para 
ajudar uma loja de eletrônicos na implementação do sistema de controle de 
estoque. Após a execução dos serviços, você calculou o valor dos honorários 
em R$ 2.000,00 e o pagamento deverá ser feito pelo seu cliente a você no 
dia 15 de abril. 
Você é cliente dessa loja de eletrônicos e, por coincidência, comprou uma 
nova TV LCD no mesmo valor de R$ 2.000,00, a ser pago em duas parcelas: uma 
em 15 de maio (R$ 1.000,00) e outra em 15 de julho (R$ 1.000,00). Considerando 
que você terá valores a receber, analisa os seus fluxos de pagamento e conclui 
que não faz sentido manter o fluxo. Então propõe ao vendedor um único 
pagamento de R$ 2.000,00 em 15 de abril, na mesma data em que receberia 
pelos serviços prestados, ou seja, você está propondo um “encontro de 
contas”. A taxa de juros aplicável para o caso é de 1% ao mês.
Veja que esse caso se trata, exatamente, de uma aplicação de equivalência 
de capitais na administração do fluxo de caixa, tanto na visão das finanças 
pessoais quanto das finanças corporativas. Infelizmente, porém, um problema 
como esse frequentemente é resolvido de maneira equivocada. Não são raras 
as oportunidades em que a solução proposta seria “compensarmos” os débitos 
uns dos outros, ou seja, ninguém ficaria devendo para ninguém. Será mesmo?
Cálculo do fluxo equivalente8
Lembre-se de que o custo do dinheiro depende do tempo, e tempo é a 
variável que diferencia o fluxo de caixa da loja de eletrônicos e o seu. Portanto, 
o primeiro passo para analisar esse fluxo de caixa e iniciar o processo de 
tomada de decisão é o desenho de ambos os fluxos. A proposta de recebi-
mentos e pagamentos originais são representados na Figura 8.
 Figura 8. O fluxo de caixa dos recebimentos e pagamentos.
A proposta pensada por você, com o pagamento pela TV em 15/abr para, 
em tese, “compensar” os pagamentos e recebimentos, é representada con-
forme a Figura 9.
Figura 9. Novo fluxo de caixa proposto. 
Para validarmos e compararmos a nova proposta, precisamos colocar o 
fluxo de caixa em uma mesma data focal (Figura 10). Isso será feito trans-
portando os fluxos de caixa de 15/mai e 15/jul para 15/abr. Assim, o cálculo 
do fluxo na data focal será: 
Cálculo do fluxo equivalente 9
Referente ao “transporte” 
da parcela de 15/jul para a 
data de 15/abr 
Referente ao “transporte” 
da parcela de 15/mai para a 
data de 15/abr 
Figura 10. Transporte dos fluxos de caixa para 15/abr. 
A simulação acima nos mostra que as duas parcelas de R$ 1.000,00 a 
serem pagas em 15/mai e 15/jul foram antecipadas em 15/abr e “valeriam”, 
nessa data, R$ 1.960,69. Vemos, portanto, que o “encontro de contas” que 
você está propondo parece não ser muito vantajoso para você, pois antecipar 
as parcelas para 15/abr lhe tiraria a oportunidade de aplicar o montante na 
poupança ou em qualquer outro ativo, que poderia render juros até a data 
de pagamento à loja.
Imagine diversas transações como essa, ocorrendo com uma fre-
quência centenas de vezes maior e envolvendo montantes muito 
superiores. É exatamente esse o contexto de uma empresa. A gestão dessas 
operações financeiras e a análise do fluxo de caixa é uma das rotinas mais 
importantes. Cada dia ganho na retenção de caixa em uma companhia pode 
resultar em relevantes cifras no resultado anual da companhia.
Cálculo do fluxo equivalente10
Em resumo, nesta seção, vimos que:
 � empresas e indivíduos frequentemente se deparam com cenários de 
desajuste do fluxo de caixa (situações com concentração dos paga-
mentos no curto prazo e recebimento no longo prazo e vice-versa);
 � os prazos de recebimento e pagamento raramente coincidem no mundo 
real, de modo que, na prática, termos fluxos de caixa desajustados e 
“dessincronizados” no tempo é a regra;
 � a gestão financeira aplicando os conceitos de fluxo de caixa equiva-
lentes é uma ferramenta poderosa para a negociação de novos prazos 
e taxas de juros junto aos credores. 
Na próxima seção, analisaremos diversas operações com fluxos 1 × 1, n × 
1 e n × n vencimentos.
Operações com fluxos de 1 × 1, n × 1 e n × n 
vencimentos
Na prática, as operações financeiras podem resultar em diversas combinações 
de fluxos em função do número de vencimento. Vejamos alguns exemplos 
desses fluxos.
Fluxo 1 × 1
Ambas as pontas, o fluxo atual e o fluxo que se pretende ter, possuem apenas 
um vencimento. O objetivo, portanto, é: dado um fluxo conhecido, encontrar 
um outro equivalente.
Exemplo
Suponha uma dívida avaliada hoje em R$ 5.000,00 que vence em 8 meses, 
mas que se pretende substituir por uma nova, com vencimento daqui a 24 
meses. A taxa de juros é de 2% ao mês. Calcule o valor da dívida na nova data 
de vencimento proposta.
O primeiro passo é compreendermos que, pelo conceito de fluxo equi-
valente, o valor atual na data focal dos dois fluxos de caixa conhecidos será 
igual. Logo:
Cálculo do fluxo equivalente 11
onde VA é o valor atual na data focal, S1 é o fluxo de caixa na condição 1, S2 
é o fluxo de caixa na condição 2, i é a taxa de juros, n1 é o prazo do fluxo de 
caixa 1 e n2 é o prazo do fluxo de caixa 2. Temos, então:
Utilizando a calculadora HP 12c para a resolução do exemplo anterior, 
temos:
RPN
1.02 ENTER
16 yx
5,000 ×
 Resultado: 6,863.93.
FIN
 CLEAR FIN (f x >< y)
5,000 CHS PV
2 i
16 n
 FV
 Resultado: 6,863.93
Fluxo n × 1
O fluxo atual e conhecido tem mais de um vencimento, de modo que o fluxo que 
se pretende ter possui apenas um vencimento. O objetivo, então, é: dado um 
fluxo conhecidode n, encontrar outro, equivalente e com vencimento único.
Cálculo do fluxo equivalente12
Exemplo
Suponha uma dívida avaliada hoje em R$ 5.000,00 que vence em 5 meses, 
distribuída da seguinte forma.
 � Mês 1: R$ 1.000,00.
 � Mês 2: R$ 1.000,00.
 � Mês 3: R$ 1.000,00.
 � Mês 4: R$ 1.000,00.
 � Mês 5: R$ 1.000,00.
Pretende-se substituir essa dívida por uma nova e única, com vencimento 
daqui a 24 meses. A taxa de juros é de 1% ao mês. Calcule o valor da dívida 
na nova data de vencimento proposta.
Nesse caso, podemos transportar todos os fluxos de volta para o mês 0 
para obter o valor presente do principal. Temos, então, o seguinte.
 � Mês 1: R$ 1.000,00 => = 990,10.
 � Mês 2: R$ 1.000,00 => = 980,30.
 � Mês 3: R$ 1.000,00 => = 970,59.
 � Mês 4: R$ 1.000,00 => = 960,98.
 � Mês 5: R$ 1.000,00 => = 951,47.
A somatória de todos os fluxos será, assim, 990,10 + 980,30 + 970,59, + 960,98 
+ 951,47 = 4.853,43. Agora, é só transportarmos o valor do principal acima, que 
está na data focal do mês 0, para o vencimento pretendido daqui a 24 meses:
No 24º mês, o fluxo de caixa, que, na data presente, era de R$ 4.853,43, 
será R$ 6.162,57.
Cálculo do fluxo equivalente 13
Utilizando a calculadora HP 12c para a resolução do exemplo anterior, 
temos o seguinte.
Cálculo do fluxo de caixa para t0:
 f CLx
0,000 Cf0 (g PV) => o fluxo de caixa no t0 = 0,00.
1,000 Cfj (g PMT) => o fluxo de caixa de t1 até t5 = 1.000,00 em cada ano.
5 Nj => número de períodos = 5.
1 i => taxa de juros = 1% a.m.
 NPV (f PV)
 Resultado: 4,853.43.
Cálculo do valor futuro para a data de vencimento:
4,853.43 PV => valor do fluxo de caixa total em t0.
24 n => quantidade de meses até o novo vencimento (24 meses).
1 i => número de períodos = 5.
 FV => valor futuro na nova data de vencimento.
 Resultado: 6,162.57
Fluxo n × n
Ambos os fluxos terão mais de um vencimento. O objetivo, assim, é: dado um 
fluxo conhecido de n, encontrar outro, equivalente e com n prestações iguais.
Exemplo
Suponha a mesma dívida do caso anterior, avaliada hoje em R$ 5.000,00 e 
que vence em cinco meses, distribuída da seguinte forma.
 � Mês 1: R$ 1.000,00.
 � Mês 2: R$ 1.000,00.
 � Mês 3: R$ 1.000,00.
 � Mês 4: R$ 1.000,00.
 � Mês 5: R$ 1.000,00.
Cálculo do fluxo equivalente14
Pretende-se substituir essa dívida por uma nova, com pagamentos anuais 
no mês 12 e 24. A taxa de juros é de 1% ao mês. Calcule o valor da dívida no 
novo fluxo proposto.
Nesse caso, como no anterior, podemos transportar todos os fluxos de 
volta para o mês 0 para obter o valor presente do principal. Temos, assim, 
o seguinte:
 � Mês 1: R$ 1.000,00 => = 990,10.
 � Mês 2: R$ 1.000,00 => = 980,30.
 � Mês 3: R$ 1.000,00 => = 970,59.
 � Mês 4: R$ 1.000,00 => = 960,98.
 � Mês 5: R$ 1.000,00 => = 951,47.
A somatória de todos os fluxos será 990,10 + 980,30 + 970,59 + 960,98 + 
951,47 = 4.853,43. Em seguida, transformamos a taxa mensal atual em uma 
taxa equivalente anual. Para tanto, utilizamos a seguinte fórmula:
Uma vez encontrada a taxa anual e tendo o valor do fluxo de caixa na data 
presente, podemos calcular o coeficiente de financiamento (CF), que nos 
auxiliará a obter o valor das parcelas na nova condição de financiamento. 
O CF é dado por:
Para a obtenção da parcela, que chamaremos de PMT, utilizamos:
Cálculo do fluxo equivalente 15
Como temos duas parcelas nesse novo fluxo proposto:
2.897,54 + 2.897,54 = 5.795,09
Utilizando a calculadora HP 12c para a resolução do exemplo anterior, 
temos o seguinte.
Cálculo do fluxo de caixa para t0:
 f CLx
0,000 Cf0 (g PV) => o fluxo de caixa no t0 = 0,00.
1,000 Cfj (g PMT) => o fluxo de caixa de t1 até t5 = 1.000,00 em cada ano.
5 Nj => número de períodos = 5.
1 i => taxa de juros = 1% a.m.
 NPV (f PV)
 Resultado: 4,853.43.
Cálculo da taxa equivalente:
 Clear FIN
100 PV => valor presente utilizado como referência.
12 n => período de 12 meses.
1 i => taxa de juros mensal (1%).
 FV => valor futuro teórico.
1 n => período equivalente a um ano.
 I => taxa de juros equivalente anual.
 Resultado: 12.6825.
Cálculo das parcelas anuais (PMT):
4,853.43 CHS PV => valor presente calculado na primeira etapa.
2 n => referente às duas parcelas anuais.
12.6825 i => taxa de juros equivalente anual.
 PMT => valor da parcela anual.
 Resultado: 2,897.54.
Cálculo do fluxo equivalente16
Como se trata de duas parcelas anuais, basta multiplicarmos o resultado 
acima por dois:
2,897.54 ENTER
2 ×
Resultado: 5,795.09.
Neste capítulo, vimos a importância de transportarmos fluxos de caixa 
diferentes para datas comparáveis. Além disso, explicamos a relevância da 
equivalência de taxas para o planejamento das finanças corporativas. Saiba 
mais sobre o assunto consultando as referências indicadas a seguir.
Referências
ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
DAL ZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
RANGEL, A. S.; SANTOS, J. C. S.; BUENO, R. L. S. Matemática dos mercados do financeiro: 
à vista e a termo. São Paulo: Atlas, 2003.
VERAS, L. L. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
Cálculo do fluxo equivalente 17
DICA DO PROFESSOR
Assista ao vídeo a seguir para saber mais sobre o cálculo do fluxo equivalente.
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EXERCÍCIOS
1) Uma empresa substituiu uma série de 48 pagamentos postecipados mensais iguais a 
R$300,00 por um pagamento único, vencendo daqui a 2 anos. Sabendo que a taxa de 
juros compostos utilizada foi de 35% ao ano, o valor do pagamento único será:
A) R$1.562,14.
B) R$857,14.
C) R$8.279,86.
D) R$15.090,04.
E) R$6.421,30.
2) Um banco comprou um fluxo de caixa correspondente ao saldo de um empréstimo 
que será quitado em 65 prestações mensais postecipadas iguais a R$10.000,00. Como 
forma de pagamento, o banco emite um título de crédito cujo vencimento será daqui 
a 30 meses. Considerando uma taxa de juros de 4,1% ao mês, calcule o valor de 
resgate do título:
A) R$754.448,86.
B) R$785.381,27.
C) R$3.078.969,17.
D) R$30.971,86.
E) R$454.798,79.
3) O Banco LESTE deseja trocar um fluxo de caixa de recebíveis (créditos) de curto 
prazo, de 4 prestações postecipadas anuais e iguais a R$25.000,00, por outro 
equivalente de 12 prestações mensais também postecipadas. O Banco OESTE 
concordou em fazer a troca, utilizando a taxa de juros de 28% ao ano. Qual foi o 
valor da prestação mensal Rm do fluxo utilizado na troca pelo Banco OESTE?
A) R$71.711,19.
B) R$56.024,19.
C) R$5.323,19.
D) R$16.541,97.
E) R$4.158,73.
4) Um banco é credor de uma série de 12 pagamentos anuais iguais a R$2.200,00 
postecipados. Por necessidade de caixa, o banco pretende negociar com uma 
corretora esta anuidade por outra de 10 pagamentos mensais iguais postecipados. 
Sabe-se que a taxa de juros acertada, com base no mercado, entre os dois agentes 
financeiros, é de 36% a.a., calcule o valor das prestações mensais.
A) R$7.698,72.
B) R$5.958,48.
C) R$684,17.
D) R$2.248,95.
E) R$529,52.
5) Um banco comprou um fluxo de caixa correspondente ao saldo de um empréstimo 
que será quitado em 45 prestações mensais postecipadas iguais a R$3.200,00. Para 
não comprometer os desembolsos de curto prazo, o banco emitiu um título de crédito 
cujo vencimento será daqui a 4 anos, com taxa de 36% a.a. Considerando que o 
empréstimo inicial foi contratado com  uma taxa de juros de 3,7% a.m., qual é o 
valor de resgate do título?
A) R$69.624,68.
B) R$ 238.187,42
C) R$46.110,22.
D) R$80.515,27.
E) R$601.325,83.
NA PRÁTICA
Veja a seguir um exemplo prático do cálculo de fluxo equivalente:
Ana comprou um apartamento em um feirão da construtora e, na época da aquisição, o 
pagamento combinado deveria ser efetuado em duasparcelas: uma de R$250.000,00 e outra de 
R$120.000,00 vencíveis em 6 e 10 meses, respectivamente. Porém, Ana, por causa de 
problemas de planejamento financeiro, descobriu que não terá esses valores nas datas 
estipuladas. Assim, ela solicita ao banco credor a substituição dos dois pagamentos por um 
único a vencer em 15 meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m., o valor 
da prestação única será:
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Resolução de questões de equivalência de capitais
Material disponibilizado por Vitor Menezes para o site Exatas para Concursos acerca de 
questões de equivalência de capitais.
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Empréstimos para capital de giro
APRESENTAÇÃO
As instituições financeiras têm autonomia para conceder empréstimos e financiamentos com 
base em critérios próprios e são regulamentadas pelo Banco Central. As empresas, devido às 
necessidades de ajustes em seu fluxo de caixa, acabam recorrendo ao mercado financeiro em 
busca de recursos. Nesse sentido, as instituições buscam, junto aos seus bancos de 
relacionamento, as opções de empréstimos para suprir as suas necessidades de capital de giro, 
entendendo, junto às instituições financeiras, qual a modalidade adequada para cada momento 
de necessidade.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender conceitos de administração financeira 
relacionados a empréstimos, conhecendo a modalidade de conta garantida, antecipação de 
recebíveis e capital de giro, além de entender a formação de taxas no mercado financeiro.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Analisar o modelo de conta garantida (limite de crédito).•
Descrever a prática de antecipação de recebíveis.•
Definir o custo do dinheiro em operações de capital de giro.•
DESAFIO
Para suprir as necessidades financeiras das empresas, as instituições desse ramo têm 
modalidades de crédito específicas que atendem essas necessidades. As contratadas, usualmente, 
por parte das empresas são empréstimos e financiamentos.
Recentemente, por meio da mídia, o Ministério da Fazenda anunciou a intenção de retornar com 
o benefício de redução do Imposto sobre Produtos Industrializados (IPI) para automóveis, 
eletrodomésticos da linha branca e materiais de construção. Caso essa medida seja concretizada, 
o consumo será estimulado para que a economia se recupere com o impulsionamento das 
vendas.
A seguir, conheça um caso da empresa de fabricação de eletrodomésticos AXX, que, por conta 
dessa medida, precisou de auxílio financeiro em uma instituição.
Neste Desafio, você é o proprietário da empresa AXX. Com base nas informações, identifique e 
justifique se a empresa optará por empréstimo ou financiamento.
INFOGRÁFICO
A administração financeira é de grande importância para as empresas. Efetuando o controle 
financeiro, é possível identificar as faltas de recursos para dar continuidade às atividades da 
empresa.
As instituições financeiras têm diversas modalidades de crédito para empresas (pessoas 
jurídicas) que, ao identificar a sua necessidade de capital de giro, procuram essas instituições, 
comprovando a sua capacidade de honrar a dívida que deseja contrair.
Neste Infográfico, você vai visualizar informações relevantes sobre as principais modalidades de 
crédito disponíveis para as empresas.
CONTEÚDO DO LIVRO
A administração financeira é de grande importância nas empresas, pois administrando os 
recursos de forma adequada, a empresa se mantém competitiva no mercado. Identificando com 
agilidade as necessidades de capital de giro, faz com que a empresa consiga buscar recursos 
apropriados no mercado financeiro.
No capítulo Empréstimos para capital de giro, da obra Matemática Financeira, você vai 
conhecer o modelo de conta garantida, a prática de antecipação de recebíveis e as operações de 
capital de giro, entendendo o custo do dinheiro para as empresas.
Boa leitura.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Andrelise Hanna Huffel
Empréstimo
para capital de giro
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Analisar o modelo de conta garantida (limite de crédito).
  Descrever a prática de antecipação de recebíveis.
  Definir o custo do dinheiro em operações de capital de giro.
Introdução
Os empréstimos de capital de giro são operações oferecidas pelas institui-
ções financeiras com a finalidade de suprir as necessidades de caixa das 
empresas. O relacionamento bancário é fundamental na administração 
financeira, uma vez que, em momentos de necessidade de recursos, 
pode-se cotar e contratar o empréstimo mais adequado ao momento. 
As principais linhas de crédito de curto prazo oferecidas pelas instituições 
financeiras para as empresas são: capital de giro, conta garantida, vendor, 
hot money e antecipação de recebíveis. 
Neste capítulo, você verá algumas opções de empréstimos dispo-
nibilizadas para as empresas, como conta garantida, antecipação de 
recebíveis e capital de giro, bem como entenderá a formação das taxas 
de empréstimos no mercado financeiro.
Modelo de conta garantida (limite de crédito)
A administração fi nanceira tem um papel fundamental para as empresas. 
As informações mais relevantes que uma empresa pode gerar estão relacio-
nadas à geração de caixa para honrar os seus compromissos. A assertividade 
na previsão fi nanceira e no fl uxo de caixa é de suma importância, pois, assim, 
a empresa consegue se preparar para os momentos em que o fl uxo de caixa 
não conseguir atender às necessidades de contas a pagar. 
O termo finanças, de acordo com Gitman (2004, p. 4), pode ser definido 
como “[...] a arte e a ciência de administrar o dinheiro [...]”. Administrar o 
dinheiro de forma adequada é uma das premissas para se obter o sucesso. 
O gestor financeiro tem de estar atento às mudanças na economia, que in-
fluenciam rápida e diretamente as empresas, refletindo em preços, salários, 
impostos, custo de operação, necessidades de consumo, volume de vendas, 
entre outros. Com essas influências, o planejamento financeiro e estratégico da 
empresa pode mudar, e cabe ao gestor estar atento para tomar ações corretivas. 
Conhecer o mercado financeiro e os produtos disponíveis para financiar o 
caixa da empresa torna as ações corretivas mais rápidas, contribuindo para 
que a empresa atinja os seus objetivos de maneira adequada. 
Para Gitman (2004, p. 34), as finanças podem ser definidas como a arte 
e a ciência de gerenciamento de fundos, e suas principais atividades são “[...] 
fazer análise e planejamento financeiro, tomar decisões de investimentos e 
financiamentos [...]”. Sobre o fluxo de caixa, Zdanowicz (2002, p. 23) afirma 
que tem como objetivo básico “[...] a projeção das entradas e das saídas de 
recursos financeiros para determinado período, visando prognosticar a ne-
cessidade e captar empréstimos ou aplicar excedentes de caixa nas operações 
mais rentáveis para a empresa [...]”.
O Quadro 1, a seguir, extraído do Banco Central do Brasil (BC), demonstra 
a diferença entre empréstimos e financiamentos.
 Fonte: Adaptado de Banco Central do Brasil (2019). 
Empréstimo Financiamento
A pessoa ou a empresa contrata 
a operação e não especifica 
como utilizará o dinheiro, que 
pode ser usado livremente.
A pessoa ou a empresa contrata a 
operação para comprar um bem ou 
adquirir um serviço específico, como no 
caso de financiamento de um veículo 
ou de uma moto. Em geral, o bem 
financiado serve como garantia do 
financiamento, e, por isso, os juros, nessas 
situações, costumam ser menores.
Quadro 1. Diferença entre empréstimo e financiamento
Empréstimo para capital de giro2
De acordo com o Banco Central do Brasil (2019), o empréstimo é um 
contrato entre o cliente e uma instituição financeira (banco, cooperativa 
de crédito, caixa econômica). O clienterecebe uma quantia, que deverá ser 
devolvida em prazo determinado e acordado, somada dos juros acertados. 
Os recursos obtidos no empréstimo não têm destinação específica, ou seja, 
o cliente pode utilizar conforme suas necessidades, sem precisar informar 
previamente a instituição financeira.
As instituições financeiras não são obrigadas a conceder empréstimos 
ou financiamentos, podendo estabelecer seus próprios critérios, como, por 
exemplo, solicitar documentações para realizar análise de crédito do cliente 
solicitante, conforme política interna da instituição. O importante é que o cliente 
tenha conhecimento do Custo Efetivo Total (CET) das operações contratadas.
Segundo informações do Banco Central do Brasil (2019), o CET corres-
ponde a todos os encargos e despesas incidentes nas operações de crédito, o 
qual deve ser expresso em forma de taxa percentual anual. Os empréstimos e 
financiamentos podem ser quitados antecipadamente, cabendo às instituições 
financeiras informar as condições dessas antecipações.
Segundo Assaf Neto e Lima (2017), nas operações de empréstimos, torna-se 
mais interessante para as empresas tomarem recursos a curto prazo e, depois, 
em caso de necessidade, renová-los periodicamente, pois as tomadas de recursos 
a curto prazo, nesse tipo de operação, possuem taxas inferiores às de longo 
prazo. Nas operações de empréstimos de longo prazo, existe o risco envolvido 
na duração da operação, o que torna as taxas mais elevadas. Por outro lado, a 
ação visando à economia em taxas de juros pode ser arriscada para a empresa, 
uma vez que, na renovação da operação, a taxa pode ter se elevado, devido a 
instabilidades na economia ou até mesmo devido à instituição financeira não 
possuir lastro para a renovação da operação.
Uma das operações de crédito mais comuns no sistema financeiro é co-
nhecida como conta garantida. Essa modalidade de empréstimos é bastante 
utilizada pelas empresas, em virtude da rapidez na disponibilização dos recur-
sos para o cliente. É o limite de crédito atrelado à conta corrente. O chamado 
cheque especial é a operação equivalente para pessoa física.
Segundo Tosi (2015), a conta garantida é um limite de crédito rotativo que 
permite ao cliente efetuar saques a descoberto até o valor definido em contrato. 
Os limites de crédito são definidos conforme os critérios e as avaliações de 
cada instituição financeira. Os juros são pagos periodicamente e, em geral, 
debitados na conta corrente. Normalmente, as contas garantidas são corrigidas 
a CDI-CETIP diário.
3Empréstimo para capital de giro
A Câmara de Custódia e Liquidação (CETIP) é a maior empresa de custódia e de liqui-
dação financeira da América Latina. Foi criada em agosto de 1984 pelas instituições 
financeiras em conjunto com o Banco Central do Brasil, para garantir mais segurança e 
agilidade às operações do mercado financeiro brasileiro. Atualmente, a CETIP oferece 
o suporte necessário a toda a cadeia de operações, prestando serviços integrados de 
custódia, negociação eletrônica, registro de negócios e liquidação financeira. 
A taxa CETIP é formada pelo próprio mercado e está relacionada ao Certificado de 
Depósito Interbancário (CDI), que são os títulos tomados como referência. Os CDIs, 
também chamados de taxa DI, representam os títulos emitidos pelos bancos para a 
captação e a aplicação de recursos entre eles. 
Para mais informações, acesse o link a seguir.
https://qrgo.page.link/fL9AJ
De acordo com Assaf Neto e Lima (2017), o crédito rotativo, também 
chamado de conta garantida, é uma conta tipo empréstimo que visa a atender 
à necessidade de capital de giro de curto prazo das empresas. As empresas 
costumam utilizar esse recurso quando o montante de entradas de caixa não 
coincide com as saídas, ou seja, quando o contas a pagar é superior às dispo-
nibilidades de recursos da empresa. Conforme a empresa vai recebendo as 
entradas diretamente em conta corrente, provenientes de suas contas a receber, 
esses valores vão amortizando o saldo devedor utilizado da conta garantida.
Para Assaf Neto e Lima (2017), esse tipo de crédito rotativo possui um limite 
máximo de recursos a serem sacados, deixando a conta com saldo devedor, pois 
o saque é realizado a descoberto. Portanto, como essa operação é contratada 
pelas instituições financeiras onde a empresa possui conta corrente, a análise 
do limite de crédito é realizada com base nos critérios da instituição, que 
estabelece um limite ao cliente, firmado por meio de contrato. Previamente, a 
empresa contratante tem conhecimento desse limite e dos custos da operação 
e, a qualquer momento, fica habilitada a utilizar o limite de crédito, que ficará 
vinculado à sua conta corrente.
Segundo Assaf Neto e Lima (2017), a conta garantida equivale a uma 
conta com um limite de crédito garantido pela instituição bancária. O con-
tratante utiliza os recursos para saldar as suas necessidades mais imediatas 
de fluxo de caixa. A vantagem da conta garantida é a agilidade para utilizar 
os recursos financeiros quando há necessidade de suprir o caixa da empresa, 
além do fato de que a empresa realiza a contratação e o valor fica disponível 
Empréstimo para capital de giro4
para utilização em um momento de necessidade (dentro do prazo de vigência 
do contrato). Segundo Fortuna (2005), a conta garantida é um produto que 
garante ao cliente liquidez imediata em suas emergências, e, para o banco, é 
um produto mercadológico forte. 
Prática de antecipação de recebíveis
As instituições fi nanceiras possuem uma variedade de operações de crédito 
para oferecer aos seus clientes, as quais se diferenciam por suas garantias, 
taxas, prazos e limites. Cabe ao tomador de recursos analisar essas variáveis 
e entender qual operação de crédito é mais adequada para a empresa.
Entre as operações mais comuns oferecidas no sistema financeiro para 
pessoa jurídica está a antecipação de recebíveis. De acordo com Newlands 
Junior (2015), a antecipação de recebíveis é uma operação em que a instituição 
financeira adianta o valor de documentos representativos de direitos credi-
tórios. Ou seja, adianta os valores que o credor tem a receber do devedor. Os 
títulos que podem ser descontados junto às instituições financeiras são: notas 
promissórias, duplicatas, debêntures e cheques pré-datados. 
A antecipação de recebíveis é considerada segura para o cliente e para a 
instituição financeira, pois envolve um título como garantia. Para o tomador 
de recursos e para a instituição financeira, existe a segurança de uma venda 
efetuada, que será recebida em forma de um título a prazo, ou seja, tem-se a 
expectativa do recebimento do título no prazo acordado. 
A duplicata é um título com origem em operação comercial, ou seja, compra e venda 
de produto ou serviço com pagamento a prazo. O vendedor é identificado como 
sacador, cedente ou credor da operação, ao passo que o comprador ou devedor é o 
sacado. A duplicata é emitida pelo sacador contra o sacado.
Quando a venda a prazo tem um só vencimento, emitem-se a fatura e a duplicata de 
fatura. Se a venda a prazo for liquidada em várias parcelas, serão emitidas uma fatura 
e duplicatas equivalentes ao número de vencimentos.
A duplicata é, portanto, um instrumento de cobrança e pode ser negociada como 
título de crédito. 
Fonte: Carrete e Tavares (2019).
5Empréstimo para capital de giro
A Figura 1, a seguir, apresenta um modelo de duplicata.
Figura 1. Modelo de duplicata.
Fonte: Cartório de Protesto de São José dos Campos (2010a, documento on-line).
Segundo Carrete e Tavares (2019), a antecipação de recebíveis, também 
conhecida como desconto de títulos, é uma das operações mais utilizadas como 
financiamento de vendas. A empresa contratante recebe um valor correspon-
dente aos títulos em um período anterior aos seus vencimentos, mediante a 
cessão de seus direitos. A responsabilidade final da liquidação dos títulos é 
do cedente (tomador de recursos).
A finalidade dessa operação é antecipar os recebíveisda empresa de títulos 
de vendas a prazo. Como a responsabilidade de liquidação final dos títulos 
junto às instituições financeiras é do cedente, visto que foi ele quem contratou 
Empréstimo para capital de giro6
a operação, no caso de algum sacado não liquidar o título, o banco tem direito 
de regresso. Segundo Fortuna (2005), o direito de regresso para o banco se 
dá quando o título não teve seu pagamento efetuado pelo sacado na data do 
vencimento, então o cedente assume a responsabilidade da sua quitação, 
juntamente com as multas e os juros pelo atraso.
Para a instituição financeira, essa operação é vantajosa, uma vez que, na 
ausência do recebimento por parte do sacado, o cedente — quem contratou a 
operação e assinou o contrato se responsabilizando pelos títulos negociados 
— arcará com o pagamento. 
Para Assaf Neto (2015), o desconto bancário de títulos é uma operação de 
crédito típica do mercado financeiro, a qual envolve principalmente duplicatas 
e notas promissórias, que servem como garantia da operação como um crédito 
futuro. A emissão de nota promissória pode ser considerada em operação de 
desconto, dada a existência de um crédito com vencimento a prazo. A Figura 
2, a seguir, apresenta um modelo de nota promissória.
Figura 2. Modelo de nota promissória.
Fonte: Cartório de Protesto de São José dos Campos (2010b, documento on-line).
7Empréstimo para capital de giro
Segundo Fortuna (2005), as operações de desconto também podem ser feitas 
com cheques pré-datados. Os cheques pré-datados ficam em caução, como 
garantia da operação. A Figura 3, a seguir, apresenta um modelo de cheque.
Figura 3. Modelo de cheque.
Fonte: Adaptada de Cartório de Protesto de São José dos Campos (2010c).
Custo do dinheiro em operações
de capital de giro
A gestão fi nanceira é o processo pelo qual a empresa busca atingir o seu objetivo 
de liquidez. Existem diferentes fatores que fazem variar o capital de giro da 
empresa. Analisando-se as necessidades de capital de giro, escolher a forma ade-
quada de fi nanciar o caixa é fundamental para um bom desempenho fi nanceiro.
Segundo Tosi (2015), a operação de capital de giro é um empréstimo tra-
dicional que visa a atender às necessidades de recursos para as empresas 
movimentarem e darem continuidade aos seus negócios. Essa modalidade 
é vinculada ao recebimento em conta corrente da empresa, que não precisa 
comprovar os fins que serão destinados os valores. 
Para Assaf Neto (2015), os empréstimos para capital de giro são ofereci-
dos pelos bancos por meio de uma formalização contratual, em que ficam 
acordadas as condições de operação, como garantias da operação, prazos de 
resgates, encargos financeiros, entre outros. Alguns pontos são críticos e de 
grande importância para a empresa tomadora dos recursos. A empresa tem 
de ter ciência de todas as condições da operação, para esclarecimentos junto à 
instituição financeira, se necessário, antes de efetivar a assinatura do contrato. 
Além disso, é crucial ter conhecimento das taxas e dos encargos da operação, 
bem como das possibilidade e condições de amortizações antecipadas.
Empréstimo para capital de giro8
A taxa de empréstimos está relacionada com o valor ou custo do dinheiro. A 
empresa tomadora de recursos tem de entender o quanto custa o seu dinheiro e, 
caso não tenha disponibilidades em caixa, o quanto custará buscar esses valores 
no mercado financeiro. Para Gitman (2004), o valor do dinheiro no tempo sig-
nifica que o dinheiro recebido no futuro vale menos do que o dinheiro recebido 
hoje, portanto, é importante utilizar um conjunto de ferramentas para ajudar 
a comparar entradas e saídas de caixa que ocorrem em diferentes períodos. 
Quanto aos custos envolvidos nas operações de empréstimos, Fortuna 
(2005, p. 183) afirma que:
A formação de taxa de empréstimo, dependendo do produto/ operação ofe-
recido varia periodicamente de acordo com: a) a curva dos juros futuros do 
mercado, que informa o custo base de captação para o prazo do empréstimo; 
b) os componentes de spread (diferença entre a taxa de empréstimo e de 
captação), tais como os encargos da operação (custos internos mais a cunha 
fiscal), a margem de ganho desejada pelo banco e, o risco específico do cliente 
tomador do empréstimo, vis-à-vis as garantias especificas da operação, também 
conhecido como risco de inadimplência. 
Portanto, a formação da taxa de empréstimo depende de inúmeras variáveis, 
abrangendo os participantes da operação e o cenário econômico. O prazo da 
operação influencia na taxa, conforme expectativa dos juros futuros de mer-
cado. No caso de expectativas de aumento das taxas, isso refletirá diretamente 
na operação contratada. Ainda, tem-se a análise do risco do cliente tomador do 
empréstimo: se o cliente tiver alto risco de inadimplência, consequentemente, 
a sua taxa será mais elevada do que para clientes que têm baixo risco.
De acordo com Tosi (2015), além da taxa de juros acordada entre a empresa 
contratante e a instituição financeira, existe a cobrança de encargos segundo a 
variação do CDI, levando em consideração diversos aspectos para a formação da 
taxa de empréstimo nas operações de capital de giro, entre as quais se destacam:
• custo de captação dos recursos no mercado financeiro. Nesse aspecto, 
são observadas as taxas praticadas nas operações interbancárias (CDI) 
no mercado a vista e futuro, o nível da taxa básica da economia (Selic) e a 
expectativa com relação a seu comportamento futuro, os leilões de títulos 
públicos federais, as projeções de mercado em função da conjuntura eco-
nômica e outros fatores;
• os percentuais de compulsório determinados pelo Banco Central nas ope-
rações ativas e passivas;
• a cunha fiscal incidente na operação (PIS, COFINS etc.) e o seguro obrigatório 
a ser recolhido para o Fundo Garantidor de Créditos (FGC);
• e outros.
9Empréstimo para capital de giro
Assim, o empréstimo, nas operações de capital de giro, é uma importante 
ferramenta disponibilizada pelo sistema financeiro como instrumento de 
políticas econômicas de apoio às atividades empresariais, auxiliando para 
que as empresas obtenham os recursos necessários para que possam suportar 
períodos de crise sem o risco de encerramento de suas atividades e para que 
possam ser realizados investimentos que viabilizem o aumento da produtivi-
dade, capazes de gerar emprego, renda e riqueza ao País.
ASSAF NETO, A.; LIMA, F. G. Fundamentos de administração financeira. 3. ed. São Paulo: 
Atlas, 2017.
ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 13. ed. São Paulo: Atlas, 2015.
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Empréstimos e financiamentos. [2019]. Disponível em: ht-
tps://www.bcb.gov.br/estabilidadefinanceira/tiposemprestimo. Acesso em: 21 ago. 2019.
CARRETE, L. S.; TAVARES, R. Mercado financeiro brasileiro. São Paulo: Atlas, 2019.
CARTÓRIO DE PROTESTO DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS. [Modelo de cheque]. [2010c]. 
Disponível em: http://www.protestosjc.com.br/ArquivosCliente/f2a7de41-ccbc-4ca9-
bb24-2bd5a2f819cf.jpg. Acesso em: 21 ago. 2019.
CARTÓRIO DE PROTESTO DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS. [Modelo de duplicata]. [2010a]. 
Disponível em: http://www.protestosjc.com.br/ArquivosCliente/88ece787-c32a-48ab-
a8ea-ad292af1ca48.jpg. Acesso em: 21 ago. 2019.
CARTÓRIO DE PROTESTO DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS. [Modelo de nota promissória]. 
[2010b]. Disponível em: http://www.protestosjc.com.br/ArquivosCliente/4f8fb476-
b3b8-454f-b4ad-65d1b07a3ee6.jpg. Acesso em: 21 ago. 2019.
FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 16. ed. Rio de Janeiro: Quality-
mark, 2005.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira: essencial. 10. ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2004.
NEWLANDS JUNIOR, C. A. Sistema financeiro e bancário. 5. ed. São Paulo: Método, 2015.
TOSI, A. J. Matemática financeira com ênfase em produtos bancários. 4. ed. São Paulo: 
Atlas, 2015.
ZDANOWICZ, J. E. Fluxo de caixa: uma decisão de planejamento e controle financeiros. 
9. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2002.
Empréstimo para capital de giro10
DICADO PROFESSOR
Com a grande concorrência do mercado, as empresas, inevitavelmente, passaram a conceder 
crédito para os clientes, efetuando vendas a prazo com o intuito de aumentar o número de 
clientes e, consequentemente, o número de vendas. A duplicata é um documento importante 
dentro da relação comercial de compra e venda de mercadorias e serviços, principalmente 
quando a venda é realizada a prazo. Esse título se origina da celebração de um contrato a prazo 
de compra e venda mercantil.
Nesta Dica do Professor, você vai conhecer detalhes sobre duplicatas, para melhor entender 
sobre vendas a prazo e os conceitos de nota fiscal e fatura, importantes na emissão de duplicatas.
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EXERCÍCIOS
1) De acordo com o Banco Central do Brasil (2019), o empréstimo é um contrato entre o 
cliente e uma instituição financeira (banco, cooperativa de crédito, caixas 
econômicas, entre outros).
Referente a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
I – O recurso obtido nessa modalidade pode ser utilizado livremente, sem necessidade 
de informar à instituição financeira a sua destinação.
II – O recurso obtido nessa modalidade tem destinação específica, como aquisição de 
um imóvel ou automóvel, que funciona como garantia do crédito recebido.
III – As instituições financeiras são obrigadas a conceder empréstimos e 
financiamentos para os seus clientes.
Está(ão) correta(s):
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas as afirmativas II e III.
2) A conta garantida é uma das operações de crédito mais comuns ofertadas pelas 
instituições financeiras e é utilizada pelas empresas principalmente pela rapidez na 
disponibilização dos recursos.
Referente a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
I – A conta garantida pode ser considerada um limite de crédito rotativo.
II – Nessa modalidade, o cliente pode efetuar saques a descoberto até o limite 
definido no contrato.
III – A finalidade dessa operação é atender às necessidades de capital de giro a curto 
prazo.
Está(ão) correta(s):
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas II e III.
E) As afirmativas I, II e III.
3) A antecipação de recebíveis é conhecida também como desconto de títulos. Ela é 
usualmente utilizada para financiamento de vendas, sendo uma operação de 
empréstimo ofertada por instituições financeiras.
Referente a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
I – Nessa operação, o contratante não fornece garantias.
II – A antecipação de recebíveis pode ser efetuada somente por meio de duplicatas.
III – A instituição financeira adianta os valores que o credor tem a receber do 
devedor.
Está(ão) correta(s):
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas II e III.
E) As afirmativas I, II e III.
A formação da taxa de empréstimos está relacionada com o valor do custo do 
dinheiro no tempo. A empresa que necessita de recursos tem que entender o quanto 
custa o seu dinheiro e quanto custará para buscar esses valores junto às instituições 
financeiras.
Referente aos custos envolvidos nas operações de empréstimos, analise as afirmativas 
a seguir:
I – A formação da taxa de empréstimos varia de acordo com a curva de juros futuros 
do mercado.
4) 
II – A análise do risco do tomador de empréstimo influencia na formação da taxa de 
juros.
III – A formação da taxa de empréstimo depende exclusivamente do spread bancário.
Está(ão) correta(s):
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e II.
E) As afirmativas I, II e III.
5) A administração financeira tem o objetivo de administrar da melhor forma os 
recursos da empresa, projetando as entradas e as saídas com a finalidade de 
identificar as necessidades de capital de giro.
Referente às operações de empréstimos para capital de giro, analise as afirmativas a 
seguir:
I – A taxa CETIP (Câmara de Custódia e Liquidação) é formada pelo próprio 
mercado e está relacionada ao Custo Efetivo Total da operação (CET), que são os 
títulos tomados como referência.
II – O CET (Custo Efetivo Total da operação) é expresso em forma de taxa 
percentual anual e inclui todas as despesas e encargos inerentes à operação.
III – Algumas operações de empréstimos para capital de giro utilizam como taxa de 
correção o CDI (Certificado de Depósito Interbancário).
Está(ão) correta(s):
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e II.
E) Apenas as afirmativas II e III.
NA PRÁTICA
As empresas, rotineiramente, devido à falta de capital de giro, necessitam de recursos 
financeiros, buscando operações de empréstimos junto às instituições financeiras. A conta 
garantida, também chamada de crédito rotativo, é uma modalidade de 
empréstimo utilizada pelas empresas para financiamento de capital de giro de curto prazo.
Compreenda, Na Prática, como funciona a conta garantida nas necessidades de capital de giro 
no dia a dia das empresas.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Empréstimo é bom ou ruim?
Antes de recorrer a um financiamento ou empréstimo, entenda quais são os impactos de um 
gasto extra para as finanças da empresa. Confira no vídeo a seguir.
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Análise da evolução do crédito no período recente 2014 – 2017
Esta Nota Técnica analisa o comportamento do crédito no contexto de desaceleração e da 
recessão econômica no Brasil, entre 2014 e 2017, em perspectiva comparada com o período 
anterior, destacando o comportamento dos empréstimos às famílias e às empresas, com recursos 
livres e direcionados e ainda de acordo com a origem de capital das instituições financeiras – 
bancos públicos e privados.
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Entenda como funciona o empréstimo garantido
Como forma de ajudar a reativar a economia, existem projetos para tentar destravar o crédito e 
reduzir os custos dos financiamentos no país. Uma das medidas é facilitar a utilização de 
imóveis como garantia de empréstimos. Entenda mais sobre esse assunto no link a seguir.
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Programação Financeira
APRESENTAÇÃO
Você sabia que é preciso muita competência e conhecimento técnico para a criação de uma 
programação financeira? Este conhecimento envolve finanças e comportamento do recolhimento 
dos tributos federais que contemplam a receita, assim como da estrutura do Estado. A 
programação financeira será sempre sujeita à política do governo, considerando que o 
orçamento precisa de aprovação. Isso significa que sua aplicação deve estar vinculada à real 
entrada de recursos. Conforme os recursos forem entrando nos cofres do governo, são liberados 
instantaneamente para os órgãos setoriais dos ministérios ou órgãos, com base na programação 
financeira destes, para a aplicação dos seus programas de trabalho. Assim, fica a critério do 
governo aplicar este ou aquele projeto, sem precisar cumprir qualquer hierarquia orçamentária. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a finalidade da programação financeira, 
reconhecer os recursos precisos para a sua execução e verificar as receitas arrecadadas pelo 
governo e as despesas realizadas no exercício.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar a finalidade da programação financeira.•
Definir os recursos necessários para a melhor aplicação do programa anual orçamentário.•
Analisar o nivelamento das receitas arrecadadas e despesas ocorridas durante o exercício.•
DESAFIO
Considerandosua área de atuação, sendo servidor público e envolvido diretamente com a 
programação financeira, você precisa estar sempre atento à legislação.
De acordo com seu conhecimento, é definido que para toda a federação, de maneira direta ou 
indireta, existem limites determinados relativos à dívida consolidada, a garantias, operações de 
crédito, restos a pagar e despesas de pessoal, para que seja atingido o equilíbrio das finanças 
públicas e que seja apresentada transparência da gestão fiscal.
A legislação estabelece que a despesa total com pessoal relacionada a cada período de apuração, 
observando os estados da Federação, tem um percentual definido como limite máximo, em que 
as referidas despesas não poderão ultrapassar o que foi definido.
Você tem acesso a relatórios impressos do sistema e precisa averiguar se tais despesas estão 
dentro do estimado ou se ultrapassaram os limites permitidos. Apresente o percentual 
considerado correto e a legislação pertinente para essa situação.
INFOGRÁFICO
Observando o infográfico, você vai perceber os elementos precisos para a aplicação da 
programação financeira, a conta única e as contas bancárias e, ainda, as ordens bancárias 
relativas ao processo. Confira!
CONTEÚDO DO LIVRO
É importante destacar que o ingresso das receitas arrecadadas pelo governo, a partir dos 
contribuintes, nem sempre combina com o mesmo tempo em que ocorrem as necessidades de 
efetuação de despesas públicas, pois a arrecadação de tributos e outras receitas não se aplica 
apenas no início do exercício financeiro, visto que está dividida ao longo de todo o ano civil.
Para aprender mais sobre este conteúdo, leia o capítulo Programação financeira, base teórica 
desta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
CONTABILIDADE 
PÚBLICA 
AVANÇADA
Organizadora:
Aline Alves
Programação fi nanceira
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 n Identifi car a fi nalidade da programação fi nanceira.
 n Defi nir os recursos necessários para a melhor aplicação do programa 
anual orçamentário.
 n Analisar o nivelamento das receitas arrecadadas e despesas ocorridas 
durante o exercício.
Introdução
Você sabia que é preciso muita competência e conhecimento técnico 
para criar uma programação financeira? Esse conhecimento envolve 
finanças e comportamento do recolhimento dos tributos federais que 
contemplam a receita, assim como da estrutura do Estado. 
A programação financeira será sempre sujeita à política do governo, 
considerando que o orçamento precisa de aprovação. Isso significa que 
sua aplicação deve estar vinculada à real entrada de recursos. Con-
forme os recursos forem entrando nos cofres do governo, são liberados 
instantaneamente para os órgãos setoriais dos ministérios ou órgãos, 
com base na programação financeira destes, para a aplicação dos seus 
programas de trabalho. Assim, fica a critério do governo aplicar este ou 
aquele projeto, sem precisar cumprir qualquer hierarquia orçamentária. 
Neste texto, você vai estudar a finalidade da programação financeira, 
reconhecer os recursos necessários para a sua execução e verificar as 
receitas arrecadadas pelo governo e as despesas realizadas no exercício. 
Fundamentação da programação financeira
As ações da administração fi nanceira deverão ser ordenadas por meio de 
um sistema que atua em busca do equilíbrio fi nanceiro do Governo Federal. 
Nesse sentido, é necessário observar as limitações das receitas e das despesas 
públicas. Elas podem ser analisadas mediante o decreto-lei nº 200/67 (BRASIL, 
1967), artigo 30, e também na lei nº 10.180/2001 (BRASIL, 2001), no art. 1º.
O Sistema de Administração Financeira Federal contempla ações de pro-
gramação financeira relativas à União. Também inclui ações de administração 
de direitos e recursos, garantias e obrigações de encargo do Tesouro Nacional. 
Ainda engloba ações de direção técnico-normativa relacionadas à execução 
orçamentária e financeira.
A programação financeira surgiu por determinação legal. Ela tem como 
base a lei nº 4.320/64 (BRASIL, 1964), em seus artigos 47 a 50. Também tem 
como suporte a lei complementar nº 101/00 (BRASIL, 2000), nos artigos 8º e 
9º. Além disso, se baseia no decreto-lei nº 200/67 (BRASIL, 1967), artigos 17, 
18, 30 e 72. Contudo, foi a lei nº 4.320/64 que efetivamente inseriu o sistema 
de programação da execução orçamentária.
A programação financeira corresponde a um processo contínuo em administração.
Analisando a Tabela 1, você vai conhecer a composição do Sistema de 
Administração Financeira Federal:
 Fonte: Adaptada de Piscitelli e Timbó (2010). 
Órgão central:
 n STN – Secretaria do Tesouro 
Nacional
Órgãos setoriais:
 n Unidades de programação 
financeira dos ministérios
 n Advocacia-Geral da União
 n Vice-presidência
 n Casa Civil da Presidência da República
 Tabela 1. Composição do Sistema de Administração Financeira Federal. 
Esses órgãos ficam subordinados à condução normativa e também à supervi-
são sistemática referente ao órgão centralizado do sistema. Isso não causa prejuízo 
devido à dependência ao órgão no qual a estrutura administrativa está inserida.
167Programação financeira
A lei nº 10.180/2001 (BRASIL, 2001), artigo 12, diz que é de competência 
das unidades responsáveis as ações que contemplam o Sistema de Adminis-
tração Financeira Federal, conforme você pode ler a seguir:
I – zelar pelo equilíbrio financeiro do Tesouro Nacional;
II – administrar os haveres financeiros e mobiliários do Tesouro Nacional;
III – elaborar a programação financeira do Tesouro Nacional, gerenciar 
a Conta Única do Tesouro Nacional e subsidiar a formulação da política 
de financiamento da despesa pública;
IV – gerir a dívida pública mobiliária federal e a dívida externa de 
responsabilidade do Tesouro Nacional;
V – controlar a dívida decorrente de operações de crédito de respon-
sabilidade, direta e indireta, do Tesouro Nacional;
VI – administrar as operações de crédito sob a responsabilidade do 
Tesouro Nacional;
VII – manter controle dos compromissos que onerem, direta ou in-
diretamente, a União junto a entidades ou organismos internacionais;
VIII – editar normas sobre a programação financeira e a execução 
orçamentária e financeira, bem como promover o acompanhamento, a 
sistematização e a padronização da execução da despesa pública;
IX – promover a integração com os demais Poderes e esferas de 
governo em assuntos de administração e programação financeira.
Após a aprovação do orçamento, é necessário instrumentalizá-lo. Sendo 
assim, é preciso realizar a programação do fluxo de caixa referente ao Go-
verno. Isso deve acontecer por meio do estabelecimento, a cada exercício, de 
uma fração de cotas de despesas que cada unidade pode utilizar, no período 
trimestral, para que consiga atingir seus objetivos:
 n Garantir às unidades orçamentárias, em um período de tempo con-
siderado pertinente, o montante necessário de recursos para melhor 
aplicação do programa de trabalho projetado anualmente.
 n Conservar, durante o exercício, a estabilidade entre a receita recolhida 
e a despesa efetuada, com o intuito de reduzir o que for possível dos 
imprevistos relativos a insuficiências financeiras.
O decreto-lei nº 200/67 (BRASIL, 1967) instaurou a programação finan-
ceira de desembolso, que deve ser desenvolvida em conjunto pelo Ministério 
do Planejamento e pelo Ministério da Fazenda. Sua finalidade é corrigir o 
Contabilidade pública avançada168
andamento da execução orçamentária relativa à movimentação praticável 
dos recursos.
Por meio da modificação da lei complementar nº 101/00 (BRASIL, 2000), 
que determina regras de finanças públicas direcionadas para o compromisso 
na gestão fiscal, o Poder Executivo tem um período máximo para definir a 
programação financeira e o calendário mensal referente ao desembolso.
Você pode verifi car isso na lei complementar nº 101/00 (BRASIL, 2000), 
artigo 8º:
Art. 8. Até trintadias após a publicação dos orçamentos, nos termos em 
que dispuser a lei de diretrizes orçamentárias e observado o disposto na 
alínea c do inciso I do art. 4º, o Poder Executivo estabelecerá a progra-
mação financeira e o cronograma de execução mensal de desembolso.
Você pode perceber, diante da lei complementar nº 101/00 (BRASIL, 2000), que o 
planejamento e as atividades do Governo não se encerram com a aprovação do 
orçamento. Porém, devem permanecer em constante avaliação e correção, conforme 
a capacidade financeira do Estado.
Posterior à autorização da Lei Orçamentária, o Poder Executivo dá início 
ao processo de desenvolvimento da programação financeira anual. Ela é dis-
posta em diversos demonstrativos que apresentam em detalhes os respectivos 
valores que poderão ser empenhados e os desembolsos financeiros, durante 
o exercício, de acordo com cada órgão. Os valores devem ser considerados 
para uma realização mensal, referente ao emprenho e ao desembolso. A res-
trição desses valores se sustenta para uma estimativa de arrecadação para 
um período bimestral.
169Programação financeira
Você deve saber que os demonstrativos precisam ser atualizados durante o exercício. 
Isso deve ser feito em conformidade com o que de fato foi realizado em relação à 
arrecadação e à nova perspectiva de entrada de cada uma das receitas. Dessa forma, se 
realiza um novo planejamento relativo aos empenhos e aos pagamentos, absorvendo 
tanto as quantias empenhadas durante o exercício como os restos a pagar.
Todo o processo de programação financeira acontece dentro do sistema 
SIAFI. Ele foi elaborado de modo que cada unidade gestora consiga desen-
volver sua programação financeira e sujeitá-la ao seu órgão setorial referente 
à programação. Esse órgão deve conseguir consolidá-la e submetê-la ao órgão 
central de programação financeira. Sendo assim, o sistema possibilita um 
monitoramento considerado necessário sobre o calendário de desembolso 
relacionado aos recursos financeiros de cada unidade gestora.
Na elaboração da programação financeira, realizada pelo Poder Executivo, 
é necessário verificar alguns métodos:
 n A política fiscal definida para o período.
 n A quantidade relativa a recursos de arrecadação, harmonizando o total 
que deverá ser desembolsado com o volume de recursos que foram 
recolhidos.
 n A existência de dotação orçamentária mediante classificação de 
gastos.
 n Os vínculos constitucionais e legais referentes às receitas recolhidas.
 n A demanda dos órgãos e das entidades.
 n A imobilização de alguns gastos.
Será considerada instrumento da programação financeira qualquer receita 
que circular pelo órgão central do Sistema de Programação Financeira do 
Governo Federal.
Contabilidade pública avançada170
O recolhimento do montante da arrecadação das receitas efetuadas pelos órgãos 
será realizado pelo SIAFI. O valor será remetido à conta do órgão central referente ao 
Sistema de Programação Financeira do Governo Federal.
Técnicas e aplicação da programação financeira
A programação fi nanceira acontece por meio de três processos:
 n Órgão central de programação financeira (STN).
 n Órgãos Setoriais de Programação Financeira (OSPF).
 n Unidades Gestoras (UG).
Posterior à publicação da Lei Orçamentária Anual (LOA), a Secretaria do 
Tesouro Nacional realiza registros baseada na fita magnética desenvolvida pela 
Secretaria de Orçamento Federal (SOF). Os créditos orçamentários iniciais são 
incluídos no SIAFI. Esses registros são feitos por meio de contas do sistema 
orçamentário e também financeiro dos órgãos agregados de programação 
financeira. Também é preciso registrar os subtetos definidos pelo decreto 
relativo à programação financeira do exercício.
Os órgãos setoriais de programação financeira pedem ao órgão central 
os recursos financeiros para o pagamento relativo às despesas das unidades 
gestoras. Isso é realizado por meio do registro no SIAFI relacionado à proposta 
da programação financeira, por intermédio da nota de programação financeira.
Conforme a instrução normativa STN nº 2/99 (BRASIL, 1999), a proposta 
de programação financeira demonstrará algumas informações:
 n Categoria do gasto
 n Espécie de despesa
 n Código de vinculação do pagamento
 n Fonte de recursos
 n Mês de referência
 n Valor
As categorias de gastos são demonstradas da seguinte maneira, mediante 
a proposta de programação financeira:
171Programação financeira
a) Pessoal e encargos sociais
b) Dívida
c) Outras despesas
No início de cada mês, a Secretaria do Tesouro Nacional observa:
 n A quantidade de recolhimentos dos recursos.
 n A existência de dotação orçamentária mediante as categorias de gastos.
 n Os vínculos constitucionais e legais relativos às receitas arrecadadas.
 n A prioridade dos gastos.
 n A demanda dos órgãos e entidades.
 n A sazonalidade referente a alguns gastos.
 n A política fiscal definida para o período.
Com base nas observações realizadas pela STN, são feitas correções aos valores 
propostos pelos órgãos setoriais de programação financeira. Depois é redigida a 
Programação Financeira Aprovada (PFA). É necessário observar a data, até o 3º dia 
útil do referido mês. Esse documento autoriza o total dos recursos financeiros que 
precisam ser liberados mediante cada órgão setorial de programação financeira.
Devido ao valor definido na programação financeira aprovada mediante a 
Secretaria do Tesouro Nacional, os órgãos setoriais de programação financeira 
realizarão uma transferência relacionada aos limites de saques para as unidades 
gestoras. Aqui, precisam observar o período máximo de até dois dias úteis a 
partir do lançamento da PFA pela Secretaria do Tesouro Nacional.
Observe um resumo da sistematização da programação financeira: primeiro, 
a Secretaria do Tesouro Nacional realiza uma transferência dos recursos para 
os órgãos setoriais de programação financeira. Ela faz isso mediante a emissão 
de uma nota de sistema que ocorre por meio do subsistema Contas a Pagar e 
a Receber (CPR). Em seguida, os órgãos setoriais da programação financeira 
efetuam a transferência para cada uma das unidades gestoras.
Execução financeira: o processo de trânsito dos recursos entre as unidades 
do Sistema de Programação Financeira ocorre por meio de:
Cota: fluxo intraSIAFI, relativo aos recursos da conta única do órgão 
central (STN) para o setorial de programação financeira.
 n Repasse: pode ocorrer de duas formas:
a) liberação dos recursos para as entidades da administração indireta, 
ocorrendo também entre estas. Isso é feito mediante o órgão setorial 
de programação financeira.
Contabilidade pública avançada172
b) liberação de recursos da entidade da administração indireta para o órgão 
da administração direta. Também ocorre entre órgãos diferentes, isso 
se forem de ministérios distintos.
 n Sub-repasse: realiza a liberação de recursos referente aos órgãos seto-
riais de programação financeira para as unidades gestoras de sua juris-
dição. Ainda inclui a liberação de recursos entre as unidades gestoras 
que tenham um mesmo ministério, órgão ou entidade.
Também existe a transferência relativa aos recursos financeiros para cumprimento dos 
pagamentos de restos a pagar, conhecida como Ordem de Transferência Concedida 
(OTC) ou Ordem de Transferência Recebida (OTR). Ela é classificada como transferência 
extraorçamentária.
Analise, na Figura 1, como ocorre o processo de movimentação dos 
recursos:
Figura 2. Movimentação dos recursos.
Fonte: Adaptada de Piscitelli e Timbó (2010).
173Programação financeira
O processo de liberação de recursos acontece mediante o órgão central de 
programação financeira, seguindo estes métodos:
 n Com definição de limite de saque e vinculação de pagamento, para 
cumprir a despesa com recursos do Tesouro. Considera as categorias 
de gastos detalhadas com antecedência.
 n Com delimitação referente a limite de saque para cumprimento das 
despesas que foram empenhadas com garantia de pagamento contra 
entrega.
A Secretariado Tesouro Nacional impõe limites e realiza o controle dos pagamentos 
dentro de cada fonte de recursos relativos ao Tesouro Nacional. Isso ocorre mediante 
uma combinação com a codificação relativa a cada tipo de pagamento. O objetivo é 
ligar a liberação à referida despesa. Assim, esse processo é denominado de vinculação 
de pagamento.
Você deve saber que as vinculações de pagamentos consideradas fundamentais 
são as seguintes:
a) 130 = Pessoal – folha complementar (sentenças judiciais)
b) 140= Pessoal – precatório
c) 310= Pagamento pessoal
d) 412= Pagamento de cartão de crédito
e) 400= Custeio (OCK)
f) 500= Custeio (OCK)
g) 510= Custeio (benefícios da folha de pessoal)
Introdução na conta única e contas bancárias
A Secretaria do Tesouro Nacional instaurou a conta única do Tesouro Nacio-
nal, no Banco Central do Brasil (BRASIL, c2016). Seu intuito é proteger as 
disponibilidades fi nanceiras da União. Elas são movimentadas pelas unidades 
gestoras da administração federal, tanto diretas quanto indiretas, que sejam 
integrantes do sistema SIAFI na modalidade on-line.
O responsável por realizar as operações da conta única é o Banco do 
Brasil S.A. ou, eventualmente, agentes financeiros que possuem autorização 
do Ministério da Fazenda. Isso está disposto na instrução normativa nº 4/02 
(BRASIL, 2002) da Secretaria do Tesouro Nacional.
Contabilidade pública avançada174
A movimentação dos recursos da conta única é realizada por meio do 
fluxo de dados específicos para as receitas e também para as despesas. As 
disponibilidades de caixa da União, que são depositadas no Banco Central do 
Brasil, possuem sua remuneração mediante o Bacen. Assim, o produto relativo 
à remuneração é incidente de saldos diários de depósitos da União existentes no 
decêndio anterior e é arrecadado pelo Tesouro Nacional. Esse processo considera 
o último dia de cada decêndio e obedece à taxa média aritmética ponderada. 
Esta representa a Taxa Referencial do Tesouro Nacional (TRTN), do rendimento 
essencial referente aos títulos da dívida pública mobiliária federal interna, de 
emissão do Tesouro Nacional, que ficam sob o poder do Banco Central.
O artigo 164 da Constituição Federal define que o Banco Central poderá 
vender e também comprar títulos de emissão do Tesouro Nacional objetivando 
controlar a oferta relativa à moeda ou ainda à taxa de juros.
Analise o que dispõe o artigo 164 da Constituição Federal (BRASIL, 1988):
Art. 164. A competência da União para emitir moeda será exercida ex-
clusivamente pelo banco central.
 § 1º É vedado ao banco central conceder, direta ou indiretamente, 
empréstimos ao Tesouro Nacional e a qualquer órgão ou entidade que 
não seja instituição financeira.
 § 2º O banco central poderá comprar e vender títulos de emissão 
do Tesouro Nacional, com o objetivo de regular a oferta de moeda ou 
a taxa de juros.
 § 3º As disponibilidades de caixa da União serão depositadas no banco 
central; as dos Estados, do Distrito Federal, dos Municípios e dos órgãos 
ou entidades do Poder Público e das empresas por ele controladas, em 
instituições financeiras oficiais, ressalvados os casos previstos em lei.
Em consequência disso, o Banco Central tem no seu ativo uma carteira 
de títulos do Tesouro Nacional. Ela é paga mediante o Tesouro Nacional e 
representa a média ponderada relativa aos títulos que possui em seu domínio.
Posterior à edição da lei complementar nº 101/00 (BRASIL, 2000), foi 
instruída a designação correspondente ao resultado do Banco Central, con-
forme dispõe o artigo 7º:
 Art. 7. O resultado do Banco Central do Brasil, apurado após a constituição 
ou reversão de reservas, constitui receita do Tesouro Nacional, e será 
transferido até o décimo dia útil subsequente à aprovação dos balanços 
semestrais.
175Programação financeira
 § 1º O resultado negativo constituirá obrigação do Tesouro para com 
o Banco Central do Brasil e será consignado em dotação específica no 
orçamento.
Ingresso na conta única: com relação às receitas federais, você deve 
compreender que os recursos são depositados diretamente na conta única. 
Isso ocorre quando os contribuintes realizam pagamentos de tributos mediante 
Documento de Arrecadação de Receitas Federais (DARF) por meio de redes 
bancárias. Nesse caso, essas redes realizam o recolhimento de valores em 
nome do Governo Federal por meio da conta única existente no Bacen, pelo 
prazo de até dois dias.
Todos os dados existentes no DARF são enviados ao SERPRO. Este realiza 
o processamento a cada decêndio, bem como categoriza as referidas receitas 
recolhidas por tributo e também por fonte de recursos. Isso é feito em prol da 
Secretaria da Receita Federal do Brasil.
É emitido um registro correspondente aos valores recolhidos nas contas 
contábeis no SIAFI. Ele considera a conta de receita, assim como as contas de 
controle constantes no ativo, as disponibilidades referentes a fontes de recursos 
e as referidas contrapartidas. Possibilita, assim, a aplicação da programação 
financeira do Tesouro e, dessa maneira, a efetivação da despesa pública.
Por meio da Guia de Previdência Social (GPS), ocorre a arrecadação que 
os contribuintes realizam referente à contribuição previdenciária. As receitas 
relativas ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) contemplam as contri-
buições previdenciárias, as parcelas relacionadas ao “simples” e outras receitas 
que têm sua entrada direta na conta única mediante a supervisão do INSS.
Outro método de entrada de recursos via conta única, resultante da eliminação 
da conta bancária tipo C, é efetuado por crédito na conta única e constatado 
mediante código de recolhimento referente a cada tipo de crédito. Ele registra 
automaticamente cada recebimento, nas modalidades:
 n Depósito via Guia de Recolhimento à União (GRU): documento 
padrão que possui código de recolhimento, com objetivo de registrar 
as entradas de valores na conta única. Esses valores são decorrentes 
da arrecadação de todos os órgãos, fundações, autarquias, fundos e 
outras entidades pertencentes ao orçamento fiscal e à seguridade social.
 n Depósito via Sistema de Pagamentos Brasileiro (SPB): possibilita 
que as instituições financeiras façam transferência dos recursos ao 
Tesouro Nacional de maneira identificada, mediante códigos gerados 
Contabilidade pública avançada176
pelo órgão central de programação financeira. A entrada de recursos 
ocorre em tempo real na conta única.
Saídas da conta única: a saída ocorre por meio de transferências ou 
despesas. Você pode observar tais movimentações na conta única. Elas são 
realizadas mediante estes documentos:
 n OB – Ordem Bancária
 n DARF – Documento de Arrecadação das Receitas Federais
 n GPS – Guia da Previdência Social
 n DAR – Documento de Receita de Estados e Municípios
 n GSE – Guia do Salário Educação
 n GFIP – Guia de Recolhimento do FGTS e Informações da Previdência 
Social
 n NS – Nota de Sistema
 n NL – Nota de Lançamento
A emissão de ordem bancária ocorrerá em diferentes modalidades e me-
diante autorização do organizador de despesas. Isso se dá por meio de docu-
mento próprio da unidade: 
a) OBC – Ordem Bancária de Crédito: pagamento por intermédio de 
crédito em conta corrente do favorecido na rede bancária. Também 
ocorre para saque de valores em conta bancária, para fins de crédito 
na conta única da unidade gestora.
b) OBP – Ordem Bancária de Pagamento: pagamento em espécie e direto 
ao credor, realizado na agência de domicílio bancário da unidade gestora. 
É feito mediante comprovação da inexistência de domicílio bancário do 
credor ou, se for necessária a disponibilização instantânea de recursos.
c) OBB – Ordem Bancária para Banco: pagamentos a vários credores, 
mediante lista eletrônica. Ocorre quando o agente financeiro precisa 
quitar ou realizar pagamento referente à folha de pessoal com lista de 
credores.
d) OBS – Ordem Bancária de Sistema: usada para cancelar OB por meio 
do agente financeiro com devolutiva de recursos. Também ocorrepela 
STN, para regular as remessas não ocorridas.
e) OBA – Ordem Bancária de Aplicação: usada por órgãos autorizados. 
Referente a aplicações financeiras de valores disponíveis na conta única.
177Programação financeira
f) OBK – Ordem Bancária de Câmbio: pagamento de operações refe-
rentes a contratação de câmbio, sendo no mesmo dia da emissão.
g) OBSTN – Ordem Bancária para Pagamentos da STN: usada por 
unidades gestoras da STN e também por demais autorizadas. Referente 
a pagamentos exclusivos de responsabilidade do Tesouro Nacional, no 
mesmo dia da emissão.
h) OB Avulsa – Ordem de Pagamento Avulsa: para situações extraor-
dinárias, mediante critérios da STN.
i) OBR – Ordem Bancária para Crédito de Reservas Bancárias: usada 
por unidades gestoras autorizadas pela STN. Referente a pagamento 
por crédito às contas de reservas bancárias dos bancos, assim como a 
outras existentes no Bacen.
j) OB Cartão – Ordem Bancária de Cartão: para registrar saques reali-
zados com cartão corporativo do Governo Federal, em moeda corrente, 
conforme limite.
k) OBH – Ordem Bancária de Processo Judicial: para pagamento parcial 
ou total referente a precatórios judiciais, requisição de pequeno valor 
e sentenças judiciais transitadas em julgado.
l) OBF – Ordem Bancária de Folha de Pagamento: pagamento de folha 
de pessoal sem lista de credores.
m) OBSPB – Ordem Bancária Sistema de Pagamentos Brasileiro: 
pagamento de despesas direto na conta do beneficiário, com objetivo 
definido e autorizado mediante a STN, por intermédio do SPB.
Contas correntes bancárias: segundo a instrução normativa STN nº 4/02 
(BRASIL, 2002), órgãos e entidades da administração pública conseguirão 
transitar recursos financeiros por meio de contas bancárias no Banco do Brasil 
S.A. Isso em atendimento a situações em que não seja possível sacar os valores 
diretamente da conta única.
Você deve saber que isso ocorre mediante três situações: 
a) Contas das unidades gestoras off-line: utilizadas para circulação das 
disponibilidades financeiras das unidades gestoras que usam SIAFI 
por meio off-line.
b) Contas em moeda estrangeira: usadas pelas unidades gestoras me-
diante autorização para acolher as disponibilidades financeiras que 
forem de moeda estrangeira, referentes a pagamento de despesas fora 
do Brasil.
Contabilidade pública avançada178
c) Contas especiais: usadas para circulação de valores vinculados a
empréstimos cedidos mediante organismos internacionais e agências
governamentais estrangeiras.
179Programação financeira
BRASIL. Banco Central do Brasil. Notas explicativas às demonstrações contábeis. Brasília, 
DF, c2016. Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/?bd199812ne>. Acesso em: 21 
dez. 2016.
BRASIL. Constituição (1988). Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. 
Brasília, DF, 1988. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/
constituicaocompilado.htm>. Acesso em: 09 dez. 2016.
BRASIL. Decreto-lei nº 200, de 25 de fevereiro de 1967. Brasília, DF, 1967. Disponível em: 
<https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/decreto-lei/Del0200.htm>. Acesso em: 19 
dez. 2016.
BRASIL. Lei complementar nº 101, de 4 de maio de 2000. Brasília, DF, 2000. Disponível em: 
<http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/LCP/Lcp101.htm>. Acesso em: 09 dez. 2016.
BRASIL. Lei nº 4.320, de 17 de março de 1964. Brasília, DF, 1964. Disponível em: <http://
www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L4320.htm>. Acesso em: 11 nov. 2016.
BRASIL. Lei nº 10.180, de 6 de fevereiro de 2001. Brasília, DF, 2001. Disponível em: <http://
www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/LEIS_2001/L10180.htm>. Acesso em: 19 dez. 2016.
BRASIL. Tesouro Nacional. SIAFI. Instrução normativa nº 02, de 26/04/99. Brasília, DF, 1999. 
Disponível em: <https://manualsiafi.tesouro.fazenda.gov.br/040000/041900/041902>. 
Acesso em: 19 dez. 2016.
BRASIL. Tesouro Nacional. SIAFI. Instrução normativa nº4, de 13 de agosto de 2002. 
Brasília, DF, 2002. Disponível em: <http://manualsiafi.tesouro.fazenda.gov.
br/040000/042200/042204/>. Acesso em: 19 dez. 2016.
PISCITELLI, Roberto B.; TIMBÓ, Maria Zulene F. Contabilidade pública: uma abordagem 
da administração financeira pública. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2010.
Leituras recomendadas
BRASIL. Tesouro Nacional. SIAFI: programação financeira. Brasília, DF, c2016. Disponível 
em: <http://www.tesouro.fazenda.gov.br/-/programacao-financeira>. Acesso em: 
19 dez. 2016.
REZENDE, Fernando A. Finanças públicas. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
181Programação financeira
 
DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir apresenta os objetivos da programação financeira e sua execução. Assista!
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EXERCÍCIOS
1) Assinale a alternativa correta sobre programação financeira. 
A) O Sistema de Administração Financeira Federal corresponde às atividades de programação 
financeira referentes aos municípios exclusivamente.
B) A programação financeira representa um processo sem continuidade na administração.
C) O Sistema de Administração Financeira Federal tem órgão central e órgãos setoriais na sua 
composição.
D) As unidades de programação financeira dos Ministérios pertencem ao órgão central.
E) Após a aprovação do orçamento, é preciso colocá-lo em operação, ou seja, é necessário 
executar o balancete do período referente ao governo.
2) Analise os critérios que precisam ser observados e aponte a opção que traz os 
corretos a respeito da elaboração da programação financeira que é efetuada pelo 
Poder Executivo. 
A) Será considerada instrumento da programação financeira qualquer despesa que transite 
pelo órgão central do Sistema de Programação Financeira do Governo Federal.
B) Um dos métodos corresponde à política fiscal determinada, com relação ao período.
C) Um dos critérios definidos é a existência de dotação orçamentária através da classificação 
das receitas.
D) Outro método apontado se refere à estabilidade de algumas receitas.
E) Volume relacionado aos gastos, harmonizando o montante que deverá ser desembolsado 
com a quantia de recursos que foram arrecadados.
3) Observando os processos e a execução da programação financeira, analise e aponte a 
alternativa correta. 
A) A Proposta de Programação Financeira deverá apresentar o código de vinculação do 
pagamento.
B) Os gastos são classificados nas categorias que envolvem pessoal e encargos, receitas e 
outras despesas.
C) Com base nas observações realizadas pela STN, são feitos ajustes aos valores propostos 
pelos Órgão Central de Programação Financeira e emitida a Programação Financeira 
Aprovada (PFA).
D) A execução financeira envolve o processo de trânsito dos recursos existentes entre as 
unidades do Sistema de Programação Financeira.
E) É de conhecimento que o processo de liberação de recursos ocorre através dos órgãos 
setoriais.
4) Marque a alternativa que contém informações corretas sobre a conta única. 
A) Está apresentado na Constituição Federal, art. 274, que o Banco Central poderá vender e 
comprar títulos de emissão do Tesouro Nacional.
B) O Banco do Brasil S.A. é quem tem responsabilidades sobre as operações relacionadas à 
conta única.
C) O ingresso na conta única ocorre através dos recebimentos que os contribuintes realizam 
nas redes bancárias, por meio de DARF.
D) O depósito realizado via GRU busca registrar todas as saídas relativas à conta única.
E) O depósito via SPB permite que as instituições financeiras realizem transferências 
identificadas referentes às despesas ao Tesouro Nacional.
5) A emissão de ordem bancária acontece diante de diferentes modalidades e também 
necessita de autorização do organizador das despesas. Com relação às ordens 
bancárias, indique a alternativa correta. 
A) Através da Ordem Bancária de Pagamento, ocorre o pagamento em espécie e direto ao 
devedor, efetuado através da agência de domicílio bancário na unidade gestora.
B) A Ordem Bancária do Sistema é usada para cancelar a Ordem Bancária por meio do agentefinanceiro com devolutiva de recursos, assim como pela STN para controlar as remessas 
realizadas.
C) A Ordem Bancária de Aplicação independe de autorização prévia e se refere a aplicações 
financeiras dos valores disponíveis na conta única.
D) A Ordem Bancária de Câmbio se refere ao pagamento de operações relativas à contratação 
de câmbio, ocorrendo no mesmo dia da emissão.
E) A Ordem Bancária de Folha de Pagamento se refere ao pagamento de pessoal com lista de 
credores.
NA PRÁTICA
Adriano é um servidor que desenvolve suas atividades dentro das repartições do governo do 
estado de Santa Catarina. Diante de uma situação, Adriano conseguiu acompanhar a constatação 
pelo governo, com relação às receitas arrecadadas. Elas não comportariam alcançar os objetivos 
traçados para os resultados e não liquidariam as despesas empenhadas. Com isso, Adriano 
compreendeu a necessidade de determinar antecipadamente e com maior precisão os recursos 
necessários para que se tenha uma melhor execução do programa anual orçamentário.
Quando aprovada a Lei Orçamentária Anual (LOA), uma das funções que ele tem, como 
servidor, é lançar no sistema utilizado pelo governo o orçamento que foi aprovado e, então, dar 
início ao fluxo de programação financeira, com as unidades gestoras identificando os valores 
que serão pagos mensalmente em conformidade com as reais necessidades de recursos por fonte 
de recursos e por grupo de programação financeira.
Os sistemas permitem, após a inserção das informações, a geração de uma listagem das 
necessidades financeiras para conferência. Assim, Adriano poderá averiguar todos os dados que 
incluiu.
O relatório gerado da programação financeira possibilita que os órgãos consultem a 
programação financeira que foi aprovada pelo Tesouro, incluindo os valores já empenhados e 
também o saldo que eles têm disponível para empenho em cada um dos meses. Possibilita 
também a verificação das cotas auferidas por descentralização de outros órgãos.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Conta Única do Tesouro Nacional
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Programação financeira
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Sistema Financeiro Nacional e sua 
Estrutura
APRESENTAÇÃO
O sistema financeiro nacional é constituído por uma série de órgãos e instituições que são 
classificados como normativos, de supervisão e de operação e que têm por preceito 
constitucional auxiliar no desenvolvimento financeiro e equilibrado do país. 
Nesta unidade de aprendizagem você aprenderá sobre a história de formação do sistema 
brasileiro, seus principais órgãos e finalidades institucionais. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Conceituar o sistema financeiro nacional e compreender a sua importância.•
Identificar os principais órgãos de mercado e sua classificação.•
Explicar as finalidades institucionais dos principais órgãos do sistema financeiro.•
INFOGRÁFICO
Neste infográfico você identificará a classificação do sistema financeiro nacional e seus 
principais agentes.
CONTEÚDO DO LIVRO
O Sistema Financeiro Nacional é constituído por uma série de órgãos 
e instituições que são classificados como normativos, de supervisão e 
de operação. Esses órgãos e instituições têm por preceito constitucional 
auxiliar no desenvolvimento financeiro e equilibrado do País.
Aprofunde seus conhecimentos lendo o capítulo Sistema Financeiro Nacional e sua Estrutura, 
do livro Auditoria Pública, base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura!
AUDITORIA
PÚBLICA 
Cinthia Louzada Ferreira Giacomelli
Sistema Financeiro 
Nacional e sua estrutura
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Conceituar o Sistema Financeiro Nacional e compreender a sua 
importância.
  Identifi car os principais órgãos de mercado e sua classifi cação.
  Explicar as fi nalidades institucionais dos principais órgãos do sistema 
fi nanceiro.
Introdução
O Sistema Financeiro Nacional é constituído por uma série de órgãos 
e instituições que são classificados como normativos, de supervisão e 
de operação. Esses órgãos e instituições têm por preceito constitucional 
auxiliar no desenvolvimento financeiro e equilibrado do País.
Neste texto, você aprenderá sobre a história de formação do sistema 
brasileiro, seus principais órgãos e finalidades institucionais.
O Sistema Financeiro Nacional: conceito e 
funções
O Sistema Financeiro Nacional (SFN) é formado por um conjunto de ins-
tituições e instrumentos fi nanceiros. Por meio deles, é possível transferir 
recursos dos ofertadores últimos – bancos comerciais, por exemplo – para 
os tomadores últimos – empresas e indivíduos em geral. Além disso, essas 
instituições e instrumentos criam condições para que os títulos de valores e 
posse tenham liquidez no mercado.
Os tomadores últimos de recursos são aqueles que se encontram em 
posição de déficit financeiro, isto é, são aqueles que pretendem gastar (em 
consumo e/ou investimento) mais do que sua renda. Eles precisam do com-
plemento de poupanças de outros para executar seus planos. Os ofertadores 
últimos de recursos são aqueles que se encontram em posição de superávit 
financeiro, ou seja, pretendem gastar (em consumo e/ou investimento) menos 
do que sua renda.
O correto é dizer ofertadores últimos ou ofertadores finais e tomadores 
últimos ou tomadores finais de recursos, e não simplesmente tomadores e 
ofertadores de recursos. Isso ocorre para diferenciá-los dos intermediários 
financeiros. Estes oferecem recursos dos ofertadores últimos e não o seu 
próprio superávit financeiro. Além disso, tomam recursos não para cobrir o 
seu próprio déficit financeiro, mas para repassá-los aos tomadores finais para 
que cubram seus déficits.
O sistema financeiro, por meio de suas instituições, tem como funções:
  Captar recursos financeiros;
  Distribuir e circular valores e títulos mobiliários;
  Regular esse processo.
Na estrutura do sistema financeiro, o órgão maior é o Conselho Monetário 
Nacional. Ele possui as funções normativas, ou seja, determina as normas de 
operação de todas as instituições integrantes do sistema.
Estão diretamente ligados a ele o Banco Central (BACEN), como órgão 
executor, e a Comissão de Valores Mobiliários (CVM). Esta responde pela 
regulamentação do mercado. Em atuação conjunta com essas entidades estão 
as instituições de distribuição e intermediação do mercado. Normalmente elas 
são representadas pelos bancos e corretoras.
O conjunto de instituições pertencentes ao SFN é denominado mercado 
financeiro. De acordo com as características, o mercado financeiro pode 
ser segmentado em quatro mercados específicos: cambial, monetário, de 
crédito e de capitais.
41Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura
O sistema financeiro do Brasil está alicerçado na reforma bancária de 1964 e na Lei 
do Mercado de Capitais, de 1965. Em 1988, uma nova legislação inseriu os bancos 
múltiplos, aprimorando as agentes e as operações financeiras no Brasil.
Há dois subsistemas que compõem o Sistema Financeiro Nacional: o sub-
sistema normativo e o subsistema de intermediação ou operativo.
O subsistema normativo, como você deve imaginar, é responsável por 
regular e estabelecer normas de funcionamento. Além disso, ele fiscaliza as 
instituições e os agentes que atuam nos mercados financeiro e de capitais. É 
composto pelo Conselho Monetário Nacional, pelo Banco Central do Brasil, 
pela Comissão de Valores Mobiliários, pelo Conselho de Recursos do Sistema 
Financeiro Nacional, pela Superintendência de Seguros Privados e pela Su-
perintendência Nacional de Previdência Complementar.
Já o subsistema de intermediação é composto por agentes especiais, 
instituições bancárias e não bancárias e auxiliares. Sua função principal é aoperação na intermediação financeira. Na Figura 1, você pode ver como se 
dividem os dois subsistemas.
Figura 1. Estrutura do Subsistema Financeiro Nacional.
Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura42
Órgãos de mercado e sua classificação
Cada órgão do sistema fi nanceiro possui suas funções específi cas. Essas 
funções contribuem com o desenvolvimento das operações de todo o sistema 
fi nanceiro. A seguir, você vai conhecer melhor cada órgão do Sistema Finan-
ceiro Nacional, de acordo com o subsistema ao qual pertence.
Subsistema normativo
Conselho Monetário Nacional – CMN
O Conselho Monetário Nacional foi instituído pela Lei nº 4.595, de 31 de dezem-
bro de 1964. Sua missão é formular a política da moeda e do crédito, objetivando 
a estabilidade da moeda e o desenvolvimento econômico e social do País.
O CMN é um órgão que possui amplas atribuições. Estas podem ser iden-
tificadas na finalidade principal de sua criação, ou seja, na formulação da 
política de moeda e crédito. Os atos normativos do CMN são denominados 
resoluções ou deliberações, cabendo ao BACEN a sua divulgação. É possível 
dizer que o Banco Central realiza a operação das políticas definidas pelo CMN.
Banco Central do Brasil – BACEN
Antes da criação do Banco Central, o papel de autoridade monetária era 
desempenhado pela Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), pelo 
Banco do Brasil e pelo Tesouro Nacional.
A SUMOC foi criada em 1945. Sua finalidade era exercer o controle mo-
netário e preparar a organização de um banco central. Ela tinha a responsabi-
lidade de fixar os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, 
as taxas do redesconto e da assistência financeira de liquidez, bem como os 
juros sobre depósitos bancários. Além disso, supervisionava a atuação dos 
bancos comerciais, orientava a política cambial e representava o País junto a 
organismos internacionais.
O Banco do Brasil desempenhava as funções de banco do governo. Fazia 
o controle das operações de comércio exterior, o recebimento dos depósitos 
compulsórios e voluntários dos bancos comerciais e a execução de operações 
de câmbio em nome de empresas públicas e do Tesouro Nacional. Tudo de 
acordo com as normas estabelecidas pela SUMOC e pelo Banco de Crédito 
Agrícola, Comercial e Industrial. O Tesouro Nacional era o órgão emissor 
de papel-moeda.
43Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura
Com a edição da Lei da Reforma Bancária (Lei nº 4.595, de 31 de dezembro 
de 1964), foi criado o Banco Central do Brasil (autarquia federal). Ele tem a 
missão de assegurar a estabilidade do poder de compra da moeda e a solidez 
do Sistema Financeiro Nacional.
Pelo link ou no código a seguir, você acessa o site do 
Banco Central do Brasil (2017). Nele, você pode ler os 
atos normativos emitidos pelo BACEN e aprofundar 
seus conhecimentos sobre as atribuições do CMN e 
do BACEN.
http://www.bcb.gov.br
Comissão de Valores Mobiliários – CVM
A CVM é uma entidade autárquica, em regime especial, vinculada ao Minis-
tério da Fazenda. Ela foi criada pela Lei nº 6.385, de 7 de dezembro de 1976. 
Sua fi nalidade é disciplinar, fi scalizar e desenvolver o mercado de valores mo-
biliários. Esse mercado é entendido como aquele em que são negociados títulos 
emitidos pelas empresas para captar, junto ao público, recursos destinados ao 
fi nanciamento de suas atividades. O mercado de valores mobiliários negocia 
predominantemente ações, debêntures e cotas de fundos de investimento, 
compreendendo ainda um universo mais amplo de títulos.
Do ponto de vista executivo, a CVM é organizada em superintendências. 
A sua sede está no Rio de Janeiro e possui duas superintendências regionais, 
uma em São Paulo e outra no Rio de Janeiro. É o órgão normativo do SFN, 
fomenta e regulamenta todo o mercado de ações do Brasil. Além disso, possui 
outras atribuições, como o controle da emissão de títulos como debêntures.
Superintendência de Seguros Privados – SUSEP
A SUSEP é o órgão responsável pelo controle e pela fi scalização do mercado 
de seguros, previdência complementar aberta e capitalização. É uma autarquia 
vinculada ao Ministério da Fazenda, criada pelo Decreto-lei nº 73, de 1966.
Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura44
Superintendência Nacional de Previdência Complementar – 
PREVIC
A Superintendência Nacional de Previdência Complementar é uma autarquia 
vinculada ao Ministério da Previdência Social. Atua como fi scalizadora e su-
pervisora das atividades das entidades fechadas de previdência complementar. 
Também fi scaliza e supervisiona a execução das políticas para o regime de 
previdência complementar operado pelas entidades fechadas de previdência 
complementar.
Subsistema de intermediação
Como intermediários na operação fi nanceira, destacam-se:
  Agentes especiais, como Banco do Brasil, Caixa Econômica Federal 
e Banco Nacional do Desenvolvimento Social (BNDS).
  Instituições financeiras bancárias, como os bancos comerciais e as 
cooperativas de crédito.
  Instituições não bancárias, como os bancos de desenvolvimento e as 
agências de fomento.
  Instituições auxiliares, como sociedades corretoras de valores e de 
arrendamento mercantil.
Finalidades e atribuições dos principais órgãos 
do Sistema Financeiro Nacional
A seguir, você pode conhecer melhor as mais importantes atribuições dos 
principais órgãos do subsistema normativo e do subsistema de intermediação.
Subsistema normativo
Conselho Monetário Nacional
  Autorizar as emissões de papel-moeda.
  Aprovar os orçamentos monetários preparados pelo BACEN.
  Fixar diretrizes e normas da política cambial.
  Determinar o recolhimento compulsório e o encaixe obrigatório das 
instituições financeiras.
45Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura
  Expedir normas gerais de contabilidade e estatística a serem observadas 
pelas instituições financeiras.
  Determinar a percentagem máxima dos recursos que as instituições fi-
nanceiras poderão emprestar a um mesmo cliente ou grupo de empresas.
  Regulamentar as operações de redesconto e liquidez.
  Regular a constituição, o financiamento e a fiscalização de todas as 
instituições financeiras que operam no País.
  Zelar pela liquidez e solvência das instituições financeiras.
  Disciplinar as atividades das bolsas de valores e dos corretores de 
fundos públicos.
Banco Central do Brasil
  Emitir papel-moeda e moeda metálica nas condições e limites autori-
zados pelo CMN.
  Exercer a fiscalização das instituições financeiras, punindo-as quando 
necessário.
  Conceder autorização às instituições financeiras para funcionarem 
no País, instalarem suas sedes ou dependências, inclusive no exterior, 
serem fundidas e incorporadas, entre outras.
Comissão de Valores Mobiliários
  Estimular a formação de poupanças e sua posterior aplicação em valores 
mobiliários;
  Promover a expansão e o funcionamento eficiente do mercado de ações;
  Assegurar o funcionamento eficiente e regular dos mercados de bolsa 
e balcão;
  Proteger os titulares de valores mobiliários e os investidores do mercado 
contra emissões irregulares de valores mobiliários e atos ilegais de 
administradores e acionistas das companhias abertas ou de adminis-
tradores de carteira de valores mobiliários;
  Evitar ou coibir modalidades de fraude ou manipulação destinadas 
a criar condições artificiais de demanda, oferta ou preço dos valores 
mobiliários negociados no mercado;
  Assegurar o acesso do público a informações sobre os valores mobili-
ários negociados e às companhias que os tenham emitido;
  Assegurar a observância de práticas comerciais equitativas no mercado 
de valores mobiliários.
Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura46
Conselho de Recursos do SFN – CRSFN
  Julgar, em segunda e última instâncias administrativas, os recursos in-
terpostos das decisões relativas às penalidades administrativas aplicadas 
pelo Banco Central do Brasil, pela Comissão de Valores Mobiliários e 
pela Secretaria de Comércio Exterior.Superintendência de Seguros Privados
  Fiscalizar a constituição, a organização, o funcionamento e a operação 
das sociedades seguradoras, das sociedades de capitalização, das enti-
dades de previdência privada aberta e das resseguradoras.
  Proteger a captação de poupança popular que se efetua por meio de ope-
rações de seguro, previdência privada aberta, capitalização e resseguro.
  Zelar pela defesa dos interesses dos consumidores.
  Promover o aperfeiçoamento das instituições e dos instrumentos ope-
racionais a elas vinculados, com vistas à maior eficiência do Sistema 
Nacional de Seguros Privados e do Sistema Nacional de Capitalização.
  Promover a estabilidade dos mercados sob sua jurisdição, assegurando 
sua expansão e o funcionamento das entidades que neles operem.
  Zelar pela liquidez e pela solvência das sociedades que integram o 
mercado.
Superintendência Nacional de Previdência Complementar
  Fiscalizar as atividades das entidades fechadas de previdência comple-
mentar e de suas operações.
  Autorizar a constituição e o funcionamento das entidades fechadas 
de previdência complementar, bem como a aplicação dos respectivos 
estatutos e regulamentos de planos de benefícios.
  Autorizar as operações de fusão, de cisão, de incorporação ou de qual-
quer outra forma de reorganização societária relativas às entidades 
fechadas de previdência complementar.
  Harmonizar as atividades das entidades fechadas de previdência com-
plementar com as normas e políticas estabelecidas para o segmento.
  Promover a mediação e a conciliação entre entidades fechadas de pre-
vidência complementar e entre estas e seus participantes, assistidos, 
patrocinadores ou instituidores, bem como dirimir os litígios que lhe 
forem submetidos.
47Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura
Subsistema de intermediação
Banco do Brasil – BB
  Atuar como autoridade monetária com função de agente financeiro do 
Governo e como banco comercial.
  Executar por conta do BC a compensação de cheques e outros papéis.
  Dar execução à política de comércio exterior.
  Executar o serviço da dívida pública e os serviços ligados ao Orçamento 
Geral da União.
  Executar a política de preços mínimos da atividade agrícola.
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social – 
BNDES
  Impulsionar o desenvolvimento econômico e social do País;
  Promover o desenvolvimento integrado das atividades agrícolas, in-
dustriais e de serviços.
  Gerir todo o processo de privatização das empresas estatais.
  Atenuar desequilíbrios regionais.
Caixa Econômica Federal – CEF
  Receber depósitos à vista e os repassar na forma de financiamento 
habitacional.
  Captar poupanças e depósitos à vista como principal fonte.
  Financiar o sistema de habitação.
  Centralizar o recolhimento e a aplicação de recursos oriundos do Fundo 
de Garantia do Tempo de Serviço (FGTS).
  Conceder empréstimos e financiamentos a programas e projetos nas 
áreas sociais, educacionais, de saúde, etc.
Bancos comerciais
As atividades básicas dos bancos comerciais podem ser classifi cadas em 
prestação de serviços bancários e concessão de crédito, como:
  Descontar títulos.
  Realizar operações de abertura de crédito simples ou em conta corrente.
Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura48
  Realizar operações especiais de crédito rural, de câmbio e de comércio 
internacional.
  Captar depósitos à vista e a prazo fixo.
  Obter recursos junto às instituições oficiais para repasse aos clientes.
Cooperativas de crédito
  Prestar serviços ou conceder crédito.
  Atuar em setores primários da economia, eventualmente sendo formadas 
entre os funcionários das empresas.
  No setor primário, permitir uma melhor comercialização dos produtos 
rurais e criar facilidades para o escoamento das safras agrícolas para 
os consumidores.
  No interior das empresas em geral, oferecer possibilidades de crédito aos 
funcionários. Estes contribuem mensalmente para a sobrevivência e o 
crescimento da empresa. Todas as operações facultadas às cooperativas 
são exclusivas aos cooperados.
Bancos de desenvolvimento
  Emitir Certificados de Depósitos Interfinanceiros (CDIs), depósitos a 
prazo, operações de repasses/contribuições ao setor público. Essas são 
operações passivas. 
  Realizar financiamentos de capital fixo, financiamentos de capital de 
giro, arrendamento mercantil, entre outros. Essas são as operações 
ativas.
Agências de fomento
As agências de fomento são constituídas sob a forma de sociedade anônima 
de capital fechado, nos termos da Lei nº 6.404/76, sob supervisão do BACEN.
  Captar recursos por intermédio dos orçamentos públicos e de linhas de 
créditos de longo prazo de bancos de desenvolvimento.
Sociedades corretoras de valores
  Intermediar com exclusividade em bolsa de valores com títulos e valores 
mobiliários.
49Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura
  Comprar, vender e distribuir Títulos e Valores Mobiliários (TVM) por 
conta de terceiros.
  Administrar carteiras e custodiar valores mobiliários.
  Organizar e administrar fundos de investimentos.
Sociedade de Arrendamento Mercantil – SAM
  Realizar operações de leasing, que tratam de locação de bens de forma 
que, no final do contrato, o locatário pode renovar o contrato, adquirir 
o bem por um valor residencial ou devolver o bem locado à sociedade. 
Atualmente, tem sido comum operações de leasing em que o valor 
residual é pago de forma diluída ao longo do período contratual ou de 
forma antecipada, no início do período.
Para conhecer por completo a estrutura do Sistema Financeiro Nacional, é importante 
que você saiba da existência do banco múltiplo. Ele tem por finalidade reunir diversas 
operações em uma única instituição.
No link ou no código a seguir, você pode acessar o 
site do Ministério da Fazenda (BRASIL, 2017), onde 
você encontra todas as informações oficiais e o di-
recionamento para acessar os endereços dos demais 
participantes do SFN.
www.fazenda.gov.br
Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura50
BANCO Central do Brasil. Brasília, DF: BCB, 2017. Disponível em: <http://www.bcb.gov.
br>. Acesso em: 29 ago. 2017.
BRASIL. Ministério da Fazenda. Brasília, DF, 2017. Disponível em: <http://www.fazenda.
gov.br/>. Acesso em: 29 ago. 2017.
Leituras recomendadas
BRASIL. Decreto-lei nº 73, de 21 de novembro de 1966. Brasília, DF, 1966. Disponível em: 
<http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/decreto-lei/Del0073.htm>. Acesso em: 29 
ago. 2017.
BRASIL. Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964. Brasília, DF, 1964. Disponível em: <http://
www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L4595.htm>. Acesso em: 29 ago. 2017.
BRASIL. Lei nº 6.404, de 15 de dezembro de 1976. Brasília, DF, 1976. Disponível em: <http://
www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L6404consol.htm>. Acesso em: 29 ago. 2017.
BRASIL. Lei nº 6.385, de 7 de dezembro de 1976. Brasília, DF, 1976. Disponível em: <http://
www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L6385.htm>. Acesso em: 29 ago. 2017.
CAPÍTULO 1: estrutura do Sistema Financeiro Nacional-SFN. Palmas: UNITINS, 
2015. Disponível em: <https://www.unitins.br/BibliotecaMidia/Files/Documento/
AVA_634336331659392500cap_sfn.pdf>. Acesso em: 19 ago. 2017.
FEBRABAN. Módulo 1: Sistema Financeiro Nacional. São Paulo, 2005. Disponível em: 
<https://www.toledo.pr.gov.br/sites/default/files/modulo1_sist_financ_nacional.
pdf>. Acesso em: 19 ago. 2017.
QUARANTA, R. O subsistema normativo do SFN. Fortaleza: Mercado Financeiro, 2012. 
Disponível em: <http://robertoquaranta.blogspot.com.br/2012/04/o-susbsistema-
-normativo-do-sfn.html>. Acesso em: 25 ago. 2017.
XP EDUCAÇÃO. Curso preparatório para a prova de Agente Autônomo de Investimentos 
– ANCORD. Porto Alegre: XP Investimentos, 2012.
51Sistema Financeiro Nacional e sua estrutura
 
DICA DO PROFESSOR
Assista à dica do professor sobre o sistema financeiro nacional e se aprofunde mais na matéria.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!EXERCÍCIOS
1) O Conselho Monetário Nacional, órgão máximo de política econômica do país, está 
legalmente orientado em sua política. Aponte qual das políticas abaixo não está 
dentre as suas funções:
A) Orientar a aplicação dos recursos das instituições financeiras, quer públicas, quer privadas; 
tendo em vista propiciar, nas diferentes regiões do País, condições favoráveis ao 
desenvolvimento harmônico da economia nacional;
B) Regular o valor interno da moeda, para tanto, prevenindo ou corrigindo os surtos 
inflacionários ou deflacionários de origem interna ou externa, as depressões econômicas e 
outros desequilíbrios oriundos de fenômenos conjunturais.
C) Determinar o recolhimento de até cem por cento do total dos depósitos à vista e de até 
sessenta por cento de outros títulos contábeis das instituições financeiras, seja na forma de 
subscrição de Letras ou Obrigações do Tesouro Nacional ou compra de títulos da Dívida 
Pública Federal, seja através de recolhimento em espécie, em ambos os casos entregues ao 
Banco Central do Brasil, à forma e condições por ele determinadas.
D) Adaptar o volume dos meios de pagamento às reais necessidades da economia nacional e 
seu processo de desenvolvimento.
E) Zelar pela liquidez e solvência das instituições financeiras.
2) No sistema financeiro nacional - SFN existem órgãos normativos, de supervisão e de 
operação. Um órgão supervisor do sistema financeiro nacional é:
A) Banco do Brasil e Caixas Econômicas.
B) Banco Central do Brasil.
C) Administradores de consórcios.
D) Conselho Monetário Nacional.
E) Seguradoras e resseguradoras.
3) O sistema financeiro nacional é composto por diversos órgãos e instituições. Uma das 
seguintes não faz parte do sistema:
A) Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico.
B) Banco Central do Brasil.
C) Banco do Brasil S.A.
D) Instituições financeiras públicas e privadas.
E) Tribunal de Contas da União.
4) A Comissão de Valores Mobiliários (CVM) participa do sistema financeiro nacional. 
Dentre as suas funções como órgão supervisor NÃO está:
A) Assegurar e fiscalizar o funcionamento eficiente dos mercados regulamentados de valores 
mobiliários (bolsas de valores, mercado de balcão e bolsas de mercadorias e futuros).
B) Proteger os titulares de valores mobiliários e os investidores do mercado contra emissões 
irregulares de valores mobiliários, atos ilegais de administradores e acionistas 
controladores de companhias aberta ou de administradores de carteira de valores 
mobiliários e o uso de informação relevante não divulgada no mercado de valores 
mobiliários.
C) Fazer cumprir a Lei nº6.404/76 em relação aos participantes do mercado de valores 
mobiliários.
D) Aprovar os orçamentos monetários, preparados pelo Banco Central da República do 
Brasil, por meio dos quais se estimarão as necessidades globais de moeda e crédito.
E) Fiscalizar e inspecionar as companhias abertas e os fundos de investimento.
5) O Conselho Nacional de Seguros Privados (CNSP) é composto pelo Ministro da 
Fazenda, representante do Ministério da Justiça, representante do Ministério da 
Previdência Social, superintendente da Superintendência de Seguros Privados, 
representante do Banco Central do Brasil e representante da Comissão de Valores 
Mobiliários. De acordo com o conteúdo, esse órgão tem qual característica e 
consequente competência exclusiva: 
A) Característica de supervisão com competência para fiscalizar a constituição, organização, 
funcionamento e operação das Sociedades Seguradoras, de Capitalização, Entidades de 
Previdência Privada Aberta e Resseguradores. 
B) Característica normativa com competência para fixar as diretrizes e normas da política de 
seguros privados. 
Característica de operação com competência para estipular índices e demais condições C) 
técnicas sobre tarifas, investimentos e outras relações patrimoniais a serem observadas 
pelas sociedades seguradoras. 
D) Característica de fiscalização com competência para fixar normas gerais de contabilidade e 
estatística a serem observadas pelas sociedades seguradoras. 
E) Característica de segurança com competência para disciplinar as operações de cosseguro., 
NA PRÁTICA
Veja o papel da bolsa de valores no sistema financeiro e como ela pode interferir no seu dia-a-
dia.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
A criação do Banco Central do Brasil e suas histórias
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