Resumo Gravitação

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Gravitação 
Material de apoio para as LIVES: 
Tudo sobre GRAVITAÇÃO: http://www.resp.ai/resumo_gravitacao 
Halliday vol.2 – Gravitação: http://www.resp.ai/halliday_cap13 
 
Parte I: Força e Campo Gravitacional 
A força gravitacional é uma força de atração que ocorre entre dois corpos que possuem 
massa, dada pela expressão: 
𝐹𝑔 =
𝐺𝑚𝑀
𝑅2
 
 
Onde 𝐺 é a constante universal gravitacional, dada como: 
𝐺 = 6,67 × 10−11 
O campo gravitacional (também conhecido como aceleração da gravidade) pode ser 
calculado como: 
𝑔 =
𝐺𝑀
𝑅2
 
Quando na superfície da Terra, usamos: 
𝑀𝑇(𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎) = 5,97 × 10
24𝑘𝑔 
𝑅𝑇(𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎) = 6,37 × 10
6𝑚 
O que resultará em: 
𝑔 = 9,81𝑚/𝑠2 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Parte II: Órbita Circular 
Quando um objeto está em órbita circular, a força gravitacional será a sua força 
centrípeta: 
 
𝐹𝑔 = 𝐹𝑐 
𝐺𝑀𝑚
𝑟2
=
𝑚𝑣2
𝑟
 
Colocando a velocidade em evidência, encontramos a velocidade orbital para um objeto 
em órbita circular: 
𝑣 = √
𝐺𝑀
𝑟
 
Podemos encontrar também o período orbital, isso é, o tempo que leva para o objeto dar 
uma volta completa. 
𝑑 = 𝑣Δ𝑡 
A distância percorrida 𝑑 é dada pela circunferência da órbita 2𝜋𝑟, e a velocidade já foi 
encontrada: 
2𝜋𝑟 = √
𝐺𝑀
𝑟
 𝑇 
Portanto, o período será: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑟3
𝐺𝑀
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte III: Energia 
A energia potencial gravitacional não pode mais ser calculada como sendo 𝑚𝑔ℎ, pois 𝑔 
não é mais constante. Portanto, vamos agora usar a fórmula: 
𝑈𝑔 = −
𝐺𝑀𝑚
𝑟
 
A energia cinética continua sendo dada como: 
𝐾 =
𝑚𝑣2
2
 
Energia na Órbita Circular 
Quando numa órbita circular, a energia cinética poderá ser calculada como: 
𝐾 =
𝑚𝑣2
2
 
E substituindo a velocidade orbital da órbita circular, teremos: 
𝐾 =
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
 
E a energia mecânica será dada como: 
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
−
𝐺𝑀𝑚
𝑟
 
𝐸 = −
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
 
Podemos relacionar as 3 energias, como sendo: 
𝐾 = −
𝑈𝑔
2
 
𝐸 =
𝑈𝑔
2
 
Mas fica ligado, que essas fórmulas de energia cinética e energia mecânica só são 
válidas para a órbita circular. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Parte IV: As Leis de Kepler 
Existem três Leis de Kepler. 
A primeira Lei de Kepler diz que “As órbitas dos planetas são elípticas, com o Sol 
ocupando um dos focos da elipse”. 
 
Por se tratar de uma órbita elíptica, temos duas posições que são importantes. O Afélio é 
a posição aonde o planeta está mais afastado do Sol e o Periélio é a posição aonde o 
planeta está mais perto do Sol. 
 
A segunda Lei de Kepler diz que: “A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas 
iguais em tempos iguais”. 
 
Podemos ver que o arco 𝑙1 é maior que o arco 𝑙2 e como as áreas são iguais, o planeta 
levou o mesmo tempo para percorrer esses arcos. Ou seja, a velocidade 𝑣1 é maior que a 
 
 
velocidade 𝑣2, isso é, o planeta possui uma velocidade maior quando está mais próximo 
do Sol. 
Também podemos considerar que o momento angular se conserva ao longo de todo o 
movimento e o momento angular é dado como: 
𝐿 = 𝑚𝑟𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 
Quando o planeta está no afélio ou no periélio, o ângulo 𝜃 entre a velocidade e o raio é 
90º, portanto teremos que: 
𝐿𝐴 = 𝑚𝑟𝐴𝑣𝐴 
𝐿𝑃 = 𝑚𝑟𝑃𝑣𝑃 
Como o momento angular se conserva, podemos igualar esses momentos e chegaremos 
então na seguinte relação entre as velocidades e raios de afélio e periélio: 
𝑟𝐴𝑣𝐴 = 𝑟𝑃𝑣𝑃 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A terceira Lei de Kepler diz que: “Existe uma proporção entre o período e o raio orbital 
dos planetas, dada por” 
𝑇2 = 𝐾𝑅3 
Ou seja, o período orbital ao quadrado é proporcional ao raio orbital ao cubo. 
A expressão de Newton para o período orbital confirma essa relação: 
𝑇2 =
2𝜋𝑅3
𝐺𝑀
 
Exemplo: