Fórmula Integral de Cauchy

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Índice
1.Introdução:	3
1.1.2. Objetivo Geral:	3
1.1.3.Objetivos Específicos:	3
16.Considerações finais	16
17.Referências Bibliográficas	17
1.Introdução:
A teoria das funções complexas desempenha um papel crucial em várias áreas da matemática e da física, fornecendo ferramentas poderosas para entender e resolver uma variedade de problemas. Uma das ferramentas fundamentais nesse campo é a fórmula integral de Cauchy, que estabelece uma conexão profunda entre as propriedades analíticas de uma função complexa e o cálculo de integrais ao longo de curvas fechadas no plano complexo. Esta fórmula, desenvolvida por Augustin-Louis Cauchy no século XIX, tem aplicações em diversas áreas, incluindo teoria dos números, mecânica dos fluidos, teoria das cordas e análise complexa aplicada.
O objetivo deste estudo é explorar a fórmula integral de Cauchy e suas aplicações, fornecendo uma compreensão mais profunda de como calcular integrais de funções complexas ao longo de curvas fechadas no plano complexo. Além disso, pretende-se destacar a importância desta fórmula na resolução de problemas práticos e na compreensão de fenômenos físicos complexos.
1.1.2. Objetivo Geral:
· O objetivo geral deste estudo é investigar a fórmula integral de Cauchy e suas aplicações na teoria das funções complexas, fornecendo uma compreensão abrangente de como calcular integrais ao longo de curvas fechadas no plano complexo.
1.1.3. Objetivos Específicos:
· Explorar os fundamentos da teoria das funções complexas, incluindo conceitos como singularidades, resíduos e integrais de linha.
· Apresentar a fórmula integral de Cauchy e discutir suas condições de aplicabilidade.
· Aplicar a fórmula integral de Cauchy para calcular integrais de funções complexas em diversos contextos, destacando a importância dos resíduos no cálculo dessas integrais.
· Investigar aplicações da fórmula integral de Cauchy em áreas específicas, como física, engenharia e matemática aplicada.
1.a) Vamos calcular a integral ao longo de cada segmento
 Segmento AB: 
A integral ao longo do segmento AB pode ser calculada como:
Neste caso, então 
A equação da linha AB é 
Integrando z em relação a z de 0 a 1 (a diferença entre as coordenadas y de A e B):
+2x | =+2(1)- (+2(0)
Segmento BC: 
A integral ao longo do segmento BC será zero, pois ambos os pontos têm a mesma coordenada y. Portanto, z=1e a integral será:
Segmento CD:
A integral ao longo do segmento CD é o oposto da integral ao longo do segmento AB, porque estamos indo de z=1 para Z=0. Então, a integral ao longo do segmento CD será:
A integral ao longo da poligonal será a soma dessas integrais: 
Portanto, a integral ao longo da poligonal dada é 3.
1.b)
 Integral ao longo da semi-circunferência Para parametrizar a semi-circunferência, usamos a forma:
, onde varia de 0 a π para percorrer a metade superior da circunferência. Isso significa que . Então, a integral ao longo da semi-circunferência é:
=i
=i
=i
==
=
2.Integral ao longo do segmento de 0 a 3i:
O comprimento deste segmento é simplesmente a parte imaginária de é que 3, então a integral ao longo deste segmento é simplesmente 3i. 
1. a) Calcule a integral .
Resolução: 
Onde C é um contorno que não passa pelo terceiro quadrante, podemos usar o Teorema do Resíduo, desde que o contorno não inclua nenhum ponto singular de no interior dele.
Dado que tem uma singularidade em , o contorno deve evitar esse ponto.
2.b) A integral ao longo de C pode ser escrita como a soma das integrais ao longo de C1​ e C2​:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
1.Integral ao longo de :
Parametrizamos como onde r é o raio da curva e varia de a 0 para percorrer o primeiro quadrante. Entao , e a integral se torna:
. 
Integral ao longo de C2​:
..dt=
Agora, somamos as duas contribuições:
Dependendo do valor de R, esta é a solução final. Se R for finito, a resposta estará em termos de ln(R). 
3.a) 
Agora, aplicamos os limites de integração 3 e .
=
=
Portanto, a integral , é igual a 
3.b)
Resolução:
Para calcular a integral dada , primeiro devemos entender que o caminho de integração vai de π até iπ no plano complexo. Isso pode ser interpretado como uma linha reta do ponto π até o ponto iπ no plano complexo.
Vamos parametrizar essa linha reta de π até iπ. A parametrização pode ser feita usando a forma paramétrica de uma linha reta:
, onde t varia de 0 a 1.
Primeiro, encontramos a derivada de :
 =
= 
= 
= 0
Portanto, a integral ao longo do contorno de π até iπ é zero. Isso indica que o caminho de integração escolhido não influencia o valor da integral.
4.a) Resolução:
Para calcular a integral , primeiro vamos encontrar uma primitiva para a função . Em seguida, utilizaremos o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral.
=
Portanto, a integral ao longo do caminho de −i até i é zero. Isso significa que a contribuição dos dois ramos (de −i a i) se cancela mutuamente, resultando em um valor total de integral de zero.
4.b) Resolução:
Para calcular a integral , precisamos encontrar uma primitiva para a função e, em seguida, aplicar o teorema fundamental do cálculo.
Primeiro, expandimos a expressão: .
A primitiva de é −zcos(z)+sin(z), e a primitiva de isin(z) é icos(z). Portanto, a primitiva para (z+i)sin(z) é −zcos(z)+(1+i)sin(z).
Substituindo os limites de integração, obtemos: 
Simplificando, temos: 
Os valores de cos(i) e sin(i) são complexos, e podemos usar as definições dessas funções para calcular seus valores. 
Substituindo esses valores na expressão da integral, obtemos:
Como o segundo termo é zero, a integral se reduz a:
4.c) Resolução:
Para calcular a integral , primeiro precisamos encontrar uma primitiva para a função zln(z). Em seguida, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral.
Usando integração por partes com u=ln(z) e dv=zdz, obtemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, podemos calcular a integral definida:
Agora, precisamos calcular ln(i) Sabemos que , então ln(,
Substituindo na integral, obtemos:
Portanto, o valor da integral é 
4.d) Resolução:
Podemos começar procurando por uma primitiva para Uma maneira de fazer isso é substituir u=1+z, então z=u-1 e dz=du
 
Aplicando a fórmula de integração por partes:
 
Substituindo u=1+z, obtemos a primitiva:
Portanto, o valor da integral é .
5.a) Resolução:
Para calcular a integral dada utilizando a fórmula integral de Cauchy, primeiro precisamos verificar se a função é analítica no interior da curva ∣z+i∣=1.
A função possui singularidades em z=i e z=-i Como ambas as singularidades estão dentro da curva ∣z+i∣=1, a função é analítica em todo o interior da curva.
Portanto, podemos usar a fórmula integral de Cauchy para calcular a integral:
Podemos usr a identidade sin(z)=sen(x+iy)=sem(x)cos(h)+icos(x) para simplificar.
Agora, substituindo z=i na expressão acima, obtemos:
5.b) Resolução:
Para calcular essa integral usando a fórmula integral de Cauchy, primeiro, precisamos encontrar os polos da função que estão dentro da curva ∣z∣=2.
Os polos da função são os valores de que tornam o denominador zero. Assim, precisamos resolver a equação para encontrar os polos.
A equação pode ser fatorada como (z−1)(z−3)=0. Portanto, os polos da função são z=1 e z=3
Substituindo z=1
Para z=3
Substituindo z=3
Agora, podemos calcular a integral:
16. Considerações finais
Em suma, este estudo destacou a importância e as aplicações da fórmula integral de Cauchy na teoria das funções complexas. Através de exemplos práticos e análise teórica, foi possível demonstrar como essa fórmula fornece uma ferramenta poderosa para calcular integrais ao longo de curvas fechadas no plano complexo, revelando uma profunda conexão entre as propriedades analíticas das funções complexas e o comportamento de suas integrais. Espera-se que este estudo contribua para uma compreensão mais profunda da teoria das funções complexas e inspire futuras pesquisas sobre este fascinante campo da matemática.17. Referências Bibliográficas 
Ahlfors, L. V. (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. McGraw-Hill.
Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2009). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill Education.
Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1999). Basic Complex Analysis. W. H. Freeman and Company.
Saff, E. B., & Snider, A. D. (2002). Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics. Prentice Hall.