APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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VARIÁVEIS
COMPLEXAS
Tiago Loyo Silveira
 
Álgebra e geometria dos 
números complexos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar a álgebra dos números complexos.
  Efetuar as operações algébricas dos números complexos.
  Definir a geometria dos números complexos.
Introdução
O advento da unidade imaginária i possibilitou não apenas a representação 
algébrica de um número complexo, mas também a representação de 
raízes negativas de uma forma geométrica. Com isso, mais aplicações 
para os números complexos surgiram. Foi possível, por exemplo, que 
polinômios de raízes não reais fossem representados no plano cartesiano. 
A álgebra moderna também incorporou os números complexos para 
representar vetores.
Neste capítulo, você verá mais sobre as características algébricas e 
geométricas de um número complexo. Avançaremos em nossos estudos 
pelas operações com os números complexos e as suas representações 
geométricas.
Álgebra dos números complexos
Sejam m e n números reais, podemos escrever m e n na forma de pares orde-
nados (m, 0) e (n, 0). Observe que as operações abaixo entre os números reais 
m e n são fechadas, ou seja, conservam o resultado no conjunto dos reais.
Igualdade:
(m, 0) = (n, 0) se, e somente se, m = n
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Adição:
(m, 0) + (n, 0) + (m + n, 0 + 0) = (m + n, 0)
Multiplicação:
(m, 0).(n, 0) = (m.n – 0.0, m.0 + 0.n) = (m.n, 0)
Nas operações descritas acima, todas as coordenadas y nos pares ordenados 
são iguais a zero. Portanto, os números (m, 0) e (n, 0) podem ser representados 
no eixo das abscissas, que é a reta real, ou seja, os números (m, 0) e (n, 0) 
podem ser escritos simplesmente como m e n, respectivamente.
No entanto, se um par ordenado possui coordenada y ≠ 0, não pode ser 
representado no eixo das abscissas. Portanto, na forma algébrica a + bi, onde 
o coeficiente a representa a parte real, b a parte imaginária e i a unidade 
imaginária, com b ≠ 0, esse número será um complexo.
Operações com números complexos
Potências da unidade imaginária
A defi nição do comportamento das potências de i comtempla as potências 
dos complexos z = a + bi, uma vez que temos uma potência de um binômio, 
no que se segue. Observe:
, já que todo número elevado a zero é igual a 1;
, já que todo número elevado a 1 é igual a si mesmo;
, já que por definição, ;
;
;
;
;
;
.
[...]
Sendo , de um modo geral, temos:
Álgebra e geometria dos números complexos2
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Ou seja, as potências , sendo , são obtidas por meio dos restos da 
divisão por 4, sendo possível apenas os resultados 1, i, -1, -i. Veja o exemplo 
abaixo.
Qual é o resultado de ?
Solução:
Adição e subtração
Sejam os números complexos e . A adição e sub-
tração são feitas entre as partes reais e as partes imaginárias separadamente. 
Dessa forma, temos:
Multiplicação
Sejam os números complexos e . O produto entre 
números complexos atende a defi nição de produto entre pares ordenados. 
Dessa forma, temos:
Outra maneira de realizar o produto é utilizando a propriedade distributiva 
e as propriedades de potência da unidade imaginária. Assim, temos:
3Álgebra e geometria dos números complexos
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Acompanhe o exemplo abaixo.
(4 – i).(3 + i) = (4.3 – (– 1).1) + (4.1 + (–1).3)i = (12 + 1) + (4 – 3)i = 13 + i
Divisão
Para defi nir a divisão dos complexos, antes precisamos defi nir o conjugado de 
um número complexo. Seja um número complexo. Dizemos que 
a − bi é o conjugado de . Representamos com . Os conjugados possuem 
as propriedades a seguir.
O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados:
O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados:
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real 
não negativo.
, 
que é um número real positivo.
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é denominado 
norma de um número complexo. Portanto, dizemos que um número complexo 
z = a + bi foi normalizado, se ele foi escrito na forma:
.
Sejam dois números complexos e , sendo . Obter o quociente 
da divisão de por significa encontrar um número complexo , tal que 
. Dessa forma, escrevendo na sua forma algébrica, temos:
Veja o exemplo abaixo.
Álgebra e geometria dos números complexos4
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Da igualdade de complexos, temos que:
Portanto, e .
Uma outra maneira de realizar a divisão de complexos e , sem precisar 
do uso de sistemas, é multiplicar e pelo conjugado de . Considere 
o exemplo abaixo.
Geometria dos números complexos
Dois eixos ordenados, centrados e perpendiculares na origem (0,0) defi nem o 
plano cartesiano. De forma semelhante, defi niremos um plano para representar 
os números complexos. Para todos os fi ns, é similar ao plano cartesiano, mas 
o eixo x será chamado de eixo real (Re) e vai representar a coordenada real 
de um número complexo, e o eixo y será chamado de eixo imaginário (Im), 
representando a coordenada imaginária de um número complexo.
O plano de representação dos números complexos é chamado de plano de 
Argand-Gauss. Dessa forma, cada número complexo z = a + bi representa um 
ponto P nesse plano. O plano de Argand-Gauss, ou plano complexo, também é 
muito utilizado para representar vetores bidimensionais. O ponto P é chamado 
de afixo do número complexo z.
5Álgebra e geometria dos números complexos
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Figura 1. Plano de Argand-Gauss.
Módulo de um número complexo
A distância de um ponto P até a origem do plano é denominada módulo de um 
número complexo. Representamos por ou pela letra grega (rô).
Sendo , o módulo de um número complexo é dado por:
Figura 2. Módulo de um número complexo.
Álgebra e geometria dos números complexos6
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O módulo do número complexo z = 5 +12i será:
Figura 3. Módulo de um número complexo.
Argumento de um número complexo
Sendo o módulo de um número complexo a distância entre a origem e um 
ponto P, então, se as coordenadas de P variam de forma que seja constante, 
então teríamos uma circunferência centrada na origem. Dessa forma, um 
número complexo pode ser representado ou parametrizado de acordo com 
o ângulo formado entre e o eixo real. Essa abertura recebe o nome de 
argumento de um número complexo, indicada por arg (z), com medida no 
intervalo . O argumento terá sentido anti-horário com o seu 
sentido positivo.
7Álgebra e geometria dos números complexos
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Figura 4. Argumento de um número complexo.
Portanto, as coordenadas de um número complexo podem ser dadas em 
função do arco .
Qual é o argumento do número complexo z = −1 + i?
Solução:
Temos que 
Dessa forma, o arco com e é o arco de 135º ou .
Álgebra e geometria dos números complexos8
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Forma trigonométrica de um número complexo
Como consequência do que vimos até aqui, os números complexos podem ser 
apresentados, além da sua forma algébrica, em uma forma trigonométrica. 
Das razões trigonométricas abaixo, temos que:
Aplicando as relações obtidas vindas do plano de Argand-Gauss na forma 
algébrica z = a + bi, obtemos:
, com 
A forma trigonométrica, também chamada de polar, possui aplicações 
diversas, além de facilitar os cálculos de potências de números complexos.
Figura 5. Representação de uma circunferência de 
raio |z|.
9Álgebra e geometria dos números complexos
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Potenciação de um número complexo
Apesar de ser uma operação com número complexo, deixamos para descrevê-
-la somente agora, pois a forma trigonométrica nos facilitará sobremaneira 
nesse processo.
Para elevar um número complexo z ≠ 0 a um expoente , escrevemos 
z na sua forma trigonométrica.Elevamos o módulo ao expoente n, e os 
argumentos serão multiplicados por n. Dessa forma, temos:
Essa fórmula é denominada 1ª Lei de De Moivre, em homenagem ao 
matemático francês Abraham de Moivre. Se z = 0, então, qualquer que seja 
n, teremos .
Moivre formulou ainda, fórmulas para o produto, quociente e para raízes, todas utili-
zando sua forma polar (MAPLI, 2018; FÓRMULA, 2017):
https://goo.gl/BB4aXi
https://goo.gl/zpq7ui
Veja mais sobre o plano complexo e as suas peculiaridades (PLANO, 2016):
https://goo.gl/nFThNv
Assista a uma aula sobre produto de números complexos (O MATEMÁTICO, 2014):
https://goo.gl/pMoN5g
Álgebra e geometria dos números complexos10
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https://goo.gl/BB4aXi
https://goo.gl/zpq7ui
https://goo.gl/nFThNv
https://goo.gl/pMoN5g
1. Para que (6 – 3i).(k + 6i) seja um 
número real, o valor de k deverá ser:
a) k = 0.
b) k= -12.
c) k= 12.
d) k = 18.
e) k = -18.
2. Sendo i a unidade imaginária 
do conjunto dos números 
complexos, o valor da expressão 
 é:
a) 1024i.
b) 0.
c) -512i.
d) 512i.
e) -1024i.
3. Observe o plano de Argand-Gauss 
representado abaixo, onde A é afixo 
do número complexo z = a + bi. 
Qual é a diferença entre z e ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Sendo , unidade 
imaginária do conjunto dos 
números complexos, qual o valor 
da expressão ?
a) 2i.
b) i.
c) –2i.
d) –i.
e) 0.
5. Qual o argumento do número 
complexo ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
11Álgebra e geometria dos números complexos
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FÓRMULA DE DE MOIVRE. Wikipédia, Flórida, 2017. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre>. Acesso em: 21 fev. 2018. 
MAPLI. Fórmulas de De Moivre. Matika, Jundiaí, 2018. Disponível em: <http://www.
matika.com.br/numeros-complexos/formulas-de-de-moivre>. Acesso em: 21 fev. 2018.
O MATEMÁTICO. Grings - Aula 5 - Produto de Números Complexos. YouTube, 2014. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ilNv7lVXpAY>. Acesso em: 21 
fev. 2018.
PLANO COMPLEXO. Wikipédia, Flórida, 2016. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/Plano_complexo>. Acesso em: 21 fev. 2018.
Leituras recomendadas
BARRETO FILHO, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula: volume único. São Paulo: 
FTD, 2005.
IEZZI, G. et al. Matemática: volume único. 6. ed. São Paulo: Atual, 2015. 
RIGONATTO, M. Plano de Argand-Gauss. Brasil Escola, Goiânia, 2018. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm>. Acesso em: 
21 fev. 2018.
Álgebra e geometria dos números complexos12
Cap_2_Variaveis_Complexas.indd 12 01/03/2018 16:51:39
https://pt.wikipedia/
http://matika.com.br/numeros-complexos/formulas-de-de-moivre
https://www.youtube.com/watch?v=ilNv7lVXpAY
https://pt.wikipedia/
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Conteúdo:
ÁLGEBRA LINEAR
André Ricardo Rocha da Silva
Introdução ao estudo 
das matrizes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir matriz e seus elementos, classificação e relacioná-la com tabelas 
utilizadas no dia a dia.
 � Realizar as operações de adição, subtração, produto por escalar, trans-
posição e multiplicação de matrizes.
 � Resolver problemas aplicados envolvendo operações com matrizes.
Introdução
As matrizes são ferramentas matemáticas muito úteis para organizar e 
processar informações. Por isso, elas estão frequentemente presentes 
em várias áreas da ciência. 
Neste capítulo, você aprenderá a construir e classificar uma matriz, 
bem como manipulá-la algebricamente por meio das operações de 
soma, subtração e multiplicação (entre um escalar e uma matriz e entre 
matrizes). A partir disso, você aplicará esse conhecimento na resolução 
de problemas cotidianos por meio de matrizes. 
Definição e classificação de matrizes
Para que você desenvolva uma intuição inicial sobre matrizes, considere o 
seguinte exemplo hipotético: você e uma amiga são agentes autônomos e atuam 
em um escritório ofertando produtos financeiros a clientes que queiram investir 
na formação de poupança. Os produtos financeiros são: fundos de renda fixa 
(RF), fundos multimercado (M) e planos de previdência (P). Para o mês de 
janeiro, você e sua amiga elaboraram um quadro com o quantitativo (Quadro 1) 
que cada um ofertou desses produtos. 
RF M P
Você 14 10 12
Amiga 20 8 16
Quadro 1. Quantidade de cada produto financeiro ofertado
Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como:
 O arranjo acima corresponde a uma matriz, e cada número desse arranjo 
é denominado de elemento da matriz. Cada linha representa o quanto de cada 
produto financeiro você e sua amiga ofertaram — por exemplo, na segunda 
linha, é visto que sua amiga ofertou 20 fundos de renda fixa, 8 fundos multi-
mercado e 16 planos de previdência. Já cada coluna representa o quanto você 
e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto financeiro — por exemplo, a 
primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda fixa, e sua amiga 
ofertou 20 fundos desse mesmo tipo.
Dessa forma, uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de 
números dispostos regularmente em linhas e colunas. 
O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que 
ela contém. Assim, uma matriz é dita ser do tipo m × n (leia-se m por n) quando 
ela tem m linhas e n colunas. No exemplo anterior, a matriz que representa o 
quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de 
janeiro é do tipo 2 × 3 (m = 2 e n = 3). Consequentemente, pode-se desenvolver 
uma classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas. 
Introdução ao estudo das matrizes2
Matriz retangular
É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente, isto é, m ≠ n. 
A matriz a seguir é retangular, pois é do tipo 2 × 3:
Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte, que é uma matriz 
do tipo 3 × 2:
Matriz quadrada
É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = n. Esse 
é o caso de uma matriz do tipo 2 × 2:
Matriz coluna
É um caso particular de matriz retangular, composta por uma única coluna. 
Por isso, é do tipo m × 1. O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do 
tipo 3 × 1.
Uma matriz coluna pode representar as componentes de um vetor e, por isso, também 
é conhecida por vetor coluna.
3Introdução ao estudo das matrizes
Matriz linha
É outro caso particular de matriz retangular, pois é composta por uma única 
linha e, por isso, do tipo 1 × n. O exemplo a seguir mostra uma matriz linha 
do tipo 1 × 2.
[3 5]
Uma matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e, por isso, 
é conhecida por vetor linha.
Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz. 
Considere a matriz A dada por:
O elemento que aparece na intersecção da primeira linha, i = 1, com a 
segunda coluna, j = 2, é o número 0. Assim, ele pode ser representado de 
forma mais geral como a12 = 0. Dessa maneira, cada elemento da matriz é 
representado por uma “coordenada de localização” na matriz dada por aij, 
em que o índice i indica a linha, e o índice j indica a coluna em que se pode 
localizar um determinado elemento da matriz. 
Neste exemplo, os elementos da matriz são identificados como: a11 = 1, 
a12 = 0, a21 = 6 e a22 = 4. Ou seja:
Para a matriz do tipo 2 × 3 dada por:
Introdução ao estudo das matrizes4
os elementos da matriz são identificados como: a11 = –1, a12 = 4, a13 = 0, 
a21 = 1, a22 = –2 e a23 = 3.
Matriz diagonal
Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i = j, 
ou seja, a11, a22, a33, etc.
Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são 
todos nulos, isto é aij = 0 para i ≠ j, é dita ser diagonal. No exemplo a seguir, 
a matriz B é diagonal,pois os elementos b21 e b12 são nulos.
Matriz triangular
Há dois tipos de matriz triangular: a superior, em que os elementos abaixo da 
diagonal principal são nulos, ou seja,
e a inferior, em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, 
ou seja,
Matriz escalar
É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais.
5Introdução ao estudo das matrizes
Matriz identidade
É um caso particular da matriz escalar, pois todos seus elementos da diagonal 
principal são iguais à unidade, isto é, ajj = 1 para i = j. Uma notação convencional 
para a matriz identidade é rotulá-la por I. A matriz identidade do tipo 3 × 3 é:
e a matriz identidade do tipo 2 × 2 é:
Matriz transposta
Dada uma matriz A:
do tipo 2 × 3, a matriz transposta de A, denotada por AT, é obtida pela 
transposição entre a primeira linha e a primeira coluna, e entre a segunda 
linha e a segunda coluna, resultando em uma matriz do tipo 3 × 2:
A matriz transposta de A = 1 0
6 4
 é AT = 1 6
0 4
.
A matriz transposta de 
 2 –2 1
 3 0 7
–3 4 5
B = é 
 2 3 –3
–2 0 4
 1 7 5
BT = .
Introdução ao estudo das matrizes6
Matriz simétrica
Uma matriz quadrada é simétrica quando AT = A, o que implica na seguinte 
relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal: aij = aji. Por 
exemplo, a matriz a seguir é simétrica, uma vez que a12 = a21 = 3.
Em contrapartida, uma matriz quadrada é antissimétrica se AT = –A. Por 
exemplo, é antissimétrica, pois:
Matriz nula
É aquela matriz em que todos os elementos são nulos, isto é, aij = 0 para 
qualquer valor de i e j.
Operações com matrizes
Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes, você aprenderá como 
efetuar algumas operações importantes com matrizes, tais como: adição, 
subtração, multiplicação por um escalar e, finalmente, multiplicação entre 
matrizes. 
Igualdade 
Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho, e seus elementos 
são todos iguais. Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 × 2 são iguais, 
então aij = bij.
7Introdução ao estudo das matrizes
Se a matriz quadrada B do tipo 2 × 2, dada por B =
b11 b12
b21 b22
, for igual à matriz 
A = 1 0
6 4
, então é verdadeiro que:
=
b11 b12
b21 b22
1 0
6 4
implicando que b11 = 1, b12 = 0, b21 = 6 e b22 = 4. 
Se a matriz A = 1 2
0 1
 for igual à matriz C = x y
0 1
, então:
=1 2
0 1
x y
0 1
implicando que x = 1 e y = 2.
Adição 
A operação de adição entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada 
por meio da soma direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados 
em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, aij + bij. 
Dadas duas matrizes quadradas do tipo 2 × 2, A = 1 2
3 4
 e B = 2 5
3 3
, então o resultado 
da soma dessas duas matrizes, A + B, é:
A + B = + =1 2
3 4
2 5
3 3
3 7
6 7
Observe que:
 � a11 + b11 = 1 + 2 = 3
 � a12 + b12 = 2 + 5 = 7
 � a21 + b21 = 3 + 3 = 6
 � a22 + b22 = 4 + 3 = 7
Introdução ao estudo das matrizes8
A operação de adição tem duas propriedades importantes, descritas a seguir.
Propriedade comutativa
Dadas duas matrizes A e B, o resultado das somas A + B e B + A é igual.
A + B = B + A
Propriedade associativa
Dadas três matrizes A, B e C, o resultado da soma (A + B) com C é igual ao 
da soma de A com B + C.
(A + B) + C = A + (B + C)
Subtração 
A operação de subtração entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é 
realizada por meio da subtração direta dos elementos de cada matriz, que 
estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, aij – bij. 
Dadas duas matrizes quadradas do tipo 2 × 2, A = 4 8
3 5
 e B = 2 5
3 3
, então o resultado 
da subtração de A por B, A – B é:
A – B = – =4 8
3 5
2 5
3 3
2 3
0 2
Observe que:
 � a11 – b11 = 4 – 2 = 2
 � a12 – b12 = 8 – 5 = 3
 � a21 – b21 = 3 – 3 = 0
 � a22 – b22 = 5 – 3 = 2
9Introdução ao estudo das matrizes
A matriz resultante de operações de adição ou subtração terá sempre o mesmo 
tamanho das matrizes que foram usadas nessas operações. 
Multiplicação de uma matriz por um escalar
Um escalar é simplesmente um número puro (que também pode ser visto como 
uma matriz 1 × 1). Então, a multiplicação de uma matriz A por um escalar c 
qualquer implica que cada elemento da matriz será multiplicado pelo escalar, 
c isto é, caij. Por exemplo, se c = 2, então:
Observe que, nesse processo de multiplicação, a matriz resultante tem o 
mesmo tamanho da matriz original A.
A operação de multiplicação de uma matriz por um escalar apresenta 
algumas propriedades, que são descritas a seguir.
 � Dadas duas matrizes A e B e um escalar c, o resultado da multiplicação 
do escalar pela soma das matrizes, c(A + B), é igual à soma das matrizes 
já multiplicadas individualmente pelo escalar, cA + cB.
c(A + B) = cA + cB
 � Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da soma dos 
escalares multiplicado pela matriz, (c + d)A, é igual à soma da matriz 
multiplicada individualmente por cada um dos escalares, cA + dA.
(c + d)A = cA + dA
 � Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da multiplicação 
de um escalar pela matriz já multiplicada pelo outro escalar, c(dA), é 
igual ao produto dos escalares multiplicado pela matriz, (cd)A.
c(dA) = (cd)A
Introdução ao estudo das matrizes10
Multiplicação entre matrizes
A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção. 
A única condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes, A e B, 
é que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da 
matriz B. Assim, se a matriz A é do tipo m × n, e a matriz B é do tipo p × q, 
então o produto AB entre as matrizes somente ocorre se n = p. Além disso, 
o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será uma nova 
matriz do tipo m × q, ou seja, com o mesmo número de linhas da matriz A, mas 
com o mesmo número de colunas da matriz B. Em particular, para o caso de 
duas matrizes quadradas de mesmo tamanho, a matriz resultante do produto 
entre elas será do mesmo tamanho que elas. 
A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com 
o número de linhas da outra decorre da necessidade de se envolver um mesmo 
número de elementos para multiplicação entre as matrizes. 
Considere o seguinte exemplo: uma matriz A do tipo 2 × 3, dada por:
e uma matriz B do tipo 3 × 1, dada por:
Como o número de colunas de A, que é 3, é igual ao número de linhas 
de B, que também é 3, essa multiplicação é possível. Observe também que a 
multiplicação de uma matriz do tipo 2 × 3 (A) por uma matriz do tipo 3 × 1 (B) 
resulta em uma matriz do tipo 2 × 1 (AB).
Operacionalmente, a multiplicação ocorre da seguinte maneira: multiplica-
-se a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B, elemento por elemento 
na ordem que estão dispostos — primeiro elemento da primeira linha de A, 
1, com o primeiro elemento da coluna de B, 2, segundo elemento da primeira 
linha de A, 1, com o segundo elemento da coluna de B, 3, e assim por diante — 
somando-se os produtos individuais desses elementos, 1 ∙ 2 + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 7, 
cujo resultado será o primeiro elemento da matriz coluna resultante do pro-
duto entre A e B. Repete-se o mesmo procedimento para a segunda linha da 
matriz A, multiplicando-a com a primeira coluna da matriz B, cujo resultado, 
2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 13, corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna 
resultante do produto entre A e B. Veja:
11Introdução ao estudo das matrizes
Agora, considere uma nova matriz A do tipo 1 × 2, dada por:
[1 3]
e uma nova matriz B do tipo 2 × 2, dada por:
Nesse caso, o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma 
matriz do tipo 1 × 2. Agora, para você calcular o produto AB, deve multiplicar 
a linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B, 1 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 8, cujo 
resultado fornece o primeiro elemento da matriz linha resultante do produto 
entre A e B. O segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da 
linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B, 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 6. Veja:
O último tipode multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre 
duas matrizes quadradas. Considere duas matrizes do tipo 2 × 2, dadas por:
A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do 
tipo 2 × 2 e é operacionalmente obtida como:
Logo:
Introdução ao estudo das matrizes12
1. A multiplicação de uma matriz quadrada A pela matriz identidade I de mesmo 
tamanho é igual à própria matriz A. Se A = 3 2
–1 5
, então o produto AI fica sendo:
AI = = 3 2
–1 5
 3 2
–1 5
1 0
0 1
2. Considere duas matrizes quadradas do tipo 3 × 3, A = e B = .
 2 1 3
 1 0 1
 4 2 3
–1 3 0
 0 5 1
–2 2 2Então, o resultado produto entre elas, AB, é:
AB =
2 · (–1) + 1 · 0 + 3 · (–2) 2 · 3 + 1 · 5 + 3 · 2 2 · 0 + 1 · 1 + 3 · 2
1 · (–1) + 0 · 0 + 1 · (–2) 1 · 3 + 0 · 5 + 1 · 2 1 · 0 + 0 · 1 + 1 · 2
4 · (–1) + 2 · 0 + 3 · (–2) 4 · 3 + 2 · 5 + 3 · 2 4 · 0 + 2 · 1 + 3 · 2
AB =
 –8 17 7
 –3 5 2
–10 28 8
3. Se uma matriz A = 3 2
–1 5
 multiplica uma matriz B = 2 0
1 0
 que contém uma coluna 
(ou uma linha) inteira com elementos nulos, então o resultado será igual a uma matriz 
que também contém uma coluna (ou uma linha) inteira com elementos nulos:
AB = = 3 2
–1 5
8 0
3 0
2 0
1 0
A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas proprieda-
des importantes. Considere três matrizes A, B e C, cujos tamanhos permitem 
realizar as operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse.
Propriedade associativa
O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é 
igual ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C:
A(BC) = (AB)C
13Introdução ao estudo das matrizes
Propriedade distributiva
À direita: o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C 
é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C:
(A + B)C = AC + BC
À esquerda: o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes 
B e C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C:
A(B + C) = AB + AC
Contudo, vale a pena observar que, em geral, o produto entre duas matrizes 
não é comutativo, isto é, AB ≠ BA (note que o produto entre dois escalares é 
sempre comutativo, ou seja, 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2 = 6). 
Para que você entenda isso, considere duas matrizes quadradas do tipo 2 × 2:
 e 
O produto AB é dado por:
O produto BA é dado por:
Logo, quando você compara elemento por elemento em cada uma das 
matrizes resultantes de AB e BA (por exemplo, (AB)11 = a11 ∙ b11 + a12 ∙ b21 ≠ 
a11 ∙ b11 + a21 ∙ b12 = (BA)11), você percebe que eles são todos diferentes. 
No entanto, a partir desse tratamento geral para o produto de duas matri-
zes, é possível extrair algumas condições particulares que possibilitam gerar 
AB = BA. Uma primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz 
identidade. Por exemplo, se B = I, então o produto entre A e I será comutativo:
Introdução ao estudo das matrizes14
(Faça b11 = b22 = 1 e b12 = b21 = 0 nos resultados acima de AB e BA.)
A segunda condição particular é aquela em que as duas matrizes são 
diagonais, ou seja, . Nesse caso, o produto entre 
as duas matrizes é comutativo, pois:
(Faça a12 = a21 = 0 e b12 = b21 = 0 nos resultados acima de AB e BA.)
Equação matricial
Uma equação matricial é uma relação de igualdade entre duas ou mais matrizes, 
assim como ocorre com os escalares — por exemplo, 2x – 4 = 0.
Algumas equações matriciais típicas são: A + B = C; A – 2B = 3C; 
AX = B; A² = X; e assim por diante.
1. Dadas as matrizes A = 3 2
–1 5
, B =
x y
z t e C =
0 –1
1 2
, é possível encontrar os 
valores dos elementos da matriz B que satisfaçam a equação matricial 2A + B = C. Veja:
=+
0 –1
1 2
x y
z t
2A + B = C � 2 3 2
–1 5
=+
0 –1
1 2
x y
z t
 6 4
–2 10
=
0 –1
1 2
 6 + x
–2 + z
 4 + y
10 + t
Agora, como os elementos da matriz do lado esquerdo devem ser iguais aos da 
matriz do lado direito, você tem simplesmente quatro equações escalares para as 
variáveis x, y, z e t: 6 + x = 0, então x = –6; 4 + y = –1, então y = –5; –2 + z = 1, então z = 3; 
e 10 + t = 2, então t = –8.
15Introdução ao estudo das matrizes
2. Dadas as matrizes A =
a11 a12
a21 a22
, X =
x
y e B =
b1
b2
, a equação matricial AX = B 
resulta em um sistema de duas equações lineares para as variáveis x e y. Veja:
AX = B →
a11 a12
a21 a22
x
y =
b1
b2
a11x + a12y
a21x + a22y
=
b1
b2
Ou seja:
a11x + a12y
a21x + a22y
=
b1
b2{
Um exemplo típico desse tipo de sistema é o seguinte:
3x – y = 2
x + 4y = 1{
onde, nesse caso, você pode identificar a matriz A como sendo 3 –1
1 4
, e a matriz 
B como sendo 2
1
.
Aplicações com matrizes
Reconsidere o exemplo discutido no início deste capítulo, em que você e 
sua amiga são agentes autônomos. A matriz que representa o quantitativo 
de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é:
Para o mês de fevereiro, o quantitativo de produtos financeiros ofertados 
por você e sua amiga é:
Introdução ao estudo das matrizes16
Portanto, a quantidade de diferentes produtos financeiros que vocês ofer-
taram nesses dois meses é:
Logo, você ofertou 24 fundos de renda fixa e fundos multimercado, en-
quanto sua amiga ofertou 30 fundos de renda fixa e 22 fundos multimercados. 
Agora, considere que vocês recebem uma comissão para cada produto 
financeiro ofertado. Para fundos de renda fixa, a comissão é de R$ 100,00 por 
produto ofertado. Já para os fundos multimercados e os planos de previdência, 
as comissões são, respectivamente, de R$ 120,00 e R$ 150,00 por produto 
ofertado. Para saber o valor total que cada um de vocês receberá de comissão 
ao final desses dois meses, basta primeiro criar uma matriz do tipo 3 × 1, em 
que cada elemento será o valor da comissão para cada produto. Assim:
Depois, você pode multiplicar o resultado da soma das matrizes A e B, ou 
seja, A + B, com a matriz C:
Portanto, nesses dois meses, você receberá um total de R$ 9.330,00 de 
comissão, e sua amiga receberá um total R$ 9.840,00.
17Introdução ao estudo das matrizes
Como exemplo adicional de multiplicação de matrizes, considere uma matriz A do 
tipo 2 × 2 dada por:
A =
a11 a12
a21 a22
e a matriz identidade I, também do tipo 2 × 2:
1 0
0 1
I =
Então, o resultado do produto AI será:
AI =
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
1 0
0 1
=
Ou seja, AI = A. Esse resultado é válido para qualquer tipo de matriz quadrada A, 
do tipo m × m, desde que a matriz identidade também tenha o mesmo tamanho. 
Verifique também que IA = A. 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2003.
CRISPINO, M. L. 320 questões resolvidas de álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Mo-
derna, 2012.
Introdução ao estudo das matrizes18
ÁLGEBRA LINEAR
André Ricardo Rocha da Silva
Inversão de matrizes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular a inversa de uma matriz utilizando operações elementares 
com suas linhas.
 � Utilizar o produto de matrizes para escrever um sistema de equações 
lineares em forma de uma única equação matricial.
 � Resolver um sistema linear com o uso da matriz inversa.
Introdução
Os sistemas de equações lineares são conjuntos de equações lineares que 
envolvem várias incógnitas simultaneamente e que podem ser represen-
tados por uma equação matricial. Essa representação matricial permite 
obterá obtenção da solução de um sistema linear de equações por meio 
do cálculo da matriz inversa dos coeficientes do sistema.
Neste capítulo, você aprenderá a calcular a matriz inversa e a escrever 
um sistema de equações lineares como uma equação matricial e, a partir 
daí, a resolver esse sistema de equações lineares usando o método da 
matriz inversa.
Inversa de uma matriz
Uma operação simples na álgebra de escalares é a divisão de um número 
por ele mesmo, cujo resultado é igual à unidade. Assim, se N é um númeroqualquer e , então:
Por exemplo, para N = 3:
Aqui, o número N–1 representa o inverso do número N, de modo que qualquer 
número multiplicado por seu inverso será igual à unidade. 
Esse conceito também pode ser estendido para as matrizes com a devida 
adaptação. Com efeito, se A for uma matriz quadrada, e B for outra matriz 
quadrada de mesmo tamanho, então, a verificação de uma relação do tipo:
AB = BA = I
onde I é a matriz identidade, implica necessariamente que B é a matriz 
inversa de A. Desse modo, você pode fazer a seguinte identificação: B = A–1.
Logo:
AA–1 = A–1A = I
No entanto, vale a pena fazer a seguinte ressalva: diferentemente dos 
escalares, não existe a relação para matrizes, ou seja, não é possível 
dividir algo (um escalar ou mesmo uma matriz) por uma matriz.
 Para exemplificar como o conceito de matriz inversa pode ser visto, con-
sidere a matriz A dada por:
cuja matriz inversa é a B:
pois:
Inversão de matrizes2
Para o caso de uma matriz quadrada do tipo 2 × 2, é possível desenvolver 
uma solução geral para se determinar sua inversa. Sejam a, b, c e d os ele-
mentos de uma matriz A:
e sejam x, y, z e t os elementos da matriz inversa de A:
que são, em princípio, desconhecidos. A fim de se determinar os elementos 
dessa matriz inversa, a partir do conhecimento dos elementos de A, é necessário 
que a seguinte relação seja verificada: 
A relação anterior conduz a um conjunto de quatro equações a quatro 
variáveis, x, y, z e t, pois os elementos a, b, c e d são supostamente conhecidos 
a partir de uma dada matriz A. Logo:
ax + cy = 1
bx + dy = 0
az + ct = 0
bz + dt = 1
A partir das duas primeiras equações, determina-se x e y (por exemplo, 
basta isolar a variável x na primeira equação, e substituir na segunda, 
, obtendo-se a variável y, que, depois, pode ser substituída 
na primeira equação, a fim de se obter x). Desse modo:
A partir das duas últimas equações, determinam-se z e t (por exemplo, 
basta isolar a variável z na terceira equação, z = (–ct)/a, e substituir na quarta, 
(–bct/a) + dt = 1, obtendo-se a variável t, que, depois, pode ser substituída na 
terceira equação, a fim de se obter z). Desse modo:
3Inversão de matrizes
Como o fator é comum a todos os elementos da matriz inversa, 
você pode fatorá-lo na montagem da matriz inversa, de maneira que:
No exemplo inicial proposto, os elementos da matriz A eram a = 3, b = 
5, c = 1 e d = 2, e, portanto, pelo resultado anterior, a matriz inversa ficaria:
que é exatamente a matriz B, inicialmente considerada como sendo a 
matriz inversa de A. 
Uma consequência direta desse resultado para uma matriz do tipo 2 × 2 é 
que a matriz inversa existe somente se o denominador (ad – bc) for diferente 
de 0. Observe que a quantidade (ad – bc) nada mais é que o determinante da 
matriz A. Caso contrário, se (ad – bc) = 0, a matriz inversa não existe, pois 
todos os elementos da matriz inversa estariam divididos por 0. Nesse sentido, 
diz-se que a matriz é invertível. 
Se uma matriz A admite a existência de uma matriz inversa A–1, então, A–1 é única, não 
havendo outra matriz inversa para A. 
Existem algumas propriedades envolvendo as matrizes inversas que valem 
a pena ser conhecidas.
Propriedade 1
Se uma matriz A contém uma inversa A–1, então, a inversa da matriz inversa 
é a própria matriz A:
(A–1)–1 = A 
Inversão de matrizes4
No exemplo apresentado, você viu que:
Então, calculando a inversa dessa matriz A–1:
que é exatamente a matriz A.
Propriedade 2
Considere duas matrizes A e B, ambas invertíveis, então, a inversa do produto 
entre elas, AB, será igual ao produto das inversas de B e A, B–1A–1:
(AB)–1 = B–1A–1
Por exemplo, para as matrizes:
as respectivas matrizes inversas são:
Já o produto entre as matrizes A e B é:
Então, a matriz inversa desse produto é:
5Inversão de matrizes
Mas o produto da matriz inversa de B, B–1, com a matriz inversa de A, A–1, 
também resulta em:
Logo, nesse exemplo, verifica-se a validade da expressão (AB)–1 = B–1A–1.
Propriedade 3
Se A é uma matriz quadrada, então, o produto de n vezes ela mesma, , 
será igual a An. Além disso, se a matriz inversa de A existe, então, a matriz An 
também contém uma inversa, que é dada por:
(An)–1 = (A–1)n 
Por exemplo, para n = 2 e a matriz:
cuja inversa é:
você tem que o quadrado de A é:
e a inversa dessa matriz é dada por:
No entanto, o quadrado da matriz A–1 é:
que é exatamente igual a (A2)–1. Logo, verifica-se explicitamente que 
(A2)–1 = (A–1)2.
Inversão de matrizes6
Matriz ortogonal
Uma matriz A é dita ortogonal se sua matriz transposta é igual à sua matriz 
inversa: 
AT = A–1 
Assim como A–1A = AA–1 = I, para uma matriz ortogonal, vale também:
ATA = AAT = I
Um bom exemplo de matriz ortogonal surge na física, envolvendo a rotação 
de corpos rígidos ou sistemas de referência no plano. Nesse caso, a matriz de 
rotação é dada por:
A matriz transposta de R (obtida trocando a primeira linha pela primeira 
coluna, e a segunda linha pela segunda coluna) é:
Então, efetuando o produto entre R e RT, você tem:
em que se empregou a identidade trigonométrica sen2θ + cos2θ = 1. 
Similarmente:
Embora o resultado obtido para encontrar a matriz inversa de uma matriz 
do tipo 2 × 2:
7Inversão de matrizes
seja muito útil e relativamente fácil de ser construído, desenvolver o mesmo 
procedimento que conduziu a esse resultado para obter a matriz inversa de 
matrizes de tamanhos maiores pode ser algo extremamente trabalhoso. 
Outro método que você pode utilizar para encontrar a matriz inversa de 
matrizes de qualquer tamanho envolve apenas operações elementares sobre 
linhas. 
A ideia básica é perfilar, lado a lado, uma matriz A que se quer determinar a 
inversa, e a matriz identidade I, ambas de mesmo tamanho, da seguinte maneira:
[A|I]
Se você multiplicar essa relação por A–1 pela esquerda, você tem:
Observe atentamente que essa operação fez com que, no lado esquerdo, 
aparecesse a matriz identidade, mas, principalmente, do lado direito, surge 
a matriz inversa de A.
Portanto, se você executar operações elementares entre linhas, tal como 
multiplicar uma linha por uma constante ou somar uma linha com outra linha, 
de modo a transformar a matriz A do lado esquerdo em uma matriz identidade, 
então, a matriz resultante que aparece no lado direito após esse processo é 
essencialmente a matriz inversa de A:
[I|A–1]
Como um primeiro exemplo sobre esse método, considere novamente a 
matriz A dada no exemplo inicial deste capítulo:
Fazendo o perfilamento entre A e I, você tem:
Agora, você deve efetuar algumas operações elementares sobre essa "matriz 
2 × 4", a fim de transformar o bloco 2 × 2 do lado esquerdo em uma matriz 
identidade. 
Inversão de matrizes8
Para isso, multiplique toda a segunda linha por –3:
–3 ∙ [1 2|0 1] = [–3 –6|0 –3]
E a nova segunda linha fica:
Então, some os elementos da primeira linha com os da segunda, um a um, 
mantendo a mesma ordem:
[3 5|1 0] + [–3 –6|0 –3] = [0 –1|1 –3]
Esses resultados vão compor a nova segunda linha:
Multiplique a segunda linha por –1:
–1 ∙ [0 –1|1 –3] = [0 1|–1 3]
E a nova segunda linha fica:
Note que a segunda linha do lado esquerdo já tem a aparência da segunda 
linha de uma matriz identidade. Agora, multiplique a segunda linha por –5 e, 
depois, some com a primeira linha:
–5 ∙ [0 1|–1 3] + [3 5|1 0] = [3 0|6 –15]
E a nova primeira linha fica:
Por fim, divida toda a primeira linha por:
9Inversão de matrizes
E a nova primeira linha fica:
Observe que, do lado esquerdo, apareceu a matriz identidade. Portanto, 
do lado direito dessa relação, você tem exatamente a matriz inversa de A:
Esse resultado para a matriz inversa de certamente já era esperado, pois ele 
já foi obtido de outra maneira no início desta seção. No entanto, exatamente 
por já ser um resultado conhecido, você pode desenvolver a aplicação desse 
método de obtenção da matriz inversa com mais segurança. 
A partir deste ponto, você já tem condições de empregar o método de 
inversãode matrizes para matrizes maiores que uma do tipo 2 × 2. Essa é a 
grande vantagem desse método.
Então, para um segundo exemplo de uso do método, considere a seguinte 
matriz quadrada do tipo 3 × 3:
Para você encontrar C–1, é necessário perfilar a matriz C com a matriz 
identidade de mesmo tamanho:
Multiplique a primeira linha por –1 e some com a última linha:
–1 ∙ [1 2 3|1 0 0] + [1 0 8|0 0 1] = [0 –2 5|–1 0 1]
E a nova terceira linha fica:
Inversão de matrizes10
Agora, multiplique a primeira linha por –2 e some com a segunda linha:
–2 ∙ [1 2 3|1 0 0] + [2 5 3|0 1 0] = [0 1 –3|–2 1 0]
E a nova segunda linha fica:
Multiplique a segunda linha por 2 e some com a terceira linha:
2 ∙ [0 1 –3|–2 1 0] + [0 –2 5|–1 0 1] = [0 0 –1|–5 2 1]
E a nova terceira linha fica:
Multiplique a última linha por –1:
–1 ∙ [0 0 –1|–5 2 1] = [0 0 1|5 –2 –1]
E a nova terceira linha fica:
Aqui, você já conseguiu obter a última linha de uma matriz identidade do 
tipo 3 × 3 do lado esquerdo. Agora, o próximo passo é transformar a segunda 
linha do lado esquerdo na segunda linha de uma matriz identidade. Então, 
multiplique a terceira linha por 3 e some com a segunda linha:
3 ∙ [0 0 1|5 –2 –1] + [0 1 –3|–2 1 0] = [0 1 0|13 –5 –3]
11Inversão de matrizes
E a nova segunda linha fica:
que, no lado esquerdo, já corresponde à segunda linha da matriz identidade 
do tipo 3 × 3. Agora, resta transformar apenas a primeira linha. Para isso, 
multiplique a última linha por –3 e some com a primeira linha:
–3 ∙ [0 0 1|5 –2 –1] + [1 2 3|1 0 0] = [1 2 0|–14 6 3]
E a nova primeira linha fica:
Por fim, multiplique a segunda linha por –2 e some com a primeira linha:
–2 ∙ [0 1 0|13 –5 –3] + [1 2 0|–14 6 3] = [1 0 0|–40 16 9]
E a nova primeira linha fica:
Observe que, finalmente, a matriz que aparece do lado esquerdo é a matriz 
identidade do tipo 3 × 3. Portanto, a matriz inversa de C é dada por:
Em princípio, você pode obter a matriz inversa, desde que ela exista de 
uma dada matriz quadrada de qualquer tamanho, por meio desse método.
Inversão de matrizes12
Sistemas lineares com uma equação matricial
Todo sistema de equações lineares contém naturalmente uma estrutura matri-
cial. Para que você perceba isso, considere um sistema do tipo 2 × 2 qualquer:
A estrutura do lado esquerdo dessas duas equações lineares é tipicamente 
igual àquela que envolveria o produto entre duas matrizes: uma matriz qua-
drada do tipo 2 × 2 para os coeficientes aij, em que i, j = 1, 2; e outra matriz 
coluna do tipo 2 × 1 para as variáveis xj, em que j = 1, 2. Dessa forma, você 
pode escrever:
Similarmente, as constantes bi, em que i = 1, 2, que aparecem do lado direito 
das equações lineares anteriores, também podem ser postas em um formato 
matricial — mais especificamente, como uma matriz coluna do tipo 2 × 1:
Com efeito, o sistema de equações lineares pode ser substituído por uma 
representação em forma de equação matricial do tipo:
AX = B
em que a matriz A:
é denominada de matriz dos coeficientes, a matriz X:
é a matriz das variáveis, e a matriz B:
é a matriz das constantes. 
13Inversão de matrizes
Uma vez estabelecida a relação entre sistemas de equações lineares e ma-
triciais, você pode encontrar a solução de tais sistemas por meio das matrizes. 
Veja como isso é possível: se a matriz dos coeficientes A é quadrada e admite 
a existência de uma inversa, A–1, então, você pode determinar a matriz das 
variáveis por multiplicar a equação matricial do sistema por A–1 pela esquerda: 
em que I é a matriz identidade.
Portanto, a solução do sistema será dada pela matriz das variáveis X , 
calculada por meio da relação:
X = A–1B
Assim, torna-se necessário saber calcular a matriz inversa associada à 
matriz dos coeficientes, a fim de se obter a solução do sistema.
Um sistema de equações lineares contém uma única solução quando a matriz dos 
coeficientes do sistema for invertível. 
Sistemas lineares com matriz inversa
Para que você coloque em prática os resultados da seção anterior e, portanto, 
consiga resolver um sistema de equações lineares por meio da matriz inversa 
dos coeficientes, considere o seguinte sistema do tipo 2 × 2:
Nesse caso, é fácil reconhecer a matriz dos coeficientes:
Inversão de matrizes14
enquanto que a matriz das variáveis é:
e a matriz das constantes é:
A fim de se determinar X por meio da equação matricial X = A–1B, é 
necessário calcular a matriz inversa de A. Então, perfilando a matriz A e a 
matriz identidade do tipo 2 × 2, você obtém: 
Primeiro, multiplique a primeira linha por 3 e some com a segunda linha:
3 ∙ [–1 1|1 0] + [3 2|0 1] = [0 5|3 1]
E a nova segunda linha fica:
Divida a segunda linha por 5:
E a nova segunda linha fica:
Agora, multiplique a segunda linha por –1 e some com a primeira linha:
–1 ∙ [0 1|3/5 1/5] + [–1 1|1 0] = [–1 0|2/5 –1/5]
E a nova primeira linha fica:
15Inversão de matrizes
Multiplique a primeira linha por –1:
–1 ∙ [–1 0|2/5 –1/5] = [1 0|–2/5 1/5]
E a nova primeira linha fica:
Observe que você já tem, do lado esquerdo, uma matriz identidade do tipo 
2 × 2. Logo, a matriz inversa de A é dada por:
Por fim, para você determinar a matriz X, basta calcular o produto matricial 
A–1B:
Logo, a solução desse sistema é dada por:
em que x = –1 e y = 5.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
612 p.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2012. 786 p.
Leitura recomendada
CRISPINO, M. L. 320 questões resolvidas de álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2012. 352 p.
Inversão de matrizes16
ÁLGEBRA LINEAR
Silvano Antonio Alves Pereira Junior
Geometria vetorial e 
transformações lineares
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir transformações matriciais.
 � Identificar a transformações lineares como casos particulares de trans-
formações matriciais.
 � Relacionar as transformações lineares com inversão de matrizes.
Introdução
Neste capítulo, exploraremos um pouco mais o assunto sobre matrizes. 
Você verá algumas aplicações práticas de matrizes, como no estudo da 
geometria das transformações lineares. Nesta etapa, estaremos seguindo 
uma linha semelhante à apresentada em Nicholson (2006). Seguiremos 
estabelecendo as relações entre transformações lineares e matrizes. 
Finalmente, você será apresentado à conexão entre transformações 
lineares e inversão de matrizes.
Transformações matriciais
Para caminhar na direção do primeiro objetivo, trabalharemos com o plano (R2) 
euclidiano. E para tal fim, não realizaremos distinção entre um ponto e o vetor 
associado ao transporte da origem até esse ponto, conforme Figura 1, a seguir.
Figura 1. O ponto do plano e o vetor associado a ele.
6
4
2
–6 –4 –2 0 2 4 6
v
(x,y)
Como pode ser visto na figura, não há distinção entre o ponto P(x,y) e o 
vetor a ele associado . Nesse contexto, uma transformação matricial 
pode ser definida como o resultado do produto de uma matriz 2x2 pelos vetores 
do plano. Isto é, uma transformação matricial relaciona um vetor do plano à 
sua imagem pelo produto com uma determinada matriz. Dessa forma, serão 
válidas todas as propriedades do produto de matrizes.
Para entender como matrizes se relacionam com transformações geomé-
tricas do plano euclidiano, apresentaremos alguns exemplos.
Considere a matriz R =
1 0
0 –1 . Seja v
→ =
x
y um vetor qualquer do plano euclidiano, 
qual é a imagem do vetor v→ pela transformação R? Tem-se:
Rv→ = = =
1 0
0 –1
x
y
1 × x + 0 × y
0 × x – 1 × y
x
–y
Em palavras, a transformação R reflete o vetor v→ =
x
y em torno do eixo coordenado 
x, conforme Figura 2.
Geometria vetorial e transformações lineares2
v
u
–2
–2–1
–1
1 2 30
2
1
(x,y)
(x,–y)
Figura 2. Reflexão de vetor em torno do eixo x.
Uma observação interessante sobre essa transformação é que ela é sua própria 
inversa. Isto é, ao aplicarmos a reflexão R duas vezes seguidas, voltamos ao vetor 
original. Tem-se:
RR = 1 0
0 –1
1 0
0 1
1 0
0 –1
=
Esse é um primeiro exemplo de como algumas matrizes se relacionam 
com transformações geométricas. Ali, uma transformação geométrica foi 
induzida por uma matriz.
No próximo exemplo, partiremos de uma transformação geométrica e 
veremos a matriz que induz a mesma transformação.
Considere a transformação geométrica que rotaciona vetores em torno da origem 
(Figura 3) e que leva, por exemplo, o vetor v
→ = 1
0 no vetor u
→ = –1
0
. Essa transformação 
pode ser induzida pela seguinte matriz:
3Geometria vetorial e transformações lineares
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
5 6 7
(–x,–y)
(x,y)
v
u
α = C30º
0
Figura 3. Transformação geométrica rotacionando vetores 180º em torno da origem o x.
De maneira geral, algumas transformações geométricas no plano R2 podem 
ser induzidas, ou representadas, por transformações matriciais. Se T é uma 
transformação geométrica do plano, então, caso exista uma matriz A que 
induza tal transformação, ela deve satisfazer:
para todo v→ no plano R2.
A igualdade acima deve ser válida para v→ no plano R2. Perceba, por exemplo, que a 
rotação de 180º apresentada no exemplo anterior é igual à transformação de reflexão 
em torno do eixo y para os vetores v→ = 1
0
 e u→ = –1
0
, mas não para os demais do 
plano. Com efeito, a matriz que induz a transformação de reflexão em torno do eixo 
y apresenta a seguinte forma:
Ref = –1 0
 0 1
Geometria vetorial e transformações lineares4
Ainda sobre matrizes de rotação no plano, é importante destacar que elas 
apresentam uma forma geral. Dada uma transformação geométrica no plano 
de rotação em torno da origem por um ângulo de θº, a matriz que induz essa 
transformação é dada por: 
Vamos determinar a matriz que induz a rotação de 45º em torno da origem no plano 
euclidiano. Pela forma geral apresentada anteriormente, tem-se: 
Rθ =
cos 45º –sen 45º
sen 45º cos 45º
Lembrando-se de que cos 45º = sin 45º =
√2
2 , obtemos:
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
–
Rθ =
A seguir, você verá um importante resultado apresentado em Nicholson 
(2006), que nos permite determinar as matrizes que induzem reflexões e 
projeções para uma reta que passa pela origem do plano R2.
Teorema: considere a reta y = mx que passa pela origem e tem inclinação m. 
Então, a projeção Pm sobre a reta e a reflexão Qm em torno da reta são ambas 
as transformações matriciais no plano euclidiano. Mais precisamente:
Você poderá encontrar a demonstração desse teorema em Nicholson (2006). 
Veja, a seguir, um exemplo de como podemos utilizar esse resultado.
5Geometria vetorial e transformações lineares
Considere a reta de equação y = 2x. Vamos determinar a reflexão do vetor v→ = 1
–3
 em 
torno dessa reta. Primeiramente, utilizaremos o teorema anteriormente apresentado 
para encontra a matriz Q que induz tal transformação. Como o coeficiente angular 
da reta é m = 2, temos:
Q = ×1
1 + 22
1 – 22 2 × 2
2 × 2 22–1
Q = ×1
5
–3 4
 4 3
Q =
–3
5
4
5
4
5
3
5
Agora, vamos calcular o resultado da ação da matriz Q sobre o vetor v→ = 1
–3
. Obtemos:
Q = = =
–3
5
4
5
4
5
3
5
–3
5
4
5
4
5
3
5
1
–3
–3
–1
× 1 +
× 1 +
× (–3)
× (–3)
Veja, na Figura 4, a representação dessa transformação.
4
2
–2
0–2 2 4 6
–4
–4–6
y = 2x
E
Qv
v
A
D
Figura 4. Reflexão do vetor v
→ = 1
–3 em torno da reta y = 2x.
Cabe destacar que nem toda matriz de ordem 2x2 representa uma transformação 
geométrica do plano.
Geometria vetorial e transformações lineares6
Transformações lineares
Na seção anterior, você aprendeu sobre algumas transformações geométricas 
do plano euclidiano e como elas podem ser representadas por matrizes que 
induzem tais transformações — que eram casos particulares de um conceito 
mais abrangente que ocupa um papel central no estudo da álgebra linear: as 
transformações lineares.
Inicialmente, vamos apresentar a definição de transformação linear, que 
pode ser encontrada em Nicholson (2006) e Anton e Busby (2006).
Definição: seja T: R2 → R2 uma aplicação que a cada vetor v→ do plano associa 
um vetor T v→ também em R2 Diremos que T é uma transformação linear se 
ela satisfizer as seguintes condições.
1. para todo α ∈ R e todo v→ ∈ R2.
2. para todo v→, u→ ∈ R2.
Observe o caso das transformações matriciais estudadas na seção anterior. 
Se T: R2 → R2 for uma transformação matricial, existe uma matriz A, tal que:
para todo v→ no plano R2. Então, podemos verificar que T é, de fato, uma 
transformação linear. Com efeito, dados α ∈ R e v→, u→ ∈ R2, temos:
Segue das propriedades do produto de matrizes que:
Temos, ainda, que:
Novamente, segue das propriedades do produto de matrizes que:
7Geometria vetorial e transformações lineares
Portanto, toda transformação matricial no plano euclidiano é também uma 
transformação linear.
De fato, a relação entre transformações lineares e matrizes é ainda mais 
forte. Temos o seguinte resultado.
Fato: toda transformação linear em R2 tem um representação matricial. 
Veja, a seguir, como encontrar a representação matricial de uma transfor-
mação linear em R2.
Considere a seguinte transformação em R2, T(x,y) = (2x, –y). Primeiramente, vamos 
verificar se T é, de fato, uma transformação linear. Dados α ∈ R e v→, u→ ∈ R2, com v→ = xy 
e u→ =
r
s , tem-se:
T(αv→) = T(αx, αy) = 2(αx, –αy) = α(2x, –y)
Temos, ainda:
T(v→ + u→) = T(x + r, y + s) = (2(x + r), –(y + s)) = (2x + 2r, –y –s) = (2x, –y) + (2r, –s)
Portanto:
T(v→ + u→) = T(v→) + T(u→)
Assim, concluímos que T é uma transformação linear. Agora, vamos determinar a 
forma matricial dessa transformação. Para tal tarefa, precisaremos utilizar o fato de que 
a forma matricial de uma transformação linear T em R2 é dada por:
MT = [T(e1)|E(e2)]
Isto é, MT é uma matriz cujas colunas é a imagem dos vetores canônicos de R
2, e1 =
1
0
 
e e2 =
0
1
, pela transformação T. Neste exemplo, temos:
T(e1) = (2 × 1, –0) = (2, 0) e T(e2) = (2 × 0, –1) = (0, –1)
Dessa maneira:
MT =
2 0
0 –1
Geometria vetorial e transformações lineares8
Existem algumas transformações lineares que merecem destaque. A trans-
formação identidade, por exemplo, é aquela que associa a cada vetor v→ em R2 
a ele mesmo. Isto é:
I2×2(v
→) = v→ para todo v→ ∈ R2
Outra transformação linear que apresenta um papel distinto é a transforma-
ção nula, isto é, aquela que associa todos os vetores do plano ao vetor nulo 0
→
.
Verifiquemos que I2×2 é, de fato, linear. Dados α ∈ R e v
→, u→ ∈ R2 com 
 e , tem-se:
Temos, ainda:
I2×2(v
→ + u→) = I2×2(x + r, y + s) = ((x + r) + (y + s)) = (x + r, y + s) = I2×2(x,y) + I2×2(r,s)
Portanto:
Concluindo que I2×2 é, de fato, uma transformação linear. Conta semelhante 
pode ser realizada para a transformação nula. 
Veja mais um exemplo que relaciona transformações lineares com suas 
representações matriciais.
Seja T uma transformação linear, tal que T(2, 1) = (4, 1) e que T(1, 1) = (2, 1). Qual é a 
forma matricial da transformação T? 
Observe que, neste caso, não temos em mãos a expressão da transformação linear 
para que possamos calcular T(e1) e T(e2). Entretanto, podemos proceder da seguinte 
maneira:
v→ = e2
1
u→ = 1
1
9Geometria vetorial e transformações lineares
Segue das propriedades aritméticas das matrizes e dos vetores que podemos escrever:
e1 = v
→ – u→ e e2 = 2u
→ – v→
Usando a linearidade de T, obtemos:
T(e1) = T(v
→ – u→) = T(v→) – T(u→) = (4,1) – (2,1) = (2,0)
De forma análoga:
T(e2) = T(2u
→ – v→) = T(2u→) – T(v→) = 2T(u→) – T(v→) = 2(2,1) – (4,1) = (4,2) – (4,1) = (0,1)
Finalmente, utilizamos o fato apresentado no exemplo anterior para concluirmos que:
MT =
2 0
0 1
Ainda sobre a forma matricial de transformações lineares, existe uma 
relaçãode muita importância entre a composição de transformações lineares 
e suas formas matriciais. 
Sejam T e S duas transformações lineares no plano euclidiano com suas 
respectivas formas matriciais dadas por MT e MS. A composição TºS das 
transformações lineares tem, como representação matricial, a matriz dada por 
MTMS. Lembramos aqui que TºS, a composição das transformações, é dada por:
Isto é, primeiramente, aplicamos S e, em seguida, T ao resultado S(v→). 
Veja um exemplo de como podemos utilizar essa informação.
Geometria vetorial e transformações lineares10
Considere as seguintes transformações lineares. T é a transformação de reflexão em 
trono do eixo y, e S é a transformação que realiza uma rotação de 30º em torno da 
origem. Qual é a representação matricial da composição TºS?
O plano é utilizar o resultado apresentado anteriormente, que relaciona composição 
e representação matricial de transformações lineares. Portanto, começamos determi-
nando a representação matricial de cada uma das operações.
Para a transformação T, vimos, na seção anterior, que a representação matricial para 
a reflexão em torno do eixo y é dada por:
MT =
–1 0
 0 1
Para o caso da transformação S, vimos que a forma matricial de uma transformação 
geométrica de rotação de θº em torno da origem é dada por:
Rθ° =
cos θº –sen θº
sen θº cos θº
Nesse caso, temos 30º. Obtemos, portanto:
R30 = =
cos 30º –sen 30º
sen 30º cos 30º
√3
2
1
2
1
2
√3
2
–
Finalmente, para obtermos a representação matricial de TºS, calcularemos o produto 
MTMS. Temos:
√3
2
1
2
1
2
√3
2
–
√3
2
1
2
1
2
√3
2
–
MTMS = = 
–1 0
 0 1
Perceba que, se quiséssemos obter apenas a imagem de um único vetor 
pela composição, poderíamos tê-lo feito da forma direta. 
11Geometria vetorial e transformações lineares
É comum o erro de inverter a ordem do produto das matrizes. Fique atento ao realizar 
esses cálculos e lembre-se de que o produto das matrizes segue a mesma ordem da 
composição das transformações. 
Transformações lineares e inversão de matrizes
Nesta seção, veremos como utilizar a relação entre transformações lineares 
e suas representações matriciais para obter informações de grande utilidade 
no processo de inversão de matrizes. 
Aqui, faremos uma abordagem do assunto semelhante à encontrada em 
Nicholson (2006). 
Assim como para matrizes, existe, também, um conceito de inversa para 
transformações lineares. 
Se T é uma transformação linear no plano euclidiano, diremos que T–1 é 
uma transformação inversa para T, se for válida a seguinte igualdade:
TºT–1 = T–1ºT = I2×2
Em palavras, T–1 é uma transformação inversa para T, se a composição 
desses, seja pela esquerda ou pela direita, resulta no operado identidade.
Na primeira seção, vimos a transformação geométrica que realizava a refle-
xão em torno do eixo x, além de que sua representação matricial era dada por:
Vimos, ainda, que MR era sua própria inversa. Essa matriz MR induz a 
transformação que pode ser representada por R(x,y) = (x,–y). Dada a experiência 
com a forma matricial, seria natural imaginar que R é um bom candidato para 
ser sua própria transformação inversa. Agora, vamos calcular RºR. Temos:
RºR = R(R(x,y)) = R(x,–y) = (x,–(–y)) = (x,y) = I2×2(x,y)
Portanto, R–1 = R.
Geometria vetorial e transformações lineares12
Esse resultado não aconteceu por acaso. Temos o seguinte teorema, que 
também pode ser encontrado em Nicholson (2015).
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear no plano euclidiano com 
representação dada por MT, são equivalentes as seguintes afirmações.
1. T é invertível (isto é, MT é invertível).
2. Existe uma transformação linear S, tal que TºS = SºT = I2×2.
Além disso, a matriz de S é dada por MT
–1.
Aqui, é fundamental destacar a relação entre a transformação e sua forma 
matricial.
T é invertível se, e somente se, MT também for.
Essas relações nos permitem estabelecer um procedimento alternativo para 
encontrar a inversa de algumas matrizes. Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz MT =
cos (60º) –sen (60º)
sen (60º) cos (60º)
, que representa uma rotação de 60º, 
no sentido anti-horário, em torno da origem. Calculando os valores de seno e cosseno, 
MT pode ser escrita como:
MT =
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
Nessa situação, conhecemos bem a transformação geométrica envolvida. Sabemos, 
por exemplo, que a transformação inversa seria uma rotação de –60º no sentido 
horário. Essa transformação teria sua forma matricial dada por:
MT
–1 = cos (–60º) –sen (–60º)
sen (–60º) cos (–60º)
13Geometria vetorial e transformações lineares
Novamente, calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
MT
–1 =
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
Essa MT
–1 é nossa candidata à matriz inversa. Vejamos se, de fato, ela é inversa de MT. 
Para tal, basta calcular os produtos MTMT
–1 e MT
–1MT. Temos:
MTMT
–1 = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1 0
0 1
De forma semelhante, também obtemos:
MT
–1MT = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1
2
–√3
2
√3
2
1
2
1 0
0 1
Assim, MT
–1 é, de fato, a inversa da matriz apresentada inicialmente.
O procedimento utilizado no exemplo anterior pode ser sumarizado da 
seguinte maneira.
1. Observar a transformação geométrica induzida pela matriz, caso ela 
exista.
2. Procurar pela transformação inversa.
3. Encontrar a matriz dessa transformação.
Assim como matrizes, transformações lineares também apresentam a noção 
de núcleo, que também se relaciona com o fato de uma transformação linear 
e, por consequência, a matriz que a induz ser ou não invertível.
Vamos denotar que o núcleo por Null(T), de uma transformação linear 
T, é o conjunto de todos os vetores do v→ plano euclidiano, tais que T(v→) = 0.
Geometria vetorial e transformações lineares14
Segue da definição de uma transformação linear que:
 � o vetor nulo 0
→
 sempre pertence ao núcleo de uma transformação linear, 
isto é, ;
 � se v→ ∈ Null(T), então todo múltiplo de v→ também pertencerá.
Essas observações, somadas aos resultados previamente apresentados, nos 
permitem apresentar o seguinte resultado.
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear cuja forma matricial é 
MT, são equivalentes as seguintes informações.
 � det(MT) ≠ 0.
 � Null(T) = {0
→
}.
 � T é invertível.
 � MT é invertível.
Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado.
Considere A uma transformação de rotação de 90º no sentido anti-horário. Qual é o 
núcleo dessa transformação?
Como visto nas seções anteriores, a forma matricial dessa transformação é dada por:
R90 =
cos 90º –sen 90º
sen 45º cos 90º
Calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
R90 =
0 –1
1 0
Não é difícil perceber que o determinante dessa matriz é igual 1 e, portanto, diferente 
de zero. Como consequência do resultado anterior, temos:
Null(T ) = {0
→
}
15Geometria vetorial e transformações lineares
Como um último resultado, apresentamos um teorema que permite identifi-
car rotações e reflexões em torno de retas que passam pela origem a partir dos 
determinantes de suas matrizes. Esse resultado também pode ser encontrado 
em Nicholson (2015). 
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear no plano euclidiano com 
forma matricial dada por MT, temos que:
4. T é uma rotação se, e somente se, det(MT) = 1;
5. T é reflexão se, e somente se, det(MT) = –1.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. L. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum). 
Geometria vetorial e transformações lineares16
ÁLGEBRA LINEAR
Silvano Antonio Alves Pereira Junior
O espaço vetorial ℝn: 
dependência e 
independência linear 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir dependência e independência linear.
 � Relacionar dependência e independência linear com os conceitosde 
gerador e matriz inversa.
 � Reconhecer a interpretação geométrica de dois vetores linearmente 
dependentes.
Introdução
Neste capítulo, exploraremos um pouco mais os conjuntos de vetores 
em ℝn. Você verá as definições de conjuntos linearmente independentes 
e dependentes, conforme Nicholson (2006). Seguiremos estabelecendo 
conexão entre a geometria e as combinações lineares, bem como re-
lacionando as ideias de dependência, independência linear e gerador 
com matrizes.
Dependência e independência linear
Começamos com o resgate do conceito de combinação linear. Dado um con-
junto de vetores em ℝn diremos que o vetor w→ é uma combinação 
linear desses, se existirem a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que:
Veja, a seguir, um exemplo de combinação linear.
No plano euclidiano ℝ2 temos alguns exemplos interessantes. Os vetores 
e→1 = e e
→
2 =
1
0
0
1
, geram o espaço ℝ2. Em particular, dado um vetor v→ = ab , podemos 
escrevê-lo como uma combinação linear de e→1 e e
→
2. Com efeito, temos:
v→ = = + = a + b = ae1 + be2
a
b
0
b
1
0
0
1
a
0
Mais precisamente, qualquer vetor do plano pode ser escrito como uma combinação 
linear de e→1 e e
→
2.
Consideremos, agora, um conjunto de vetores { }em ℝn, que 
diremos que é linearmente independente, se os únicos valores de a1, a2, ..., 
ak em ℝ, que tornam a combinação verdadeira, são a1, a2, ..., ak = 0.
Em outras palavras, um conjunto de vetores é linearmente independente 
se, e somente se, a única combinação deles, que resulta no vetor nulo, for a 
que apresenta todos os coeficientes iguais a zero.
No exemplo anterior, os vetores e→1 = e e
→
2 =
1
0
0
1 , formavam um conjunto de vetores 
linearmente independentes. De fato, se ae1 + be2 = 0
→
, teríamos:
a + 0 = 0
0 + b = 0
Portanto, a única combinação desses vetores, que resulta no vetor nulo, é a que tem 
todos os coeficientes nulos.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear2
Como era de se esperar, nem todo conjunto de vetores é linearmente independente. 
Considere o conjunto {e1, e2, w} formado pelos vetores do exemplo anterior e w =
2
3 . 
Utilizando o resultado desse exemplo, podemos escrever:
w = 2e1 + 3e2
Segue daí, pelas propriedades algébricas dos vetores, que também podemos escrever:
w – 2e1 + 3e2 = 0
→
Ou seja, existem coeficientes, não todos nulos, que formam uma combinação do 
vetor igual ao nulo.
O conjunto apresentado na segunda parte do exemplo anterior nos fornece 
um primeiro exemplo de um conjunto linearmente dependente. Diremos 
que um conjunto { }em ℝ é linearmente dependente se existirem 
coeficientes a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que:
Isto é, existe uma combinação não nula que resulta no vetor nulo.
Uma interpretação importante de um conjunto linearmente dependente é 
que qualquer um dos vetores desse conjunto pode ser escrito como combinação 
linear dos demais.
Veja o exemplo a seguir.
Ainda no espírito do exemplo anterior, vamos considerar o espaço ℝ3. De forma 
semelhante ao que ocorre com ℝ2, qualquer vetor v→ =
a
b
c
 em espaço ℝ3 pode ser escrito 
como uma combinação linear dos vetores e1 = , e2 = e e3 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
. Com efeito, temos:
3O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
v→ = = a + b + c = ae1 + be2 + ce3
a
b
c
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Ainda como em ℝ2, o conjunto {e1, e2, e3} é linearmente independente. 
Considere, agora, o conjunto formado por {e1, e2, e3, w}, onde w
→ =
5
3
15
. Tal conjunto é
linearmente dependente de vetores. Com efeito, temos do apresentado anteriormente 
que:
w→ = = 5e1 + 3e2 + 15e3
5
3
15
Segue que:
w – 5e1 + 3e2 + 15e3 = 0
Como dito, podemos escrever qualquer um dos vetores de um conjunto linearmente 
dependente como combinação dos demais, como:
e3 = w – e1 + e2
1
15
1
3
1
5
Um importante teorema sobre esse assunto é apresentado em Nicholson 
(2006). 
Teorema: se { }em ℝn é um conjunto linearmente independente, 
então, todo vetor em ger{ } tem uma escrita única como combinação 
linear dos vetores v→i.
Em palavras, se um conjunto de geradores é linearmente independente, 
cada vetor do espaço gerado é escrito de maneira única, a menos da ordenação, 
como combinação linear dos vetores geradores.
Veja o seguinte exemplo sobre conjuntos geradores linearmente 
independentes.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear4
Considere a matriz identidade In×n. Vamos mostrar que as colunas dessa matriz formam 
um conjunto gerador de ℝn linearmente independente. Temos:
In×n =
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
e os vetores:
e1 = , e2 = , ..., en =
1
0
⋮
0
0
1
⋮
0
0
0
⋮
1
Verificamos, primeiramente, que esse conjunto gera o espaço ℝn. Seguindo a mesma 
ideia apresentada nos exemplos anteriores, temos que, dado um vetor:
w = є Rn
w1
w2
⋮
wn
podemos escrever:
w = = w1 + w2 + ⋯ + wn = w1e1 + w2e1 + ⋯ + wnen
w1
w2
⋮
wn
1
0
⋮
0
0
1
⋮
0
0
0
⋮
1
concluindo que ger{e1, e2, ⋯, en} = ℝn. Agora, a parte sobre a independência linear: 
digamos que exista uma combinação linear dos vetores e1, e2, ⋯, en, tal que:
a1e1 + a2e2 + ⋯ + anen = 0
→
Teríamos, então:
a1 + 0 + ⋯ + 0 =0
0 + a2 + ⋯ + 0 = 0
⋮
0 + 0 + ⋯ + an =0
a1 = 0
a2 = 0
⋮
an = 0
Portanto, a única combinação desses vetores, que resulta no vetor nulo, é a com 
todos os coeficientes nulos. 
5O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Gerador e matriz inversa
O último exemplo da seção anterior nos fornece uma bela ideia de como 
conjuntos geradores estão relacionados com conjuntos linearmente indepen-
dentes. Agora, você verá de perto essa relação e como matrizes inversas e 
determinantes podem ser utilizadas para auxiliar na identificação de conjuntos 
linearmente independentes de vetores.
O método do exemplo anterior pode ser sumarizado da seguinte maneira 
(NICHOLSON, 2006).
Teste para independência linear: para verificar que um conjunto de vetores 
{ }em ℝn é linearmente independente, proceda do seguinte modo.
1. Escreva uma combinação linear dos vetores e iguale ao vetor nulo: 
2. Mostre que a única maneira de isso ocorrer é trivialmente, ou seja, com 
todos os coeficientes iguais a zero.
É claro que, se existir alguma solução não trivial, o conjunto de vetores é 
linearmente dependente.
Veja mais um exemplo em que podemos utilizar essa ideia.
Considere a matriz:
A =
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 –1 2
0 0 3 6
Vamos verificar que as colunas dela não formam um conjunto linearmente inde-
pendente de vetores. Temos os seguintes vetores:
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear6
v1 = + v2 = , v3 = , v4 =
1
2
0
0
2
1
0
0
0
0
2
6
0
0
–1
3
Escrevemos a combinação linear a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
→
, que dá origem ao 
seguinte sistema linear:
a1 + 2a2 = 0
2a1 + a2 = 0
–a3 + 2a4 = 0
3a3 + 6a4 = 0
Resolvendo esse sistema por substituição, por exemplo, obtemos a1 = a2 = a3 = a4 = 0. 
O conjunto dos vetores coluna da matriz, portanto, é um conjunto linearmente 
dependente.
Ainda sobre o exemplo anterior, é importante observar que o sistema linear 
associado ao problema poderia ser escrito em forma matricial, como:
Observe, primeiramente, que o sistema é homogêneo. Portanto, se a matriz 
principal for invertível, ele admite como solução apenas o vetor nulo. Com 
efeito, a matriz principal do sistema tem determinante igual 36 e, portanto, 
é invertível. Segue que a única solução possível para esse sistema é a trivial.
Resumindo o fato exposto, temos o seguinte teorema (NICHOLSON, 2015).
Seja A uma matriz n × n, então as seguintes afirmações são equivalentes.
1. A é invertível.
2. As colunas de A são linearmente independentes em ℝn.
3. As colunas de A geram o espaço ℝn.
4. As linhas de A são linearmente independentes em ℝn.
5. As linhas de A geram o espaço ℝn.
7O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Esse método de verificar se a matriz é invertível para concluirsobre a 
independência de um conjunto de vetores pode ser muito útil. Veja o exemplo 
a seguir.
Vamos utilizar o resultado anterior para verificar que os vetores a seguir formam um 
conjunto de vetores linearmente independentes e mais ger{v1 + v2 + v3 + v4 } = ℝ4.
v1 = + v2 = , v3 = , v4 =
1
0
0
0
2
1
0
0
0
3
4
5
3
2
3
0
Começamos montando uma matriz A, cujas colunas são esses vetores. Temos:
A =
1 2 3 0
0 1 2 3
0 0 3 4
0 0 0 5
Pelo teorema anterior, basta verificar se a matriz A é invertível ou não, para podermos 
obter as informações desejadas. Observe que a matriz A é diagonal superior, e seu 
determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Segue que:
det(A) = 1 × 1 × 3 × 5 = 15 ≠ 0
Concluímos, portanto, que A é invertível. Segue do teorema que os vetores formam 
um conjunto linearmente independente de geradores do espaço ℝ4.
Consideremos os vetores v1 = , v2 =
cos(θ)
sen(θ)
–sen(θ)
cos(θ)
. Vamos verificar que, para qualquer 
valor de θ, esses vetores formam um conjunto de geradores linearmente independentes 
para o plano euclidiano. Com efeito, construímos a matriz:
A =
cos(θ) –sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear8
O determinante dela é dado por:
det(A) = cos(θ) cos(θ) – sen(θ)(–sen(θ))
det(A) = cos2(θ) + sen2(θ) = 1 
onde essa última igualdade é uma identidade trigonométrica fundamental. Veja, 
na Figura 1, alguns vetores dessa forma.
2.221.81.61.41.210.80.60.40.20–0.2–0.4–0.6–0.8–1–1.2–1.4–1.6–1.8–2
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
90º
45º
Figura 1. Representação de vetores com coordenadas determinadas por valores de seno 
e cosseno.
A matriz do exemplo anterior é de rotação. Ainda é possível ver a relação 
entre dependência e independência linear e geometria.
Para encerrar este tópico, veja, ainda, um teorema apresentado em Ni-
cholson (2015).
Um conjunto de vetores { } em ℝn é linearmente dependente 
se, e somente se, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação 
linear dos demais.
9O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Combinações lineares e geometria
Na seção anterior, você estudou sobre a relação entre matrizes invertíveis, 
sistemas lineares e independência linear de conjuntos de vetores. Agora, você 
terá maior contato com a geometria dos espaços ℝn e algumas de suas relações 
com conjuntos geradores, dependência e independência linear.
Em continuação ao tópico anterior, um corolário imediato daquele teorema 
pode ser enunciado como em Nicholson (2015).
Corolário: sejam u→ e v→ vetores não nulos em ℝ3 ou ℝ2, então:
1. {u→, v→} é linearmente dependente se, e somente se, os vetores são 
paralelos;
2. {u→, v→} é linearmente independente se, e somente se, os vetores não 
são paralelos.
Esse simples resultado pode nos ajudar a estabelecer alguns testes muito 
úteis para a compreensão de algumas propriedades geométricas. No plano 
euclidiano, por exemplo, é muito importante conhecer quando dois vetores 
são paralelos. Veja o exemplo a seguir.
Considere os vetores v1 = , v2 =
–1
2
10
–20
 Eles são paralelos? Podemos verificar, por 
inspeção direta, se existe α ∈ ℝ, tal que v1 = αv2 . Por outro lado, pelos resultados 
estudados até este ponto, sabemos que tais vetores são paralelos se, e somente se, 
forem linearmente dependentes. E eles assim serão se o determinante da matriz a 
seguir for igual a zero:
A =
–1 10
 2 –20
Temos:
det(A) = –1 × (–20) – (2 × 10) = 20 – 20 = 0
Logo, os vetores são, de fato, paralelos. 
Observe que, em ℝ3 não podemos utilizar determinante para verificar a condição 
de paralelismo.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear10
Uma consequência importante desse corolário é a possibilidade de deter-
minar se duas retas em ℝ2 são paralelas ou não, com o simples cálculo de um 
determinante.
Em ℝ3, temos algumas possibilidades quanto à geometria de espaços 
gerados. Conjuntos com um único vetor não nulo dão origem a retas em 
ℝ3. Conjunto com dois vetores linearmente independentes geram, como su-
bespaços, planos em ℝ3. Por fim, conjuntos com três vetores linearmente 
independentes geram o próprio espaço ℝ3.
Unindo essa informação com a ideia de que, em transformações matriciais, 
as colunas geram o espaço imagem, podemos determinar a geometria do espaço 
imagem por meio da dependência ou independência linear dos vetores coluna 
da matriz da transformação. 
Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz:
A =
 4 1 5
–7 5 –2
 9 –3 6
Qual a geometria do espaço imagem dessa transformação: reta, plano ou todo o 
espaço? Um primeiro teste que podemos fazer é o cálculo do determinante da matriz. 
Se o determinante for diferente de zero, as colunas serão linearmente independentes 
e, portanto, gerariam o espaço.
Obtemos que o determinante da matriz é igual a zero. Logo, as colunas não são 
linearmente independentes, e existem números a, b, c ∈ ℝ, não todos nulos, que 
sejam solução do sistema:
4a + b + 5c =0
–7a + 5b – 2c = 0
9a – 3b + 6c =0
Resolvendo esse sistema linear, pelo método de eliminação gaussiana, por exemplo, 
obtemos a solução a = 1, b = 1, c = –1 Temos, portanto:
1 + 1 – 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
0
0
0
11O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Segue dessa última igualdade que:
1 + 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
A terceira coluna é a soma das duas primeiras que, por sua vez, não são paralelas. 
De fato, não existe λ ∈ ℝ, tal que:
4
–7
9
1
5
–3
= λ
Dessa maneira, o espaço imagem dessa transformação é um plano em ℝ3.
Observe, ainda, que o sistema poderia ter sido resolvido com a simples constatação de 
que a última coluna é a soma das duas primeiras, apenas seguindo o caminho contrário.
Veja outro exemplo sobre a geometria do espaço imagem de transformações 
matriciais. 
Considere a seguinte matriz:
H =
5 7 9
0 2 4
0 –6 –8
Vamos determinar a geometria do espaço imagem dessa transformação. Podemos 
procurar por alguma combinação linear mais evidente, como no exemplo anterior. 
Observe que a primeira coluna parece o resultado da diferença entre o dobro da 
segunda coluna e a terceira. De fato, a conta é válida para os dois primeiros elementos, 
mas falha no terceiro.
5 = 2 × 7 – 9
0 = 2 × 2 – 4
0 ≠ 2 × (–6) – (–8)
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear12
Seguimos, então, calculando o determinante dessa matriz, obtendo:
det(H) = 40
Uma vez que o determinante é diferente de zero, sabemos que a matriz H é invertível, 
e suas colunas formam um conjunto linearmente independente. Assim, o espaço 
imagem da transformação matricial é o próprio ℝ3.
As relações de dependência e independência linear fornecem poderosas 
informações sobre conjuntos de vetores. Futuramente, você aprenderá sobre o 
importante papel que conjuntos geradores linearmente independentes exercem 
em álgebra linear.
É importante estar atento ao fato de que, em muitas das contas envolvendo trans-
formações matriciais, podemos utilizar os vetores linha ao invés dos vetores coluna.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2007.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum).
Referência
13O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: 
dependência e 
independência linear
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir os conceitos de dependência e independência linear para 
espaços vetoriais gerais.
 � Demonstrar a independência linear.
 � Avaliar se um conjunto dado é independente a partir de suas 
propriedades.
Introdução
Neste capítulo, você vai definirá o conceito de independência linear entre 
vetores dentro da definição generalizada dos espaços vetoriais.