Algebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul 
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias 
Disciplina do NCT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: ______________________________________________________ 
 
Professora: Vanessa Faoro 
Email: vanessa.faoro@unijui.edu.br 
 
 
 
 
20 semestre de 2017. 
 
 
mailto:vanessa.faoro@unijui.edu.br
 2 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: 
1. MATRIZES 
2. SISTEMAS LINEARES 
3. ESPAÇOS VETORIAIS 
4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
5. NÚMEROS COMPLEXOS 
6. AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
CRONOGRAMA DAS ATIVIDADES: DATA DESCRIÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DA AULA 
02/08/2017 Apresentação do plano de ensino; Informações gerais sobre o componente; Estudo de Matrizes; 
Resolução de Exemplos e exercícios. 
09/08/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de Matrizes e suas operações; Resolução de Exemplos e 
exercícios. 
16/08/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de matrizes, determinantes e inversa; Resolução de Exemplos e 
exercícios. 
23/08/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de sistemas lineares; Resolução de Exemplos e exercícios. 
30/08/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de sistemas lineares homogêneos. Estudos de revisão para a 
primeira avaliação. 
06/09/2017 Prova individual sem consulta no valor de 20 pontos. 
13/09/2017 Entrega e discussão da avaliação. Estudo de espaços vetoriais; Resolução de Exemplos e exercícios. 
 27/09/2017 Evento Institucional - Salão do Conhecimento. 
04/10/2017 Estudo de espaços vetoriais; Resolução de exemplos e exercícios. 
11/10/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de espaços vetoriais; Resolução de exemplos e exercícios. 
18/10/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de espaços vetoriais; Estudo de transformações lineares; 
Resolução de exemplos e exercícios. 
25/10/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de transformações lineares; Resolução de exemplos e exercícios. 
01/11/2017 Estudo de transformações lineares; Resolução de exemplos e exercícios. Estudos e revisão para a 
segunda prova. Questões avaliativas (10 pontos). 
08/11/2017 Prova individual sem consulta no valor de 20 pontos. 
22/11/2017 Entrega e discussão da segunda prova. Estudo de Números complexos; Resolução de exemplos e 
exercícios. 
29/11/2017 Retomada da aula anterior. Estudo de autovalores e autovetores; Resolução de Exemplos e exercícios. 
06/12/2017 Aula de estudos e revisão geral para a avaliação final. 
13/12/2017 Avaliação sistematizadora de 50 pontos. 
 
Os instrumentos a serem utilizados serão: 
- atividade avaliativa realizadas conforme o cronograma - 10 pontos; 
- duas avaliações individuais parciais - 40 pontos; 
- prova individual de sistematização - 50 pontos 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1980. STEINBRUCH, A. Álgebra linear. São 
Paulo: Makron Books, 2007. 
 
 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: CALLIOLI, Carlos A. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1997. 
LEON, Steven J. Álgebra Linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011. LAY, David C. Álgebra linear e suas 
aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1999. NOBLE, B.; DANIEL, J. W. Álgebra linear aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-
Hall do Brasil, 1986. POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson Pioneira, 2004. 
 3 
1. MATRIZES 
 
Quando um problema que envolve um grande número de dados, a 
disposição destes numa tabela de dupla entrada propicia uma visão global do 
mesmo. As tabelas assim formadas são chamadas matrizes. Os conceitos básicos 
sobre matrizes aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas 
porque eles “ordenam e simplificam” o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.
 Considere a tabela abaixo, onde colocamos os estoques dos livros de Matemática, Administração, Física e 
Engenharia, publicados pela editora MM, nas livrarias A, B e C. 
LIVRARIAS
MATÉRIAS
 
MATEMÁTICA ADMINISTRAÇÃO FÍSICA ENGENHARIA 
LIVRARIA A 15 10 7 8 
LIVRARIA B 10 8 9 12 
LIVRARIA C 5 4 2 4 
 A tabela nos mostra que: 
 A livraria A possui um estoque de 15 livros de Matemática; observe que esse número encontra-se na 1ª 
linha (linha da livraria A) e na 1ª coluna (coluna dos livros de Matemática). 
 A livraria C possui um estoque de 4 livros de Administração; esse número encontra-se na 3ª linha (linha 
da livraria C) e na 2ª coluna (coluna dos livros de Administração). 
Note que estamos chamando as filas horizontais de linhas e as filas verticais de colunas. 
 A tabela acima possui 3 linhas e 4 colunas e constitui um exemplo de matriz 3 x 4 (lê-se três por quatro), 
onde o número 3 representa o número de linhas e o número 4 representa o número de colunas. Uma tabela 
desse tipo, no estudo de matrizes, é geralmente representada por uma das formas: 










4245
129810
871015
 ou 










4245
129810
871015
 ou 
4245
129810
871015
 
Definição 
 Uma matriz é um arranjo retangular de números variáveis, cada um tendo um lugar ordenado dentro 
da matriz. Os números ou variáveis chamados elementos da matriz. Os números em cada fila horizontal são 
chamados linhas; os números em cada fila vertical são chamados colunas. O número de linhas (m) e o número 
de colunas (n) definem as dimensões da matriz (m x n) que se lê “m por n”. 
Uma matriz A(m x n) é uma tabela de m.n elementos, que podem ser números, polinômios, funções, 
matrizes, ..., dispostos em m linhas e n colunas. 
 
 4 
 
1.1 Representação Genérica de uma matriz. 
 Representaremos uma matriz de “m” linhas e “n” colunas por: 
 mxn
n
n
m m m mn
mxn
ijA
a a a a
a a a a
a a a a
a













11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
....
....
.... .... .... .... ....
....
 , i = linha e j = coluna. 
 
Exemplos. Escreva as matrizes abaixo: 
a) A=(aij)2x3, onde aij=-i+3j; 
b) B=(bij)3x3, onde bij=i/j; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Tipos de Matrizes 
1) Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). 
EX.: 






43
32
A 
 
2) Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal são todos nulos,. 
EX.: 
33
300
000
002
x
A












 
 5 
 
3) Matriz Escalar: é uma matriz diagonal, cujos elementos sobre a diagonal são 
 iguais, ou seja, os elementos da diagonal principal são todos iguais. 
EX.: 










c
c
c
00
00
00
 c  0 
33
200
020
002
x
A










 
4) A Matriz identidade (ou unidade) é um caso particular de matriz escalar, quando c = 1. (Sempre é Matriz 
Quadrada). Matriz Identidade é uma matriz quadrada. 
EX.: 
22
2
10
01
x
I 





 , ,
100
010
001
33
3
x
I










 
5) Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada, cujos elementos abaixo da diagonal são nulos,.
 EX.: 
22
33
10
35
,
300
400
132
x
x
BA 

















 
6) Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada, cujos elementos acima da diagonal são nulos. 
Ex.: 
33
206
041
002
x
A










 , 
22
14
03
x
B 





 
 
7) Matriz Nula: é uma matriz cujos elementos são todos nulos. 
Ex.: 0 = 
)(
0000
0
000
000
nxm















 
 
8) Matriz Coluna (ou vetor coluna): é uma matriz formada por uma única coluna. A ordem dessa matriz é 
mx1. 
Ex.: 
)13(
3
1
2
x
A










 
9) Matriz Linha (ou vetor linha): é a matriz formada por uma única linha. A ordem dessa matriz é 1x n. 
Ex.:  
)41(
6541
x
B  
 
 
 6 
Em uma matriz, cada número ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna,nessa ordem. 
 
 
 
 
33
206
041
002
x
A










 
 
 
10) Matriz Transposta: chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida a partir de A, 
trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas. Se escreve AT. 
 Definição: A transposta de A é obtida trocando a posição relativa das linhas e das colunas de A. 
 
Ex.: A= 
23
41
30
12
x











 At = 
32
431
102
x





 
 
 
Exemplo, dada a matriz A e B, encontrar a matriz transposta e mostre que   TTT BABA  





 

50
12
A e 






27
03
B 
 
 
1a coluna 
2a coluna 
3a coluna 
3a linha 
1a linha 
2a linha 
 7 
 Propriedades: 
 Se r é um escalar e A e B são matrizes, então 
 (a) A transposta da transposta de uma matriz dada é igual à matriz dada: (A
t
)
t
 = A 
 (b) A transposta da soma de duas matrizes é a soma das matrizes transpostas: (A + B)
t
 = A
t 
 + B
t
 
 (c) (rA)
t 
= rA
t
 
 (d) A transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa: (AB)
t
 = B
t
A
t
 
 
OBS.: Se A é uma matriz simétrica, At = A. 
 Se A é uma matriz anti-simétrica, At = -A. 
 
11) Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos equidistantes da diagonal principal são iguais. 
Uma matriz A de ordem n denomina-se matriz simétrica, quando A = AT 
Exemplos: S = ST = 










789
835
951
 
)33(
340
431
012
x
A












 
 
12) Matriz Anti-Simétrica: é uma matiz quadrada cujos elementos equidistante da diagonal principal são 
opostos. A diagonal principal deve sempre ser zero. A = -AT ou AT = -A 
Exemplo: D = 












089
805
950
 













013
102
320
A 
 
13) Matriz Oposta: chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando- se o sinal de 
todos seus elementos. Escreve-se -A. 
 
14) Matriz Ortogonal: Uma matriz A cuja a inversa coincide com a transposta é denominada ortogonal, ou 
seja 
1T AA  . 
 
1.3 Igualdade de Matrizes 
 Duas matrizes A e B, de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a 
mesma posição são idênticos. 
 
 
 8 
Exemplos: 
1) Determine os números reais x e y tais que: 













13
85
3
82
yx
yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o valor de x e y . Onde A = B 











23
11
42
2xA B = 












23
81
442y
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Operações com Matrizes 
1.4.1 Adição de Matrizes 
Situação- Problema: Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizando 
um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de janeiro, foram 
obtidos os resultados. 
 







3521
5132
A 






5424
3203
B sendo que: 
1) a matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento ija é o número de unidades 
vendidas do modelo i no dia j; por exemplo, o elemento a23 = 5 informa que foram vendidas cinco unidades do 
modelo 2 no dia 3. 
2) A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades 
vendidas no modelo i no dia j. 
 Como representaríamos, matricialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos 
primeiros quatro dias de janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 4, na qual cada elemento (ci ) seja a soma de 
seus correspondentes nas matrizes A e B: 
  BAC 
 
Qual o dia de maior venda? E qual o modelo? 
 9 
A matriz C é denominada matriz soma de A e B. 
 Em outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B. 
 
Exemplos: 
1) Dadas as matrizes: 































 

































 

35
42
1418
17
74
56
42
06
23
210
953
472
48
19
54
1096
243
732
GFDCBEA
 
Determine as somas, se possível. 
a) A + B b) C + D c) E + F d) A + F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Propriedades da Adição 
 Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, valem as quatro propriedades descritas a seguir. 
 1. Comutativa: A + B = B + A 
 2. Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
 3. Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A 
 4. Elemento Oposto: A + (-A) = 0 
 
1.4.2 Subtração de Matrizes 
Na Situação-Problema mencionada na Adição de matrizes, se quisermos uma matriz que represente o 
desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu 
correspondente em B, obtendo: 

















2103
2131
53452241
35210332
DBA 
 
 A matriz D é chamada de matriz diferença de A e B, nessa ordem. 
 
Exemplos: 
1) Dadas as matrizes: 


















































 








84
103
24
636
1102
652
120
72
53
431
952
31012
581
432
678
532
FEDCBA
 
Determine, se possível: a) A- C b) B - C c) D – F 
 
 
 11 
1.4.3 Multiplicação por um escalar. 
 A multiplicação de uma matriz por um escalar envolve a multiplicação de cada elemento da matriz pelo 
número. Este processo é chamado “multiplicação escalar”, porque ele altera a matriz para cima ou para baixo 
de acordo com o tamanho do número. 
Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e sendo k, k1, k2 são números reais, então: 
1. K(A + B) = KA + KB 
 2. ( K K A K A K A1 2 1 2  ) 
 3. 0.A = 0 
 4. K K A K K A1 2 1 2( ) ( ) 
 5. 1.A = A 
 
Exemplos: 
1) Calcule: 











10
65
23
.4 
 
2) Dadas as matriz 











 

108
32
54
13
BeA , Calcule BA
2
1
3  . 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a matriz X na equação 3X – A + 2B = 0, sabendo-se que A = 







16
58
 e 









43
2
1
1
B 
 
 12 
1.4.4 Multiplicação de Matrizes: 
 O produto das matrizes mxp pxn mxnA e B é a matriz C , onde cada elemento ijC é obtido através da 
soma dos produtos dos elementos i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. 
Situação- Problema: O comprador de uma empresa deve adquirir de seus fornecedores três tipos de produto, 
denominados produto 1, produto 2 e produto 3. Para isso, fez orçamentos com dois fornecedores, denominados 
fornecedor 1 e fornecedor 2. 
 Organizando os dados coletados nesses orçamentos, o comprador construiu três matrizes A, B e C de 
modo que cada elemento 
ija da matriz A = (100 200 300) indica a quantidade de unidades do produto j 
que o comprador deve adquirir; cada elemento 
ijb da matriz 











6155
5953
6258
B
 representa o preço, em reais, de cada 
unidade do produto i, cobrado pelo fornecedor j; e cada elemento 
ijc da matriz C = (100.58 + 200.53 + 300.55 
100.62 + 200.59 + 300.61) indica o valor do orçamento apresentado pelo fornecedor j. 
 A matriz C é chamada de matriz produto de A por B, nessa ordem, e representa-se A.B = C ou AB = C. 
Observe que, desse modo, os dados numéricos dessa consulta de preços podem ser apresentados por: 
 
 











6155
5953
6258
300200100 = 
 
Antes de definirmos a multiplicação de matrizes, vamos definir produto de linha por coluna. 
Existe o produto AB se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
E, a matriz C possui o mesmo numero de linhas de A e o mesmo numero de colunas 
de B 
 
Exemplos: 
1) Dadas as matrizes 












315
024
31
12
BeA , calcule AB. 
 
 
 13 
2) Dadas as matrizes A=





















06
20
14
312
215
321
Be , calcule AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dadas as matrizes A=
2333
06
20
14
312
215
321
XX
Be





















 , calcule BA. 
 
 
 
 
 
 
Problemas 
1) Um empresário oferece mensalmente alimentos a dois orfanatos. 
Para o 10 orfanato são doados 25 kg de arroz, 20 kg de feijão, 30 kg de carne e 32 kg de batata. 
Para o 20 orfanato são doados 28 kg de arroz, 24 kg de feijão, 35 kg de carne e 38kg de batata. 
O empresário faz a cotação de preços em dois supermercados. Veja a cotação atual em reais: 
PRODUTO ( 1 kg) SUPERMERCADO 1 SUPERMERCADO 2 
Arroz 4,00 4,00 
Feijão 10,50 10,20 
Carne 11,50 10,70 
Batata 2,50 3,70 
 
Determine o gasto mensal desse empresário, por orfanato, supondo que todos os produtos sejam adquiridos 
no mesmo estabelecimento e que este represente a melhor opção de compra. 
 14 
2) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para 
guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a 
produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras 
utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês. 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo básico nesse mês foi de 
a) 170. 
b) 192. 
c) 120. 
d) 218. 
e) 188. 
 
 
 
 
 15 
 
 
1. Determine os valores de “a e b” tais que: 
3a
2b
3b
1a2




 . 
2. Determine os valores de x e y nas igualdades: 
 
3. Calcule x, y e z tais que: 
















z00
100
14y0
x01x
2
2
 
4. Determine x, y z e w nas matrizes 








31
21
A , 







31
yx
B e 






wz
21
C tais que A=B=C. 
 
5. Determine x, y e z para que a matriz A seja simétrica, onde 












3zy
472
5x1
A
. 
 
6. Obter a oposta da transposta e determinar a ordem da matriz: A = 








302
145 
 
7.Ache x, y, z e w se 


















10
01
43
32
wz
yx
 
8. Sejam: A=  12D
4
2
1
C
103
102
B
112
321
























 
a) A.C b) B.C c) C.D d) D.A e) D. B 
 
9.Calcule a matriz X tal que X+A=B+C onde: 







86
42
A 








17
31
B 







29
85
C . 
10. Calcule os valores de x, y e z nas matrizes:





 

03
x
A 2
1
 









34
y5
B e 








3z
42
C
 de modo que 
B+C=2A. 
 
11. O anel rodoviário de uma grande metrópole passa pelos pontos indicados no 
mapa ao lado. Os elementos da matriz  
55xij
aA  , associada a esse mapa, 
são tais que: 
ija = 0, se os pontos i e j estiverem ligados entre si ou se i = j 
ija = 1, se os pontos i e j não estiverem ligados. 
 Construa a matriz A 
 
 
 
 
 
 Lista 01: Matrizes Lista 01: Matrizes Lista 01: Matrizes 
 16 
12. 
 
 
 
 
Respostas 
Resp: 1)  1b;1a  2) a)  3;81  yx b) 1;2  xx c)  1y;1x  3) 1;21  zyx
 
 4)  3;1;2;1  wzyx 5) x=2; z=-4;y=5 6) 













31
04
25
A t
 ordem 2x3
tA 
7)  3;2;3;4  zwyx 8)a) 






 4
15 b) 






1
6 c) 













48
24
12
 d)  730 e)  107 
9)








78
74
X 10)








 10z;5y;
2
3
x 
11) 
 
 17 
DETERMINANTE 
 
A teoria dos determinantes surgiu durante pesquisas realizadas com o 
objetivo de se encontrar processos que viessem a facilitar a resolução de um 
sistema de equações lineares. 
 Estudando as matrizes quadradas associadas a um sistema de equações 
lineares, verificou-se ser possível associar a cada matriz quadrada um único número real, chamado 
determinante da matriz. 
Inicialmente, vamos trabalhar com regras que permitem o cálculo de determinantes nos casos particulares 
da matriz quadrada (de elementos numéricos) de ordem 1, 2, ou 3 e, a seguir, veremos a definição geral para 
determinantes de uma matriz quadrada de ordem n. 
 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 ou matriz de primeira ordem. 
O determinante da matriz A = [ 11a ], indicada por det A ou | 11a |, é o próprio elemento 11a , ou seja: det A 
= 11a . 
Exemplos 
a) se A = [-2], então det A = -2 b) se B = 





3
1
, então 
3
1
Bdet  
 
Determinante da matriz quadrada de ordem 2 ou matriz de segunda ordem. 
O determinante de uma matriz A = 
11 12
21 22
a a
a a





, é igual à diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Representando o determinante da matriz 
A por det A , temos: 
det A = 
11 12
21 22
a a
a a
 = 11 22 12 21a a a a. . 
Exemplos 
a) se A = 





81
52
, então det A? 
b) se B = 




 
34
10
, então det B ? 
 
 18 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 ou matriz de terceira ordem. 
O determinante de uma matriz quadrada, de 3ª ordem, geralmente é feito através da regra de Sarrus
1
, que 
consiste no seguinte: 
A = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a










 
1º) repetimos as duas primeiras coluna ao lado da última. 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 
 
2) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 
3) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 
4) Realizamos a diferença entre os dois resultados. 
 
Exemplos 
a) Calcular o determinante da matriz B = 










 431
651
202
 
 
 
 
 
 
b) Aplicando a regra de Sarrus, calcular o valor de x na equação 0
1x224
301
13x3



 
 
 
1 SARRUS (1798 - 1861) – matemático francês. Destacou-se em estudos dos Determinantes. 
 19 
Cofator de um elemento de uma matriz de ordem n (n  2) 
 Consideremos uma matriz A, de ordem n, e o elemento aij de A. 
Chama-se cofator de aij ao produto de   ji1  pelo determinante da matriz obtida, quando se elimina 
em A a linha i e a coluna j. Indica-se o cofator aij por cij . 
 Considerando a matriz A = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a










, vejamos como se calcula: 
a) o cofator do elemento a11 
Então o cofator de a11, será : 
   32233322
3332
232211
11 a.aa.a1
aa
aa
1c   
 
Exemplo: 
 Dada a matriz M = 












346
120
352
, calcular os seguintes cofatores: 
a) c11 
 
Temos 
 
 
 
b) c12 
 
 
 
 
c) c13 
 
 
 
 
 
Determinante que se obtém da matriz 
A, quando se eliminam os elementos da 1ª 
Eliminamos da matriz M a 1ª linha e a 1ª 
 
 20 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem n (Teorema de Laplace) 
 Dada uma matriz quadrada A de ordem n, define-se: 
1º) Se n = 1, o determinante da matriz A será o próprio elemento da matriz. 
2º) Se n  2, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores. Essa afirmação é conhecida 
como Teorema de Laplace2 . 
Exemplos 
Aplicar o Teorema de Laplace na resolução dos seguintes determinantes: 
a) 
635
012
532
A

 Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da 2ª linha, pois ao elemento 
zero corresponde um cofator que não precisa ser calculado, teremos: 
 det A = a21 . c21 + a22 . c22 + a23 . c23 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 MARQUÊS PIERRE-SIMON DE LAPLACE (1749 – 1827) – matemático e astrônomo francês. Como matemático 
destacou-se no cálculo das Probabilidades. Como astrônomo, escreveu a sua obra prima “Mecânica Celeste”. 
 21 
b) B = 
1604
3015
2022
3452



 
Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da 3ª coluna: 
 det B = a13 . c13 + a23 . c23 + a33 . c33 + a43 . c43, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Determinantes 
1. Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz 
é nulo. 
 0
410
530
320
det 0
12
00
det 



 BA 
 
 22 
 
2. Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais o determinante desta matriz é nulo. 
 
 
 0 
013
452
013
det 0
22
11
det 



 BA
 
3. Se duas filas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 
 0
153
226
103
det 0
21
42
det 

 BA
 
4. O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
1
73
21
det 1
72
31
det  TAA 
5. Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz o determinante 
desta matriz fica multiplicado por esse número. 
 
 
6. Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. 
 4
123
321
112
 4
123
112
321


 
7. Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o 
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
 42.2.1
241
023
001
det A
 
61.3.2
100
230
132
det 

A 
8. Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, 
o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1). 
6)3.2.1(
421
120
300
det 

A
 
30)3.2.5(
005
029
331
det 

A
 
9. Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que: 
   BABA det.det.det 
 
 
 23 
 
1) Calcular os seguintes determinantes: 
a)











































5313128
438712
541831
00000
214741
)
115
423
001
)
112
317
931
)
15
31
dcb e)













12250
11170
0010
4438021
 
f)
2 3 4 1
0 0 2 0
3 1 1 1
1 0 2 3















 
g)
12 4
1 0 4,
 h)
7 3
4 2


 i)
2 3 4
2 1 2
0 5 6

 j)
1 2 4
1 3 9
1 4 16
 
2) Calcular o valor de x nas igualdades abaixo 
a)
3 3
4 3
0
x
x 
 b)
3 1
8
02
3
x
x
 c)
1 0 1
1 3
1 3
0

x
x
 d)
2 1 3
4 1 1
0
12  x
x x
 
3) Em IR, a solução da equação: 9log5
121
114
3
3


xx
 é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
4) Calcule os determinantes: 
0123
2040
0312
5001
)
1332
0211
0102
0135
)





ba
 















3213
5120
2031
1324
)c
 
 
Respostas: 1. a) –14 b) 40 c) –6 d) 0 e) 21 f) 70 g) 4/5 h) -2 i) 68 j) –70 
2. a)  4x;1x  b)  2x  c)  4x;1x  d)  6x;2x  3) C 4) a) 2 b) -230 c) 4 
 
 
 
 Lista 02: Determinantes 
 24 
MATRIZ INVERSA 
Matriz dos Cofatores 
 Em uma matriz dos cofatores cada elemento ija é trocado pelo seu cofator ijC . 
Exemplo 
Seja A, a matriz mostrada abaixo, determine a matriz dos cofatores: 
 2)64.(1
43
21
.)1(c
435
214
132
A 1111 










  
portanto a matriz dos cofatores será dada por: C = 
 












2 6 7
9 3 9
5 0 10
 
Matriz Adjunta 
A matriz adjunta (Adj A ou A ) é a transposta da matriz dos cofatores, isto é, 
TCAAdj  
 
Matriz Inversa 
1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é inversível se existe uma matriz B tal que 
IABBA  . Dessa forma B é a inversa de A e é representada por 
1A . 
2. Se A é uma matriz quadrada tal que det A  0, então A admite uma inversa e poderá ser obtida por: 
 AAdj
Adet
1
A 1  
Exemplo 
Determine 
1A sendo 






72
31
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outro modo de obter a inversa é aplicando a seguinte equação: A.A-1=A-1.A=I 
onde I é a Matriz Identidade de ordem n. Escrevemos A-1 para representar a matriz inversa de A. 
 
 25 
Exemplo 
1) Dada a matriz A = 





34
12
 
verifique se B = 







12
2/12/3
 é inversa de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule a inversa das matrizes abaixo: 
a) 






34
12
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
b) 











435
214
132
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
 
3) Os valores reais de x para os quais a matriz A = 











112
21
32
x
x
 admite a inversa são? 
 
 
 
 28 
 
Matriz Inversa 
1) Escolha o método, e calcule a matriz inversa se existir das matrizes abaixo: 







21
53
A B = 












453
210
543
 C = 












1234
0123
0012
0001
 D = 













121
131
132
 
2) Calcular o valor de k para que a matriz 





k6
32
não tenha inversa. 
3) Os valores reais de x para os quais a matriz A = 











112
21
32
x
x
 admite a inversa são? 
 
Respostas 
1) 








31
52
1A 

















111
212
3
13
3
3
14
1B 
















1210
0121
0012
0001
1C 
1D













311
110
011
 
2) k = 9 3) x ≠1 ou x ≠ 7 
 
 
 
 
 
 
 
 Lista 03: Matriz Inversa 
 29 
2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Chama-se sistema linear a todo sistema formado por equações lineares. 
 Assim, o sistema S1





4yx2
6y2x
 é um sistema linear de das equações com duas 
incógnitas. 
 
Definição: Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do 
tipo:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n
m m mn n m
   
   
   
   







......
......
......
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
........
 
onde: 
mn
n
m
a coeficientes das incógnitas
x incógnitas
b termos independentes


 .
 
 Uma solução de um sistema é uma sequência de números ( 1 2 3   , , ,.........., )n que satisfaz as equações 
simultaneamente. 
 
3.1 Matrizes associadas a um sistema linear: 
 Matriz Incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 Matriz Completa: é a matriz , que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna 
formada pelos termos independentes das equações do sistema. 
 
A = 
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
a a a
a a a
a a a
B
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
m m mn
n
n
m m mn m
.....
.....
: : : :
.....
.....
.....
: : : : :
.....

























 
Obs: Podemos dizer que um sistema satisfaz a seguinte equação matricial: A.X=B onde 
A=
11 12 1
21 22 2
1 2
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
.....
.....
: : : :
.....












X=
1
2
3
1
2
3
x
x
x
x
B
b
b
b
bn m
: :




























 
 m x n n x 1 = m x 1 
 30 
 
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
1
2
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
b
b
b
n n
n n
m m mn n m
  
  
  

























.....
.....
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
.....
:
 
 
3.2 Soluções de um sistema de equações lineares 
 Se tivermos um sistema de uma equação e uma incógnita ax=b existirão 3 possibilidades: 
1. a  0. Neste caso a equação tem uma única solução x=b/a. 
2. a = 0 e b = 0. Então temos 0.x = 0 e qualquer número poderá ser solução da equação. 
3. a = 0 e b  0. Temos 0.x = b. Não existe solução para esta equação. 
 
 
 
 
 
 
3.3 Sistemas Equivalentes 
 Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução. 
Exemplo 
 





8y3x2
3yx
 





5y2x
3yx
 
 
Propriedades dos sistemas equivalentes 
1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro equivalente ao primeiro. 
2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k  *, obtemos um sistema 
equivalente ao primeiro. 
3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação, desse mesmo sistema, por 
um número k  *,obtemos um sistema equivalente ao primeiro. 
Determinado 
(uma única solução) 
Indeterminado 
(mais de uma solução) 
Compatível 
(tem solução) 
Incompatível 
(não tem solução) 
Sistemas Lineares 
Estes sistemas são equivalentes 
pois ambos possuem como 
solução o par (1, 2). 
 31 
Exemplo 
 
ESEQUIVALENT
y
yx
yx
yx
yx
yx


















__________________________________
33
42
1
42
)1(1
42
 
 
 
 
 
3.4 Sistemas Escalonados 
O método de escalonamento para resolução de um sistema é um processo geral para resolver qualquer 
sistema linear. Dado um sistema linear S1, é possível transformá-lo num sistema equivalente mais simples 
aplicando-se sobre as equações do sistema as propriedades dos sistemas equivalentes. 
 Dizemos que um sistema está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente 
não nulo aumenta de equação para equação. 
Procedimento para escalonar um sistema: 
1. Colocamos como primeira equação aquela em que o coeficiente da primeira incógnita 
seja diferente de zero e fazemos este coeficiente igual a 1. 
2. Utilizamos as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita 
das demais equações. 
3. Anulamos todos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação. 
4. Repetimos o processo com as demais incógnitas até que o sistema se torne escalonado. 
 
Os exemplos a seguir serão demonstrados através do software Excel ou GeoGebra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade Computacional: O software GeoGebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, 
juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, funções, planos entre 
outros em forma dinâmica. No uso de sistemas lineares, os exemplos podem ser analisados com a interpretação 
geométrica. Estudaremos sistema de equações lineares com o auxílio do GeoGebra 2D, e 3D que pode ser baixado 
gratuito. 
 32 
Classificação do Sistema de Equações Lineares. 
 
 
3.5 Sistema Compatível Determinado 
 
3.5.1 Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistema de Equações Lineares 2x2 
Contextualizando: Um caminhão baú pode levar, 58 caixas do tipo A e B, de mesmo tamanho. Elas tem, 
respectivamente, 56 kg e 72 kg. A carga máxima para esse caminhão é de 3840 kg em cada viagem. Quantas 
caixas de cada tipo são transportadas por esse caminhão, estando ele com a capacidade máxima ocupada? 
1a etapa: resolução 
2a etapa: interpretação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
3.5.2 Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistema de Equações Lineares 3x3 
 Possui solução única quando os três planos se encontram em um único ponto. 
Contextualizando: Uma determinada empresa, recebeu uma encomenda especial da estrutura de uma tuia 
de armazenagem de grãos com as seguintes características: 
 A medida da altura somada com o quíntuplo de sua largura e o dobro do comprimentos deve 
resultar em 10 metros. 
 O dobro da medida da altura somada com a largura e diminuída o triplo de seu comprimentos 
irá faltar 3 metros, devido a problema de espaço. 
 O triplo da medida de sua altura somado com o sêxtuplo de sua largura e com o quíntuplo de 
seu comprimento deve resultar em 19 metros. 
Que medidas deve ter a piscina encomendada para que atenda todas as características acima? Existe alguma 
possibilidade dessa piscina ser construída? 
1a etapa: interpretação geométrica 
2a etapa: resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
3.6 Sistema Compatível Indeterminado 
 
3.6.1 Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistema de Equações Lineares 3x3 
 
Contextualizando: Recebi uma encomenda da estrutura de um armário com as seguintes características: 
 O triplo da medida da altura diminuída da largura e somada o dobro do comprimento devem resultar 
em 3 metros. 
 A medida da altura somada o dobro da largura e somada do comprimento devem resultar em 1 metro. 
 No entanto, o sêxtuplo da medida da altura somada com o quíntuplo da largura e o quíntuplo do 
comprimento devem resultar em 6 metros. 
Que medidas deve ter o armário encomendado para que atenda todas as características acima? Existe alguma 
possibilidade do armário ser construído? 
 
1a etapa: resolução 
2a etapa: interpretação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
3.7 Sistema Incompatível 
Este tipo de sistema não tem solução algébrica. 
3.7.1 Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistema de Equações Lineares 2x2 
Contextualizando: O triplo da altura de uma estrutura metálica pequena somando ao dobro de sua largura dá 
7 metros. Ao somarmos as medidas da altura e largura de uma estrutura maior que possui o dobro da medida 
da estrutura menos obtemos 31 metros. Quanto mede a altura e largura da estrutura maior? (não existe estrutura 
que atenda estas características) 
1 a etapa: demonstração no quadro 
2 a etapa: interpretação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.7.2 Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistema de Equações Lineares 3x3 
Sistema de equações com três equações e três incógnitas, cada equação representa um plano no espaço 
tridimensional. 
Contextualizando: Recebi uma encomenda da estrutura de uma piscina com as seguintes características: 
 A medida da altura somada ao dobro da largura diminuída da medida da profundidade deve resultar em 3 
metros. 
 O dobro das características acima deve resultar em 6 metros. 
 No entanto, o triplo das características exigidas deve se igualar a 8 metros, devido a problema de espaço. 
 Que medidas deve ter a piscina encomendada para que atenda todas as características acima? Existe alguma 
possibilidade piscina ser construída? 
1 a etapa: demonstração no quadro 
2 a etapa: interpretação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
Exemplos: 
1) Escalone, classifique (SPD, SPI, SI) e dê o conjunto solução de cada um dos seguintes sistemas. 
a)








152
13
3523
zyx
yx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)








432
3
12
yx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
c) 








433
142
61173
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
2) Uma empresa que presta serviços de engenharia civil em três tipos de contentores I, II e III, que 
carregam cargas em três tipos de recipientes A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado peloquadro: 
Tipo de recipiente A B C 
I 4 3 4 
II 4 2 3 
III 2 2 2 
 
Quantos contentores x1, x2, e x3 de cada tipo I, II e III, são necessários se a empresa necessita 
transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Perguntando sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: “Minha idade quando somada à 
idade de Júnior é igual a 47 anos, e quando somada à idade de Maria é 78 anos. As idades de Maria e Júnior 
somam 39 anos. Qual a idade de Júnior? 
 38 
4) Examinando os anúncios abaixo, conclua qual é o preço de cada faca, garfo e colher. 
 
 39 
3.8 Sistemas Homogêneos 
Se todos os termos independentes de um sistema linear S, forem nulos, o sistema é chamado 
homogêneo, portanto o sistema: 













0........
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
0......
0.....
0......
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nmn22m11m
nn3232131
nn2222121
nn1212111
 é dito homogêneo pois os termos 
independentes de todas as equações são nulos. 
Solução: A n-úpla (0,0,0,...,0) é sempre solução de um sistema de n incógnitas e recebe o nome de solução 
trivial, quando existem as demais são chamadas não-triviais. 
 Um sistema linear homogêneo é sempre possível: determinado ou indeterminado. 
Exemplo 01 Exemplo 02 








0zyx
0z2yx
0zy2x4
S1 








04
03
02
2
yx
zyx
zyx
S 
 
 
 
 
 
 
 40 
 
1) Escalone, classifique e dê o conjunto solução de cada um dos sistemas: 
a) 








19563
1025
332
zyx
zyx
zyx
 b) 








135
23
12
zyx
zyx
zyx
 c) 








433
142
61173
zyx
zyx
zyx
 
 
d) 








11527
8232
11443
zyx
zyx
zyx
 e) 








6556
12
323
zyx
zyx
zyx
 f) 








02
62
423
zyx
zyx
zyx
 
g) 








62
22
43
yx
yx
yx
 h) 





123
53
yx
yx
 
 
Respostas: a) SPD {(1, 1, 2)} b) SI c) SPI {(6z -5, 3 - z, z) com z .IR d) SPD {( 1, 2, 0)} 
e) SPI {(1 – 5z/7, -z/7, z) com z .IR f) SI g) SPD (-2, 2) h) 













11
14
,
11
13
S 
2) Verifique se (0, -3, -4) é solução do sistema: 









22
12
1
zyx
zyx
zyx
S . 
Resposta: Não é solução 
 
3) A população de uma cidade A é quatro vezes maior que a população da cidade B. Somando a 
população das duas cidades, temos o total de 250.000 habitantes. Quantos habitantes têm a cidade A 
e a cidade B? 
Resposta: A cidade A possui 200.000 habitantes e a cidade B 50.000 habitantes 
 
4) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário 
conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A 
para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A 
para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para 
C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos 
quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar 
por C. 
Resposta: AB=325km 
 
 
 Lista 04: Sistemas Lineares 
 41 
3. ESPAÇOS VETORIAIS: 
 
Introdução 
 
 O vetor é enunciando uma série de axiomas que, caso 
sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito de espaço vetorial ocorre 
em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências e na Engenharia. 
 
 
Esta ideia pode ser estendida para ,..., 54  ,   n21n21
n x,...,x,x/)x,...,x,x( ,com a perda 
da visão geométrica. 
Suponha que uma 
partícula se desloca 
do ponto (1, 2, 1) até 
(3, 3, 3). 
O deslocamento é um 
vetor 𝑑 = 
 42 
 
I. Vetores 
Vetores são segmentos orientados que possuem comprimento, direção e sentido. Por exemplo, força, 
velocidade, aceleração, deslocamento, momento, campo elétrico, etc. 
 
A B 
Posição inicial Posição final 
Temos que o vetor ABv  é determinado pelo segmento orientado AB, de origem no ponto A, e 
extremidade no ponto B. 
 A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto –v, que tem o mesmo módulo, a mesma direção, 
porém sentido contrário ao de v. 
Um vetor v é unitário se |v| = 1. 
 Dois vetores são colineares se possuem a mesma direção (isto é, pertencem a mesma reta, ou possuem como 
retas suporte, retas paralelas). 
 Dois ou mais vetores são coplanares se pertencerem a um mesmo plano. 
 Dois vetores u e v são ortogonais se 0. vu . 
 Dois vetores u e v são paralelos quando seus componentes são proporcionais. 
 Forma analítica de um vetor: ),,( zyxv 

 
 
II. Operações com Vetores 
 Adição 
Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC respectivamente, a soma 
do vetor u com o vetor v é dada pelo vetor cuja origem coincide com a origem do primeiro vetor da soma, e a 
extremidade coincide com a extremidade do segundo vetor da soma. 
Propriedades: 
I) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) 
II) Comutativa: u + v = v + u 
III) Existe um só vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem v + 0 = 0 + v = v 
IV) Qualquer que seja o vetor v existe um só vetor – v tal que: v + (-v) = -v + v = 0 
 
 Multiplicação de um número real por um vetor 
Dado um vetor v  0 e um número real k  0, chama-se produto do número real k, pelo vetor v o vetor 
p = kv 
a) módulo: |p| = |kv| = |k| |v|; 
b) direção: a mesma de v; 
c) sentido: o mesmo de v se k > 0; e contrário ao de v se k < 0. 
 
 43 
Propriedades: 
Sejam os escalares 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 , e os vetores u e v, segue as propriedades: 
I) a(bu) = (ab) u 
II) (a + b) u = au + bu 
II) a(u + v) = au + av 
III) 1u = u 
 
 Vetores no R2 
Vetores no R2 são representados por: 
(1) segmentos orientados iniciados na origem do sistema, assim o ponto P (x, y) individualiza o vetor v = OP, 
ou seja, as coordenadas deste vetor são representadas pelo ponto v = (x, y) que é a extremidade do vetor; ou: 
(2) vetores equivalentes, deslocados da origem representados por ABv  , onde a origem é o ponto A (x1, y1), 
e a extremidade é o ponto (x2, y2), e as coordenadas do vetor v deslocado da origem são encontradas fazendo 
v = (x2-x1, y2- y1). 
 
Operações 
Sejam os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) e o escalar a  R. Define-se: 
a) Adição: u + v = (x1 + x2, y1 + y2) 
b) Multiplicação por um escalar: au = (ax1 , ay1) 
 
O produto escalar (u.v) entre dois vetores é representado por um número real, dado por: 
 2121. yyxxvu  
Exemplos: Sejam os vetores: )3,2,1(

u e )4,0,1(

v , calcular 

vu . 
 
 
 
Ortogonalidade 
Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é nulo: 0. vu 
 
 Vetores no R3 
São representados por v = (x, y, z), ou seja, são segmentos orientados desde a origem, no espaço 
tridimensional. 
Operações com Vetores no Espaço 
Sejam os vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e a  R. Define-se: 
a) u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) 
b) a.u = (ax1 , ay1, az1) 
Obs: As definições acima descritas para vetores no R2 são válidas para os vetores no R3. 
 44 
 
III. Espaços Vetoriais 
 
 Suponhamos que uma força atue sobre um corpo, podemos determinar sua intensidade e direção. Assim, 
força é um exemplo típico de grandeza representada por um vetor. Outros exemplos são velocidade e 
deslocamento. Nesta unidade desenvolveremos o conceito de vetor de uma forma mais ampla, de modo que, 
por exemplo, soluções de sistemas de equações lineares, funções, matrizes possam ser representadas e/ou 
denominadas de vetor. O conjunto desses vetores munido de determinadas operações será definido como um 
espaço vetorial. 
Neste item iremos estender o conceito de vetor extraindo as propriedades mais importantes dosvetores 
usuais e transformando-as em axiomas. Assim, quando um conjunto de objetos satisfizer estes axiomas, estes 
objetos automaticamente têm as mais importantes propriedades dos vetores usuais, o que torna razoável 
considerar estes novos objetos como novos tipos de vetores. 
 Sabe-se que o conjunto:   Ry,x/y,xR 2 
 
é interpretado geometricamente como sendo o plano 
cartesiano. Um par  y,x pode ser expresso como um ponto e, neste caso, x e y são as coordenadas deste 
ponto, ou pode ser expresso como um vetor e, neste caso, x e y são as componentes (ou coordenadas) deste 
vetor. 
 Esta mesma ideia, em relação ao plano, estende-se para o espaço tridimensional que é a interpretação 
geométrica do conjunto 
3R . Embora se perca a visão geométrica com dimensão acima de 3, é possível estender 
esta ideia a espaços como 
n54 R,...R,R . Assim, quádruplas de números  4321 x,x,x,x podem ser vistas 
como pontos ou vetores no espaço 
4R , de quarta dimensão. A quíntupla  4,5,3,1,2  será interpretada como 
um ponto ou um vetor no espaço 
5R , de dimensão cinco. Portanto, o espaço de dimensão n (ou espaço n-
dimensional) será constituído pelo conjunto de todas as n-úplas ordenadas e representado por 
nR , isto é: 
   Rx;x,....,x,xR in21
n  
 A maneira de se trabalhar nestes espaços, de dimensão superior a três, é idêntica àquela vista em 
2R e em 
3R . Por exemplo, se:  n21 x,...,x,xu  e  n21 y,...y,yv  são vetores no 
nR e  um escalar, 
define-se: 
a) Igualdade: vu  se, e somente se, nn2211 yx,....,yx,yx  
b) Adição:  nn2211 yx,...,yx,yxvu  
c) Multiplicação por um Escalar:  n21 x,...,x,xu  
d) Produto Escalar: nn yxyxyxvu  .... 2211 
e) Módulo: 
22
2
2
1 .... nxxxuuu  
 
 45 
Definição. (Definição de Espaço Vetorial) Seja um conjunto V não vazio qualquer de objetos, no qual estão 
definidas as operações de adição e multiplicação por um escalar, isto é: 
i)  u e v  V; u + v  V; 
ii)    R,  u  V; u  V. 
 O conjunto V com essas duas operações é chamado ESPAÇO VETORIAL REAL e seus objetos são 
denominados vetores, se forem verificados os seguintes axiomas: 
A) Em relação à adição 
A1) (u + v) + w = u + (v + w)  u, v e w  V Associativa 
A2) u + v = v + u  u, v  V Comutativa 
A3)  0  V;  u  V u + 0 = u Existência do elemento neutro na adição 
A4)  u  V  -u  V; u + (-u) = 0 Existência do elemento inverso 
M) Em relação à multiplicação por escalar 
M1) a (u + v) = au + av distribuição da multiplicação em relação a adição 
M2) (a + b) v = av + bv distribuição da adição em relação a multiplicação 
M3) (a.b).v = a (b.v), associativa 
M4) 1.v = v v  V elemento neutro da multiplicação 
para Rb,aeVv,u 
 
 
Observações. 
(i) Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores, independente de sua natureza. Pode 
parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser, o fato de se chamar de vetores os polinômios (quando 
V for constituído de polinômios), as matrizes (quando V for constituído de matrizes), os números (quando V 
for um conjunto numérico), e assim por diante. A justificativa está no fato de as operações de adição e 
multiplicação por escalar realizadas com estes elementos de natureza tão distinta se comportarem de forma 
idêntica, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores em R2 e R3. Assim a familiaridade que 
temos com os vetores do R2 e R3 terá continuidade nestes conjuntos, chamando seus elementos também de 
vetores. 
(ii) Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números complexos, 
V seria um espaço vetorial complexo. Daqui por diante, serão considerados somente espaços vetoriais reais. 
 
Exemplos de Espaços Vetoriais 
Os seguintes exemplos ilustram a variedade de espaços vetoriais possíveis. Em cada exemplo, nós 
vamos especificar um conjunto não-vazio V e duas operações: a adição e a multiplicação por um escalar; em 
seguida vamos verificar que os 10 axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, com isto habilitando V, com as 
operações dadas, a ser chamado de espaço vetorial. 
1. O conjunto dos números reais em relação às operações usuais de adição e multiplicação por um 
escalar é um espaço vetorial. 
 46 
2. Os conjuntos 
n5432 R,...R,R,R,R , com as operações usuais de adição e multiplicação por um 
escalar é um espaço vetorial. 
3. Conjunto M(m,n) das matrizes m x n com as operações de adição e multiplicação por um escalar é 
um espaço vetorial 
4. O conjunto  Ra,xa....xaxaaP inn2210n  dos polinômios com coeficientes reais 
de grau ≤ n, mais o polinômio nulo, em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação 
por um escalar é um espaço vetorial. 
 
Exemplos: 
1) Verifique se o conjunto V = {(x, x+3)/𝑥 𝜖 𝑅} é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar usuais.
 
2) Verifique se o conjunto V = {(x, y)/𝑥, 𝑦 > 0} é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar usuais. 
 
 47 
3) Verifique se o conjunto V = {(x, y)/𝑥, 𝑦 𝜖 𝑅} é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar usuais. 
 
 
 48 
 
3.1 Subespaços Vetoriais 
 
Definição. Um subconjunto S de um espaço vetorial V é chamado um subespaço vetorial de V se W é um 
espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por um escalar definidas em V. 
Em geral, nós devemos verificar os dez axiomas do espaço vetorial para mostrar que um conjunto S 
forma um espaço vetorial com uma adição e uma multiplicação por um escalar. No entanto, se S é parte de um 
conjunto maior V que já é sabido ser um espaço vetorial, então alguns axiomas não precisam ser conferidos 
para S, pois eles são “herdados” de V. Por exemplo, não há necessidade de conferir que u+v = v+u (Axioma 
A2) para S, pois se isto vale para todos os vetores de V que valem também para todos os vetores de S. Outros 
axiomas herdados por S de V são o A1, M1, M2, M3 e M4. Assim, para mostrar que um conjunto S é um 
subespaço vetorial de V, nós somente precisamos verificar os dois axiomas principais (i) e (ii) apresentados 
no teorema descrito a seguir e os axiomas A3 (elemento neutro) e A4 (elemento inverso). 
 
Teorema 1 
Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V, é um subespaço de V se estiverem satisfeitas as 
condições: 
(i) Para quaisquer u, v  S, tem-se: u + v  S 
(ii) Para quaisquer a  R, u  S, tem-se: a.u  S 
 Sendo estas duas condições válidas em S, os oito axiomas do espaço vetorial também se verificam em S, 
ou seja, considere u e v vetores quaisquer de S observe que A1, A2, M1, M2, M3, M4, são verificados em S pelo 
fato de S ser um subconjunto não-vazio de V. A partir do teorema também é possível verificar os axiomas A3 
e A4, observe que se a condição (ii), a.u  S, é válida para todo a  R. Fazendo 0a  , temos que Su0  , 
ou seja, S0 (axioma A3); fazendo 1a  , segue   Suu1  (axioma A4). 
 
Observações 
 Todo espaço vetorial de V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, chamado de subespaço zero 
ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Estes dois são os subespaços triviais de V. Os demais 
subespaços são denominados subespaços próprios de V. 
 Por exemplo, os subespaços triviais de 
3RV  são {(0, 0, 0)} e o próprio R3. Os subespaços próprios de 
R3 são as retas e os planos que passam pela origem. 
 Para 
2RV  , os subespaços triviais são: {(0, 0)} e R2, enquanto os subespaços próprios são as retas que 
passam pela origem. 
 
 
 49 
Exemplos: 
Verificar se S é um subespaço vetorial de V: 
a) 
2RV  e   x2y/Ry,xS 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2RV  e   Rx;x24,xS  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
2RV  e   RxxxS  ;||,50 
3.2 Combinação Linear 
 Uma das características mais importantes de um espaço vetorial V é a obtenção de outros vetores a partir 
de vetores dados. 
Definição. Sejam os vetores nvvv ,...,, 21 do espaço vetorial V e os escalares n21 a...,,a,a . Então, qualquer 
vetor v ∈ 𝑉 da forma nn2211 va...vavav  é uma combinação linear dos vetores n21 v,...,v,v . 
Exemplos 
Para as situações de a até c, consideremos, no R3, os seguintes vetores:  2,3,1v1  e  1,4,2v2  
a) Escrever o vetor  7,18,4v  como combinação linear de 21 vev . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mostrar que o vetor  6,3,4v  não é combinação linear dos vetores 21 vev 
 
 51 
c) Determinar o valor de k para que o vetor  7,k,1u  seja combinação linear de 21 vev . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Dependência e Independência Linear 
 
Definição. Sejam V um espaço vetorial e os vetores A={  Vvvv n ,...,, 21 . Dizemos que o conjunto
 n21 v,...,v,v é linearmente independente (LI), ou que os vetores n21 v,...,v,v são LI, se a equação 
0va....vava nn2211  admite apenas a solução trivial, ou seja, 0a...aa n21  . No caso de 
existirem soluções 0a i  dizemos que A é linearmente dependente (LD), ou que os vetores n21 v,...,v,v 
são LD. 
 Vetores linearmente dependentes (LD) podem ser caracterizados de outra maneira. 
Teorema. O conjunto n21 v,...,v,v é LD se, e somente se, um destes vetores for uma combinação linear dos 
outros. 
Nos gráficos a seguir apresentaremos uma interpretação geométrica da dependência linear de dois e 
três vetores no R3. 
A B 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 01 
 52 
 
 Percebemos que na Figura 01-A, 
21 ,vv estão representados na mesma reta que passa pela origem, 
portanto },{ 21 vv é LD . Enquanto que na Figura 01-B 21 ,vv não estão na mesma reta, portanto },{ 21 vv é 
LI. 
A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02 
Percebemos que na Figura 02-A, 21 ,vv e 3v estão representados no mesmo plano que passa pela origem, 
portanto },,{ 321 vvv é LD . Já na Figura 02-B 3v não pertence ao plano gerado pelos vetores 1v 2v , 
portanto },,{ 321 vvv é LI. 
Exemplos: 
1) Sejam os vetores v1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1) analise se são LI ou LD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Analise se os vetores são LI ou LD, onde v1 = (2,0) e v2 = (0,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
 Propriedades da Dependência e Independência Linear: 
 Seja V um espaço vetorial então 
I) Se   0veVvA  , então A é LI. 
II) Se um conjunto VA contém o vetor nulo, então A é LD. 
III) Se uma parte de um conjunto VA é LD, então A é também LD. 
IV) Se uma parte de um conjunto VA é LI, qualquer parte A1 de A é também LI. 
 
Observações 
1. Os vetores n21 v,...,v,v são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é combinação 
linear dos outros, ou seja, os vetores são colineares entre si. 
2. Se dois vetores n21 v,...,v,v , são iguais, digamos 21 v v  , então os vetores são dependentes. Pois 
0v- v 21  
3. Dois vetores 1v e 2v são dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. 
 
 
3.4 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 
 
Em geral nós pensamos numa reta como sendo unidimensional, num plano como sendo bidimensional 
e no espaço como sendo tridimensional. O principal objetivo deste tópico é tornar mais precisa esta noção 
intuitiva de “dimensão”, porém inicialmente será enunciado o conceito de “base”. 
Para começar será útil reformular a noção de sistema de coordenadas nos espaços bi e tridimensionais 
usando vetores em vez de eixos coordenados, isto pode ser feito substituindo cada eixo coordenado por um 
vetor de comprimento 1 que aponta na direção e no sentido positivo do eixo. Considere, por exemplo, que v1 
e v2 são tais vetores, se P = (a,b) é um ponto qualquer no plano, podemos projetar P paralelamente a v1 e v2, 
para ter 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ como a diagonal do paralelogramo determinado por av1 e bv2 e portanto podemos escrever o vetor 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ como uma combinação linear de v1 e v2, ou seja, 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = av1+ bv2. 
Então, informalmente dizemos que os vetores que especificam um sistema de coordenadas são os “os 
vetores de base” do sistema. Embora tenhamos usado vetores de base de comprimento 1, veremos que isso não 
é essencial, para formarmos uma base são suficientes vetores não-nulos de qualquer comprimento. Segue a 
seguir a definição de base de um espaço vetorial. 
 
Definição. Um conjunto   Vv...,,v,vB n21  é uma base do espaço vetorial V se: 
I) B é LI; 
II) B gera V 
 
 54 
Teorema. Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V, então cada vetor de V pode ser expresso 
da forma v= c1v1 + c2v2 + ... + cnvn de uma única maneira. 
Exemplos: 
1. Verificar se     0,1,1,1 B é base de R2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verificar se     110,02,1B é uma base R3. 
 
 55 
3. Verificar se       100,010,0,0,1B é uma base R3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Verificar se     031,12,1 B é uma base R3. 
 
 
 
 56 
 Dimensão de um espaço vetorial 
 
 A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V. 
Exemplos Resolvidos 
a) ..........dim 1  d) ..........dim n 
b) ..........dim 2  e) dim M(m,n) = ............. 
c) ..........dim 3  f) dim {0} = ............... 
A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V. 
 
Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V. 
 
Observações 
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um subespaço de V, então a dimensão de S < = n. 
No caso da dim S = n, tem-se que S = V. Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço 
tridimensional R3, onde a dimensão de qualquer subespaço do R3 só poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto, temos 
os seguintes casos: 
I) dim S = 0, então  0S  é a origem. 
II) dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem. 
III) dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. 
IV) dim S = 3, então S é o próprio R3. 
Uma forma prática para determinar a dimensão de um espaço vetorial é verificar o número de variáveis 
livres de seu vetor genérico. Esse número é a dimensão do espaço 
Exemplos Resolvidos 
1) Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial   0zyx2/Rz,y,xS 3  
2) Qual a dimensão do espaço vetorial S =  0zyx/)z,y,x( 3  ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 57 
 
Verifique, nos exercícios 1 e 2, se os conjuntos representam espaços vetoriais utilizando apenas as operações 
de adição e multiplicação por um escalar. 
1) V= {(1, a, b); a, b  R} 
2) V = {(a, 2a, 3a); a  R} 
 
3) Seja V = 3 1 2 3 3 1R e W x x x x {( , , ); }, verifique se W é um subespaço do R
3. 
 
4) Seja V = 2 2
0 0
xM
a b
c d
a b c d R e S
a b
a b R





 












 






; , , , ; , verifique se S é um subespaço de 
V. 
 
5) Nos problemas de I a IV são apresentados subconjuntos de R2. Verificar quais deles são subespaços vetoriais 
do R2. 
I) S = {(x, y)/y = -x} II) S = {(x, x2)/x  R} 
III) S = {(x, y)/x + 3y = 0} IV) S = {(x, y) /y = x+1} 
 
6) Considere o 3R e verifique se os vetores são LI ou LD. 
a) u1 = (2, -1, 0) u2 = (-1, 3, 0) u3 = (3, 5, 0) 
b) u1 = (1, -1, -2) u2 = (2, 1, 1) u3 = (-1, 0, 3). 
c) u1 = (1, 2, 1) , u2 = (2, 4, 2) e u3 = (5, 10, 5) 
d) u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 4, 5) e u3 = (3, 6, 5) 
 
7) Escrever o vetor u = (-1, 3, 3) como combinação linear de u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 0, -1) e u3 = (0, 1, 1). 
 
8) Escrever o vetor v = (2, -5, 3) como combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2), v2 = (2, -4, -1) e v3 = (1, -
5, 7). 
 
9) Escrever o vetor w = (7, -11, 2) como combinaçãolinear de u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4). 
 
10) Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto {(-1, 0, 2), (1, 1, 1), (k, -2, 0)}. 
 
11) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R2: 
a) B = {(1, 2), (-1, 3)} b) B = {(3, -6), (-4, 8)} 
 
12) O conjunto B = {(1, 1, -1), (2, -1, 0), (3, 2, 0)} forma uma base do R3? 
 
13)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços: 
 
 a)  xy/)y,x(S 24  b)  0z2yx/)z,y,x(S 35  
 
Respostas 
1) Não é espaço vetorial. 2) É espaço vetorial. 3) Não é espaço vetorial 
4) É subespaço 
5) I) É subespaço II) Não é subespaço III) é subespaço IV) Não é subespaço 
6) a) LD b) LI c) LD d) LD 
7) V = -u1 + u2 + 4u3 
8) Sistema Impossível, portanto não gera base 
9) w = 3u – 1v ‘10) k ≠ -3 
11) a) B gera o R2 b) B não gera o R2 
12) B gera o R3 13) a) dim S = 1; B={(1, -1),(2, -2)} b) dim S = 2; B={(1, 1, 0),(0, 2, 1)} 
 
 Lista 05: Espaços Vetoriais 
 58 
3.5 Espaços Vetoriais com Produto Interno 
 
Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores, 
u e v, associa um numero real, denotado por v,u ou vu  , satisfazendo os seguintes axiomas. 
i) 000  useeuueuu [Axioma de positividade] 
ii)    vuvu   para todo  real [Axioma de homogeneidade] 
iii)   wuvuwvu  [Axioma de aditividade] 
iv) uvvu  [Axioma de simetria] 
 
Um espaço vetorial real com um produto interno é chamado espaço com produto interno real. 
Sendo  11 y,xu  e  22 y,xv  definimos o produto escalar do R
2 da seguinte forma: 
2121 yyxxvu  . Analogamente define-se o produto escalar do R
3, R4, ..., Rn. 
 
3.6 Ortogonalidade 
 
 Seja V um espaço vetorial euclidiano (é um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido 
um produto interno). Diz-se que dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se,   vusejaouvu  ,0
. 
 
Exemplo 
 Seja 
2RV  um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno 
    21212211 ,, yyxxyxyx  . Em relação a este produto interno, os vetores  4,3u e  3,4v são 
ortogonais, pois:      03443  vu . 
 
 
 
 Conjunto Ortogonal de Vetores 
 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores   Vv...,,v,v n21  é ortogonal 
se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, jiparavv ji  0 . Por exemplo, o conjunto 
      3,5,1,1,0,3,3,2,1  é ortogonal em relação ao produto interno usual, pois os vetores deste conjunto 
são ortogonais dois a dois. 
 
 
 59 
Teorema 
 Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos  n21 v...,,v,vA  é linearmente independente (LI). 
 
Observação. A recíproca deste teorema não é verdadeira, ou seja, se o conjunto B é LI, isso não significa que 
B é ortogonal. Por exemplo,     5,2,2,1B  é um conjunto de vetores LI, mas B não é um conjunto 
ortogonal. 
 
 Base Ortogonal 
 Diz-se que uma base  n21 v...,,v,v de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais. Logo 
o conjunto       3,5,1,1,0,3,3,2,1B  é uma base ortogonal do R3. 
 
3.7 Conjuntos Ortonormais 
 
 Base Ortonormal 
 Uma base  n21 v...,,v,vB de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos 
os seus vetores são unitários, ou seja, possuem comprimento 1. 
 
 
Exemplos 
1) Verifique se o conjunto com os seguintes vetores       3,5,1,1,0,3,3,2,1B  é uma base 
ortogonal do R3. 
 
 60 
2) Verifique se 


























2
3
,
2
1
,
2
1
,
2
3
B é uma base ortonormal do R2. 
 
 
 61 
Observação 
 Já vimos que se v é um vetor não-nulo, o vetor 
v
v
 é unitário. Diz-se, nesse caso, que v está normalizado. 
O processo que transforma v em 
v
v
 chama-se normalização de v. 
 Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando cada vetor. 
 
Exemplo 
A base  n21 v...,,v,vB , sendo    1,1,2v,1,1,1v 21  e  1,1,0ve 3  é ortogonal em 
relação ao produto interno usual. Normalizando cada vetor obtemos uma base ortonormal do R3. Determinar 
esta base ortonormal. 
 
 62 
3.8 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt 
 Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer  n21 v...,,v,vB desse espaço, é possível, 
a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V. 
 De fato, supondo que n21 v...,,v,v não são ortogonais e, considerando que 11 vw  , determinamos o valor 
de  de modo que o vetor 
122 wvw  seja ortogonal a 1w , ou seja: 
012 ww 
0)( 112  wwv  
0)( 1112  wwwv  
11
12
ww
wv


 
1
11
12
22 w
ww
wv
vw 







 
Assim 21 wew são ortogonais. 
 Analogamente determina-se 3w , onde 1
11
13
2
22
23
33 w
ww
wv
w
ww
wv
vw 















 , onde 21 w,w e 3w 
são ortogonais. O processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma base qualquer 
chama-se processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. 
Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada iw , fazendo 
i
i
i
w
w
u  
Exemplo 1 
Sejam  1,1,1 v1  ,  0,1,1 v2  e  0,0,1 v3  vetores do R
3. Esses vetores constituem uma base 
}v,v,v{B 321 não ortogonal em relação ao produto interno usual. Obtenha a partir de B uma base 
}u,u,u{B 321 que seja ortonormal. 
 
 63 
Exemplo 2 
Transformar os vetores:  1,-3 v1  ,  2,2 v2  em base ortonormal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determinar o valor de m para que os vetores  3,m,2u  e  4,2,1mv  sejam ortogonais em 
relação o produto interno usual do 
3R . 
2) Construir a partir do vetor  1,2,1v1  uma base ortogonal do R
3 relativamente ao produto interno usual 
e obter, a partir dela, uma base ortonormal. 
3) Considere as seguintes bases: 
a)     2,1,4,3A  b)       2,1,0,1,1,0,0,0,1B  c)       4,3,0,1,0,1,1,0,1C  
Ortonormalizar essas bases em relação ao produto interno usual de cada espaço. 
 
Respostas 
1) 
2
7
m  2)       1,0,1,1,1,1,1,2,1B  para base ortonormal, basta normalizar cada vetor de B. 
3) a) 



















5
3
,
5
4
,
5
4
,
5
3
'A
 
b)  



















2
1
,
2
1
,0,
2
1
,
2
1
,0,0,0,1'B
 
c)  


















 0,1,0,
2
1
,0,
2
1
,
2
1
,0,
2
1
'C 
 
 
 Lista 06: Espaços Vetoriais 
 64 
4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
 Estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços 
vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente, são vetores, razão pela qual 
essas funções são chamadas vetoriais. Estamos particularmente interessados nas funções vetoriais lineares que 
serão denominadas “transformações lineares”. As transformações lineares são fundamentais no estudo da 
Álgebra Linear e têm muitas aplicações na Física, Engenharias, Ciências Sociais e em outros vários ramos da 
Matemática. 
 Para dizer que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escreve-se WV:T 
sendo T uma função, cada vetor Vv tem um só vetor imagem Ww , que será indicado por  vTw  . 
 Considerando 
32 RWeRV  , uma transformação 32 RR:T  associa vetores   2Ry,xv  
com vetores   3Rz,y,xw  . Se a lei que define a transformação T for    yx,y2,x3y,xT  , o 
diagrama apresenta três vetores particulares de v e suas correspondentes imagens w. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T: V  W é chamada transformação linear de Vem W se: 
 I)      vT uT vu T  
 II)    uTuT  para  u, v  V e    R. 
 
Observação. Uma transformação linear de V em V (é o caso onde V = W, ou seja, quando V e W têm a mesma 
dimensão) é chamada operador linear sobre V. 
Exemplos: 
1. Mostre que 
32 RR:T  ,    yx,y2,x3y,xT  , é uma transformação linear. 
 
 
 
 
 
 
 65 
2. Mostre que RR:T  ,   x3xT  , é uma transformação linear. 
3. Mostre que RR:T 3  ,    zyxz,y,xT  , é uma transformação linear. 
4. Mostre que RR:T  ,   1x3xT  , não é uma transformação linear. 
 
 66 
Propriedade 
 Se WV:T  for uma transformação linear, então: 
      vbTuaTbvauT  para Rb,aeVv,u  . 
 De forma análoga, tem-se: 
        nn2211nn2211 vTa...vTavTava...vavaT  
para n...,,2,1i,RaeVv ii  , isto é, a imagem de uma combinação linear de vetores é uma 
combinação linear desses vetores, com os mesmos coeficientes. 
 Suponhamos que  n21 v,...,v,v seja uma base do domínio V e que se saiba quais são as imagens 
     n21 vT,...,vT,vT dos vetores desta base. Sempre é possível obter a imagem  vT de qualquer Vv , 
pois sendo v uma combinação linear dos vetores da base, isto é: 
nn2211 va...vavav  
e pela relação acima, vem: 
       nn2211 vTa...vTavTavT  
 Assim, uma transformação linear WV:T  fica completamente definida quando se conhecem as 
imagens dos vetores de uma base de V. 
 
Exemplos: 
1) Seja 
23 RR:T  uma transformação linear e  321 v,v,vb  uma base do R
3, sendo  0,1,0v1  , 
 1,0,1v2  e  0,1,1v3  . Determinar  2,3,5T  , sabendo que    2,1vT 1  ,    1,3vT 2  e 
   2,0vT 3  . 
2) Sabendo que 
32 RR:T  é uma transformação linear e que    2,2,31,1T  e    3,1,12,1T  , 
determinar  y,xT . 
 
 67 
4.1 . Núcleo e Imagem de uma transformação linear 
 Definição: Chama-se núcleo de uma transformação linear WV:T  ao conjunto de todos os vetores 
Vv que são transformações lineares em W0 . Indica-se esse conjunto por  TN ou  Tker : 
 TN ou     0vT/VvTker  
 
Definição: Chama-se imagem de uma transformação linear WV:T  ao conjunto dos vetores Ww 
que são imagens de pelo menos um vetor Vv . Indica-se esse conjunto por  TIm ou  VT : 
    V valgum parawvT/WwTIm  
Exemplos 
1. Determinar o núcleo e a imagem do operador linear: 
   zy3x,z2y,zy2xz,y,xT,RR:T 33  . 
2. Seja R3-R2 a transformação Linear dada por T(x ,y, z) = (x –y + 4z,3x + y + 8z) encontre o núcleo. 
 
 68 
4.2 Matriz de uma transformação linear 
 
 Sejam WV:T  uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Consideremos o caso 
em que 3Wdime2Vdim  . Sejam  21 v,vA  e  321 w,w,wB  bases de V e W, 
respectivamente. 
 Um vetor Vv pode ser expresso por:  21A2211 x,xvouvxvxv  e a imagem  vT por: 
     321B332211 y,y,yvTouwywywyvT  
Por outro lado: 
        22112211 vTxvTxvxvxTvT  
Sendo    21 vTevT vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores de B: 
   3312211111 wawawavT  
   3322221122 wawawavT  
Substituindo esses valores em      2211 vTxvTxvT  , vem: 
      33222211223312211111 wawawaxwawawaxvT  
ou 
         323213122221211212111 wxaxawxaxawxaxavT  
Comparando essa igualdade com   332211 wywywyvT  , concluiu-se: 
2321313
2221212
2121111
xaxay
xaxay
xaxay



 
ou, na forma matricial: 
 


























2
1
3231
2221
1211
3
2
1
x
x
aa
aa
aa
y
y
y
 
   
  
B1
vT  
B2
vT 
ou, simbolicamente:       A
A
BB vTvT  
sendo  ABT denominada matriz de T em relação às bases A e B, isto é, T é a matriz mudança de base de A 
para B. 
 
 
 
 69 
Observações 
1. A matriz  ABT é de ordem 23 quando 3Wdime2Vdim  . 
2. As colunas da matriz  ABT são as componentes das imagens dos vetores da base A em relação à base B. 
3. A matriz  ABT depende das bases A e B consideradas, isto é, a cada dupla de bases corresponde uma 
particular matriz. Assim, uma transformação linear poderá ter uma infinidade de matrizes para representá-
la. No entanto, fixadas as bases, a matriz é única. 
 
Exemplo 
1. Seja    z2yx3,zyx2z,y,xT,RR:T 23  , linear e consideremos as bases 
      1,0,0;1,1,0;1,1,1A e     3,5;1,2B  . 
a) determinar  ABT . 
b) Se  2,4,3v  (coordenadas em relação à base canônica do R3), calcular  BvT utilizando a matriz 
encontrada. 
 
 
 
 70 
 
 
 
1) Determine quais das seguintes transformações são aplicações lineares: 
a) 
   x,xy,xT
RR:T
2
22


 
b) 
   x2,xxT
RR:T 2


 
 
 
 
2) Determine a transformação linear
23 RR:T  tal que tal que    1,11,2,3T  ,    2,00,1,0T  e 
   0,01,0,0T  
 
3) Determine o operador linear da transformação 
22 RR:T  tal que    1,10,1T  e    2,21,0T  
 
4) Qual é a transformação linear 
32 RR:T  tal que    0,1,20,1T  e    1,0,01,0T  . 
 
5) Dadas as transformações, indique o núcleo e a imagem de cada uma delas: 
 a) 
   x2,xxT
RR:T 2


 b) 
  yxy,xT
RR:T 2


 
 
6) Seja    z2yx3,zyx2z,y,xT,RR:T 23  , linear com as bases  321 v,v,vA  onde 
     1,0,0ve1,1,0v,1,1,1v 321  e  21 w,wB  onde    1,0we0,1w 21  
a) determinar  ABT . 
b) Se  2,4,3v  calcular  BvT . 
 
7) Seja    z2yx3,zyx2z,y,xT,RR:T 23  , linear com as bases  321 v,v,vA  onde 
     1,0,0ve0,1,0v,0,0,1v 321  e  21 w,wB  onde    1,0we0,1w 21  
a)determinar  ABT . 
b)Se  2,4,3v  calcular  BvT . 
 
 
Respostas 
1) b é aplicação linear 2)   





 y2
3
x5
,
3
x
z,y,xT 3)    y2x,y2xy,xT  
4)    yxxyxT ,,2,  
 
5) a) 
   
    ba2/Rb,aTIm
0x/RxTN
2 

 b) 
    
   ayxRaT
yxRyxTN


/Im
/,
2
2
 
6) a)   







212
102
T
A
B b)   






1
12
vT B 7) .a)   








213
112
T
A
B b)   






1
12
vT B 
 
 
 Lista 07: Transformações Lineares 
 71 
 
4.3 Transformações Lineares Planas 
Reflexões 
a) Reflexão em torno do eixo dos x 
 Essa transformação linear leva cada ponto  y,x para sua imagem  y,x  , simétrica em relação ao eixo 
dos x. 
22 RR:T  
   y,xy,x  ou    y,xy,xT  
 sendo 





10
01
 sua matriz canônica, isto é: 


















 y
x
10
01
y
x
 
 
b) Reflexão em torno do eixo dos y 
22 RR:T  
   y,xy,x  ou 























y
x
10
01
y
x
y
x
 
 
c) Reflexão na origem 
22 RR:T  
   y,xy,x  ou 



























y
x
10
01
y
x
y
x

 
 
d) Reflexão em torno da reta xy  
22 RR:T  
   x,yy,x  ou 























y
x
01
10
x
y
y
x
 
e) Reflexão em torno da reta xy  
22 RR:T  
   x,yy,x  ou 



























y
x
01
10
x
y
y
x
 
 
Dilatações e Contrações 
a) Dilatação ou contração na direção do vetor 
22 RR:T  
    R,y,xy,x  ou 

































y
x
0
0
y
x
y
x
y
x
 
É utilizada na computação gráfica bidimensional, sendo 
importante papel nas áreas de videogames e de efeitos 
especiais para a indústria cinematográfica. 
 72 
Observemos que: 
 se 1 , T dilata o vetor; 
 se 1 , T contrai