Prova1-Chamad2-AnaliseReal-EAD-2015 1-gab

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GABARITO DA 1a AVALIAÇÃO – 2a CHAMADA – ANÁLISE REAL
(Obrigatoriamente preencha completamente as informações acima solicitadas.)
1. Prove que
∣∣|x|− |y|∣∣ 6 ∣∣x− y∣∣, ∀ x,y ∈ R.
Demonstração:
|x| = |x− y+ y| = |(x− y) + y| 6 |x− y|+ |y|⇒ |x|− |y| 6 |x− y|
|y| = |y− x+ x| = |(y− x) + x| 6 |y− x|+ |x|⇒ |y|− |x| 6 |x− y|⇒
−
(
|y|− |x|
)
= |x|− |y| > −|x− y|
Daí, temos
− |x− y| 6 |x|− |y| 6 |x− y|⇔
∣∣|x|− |y|∣∣ 6 ∣∣x− y∣∣.
2. Dados x,y ∈ R, se x2 + y2 = 0, prove que x = y = 0.
Demonstração: Se x 6= 0, então x2 > 0, ou seja, −(x2) < 0. Daí,
x2 + y2 = 0⇔ y2 = −(x2) < 0,
o que é um absurdo. Portanto, se x2 + y2 = 0, então x = y = 0.
3. Responda:
(a) Seja X ⊂ R limitado inferiormente e não-vazio. Defina o ínfimo do conjunto X,
notação inf X.
Definição: Um elemento a ∈ R chama-se ínfimo de X quando a é a maior das
cotas inferiores de X em R. Assim, a ∈ R é o ínfimo de X se, e só se, a satisfaz as
duas condições abaixo:
(I1) a 6 x, ∀ x ∈ X;
(I2) Dado c ∈ R, c > a, então existe x ∈ X tal que x < c.
E ainda, a condição (I2) nos diz que
∀ε > 0, ∃x ∈ X; x < a+ ε.
Dado c > a, basta tomar ε = c− a.
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(b) Use o fato a seguir:
”Fato: O conjunto N ⊂ R não é limitado superiormente”,
para mostrar que o ínfimo do conjunto X = {1/n;n ∈ N} é igual a 0 (zero). (Use
a definição de ínfimo).
Demonstração: Temos que 0 é evidentemente uma cota inferior de X, pois 0 6
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n
,
∀n ∈ N. Basta mostrarmos que dado c ∈ R, c > 0, c não pode ser cota inferior
de X (ou seja, 0 é a maior das cotas inferiores). De fato, dado c ∈ R, c > 0, temos
que existe n ∈ N, por (i) anterior, tal que
n >
1
c
⇔ 1
n
< c⇔ c > 1
n
∈ X, ∀ c > 0,
como queríamos provar.
4. Responda:
(a) Defina limite de uma sequência (xn), com lim(xn) = a, a ∈ R.
Definição: Dizemos que o número real a é limite da sequência (xn)n∈N de
números reais, ou simplesmente (xn), e escrevemos
a = lim
n→+∞ xn ⇔ ∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N; ∀n > n0, então |xn − a| < ε.
(b) Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado,
existe n0 ∈ N, tais que ∀m,n ∈ N com m,n > n0 ⇒
∣∣xm − xn∣∣ < ε. Prove que:
se uma sequência (xn) é convergente, então ela é de Cauchy.
Demonstração: Como (xn) é convergente, temos que existe a ∈ BbbR, tal que
limn→+∞ xn = a. Daí,
lim
n→+∞ xn = a⇔ ∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N; ∀n > n0, então |xn − a| <
ε
2
e
lim
m→+∞ xm = a⇔ ∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N; ∀m > n0, então |xm − a| <
ε
2
.
Portanto, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N, tais que ∀m,n ∈ N com m,n >
n0, tem-se
|xm − xn| = |(xm − a) + (a− xn)| 6 |xm − a|+ |a− xn| 6
ε
2
+
ε
2
= ε.
5. Fato: Seja (xn) uma sequência. Se xn > 0 para todo n natural e
lim
(
xn+1
xn
)
= a < 1,
2
então lim
n→∞(xn) = 0.
Use o fato citado para mostrar que lim
n→∞
(
cn
n!
)
= 0, onde c é uma constante real, com
c > 1.
Demonstração: Observe que
xn =
cn
n!
e
xn+1 =
cn+1
(n+ 1)!
=
cn.c
(n+ 1).n!
.
Daí,
lim
n→∞
(
xn+1
xn
)
= lim
n→∞
(
cn.c
(n+ 1).n!
.
n!
cn
)
= lim
n→∞
c
n+ 1
= c. lim
n→∞
1
n+ 1
= c.0 = 0
6. Defina indutivamente a sequência (xn) pondo x1 =
√
2 e xn+1 =
√
2+ xn. Prove que
lim
n→∞(xn) = 2, sabendo que (xn) é monótona crescente, limitada e
L =
√
2+
√
2+
√
2+√. . ..
Demonstração: Para mostrarmos que (xn) é convergente, devemos mostrar que (xn)
é monótona (crescente) e limitada.
[Mostremos por indução, sobre n que (xn) é monótona]
(i) x2 =
√
2+
√
2 >
√
2 = x1. Para n = 1, xn+1 > xn (ok!)
(ii) (HI) Suponha que seja verdade para n = k − 1, i.e, xk > xk−1, sendo, xk =√
2+ xk−1.
(iii) Vamos mostrar que vale para n = (k − 1) + 1 = k, ou seja, vamos mostrar que
xk+1 > xk. De fato,
xk =
√
2+ xk−1 ⇒ (xk)2 = 2+ xk−1 < 2+ xk = (xk+1)2 ⇔
(xk)
2 < (xk+1)
2 ⇔ xk < xk+1
Logo, xn < xn+1 para todo n ∈ N. Portanto, (xn) é monótona.
[Mostremos que (xn) é limitada] Temos que xn > 0, ∀n ∈ N. Afirmo que existe
c > 0, tal que xn < c, ∀n ∈ N. Da relção x2n+1 = 2+ xn, obtemos a seguinte equação
x2 − x− 2 = 0.
Portanto, se c é raiz positiva de tal equação, isto é, c2 = 2 + c. Vamos mostrar que
xn < c, ∀n ∈ N. Fazendo indução sobre n, temos
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(i) Para n = 1, x1 =
√
2 < c⇔ 2 < c2 (ok!).
(ii) Suponha que vale para n = k, i.e, xk < c.
(iii) Vamos mostrar que vale para n = k + 1, ou seja, vamos mostrar que xk+1 < c.
De fato,
xk+1 =
√
2+ xk ⇒ (xk+1)2 = 2+ xk < 2+ c = c2 ⇔
(xk+1)
2 < c2 ⇔ xk+1 < c
Logo, xn < c para todo n ∈ N. Portanto, (xn) é limitada.
Como (xn) é monótona e limitada, então (xn) é convergente, i.e, xn → L, L ∈ R.
Assim,
xk+1 =
√
2+ xk ⇔ (xk+1)2 = 2+ xk, ao limite com n→ +∞,
lim(xk+1)2 = lim(2+ xk)⇔ L2 = 2+ L⇔ L2 − 2.L = 0⇔ L = 2 ou L = 0.
Mas L = 2, pois xn > 0 ∀n ∈ N.
Obs 0.1. Siga as instruções:
(a) Escolha 5, e somente 5, questões para responder.
(b) Cada questão vale 2,0 pontos.
Bom Proveito!!!!
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