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Universidade Estadual da Paraíba Centro de Ciências Humanas e Exatas Curso de Licenciatura em Matemática Paula Maria Gomes da Silva Teorema do Valor Médio e Aplicações Monteiro - PB 2017 Paula Maria Gomes da Silva Teorema do Valor Médio e Aplicações Trabalho de Conclusão do Curso apresentado ao Centro de Ciências Humanas e Exatas da Universidade Estadual da Paraíba, em cum- primento às exigências legais para a obtenção do título de Graduado no Curso de Licencia- tura Plena em Matemática. Orientador: Prof. Me. Luciano dos Santos Ferreira Monteiro - PB 2017 É expressamente proibida a comercialização deste documento, tanto na forma impressa como eletrônica. Sua reprodução total ou parcial é permitida exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, desde que na reprodução figure a identificação do autor, título, instituição e ano da dissertação. Teorema do valor médio e aplicações [manuscrito] / Paula Maria Gomes da Silva. - 2017. 47 p. : il. color. Digitado. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em MATEMÁTICA) - Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências Humanas e Exatas, 2017. "Orientação: Prof. Me. Luciano dos Santos Ferreira, Departamento de MATEMÁTICA". S856t Silva, Paula Maria Gomes da. 21. ed. CDD 515.33 1.Teorema do Valor Médio. 2. Cálculo diferencial. 3. Cálculo integral. I. Título. Este trabalho é dedicado aos meus pais Francisco Flor e Luiza Gomes pela força e apoio que me proporcionaram durante toda esta longa caminhada. Agradecimentos A Deus por ter me dado força para superar todas as dificuldades e conseguir realizar meu sonho. Aos meus pais, a minha avó e meus irmãos por todo o amor que me deram, além da educação, ensinamentos e apoio. Ao meu orientador Luciano dos Santos, por todo o tempo que dedicou a me ajudar durante o processo de realização deste trabalho. A esta instituição (UEPB) e todo seu corpo docente, além da direção e administração que sempre me acolheram dando condições necessárias para que eu alcançasse meus objetivos. Agradeço aos meus amigos, por confiarem em mim e estarem do meu lado em todos os momentos da vida. E enfim, a todos que contribuíram para a realização deste trabalho, fica registrado aqui, o meu muito obrigado! ”Se fracassar, ao menos que fracasse ousando grandes feitos, de modo que a sua postura não seja nunca a dessas almas frias e tímidas que não conhecem nem a vitória nem a derrota.” (Theodore Roosevelt) Resumo É perceptível que desde a antiguidade a matemática encontra-se presente em diversas áreas sociais do conhecimento humano. O cálculo, um dos ramos dessa ciência, possui como principais precursores os matemáticos Isaac Newton e Leibniz que no século XVII trouxeram grandes avanços para o universo da matemática, contribuindo principalmente para a criação do cálculo diferencial e integral. Além desses matemáticos, podemos destacar a grande contribuição de outros matemáticos, dentre eles Cauchy e Lagrange. No presente trabalho temos como objetivo estudar o Teorema do Valor Médio e apresentar algumas aplicações. Faz-se necessário o estudo breve de conhecimento sobre: sequências, limite, funções, derivadas, entre outros. O estudo do Teorema do Valor Médio é de grande relevância, pois esse é tido como peça fundamental para a obtenção do desfecho de outros resultados. Palavras-chave: Teorema do Valor Médio. Cálculo. Aplicações. Abstract It is noticeable that from ancient times mathematics is present in several social areas of human knowledge. The calculus, one of the branches of this science, has as main precursors the mathematicians Isaac Newton and Leibniz who in the seventeenth century brought great advances to the universe of mathematics, contributing mainly to the creation of differential and integral calculus. Besides these mathematicians, we can highlight the great contribution of other mathematicians, among them Cauchy and Lagrange. In the present work we aim to study the Theorem of Average Value and present some applications. It is necessary the brief study of knowledge about: sequences, limits, functions, derivatives, among others. The study of the Theorem of Average Value is of great relevance, since this is considered as fundamental piece to obtain the outcome of other results. Key-words: Theorem of the Average Value. Calculation. Applications Lista de ilustrações Figura 1 – Augustin-Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Figura 2 – Joseph-Louis Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Figura 3 – Gráfico 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Figura 4 – Gráfico 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Figura 5 – Gráfico 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Figura 6 – Gráfico 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Figura 7 – Gráfico 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Sumário 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 HISTÓRIA DO CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 O Nascimento do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 História do Cálculo Diferencial e Integral . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUN- ÇÕES CONTÍNUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1 Sequências e subsequências de números reais . . . . . . . . . . 18 3.2 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Ponto de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Limites de funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Funções Contínuas em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1 Reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1 Aplicações do Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.1 Consequências do Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . 41 6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 11 1 INTRODUÇÃO A matemática é uma ciência que encontra-se intimamente ligada ao cotidiano humano, desde os tempos mais remotos até os dias atuais, despertando o interesse de muitos estudiosos da área. Por ser uma ciência do conhecimento muito ampla subdivide-se em áreas, o cálculo é uma dessas áreas na qual iremos relatar de forma breve como nasceu. Para isso partiremos do contexto histórico do seu surgimento, abordando os seus principais percussores e as suas contribuições. Os matemáticos Isaac Newton e Leibniz no século XVII trouxeram grandes avanços para o universo da matemática, contribuindo principalmente para a criação do cálculo diferencial e integral. Além desses matemáticos, podemos destacar a grande contribuição de outros, dentre eles Cauchy e Lagrange. Tomando por base os postulados destes teóricos iremos nos deter no estudo do Teorema do Valor Médio, bem como as suas aplicações. Para chegar a sua aplicação prática, partiremos de conceitos importantes para que o nosso leitor conheça um pouco sobre as definições que irão ser apresentadas neste trabalho, como sequências,limite, funções, derivadas, entre outros. O presente trabalho encontra-se dividido em quatro capítulos, no primeiro aborda- mos a história do cálculo, desde o seu surgimento até as aplicações atuais, apresentando o contexto histórico, bem como as contribuições de seus principais percussores. O segundo capítulo encontra-se subdividido em seis tópicos nos quais abordamos conceitos como: sequências e subsequências de números reais, limite de uma sequência, ponto de acumu- lação, limites de funções reais, funções contínuas e funções contínuas em intervalos. O terceiro capítulo aborda as derivadas, subdividindo-se em quatro tópicos, e por fim no quarto capítulo trazemos o teorema do valor médio com algumas de suas aplicações. Pesquisas como estas são de fundamentais importância na área acadêmica, pois percebe-se que na Academia são utilizadas muitas fórmulas e teorias matemáticas, sem que haja na maioria das vezes preocupação com o que há por trás do surgimentos de tais resultados. O estudo do Teorema do Valor Médio é de grande relevância, pois esse é tido como peça fundamental para a obtenção do desfecho de outros resultados. 12 2 HISTÓRIA DO CÁLCULO Neste capítulo iremos apresentar notas históricas a respeito do nascimento do cálculo abordando alguns dos matemáticos que contribuiram para esse feito matemático. Essa abordagem serve para contribuir como se deu esse processo e como cada teórico elaborou seus trabalhos para intensificar a discussão acerca do cálculo. 2.1 O Nascimento do Cálculo A Matemática é uma ciência que desde a antiguidade encontra-se presente nas atividades sociais como forma de facilitar o desenvolvimento de tarefas, desde as mais básicas como contar objetos, até as mais complexas como, por exemplo, sua presença no âmbito da construção civil, da astronomia, da medicina e da computação. Dessa maneira, é notável que seu progresso esteja intimamente ligado aos avanços da sociedade, pois a medida em que novas tecnologias vão sendo criadas faz-se necessário o auxilio da matemática para colocá-las em prática. O Cálculo encontra-se presente em diversos ramos da Matemática, o seu desenvol- vimento ocorreu de maneira gradual fazendo-se presente desde o século XVII nas obras de diversos matemáticos, tendo como principais percursores Isaac Newton e Leibniz. Newton nasceu na Inglaterra em 1642 enquanto jovem não se destacou por seus estudos, tendo demonstrado certo grau de dificuldade nas questões de geometria no seu exame de ingresso na Universidade de Cambridge. Após concluir a sua graduação, a universidade na qual Newton estudava fechou devido um surto de peste, foi nesse período de dois anos em que o matemático desenvolveu as suas principais ideias que até hoje são explorados na área da Gravitação, Ótica e Cálculo. Em uma monografia de 1669, que só circulou entre seus amigos e alunos (apenas em 1711 foi publicada), Newton expôs suas primeiras ideias sobre o cálculo. Por exemplo, usando a expansão generalizada de (x + a)p, resultado que obtivera anteriormente (salvo quando p é inteiro positivo a expansão é infinita), mostrou que a área sob a curva z = ax p(p ∈ Q) é y = pax p−1 (derivada de z, na terminologia moderna). Vice-versa, a área sob a curva y = pax p−1 é z = ax p. Tudo indica que esta foi a primeira vez na história da matemática que uma área foi obtida pelo processo inverso da derivação. Este resultado contém, em gérmen, a essência do cálculo. (IEZZI, 2006, p.113) O primeiro documento de Newton abordando o Cálculo foi um manuscrito prova- velmente de 1666, que teve pouca circulação, tanto na época em que foi publicado, quanto após sua morte. (ÁVILA, 1999, p.137) Capítulo 2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 13 O teórico Gottfried Wilhelm Leibniz cresceu em um contexto familiar completa- mente diferente do de Isaac Newton, desde a infância teve a influência de seu pai e avô que eram professores universitários. Leibniz dedicou-se a diversos ramos do conhecimento, como direito, humanidades e filosofia, mas só passou a dedicar-se ao estudo matemático após ser enviado para uma missão diplomática em Paris durante 4 anos. “Leibniz foi um gênio universal. Sua obra toca praticamente todos os campos do conhecimento, dominando a vida intelectual e exercendo influência marcante no pensamento filosófico de seu tempo e a partir de então”. (ÁVILA, 1999, p.138) Os estudos de Newton acerca do Cálculo são anteriores as de Leibniz, embora as publicações dos trabalhos deste autor tenham ocorrido antes de Newton. Nessa época surgiram rumores no cenário acadêmico de que Leibniz havia descoberto os estudos de Newton em suas visitas a Inglaterra e publicado suas ideias, mas alguns séculos depois pôde-se comprovar que tais alegações não eram verdadeiras. Por algum tempo depois de Newton e Leibniz, os fundamentos do cálculo permaneceram obscuros e despercebidos, pois era a enorme aplicabilidade da matéria o que atraia os primeiros pesquisadores. Por volta de 1700, a maior parte do cálculo que hoje se ver nos cursos de graduação já é de forma estabelecida, juntamente com tópicos mais avançados, como o cálculo de variações. O primeiro texto de cálculo foi publicado em 1696; seu autor o marquês de L’ Hospital (1661-1704) por uma acordo singular, publicou as lições que recebera que seu professor particular, Johann Bernoulli. Nesse livro encontra-se a chamada regra de L’ Hospital, para determinar o limite de uma fração cujo numerador e cujo denominador tendem simultaneamente para zero. (EVES, 2004, p.444) Os primeiros matemáticos que inovaram no campo do cálculo ao abordar conceitos que ainda não haviam sido explorados, mas para desenvolver os seus pensamentos eles buscaram inspiração em Arquimedes e Euclides “cujas obras eram então estudadas e admiradas como modelo mais acabado de rigor, que perdurou até o início do século XIX” (ÁVILA, 1999, p.244). O Cálculo divide-se em duas partes que são consideradas fundamentos de grande importância para essa área, na qual representam uma parcela relevante e rigorosa desse ramo, são eles o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral, conceitos estes que serão abordados no próximo item. 2.2 História do Cálculo Diferencial e Integral Conforme abordamos na seção 2.1, o século XVII trouxe grandes avanços para o universo da matemática, principalmente no que diz respeito ao Cálculo, com as inúmeras contribuições de Isaac Newton e Leibniz; mas a maior contribuição que ocorreu nesse Capítulo 2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 14 período foi à criação do cálculo diferencial e integral; invenção destes dois matemáticos de forma independente um do outro. A origem do cálculo integral é bastante anterior ao diferencial, embora no mundo acadêmico este seja apresentado primeiro que aquele. De acordo com Eves, 2004: A ideia da integração teve origem em processos somatórios, ligados ao cálculo de certas áreas e certos volumes e comprimentos. A diferenciação, criada bem mais tarde, resultou de problemas sobre tangentes a curvas e de questões sobre máximos e mínimos. Mais tarde ainda, verificou-se que a integração e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo cada uma delas operação inversa da outra. (EVES, 2004, p.417). Ambas as modalidades de cálculo, se desenvolveram a partir da Álgebra e da Geometria, tem como foco o estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades. É importante ressaltar que além de Newton e Leibniz, outros estudiosos contribuíram de maneira efetiva para o desenvolvimento do Cálculo. Dentre os quais podemos destacar a grande contribuição de Augustin Louis Cauchy para o Cálculo, uma vez que este inovou ao traçar o conceito de limite, que consistio na divisão formal entre o Cálculo e a Matemática mais elementar. Também podemos mencionar as contribuições de Bernhard Riemann, uma vez que este estudioso dedicou-se ao cálculo integral de maneira aprofundada; os conceitos por ele desenvolvidos são constantemente utilizados em cursos de Análise Matemática, através das definições desoma superior e inferior. Muitos matemáticos além dos mencionados nesse tópico contribuíram e ainda contribuem para o Cálculo Diferencial e Integral, uma vez que suas descobertas continuam sendo aplicadas nas Ciências Naturais e Tecnologia. Foi a partir da invenção destas duas espécies de cálculo que a matemática criativa elevou-se a um maior patamar e a história da matemática elementar essencialmente teve seu fim. Os conceitos destes mecanismos de cálculo tem tanta abrangência e utilização no mundo moderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento deles dificilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta. (EVES, 2004, p.417) Referente ao cálculo integral é importante ressaltar que os primeiros fatos históricos que envolvem as integrais tratam-se dos problemas de quadratura. Um dos principais problemas enfrentados nesse período foi enfrentado pelos gregos, os quais tinham o objetivo de encontrar o valor de uma superfície, medindo as suas áreas. A seguir apresentaremos os matemáticos Augustin Louis Cauchy e Joseph Louis Lagrange. Capítulo 2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 15 2.3 Cauchy Augustin Louis Cauchy, Figura 1, nasceu em Paris, no dia 23 de agosto de 1789, e faleceu em 1857, em Sceaux também na França, aos 68 anos de idade. Em uma de suas últimas conversas ele proferiu a seguinte frase: “Os homens passam, mas suas realizações perduram”. Cauchy estudou em boas escolas, seus pais eram muito instruídos, em sua época de estudos acadêmicos resolveu alguns problemas matemáticos. Figura 1 – Augustin-Louis Cauchy Fonte: disponível em https://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy. Esse teórico teve uma vasta produção no ramo da matemática, seus escritos foram reunidos em diversos livros, bem como em cerca de 789 artigos científicos. “As numerosas contribuições de Cauchy à matemática avançada incluem pesquisas em convergência e divergência de séries infinitas, teoria das funções reais e complexas, equações diferenciais, determinantes, probabilidade e física- matemática” (EVES, 2004, p.531) Em seus escritos Cauchy deteve-se tanto ao campo da matemática pura quanto da matemática aplicada. 2.4 Lagrange Joseph Louis Lagrange, Figura 2, nasceu em 25 de janeiro de 1736, em Turim na Itália e faleceu em 10 de abril de 1813, em Paris. Filho de uma família abastada e bem instruída, foi o primeiro dos onze irmãos a alcançar a idade adulta. A sua formação acadêmica e o início da sua carreira profissional ocorreu na sua cidade natal, onde viveu Capítulo 2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 16 durante 30 anos, Lagrange formou em Turim, e foi professor na Escola de Artilharia, foi também nesta cidade onde seus primeiros trabalhos foram publicados, bem como onde fundou a Academia de Ciências. Não mostrou gosto pela matemática até ler, com dezessete anos de idade, um trabalho de Edmund Halley sobre o uso da álgebra na óptica (1693). Sozinho e sem ajuda entregou-se aos estudos na matemática, estabelecendo correspondência, aos dezoito anos de idade, com Euler e Giulio di Fagnano (1682 - 1766; matemático italiano). Ao final de um ano de trabalho árduo e constante tornou-se professor, ainda bem jovem, na academia militar local. (SANCHEZ, 2007, p.4 ) Figura 2 – Joseph-Louis Lagrange Fonte: disponível em https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange Um dos primeiros trabalhos de Lagrange foi uma carta enviada a Euler, na qual ele lhe encaminhou a resolução de um problema matemático denominado isoperimetral, tal problema já vinha sendo discutido por inúmeros matemáticos da época há mais de meio século. Tal ousadia e habilidade despertaram o interesse de Euler, que percebeu a capacidade deste “novo” matemático. Antes da resolução apresentado por Lagrange, Euler já havia declarado que não estava conseguindo resolver tal problema de forma puramente analítica, ficando bastante surpreso pela capacidade de um rapaz 30 anos mais jovem que ele conseguir. Esse feito colocou Lagrange em posição de prestígio entre os matemáticos que viriam a seguir. Ele ocupa lugar de destaque entre os maiores matemáticos do século XVIII, junta- mente com Leonhard Euler, os quais foram amigos pessoais e resolveram alguns problemas juntos. Conforme menciona Sanchez na seguinte passagem de seu artigo: Capítulo 2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 17 Quando, em 1772, a Academia de Paris propôs - pela segunda vez - um prêmio para qualquer um que conseguisse apresentar uma solução para a aceleração média do movimento da Lua, Lagrange ganhou, em associação com Euler. Eles não resolveram o problema, mas ganharam o prêmio com um ensaio sobre o problema de três corpos (problema este que permanece sem solução analítica até hoje) (SANCHEZ, 2007, p.4 ) Lagrange ocupou lugar de destaque na matemática e buscou inovar, diferentemente de inúmeros estudiosos da sua época ele não buscou encontrar novas aplicações para as teorias de Leibniz e Newton, seus objetivos eram mais ambiciosos, sua principal preocupação era explicar de forma rigorosa o porquê e o funcionamento dos cálculos. 18 3 NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS Em Análise Matemática a ideia de limite ocupa uma posição de destaque. Neste ramo da Matemática os principais conceitos ou resultados normalmente estão associados a algum tipo de limite. Maciel 2005, afirma que "A maneira mais simples, do ponto de vista pedagógico, de se introduzir o conceito de limite é por meio de sequências de números reais". Passaremos a estudar definições e resultados de limites que serão utilizados nos capítulos seguintes do nosso trabalho. Primeiramente, iremos estudar algumas proposições importantes a respeito de sequências e subsequências que conduzem a resultados do Teorema de Bolzano- Weierstrass que será utilizado no decorrer do presente capítulo. 3.1 Sequências e subsequências de números reais Uma sequência de números reias é uma função a : N −→ R n Ô→ a(n) = an que a cada n ∈ N associa um número an ∈ R, chamado de termo geral ou de n-ésimo termo da sequência. Representamos uma sequência por (an)n∈N, ou (a1, a2, ..., an...) ou simplesmente por (an). Exemplo 3.1. Observaremos a seguir alguns exemplos de sequências: a) ( 1 n )n∈N ou (1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , ...) b) (n)n∈N ou (1, 2, 3, 4, 5, ...) c) ( √ 2)n∈N ou ( √ 2, √ 2, √ 2, √ 2, √ 2, ...) d) ((−1)n)n∈N ou (−1, 1, −1, 1, −1, ...) É importante fazer a distinção entre a notação (a1, a2, ..., an...), para a sequência {an; n ∈ N}, para a sua imagem. Na notação, (a1, a2, ..., an...) entende-se a listagem de um número infinito de termos, enquanto que sua imagem tanto pode ser infinita, como finita e até mesmo ser uma conjunto unitário, como ocorre com qualquer sequência constante, como, por exemplo, a sequencia do item c) do exemplo 2.1. Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 19 Uma subsequência de uma sequência (an) é a restrição da mesma a um subconjunto infinito N′ = {n1 < n2 < ... < nk < ...} ⊂ N. Escrevemos (ank)k∈N ou (an1 , an2 , ... ank , ...) ou (ank) para denotar uma subsequência. Exemplo 3.2. Considere a sequência ((−1)n)n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, ...) e sejam P = {2, 4, 6, 8, 10, ...} o subconjunto de N formado pelos naturais pares e I = {1, 3, 5, 7, 9, ...} o formado pelos naturais ímpares. Temos que P e I são infinitos. Para estes subconjuntos temos as seguintes subsequências da sequência original: ((−1)n)n∈P = (1, 1, 1, 1, 1, ...) e ((−1)n)n∈I = (−1, −1, −1, −1, −1, ...). Observaremos que se N′ é um subconjunto próprio e infinito de N e se a : N → R é uma sequência, então, a rigor, a subsequência a|N ′ : N′ → R não seria uma sequência uma vez que seu domínio é N′ Ó= N. No entanto, podemos sempre considerar uma subsequência como uma função real cujo domínio é N. Dizemos que uma sequência é limitada superiormente quando existe M ∈ R tal que an ≤ M, ∀n ∈ N e é dita limitada inferiormente quando também existe M ∈ R tal que an ≥ M, ∀n ∈ N. Quando (an) é simultaneamente limitada superiormentee inferiormente dizemos que é limitada, o que é equivalente a dizer que existe M > 0 tal que | an |≤ M, ∀n ∈ N. Evidentemente, toda subsequência de uma sequência limitada superiormente, infe- riormente ou os dois casos é também limitada superiormente, inferiormente ou os dois. Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 20 Uma sequência (an) é denominada não decrescente quando an ≤ an+1 para todo n ∈ N. Quando vale a desigualdade estrita dizemos que a sequência é crescente. Analoga- mente, define-se sequências não crescentes e sequências decrescentes. Classificamos tais tipos de sequências como sequências monótonas. 3.2 Limite de uma Sequência Definição 3.1. Dizemos que um número L é o limite de uma sequência (an) se, para cada ǫ > 0, existe N(ǫ) ∈ N tal que | an − L |< ǫ para todo n ≥ N(ǫ). Quando uma sequência (an) possui limite L dizemos que (an) converge para L, ou é convergente para L, e denotamos tal fato simbolicamente por limn→∞ an = L, ou lim an = L ou ainda por an −→ L. Quando uma sequência não é convergente dizemos que é divergente. Observação: Na definição 2.1 escrevemos N(ǫ) ∈ N para explicitar a dependência do natural N ao número ǫ > 0 dado. No entanto, para não sobrecarregar a notação e sempre que não houver risco de ambiguidade, escreveremos simplesmente N . Proposição 3.1. O limite de uma sequência convergente é único. Demonstração. Seja (an) convergente. Suponhamos, por contradição, que an −→ L e an −→ L′ com L Ó= L′. Vamos supor, sem perda da generalidade, que L > L′. Sendo assim, podemos tomar ǫ = L−L′ 2 > 0. Neste caso existiriam N1 e N2 em N tais que | an − L |< ǫ, ∀n ≥ N1 e | an − L′ |< ǫ, ∀n ≥ N2. Agora, se n > max{N1, N2} teríamos an ∈ ( 3L′ − L 2 , L + L′ 2 ) ∩ ( L + L′ 2 , 3L − L′ 2 ) = ∅, o que é um absurdo. O significado intuitivo do fato de (an) possui limite L é que, estabelecendo-se uma margem de erro mediante um número positivo ǫ, podemos aproximar todos os termos da sequência, a partir de N(ǫ), por L e o erro cometido com esta aproximação é menor que ǫ. Proposição 3.2. Toda sequência convergente é limitada . Demonstração. Seja (an) uma sequência convergente para L. Considerando ǫ = 1 temos que existe N ∈ N tal que | an − L |< 1, para todo n ≥ N . Como | an |=| an − L + L |≤| an − L | + | L | Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 21 então, para todo n ≥ N temos | an |< 1+ | L |. Tomemos agora M = max{| a1 | , | a2 | , ... , | aN−1 | , 1+ | L |} e obtemos | an |≤ M, ∀n ∈ N, demonstrando que (an) é limitada. Proposição 3.3. Seja (an) uma subsequência convergente para L. Então toda subsequência de (an) converge para L. Demonstração. Sejam (ank) uma subsequência de (an). Em primeiro lugar observaremos que, sendo n1 < n2 < n3 < ... < nk..., temos n1 ≥ 1, n2 ≥ 2, n3 ≥ 3 e, em geral nk ≥ k para todo k ∈ N. Consideremos ǫ > 0 dado. Então existe N ∈ N tal que n > N acarreta | an − L |< ǫ. Em particular, para nk ≥ N temos | ank − L |< ǫ. Mas nk ≥ k para todo k ∈ N e, portanto, k ≥ N ⇒ nk ≥ N ⇒| an − L |< ǫ. Em outras palavras limk→∞ an = L. Proposição 3.4. Seja (an) uma sequência não descrescente e limitada superiormente. Então (an) é convergente. Demonstração. Sendo (an) uma sequência limitada superiormente então M = sup{an ; n ∈ N}. Mostraremos que M é o limite de (an). De fato, dado ǫ > 0 existe n ∈ N tal que M − ǫ < aN . Sendo (an) não decrescente temos que n ≥ N acarreta em an ≥ aN . Como M = sup{an ; n ∈ N} então n ≥ N ⇒ M − ǫ < aN ≤ an ≤ M < M + ǫ, ou seja | an − M |< ǫ, para todo n ≥ N. A partir desse resultado, temos o seguinte corolário: Corolário: Todo sequência monótoma e limitada é convergente. Teorema 3.1. (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Demonstração. É suficiente mostrar que toda sequência (limitada ou não) possui uma subsequência monótona. Em seguida, usando a hipótese de a sequência ser limitada segue, Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 22 do corolário da proposição 2.4, o resultado. Para justificar que toda sequência possui uma subsequência monótona, considere (an) uma sequência qualquer. Dizemos que um de seu termo an é um termo destacado se am ≤ an para todo m > n. Por exemplo, uma sequência monótona não decrescente não possui termos destacados, enquanto que para uma sequência monótona não crescente todos os seus termos são destacados. Denotemos por D o conjunto dos índices n tais que an é um termo destacado de (an). As possibilidades de D são: D é infinito. Isto é, D = {n1 < n2 < n3 < ... < nk < ...}. Neste caso, sendo an1, destacado, am ≤ an1 para todo m > n1. Em particular an2 ≤ an1. Do mesmo modo que am ≤ an2, para todo m > n2, em particular an3 ≤ an2. Assim, a subsequência (an1, an2, ...ank, ...) é monótona não crescente. D é finito. Sendo assim, seja n1 ∈ N maior que todos os elementos de D. Então an1 não é destacado, logo podemos encontrar an2 com n2 > n1, e an2 > an1. Do mesmo modo an2 não é destacado e podemos prosseguir construindo uma subsequência de (an) que é monótona crescente. D é vazio. Neste caso, como já observemos anteriormente, a própria sequência (an) é monótona não decrescente. Sabendo-se agora que toda sequência possui uma subsequência monótona, e as subsequências de uma sequência limitada são também limitadas, segue o resultado. 3.3 Ponto de acumulação Definição 3.2. Dado um subconjunto S ⊂ R, dizemos que um ponto de x0 ∈ R é um ponto de acumulação de S se para cada C > 0 existe x ∈ S tal que 0 <| x − x0 |< C. O conjunto dos pontos de acumulação de S é chamado de derivada de S e é denotado por S ′. Exemplo 3.3. Considere o seguinte conjunto: S = {1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , ..., n n+1 , ...}, então o ponto x0 = 1 é um ponto de acumulação de S. Proposição 3.5. Se x0 é um ponto de acumulação de S ⊂ R então existe uma sequência (xn) de pontos de S, com xn Ó= x0 para todo n ⊂ N, satisfazendo limn→∞ xn = x0. Demonstração. Como x0 é um ponto de acumulação de S então, para cada ǫ > 0 existe x ∈ S tal que 0 <| x − x0 |< ǫ. Em particular, para cada n ∈ N existe xn ∈ S tal que 0 <| xn − x0 |< 1 n . Portanto, limn→∞ xn = x0. Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 23 Definição 3.3. Um subconjunto A de R denomina-se aberto se para cada x ∈ A existe ǫ > 0 tal que Vǫ(x) ⊂ A. Definição 3.4. Um subconjunto F de R é denominado fechado se seu complementar R − F é aberto. Proposição 3.6. Um subconjunto F ⊂ R é fechado se, e somente se, F contém todos os seus pontos de acumulação. Demonstração. Suponhamos que F é fechado. Mostraremos que nenhum ponto de R − F pode ser ponto de acumulação de F . Seja x0 ∈ R − F . Sendo R − F aberto, existe ǫx0 > 0 tal que V ǫx0 (x0) ⊂ R − F . Neste caso Vǫx0 (x0) ∩ F = ∅. Em outras palavras, não existe x ∈ F tal que 0 <| x − x0 |< ǫx0 . Portanto, x0 não é ponto de acumulação de F . Reciprocamente, suponhamos que F contém todos os seus pontos de acumulação. Seja x0 um ponto arbitrário de R− F . Temos, por hipótese, que x0 não é ponto de acumulação de F . Sendo assim, existe ǫx0 > 0 tal que para todo x ∈ F vale Vǫx0 (x0) ∩ F = ∅. Em outras palavras, V ǫx0 (x0) ⊂ R − F , o que mostra que R − F é aberto e, consequentemente, F é fechado. Os conjuntos fechados podem também ser caracterizados em termos de limites de sequências de seus pontos, conforme estabelece a proposição seguinte. Proposição 3.7. Uma condição necessária e suficiente para que um conjunto F ⊂ R seja fechado é que, para qualquer sequência convergente (xn) de pontos de F tem-se limn→∞ xn ∈ F. Demonstração. Suponhamos que F ⊂ R é um subconjunto fechado e seja (xn) uma sequência convergente para x ∈ R, com xn ∈ F para todo n ∈ N. Somente duas situações pode ocorrer: ou existe n0 ∈ N tal que xn0 = x, e neste caso já temos que x ∈ F , ou então x Ó= xn para todo n ∈ N e, neste caso, para cada ǫ > 0 existe N ∈ N tal que 0 <| xn − x |< ǫ para todo n ≥N . Em outras palavras, x é um ponto de acumulação de F , e pela proposição 2.6 segue que x ∈ F . Suponhamos agora que F contém os limites de todas as sequências convergentes. Mostremos que f ′, o conjunto dos pontos de acumulação de F , está contido em F . Se f ′ = ∅, então f ′ ⊂ F . Se f ′ Ó= ∅, seja x ∈ f ′. Pela proposição 2.5 existe uma sequência (xn) de pontos F tal que limn→∞ xn = x e, portanto, x ∈ F . Assim, em qualquer caso tem-se f ′ ⊂ F , ou seja, F é fechado. 3.4 Limites de funções reais Definição 3.5. Sejam S um subconjunto de R, a um ponto de acumulação de S e f : S Ô→ R uma função real. Dizemos que L ∈ R é o limite de f em a, e escrevemos Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 24 limx→a f(x) = L, quando para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ S e 0 <| x − a |< δ acarreta | f(x) − L |< ǫ. Em resumo: limx→a f(x) = L ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃δ > 0 \ 0 <| x − a |< δ ⇒| f(x) − L |< ǫ. Exemplo 3.4. Mostre que limx→2(3x + 1) = 7. Solução: Tomando | f(x) − L |< ǫ, obtemos | 3x + 1 − 7 |< ǫ | 3(x − 2) |< ǫ | x − 2 |< ǫ 3 . De | x − a |< δ, obtemos | x − 2 |< δ. Fazendo δ = ǫ 3 . Portanto, dado qualquer ǫ > 0, considere δ = ǫ 3 . Se 0 <| x − 2 |< δ ⇒ | 3x + 1 − 7 |=| 3(x − 2) |= 3 | x − 2 |< 3δ = 3 ǫ 3 = ǫ. Logo, limx→2(3x + 1) = 7. Proposição 3.8. Seja f : S −→ R uma função real e a um ponto de acumulação de S. Então limx→a f(x) = L se, e somente se, para cada sequência (xn) de pontos de S com xn Ó= a para todo n ∈ N e limx→+∞ xn = a tem-se limx→+∞ f(xn) = L. Demonstração. (⇒) Por hipótese, limx→a f(x) = L, ou seja, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que 0 <| x − a |< δ ⇒| f(x) − L |< ǫ. Considere uma sequência (xn) de pontos de S com xn Ó= a para todo n ∈ N e limx→+∞ xn = a. Então para δ > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 ⇒| xn − a |< δ. Logo, ∀n ≥ n0 ⇒| xn − a |< δ ⇒| f(xn) − L |< ǫ. Portanto, limx→+∞ f(xn) = L. (⇐) Por hipótese, toda sequência (xn) de pontos de S com xn Ó= a para todo n ∈ N e limx→+∞ xn = a tem-se limx→+∞ f(xn) = L. Ou seja, dado ǫ > 0 existem δ > 0 e n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 ⇒| xn − a |< δ ⇒| f(xn) − L |< ǫ. (3.1) Queremos provar que limx→+∞ f(x) = L. Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 25 Faremos por contradição, ou seja, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que 0 <| xn − a |< δ ⇒| f(x) − L |≥ ǫ. Para δ = 1 n > 0, existe xn ∈ S com xn Ó= a para todo n ∈ N tal que | xn − a |< 1 n ⇒| f(xn) − L |≥ ǫ. (3.2) O que é um absurdo, basta comparar (3.1) e (3.2). Logo, limx→a f(x) = L. 3.5 Funções Contínuas Definição 3.6. Sejam f : S −→ R uma função definida em um subconjunto não vazio de R e x0 um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua em x0, se limx→x0 f(x) = f(x0), isto é, se para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ S e | x−x0 |< δ ⇒| f(x)−f(x0) |< ǫ. Exemplo 3.5. Seja f : R −→ R tal que f(x) = x. Então f é contínua em todo ponto x0 ∈ R. Solução: Dado x0 ∈ R, mostraremos que f é contínua em x0 ∈ R. De fato, dado ǫ > 0, tome δ = ǫ. Assim, ∀x ∈ R e | x − x0 |< δ ⇒| f(x) − f(x0) |=| x − x0 |< δ = ǫ. Logo, f é contínua em x0 ∈ R. Quando f : S −→ R não é contínua em x0 ∈ S dizemos que é descontínua em x0, ou que x0 é uma descontinuidade de f . A função f : S −→ R é contínua em a, se satisfaz as seguintes condições: i) f está definida em a; ii) existe o limite de f em a; iii) limx→a f(x) = f(a). Se pelo menos um dos três itens acima não for verdadeiro, então f é descontínua em x0. Exemplo 3.6. Verifique se a função f : R −→ R dada por: f(x) = x2 −4 x−2 , se x Ó= 2 3 , se x = 2 Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 26 é contínua no ponto a = 2. Solução: Vejamos; i) f(2) = 3. ii) limx→2 f(x) = limx→2 x2 −4 x−2 = limx→2 (x+2)(x−2) (x−2) = limx→2(x + 2) = 2 + 2 = 4. iii) limx→2 f(x) = 4 Ó= 3 = f(2). Logo, f não é contínua em a = 2. 3.6 Funções Contínuas em Intervalos Teorema 3.2. Consideremos [a, b] um intervalo fechado e limitado de R. Então toda função contínua f : [a, b] −→ R é limitada. Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que f não fosse limitada. Então, para cada n ∈ N existiria um ponto xn em [a, b] tal que | f(xn) |> n. Sendo [a, b] um limitado então (xn) seria uma sequência limitada e, pelo Teorema de Bolzano 2.1, possuiria uma subsequência (xnj) convergente para um ponto α ∈ R. Sendo [a, b] um fechado de R segue, da proposção 2.7, que α ∈ [a, b]. Pela continuidade de f teríamos que (f(xnj)) seria convergente (exatamente para f(α)) e, em particular, seria limitada. Mas isso não poderia ocorrer pois | f(xnj) |> nj. Logo f terá que ser limitada. Teorema 3.3. (Teorema do Máximo e do Mínimo) Sejam [a, b] um intervalo fechado e limitado e f : [a, b] → R uma função contínua. Então existem α e β em [a, b] tais que f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) para todo x ǫ [a, b]. Demonstração. Pelo Teorema anterior 3.2, temos que f([a, b]) é um subconjunto limitado de R, logo existem m = inf x ∈ [a,b] f(x) e M = sup x ∈ [a,b] f(x). Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 27 Mostremos que existem α e β em [a, b] tais que f(α) = m e f(β) = M , isto é, o máximo e o mínimo são atingidos em pontos de [a, b]. Suponhamos, por contradição, que o máximo M não é atingido, ou seja, f(x) < M para todo x ∈ [a, b]. Seja g : [a, b] → R dada por g(x) = 1 M−f(x) . Temos que g é contínua e g(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema 2.2 existe K > 0 tal que 0 < g(x) ≤ K, para todo x ∈ [a, b]. Ou seja, 1 M−f(x) ≤ K, para todo x ∈ [a, b]. Ou ainda, f(x) ≤ M − 1 k , para todo x ∈ [a, b]. Mas isso é uma contradição, pois M − 1 K < M e M é supremo de f em [a, b]. A demonstração para o caso do ínfimo é feita de maneira análoga. 28 4 DERIVADAS Antes de definirmos Derivadas iremos salientar de forma breve o conceito de tangentes e velocidades a partir de limite. 4.1 Reta tangente Definição 4.1. A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é a reta que passa por P e que tem a inclinação m = lim x→a f(x) − f(a) x − a (4.1) desde que esse limite exista. Exemplo 4.1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P (1, 1). Solução: Temos aqui a = 1 e f(x) = x2, logo a inclinação é m = lim x→1 f(x) − f(1) x − 1 = lim x→1 x2 − 1 x − 1 = lim x→1 (x − 1)(x + 1) x − 1 = lim x→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2. Usando a forma ponto-inclinação da reta, encontramos que uma equação da reta tangente em (1, 1) é y − 1 = 2(x − 1) ou y = 2x − 1. Capítulo 4. DERIVADAS 29 4.2 Velocidades Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve o movimneto é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h a variação na posição será de f(a + h) − f(a). A velocidade média nesse intervalo é velocidade média = deslocamento tempo = f(a + h) − f(a) h que é mesmo que inclinação da reta secante PQ da Figura 3. Figura 3 – Gráfico 1 Fonte: STEWART, 2009, p. 131. Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores [a, a + h]. Em outras palavras, fazemos h tender a 0. Considere a velocidade (ou velocidade instantânea) v(a) no instante t = a como o limite dessas velocidades médias: v(a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h . Isso significa que a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da reta tangente em P . Capítulo 4. DERIVADAS 30 Exemplo 4.2. Suponha que uma bola tem a função posição dado por s = f(t) = 4, 9t2 dado em metros e t em segundos. a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? b) Qual a velocidade da bola quando ela atinge a posição 450 m? Solução: Precisaremos encontrar a velocidade tanto quando t = 5 tanto quando a bola atinge a posição, de modo que é eficiente começar encontando a velocidade em um instante geral t = a. Usando a equação de movimento s = f(t) = 4, 9t2, temos m = lim h→0 f(a + h) − f(a) h = lim h→0 4, 9(a + h)2 − 4, 9a2h = lim h→0 4, 9(a2 + 2ah + h2 − a2) h = lim h→0 4, 9(2ah + h2) h = lim h→0 4, 9(2a + h) = 9, 8a. a) A velocidade após 5 s é de v(5) = (9, 8)(5) = 49m/s. b) Uma vez que o posto de observação está 450 m acima do solo, a bola vai atingir o chão em t1, quando s(t1) = 450, isto é, 4, 9t2 1 = 450. Isso fornece t2 1 = 450 4, 9 e t1 = √ 450 4, 9 ≈ 9, 6 s. A velocidade com que a bola atinge a posição é, portanto, v(t1) = 9, 8t1 = 9, 8 √ 450 4, 9 ≈ 94 m/s. 4.3 Derivadas Dedicamos esta seção ao estudo de algumas definições e de alguns reultados das funções deriváveis. Nas seções anteriores do presente capítulo estudamos a ideia de retas tangentes e velocidades com a interpretação fisíca de um ponto. Como já estamos familiarizados com esses conhecimentos passaremos a estudar as propriedades básicas da noção de derivada, enfatizando resultados que conduzam a informações sobre a função a partir de informações sobre a sua derivada. Capítulo 4. DERIVADAS 31 Definição 4.2. Seja I ⊂ R um intervalo aberto e f : I −→ R uma função. Dizemos que f é derivável em x0 ∈ I se existe o limite lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 . (4.2) O limite (3.2) quando existe é denotado por f ′(x0) e denominado derivada da função f no ponto x0. Fazendo em (4.2) h = x − x0, ou seja, x = x0 + h, temos que x −→ x0 se, e somente se, h −→ 0. Assim quando o limite existe, escrevemos f ′(x0) = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h . (4.3) Observaremos a seguir outras notações para a derivada de uma função em um ponto: D f(x0) , df dk (x0) ou df dk |x=x0 . Derivada lateral à direita de f em x0 é f ′d(x0) = lim h→x+ f(x0 + h) − f(x0) h . Derivada lateral à esquerda de f em x0 é f ′c(x0) = lim h→x− f(x0 + h) − f(x0) h . Se f é derivável em x0 se, e somente se, existem as derivadas laterais em x0 e f ′d(x0) = f ′c(x0) = f ′(x0). Quando f ′(x) existe em todo x ∈ I dizemos que f derivável em I. Exemplo 4.3. Seja f : R −→ R definida por f(x) = x. Mostre que f é derivável em x0 ∈ R. Solução: De fato, temos: f(x0 + h) = x0 + h e f(x0) = x0. Assim, obtemos que f ′(x0) = limh→0 f(x0+h)−f(x0) h = limh→0 x0+h−x h = limh→0 h h = limh→0 1 = 1. Exemplo 4.4. Mostre que a função f : R −→ R definida por f(x) =| x | não é derivável em x0 = 0. Capítulo 4. DERIVADAS 32 Solução: De fato, vamos calcular as derivadas laterias: Temos: f ′d(0) = lim h→0+ f(0 + h) − (0) h = = lim h→0+ | 0 + h | − | 0 | h = = lim h→0+ | h | h = lim h→0+ 1 = 1 e f ′e(0) = lim h→0− f(0 + h) − (0) h = = lim h→0− | 0 + h | − | 0 | h = = lim h→0− | h | h = lim h→0− −h h = lim h→0− −1 = −1. Como f ′d(0) Ó= f ′e(0), logo f ′(x0) não existe, ou seja, f não é derivável em x0 = 0. Proposição 4.1. Seja f : I → R uma função derivável em um ponto x0 ∈ I, onde I é um intervalo aberto. Então f é contínua em x0. Demonstração. Considere a seguinte igualdade: f(x) = f(x0) + f(x) − f(x0) x − x0 .(x − x0) com x Ó= x0. (4.4) Por hipótese, f é derivável em x0, ou seja, f ′(x0) = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 existe. Passando ao limite em 3.4, quando x → x0, obtemos: lim x→x0 f(x) = lim x→x0 f(x0) + lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 . lim x→x0 (x − x0) = Capítulo 4. DERIVADAS 33 lim x→x0 f(x) = f(x0) + f ′(x0).0 = lim x→x0 f(x) = f(x0). Logo, f é contínua em x0. Observação: A recíproca da proposição 3.1 não é verdadeira (função contínua não implica em derivável). Considere a função contínua f(x) =| x |, mas no exemplo 3.4 mostramos que f não é derivavel em x0 = 0. A proposição a seguir apresenta as propriedades algébricas da derivada. Proposição 4.2. Sejam f e g funções definidas em um intervalo aberto I e deriváveis em x0 ∈ I. Então: i) f + g é derivável em x0 e (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0), ii) fg é derivável em x0 e (fg)′(x0) = f(x0)g′(x0) + f ′(x0)g(x0), iii) Se g Ó= 0 então f g é derivável em x0 e ( f g ) ′ (x0) = f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0) [g(x0)]2 . Demonstração. Por hipótese, temos: f ′(x0) = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h e g′(x0) = lim h→0 g(x0 + h) − g(x0) h existem. i) Temos: (f + g)′(x0) = lim h→0 (f + g)(x0 + h) − (f + g)(x0) h = = lim h→0 [ f(x0 + h) + g(x0 + h) − f(x0) − g(x0) h ] = Capítulo 4. DERIVADAS 34 = lim h→0 [ f(x0 + h) − f(x0) h + g(x0 + h) − g(x0) h ] = = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h + lim h→0 g(x0 + h) − g(x0) h = = f ′(x0) + g′(x0). ii) Temos: (fg)′(x0) = lim h→0 (fg)(x0 + h) − (fg)(x0) h = = lim h→0 f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0)g(x0) h = = lim h→0 f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0 + h)g(x0) + f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0) h = = lim h→0 f(x0 + h) [ g(x0 + h) − g(x0) h ] + [ f(x0 + h) − f(x0) h ] g(x0) = = lim h→0 f(x0 + h) . lim h→0 g(x0 + h) − g(x0) h + lim h→0 [ f(x0 + h) − f(x0) h ] . g(x0) = = f(x0) .g′(x0) + f ′(x0) . g(x0). iii) Temos: ( f g ) ′ (x0) = lim h→0 ( f g ) (x0 + h) − ( f g ) (x0) h = = lim h→0 f(x0+h) g(x0+h) − f(x0) g(x0) h = = lim h→0 1 h [ f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0 + h) g(x0 + h)g(x0) ] = Capítulo 4. DERIVADAS 35 = lim h→0 1 h [ f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0) − f(x0)g(x0 + h) g(x0 + h)g(x0) ] = = lim h→0 1 g(x0 + h)g(x0) [( f(x0 + h) − f(x0) h ) g(x0) − f(x0) ( g(x0 + h) − g(x0) h )] = 1 g(x0)g(x0) [f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)] = = f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0) [g(x0)] 2 . Proposição 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam f : I −→ R e g : J −→ R funções definidas, respectivamente, nos intervalos abertos I e J com f(I) ⊂ J . Suponha que f é derivável em x0 ∈ I e g derivável em f(x0) ∈ J . Então gof é derivável em x0 e (gof)′(x0) = g′(f(x0)).f ′(x0). Demonstração. Suponha que f ′(x0) Ó= 0, ou seja, f(x) Ó= f(x0). Então: (gof)′(x0) = lim x→x0 (gof)(x) − (gof)(x0) x − x0 = = lim x→x0 g(f(x)) − g(f(x0)) x − x0 = = lim x→x0 g(f(x)) − g(f(x0)) f(x) − f(x0) f(x) − f(x0) x − x0 = = lim x→x0 g(f(x)) − g(f(x0)) f(x) − f(x0) lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = = g′(f(x0))f ′(x0). Se f ′(x0) = 0, então temos dois casos: 1) caso: f(x) = f(x0), segue que, (gof)′(x0) = lim x→x0 g(f(x)) − g(f(x0)) x − x0 = lim x→x0 g(f(x0)) − g(f(x0)) x − x0 = Capítulo 4. DERIVADAS 36 = lim x→x0 0 = 0 = g′(f(x0))0 = g′(f(x0))f ′(x0). 2) caso: f(x) Ó= f(x0), segue que, (gof)′(x0) = lim x→x0 (gof)(x) − (gof)(x0) x − x0 = lim h→0 g(f(x)) − g(f(x0)) x − x0 = = lim x→x0 g(f(x)) − g(f(x0)) f(x) − f(x0) f(x) − f(x0) x − x0 = g′(f(x0))f ′(x0). 4.4 Teorema de Rolle Passaremos a estudar o Teorema de Rolle que apresentara importantes resultados que serão utilizados no capítulo seguinte para a demostração do Teorema do Valor Médio que segundo (LEITHOLD, 1994, p.230) é baseada num caso particular deste Teorema. Seja I ⊂ R um intervalo e f : I −→ R uma função. Dizemos que f assume um máximo absoluto em x0 ∈ I se f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ I. Se a desigualdade f(x1) ≥ f(x) ocorre apenas em uma vizinhança de Vδ(x1) ⊂ I dizemos que f assume um máximo local em x1, Figura 4. x0 : ponto de máximo absoluto; x1 : ponto de máximo local; f(x0) : valor de máximo absoluto; f(x1) : valor de máximo local. Quando temos f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ I dizemos que f assume um mínimo absoluto em x0 e quando for f(x1) ≤ f(x) apenas para x restrito a uma vizinhança de Vδ(x1) ⊂ I dizemos que f assume um mínimo local em x1, Figura 5 x0 : ponto de mínimo absoluto; x1 : ponto de mínimo local; f(x0) : valor de mínimo absoluto; f(x1) : valor de mínimo local. Os pontos onde f assume um máximo (local ou absoluto) ou um mínimo (local ou absoluto) são chamados de extremos de f . Se x0 é um ponto interior de I e se x0 for um extremo absoluto de f então x0 é um extremo local de f . Capítulo 4. DERIVADAS 37 Figura 4 – Gráfico 2 Figura 5 – Gráfico 3 Proposição 4.4. Sejam I um intervalo aberto de R, f : I → R uma função e x0 um extremo local de f . Se f for derivável em x0 então f ′(x0) = 0. Demonstração. Vamos admitir que f assume um máximo local em x0 (o caso de mínimo local é análogo). Então existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) paratodo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Capítulo 4. DERIVADAS 38 Portanto, f(x) − f(x0) x − x0 = ≤ 0 , se x0 < x < x0 + δ , ≥ 0 , se x0 − δ < x < x0. (4.5) Agora, como existe f ′(x0), necessariamente temos limx→x− 0 f(x)−f(x0) x−x0 = f ′(x0) = limx→x+ 0 f(x)−f(x0) x−x0 . Mas, pela equação 4.5, temos limx→x− 0 f(x)−f(x0) x−x0 ≥ 0 e limx→x+ 0 f(x)−f(x0) x−x0 ≤ 0. Portanto, f ′(x0) = 0. Teorema 4.1. (Teorema de Rolle) Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a, b) com f(a) = f(b). Então existe c ǫ (a, b) tal que f ′(c) = 0. Demonstração. Se for f(x) = f(a) para todo x ǫ (a, b), como f(a) = f(b), então f é constante em [a, b] e, portanto, f ′(x) = 0 para todo x ǫ (a, b). Assim, podemos supor que existe x ǫ (a, b) tal que f(x) Ó= f(a). Sendo f contínua em [a, b], pelo Teorema 3.3 (Teorema do Máximo e do Mínimo), f possui extremos absolutos em [a, b]. Como estamos supondo que f não é constante em (a, b) e pelo fato de que f(a) = f(b), então pelo menos um dos pontos de extremo absoluto de f pertence a (a, b). Seja c tal ponto. Segue da Proposição 4.4 que f ′(c) = 0. Exemplo 4.5. Vamos aplicar o Teorema de Rolle à função posição s = f(t) de um objeto em movimento. Se o objeto estiver no mesmo local em dois instantes diferentes t = a e t = b, então f(a) = f(b). O Teorema de Rolle afirma que existe algum instante do tempo t = c entre a e b no qual f ′(c) = 0; isto é, a velocidade é 0. 39 5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO A partir dos resultados estudados nos itens anteriores, estudaremos nesta seção o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM foi desenvolvido pela primeira vez pelo matemático italiano Joseph Louis Lagrange. O matemático francês Augustin Louis Cauchy também apresentou esse resultado de forma mais geral em relação a definição dada por Lagrange. O resultado deste Teorema é considerado um resultado de grande relevância no ramo matemático e é tido como peça fundamnetal para obtenção de desfechos de outros teoremas, como por exemplo o Teorema Fundamental do Cálculo. O TVM de Lagrange é apresentado da seguinte forma: Teorema 5.1. (Teorema do Valor Médio de Lagrange) Seja f : [a, b] −→ R uma função que é contínua em [a, b] e é derivável em (a, b). Então existe c ǫ (a, b) tal que f ′(c) = f(b) − f(a) b − a . (5.1) É possível interpretar o TVM geometricamente. Passaremos a ver como essa interpretação aconteçe e em seguida demonstraremos algebricamente. Traçando o esboço da função f , [f(b) − f(a)]/(b − a) é a inclinação do segmento de reta que liga os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)). O TVM admite a existência de um ponto sobre a curva da reta A e B, onde a reta tangente é paralela à reta secante por A e B; isto é, existe um número c em (a, b), tal que como mostra a Figura 6. Figura 6 – Gráfico 4 Tornando o eixo x coicidente com a reta secante AB, pode-se observar que o TVM é uma generalização do Teorema de Rolle, o qual será usando para a sua demosntração. Prova do Teorema 4.1. Uma equação da reta que passa por A e B na Figura 6 é Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 40 y − f(a) = f(b) − f(a) b − a (x − a) ⇔ y = f(b) − f(a) b − a (x − a) + f(a). Seja F (x) a medida da distância vertical entre o ponto (x, f(x)) do gráfico da função f e o ponto correspondente sobre a reta secante por A e B; então, F (x) = f(x) − f(b) − f(a) b − a (x − a) − f(a) (5.2) Verificaremos que a função F satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle. A função F é contínua no intervalo fechado [a, b], pois é a soma de f com uma função polinominal linear, ambas as quias são contínuas no intervalo. Logo a primeira condição é satisfeita por F. A segunda condição está satisfeita para F , pois f é derivavél em (a, b). De (5.2), segue que F (a) = 0 e F (b) = 0. Portanto, a terceira condição do Teorema de Rolle está satisfeita por F . Uma vez que F satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que F ′(c) = 0. Mas F ′(x) = f ′(x) − f(b) − f(a) b − a . Assim, F ′(c) = f ′(c) − f(b) − f(a) b − a Logo, existe um número c em (a, b), tal que 0 = f ′(c) − f(b) − f(a) b − a ⇔ f ′(c) = f(b) − f(a) b − a como queriamos demonstrar. Cauchy, como mencionado anteriormente apresentou o TVM de forma mais geral: Teorema 5.2. (Teorema do Valor Médio de Cauchy) Sejam f e g funções contínuas reais contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Então existe c ǫ (a, b) tal que (f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c). Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 41 Demonstração. Consideremos a função ϕ definida em [a, b] por ϕ(x) = (f(b) − f(a))g(x) − (g(b) − g(a))f(x). Temos que ϕ é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e ϕ(a) = ϕ(b). Portanto, a função ϕ está nas condições do Teorema de Rolle. Logo existe c ǫ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0. Mas, para todo xǫ(a, b) temos ϕ′(x) = (f(b) − f(a))g′(x) − (g(b) − g(a))f ′(x). Logo, para x = c temos (f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c) como queríamos demonstrar. 5.1 Aplicações do Teorema do Valor Médio Passaremos a estudar algumas aplicações do Teorema do Valor Médio que podem ser apresentadas a partir de seus resultados. 5.1.1 Consequências do Teorema do Valor Médio Podemos ter como primeira consequência a recíproca do fato trivial de que a derivada de uma função constante é igual a zero, ou seja, se a derivada de uma função é zero, temos que a função é constante. Porém, a princípio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro. E se existir uma função desconhecida, sendo essa estranha e não constante, cuja derivada fosse zero? Usando o Teorema do Valor Médio podemos provar que tal função estranha não existe. Podemos provar este resultado no corolário 1, onde nesse coralário e nos demais, vamos considerar f e g contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis em (a, b). Corolário 1 (Funções com derivada zero) Se f ′(x) = 0 em (a, b), então f é uma função constante em [a, b], isto é, existe um número real k, tal que, f(x) = k, qualquer que seja o ponto x de [a, b]. Demonstração. Seja x ∈ (a, b]. Apliquemos o teorema do valor médio em [a, b]. Então existe c ∈ (a, x), tal que, f(x) − f(a) = f ′(c)(x − a). Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 42 Como f ′(x) = 0 em (a, b), tem-se f ′(c) = 0. Assim, f(x) = f(a), para todo x em (a, b]. Porém, obviamente, esta igualdade vale para todo x em [a, b]. Assim, f é constante em [a, b]. Corolário 2 (Funções com derivadas iguais) Suponha que f ′(x) = g′(x) para todo x no intervalo (a, b). Então, f e g diferem por uma constante, isto é, existe um número real k, tal que f(x) = g(x) + k; para todo x em [a, b]. Demonstração. Considere a função h(x) = f(x) − g(x). Então, h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0, para todo x em (a, b). Logo, pelo Corolário 1, h(x) = k para todo x em [a, b] e alguma constante k real, ou seja, f(x) − g(x) = k, que é equivalente a f(x) = g(x) + k. Interpretação geométrica Como as duas funções f e g diferem por uma constante, o gráfico de f pode ser obtido a partir do gráfico de g, ou vice-versa, por uma translação vertical. Além disso, como estas funções têm a mesma derivada em cada ponto x de [a, b], seus gráficos têm retas tangentes paralelas nos correspondentes pontos (x, f(x))e(x, g(x)). Por isso estes gráficos são ditos paralelos. Figura 7 – Gráfico 5 Exemplo 5.1. Se f ′(x) = 3 sen x e f(0) = 2, determine a função f . Solução: Observe que a derivada da função g(x) = −3 cos x é f ′(x) = 3 sen x. Assim, f e g diferem por uma constante, isto é, f(x) = g(x) + k = −3 cos x + k, onde k é um número real qualquer. Como f(0) = 2, temos que f(0) = −3 + k = 2, ou seja, k = 5. Assim, Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 43 f(x) = −3 cos x + 5. Exemplo 5.2. Suponha que f ′(x) = k em um intervalo de [a, b], com k Ó= 0 real. Prove que f é uma reta. Solução: Seja g(x) = kx + b. Então, g′(x) = k. Logo, f e g diferem por uma constante, ou seja, f(x) = g(x) + c, onde c é real. Assim, f(x) = kx + b + c = kx + d, onde d = b + c. Logo, f é uma reta. Corolário 3 (Funçõescrescentes e decrescentes) i) Se f ′(x) > 0 para todo x em [a, b], então f é uma função crescente em [a, b]. ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em [a, b], então f é uma função decrescente em [a, b]. Demonstração. item i) Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo [m, n]. Como este intervalo está contido em [a, b], as hipóteses do teorema do valor médio continuam válidas em [m, n]. Assim, existe um ponto c em (m, n), tal que f(n) − f(m) = f ′(c)(n − m). Como, por hipótese, f ′(c) > 0 e (n − m) > 0, segue que f(n) − f(m) > 0 isto é, f(m) < f(n). Como m e n são pontos quaisquer em [a, b], segue que f é uma crescente em [a, b]. Demonstração. item ii) Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m > n. Aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo [m, n]. Como este intervalo está contido em [a, b], as hipóteses do teorema do valor médio continuam válidas em [m, n]. Assim, existe um ponto c em (m, n), tal que f(n) − f(m) = f ′(c)(n − m). Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 44 Como, por hipótese, f ′(c) < 0 e (n − m) < 0, segue que f(n) − f(m) > 0, isto é, f(m) < f(n). Como m e n são pontos quaisquer em [a, b], segue que f é uma decrescente em [a, b]. Exemplo 5.3. Seja f uma função de classe C1. Use o Teoema do Valor Médio para mostrar que se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), então f é constante no intervalo (a, b). Solução: Seja p ∈ (a, b) fixo. Dado x ∈ (a, b), com x Ó= p, usando o teorema do valor médio podemos garantir a existência de um ponto c (que depende de x) no intervalo aberto com extremidades p e x tal que f(x) − f(p) x − p = f ′(c). Como, por hipótese, f ′(c) = 0, segue que f(x)−f(p) x−p = 0. Logo, f(x) − f(p) = 0, isto é, f(x) = f(p), para todo x Ó= p. Isto mostra que f é constante no intervalo (a, b). Exemplo 5.4. Dada a função f(x) = x3 −5x2 −3x, comprove que as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas para a = 1 e b = 3. Então, encontre todos os números c no intervalo aberto (1, 3), tais que f ′(c) = f(3) − f(1) 3 − 1 . Solução: Como f é uma função polinomial, ela será contínua e derivável para todos os valores de x. Logo, as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para todo a e b. Temos: f ′(x) = 3x2 − 10x − 3 e f(1) = −7 e f(3) = −27. Logo, Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 45 f(3) − f(1) 3 − 1 = −27 − (−7) 2 = −10. Equacionando f ′(c) = −10, obtemos 3c2 − 10c − 3 = −10 3c2 − 10c + 7 = 0 (3c − 7)(c − 1) = 0 c = 7 3 e c = 1. Como 1 não está no intervalo aberto (1, 3), o único valor possível para c é 7 3 . 46 6 CONCLUSÃO Diante da importância da matemática no conhecimento humano e o cálculo como ramo dessa ciência, abordamos conhecimentos a respeito do seu nascimento dando enfoque aos principais percursores e alguns de seus feitos. Com o objetivo de fazer um estudo sobre o Teorema do Valor Médio e mostrar algumas de suas aplicações, nesse trabalho fizemos uma revisão a respeito de outros resultados matemáticos, como sequências, subsequências, derivadas, entre outros, com o intuito de possibilitar maior amadurecimento ao tema em estudo. Pesquisas como estas são fundamentais na área acadêmica, pois percebe-se que na Academia são utilizadas muitas fórmulas e teorias matemáticas, sem que haja na maioria das vezes preocupação com o que há por trás do surgimentos de tais resultados. O estudo do Teorema do Valor Médio é extremamente importante, pois esse é tido como peça fundamental para a obtenção do desfecho de outros resultados. 47 REFERÊNCIAS . ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução á Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1999. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. São Paulo: Saraiva S.A, 2006. LEITMOLD. Louis. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Editora Harbra ltda, 1994. MACIEL, A. Bezerra; LIMA, O. Alves. Introdução à análise real. Campina Grande: Eduepb, 2005. SANCHEZ, Dario. Joseph Louis Lagrange e o desenvolvimento da Mecânica Clássica. 2007. STEWART, James. Cálculo. 6.ed. São Paulo: Cengage Learning,2009. W.Bianchini, A.R.Santos. Capítulo 17, Teorema do Valor Médio Disponivel em: http://www.im.ufrj.br/ waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo17.pdf.Acessadoem03/03/2017.
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