1 - Resistência dos Materiais I - 2023

Prévia do material em texto

1 
 
 
Resistência dos Materiais 
 Prof. Jorge Victorio 
Curso Técnico em Edificações 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
Resistência dos Materiais 
 
Curso Técnico em Edificações 
 
 
 
esistência dos materiais é um assunto deslumbrante, porque leva o estudante a “viajar” para 
um ambiente de criatividade, do conhecimento dos materiais de construção e a perspectiva 
da elaboração de seus futuros projetos de máquinas ou edificações. Entretanto, a maioria 
dos estudantes tem esse deslumbramento frustrado, quando a Resistência dos Materiais lhe 
é apresentada em linguagem própria aos cursos universitários onde são requeridos bons 
conhecimentos de Física, Desenho Técnico e Matemática (Integral; equações diferenciais; etc.). 
 
Esta obra, como raras outras, sintetiza o estudo de Resistência dos Materiais com linguagem 
simplificada, buscando alcançar o entendimento dos alunos do 2° grau técnico em Edificações. 
 
 
4ª EDIÇÂO 
 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Eng. Jorge Victorio R. de Souza. 
 Prof. FAETEC - ID 2079964-0 
 
R 
4 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 
 
m todas as construções os componentes da estrutura devem ter geometria adequada e 
definida para resistirem às forças que nela atuam, tais como o peso próprio, as cargas 
naturais de trabalho ou prováveis ações externas previsíveis ou imprevisíveis tais como a 
ação do vento. Assim, as paredes de um reservatório de pressão deverão ter resistência apropriada 
para suportar à pressão interna; um pilar de um edifício deverá ter resistência para suportar as 
cargas das vigas; O eixo de um motor deve suportar com segurança as cargas de Torção e Flexão que 
aparecem durante sua montagem e funcionamento. Se o material não resistir às AÇÕES, atingirá um 
Estado Limite por Ruptura. Da mesma forma, um piso de edifício deve ser rígido o suficiente para 
evitar uma deformação (flecha) excessiva, o que em alguns casos pode provocar fissuras, tornando-
se inadequado em seu aspecto funcional (Estado Limite de Utilização). Finalmente, uma haste ou um 
pilar muito delgado, quando submetida a uma AÇÃO compressiva atingirá o colapso por perda de 
estabilidade (FLAMBAGEM). 
Neste sentido a seleção dos materiais e o dimensionamento dos elementos de uma estrutura 
se baseiam nas três seguintes 
 
 - Resistência mecânica, 
 - Rigidez, 
 - Estabilidade. 
 
O estudo da “resistência” dos elementos é desenvolvido com os fundamentos da estática dos 
corpos rígidos que já eram do conhecimento dos cientistas da antiga Grécia, enquanto as questões 
referentes às deformações (Rigidez e Estabilidade) tiveram início com Leonardo da Vinci (1452-1519) 
e, mais tarde, Galileo (1564-1642). O livro de Galileu, "Duas novas ciências", apresentou, pela 
primeira vez, uma discussão das propriedades dos materiais que se utilizam nas estruturas e, 
também, o primeiro estudo da resistência das vigas. A lei de Hooke, segundo a qual as tensões são 
proporcionais às deformações, simplificou de tal forma o estudo que, daí por diante, o progresso 
nesse campo de conhecimentos tomou novo impulso. A equação diferencial da linha elástica foi 
deduzida por Jacob Bernouilli (1654-1705); mais tarde Leonard Euler (1707-1783), prosseguindo no 
estudo das deformações das barras, apresentou a teoria da flambagem das barras comprimidas 
axialmente. A distribuição das tensões normais, nas secções transversais das vigas, foi apresentada, 
em 1776; por Coulomb (1736-1806) que, mais tarde, lançou as bases da teoria da torção das barras, 
Navier (1785-1836) aperfeiçoou o estudo da flexão das vigas podendo afirmar-se, segundo Willian 
A. Nash no seu livro “Resistência dos Materiais”, que as bases da moderna Resistência dos Materiais 
são devidas a Coulomb e Navier. 
 
O Estudo da Resistência dos Materiais tomou vulto a partir do desenvolvimento das leis da 
estática. 
 
1) A estática considera os efeitos externos das forças que atuam num corpo, isto é, o fato de 
as forças tenderem a alterar o estado de movimento do corpo. 
2) A Resistência dos Materiais considera os efeitos internos, isto é, o estado de tensões e de 
deformações que se originam no corpo. 
 
A Resistência dos Materiais nos fornece uma explicação satisfatória, do comportamento dos 
sólidos submetidos a esforços externos. Apesar disso, muitos problemas importantes são tratados 
na Teoria da elasticidade, Teoria da estabilidade elástica, Teoria da plasticidade, Teoria dos meios 
contínuos, dentre várias outras disciplinas. 
A finalidade do nosso curso é o estudo em busca de um conhecimento básico, suficiente ao 
entendimento e, quiçá desenvolvimento, de projetos de estruturas de uso comum na engenharia. 
E 
5 
 
Nota: 
- Adaptação do prefácio do Livro de William A. Nash – Resistência dos Materiais – Editora 
McGRAWHILL do Brasil – 1971. 
 - Adaptação do prefácio da apostila de “Flambagem de Barras” - Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia – 
UniCamp-Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo – Departamento de Estruturas - 
Junho 2006. 
 
 
 Jorge Victorio R. de Souza. 
Fevereiro 2023. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS CAP. I 
1- Princípios da Estática 
 
A Estática baseia-se nos princípios da Física, conhecidos por “Leis de Newton“. 
A primeira lei de Newton, também conhecido como “Princípio da inércia” ou “Princípio de 
Kepler”, nos diz que: 
 
“A resultante das forças que agem sobre um corpo em repouso, ou em movimento 
retilíneo uniforme é nula”. 
 
Temos que inércia “é a propriedade fundamental da matéria, pela qual um corpo é incapaz 
de modificar sua forma ou movimento se sobre ele não agir uma causa externa”. 
A segunda lei de Newton refere-se ao princípio fundamental da Dinâmica e não será assunto 
de nosso curso. 
 
A terceira lei de Newton, conhecida como princípio da ação e reação, nos diz que: 
 
“... Sempre que um corpo exerce uma força sobre um outro, o segundo também 
exerce, sobre o primeiro, uma força de mesma intensidade, de mesma direção e de 
sentido contrário”. 
 
 
 
1.1- Força, conceito e definição. 
 
As leis de Newton referem-se às forças que agem sobre um corpo. A Estática é a parte da 
mecânica que estuda as forças em equilíbrio. Assim podemos afirmar que o perfeito entendimento 
do conceito e da definição de força é fundamental para o estudo da Mecânica Técnica. 
 
 Definimos força como o produto da massa pela aceleração que lhe é aplicada: 
 
 
 “ F = m . a ” 
 
onde m (Kg ) é massa e a ( m/s² ) é aceleração. Como vemos, força é uma grandeza vetorial 
e como tal para ser perfeitamente identificada é necessário a determinação de sua intensidade e 
posição (direção e sentido). 
 
 
 
 
 
 
“... Força é toda causa capaz de provocar modificação de forma ou movimento em um 
corpo.” 
 
 
 
 
7 
 
- Sistemas de forças. 
 
Quando temos apenas uma força atuando sobre um corpo, podemos imediatamente 
determinar os seus efeitos, entretanto na maioria das situações várias forças atuam 
simultaneamente sobre um ponto material, neste caso estamos diante do que chamamos de 
“Sistema de Forças”. 
 
De acordo com o posicionamento das forças em um sistema, elas recebem denominações 
que se fundamentam nas suas características geométricas, por exemplo: 
 
 
• Forças coplanares: São forças que atuam em um mesmo plano. 
 
• Forças não coplanares: São forças que atual em planos diversos. 
 
 
As Forças coplanares por sua vez são classificadas como: 
 
 
• Forças Convergentes: São aquelas que embora possam ter direção particular, têm um 
mesmo ponto de atuação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Forças Divergentes: São forças que têm suas origens emum mesmo ponto, e que dele 
se afastam em direções e sentidos diversos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças convergentes e as divergentes têm um ponto comum, portanto suas “retas suporte” 
formam um ângulo entre si. Dois casos particulares são de interesse especial: 
 
• Ângulo formado igual a 0º ou 180º, temos as forças colineares. 
 
• Ângulo formado igual a 90º ou 270º, temos as forças ortogonais. 
 
 
 
 
 
8 
 
• Forças colineares: São aquelas contidas sobre um mesmo suporte, têm a mesma 
direção, podem ter sentidos iguais ou opostos, isto é: aquelas que estão sobre uma 
mesma linha. 
 
 
 
 F1 F2 F3 
 
 
• Forças paralelas: São paralelas entre si, não têm ponto comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Forças não paralelas: São forças que têm direção e sentido qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades da intensidade de uma força: 
 
SI – Sistema Internacional de medidas (padrão ABNT) ...................... Newton (N) 
MKS – Sistema prático (tolerado) ..................................................... Kilograma-força (Kgf) 
Sistema Inglês .................................................................................. Libra-força (lbf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro de equivalência das unidades de medida de força. 
1Kgf 1N 1lbf 
9,81N 0,102Kgf 0,454Kgf 
2,2lbf 0,222lbf 4,504N 
 
9 
 
2- Determinação da resultante de um sistema de forças. 
 
O cálculo dos efeitos de um sistema de forças composto por uma grande quantidade de 
forças atuantes sobre um corpo, ou um ponto material, requer a simplificação desse sistema em 
uma única força equivalente que chamamos de “Resultante do Sistema”. A resultante de um 
sistema de forças é a soma vetorial de todas as forças que compõem esse sistema. 
 
São dois os métodos básicos para a determinação da resultante de um sistema de forças: 
 
1. “Método gráfico”. 
 
2. “Método analítico”. 
 
 
2.1- Determinação da resultante pelo método gráfico: 
 
O método gráfico utiliza os princípios básicos do desenho em escala, onde direção da força é 
definida por uma reta posicionada em relação a um plano horizontal de referência, a intensidade 
da força é representada por um segmento dessa reta com comprimento medido em uma escala 
conveniente e o sentido da força e representado pela figura de uma ponta de seta colocada na 
extremidade adequada, do segmento da reta. O grau de exatidão do resultado é conseqüência 
direta da qualidade do desenho executado, por isso é imprescindível o uso de “escala graduada”, 
“transferidor de grau” e “traço fino”. 
Conforme descrito no parágrafo anterior, temos nas figuras abaixo o exemplo da 
representação gráfica de um vetor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transferidor de graus
Jorge Victorio
 
 
 
 
* Traçado da linha horizontal de referência, realizado com o 
auxílio de uma “régua” e um lápis fino e claro, suave. 
 
Fig. 1 Fig. 2 
* Linha horizontal de referência. 
* Marcação do ângulo especificado com o auxílio do 
“transferidor de graus” e de um lápis fino e claro, suavemente. 
 
Fig. 4 Fig. 3 
* Marca referente ao ângulo de especificado. 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As figuras acima descrevem o procedimento para a representação de uma única força. Para 
procedermos a associação de (n) forças, em busca da determinação da Força Resultante de um 
sistema, basta que façamos a representação de cada uma das forças desse sistema, 
sucessivamente, tornando-os consecutivos, isto é: 
 
- A origem do segundo segmento ( F2 ) coincide com o final do primeiro ( F1 ), a 
extremidade que contém a “seta”, e assim sucessivamente até que seja representada 
a última força ( Fn ) do sistema. 
 
Após a associação de todos as forças do sistema, a resultante será determinada ao traçarmos 
um novo segmento de reta, que deverá ter origem na origem da primeira força do sistema e deverá 
estender-se até a extremidade livre da última força desse sistema . 
 
- Se a extremidade livre do segmento representativo da última força do sistema ( Fn ) 
coincidir com a origem do primeiro, a resultante será nula. 
 
A ordem em que traçamos os segmentos de retas que representam as forças, não altera o 
resultado da determinação da resultante do sistema, por isso podemos recomendar que a 
sequência do posicionamento das forças seja prevista de tal modo que os traços de nosso desenho 
não se “entrelacem”, para que possamos distingui-los com clareza. 
 
 
 
 
 
* Reta Suporte. Representação da direção do vetor. 
* Traçado da “Reta Suporte” passando pela marca do ângulo 
especificado e por um ponto de origem sobre a linha horizontal 
de referência, realizado com o auxílio de uma “régua” e um 
lápis fino e claro, suavemente. 
 
 
F(40 Kgf ; 30o ) 
* Vetor perfeitamente representado, com direção, 
intensidade e sentido orientado pela “ponta de seta”. Fig. 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5 
* Traçado do “Seguimento de Reta”, que representa a 
intensidade do vetor, sobre a reta suporte, realizado com o 
auxílio de uma “régua graduada” e um lápis fino e escuro. Fig. 7 
Fig. 6 
11 
 
Exemplo: 
 
1 ) Seja o sistema de força conforme croqui abaixo, onde F1( 40 kgf , 50º ); F2( 25 kgf , 30º); 
F3( 35kgf , 15º ) ; F4( 30 kgf , 75º ). Determine a resultante desse sistema. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: As figuras 2 e 3 nos comprovam que, independentemente da ordem na qual 
procedemos a associação dos vetores, o valor da resultante desse sistema é: R ( 42,5 kgf ; 27º 56’ 
24’’ ) . 
 
Neste exemplo vemos que as figuras são poligonais, têm cinco lados, formados pelos 
segmentos representativos das quatro forças do sistema e da sua resultante. Por essa razão, o 
processo de determinação da resultante e chamado de “Método do polígono”. 
 
Quando trabalhamos com sistemas de apenas duas forças, temos os casos particulares do método 
gráfico chamado de “Método do Paralelogramo”, seu nome é devido a figura formada pelos 
segmentos orientados. 
 
 
 
 
 
 
Fig.1 
 
F2 
F3 
Fig. 3 
 
F2 
F4 
Fig. 2 
Ref. 
F4 F1 
F2 
F3 
F4 
F1 
F3 
F1 
Ref. 
12 
 
2.2- Determinação da resultante pelo método analítico: 
 
O método analítico utiliza-se dos princípios da trigonometria. Baseia-se no processo das 
projeções de uma força em um sistema de eixos ortogonais ( X ; Y ). 
Nesse sistema, tomamos um par de eixos ortogonais, denominamos o eixo horizontal “X” de 
eixo dos Cosenos, enquanto o eixo vertical “Y” é denominado de eixo dos Senos. A partir da 
interseção desses eixos, traçamos um círculo de raio ( R ) e verificamos que para cada ângulo de 
inclinação desse raio, temos uma correspondente projeção nos eixos X e Y respectivamente. Por 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Na figura 4, fazendo o valor de ( R ) igual a 1 ( um ) e sua inclinação igual a 60o, temos que 
a projeção no eixo X corresponde a ( 0,5000 x 1), enquanto a projeção no eixo Y 
corresponde a ( 0,8660 x 1 ). 
 
Analisando a figura 4, concluímos que, para qualquer que seja o valor de ( R ), dada uma 
inclinação de 60o o valor da projeção de ( R ) no eixo X será sempre proporcional a 0,5000, assim 
como sempre será proporcional a 0,8660 no eixo Y. 
Ainda na figura 4, em cuidadosa escala, fazemos variar o ângulo de inclinação do raio ( R ) e 
observamos que novos valores das projeções em X e em Y se fazem corresponder a cada ângulo 
especificamente. Dessa forma podemos montar uma tabela com os valores correspondente de X 
(Co-seno) e Y (Seno) para cada ângulo pesquisado. 
 
 
EXEMPLO DE TABELA DE SENOS & COSENOS . 
 
* OBS: Observe que o valor do coseno de um ângulo é igual ao valordo seno de seu 
“Complemento” e vice-versa. 
 
R
Y ( Eixo dos Senos )
X ( Eixo dos Cosenos )
Ry
Rx
 
Fig. 4 
Âng. Sen Cos 
0º 0,0000 1,0000 
10º 0,1736 0,9848 
15º 0,2588 0,9659 
20º 0,3420 0,9396 
25º 0,4226 0,9063 
30º 0,5000 0,8660 
 
Âng. Sen Cos 
35º 0,5735 0,8191 
40º 0,6427 0,7660 
45º 0,7071 0,7071 
50º 0,7660 0,6427 
55º 0,8191 0,5735 
60º 0,8660 0,5000 
 
Âng. Sen Cos 
65º 0,9063 0,4226 
70º 0,9396 0,3420 
75º 0,9659 0,2588 
80º 0,9848 0,1736 
85º 0,9961 0,0871 
90º 1,0000 0,0000 
 
13 
 
Nos principais problemas mecânicos, poderão nos ocorrer duas questões básicas: 
 
1ª ) Composição de forças : Ocorre quando temos a necessidade de conhecer uma única 
força resultante da atuação de várias forças sobre um ponto material. É importante ressaltar que o 
método analítico somente poderá ser aplicado a sistemas ou subsistemas de apenas duas forças. 
Portanto, quando três ou mais forças estiverem atuando sobre um mesmo ponto, estas forças 
deverão ser agrupadas de modo a podermos operá-las duas-a-duas. 
 
A equação abaixo nos permite calcular a intensidade (módulo) da força resultante: 
 
 
 
 R = F 1 2 + F2 2 + ( 2 . F1 . F2 . Cos Ø ) 
 
Sabemos que uma força não está perfeitamente identificada quanto temos apenas o valor 
de sua intensidade. Para a identificação correta é necessário que conheçamos sua posição, que nos 
é dada pela seguinte equação: 
 
Tg ØR = F1 Sen Ø . 
 F2 + F1 Cos Ø 
 
Nota: Nas equações acima, utilizamos o símbolo de “modulo” nas forças estudadas. Nos 
exemplos que virão deixaremos de usá-lo, consideraremos ser uma condição implícita. 
 
2ª) Decomposição de forças: Poderá ocorrer que conheçamos uma força atuante de posição 
inclinada em relação à um horizonte de referência e que nossa necessidade seja conhecer suas 
componentes ortogonais. Dessa feita temos que decompor a força “F” em suas componentes 
ortogonais que chamamos de ”Fx” e “Fy” respectivamente, como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) Quando temos que projetar B) Quando temos que projetar 
a força “ F ” no eixo Horizontal : a força “ F ” no eixo Vertical : 
 Fx = F . Cos Ø Fy = F . Sen Ø 
 
 
 
Exemplos: 
2.2.1- Um sistema é constituído de duas forças ortogonais F1 e F2, de módulos respectivamente 
iguais a 6 Kgf e 8 Kgf. Determine qual é intensidade e a direção da força resultante desse sistema. 
 
OBS: A solução dessa questão poderá ser obtida utilizando-se tanto o método gráfico como o 
método analítico: 
 
 
 
 
22° 22° 
 
14 
 
a) Método gráfico. 
 
 
Resposta: R = (10 Kgf ; 37º ) 
 
 
 
b) Método analítico. 
 
 
 R = F12 + F22 + (2 x F1 . F2 . Cos Ø ) . = 6² + 8²+ 2 ( 6 x 8 x Cos 90°) 
 
 
 R = 36 + 64 + ( 2 x 6 x 8 x 0 )  R = 100 
 
 
 R = 10 Kgf , 
 
 
Tg ØR = F1 Sen Ø ,  6 x sen 90º ,  6 x 1 ,  6 = 0,75 
 F2 + F1 Cos Ø 8 + ( 6 x Cos 90º ) 8 + ( 6 x 0 ) 8 
 
 
 ØR = 36º 52 ’ 11’’ 
 
Resposta: R = ( 10 Kgf ; 36º 52’ 11’’ ) 
 
 
 
2.2.2 - Supondo que as forças da questão anterior fazem entre si um ângulo de 60º, qual será o 
valor da intensidade da força resultante. 
 
 
 R = F12 + F22 + (2 . F1 . F2 . Cos Ø ) 
 
 
 R = 6 2 + 82 + (2 x 6 x 8 x Cos 60º ) . 
 
 
 R = 36 + 64 + (2 x 6 x 8 x 0, 5 ) .  R = 100 + 48 
 
 R = 12,16 Kgf 
 
 
Resposta: Para a nova condição proposta a intensidade (módulo) da resultante será 12,16 Kgf. 
 
15 
 
2.2.3 - Um “equipamento” pesa 2700 Kg e precisa ser deslocado para o local de seu assentamento. 
A equipe de Técnicos dispõe de um equipamento mecânico cujo “cabo de tração” suporta a força 
máxima de 3000 Kgf. Comprove se o equipamento é (ou não) adequado à necessidade da equipe. 
 
 
Solução: 
Inicialmente temos que determinar a força mínima necessária para o deslocamento e, 
posteriormente, compará-la com a capacidade do equipamento. 
Em condições ideais (desconsideramos força de atrito, força de impacto e demais causas 
externas), a “condição limite” para o deslocamento do bloco ocorrerá com a atuação de uma força 
de tração imediatamente superior a força peso. Assim, faremos por exemplo Fx = 2700 x 10-10 Kgf, 
enquanto a força atuante no cabo de tração é obtida pela equação Fx = F . Cos Ø. 
 
Fx = F . Cos Ø  2700 = F . Cos 30º  2700 = F x 0, 8660 
 
F = 2700 = 3117,78 Kgf 
 0,8660 
 
Resposta: Verificamos que a força mínima necessária para o deslocamento é de 3117,78 Kgf, 
ao compará-la com a capacidade máxima do equipamento que é 3000 Kgf, concluímos que o 
equipamento não é adequado à necessidade da equipe, por ter capacidade inferior a força que se 
faz necessária. 
 
 
2.2.4) Um prego está cravado em uma tábua, sabemos que para extraí-lo será necessária uma força 
axial de 35 Kgf. Qual a força que, quando inclinada à 55º (graus) em relação à tábua, será capaz de 
extrair o prego. 
 
Solução: Força axial é aquela que atua sobre o eixo longitudinal, neste caso coincide com a 
direção do “ eixo Y” , portanto chamá-la-emos de “ Fy ” . Sabemos que Fy = F * Sen Ø logo: 
 
Fy = F . Sen Ø  35 = F . Sen 55º  35 = F x 0, 8191 
 
F = 35 = 42,73 Kgf 
 0,8191 
 
Resposta: A força necessária, quando inclinada a 55º será de 42,73 Kgf . 
 
16 
 
3 - Sistemas de forças em equilíbrio. 
 
Para que um corpo esteja em equilíbrio é necessário que sejam obedecidas duas condições, 
conhecidas como “Condições gerais de equilíbrio”: 
 
1ª ) - A resultante do sistema de forças que age sobre o corpo, deve ser nula . 
 
 R = 0 . 
 
2ª ) - O momento resultante do sistema de forças que age sobre um corpo, em relação à um 
ponto de apoio, deve ser nulo . 
 
M0 = 0. 
 
 
Várias considerações são feitas no estudo da “Física Clássica”, no nosso curso temos especial 
interesse na ocorrência de forças coplanares, paralelas, onde sabemos que o momento resultante 
de um sistema, em relação a um ponto qualquer, é igual ao somatório dos momentos atuantes no 
sistema em relação a esse ponto, assim temos: 
 
 Mo = 0. 
 
Sendo o momento resultante, a soma algébrica dos momentos atuantes no sistema, 
podemos escrever : 
 
MF1 + MF2 + MF3 + ...+ MFn = 0. 
 
 
Temos que o momento produzido por uma força é o produto dessa força pela distancia do 
seu ponto de aplicação ao ponto de apoio considerado: 
 
MF = F . d 
 
Vemos na equação acima que a unidade do “Momento” é composta pela unidade da força e a 
unidade linear [F] x [d], consideradas. Assim temos: 
 
A distância (d ), medida entre o ponto de aplicação da força e o ponto de apoio considerado, 
é também chamada de “ Braço de alavanca ” . 
 
 
SI – Sistema Internacional de medidas (padrão ABNT)................... Newton x metro (Nm) 
MKS – Sistema prático (tolerado) ................................................... Kilograma-força x metro (Kgm) 
Sistema Inglês ................................................................................. Libra-força x pé (lbft) 
 
1Kgm = 9,81Nm 
1Kgm = 7,2 lbft 
17 
 
 
 
 
F = RA + RB 
 
 
 
 
Exemplos: 
3.1) Analise a figura abaixo e determine os valores das forças F1 e F2 que atuam no sistema 
representado abaixo. 
 
 
 
∑ Fx = 0 
 
F1x + (- F2x) = 0 >>>> F1 cos 30° - F2x =0 
 
F2x = 0,8660F1 
 
∑ Fy = 0 
 
(F1y = F.sen 30°) - (F2y = F2 . sen 180°) + (- 500Kgf) = 0 
 
(0,5000 . F1) - 500 Kgf = 0 >>>> F1 = 500 Kgf >>> F1 = 1000 Kgf 
 0,500 
F2x = 0,8660 x F1 >>> F2= 866 Kgf 
 
Resposta= A força F1 é de 1000 Kgf , enquanto a Força F2 é 866 Kgf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30° 
500 Kgf 
F1 
F2 
F1x - F2x 
F1y 
 Obs: Uma “ barra ” ou “ viga ” com apenas um apoio 
é chamada de “ alavanca simples ”, onde : 
 a = Braço de alavanca da força F1. 
 b = Braço de alavanca da força F2. 
 Obs. : Uma barra ou “ viga ” suportada por dois 
apoios simples é chamada de “ Viga Bi-apoiada ”, 
onde: 
 a = Braço de alavanca da força F1, em relação à 
extremidade “ A ”. 
 b = Braço de alavanca da força F1, em relação à 
extremidade “ B ”. 
0 
Ra Rb 
Problemas dessa natureza podem ser resolvidos 
pelo método do “Diagrama de corpo Livre” ou 
pela “Lei dos Senos”. Ambos consideram o 
“Sistema de forças em equilíbrio”. 
Assim, considerando o conjunto de forças em 
equilíbrio, temos que: 
 
 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 
18 
 
3.2) Uma luminária está instalada em um galpão industrial, conforme representado na figura 
abaixo: 
Determine qual o esforço que atua em cada um dos cabos de sustentação da luminária. 
(Hibbeler, R.C. – Resistência dos Materiais 5ª ed. Ex. 1.7 - adaptado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3) Um técnico dispõe de uma alavanca de 1,5 metros de comprimento com um apoio distante 
0,15 metro da extremidade “ A ” , Considerando que esse técnico é capaz de exercer uma força de 
75 kgf, sobre a extremidade “ B ” da alavanca, determine qual a força máxima poderá ser obtida na 
extremidade livre dessa alavanca. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 M = 0 . 
 
F x 0,15 = 75 x ( 1,5 - 0,15 ) 
 
0,15 F = 101,25  F = 101,25 , 
 0,15 
F = 675 Kgf. 
 
Resposta: Com a alavanca proposta o técnico poderá mover uma força de 675 Kgf. 
 
 
 
 
 
 
75kgf 
19 
 
3.4- Um técnico dispõe de uma alavanca, perfeitamente rígida, de 1,8 metros de comprimento e 
com ela precisa deslocar um bloco de concreto, o que requer uma força de 1500 kgf. Considerando 
que o homem é capaz de exercer uma força de 70 kgf, determine em qual posição deverá ser 
colocado o ponto de apoio dessa alavanca para que a tarefa possa ser realizada. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M = 0 . 
 M = ( 1500 x d ) + [- 70 x ( 1,8 - d )] = 0  ( 1500 d - 126 + 70 d ) = 0 
1570 d = 126  d = 126 ,  d = 0,080 m 
 1570 
 
Resposta: O apoio deverá ser colocado a distância de 0,080m (80 mm) da extremidade próxima 
à carga. 
 
 
 
 
 
 
3.5- O comprimento “A” da “lança” do equipamento representado na figura abaixo é de 12.0m, 
enquanto o comprimento “B” referente ao posicionamento do “contrapeso” é de 2.60m. 
Desprezando o peso próprio da estrutura desse equipamento, determine o valor da carga que 
deverá ser usada como contrapeso, para que possa ser erguido, em perfeito equilíbrio, uma carga 
de 480 kgf. 
 
 
 
 Resposta: O “Contra Peso” deverá ter 2.215,3 Kgf. 
 
 
 
 
70kgf 
1500kgf 
Nota: Por mais interessante que seja uma imagem, ou 
mais simples que seja um texto, uma narrativa, sempre 
será de grande importância traçarmos o “diagrama de 
cargas”, ele deverá ser o foco de nossa atenção. 
 M = 0 . 
 
480
Kgf 
C
P 12
m 
2,6
m 
R 
Nota: Por mais interessante que seja uma 
imagem, ou mais simples que seja um texto, 
uma narrativa, sempre será de grande 
importância traçarmos o “diagrama de 
cargas”, ele deverá ser o foco de nossa 
atenção. 
 M = (480 x 12) + (CP x 2,6) = 0 
 
CP = (480 x 12) 
 2,6 
 
CP = 2.215,3 Kgf 
 
20 
 
3.6 - Uma rede de eletrificação ferroviária tem seus cabos suspensos conforme o croqui abaixo. 
Determine qual o valor das cargas que atuam nas torres “A” e “B”. 
 
Solução: 
 
 MA = 0  MA = F * d . 
 MA = ( 100 x 4,0) - ( 100 x 4,0) - ( 100 x 8,5 ) + ( RB x 12,5 ) = 0 
400 - 400 - 850 + 12,5 RB = 0  12,5 RB = 850 
RB = 850 , 
 12,5 
 
RB= 68 Kgf . 
 
 F = RA + RB 
100 + 100 + 100 = RA + RB 
300 = RA + 68  RB = 300 - 68 
 
RA = 232 Kgf. 
Resposta: Sobre a torre “A” atua uma carga de 232 Kgf e sobre a torre “B” atua outra carga de 
68 Kgf . 
 
 
3.7 - Uma viga está simplesmente apoiada sobre os pontos “A” e “B”, suportando as cargas 
conforme representado no croqui abaixo. Qual a distância máxima a que poderá ser deslocada a 
carga “F” de 50 Kgf, sem que o sistema perca a condição de equilíbrio. 
 
 M = 0 . 
 
 MB = ( 25 x 2,7) + ( 12 x 1.5 ) - ( 50 x d ) = 0 
 
67,5 + 18 - 50 d = 0  85,5 = 50 d 
 
d = 85,5  d = 1,71 m. 
 50 
Resposta: A carga “ F “ poderá ser deslocada a uma distância máxima de 1,71 m. 
Ao analisarmos os possíveis sentidos 
de deslocamento da força “F”, 
concluímos que o único deslocamento 
de efeito significativo se dá na direção 
horizontal no sentido à direita do apoio 
“B”. Assim, temos o que segue: 
21 
 
3.8 - Observe o guindaste representado na figura abaixo e determine o menor ângulo de inclinação 
(θ) da “lança” para que o caminhão não tombe ao içar a carga “P” for de 15KN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 F1= 25KN (peso próprio do caminhão) D1 = 2,1 
 F2= 1,25KN (peso próprio da lança) D2 = 3,0 x cosθ 
 F3= 15KN (peso da carga à ser içada) D3 = 7,2 x cosθ 
 
 
Solução: 
 
∑MA = 0 
 
(F3 x D3) + (F2 x D2) – (F1 x D1) = 0 
 
(15 x 7,2 x cosθ) + (1,25 x 3 cosθ) – (25 x 2,1) = 0 
 
(108 cosθ) + (3,75 cosθ) = 52,5 
 
111,75 x cosθ = 52,5 cosθ = 52,5 / 111,75 = 0,469798 
 
θ= 61,97° 
 
Resposta: O menor ângulo de inclinação (θ) da “lança” deverá ser de 61,97°. 
 
 
 
ED 121 
Nota: 
Por mais complexa que possa parecer a “imagem do sistema”, o traçado do “diagrama de cargas” certamente facilita 
a “visualização e a solução do problema”. 
Neste exercício nos convêm considerar o ponto de apoio da “lança” como referência, o sentido anti-horário (+) e, 
consequentemente, o sentido horário (-). 
Observação: 
Tomamos um ponto qualquer como referência, e vemos 
que as forças que atuam nesse “Sistema” estão 
distantes (Di) desse ponto. Portanto o problema se 
refere ao equilíbrio dos momentos (M0 = F x D). 
 
 
F1=25KN F3=15KN F2=1,25KN 
D2 D1 
D3 
(+) (+) (-) A 
Peso próprio do caminhão 
 
22 
 
3.9 - Um alicate utilizado para corte de arames de aço tem as dimensões representadas no croqui 
abaixo. Supondo que um técnico seja capaz de exercer um esforço de 8 kgf com o aperto das mãos, 
determine qual a força de corte que se pode obter com esse alicate. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mo = 0 . 
 
( 8 x 250 ) + ( -Fc x 25 ) = 0 
 
2000 + (- 25 Fc ) = 0 
 
25 Fc = 2000  Fc = 2000 , 
 25 
Fc = 80Kgf. 
 
Resposta: A força de corte que podemos obter com esse alicate é de 80 Kgf. 
 
 
 
3.10 - Calcule as reações nos apoios “A” e ”B” do carregamento mostrado no croqui abaixo, sabendo 
que o peso próprio da viga é de 100 kg. 
 
Solução: 
 
 MA = 0 . 
 
MA = F . d . 
 
( 75 x 2 ) + ( 90 x 6 ) + ( 130 x 8 ) + ( 100 x 10 ) + ( 40 x 14 ) + ( -RB x 20 ) = 0 
 
150 + 540 + 1040 + 1000 + 560 - 20 RB = 0 
 
20 RB = 3290  RB = 3290 , 
 20 
RB = 164,5 Kgf . 
Momento referente ao 
peso próprio da viga 
25,0 mm 
 Obs.: O alicate é um sistema de 
alavanca simples, e como tal segue a 
lei de equilíbrio:  Mo = 0 . 
 
 
 
 
25cm
m 
250cm
mL/2 
Peso 
própri
23 
 
0,55m 
 F = RA + RB 
 
75 + 90 + 130 + 100 + 40 = RA + 164,5 
 
RA = 435 - 164,5 
 
RA = 270,5 Kgf . 
 
 
Resposta: As reações nos apoios “A” e “B”, são respectivamente 270,5 Kgf. e 164,5 Kgf. 
 
 
 
3.11 - O assentamento de um “gerador elétrico” deverá ser feito sobre um conjunto de molas a fim 
de evitar a propagação de vibrações. O motor pesa 125kg e as molas disponíveis suportam a carga 
máxima de 10 kgf cada uma. Considere o croqui abaixo e determine a quantidade de molas que 
deverá ser colocada em cada apoio. 
 
 
Solução: Vemos que o motor está assentado sobre um plano com quatro apoios alinhados dois-a-
dois, o que caracteriza uma estrutura “hiperestática”. Embora as estruturas hiperestáticas 
requeiram estudo avançado que extrapola nosso objetivo, alguns poucos casos podem ser 
solucionados com artifícios simples. 
Neste caso, consideraremos, inicialmente, a hipótese de que os apoios B e C estejam “tão próximos 
quanto se possa imaginar”, de modo a serem considerados um único apoio. Assim como também 
os apoios A e D. Dessa forma passamos a estudar a estrutura como se fosse uma “viga” bi-apoiada 
em AD e BC, assim teremos : 
 
 
 
 
 
 
 
  MAD = 0 .  M0 = F * d . 
 
( 125 x 0,85 ) + ( - RBC x 1,40 ) = 0  106,25 - 1,4 RBC = 0 
1,4 RBC = 106,25  RBC = 106,25 / 1,4 
 RBC = 75,89 Kgf. 
 F = RAD + RBC 
125 = RAD + 75,89  RAD = 125 - 75,89 
RAD = 49,11 Kgf. 
 
AD 
0,85m 
BC 
125Kgf 
24 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: Consideramos que RAD = RA + RD enquanto RBC = RB + RC, considerando também que o 
“gerador” está posicionado no centro da distância entre os apoios RA... RD e RB... RC, logo : 
 
 
A) RA = RD = 49,11 Kgf. / 2 = 24,555 Kgf. Como cada mola suporta no máximo 10 Kgf., temos 
que a quantidade de molas em cada um dos apoios RA e RD: 24,555Kgf /10Kgf = 2,455. 
A quantidade de molas não poderá ser fracionada, portanto serão necessárias 3 molas. 
 
B) RB = RC = 75,89 /2 = 37,945 Kgf., como cada mola suporta no máximo 10 Kfg, temos que a 
quantidade de molas em cada um dos apoios RB e RC: 37,945Kgf / 10Kgf = 3,794  4 molas. 
 
Resposta: Deverão ser colocadas três molas nos apoios “A” e “D”, respectivamente, enquanto em 
nos apoio “ B ” e “ C ” a necessidade será de quatro molas em cada apoio. 
 
 
 
 
3.12 - No assentamento da “Betoneira” representada nas figuras abaixo, deseja-se montar um 
conjunto de molas nos apoios, para reduzir a propagação da vibração. Determine a quantidade de 
molas que deverá ser colocada em cada um dos apoios do equipamento, sabendo que as molas 
disponíveis suportam a carga máxima de 350N cada uma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8000N 
AD BC 
A B 
500N 
B C 
L c 
A D 
75,89Kgf 
D 
49,11Kgf 
25 
 
3.13 - O croqui abaixo representa uma laje, sobre a qual está assentado um reservatório de água 
com capacidade máxima de 5.000 Litros. Determine qual a carga máxima que irá atuar em cada um 
dos pilares dessa estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.14 - Uma rede de transmissão de energia elétrica tem seus cabos suspensos por uma estrutura 
metálica conforme croqui abaixo. Determine qual o esforço que atuam sobre os apoios “ A ” e “ B” 
desta estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P3 P4 
P2 P1 
1,3m 
0,9m 
3,0m 
4,0m 
26 
 
Resumo: 
 
Vimos que uma força aplicada sobre um corpo provoca uma reação de mesma intensidade, 
mesma direção e de sentido contrário. Quando a força é aplicada sobre um corpo extenso 
suportado por dois pontos de apoio (Bi apoiado), a reação provocada é distribuída nesses apoios e 
são designadas por RA e RB. 
 
Vimos também que o momento de uma força é o produto dessa força pela distância do seu 
ponto de aplicação ao ponto de referência considerado (M0 = F x d) e que o somatório dos momento 
em um sistema em equilíbrio é necessariamente igual a “zero” ( ΣM0 = 0 ). 
 
Nos exercícios anteriores, procuramos desenvolver a prática da aplicação dos fundamentos da 
física e o conhecimento racional dos fenômenos. Alguns autores de manuais e literaturas técnicas, 
através de uma simples manipulação algébrica desses princípios da física, apresentam a seguinte 
“fórmula” para a determinação das reações nos apoios: 
 
 
 
 Ra = F x b  Rb = F x a , 
 L L 
 
 
 
 
Para um carregamento onde atuam “n” forças, temos: 
 
Ra = ( F1 x b1 ) + ( F2 x b 2 ) + --- + ( Fn x bn ) ; Rb = ( F1 x a1 ) + ( F2 x a 2 ) + --- + ( Fn x an) 
 L L 
 
 
Note que as “Fórmulas” são de aplicação imediatas, porém isso requer uma grande habilidade de 
memorização e podem se perder com o passar do tempo, enquanto o entendimento dos 
fenômenos físicos, embora de desenvolvimento mais extenso, se perpetuam e possibilitam o 
esclarecimento de questões aparentemente adversas. 
 
 
 
a 
b 
Rb 
F 
Ra 
27 
 
Nos exemplos anteriores apresentamos o cálculo das reações nos apoios de estruturas isostáticas 
e algumas poucas hiperestática que podem ser estudadas através de hipóteses de fácil manipulação 
e entendimento. 
Entretanto, algumas soluções para o “pré-dimensionamento” das reações nos apoios (esforço sobre 
os pilares) de projetos de edificações são consideradas. 
Alguns Projetistas consideram que, quanto temos uma estrutura de baixa complexidade, como por 
exemplo uma edificação simples de apenas um ou dois pavimentos, a carga (Peso) estimada para o 
“conjunto do piso superior” (1,0 t/m² à 1,5 t/m²) poderá ser distribuída entre cada um dos pilares 
(apoios), segundo o “critério” chamado de “Área de influência da carga”, que considera a 
quantidade e o posicionamento dos pilares a serem utilizados. 
Exemplo: 
 
Observe a figura acima. Nela temos uma “laje” medindo 8,0m de largura e 10m de comprimento 
que foram, respectivamente, divididos em “seguimentos unitário”, conforme o quadro abaixo. 
 
1 – Vemos que a largura de 8m está apoiada em dois pilares de canto e um lateral (1+1+2 = 4). 
Assim o “segmento unitário” da largura será estabelecido como 8m/4, que correspondendo então 
à 2,0m. 
2 – Vemos ainda, que o comprimento de 9,0m também está apoiado em dois cantos e um lateral 
(1+1+2 = 4). Portanto, estabelecemos o “segmento unitário” do comprimento como sendo 9m/4, 
o que corresponde à 2,25m. 
“Seguimento unitário” em função da posição do pilar 
“Pilar de canto” (P3 e P9) 
“Pilar de extremidade” 
(Lateral - P2 e P8) 
“Pilar interno” 
(Central – P5) 
1x 2x 4x 
P5 
P8 
P1 
P6 
P3 
P4 
P9 
P7 P2 
P5 
Jorge Victorio 
P8 
P8 
28 
 
 
Conclusão: Estabelecidos os segmentos unitários referentes à largura e ao comprimento, 
estimamos a área de influência e a carga sobre cada Pilar. 
 
 
Estimadas as cargas, devemos verificar qual deverá se a área da seção transversal de cada pilar 
necessária para resistir ao esforço que lhe é solicitado. 
 
Conforme especificado na NBR 6118 – 2004 § 13.2.3, a seção transversal de pilares maciços, 
qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar uma dimensão menor que 19 cm. 
Em casos especiais, permite-se dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem 
os esforços a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimativa da carga sobre os Pilares 
Identificação do 
Pilar 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 
Área de 
influência 
6,5m² 9,0m² 4,5m² 13,0m² 18,0m² 9,0m² 6,5m² 9,0m² 4,5m² 
Carga estimada 
(1t / m²) 
6,5t 9,0t 4,5t 13,0t 18,0t 9,0t 6,5t 9,0t 4,5t 
29 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
HIBBELER, R.C. – Resistência dos materiais. SP . Person PRENTICE Hall – 2004 – 5ª ed.YAMAMOTO, Kazuhito; FUKE, Luiz Felipe e SHIGEKITO, Carlos Tadashi . Os Alicerces da 
Física: Mecânica. SP. Editora Saraiva, 1994, vol. 1, 7ª edição. 
 
 
FONSECA, Adhemar. Curso de Mecânica. RJ.. Livros Técnicos e Científicos Editora, 1974, vol.1. 
 
 
POLILLO, Adolpho. Mecânica das Estruturas. RJ. Editora Científica, 1973, vol. 1. 
 
 
NASH, William Arthur. Resistência dos Materiais. SP. Editora McGraw- Hill do Brasil, 1976. 
 
 
SARKIS, Melconian. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – SP. Ed. Érica – 17ª edição 
 
 
BOTELHO, Manuel Henrique Campos. Resistência dos Materiais: Para entender e gostar – 3. Ed – 
São Paulo: Ed. Blucher, 2015. 
 
ABNT – NBR 6118; Projeto de estruturas de concreto - Procedimento; 2004 
 
MAURÍCIO GUERRA; Pré-Dimensionamento de Pilares; Canal da Engenharia – 2019 
https://www.youtube.com/watch?v=0UNxHggVrp0 
 
FELIPE RODRIGUES; Pré-Dimensionamento de pilares; Canal da Engenharia – 2019 
https://www.youtube.com/watch?v=8BM2CzLIa1I 
 
LUIZ GUILHERME; Quanto de peso um pilar aguenta? ; Canal Vida Engenharia - 2019 
https://www.youtube.com/watch?v=P-FMH0JXgvA 
 
FELIPE S. OLIVEIRA; Seção mínima de um pilar? NBR 6118 x NBR 15575; Canal Engenharia 
ativa – 2019. 
https://www.youtube.com/watch?v=bt-ZnlaHF9w 
 
https://www.youtube.com/watch?v=0UNxHggVrp0
https://www.youtube.com/watch?v=8BM2CzLIa1I
https://www.youtube.com/watch?v=P-FMH0JXgvA
https://www.youtube.com/watch?v=bt-ZnlaHF9w